Редуцирана система от линейни уравнения. Примери за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричния метод

10.12.2020

Матричен метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения - извеждане на формула.

Нека за матрицата Апоръчка нна нима обратна матрица. Умножаваме двете страни на матричното уравнение вляво по (порядък на матрици A ⋅ Xи Vви позволяват да извършите такава операция, вижте статията операции за матрици, свойства на операциите). Ние имаме ... Тъй като операцията за умножение на матрици с подходящи порядки се характеризира със свойството на асоциативност, последното равенство може да се пренапише като , и по дефиницията на обратната матрица ( ЕЕ матрицата на единичния ред нна н), Ето защо

По този начин, решението на система от линейни алгебрични уравнения по матричния метод се определя по формулата... С други думи, решението на SLAE се намира с помощта на обратната матрица.

Знаем, че квадратната матрица Апоръчка нна нима обратна матрица само ако нейният детерминант не е нула. Следователно СИСТЕМАТА нЛИНЕЙНИ АЛГЕБРАИЧНИ УРАВНЕНИЯ С нПО НЕИЗВЕСТНО Е ВЪЗМОЖНО ДА СЕ РЕШИ ПО МАТРИЧНИЯ МЕТОД САМО КОГАТО ДЕРЕМИНАТОРА НА ГЛАВНАТА МАТРИЦА НА СИСТЕМАТА НЕ Е НУЛВ.

Обратно към началото на страницата

Примери за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричния метод.

Нека разгледаме матричния метод с примери. В някои примери няма да описваме подробно процеса на изчисляване на детерминантите на матрици, ако е необходимо, вижте статията за изчисляване на детерминанта на матрица.

Пример.

Намерете решението на системата с помощта на обратната матрица линейни уравнения .

Решение.

В матрична форма, оригиналната система може да бъде записана като къде ... Нека да изчислим детерминанта на основната матрица и да се уверим, че е различен от нула. В противен случай няма да можем да решим системата по матричния метод. Ние имаме , следователно, за матрицата Аможе да се намери обратното на матрицата. По този начин, ако намерим обратната матрица, тогава желаното решение на SLAE се дефинира като. И така, задачата беше сведена до изграждането на обратната матрица. Да я намерим.

Знаем това за матрицата обратната матрица може да се намери като , където са алгебричните допълнения на елементите.

В нашия случай

Тогава

Нека проверим полученото решение като го замести в матричната форма на оригиналната система от уравнения. Това равенство трябва да се превърне в идентичност, иначе някъде е допусната грешка.

Следователно решението е намерено правилно.

Отговор:

или в друг запис .

Пример.

Решете SLAE по матричния метод.

Решение.

Първото уравнение на системата не съдържа неизвестна променлива х 2, второто е х 1, трето - х 3... Тоест коефициентите пред тези неизвестни променливи са нула. Пренаписваме системата от уравнения като ... По-лесно е да се премине от този тип към матричната форма на SLAE ... Нека се уверим, че тази система от уравнения може да бъде решена с помощта на обратната матрица. С други думи, нека покажем, че:

Нека построим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения:

тогава,

Остава да се намери решение на SLAE:

Отговор:

При преминаване от обичайната форма на система от линейни алгебрични уравнения към нейната матрична форма трябва да се внимава с реда на неизвестните променливи в уравненията на системата. Например SLAU НЕ МОЖЕ да се запише като ... Необходимо е първо да се подредят всички неизвестни променливи във всички уравнения на системата и след това да се премине към матричната нотация:

или

Също така, внимавайте с нотацията на неизвестни променливи, вместо на x 1, x 2, ..., x nмогат да бъдат всякакви други букви. Например SLAU в матричен вид ще бъде записано като .

Нека да разгледаме един пример.

Пример.

използвайки обратната матрица.

Решение.

След като подредихме неизвестните променливи в уравненията на системата, ние го записваме в математическа форма
... Нека изчислим детерминанта на основната матрица:

Тя е различна от нула, така че решението на системата от уравнения може да се намери с помощта на обратната матрица като ... Намерете обратната матрица по формулата :

Нека вземем необходимото решение:

Отговор:

x = 0, y = -2, z = 3.

Пример.

Намерете решението на системата от линейни алгебрични уравнения матричен метод.

Решение.

Детерминантата на основната матрица на системата е равна на нула

следователно не можем да приложим матричния метод.

Намирането на решение на такива системи е описано в раздела за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения.

Пример.

Решете SLAE матричен метод, - някакво реално число.

Решение.

Системата от уравнения в матричен вид има формата ... Изчисляваме детерминанта на основната матрица на системата и се уверяваме, че е различна от нула:

Квадратни тричленине изчезва за никакви реални стойности, тъй като неговият дискриминант е отрицателен, следователно детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула за никакви реални стойности. По матричния метод имаме ... Нека построим обратна матрица по формулата :

Тогава

Отговор:

В началото на страницата

Обобщавайте.

Матричният метод е подходящ за решаване на SLAE, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула. Ако системата съдържа повече от три уравнения, тогава намирането на обратната матрица изисква значителни изчислителни усилия, следователно в този случай е препоръчително да се използва методът на Гаус за решаване.

Още в училище всеки от нас изучаваше уравнения и със сигурност системи от уравнения. Но не много хора знаят, че има няколко начина за решаването им. Днес ще анализираме подробно всички методи за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, които се състоят от повече от две равенства.

История

Днес е известно, че изкуството за решаване на уравнения и техните системи възниква в древния Вавилон и Египет. Равенствата в обичайната си форма обаче се появяват след появата на знака за равенство "=", който е въведен през 1556 г. от английския математик Рекорд. Между другото, този знак е избран по причина: означава два успоредни равни сегмента. И е вярно най-добрият примерравенството не може да бъде измислено.

Основателят на съвременните буквени обозначения на неизвестни и знаци за степени е френски математик, но неговите обозначения са значително различни от днешните. Например, той обозначава квадрата на неизвестно число с буквата Q (латински "quadratus"), а кубът - с буквата C (лат. "cubus"). Тази нотация сега изглежда неудобна, но тогава беше най-разбираемият начин за писане на системи от линейни алгебрични уравнения.

Недостатъкът на тогавашните методи за решаване обаче е, че математиците смятат само положителните корени. Може би това се дължи на факта, че отрицателни стойностинямаше практическо приложение... По един или друг начин италианските математици Николо Тарталия, Джероламо Кардано и Рафаел Бомбели са първите, които разглеждат отрицателните корени през 16 век. А модерен външен вид, основният метод за решаване (чрез дискриминанта) е създаден едва през 17 век благодарение на трудовете на Декарт и Нютон.

В средата на 18-ти век швейцарският математик Габриел Крамер открива нов начин да улесни решаването на системи от линейни уравнения. Този метод по-късно е кръстен на него и до ден днешен го използваме. Но за метода на Крамер ще говорим малко по-късно, но засега ще обсъдим линейните уравнения и методите за тяхното решаване отделно от системата.

Линейни уравнения

Линейните уравнения са най-простите равенства с променлива (s). Те се класифицират като алгебрични. написано в общ вид, както следва: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b. Представянето им в тази форма ще ни е необходимо при по-нататъшно компилиране на системи и матрици.

Системи от линейни алгебрични уравнения

Определението на този термин е следното: това е набор от уравнения, които имат общи неизвестни и общо решение. По правило в училище всички се решаваха от системи с две или дори три уравнения. Но има системи с четири или повече компонента. Нека първо разберем как да ги запишем, така че да е удобно за решаване в бъдеще. Първо, системите от линейни алгебрични уравнения ще изглеждат по-добре, ако всички променливи са записани като x със съответния индекс: 1,2,3 и т.н. Второ, всички уравнения трябва да бъдат приведени в канонична форма: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b.

След всички тези стъпки можем да започнем да разказваме как да намерим решение на системи от линейни уравнения. Матриците са много полезни за това.

Матрици

Матрицата е таблица, която се състои от редове и колони, а в пресечната им точка са нейните елементи. Това могат да бъдат или конкретни стойности, или променливи. Най-често за обозначаване на елементи под тях се поставят индекси (например 11 или 23). Първият индекс е номерът на реда, а вторият е колоната. Могат да се извършват различни операции върху матрици, както и върху всеки друг математически елемент. По този начин можете:

2) Умножете матрицата по произволно число или вектор.

3) Транспониране: трансформирайте редовете на матрицата в колони, а колоните в редове.

4) Умножете матриците, ако броят на редовете на едната от тях е равен на броя на колоните на другата.

Ще обсъдим всички тези техники по-подробно, тъй като те ще ни бъдат полезни в бъдеще. Изваждането и събирането на матрици е много просто. Тъй като вземаме матрици с еднакъв размер, всеки елемент от една таблица съответства на всеки елемент от другата. Така събираме (изваждаме) тези два елемента (важно е те да стоят на едни и същи места в матриците си). Когато умножавате матрица по число или вектор, просто трябва да умножите всеки елемент от матрицата по това число (или вектор). Транспонирането е много интересен процес. Понякога е много интересно да го видиш реален живот, например, когато промените ориентацията на вашия таблет или телефон. Иконите на работния плот са матрица и при смяна на позицията тя се транспонира и става по-широка, но намалява на височина.

Нека също така анализираме такъв процес, като Въпреки че не е полезен за нас, все пак ще бъде полезно да го знаем. Можете да умножите две матрици само ако броят на колоните в едната таблица е равен на броя на редовете в другата. Сега да вземем елементите на ред от една матрица и елементите на съответната колона от друга. Нека ги умножим един по друг и след това ги добавим (тоест, например, произведението на елементите a 11 и a 12 по b 12 и b 22 ще бъде равно на: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Така се получава един елемент от таблицата и по подобен начин се попълва допълнително.

Сега можем да започнем да разглеждаме как се решава системата от линейни уравнения.

Метод на Гаус

Тази тема започва да се обсъжда в училище. Ние сме добре запознати с концепцията за „система от две линейни уравнения“ и сме в състояние да ги решим. Но какво ще стане, ако броят на уравненията е повече от две? Това ще ни помогне

Разбира се, този метод е удобен за използване, ако направите матрица от системата. Но не можете да го трансформирате и разрешите в най-чистия му вид.

И така, как се решава системата от линейни уравнения на Гаус по този метод? Между другото, въпреки че този метод е кръстен на него, той е открит в древността. Гаус предлага следното: да се извършват операции с уравнения, за да се сведе в крайна сметка цялото множество до стъпаловидна форма. Тоест, необходимо е отгоре надолу (ако е поставено правилно) от първото уравнение до последното да намалява с едно неизвестно. С други думи, трябва да се уверим, че получаваме, да речем, три уравнения: в първото - три неизвестни, във второто - две, в третото - едно. След това от последното уравнение намираме първото неизвестно, заместваме неговата стойност във второто или първото уравнение и след това намираме останалите две променливи.

Методът на Крамер

За да овладеете този метод, е жизненоважно да имате уменията за събиране, изваждане на матрици, а също така трябва да можете да намирате детерминанти. Следователно, ако правите всичко това зле или изобщо не знаете как, ще трябва да се научите и да практикувате.

Каква е същността на този метод и как да го направим така, че да се получи система от линейни уравнения на Крамер? Всичко е много просто. Трябва да построим матрица от числените (почти винаги) коефициенти на система от линейни алгебрични уравнения. За целта просто вземаме числата пред неизвестните и ги поставяме в таблицата в реда, в който са записани в системата. Ако има знак "-" пред числото, тогава запишете отрицателен коефициент. И така, съставихме първата матрица на коефициентите за неизвестните, без да включваме числата след знаците за равенство (естествено, уравнението трябва да се сведе до каноничния вид, когато вдясно е само число, а всички неизвестни с коефициенти са отляво). След това трябва да създадете още няколко матрици - по една за всяка променлива. За да направите това, в първата матрица от своя страна заменете всяка колона с коефициентите с колоната с числа след знака за равенство. Така получаваме няколко матрици и след това намираме техните детерминанти.

След като намерихме квалификациите, въпросът е малък. Имаме начална матрица и има няколко резултиращи матрици, които отговарят на различни променливи. За да получим системни решения, разделяме детерминантата на получената таблица на детерминантата на първоначалната таблица. Полученото число е стойността на една от променливите. По същия начин намираме всички неизвестни.

Други методи

Има още няколко метода за получаване на решение на системи от линейни уравнения. Например т. нар. метод на Гаус-Йордан, който се използва за намиране на решения на системата квадратни уравненияи също така се свързва с използването на матрици. Съществува и метод на Якоби за решаване на система от линейни алгебрични уравнения. Той е най-лесният за адаптиране към компютър и се използва в компютрите.

Трудни случаи

Сложността обикновено възниква, когато броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Тогава можем да кажем със сигурност, че или системата е непоследователна (тоест няма корени), или броят на нейните решения клони към безкрайност. Ако имаме втория случай, тогава трябва да запишем общото решение на системата от линейни уравнения. Той ще съдържа поне една променлива.

Заключение

Тук стигаме до края. Да обобщим: анализирахме какво представляват система и матрица, научихме се как да намерим общо решение на система от линейни уравнения. Освен това разгледахме и други опции. Разбрахме как се решава система от линейни уравнения: методът на Гаус и Говорихме за трудни случаи и други начини за намиране на решения.

Всъщност тази тема е много по-обширна и ако искате да я разберете по-добре, тогава ви съветваме да прочетете по-специализирана литература.

Пример 1... Намерете общо решение и някакво конкретно решение на системата

Решениеизвършваме с помощта на калкулатор. Нека напишем разширените и основни матрици:

Пунктираната линия разделя основната матрица A. По-горе записваме неизвестните системи, като имаме предвид възможното пренареждане на членовете в уравненията на системата. Определяйки ранга на разширената матрица, ние едновременно намираме ранга и главния. В матрица B първата и втората колона са пропорционални. От двете пропорционални колони само една може да попадне в основния минор, така че прехвърляме, например, първата колона зад пунктираната линия с противоположен знак. За системата това означава преместване на членовете от x 1 в дясната страна на уравненията.

Нека приведем матрицата в триъгълна форма. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на ред от матрица по число различно от нула и добавянето към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му с друго уравнение, което не променя решението на системата. Работим с първия ред: умножете първия ред на матрицата по (-3) и добавете на свой ред към втория и третия ред. След това умножаваме първия ред по (-2) и добавяме към четвъртия.

Вторият и третият ред са пропорционални, следователно един от тях, например вторият, може да бъде зачеркнат. Това е равносилно на изтриване на второто уравнение на системата, тъй като то е следствие от третото.

Сега работим с втория ред: умножете го по (-1) и добавете към третия.

Прекъснатият минор има най-висок ред (от възможните минорни) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите на главния диагонал) и този минор принадлежи както на основната матрица, така и на разширената, следователно rangA = ранг B = 3.
Незначителен е основно. Включва коефициентите за неизвестните x 2, x 3, x 4, което означава, че неизвестните x 2, x 3, x 4 са зависими, а x 1, x 5 са свободни.
Преобразуваме матрицата, оставяйки само основния минор отляво (което съответства на точка 4 от горния алгоритъм за решение).

Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата

Използвайки метода за елиминиране на неизвестните, намираме:
x 4 = 3-4x 5, x 3 = 3-4x 5 -2x 4 = 3-4x 5 -6 + 8x 5 = -3 + 4x 5
x 2 = x 3 + 2x 4 -2 + 2x 1 + 3x 5 = -3 + 4x 5 + 6-8x 5 -2 + 2x 1 + 3x 5 = 1 + 2x 1 -x 5
Получихме съотношенията, изразяващи зависимите променливи x 2, x 3, x 4 през свободно x 1 и x 5, тоест намерихме общо решение:

Като присвоим каквито и да е стойности на свободните неизвестни, получаваме произволен брой конкретни решения. Нека намерим две конкретни решения:
1) нека x 1 = x 5 = 0, тогава x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) поставете x 1 = 1, x 5 = -1, след това x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Така намерихме две решения: (0.1, -3.3.0) - едно решение, (1.4, -7.7, -1) - друго решение.

Пример 2... Проучете съвместимостта, намерете общо и едно конкретно решение на системата

Решение... Пренареждаме първото и второто уравнение, за да имат единица в първото уравнение и записваме матрицата B.

Получаваме нули в четвъртата колона, работеща на първия ред:

Сега получаваме нулите в третата колона, използвайки втория ред:

Третият и четвъртият ред са пропорционални, така че един от тях може да бъде зачеркнат, без да се променя ранга:
Умножаваме третия ред по (–2) и добавяме към четвъртия:

Виждаме, че ранговете на основната и разширените матрици са равни на 4, а рангът съвпада с броя на неизвестните, следователно системата има уникално решение:
-x 1 = -3 → x 1 = 3; x 2 = 3-x 1 → x 2 = 0; x 3 = 1-2x 1 → x 3 = 5.
x 4 = 10 - 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.

Пример 3... Проверете системата за съвместимост и намерете решение, ако съществува.

Решение... Съставяме разширена матрица на системата.

Пренареждаме първите две уравнения, така че да има 1 в горния ляв ъгъл:
Умножавайки първия ред по (-1), добавете го към третия:

Умножете втория ред по (-2) и добавете към третия:

Системата е непоследователна, тъй като в основната матрица получаваме ред, състоящ се от нули, който се зачерква при намиране на ранга, а в разширената матрица остава последният ред, тоест r B> r A.

Упражнение... Изследвайте тази система от уравнения за последователност и я решете с помощта на матрично смятане.
Решение

Пример... Докажете съвместимостта на системата от линейни уравнения и я решите по два начина: 1) методът на Гаус; 2) Метод на Крамер. (въведете отговора във формата: x1, x2, x3)
Решение: doc: doc: xls
Отговор: 2,-1,3.

Пример... Дадена е система от линейни уравнения. Докажете неговата съвместимост. Намерете общо решение на системата и едно конкретно решение.
Решение
Отговор: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; х 2 = 1 - х 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Упражнение... Намерете общи и специфични решения за всяка система.
Решение.Нека да изследваме тази система с помощта на теоремата на Кронекер-Капели.
Нека напишем разширените и основни матрици:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
х 1	х 2	х 3	х 4	х 5

Тук матрицата А е удебелена.
Нека приведем матрицата в триъгълна форма. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на ред от матрица по число различно от нула и добавянето към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му с друго уравнение, което не променя решението на системата.
Умножете 1-вия ред по (3). Умножете 2-рия ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Умножете 2-рия ред по (2). Умножете 3-тия ред по (-3). Нека добавим 3-ия ред към 2-рия:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Умножете 2-рия ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Осветеният минор има най-висок ред (от възможните минорни) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите на обратния диагонал) и този минор принадлежи както на основната матрица, така и на разширената, следователно, rang ( A) = rang (B) = 3. Тъй като рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената, тогава системата е съвместна.
Този минор е основен. Включва коефициентите за неизвестните x 1, x 2, x 3, което означава, че неизвестните x 1, x 2, x 3 са зависими (основни), а x 4, x 5 са свободни.
Преобразуваме матрицата, оставяйки само основния минор отляво.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
х 1	х 2	х 3		х 4	х 5

Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Използвайки метода за елиминиране на неизвестните, намираме:
Получихме отношения, изразяващи зависимите променливи x 1, x 2, x 3 през свободни x 4, x 5, т.е. общо решение:
х 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
неопределеноот има повече от едно решение.

Упражнение... Решете системата от уравнения.
Отговор: x 2 = 2 - 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Като присвоим каквито и да е стойности на свободните неизвестни, получаваме произволен брой конкретни решения. Системата е неопределено

Система от линейни алгебрични уравнения. Основни термини. Матрична нотация.

Определяне на система от линейни алгебрични уравнения. Системно решение. Класификация на системите.

Под система от линейни алгебрични уравнения(SLAE) означава системата

Параметрите aij се извикват коефициенти, и би - безплатни членовеСЛАУ. Понякога, за да се подчертае броят на уравненията и неизвестните, те казват „m × n система от линейни уравнения“, като по този начин показват, че SLAE съдържа m уравнения и n неизвестни.

Ако всички свободни термини bi = 0, тогава SLAE се извиква хомогенна... Ако сред свободните членове има поне един различен от нула, SLAE се извиква хетерогенен.

Чрез решението на SLAE(1) всяка подредена колекция от числа (α1, α2, ..., αn) се нарича, ако елементите на тази колекция, заместени в даден ред вместо неизвестните x1, x2, ..., xn, преобразуват всяко уравнение на SLAE в идентичност.

Всеки хомогенен SLAE има поне едно решение: нула(по друга терминология - тривиално), т.е. x1 = x2 =… = xn = 0.

Ако SLAE (1) има поне едно решение, то се извиква става, ако няма решения - непоследователно... Ако съвместно SLAE има точно едно решение, то се нарича сигуренако безкраен набор от решения - неопределено.

Матрична нотация за системи от линейни алгебрични уравнения.

Няколко матрици могат да бъдат свързани с всяка SLAE; освен това самият SLAE може да бъде записан под формата на матрично уравнение. За SLAE (1), разгледайте следните матрици:

Матрицата А се нарича системна матрица... Елементите на тази матрица са коефициентите на дадената SLAE.

Матрицата A˜ се нарича матрична разширена система... Получава се чрез добавяне към матрицата на системата на колона, съдържаща свободни термини b1, b2, ..., bm. Обикновено тази колона е разделена с вертикална линия за яснота.

Матрицата на колоната B се нарича матрица на свободните членове, а матрицата на колоната X е матрица на неизвестните.

Използвайки горната нотация, SLAE (1) може да се запише под формата на матрично уравнение: A⋅X = B.

Забележка

Матриците, свързани със системата, могат да бъдат записани по различни начини: всичко зависи от реда на променливите и уравненията на разглежданата SLAE. Но във всеки случай редът на неизвестните във всяко уравнение на дадено SLAE трябва да бъде един и същ

Теорема на Кронекер-Капели. Изследване на системи от линейни уравнения за съвместимост.

Теорема на Кронекер-Капели

Системата от линейни алгебрични уравнения е последователна, ако и само ако рангът на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица на системата, т.е. RangA = RangA˜.

Една система се нарича съвместна, ако има поне едно решение. Теоремата на Кронекер-Капели казва следното: ако rangA = rangA˜, тогава има решение; ако rangA ≠ rangA˜, тогава този SLAE няма решения (непоследователно). Отговорът на въпроса за броя на тези решения се дава от следствие от теоремата на Кронекер-Капели. При формулирането на следствието се използва буквата n, която е равна на броя на променливите на дадената SLAE.

Следствие от теоремата на Кронекер-Капели

Ако rangA ≠ rangA˜, тогава SLAE е непоследователен (няма решения).

Ако rangA = rangA˜

Ако rangA = rangA˜ = n, тогава SLAE е определен (има точно едно решение).

Забележете, че горната теорема и нейното следствие не показват как да се намери решението на SLAE. С тяхна помощ може само да се разбере дали съществуват тези решения и ако съществуват, тогава колко.

Методи за решаване на SLAE

Методът на Крамер

Методът на Крамер е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE), за които детерминантата на матрицата на системата е различна от нула. Естествено, това означава, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на Крамер може да се изрази в три точки:

Направете детерминанта на матрицата на системата (нарича се още детерминанта на системата) и се уверете, че не е равна на нула, т.е. Δ ≠ 0.

За всяка променлива xi е необходимо да се състави детерминантата Δ X i, получена от детерминантата Δ, като се замени i-тата колона с колоната със свободни членове на дадената SLAE.

Намерете стойностите на неизвестните по формулата xi = Δ X i / Δ

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на обратна матрица.

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) с помощта на обратна матрица (понякога този метод се нарича също матричен метод или обратен матричен метод) изисква предварително запознаване с такова понятие като матричната форма на SLAE. Методът на обратната матрица е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения, за които детерминантата на матрицата на системата е различна от нула. Естествено, това означава, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на обратната матрица може да се изрази в три точки:

Запишете три матрици: матрицата на системата A, матрицата на неизвестните X, матрицата на свободните членове B.

Намерете обратното на матрицата A -1.

Използвайки равенството X = A -1 ⋅B, получете решение на дадената SLAE.

Метод на Гаус. Примери за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус.

Методът на Гаус е един от най-ясните и прости начини за решаване системи от линейни алгебрични уравнения(SLAE): както хомогенни, така и хетерогенни. Накратко, същността на този метод е последователното елиминиране на неизвестните.

Преобразувания, разрешени в метода на Гаус:

Смяна на местата на две линии;

Умножение на всички елементи на низа по някакво число, което не е равно на нула.

Добавяне към елементите на един ред на съответните елементи от друг ред, умножени по произволен фактор.

Зачеркнете линия с всички елементи, равни на нула.

Зачеркнете дублиращи се линии.

Що се отнася до последните две точки: дублиращи се линии могат да бъдат изтрити на всеки етап от решението по метода на Гаус - естествено, оставяйки една от тях. Например, ако редове # 2, # 5, # 6 се повтарят, тогава можете да оставите един от тях - например ред # 5. В този случай редове № 2 и № 6 ще бъдат изтрити.

Нулевите редове се премахват от разширената системна матрица, когато се появят.

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема на курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за създаването на тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
изучаване на теорията на избрания метод,
Решете вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробно анализираните решения на типични примери и задачи.

Кратко описание на материала на статията.

Първо, даваме всички необходими определения и понятия и въвеждаме обозначението.

След това ще разгледаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, нека се спрем на метода на Крамер, второ, да покажем матричен метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, да анализираме метода на Гаус (метод на последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това преминаваме към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с общ вид, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е изродена. Нека формулираме теоремата на Кронекер - Капели, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (в случай на тяхната съвместимост), използвайки концепцията за основен минор на матрица. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Определено ще се спрем на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека да дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как се записва общото решение на SLAE с помощта на вектори на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране, нека разгледаме няколко примера.

В заключение разглеждаме системи от уравнения, които се свеждат до линейни, както и различни проблеми, при решаването на които възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да бъде равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни термини (също реални или комплексни числа).

Тази форма на нотация на SLAE се нарича координати.

V матрична форманотация, тази система от уравнения има формата,
където - основната матрица на системата, - матрицата-колона от неизвестни променливи, - матрицата-колона на свободните членове.

Ако добавим към матрицата A като (n + 1)-та колона матрицата-колона от свободни членове, тогава получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Чрез решаване на система от линейни алгебрични уравненияе набор от стойности на неизвестни променливи, който преобразува всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадените стойности на неизвестните променливи също се превръща в идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, то се нарича става.

Ако системата от уравнения няма решения, тогава тя се нарича непоследователно.

Ако SLAE има уникално решение, тогава то се нарича сигурен; ако има повече от едно решение, тогава - неопределено.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенна, в противен случай - хетерогенен.

Решение на елементарни системи от линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на уравненията на системата е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на нейната основна матрица не е равна на нула, тогава такива SLAE ще бъдат наречени елементарен... Такива системи от уравнения имат уникално решение, а в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такива SLAE в гимназията. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на събиране, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме на тези методи в подробности, тъй като те всъщност са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги анализираме.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Да предположим, че трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и - детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, ..., n-тиколона, съответно, към колоната на свободните членове:

С тази нотация неизвестните променливи се изчисляват по формулите на метода на Крамер като ... Ето как се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Пример.

Методът на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата ... Нека изчислим неговия детерминант (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамер.

Нека съставим и изчислим необходимите детерминанти (детерминантата се получава чрез замяна на първата колона в матрица A с колона от свободни членове, детерминантата - чрез замяна на втората колона с колона от свободни членове, - чрез замяна на третата колона на матрица A с колона от свободни членове ):

Намерете неизвестни променливи по формулите :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Крамер (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляването на детерминантите, когато броят на уравненията в системата е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричния метод (с помощта на обратната матрица).

Нека системата от линейни алгебрични уравнения е дадена в матричен вид, където матрицата A има размерност n по n и нейната детерминанта е различна от нула.

Тъй като матрицата A е обратима, тоест има обратна матрица. Ако умножим двете страни на равенството по ляво, тогава ще получим формула за намиране на матрицата на колоните от неизвестни променливи. Така получихме решението на система от линейни алгебрични уравнения по матричния метод.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матричен вид:

Защото

тогава SLAE може да се реши по матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека построим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения на елементи от матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли - матрицата от неизвестни променливи чрез умножаване на обратната матрица към матрица на колони от свободни членове (вижте статията, ако е необходимо):

Отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решение на системи от линейни алгебрични уравнения по матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от третия.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
детерминантата на основната матрица на която е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно елиминиране на неизвестни променливи: първо, x 1 се изключва от всички уравнения на системата, започвайки от второто, след това x 2 се изключва от всички уравнения, започвайки с третата, и така нататък, докато само неизвестната променлива xn остава в последното уравнение. Такъв процес на преобразуване на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича по прекия ход на метода на Гаус... След завършване на напредването на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, като се използва тази стойност, x n-1 се изчислява от предпоследното уравнение и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем това, тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като се започне от второто. За да направите това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по, към третото уравнение добавяме първото, умножено по, и така нататък, към n-то уравнение добавяме първото, умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации приема формата

къде и .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заменим получения израз във всички други уравнения. По този начин променливата x 1 е изключена от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е отбелязана на фигурата

За да направите това, към третото уравнение на системата добавяме второто умножено по, към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по, и така нататък, към n-то уравнение добавяме второто, умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации приема формата

къде и ... По този начин променливата x 2 е изключена от всички уравнения, като се започне с третото.

След това преминаваме към елиминирането на неизвестното x 3, докато действаме по същия начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че ние продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме xn от последното уравнение, като използвайки получената стойност на xn, намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус.

Решение.

Елиминирайте неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направите това, добавете съответните части от първото уравнение, умножени по и по, към двете страни на второто и третото уравнение:

Сега изключваме x 2 от третото уравнение, като добавяме към лявата и дясната му страна лявата и дясната страна на второто уравнение, умножено по:

В този момент движението напред на метода на Гаус приключи, започваме обратното движение.

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме останалата неизвестна променлива и това завършва обратния ход на метода на Гаус.

Отговор:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Решение на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

В общия случай броят на уравненията в системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение важи и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и изродена.

Теоремата на Кронекер - Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога несъвместим се дава от теоремата на Кронекер - Капели:
за да е последователна система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да е равен на ранга на разширената матрица, т.е. ранг (A) = Ранг (T).

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер - Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения решения.

Решение.

... Нека използваме метода на граничните непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека подредим непълнолетните от трети порядък, които граничат с него:

Тъй като всички граничещи минорни от третия ред са равни на нула, рангът на основната матрица е два.

От своя страна, рангът на разширената матрица е равно на три, тъй като минорът от трети ред

различен от нула.

По този начин, Rang (A), следователно, по теоремата на Кронекер - Капели можем да заключим, че първоначалната система от линейни уравнения е непоследователна.

Отговор:

Системата няма решения.

И така, ние се научихме да установяваме несъответствието на системата с помощта на теоремата на Кронекер - Капели.

Но как да намерим решение на SLAE, ако е установена неговата съвместимост?

За да направим това, ни трябва концепцията за основен минор на матрица и теорема за ранга на матрица.

Най-високият минор на матрицата A, различен от нула, се нарича основен.

От определението за основен минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко основни минорни; винаги има един основен минор.

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минорни от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранг на матрицата.

Ако рангът на матрица от порядък p по n е равен на r, тогава всички елементи от редовете (и колоните) на матрицата, които не образуват избрания основен минор, се изразяват линейно чрез съответните елементи на редовете ( и колони), които образуват основния минор.

Какво ни дава теоремата за ранг на матрицата?

Ако по теоремата на Кронекер - Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме произволен основен минор от основната матрица на системата (нейният ред е r) и изключваме от системата всички уравнения, които не образуват избрания основен минор. Така получената SLAE ще бъде еквивалентна на оригиналната, тъй като изхвърлените уравнения все още са излишни (съгласно теоремата за ранга на матрицата те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това след отхвърляне на ненужните уравнения на системата са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава то ще бъде определено и единственото решение може да бъде намерено по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

Решение.

Рангът на основната матрица на системата е равно на две, тъй като второстепенен ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от трети ред е равен на нула

и второстепенният минор, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Кронекер - Капели можем да твърдим съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като ранг (A) = ранг (T) = 2.

Приемаме за основно непълнолетно ... Образува се от коефициентите на първото и второто уравнение:

Третото уравнение на системата не участва във формирането на основния минор, поради което го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:

Така че имаме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим по метода на Крамер:

Отговор:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ако броят на уравненията r в получената SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава в лявата страна на уравненията оставяме членовете, образуващи основния минор, останалите членове се прехвърлят в дясно- страничните страни на уравненията на системата с противоположен знак.

Неизвестни променливи (има r от тях), останали в лявата страна на уравненията, се наричат основното.

Неизвестни променливи (има n - r парчета), които се появяват в дясната страна, се извикват Безплатно.

Сега приемаме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности и r основни неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободни неизвестни променливи по уникален начин. Тяхното изразяване може да бъде намерено чрез решаване на получената SLAE по метода на Крамер, по матричния метод или по метода на Гаус.

Да вземем пример.

Пример.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Намерете ранга на основната матрица на системата по метода на граничене на непълнолетни. Взимаме 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред, който заобикаля този минор:

Ето как открихме ненулев минор от втори ред. Нека започнем да търсим минор от трети порядък, различен от нула:

По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е три, тоест системата е последователна.

Приемаме намерения ненулев минор от трети порядък като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които образуват основния минор:

Оставяме от лявата страна на уравненията на системата членовете, участващи в основния минор, прехвърляме останалите с противоположни знаци в дясната страна:

Нека присвоим произволни стойности на свободните неизвестни променливи x 2 и x 5, тоест вземаме , където са произволни числа. В този случай SLAE ще приеме формата

Получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения се решава по метода на Крамер:

Следователно, .

Не забравяйте да посочите безплатни неизвестни променливи в отговора си.

Отговор:

Къде са произволни числа.

Обобщавайте.

За да решим система от линейни алгебрични уравнения с общ вид, първо установяваме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер - Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е несъвместима.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме основния минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания основен минор.

Ако редът на основния минор е равен на броя на неизвестните променливи, тогава SLAE има уникално решение, което намираме по всеки известен метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава от лявата страна на уравненията на системата оставяме членовете с основните неизвестни променливи, прехвърляме останалите членове в дясната страна и дайте произволни стойности на свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи по метода на Крамер, метода на матрицата или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Методът на Гаус може да се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид, без първо да се изследват за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъвместимостта на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От гледна точка на изчислителната работа, методът на Гаус е за предпочитане.

Вижте подробното му описание и анализираните примери в статията Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Записване на общото решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на вектори на основната система от решения.

В този раздел ще се съсредоточим върху съвместими хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения с безкраен набор от решения.

Нека първо се заемем с хомогенните системи.

Фундаментална система за вземане на решенияХомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е множеството (n - r) от линейно независими решения на тази система, където r е порядъкът на основния минор на основната матрица на системата.

Ако обозначим линейно независими решения на хомогенна SLAE като X (1), X (2),..., X (nr) (X (1), X (2),..., X (nr) са n-by-1 колонни матрици), то общото решение на тази хомогенна система се представя под формата на линейна комбинация от вектори на основната система от решения с произволни постоянни коефициенти С 1, С 2, ..., С (nr), т.е. ,.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (oroslau)?

Значението е просто: формулата определя всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, вземайки произволен набор от стойности на произволни константи С 1, С 2, ..., С (nr), съгласно формулата, която ние получавате едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да зададем всички решения на тази хомогенна SLAE като.

Нека покажем процеса на изграждане на фундаментална система от решения на хомогенна SLAE.

Избираме основния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи, в дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0, ..., 0 и да изчислим основните неизвестни, като решим получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например по метода на Крамер. Това ще даде X (1) - първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойности 0,1,0,0, ..., 0 и изчислим основните неизвестни, получаваме X (2). И т.н. Ако дадем стойностите 0,0, ..., 0,1 на свободните неизвестни променливи и изчислим основните неизвестни, получаваме X (n-r). Така ще бъде построена основната система от решения на хомогенна SLAE и нейното общо решение може да бъде записано във формата.

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение се представя във формата, където е общото решение на съответната хомогенна система и е частното решение на оригиналната нехомогенна SLAE, което получаваме, като даваме на свободните неизвестни стойностите 0,0, ..., 0 и изчисляване на стойностите на основните неизвестни.

Нека да разгледаме примери.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенната система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенни системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на главната матрица по метода на граничните минорни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Намерете граничещ ненулев минор от втори ред:

Открита е ненулева минор от втори ред. Нека повторим по граничещите с него минорите от трети порядък в търсене на ненулева единица:

Всички граничещи минорни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрици е равен на две. Вземете като основно непълнолетно. За по-голяма яснота отбелязваме елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналното SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме от дясната страна на уравненията членовете, съдържащи основните неизвестни, а от дясната страна прехвърляме членовете със свободни неизвестни:

Нека построим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Основната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи, а редът на основния му минор е два. За да намерим X (1), присвояваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 1, x 4 = 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.