Движението на точка срещу гравитацията. Движението на тяло под действието на гравитацията във вертикална равнина

01.09.2021

Въведение

1. Движението на тялото под въздействието на гравитацията

1.1 Движението на тяло по кръгова или елиптична орбита около планетата

1.2 Движение на тяло под действието на гравитацията във вертикална равнина

1.3 Движение на тялото, ако началната скорост е насочена под ъгъл спрямо силата на тежестта

2. Движение на тяло в среда със съпротивление

3. Прилагане на законите за движение на тяло под действието на гравитацията, като се отчита съпротивлението на средата в балистиката

Заключение

Библиография

Въведение

Според втория закон на Нютон причината за промяната в движението, тоест причината за ускорението на телата, е силата. В механиката се разглеждат сили от различно физическо естество. Много механични явления и процеси се определят от действието на гравитационните сили. Законът за всемирното привличане е открит от И. Нютон през 1682г. Още през 1665 г. 23-годишният Нютон предполага, че силите, държащи Луната в нейната орбита, са от същото естество като силите, които карат ябълка да падне на Земята. Според неговата хипотеза силите на привличане (гравитационните сили) действат между всички тела на Вселената, насочени по линия, свързваща центровете на масите. Тяло под формата на хомогенна топка, центърът на масата съвпада с центъра на топката.

Фиг. 1. Гравитационни сили.

През следващите години Нютон се опитва да намери физическо обяснение на законите за движение на планетите, открити от астронома И. Кеплер в началото на 17 век, и да даде количествен израз на гравитационните сили. Знаейки как се движат планетите, Нютон искал да определи какви сили действат върху тях. Този път се нарича обратна задача на механиката. Ако основната задача на механиката е да определи координатите на тяло с известна маса и неговата скорост във всеки момент от време от известните сили, действащи върху тялото и дадени начални условия (пряка задача на механиката), тогава при решаването на обратната задача необходимо е да се определят силите, действащи върху тялото, ако е известно как се движи то. Решението на този проблем доведе Нютон до откриването на закона за всемирното притегляне. Всички тела се привличат едно към друго със сила, правопропорционална на техните маси и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях:

Коефициентът на пропорционалност G е еднакъв за всички тела в природата. Нарича се гравитационна константа.

G = 6,67 · 10 -11 N · m 2 / kg 2

Много явления в природата се обясняват с действието на силите на универсалната гравитация. Движението на планетите в Слънчевата система, движението на изкуствените спътници на Земята, траекторията на полета на балистичните ракети, движението на тела близо до повърхността на Земята - всички тези явления се обясняват въз основа на закона за всемирното привличане и законите на динамиката. Едно от проявите на силата на гравитацията е силата на гравитацията.

Гравитацията е сила, действаща върху тяло от страната на Земята и придаваща на тялото ускорение на гравитацията:

Всяко тяло, разположено на Земята (или близо до нея), заедно със Земята, се върти около оста си, т.е. тялото се движи в окръжност с радиус r с постоянен модул на скорост.

Фиг. 2. Движението на тялото по повърхността на Земята.

Тялото на повърхността на Земята се влияе от силата на гравитацията и силата от страната на земната повърхност

Техният резултат

придава центростремително ускорение на тялото

Нека разложим силата на гравитацията на две компоненти, едната от които ще бъде, т.е.

От уравнения (1) и (2) виждаме, че

По този начин силата на гравитацията е един от компонентите на силата на гравитацията, вторият компонент придава центростремително ускорение на тялото. В точка Μ на географска ширина φ гравитацията е насочена не по радиуса на Земята, а под определен ъгъл α спрямо нея. Силата на гравитацията е насочена по така наречения отвес (вертикално надолу).

Силата на гравитацията е равна по големина и посока на силата на гравитацията само на полюсите. На екватора те съвпадат по посока и разликата в величината е най-голяма.

където ω е ъгловата скорост на въртене на Земята, R е радиусът на Земята.

rad / s, ω = 0,727 · 10 -4 rad / s.

Тъй като ω е много малък, тогава F T ≈ F. Следователно силата на гравитацията се различава малко по величина от силата на гравитацията, следователно тази разлика често може да бъде пренебрегната.

Тогава F T ≈ F,

От тази формула се вижда, че ускорението на гравитацията g не зависи от масата на падащото тяло, а зависи от височината.

Ако M е масата на Земята, R З е нейният радиус, m е масата на дадено тяло, тогава силата на гравитацията е

където g е ускорението на гравитацията на земната повърхност:

Силата на гравитацията е насочена към центъра на земята. При липса на други сили тялото свободно пада на Земята с ускорението на гравитацията. Средната стойност на ускорението от гравитацията за различни точки на земната повърхност е 9,81 m / s 2. Познаване на ускорението на гравитацията и радиуса на Земята

(R З = 6,38 10 6 m), можете да изчислите масата на Земята M:

С разстоянието от повърхността на Земята силата на гравитацията и ускорението на гравитацията се променят обратно пропорционално на квадрата на разстоянието r до центъра на Земята. Фигурата илюстрира промяната в гравитационната сила, действаща върху астронавта в космическия кораб, когато той се отдалечава от Земята. Силата, с която космонавтът се привлича към Земята близо до нейната повърхност, се приема за 700 N.

Фиг. 3 Промени в гравитационната сила, действаща върху астронавта с разстояние от Земята.

Пример за система от две взаимодействащи тела е системата Земя – Луна. Луната се намира от Земята на разстояние r A = 3,84 · 10 6 m. Това разстояние е приблизително 60 пъти радиуса на Земята R З. Следователно ускорението на свободното al, дължащо се на земната гравитация, в лунната орбита е

С това ускорение, насочено към центъра на Земята, Луната се движи по своята орбита. Следователно това ускорение е центростремително ускорение. Може да се изчисли с помощта на кинематичната формула за центростремително ускорение:

където T = 27,3 дни. - периодът на въртене на Луната около Земята. Съвпадението на резултатите от изчисленията, извършени по различни начини, потвърждава предположението на Нютон за единната природа на силата, която държи Луната в орбита, и силата на гравитацията. Собственото гравитационно поле на Луната определя гравитационното ускорение g l на нейната повърхност. Масата на Луната е 81 пъти по-малка от тази на Земята, а радиусът й е приблизително 3,7 пъти по-малък от този на Земята. Следователно ускорението g l се определя от израза:

В условия на толкова слаба гравитация се оказаха астронавтите, кацнали на Луната. Човек в такива условия може да прави гигантски скокове. Например, ако човек в земни условия скочи на височина от 1 m, тогава на Луната той може да скочи на височина повече от 6 m.

1. Движението на тялото под въздействието на гравитацията

Ако само гравитацията действа върху тялото, тогава тялото прави свободно падане. Видът на траекторията на движение зависи от посоката и модула на началната скорост. В този случай са възможни следните случаи на движение на тялото:

1. Тялото може да се движи по кръгова или елиптична орбита около планетата.

2. Ако началната скорост на тялото е равна на нула или успоредна на силата на гравитацията, тялото извършва праволинейно свободно падане.

3. Ако началната скорост на тялото е насочена под ъгъл спрямо силата на гравитацията, тогава тялото ще се движи по парабола, или по клон на параболата.

1.1 Движението на тяло по кръгова или елиптична орбита около планетата

Нека сега разгледаме въпроса за изкуствените спътници на Земята. Изкуствените спътници се движат извън земната атмосфера и върху тях действат само гравитационните сили от земята. В зависимост от началната скорост траекторията на космическото тяло може да бъде различна. Тук ще разгледаме само случая на изкуствен спътник, движещ се по кръгова околоземна орбита. Такива спътници летят на височини от порядъка на 200-300 км, като разстоянието до центъра на Земята може да се приеме приблизително равно на нейния радиус R З. Тогава центростремителното ускорение на спътника, придадено му от силите на гравитацията , е приблизително равно на ускорението на гравитацията g. Нека означим скоростта на спътник в околоземна орбита през υ 1. Тази скорост се нарича първа космическа скорост. Използвайки кинематичната формула за центростремително ускорение, получаваме:

Движейки се с такава скорост, спътникът би обиколил Земята след време

Всъщност орбиталният период на спътник в кръгова орбита близо до земната повърхност е малко по-голям от посочената стойност поради разликата между радиуса на реалната орбита и радиуса на Земята. Движението на спътник може да се разглежда като свободно падане, подобно на движението на снаряди или балистични ракети. Единствената разлика е, че скоростта на спътника е толкова висока, че радиусът на кривината на траекторията му е равен на радиуса на Земята. За спътници, движещи се по кръгови траектории на значително разстояние от Земята, земната гравитация отслабва обратно пропорционално на квадрата на радиуса r на траекторията. Сателитната скорост υ се намира от условието

По този начин при високи орбити скоростта на движение на спътниците е по-ниска, отколкото в околоземна орбита. Орбиталният период T на такъв спътник е

Тук T 1 е орбиталният период на спътник в околоземна орбита. Орбиталният период на спътника се увеличава с увеличаване на орбиталния радиус. Лесно е да се изчисли, че при орбитален радиус r, равен на приблизително 6,6R ‡, орбиталният период на спътника ще бъде равен на 24 часа. Спътник с такъв орбитален период, изстрелян в екваториалната равнина, ще виси неподвижно над някаква точка от земната повърхност. Такива спътници се използват в космическите радиокомуникационни системи. Орбита с радиус r = 6,6R o се нарича геостационарна.

1.2 Движение на тяло под действието на гравитацията във вертикална равнина

Ако началната скорост на тялото е нула или успоредна на силата на гравитацията, тялото прави свободно падане по права линия.

Основната задача на механиката е да определи положението на тялото по всяко време. Решението на проблема за частиците, движещи се в гравитационното поле на Земята, са уравненията, в проекции върху осите OX и OY:

Тези формули са достатъчни за решаване на всеки проблем за движението на тяло под действието на гравитацията.

Тялото се хвърля вертикално нагоре

В този случай v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = -g.

В този случай тялото ще се движи по права линия, първо вертикално нагоре до точката, в която скоростта изчезва, а след това вертикално надолу.

Фиг. 4 Движение на тяло, хвърлено нагоре.

Когато тялото се движи с ускорение в гравитационно поле, телесното тегло се променя.

Теглото на тялото е силата, с която тялото действа върху опора или окачване, което е неподвижно спрямо него.

Теглото на тялото възниква поради деформацията му, причинена от действието на силата от опората (реакционна сила) или окачването (сила на опън). Теглото се различава значително от гравитацията:

Това са сили от различно естество: гравитацията е гравитационна сила, теглото е еластична сила (от електромагнитна природа).

Прилагат се върху различни тела: гравитация - към тялото, тежест - към опората.

Фиг. 5. Точки на приложение на тежестта и телесното тегло.

Посоката на телесното тегло не съответства непременно на вертикалната посока.

Силата на притегляне на тялото в дадено място на Земята е постоянна и не зависи от естеството на движението на тялото; теглото зависи от ускорението, с което се движи тялото.

Помислете как се променя теглото на тялото, движещо се във вертикална посока заедно с опората. Тялото се влияе от силата на гравитацията и силата на реакция на опората.

Фиг. 5. Промяна в телесното тегло при движение с ускорение.

Основно уравнение на динамиката: ... Проектиран върху оста Oy:

Според третия закон на Нютон модулите на силите са N p1 = P 1. Следователно телесно тегло P 1 = mg

, (тялото изпитва претоварване).

Следователно телесно тегло

Ако a = g, тогава P = 0

По този начин телесното тегло по време на вертикално движение може най-общо да се изрази с формулата

Нека психически разбием неподвижното тяло на хоризонтални слоеве. Всеки от тези слоеве се влияе от силата на гравитацията и тежестта на горната част на тялото. Колкото по-нисък е слоят, толкова повече ще стане това тегло. Следователно, под въздействието на тежестта на горните части на тялото, всеки слой се деформира и в него възникват еластични напрежения, които се увеличават с прехода от горната част на тялото към долната.

Фиг. 6 Тяло, разделено на хоризонтални слоеве.

Ако тялото пада свободно (a = g), тогава теглото му е нула, всички деформации изчезват в тялото и въпреки продължаващото действие на гравитацията, горните слоеве няма да притискат долните.

Състоянието, при което деформациите и взаимните налягания изчезват в свободно движещо се тяло, се нарича безтегловност. Причината за безтегловността се крие във факта, че силата на универсалната гравитация придава същото ускорение на тялото и неговата опора.

1.3 Движение на тялото, ако началната скорост е насочена под ъгъл спрямо силата на тежестта

Тялото се хвърля хоризонтално, т.е. под прав ъгъл спрямо посоката на гравитацията.

Освен това, v 0x = v 0, g x = 0, v 0y = 0, g y = - g, x 0 = 0, и следователно,

За да определим вида на траекторията, по която тялото ще се движи в този случай, изразяваме времето t от първото уравнение и го заместваме във второто уравнение. В резултат на това получаваме квадратична зависимост на y от x:

Това означава, че тялото ще се движи по клона на параболата.

Фиг. 7. Движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта.

Движението на тяло, хвърлено с определена начална скорост υ о под ъгъл α спрямо хоризонта, също е сложно движение: равномерно в хоризонтална посока и в същото време равномерно ускорено движение във вертикална посока под действието на гравитацията. Така се движи скиор при скачане от трамплин, струя вода от оръдие и т.н.

Фиг. 8. Струя вода от оръдие.

Изучаването на характеристиките на такова движение започва доста отдавна, още през 16 век и е свързано с появата и усъвършенстването на артилерийски оръдия.

Идеите за траекторията на движение на артилерийските снаряди в онези дни бяха доста смешни. Смятало се, че тази траектория се състои от три участъка: A - насилствено движение, B - смесено движение и C - естествено движение, при което ядрото пада върху вражеския войник отгоре.

Фиг. 9. Траекторията на движение на артилерийския снаряд.

Законите за полета на снарядите не са получили голямо внимание от учените, докато не са изобретени оръжия с далечни разстояния, които изпращат снаряд през хълмове или дървета, така че стрелецът да не може да ги види как летят.

Стрелбата на свръхдалечни разстояния от такива оръжия в началото се използваше главно за деморализиране и сплашване на врага, а точността на стрелбата не играеше особено важна роля в началото.

Италианският математик Тарталия се доближи до правилното решение за полета на гюлла, той успя да покаже, че най-голям обхват на снаряди може да се постигне, когато изстрелът е насочен под ъгъл от 45 ° спрямо хоризонта. В книгата му "Нова наука" са формулирани правилата на огъня, които ръководят артилеристите до средата на XVII век.

Пълното решение на проблемите, свързани с движението на тела, хвърлени хоризонтално или под ъгъл спрямо хоризонта, е извършено от същия Галилей. В своите разсъждения той изхожда от две основни идеи: телата, които се движат хоризонтално и не се влияят от други сили, ще запазят скоростта си; появата на външни влияния ще промени скоростта на движещо се тяло, независимо дали то е било в покой или се е движило преди началото на тяхното действие. Галилей показа, че траекториите на снарядите, ако пренебрегнем съпротивлението на въздуха, са параболи. Галилей посочи, че при реалното движение на черупките, поради съпротивлението на въздуха, тяхната траектория вече няма да прилича на парабола: низходящият клон на траекторията ще върви малко по-стръмно от изчислената крива.

Нютон и други учени разработиха и усъвършенстваха нова теория на стрелбата, като отчитат повишеното влияние на силите на въздушното съпротивление върху движението на артилерийските снаряди. Появи се и нова наука – балистика. Изминаха много, много години и сега снарядите се движат толкова бързо, че дори просто сравнение на типа траектории на тяхното движение потвърждава повишеното влияние на въздушното съпротивление.

Фиг. 10. Идеалната и валидна траектория на снаряда.

На нашата фигура идеалната траектория на тежък снаряд, изхвърлен от цевта на пистолет с висока начална скорост, е показана с пунктирана линия, а плътна линия е действителната траектория на снаряда при същите условия на стрелба.

В съвременната балистика за решаване на подобни проблеми се използват електронни компютри - компютри, но засега ще се ограничим до един прост случай - изследването на такова движение, при което съпротивлението на въздуха може да се пренебрегне. Това ще ни позволи да повторим разсъжденията на Галилей почти без промени.

Полетът на куршуми и снаряди е пример за движението на тела, хвърлени под ъгъл спрямо хоризонта. Точно описание на естеството на такова движение е възможно само при разглеждане на някаква идеална ситуация.

Нека видим как се променя скоростта на тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта, при липса на въздушно съпротивление. През цялото време на полета гравитацията действа върху тялото. На първия участък от траекторията в посока.

Фиг. 11. Промяна на скоростта по траекторията.

В най-високата точка на траекторията - в точка C - скоростта на тялото ще бъде най-малка, тя е насочена хоризонтално, под ъгъл от 90 ° спрямо линията на действие на силата на гравитацията. На втората част от траекторията полетът на тялото е подобен на движението на тялото, хвърлено хоризонтално. Времето на движение от точка А до точка С ще бъде равно на времето на движение по втората част на траекторията при липса на въздушни съпротивителни сили.

Ако точките на "хвърляне" и "приземяване" са на една и съща хоризонтала, същото може да се каже и за скоростите на "хвърляне" и "приземяване". Ъглите между повърхността на Земята и посоката на скоростта на движение в точките на "хвърляне" и "кацане" също ще бъдат равни в този случай.

Обхватът на полета на тяло AB, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, зависи от стойността на началната скорост и ъгъла на хвърляне. При постоянна скорост на хвърляне V 0 с увеличаване на ъгъла, между посоката на скоростта на хвърляне и хоризонталната повърхност от 0 до 45 °, обхватът на полета се увеличава и с по-нататъшно увеличаване на ъгъла на хвърляне намалява. Лесно е да се провери това, като се насочи поток от вода под различни ъгли към хоризонта или след движението на топка, освободена от пружинен "пистолет" (такива експерименти е лесно да направите сами).

Траекторията на такова движение е симетрична спрямо най-високата точка на полета и при ниски начални скорости, както беше споменато по-рано, е парабола.

Максималният обхват на полета при дадена скорост на излитане се постига при ъгъл на хвърляне от 45 °. Когато ъгълът на хвърляне е 30 ° или 60 °, тогава обхватът на полета на телата и за двата ъгъла се оказва еднакъв. За ъгли на хвърляне от 75 ° и 15 °, обхватът на полета отново ще бъде същият, но по-малък, отколкото при ъгли на хвърляне от 30 ° и 60 °. Това означава, че най-благоприятният ъгъл за далечно хвърляне е ъгъл от 45 °; за всякакви други стойности на ъгъла на хвърляне, обхватът на полета ще бъде по-малък.

Ако тялото бъде хвърлено с определена начална скорост v o под ъгъл от 45 ° спрямо хоризонта, тогава неговият обхват на полета ще бъде два пъти максималната височина на повдигане на тяло, хвърлено вертикално нагоре със същата начална скорост.

Максималният обхват на полета S на тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта, може да се намери по формулата:

максимална височина на повдигане H по формулата:

При липса на въздушно съпротивление най-дългият обхват на полета би съответствал на ъгъла на наклон на цевта на пушката, равен на 45 °, но съпротивлението на въздуха значително променя траекторията на движение и максималният обхват на полета съответства на различен ъгъл на наклон на пушката. цев на пушка - повече от 45 °. Стойността на този ъгъл зависи и от скоростта на куршума при изстрел. Ако скоростта на куршума при изстрел е 870 m / s, тогава действителният обхват на полета ще бъде приблизително 3,5 km, а не 77 km, както показват "идеалните" изчисления.

Тези съотношения показват, че разстоянието, изминато от тялото във вертикална посока, не зависи от стойността на началната скорост - в края на краищата, нейната стойност не е включена във формулата за изчисляване на височината H. И обхватът на куршума в хоризонталната посока ще бъде толкова по-голяма, колкото по-голяма е началната й скорост.

Нека изследваме движението на тяло, хвърлено с начална скорост v 0 под ъгъл α спрямо хоризонта, като го разглеждаме като материална точка с маса m В този случай пренебрегваме въздушното съпротивление и гравитационното поле ще се счита за равномерно (P = const), като се приеме, че обхватът на полета и височината на траекторията са малки в сравнение с радиуса на Земята.

Поставете началото O в началната позиция на точката. Нека насочим оста O y вертикално нагоре; хоризонталната ос O x е разположена в равнината, минаваща през O y и вектора v 0, а оста O z е начертана перпендикулярно на първите две оси. Тогава ъгълът между вектора v 0 и оста O x ще бъде равен на α

Фиг. 12 Движение на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта.

Начертайте движеща се точка M някъде по траекторията. Върху точката действа само силата на гравитацията, чиито проекции върху координатните оси са равни: P x = 0, P y = -P = mg, P Z = 0

Заместване на тези количества в диференциални уравнения и отбелязване, че и т.н. след намаляване с m получаваме:

Умножавайки двете страни на тези уравнения по dt и интегрирайки, намираме:

Първоначалните условия в нашия проблем са както следва:

х = 0,

y = 0,

Удовлетворявайки първоначалните условия, ще имаме:

Замествайки тези стойности С 1, С 2 и С 3 в намереното по-горе решение и заменяйки V x, V Y, V z с, стигаме до уравненията:

Интегрирайки тези уравнения, получаваме:

Заместването на изходните данни дава C 4 = C 5 = C 6 = 0 и накрая намираме уравненията на движението на точка M във вида:

От последното уравнение следва, че движението се осъществява в равнината О xy

Имайки уравнението на движението на точка, е възможно да се определят всички характеристики на дадено движение с помощта на методите на кинематиката.

1. Траектория на точка. Елиминирайки времето t от първите две уравнения (1), получаваме уравнението на траекторията на точката:

(2)

Това е уравнението на парабола с ос, успоредна на оста O y. Така тежка точка, хвърлена под ъгъл спрямо хоризонта, се движи в безвъздушно пространство по парабола (Галилей).

2. Хоризонтален обхват. Да определим хоризонталния обхват, т.е. разстоянието OS = X, измерено по оста O x. Като приемем в равенство (2) y = 0, намираме пресечните точки на траекторията с оста О х. От уравнението:

получаваме

Първото решение дава точка O, второто точка C. Следователно X = X 2 и накрая

(3)

От формула (3) се вижда, че същият хоризонтален обхват X ще се получи при ъгъл β, за който 2β = 180 ° - 2α, т.е. ако ъгълът β = 90 ° -α. Следователно за дадена начална скорост v 0 една и съща точка C може да бъде достигната по две траектории: плоска (α<45°) и навесной (β=90°-α>45°)

За дадена начална скорост v 0 най-големият хоризонтален обхват в безвъздушното пространство се получава, когато sin 2 α = 1, т.е. под ъгъл α = 45 °.

тогава има височината на траекторията H:

(4)

Време за полет. От първото уравнение на системата (1) следва, че общото време на полет T се определя от равенството Заменяйки тук X с неговата стойност, получаваме

При ъгъла на най-големия диапазон α = 45 ° всички намерени стойности са равни:

Получените резултати са практически напълно приложими за приблизителното определяне на характеристиките на полета на снаряди (ракети) с обхват от порядъка на 200 ... 600 km, тъй като на тези разстояния (и при) снарядът преминава основната част от пътят му в стратосферата, където въздушното съпротивление може да се пренебрегне. При по-къси разстояния резултатът ще бъде силно повлиян от въздушното съпротивление, а при разстояния над 600 km силата на гравитацията вече не може да се счита за постоянна.

Движението на тяло, хвърлено от височина h.

Оръдие, монтирано на височина h, произведе изстрел под ъгъл α спрямо хоризонта. Гюлето излетя от цевта на пистолета със скорост u. Нека дефинираме уравненията на движението на ядрото.

Фиг. 13 Движение на тяло, хвърлено от височина.

За правилно формулиране на диференциални уравнения на движението е необходимо да се решат подобни задачи по определена схема.

а) Задайте координатна система (брой оси, тяхната посока и начало). Добре подбраните оси опростяват решението.

б) Покажете точка в междинно положение. В този случай е необходимо да се гарантира, че координатите на такава позиция са задължително положителни.

в) Покажете силите, действащи върху точката в това междинно положение (не показвайте инерционните сили!).

В този пример това е само силата, теглото на ядрото. Няма да вземем предвид въздушното съпротивление.

г) Съставете диференциални уравнения, като използвате формулите:

От тук получаваме две уравнения: и.

д) Решаване на диференциални уравнения.

Получените тук уравнения са линейни уравнения от втори ред, в дясната страна са константи. Решението на тези уравнения е елементарно.

Остава да се намерят интегриращите константи. Заменете началните условия (за t = 0, x = 0, y = h, ,) в тези четири уравнения: ,,

0 = C 2, h = D 2.

Заместваме стойностите на константите в уравненията и записваме уравненията за движение на точката в крайния вид

Притежавайки тези уравнения, както е известно от раздела по кинематика, е възможно да се определи траекторията на ядрото, и скоростта, и ускорението, и позицията на ядрото във всеки един момент от време.

Както можете да видите от този пример, схемата за решаване на проблеми е доста проста. Трудности могат да възникнат само при решаване на диференциални уравнения, което може да бъде трудно.

Тук силата е силата на триене. Ако линията, по която се движи точката, е гладка, тогава T = 0 и тогава второто уравнение ще съдържа само една неизвестна - координата s:

След като решим това уравнение, получаваме закона за движението на точка и следователно, ако е необходимо, както скоростта, така и ускорението. Първото и третото уравнения (5) ще ни позволят да намерим реакциите и.

2. Движение на тяло в среда със съпротивление

движение съпротивление балистика елиптична орбита

Една от най-важните задачи на аеродинамиката и хидродинамиката е изучаването на движението на твърдите тела в газ и течност. По-специално, изследването на силите, с които околната среда действа върху движещо се тяло. Този проблем стана особено важен във връзка с бързото развитие на авиацията и увеличаването на скоростта на морските кораби. Две сили действат върху тяло, движещо се в течност или газ (означаваме техния резултат с R), една от които (R x) е насочена в посока, противоположна на движението на тялото (към потока), е съпротивлението, а вторият (R y) е перпендикулярен на тази посока е повдигащата сила.

където ρ е плътността на средата; υ е скоростта на движение на тялото; S е най-голямото напречно сечение на тялото.

Подемната сила може да се определи по формулата:

Където C y е безразмерният коефициент на повдигане.

Ако тялото е симетрично и неговата ос на симетрия съвпада с посоката на скоростта, тогава върху него действа само челното съпротивление, докато подемната сила в този случай е равна на нула. Може да се покаже, че в идеален флуид се осъществява равномерно движение без съпротивление. Ако разгледаме движението на цилиндър в такава течност, тогава моделът на обтекателната линия е симетричен и резултантната сила на натиск върху повърхността на цилиндъра ще бъде нула.

Ситуацията е различна, когато телата се движат във вискозна течност (особено когато скоростта на потока се увеличава). Поради вискозитета на средата в областта, съседна на повърхността на тялото, се образува граничен слой от частици, движещи се с по-ниски скорости. В резултат на спирачното действие на този слой се получава въртене на частиците и движението на флуида в граничния слой става вихрово. Ако тялото няма опростена форма (няма плавно изтъняваща опашка), тогава граничният слой на течността се отделя от повърхността на тялото. Зад тялото възниква поток от течност или газ, насочен срещу входящия поток. Отделеният граничен слой, следващ този поток, образува вихри, въртящи се в противоположни посоки. Челното съпротивление зависи от формата на тялото и положението му спрямо потока, което се отчита от коефициента на съпротивление. Вискозитетът (вътрешното триене) е свойството на реалните течности да устояват на движението на една част от течността спрямо друга. Когато някои слоеве от реална течност се движат спрямо други, се появяват вътрешни сили на триене F, насочени тангенциално към повърхността на слоевете. Действието на тези сили се проявява във факта, че ускоряващата сила действа върху слоя, движещ се по-бавно от страната на слоя, движещ се по-бързо. От страната на слоя, движещ се по-бавно, върху слоя, движещ се по-бързо, действа спирачна сила. Силата на вътрешно триене F е толкова по-голяма, колкото по-голяма е разглежданата площ S на повърхността на слоя и зависи от това колко бързо се променя скоростта на потока на флуида по време на прехода от слой към слой. Величина има колко бързо се променя скоростта при преминаване от слой на слой в посока x, перпендикулярна на посоката на движение на слоевете, и се нарича градиент на скоростта. По този начин модулът на силата на вътрешно триене

където коефициентът на пропорционалност η, в зависимост от естеството на течността. наречен динамичен вискозитет.

Колкото по-висок е вискозитетът, толкова повече течността се различава от идеалната, толкова по-големи са силите на вътрешно триене в нея. Вискозитетът зависи от температурата и естеството на тази зависимост за течности и газове е различно (за течности η намалява с повишаване на температурата, за газове, напротив, се увеличава), което показва разлика в механизмите на вътрешно триене.

Основната задача на балистиката е да определи под какъв ъгъл към хоризонта и с каква начална скорост трябва да лети куршум с определена маса и форма, за да достигне целта.

Формиране на траекторията.

По време на изстрел куршум, получил определена начална скорост под действието на прахови газове, когато напусне канала, се стреми по инерция да поддържа големината и посоката на тази скорост, а граната с реактивен двигател се движи по инерция след газове от реактивния двигател. Ако полетът на куршум (граната) се осъществи в безвъздушно пространство и гравитацията не въздейства върху него, куршумът (гранатата) ще се движи праволинейно, равномерно и безкрайно. Въпреки това, куршум (граната), летящ във въздуха, е подложен на сили, които променят скоростта на полета и посоката на движение. Тези сили са силата на гравитацията и силата на съпротивление на въздушната среда.

Поради комбинираното действие на тези сили куршумът губи скорост и променя посоката на движение, движейки се във въздуха по извита линия, минаваща под посоката на оста на цевта на цевта.

Извитата линия, която описва в пространството центъра на тежестта на движещ се куршум (снаряд) в полет, се нарича траектория. Обикновено балистиката разглежда траекторията над (или под) хоризонта на оръжието - въображаема безкрайна хоризонтална равнина, минаваща през изходната точка. Движението на куршума и следователно формата на траекторията зависи от много условия. Куршум, летящ във въздуха, е подложен на две сили: гравитация и въздушно съпротивление. Силата на гравитацията кара куршума да намалява постепенно, а силата на въздушното съпротивление непрекъснато забавя движението на куршума и има тенденция да го преобръща. В резултат на действието на тези сили скоростта на полета постепенно намалява, а траекторията му е с неравномерно извита линия.

Действието на гравитацията.

Нека си представим, че само една гравитация действа върху куршума, след като напусне канала. След това ще започне да пада вертикално надолу, като всяко свободно падащо тяло. Ако приемем, че гравитацията действа върху куршума по време на полета му по инерция в безвъздушно пространство, тогава под действието на тази сила куршумът ще падне по-ниско от продължението на оста на канала: през първата секунда - с 4,9 m, във втората второ - с 19,6 м и т.н. В този случай, ако насочите цевта на оръжието към целта, куршумът никога няма да я удари, тъй като, подложен на действието на гравитацията, той ще лети под целта. Съвсем очевидно е, че за да може куршумът да излети на определено разстояние и да удари целта, е необходимо цевта на оръжието да се насочи някъде над целта, така че траекторията на куршума, огъваща се под въздействието на гравитацията, да пресече центъра на целта. За да направите това, е необходимо оста на отвора на цевта и равнината на хоризонта на оръжието да образуват определен ъгъл, който се нарича ъгъл на издигане. Траекторията на куршум в безвъздушно пространство, върху което действа гравитацията, е правилна крива, която се нарича парабола. Най-високата точка на траекторията над хоризонта на оръжието се нарича неговият връх. Частта от кривата от изходната точка до върха се нарича възходящ клон на траекторията, а от върха до точката на падане се нарича низходящ клон. Тази траектория на куршума се характеризира с факта, че възходящите и низходящите клони са абсолютно еднакви, а ъгълът на хвърляне и падане са равни един на друг.

Действието на силата на съпротивление на въздушната среда.

На пръв поглед изглежда малко вероятно въздухът с толкова ниска плътност да осигури значително съпротивление на движението на куршума и по този начин значително да намали скоростта му. Съпротивлението на въздуха обаче има силен спирачен ефект върху куршума и следователно той губи скоростта си. Съпротивлението на въздуха при полета на куршум се дължи на факта, че въздухът е еластична среда и следователно част от енергията на куршума се изразходва за движение в тази среда. Въздушното съпротивление се причинява от три основни причини: въздушно триене, турбуленция и образуване на балистични вълни.

Както показват снимките на куршум, летящ със свръхзвукова скорост (над 340 m / s), пред главата му се образува въздушно уплътнение. От това уплътняване се излъчва вълна на главата във всички посоки. Въздушните частици, плъзгащи се по повърхността на куршума и се откъсват от страничните му стени, образуват разредено пространство зад дъното на куршума, в резултат на което се появява разлика в налягането върху главата и дъното. Тази разлика създава сила, насочена в посока, противоположна на движението на куршума и намалява скоростта на полета му. Въздушните частици, опитвайки се да запълнят празнотата, образувана зад куршума, създават вихър, в резултат на което опашна вълна се простира зад дъното на куршума.

Уплътняването на въздуха пред главата на куршума забавя полета му; разредената зона зад куршума го засмуква и по този начин допълнително засилва спирането; към всичко това стените на куршума изпитват триене срещу въздушните частици, което също забавя полета му. Резултатът от тези три сили е силата на съпротивлението на въздуха. Куршум (граната) по време на полет се сблъсква с въздушни частици и ги кара да вибрират. В резултат на това плътността на въздуха пред куршума (гранатата) се увеличава и се образуват звукови вълни. Следователно полетът на куршум (граната) е придружен от характерен звук. Когато скоростта на куршума (гранатата) е по-малка от скоростта на звука, образуването на тези вълни има малък ефект върху неговия полет, тъй като вълните се разпространяват по-бързо от скоростта на куршума (граната). При скорост на куршума, която е по-голяма от скоростта на звука, се създава вълна от силно уплътнен въздух от звуковите вълни, които се движат една срещу друга - балистична вълна, която забавя скоростта на куршума, тъй като куршумът изразходва част от енергията си да създаде тази вълна.

Резултатът (общо) от всички сили, генерирани в резултат на въздействието на въздуха върху полета на куршум (граната), е силата на въздушното съпротивление. Точката на приложение на съпротивителната сила се нарича център на съпротивление.

Влиянието на въздушното съпротивление върху полета на куршума е много голямо - причинява намаляване на скоростта и обсега на куршума.

Действието върху куршума е въздушно съпротивление.

Величината на силата на въздушното съпротивление зависи от скоростта на полета, формата и калибъра на куршума, както и от неговата повърхност и плътност на въздуха.

Силата на съпротивлението на въздуха се увеличава с увеличаване на калибъра на куршума, скоростта му на полет и плътността на въздуха. За да може съпротивлението на въздуха да забави по-малко куршума по време на полет, е съвсем очевидно, че е необходимо да се намали калибърът му и да се увеличи масата му. Тези съображения доведоха до необходимостта от използване на куршуми с продълговата форма в малки оръжия и като се вземат предвид свръхзвуковите скорости на полета на куршума, когато основната причина за въздушното съпротивление е образуването на въздушно уплътнение пред бойната глава (балистична вълна) , куршуми с удължена заострена глава са изгодни. При дозвукови скорости на граната, когато основната причина за въздушното съпротивление е образуването на разредено пространство и вихри, гранати с удължена и стеснена опашка са изгодни.

Колкото по-гладка е повърхността на куршума, толкова по-малко е триенето и съпротивлението на въздуха.

Разнообразието от форми на съвременните куршуми до голяма степен се определя от необходимостта от намаляване на силата на въздушното съпротивление.

Ако куршумът е летял в безвъздушно пространство, тогава посоката на надлъжната му ос ще бъде непроменена и куршумът ще падне на земята не с главата, а с дъното.

Когато обаче силата на въздушното съпротивление действа върху куршума, полетът му ще бъде съвсем различен. Под действието на начални смущения (шокове) в момента, в който куршумът напусне канала, се образува ъгъл между оста на куршума и допирателната към траекторията, а силата на съпротивлението на въздуха действа не по оста на куршума, а под ъгъл към то, опитвайки се не само да забави движението на куршума, но и да я преобърне. В първия момент, когато куршумът излети от отвора, съпротивлението на въздуха само забавя движението му. Но веднага щом куршумът започне да се спуска под въздействието на гравитацията, въздушните частици започват да притискат не само частта на главата, но и страничната й повърхност.

Колкото повече пада куршумът, толкова повече той ще и ще изложи страничната си повърхност на въздушното съпротивление. И тъй като въздушните частици упражняват значително по-голям натиск върху главата на куршума, отколкото върху опашката, те са склонни да преобръщат куршума с главата назад.

Следователно силата на въздушното съпротивление не само забавя куршума по време на полет, но и има тенденция да преобръща главата му назад. Колкото по-висока е скоростта на куршума и колкото е по-дълъг, толкова повече въздухът има почукващ ефект върху него. Съвсем разбираемо е, че при такова действие на въздушно съпротивление куршумът ще започне да се салто по време на полета си. В същото време, замествайки едната или другата страна на въздуха, куршумът бързо ще загуби скорост, във връзка с което обхватът на полета ще бъде малък, а точността на битката ще бъде незадоволителна.

Заключение

Във всички разгледани примери върху тялото е действала една и съща сила на гравитацията. Движенията обаче изглеждаха различно. Това се обяснява с факта, че естеството на движението на всяко тяло при дадени условия се определя от първоначалното му състояние. Не е за нищо, че всички уравнения, които получихме, съдържат начални координати и начални скорости. Сменяйки ги, можем да накараме тялото да се издигне нагоре или надолу по права линия, да се движи по парабола, достигайки върха й, или да се спусне по нея; можем да огънем дъгата на параболата повече или по-малко и т.н. И в същото време цялото това разнообразие от движения може да бъде изразено в една проста формула:

Библиография

1. Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Общ курс по физика. М. Образование, 1995г.

2. Rymkevich P.A. Курс по физика. М. Просвещение, 1975

3. Савелиев И.В. Общ курс по физика. М. Просвещение, 1983.

4. Трофимова Т.И. Курс по физика. М. Просвещение, 1997

5. Чертов А.Г., Воробиев А.А. Проблемна книга по физика. М. Просвещение, 1988.

Тема. Сила на гравитацията. Движение на тялото под въздействието на гравитацията

Целта на урока: да даде на учениците представа за понятието гравитация; да се запознаят с природата на тази сила. Запознайте ги с движението на тялото под въздействието на гравитацията

Тип урок: изучаване на нов материал

План на урока

Контрол на знанието		1. Законът за всемирното притегляне. 2. Физическият смисъл на гравитационната константа. 3. Граници на приложимост на закона за всемирното притегляне
Демонстрации		1. Падащи тела на земята. 2. Център на тежестта на телата. 3. Движението на тялото, хвърлено вертикално нагоре и надолу.
Изучаване на нов материал		1. Гравитация и център на тежестта. 2. Ускоряване на свободното падане. 3. Движението на тялото вертикално. 4. Движението на тялото, хвърлено хоризонтално. 5. Движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта
Затвърдяване на изучавания материал		1. Обучаваме се да решаваме проблеми. 2. Контролни въпроси

ИЗУЧВАНЕ НА НОВ МАТЕРИАЛ

Камък, падащ от скала, и топка, хвърлена вертикално нагоре, се движат по права линия. След като се разпръсна на брега, човек скача във водата, докато траекторията на тялото й е половината от парабола. Снаряд, изстрелян от оръдие под ъгъл към хоризонта, също ще опише парабола в пространството. Траекторията на земния спътник е много близка до кръг. Движението на всички тези тела става под въздействието на гравитацията. Защо тези движения са толкова различни едно от друго? Очевидно причината са различни начални условия.

Ако само гравитацията действа върху тялото, тогава според втория закон на Нютон m = m или m = m. Това означава, че под действието на гравитацията тялото се движи с ускорена скорост с ускорение g (a = g). В този случай уравнението на зависимостта на скоростта от времето има вида: = 0 + t.

Това уравнение показва, че скоростта на тялото е в равнината, образувана от векторите 0 и следователно за описване на такива движения е достатъчна двумерна координатна система.

Помислете за вертикалното движение на тялото: тялото се хвърля вертикално нагоре (фиг. A), а тялото пада вертикално надолу (фиг. B).

В този случай траекторията на тялото ще бъде отсечка от права линия, тъй като няма движение по оста Ox (0x = 0, x = x0).

Тъй като докато се движи нагоре тогава уравненията на движение ще имат следния вид:

По същия начин, по време на движението на тялото, хвърлено надолу, уравненията ще изглеждат така:

1. Въз основа на кой закон може да се твърди, че силата на гравитацията е пропорционална на масата на тялото?

2. Как зависи ускорението на гравитацията от височината над земната повърхност?

3.С какво ускорение се движи хоризонтално хвърлено тяло?

4. Времето за полет на хвърлено хоризонтално тяло зависи ли от стойността на началната скорост?

5. Може ли движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, да се счита за равномерно ускорено?

6. Какво е общото в движението на тела, хвърлени вертикално нагоре и под ъгъл към хоризонта?

ОСИГУРЯВАНЕ НА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛ

1. Изчислете масата на Земята, ако е известно, че нейният радиус е 6400 km.

2. Изчислете ускорението, дължащо се на гравитацията на височина, равна на радиуса на Земята.

3. С каква скорост трябва да се хвърли тялото хоризонтално от определена височина, така че обхватът на полета да е равен на височината, от която се хвърля тялото?

4. Камък, хвърлен хоризонтално от покрива на къща със скорост 15 m/s, падна на земята под ъгъл от 60° спрямо хоризонта. Каква е височината на къщата?

5. Камък, хвърлен под ъгъл от 30° спрямо хоризонта, е бил на една и съща височина два пъти: 3 s и 5 s след началото на движението. Изчислете началната скорост на хвърляне и максималната височина на повдигане.

1. Защо ускорението на гравитацията намалява с увеличаване на височината над земната повърхност?

2. Може ли тялото да се движи в кръг под действието на гравитацията? Обосновете отговора си.

3. Какво е общото в движението на тела, хвърлени вертикално нагоре и под ъгъл спрямо хоризонта?

4. Как ще се променят времето и обхватът на полета на тяло, хвърлено хоризонтално от определена височина, ако скоростта на хвърляне се удвои?

5. Тялото, хвърлено под ъгъл от 30° спрямо хоризонта, падна до определена точка на повърхността на земята. Под какъв ъгъл трябва да бъде хвърлено второто тяло със същата начална скорост, така че да падне в същата точка като първото?

Какво научихме в урока

Силата, с която Земята привлича всяко тяло, се нарича сила на гравитацията.

Силата на гравитацията, действаща върху тялото, е пропорционална на масата на това тяло.

Точката на приложение на силата на тежестта, действаща върху тялото за всяка позиция в пространството, се нарича център на тежестта.

Ускорението при свободно падане е:

Ако върху тялото действа само гравитацията, тогава уравнението за зависимостта на скоростта на тялото от времето има вида:

Тяло, хвърлено хоризонтално, се движи по парабола, чийто връх е в началната точка на движението.

Времето на полета и обхватът на полета на тялото, хвърлено хоризонтално, се изчисляват по формулите:

По време на движението на тялото, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта:

а) височина на тялото -

б) обхват на полета на тялото -

в) максималният обхват на полета се постига, ако ъгълът = 45 °.

р1) - 7,8; 7,21; 7,28, 8,6; 8,7;

р2) - 7,54; 7,55; 7.56. 8.13, 8.14;

р3) - 7,75; 7,81; 8,34; 8.39, 8.40.

цели:

Продължаване на запознаването с разнообразни равномерно ускорени движения.
Научаване на сравняване на различни видове движения, намиране на общи черти и разлики, способност да се правят изводи от наблюдаваните явления.
Да се запознае с методиката за решаване на задачи по тази тема, да се покаже универсалността на използваните при решаването на задачи закони.
Разширяване на хоризонтите ви.

Етапи на урока:

Етапът на определяне на целта на урока
Етап на актуализиране на знанията
Етапът на получаване на нови знания по темата "Движението на телата под въздействието на гравитацията"
Етап на подготовка за решаване на проблеми
Етапът на консолидиране на материала в процеса на решаване на кръстословица, задачи, тест
Домашна работа

Съпровод на уроци:

Презентация "Движението на телата под въздействието на гравитацията."
Фрагменти от филми.
Експерименти.

Оборудване за урок:

Компютърен клас
Видео проектор
Електронен дидактичен материал за ученици
Инструменти: Нютонова тръба, метални и хартиени дискове

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ

азОт днес нататък ще разглеждаме същността и законите на движението на телата, които се влияят само от силата на гравитацията. Може да има няколко вида движения под въздействието на гравитацията: движението на тела, хвърлени вертикално нагоре, вертикално надолу, хоризонтално, под ъгъл към хоризонта. Трудно е да се подценява значението на познаването на тези закони. Обясняват движението на парашутисти, снаряди, атлети на батути и т.н.

Свободното движение на телата има следната особеност: тяло, хвърлено хоризонтално и просто освободено от същото ниво, пада едновременно. Нека проследим движението на такива тела върху модела.

На последните слайдове на презентация № 18, 19, 20, 21 има филмови фрагменти (вж. Приложение 6 ):

Основната задача на механиката и движението на тела, хвърлени под ъгъл спрямо хоризонта,
Падащи снаряди, хвърлени от самолета,
Полет на балистична ракета
Полет на космически ракети.

Филмите могат да се използват преди започване на изследването, за да се създаде елемент на интерес, в средата - за да се обоснове разглеждането на тези видове движения, или в края - за да се обобщи.

А) Тялото е хвърлено вертикално нагоре

В такъв случай v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = - g.

Б) Тялото се хвърля хоризонтално

При което v 0x = v 0, g x = 0, v 0y = 0, g y = - g, x 0 = 0, и следователно

За да определим вида на траекторията, по която тялото ще се движи в този случай, изразяваме времето тот първото уравнение и го заместете във второто уравнение. В резултат на това получаваме квадратична зависимост вот Х:

Това означава, че тялото ще се движи по клона на параболата.

В) Тялото е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта

В такъв случай v 0 x = v 0 с osα, g x = 0, v 0y = v 0 sin α, g y = - g, x 0 = y 0 = 0, и затова

Във всички разгледани примери върху тялото е действала една и съща сила на гравитацията. Движенията обаче изглеждаха различно. Това се обяснява с факта, че естеството на движението на всяко тяло при дадени условия се определя от първоначалното му състояние. Не е за нищо, че всички уравнения, които получихме, съдържат начални координати и начални скорости. Сменяйки ги, можем да накараме тялото да се издигне нагоре или надолу по права линия, да се движи по парабола, достигайки върха й, или да се спусне по нея; можем да огънем дъгата на парабола повече или по-малко и т.н. И в същото време цялото това разнообразие от движения може да бъде изразено в една проста формула.

Действието на силите на гравитацията в природата обяснява много явления: движението на планетите в Слънчевата система, изкуствените спътници на Земята, траекторията на полета на балистичните ракети, движението на тела близо до повърхността на Земята - всички те са обяснено на базата на закона за гравитацията и законите на динамиката.

Законът за универсалната гравитация обяснява механичната структура на Слънчевата система и от него могат да бъдат изведени законите на Кеплер, описващи траекториите на планетите. За Кеплер неговите закони са били чисто описателни – ученият просто обобщава наблюденията си в математическа форма, без да дава никакви теоретични основи на формулите. Във великата система на световния ред според Нютон законите на Кеплер стават пряко следствие от универсалните закони на механиката и закона за всеобщото притегляне. Тоест отново наблюдаваме как емпиричните заключения, получени на същото ниво, се превръщат в строго обосновани логически заключения по време на прехода към следващия етап на задълбочаване на познанията ни за света.

Нютон е първият, който изразява идеята, че гравитационните сили определят не само движението на планетите от Слънчевата система; те действат между всякакви тела във Вселената. Едно от проявите на силата на универсалната гравитация е силата на гравитацията - така се нарича силата на привличане на телата към Земята близо до нейната повърхност.

Ако M е масата на Земята, RЗ е нейният радиус, m е масата на дадено тяло, тогава силата на гравитацията е

където g е ускорението на гравитацията на земната повърхност

Силата на гравитацията е насочена към центъра на земята. При липса на други сили тялото свободно пада на Земята с ускорението на гравитацията.

Средната стойност на ускорението от гравитацията за различни точки на земната повърхност е 9,81 m/s2. Познавайки ускорението на гравитацията и радиуса на Земята (RЗ = 6,38106 m), е възможно да се изчисли масата на Земята

Картината на структурата на Слънчевата система, произтичаща от тези уравнения и обединяваща земната и небесната гравитация, може да се разбере с прост пример. Да предположим, че стоим на ръба на отвесна скала, до оръдие и купчина гюлла. Ако просто пуснете ядрото от ръба на скалата вертикално, то ще започне да пада вертикално и равномерно. Неговото движение ще бъде описано от законите на Нютон за равномерно ускорено движение на тяло с ускорение g. Ако сега стреляте с гюле по посока на хоризонта, то ще лети - и ще падне в дъга. И в този случай неговото движение ще бъде описано от законите на Нютон, само че сега те се прилагат към тяло, движещо се под въздействието на гравитацията и имащо определена начална скорост в хоризонталната равнина. Сега, докато зареждате все по-тежко оръдие и стреляте отново и отново, ще откриете, че когато всяко следващо оръдие излита от цевта с по-висока начална скорост, гюлетата падат все по-далеч и по-далеч от основата на скалата.

Сега нека си представим, че сме заредили толкова много барут в оръдието, че скоростта на оръдието е достатъчна, за да обиколим земното кълбо. Ако пренебрегнем съпротивлението на въздуха, ядрото, облетяло Земята, ще се върне в началната си точка с точно същата скорост, с която първоначално е излетяло от оръдието. Ясно е какво ще се случи след това: ядрото няма да спре дотук и ще продължи да се върти кръг след кръг около планетата.

С други думи, ще получим изкуствен спътник, обикалящ около Земята, подобно на естествен спътник - Луната.

И така, стъпка по стъпка, ние преминахме от описанието на движението на тяло, попадащо изключително под влиянието на "земната" гравитация (Нютонова ябълка), към описание на движението на спътник (Луна) в неговата орбита, без да променя природата на гравитацията ефект от "земен" към "небесен". Именно това прозрение позволи на Нютон да свърже двете сили на гравитационно привличане, които преди него се смятаха за различни по природа.

С разстоянието от повърхността на Земята силата на гравитацията и ускорението на гравитацията се променят обратно пропорционално на квадрата на разстоянието r до центъра на Земята. Пример за система от две взаимодействащи тела е системата Земя – Луна. Луната се намира от Земята на разстояние rL = 3,84 · 106 м. Това разстояние е приблизително 60 пъти по-голямо от радиуса на Земята RЗ. Следователно, ускорението на гравитацията aL, дължащо се на гравитацията, в орбитата на Луната е

където T = 27,3 дни е периодът на въртене на Луната около Земята.

Съвпадението на резултатите от изчисленията, извършени по различни начини, потвърждава предположението на Нютон за единната природа на силата, която държи Луната в орбита, и силата на гравитацията.

Собственото гравитационно поле на Луната определя гравитационното ускорение gL на нейната повърхност. Масата на Луната е 81 пъти по-малка от тази на Земята, а радиусът й е приблизително 3,7 пъти по-малък от този на Земята.

Следователно ускорението gЛ се определя от израза

Помислете за въпроса за изкуствените земни спътници. Изкуствените спътници на Земята се движат извън земната атмосфера и върху тях действат само гравитационни сили от Земята.

В зависимост от началната скорост траекторията на космическото тяло може да бъде различна. Помислете за случая на изкуствен спътник, движещ се в кръгова околоземна орбита. Такива спътници летят на височини от порядъка на 200-300 km, а разстоянието до центъра на Земята може да се приеме приблизително равно на нейния радиус RЗ. Тогава центростремителното ускорение на спътника, придадено му от силите на гравитацията, е приблизително равно на ускорението на гравитацията g. Нека означим скоростта на спътник в околоземна орбита през υ1 - тази скорост се нарича първа космическа скорост. Използвайки кинематичната формула за центростремително ускорение, получаваме

Движейки се с такава скорост, спътникът би обиколил Земята след време

За спътници, движещи се по кръгови траектории на значително разстояние от Земята, земната гравитация отслабва обратно пропорционално на квадрата на радиуса r на траекторията. По този начин при високи орбити скоростта на движение на спътниците е по-ниска, отколкото в околоземна орбита.

Орбиталният период на спътника се увеличава с увеличаване на орбиталния радиус. Лесно е да се изчисли, че при орбитален радиус r, равен на приблизително 6,6 RЗ, орбиталният период на спътника ще бъде равен на 24 часа. Спътник с такъв орбитален период, изстрелян в екваториалната равнина, ще виси неподвижно над някаква точка от земната повърхност. Такива спътници се използват в космическите радиокомуникационни системи. Орбита с радиус r = 6,6 RЗ се нарича геостационарна.

Втората космическа скорост е минималната скорост, която трябва да бъде предадена на космически кораб на повърхността на Земята, така че той, преодолявайки земната гравитация, да се превърне в изкуствен спътник на Слънцето (изкуствена планета). В този случай корабът ще се отдалечи от Земята по параболична траектория.

Фигура 5 илюстрира космическите скорости. Ако скоростта на космическия кораб е равна на υ1 = 7,9 · 103 m / s и е насочена успоредно на повърхността на Земята, тогава космическият кораб ще се движи по кръгова орбита на малка височина над Земята. При първоначални скорости над υ1, но по-малки от υ2 = 11,2 · 103 m/s, орбитата на кораба ще бъде елиптична. При начална скорост υ2 корабът ще се движи по парабола, а с още по-висока начална скорост по хипербола.

Фигура 5 - Космически скорости

Посочени са скоростите около земната повърхност: 1) υ = υ1 - кръгова траектория;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 е параболична траектория; 5) υ> υ2 е хиперболична траектория;

6) траекторията на луната

Така разбрахме, че всички движения в Слънчевата система се подчиняват на закона на Нютон за универсалното привличане.

Изхождайки от малката маса на планетите и още повече на другите тела на Слънчевата система, приблизително може да се предположи, че движенията в пространството около слънцето се подчиняват на законите на Кеплер.

Всички тела се движат около Слънцето по елиптични орбити, в един от фокусите на които е Слънцето. Колкото по-близо е едно небесно тяло до Слънцето, толкова по-бърза е неговата орбитална скорост (планетата Плутон, най-отдалечената известна планета, се движи 6 пъти по-бавно от Земята).

Телата могат да се движат и в отворени орбити: парабола или хипербола. Това се случва, ако скоростта на тялото е равна или надвишава стойността на втората космическа скорост за Слънцето на дадено разстояние от централната звезда. Ако говорим за спътник на планетата, тогава космическата скорост трябва да се изчисли спрямо масата на планетата и разстоянието до нейния център.