Решение на квадратни уравнения на формулата на корените на квадратно уравнение. Квадратни уравнения

06.08.2020

Решаването на уравнения в математиката заема специално място. Този процес се предшества от много часове изучаване на теорията, по време на които ученикът се научава как да решава уравнения, да определя формата им и да довежда умението до пълен автоматизъм. Търсенето на корени обаче не винаги има смисъл, тъй като те може просто да не съществуват. Има специални методи за намиране на корени. В тази статия ще анализираме основните функции, техните области на дефиниция, както и случаите, когато техните корени липсват.

Кое уравнение няма корени?

Уравнението няма корени, ако няма реални аргументи x, за които уравнението е идентично вярно. За неспециалист тази формулировка, подобно на повечето математически теореми и формули, изглежда много неясна и абстрактна, но това е на теория. На практика всичко става изключително просто. Например: уравнението 0 * x = -53 няма решение, тъй като няма такова число x, чието произведение с нула би дало нещо различно от нула.

Сега ще разгледаме най-основните видове уравнения.

1. Линейно уравнение

Едно уравнение се нарича линейно, ако дясната и лявата му страна са представени като линейни функции: ax + b = cx + d или в обобщен вид kx + b = 0. Където a, b, c, d - известни числа, а x е неизвестна величина. Кое уравнение няма корени? Примери за линейни уравнения са показани на илюстрацията по-долу.

По принцип линейните уравнения се решават чрез просто прехвърляне на числовата част в едната част и съдържанието на x в другата. Оказва се уравнение от формата mx \u003d n, където m и n са числа, а x е неизвестно. За да намерите x, е достатъчно да разделите двете части на m. Тогава x = n/m. По принцип линейните уравнения имат само един корен, но има случаи, когато има или безкрайно много корени, или изобщо няма. Когато m = 0 и n = 0, уравнението приема формата 0 * x = 0. Решението на такова уравнение ще бъде абсолютно всяко число.

Но кое уравнение няма корени?

За m = 0 и n = 0, уравнението няма корени от множеството реални числа. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - тези уравнения нямат корени.

2. Квадратно уравнение

Квадратното уравнение е уравнение от формата ax 2 + bx + c \u003d 0 за a = 0. Най-често срещаното е решението чрез дискриминанта. Формулата за намиране на дискриминанта на квадратно уравнение: D \u003d b 2 - 4 * a * c. След това има два корена x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

За D > 0 уравнението има два корена, за D = 0 има един корен. Но кое квадратно уравнение няма корени? Най-лесният начин да наблюдавате броя на корените на квадратното уравнение е върху графиката на функция, която е парабола. При a > 0 клоните са насочени нагоре, за a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Можете също така визуално да определите броя на корените, без да изчислявате дискриминанта. За да направите това, трябва да намерите върха на параболата и да определите в коя посока са насочени клоните. Можете да определите x-координата на върха по формулата: x 0 \u003d -b / 2a. В този случай y-координата на върха се намира чрез просто заместване на стойността x0 в оригиналното уравнение.

Квадратното уравнение x 2 - 8x + 72 = 0 няма корени, тъй като има отрицателен дискриминант D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Това означава, че параболата не докосва оста x и функцията никога не приема стойност 0, следователно уравнението няма реални корени.

3. Тригонометрични уравнения

Тригонометричните функции се разглеждат върху тригонометричен кръг, но могат да бъдат представени и в Декартова системакоординати. В тази статия ще разгледаме две основни тригонометрични функции и техните уравнения: sinx и cosx. Тъй като тези функции образуват тригонометричен кръг с радиус 1, |sinx| и |cosx| не може да бъде по-голямо от 1. И така, кое sinx уравнение няма корени? Помислете за графиката на функцията sinx, показана на снимката по-долу.

Виждаме, че функцията е симетрична и има период на повторение от 2pi. Въз основа на това можем да кажем, че максималната стойност на тази функция може да бъде 1, а минималната -1. Например изразът cosx = 5 няма да има корени, тъй като е по-голям от един по абсолютна стойност.

Това е най-простият пример за тригонометрични уравнения. Всъщност тяхното решение може да отнеме много страници, в края на които разбирате, че сте използвали грешната формула и трябва да започнете отначало. Понякога, дори при правилно намиране на корените, можете да забравите да вземете предвид ограниченията на ODZ, поради което в отговора се появява допълнителен корен или интервал и целият отговор се превръща в грешен. Затова стриктно спазвайте всички ограничения, защото не всички корени се вписват в обхвата на задачата.

4. Системи от уравнения

Система от уравнения е набор от уравнения, комбинирани с къдрави или квадратни скоби. Къдравите скоби означават съвместното изпълнение на всички уравнения. Тоест, ако поне едно от уравненията няма корени или противоречи на другото, цялата система няма решение. Квадратните скоби означават думата "или". Това означава, че ако поне едно от уравненията на системата има решение, тогава цялата система има решение.

Отговорът на системата c е съвкупността от всички корени на отделните уравнения. А системите с къдрави скоби имат само общи корени. Системите от уравнения могат да включват напълно различни функции, така че тази сложност не ви позволява веднага да кажете кое уравнение няма корени.

В задачниците и учебниците има различни видове уравнения: тези, които имат корени, и тези, които ги нямат. Първо, ако не можете да намерите корени, не мислете, че те изобщо не съществуват. Може би сте направили грешка някъде, тогава е достатъчно внимателно да проверите отново решението си.

Разгледахме най-основните уравнения и техните видове. Сега можете да кажете кое уравнение няма корени. В повечето случаи това изобщо не е трудно да се направи. За постигане на успех при решаването на уравнения са необходими само внимание и концентрация. Практикувайте повече, това ще ви помогне да се ориентирате в материала много по-добре и по-бързо.

Така че уравнението няма корени, ако:

v линейно уравнение mx = n стойност m = 0 и n = 0;
в квадратно уравнение, ако дискриминантът е по-малък от нула;
в тригонометрично уравнение от вида cosx = m / sinx = n, ако |m| > 0, |n| > 0;
в система от уравнения с къдрави скоби, ако поне едно уравнение няма корени, и с квадратни скоби, ако всички уравнения нямат корени.

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение от вида:

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-сложно (само малко) от дадените.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта!

Дори непълна.

Останалите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратните уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта.

Решаването на квадратни уравнения по този начин е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има 2 корена. Обърнете специално внимание на стъпка 2.

Дискриминантът D ни казва броя на корените на уравнението.

Ако, тогава формулата на стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение.

Графиката на функцията е парабола:

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме няколко примера.

Пример 9

Решете уравнението

Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има два корена.

Стъпка 3

Отговор:

Пример 10

Решете уравнението

Уравнението е в стандартен вид, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11

Решете уравнението

Уравнението е в стандартен вид, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена от дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как да запишем правилно такива отговори.

Отговор:няма корени

2. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета

Ако си спомняте, тогава има такъв тип уравнения, които се наричат редуцирани (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Виета:

Сборът от корените даденоквадратното уравнение е равно, а произведението на корените е равно.

Просто трябва да изберете двойка числа, чието произведение е равно на свободния член на уравнението, а сборът е равен на втория коефициент, взет с противоположен знак.

Пример 12

Решете уравнението

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, т.к .

Сумата от корените на уравнението е, т.е. получаваме първото уравнение:

И продуктът е:

Нека създадем и решим системата:

и. Сумата е;
и. Сумата е;
и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14

Решете уравнението

Уравнението се намалява, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от вида, където - неизвестно, - някои числа, освен това.

Числото се нарича най-високо или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, а - безплатен член.

Защото ако, уравнението веднага ще стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В този стол уравнението се нарича непълен.

Ако всички условия са на мястото си, тоест уравнението - завършен.

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения

Като начало ще анализираме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Могат да се разграничат следните видове уравнения:

I. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число. Така:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Тези формули не трябва да се запомнят. Основното нещо, което трябва да запомните е, че не може да бъде по-малко.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Пример 15

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Пример 16

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

няма корени.

За да напишем накратко, че проблемът няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

Пример 17

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител от скоби:

Произведението е равно на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

пример:

Решете уравнението.

Решение:

Разлагаме на множители лявата страна на уравнението и намираме корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Забелязахте ли корена на дискриминанта във формулата за корен?

Но дискриминантът може да бъде отрицателен.

Какво да правя?

Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

Ако, тогава уравнението има корен:
Ако, тогава уравнението има същия корен, но всъщност един корен:
Такива корени се наричат двойни корени.
Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо има различен брой корени?

Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В конкретен случай, който е квадратно уравнение, .

А това означава, че корените на квадратното уравнение са пресечните точки с оста x (ос).

Параболата може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

Освен това коефициентът е отговорен за посоката на клоните на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - тогава надолу.

4 примера за решаване на квадратни уравнения

Пример 18

Отговор:

Пример 19

Отговор: .

Пример 20

Отговор:

Пример 21

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Използването на теоремата на Виета е много лесно.

Всичко от което се нуждаеш е Вдигнитакава двойка числа, чието произведение е равно на свободния член на уравнението, а сборът е равен на втория коефициент, взет с противоположен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само към дадени квадратни уравнения ().

Нека разгледаме няколко примера:

Пример 22

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, т.к . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

И продуктът е:

Нека изберем такива двойки числа, чието произведение е равно, и проверим дали тяхната сума е равна:

и. Сумата е;
и. Сумата е;
и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

По този начин и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример 23

Решение:

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта, и след това проверяваме дали тяхната сума е равна:

и: дайте общо.

и: дайте общо. За да го получите, просто трябва да промените знаците на предполагаемите корени: и в крайна сметка работата.

Отговор:

Пример 24

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Значи сборът от корените е разлики в техните модули.

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта и разликата между които е равна на:

и: разликата им е - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящ. Остава само да запомним, че един от корените е отрицателен. Тъй като тяхната сума трябва да е равна, тогава коренът, който е по-малък по абсолютна стойност, трябва да бъде отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример 25

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. А това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Избираме такива двойки числа, чието произведение е равно, и след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корени и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример 26

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Сборът от корените е отрицателен, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена са минус.

Избираме такива двойки числа, чието произведение е равно на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно - да измислите корени устно, вместо да броите този гаден дискриминант.

Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често!

Но теоремата на Vieta е необходима, за да се улесни и ускори намирането на корените.

За да ви е изгодно да го използвате, трябва да доведете действията до автоматизъм. И за това решете още пет примера.

Но не мами: не можете да използвате дискриминанта! Само теоремата на Виета!

5 примера за теоремата на Виета за самообучение

Пример 27

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме избора с продукта:

Не е подходящ, тъй като количеството;

: сумата е това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Пример 28

Задача 2.

И отново, любимата ни теорема на Виета: сумата трябва да се получи, но продуктът е равен.

Но тъй като не трябва да бъде, но променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Пример 29

Задача 3.

Хм... Къде е?

Необходимо е да прехвърлите всички термини в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Да, спри! Уравнението не е дадено.

Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения.

Така че първо трябва да донесете уравнението.

Ако не можете да го повдигнете, зарежете тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминанта).

Нека ви напомня, че да изведем квадратно уравнение означава да направим водещия коефициент равен на:

Тогава сборът от корените е равен на произведението.

Тук е по-лесно да се вземе: в края на краищата - просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Пример 30

Задача 4.

Свободният срок е отрицателен.

Какво е толкова специално в него?

И фактът, че корените ще бъдат с различни знаци.

И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата от корените, а разликата между техните модули: тази разлика е равна, но продуктът.

И така, корените са равни и, но един от тях е с минус.

Теоремата на Виета ни казва, че сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположен знак, т.е.

Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и тъй като.

Отговор: ; .

Пример 31

Задача 5.

Какво трябва да се направи първо?

Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни и, но един от тях е минус. Който? Техният сбор трябва да е равен, което означава, че с минус ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Обобщавайте

Теоремата на Виета се използва само в дадените квадратни уравнения.
Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез селекция, устно.
Ако уравнението не е дадено или не е намерена подходяща двойка фактори на свободния член, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминанта).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, се представят като членове от формулите за съкратено умножение - квадратът на сбора или разликата - тогава след смяната на променливите, уравнението може да бъде представено като непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 32

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 33

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Като цяло трансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Не ти ли напомня за нищо?

Това е дискриминантът! Точно така е получена дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Квадратно уравнениее уравнение от вида, където е неизвестното, са коефициентите на квадратното уравнение, е свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

ако коефициентът, уравнението има вида: ,
ако е свободен член, уравнението има формата: ,
ако и, уравнението има вида: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от вида, където, :

1) Изразете неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

ако, тогава уравнението няма решения,
ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от вида, където, :

1) Нека извадим общия множител от скоби: ,

2) Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от вида, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида където

2.1. Решение с помощта на дискриминанта

1) Нека приведем уравнението до стандартния вид: ,

2) Изчислете дискриминанта, като използвате формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сборът от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида, където) е равен, а произведението на корените е равно, т.е. , а.

2.3. Пълно квадратно решение

Някои задачи по математика изискват способността да се изчисли стойността на квадратния корен. Тези проблеми включват решаване на уравнения от втори ред. В тази статия ви представяме ефективен методизчисляване на квадратни корени и да го използва при работа с формулите на корените на квадратно уравнение.

Какво е корен квадратен?

В математиката това понятие съответства на символа √. Историческите данни казват, че започва да се използва за първи път около първата половина на 16 век в Германия (първата немска работа по алгебра от Кристоф Рудолф). Учените смятат, че този символ е трансформиран латинска буква r (radix означава "корен" на латински).

Коренът на всяко число е равен на такава стойност, чийто квадрат съответства на коренния израз. На езика на математиката тази дефиниция ще изглежда така: √x = y, ако y 2 = x.

Коренът на положително число (x > 0) също е положително число (y > 0), но ако вземете корена на отрицателно число (x< 0), то его результатом уже будет комплексно число, включително въображаемата единица i.

Ето два прости примера:

√9 = 3, защото 3 2 = 9; √(-9) = 3i, тъй като i 2 = -1.

Итеративната формула на Херон за намиране на стойностите на квадратните корени

Горните примери са много прости и изчисляването на корените в тях не е трудно. Трудностите започват да се появяват вече при намиране на стойностите на корена за всяка стойност, която не може да бъде представена като квадрат естествено число, например √10, √11, √12, √13, да не говорим за факта, че на практика е необходимо да се намерят корени за нецели числа: например √(12.15), √(8.5) и т.н.

Във всички горепосочени случаи трябва да се използва специален метод за изчисляване на квадратния корен. Понастоящем са известни няколко такива метода: например разширяване в серия на Тейлър, разделяне по колона и някои други. От всички известни методи, може би най-простият и ефективен е използването на итеративната формула на Херон, която е известна още като вавилонския метод за определяне на квадратни корени (има доказателства, че древните вавилонци са я използвали в своите практически изчисления).

Нека е необходимо да се определи стойността на √x. Формулата за намиране на квадратен корен е както следва:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), където lim n->∞ (a n) => x.

Нека дешифрираме тази математическа нотация. За да изчислите √x, трябва да вземете някакво число a 0 (то може да бъде произволно, но за да получите бързо резултата, трябва да го изберете така, че (a 0) 2 да е възможно най-близо до x. След това го заменете в посочена формула за изчисляване на квадратния корен и получаване на ново число a 1, което вече ще бъде по-близо до желаната стойност. След това е необходимо да замените 1 в израза и да получите 2. Тази процедура трябва да се повтаря, докато се получава необходимата точност.

Пример за прилагане на итеративната формула на Херон

Алгоритъмът, описан по-горе за получаване на квадратен корен от дадено число, може да звучи доста сложно и объркващо за мнозина, но в действителност всичко се оказва много по-просто, тъй като тази формула се сближава много бързо (особено ако е избрано добро число 0) .

Нека дадем прост пример: необходимо е да се изчисли √11. Избираме 0 = 3, тъй като 3 2 = 9, което е по-близо до 11 от 4 2 \u003d 16. Замествайки във формулата, получаваме:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) = 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) = 3,31662.

Няма смисъл да продължаваме изчисленията, тъй като установихме, че 2 и 3 започват да се различават само на 5-ия знак след десетичната запетая. По този начин беше достатъчно формулата да се приложи само 2 пъти, за да се изчисли √11 с точност 0,0001.

В момента калкулаторите и компютрите се използват широко за изчисляване на корените, но е полезно да запомните маркираната формула, за да можете ръчно да изчислите тяхната точна стойност.

Уравнения от втори ред

Разбирането на това какво е квадратен корен и способността за изчисляването му се използва при решаването на квадратни уравнения. Тези уравнения са равенства с една неизвестна, чийто общ вид е показан на фигурата по-долу.

Тук c, b и a са някои числа и a не трябва да е равно на нула, а стойностите на c и b могат да бъдат напълно произволни, включително равни на нула.

Всички стойности на x, които удовлетворяват равенството, посочено на фигурата, се наричат негови корени (тази концепция не трябва да се бърка с квадратния корен √). Тъй като разглежданото уравнение има 2-ри ред (x 2), то за него не може да има повече корени от две числа. Ще разгледаме по-нататък в статията как да намерим тези корени.

Намиране на корените на квадратно уравнение (формула)

Този метод за решаване на разглеждания тип равенства се нарича още универсален или методът чрез дискриминанта. Може да се приложи към всякакви квадратни уравнения. Формулата за дискриминанта и корените на квадратното уравнение е както следва:

От него се вижда, че корените зависят от стойността на всеки от трите коефициента на уравнението. Освен това изчисляването на x 1 се различава от изчисляването на x 2 само по знака пред квадратния корен. Радикалният израз, който е равен на b 2 - 4ac, не е нищо повече от дискриминантът на разглежданото равенство. Дискриминантът във формулата за корените на квадратното уравнение играе важна роля, тъй като определя броя и вида на решенията. Така че, ако е нула, тогава ще има само едно решение, ако е положително, тогава уравнението има два реални корена и накрая, отрицателен дискриминант води до два комплексни корена x 1 и x 2.

Теорема на Виета или някои свойства на корените на уравнения от втори ред

В края на 16-ти век, един от основателите на съвременната алгебра, французин, изучавайки уравнения от втори ред, успява да получи свойствата на нейните корени. Математически те могат да бъдат написани така:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

И двете равенства могат лесно да бъдат получени от всеки; за това е необходимо само да се извършат съответните математически операции с корените, получени чрез формула с дискриминант.

Комбинацията от тези два израза с право може да се нарече втората формула на корените на квадратно уравнение, което дава възможност да се отгатнат решенията му, без да се използва дискриминантът. Тук трябва да се отбележи, че въпреки че и двата израза са винаги валидни, е удобно да ги използвате за решаване на уравнение само ако то може да бъде разложено на множители.

Задачата за затвърждаване на придобитите знания

Ще решим математическа задача, в която ще демонстрираме всички техники, разгледани в статията. Условията на задачата са следните: трябва да намерите две числа, за които произведението е -13, а сборът е 4.

Това условие веднага напомня теоремата на Виета, като използваме формулите за сумата от квадратните корени и техния продукт, пишем:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Ако приемем, че a = 1, тогава b = -4 и c = -13. Тези коефициенти ни позволяват да съставим уравнение от втори ред:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Използваме формулата с дискриминанта, получаваме следните корени:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Тоест задачата се свежда до намиране на числото √68. Обърнете внимание, че 68 = 4 * 17, тогава, използвайки свойството квадратен корен, получаваме: √68 = 2√17.

Сега използваме разглежданата формула за квадратен корен: a 0 = 4, след това:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) = 4,1231.

Не е необходимо да се изчислява 3, тъй като намерените стойности се различават само с 0,02. Така √68 = 8,246. Замествайки го във формулата за x 1,2, получаваме:

x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 и x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.

Както можете да видите, сборът от намерените числа наистина е равен на 4, но ако намерите тяхното произведение, тогава той ще бъде равен на -12,999, което удовлетворява условието на задачата с точност 0,001.

Копиевска селска средна общообразователно училище

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Ръководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

учител по математика

с.Копиево, 2007г

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения

1.3 Квадратни уравнения в Индия

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 Относно теоремата на Виета

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

литература

1. История на развитието на квадратни уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древни времена е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земя и земни работи от военен характер, както и от развитието на астрономията и самата математика. Квадратните уравнения са били в състояние да решат около 2000 г. пр.н.е. д. вавилонци.

Използвайки съвременни алгебрични нотации, можем да кажем, че в техните клинописни текстове, освен непълни, има и такива, например, пълни квадратни уравнения:

х 2 + х = ¾; х 2 - х = 14,5

Правилото за решаване на тези уравнения, посочено във вавилонските текстове, съвпада по същество със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички намерени досега клинописни текстове дават само проблеми с решения, посочени под формата на рецепти, без указание как са намерени.

Въпреки високо ниворазвитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове няма понятие за отрицателно число и общи методирешения на квадратни уравнения.

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант не съдържа систематично изложение на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез формулиране на уравнения от различни степени.

При съставянето на уравнения Диофант умело избира неизвестни, за да опрости решението.

Ето, например, една от неговите задачи.

Задача 11."Намерете две числа, знаейки, че тяхната сума е 20, а произведението им е 96"

Диофант твърди по следния начин: от условието на задачата следва, че желаните числа не са равни, тъй като ако бяха равни, тогава тяхното произведение би било равно не на 96, а на 100. Така едно от тях ще бъде повече от половината от тяхната сума, т.е. 10+x, другият е по-малък, т.е. 10-те. Разликата между тях 2x.

Оттук и уравнението:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - х 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Оттук х = 2. Едно от желаните числа е 12 , други 8 . Решение х = -2тъй като Диофант не съществува, тъй като гръцката математика е познавала само положителни числа.

Ако решим тази задача, като изберем едно от желаните числа като неизвестно, тогава ще стигнем до решението на уравнението

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ясно е, че Диофант опростява решението, като избира полуразликата на желаните числа като неизвестно; той успява да сведе задачата до решаване на непълно квадратно уравнение (1).

1.3 Квадратни уравнения в Индия

Задачи за квадратни уравнения вече се срещат в астрономическия трактат "Арябхатам", съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Арябхата. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очертава общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

ах 2+бx = c, a > 0. (1)

В уравнение (1) коефициентите, с изключение на а, може да бъде и отрицателен. Правилото на Брахмагупта по същество съвпада с нашето.

В древна Индия публичните състезания за решаване на трудни проблеми са били често срещани. В една от старите индийски книги за такива състезания се казва следното: „Както слънцето засенчва звездите със своя блясък, така учен човекзасенчват славата на друг в публични срещи, предлагайки и решавайки алгебрични задачи. Задачите често бяха облечени в поетична форма.

Ето един от проблемите на известния индийски математик от XII век. Бхаскара.

Задача 13.

„Едно ято маймуни и дванадесет в лозя...

След като изядохте сила, се забавлявахте. Те започнаха да скачат, да висят ...

Част осма от тях в квадрат Колко маймуни имаше,

Забавление на поляната. Кажи ми, в това стадо?

Решението на Бхаскара показва, че той е знаел за двузначността на корените на квадратните уравнения (фиг. 3).

Уравнението, съответстващо на задача 13 е:

(х/8) 2 + 12 = х

Bhaskara пише под прикритието на:

x 2 - 64x = -768

и, за да завърши лявата страна на това уравнение до квадрат, той добавя към двете страни 32 2 , получавайки тогава:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин:

1) "Квадратите са равни на корени", т.е. ax 2 + c =бХ.

2) "Квадратите са равни на число", т.е. брадва 2 = s.

3) "Корените са равни на числото", т.е. ах = s.

4) "Квадратите и числата са равни на корени", т.е. ax 2 + c =бХ.

5) "Квадратите и корените са равни на числото", т.е. ах 2+bx= s.

6) "Корените и числата са равни на квадрати", т.е.bx+ c \u003d брадва 2.

За ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събирания, а не изваждане. В този случай очевидно не се вземат предвид уравнения, които нямат положителни решения. Авторът очертава методите за решаване на тези уравнения, използвайки методите на ал-джабр и ал-мукабала. Неговите решения, разбира се, не съвпадат напълно с нашите. Да не говорим за факта, че е чисто реторично, трябва да се отбележи например, че при решаване на непълно квадратно уравнение от първия тип

ал-Хорезми, както всички математици преди 17-ти век, не взема предвид нулевото решение, вероятно защото то няма значение в конкретни практически задачи. Когато решава пълни квадратни уравнения, ал-Хорезми излага правилата за решаване, а след това и геометричните доказателства, използвайки конкретни числови примери.

Задача 14.„Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намери корена" (като приемем корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

Решението на автора е нещо подобно: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от произведението, остават 4. Вземете корена от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5, вие вземете 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което ще даде 7, това също е корен.

Трактат ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, в която систематично е изложена класификацията на квадратните уравнения и са дадени формули за тяхното решение.

1.5 Квадратни уравнения в ЕвропаXIII - XVIIвекове

Формулите за решаване на квадратни уравнения по модела на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в „Книгата на абакусите”, написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Това обемно произведение, което отразява влиянието на математиката, както в страните на исляма, така и в Древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и с яснота на представянето. Авторът самостоятелно разработи някои нови алгебрични примерирешаване на проблеми и беше първият в Европа, който подходи към въвеждането на отрицателни числа. Книгата му допринесе за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от "Книгата на сметалата" преминаха в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти XVIII.

Общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведено до единична канонична форма:

х 2+bx= с,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициентите б, Се формулиран в Европа едва през 1544 г. от М. Щифел.

Vieta има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но Vieta признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. Вземете предвид, освен положителните, и отрицателните корени. Едва през XVII век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, начинът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременен вид.

1.6 Относно теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на едно квадратно уравнение и неговите корени, носещи името на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако Б + думножено по А - А 2 , равно на BD, тогава Аравно на Vи равни д».

За да разберем Виета, трябва да помним това А, като всяка гласна, означаваше за него непознатото (наш х), гласните V,д- коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра формулировката на Виета по-горе означава: ако

(а +б)x - x 2 =аб,

х 2 - (a +б)x + aб = 0,

x 1 = a, x 2 =б.

Изразяване на връзката между корените и коефициентите на уравненията общи формули, написана с помощта на символи, Виет установи еднородност в методите за решаване на уравнения. Символиката на Виета обаче все още е далеч модерен външен вид. Той не разпознава отрицателни числа и затова при решаването на уравнения той разглежда само случаите, при които всички корени са положителни.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която почива величествената сграда на алгебрата. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до дипломирането.