Kuinka löytää funktion maksimi- ja minimipisteet. Funktion kriittiset pisteet Kuinka löytää funktion y maksimipiste
Harkitse seuraavaa kuvaa.
Se näyttää funktion y = x^3 - 3*x^2 kaavion. Tarkastellaan jotakin väliä, joka sisältää pisteen x = 0, esimerkiksi -1:stä 1:een. Tällaista väliä kutsutaan myös pisteen x = 0 lähialueeksi. Kuten käyrästä näkyy, tässä ympäristössä funktio y = x ^3 - 3*x^2 ottaa suurimman arvon täsmälleen pisteessä x = 0.
Toiminnon maksimi ja minimi
Tässä tapauksessa pistettä x = 0 kutsutaan funktion maksimipisteeksi. Analogisesti tämän kanssa pistettä x = 2 kutsutaan funktion y = x^3 - 3*x^2 minimipisteeksi. Koska tällä pisteellä on sellainen naapurusto, jossa arvo tässä kohdassa on minimaalinen kaikkien muiden tämän naapuruston arvojen joukossa.
piste enimmäismäärä funktiota f(x) kutsutaan pisteeksi x0, edellyttäen, että pisteellä x0 on sellainen ympäristö, että kaikille x:lle, jotka eivät ole yhtä suuria kuin x0 tästä naapurustosta, epäyhtälö f(x)< f(x0).
piste minimi funktiota f(x) kutsutaan pisteeksi x0, edellyttäen, että pisteen x0 naapurustossa on sellainen, että kaikille x:ille, jotka eivät ole yhtä suuria kuin x0 tästä naapurustosta, epäyhtälö f(x) > f(x0) täyttyy.
Funktioiden maksimi- ja minimipisteissä funktion derivaatan arvo on nolla. Mutta tämä ei ole riittävä ehto funktion olemassaololle maksimi- tai minimipisteessä.
Esimerkiksi funktion y = x^3 pisteessä x = 0 derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Mutta piste x = 0 ei ole funktion minimi- tai maksimipiste. Kuten tiedät, funktio y = x^3 kasvaa koko reaaliakselilla.
Näin ollen minimi- ja maksimipisteet ovat aina yhtälön f’(x) = 0 juuren joukossa. Mutta kaikki tämän yhtälön juuret eivät ole maksimi- tai minimipisteitä.
Kiinteät ja kriittiset pisteet
Pisteitä, joissa funktion derivaatan arvo on nolla, kutsutaan stationääripisteiksi. Maksimi- tai minimipisteitä voi olla myös kohdissa, joissa funktion derivaatta ei ole ollenkaan olemassa. Esimerkiksi y = |x| pisteessä x = 0 on minimi, mutta derivaatta ei ole olemassa tässä pisteessä. Tämä piste on funktion kriittinen piste.
Funktion kriittisiä pisteitä ovat pisteet, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla tai derivaatta ei ole olemassa tässä pisteessä, eli funktio tässä pisteessä on ei-differentioituva. Jotta funktion maksimi tai minimi voidaan löytää, riittävän ehdon on täytyttävä.
Olkoon f(x) jokin välillä (a;b) differentioituva funktio. Piste x0 kuuluu tähän väliin ja f'(x0) = 0. Sitten:
1. Jos funktio f (x) ja sen derivaatta vaihtaa etumerkkiä liikkuessaan stationaarisen pisteen x0 kautta plus-merkistä miinus-, niin piste x0 on funktion maksimipiste.
2. Jos funktio f (x) ja sen derivaatta vaihtaa etumerkkiä liikkuessaan stationaarisen pisteen x0 kautta "miinus" -sta "plussiksi", niin piste x0 on funktion minimipiste.
merkitys
Suurin
merkitys
Vähiten
Maksimipiste
Matala kohta
Funktion ääripisteiden löytämisen ongelmat ratkaistaan vakiomalli 3 vaiheessa.
Vaihe 1. Etsi funktion derivaatta
- Muista alkeisfunktioiden derivaatan kaavat ja differentioinnin perussäännöt derivaatan löytämiseksi.
y′(x)=(x3-243x+19)′=3x2-243.
Vaihe 2. Etsi derivaatan nollat
- Ratkaise tuloksena oleva yhtälö löytääksesi derivaatan nollat.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Vaihe 3. Etsi ääripisteitä
- Käytä välimenetelmää derivaatan etumerkkien määrittämiseen;
- Minimipisteessä derivaatta on nolla ja muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussaan ja maksimipisteessä plussasta miinukseen.
Sovelletaan tätä lähestymistapaa seuraavan ongelman ratkaisemiseen:
Etsi funktion y=x3−243x+19 maksimipiste.
1) Etsi derivaatta: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Ratkaise yhtälö y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Derivaata on positiivinen kohdille x>9 ja x<−9 и отрицательная при −9 Kuinka löytää funktion suurin ja pienin arvo Voit ratkaista funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelman tarpeellista: Auttaa monissa tehtävissä lause: Jos janalla on vain yksi ääripiste ja tämä on minimipiste, niin siinä saavutetaan funktion pienin arvo. Jos tämä on maksimipiste, maksimiarvo saavutetaan siinä. 14. Epämääräisen integraalin käsite ja perusominaisuudet. Jos toiminto f(x X, ja k- numero siis Lyhyesti sanottuna: vakio voidaan ottaa pois integraalimerkistä. Jos toimii f(x) ja g(x) sisältävät antijohdannaisia X, sitten Lyhyesti sanottuna: summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa. Jos toiminto f(x) -välillä on antijohdannainen X, sitten tämän intervallin sisäpisteille: Lyhyesti sanottuna: integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi. Jos toiminto f(x) on jatkuva aikavälillä X ja on differentioituva tämän intervallin sisäpisteissä, niin: Lyhyesti sanottuna: funktion differentiaalin integraali on yhtä suuri kuin tämä funktio plus integroinnin vakio. Annetaan tiukka matemaattinen määritelmä määrittelemättömän integraalin käsitteet. Ystävällistä ilmaisua kutsutaan funktion integraali f(x)
, missä f(x)
- integrandifunktio, joka on annettu (tunnettu), dx
- erotus x
, symboli aina läsnä dx
. Määritelmä. Epämääräinen integraali kutsutaan funktioksi F(x) + C
, joka sisältää mielivaltaisen vakion C
, jonka differentiaali on yhtä suuri kuin integrand ilmaisu f(x)dx
, eli Muista tuo - toimintoero ja se määritellään seuraavasti: Ongelman löytäminen määrittelemätön integraali on löytää toiminto johdannainen joka on yhtä suuri kuin integrandi. Tämä funktio määritetään vakioon asti, koska vakion derivaatta on nolla. Esimerkiksi tiedetään, että , niin sitten käy niin Tehtävän löytäminen määrittelemätön integraali funktioista ei ole niin yksinkertaista ja helppoa kuin miltä ensi silmäyksellä näyttää. Monissa tapauksissa on oltava taitoa työskennellä epämääräiset integraalit, pitäisi olla kokemus, joka tulee käytännössä ja jatkuva ratkaista esimerkkejä epämääräisille integraaleille. Kannattaa ottaa huomioon se tosiasia määrittelemättömät integraalit joistakin funktioista (niitä on melko paljon) ei oteta perusfunktioissa. 15. Taulukko epämääräisistä perusintegraaleista. Peruskaavat 16. Integraalisumman rajana määrätty integraali. Integraalin geometrinen ja fyysinen merkitys. Olkoon funktio y=ƒ(x) määritelty janalle [a; b] ja< b. Выполним следующие действия. 1. Käyttämällä pisteitä x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0 2. Jokaisessa osasegmentissä i = 1,2,...,n valitaan mielivaltainen piste, jossa on i є ja lasketaan siinä funktion arvo, eli arvo ƒ(i:n kanssa). 3. Kerro funktion löydetty arvo ƒ (i:stä) vastaavan osasegmentin pituudella ∆x i =x i -x i-1: ƒ (i:stä) ∆х i. 4. Laske kaikkien tällaisten tuotteiden summa S n: Muodon (35.1) summaa kutsutaan segmentin [a; b]. Merkitään λ:lla suurimman osasegmentin pituus: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Etsi integraalisumman (35.1) rajana n → ∞ niin, että λ→0. Jos lisäksi integraalisummalla S n on raja I, joka ei riipu segmentin [a; b] osittaisiksi segmenteiksi tai niissä olevien pisteiden valinnasta, niin lukua I kutsutaan funktion y = ƒ(x) määrätyksi integraaliksi janalla [a; b] ja sitä merkitään näin, Lukuja a ja b kutsutaan vastaavasti integroinnin ala- ja ylärajaksi, ƒ(x) - integrandi, ƒ(x) dx - integrandi, x - integrointimuuttuja, segmentti [a; b] - integrointialue (segmentti). Funktio y \u003d ƒ (x), jolle segmentillä [a; b] tällä välillä on kiinteä integraali, jota kutsutaan integroitavaksi. Muotoilkaamme nyt olemassaolon lause tietylle integraalille. Lause 35.1 (Cauchy). Jos funktio y = ƒ(x) on jatkuva janalla [a; b], sitten määrällinen integraali Huomaa, että funktion jatkuvuus on riittävä ehto sen integroitavuudelle. Määrätty integraali voi kuitenkin olla olemassa myös joillekin epäjatkuville funktioille, erityisesti mille tahansa funktiolle, joka on rajoittunut väliin ja jossa on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä. Otetaan esille joitain määritellyn integraalin ominaisuuksia, jotka seuraavat suoraan sen määritelmästä (35.2). 1. Määrätty integraali on riippumaton integrointimuuttujan merkinnöistä: Tämä johtuu siitä, että integraalisumma (35.1) ja siten sen raja (35.2) eivät riipu siitä, mikä kirjain merkitsee tämän funktion argumenttia. 2. Määrätty integraali, jolla on samat integrointirajat, on yhtä suuri kuin nolla: 3. Mille tahansa reaaliluvulle c. 17. Newton-Leibnizin kaava. Määrätyn integraalin perusominaisuudet. Anna toiminnon y = f(x) jatkuva segmentillä
ja F(x) on yksi tämän segmentin funktion antijohdannaisista Newton-Leibnizin kaava: Newton-Leibnizin kaavaa kutsutaan integraalilaskennan peruskaava. Newton-Leibnizin kaavan todistamiseksi tarvitsemme käsitteen integraalista, jolla on muuttuva yläraja. Jos toiminto y = f(x) jatkuva segmentillä
, niin argumentin muodon integraali on ylärajan funktio. Merkitsemme tätä funktiota Todellakin, kirjoitetaan argumentin inkrementtiä vastaavan funktion inkrementti ja käytetään määrätyn integraalin viidettä ominaisuutta ja kymmenestä ominaisuudesta saatua seurausta: Kirjoitetaan tämä yhtäläisyys muotoon Laskea Fa), käyttämällä määrätyn integraalin ensimmäistä ominaisuutta: Toiminnon lisäys merkitään yleensä nimellä Newton-Leibnizin kaavan soveltamiseksi riittää, että tunnemme yhden antijohdannaisista y=F(x) integrand y=f(x) segmentillä
ja laske tämän antijohdannaisen lisäys tälle segmentille. Artikkelissa integraatiomenetelmiä analysoidaan tärkeimpiä tapoja löytää antiderivaatti. Annetaan muutamia esimerkkejä määrällisten integraalien laskemisesta käyttämällä selvennyksenä Newton-Leibnizin kaavaa. Esimerkki. Laske määrätyn integraalin arvo Newton-Leibnizin kaavalla. Ratkaisu. Huomaa ensin, että integrandi on jatkuva välissä
, joten se on integroitavissa siihen. (Puhuimme integroitavista funktioista osiossa funktioita, joille on olemassa varma integraali). Epämääräisten integraalien taulukosta voidaan nähdä, että funktiolle antiderivaatat kaikille argumentin todellisille arvoille (siis for ) kirjoitetaan muodossa Nyt on vielä käytettävä Newton-Leibnizin kaavaa määrätyn integraalin laskemiseen: 18. Määrätyn integraalin geometriset sovellukset. MÄÄRÄN INTEGRAALIN GEOMETRISET SOVELLUKSET Kehon tilavuuden laskeminen Kehon tilavuuden laskeminen rinnakkaisten leikkausten tunnetuista alueista: Pyörimisrungon tilavuus: ; . Esimerkki 1. Etsi kuvion pinta-ala, jota rajoittaa käyrä y=sinx, suorat viivat Ratkaisu: Kuvan alueen löytäminen: Esimerkki 2. Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala Ratkaisu: Etsitään näiden funktioiden kuvaajien leikkauspisteiden abskissat. Tätä varten ratkaisemme yhtälöjärjestelmän Täältä löydämme x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2,5. 19. Differentiaaliohjauksen käsite. Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt. Differentiaaliyhtälö- yhtälö, joka yhdistää funktion derivaatan arvon itse funktioon, itsenäisen muuttujan arvot, numerot (parametrit). Yhtälöön sisältyvien johdannaisten järjestys voi olla erilainen (muodollisesti sitä ei rajoita mikään). Johdannaisia, funktioita, riippumattomia muuttujia ja parametreja voidaan sisällyttää yhtälöön erilaisina yhdistelminä tai kaikki paitsi ainakin yksi derivaatta voivat puuttua kokonaan. Mikään yhtälö, joka sisältää johdannaisia tuntemattomasta funktiosta, ei ole differentiaaliyhtälö. Esimerkiksi, Osittaisdifferentiaaliyhtälöt(URCHP) ovat yhtälöitä, jotka sisältävät useiden muuttujien tuntemattomia funktioita ja niiden osittaisia derivaattoja. Tällaisten yhtälöiden yleinen muoto voidaan esittää seuraavasti: missä ovat riippumattomia muuttujia ja on näiden muuttujien funktio. Osittaisten differentiaaliyhtälöiden järjestys voidaan määrittää samalla tavalla kuin tavallisille differentiaaliyhtälöille. Toinen tärkeä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden luokittelu on niiden jako elliptisiin, parabolisiin ja hyperbolisiin yhtälöihin, erityisesti toisen kertaluvun yhtälöille. Sekä tavalliset differentiaaliyhtälöt että osittaiset differentiaaliyhtälöt voidaan jakaa lineaarinen ja epälineaarinen. Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos tuntematon funktio ja sen derivaatat tulevat yhtälöön vain ensimmäiseen potenssiin (eivät kerro keskenään). Tällaisille yhtälöille ratkaisut muodostavat funktioavaruuden affiinin aliavaruuden. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teoriaa on kehitetty paljon syvemmälle kuin epälineaaristen yhtälöiden teoriaa. Lineaarisen differentiaaliyhtälön yleinen muoto n-järjestys: missä pi(x) ovat riippumattoman muuttujan tunnettuja funktioita, joita kutsutaan yhtälön kertoimiksi. Toiminto r(x) oikealla puolella kutsutaan vapaa jäsen(ainoa termi, joka ei riipu tuntemattomasta funktiosta) Tärkeä erityinen lineaaristen yhtälöiden luokka ovat lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimet. Lineaaristen yhtälöiden alaluokka ovat homogeeninen differentiaaliyhtälöt - yhtälöt, jotka eivät sisällä vapaata termiä: r(x) = 0. Homogeenisille differentiaaliyhtälöille superpositioperiaate pätee: sellaisen yhtälön tiettyjen ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä on myös sen ratkaisu. Kaikkia muita lineaarisia differentiaaliyhtälöitä kutsutaan heterogeeninen differentiaaliyhtälöt. Epälineaarisilla differentiaaliyhtälöillä ei yleensä ole kehitetty ratkaisumenetelmiä, lukuun ottamatta tiettyjä luokkia. Joissakin tapauksissa (käyttämällä tiettyjä approksimaatioita) ne voidaan pelkistää lineaarisiksi. Esimerkiksi harmonisen oskillaattorin lineaarinen yhtälö · on toisen asteen homogeeninen differentiaaliyhtälö, jolla on vakiokertoimet. Ratkaisu on funktioperhe, jossa ja ovat mielivaltaisia vakioita, jotka tietylle ratkaisulle määritetään erikseen määritellyistä alkuehdoista. Tämä yhtälö kuvaa erityisesti harmonisen oskillaattorin liikettä, jonka syklinen taajuus on 3. · Newtonin toinen laki voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälön muotoon · Besselin differentiaaliyhtälö on tavallinen lineaarinen homogeeninen toissijainen yhtälö muuttuvilla kertoimilla: Sen ratkaisut ovat Besselin funktiot. Esimerkki epähomogeenisesta epälineaarisesta 1. kertaluvun tavallisesta differentiaaliyhtälöstä: Seuraavassa esimerkkiryhmässä tuntematon funktio u riippuu kahdesta muuttujasta x ja t tai x ja y. Ensimmäisen kertaluvun homogeeninen lineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö: Yksiulotteinen aaltoyhtälö - homogeeninen lineaarinen yhtälö toisen asteen hyperbolisen tyypin osittaisderivaataissa vakiokertoimilla, kuvaa merkkijonon värähtelyä, jos - merkkijonon poikkeamaa koordinaattipisteessä x tällä hetkellä t, ja parametri a asettaa merkkijonon ominaisuudet: Laplacen yhtälö kaksiulotteisessa avaruudessa on homogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö elliptisen tyypin toisen kertaluvun osittaisderivaataissa vakiokertoimilla, joka syntyy monissa mekaniikan, lämmönjohtavuuden, sähköstaattisen ja hydrauliikan fysikaalisissa ongelmissa: Korteweg-de Vriesin yhtälö, epälineaarinen kolmannen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa paikallaan olevia epälineaarisia aaltoja, mukaan lukien solitonit: 20. Differentiaaliyhtälöt erotettavissa sovellettavissa. Lineaariset yhtälöt ja Bernoullin menetelmä. Ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka on lineaarinen tuntemattoman funktion ja sen derivaatan suhteen. Se näyttää Mikä on funktion ääripää ja mikä on ääripään välttämätön ehto?
Funktion ääriarvo on funktion maksimi ja minimi. Vaadittava ehto funktion maksimille ja minimille (ääriarvolle) on seuraava: jos funktio f(x ) on ääripää pisteessä x = a, niin tässä pisteessä derivaatta on joko nolla tai ääretön tai sitä ei ole olemassa. Tämä ehto on välttämätön, mutta ei riittävä. Derivaata pisteessä x = a voi kadota, mennä äärettömyyteen tai olla olemassa ilman, että funktiolla on ääripää tässä pisteessä. Mikä on riittävä ehto funktion ääripäälle (maksimi tai minimi)?
Ensimmäinen ehto: f? (x ) on positiivinen a:n vasemmalla puolella ja negatiivinen a:n oikealla puolella, niin juuri kohdassa x = a funktio f(x ) Sillä on enimmäismäärä edellyttäen, että toiminto f(x ) on jatkuva täällä. Jos riittävän lähellä pistettä x \u003d a, derivaatta f? (x ) on negatiivinen a:n vasemmalla puolella ja positiivinen a:n oikealla puolella, niin juuri kohdassa x = a funktio f(x ) Sillä on minimi edellyttäen, että toiminto f(x ) on jatkuva täällä. Sen sijaan voit käyttää toinen riittävä ehto funktion ääripää:
Olkoon pisteessä x = ja ensimmäinen derivaatta f? (x ) katoaa; jos toinen derivaatta f?? (a) on negatiivinen, sitten funktio f (x):llä on pisteessä x = a maksimi, jos positiivinen - minimi. Tietoja tapauksesta f?? (a) = 0 löytyy M.Yan julkaisusta Handbook of Higher Mathematics. Vygodski. Mikä on funktion kriittinen piste ja miten se löydetään?
Tämä on funktion argumentin arvo, jossa funktiolla on ääriarvo (eli maksimi tai minimi). Löytääksesi sen tarvitset löytää johdannainen toimintoja f? (x ) ja rinnastamalla sen nollaan, ratkaise yhtälö
f? (x ) = 0. Tämän yhtälön juuret sekä ne pisteet, joissa tämän funktion derivaatta ei ole olemassa, ovat kriittisiä pisteitä, eli argumentin arvoja, joissa voi olla ääriarvo. Ne on helppo tunnistaa katsomalla johdannainen graafi: olemme kiinnostuneita niistä argumentin arvoista, joissa funktion kuvaaja leikkaa abskissa-akselin (Ox-akseli), ja niistä, joissa kuvaaja kärsii katkoksista. Etsitään esimerkiksi paraabelin ääripää.
Funktio y (x) \u003d 3 x 2 + 2 x - 50. Funktiojohdannainen: y? (x) = 6 x + 2 Ratkaisemme yhtälön: y? (x) = 0 6x + 2 \u003d 0,6x \u003d -2, x \u003d -2/6 \u003d -1/3 Tässä tapauksessa kriittinen piste on x 0 = -1/3. Funktiolla on tämä argumentin arvo ääripää. Saadaksesi sen löytö, korvaamme funktion lausekkeessa löydetyn luvun "x":n sijaan: v 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Kuinka määrittää funktion maksimi ja minimi, ts. sen suurimmat ja pienimmät arvot?
Jos derivaatan etumerkki vaihtuu plussasta miinuspisteeseen kulkiessaan kriittisen pisteen x 0 läpi, niin x 0 on maksimipiste; jos derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi, niin x 0 on minimipiste; jos etumerkki ei muutu, niin pisteessä x 0 ei ole maksimi- eikä minimiarvoa. Tarkastetussa esimerkissä: Otamme kriittisen pisteen vasemmalla puolella olevan argumentin mielivaltaisen arvon: x = -1 Kun x = -1, derivaatan arvo on y?
(-1) \u003d 6 * (-1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (eli merkki on "miinus"). Nyt otamme kriittisen pisteen oikealla puolella olevan argumentin mielivaltaisen arvon: x = 1 Kun x = 1, derivaatan arvo on y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (eli plusmerkki). Kuten näet, derivaatta muutti merkin miinuksesta plussaksi kulkiessaan kriittisen pisteen läpi. Tämä tarkoittaa, että kriittisellä arvolla x 0 meillä on minimipiste. Funktion suurin ja pienin arvo välissä(segmentillä) löydetään saman menettelyn mukaisesti, vain ottaen huomioon se tosiasia, että ehkä kaikki kriittiset pisteet eivät sijaitse määritetyllä aikavälillä. Ne kriittiset kohdat, jotka ovat intervallin ulkopuolella, on jätettävä huomioimatta. Jos intervallin sisällä on vain yksi kriittinen piste, sillä on joko maksimi tai minimi. Tässä tapauksessa funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittämiseksi otamme huomioon myös funktion arvot intervallin päissä. Etsitään esimerkiksi funktion suurimmat ja pienimmät arvot y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x aikavälein: a) [-9; 9] b) [-6; -3] Joten funktion derivaatta on y? (x) \u003d 3 cos (x) - 0,5 Yhtälön 3 ratkaiseminen cos (x) - 0,5 \u003d 0 3cos(x) = 0,5 cos(x) = 0,5/3 = 0,16667 x \u003d ± kaaret (0,16667) + 2πk. Löydämme kriittiset kohdat väliltä [-9; 9]: x \u003d arccos (0,16667) - 2 π *2 = -11,163 (alueen ulkopuolella) x \u003d - arccos (0,16667) - 2 π * 1 \u003d -7,687 x \u003d arccos (0,16667) - 2 π * 1 \u003d -4,88 x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π * 0 \u003d -1,403 x \u003d arccos (0,16667) + 2 π * 0 \u003d 1,403 x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π * 1 \u003d 4,88 x \u003d arccos (0,16667) + 2 π * 1 \u003d 7,687 x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π *2 = 11,163 (ei sisälly väliin) Löydämme funktion arvot argumentin kriittisistä arvoista: y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885 y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398 y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256 y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256 y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398 y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885 Voidaan nähdä, että aikavälillä [-9; 9] funktiolla on suurin arvo x = -4,88: x = -4,88, y = 5,398, ja pienin - kohdassa x = 4,88: x = 4,88, y = -5,398. Aikavälillä [-6; -3] meillä on vain yksi kriittinen piste: x = -4,88. Funktion arvo kohdassa x = -4,88 on y = 5,398. Löydämme funktion arvon intervallin lopusta: y (-6) = 3 cos (-6) - 0,5 = 3,838 y (-3) = 3 cos (-3) - 0,5 = 1,077 Aikavälillä [-6; -3] meillä on funktion suurin arvo y = 5,398 kohdassa x = -4,88 pienin arvo on y = 1,077 kohdassa x = -3 Kuinka löytää funktiokaavion käännepisteet ja määrittää kuperuuden ja koveruuden sivut?
Kaikkien rivin katkeamispisteiden etsiminen y=f(x ), sinun täytyy löytää toinen derivaatta, rinnastaa se nollaan (ratkaista yhtälö) ja testata kaikki ne x:n arvot, joille toinen derivaatta on nolla, ääretön tai sitä ei ole olemassa. Jos toisen derivaatan etumerkkiä kulkiessaan jokin näistä arvoista muuttuu, niin funktion kaaviolla on tässä kohdassa taivutus. Jos se ei muutu, käännettä ei ole. Yhtälön f juuret? (x ) = 0 sekä funktion ja toisen derivaatan mahdolliset epäjatkuvuuspisteet jakavat funktion alueen useisiin intervalleihin. Konveksiteetti kullakin aikavälillä määräytyy toisen derivaatan etumerkillä. Jos toinen derivaatta tutkittavan välin pisteessä on positiivinen, niin suora y=f(x ) kääntyy tässä koveralla ylöspäin ja jos se on negatiivinen, niin alaspäin. Kuinka löytää kahden muuttujan funktion ääriarvo?
Funktion ääripään löytäminen f (x, y ), joka on erilainen sen toimeksiannon alueella, on välttämätöntä: 1) Etsi kriittiset pisteet ja ratkaise yhtälöjärjestelmä tätä varten f x ? (x, y) \u003d 0, f y? (x, y) = 0 2) jokaiselle kriittiselle pisteelle Р 0 ( a; b ) tutkia, pysyykö eron etumerkki ennallaan f (x, y) - f (a, b) kaikille pisteille (x; y) riittävän lähellä Р 0 . Jos ero säilyttää positiivisen merkin, niin pisteessä P 0 meillä on minimi, jos negatiivinen, niin maksimi. Jos ero ei säilytä etumerkkiään, pisteessä Р 0 ei ole ääriarvoa. Vastaavasti funktion ääriarvot määritetään suuremmalle määrälle argumentteja. Lähteet: Yksinkertainen algoritmi äärimmäisyyksien löytämiseen..
Pisteistä, joita epäillään ääripäästä, on löydettävä tarkasti . Tätä varten katsomme aukkojamme koordinaattiviivalla. Jos derivaatan merkki vaihtuu plussasta miinukseksi kulkiessaan jonkin pisteen läpi, niin tämä piste on enimmäismäärä, ja jos miinuksesta plussaan, niin minimi. Löytääksesi funktion suurimman ja pienimmän arvon, sinun on laskettava funktion arvo segmentin päissä ja ääripisteissä. Valitse sitten suurin ja pienin arvo. Harkitse esimerkkiä Näemme, että kulkiessaan pisteen -1 kautta derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussaan, eli se on minimipiste, ja kun kuljetaan 1:n kautta plussasta miinukseen, tämä on maksimipiste.
tai 
Funktiota kutsutaan antiderivatiivinen toiminto. Funktion antiderivaata määritetään vakioarvoon asti.
, tässä on mielivaltainen vakio.
.
, ja tämä funktio on jatkuva ja tasa-arvo 
.
missä .
. Jos muistamme funktion derivaatan määritelmän ja menemme rajaan kohdassa , niin saamme . Eli on yksi funktion antijohdannaisista y = f(x) segmentillä
. Siten joukko antijohdannaisia F(x) voidaan kirjoittaa nimellä 
, missä KANSSA on mielivaltainen vakio.
, siis,. Käytämme tätä tulosta laskennassa F(b): , tuo on 
. Tämä yhtäläisyys antaa todistettavan Newton-Leibnizin kaavan .
. Tätä merkintää käyttämällä Newton-Leibnizin kaava saa muodon 
.
. Otetaan primitiivi C=0: .
.Suorakulmainen S.K. Funktio, määritelty parametrisesti Polyarnaya S.K.
Tasokuvioiden pinta-alan laskeminen
Tasokäyrän kaaren pituuden laskeminen
Vallankumouksen pinta-alan laskeminen
ei ole differentiaaliyhtälö.
voidaan pitää matemaattisen heilurin epälineaarisen yhtälön approksimaationa 
kun kyseessä ovat pienet amplitudit, milloin y≈ synti y.
missä m- kehomassa, x- sen koordinaatti, F(x, t) on voima, joka vaikuttaa kehoon koordinaatilla x tällä hetkellä t. Sen ratkaisu on kehon liikerata määritellyn voiman vaikutuksesta.
Etsimme derivaatan ja rinnastamme sen nollaan:
Käytämme saatuja muuttujien arvoja koordinaattiviivalle ja laskemme derivaatan etumerkin jokaiselle intervalleille. No, esimerkiksi ensimmäiselle otolle-2
, niin derivaatta on-0,24
, toiselle otolle0
, niin derivaatta on2
, ja kolmannen otamme2
, niin derivaatta on-0,24. Laitoimme asianmukaiset merkit.