एक्स वाई निर्देशांक कैसे निर्धारित करें। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली
सीएनसी मशीन का संचालन समन्वय प्रणालियों से निकटता से संबंधित है।
मशीन के समन्वय अक्षों को आमतौर पर गाइड के समानांतर व्यवस्थित किया जाता है, जो यूई में प्रोग्रामिंग प्रसंस्करण करते समय काम करने वाले निकायों की गति की दिशा और परिमाण को सीधे इंगित करना संभव बनाता है।
सीएनसी मशीनों के संचालन को सुविधाजनक बनाने के लिए, उनके पास समन्वय अक्षों की एक ही दिशा है, जो सभी निर्माताओं के लिए अनिवार्य है।
GOST 23597-79 (ST SEV 3135-81) के अनुसार सभी सीएनसी मशीनों के लिए एकल समन्वय प्रणाली के रूप में, एक मानक (दाएं) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को अपनाया जाता है, जिसमें X, Y, Z अक्ष (चित्र। 4.5) इंगित करते हैं। मशीन के चलती भागों के सापेक्ष सकारात्मक उपकरण चालन।
मशीन के निश्चित भागों के सापेक्ष वर्कपीस की गति की सकारात्मक दिशाएँ X`, Y`, Z` कुल्हाड़ियों को इंगित करती हैं, जो X, Y, Z कुल्हाड़ियों के विपरीत निर्देशित होती हैं। इस प्रकार, गति की दिशा हमेशा सकारात्मक होती है, जिसमें उपकरण और वर्कपीस एक दूसरे से दूर चले जाते हैं।
चित्र 4.5। सीएनसी मशीन के लिए मानक समन्वय प्रणाली
उपकरण के परिपत्र आंदोलनों (उदाहरण के लिए, एक मिलिंग मशीन के स्पिंडल अक्ष का कोणीय विस्थापन) अक्षरों ए (एक्स-अक्ष के आसपास), बी (वाई-अक्ष के आसपास), सी (जेड-अक्ष के आसपास) द्वारा दर्शाया जाता है ), और वर्कपीस के सर्कुलर मूवमेंट (उदाहरण के लिए, बोरिंग मशीन पर टेबल के प्रोग्राम-नियंत्रित रोटेशन) - क्रमशः, अक्षर ए, बी, सी। "सर्कुलर मूवमेंट्स" की अवधारणा में स्पिंडल का रोटेशन शामिल नहीं है। उपकरण ले जाना, या खराद की धुरी।
विशेष अक्षों के आसपास माध्यमिक कोणीय आंदोलनों को नामित करने के लिए, डी और ई अक्षर का उपयोग किया जाता है।
एक सीधी रेखा के साथ दो कार्य निकायों की गति की दिशा को इंगित करने के लिए, तथाकथित माध्यमिक अक्षों का उपयोग किया जाता है: यू (एक्स के समानांतर), वी (वाई के समानांतर), डब्ल्यू (जेड के समानांतर)। एक दिशा में तीन आंदोलनों के साथ, तथाकथित तृतीयक कुल्हाड़ियों का भी उपयोग किया जाता है: पी, क्यू, आर (चित्र। 4.5 देखें)।
कुल्हाड़ियों की सकारात्मक दिशाओं और उत्पत्ति की स्थिति का निर्धारण करते हुए, विभिन्न प्रकार और मॉडलों की मशीनों के लिए, समन्वय प्रणालियों को अलग तरह से रखा जाता है।
GOST 23597-79 (चित्र। 4.5) की सिफारिशों के अनुसार चयनित मशीन की समन्वय प्रणाली को आमतौर पर मानक कहा जाता है। इस प्रणाली में, निर्देशांक अक्षों की सकारात्मक दिशाएँ दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित की जाती हैं। अंगूठा (चित्र। 4.6) भुज अक्ष (X) की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है, तर्जनी - समन्वय अक्ष (Y), मध्य एक - अनुप्रस्थ अक्ष (Z)। इन कुल्हाड़ियों के चारों ओर घूमने की सकारात्मक दिशा दूसरे दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। इस नियम के अनुसार, यदि आप अंगूठे को अक्ष की दिशा में रखते हैं, तो दूसरी मुड़ी हुई उंगलियां घूमने की सकारात्मक दिशा का संकेत देंगी।
चित्र 4.6। आयताकार समन्वय प्रणाली के लिए दाहिने हाथ का नियम
मशीन पर मानक समन्वय प्रणाली के कुल्हाड़ियों का अभिविन्यास ड्रिलिंग, बोरिंग, मिलिंग और टर्निंग मशीनों पर ड्रिलिंग करते समय गति की दिशा से जुड़ा होता है। वर्कपीस से ड्रिल को वापस लेने की दिशा को Z अक्ष के लिए सकारात्मक माना जाता है, अर्थात। Z अक्ष हमेशा मशीन के घूर्णन तत्व - धुरी से जुड़ा होता है। एक्स-अक्ष जेड-अक्ष के लंबवत है और वर्कपीस सेटिंग विमान के समानांतर है। यदि दो अक्ष इस परिभाषा के अनुरूप हैं, तो एक्स-अक्ष को वह माना जाता है जिसके साथ मशीन इकाई का सबसे बड़ा आंदोलन संभव है। ज्ञात कुल्हाड़ियों X और Z के साथ, Y अक्ष विशिष्ट रूप से सही आयताकार समन्वय प्रणाली में कुल्हाड़ियों के स्थान की स्थिति से निर्धारित होता है।
निर्धारण के लिएभूगणित में बिंदु स्थिति स्थानिक आयताकार, भूगणितीय और तलीय आयताकार निर्देशांक का उपयोग करती है।
स्थानिक आयताकार निर्देशांक. समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति केंद्र में स्थित है हे पृथ्वी दीर्घवृत्ताकार(चित्र। 2.2)।
एक्सिस जेडनिर्देशितउत्तर में दीर्घवृत्त के घूर्णन की धुरी के साथ। एक्सिस एक्सप्रारंभिक - ग्रीनविच मेरिडियन के साथ भूमध्यरेखीय तल के चौराहे पर स्थित है। एक्सिस यूअक्षों के लंबवत निर्देशित जेडऔर एक्सपूरब की ओर।
जियोडेटिक निर्देशांक. किसी बिंदु के भौगोलिक निर्देशांक उसके अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई हैं (चित्र 2.2)।
जियोडेटिक अक्षांश अंक एमकोण कहा जाता है में, दिए गए बिंदु और भूमध्य रेखा के तल से गुजरने वाले दीर्घवृत्त की सतह के अभिलंब द्वारा निर्मित।
अक्षांश को भूमध्य रेखा से उत्तर और दक्षिण में 0° से 90° तक मापा जाता है और इसे उत्तर या दक्षिण कहा जाता है। उत्तरी अक्षांश को धनात्मक तथा दक्षिण अक्षांश को ऋणात्मक माना जाता है।
एक अक्ष से गुजरने वाले दीर्घवृत्त के अनुभागीय तल आउंस, कहा जाता है जियोडेटिक मेरिडियन.
जियोडेटिक देशांतर अंक एमद्विफलकीय कोण कहलाता है ली, प्रारंभिक (ग्रीनविच) जियोडेसिक मेरिडियन और दिए गए बिंदु के जियोडेसिक मेरिडियन के विमानों द्वारा गठित।
देशांतर को प्राइम मेरिडियन से 0° से 360° पूर्व, या 0° से 180° पूर्व (सकारात्मक) और 0° से 180° पश्चिम (नकारात्मक) की सीमा के भीतर मापा जाता है।
जियोडेटिक ऊंचाईअंक एमउसकी ऊंचाई है एचपृथ्वी के दीर्घवृत्त की सतह के ऊपर।
स्थानिक आयताकार निर्देशांक के साथ जियोडेटिक निर्देशांक सूत्रों द्वारा संबंधित हैं
एक्स =(एन+एच)कोस बीक्योंकि ली,
वाई =(एन+एच)कोस बीपाप ली,
जेड =[(1- ई 2)एन+एच] पाप बी,
कहाँ पे इमेरिडियन अंडाकार की पहली विलक्षणता है और एन-पहले ऊर्ध्वाधर की वक्रता की त्रिज्या। एन = ए /(1 - इ 2 पाप 2 बी) 1/2 .
जियोडेटिक और स्थानिकबिंदुओं के आयताकार निर्देशांक उपग्रह माप का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं, साथ ही उन्हें ज्ञात निर्देशांक वाले बिंदुओं के साथ भूगणितीय माप से जोड़कर निर्धारित किया जाता है।
ध्यान दें कि साथ मेंजियोडेसिक्स के साथ खगोलीय अक्षांश और देशांतर भी हैं। खगोलीय अक्षांश j भूमध्यरेखीय तल के साथ दिए गए बिंदु पर साहुल रेखा द्वारा बनाया गया कोण है। खगोलीय देशांतर l ग्रीनविच मेरिडियन के विमानों और किसी दिए गए बिंदु पर साहुल रेखा से गुजरने वाले खगोलीय मेरिडियन के बीच का कोण है। खगोलीय निर्देशांक जमीन पर खगोलीय प्रेक्षणों से निर्धारित होते हैं।
खगोलीय निर्देशांकजियोडेसिक्स से भिन्न होता है क्योंकि साहुल रेखाओं की दिशाएँ दीर्घवृत्त की सतह के मानदंडों की दिशाओं से मेल नहीं खाती हैं। दीर्घवृत्त की सतह से अभिलंब की दिशा और पृथ्वी की सतह पर दिए गए बिंदु पर साहुल रेखा के बीच के कोण को कहा जाता है साहुल रेखा.
भूस्थैतिक और खगोलीय निर्देशांकों का एक सामान्यीकरण पद है - भौगोलिक निर्देशांक.
तलीय आयताकार निर्देशांक. स्थानिक और भूगर्भीय निर्देशांक से इंजीनियरिंग भूगणित की समस्याओं को हल करने के लिए, वे सरल - फ्लैट निर्देशांक पर जाते हैं, जो एक विमान पर इलाके को चित्रित करना और दो निर्देशांक के साथ बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करना संभव बनाता है। एक्सऔर पर.
चूंकि पृथ्वी की उत्तल सतहविरूपण के बिना एक विमान पर चित्रित करना असंभव है, फ्लैट निर्देशांक की शुरूआत केवल सीमित क्षेत्रों में ही संभव है जहां विकृतियां इतनी छोटी हैं कि उन्हें उपेक्षित किया जा सकता है। रूस में, आयताकार निर्देशांक की एक प्रणाली अपनाई जाती है, जिसका आधार एक समकोणिक अनुप्रस्थ-बेलनाकार है गाऊसी प्रक्षेपण. एक दीर्घवृत्त की सतह को ज़ोन नामक भागों में एक समतल पर दर्शाया गया है। क्षेत्र गोलाकार द्विभुज होते हैं जो मेरिडियन से घिरे होते हैं और उत्तरी ध्रुव से दक्षिण तक फैले होते हैं (चित्र 2.3)। देशांतर में क्षेत्र का आकार 6° है। प्रत्येक क्षेत्र के मध्य मध्याह्न रेखा को अक्षीय याम्योत्तर कहा जाता है। जोन ग्रीनविच से पूर्व की ओर गिने जाते हैं।
N संख्या वाले क्षेत्र के अक्षीय मध्याह्न रेखा का देशांतर बराबर है:
एल 0 \u003d 6 ° × एन - 3 °।
क्षेत्र और भूमध्य रेखा के अक्षीय मेरिडियनएक समतल पर सीधी रेखाओं द्वारा दर्शाया गया है (चित्र 2.4)। अक्षीय मध्याह्न रेखा को भुज अक्ष के रूप में लिया जाता है एक्स, और भूमध्य रेखा - y-अक्ष के लिए वाईउनका चौराहा (बिंदु हे) दिए गए क्षेत्र की उत्पत्ति के रूप में कार्य करता है।
कन्नी काटनाऋणात्मक कोटि मान, प्रतिच्छेद निर्देशांक को के बराबर लिया जाता है एक्स 0 = 0, आप 0 = 500 किमी, जो एक अक्ष शिफ्ट के बराबर है एक्सपश्चिम में 500 किमी.
ताकि किसी बिंदु के आयताकार निर्देशांक से यह अनुमान लगाया जा सके कि यह किस क्षेत्र में स्थित है, निर्देशांक के लिए आपबाईं ओर, समन्वय क्षेत्र की संख्या असाइन की गई है।
मान लीजिए, उदाहरण के लिए, बिंदु के निर्देशांक लेकिनहमशक्ल:
एक्स ए= 6 276 427 वर्ग मीटर
वाई ए= 12 428 566 वर्ग मीटर
ये निर्देशांक इंगित करते हैंकिस बिंदु पर लेकिनभूमध्य रेखा से 6276427 मीटर की दूरी पर, पश्चिमी भाग में स्थित है ( आप < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.
स्थानिक आयताकार के लिए, रूस में जियोडेटिक और फ्लैट आयताकार निर्देशांक अपनाया जाता है एक प्रणालीराज्य जियोडेटिक नेटवर्क के बिंदुओं द्वारा जमीन पर तय किए गए SK-95 का समन्वय करता है और 1995 के युग के अनुसार उपग्रह और जमीन-आधारित माप पर बनाया गया है।
आयताकार निर्देशांक की स्थानीय प्रणाली।विभिन्न वस्तुओं के निर्माण के दौरान, स्थानीय (सशर्त) समन्वय प्रणालियों का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसमें कुल्हाड़ियों की दिशा और निर्देशांक की उत्पत्ति वस्तु के निर्माण और बाद के संचालन के दौरान उनके उपयोग की सुविधा के आधार पर निर्दिष्ट की जाती है।
इसलिए, जब शूटिंगरेलवे स्टेशन अक्ष परबढ़ते धरना की दिशा में मुख्य रेलवे ट्रैक की धुरी के साथ निर्देशित होते हैं, और अक्ष एक्स- यात्री स्टेशन भवन की धुरी के साथ।
निर्माण के दौरानब्रिज क्रॉसिंग एक्सिस एक्सआमतौर पर पुल की धुरी और अक्ष के साथ संयुक्त आपलंबवत दिशा में जाता है।
निर्माण के दौरानबड़े औद्योगिक और नागरिक सुविधाएं अक्ष एक्सऔर आपनिर्माणाधीन भवनों की कुल्हाड़ियों के समानांतर निर्देशित।
आयताकार समन्वय प्रणाली- समतल या अंतरिक्ष में परस्पर लंबवत अक्षों के साथ एक सीधा समन्वय प्रणाली। सबसे सरल और इसलिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली समन्वय प्रणाली। यह किसी भी आयाम के रिक्त स्थान पर बहुत आसानी से और सीधे सामान्यीकरण करता है, जो इसके व्यापक अनुप्रयोग में भी योगदान देता है।
संबंधित शर्तें: काटीज़ियनआमतौर पर कुल्हाड़ियों के साथ समान पैमाने के साथ एक आयताकार समन्वय प्रणाली कहा जाता है (रेने-डेसकार्टेस के नाम पर), और सामान्य कार्टेशियन समन्वय प्रणालीनिर्देशांक (आयताकार नहीं) का एक affine-प्रणाली कहा जाता है।
विश्वकोश YouTube
-
1 / 5
एक समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली दो परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों द्वारा बनाई गई है और ओ (\ डिस्प्लेस्टाइल ओ), जिसे निर्देशांकों का मूल कहा जाता है, प्रत्येक अक्ष की एक धनात्मक दिशा होती है।
बिंदु स्थिति ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)विमान पर दो निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है x (\displaystyle x)और y (\displaystyle y). कोआर्डिनेट x (\displaystyle x)खंड की लंबाई के बराबर ओ बी (\ डिस्प्लेस्टाइल ओबी), समन्वय y (\displaystyle y)- खंड लंबाई ओ सी (\डिस्प्लेस्टाइल ओसी) ओ बी (\ डिस्प्लेस्टाइल ओबी)और ओ सी (\डिस्प्लेस्टाइल ओसी)एक बिंदु से खींची गई रेखाओं द्वारा परिभाषित ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)कुल्हाड़ियों के समानांतर वाई ′ वाई (\displaystyle Y"Y)और एक्स ′ एक्स (\displaystyle एक्स"एक्स)क्रमश।
इस समन्वय के साथ x (\displaystyle x) बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)बीम पर स्थित है (और बीम पर नहीं) OX (\displaystyle OX), जैसा कि चित्र में है)। कोआर्डिनेट y (\displaystyle y)एक ऋण चिह्न असाइन किया गया है यदि बिंदु सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)बीम पर पड़ा है। इस प्रकार से, ओ X′ (\displaystyle OX")और ओ वाई′ (\displaystyle ओए”)निर्देशांक अक्षों की ऋणात्मक दिशाएँ हैं (प्रत्येक समन्वय अक्ष को एक संख्यात्मक अक्ष के रूप में माना जाता है)।
एक्सिस x (\displaystyle x)एक्स-अक्ष और अक्ष कहा जाता है y (\displaystyle y)- वाई-अक्ष। कोआर्डिनेट x (\displaystyle x)बुलाया सूच्याकार आकृति का भुज अंक ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), समन्वय y (\displaystyle y) - तालमेल अंक ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए).
A (x , y) (\displaystyle A(x,\;y)) A = (x , y) (\displaystyle A=(x,\;y))या सूचकांक का उपयोग करके किसी विशिष्ट बिंदु पर निर्देशांक से संबंधित इंगित करें:
एक्स ए, एक्स बी (\displaystyle x_(A),x_(B))अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणाली(इस पैराग्राफ में हमारा मतलब त्रि-आयामी अंतरिक्ष, अधिक बहुआयामी रिक्त स्थान - नीचे देखें) तीन परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों द्वारा बनता है OX (\displaystyle OX), ओ वाई (\displaystyle ओए)और OZ (\displaystyle OZ). निर्देशांक अक्ष एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं ओ (\ डिस्प्लेस्टाइल ओ), जिसे मूल कहा जाता है, प्रत्येक अक्ष पर तीरों द्वारा इंगित सकारात्मक दिशा का चयन किया जाता है, और अक्षों पर खंडों के मापन की इकाई का चयन किया जाता है। इकाइयाँ आमतौर पर (जरूरी नहीं) सभी अक्षों के लिए समान होती हैं। OX (\displaystyle OX)- अक्ष भुज, ओ वाई (\displaystyle ओए)- अक्ष-निर्देशांक, OZ (\displaystyle OZ)- अक्ष-आवेदन।
बिंदु स्थिति ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)अंतरिक्ष में तीन निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है x (\displaystyle x), y (\displaystyle y)और z (\displaystyle z). कोआर्डिनेट x (\displaystyle x)खंड की लंबाई के बराबर ओ बी (\ डिस्प्लेस्टाइल ओबी), समन्वय y (\displaystyle y)- खंड लंबाई ओ सी (\डिस्प्लेस्टाइल ओसी), समन्वय z (\displaystyle z)- खंड लंबाई ओडी (\displaystyle ओडी)माप की चयनित इकाइयों में। सेगमेंट ओ बी (\ डिस्प्लेस्टाइल ओबी), ओ सी (\डिस्प्लेस्टाइल ओसी)और ओडी (\displaystyle ओडी)एक बिंदु से खींचे गए विमानों द्वारा परिभाषित किया जाता है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)विमानों के समानांतर Y O Z (\displaystyle YOZ), X O Z (\displaystyle XOZ)और एक्स ओ वाई (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्सओवाई)क्रमश।
कोआर्डिनेट x (\displaystyle x)बिंदु का भुज कहा जाता है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), समन्वय y (\displaystyle y)- निर्देशांक बिंदु ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), समन्वय z (\displaystyle z)- आवेदन बिंदु ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए).
प्रतीकात्मक रूप से यह इस प्रकार लिखा गया है:
A (x , y , z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) A = (x , y , z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))या एक इंडेक्स का उपयोग करके एक विशिष्ट बिंदु पर एक समन्वय रिकॉर्ड बांधें:
x A , y A , z A (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))प्रत्येक अक्ष को एक संख्यात्मक सीधी रेखा के रूप में माना जाता है, अर्थात उसकी एक सकारात्मक दिशा होती है, और ऋणात्मक किरण पर स्थित बिंदुओं को निर्दिष्ट किया जाता है। नकारात्मक माननिर्देशांक (दूरी ऋण चिह्न के साथ ली जाती है)। अर्थात्, यदि, उदाहरण के लिए, बिंदु बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)चित्र के अनुसार न रखें - बीम पर OX (\displaystyle OX), और बिंदु से विपरीत दिशा में इसकी निरंतरता पर ओ (\ डिस्प्लेस्टाइल ओ)(अक्ष के ऋणात्मक भाग पर OX (\displaystyle OX)), फिर एब्सिस्सा x (\displaystyle x)अंक ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)ऋणात्मक होगा (शून्य से दूरी ओ बी (\ डिस्प्लेस्टाइल ओबी)) इसी प्रकार अन्य दो अक्षों के लिए।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सभी आयताकार समन्वय प्रणालियों को दो वर्गों में बांटा गया है - अधिकार(शब्दों का भी प्रयोग किया जाता है सकारात्मक, मानक) और बाएं. आमतौर पर, डिफ़ॉल्ट रूप से, वे दाएं हाथ के समन्वय प्रणालियों का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, और जब उन्हें ग्राफिक रूप से प्रदर्शित किया जाता है, तो वे उन्हें कई सामान्य (पारंपरिक) पदों में से एक में, यदि संभव हो तो, भी रखते हैं। (चित्र 2 सही समन्वय प्रणाली दिखाता है)। दाएं और बाएं समन्वय प्रणालियों को घुमावों द्वारा नहीं जोड़ा जा सकता है ताकि संबंधित कुल्हाड़ियों (और उनकी दिशाओं) का मेल हो। दाहिने हाथ के नियम, स्क्रू नियम आदि का उपयोग करके यह निर्धारित करना संभव है कि एक विशेष समन्वय प्रणाली किस वर्ग से संबंधित है। (कुल्हाड़ियों की सकारात्मक दिशा को चुना जाता है ताकि जब अक्ष घुमाया जा सके OX (\displaystyle OX)वामावर्त 90° से इसकी धनात्मक दिशा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ मेल खाती है ओ वाई (\displaystyle ओए), यदि यह घूर्णन अक्ष की धनात्मक दिशा की ओर से देखा जाता है OZ (\displaystyle OZ)).
बहुआयामी अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणाली
एक आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग किसी भी-परिमित-आयाम के स्थान में भी उसी तरह किया जा सकता है जैसे यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए किया जाता है। इस मामले में समन्वय अक्षों की संख्या अंतरिक्ष के आयाम के बराबर है (इस खंड में हम इसे निरूपित करेंगे एन).
निर्देशांक आमतौर पर अलग-अलग अक्षरों से नहीं, बल्कि एक ही अक्षर से एक संख्यात्मक सूचकांक के साथ निरूपित होते हैं। सबसे अधिक बार यह होता है:
एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, ... एक्स एन। (\displaystyle x_(1),x_(2),x_(3),\dots x_(n).)एक मनमाना नामित करने के लिए मैंइस सेट से वें निर्देशांक एक अक्षर सूचकांक का उपयोग करता है:
और अक्सर पदनाम x i , (\displaystyle x_(i),)उपयोग और पूरे सेट को निरूपित करने के लिए, जिसका अर्थ है कि सूचकांक मूल्यों के पूरे सेट के माध्यम से चलता है: i = 1 , 2 , 3 , … n (\displaystyle i=1,2,3,\dots n).
अंतरिक्ष के किसी भी आयाम में, आयताकार समन्वय प्रणाली को दो वर्गों में विभाजित किया जाता है, दाएं और बाएं (या सकारात्मक और नकारात्मक)। बहुआयामी रिक्त स्थान के लिए, समन्वय प्रणालियों में से एक को मनमाने ढंग से (सशर्त रूप से) दाएं कहा जाता है, और शेष दाएं या बाएं हो जाते हैं, इस पर निर्भर करता है कि उनके पास समान अभिविन्यास है या नहीं।
आयताकार वेक्टर निर्देशांक
आयताकार परिभाषित करने के लिए वेक्टर निर्देशांक(किसी भी आयाम के वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए लागू), हम इस तथ्य से आगे बढ़ सकते हैं कि वेक्टर (निर्देशित खंड) के निर्देशांक, जिसकी शुरुआत मूल में है, इसके अंत के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं।
वैक्टर (निर्देशित खंडों) के लिए जिनकी उत्पत्ति मूल के साथ मेल नहीं खाती है, आयताकार निर्देशांक दो तरीकों में से एक में निर्धारित किए जा सकते हैं:
- वेक्टर को स्थानांतरित किया जा सकता है ताकि इसकी उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती हो)। फिर इसके निर्देशांक पैराग्राफ की शुरुआत में वर्णित तरीके से निर्धारित किए जाते हैं: एक वेक्टर के निर्देशांक इस तरह से चले जाते हैं कि इसकी उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है, इसके अंत के निर्देशांक हैं।
- इसके बजाय, आप बस वेक्टर (निर्देशित खंड) के अंत के निर्देशांक से इसकी शुरुआत के निर्देशांक घटा सकते हैं।
- आयताकार निर्देशांक के लिए, एक वेक्टर निर्देशांक की अवधारणा संबंधित समन्वय अक्ष की दिशा में एक वेक्टर के एक ओर्थोगोनल-प्रक्षेपण की अवधारणा के साथ मेल खाती है।
आयताकार निर्देशांक में, वैक्टर पर सभी ऑपरेशन बहुत सरलता से लिखे जाते हैं:
- एक अदिश से जोड़ और गुणा:
(यह किसी भी आयाम के लिए सही है एनऔर यहां तक कि, आयताकार निर्देशांक के साथ, तिरछे निर्देशांक के लिए)।
a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + + anbn (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\dots +a_(n)b_(n)) a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i , (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)b_(i),)(केवल आयताकार निर्देशांक में सभी अक्षों पर इकाई पैमाने के साथ)।
- अदिश उत्पाद के माध्यम से, आप वेक्टर की लंबाई की गणना कर सकते हैं
- और के (\displaystyle \mathbf (के))
ई एक्स (\displaystyle \mathbf (ई) _(x)), ई वाई (\displaystyle \mathbf (ई) _(y))और e z (\displaystyle \mathbf (e) _(z)).
तीर चिह्न ( मैं → (\displaystyle (\vec (i))), j → (\displaystyle (\vec (j)))और k → (\displaystyle (\vec (k)))या ई → एक्स (\displaystyle (\vec(e))_(x)), ई → वाई (\displaystyle (\vec(e))_(y))और ई → जेड (\displaystyle (\vec(e))_(z))) या दूसरों के अनुसार सामान्य तरीके सेइस या उस साहित्य में वैक्टर के पदनाम।
इस मामले में, एक सही समन्वय प्रणाली के मामले में, वेक्टर के वेक्टर उत्पादों के साथ निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:
3 से अधिक आयामों के लिए (या सामान्य मामले के लिए जब आयाम कोई भी हो सकता है) यूनिट वैक्टर के लिए संख्यात्मक सूचकांकों के साथ अंकन का उपयोग करना आम है, अक्सर यह
ई 1 , ई 2 , ई 3 , … एन , (\displaystyle \mathbf (ई) _(1),\mathbf (ई) _(2),\mathbf (ई) _(3),\dots \mathbf ( ई) _(एन),)कहाँ पे एन- अंतरिक्ष का आयाम।
किसी भी आयाम का एक वेक्टर आधार के अनुसार विघटित होता है (निर्देशांक विस्तार गुणांक के रूप में कार्य करते हैं):
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + anen (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( ई) _(2)+a_(3)\mathbf (ई) _(3)+\dots +a_(n)\mathbf (ई) _(एन)) a = ∑ i = 1 n a i e i , (\displaystyle \mathbf (a) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)\mathbf (e) _(i),)हालाँकि, पियरे फ़र्मेट उनकी मृत्यु के बाद पहली बार प्रकाशित हुए थे। डेसकार्टेस और फ़र्मेट ने केवल समतल पर समन्वय विधि का उपयोग किया।त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए समन्वय विधि पहली बार 18 वीं शताब्दी में पहले से ही लियोनहार्ड-यूलर द्वारा लागू की गई थी। orts का उपयोग जाहिरा तौर पर वापस जाता है
एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली सेट करने के लिए, आपको कई परस्पर लंबवत रेखाओं का चयन करना होगा, जिन्हें अक्ष कहा जाता है। O अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु कहलाता है।
प्रत्येक अक्ष पर, आपको एक सकारात्मक दिशा निर्धारित करने और एक स्केल इकाई का चयन करने की आवश्यकता होती है। बिंदु P के निर्देशांकों को धनात्मक या ऋणात्मक माना जाता है, जिसके आधार पर बिंदु P का प्रक्षेपण किस अर्ध-अक्ष पर पड़ता है।
चावल। 2 बिंदु P . के कार्तीय आयताकार निर्देशांक सतह पर दोपरस्पर लंबवत रेखाएं - समन्वय अक्ष या, जो समान है, त्रिज्या वेक्टर के अनुमान आरपी अंक दो
द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली के बारे में बात करते समय, क्षैतिज अक्ष को अक्ष कहा जाता है सूच्याकार आकृति का भुज(बैल अक्ष), ऊर्ध्वाधर अक्ष - अक्ष तालमेल(अक्ष ओए)। सकारात्मक दिशाओं को ऑक्स अक्ष पर चुना जाता है - दाईं ओर, ओए अक्ष पर - ऊपर। x और y निर्देशांक क्रमशः बिंदु के भुज और कोटि कहलाते हैं।
संकेतन P(a,b) का अर्थ है कि समतल पर बिंदु P में भुज a और कोटि b है।
कार्तीय आयताकार निर्देशांकअंक पी 3डी स्पेस मेंइस बिंदु की दूरी (स्केल इकाइयों में व्यक्त) के एक निश्चित संकेत के साथ लिया जाता है तीनपरस्पर लंबवत समन्वय विमान या, जो समान है, त्रिज्या वेक्टर के अनुमान आरपी अंक तीनपरस्पर लंबवत समन्वय अक्ष।
निर्देशांक अक्षों की धनात्मक दिशाओं की सापेक्ष स्थिति के आधार पर, बाएंऔर सहीसिस्टम संयोजित करें।
चावल। 3 ए चावल। 3 बी एक नियम के रूप में, सही समन्वय प्रणाली का उपयोग करें। सकारात्मक दिशाओं को चुना जाता है: ऑक्स अक्ष पर - पर्यवेक्षक की ओर; ओए अक्ष पर - दाईं ओर; ओज अक्ष पर - ऊपर। x, y, z निर्देशांक क्रमशः भुज, कोटि और अनुप्रयुक्त कहलाते हैं।
निर्देशांक सतहें जिनके लिए निर्देशांक में से एक स्थिर रहता है, समन्वय विमानों के समानांतर विमान होते हैं, और समन्वय रेखाएं जिनके साथ केवल एक समन्वय परिवर्तन होता है, समन्वय अक्षों के समानांतर सीधी रेखाएं होती हैं। निर्देशांक सतहें समन्वय रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करती हैं।
P(a,b,c) लिखने का अर्थ है कि बिंदु Q में भुज a, कोटि b और अनुप्रयुक्त c है।
यदि आप किसी शून्य बिंदु पर हैं और आप सोच रहे हैं कि आपको कितनी दूरी की इकाइयों को सीधे आगे जाने की आवश्यकता है और फिर सीधे किसी अन्य बिंदु पर जाने के लिए, तो आप पहले से ही समतल पर एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं। और यदि बिंदु उस तल से ऊपर है जिस पर आप खड़े हैं, और आपकी गणना को सीढ़ियों के साथ बिंदु पर चढ़ाई में जोड़ा जाता है, साथ ही दूरी की एक निश्चित संख्या से भी, तो आप पहले से ही एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं अंतरिक्ष में।
एक समान मूल (मूल) और लंबाई की एक सामान्य इकाई के साथ एक दूसरे के लंबवत दो या तीन प्रतिच्छेदन अक्षों की एक क्रमबद्ध प्रणाली कहलाती है आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली .
फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (1596-1662) का नाम मुख्य रूप से एक ऐसी समन्वय प्रणाली से जुड़ा है जिसमें लंबाई की एक सामान्य इकाई सभी अक्षों पर मापी जाती है और कुल्हाड़ियां सीधी होती हैं। आयताकार के अलावा, है सामान्य कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (एफ़िन समन्वय प्रणाली) इसमें जरूरी नहीं कि लंबवत कुल्हाड़ियों को भी शामिल किया जा सकता है। यदि अक्ष लंबवत हैं, तो समन्वय प्रणाली आयताकार है।
समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली दो अक्ष हैं अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली - तीन कुल्हाड़ियों। एक विमान या अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु निर्देशांक के एक आदेशित सेट द्वारा निर्धारित किया जाता है - समन्वय प्रणाली की इकाई लंबाई के अनुसार संख्याएं।
ध्यान दें, जैसा कि परिभाषा से निम्नानुसार है, एक सीधी रेखा पर एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है, जो कि एक आयाम में है। एक सीधी रेखा पर कार्तीय निर्देशांक की शुरूआत उन तरीकों में से एक है जिसमें एक सीधी रेखा पर किसी भी बिंदु को एक अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक संख्या, यानी एक निर्देशांक निर्दिष्ट किया जाता है।
निर्देशांक की विधि, जो रेने डेसकार्टेस के कार्यों में उत्पन्न हुई, ने सभी गणित के क्रांतिकारी पुनर्गठन को चिह्नित किया। व्याख्या करने का अवसर बीजीय समीकरण(या असमानताएं) ज्यामितीय छवियों (ग्राफ) के रूप में और, इसके विपरीत, विश्लेषणात्मक सूत्रों, समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं के समाधान की तलाश करें। हाँ, असमानता जेड < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyऔर इस विमान के ऊपर 3 इकाइयों द्वारा स्थित है।
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली की सहायता से, किसी बिंदु का दिए गए वक्र से संबंध इस तथ्य से मेल खाता है कि संख्याएं एक्सऔर आपकुछ समीकरण संतुष्ट करें। तो, किसी दिए गए बिंदु पर केंद्रित वृत्त के एक बिंदु के निर्देशांक ( ए; बी) समीकरण को संतुष्ट करें (एक्स - ए)² + ( आप - बी)² = आर² .
समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली
एक समान मूल और समान पैमाने की इकाई के साथ एक समतल पर दो लंबवत कुल्हाड़ियाँ विमान पर कार्तीय समन्वय प्रणाली . इन अक्षों में से एक को अक्ष कहा जाता है ऑक्स, या X- अक्ष , अन्य - अक्ष ओए, या शाफ़्ट . इन अक्षों को निर्देशांक अक्ष भी कहा जाता है। द्वारा निरूपित करें एमएक्सऔर एमआपक्रमशः एक मनमाना बिंदु का प्रक्षेपण एमधुरी पर ऑक्सऔर ओए. अनुमान कैसे प्राप्त करें? बिंदु से गुजरें एम ऑक्स. यह रेखा अक्ष को काटती है ऑक्सबिंदु पर एमएक्स. बिंदु से गुजरें एमअक्ष के लंबवत सीधी रेखा ओए. यह रेखा अक्ष को काटती है ओएबिंदु पर एमआप. यह नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
एक्सऔर आपअंक एमहम क्रमशः निर्देशित खंडों के परिमाण को बुलाएंगे ओएमएक्सऔर ओएमआप. इन दिशात्मक खंडों के मूल्यों की गणना क्रमशः की जाती है एक्स = एक्स0 - 0 और आप = आप0 - 0 . कार्तीय निर्देशांक एक्सऔर आपअंक एम सूच्याकार आकृति का भुज और तालमेल . तथ्य यह है कि डॉट एमनिर्देशांक हैं एक्सऔर आप, निम्नानुसार दर्शाया गया है: एम(एक्स, आप) .
निर्देशांक अक्ष विमान को चार . में विभाजित करते हैं वृत्त का चतुर्थ भाग , जिसका क्रमांक नीचे चित्र में दिखाया गया है। यह एक या दूसरे चतुर्थांश में उनके स्थान के आधार पर, बिंदुओं के निर्देशांक के लिए संकेतों की व्यवस्था को भी इंगित करता है।
समतल में कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक के अलावा, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली को भी अक्सर माना जाता है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में संक्रमण की विधि के बारे में - पाठ में ध्रुवीय समन्वय प्रणाली .
अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली
अंतरिक्ष में कार्टेशियन निर्देशांक एक विमान पर कार्टेशियन निर्देशांक के साथ पूर्ण सादृश्य में पेश किए जाते हैं।
एक सामान्य मूल के साथ अंतरिक्ष में तीन परस्पर लंबवत कुल्हाड़ियों (निर्देशांक कुल्हाड़ियों) हेऔर एक ही पैमाने की इकाई रूप अंतरिक्ष में कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली .
इन अक्षों में से एक को अक्ष कहा जाता है ऑक्स, या X- अक्ष , अन्य - अक्ष ओए, या शाफ़्ट , तीसरा - अक्ष आउंस, या अनुप्रयुक्त अक्ष . रहने दो एमएक्स, एमआप एमजेड- एक मनमाना बिंदु के अनुमान एमअक्ष पर रिक्त स्थान ऑक्स , ओएऔर आउंसक्रमश।
बिंदु से गुजरें एम ऑक्सऑक्सबिंदु पर एमएक्स. बिंदु से गुजरें एमअक्ष के लंबवत समतल ओए. यह तल अक्ष को काटता है ओएबिंदु पर एमआप. बिंदु से गुजरें एमअक्ष के लंबवत समतल आउंस. यह तल अक्ष को काटता है आउंसबिंदु पर एमजेड.
कार्तीय आयताकार निर्देशांक एक्स , आपऔर जेडअंक एमहम क्रमशः निर्देशित खंडों के परिमाण को बुलाएंगे ओएमएक्स, ओएमआपऔर ओएमजेड. इन दिशात्मक खंडों के मूल्यों की गणना क्रमशः की जाती है एक्स = एक्स0 - 0 , आप = आप0 - 0 और जेड = जेड0 - 0 .
कार्तीय निर्देशांक एक्स , आपऔर जेडअंक एमतदनुसार नामित हैं सूच्याकार आकृति का भुज , तालमेल और पिपली .
जोड़े में लिया गया, समन्वय अक्ष समन्वय विमानों में स्थित हैं xOy , योज़और zOx .
कार्तीय समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बारे में समस्याएं
उदाहरण 1
ए(2; -3) ;
बी(3; -1) ;
सी(-5; 1) .
x-अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपणों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
समाधान। इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, x-अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण x-अक्ष पर ही स्थित है, अर्थात अक्ष ऑक्स, और इसलिए बिंदु के भुज के बराबर एक भुज है, और एक निर्देशांक (अक्ष पर निर्देशांक) ओए, जिसे x-अक्ष बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करता है), शून्य के बराबर। तो हमें x-अक्ष पर इन बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त होते हैं:
एएक्स(2;0);
बीएक्स(3;0);
सीएक्स(-5;0).
उदाहरण 2विमान पर कार्तीय समन्वय प्रणाली में अंक दिए गए हैं
ए(-3; 2) ;
बी(-5; 1) ;
सी(3; -2) .
y-अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपणों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
समाधान। इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, y-अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण y-अक्ष पर ही स्थित है, अर्थात अक्ष ओए, और इसलिए बिंदु के कोटि के बराबर एक कोटि है, और एक एब्सिस्सा (अक्ष पर निर्देशांक) ऑक्स, जिसे y-अक्ष बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करता है), शून्य के बराबर। तो हमें y-अक्ष पर इन बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त होते हैं:
एवाई(0; 2);
बीवाई (0; 1);
सीवाई(0;-2).
उदाहरण 3विमान पर कार्तीय समन्वय प्रणाली में अंक दिए गए हैं
ए(2; 3) ;
बी(-3; 2) ;
सी(-1; -1) .
ऑक्स .
ऑक्स ऑक्स ऑक्स, दिए गए बिंदु के समान भुज होगा, और कोटि दिए गए बिंदु की कोटि के निरपेक्ष मान के बराबर होगी, और इसके विपरीत चिह्न होगा। तो हम अक्ष के बारे में इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं ऑक्स :
ए"(2; -3) ;
बी"(-3; -2) ;
सी"(-1; 1) .
उदाहरण 4निर्धारित करें कि किस क्वाड्रंट्स (क्वार्टर, क्वाड्रंट्स के साथ फिगर - पैराग्राफ के अंत में "आयताकार कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम ऑन प्लेन") बिंदु स्थित हो सकता है एम(एक्स; आप) , अगर
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) एक्स − आप = 0 ;
4) एक्स + आप = 0 ;
5) एक्स + आप > 0 ;
6) एक्स + आप < 0 ;
7) एक्स − आप > 0 ;
8) एक्स − आप < 0 .
उदाहरण 5विमान पर कार्तीय समन्वय प्रणाली में अंक दिए गए हैं
ए(-2; 5) ;
बी(3; -5) ;
सी(ए; बी) .
अक्ष के बारे में इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक खोजें ओए .
हम एक साथ समस्याओं को हल करना जारी रखते हैं
उदाहरण 6विमान पर कार्तीय समन्वय प्रणाली में अंक दिए गए हैं
ए(-1; 2) ;
बी(3; -1) ;
सी(-2; -2) .
अक्ष के बारे में इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक खोजें ओए .
समाधान। अक्ष के चारों ओर 180 डिग्री घुमाएँ ओएएक अक्ष से निर्देशित रेखा खंड ओएयहां तक। चित्र में, जहाँ समतल के चतुर्थांश दर्शाए गए हैं, हम देखते हैं कि अक्ष के संबंध में बिंदु सममित है ओए, दिए गए बिंदु के समान कोटि होगी, और दिए गए बिंदु के भुज के निरपेक्ष मान के बराबर एक भुज, और इसके विपरीत चिह्न होगा। तो हम अक्ष के बारे में इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं ओए :
ए"(1; 2) ;
बी"(-3; -1) ;
सी"(2; -2) .
उदाहरण 7विमान पर कार्तीय समन्वय प्रणाली में अंक दिए गए हैं
ए(3; 3) ;
बी(2; -4) ;
सी(-2; 1) .
उन बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु के सन्दर्भ में इन बिन्दुओं के सममित हैं।
समाधान। हम मूल से दिए गए बिंदु तक जाने वाले निर्देशित खंड के मूल के चारों ओर 180 डिग्री घुमाते हैं। चित्र में, जहां समतल के चतुर्थांश दर्शाए गए हैं, हम देखते हैं कि निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में किसी दिए गए बिंदु के सममित बिंदु में एक भुज और दिए गए बिंदु के एब्सिस्सा और कोर्डिनेट के निरपेक्ष मान के बराबर एक कोटि होगी। , लेकिन उनके संकेत के विपरीत। तो हम मूल के संबंध में इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:
ए"(-3; -3) ;
बी"(-2; 4) ;
सी(2; -1) .
उदाहरण 8
ए(4; 3; 5) ;
बी(-3; 2; 1) ;
सी(2; -3; 0) .
इन बिंदुओं के अनुमानों के निर्देशांक खोजें:
1) हवाई जहाज़ पर ऑक्सी ;
2) विमान के लिए ऑक्सज़ू ;
3) विमान के लिए ओयज़ू ;
4) भुज अक्ष पर;
5) y-अक्ष पर;
6) पिपली अक्ष पर।
1) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ऑक्सीइस विमान पर ही स्थित है, और इसलिए एक एब्सिस्सा है और दिए गए बिंदु के एब्सिस्सा और कोर्डिनेट के बराबर है, और एक एप्लीकेट शून्य के बराबर है। तो हमें इन बिंदुओं के अनुमानों के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सी :
एxy(4;3;0);
बीxy (-3; 2; 0);
सीxy(2;-3;0).
2) एक समतल पर एक बिंदु का प्रक्षेपण ऑक्सज़ूइस विमान पर ही स्थित है, और इसलिए एक एब्सिस्सा है और दिए गए बिंदु के एब्सिस्सा और एप्लीकेट के बराबर है, और एक कोटि शून्य के बराबर है। तो हमें इन बिंदुओं के अनुमानों के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सज़ू :
एxz (4; 0; 5);
बीxz (-3; 0; 1);
सीxz(2;0;0).
3) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ओयज़ूइस तल पर ही स्थित है, और इसलिए किसी दिए गए बिंदु के कोर्डिनेट और एप्लीकेट के बराबर एक कोर्डिनेट और एक एप्लीकेट है, और एक एब्सिस्सा शून्य के बराबर है। तो हमें इन बिंदुओं के अनुमानों के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओयज़ू :
एyz (0; 3; 5);
बीyz (0; 2; 1);
सीyz(0;-3;0).
4) इस पाठ के सैद्धांतिक भाग से निम्नानुसार है, एक्स-अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण एक्स-अक्ष पर ही स्थित है, अर्थात अक्ष ऑक्स, और इसलिए बिंदु के भुज के बराबर एक भुज होता है, और प्रक्षेपण का कोटि और अनुप्रस्थ शून्य के बराबर होता है (चूंकि निर्देशांक और अनुप्रयुक्त कुल्हाड़ियां भुज को बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं)। हमें x-अक्ष पर इन बिंदुओं के अनुमानों के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त होते हैं:
एएक्स(4;0;0);
बीएक्स(-3;0;0);
सीएक्स(2;0;0).
5) y-अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण y-अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष ओए, और इसलिए स्वयं बिंदु के कोटि के बराबर एक कोटि है, और एब्सिस्सा और प्रोजेक्शन का एप्लिकेट शून्य के बराबर है (चूंकि एब्सिस्सा और एप्लिकेट अक्ष, कोटि अक्ष को बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं)। हमें y-अक्ष पर इन बिंदुओं के अनुमानों के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त होते हैं:
एवाई(0;3;0);
बीवाई(0;2;0);
सीवाई(0;-3;0).
6) अनुप्रयुक्त अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण अनुप्रयुक्त अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष आउंस, और इसलिए बिंदु के अनुप्रयुक्त के बराबर एक अनुप्रयोग है, और प्रक्षेपण के भुज और निर्देशांक शून्य के बराबर हैं (चूंकि भुज और निर्देशांक अक्ष अनुप्रयुक्त अक्ष को बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं)। हम अनुप्रयुक्त अक्ष पर इन बिंदुओं के अनुमानों के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:
एजेड(0; 0; 5);
बीजेड(0;0;1);
सीजेड (0; 0; 0).
उदाहरण 9अंतरिक्ष में कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में अंक दिए गए हैं
ए(2; 3; 1) ;
बी(5; -3; 2) ;
सी(-3; 2; -1) .
उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो इन बिंदुओं के संबंध में सममित हैं:
1) प्लेन ऑक्सी ;
2) विमान ऑक्सज़ू ;
3) विमान ओयज़ू ;
4) एब्सिस्सा अक्ष;
5) वाई-अक्ष;
6) पिपली अक्ष;
7) निर्देशांक की उत्पत्ति।
1) अक्ष के दूसरी ओर स्थित बिंदु को "अग्रिम" करें ऑक्सी ऑक्सी, में एक एब्सिस्सा और एक कोर्डिनेट होगा जो दिए गए बिंदु के एब्सिस्सा और कोर्डिनेट के बराबर होगा, और एक एप्लीकेट दिए गए पॉइंट के एप्लीकेट के परिमाण के बराबर होगा, लेकिन इसके विपरीत साइन इन होगा। तो, हमें विमान के संबंध में डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सी :
ए"(2; 3; -1) ;
बी"(5; -3; -2) ;
सी"(-3; 2; 1) .
2) धुरी के दूसरी तरफ बिंदु "अग्रिम" ऑक्सज़ूउसी दूरी के लिए। निर्देशांक स्थान को प्रदर्शित करने वाली आकृति के अनुसार, हम देखते हैं कि अक्ष के संबंध में बिंदु सममित है ऑक्सज़ू, में एब्सिस्सा होगा और दिए गए बिंदु के एब्सिस्सा और एप्लीकेट के बराबर होगा, और दिए गए बिंदु के कोटि के परिमाण के बराबर एक कोर्डिनेट होगा, लेकिन इसके विपरीत साइन इन होगा। तो, हमें विमान के संबंध में डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सज़ू :
ए"(2; -3; 1) ;
बी"(5; 3; 2) ;
सी"(-3; -2; -1) .
3) अक्ष के दूसरी ओर स्थित बिंदु को "अग्रिम" करें ओयज़ूउसी दूरी के लिए। निर्देशांक स्थान को प्रदर्शित करने वाली आकृति के अनुसार, हम देखते हैं कि अक्ष के संबंध में बिंदु सममित है ओयज़ू, में दिए गए बिंदु के कोर्डिनेट और एप्लीकेट के बराबर एक कोर्डिनेट और एक एप्लीकेट होगा, और दिए गए बिंदु के एब्सिस्सा के परिमाण के बराबर एक एब्सिसा होगा, लेकिन इसके विपरीत साइन इन होगा। तो, हमें विमान के संबंध में डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओयज़ू :
ए"(-2; 3; 1) ;
बी"(-5; -3; 2) ;
सी"(3; 2; -1) .
समतल पर सममित बिंदुओं के अनुरूप और विमानों के संबंध में डेटा के सममित अंतरिक्ष में बिंदुओं के साथ, हम ध्यान दें कि अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुछ अक्ष के बारे में समरूपता के मामले में, उस अक्ष पर समन्वय जिसके बारे में समरूपता सेट है अपना चिह्न बनाए रखेगा, और अन्य दो अक्षों पर निर्देशांक दिए गए बिंदु के निर्देशांक के समान निरपेक्ष मान में होंगे, लेकिन संकेत में विपरीत होंगे।
4) भुज अपना चिन्ह बनाए रखेगा, जबकि कोर्डिनेट और अनुप्रयुक्त संकेत बदलेंगे। तो, हम x-अक्ष के बारे में डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:
ए"(2; -3; -1) ;
बी"(5; 3; -2) ;
सी"(-3; -2; 1) .
5) कोर्डिनेट अपना चिन्ह बनाए रखेगा, जबकि भुज और अनुप्रयुक्त संकेत बदलेंगे। तो, हम y-अक्ष के बारे में डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:
ए"(-2; 3; -1) ;
बी"(-5; -3; -2) ;
सी"(3; 2; 1) .
6) एप्लीकेट अपने चिन्ह को बनाए रखेगा, और एब्सिस्सा और कोर्डिनेट संकेतों को बदल देगा। इसलिए, हम एप्लिकेट अक्ष के बारे में डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:
ए"(-2; -3; 1) ;
बी"(-5; 3; 2) ;
सी"(3; -2; -1) .
7) समतल पर बिंदुओं के मामले में समरूपता के अनुरूप, निर्देशांक की उत्पत्ति के बारे में समरूपता के मामले में, किसी दिए गए बिंदु के सममित बिंदु के सभी निर्देशांक किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होंगे, लेकिन उनके संकेत के विपरीत। इसलिए, हमें बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त होते हैं जो मूल के संबंध में डेटा के सममित होते हैं।