आयताकार आकार का परिमाप कैसे ज्ञात करें। एक परिधि क्या है? परिधि का पता कैसे लगाएं? एक आयत का क्षेत्रफल कितना होता है

आज हम बात करेंगे कि कैसे कैलकुलेट किया जाता है बहुभुज परिधि. लेकिन पहले, आइए आंकड़ों की विविधता के बारे में बात करते हैं। तस्वीर पर देखो। हम यहां क्या आंकड़े देखते हैं? यह एक आयत और एक वर्ग है - बहुभुज जिसमें चार भुजाएँ होती हैं, साथ ही तीन भुजाओं वाला एक त्रिभुज और पाँच भुजाओं वाला एक पंचकोण होता है।

और इन आकृतियों का परिमाप कैसे ज्ञात करें?

एक बहुभुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए, उसकी सभी भुजाओं की लंबाइयाँ जोड़ें।.

परिधि पूंजीकृत है। लैटिन अक्षरआर ।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

बहुभुज O के परिमाप की गणना करें। जैसा कि हमने पहले कहा, बहुभुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग होता है। आइए हमारे बहुभुज के सभी पक्षों को जोड़ें:

पी \u003d 15 + 17 + 10 + 10 + 20 + 15 \u003d 87

लेकिन आप गुणा का उपयोग करके परिधि की गणना दूसरे तरीके से कर सकते हैं। हम देखते हैं कि बहुभुज की कुछ भुजाएँ समान हैं। हमारे पास 15 पारंपरिक इकाइयों के दो पक्ष हैं और 10 के दो और हैं। आइए व्यंजक लिखें:

पी \u003d 15 × 2 + 10 × 2 + 17 + 20 \u003d 87

अब बात करते हैं कुछ बहुभुजों के परिमाप की गणना की विशेषताओं के बारे में।

आयत एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, ए और बी के साथ ए की गणना करने के लिए, आपको इन पक्षों को जोड़ना होगा और परिणाम को 2 से गुणा करना होगा:

पी(आयत) = (ए + बी) × 2

अर्थात्, यदि आयत की भुजा a \u003d 5 सेमी, और आयत की भुजा b \u003d 3 सेमी, तो आयत की परिधि होगी:

पी \u003d (5 + 3) × 2 \u003d 16 सेमी

लेकिन एक आयत की अज्ञात भुजाएँ कैसे ज्ञात की जाएँ यदि उसका परिमाप और केवल एक भुजा ज्ञात हो?

P(आयत) = 2 × a + 2 × b

ए \u003d (पी - 2 × बी) 2 या बी \u003d (पी - 2 × ए) 2

उदाहरण: एक आयत का परिमाप 16 सेमी, भुजा a = 5 सेमी है। आयत की अन्य भुजाएँ क्या हैं?

यदि हम किसी आयत की एक भुजा जानते हैं, तो चार भुजाओं में से दो भुजाओं की लंबाई हमें ज्ञात होती है। आइए अन्य दो पक्षों को खोजें। यही है, हम एक पाते हैं, और दूसरा इसके बराबर होगा।

साइड बी \u003d (16 - 2 × 5) ÷ 2 \u003d 3 सेमी

उत्तर: एक आयत की दो भुजाएँ 5 सेमी और दो भुजाएँ 3 सेमी हैं।

एक वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं। गणना करने के लिए, आपको एक तरफ की लंबाई को 4 से गुणा करना होगा:

पी (वर्ग) = ए × 4

उदाहरण के लिए, वर्ग B की भुजा a = 5 सेमी है। इसका परिमाप ज्ञात करने के लिए:

पी (बी) \u003d 5 × 4 \u003d 20 सेमी

और यदि किसी वर्ग का परिमाप ज्ञात हो तो उसकी भुजाओं की लम्बाई कैसे ज्ञात करें? बहुत सरलता से, आपको इसकी परिधि को चार में विभाजित करने की आवश्यकता है:

ए = पी ÷ 4

उदाहरण: एक वर्ग का परिमाप 24 सेमी है, उसकी भुजाएं क्या हैं?

ए = 24 ÷ 4 = 6

उत्तर: एक वर्ग की भुजाएँ 6 सेमी.

एक वर्ग के परिमाप की गणना करने की समानता में, सभी का परिमाप समबाहु बहुभुज. अर्थात्, यह भुजाओं की संख्या से गुणा करके इसकी एक भुजा की लंबाई के बराबर होती है।

यदि बहुभुज की एक भुजा की लंबाई a है, और इसकी भुजाओं की संख्या n है, तो इसका परिमाप किसके बराबर होगा:

P(समबाहु बहुभुज) = a × n

उदाहरण के लिए, एक पंचभुज D की भुजा a = 6 सेमी है। आइए इसका परिमाप ज्ञात करें:

आर (डी) \u003d 6 × 5 \u003d 30 सेमी

ठीक है, यदि एक समबाहु बहुभुज की परिधि ज्ञात है, तो इसकी भुजाओं की लंबाई की गणना करना बहुत सरल है, आपको इसकी परिधि को भुजाओं की संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "एक आयत की परिधि और क्षेत्रफल"

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एक आयत और एक वर्ग क्या है

आयतसभी समकोणों वाला एक चतुर्भुज है। तो विपरीत पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं।

वर्गसमान भुजाओं और कोणों वाला एक आयत है। इसे नियमित चतुर्भुज कहते हैं।

चतुर्भुज, जिसमें आयत और वर्ग शामिल हैं, को 4 अक्षरों - शीर्षों द्वारा दर्शाया जाता है। शीर्षकों को निर्दिष्ट करने के लिए लैटिन अक्षरों का उपयोग किया जाता है: ए बी सी डी...

उदाहरण।

यह इस तरह पढ़ता है: चतुर्भुज ABCD; वर्ग ईएफजीएच।

एक आयत का परिमाप क्या है? परिधि की गणना के लिए सूत्र

एक आयत का परिमापआयत के सभी पक्षों की लंबाई का योग है, या लंबाई और चौड़ाई का योग 2 से गुणा किया जाता है।

परिधि को लैटिन अक्षर . द्वारा दर्शाया गया है पी. चूंकि परिधि आयत के सभी पक्षों की लंबाई है, इसलिए परिधि लंबाई की इकाइयों में लिखी जाती है: मिमी, सेमी, मी, डीएम, किमी।

उदाहरण के लिए, एक आयत ABCD के परिमाप को इस प्रकार दर्शाया गया है पी ABCD, जहाँ A, B, C, D आयत के शीर्ष हैं।

आइए चतुर्भुज ABCD की परिधि के लिए सूत्र लिखें:

पी एबीसीडी = एबी + बीसी + सीडी + एडी = 2 * एबी + 2 * बीसी = 2 * (एबी + बीसी)

उदाहरण।
एक आयत ABCD जिसकी भुजाएँ दी गई हैं: AB=CD=5 सेमी और AD=BC=3 सेमी।
आइए P ABCD को परिभाषित करें।

समाधान:
1. आइए आरंभिक आंकड़ों के साथ एक आयत ABCD बनाएं।
2. आइए इस आयत की परिधि की गणना के लिए एक सूत्र लिखें:

पीएबीसीडी = 2 * (एबी + बीसी)

पी ABCD=2*(5cm+3cm)=2*8cm=16cm

उत्तर: पी एबीसीडी = 16 सेमी।

एक वर्ग की परिधि की गणना के लिए सूत्र

हमारे पास एक आयत का परिमाप ज्ञात करने का एक सूत्र है।

पीएबीसीडी=2*(एबी+बीसी)

आइए इसका उपयोग एक वर्ग का परिमाप ज्ञात करने के लिए करते हैं। यह देखते हुए कि वर्ग की सभी भुजाएँ समान हैं, हम प्राप्त करते हैं:

पीएबीसीडी = 4 * एबी

उदाहरण।
एक वर्ग ABCD दिया है जिसकी भुजा 6 सेमी है। वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए।

समाधान।
1. मूल आँकड़ों के साथ एक वर्ग ABCD खींचिए।

2. एक वर्ग के परिमाप की गणना के सूत्र को याद करें:

पीएबीसीडी = 4 * एबी

3. हमारे डेटा को सूत्र में बदलें:

पी ABCD=4*6cm=24cm

उत्तर: पी एबीसीडी = 24 सेमी।

एक आयत का परिमाप ज्ञात करने में समस्या

1. आयतों की चौड़ाई और लंबाई मापें। उनकी परिधि निर्धारित करें।

2. 4 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाला एक आयत ABCD खींचिए। आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए।

3. 5 सेमी भुजा वाला एक सीईओएम वर्ग खींचिए। वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए।

आयत की परिधि की गणना का उपयोग कहाँ किया जाता है?

1. भूमि का एक टुकड़ा दिया जाता है, इसे एक बाड़ से घिरा होना चाहिए। बाड़ कब तक होगी?

इस कार्य में, साइट की परिधि की सटीक गणना करना आवश्यक है ताकि बाड़ के निर्माण के लिए अतिरिक्त सामग्री न खरीदें।

2. माता-पिता ने बच्चों के कमरे में मरम्मत करने का फैसला किया। वॉलपेपर की संख्या की सही गणना करने के लिए आपको कमरे की परिधि और उसके क्षेत्र को जानना होगा।
आप जिस कमरे में रहते हैं उसकी लंबाई और चौड़ाई निर्धारित करें। अपने कमरे की परिधि निर्धारित करें।

एक आयत का क्षेत्रफल कितना होता है?

वर्ग- यह आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता है। क्षेत्रफल को लंबाई की वर्ग इकाइयों में मापा जाता है: सेमी 2, मी 2, डीएम 2, आदि। (सेंटीमीटर वर्ग, मीटर वर्ग, डेसीमीटर वर्ग, आदि)
गणना में, इसे लैटिन अक्षर . द्वारा दर्शाया जाता है एस.

एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आयत की लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें।
आयत के क्षेत्रफल की गणना AK की लंबाई को KM की चौड़ाई से गुणा करके की जाती है। आइए इसे एक सूत्र के रूप में लिखें।

एस AKMO=AK*KM

उदाहरण।
आयत AKMO का क्षेत्रफल क्या है यदि इसकी भुजाएँ 7 सेमी और 2 सेमी हैं?

एसएकेएमओ \u003d एके * केएम \u003d 7 सेमी * 2 सेमी \u003d 14 सेमी 2.

उत्तर: 14 सेमी 2.

एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र

एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा को स्वयं से गुणा करके निर्धारित किया जा सकता है।

उदाहरण।
इस उदाहरण में, वर्ग के क्षेत्रफल की गणना भुजा AB को चौड़ाई BC से गुणा करके की जाती है, लेकिन चूंकि वे बराबर हैं, भुजा AB को AB से गुणा किया जाता है।

एसएबीसीओ = एबी * बीसी = एबी * एबी

उदाहरण।
8 सेमी भुजा वाले वर्ग AKMO का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एसएकेएमओ = एके * केएम = 8 सेमी * 8 सेमी = 64 सेमी 2

उत्तर : 64 सेमी 2.

एक आयत और एक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्या

1. 20 मिमी और 60 मिमी की भुजाओं वाला एक आयत दिया गया है। इसके क्षेत्रफल की गणना कीजिए। अपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में लिखें।

2. एक उपनगरीय क्षेत्र को 20 मीटर गुणा 30 मीटर के आकार के साथ खरीदा गया था। क्षेत्र का निर्धारण करें उपनगरीय क्षेत्रअपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में लिखें।

कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक आयत की परिधि को खोजने की क्षमता बहुत महत्वपूर्ण है। नीचे विभिन्न आयतों का परिमाप ज्ञात करने के बारे में विस्तृत निर्देश दिया गया है।

एक नियमित आयत का परिमाप कैसे ज्ञात करें

एक नियमित आयत एक चतुर्भुज होता है जिसकी समानांतर भुजाएँ समान होती हैं और सभी कोण = 90º होते हैं। इसकी परिधि ज्ञात करने के 2 तरीके हैं:

सभी पक्षों को जोड़ें।

आयत की परिधि की गणना करें, यदि इसकी चौड़ाई 3 सेमी है, और इसकी लंबाई 6 है।

समाधान (कार्यों और तर्कों का क्रम):

• चूँकि हम आयत की चौड़ाई और लंबाई जानते हैं, इसलिए इसका परिमाप ज्ञात करना कठिन नहीं है। चौड़ाई चौड़ाई के समानांतर है, और लंबाई लंबाई है। इस प्रकार, एक नियमित आयत में, 2 चौड़ाई और 2 लंबाई होती है।
• सभी पक्षों को जोड़ें (3 + 3 + 6 + 6) = 18 सेमी।

उत्तर: पी = 18 सेमी।

दूसरा तरीका इस प्रकार है:

आपको चौड़ाई और लंबाई जोड़ने और 2 से गुणा करने की आवश्यकता है। इस विधि का सूत्र इस प्रकार है: 2 × (a + b), जहाँ a चौड़ाई है, b लंबाई है।

इस कार्य के भाग के रूप में, हमें निम्नलिखित समाधान मिलते हैं:

2x(3 + 6) = 2x9 = 18.

उत्तर: पी = 18।

एक आयत का परिमाप कैसे ज्ञात करें - वर्ग

एक वर्ग एक नियमित चतुर्भुज है। सही है क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर हैं। इसकी परिधि ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

• इसके सभी पक्षों को जोड़ें।
• इसकी भुजा को 4 से गुणा करें।

उदाहरण: एक वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि उसकी भुजा = 5 सेमी.

चूँकि हम वर्ग की भुजा जानते हैं, इसलिए हम इसका परिमाप ज्ञात कर सकते हैं।

सभी पक्षों को जोड़ें: 5 + 5 + 5 + 5 = 20।

उत्तर: पी = 20 सेमी।

वर्ग की भुजा को 4 से गुणा करें (क्योंकि सभी बराबर हैं): 4x5 = 20.

उत्तर: पी = 20 सेमी।

एक आयत का परिमाप कैसे ज्ञात करें - ऑनलाइन संसाधन

जबकि उपरोक्त चरणों को समझना और मास्टर करना आसान है, कई ऑनलाइन कैलकुलेटर हैं जो आपको विभिन्न आकृतियों के परिधि (क्षेत्र, आयतन) की गणना करने में मदद कर सकते हैं। बस आवश्यक मान टाइप करें और मिनी-प्रोग्राम आपके लिए आवश्यक आकार की परिधि की गणना करेगा। नीचे एक छोटी सूची है।

परिमापबहुभुज के सभी पक्षों की लंबाई का योग है।

• परिधि की गणना करने के लिए ज्यामितीय आकारविशेष सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जहां परिधि को "पी" अक्षर से दर्शाया जाता है। यह जानने के लिए कि आप किसकी परिधि का पता लगा रहे हैं, "P" चिह्न के नीचे आकृति का नाम छोटे अक्षरों में लिखने की अनुशंसा की जाती है।
• परिधि को लंबाई की इकाइयों में मापा जाता है: मिमी, सेमी, मी, किमी, आदि।

आयत की विशिष्ट विशेषताएं

• एक आयत एक चतुर्भुज है।
• सभी समानांतर भुजाएँ समान हैं
• सभी कोण = 90º।
• उदाहरण के लिए, में दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगीएक आयत एक किताब, मॉनिटर, टेबल कवर या दरवाजे के रूप में पाया जा सकता है।

आयत की परिधि की गणना कैसे करें

इसे खोजने के 2 तरीके हैं:

• 1 रास्ता।सभी पक्षों को जोड़ें। पी = ए + ए + बी + बी
• 2 रास्ते।चौड़ाई और लंबाई जोड़ें, और 2 से गुणा करें। पी = (ए + बी) 2.या पी \u003d 2 ए + 2 बी।एक आयत की भुजाएँ जो एक दूसरे के विपरीत (विपरीत) होती हैं, लंबाई और चौड़ाई कहलाती हैं।

"ए"- आयत की लंबाई, उसकी भुजाओं का लंबा जोड़ा।

"बी"- आयत की चौड़ाई, उसकी भुजाओं का छोटा जोड़ा।

एक आयत के परिमाप की गणना के लिए समस्या का एक उदाहरण:

एक आयत का परिमाप परिकलित कीजिए, यदि उसकी चौड़ाई 3 सेमी और लंबाई 6 है।

आयत की परिधि की गणना के लिए सूत्रों को याद करें!

अर्द्धपरिधिएक लंबाई और एक चौड़ाई का योग है .

• एक आयत का अर्ध परिमाप -जब आप कोष्ठक में पहली क्रिया करते हैं - (ए+बी).
• अर्ध-परिधि से परिधि प्राप्त करने के लिए, आपको इसे 2 गुना बढ़ाना होगा, अर्थात। 2 से गुणा करें।

आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

आयत क्षेत्र सूत्र एस=ए*बी

यदि स्थिति में एक भुजा की लंबाई और विकर्ण की लंबाई ज्ञात हो, तो ऐसी समस्याओं में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है, यह आपको भुजा की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है सही त्रिकोणयदि अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो।

• : ए 2 + बी 2 = सी 2, जहाँ a और b त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और c कर्ण है, जो सबसे लंबी भुजा है।

याद रखना!

1. सभी वर्ग आयत हैं, लेकिन सभी आयत वर्ग नहीं हैं। चूंकि:
   • आयतसभी समकोणों वाला एक चतुर्भुज है।
   • वर्गएक आयत जिसकी सभी भुजाएँ समान हों।
2. यदि आप क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं, तो उत्तर हमेशा वर्ग इकाइयों (मिमी 2, सेमी 2, मी 2, किमी 2, आदि) में होगा।

ज्यामिति, अगर मैं गलत नहीं हूँ, मेरे समय में पाँचवीं कक्षा से अध्ययन किया गया था और परिधि प्रमुख अवधारणाओं में से एक थी और है। इसलिए, परिधि सभी पक्षों की लंबाई का योग है (लैटिन अक्षर P द्वारा निरूपित). सामान्य तौर पर, इस शब्द की व्याख्या अलग-अलग तरीकों से की जाती है, उदाहरण के लिए,

• आकृति की सीमा की कुल लंबाई,
• इसके सभी पक्षों की लंबाई,
• इसके चेहरों की लंबाई का योग,
• बाउंडिंग लाइन की लंबाई,
• बहुभुज के सभी पक्षों की लंबाई का योग

परिधि निर्धारित करने के लिए विभिन्न आकृतियों के अपने सूत्र होते हैं। स्वयं अर्थ को समझने के लिए, मैं कुछ सरल सूत्रों को स्वतंत्र रूप से निकालने का प्रस्ताव करता हूं:

1. एक वर्ग के लिए
2. एक आयत के लिए
3. समांतर चतुर्भुज के लिए
4. घन के लिए
5. एक बॉक्स के लिए

एक वर्ग का परिमाप

उदाहरण के लिए, आइए सबसे सरल - एक वर्ग की परिधि लें।

एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं। चलो एक पक्ष को "ए" (साथ ही अन्य तीन) कहा जाता है, फिर

पी = ए + ए + ए + ए

या अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन

एक आयत का परिमाप

आइए कार्य को जटिल करें और एक आयत लें। इस स्थिति में, यह कहना संभव नहीं है कि सभी भुजाएँ समान हैं, इसलिए आयत की भुजाओं की लंबाई a और b के बराबर होने दें।

तब सूत्र इस तरह दिखेगा:

पी = ए + बी + ए + बी

समांतर चतुर्भुज परिधि

एक समान स्थिति समांतर चतुर्भुज के साथ होगी (आयत की परिधि देखें)

घन परिधि

अगर हम त्रि-आयामी आकृति के साथ काम कर रहे हैं तो क्या करें? उदाहरण के लिए, एक घन लें। एक घन की 12 भुजाएँ होती हैं और वे सभी बराबर होती हैं। तदनुसार, घन की परिधि की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

बॉक्स की परिधि

खैर, सामग्री को ठीक करने के लिए, हम समानांतर चतुर्भुज की परिधि की गणना करते हैं। यहां थोड़ा सोचने की जरूरत है। चलो इसे एक साथ करते हैं। जैसा कि हम जानते हैं, घनाभएक आकृति है जिसकी भुजाएँ आयत हैं। प्रत्येक समानांतर चतुर्भुज के दो आधार होते हैं। आइए आधारों में से एक लें और इसके पक्षों को देखें - उनकी लंबाई ए और बी है। तदनुसार, आधार का परिमाप P = 2a + 2b है। तब दोनों आधारों का परिमाप है

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

लेकिन हमारे पास "सी" पक्ष भी है। तो समानांतर चतुर्भुज की परिधि की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

पी = 4ए + 4बी + 4सी

जैसा कि आप ऊपर दिए गए उदाहरणों से देख सकते हैं, किसी आकृति की परिधि को निर्धारित करने के लिए केवल प्रत्येक पक्ष की लंबाई का पता लगाना है, और फिर उन्हें जोड़ना है।

अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि प्रत्येक आकृति का परिमाप नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक गोले की कोई परिधि नहीं होती है।