समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड। समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड पाठ सारांश समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड
पाठ मकसद:
शिक्षात्मक:
1. आनुपातिक खंडों को जोड़ने वाले संबंधों की स्वतंत्र व्युत्पत्ति के लिए स्थितियां बनाएं सही त्रिकोण.
- समस्याओं को हल करने में अर्जित ज्ञान का समेकन सुनिश्चित करें।
विकसित होना:
1. कार्यों के निष्पादन में स्वतंत्रता का विकास सुनिश्चित करना।
शिक्षात्मक :
1. माइक्रोग्रुप में संचार की संस्कृति को बढ़ावा देना।
- निर्णय लेने और उनकी जिम्मेदारी लेने की क्षमता विकसित करें।
कक्षाओं के दौरान।
- आयोजन का समय।
दोस्तों, सुनो, क्या सन्नाटा है!
इसकी शुरुआत स्कूल में हुई।
हम समय बर्बाद नहीं करेंगे
और चलो सब काम पर लग जाओ।
हम यहां पढ़ने आए थे
आलसी मत बनो, लेकिन मेहनत करो।
हम लगन से काम करते हैं
हम ध्यान से सुनते हैं।
- सबक प्रेरणा।
प्रिय मित्रों!
मुझे आशा है कि यह पाठ सभी के लिए बड़े लाभ के साथ दिलचस्प होगा। मैं वास्तव में चाहता हूं कि जो लोग अभी भी सभी विज्ञानों की रानी के प्रति उदासीन हैं, वे हमारे पाठ को इस गहरे विश्वास के साथ छोड़ दें कि ज्यामिति एक दिलचस्प और आवश्यक विषय है।
उन्नीसवीं सदी के फ्रांसीसी लेखक अनातोले फ्रांस ने एक बार टिप्पणी की थी: "सीखना केवल मजेदार हो सकता है ... ज्ञान को पचाने के लिए, आपको इसे भूख से अवशोषित करना होगा।"
आइए आज के पाठ में लेखक की सलाह का पालन करें: सक्रिय रहें, चौकस रहें, बड़ी इच्छा के साथ उस ज्ञान को आत्मसात करें जो जीवन में बाद में आपके लिए उपयोगी होगा।
3. ज्ञान को अद्यतन करना। डी / जेड की जाँच।
फ्रंट पोल:
- दो खंडों का अनुपात क्या है
- किस स्थिति में यह कहा गया है कि खंड AB और SD खंड A 1 B 1 और C 1 D 1 . के समानुपाती हैं
- समरूप त्रिभुजों को परिभाषित करें
- त्रिभुजों की समानता का पहला चिन्ह कैसे पढ़ें
- त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिन्ह कैसे पढ़ें
- त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह कैसे पढ़ें
- क्या आंकड़े समान कहलाते हैं। समानता गुणांक क्या है?
- सही त्रिकोण। पैर। कर्ण।
हल संख्या 570 (मौखिक रूप से), 573 (1) (लिखित में)।
- नई सामग्री सीखना।
समस्याओं को हल करते समय, हम अक्सर न्यूनकोण और अधिक कोण वाले त्रिभुजों पर विचार करते हैं। एक समकोण त्रिभुज के तत्व एक दूसरे से थोड़े अलग तरीके से जुड़े होते हैं। ड्राइंग पर विचार करें।
समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंडों के गुण:
1) एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और इस पैर के कर्ण पर प्रक्षेपण के बीच आनुपातिक है;
2) समकोण के शीर्ष से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, कर्ण पर टाँगों के अनुमानों के बीच औसत आनुपातिक है।
इतिहास संदर्भ।प्राचीन रूस में व्यावहारिक ज्यामिति के विकास पर।
पहले से ही XVI सदी में। भूमि सर्वेक्षण, निर्माण और सैन्य मामलों की जरूरतों के कारण ज्यामितीय सामग्री के हस्तलिखित मैनुअल का निर्माण हुआ। इस तरह का पहला काम जो हमारे पास आया है, उसे "ऑन द अर्थली लेआउट, हाउ टू लेआउट द अर्थ" कहा जाता है। यह बुक ऑफ सोश लेटर्स का हिस्सा है, जिसके बारे में माना जाता है कि इसे 1556 में इवान IV के तहत लिखा गया था। जीवित प्रतिलिपि 1629 की है।
1775 में मॉस्को में शस्त्रागार कक्ष के विश्लेषण के दौरान, एक निर्देश "सैन्य, तोप का चार्टर और" से संबंधित अन्य मामलों में पाया गया था। सैन्य विज्ञान”, 1607 और 1621 में प्रकाशित हुआ और इसमें कुछ ज्यामितीय जानकारी शामिल है, जिसे दूरियों को खोजने की समस्याओं को हल करने के लिए कुछ तरीकों तक सीमित कर दिया गया है। यहाँ एक उदाहरण है।
बिंदु I से बिंदु B तक की दूरी को मापने के लिए (आकृति देखें) एक व्यक्ति की ऊंचाई के बारे में बिंदु I पर एक रॉड चलाने की सिफारिश की जाती है। वर्ग के दाहिने कोण का शीर्ष छड़ी सी के ऊपरी छोर से जुड़ा हुआ है ताकि पैरों में से एक (या इसकी निरंतरता) बिंदु बी से गुजर सके। दूसरे पैर के चौराहे के बिंदु 3 (या इसकी निरंतरता) के साथ जमीन अंकित है। फिर बीजे की दूरी क्यूवाई की छड़ी की लंबाई से उसी तरह संबंधित होती है जैसे छड़ी की लंबाई वाईए की दूरी से होती है। गणना और माप की सुविधा के लिए, छड़ी को 1000 बराबर भागों में विभाजित किया गया था।
- नई सामग्री का समेकन।
लिखित संख्या 610, 600, 604(1), 607(2), 620 में मौखिक रूप से संख्या 601 तय करें।
- आँखों के लिए फ़िज़मिनुत्का।
अपना सिर घुमाए बिना, कक्षा की दीवार के चारों ओर परिधि के चारों ओर दक्षिणावर्त देखें, परिधि के चारों ओर चॉकबोर्ड वामावर्त, स्टैंड पर दर्शाए गए त्रिभुज को दक्षिणावर्त और उसके बराबर त्रिभुज वामावर्त देखें। अपने सिर को बाईं ओर मोड़ें और क्षितिज रेखा को देखें, और अब अपनी नाक की नोक पर। अपनी आँखें बंद करें, 5 तक गिनें, अपनी आँखें खोलें और...
हमने अपनी आँखों पर हाथ रखा,
आइए अपने पैरों को मजबूत करें।
दायीं ओर मुड़ना
चलो राजसी देखो।
और बाईं ओर भी
हथेलियों के नीचे से देखें।
और - दाईं ओर! और आगे
बाएं कंधे के ऊपर!
और अब हम काम करना जारी रखेंगे।
- स्वतंत्र काम।
जोड़ी कार्य: #604(2) हल करें (लिखित रूप में)
8. पाठ के परिणाम। प्रतिबिंब।
- आपको पाठ के बारे में सबसे ज्यादा क्या याद है?
- क्या आश्चर्य?
- आपने सबसे अधिक क्या पसंद किया?
- आप अगला पाठ कैसे देखना चाहेंगे?
गृहकार्य: आइटम 14 सीखें, संख्या 604(3), 607(3), 573(2) हल करें।
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स्लाइड कैप्शन:
समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड ज्यामिति ग्रेड 8
होम वर्क
1. समस्या 3, 5 ए बी सी एन एम 3 4 दिया गया: एमएन || एसी। खोजें: R∆ABC
A B C D M N P Q MNPQ एक समांतर चतुर्भुज है? 2. चुनौती
समकोण त्रिभुजों की समानता A B C A 1 B 1 C 1 यदि एक समकोण त्रिभुज का न्यून कोण दूसरे समकोण त्रिभुज के न्यून कोण के बराबर है, तो ऐसे समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं
माध्य आनुपातिक A B C D X Y खंड XY को खंडों AB और SD के लिए माध्य आनुपातिक (ज्यामितीय माध्य) कहा जाता है यदि
समस्याओं को हल करें: 1. क्या लंबाई 8 सेमी का एक खंड 16 सेमी और 4 सेमी की लंबाई वाले खंडों के बीच औसत आनुपातिक है? 2. क्या 9 सेमी लंबा एक खंड 15 सेमी और 6 सेमी लंबाई वाले खंडों के बीच औसत आनुपातिक है? 3. क्या सेमी की लंबाई वाला एक खंड 5 सेमी और 4 सेमी की लंबाई वाले खंडों के बीच औसत आनुपातिक है? हाँ नहीं हाँ
समकोण त्रिभुज में समानुपाती खंड A B C H समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उन खंडों के लिए औसत समानुपाती होती है जिनमें कर्ण को इस ऊँचाई से विभाजित किया जाता है
एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड A B C H 9 4 ? कार्य 1 ।
एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड A B C H 9 7 ? कार्य 2।
एक समकोण त्रिभुज में समानुपाती खंड A B C H एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के लिए समानुपाती होता है और इस पैर के कर्ण पर प्रक्षेपण होता है।
एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड A B C H 21 4 ? टास्क 3।
ए बी सी एन 20 30? टास्क 4।
होम वर्क
समस्या 5 2 हल करें? ? ? समस्या का समाधान 9 4 ? ? ? त्रिभुज को हल करें
ए बी सी एन 20 15? कार्य। एक त्रिभुज में जिसकी भुजाएँ 15, 20 और 25 हैं, ऊँचाई उसकी लंबी भुजा की ओर खींची जाती है। वे खंड ज्ञात कीजिए जिनमें ऊँचाई इस भुजा को विभाजित करती है 25
ए बी सी एन 20 15? कार्य 5. एक त्रिभुज में जिसकी भुजाएँ 15, 20 और 25 हैं, ऊँचाई उसकी लंबी भुजा की ओर खींची जाती है। वे खंड ज्ञात कीजिए जिनमें ऊँचाई इस भुजा को विभाजित करती है 25
समकोण त्रिभुजों की समानता का चिह्न
आइए पहले हम समकोण त्रिभुजों की समरूपता के चिह्न का परिचय दें।
प्रमेय 1
समकोण त्रिभुजों की समानता का चिह्न: दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं जब उनमें से प्रत्येक में एक समान न्यून कोण होता है (चित्र 1)।
चित्र 1. समान समकोण त्रिभुज
सबूत।
आइए हम दिया जाए कि $\angle B=\angle B_1$. चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$। इसलिए, वे त्रिभुजों की समानता के पहले चिन्ह के अनुसार समान हैं।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई प्रमेय
प्रमेय 2
समकोण के शीर्ष से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज को दो समरूप समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान होता है।
सबूत।
आइए हमें समकोण $C$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। ऊंचाई $CD$ बनाएं (चित्र 2)।
चित्र 2. प्रमेय 2 . का चित्रण
आइए हम सिद्ध करें कि त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ त्रिभुज $ABC$ के समान हैं और त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समान हैं।
चूँकि $\angle ADC=(90)^0$, त्रिभुज $ACD$ समकोण है। त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ का उभयनिष्ठ कोण $A$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समान हैं।
चूँकि $\angle BDC=(90)^0$, त्रिभुज $BCD$ समकोण है। त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ में उभयनिष्ठ कोण $B$ हैं, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ समान हैं।
अब त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ . पर विचार करें
\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]
इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
औसत आनुपातिक
प्रमेय 3
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, समकोण के शीर्ष से खींची गई, उन खंडों के लिए औसत समानुपाती होती है जिनमें ऊँचाई इस त्रिभुज के कर्ण को विभाजित करती है।
सबूत।
प्रमेय 2 से, हमारे पास यह है कि त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समान हैं, इसलिए
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 4
एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर के बीच संलग्न कर्ण के खंड और कोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई के बीच का औसत आनुपातिक है।
सबूत।
प्रमेय के प्रमाण में, हम चित्र 2 से संकेतन का उपयोग करेंगे।
प्रमेय 2 से, हमारे पास है कि त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समान हैं, इसलिए
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
अनुभाग: गणित
कक्षा: 8
पाठ प्रकार:संयुक्त।
उपदेशात्मक लक्ष्य:"औसत आनुपातिक" की अवधारणा को समझने और समझने के लिए स्थितियां बनाना, त्रिकोण की समानता के आधार पर आनुपातिक खंडों को खोजने की क्षमता में सुधार करना, विषय पर ज्ञान और कौशल के आत्मसात के स्तर की जाँच करना।
कार्य:
- एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं, कर्ण तक खींची गई ऊँचाई और कर्ण के खंडों के बीच एक पत्राचार स्थापित करें;
- औसत आनुपातिक की अवधारणा का परिचय दें;
- व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए अर्जित ज्ञान को लागू करने की क्षमता बनाने के लिए;
पाठ्य - सामग्री:पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 7-9" एल। एस। अतानासियन, प्रस्तुति "एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड।" परिशिष्ट 1 .
अपेक्षित परिणाम:
निजी
- ज्ञान और अज्ञान की सीमा निर्धारित करने की क्षमता।
- गणितीय रूप से विचारों को व्यक्त करने की क्षमता।
- गलत बयानों को पहचानने की क्षमता।
मेटासब्जेक्ट
- सीखने की समस्या को हल करने के लिए उनकी गतिविधियों की योजना बनाने की क्षमता।
- तार्किक तर्क की एक श्रृंखला बनाने की क्षमता।
- सूत्र के रूप में लिखे गए किसी तथ्य का मौखिक निरूपण देने की क्षमता।
विषय
- समरूप त्रिभुजों को खोजने और उनकी समानता साबित करने की क्षमता।
- एक समकोण त्रिभुज के पैरों को व्यक्त करने की क्षमता और कर्ण के खंडों के माध्यम से समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई।
- "माध्य आनुपातिक" की अवधारणा का उपयोग करके गणितीय संकेतन को पढ़ने की क्षमता।
पाठ रूपरेखा योजना।
1. संगठनात्मक क्षण. ध्यान का संगठन; स्वैच्छिक स्व-नियमन। (प्रत्येक छात्र को पाठ के लिए दो विकल्पों के लिए वर्कशीट दी जाती है)। अनुलग्नक 2 ,परिशिष्ट 3 .
2. दोहराव:आइए "समान त्रिभुज" विषय की बुनियादी जानकारी को दोहराएं स्लाइड 1
- समरूप त्रिभुजों को परिभाषित करें
- त्रिभुजों की समानता का पहला चिन्ह कैसे पढ़ें
- त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिन्ह कैसे पढ़ें
- त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह कैसे पढ़ें
- समानता गुणांक क्या है?
- सही त्रिकोण। पैर। कर्ण।
कथनों की सत्यता या असत्यता को स्थापित करने के लिए परीक्षण करें (उत्तर "हां" या "नहीं")। स्लाइड 2
- दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण समान हों और संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
- दो समबाहु त्रिभुज सदैव समरूप होते हैं।
- यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
- एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 3, 4, 6 सेमी है, दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ 9, 14, 18 सेमी हैं। क्या ये त्रिभुज समान हैं?
- समरूप त्रिभुजों के परिमाप समान होते हैं।
- यदि एक त्रिभुज के दो कोण 60° और 50° के बराबर हों और दूसरे त्रिभुज के दो कोण 50° और 80° के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।
- दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनमें से प्रत्येक का न्यून कोण समान हो।
- दो समद्विबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
- यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।
- यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों, तो ऐसे त्रिभुज समरूप होते हैं।
परीक्षण कुंजी: 1. हाँ; 2. हाँ; 3. हाँ; 4. नहीं; 5. नहीं; 6. नहीं; 7. हाँ; 8. नहीं; 9. हाँ; 10. नहीं।
परीक्षण सत्यापन का रूप पारस्परिक सत्यापन है। पाठ के लिए वर्कशीट में उत्तर और सत्यापन किया जाता है।
3. समूहों में सैद्धांतिक कार्य।वर्ग को तीन समूहों में बांटा गया है। प्रत्येक समूह को एक कार्य मिलता है। परिशिष्ट 4 .
समूह 1
- "बाएं" और "दाएं" दाएं त्रिकोण की समानता साबित करें।
- पैरों की आनुपातिकता रिकॉर्ड करें।
- ऊंचाई को अनुपात में व्यक्त करें।
समूह 2
एक समकोण त्रिभुज के पहले से तैयार चित्र के अनुसार (चित्र 1)
- "बाएं" और "बड़े" दाएं त्रिकोण की समानता साबित करें।
- अनुपात ईसा पूर्व से व्यक्त करें।
समूह #3
एक समकोण त्रिभुज के पहले से तैयार चित्र के अनुसार (चित्र 1)
- "दाएं" और "बड़े" समकोण त्रिभुजों की समानता सिद्ध करें।
- समान भुजाओं की आनुपातिकता लिखिए।
- एसी के अनुपात से व्यक्त करें।
बोर्ड पर पूर्व-निर्मित रेखाचित्रों के अनुसार और कापियों में इन कथनों के प्रमाण लिखिए। समूह के एक व्यक्ति को बोर्ड में बुलाया जाता है।
4. पाठ के विषय का निरूपण।तीनों टास्क में हमने कुछ रिश्ते बनाए। आप इन संबंधों में शामिल तत्वों का नाम कैसे दे सकते हैं? उत्तर: आनुपातिक खंड।आइए आनुपातिक खंडों को स्पष्ट करें ...? उत्तर: एक समकोण त्रिभुज में।तो, दोस्तों, हमारे पाठ का विषय? उत्तर: "एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड।"स्लाइड 3
5. सिद्ध कथनों का कथन
आगे बढ़ने से पहले, हम कुछ नई अवधारणाओं और अंकन का परिचय देते हैं।
दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य क्या है?
उत्तर: औसत अंकगणितीय संख्या m और n संख्या a है, जो m और n . की संख्या के आधे योग के बराबर है
m और n के समांतर माध्य का सूत्र लिखिए।
आइए दो संख्याओं के ज्यामितीय माध्य की परिभाषा तैयार करें: संख्या a को संख्याओं m और n के लिए ज्यामितीय माध्य (या माध्य आनुपातिक) कहा जाता है, यदि समानता स्लाइड 4
हम इन परिभाषाओं को समेकित करने के लिए कई अभ्यासों को हल करेंगे। स्लाइड 5
1. संख्याओं 3 और 12 के समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
2. औसत आनुपातिक (ज्यामितीय माध्य) खंडों MN और KP की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि MN = 9 सेमी, KP = 27 सेमी
आइए हम कर्ण पर पैर के प्रक्षेपण की अवधारणा का परिचय दें। स्लाइड 6.
अब, नई अवधारणाओं का उपयोग करते हुए, हम समूहों में कार्य के दौरान सिद्ध किए गए निष्कर्षों को तैयार करने का प्रयास करेंगे।
इस स्लाइड पर, यह कथन बनाने का प्रयास करें कि दूसरे और तीसरे समूह ने सिद्ध किया है। स्लाइड 7
इस कथन को नए संकेतन (कर्ण पर पैर के अनुमान) का उपयोग करके लिखें और फिर कर्ण पर पैर के प्रक्षेपण की परिभाषा का उपयोग करके इसे तैयार करें। स्लाइड 8
इस स्लाइड पर वह कथन तैयार करने का प्रयास करें जो तीसरे समूह के विद्यार्थियों ने सिद्ध किया। स्लाइड 9
इस कथन को नए संकेतन (कर्ण पर पैर के अनुमान) का उपयोग करके लिखें और फिर कर्ण पर पैर के प्रक्षेपण की परिभाषा का उपयोग करके इसे तैयार करें। स्लाइड 10
6. अध्ययन किए गए सूत्रों को समेकित करने के लिए ब्लिट्ज सर्वेक्षण।स्लाइड 11-12
- एक समकोण त्रिभुज ABC में, समकोण C के शीर्ष से एक ऊँचाई CD खींची गई है। एडी = 16, डीबी = 9. एसी, एबी, सीबी और सीडी खोजें। स्लाइड 11
- एक समकोण त्रिभुज ABC में, समकोण C के शीर्ष से एक ऊँचाई CD खींची गई है। एडी = 18, डीबी = 2. एसी, एबी, सीबी और सीडी खोजें। स्लाइड 12
- एक समकोण त्रिभुज ABC में, समकोण C के शीर्ष से एक ऊँचाई CH खींची गई है। एसए = 6, एएन = 2. एचबी खोजें। स्लाइड 13
सामग्री के प्राथमिक आत्मसात की जाँच के लिए परीक्षण
प्रस्तुतिकरण में, स्लाइड को व्युत्पन्न सूत्रों (स्लाइड 14) के साथ खोलें। कार्यपत्रकों पर एक परीक्षण मुद्रित किया जाता है: टेबलेट पर सही उत्तर लिखकर इसे पूरा करें। फिर प्रेजेंटेशन में तैयार उत्तरों पर आपसी सत्यापन (स्लाइड 15)।
होम वर्क
प्रत्येक छात्र को सूत्रों के साथ एक ज्ञापन और युक्तियों के साथ घरेलू कार्यों का पाठ दिया जाता है (प्रत्येक कार्य के चरणबद्ध कार्यान्वयन के लिए एक योजना) परिशिष्ट 5 .
9. परावर्तन
पाठ को सारांशित करें। कार्यपत्रक एकत्र करें और प्रत्येक छात्र को पाठ के लिए एक ग्रेड प्रदान करें।
साहित्य।
- http://gorkunova.ucoz.ru/ "समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड" विषय पर कार्यशाला के लिए हैंडआउट
- प्रस्तुति "एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड" सवचेंको ई.एम. Polyarnye Zori, मरमंस्क क्षेत्र।