रैखिक समीकरणों की कम प्रणाली। मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि - सूत्र व्युत्पत्ति।

चलो मैट्रिक्स के लिए लेकिनगण एनपर एनएक उलटा मैट्रिक्स है। मैट्रिक्स समीकरण के दोनों पक्षों को बाईं ओर से गुणा करें (मैट्रिक्स ऑर्डर ए⋅एक्सऔर मेंइस तरह के ऑपरेशन को करने की अनुमति दें, मैट्रिसेस पर आलेख संचालन देखें, संचालन के गुण)। हमारे पास है . चूँकि उपयुक्त कोटि के गुणन आव्यूहों की संक्रिया को साहचर्य गुण की विशेषता होती है, अंतिम समानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है , और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा के अनुसार ( इआदेश की पहचान मैट्रिक्स है एनपर एन), इसीलिए

इस प्रकार से, मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है. दूसरे शब्दों में, SLAE समाधान व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके पाया जाता है।

हम जानते हैं कि एक वर्ग मैट्रिक्स लेकिनगण एनपर एनइसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल तभी होता है जब इसका सारणिक गैर-शून्य हो। इसलिए, सिस्टम एनरैखिक बीजगणितीय समीकरण के साथ एनअज्ञात को मैट्रिक्स विधि द्वारा तभी हल किया जा सकता है जब सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य न हो।

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मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण सहित मैट्रिक्स विधि पर विचार करें। कुछ उदाहरणों में, हम मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे, यदि आवश्यक हो, तो मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने वाले लेख को देखें।

उदाहरण।

सिस्टम का समाधान खोजने के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करें रेखीय समीकरण .

समाधान।

मैट्रिक्स रूप में, मूल प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है, जहां . आइए मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें और सुनिश्चित करें कि यह शून्य से अलग है। अन्यथा, हम मैट्रिक्स विधि द्वारा सिस्टम को हल करने में सक्षम नहीं होंगे। हमारे पास है , इसलिए, मैट्रिक्स के लिए लेकिनउलटा मैट्रिक्स पाया जा सकता है। इस प्रकार, यदि हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं, तो SLAE का वांछित समाधान के रूप में परिभाषित किया जाएगा। तो, कार्य को व्युत्क्रम मैट्रिक्स के निर्माण के लिए कम कर दिया गया था। चलो उसे ढूंढते हैं।

हम जानते हैं कि मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स के रूप में पाया जा सकता है , जहां तत्वों के बीजीय पूरक हैं।

हमारे मामले में

फिर

आइए प्राप्त समाधान की जांच करें , इसे समीकरणों की मूल प्रणाली के मैट्रिक्स रूप में प्रतिस्थापित करना। यह समानता एक पहचान में बदलनी चाहिए, नहीं तो कहीं गलती हो गई।

इसलिए समाधान सही है।

उत्तर:

या किसी अन्य प्रविष्टि में .

उदाहरण।

मैट्रिक्स विधि द्वारा SLAE को हल करें।

समाधान।

सिस्टम के पहले समीकरण में अज्ञात चर शामिल नहीं है x2, द्वितीय - एक्स 1, तीसरा - एक्स 3. यानी इन अज्ञात चरों के सामने गुणांक शून्य के बराबर होते हैं। हम समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखते हैं: . इस फॉर्म से SLAE नोटेशन के मैट्रिक्स फॉर्म पर स्विच करना आसान है . आइए हम सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके समीकरणों की इस प्रणाली को हल किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, हम दिखाएंगे कि:

आइए बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करके एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्माण करें:

फिर,

SLAE का समाधान खोजना बाकी है:

उत्तर:

.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के सामान्य रूप से इसके मैट्रिक्स रूप में गुजरते समय, किसी को सिस्टम के समीकरणों में अज्ञात चर के क्रम से सावधान रहना चाहिए। उदाहरण के लिए, SLAU के रूप में नहीं लिखा जा सकता है . आपको पहले सिस्टम के सभी समीकरणों में सभी अज्ञात चरों को क्रमबद्ध करना होगा, और फिर मैट्रिक्स नोटेशन के लिए आगे बढ़ना होगा:

या

इसके अलावा, अज्ञात चर के अंकन से सावधान रहें, के बजाय एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एनकोई अन्य अक्षर हो सकता है। उदाहरण के लिए, SLAU मैट्रिक्स रूप में लिखा जाता है .

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण।

उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करना।

समाधान।

सिस्टम के समीकरणों में अज्ञात चर का आदेश देने के बाद, हम इसे मैट्रिक्स के रूप में लिखते हैं
. मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें:

यह गैर-शून्य है, इसलिए समीकरणों की प्रणाली का हल व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके पाया जा सकता है: . सूत्र द्वारा प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात कीजिए :

हमें वांछित समाधान मिलता है:

उत्तर:

एक्स = 0, वाई = -2, जेड = 3.

उदाहरण।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजें मैट्रिक्स विधि।

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है

इसलिए, हम मैट्रिक्स विधि लागू नहीं कर सकते।

ऐसी प्रणालियों का हल ढूँढ़ना रेखीय बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने पर अनुभाग में वर्णित है।

उदाहरण।

SLAE हल करें मैट्रिक्स विधि, कुछ वास्तविक संख्या है।

समाधान।

मैट्रिक्स रूप में समीकरणों की प्रणाली का रूप है . आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें और सुनिश्चित करें कि यह शून्य से अलग है:

स्क्वायर ट्रिनोमियलकिसी भी वास्तविक मूल्यों के लिए गायब नहीं होता है, क्योंकि इसका विवेचक नकारात्मक है, इसलिए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक किसी भी वास्तविक के लिए शून्य के बराबर नहीं है। मैट्रिक्स विधि से, हमारे पास है . आइए सूत्र द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्माण करें :

फिर

उत्तर:

।वापस शीर्ष पर

संक्षेप।

मैट्रिक्स विधि SLAE को हल करने के लिए उपयुक्त है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है। यदि सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण हैं, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है, इसलिए, इस मामले में, गॉस विधि को हल करने के लिए उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

स्कूल में भी, हम में से प्रत्येक ने समीकरणों का और निश्चित रूप से, समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन किया। लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि इसे हल करने के कई तरीके हैं। आज हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के सभी तरीकों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, जिसमें दो से अधिक समानताएं शामिल हैं।

इतिहास

आज यह ज्ञात है कि समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने की कला की उत्पत्ति प्राचीन बेबीलोन और मिस्र में हुई थी। हालांकि, समानताएं अपने सामान्य रूप में समान चिह्न "=" की उपस्थिति के बाद दिखाई दीं, जिसे 1556 में अंग्रेजी गणितज्ञ रिकॉर्ड द्वारा पेश किया गया था। वैसे, इस चिन्ह को एक कारण के लिए चुना गया था: इसका अर्थ है दो समानांतर समान खंड। और सच है सबसे अच्छा उदाहरणसमानता की कल्पना नहीं की जा सकती।

अज्ञात के आधुनिक अक्षर पदनामों और डिग्री के संकेतों के संस्थापक एक फ्रांसीसी गणितज्ञ हैं। हालांकि, उनके पदनाम आज से काफी भिन्न थे। उदाहरण के लिए, उन्होंने एक अज्ञात संख्या के वर्ग को अक्षर Q (lat. "quadratus"), और घन को अक्षर C (lat. "क्यूबस") के साथ निरूपित किया। ये संकेतन अब अजीब लगते हैं, लेकिन तब यह रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के सिस्टम को लिखने का सबसे समझने योग्य तरीका था।

हालांकि, समाधान के तत्कालीन तरीकों में एक कमी यह थी कि गणितज्ञ केवल सकारात्मक जड़ों को ही मानते थे। शायद यह इस तथ्य के कारण है कि नकारात्मक मानकोई नहीं था व्यावहारिक आवेदन. एक तरह से या किसी अन्य, यह इतालवी गणितज्ञ निकोलो टार्टाग्लिया, गेरोलामो कार्डानो और राफेल बॉम्बेली थे जो 16 वीं शताब्दी में नकारात्मक जड़ों पर विचार करने वाले पहले व्यक्ति थे। लेकिन आधुनिक रूप, मुख्य समाधान विधि (विभेदक के माध्यम से) केवल 17 वीं शताब्दी में डेसकार्टेस और न्यूटन के काम के लिए बनाई गई थी।

18वीं शताब्दी के मध्य में, स्विस गणितज्ञ गेब्रियल क्रैमर ने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को आसान बनाने के लिए एक नया तरीका खोजा। इस पद्धति को बाद में उनके नाम पर रखा गया था और आज तक हम इसका इस्तेमाल करते हैं। लेकिन हम क्रैमर की विधि के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे, लेकिन अभी के लिए हम रैखिक समीकरणों और उन्हें सिस्टम से अलग हल करने के तरीकों पर चर्चा करेंगे।

रेखीय समीकरण

रैखिक समीकरण चर (ओं) के साथ सबसे सरल समानताएं हैं। उन्हें बीजगणितीय के रूप में वर्गीकृत किया गया है। सामान्य रूप में इस प्रकार लिखें: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... और n * x n \u003d b। सिस्टम और मैट्रिसेस को आगे संकलित करते समय हमें इस रूप में उनके प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होगी।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली

इस शब्द की परिभाषा इस प्रकार है: यह समीकरणों का एक समूह है जिसमें सामान्य अज्ञात और एक सामान्य समाधान होता है। एक नियम के रूप में, स्कूल में, सब कुछ दो या तीन समीकरणों के साथ सिस्टम द्वारा हल किया गया था। लेकिन चार या अधिक घटकों वाले सिस्टम हैं। आइए पहले समझें कि उन्हें कैसे लिखना है ताकि बाद में उन्हें हल करना सुविधाजनक हो। सबसे पहले, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के सिस्टम बेहतर दिखेंगे यदि सभी चर को उपयुक्त सूचकांक के साथ x के रूप में लिखा जाए: 1,2,3, और इसी तरह। दूसरे, सभी समीकरणों को विहित रूप में लाया जाना चाहिए: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b।

इन सभी क्रियाओं के बाद, हम इस बारे में बात करना शुरू कर सकते हैं कि रैखिक समीकरणों के सिस्टम का हल कैसे खोजा जाए। इसके लिए मैट्रिसेस बहुत उपयोगी होते हैं।

मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स एक तालिका है जिसमें पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं, और उनके चौराहे पर इसके तत्व होते हैं। ये या तो विशिष्ट मान या चर हो सकते हैं। अक्सर, तत्वों को नामित करने के लिए, सबस्क्रिप्ट उनके नीचे रखे जाते हैं (उदाहरण के लिए, 11 या 23)। पहली अनुक्रमणिका का अर्थ है पंक्ति संख्या और दूसरी एक स्तंभ संख्या। मैट्रिक्स पर, साथ ही किसी अन्य गणितीय तत्व पर, आप विभिन्न ऑपरेशन कर सकते हैं। इस प्रकार, आप कर सकते हैं:

2) मैट्रिक्स को किसी संख्या या वेक्टर से गुणा करें।

3) स्थानान्तरित करें: मैट्रिक्स पंक्तियों को स्तंभों में और स्तंभों को पंक्तियों में बदलें।

4) आव्यूहों को गुणा करें यदि उनमें से एक की पंक्तियों की संख्या दूसरे के स्तंभों की संख्या के बराबर है।

हम इन सभी तकनीकों पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे, क्योंकि ये भविष्य में हमारे लिए उपयोगी होंगी। मैट्रिक्स को घटाना और जोड़ना बहुत आसान है। चूँकि हम एक ही आकार के आव्यूह लेते हैं, एक तालिका का प्रत्येक अवयव दूसरे के प्रत्येक अवयव से मेल खाता है। इस प्रकार, हम इन दो तत्वों को जोड़ते हैं (घटाना) (यह महत्वपूर्ण है कि वे अपने मैट्रिक्स में एक ही स्थान पर हों)। किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या या वेक्टर से गुणा करते समय, आपको बस मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उस संख्या (या वेक्टर) से गुणा करना होगा। स्थानांतरण एक बहुत ही रोचक प्रक्रिया है। कभी-कभी उसे देखना बहुत दिलचस्प होता है वास्तविक जीवन, उदाहरण के लिए, जब आप अपने टेबलेट या फ़ोन का ओरिएंटेशन बदलते हैं। डेस्कटॉप पर आइकन एक मैट्रिक्स होते हैं, और जब आप स्थिति बदलते हैं, तो यह स्थानांतरित हो जाता है और चौड़ा हो जाता है, लेकिन ऊंचाई में घट जाती है।

आइए ऐसी प्रक्रिया का विश्लेषण करें जैसे कि यह हमारे लिए उपयोगी नहीं होगी, फिर भी इसे जानना उपयोगी होगा। आप दो आव्यूहों को तभी गुणा कर सकते हैं जब एक तालिका में स्तंभों की संख्या दूसरी तालिका में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। अब एक आव्यूह की एक पंक्ति के अवयव और दूसरे के संगत स्तंभ के अवयव लेते हैं। हम उन्हें एक दूसरे से गुणा करते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं (अर्थात, उदाहरण के लिए, तत्वों a 11 और a 12 का b 12 और b 22 का गुणनफल बराबर होगा: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . इस प्रकार, तालिका का एक तत्व प्राप्त होता है, और इसे आगे इसी तरह की विधि से भर दिया जाता है।

अब हम विचार करना शुरू कर सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल किया जाता है।

गॉस विधि

यह विषय स्कूल से शुरू होता है। हम "दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली" की अवधारणा को अच्छी तरह से जानते हैं और उन्हें हल करना जानते हैं। लेकिन क्या होगा यदि समीकरणों की संख्या दो से अधिक हो? यह हमारी मदद करेगा

बेशक, इस पद्धति का उपयोग करना सुविधाजनक है यदि आप सिस्टम से एक मैट्रिक्स बनाते हैं। लेकिन आप इसे रूपांतरित नहीं कर सकते और इसे इसके शुद्ध रूप में हल नहीं कर सकते।

तो, इस विधि द्वारा रैखिक गाऊसी समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल किया जाता है? वैसे, हालांकि इस पद्धति का नाम उनके नाम पर रखा गया है, यह प्राचीन काल में खोजा गया था। गॉस निम्नलिखित का प्रस्ताव करता है: अंत में पूरे सेट को एक चरणबद्ध रूप में कम करने के लिए समीकरणों के साथ संचालन करने के लिए। अर्थात् यह आवश्यक है कि ऊपर से नीचे (यदि सही ढंग से रखा जाए) पहले समीकरण से अंतिम तक, एक अज्ञात घटता है। दूसरे शब्दों में, हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि हमें तीन समीकरण मिलते हैं: पहले में - तीन अज्ञात, दूसरे में - दो, तीसरे में - एक। फिर अंतिम समीकरण से हम पहला अज्ञात पाते हैं, इसके मान को दूसरे या पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, और फिर शेष दो चर ज्ञात करते हैं।

क्रैमर विधि

इस पद्धति में महारत हासिल करने के लिए, जोड़, घटाव के कौशल में महारत हासिल करना महत्वपूर्ण है, और आपको निर्धारकों को खोजने में भी सक्षम होना चाहिए। इसलिए, यदि आप यह सब खराब तरीके से करते हैं या बिल्कुल नहीं जानते हैं, तो आपको सीखना और अभ्यास करना होगा।

इस पद्धति का सार क्या है, और इसे कैसे बनाया जाए ताकि रैखिक क्रैमर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जा सके? सब कुछ बहुत सरल है। हमें रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के संख्यात्मक (लगभग हमेशा) गुणांक से एक मैट्रिक्स का निर्माण करना है। ऐसा करने के लिए, हम केवल अज्ञात के सामने संख्याएँ लेते हैं और उन्हें तालिका में उस क्रम में रखते हैं जिस क्रम में वे सिस्टम में लिखे गए हैं। यदि संख्या से पहले "-" चिन्ह है, तो हम एक ऋणात्मक गुणांक लिखते हैं। इसलिए, हमने अज्ञात के गुणांक से पहला मैट्रिक्स संकलित किया है, समान संकेतों के बाद संख्याओं को शामिल नहीं किया है (स्वाभाविक रूप से, समीकरण को विहित रूप में घटाया जाना चाहिए, जब केवल संख्या दाईं ओर हो, और सभी अज्ञात के साथ बाईं ओर गुणांक)। फिर आपको कई और मैट्रिक्स बनाने की जरूरत है - प्रत्येक चर के लिए एक। ऐसा करने के लिए, पहले मैट्रिक्स में, बदले में, हम प्रत्येक कॉलम को गुणांक के साथ समान चिह्न के बाद संख्याओं के कॉलम से बदलते हैं। इस प्रकार, हम कई मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं और फिर उनके सारणिक पाते हैं।

निर्धारकों को खोजने के बाद, मामला छोटा है। हमारे पास एक प्रारंभिक मैट्रिक्स है, और कई परिणामी मैट्रिक्स हैं जो विभिन्न चर के अनुरूप हैं। प्रणाली के समाधान प्राप्त करने के लिए, हम परिणामी तालिका के सारणिक को प्रारंभिक तालिका के निर्धारक से विभाजित करते हैं। परिणामी संख्या एक चर का मान है। इसी तरह, हम सभी अज्ञात पाते हैं।

अन्य तरीके

रैखिक समीकरणों के निकाय का हल प्राप्त करने के लिए और भी कई विधियाँ हैं। उदाहरण के लिए, तथाकथित गॉस-जॉर्डन पद्धति, जिसका उपयोग सिस्टम के समाधान खोजने के लिए किया जाता है द्विघातीय समीकरणऔर मैट्रिक्स के उपयोग से भी संबंधित है। रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक जैकोबी विधि भी है। यह कंप्यूटर के अनुकूल होना सबसे आसान है और इसका उपयोग कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में किया जाता है।

मुश्किल मामले

जटिलता आमतौर पर तब उत्पन्न होती है जब समीकरणों की संख्या चर की संख्या से कम होती है। तब हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि या तो प्रणाली असंगत है (अर्थात, इसकी कोई जड़ नहीं है), या इसके समाधानों की संख्या अनंत तक जाती है। यदि हमारे पास दूसरा मामला है, तो हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली के सामान्य समाधान को लिखना होगा। इसमें कम से कम एक वेरिएबल होगा।

निष्कर्ष

यहाँ हम अंत में आते हैं। आइए संक्षेप करें: हमने विश्लेषण किया है कि एक प्रणाली और एक मैट्रिक्स क्या हैं, सीखा है कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य समाधान कैसे खोजा जाए। इसके अलावा अन्य विकल्पों पर विचार किया गया। हमने पाया कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कैसे हल की जाती है: गॉस विधि और हमने कठिन मामलों और समाधान खोजने के अन्य तरीकों के बारे में बात की।

वास्तव में, यह विषय बहुत अधिक व्यापक है, और यदि आप इसे बेहतर ढंग से समझना चाहते हैं, तो हम आपको अधिक विशिष्ट साहित्य पढ़ने की सलाह देते हैं।

उदाहरण 1. एक सामान्य समाधान और प्रणाली का कुछ विशेष समाधान खोजें

समाधानएक कैलकुलेटर के साथ करो। हम विस्तारित और मुख्य मैट्रिक्स लिखते हैं:

बिंदीदार रेखा मुख्य मैट्रिक्स ए को अलग करती है। हम सिस्टम के समीकरणों में शर्तों के संभावित क्रमपरिवर्तन को ध्यान में रखते हुए, ऊपर से अज्ञात सिस्टम लिखते हैं। विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक का निर्धारण करते हुए, हम एक साथ मुख्य रैंक का पता लगाते हैं। मैट्रिक्स बी में, पहले और दूसरे कॉलम आनुपातिक हैं। दो आनुपातिक स्तंभों में से केवल एक ही मूल नाबालिग में गिर सकता है, तो चलिए चलते हैं, उदाहरण के लिए, विपरीत चिह्न के साथ धराशायी रेखा से परे पहला स्तंभ। प्रणाली के लिए, इसका अर्थ है समीकरणों के दायीं ओर x 1 से पदों का स्थानांतरण।

हम मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाते हैं। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना और इसे सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे दूसरे समीकरण में जोड़ना, जो समाधान नहीं बदलता है प्रणाली में। पहली पंक्ति के साथ कार्य करना: मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और बारी-बारी से दूसरी और तीसरी पंक्तियों में जोड़ें। फिर हम पहली पंक्ति को (-2) से गुणा करते हैं और चौथी पंक्ति में जोड़ते हैं।

दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से एक, उदाहरण के लिए दूसरी, को पार किया जा सकता है। यह सिस्टम के दूसरे समीकरण को हटाने के बराबर है, क्योंकि यह तीसरे समीकरण का परिणाम है।

अब हम दूसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं: इसे (-1) से गुणा करें और इसे तीसरी में जोड़ें।

धराशायी नाबालिग का उच्चतम क्रम है (सभी संभावित नाबालिगों में से) और गैर-शून्य है (यह मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), और यह नाबालिग मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित दोनों से संबंधित है, इसलिए रंगए = रंगबी = 3।
अवयस्क बुनियादी है। इसमें अज्ञात x 2, x 3, x 4 के गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 2, x 3, x 4 आश्रित हैं, और x 1, x 5 मुक्त हैं।
हम मैट्रिक्स को रूपांतरित करते हैं, बाईं ओर केवल मूल नाबालिग को छोड़कर (जो उपरोक्त समाधान एल्गोरिदम के बिंदु 4 से मेल खाती है)।

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका रूप है

अज्ञात के उन्मूलन की विधि से हम पाते हैं:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
हमें स्वतंत्र x 1 और x 5 के माध्यम से आश्रित चर x 2, x 3, x 4 व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त हुए, अर्थात्, हमें एक सामान्य समाधान मिला:

मुक्त अज्ञातों को मनमाना मान देते हुए, हम कितने भी विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। आइए दो विशेष समाधान खोजें:
1) मान लीजिए x 1 = x 5 = 0, फिर x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, फिर x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 रखें।
इस प्रकार, हमें दो समाधान मिले: (0.1, -3,3,0) - एक समाधान, (1.4, -7.7, -1) - दूसरा समाधान।

उदाहरण 2. संगतता की जांच करें, सिस्टम का एक सामान्य और एक विशेष समाधान खोजें

समाधान. आइए पहले समीकरण में एक इकाई रखने के लिए पहले और दूसरे समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें और मैट्रिक्स बी लिखें।

हम चौथे कॉलम में शून्य प्राप्त करते हैं, पहली पंक्ति पर काम करते हुए:

अब दूसरी पंक्ति का उपयोग करके तीसरे कॉलम में शून्य प्राप्त करें:

तीसरी और चौथी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से एक को बिना रैंक बदले पार किया जा सकता है:
तीसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करें और चौथे में जोड़ें:

हम देखते हैं कि मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक 4 है, और रैंक अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, इसलिए, सिस्टम का एक अनूठा समाधान है:
-x 1 \u003d -3 → x 1 \u003d 3; x 2 \u003d 3-x 1 → x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1-2x 1 → x 3 \u003d 5।
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

उदाहरण 3. संगतता के लिए सिस्टम की जांच करें और यदि यह मौजूद है तो समाधान खोजें।

समाधान. हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं।

पहले दो समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि ऊपरी बाएँ कोने में 1 हो:
पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करते हुए, हम इसे तीसरे में जोड़ते हैं:

दूसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

सिस्टम असंगत है, क्योंकि मुख्य मैट्रिक्स को शून्य से युक्त एक पंक्ति प्राप्त हुई है, जिसे रैंक मिलने पर क्रॉस आउट कर दिया जाता है, और अंतिम पंक्ति विस्तारित मैट्रिक्स में बनी रहती है, अर्थात r B > r A ।

काम. संगतता के लिए समीकरणों की इस प्रणाली की जांच करें और इसे मैट्रिक्स कैलकुस के माध्यम से हल करें।
समाधान

उदाहरण. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता साबित करें और इसे दो तरीकों से हल करें: 1) गॉस विधि द्वारा; 2) क्रैमर की विधि। (उत्तर फॉर्म में दर्ज करें: x1,x2,x3)
समाधान :doc :doc :xls
उत्तर: 2,-1,3.

उदाहरण. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। इसकी अनुकूलता सिद्ध कीजिए। सिस्टम का एक सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें।
समाधान
उत्तर: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; एक्स 2 \u003d 1 - एक्स 4; एक्स 1 = 2 + एक्स 4 - 3x 5

काम. प्रत्येक प्रणाली के लिए सामान्य और विशेष समाधान खोजें।
समाधान।हम क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इस प्रणाली का अध्ययन करते हैं।
हम विस्तारित और मुख्य मैट्रिक्स लिखते हैं:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
एक्स 1	x2	एक्स 3	x4	x5

यहाँ मैट्रिक्स A बोल्ड टाइप में है।
हम मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाते हैं। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना और इसे सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे दूसरे समीकरण में जोड़ना, जो समाधान नहीं बदलता है प्रणाली में।
पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को (-3) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

चयनित नाबालिग का उच्चतम क्रम (सभी संभावित नाबालिगों में से) है और यह शून्य से अलग है (यह पारस्परिक विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), और यह नाबालिग मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित दोनों से संबंधित है, इसलिए बजाई गई (ए) = रंग (बी) = 3 चूंकि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित एक के रैंक के बराबर है, तो प्रणाली सहयोगी है.
यह नाबालिग बुनियादी है। इसमें अज्ञात x 1, x 2, x 3 के गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 1, x 2, x 3 आश्रित (मूल) हैं, और x 4, x 5 मुक्त हैं।
हम बाईं ओर केवल मूल नाबालिग को छोड़कर, मैट्रिक्स को बदलते हैं।

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
एक्स 1	x2	एक्स 3		x4	x5

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका रूप है:
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
अज्ञात के उन्मूलन की विधि से हम पाते हैं:
हमें स्वतंत्र x 4, x 5 के माध्यम से आश्रित चर x 1, x 2, x 3 व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त हुए, अर्थात् हमने पाया सामान्य निर्णय:
एक्स 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
ढुलमुल, इसलिये एक से अधिक समाधान हैं।

काम. समीकरणों की प्रणाली को हल करें।
उत्तर:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
मुक्त अज्ञातों को मनमाना मान देते हुए, हम कितने भी विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। प्रणाली है ढुलमुल

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली। मूल शर्तें। मैट्रिक्स अंकन।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली की परिभाषा। सिस्टम समाधान। प्रणालियों का वर्गीकरण।

अंतर्गत रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली(SLAE) एक प्रणाली का अर्थ है

पैरामीटर aij कहलाते हैं गुणांकों, और द्वि मुक्त सदस्यएसएलएयू। कभी-कभी, समीकरणों और अज्ञातों की संख्या पर जोर देने के लिए, वे कहते हैं "रैखिक समीकरणों की m × n प्रणाली", जिससे यह संकेत मिलता है कि SLAE में m समीकरण और n अज्ञात हैं।

यदि सभी मुक्त शर्तें bi=0 तब SLAE को कहा जाता है सजातीय. यदि मुक्त सदस्यों में शून्य के अलावा कम से कम एक है, तो SLAE को कहा जाता है विजातीय.

SLAU निर्णय(1) संख्याओं के किसी भी क्रमबद्ध संग्रह को (α1,α2,…,αn) कहा जाता है यदि इस संग्रह के तत्वों को अज्ञात x1,x2,…,xn के लिए दिए गए क्रम में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो प्रत्येक SLAE समीकरण को एक पहचान में बदल दें।

किसी भी सजातीय SLAE का कम से कम एक समाधान है: शून्य(एक अलग शब्दावली में - तुच्छ), यानी। x1=x2=…=xn=0.

यदि SLAE (1) का कम से कम एक हल है, तो इसे कहते हैं संयुक्तअगर कोई उपाय नहीं हैं, असंगत. यदि एक संयुक्त SLAE का एक ही समाधान है, तो इसे कहा जाता है कुछ, यदि अनंत संख्या में समाधान हैं - ढुलमुल.

रैखिक बीजीय समीकरणों की लेखन प्रणाली का मैट्रिक्स रूप।

प्रत्येक SLAE के साथ कई मैट्रिसेस संबद्ध किए जा सकते हैं; इसके अलावा, SLAE को ही मैट्रिक्स समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। SLAE (1) के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स पर विचार करें:

मैट्रिक्स ए कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स. इस मैट्रिक्स के अवयव दिए गए SLAE के गुणांक हैं।

मैट्रिक्स A˜ कहा जाता है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली. यह सिस्टम मैट्रिक्स में एक कॉलम जोड़कर प्राप्त किया जाता है जिसमें मुक्त सदस्य b1,b2,...,bm होते हैं। स्पष्टता के लिए आमतौर पर इस कॉलम को एक लंबवत रेखा से अलग किया जाता है।

कॉलम मैट्रिक्स बी कहा जाता है मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स, और स्तंभ मैट्रिक्स X है अज्ञात का मैट्रिक्स.

ऊपर दिए गए संकेतन का उपयोग करते हुए, SLAE (1) को मैट्रिक्स समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है: A⋅X=B.

ध्यान दें

सिस्टम से जुड़े मैट्रिक्स को विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है: सब कुछ SLAE के चर और समीकरणों के क्रम पर निर्भर करता है। लेकिन किसी भी स्थिति में, किसी दिए गए SLAE के प्रत्येक समीकरण में अज्ञात का क्रम समान होना चाहिए

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय। संगतता के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की जांच।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, अर्थात। रैंकए = रैंकए˜।

एक प्रणाली को सुसंगत कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक समाधान हो। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय यह कहता है: यदि rangA=rangA˜, तो एक समाधान है; अगर rangA≠rangA˜, तो इस SLAE का कोई समाधान नहीं है (असंगत)। इन समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के एक परिणाम द्वारा दिया गया है। उपफल के निरूपण में अक्षर n का प्रयोग किया जाता है, जो दिए गए SLAE के चरों की संख्या के बराबर होता है।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय से कोरोलरी

यदि rangA≠rangA˜ है, तो SLAE असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।

अगर रैंकए=रैंकए˜

यदि rangA=rangA˜=n, तो SLAE निश्चित है (इसका एक ही हल है)।

ध्यान दें कि सूत्रित प्रमेय और इसके उपफल यह नहीं दर्शाते हैं कि SLAE का हल कैसे खोजा जाए। उनकी मदद से आप केवल यह पता लगा सकते हैं कि ये समाधान मौजूद हैं या नहीं, और यदि वे मौजूद हैं, तो कितने।

SLAE को हल करने के तरीके

क्रैमर विधि

क्रैमर की विधि रैखिक बीजीय समीकरणों (SLAE) की उन प्रणालियों को हल करने के लिए अभिप्रेत है, जिनके लिए सिस्टम के मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है। स्वाभाविक रूप से, इसका तात्पर्य है कि प्रणाली का मैट्रिक्स वर्ग है (निर्धारक की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है)। क्रैमर विधि का सार तीन बिंदुओं में व्यक्त किया जा सकता है:

सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक की रचना करें (इसे सिस्टम का निर्धारक भी कहा जाता है), और सुनिश्चित करें कि यह शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात। 0.

प्रत्येक चर xi के लिए, दिए गए SLAE के मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ i-वें कॉलम को बदलकर सारणिक Δ से प्राप्त सारणिक X i की रचना करना आवश्यक है।

अज्ञात का मान सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए xi= X i /Δ

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करना।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स (कभी-कभी इस विधि को मैट्रिक्स विधि या उलटा मैट्रिक्स विधि भी कहा जाता है) का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणाली को हल करने के लिए SLAE के मैट्रिक्स रूप जैसी अवधारणा के साथ पूर्व परिचित होना आवश्यक है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि रैखिक बीजीय समीकरणों की उन प्रणालियों को हल करने के लिए अभिप्रेत है जिनके लिए सिस्टम मैट्रिक्स निर्धारक गैर-शून्य है। स्वाभाविक रूप से, इसका तात्पर्य है कि प्रणाली का मैट्रिक्स वर्ग है (निर्धारक की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है)। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का सार तीन बिंदुओं में व्यक्त किया जा सकता है:

तीन मैट्रिक्स लिखें: सिस्टम ए का मैट्रिक्स, अज्ञात एक्स का मैट्रिक्स, मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स बी।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 खोजें।

समानता X=A -1 B का उपयोग करके दिए गए SLAE का हल प्राप्त करें।

गॉस विधि। गॉस विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण।

गॉसियन विधि हल करने के सबसे दृश्य और सरल तरीकों में से एक है रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली(धीमा): सजातीय और विषम दोनों। संक्षेप में, इस पद्धति का सार अज्ञात का क्रमिक उन्मूलन है।

गॉस विधि में अनुमत परिवर्तन:

दो पंक्तियों के स्थान बदलना;

एक स्ट्रिंग के सभी तत्वों को कुछ गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

एक पंक्ति के तत्वों को किसी भी कारक से गुणा करके दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़ना।

एक रेखा को पार करना, जिसके सभी अवयव शून्य के बराबर हैं।

डुप्लिकेट लाइनों को पार करना।

अंतिम दो बिंदुओं के लिए: गॉस विधि द्वारा समाधान के किसी भी चरण में दोहराई जाने वाली पंक्तियों को हटाया जा सकता है - निश्चित रूप से, उनमें से एक को छोड़कर। उदाहरण के लिए, यदि पंक्ति संख्या 2, संख्या 5, संख्या 6 दोहराई जाती है, तो उनमें से एक को छोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए, पंक्ति संख्या 5। इस स्थिति में, पंक्तियाँ #2 और #6 हटा दी जाएंगी।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स से शून्य पंक्तियों को हटा दिया जाता है जैसे वे दिखाई देते हैं।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की सॉल्विंग सिस्टम निस्संदेह रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम का सबसे महत्वपूर्ण विषय है। गणित की सभी शाखाओं से बड़ी संख्या में समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कम हो जाती हैं। ये कारक इस लेख को बनाने का कारण बताते हैं। लेख की सामग्री को चुना और संरचित किया जाता है ताकि इसकी मदद से आप कर सकें

• रैखिक बीजीय समीकरणों की अपनी प्रणाली को हल करने के लिए इष्टतम विधि चुनें,
• चुनी हुई विधि के सिद्धांत का अध्ययन करें,
• विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के समाधान पर विस्तार से विचार करके, रैखिक समीकरणों की अपनी प्रणाली को हल करें।

लेख की सामग्री का संक्षिप्त विवरण।

सबसे पहले, हम सभी आवश्यक परिभाषाएँ, अवधारणाएँ देते हैं, और कुछ अंकन प्रस्तुत करते हैं।

इसके बाद, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों पर विचार करते हैं जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर होती है और जिनका एक अद्वितीय समाधान होता है। सबसे पहले, आइए क्रैमर विधि पर ध्यान दें, दूसरे, हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि दिखाएंगे, और तीसरा, हम गॉस विधि (अज्ञात चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि) का विश्लेषण करेंगे। सिद्धांत को मजबूत करने के लिए, हम निश्चित रूप से कई SLAE को विभिन्न तरीकों से हल करेंगे।

उसके बाद, हम एक सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने वाले सिस्टम की ओर मुड़ते हैं, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स पतित है। हम क्रोनकर-कैपेली प्रमेय तैयार करते हैं, जो हमें एसएलएई की संगतता स्थापित करने की अनुमति देता है। आइए मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा का उपयोग करके सिस्टम के समाधान (उनकी संगतता के मामले में) का विश्लेषण करें। हम गॉस विधि पर भी विचार करेंगे और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

रैखिक बीजीय समीकरणों के सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की संरचना पर ध्यान देना सुनिश्चित करें। आइए हम समाधान की एक मौलिक प्रणाली की अवधारणा दें और दिखाएं कि समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके SLAE का सामान्य समाधान कैसे लिखा जाता है। बेहतर समझ के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

अंत में, हम उन समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करते हैं जो रैखिक रूप से कम हो जाती हैं, साथ ही साथ विभिन्न समस्याएं, जिनके समाधान में SLAE उत्पन्न होते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

हम n अज्ञात चर वाले p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के निकाय पर विचार करेंगे (p, n के बराबर हो सकता है)

अज्ञात चर, - गुणांक (कुछ वास्तविक या जटिल संख्याएं), - मुक्त सदस्य (वास्तविक या जटिल संख्याएं भी)।

SLAE के इस रूप को कहा जाता है समन्वय.

में मैट्रिक्स फॉर्मसमीकरणों की इस प्रणाली का रूप है,
कहाँ पे - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर का मैट्रिक्स-कॉलम, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स-कॉलम।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n + 1)-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली। आमतौर पर, संवर्धित मैट्रिक्स को अक्षर T द्वारा निरूपित किया जाता है, और मुक्त सदस्यों के स्तंभ को शेष स्तंभों से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करकेअज्ञात चरों के मानों का एक समूह कहलाता है, जो सिस्टम के सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है। अज्ञात चर के दिए गए मानों के लिए मैट्रिक्स समीकरण भी एक पहचान में बदल जाता है।

यदि समीकरणों के किसी निकाय का कम से कम एक हल हो, तो वह कहलाता है संयुक्त.

यदि समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है, तो इसे कहते हैं असंगत.

यदि किसी SLAE का एक अनूठा समाधान है, तो उसे कहा जाता है कुछ; एक से अधिक उपाय हो तो - ढुलमुल.

यदि निकाय के सभी समीकरणों के मुक्त पद शून्य के बराबर हैं , तो सिस्टम कहा जाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों का समाधान।

यदि सिस्टम समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है और इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो हम ऐसे SLAE को कॉल करेंगे प्राथमिक. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का एक अनूठा समाधान होता है, और एक सजातीय प्रणाली के मामले में, सभी अज्ञात चर शून्य के बराबर होते हैं।

हमने हाई स्कूल में ऐसे SLAE का अध्ययन शुरू किया। उन्हें हल करते समय, हमने एक समीकरण लिया, एक अज्ञात चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त किया और इसे शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, फिर अगला समीकरण लिया, अगले अज्ञात चर को व्यक्त किया और इसे अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, और इसी तरह। या उन्होंने जोड़ विधि का इस्तेमाल किया, यानी उन्होंने कुछ अज्ञात चर को खत्म करने के लिए दो या दो से अधिक समीकरण जोड़े। हम इन विधियों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, क्योंकि वे अनिवार्य रूप से गॉस पद्धति के संशोधन हैं।

रेखीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने की मुख्य विधियाँ क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि और गॉस विधि हैं। आइए उन्हें सुलझाएं।

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।

आइए हमें रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर होती है और निकाय के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, अर्थात्।

आज्ञा देना प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक बनें, और मैट्रिक्स के निर्धारक हैं जो ए से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं पहला, दूसरा, …, nthमुक्त सदस्यों के कॉलम में क्रमशः कॉलम:

इस तरह के अंकन के साथ, अज्ञात चर की गणना क्रैमर की विधि के सूत्रों द्वारा की जाती है: . इस प्रकार क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान पाया जाता है।

उदाहरण।

क्रैमर विधि .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है . इसके निर्धारक की गणना करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

चूंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है।

आवश्यक निर्धारकों की रचना और गणना करें (निर्धारक मैट्रिक्स ए में पहले कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है, निर्धारक - दूसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, - मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। ):

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर ढूँढना :

उत्तर:

क्रैमर की विधि का मुख्य नुकसान (यदि इसे नुकसान कहा जा सकता है) सिस्टम समीकरणों की संख्या तीन से अधिक होने पर निर्धारकों की गणना करने की जटिलता है।

मैट्रिक्स विधि (उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करना।

मान लीजिए रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय मैट्रिक्स रूप में दिया गया है, जहाँ मैट्रिक्स A का आयाम n बटा n है और इसका सारणिक शून्येतर है।

चूंकि, तब मैट्रिक्स A उलटा है, यानी एक उलटा मैट्रिक्स है। यदि हम समानता के दोनों भागों को बाईं ओर से गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चर के कॉलम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सूत्र मिलता है। तो हमें मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली का समाधान मिला।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें मैट्रिक्स विधि।

समाधान।

आइए मैट्रिक्स रूप में समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखें:

इसलिये

तब SLAE को मैट्रिक्स विधि द्वारा हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है .

आइए मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजीय पूरक के मैट्रिक्स का उपयोग करके एक उलटा मैट्रिक्स बनाएं (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह गणना करना बाकी है - व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर का मैट्रिक्स मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स-स्तंभ पर (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

उत्तर:

या किसी अन्य अंकन में x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के समाधान खोजने में मुख्य समस्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।

मान लीजिए कि हमें n अज्ञात चरों वाले n रैखिक समीकरणों के निकाय का हल खोजने की आवश्यकता है
मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

गॉस विधि का सारअज्ञात चर के क्रमिक बहिष्करण में शामिल हैं: पहले, x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, दूसरे से शुरू होता है, फिर x 2 को सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, तीसरे से शुरू होता है, और इसी तरह, केवल अज्ञात चर तक। xn अंतिम समीकरण में रहता है। अज्ञात चरों के क्रमिक विलोपन के लिए निकाय के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. गॉस विधि का फॉरवर्ड रन पूरा होने के बाद, अंतिम समीकरण से x n पाया जाता है, x n-1 की गणना इस मान का उपयोग करके अंतिम समीकरण से की जाती है, और इसी तरह, पहले समीकरण से x 1 पाया जाता है। सिस्टम के अंतिम समीकरण से प्रथम में जाने पर अज्ञात चरों की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

आइए अज्ञात चर को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म का संक्षेप में वर्णन करें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। हम अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, दूसरे से शुरू करते हुए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, पहले को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहां एक .

हम उसी परिणाम पर आएंगे यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण को सिस्टम के तीसरे समीकरण से गुणा करें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, दूसरे को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहां एक . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात x 3 के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि इसी तरह से कार्य करते हुए सिस्टम के उस हिस्से के साथ कार्य करते हैं जो चित्र में चिह्नित है

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से xn की गणना करते हैं, xn के प्राप्त मूल्य का उपयोग करके हम x n-1 को अंतिम समीकरण से पाते हैं, और इसी तरह, हम x 1 को पाते हैं पहला समीकरण।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

समाधान।

आइए अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करें। ऐसा करने के लिए, दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों हिस्सों में, हम क्रमशः पहले समीकरण के संबंधित भागों को गुणा और गुणा करते हैं:

अब हम तीसरे समीकरण से x 2 को इसके बाएँ और दाएँ भागों में दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में जोड़कर, गुणा करके बाहर करते हैं:

इस पर गॉस विधि का आगे का पाठ्यक्रम पूरा हो जाता है, हम रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं।

परिणामी समीकरण प्रणाली के अंतिम समीकरण से, हम x 3 पाते हैं:

दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।

पहले समीकरण से हम शेष अज्ञात चर पाते हैं और यह गॉस विधि के विपरीत पाठ्यक्रम को पूरा करता है।

उत्तर:

एक्स 1 \u003d 4, एक्स 2 \u003d 0, एक्स 3 \u003d -1।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली।

सामान्य स्थिति में, सिस्टम p के समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से मेल नहीं खाती:

ऐसे SLAE के पास कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं। यह कथन उन समीकरण प्रणालियों पर भी लागू होता है जिनका मुख्य मैट्रिक्स वर्गाकार और पतित होता है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने से पहले, इसकी संगतता स्थापित करना आवश्यक है। प्रश्न का उत्तर जब SLAE संगत है, और जब यह असंगत है, देता है क्रोनकर-कैपेली प्रमेय:
n अज्ञात के साथ p समीकरणों की एक प्रणाली के लिए (p बराबर n हो सकता है) सुसंगत होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, अर्थात रैंक( ए) = रैंक (टी)।

आइए एक उदाहरण के रूप में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता निर्धारित करने के लिए क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आवेदन पर विचार करें।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रैखिक समीकरणों की प्रणाली में है समाधान।

समाधान।

. आइए नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि का उपयोग करें। दूसरे क्रम के नाबालिग शून्य से भिन्न। आइए इसके आसपास के तीसरे क्रम के अवयस्कों पर नज़र डालें:

चूंकि सभी सीमावर्ती तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो है।

बदले में, संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है, क्योंकि तीसरे क्रम के अवयस्क

शून्य से भिन्न।

इस प्रकार से, रंग (ए), इसलिए, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली असंगत है।

उत्तर:

समाधान की कोई व्यवस्था नहीं है।

इसलिए, हमने क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके सिस्टम की असंगति को स्थापित करना सीख लिया है।

लेकिन SLAE का समाधान कैसे खोजा जाए यदि इसकी अनुकूलता स्थापित हो जाए?

ऐसा करने के लिए, हमें मैट्रिक्स के आधार नाबालिग और मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय की अवधारणा की आवश्यकता है।

शून्य के अलावा मैट्रिक्स A के उच्चतम कोटि के माइनर को कहा जाता है बुनियादी.

यह आधार नाबालिग की परिभाषा से इस प्रकार है कि इसका क्रम मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है। एक गैर-शून्य मैट्रिक्स ए के लिए, कई बुनियादी नाबालिग हो सकते हैं; हमेशा एक बुनियादी नाबालिग होता है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें .

इस मैट्रिक्स के सभी तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, क्योंकि इस मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्व पहली और दूसरी पंक्तियों के संबंधित तत्वों का योग हैं।

दूसरे क्रम के निम्नलिखित अवयस्क मूलभूत हैं, क्योंकि वे शून्येतर हैं

नाबालिगों बुनियादी नहीं हैं, क्योंकि वे शून्य के बराबर हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय।

यदि क्रम p ब n के मैट्रिक्स की रैंक r है, तो मैट्रिक्स की पंक्तियों (और कॉलम) के सभी तत्व जो चुने हुए आधार को माइनर नहीं बनाते हैं, उन्हें पंक्तियों (और कॉलम) के संबंधित तत्वों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। ) जो आधार नाबालिग बनाते हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय हमें क्या देता है?

यदि, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय द्वारा, हमने सिस्टम की संगतता स्थापित की है, तो हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के किसी भी मूल नाबालिग को चुनते हैं (इसका क्रम आर के बराबर है), और सिस्टम से सभी समीकरणों को बाहर नहीं करते हैं चुने हुए मूल नाबालिग का निर्माण करें। इस तरह से प्राप्त SLAE मूल के बराबर होगा, क्योंकि छोड़े गए समीकरण अभी भी बेमानी हैं (मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के अनुसार, वे शेष समीकरणों का एक रैखिक संयोजन हैं)।

नतीजतन, सिस्टम के अत्यधिक समीकरणों को त्यागने के बाद, दो मामले संभव हैं।

यदि परिणामी प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है, तो यह निश्चित होगा और क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा एकमात्र समाधान पाया जा सकता है।

उदाहरण।

.

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है, क्योंकि दूसरे क्रम के अवयस्क शून्य से भिन्न। विस्तारित मैट्रिक्स रैंक भी दो के बराबर है, क्योंकि तीसरे क्रम का एकमात्र नाबालिग शून्य के बराबर है

और ऊपर माने गए दूसरे क्रम का अवयस्क शून्य से भिन्न है। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, कोई भी रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली की अनुकूलता पर जोर दे सकता है, क्योंकि रैंक (ए) = रैंक (टी) = 2।

आधार नाबालिग के रूप में, हम लेते हैं . यह पहले और दूसरे समीकरणों के गुणांकों द्वारा बनता है:


सिस्टम का तीसरा समीकरण मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेता है, इसलिए हम इसे मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के आधार पर सिस्टम से बाहर कर देते हैं:


इस प्रकार हमने रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की है। आइए इसे क्रैमर विधि द्वारा हल करें:


उत्तर:

एक्स 1 \u003d 1, एक्स 2 \u003d 2.

यदि परिणामी SLAE में समीकरण r की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से कम है, तो हम समीकरणों के बाएँ भागों में मूल अवयव बनाने वाले पदों को छोड़ देते हैं, और शेष पदों को समीकरणों के दाएँ भागों में स्थानांतरित कर देते हैं विपरीत संकेत के साथ प्रणाली।

समीकरणों के बाईं ओर शेष अज्ञात चर (उनमें से r हैं) कहलाते हैं मुख्य.

अज्ञात चर (उनमें से n - r हैं) जो दाईं ओर समाप्त होते हैं, कहलाते हैं नि: शुल्क.

अब हम मान लेते हैं कि मुक्त अज्ञात चर मनमाना मान ले सकते हैं, जबकि r मुख्य अज्ञात चरों को मुक्त अज्ञात चरों के रूप में एक अनूठे तरीके से व्यक्त किया जाएगा। क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा परिणामी SLAE को हल करके उनकी अभिव्यक्ति पाई जा सकती है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली को हल करें .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक पाएं सीमावर्ती नाबालिग विधि द्वारा। आइए हम 1 1 = 1 को शून्येतर प्रथम कोटि के अवयस्क के रूप में लें। आइए इस नाबालिग के आस-पास एक गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग की खोज शुरू करें:


तो हमें दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य नाबालिग मिला। आइए तीसरे क्रम के गैर-शून्य सीमावर्ती नाबालिग की खोज शुरू करें:


इस प्रकार, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक तीन है। संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है, अर्थात सिस्टम सुसंगत है।

तीसरे क्रम के पाए गए गैर-शून्य नाबालिग को मूल के रूप में लिया जाएगा।

स्पष्टता के लिए, हम उन तत्वों को दिखाते हैं जो आधार को मामूली बनाते हैं:


हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर मूल नाबालिग में भाग लेने की शर्तों को छोड़ देते हैं, और बाकी को विपरीत संकेतों के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:


हम मुक्त अज्ञात चर x 2 और x 5 मनमाना मान देते हैं, अर्थात हम लेते हैं , जहां मनमानी संख्याएं हैं। इस मामले में, SLAE फॉर्म लेता है


हम क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्राप्त प्राथमिक प्रणाली को हल करते हैं:


फलस्वरूप, ।

उत्तर में, मुक्त अज्ञात चरों को इंगित करना न भूलें।

उत्तर:

मनमानी संख्या कहां हैं।

संक्षेप।

एक सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इसकी संगतता का पता लगाते हैं। यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम असंगत है।

यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, तो हम मूल नाबालिग को चुनते हैं और सिस्टम के समीकरणों को त्याग देते हैं जो चुने हुए मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेते हैं।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है, तो SLAE का एक अनूठा समाधान है, जो हमें ज्ञात किसी भी विधि से मिल सकता है।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चर की संख्या से कम है, तो सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर हम मुख्य अज्ञात चर के साथ शर्तों को छोड़ देते हैं, शेष शर्तों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और मनमाना मान निर्दिष्ट करते हैं। मुक्त अज्ञात चर के लिए। रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली से, हम क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा मुख्य अज्ञात चर पाते हैं।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

गॉस विधि का उपयोग करके, कोई भी किसी भी प्रकार के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को उनकी संगतता के लिए प्रारंभिक परीक्षा के बिना हल कर सकता है। अज्ञात चरों के क्रमिक अपवर्जन की प्रक्रिया SLAE की संगतता और असंगति दोनों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है, और यदि कोई समाधान मौजूद है, तो यह उसे खोजना संभव बनाता है।

कम्प्यूटेशनल कार्य के दृष्टिकोण से, गाऊसी पद्धति बेहतर है।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि लेख में इसका विस्तृत विवरण और विश्लेषण उदाहरण देखें।

समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के सामान्य समाधान को रिकॉर्ड करना।

इस खंड में, हम रैखिक बीजीय समीकरणों के संयुक्त सजातीय और अमानवीय प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जिनके अनंत संख्या में समाधान हैं।

आइए पहले सजातीय प्रणालियों से निपटें।

मौलिक निर्णय प्रणाली n अज्ञात चर वाले p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली इस प्रणाली के (n - r) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का एक सेट है, जहां r सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के आधार नाबालिग का क्रम है।

यदि हम एक सजातीय SLAE के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों को X (1), X (2), ..., X (nr) (X (1), X (2), …, X (nr) के रूप में निरूपित करते हैं, तो n बटा 1 कॉलम आव्यूह हैं। ) , तो इस सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को मनमाने ढंग से निरंतर गुणांक С 1 , 2 , …, (nr) के साथ समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है, अर्थात, ।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (ओरोस्लाऊ) की एक सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान का क्या अर्थ है?

अर्थ सरल है: सूत्र मूल SLAE के सभी संभावित समाधानों को परिभाषित करता है, दूसरे शब्दों में, मनमाना स्थिरांक C 1 , C 2 , ..., C (nr) के मानों का कोई भी सेट लेते हुए, सूत्र के अनुसार हम मूल सजातीय SLAE के समाधानों में से एक प्राप्त करेगा।

इस प्रकार, यदि हम समाधान की एक मौलिक प्रणाली पाते हैं, तो हम इस सजातीय SLAE के सभी समाधानों को इस रूप में सेट कर सकते हैं।

आइए हम सजातीय SLAE के लिए समाधान की एक मूलभूत प्रणाली के निर्माण की प्रक्रिया को प्रदर्शित करें।

हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली के मूल नाबालिग को चुनते हैं, सिस्टम से अन्य सभी समीकरणों को बाहर करते हैं, और सिस्टम के समीकरणों के दाहिने हाथ की तरफ विपरीत संकेतों के साथ स्थानांतरित करते हैं जिसमें सभी शब्द मुक्त अज्ञात चर होते हैं। आइए मुक्त अज्ञात चर को मान 1,0,0,…,0 दें और किसी भी तरह से रैखिक समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करके मुख्य अज्ञात की गणना करें, उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि द्वारा। इस प्रकार, एक्स (1) प्राप्त किया जाएगा - मौलिक प्रणाली का पहला समाधान। यदि हम मुक्त अज्ञात को 0,1,0,0,…,0 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (2) मिलता है। आदि। यदि हम मुक्त अज्ञात चर को 0,0,…,0,1 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (n-r) मिलता है। इस प्रकार सजातीय SLAE के समाधान की मूलभूत प्रणाली का निर्माण किया जाएगा और इसका सामान्य समाधान रूप में लिखा जा सकता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की अमानवीय प्रणालियों के लिए, सामान्य समाधान को इस प्रकार दर्शाया जाता है:

आइए उदाहरण देखें।

उदाहरण।

समाधान की मौलिक प्रणाली और रैखिक बीजीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें .

समाधान।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक हमेशा विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर होती है। आइए हम अवयस्कों को फ्रिंज करने की विधि द्वारा मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें। पहले क्रम के गैर-शून्य नाबालिग के रूप में, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के तत्व को 1 1 = 9 लेते हैं। दूसरे क्रम के सीमावर्ती गैर-शून्य नाबालिग का पता लगाएं:

शून्य से भिन्न दूसरे क्रम का एक अवयस्क पाया जाता है। आइए गैर-शून्य की तलाश में इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के नाबालिगों के माध्यम से देखें:

तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर हैं, इसलिए मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दो है। आइए मूल नाबालिग को लें। स्पष्टता के लिए, हम सिस्टम के उन तत्वों पर ध्यान देते हैं जो इसे बनाते हैं:

मूल एसएलएई का तीसरा समीकरण मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेता है, इसलिए इसे बाहर रखा जा सकता है:

हम समीकरणों के दाहिनी ओर मुख्य अज्ञात वाले पदों को छोड़ देते हैं, और मुक्त अज्ञात वाले शब्दों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम रैखिक समीकरणों की मूल सजातीय प्रणाली के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें। इस SLAE के समाधान की मूलभूत प्रणाली में दो समाधान होते हैं, क्योंकि मूल SLAE में चार अज्ञात चर होते हैं, और इसके मूल नाबालिग का क्रम दो होता है। एक्स (1) को खोजने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को मान x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 देते हैं, फिर हम समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
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