Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Има безкрайно много линии, които могат да бъдат начертани през всяка точка.

През всякакви две несъвпадащи точки има само една права линия.

Две несъвпадащи прави в равнината или се пресичат в една точка, или са

успоредна (следва от предишната).

В триизмерното пространство има три опции за относителното положение на две линии:

• линиите се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• прави линии се пресичат.

Направо линияе алгебрична крива от първи ред: in Декартова системакоординатна права линия

се дава на равнината от уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнениеправ.

Определение. Всяка права в равнината може да бъде дадена от уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

и постоянно А, Бне е равно на нула в същото време. Това уравнение от първи ред се нарича общ

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, Би СВъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- линията минава през началото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- права линия, успоредна на оста ох

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- линията съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- линията съвпада с оста ох

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от всяко дадено

начални условия.

Уравнение на права линия от точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система, вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярно на правата, дадена от уравнението

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярно на вектора (3, -1).

Решение. Нека съставим при A = 3 и B = -1 уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерите коефициента C

заместваме координатите на дадена точка A в получения израз. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

C = -1. Общо: желаното уравнение: 3x - y - 1 \u003d 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на права линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2и х = х 1, ако х 1 = х 2 .

Фракция = kНаречен фактор на наклона прав.

Пример. Намерете уравнението на права линия, минаваща през точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права линия по точка и наклон.

Ако общото уравнение на права линия Ah + Wu + C = 0доведете до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнението на права линия върху точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да влезете в задачата

права линия през точка и вектор на посоката на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (α 1 , α 2), чиито компоненти удовлетворяват условието

Aα 1 + Bα 2 = 0Наречен вектор на посоката на правата линия.

Ah + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с вектор на посока (1, -1) и минаваща през точка A(1, 2).

Решение. Ще търсим уравнението на желаната права линия във формата: Ax + By + C = 0.Според дефиницията,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на права линия има вида: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

в x=1, y=2получаваме C/ A = -3, т.е. желаното уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение на права линия в сегменти.

Ако в общото уравнение на правата линия Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или , къде

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос о,а б- координатата на пресечната точка на правата с оста OU

Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия на отсечки.

C \u003d 1, , a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ah + Wu + C = 0разделете на число , което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, спуснат от началото до правата,

а φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста ох.

Пример. Като се има предвид общото уравнение на права линия 12x - 5y - 65 = 0. Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права линия в сегменти:

Уравнението на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; р=5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение на сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгъл между линиите в равнина.

Определение. Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, след това острия ъгъл между тези линии

ще се дефинира като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. две правите линии са перпендикулярни,

ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ah + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

A 1 = λA, B 1 = λB. Ако също С 1 \u003d λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези линии.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка, е перпендикулярно на дадена права.

Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярно на линията y = kx + b

представено от уравнението:

Разстоянието от точка до права.

Теорема. Ако е дадена точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до линията Ah + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, изпусната от точката Мза даденост

директен. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати х 1и 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно

дадена линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Да се ​​състави уравнение означава да се изрази в математическа форма връзката между данните (известни) на задачата и необходимите (неизвестни) стойности за нея. Понякога тази връзка се съдържа толкова ясно във формулирането на проблема, че формулирането на уравнението е просто буквален преразказ на проблема на езика на математическите знаци.

Пример 1. Петров получи 160 рубли за работата си. повече от половината от сумата, която Иванов получи. Заедно те получиха 1120 рубли. Колко получиха Петров и Иванов за работата си? Нека х е печалбата на Иванов. Половината от приходите му са 0,5x; Месечната заплата на Петров е 0,5x + 160 заедно те печелят 1120 рубли; математическата нотация на последната фраза ще бъде

(0,5x + 160) + x = 1120.

Уравнението е направено. Решавайки го според веднъж установените правила, намираме печалбата на Иванов x \u003d 640 рубли; Печалбата на Петров е 0,5x + 160=480 (рубли).

По-често обаче се случва връзката между данните и търсените величини да не е пряко посочена в задачата; тя трябва да бъде зададена въз основа на условията на задачата. При практическите проблеми това е почти винаги така. Току-що даденият пример е измислен; В реалния живот подобни задачи почти не се срещат.

Следователно е невъзможно да се дадат напълно изчерпателни инструкции за съставяне на уравнение. В началото обаче е полезно да се ръководите от следното. Да вземем за стойността на желаната стойност (или няколко стойности) някакво произволно взето число (или няколко числа) и да си поставим задачата да проверим дали сме отгатнали правилното решение на задачата или не. Ако успеем да извършим този тест и установим, че нашето предположение е правилно, или че е неправилно (второто е най-вероятно да се случи, разбира се), тогава можем веднага да съставим желаното уравнение (или няколко уравнения). А именно, ние ще запишем самите действия, които извършихме за проверка, но вместо произволно взето число ще въведем азбучен знак с неизвестна стойност. Получаваме необходимото уравнение.

Пример 2. Парче от сплав от мед и цинк с обем 1 dm3 тежи 8,14 kg. Колко мед има в сплавта? (специфично тегло на медта 8,9 kg/dm3; цинк - 7,0 kg/dm3).

Нека вземем произволно число, изразяващо желания обем мед, например 0,3 dm3. Нека проверим дали сме взели успешно този номер. Тъй като 1 kg / dm3 мед тежи 8,9 kg, тогава 0,3 dm3 тежи 8,9 * 0,3 = 2,67 (kg). Обемът на цинк в сплавта е 1 - 0,3 = 0,7 (dm3). Теглото му е 7,0 0,7 = 4,9 (кг). Общото тегло на цинк и мед е 2,67 + + 4,9 = 7,57 (kg). Междувременно теглото на нашето парче, според състоянието на задачата, е 8,14 кг. Нашето предположение е невалидно. Но от друга страна, веднага ще получим уравнение, чието решение ще даде верния отговор. Вместо произволно взето число от 0,3 dm3, ние обозначаваме обема на медта (в dm3) чрез x. Вместо произведението 8,9 0,3 = 2,67 вземаме продуктите 8,9 x. Това е теглото на медта в сплавта. Вместо 1 - 0,3 = 0,7 вземаме 1 - x; това е количеството цинк. Вместо 7,0 0,7 = 4,9 вземаме 7,0 (1 - x); това е теглото на цинка. Вместо 2,67 + 4,9 вземаме 8,9 x + 7,0 (1 - x); това е общото тегло на цинк и мед. По състояние е равно на 8,14 кг; така че 8,9 x + 7,0 (1 - x) = 8,14.

Решаването на това уравнение дава x = 0,6. Може да се провери произволно избрано решение различни начини; съответно може да се получи за същата задача различни видовеуравнения; всички те обаче ще дадат едно и също решение за желаната стойност, такива уравнения се наричат ​​еквивалентни едно на друго.

Разбира се, след като придобиете умения за съставяне на уравнения, няма нужда да проверявате произволно взетото число: можете да вземете за стойността на желаната стойност не число, а някаква буква (x, y и т.н.) и да действате сякаш тази буква (неизвестна) беше числото, което ще тестваме.

РАЗДЕЛ VI.

ТРАНСФОРМАЦИИ НА РАВЕНСТВОТО.

___________

РЕШЕНИЕ И СЪСТАВЯНЕ НА УРАВНЕНИЯ ОТ 1-ВА СТЕПЕН

§ 5. Съставяне на уравнение с едно неизвестно.

Всеки аритметичен проблем се състои в това, че според няколко известни величини и според дадени връзки между тези известни величини и други се намират неизвестни, неизвестни. Алгебрата предоставя специален начин за решаване на аритметични задачи. Този метод се основава на факта, че устно изразените условия на аритметичните задачи могат да бъдат преведени на алгебричен език, т.е. са изразими с алгебрични формули.

Преводът на устно изразени условия на задачата на алгебричен език обикновено се нарича формулиране.

Да се ​​състави уравнение с едно неизвестно според условията на задачата означава да се преведат тези условия на алгебричен език по такъв начин, че целият набор от тези условия да се изрази с едно уравнение, съдържащо едно неизвестно. За това е необходимо броят на отделните независими условия на задачата да бъде равен на броя на неизвестните, заложени в нея.

Поради изключителното разнообразие от задачи, методите за съставяне на уравнения, съответстващи на тези задачи, са изключително разнообразни. Няма общи правила за писане на уравнения. Но има една обща индикация, която ръководи разсъжденията ни при превеждането на условията на проблема на алгебричен език и ни позволява от самото начало на разсъжденията да следваме правилния път за постигане на крайната цел. Това обща индикация ли е, или общ принципще изразим уравнението по следния начин:

За да съставите уравнение с едно неизвестно според условията на задачата, трябва:

1) изберете между неизвестните, които са или директно посочени в задачата, или подразбиращи се, някое, взето като първо, и обозначете това неизвестно с някаква буква, например, х ;

2) използвайки това обозначение и обозначенията, дадени в задачата, изразете всички величини, които са директно споменати в задачата или които се подразбират, като се има предвид, че при съставянето на такива изрази всички числа, дадени в задачата и всички, свързани с dains или за неизвестни стойности на условието;

3) след такова прилагане на всички условия намерете между съставените или просто написани изрази два такива, които по силата на едно от дадените условия трябва да са равни един на друг, и свържете тези изрази със знак за равенство.

Нека приложим този принцип към решението на два проблема:

Задача 1 i.Броят на монетите в единия портфейл е наполовина от този в другия. Ако изложите шест монети от първата и добавите осем монети към втората, тогава броят на монетите в първата ще бъде седем пъти по-малък, отколкото във втория. Разберете колко монети има във всеки портфейл?

В този проблем са посочени няколко известни и няколко неизвестни количества. Нека вземем първия неизвестен брой монети от първото портмоне като първо неизвестно число и го означим с Х. След това ще се заемем с обозначаването на всички количества, които включват условията на задачата.

Броят на монетите в първия портфейл е х . Съотношението на броя на монетите във втория и първия портфейл 2 . Така че броят на монетите на втория портфейл 2Х.

Извадете от първия 6 монети Следователно в първата чанта има монети х -6 .

Във втората добавка 8 монети. Следователно във втория портфейл ще получите монети 2х +8 . Новото съотношение между броя на монетите на второто и първото портмоне е . То също е равно 7 . На тази основа съставяме уравнение, решавайки което, получаваме x= 10 , след което не е трудно да се определят останалите неизвестни, които споменахме тук.

Ако вземем второто портмоне като първия неизвестен брой монети и го обозначим, за да го различим от предишното обозначение чрез в , тогава, както е лесно да се види, ще се получи друго уравнение, а именно ( в + 8 ):( в / 2 -6 )=7 , което също решава проблема и дава отговора в=20 .

За първото неизвестно може да се приеме броят на монетите, които се появиха в първата чанта след изчислението от нея 6 монети; след това, обозначавайки това неизвестно с z и като вървим по същия начин, както в първото уравнение, ще получим уравнението , където z = 4 .

Но може да се промени и самият начин, по който уравнението е свързано, например, като се вземе предвид промененото съотношение между броя на монетите и се основава формулирането на уравнението на това, което е известно за първоначалното съотношение. В този случай уравнението ще бъде записано, както следва:

Броят на монетите на първия портфейл след изчислението е z . Публикувано 6 монети. Така че първоначалният брой монети на първия портфейл z + 6. Променено съотношението между броя на монетите 7 . Следователно, промененият брой монети на втория портфейл 7z. беше добавен 8 монети. Следователно, първоначалният брой монети на втората чанта 7z. - 8 . Първоначалното съотношение между броя на монетите е равно на 2 . На тази основа имаме уравнение, което е съвместимо с предишното, въпреки че се различава от него по форма.

Ако, вървейки по този втори начин, вземем за първия неизвестен брой монети от второто портмоне, след като добавим към него 8 монети, тогава, обозначаващи това неизвестно за разлика чрез и , ще получим уравнението ( и -8 ):( и / 7 + 6 )=2 , където и =28 .

Тези разяснения показват, че водени от едно и също общо правило за писане на уравнения, ние все още получаваме във всеки проблем различни начини за постигане на тази цел. по най-добрия начинразглежда се този, който по-просто изразява условията на задачата и води по-бързо както до съставянето, така и до решението на уравнението. В този случай първият и третият метод са еднакво удобни за решаване на уравнението, но първият все още е по-прост и следователно по-добър от останалите.

При прилагането на горното правило за формулиране на уравнения трябва да се помни, че във всяко правилно изразено уравнение трябва да се вземе предвид всяко дадено число и всяко изразено условие.

Задача 2.От града НОизлиза пътник, който минава през деня 20 верста Два дни по-късно тя напуска града, за да се срещне с него. ATдруг пътник, който минава всеки ден 30 верста Разстоянието между НОи ATсе равнява 190 верста Въпросът е кога и къде ще се срещнат двамата пътешественици?

1-ви начин.Да вземем за първо неизвестно време на движение на първия пътник от изхода от НОпреди срещата, а за последното условие е разстоянието между НОи ATсе равнява 190 верста Тогава ще спорим така:

Да приемем, че първият мина преди срещата х дни. Всеки ден ходеше 20 верста Така че той премина 20х верста

Вторият излезе по-късно 2 ден. Така той отиде да се срещне х -2 ден. Всеки ден ходеше 30 верста Следователно той премина през 30 (х -2 ) верста. Заедно и двамата пътници преминаха [ 20х + 30 (х -2 )] верста. Цялото разстояние между НОи ATсе равнява 190 верста Въз основа на това намираме уравнението

20х + 30 (х -2 ) =190 ,

където x= 5 . От това виждаме, че първият пътник е отишъл 5 дни и минаха 100 верста, вторият беше 3 дни и си отиде 90 верста

2-ри начин.Нека вземем като първо неизвестно разстояние, изминато от първия пътник от изхода до срещата, а за последното условие вторият пътник е напуснал по-късно от първия в 2 ден. Тогава дискусията протича така:

Смятаме, че първото премина преди срещата в верста Всеки ден ходеше 20 верста Така той извървя всички в / 20 дни.

Вторият премина всички ( 190 -в ) верста. Всеки ден ходеше 30 верста Така че ходеше само дни.

Разликата между времената на движение и на двете е и е равна на 2 . Следователно намираме уравнението , където в =100 .

3-ти начин.Първата неизвестна е времето на движение на втория пътник от изхода от ATще се видим, последното условие е първият пътник да минава всеки ден 20 верста

Да приемем, че вторият отива на срещата z дни. Така че първият ще мине z +2 ) на деня. Ежедневно ходене през 30 верста, вторият ще мине само 30z верста Тъй като и двете трябва да преминат 190 мили, тогава първият ще трябва да направи ( 190 -30z ) верста. За да направи това, той трябва да прави по една миля на ден. Тъй като този израз е 20 , тогава се получава уравнението, откъдето z = 3.

4-ти начин.Първата неизвестна е разстоянието, изминато от втория пътник преди срещата, последното условие е вторият да пътува ежедневно с 10 версти повече от първия.

Смятаме, че вторият мина преди срещата и верста Така че първият все още трябваше да отиде ( 190 -и ) верста. Тъй като преди пускането на втория вече мина 40 мили, след което след изхода на втория все още трябваше да отиде ( 150 -и ) верста. Разликата в разстоянията, изминати едновременно и от двете е ( 2и-150 ) верста. Времето на общото им движение е и / 30 дни. Следователно вторият ден минава повече от първия ( 2и-150 ) : и / 30 верста Тъй като този израз е 10 , тогава получавате уравнението ( 2и-150 ) : и / 30 =10 , което дава и = 90 .

Предходните обяснения показват, че разнообразието от начини за съставяне на уравнения в една и съща задача зависи както от реда на последователно обозначените величини, така и от реда на последователно взети предвид условия.

231. Двама души имат заедно 38 рубли, а първият има 6 рубли повече пари от втория. Колко пари има всеки?

231. Двама души имат заедно 114 рубли, като първият има 18 рубли повече пари от втория. Колко пари има всеки?

232. В едната къща има 15 прозореца по-малко, отколкото в другата, общо има 51 прозореца и в двете къщи. Колко прозореца има във всеки?

232. В една къща има 6 прозореца по-малко, отколкото в друга; общо и двете къщи са с по 62 прозореца. Колко прозореца има във всеки?

233. В два портфейла има 81 рубли. В първия има наполовина повече пари, отколкото във втория. Колко пари има във всеки?

233. В два портфейла има 72 рубли. В първия има пет пъти по-малко пари, отколкото във втория. Колко пари има във всеки?

234. Бащата е три пъти по-голям от сина, а сборът от годините и на двамата е 48 години. Определете възрастта и на двамата.

234. Бащата е два пъти по-възрастен от сина, като сборът на двете години е 13 години. Определете възрастта и на двамата.

235. Синът е четири пъти по-млад от бащата, а разликата между годините им е 27 години. Колко да лети всеки?

235. Синът е пет пъти по-млад от бащата, а разликата между годините им е 32 години. На колко години е всеки?

236. В три кошници има 47 ябълки, като първата и втората кошница са разделени по равно, а третата има с 2 ябълки повече от всяка друга. Колко ябълки има във всяка кошница?

236. В три кошници има 110 ябълки, като първата и третата са разделени по равно, а втората има 4 ябълки по-малко от всяка от другите. Колко ябълки има във всяка кошница?

237. Трите сребърника тежат заедно 48 паунда. Първият е с 12 паунда по-тежък от втория, а третият е с 9 паунда по-тежък от първия. Колко тежи всяко парче?

237. Три сребърни парчета тежат заедно 33 паунда.Първата е с 5 паунда по-лека от втората, а третата е с 2 паунда по-лека от първата. Колко тежи всяко парче?

238. Синът е с 20 години по-млад от бащата и с 5 години по-голям от дъщерята. Сумата от трите години е 60 години. На колко години е всеки

238. Майката е с 21 години по-голяма от сина си и със 7 години по-млада от баща му. Сумата от трите години е 64 години. На колко години е всеки?

239. Има общо 66 книги на три рафта, като три пъти повече в долната част и два пъти повече в средата, отколкото в горната. Колко книги има на всеки рафт?

239. На три рафта има само 60 книги, а на дъното има шест пъти повече, а отгоре пет пъти повече, отколкото на средния. Колко книги има на всеки рафт?

240. Гората, градината и ливадата заедно струват 10 800 рубли Поляната е 2 пъти по-скъпа от градината, а гората е 3 пъти по-скъпа от ливадата. Колко струва всеки от тях поотделно?

240. Гора, градина и ливада струват заедно 17 600 рубли Гората е 3 пъти по-скъпа от градината, а ливадата е 4 пъти по-скъпа от гората. Колко струва всеки от тях поотделно?

241. Разделете числото 21 на две части, така че кратното на съотношението на първата част към втората да е равно на дроб 3/4.

241. Разделете числото 48 на две части, така че кратното отношение на втората част към първата да е равно на дроб 5/3.

242. Разделете числото 88 на две части, така че частните от деленето на първата част на 5 и втората на 6 да са равни.

242. Разделете числото 55 на две части, така че частните от деленето на първата част на 7, a. вторият по 4 бяха равни.

243. Сборът от две числа е 85, а разликата им е 15. Намерете и двете числа.

243. Сборът от две числа е 72, а разликата им е 8. Намерете и двете числа.

244. Разликата на две числа е 8, а тяхното кратно съотношение е равно на дроб 3/2. Намерете тези числа.

244. Разликата на две числа е 12, а тяхното кратно отношение е равно на дроб 5/3. Намерете тези числа.

245. Разделете числото 46 на две части, така че разликата на частните от разделянето на първата част на 3 и втората на 7 да е равна на 2.

245. Разделете числото 59 на две части, така че разликата на частните от разделянето на първата част на 3 и втората на 5 да е равна на 1.

246. Разделете числото 75 на две части, така че по-голямата част да е три пъти разликата между двете части.

246. Разделете числото 56 на две части, така че по-малката част да е три пъти разликата между двете части.

247. Сборът от две числа е 64. При разделяне на по-голямо число на по-малко, частното е 3, а остатъкът е 4. Намерете тези числа.

247. Сборът от две числа е 45. Когато по-голямо число се раздели на по-малко, частното е 5, а остатъкът е 3. Намерете тези числа.

248. Разликата на две числа е 35. При разделяне на по-голямо число на по-малко, частното е 4, а остатъкът е 2. Намерете тези числа.

248. Разлика на две числа 23. При разделяне на по-голямо число на по-малко, частното е 2, а остатъкът е 11. Намерете тези числа.

249. Едно от двете неизвестни числа е по-голямо от другото с 5. Ако разделите по-малкото число на 4 и по-голямото на 3, тогава първото частно ще бъде с 4 по-малко от второто. Намерете и двете числа.

249. Едно от двете неизвестни числа е по-голямо от другото с 15. Ако разделите по-голямото число на 9 и по-малкото на 2, тогава първото частно ще бъде с 3 по-малко от второто. Намерете и двете числа.

250. Едно от двете неизвестни числа е по-малко от другото с 6. Ако разделите по-голямото число наполовина, тогава полученото частно ще бъде с три единици по-малко от другото число. Намерете и двете числа.

250. Едно от двете неизвестни числа е по-малко от другото с 18. Ако разделите по-голямото число на три, тогава полученото частно ще бъде с две единици по-голямо от другото число. Намерете и двете числа.

251. Един резервоар има два пъти повече вода от другия; ако излеете 16 кофи от първата във втората, тогава и в двете ще има равни количества вода. Колко вода има във всяка?

251. В един резервоар има три пъти повече вода, отколкото в друг; ако излеете 22 кофи от първата във втората, тогава и двете ще съдържат равни количества вода.Колко вода има във всяка?

252. На пазара двама търговци имат само 220 яйца; ако вторият от тях даде първите 14 яйца, тогава броят на яйцата за всяко от тях ще бъде същият. Колко яйца има всяко?

252. На пазара двама търговци имат само 186 яйца; ако вторият от тях даде първите 10 яйца, тогава броят на яйцата за всяко от тях ще бъде същият. Колко яйца има всяко?

253. Някой има 4 пъти повече рубли в десния си джоб, отколкото в левия; ако прехвърли 6 рубли от десния си джоб в левия, тогава в десния ще има само 3 пъти повече пари, отколкото в левия. Колко пари има във всеки джоб?

253. Някой има 3 пъти повече рубли в десния си джоб, отколкото в левия; ако обаче 5 рубли се прехвърлят от левия джоб в десния, тогава десният ще съдържа пет пъти повече пари от левия. Колко пари има във всеки джоб?

254. Когато двама работници бяха платени във фабриката, първият от тях получи 12 рубли повече от втория за работа, а след това вторият работник му плати 2 рубли. дълг. Оказа се, че първият донесе три пъти повече пари от втория. Колко спечели всеки?

254. При изчисляване на двама работници във фабриката, първият от тях получи 20 рубли по-малко от втория за работа, но в същото време вторият работник му върна 2 рубли. дълг. Оказа се, че първият е прибрал половината пари от втория. Колко спечели всеки?

255. Едното момче има 30 копейки, другото 11. Колко пъти трябва да дадат по една копейка, за да има първото два пъти повече пари от второто?

255. Едно момче има 48 копейки, друго има 22 копейки Колко пъти трябва да похарчат по една копейка, за да има първото три пъти повече пари от второто?

256. Бащата е на 40 години, а синът е на 12 години. Преди колко години бащата е бил пет пъти по-голям от сина?

256. Бащата е на 49 години, а синът е на 11 години. След колко години бащата ще бъде три пъти по-възрастен от сина?

257. Един собственик на земя има четири пъти повече овце от друг. Ако и двамата купят по 9 овце, тогава първата ще има три пъти повече овце от втората. Колко овце има всеки?

257. Един земевладелец има три пъти по-малко овце от друг. Ако и двамата продадат по 10 овце, тогава първата ще има пет пъти по-малко овце от втората. Колко овце има всеки?

258. Бащата е с 39 години по-голям от сина си, а след 7 години ще бъде 4 пъти по-голям от сина си. На колко години е единият и другият?

258. Баща и син заедно са на 88 години, а преди 8 години бащата е бил 7 пъти по-голям от сина си. На колко години е единият и другият?

259. Единият резервоар има 48 кофи, а другият има 22 кофи вода. От първия е източен два пъти повече вода, отколкото от втория, а след това в първия е останал три пъти повече вода, отколкото във втория. Колко кофи се изсипват от всяка?

259. В един резервоар има 42 кофи, а в друг - 8 кофи вода. В първия се налива три пъти повече вода, отколкото във втория, а след това се оказва, че в първия има четири пъти повече вода, отколкото във втория. Колко кофи се изсипват във всяка?

260. Двама души, играещи карти поотделно, имаха в началото на играта - първият 72 рубли, вторият 21 рубли. Първият загуби три пъти освен товаколко спечели вторият. След играта първият играч имаше два пъти повече пари от втория играч. Колко спечели вторият и колко загуби първия?

260. Двама души, играещи карти поотделно, имаха в началото на играта - първият 25 рубли, вторият 12 рубли. Първият спечели два пъти повече, отколкото вторият загуби. След играта се оказа, че първият играч има пет пъти повече пари от втория. Колко загуби вторият и спечели първият?

261. Търговецът продаде за първи път част от 2/7 от броя на ябълките, които имаше, за втори път p от същия брой; тогава му останаха само 8 ябълки. Колко ябълки имаше?

261. Разносникът продаде първия път 1/9 от броя на ябълките, които имаше, втория път 5/6 от същия брой; тогава му останаха само 4 ябълки. Колко ябълки имаше?

262. Първо, една трета от общото количество вода се излива от резервоара за вода, след това 5/6 от останалата част и след това остават само 6 кофи. Колко вода имаше в резервоара?

262. Първо от резервоара за вода се изсипва 3/5 от общото количество, след това 3/4 от останалото и след това остават само 5 кофи. Колко вода имаше в резервоара?

263. В едно общество имаше 40 мъже, жени и деца. Броят на жените е бил 3/5 от броя на мъжете, а броят на децата е бил 2/3 от броя на мъжете и жените заедно. Колко мъже, жени и деца имаше?

263. В едно общество имаше 72 мъже, жени и деца. Броят на мъжете е 2/3 от броя на жените, а броят на децата е 4/5 от броя на мъжете и жените заедно. Колко мъже, жени и деца имаше?

264. За 30 аршина плат от две разновидности бяха платени само 128 рубли; аршин от първи клас струва 4 1/2 рубли, а аршин от втори клас струва 4 рубли Колко аршина от двата класа са закупени?

264. Само 120 рубли бяха платени за 27 аршина плат от две степени; аршин от първи клас струва 5 рубли; аршин от втория 3 п. 75 к.. Колко аршина от двата сертификата са закупени?

265. Търговецът на чай продаде 38 паунда чай от два сорта на цена от 3 r. на паунд от първи клас и 1 стр. 60 копейки за килограм от втори клас и в същото време спечели 22 рубли повече за целия първи клас, отколкото за втори. Колко чая от двата сорта са продадени?

265. Един търговец на чай продаде 110 паунда чай от два сорта на цена от 4 1/2 r. на паунд от първи клас и 2 стр. 25 к. за паунд от втори клас и в същото време спечели 45 рубли по-малко за първи клас, отколкото за втори. Колко чая от двата сорта са продадени?

266. Изпълнителят наел служител при условие да му плати 90 копейки. за всеки работен ден и приспадат от него 40 копейки. за всеки неработен ден. След 12 дни работникът получи 6 r. 90 к.. Колко дни е работил?

266. Изпълнителят е наел служител при условие да му плати 80 копейки. за всеки работен ден и приспадане на 50 копейки от него. за всеки неработен ден. След 50 дни работникът получи 21 рубли. 80 в .. Колко дни прескочи?

267. НОи ATиграят билярд с условието победителят в играта да получи 76 k от загубилия; след 20 мача се оказа, че ATспечели само 4 r. 50 к.. Колко игри спечели?

267 НОи ATиграят билярд с условието победителят в играта да получи 50 k от загубилия; след 12 мача се оказа, че НОспечели само 2 пъти Колко игри загуби?

268. Двама куриера тръгнаха едновременно от два града, разположени на разстояние 300 мили, и пътуват един към друг. Първият изминава 12 версти на час, вторият 13 версти. Кога ще се срещнат?

268. Двама куриера тръгнаха едновременно от два града, разположени на разстояние от 280 мили, и тръгват един към друг. Първият пътува 11 версти на час, вторият 17 версти. Кога ще се срещнат?

269. от две станции железопътна линия, намиращ се на разстояние 77 версти, два влака тръгват едновременно и тръгват в една и съща посока със скорости 31 1/2 версти и 18 2/3 версти в час, като първият следва втория. Кога ще го настигне?

269. От две железопътни гари, разположени на разстояние 38 версти, тръгват едновременно два влака и тръгват в една и съща посока със скорост 25 1/4 версти и 20 1/2 версти в час, като първият следва втория. Кога ще го настигне?

270. Пътнически влак тръгва от гарата в 12 часа на обяд, правейки 32 инча. в един часа. След 45 минути куриерски влак напуска същата гара, правейки 42 инча. в един часа. В колко часа куриерският влак ще изпревари пътническия влак?

270. Пътнически влак тръгва от гарата в 9 часа сутринта и прави 28 инча. в един часа. Час и четвърт по-късно от същата гара тръгва куриерски влак, който прави 40 волта. в един часа. В колко часа куриерският влак ще изпревари пътническия влак?

271. Какъв капитал трябва да се даде за растеж при 6%, за да се реализира печалба от 224 рубли за 1 година и 2 месеца?

271. Какъв капитал трябва да се откаже за растеж при 8%, за да се получи печалба от 182 рубли за 7 месеца?

272. Колко лихва трябва да се даде за растеж на капитала от 4400 рубли, за да получите печалба от 280 рубли за 1 година и 5 месеца. 50 к.?

272. С колко лихва трябва да се изплати лихва от капитал от 1800 рубли, за да се получи печалба от 93 рубли за 11 месеца. 60 к.?

273. Търговецът, след като продаде стоките за 299 рубли, спечели 15% от печалбата. Какво му струва продукта?

273. Един търговец, продал стока за 161 рубли, получи 7 1/2% от печалбата. Какво му струва продукта?

274. При продажба на стоки в размер на 429 p. получени на загуба от 2 1/2%. Каква е цената на един продукт?

274. При продажба на стоки в размер на 366 рубли. получени на загуба 8 1 / 2 % Каква е себестойността на стоката?

275. По сметката 10 месеца преди датата на падежа са платени 1120 рубли, с търговско счетоводство на 8%. Намерете валутата на сметката.

275. По сметка за 1 година 3 месеца преди датата на падежа са платени 839 рубли. 60 коп. с търговско счетоводство на 7%. Намерете валутата на сметката.

276. Басейнът се пълни с едната тръба в 3 часа, другата в 5 часа. Колко време ще отнеме зареждането, ако и двете тръби се отворят едновременно?

276. Басейнът се пълни с едната тръба в 7 1/2 часа, с другата в 5 часа. Колко време ще отнеме зареждането, ако и двете тръби се отворят едновременно?

277. Басейнът се пълни с една тръба в 4 часа, а през другата може да изтича цялата в 6 часа. В колко часа ще се напълни басейнът при едновременното действие на двете тръби?

277. Басейнът се пълни с една тръба на 2 1 / 3 часа, а през другата може да изтече цялата на 2 часа 48 часа. Колко време ще се пълни басейнът при едновременното действие на двете тръби?

278. Двама работници заедно завършват работа в 3 часа 36 минути; първият може да го изпълни в 6 часа. В колко часа вторият човек ще свърши същата работа?

278. Двама работници заедно свършват работа в 12 часа; първият може да го изпълни в 20 часа. В колко часа вторият ще свърши същата работа?

279. В басейна има три тръби; водата влиза през първите две, изтича през третия. През първата тръба басейнът може да се напълни в 3 часа, през втората в 2 часа, а през третата цялата вода може да изтича от басейна в 6 часа. В колко часа ще се напълни басейнът, ако се отворят и трите тръби?

279. В легена има три тръби; водата влиза през първите две, изтича през третия. През първата тръба басейнът може да се напълни в 2 часа, през втората в 5 часа, а през третата цялата вода може да изтича от басейна в 10 часа. В колко часа ще се напълни басейнът, ако се отворят и трите тръби?

280. От трите тръби, изтеглени в басейна, първата го пълни в 5 часа, втората го пълни в 15 часа, а през третата целият басейн изтича в 3 часа. Колко време ще отнеме, за да се източи пълен басейн, ако всички тръби са активни едновременно?

280. От трите тръби, изтеглени в басейна, първата го пълни в 6 часа, втората го пълни в 18 часа, а през третата целият басейн изтича в 3 часа. Колко време ще отнеме, за да се източи целият басейн, ако всички тръби работят едновременно?

281. Вторият влак на ж.п. тръгва от НОв ATсъс средна скорост от 30 мили в час, след което се връща от ATв НОсъс скорост от 28 мили в час. Той прави цялото пътуване до там и обратно на 2 1/2 часа. На колко мили от НОпреди AT?

281. Вторият влак на ж.п. тръгва от НОв ATсъс средна скорост от 24 мили в час, след което се връща от ATв НОсъс скорост 30 мили в час. Той прави цялото пътуване до там и обратно в 11 1/4 часа. На колко мили от НОпреди AT?

282. От НОв ATизлезе влак, който минаваше на час от 20 версти. След 8 часа влакът тръгва ATв НО, преминавайки 30 инча. в един часа. Разстоянието АБсе равнява на 350 V.. На какво разстояние от НОвлакове се срещат?

282. От НОв ATизлезе влак, минаващ в час от 24 версти. Влакът тръгва след 5 часа. ATв НОпреминаване на 28 в. в един часа. Разстоянието АБравно на 380 инча, на какво разстояние от ATвлакове се срещат?

283. Сборът от три числа е 70. Второто число, разделено на първото, дава частно от 2 и остатък от 1, третото, когато се раздели на второто, дава частно от 3 и остатъка от 3. Намерете тези числа.

283. Сборът от три числа е 60. Второто число, разделено на първото, дава частно от 3 и остатък от 2; третото, когато се раздели на второто, дава частно от 2 и остатъка от 4 Намерете числата.

284. Намерете число, което, когато се раздели на 5, оставя остатъка от 2, а когато се раздели на 8, ще получите остатък от 5, като знаете, че първото частно е три пъти по-голямо от второто.

284. Намерете число, което, когато се раздели на 7, оставя остатъка от 2, а когато се раздели на 9, дава остатък от 4, като се знае нещо повече. че първото частно е с две по-голямо от второто.

285. Някой, който искаше да раздаде парите, които имаше със себе си, на бедните, изчисли, че ако на всеки му се дадат по 15 копейки, тогава 10 копейки няма да му стигнат, а ако на всеки се дадат по 13 копейки, тогава 6 копейки ще останат допълнително. Колко просяци имаше и колко пари?

285. Някой, като искал да раздаде парите, които имаше при себе си, на бедните, изчислил, че ако на всеки се дадат по 8 копейки, тогава ще останат 4 копейки. излишно и ако на всеки се дадат по 9 копейки, тогава 2 копейки няма да са достатъчни .. Колко просяци имаше и колко пари?

286. Инженерът поставя телеграфни стълбове на известно разстояние. Ако ги постави на разстояние от 25 сажени един от друг, тогава ще трябва да се направят още 150 стълба, а ако увеличи разстоянието между стълбовете с 5 фатома, тогава 70 стълба ще бъдат допълнително. Колко голямо е разстоянието и колко стълба са направени?

286. Инженер поставя телеграфни стълбове на известно разстояние. Ако ги постави на разстояние от 30 сажени един от друг, тогава ще му останат 100 допълнителни стълба, а ако намали разстоянието между стълбовете с 4 сажени, тогава ще трябва да се направят още 180 стълба. Колко голямо е разстоянието и колко стълба са направени?

287. Някой, когато наема слуга, му обеща за една година служба да плати пари и 144 рубли. и давам дрехи. Слугата се изплати след 7 месеца и получи дрехи и 54 рубли за плащане. Колко струваха дрехите?

287. При наемане на слуга някой обещал да му плати 75 рубли пари за 7 месеца служба и да му даде дрехи. Слугата се изплати след 5 месеца и получи дрехи и 45 рубли за плащане. Каква е цената на облеклото?

288. Платено за 46 паунда захар за 195 рубли. повече от 73 паунда чай; 9 пуда захар струват 30 рубли по-малко от 37 паунда чай. Колко струват един паунд чай и пуд захар?

288. Платено за 21 паунда чай за 238 рубли по-малко, отколкото за 40 паунда захар; 15 паунда чай струват 2 рубли. по-скъпо от 4 пуда захар. Колко струват един паунд чай и пуд захар?

289. Собственикът на земята наел двама селяни за една и съща дневна надница. Един от тях за 40 дни, той даде 7 p. 50 копейки пари и 3 1/2 четвърти овес, още 4 рубли за 24 дни. 80 к. в брой и 2 четвърти овес. Колко струва една четвърт от овес?

289. Собственикът на земята наел двама селяни за една и съща дневна надница. Той даде 14 рубли на един от тях за 56 дни. пари и 8 четвърти овес, друг за 88 дни 13 п. 50 к. в брой и 15 четвърти овес. Каква е цената на една четвърт овес?

290. Платено за 25 аршина плат и 21 аршина. кадифе 247 рубли. Известно е, че 10 арш. кадифе струваше 18 рубли повече от 13 аршина плат. Какво струва един аршин и от двете?

290. Платено за 15 аршина кадифе и 52 аршина. плат 276 рубли. Известно е, че 2 арш. кадифе струва 17 рубли по-малко от 11 арш. плат. Какво струва един аршин и от двете?

291. Сборът от цифрите на двуцифрено число е 12. Ако 18 се извади от желаното число, тогава получавате число, обозначено със същите цифри, но записано в обратен ред. Намерете този номер.

291. Разликата между цифрите на единиците и десетките на някакво двуцифрено число е равна на 3. Ако към желаното число се добави 27, тогава получаваме число, обозначено със същите цифри, но изписано в обратен ред. Намерете този номер.

292. В някакво двуцифрено число броят на десетките е два пъти по-голям от броя на единиците. Ако пренаредим цифрите на това число, тогава получаваме число, по-малко от желаното с 36. Намерете това число.

292. В някакво двуцифрено число броят на десетките е три пъти по-малък от броя на единиците. Ако пренаредим цифрите на това число, получаваме число, по-голямо от желаното с 36. Намерете това число.

293. Аиграе шах с ATи печели три от всеки четири игри срещу него, след което играе с Си печели две от всеки три мача срещу последния. Обща сума НОизигра 21 мача и спечели 15 от тях.С колко игри е играл ATи със С?

293. НОиграе шах с ATи губи от него три от всеки осем игри, след което играе с Си губи две от всеки пет мача до последния. В общи линии НОизигра 26 мача и загуби 10 от тях.С колко игри е играл ATи със С?

294. Колко е часът сега, ако 1/5 от броя на часовете след обяд е 1/3 от броя на часовете до полунощ?

294. Колко е часът сега, ако 1/11 от броя на часовете, изминали след обяд, е равна на 1/13 от броя на часовете, останали до полунощ?

295. Намерете теглото на рибата, като знаете, че опашката тежи 2 паунда, главата тежи колкото опашката и половината от тялото, а тялото тежи колкото главата и опашката.

295. Намерете теглото на рибата, като знаете, че главата й тежи 7 паунда, опашката тежи колкото главата и половината от тялото, а тялото тежи колкото опашката и главата.

296. Определена сума трябва да бъде разделена на две лица, така че частите на първия и втория да са свързани помежду си като числата 5 и 3 и тази част от първата е 50 рубли. над 5/9 от общия брой. Колко голяма е всяка част?

296. Определена сума трябва да се раздели между две лица, така че частите на първото и второто да са свързани помежду си като числата 7 и 4, а частта от второто да е 21 рубли. по-малко от 5/12 от цялата сума. Колко голяма е всяка част?

297. Продуктът беше продаден на загуба за 420 рубли; ако се продаде за 570 рубли, тогава получената печалба ще бъде 5 пъти повече от понесената загуба. Каква е цената на един продукт?

297. Стоки, продадени на печалба за 520 рубли; ако беше продаден за 320 рубли, тогава щеше да има загуба в размер на 3/7 от приходите. Каква е цената на един продукт?

298. Броят на аршините от калико, съдържащи се в три парчета, са свързани като 2:3:5. Ако отрежеш 4 аршина от първото парче, 6 аршина от второто. и от третия 10 арш., тогава останалото количество от целия ситц ще бъде 5/6 от предишното количество. Колко аршина има във всяко парче?

298. Броят на аршините от калико, съдържащи се в три парчета, е 3:5:8. Ако се отсече от първите 10 аршина, от вторите 20 аршина. и от третия 30 арш., тогава останалото количество от целия ситц ще бъде 5/8 от предишното количество. Колко аршина има във всяко парче?

299. Първо, половината от цялата вода в него и половин кофа бяха изляти от резервоара, след това половината от остатъка и половин кофа, накрая друга половина от остатъка и половин кофа; след това в резервоара останаха 6 кофи. Колко вода имаше в началото?

299. Една трета от водата, която беше в него и една трета от кофата бяха изляти от резервоара, след това една трета от остатъка и една трета от кофата, накрая друга трета от остатъка и една трета от кофата; след това в резервоара останаха 7 кофи Колко вода имаше в началото?

300. Няколко лица разделят някаква сума, както следва; първият получава 100 r. и една пета от остатъка, втората 200 рубли и една пета от новото салдо, третата 300 рубли и една пета от остатъка и т.н. Оказа се, че цялата сума е разделена на равни части. Колко голяма е тази сума, колко участници са в дивизията и колко получи всеки?

300. Няколко души разделят определена сума по следния начин: първият получава 50 рубли и една шеста от остатъка, вторият 100 рубли и шестата от новото салдо, третият 150 рубли и една шеста от остатъка и т.н. от това, че цялата сума е разделена на равни части. Колко голяма е тази сума, колко участници са в дивизията и колко получи всеки?

Следващите задачи се различават от предишните по това, че данните се изразяват имплицитно, а именно с букви. Тези задачи принадлежат към същия тип като предишните. При решаването им се повтарят най-важните от използваните по-рано методи, но поради имплицитната форма на данните разсъжденията са по-общи и в същото време по-абстрактни. В новите упражнения, както и в предишните, трябва преди всичко да се погрижим да изразим чрез основното неизвестно и чрез дадените обозначения всички величини, които са пряко посочени в задачата или които се подразбират в нея, а в това В случай, че трябва последователно да се вземат предвид всички обозначения, дадени в задачата, и всички условия, свързани с данните и търсените, когато по този начин всички условия ще бъдат използвани в случая, тогава мисълта как да се съставете необходимото уравнение ще се появи.

301. Разлика от две числа с q . Намерете и двете числа.

301. Разлика на две числа д , кратното съотношение на по-голямото към по-малкото q . Намерете и двете числа.

302. Разделете число а на три части, така че първата част да е по-голяма от втората с число т и по-малко от една трета П веднъж.

302. Разделяне на число а на три части, така че първата част да е по-малка от втората с число т и повече от една трета П веднъж.

303. Едно число в а пъти по-малко от другия. Ако добавите към първото число т , и към втория П , тогава първата сума ще бъде в б пъти по-малко от втория. Намерете тези числа.

303. Едно число в а пъти по-малко от другия. Ако извадим от първото т , а от втория П , тогава първата разлика ще бъде в б пъти повече от втория. Намерете тези числа.

304. Броят на една дроб е по-малък от знаменателя й с число а ; Ако обаче дробите се извадят от двата члена по б т / П . Намерете членове на дроб.

304. Числителят на дроб е по-голям от знаменателя й с число а . Ако добавим към двата члена на дроба по б , тогава получавате дроб, равна на фракцията т / П . Намерете членове на дроб.

305. Разделете число а Р пъти повече от втория и q пъти по-малко от една трета.

305. Разделяне на число а на три части, така че първата беше. в Р пъти по-малко от втория и q пъти повече от една трета.

306. Знаменателят на дроб е най-големият от нейния числител в а веднъж. Ако добавим към числителя числото б и извадете числото от знаменателя с , тогава получавате дроб, равна на фракцията к /л . Намерете членове на дроб.

306. Знаменателят на дроб е по-малък от числителя в а веднъж. Ако извадим числото от числителя б и добавете число към знаменателя с , след това научете дроб, равна на дроба к /л . Намерете членове на дроб.

307. Разделете число т на две части, така че разликата между частните от разделянето на първата част на а и второ б бих се радвал r.

307. Разделяне на число т на две части, така че сумата от частните от деленето на първата част на а и второ б би равностойно с .

308. Служителят получава за всеки работен ден а копейки, а за всеки неработещ удържат б копейки. След изтичането на П дни, нетният доход на работника е равен на с рубли. Колко работни и колко неработни дни?

308. Служителят получава за всеки работен ден а копейки, като за всяка неработеща се приспадат от нея б копейки. След изтичането на П дни, служителят трябва сам да плати 5 рубли Колко работни дни и колко неработни дни?

309. Разлика от две числа д . Разделянето на minuend на изваждането дава частното q и остатък, равен на половината от разликата. Намерете тези числа

309. Разлика на две числа д . Разделянето на minuend на изваждането дава остатъка r и коефициент, равен на половината от разликата. Намерете тези числа.

310. За няколко аршина плат. платени а рубли; ако купим повече плат с б

310. Платено за няколко аршина плат а рубли; ако купим плат за по-малко с аршин, тогава ще трябва да платиш б рубли. Колко аршина са купени?

311. Какво число, когато се умножи по а , ще се увеличи с числото т ?

311. Какво число, като се дели на а , намалете с числото т ?

312. При продажба на къща за м получени рубли Р процент загуба. Какво струваше на самия продавач?

312. При продажба на къща за т получена рубла Р процент печалба. Какво струваше на самия продавач?

313. Двама куриера тръгват едновременно от две места НОи ATи пътуват в същата посока НОда се ATи така нататък. ІІ първи минава за час а верста, втора б верста Разстоянието АБсе равнява д верста Кога и колко далеч от НО Първият куриер ще изпревари ли втория?

313. Двама куриера тръгват едновременно от две места НОи ATи върви един към друг. Първият минава за час а верста, втора б верста Разстоянието АБсе равнява д верста Кога. и колко далеч от НОще се срещнат ли и двамата куриери?

314. Предното колело на каретата е с обиколка от а крака, задна обиколка б фута Колко далеч трябва да измине каретата, за да може предното колело П високи обороти на заден ход?

314. На предното колело на каретата има кръг а фута по-малко от задната. Колко разстояние трябва да измине каретата, за да измине предното колело т , и гърба П революции?

315. В басейна се водят две тръби, като и двете го пълнят, първата с отделно действие а часа, вторият също с отделно действие в б часа. В колко часа ще се напълни басейнът при едновременното действие на двете тръби?

315. В басейна се водят две тръби, от които първата с отделно действие го запълва. а часа, а вторият също, в отделно действие, излива целия басейн б часа. Колко време ще отнеме запълването на басейна при едновременна работа на двете тръби?

316. Обиколка на колелото на екипажа а пъти обиколката на предното колело. Екипажът мина т крака, като при това предното колело направи да се обороти повече от задната. Определете обиколката на двете колела и броя на оборотите.

316. Обиколката на предното колело на а фута по-малко от задната обиколка. Екипажът мина т крака, и в същото време задното колело влезе да се пъти по-малко обороти от предната. Определете обиколката на двете колела и броя на оборотите.

317. Населението на един град се увеличава ежегодно с Р % спрямо населението от предходната година. В момента в града т

317. Населението на един град намалява годишно с Р % спрямо населението от предходната година. В момента в града т жители. Колко души имаше преди 3 години?

318. Двама работници, работещи едновременно, завършват работата си а часа. Един първи ще свърши същата работа б , пъти по-бързо от една секунда. В колко часа всеки работник ще свърши работата?

318. Двама работници, работещи едновременно, завършват работа в а часа. Един първи ще свърши същата работа б , пъти по-бавно от една секунда. В колко часа всеки работник приключва работата?

319. Лодкарят, гребейки по реката, плува П сажен в т часа; гребене срещу течението, той използва и повече часове за плуване на същото разстояние. Определете почасовия дебит.

319. Лодкар, гребещ срещу течението, плува П сажен в т часа; гребвайки надолу по течението, той използва и часа по-малко, за да плувате същото разстояние. Определете почасовия дебит.

320. тяло НОдвижейки се със скорост v метра в секунда. Колко бързо трябва да се движи другото тяло? AT, идващи от същото място т секунди по-рано, ако е изпреварено от тялото НОпрез и секунди след началото на движението на това тяло?

320. Тяло Адвижейки се със скорост v метра в секунда. Колко бързо трябва да се движи другото тяло? ATидващи от същото място и секунди по-късно, ако настигне тялото НОпрез и секунди след началото на движението му?

321. От двата вида стоки, на цена от а рубли и б рубли за паунд, съставен д т рубли за получен паунд с загуба на рубли. Колко паунда от двата вида са влезли за приготвянето на сместа?

321. От две разновидности стоки, на цена от а рубли и б рубли за паунд, съставен д паунда микс. При продажба на тази смес от т рубли за получен паунд с рубли печалба. Колко паунда от двата вида са влезли за приготвянето на сместа?

322. B басейн, настаняване т кофи, бяха положени две тръби. Първият се излива в басейна а кофи на час. Вторият излива целия басейн б часа. В колко часа ще се напълни басейнът при едновременна работа на двете тръби?

322. Към басейна, съдържащ т кофи, бяха положени две тръби. Първият запълва целия басейн а часа. Вторият след час излива от басейна б кофи. В колко часа ще се напълни басейнът при едновременна работа на двете тръби?

323. Разделете число а на три части, така че първата да се отнася до втората, като t:p , а вторият към третия, като p: q.

323. Разделяне на число а на три части, така че втората да се отнася до първата, като t:p , а третият към втория, като p: q.

324. От две места НОи AT П сажен, две лодки плават една към друга, задвижвани от гребци с еднаква сила. Първият, плаващ надолу по течението, изминава цялото разстояние АБв т часа; вторият, плуващ срещу течението, използва същото разстояние повече време за и часа. Определете почасовия дебит.

324. От две места НОи ATна реката, разделени един от друг с П сажен, две лодки плават една към друга, задвижвани от гребци с еднаква сила. Първият, плувайки срещу течението, изминава цялото разстояние АБв т часа; вторият, вървящ по течението, използва по-малко време за същото разстояние и часа. Определете почасовия дебит.

325. Определете главните букви на три лица, като знаете, че първото и второто имат заедно т рубли, вторият с третия П рубли, и че капиталът на първия Р пъти по-малко от капитала на третата.

325. Определете главните букви на три лица, като знаете, че първото и третото имат заедно т рубли, вторият с третия П рубли, и че капиталът на първия Р пъти столицата на втория.

326. Две тела се движат едно към друго от две места на разстояние д метра. Първият се движи със скорост v метра в секунда. С каква скорост трябва да се движи второто тяло, ако е достигнало з секунди по-късно от първия и трябва да отиде преди срещата на всичко П секунди?

326. Две тела се движат едно към друго от две места на разстояние д метра. Първият се движи със скорост v метра в секунда. С каква скорост трябва да се движи второто тяло, ако е достигнало з секунди преди първияи трябва да отиде до срещата на всичко П секунди?

327. Запис на заповед с отстъпка в търговската мрежа Р % зад П години преди крайния срок, дава повече математическо разглеждане, също направено съгл Р % и за П години, на а рубли. Намерете валутата на седмицата.

327. Комерсиално сконтирана сметка Р % зад П години, стои на т рубли по-евтино, отколкото при математическо счетоводство, също направено според Р % и за П години Каква е сумата на сметката?

328. Двама куриера напускат местата НОи Бразположен на разстояние д верста и тръгват към, минавайки в първия час u версия и втора v версти; заминаване на първия НОсе състоя на з AT. Определете кога и къде ще се срещнат куриерите?

328. Двама куриера напускат местата НОи Бразположен на разстояние д верста, и двамата тръгват в една и съща посока, минавайки по час или един и верста и втора v версти; тръгване първо от НОсе състоя на з часа преди заминаването на втория Б. Определете кога и къде първият куриер ще изпревари втория?

329. Разделете число а на такива три части, че ако прикрепите към първата т , вторият първо се намалява с м , и след това умножете по П , а третото разделете на П , тогава резултатите ще бъдат същите.

329. Разделяне на число а на такива три части, че ако първата се намали с т , първо увеличете второто с т , след това умножете по П , а третото разделете на П , тогава резултатите ще бъдат същите.

330. В басейна има три тръби. А, Би С. През НОи Сводата тече през AT НОи ATбасейнът се пълни т часа, в действие НОи ° Св П часа, в действие ATи Св Р часа. В колко часа басейнът ще се напълни с едновременното действие на трите тръби?

330. В басейна се водят три тръби А, Би С. През НОводата тече през ATи Сследва. Със съвместното действие на тръбите НОи ATбасейнът се пълни т часа, в действие НОи Св П часовник, тръби ATи Сизлейте целия басейн Р часа. Колко време ще отнеме, за да се източи целият басейн, ако и трите тръби работят едновременно?

Уравнение на права линия върху равнина.
Векторът на посоката е прав. Нормален вектор

Правата линия в равнина е една от най-простите геометрични фигури, познат ви още от началните класове, а днес ще научим как да се справяме с него с помощта на методите на аналитичната геометрия. За да овладеете материала, е необходимо да можете да изградите права линия; знаете кое уравнение определя права линия, по-специално права линия, минаваща през началото и прави линии, успоредни на координатните оси. Тази информация може да бъде намерена в ръководството. Графики и свойства на елементарни функции, аз го създадох за matan, но разделът за линейна функциясе оказа много успешен и подробен. Затова, скъпи чайници, първо загрейте там. Освен това трябва да имате основни познания за векторив противен случай разбирането на материала ще бъде непълно.

В този урок ще разгледаме начините, по които можете да напишете уравнението на права линия в равнина. Препоръчвам да не пренебрегвате практическите примери (дори и да изглеждат много прости), тъй като ще ги снабдя с елементарни и важни факти, технически методи, които ще са необходими в бъдеще, включително в други раздели на висшата математика.

• Как да напиша уравнението на права линия с наклон?
• Как ?
• Как да намерим вектора на посоката по общото уравнение на права линия?
• Как да напиша уравнение на права линия с дадена точка и нормален вектор?

и започваме:

Линейно уравнение с наклон

Нарича се добре познатата "училищна" форма на уравнението на права линия уравнение на права линия с наклон. Например, ако правата линия е дадена от уравнението, тогава нейният наклон: . Помислете за геометричното значение на този коефициент и как неговата стойност влияе върху местоположението на линията:

В хода на геометрията се доказва, че наклонът на правата линия е тангенс на ъгълмежду положителна посока на оси даден ред: , а ъгълът се „развива“ обратно на часовниковата стрелка.

За да не претрупвам чертежа, нарисувах ъгли само за две прави линии. Помислете за "червената" права линия и нейния наклон. Съгласно горното: (ъгълът "алфа" е обозначен със зелена дъга). За "синята" права линия с наклона е вярно равенството (ъгълът "бета" е обозначен с кафявата дъга). И ако тангенсът на ъгъла е известен, тогава, ако е необходимо, е лесно да се намери и ъгълас помощта на обратната функция - дъгова допирателна. Както се казва, тригонометрична таблица или калкулатор в ръка. По този начин, наклонът характеризира степента на наклон на правата линия към оста x.

В този случай са възможни следните случаи:

1) Ако наклонът е отрицателен: , тогава линията, грубо казано, върви отгоре надолу. Примери са "сини" и "пурпурни" прави линии в чертежа.

2) Ако наклонът е положителен: , тогава линията върви отдолу нагоре. Примери са "черни" и "червени" прави линии в чертежа.

3) Ако наклонът е равен на нула: , тогава уравнението приема формата , а съответната права е успоредна на оста. Пример за това е "жълтата" линия.

4) За семейство прави линии, успоредни на оста (няма пример на чертежа, освен самата ос), наклонът не съществува (тангенс от 90 градуса не е дефиниран).

Колкото по-голям е модулът на наклона, толкова по-стръмна става линейната графика.

Например, помислете за две прави линии. Ето, така че правата линия има по-стръмен наклон. Напомням ви, че модулът ви позволява да игнорирате знака, само нас ни интересува абсолютни стойностиъглови коефициенти.

От своя страна правата линия е по-стръмна от правите. .

Обратно: колкото по-малък е наклонът по модул, правата линия е по-плоска.

За прави линии неравенството е вярно, така че правата линия е повече от балдахин. Детска пързалка, за да не се засаждат синини и подутини.

Защо е необходимо това?

Удължете мъките си Познаването на горните факти ви позволява незабавно да видите грешките си, по-специално грешките при начертаване на графики - ако чертежът се оказа „очевидно нещо не е наред“. Желателно е вие незабавнобеше ясно, че например правата линия е много стръмна и върви отдолу нагоре, а правата линия е много плоска, близо до оста и върви отгоре надолу.

В геометричните задачи често се появяват няколко прави линии, така че е удобно да ги обозначим по някакъв начин.

Нотация: правите линии са обозначени с малки с латински букви: . Популярна опция е обозначаването на една и съща буква с естествени индекси. Например петте реда, които току-що разгледахме, могат да бъдат обозначени с .

Тъй като всяка права линия се определя еднозначно от две точки, тя може да бъде обозначена с тези точки: и т.н. Нотацията съвсем очевидно предполага, че точките принадлежат на правата.

Време е да се отпуснете малко:

Как да напиша уравнението на права линия с наклон?

Ако е известна точка, която принадлежи на определена права, и наклонът на тази права, тогава уравнението на тази права се изразява с формулата:

Пример 1

Съставете уравнението на права линия с наклон, ако е известно, че точката принадлежи на тази права линия.

Решение: Ще съставим уравнението на права линия по формулата . В такъв случай:

Отговор:

Прегледизпълнени елементарно. Първо, разглеждаме полученото уравнение и се уверяваме, че нашият наклон е на мястото си. Второ, координатите на точката трябва да отговарят на даденото уравнение. Нека ги включим в уравнението:

Получава се правилното равенство, което означава, че точката удовлетворява полученото уравнение.

Заключение: Уравнението е намерено правилно.

По-сложен пример за решение "направи си сам":

Пример 2

Напишете уравнението на права линия, ако е известно, че нейният ъгъл на наклон към положителната посока на оста е , и точката принадлежи на тази права линия.

Ако имате някакви затруднения, прочетете отново теоретичния материал. По-точно, по-практично, пропускам много доказателства.

Последният звънец удари, абитуриентският бал утихна, а зад портите на родното ни училище всъщност ни чака аналитичната геометрия. Шегите свършиха... Може би тепърва започва =)

Носталгично размахваме дръжката на познатото и се запознаваме с общото уравнение на права линия. Тъй като в аналитичната геометрия се използва точно това:

Общото уравнение на права линия има вида: , къде са някои числа. В същото време коефициентите едновременноне са равни на нула, тъй като уравнението губи смисъла си.

Да се ​​облечем в костюм и да завържем уравнение с наклон. Първо, преместваме всички термини в лявата страна:

Терминът с "x" трябва да бъде поставен на първо място:

По принцип уравнението вече има формата , но според правилата на математическия етикет коефициентът на първия член (в този случай) трябва да е положителен. Промяна на знаците:

Запомнете тази техническа характеристика!Правим първия коефициент (най-често) положителен!

В аналитичната геометрия уравнението на права линия почти винаги ще бъде дадено в общ вид. Е, ако е необходимо, лесно е да го приведете до „училищна“ форма с наклон (с изключение на прави линии, успоредни на оста y).

Да се ​​запитаме какво достатъчнознаете как да изградите права линия? Две точки. Но за този случай от детството по-късно, сега пръчки със стрелки правило. Всяка права линия има добре дефиниран наклон, към който е лесно да се "адаптира" вектор.

Вектор, който е успореден на права, се нарича вектор на посоката на тази права.. Очевидно всяка права линия има безкрайно много вектори на посоката и всички те ще бъдат колинеарни (ко-насочени или не - няма значение).

Ще обозначя вектора на посоката по следния начин: .

Но един вектор не е достатъчен за изграждане на права линия, векторът е свободен и не е прикрепен към нито една точка от равнината. Следователно е необходимо допълнително да се знае някаква точка, която принадлежи на правата.

Как да напиша уравнение на права линия с дадена точка и вектор на посоката?

Ако е известна точка, принадлежаща на правата, и насочващият вектор на тази права, тогава уравнението на тази права може да се състави по формулата:

Понякога се нарича канонично уравнение на правата .

Какво да правя кога една от координатитее нула, ще разгледаме практически примери по-долу. Между другото, забележете - и двете наведнъжкоординатите не могат да бъдат нула, тъй като нулевият вектор не определя конкретна посока.

Пример 3

Напишете уравнение на права линия с дадена точка и вектор на посоката

Решение: Ще съставим уравнението на права линия по формулата. В такъв случай:

Използвайки свойствата на пропорцията, ние се отърваваме от фракциите:

И привеждаме уравнението в общ вид:

Отговор:

Рисуването в такива примери, като правило, не е необходимо, но в името на разбирането:

На чертежа виждаме началната точка, оригиналния вектор на посоката (може да бъде отложен от всяка точка на равнината) и конструираната линия. Между другото, в много случаи изграждането на права линия се извършва най-удобно с помощта на уравнението на наклона. Нашето уравнение е лесно да се преобразува във формата и без никакви проблеми вземете още една точка, за да построите права линия.

Както беше отбелязано в началото на раздела, една линия има безкрайно много вектори на посоката и всички те са колинеарни. Например, нарисувах три такива вектора: . Който и вектор на посока да изберем, резултатът винаги ще бъде едно и също уравнение на права линия.

Нека съставим уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Разбиване на пропорцията:

Разделете двете страни на -2 и получете познатото уравнение:

Желаещите могат по подобен начин да тестват вектори или всеки друг колинеарен вектор.

Сега нека решим обратната задача:

Как да намерим вектора на посоката по общото уравнение на права линия?

Много просто:

Ако права линия е дадена от общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е векторът на посоката на тази права линия.

Примери за намиране на вектори на посоката на прави линии:

Изявлението ни позволява да намерим само един вектор на посока от безкраен набор, но не се нуждаем от повече. Въпреки че в някои случаи е препоръчително да се намалят координатите на векторите на посоката:

И така, уравнението определя права линия, която е успоредна на оста, а координатите на получения направляващ вектор се разделят удобно на -2, като се получава точно основният вектор като управляващ вектор. Логично.

По същия начин, уравнението дефинира права линия, успоредна на оста, и разделяйки координатите на вектора на 5, получаваме орта като вектор на посоката.

Сега нека изпълним проверете пример 3. Примерът се повиши, така че ви напомням, че в него съставихме уравнението на права линия, използвайки точка и вектор на посока

Преди всичко, според уравнението на права линия, ние възстановяваме нейния насочващ вектор: - всичко е наред, получихме оригиналния вектор (в някои случаи той може да се окаже колинеарен с оригиналния вектор и това обикновено е лесно да се види от пропорционалността на съответните координати).

Второ, координатите на точката трябва да отговарят на уравнението. Заместваме ги в уравнението:

Получи се правилно равенство, от което сме много доволни.

Заключение: Работата е завършена правилно.

Пример 4

Напишете уравнение на права линия с дадена точка и вектор на посоката

Това е пример "направи си сам". Решение и отговор в края на урока. Много е желателно да се направи проверка според току-що разгледания алгоритъм. Опитайте се винаги (ако е възможно) да проверявате чернова. Глупаво е да правиш грешки там, където те могат да бъдат 100% избегнати.

В случай, че една от координатите на вектора на посоката е нула, е много лесно да се направи:

Пример 5

Решение: Формулата е невалидна, защото знаменателят от дясната страна е нула. Има изход! Използвайки свойствата на пропорцията, пренаписваме формулата във формата , а останалата част се търкаля по дълбока коловоза:

Отговор:

Преглед:

1) Възстановете вектора на посоката на правата линия:
– полученият вектор е колинеарен спрямо първоначалния вектор на посоката.

2) Заменете координатите на точката в уравнението:

Получава се правилното равенство

Заключение: работата е завършена правилно

Възниква въпросът, защо да се занимавате с формулата, ако има универсална версия, която така или иначе ще работи? Има две причини. Първо, дробната формула много по-добре да се запомни. И второ, недостатъкът на универсалната формула е това значително повишен риск от объркванепри заместване на координати.

Пример 6

Съставете уравнението на права линия с дадена точка и вектор на посоката.

Това е пример "направи си сам".

Нека се върнем към вездесъщите две точки:

Как да напиша уравнението на права линия с две точки?

Ако са известни две точки, тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки, може да се състави по формулата:

Всъщност това е един вид формула и ето защо: ако са известни две точки, тогава векторът ще бъде векторът на посоката на тази права. На урока Вектори за манекениразгледахме най-простия проблем - как да намерим координатите на вектор от две точки. Според този проблем координатите на вектора на посоката:

Забележка : точките могат да се "разменят" и да се използва формулата . Такова решение би било равностойно.

Пример 7

Напишете уравнението на права линия от две точки .

Решение: Използвайте формулата:

Сресваме знаменателите:

И разбъркайте тестето:

Сега е удобно да се отървете от дробни числа. В този случай трябва да умножите и двете части по 6:

Отворете скобите и си спомнете уравнението:

Отговор:

Прегледе очевидно - координатите на началните точки трябва да отговарят на полученото уравнение:

1) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

2) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

Заключение: уравнението на правата линия е правилно.

Ако поне единот точки не удовлетворява уравнението, потърсете грешка.

Струва си да се отбележи, че графичната проверка в този случай е трудна, тъй като да се изгради линия и да се види дали точките принадлежат към нея , не е толкова лесно.

Ще отбележа няколко технически точки на решението. Може би в този проблем е по-изгодно да се използва огледалната формула и за същите точки направи уравнение:

Има по-малко дроби. Ако искате, можете да завършите решението до края, като резултатът трябва да бъде същото уравнение.

Втората точка е да погледнете крайния отговор и да видите дали може да бъде допълнително опростен? Например, ако се получи уравнение, тогава е препоръчително да го намалите с две: - уравнението ще зададе същата права линия. Това обаче вече е тема за разговор взаимно подреждане на прави линии.

След като получи отговор в пример 7 за всеки случай проверих дали ВСИЧКИ коефициенти на уравнението се делят на 2, 3 или 7. Въпреки че най-често такива намаления се правят по време на решението.

Пример 8

Напишете уравнението на права линия, минаваща през точките .

Това е пример за независимо решение, което просто ще ви позволи да разберете и изработите по-добре техниката на изчисление.

Подобно на предишния параграф: ако във формулата един от знаменателите (координата на вектора на посоката) изчезва, след което го пренаписваме като . И отново забележете колко неудобна и объркана започна да изглежда. Не виждам особен смисъл от внасянето практически примери, тъй като вече сме решили такъв проблем (вж. № 5, 6).

Права линия нормален вектор (нормален вектор)

Какво е нормално? С прости думи, нормалното е перпендикулярът. Тоест нормалният вектор на права е перпендикулярен на дадената права. Очевидно е, че всяка права линия има безкраен брой от тях (както и насочващи вектори), а всички нормални вектори на правата линия ще бъдат колинеарни (съпосочени или не - няма значение).

Справянето с тях ще бъде дори по-лесно, отколкото с векторите на посоката:

Ако права линия е дадена от общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е нормален вектор на тази права линия.

Ако координатите на вектора на посоката трябва внимателно да бъдат „извадени“ от уравнението, тогава координатите на нормалния вектор могат просто да бъдат „отстранени“.

Нормалният вектор винаги е ортогонален на вектора на посоката на линията. Ще проверим ортогоналността на тези вектори с помощта на точков продукт:

Ще дам примери със същите уравнения като за вектора на посоката:

Възможно ли е да се напише уравнение на права линия, като се знае една точка и нормален вектор? Усеща се, че е възможно. Ако нормалният вектор е известен, тогава посоката на най-правата линия също се определя еднозначно - това е „твърда структура“ с ъгъл от 90 градуса.

Как да напиша уравнение на права линия с дадена точка и нормален вектор?

Ако някаква точка, принадлежаща на правата, и нормалният вектор на тази права са известни, тогава уравнението на тази права се изразява с формулата:

Тук всичко мина без дроби и други изненади. Такъв е нашият нормален вектор. Обичам го. И уважение =)

Пример 9

Съставете уравнението на права линия с дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Решение: Използвайте формулата:

Получава се общото уравнение на правата линия, нека проверим:

1) „Премахнете“ координатите на нормалния вектор от уравнението: - да, наистина, оригиналният вектор се получава от условието (или векторът трябва да е колинеарен на оригиналния вектор).

2) Проверете дали точката отговаря на уравнението:

Истинско равенство.

След като се убедим, че уравнението е правилно, ще изпълним втората, по-лесна част от задачата. Изваждаме вектора на посоката на правата линия:

Отговор:

На чертежа ситуацията е следната:

За целите на обучението подобна задача за самостоятелно решение:

Пример 10

Съставете уравнението на права линия с дадена точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Последният раздел на урока ще бъде посветен на по-рядко срещаните, но също важни видовеуравнения на права линия върху равнина

Уравнение на права линия в сегменти.
Уравнение на права линия в параметрична форма

Уравнението на права линия в сегменти има формата , където са различни от нула константи. Някои видове уравнения не могат да бъдат представени в тази форма, например пряка пропорционалност (тъй като свободният член е нула и няма начин да се получи едно от дясната страна).

Това е, образно казано, "технически" тип уравнение. Обичайната задача е да се представи общото уравнение на права линия като уравнение на права линия на отсечки. Защо е удобно? Уравнението на права линия в сегменти ви позволява бързо да намерите точките на пресичане на права линия с координатни оси, което е много важно в някои задачи на висшата математика.

Намерете пресечната точка на правата с оста. Нулираме „y“ и уравнението приема формата . Желаната точка се получава автоматично: .

Същото и с ос е точката, където правата пресича оста y.

Тази статия продължава темата за уравнението на права линия в равнина: разгледайте такъв тип уравнение като общото уравнение на права линия. Нека да дефинираме една теорема и да дадем нейното доказателство; Нека да разберем какво е непълно общо уравнение на права линия и как да направим преходи от общо уравнение към други видове уравнения на права линия. Ще консолидираме цялата теория с илюстрации и решаване на практически задачи.

Нека на равнината е дадена правоъгълна координатна система O x y.

Теорема 1

Всяко уравнение от първа степен, имащо формата A x + B y + C \u003d 0, където A, B, C са някои реални числа (A и B не са равни на нула едновременно) определя права линия в правоъгълна координатна система на равнината. От своя страна всяка права в правоъгълна координатна система на равнината се определя от уравнение, което има формата A x + B y + C = 0 за определен набор от стойности A, B, C.

Доказателство

Тази теорема се състои от две точки, ще докажем всяка от тях.

1. Нека докажем, че уравнението A x + B y + C = 0 дефинира права върху равнината.

Нека има точка M 0 (x 0 , y 0), чиито координати съответстват на уравнението A x + B y + C = 0 . Така: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Извадете от лявата и дясната страна на уравненията A x + B y + C \u003d 0 лявата и дясната страна на уравнението A x 0 + B y 0 + C = 0, получаваме ново уравнение, което изглежда като A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . То е еквивалентно на A x + B y + C = 0 .

Полученото уравнение A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 е необходимо и достатъчно условие за перпендикулярността на векторите n → = (A, B) и M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). По този начин множеството точки M (x, y) определя в правоъгълна координатна система права линия, перпендикулярна на посоката на вектора n → = (A, B) . Можем да предположим, че това не е така, но тогава векторите n → = (A, B) и M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) не биха били перпендикулярни и равенството A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 не би било вярно.

Следователно уравнението A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 дефинира някаква линия в правоъгълна координатна система на равнината и следователно еквивалентното уравнение A x + B y + C = 0 дефинира същата линия. Така доказахме първата част на теоремата.

1. Нека докажем, че всяка права линия в правоъгълна координатна система на равнина може да бъде дадена с уравнение от първа степен A x + B y + C = 0 .

Нека зададем права линия a в правоъгълна координатна система върху равнината; точка M 0 (x 0 , y 0), през която минава тази права, както и нормален вектор на тази права n → = (A , B) .

Нека съществува и точка M (x , y) - плаваща точка на правата. В този случай векторите n → = (A , B) и M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) са перпендикулярни един на друг и тяхното скаларно произведение е нула:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Нека пренапишем уравнението A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , дефинираме C: C = - A x 0 - B y 0 и накрая получим уравнението A x + B y + C = 0 .

И така, доказахме втората част от теоремата и доказахме цялата теорема като цяло.

Определение 1

Уравнение, което изглежда A x + B y + C = 0 - Това общо уравнение на права линияна равнина в правоъгълна координатна системаO x y .

Въз основа на доказаната теорема можем да заключим, че правата, дадена върху равнина във фиксирана правоъгълна координатна система, и нейното общо уравнение са неразривно свързани. С други думи, оригиналната линия съответства на нейното общо уравнение; общото уравнение на правата линия отговаря на дадена права линия.

От доказателството на теоремата следва също, че коефициентите A и B за променливите x и y са координатите на нормалния вектор на правата линия, който се дава от общото уравнение на правата линия A x + B y + C = 0 .

Помислете за конкретен пример за общото уравнение на права линия.

Нека е дадено уравнението 2 x + 3 y - 2 = 0, което съответства на права линия в дадена правоъгълна координатна система. Нормалният вектор на тази линия е векторът n → = (2, 3). Начертайте дадена права линия в чертежа.

Може да се твърди и следното: правата линия, която виждаме на чертежа, се определя от общото уравнение 2 x + 3 y - 2 = 0, тъй като координатите на всички точки от дадена права линия съответстват на това уравнение.

Можем да получим уравнението λ · A x + λ · B y + λ · C = 0, като умножим двете страни на общото праволинейно уравнение по ненулево число λ. Полученото уравнение е еквивалентно на първоначалното общо уравнение, следователно ще описва същата права в равнината.

Определение 2

Пълно общо уравнение на права линия- такова общо уравнение на правата A x + B y + C \u003d 0, в което числата A, B, C са различни от нула. В противен случай уравнението е непълен.

Нека анализираме всички варианти на непълното общо уравнение на правата линия.

1. Когато A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, общото уравнение става B y + C = 0. Такова непълно общо уравнение дефинира права линия в правоъгълна координатна система O x y, която е успоредна на оста O x, тъй като за всяка реална стойност на x променливата y ще придобие стойност - C B . С други думи, общото уравнение на правата A x + B y + C = 0, когато A = 0, B ≠ 0, дефинира местоположението на точки (x, y), чиито координати са равни на едно и също число - C B .
2. Ако A = 0, B ≠ 0, C \u003d 0, общото уравнение става y = 0. Такова непълно уравнение дефинира оста x O x .
3. Когато A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, получаваме непълно общо уравнение A x + C = 0, определящо права линия, успоредна на оста y.
4. Нека A ≠ 0, B = 0, C = 0, тогава непълното общо уравнение ще приеме формата x = 0 и това е уравнението на координатната линия O y.
5. И накрая, когато A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, непълното общо уравнение приема формата A x + B y = 0. И това уравнение описва права линия, която минава през началото. Всъщност двойката числа (0 , 0) съответства на равенството A x + B y = 0 , тъй като A · 0 + B · 0 = 0 .

Нека илюстрираме графично всички горепосочени типове непълно общо уравнение на права линия.

Пример 1

Известно е, че дадената права линия е успоредна на оста y и минава през точката 2 7 , - 11 . Необходимо е да се запише общото уравнение на дадена права линия.

Решение

Права линия, успоредна на оста y, се дава от уравнение от формата A x + C = 0, в което A ≠ 0. Условието определя и координатите на точката, през която минава правата, а координатите на тази точка отговарят на условията на непълното общо уравнение A x + C = 0 , т.е. равенството е правилно:

A 2 7 + C = 0

Възможно е да се определи C от него, като се даде на A някаква ненулева стойност, например A = 7 . В този случай получаваме: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Знаем и двата коефициента A и C, заместваме ги в уравнението A x + C = 0 и получаваме необходимото уравнение на линията: 7 x - 2 = 0

Отговор: 7 x - 2 = 0

Пример 2

Чертежът показва права линия, необходимо е да запишете нейното уравнение.

Решение

Даденият чертеж ни позволява лесно да вземем изходните данни за решаване на задачата. Виждаме на чертежа, че дадената права е успоредна на оста O x и минава през точката (0 , 3).

Правата линия, която е успоредна на абсцисата, се определя от непълното общо уравнение B y + С = 0. Намерете стойностите на B и C. Координатите на точката (0, 3), тъй като дадена права линия минава през нея, ще удовлетворят уравнението на правата B y + С = 0, тогава равенството е валидно: В · 3 + С = 0. Нека зададем B на някаква стойност, различна от нула. Да кажем B = 1, в този случай от равенството B · 3 + C = 0 можем да намерим C: C = - 3. Използвайки известните стойности на B и C, получаваме необходимото уравнение на правата линия: y - 3 = 0.

Отговор: y - 3 = 0 .

Общо уравнение на права линия, минаваща през дадена точка от равнината

Нека дадената права преминава през точката M 0 (x 0, y 0), тогава нейните координати съответстват на общото уравнение на правата, т.е. равенството е вярно: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Извадете лявата и дясната част на това уравнение от лявата и дясната част на общото пълно уравнениеправ. Получаваме: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, това уравнение е еквивалентно на първоначалното общо, минава през точка M 0 (x 0, y 0) и има нормален вектор n → \u003d (A, B) .

Резултатът, който получихме, дава възможност да се напише общото уравнение на права линия за известни координати на нормалния вектор на правата линия и координатите на определена точка от тази права линия.

Пример 3

Дадена е точка M 0 (- 3, 4), през която минава правата, и нормалният вектор на тази права n → = (1 , - 2) . Необходимо е да се запише уравнението на дадена права линия.

Решение

Първоначалните условия ни позволяват да получим необходимите данни за съставяне на уравнението: A = 1, B = 2, x 0 = 3, y 0 = 4. Тогава:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Проблемът можеше да бъде решен по различен начин. Общото уравнение на права линия има формата A x + B y + C = 0 . Даденият нормален вектор ви позволява да получите стойностите на коефициентите A и B, след което:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Сега нека намерим стойността на C, използвайки точката M 0 (- 3, 4), дадена от условието на задачата, през която минава правата. Координатите на тази точка отговарят на уравнението x - 2 · y + C = 0 , т.е. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Следователно C = 11. Изискваното праволинейно уравнение приема формата: x - 2 · y + 11 = 0 .

Отговор: x - 2 y + 11 = 0 .

Пример 4

Дадена е права 2 3 x - y - 1 2 = 0 и точка M 0, лежаща на тази права. Известна е само абсцисата на тази точка и тя е равна на - 3. Необходимо е да се определи ординатата на дадената точка.

Решение

Нека зададем обозначението на координатите на точката M 0 като x 0 и y 0 . Първоначалните данни показват, че x 0 \u003d - 3. Тъй като точката принадлежи на дадена права, тогава нейните координати съответстват на общото уравнение на тази права. Тогава ще бъде вярно следното равенство:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Определете y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Отговор: - 5 2

Преход от общото уравнение на права линия към други видове уравнения на права линия и обратно

Както знаем, има няколко вида уравнение на една и съща права линия в равнината. Изборът на вида на уравнението зависи от условията на задачата; възможно е да изберете този, който е по-удобен за неговото решение. Това е мястото, където умението за преобразуване на уравнение от един вид в уравнение от друг вид идва много удобно.

Първо, разгледайте прехода от общото уравнение от формата A x + B y + C = 0 към каноничното уравнение x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ако A ≠ 0, тогава прехвърляме члена B y в дясната страна на общото уравнение. От лявата страна изваждаме А от скоби. В резултат получаваме: A x + C A = - B y .

Това равенство може да се запише като пропорция: x + C A - B = y A .

Ако B ≠ 0, оставяме само члена A x от лявата страна на общото уравнение, прехвърляме останалите в дясната страна, получаваме: A x \u003d - B y - C. Изваждаме - B от скоби, след това: A x \u003d - B y + C B.

Нека препишем равенството като пропорция: x - B = y + C B A .

Разбира се, няма нужда да запомняте получените формули. Достатъчно е да знаете алгоритъма на действията по време на прехода от общото уравнение към каноничното.

Пример 5

Дадено е общото уравнение на правата 3 y - 4 = 0. Трябва да се преобразува в канонично уравнение.

Решение

Записваме оригиналното уравнение като 3 y-4 = 0. След това действаме според алгоритъма: терминът 0 x остава от лявата страна; и от дясната страна изваждаме - 3 от скоби; получаваме: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Нека запишем полученото равенство като пропорция: x - 3 = y - 4 3 0 . Така получихме уравнение на каноничната форма.

Отговор: x - 3 = y - 4 3 0.

За да се трансформира общото уравнение на права линия в параметрични, първо се извършва преходът към каноничната форма, а след това преходът от каноничното уравнение на правата линия към параметричните уравнения.

Пример 6

Правата линия се дава от уравнението 2 x - 5 y - 1 = 0 . Запишете параметричните уравнения на този ред.

Решение

Нека направим прехода от общото уравнение към каноничното:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Сега нека вземем двете части от полученото канонично уравнение, равно на λ, тогава:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Отговор:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Общото уравнение може да се преобразува в праволинейно уравнение с наклон y = k x + b, но само когато B ≠ 0. За прехода от лявата страна оставяме термина B y , останалите се прехвърлят вдясно. Получаваме: B y = - A x - C . Нека разделим двете части на полученото равенство на B , което е различно от нула: y = - A B x - C B .

Пример 7

Дадено е общото уравнение на права линия: 2 x + 7 y = 0 . Трябва да преобразувате това уравнение в уравнение на наклона.

Решение

Нека извършим необходимите действия според алгоритъма:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Отговор: y = - 2 7 x .

От общото уравнение на права линия е достатъчно просто да се получи уравнение в сегменти от формата x a + y b \u003d 1. За да направим такъв преход, прехвърляме числото C в дясната страна на равенството, разделяме двете части на полученото равенство на - С и накрая прехвърляме коефициентите за променливите x и y в знаменателите:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Пример 8

Необходимо е да се преобразува общото уравнение на правата линия x - 7 y + 1 2 = 0 в уравнението на права линия на отсечки.

Решение

Нека преместим 1 2 в дясната страна: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Разделете на -1/2 двете страни на уравнението: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Отговор: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

По принцип обратният преход също е лесен: от други видове уравнения към общото.

Уравнението на права линия в сегменти и уравнението с наклон могат лесно да се преобразуват в общо, като просто се съберат всички членове от лявата страна на уравнението:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноничното уравнение се преобразува в общото по следната схема:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

За да преминете от параметричния, първо се извършва преходът към каноничния, а след това към общия:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 9

Дадени са параметричните уравнения на правата линия x = - 1 + 2 · λ y = 4. Необходимо е да се запише общото уравнение на тази линия.

Решение

Нека направим прехода от параметрични уравнения към канонични:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Нека преминем от канонично към общо:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Отговор: y - 4 = 0

Пример 10

Дадено е уравнението на права линия в отсечки x 3 + y 1 2 = 1. Необходимо е да се извърши преходът към общата форма на уравнението.

решение:

Нека просто пренапишем уравнението в необходимия вид:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Отговор: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Съставяне на общо уравнение на права линия

По-горе казахме, че общото уравнение може да бъде написано с известни координати на нормалния вектор и координатите на точката, през която минава правата. Такава права линия се дефинира от уравнението A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . На същото място анализирахме съответния пример.

Сега нека да разгледаме повече сложни примери, в който първо е необходимо да се определят координатите на нормалния вектор.

Пример 11

Дадена е права, успоредна на правата 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Известна е и точката M 0 (4 , 1), през която минава дадената права. Необходимо е да се запише уравнението на дадена права линия.

Решение

Първоначалните условия ни казват, че линиите са успоредни, тогава като нормален вектор на правата, чието уравнение трябва да се напише, вземаме насочващия вектор на правата n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Сега знаем всички необходими данни, за да съставим общото уравнение на права линия:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Отговор: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Пример 12

Дадената права минава през началото, перпендикулярно на правата x - 2 3 = y + 4 5 . Необходимо е да се напише общото уравнение на дадена права линия.

Решение

Нормалният вектор на дадената права ще бъде насочващият вектор на правата x - 2 3 = y + 4 5 .

Тогава n → = (3, 5) . Правата минава през началото, т.е. през точката O (0, 0) . Нека съставим общото уравнение на дадена права линия:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Отговор: 3 x + 5 y = 0 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter