अंकगणितीय आपरेशनस। कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन, उदाहरण, समाधान कॉलम द्वारा विभाजित करते समय रिकॉर्डिंग नियम
अनुभाग: गणित
कक्षा: 5
विषय:शेष के साथ विभाजन।
पाठ मकसद:
शेष के साथ विभाजन दोहराएं, शेष के साथ विभाजित करते समय लाभांश कैसे प्राप्त करें, इस पर एक नियम प्राप्त करें, और इसे एक शाब्दिक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें;
- ध्यान, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना;
- भाषण, दृढ़ता की संस्कृति को बढ़ावा देना।
कक्षाओं के दौरान
पाठ एक कंप्यूटर प्रस्तुति के साथ है। (अनुबंध)
मैं. आयोजन का समय
द्वितीय. मौखिक गणना। पाठ विषय संदेश
उदाहरणों को हल करने और तालिका में भरने के बाद, आप पाठ के विषय को पढ़ने में सक्षम होंगे।
डेस्क पर:
पाठ का विषय पढ़ें।
उन्होंने नोटबुक खोली, तारीख लिखी, पाठ का विषय। (स्लाइड 1)
तृतीय. पाठ के विषय पर काम करें
मौखिक रूप से निर्णय लें। (स्लाइड 2)
1. भाव पढ़ें:
30: 5
103: 10
34: 5
60: 7
47: 6
131: 11
42: 6
उन्हें किन दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है? लिखिए और उन्हें हल कीजिए जिनमें भाग शेषफल के साथ है।
2. चलो जांचते हैं। (स्लाइड 3)
कोई शेष नहीं: |
शेष के साथ: |
|
30: 5 |
103: 10 = 10 (बाकी 3) |
क्या आप मुझे बता सकते हैं कि आपने शेष के साथ भाग कैसे किया?
हमेशा एक प्राकृत संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य नहीं होती है। लेकिन आप हमेशा शेष के साथ विभाजन कर सकते हैं।
शेष से भाग देने का क्या अर्थ है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए समस्या का समाधान करें। ( स्लाइड 4)
4 पोते अपनी दादी से मिलने आए। दादी ने अपने पोते-पोतियों को मिठाई खिलाने का फैसला किया। फूलदान में 23 मिठाइयाँ थीं। यदि दादी समान रूप से कैंडी बांटने की पेशकश करती है तो प्रत्येक पोते को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी?
आइए तर्क करें।
दादी के पास कितनी मिठाइयाँ हैं? (23)
कितने पोते अपनी दादी से मिलने आए? (4)
कार्य की स्थिति के अनुसार क्या करने की आवश्यकता है? (कैंडी को समान रूप से विभाजित किया जाना चाहिए, 23 को 4 से विभाजित किया जाना चाहिए; 23 को शेष के साथ 4 से विभाजित किया जाता है; भागफल में यह 5 होगा, और शेष 3 होगा।)
प्रत्येक पोते को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी? (प्रत्येक पोते को 5 कैंडी मिलेगी, और 3 कैंडी फूलदान में रहेंगी।)
आइए समाधान लिखते हैं। (स्लाइड 5)
23: 4=5 (बाकी 3)
जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है उसका नाम क्या है? (विभाज्य।)
एक विभक्त क्या है? (संख्या जिससे भाग देना है।)
शेषफल के साथ विभाजन के परिणाम को क्या कहा जाता है? (अपूर्ण भागफल।)
हमारे समाधान में लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेष का नाम बताइए (23 भाज्य है, 4 भाजक है, 5 आंशिक भागफल है, 3 शेष है।)
दोस्तों, सोचिए और लिखिए कि भाजक 23 को कैसे ज्ञात किया जाए, भाजक, अपूर्ण भागफल और शेषफल ज्ञात हो?
चलो जांचते हैं।
दोस्तों, अगर भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल ज्ञात हो तो लाभांश कैसे ज्ञात करें, इस पर एक नियम बनाते हैं।
नियम। (स्लाइड 6)
लाभांश भाजक और अपूर्ण भागफल के गुणनफल के बराबर होता है, शेष के साथ जोड़ा जाता है।
ए = सूर्य + डी , ए - लाभांश, सी - भाजक, सी - आंशिक भागफल, डी - शेष।
जब शेष के साथ भाग किया जाता है, तो हमें क्या याद रखना चाहिए?
यह सही है, शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
और यदि शेषफल शून्य है, तो भाज्य बिना किसी शेषफल के भाजक द्वारा पूर्ण रूप से विभाज्य है।
चतुर्थ. अध्ययन सामग्री का समेकन
स्लाइड 7
लाभांश ज्ञात कीजिए यदि:
ए) आंशिक भागफल 7 है, शेष 3 है, और भाजक 6 है।
बी) अधूरा भागफल 11 है, शेष 1 है और भाजक 9 है।
सी) आंशिक भागफल 20 है, शेष 13 है, और भाजक 15 है।
वी. पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना
1.
किसी कार्य पर कार्य करना।
2.
किसी समस्या का समाधान तैयार करना।
№ 516 (छात्र ब्लैकबोर्ड पर समस्या हल करता है।)
20 x 10: 18 = 11 (बाकी 2)
उत्तर 18 किलो के 11 भाग 10 सिल्लियों से ढले जा सकते हैं, 2 किलो कच्चा लोहा बचेगा।
№ 519 (वर्कबुक, साथ। 52 # 1।)
स्लाइड 8, 9
पहला कार्य छात्र द्वारा ब्लैकबोर्ड पर किया जाता है। दूसरा और तीसरा - छात्र स्व-परीक्षा के साथ स्वतंत्र रूप से प्रदर्शन करते हैं।
हम मौखिक रूप से समस्याओं का समाधान करते हैं। (स्लाइड 10)
छठी. पाठ सारांश
आपकी कक्षा में 17 विद्यार्थी हैं। आप पंक्तिबद्ध थे। यह 5 छात्रों की कई पंक्तियाँ और एक अधूरी रेखा निकली। कितनी पूर्ण रेखाएँ निकलीं और कितने व्यक्ति अपूर्ण रेखा में हैं?
शारीरिक शिक्षा पाठ में आपकी कक्षा फिर से पंक्तिबद्ध थी। इस बार यह 4 समान पूर्ण लाइनें और एक अधूरी निकली? प्रत्येक पंक्ति में कितने लोग हैं? और अधूरे में?
हम सवालों के जवाब देते हैं:
क्या शेषफल भाजक से बड़ा हो सकता है? क्या शेषफल भाजक के बराबर हो सकता है?
अधूरे भागफल, भाजक और शेषफल से भाज्य कैसे ज्ञात करें?
5 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है? उदाहरण दो।
कैसे जांचें कि शेष के साथ विभाजन सही है या नहीं?
ओक्साना ने एक नंबर के बारे में सोचा। यदि इस संख्या को 7 गुना बढ़ा दिया जाए और उत्पाद में 17 जोड़ दिया जाए, तो यह 108 हो जाएगा। ओक्साना ने किस संख्या के बारे में सोचा था?
सातवीं. होम वर्क
आइटम 13, संख्या 537, 538, कार्यपुस्तिका, पी। 42, संख्या 4।
ग्रन्थसूची
1. गणित: प्रो. 5 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / एन.वाई.ए. विलेनकिन, वी.आई. झोखोव, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्जबर्ड। - 9वां संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम .: मेनमोज़िना, 2001. - 384 पी .: बीमार।
2. गणित। श्रेणी 5 कार्यपुस्तिका संख्या 1। प्राकृतिक संख्याएँ / वी.एन. रुडनित्सकाया। - 7 वां संस्करण। - एम .: मेनमोज़िना, 2008. - 87 पी .: बीमार।
3. चेसनोकोव ए.एस., नेशकोव के.आई. ग्रेड 5 के लिए गणित में उपदेशात्मक सामग्री। - एम।: क्लासिक्स स्टाइल, 2007. - 144 पी .: बीमार।
अनुभाग: गणित
कक्षा: 6
पाठ मकसद:
1. शैक्षिक: पुनरावृत्ति, सामान्यीकरण और विषय पर ज्ञान का परीक्षण: "विभाज्यता" प्राकृतिक संख्याएं»; बुनियादी कौशल का विकास।
2. विकास करना: छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना।
3. शैक्षिक: एक पाठ के माध्यम से, एक दूसरे के प्रति चौकस रवैया पैदा करें, साथियों को सुनने की क्षमता, आपसी सहायता, स्वतंत्रता पैदा करें।
पाठ मकसद:
भाजक और गुणकों की अवधारणा को लागू करने की क्षमता बनाने के लिए; रचनात्मक गतिविधि के सोच और तत्वों को विकसित करना; विभाज्यता के संकेतों को सरलतम स्थितियों में लागू करना; GCD और LCM संख्याएँ ढूँढना, अवलोकन और तार्किक सोच विकसित करना।
पाठ प्रकार- संयुक्त।
पाठ प्रपत्र- कंप्यूटर सपोर्ट वाला एक सबक।
उपकरण:
1. बोर्ड और चाक।
2. कंप्यूटर और प्रोजेक्टर।
3. सभी कार्यों का पेपर संस्करण।
कक्षाओं के दौरान।
नंबर दुनिया पर राज करते हैं।
पाइथागोरस।
1. संगठनात्मक क्षण।
2. पाठ के उद्देश्य का संचार।
3. अद्यतन बुनियादी ज्ञान.
1. किसी संख्या का भाजक क्या कहलाता है ए?
2. किसी संख्या का गुणज क्या कहलाता है ए?
3. क्या कोई सबसे बड़ा गुणज है?
4. विभाज्यता के चिन्ह बनाइए?
5. कौन सी संख्याएँ अभाज्य कहलाती हैं और कौन सी संयुक्त हैं?
(पाइथागोरस के बारे में छात्र रिपोर्ट, एराटोस्थनीज के बारे में, यूक्लिड के बारे में)
ऐतिहासिक जानकारी:
| यूक्लिड - एक प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक (365 - 300 ईसा पूर्व)। इस महान वैज्ञानिक के जीवन के बारे में बहुत कम जानकारी है। वह सिकंदर महान द्वारा स्थापित एक शहर अलेक्जेंड्रिया में रहता था और काम करता था। यूक्लिड के नाम के साथ कई किंवदंतियां जुड़ी हुई हैं। उनमें से एक बताता है कि राजा टॉलेमी ने यूक्लिड से पूछा: "क्या ज्यामिति के ज्ञान का कोई छोटा रास्ता है?", जिस पर वैज्ञानिक ने उत्तर दिया: "ज्यामिति के लिए कोई शाही रास्ता नहीं है!"। यूक्लिड ने संख्या सिद्धांत का एक बहुत कुछ किया: यह वह था जिसने साबित किया था अभाज्य सँख्याअसीम रूप से कई। दो संख्याओं का GCD ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम को यूक्लिड का एल्गोरिथम कहा जाता है। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपनी पुस्तक "प्रिंसिपल्स" में, जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, ने साबित किया कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, अर्थात्। प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक अन्य अभाज्य संख्या होती है। |
| पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता का अध्ययन किया। वह संख्या जो उसके सभी भाजक के योग के बराबर हो (बिना स्वयं संख्या के), वे पूर्ण संख्या कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ हैं 496, 8128, 33550336 पाइथागोरस के लोग केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथी 8128 ईसा पूर्व पहली शताब्दी में ज्ञात हुई। पांचवी संख्या 33550336 15वीं शताब्दी में मिली थी। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन अब तक, वैज्ञानिक यह नहीं जान पाए हैं कि क्या कोई विषम पूर्ण संख्या होती है, क्या कोई सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है। अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि 1 से बड़ी कोई भी प्राकृत संख्या या तो अभाज्य संख्या होती है, या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में बनाई जा सकती है: 14 = 2∙ 7, 16 = 2∙2 2 2 प्रश्न उठता है: क्या अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या मौजूद है? |
समस्या: एक अभाज्य संख्या के बारे में सोचें। अगली प्राकृतिक संख्या भी अभाज्य है। हम किन नंबरों की बात कर रहे हैं?
उत्तर : 2.3.
6. कौन सी संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य कहलाती हैं?
7. समझाइए कि दो संख्याओं का GCD (LCC) कैसे ज्ञात किया जाता है।
(दो संख्याओं की GCD ज्ञात करने के बारे में विद्यार्थी का संदेश)
एक दिन, संख्या 24 और 60 ने तर्क दिया कि जीसीडी कैसे खोजा जाए। संख्या 24 में कहा गया है कि आपको पहले सभी भाजक के बीच सामान्य संख्या खोजने की जरूरत है, और फिर उनमें से सबसे बड़ी संख्या चुनें। और 60 नंबर ने विरोध किया:
- अच्छा, तुम क्या हो! मुझे यह तरीका पसंद नहीं है। मेरे पास बहुत सारे भाजक हैं, और उन्हें सूचीबद्ध करते समय, मैं कुछ को छोड़ सकता हूं। क्या होगा अगर यह सबसे बड़ा निकला? नहीं, मुझे यह तरीका पसंद नहीं है। और उन्होंने DELENCHESKII विज्ञान के मास्टर से मदद लेने का फैसला किया। और गुरु ने उन्हें उत्तर दिया:
- हां, 24, जीसीडी नंबर खोजने के आपके तरीके का इस्तेमाल किया जा सकता है, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। और आप NOD को दूसरे तरीके से ढूंढ सकते हैं।
24 और 60 को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करना आवश्यक है।
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
24 = 2³ 3
60 = 2² 3 ∙ 5
आपको छोटे घातांक वाली संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक लेने होंगे।
जीसीडी (24; 60) \u003d 2² 3 \u003d 12.
और दो नंबरों का एलसीएम खोजने के लिए आपको चाहिए:
- प्रमुख कारकों में विघटित;
- उन सभी अभाज्य गुणनखंडों को लिखिए जो पहली संख्या में और दूसरी संख्या में सबसे बड़े घातांक के साथ शामिल हैं।
माध्यम:
24 = 2³ 3 60 = 2² 3 5 एनओसी (24; 60) = 2³∙ 3 5 = 120।
प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन, विशेष रूप से बहु-मूल्यवान, एक विशेष विधि द्वारा आसानी से किया जाता है, जिसे कहा जाता है एक कॉलम द्वारा विभाजन (एक कॉलम में). आप नाम भी देख सकते हैं कोने का विभाजन. तुरंत, हम ध्यान दें कि कॉलम को शेष के बिना प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन और शेष के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन दोनों किया जा सकता है।
इस लेख में, हम समझेंगे कि कॉलम द्वारा विभाजन कैसे किया जाता है। यहां हम लेखन नियमों और सभी मध्यवर्ती गणनाओं के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, आइए हम एक बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्या के एक स्तंभ द्वारा एकल-अंकीय संख्या के विभाजन पर ध्यान दें। उसके बाद, हम उन मामलों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जहां लाभांश और भाजक दोनों बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याएं हैं। इस लेख के पूरे सिद्धांत को प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा समाधान और दृष्टांतों की विस्तृत व्याख्या के साथ विभाजन के विशिष्ट उदाहरणों के साथ प्रदान किया गया है।
पृष्ठ नेविगेशन।
कॉलम द्वारा विभाजित करते समय रिकॉर्डिंग के नियम
आइए एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय लाभांश, भाजक, सभी मध्यवर्ती गणनाओं और परिणामों को लिखने के नियमों का अध्ययन करके शुरू करें। मान लीजिए कि एक चेकर लाइन के साथ कागज पर लिखित रूप में एक कॉलम में विभाजित करना सबसे सुविधाजनक है - इसलिए वांछित पंक्ति और कॉलम से भटकने की संभावना कम है।
सबसे पहले, भाजक और भाजक को एक पंक्ति में बाएं से दाएं लिखा जाता है, जिसके बाद लिखित संख्याओं के बीच प्रपत्र का एक प्रतीक प्रदर्शित होता है। उदाहरण के लिए, यदि लाभांश संख्या 6 105 है, और भाजक 5 5 है, तो एक कॉलम में विभाजित होने पर उनका सही संकेतन होगा:
निम्नलिखित आरेख को देखें, जो एक कॉलम से विभाजित करते समय लाभांश, भाजक, भागफल, शेष और मध्यवर्ती गणना लिखने के स्थानों को दिखाता है।
उपरोक्त आरेख से यह देखा जा सकता है कि वांछित भागफल (या शेष के साथ विभाजित होने पर अधूरा भागफल) क्षैतिज रेखा के नीचे भाजक के नीचे लिखा जाएगा। और मध्यवर्ती गणना लाभांश के नीचे की जाएगी, और आपको पहले से पृष्ठ पर स्थान की उपलब्धता का ध्यान रखना होगा। इस मामले में, किसी को नियम द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए: लाभांश और भाजक की प्रविष्टियों में वर्णों की संख्या में जितना अधिक अंतर होगा, उतनी ही अधिक जगह की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, जब एक प्राकृतिक संख्या 614,808 को 51,234 से एक कॉलम से विभाजित किया जाता है (614,808 एक छह अंकों की संख्या है, 51,234 एक पांच अंकों की संख्या है, अभिलेखों में वर्णों की संख्या में अंतर 6−5 =1) है, मध्यवर्ती गणनाओं को संख्याओं 8 058 और 4 को विभाजित करने की तुलना में कम स्थान की आवश्यकता होगी (यहां वर्णों की संख्या में अंतर 4−1=3 है)। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम इन प्राकृतिक संख्याओं के एक कॉलम द्वारा विभाजन के पूर्ण रिकॉर्ड प्रस्तुत करते हैं:
अब आप सीधे प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने की प्रक्रिया पर जा सकते हैं।
एक प्राकृतिक संख्या के एक स्तंभ द्वारा एक एकल-अंकों की प्राकृतिक संख्या से विभाजन, एक स्तंभ द्वारा विभाजन एल्गोरिथ्म
यह स्पष्ट है कि एक अंक वाली प्राकृत संख्या को दूसरे से विभाजित करना काफी सरल है, और इन संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने का कोई कारण नहीं है। हालांकि, इन सरल उदाहरणों पर एक कॉलम द्वारा विभाजन के प्रारंभिक कौशल का अभ्यास करना उपयोगी होगा।
उदाहरण।
आइए हमें कॉलम 8 को 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है।
समाधान।
बेशक, हम गुणन तालिका का उपयोग करके भाग कर सकते हैं, और तुरंत उत्तर 8:2=4 लिख सकते हैं।
लेकिन हम इस बात में रुचि रखते हैं कि इन नंबरों को एक कॉलम से कैसे विभाजित किया जाए।
सबसे पहले, हम विधि के अनुसार भाज्य 8 और भाजक 2 लिखते हैं:
अब हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि भाजक लाभांश में कितनी बार है। ऐसा करने के लिए, हम विभाजक को संख्याओं 0, 1, 2, 3, ... से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं जब तक कि परिणाम लाभांश के बराबर संख्या न हो (या लाभांश से अधिक संख्या, यदि शेष के साथ एक विभाजन है ) यदि हमें लाभांश के बराबर संख्या मिलती है, तो हम इसे तुरंत लाभांश के तहत लिखते हैं, और निजी के स्थान पर हम वह संख्या लिखते हैं जिससे हम भाजक को गुणा करते हैं। यदि हमें विभाज्य से बड़ी संख्या प्राप्त होती है, तो भाजक के नीचे हम अंतिम चरण पर गणना की गई संख्या लिखते हैं, और अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम वह संख्या लिखते हैं जिससे भाजक को अंतिम चरण में गुणा किया गया था।
आइए चलें: 2 0=0; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . हमें लाभांश के बराबर संख्या मिली है, इसलिए हम इसे लाभांश के तहत लिखते हैं, और निजी के स्थान पर हम संख्या 4 लिखते हैं। फिर रिकॉर्ड इस तरह दिखेगा:
एक अंक वाली प्राकृत संख्याओं को एक स्तंभ से विभाजित करने का अंतिम चरण शेष रहता है। लाभांश के तहत लिखी गई संख्या के तहत, आपको एक क्षैतिज रेखा खींचनी होगी, और इस रेखा के ऊपर की संख्याओं को उसी तरह घटाना होगा जैसे किसी स्तंभ के साथ प्राकृतिक संख्याओं को घटाते समय किया जाता है। घटाव के बाद प्राप्त संख्या भाग का शेष भाग होगी। यदि यह शून्य के बराबर है, तो मूल संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है।
हमारे उदाहरण में, हमें मिलता है
अब हमारे पास संख्या 8 बटा 2 के एक कॉलम द्वारा विभाजन का एक पूरा रिकॉर्ड है। हम देखते हैं कि भागफल 8:2 4 है (और शेषफल 0 है)।
उत्तर:
8:2=4 .
अब विचार करें कि एक अंक वाली प्राकृत संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा शेषफल से भाग कैसे किया जाता है।
उदाहरण।
कॉलम 7 को 3 से विभाजित करें।
समाधान।
पर आरंभिक चरणप्रविष्टि इस तरह दिखती है:
हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि लाभांश में कितनी बार भाजक होता है। हम 3 को 0, 1, 2, 3, आदि से गुणा करेंगे। जब तक हमें लाभांश 7 के बराबर या उससे अधिक संख्या नहीं मिलती। हमें मिलता है 3 0 = 0<7
; 3·1=3<7
; 3·2=6<7
; 3·3=9>7 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना लेख देखें)। लाभांश के तहत हम संख्या 6 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (इस पर गुणा चरण में किया गया था)।
यह घटाव करना बाकी है, और एकल-अंकों की प्राकृतिक संख्या 7 और 3 के एक कॉलम द्वारा विभाजन पूरा हो जाएगा।
तो आंशिक भागफल 2 है, और शेष 1 है।
उत्तर:
7:3=2 (विश्राम 1) ।
अब हम बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्याओं को एकल-अंकीय प्राकृत संख्याओं से एक स्तंभ से भाग देने की ओर बढ़ सकते हैं।
अब हम विश्लेषण करेंगे कॉलम डिवीजन एल्गोरिदम. प्रत्येक चरण में, हम बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 140 288 को एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 4 से विभाजित करके प्राप्त परिणामों को प्रस्तुत करेंगे। यह उदाहरण संयोग से नहीं चुना गया था, क्योंकि इसे हल करते समय, हम सभी संभावित बारीकियों का सामना करेंगे, हम उनका विस्तार से विश्लेषण करने में सक्षम होंगे।
सबसे पहले, हम लाभांश प्रविष्टि में बाईं ओर से पहले अंक को देखते हैं। यदि इस आकृति द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें अगले अंक को लाभांश रिकॉर्ड में बाईं ओर जोड़ने की आवश्यकता है, और दो अंकों द्वारा निर्धारित संख्या के साथ आगे काम करना चाहिए। सुविधा के लिए, हम अपने रिकॉर्ड में उस नंबर का चयन करते हैं जिसके साथ हम काम करेंगे।
लाभांश 140,288 में बाईं ओर से पहला अंक संख्या 1 है। संख्या 1 भाजक 4 से कम है, इसलिए हम लाभांश रिकॉर्ड में बाईं ओर अगले अंक को भी देखते हैं। वहीं हमें 14 नंबर दिखाई देता है, जिससे हमें आगे काम करना है। हम लाभांश के अंकन में इस संख्या का चयन करते हैं।
दूसरे से चौथे तक निम्नलिखित बिंदुओं को चक्रीय रूप से तब तक दोहराया जाता है जब तक कि एक स्तंभ द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन पूरा नहीं हो जाता।
अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि जिस संख्या के साथ हम काम कर रहे हैं उसमें भाजक कितनी बार समाहित है (सुविधा के लिए, आइए इस संख्या को x के रूप में निरूपित करें)। ऐसा करने के लिए, हम भाजक को 0, 1, 2, 3, ... से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं, जब तक कि हमें संख्या x या x से बड़ी संख्या प्राप्त न हो जाए। जब कोई संख्या x प्राप्त होती है, तो हम इसे प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा घटाते समय प्रयुक्त संकेतन नियमों के अनुसार चयनित संख्या के नीचे लिखते हैं। जिस संख्या से गुणा किया गया था, वह एल्गोरिथ्म के पहले पास के दौरान भागफल के स्थान पर लिखा जाता है (एल्गोरिदम के 2-4 बिंदुओं के बाद के पास के दौरान, यह संख्या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर लिखी जाती है)। जब कोई संख्या प्राप्त होती है जो संख्या x से बड़ी होती है, तो चयनित संख्या के नीचे हम अंतिम चरण में प्राप्त संख्या लिखते हैं, और भागफल के स्थान पर (या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर) हम संख्या लिखते हैं जिसे अंतिम चरण में गुणा किया गया था। (हमने ऊपर चर्चा किए गए दो उदाहरणों में इसी तरह की कार्रवाइयां कीं)।
हम 4 के भाजक को 0 , 1 , 2 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें 14 के बराबर या 14 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। हमारे पास 4 0=0 . है<14
, 4·1=4<14
, 4·2=8<14
, 4·3=12<14
, 4·4=16>14. चूँकि अंतिम चरण में हमें संख्या 16 मिली, जो 14 से बड़ी है, तो चयनित संख्या के तहत हम 12 संख्या लिखते हैं, जो कि अंतिम चरण में निकली है, और भागफल के स्थान पर हम संख्या 3 लिखते हैं, क्योंकि में अंतिम पैराग्राफ गुणन ठीक उसी पर किया गया था।
इस स्तर पर, चयनित संख्या में से, उसके नीचे की संख्या को एक कॉलम में घटाएं। क्षैतिज रेखा के नीचे घटाव का परिणाम है। हालांकि, यदि घटाव का परिणाम शून्य है, तो इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है (जब तक कि इस बिंदु पर घटाव अंतिम क्रिया नहीं है जो एक कॉलम द्वारा विभाजन को पूरी तरह से पूरा करता है)। यहां, आपके नियंत्रण के लिए, भाजक के साथ घटाव के परिणाम की तुलना करना और यह सुनिश्चित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि यह भाजक से कम है। नहीं तो कहीं चूक हो गई है।
हमें एक कॉलम में संख्या 14 से संख्या 12 घटाना है (सही अंकन के लिए, आपको घटाई गई संख्याओं के बाईं ओर ऋण चिह्न लगाना नहीं भूलना चाहिए)। इस क्रिया के पूरा होने के बाद क्षैतिज रेखा के नीचे अंक 2 दिखाई दिया। अब हम परिणामी संख्या की तुलना भाजक से करके अपनी गणना की जांच करते हैं। चूंकि संख्या 2 भाजक 4 से कम है, आप सुरक्षित रूप से अगले आइटम पर जा सकते हैं।
अब, क्षैतिज रेखा के नीचे वहां स्थित संख्याओं के दाईं ओर (या उस स्थान के दाईं ओर जहां हमने शून्य नहीं लिखा था), हम उसी कॉलम में स्थित संख्या को लाभांश के रिकॉर्ड में लिखते हैं। यदि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई संख्या नहीं है, तो कॉलम द्वारा विभाजन यहां समाप्त होता है। उसके बाद, हम क्षैतिज रेखा के नीचे गठित संख्या का चयन करते हैं, इसे एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, और इसके साथ एल्गोरिथ्म के 2 से 4 बिंदुओं को दोहराते हैं।
पहले से मौजूद संख्या 2 के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 0 लिखते हैं, क्योंकि यह संख्या 0 है जो इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 20 बनती है।
हम इस संख्या 20 का चयन करते हैं, इसे एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, और इसके साथ एल्गोरिथम के दूसरे, तीसरे और चौथे बिंदुओं की क्रियाओं को दोहराते हैं।
हम 4 के भाजक को 0 , 1 , 2 , ... से तब तक गुणा करते हैं जब तक हमें संख्या 20 या 20 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। हमारे पास 4 0=0 . है<20
, 4·1=4<20
, 4·2=8<20
, 4·3=12<20
, 4·4=16<20
, 4·5=20
. Так как мы получили число, равное числу 20
, то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3
записываем число 5
(на него производилось умножение).
हम एक कॉलम द्वारा घटाव करते हैं। चूँकि हम समान प्राकृत संख्याओं को घटाते हैं, तो समान प्राकृत संख्याओं को घटाने के गुण के कारण परिणाम में हमें शून्य प्राप्त होता है। हम शून्य नहीं लिखते हैं (चूंकि यह कॉलम से विभाजित करने का अंतिम चरण नहीं है), लेकिन हमें वह जगह याद है जहां हम इसे लिख सकते थे (सुविधा के लिए, हम इस जगह को एक काले आयत के साथ चिह्नित करेंगे)।
याद किए गए स्थान के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह वह है जो इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे हमारे पास संख्या 2 है।
हम संख्या 2 को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चिह्नित करते हैं, और एक बार फिर हमें एल्गोरिथम के 2-4 बिंदुओं से चरणों को पूरा करना होगा।
हम भाजक को 0 , 1 , 2 इत्यादि से गुणा करते हैं और परिणामी संख्याओं की तुलना अंकित संख्या 2 से करते हैं। हमारे पास 4 0=0 . है<2
, 4·1=4>2. इसलिए, चिह्नित संख्या के तहत, हम संख्या 0 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और पहले से ही संख्या के दाईं ओर भागफल के स्थान पर, हम संख्या 0 लिखते हैं (हमने 0 से गुणा किया है। चरण)।
हम एक कॉलम द्वारा घटाव करते हैं, हमें क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 2 मिलती है। हम परिणामी संख्या की भाजक 4 से तुलना करके स्वयं की जाँच करते हैं। 2 . के बाद से<4
, то можно спокойно двигаться дальше.
संख्या 2 के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 8 जोड़ते हैं (क्योंकि यह इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है)। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 28 है।
हम इस संख्या को एक कार्यकर्ता के रूप में स्वीकार करते हैं, इसे चिह्नित करते हैं, और पैराग्राफ के चरण 2-4 दोहराते हैं।
यदि आप अब तक सावधान रहे हैं तो यहां कोई समस्या नहीं होनी चाहिए। सभी आवश्यक क्रियाओं को करने के बाद, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है।
यह आखिरी बार अंक 2, 3, 4 (हम इसे आपको प्रदान करते हैं) से क्रियाओं को करने के लिए रहता है, जिसके बाद आपको एक कॉलम में प्राकृतिक संख्या 140 288 और 4 को विभाजित करने की पूरी तस्वीर मिल जाएगी:
कृपया ध्यान दें कि पंक्ति के बिल्कुल नीचे संख्या 0 लिखी गई है। यदि यह एक कॉलम से विभाजित करने का अंतिम चरण नहीं था (अर्थात, यदि लाभांश के रिकॉर्ड में दाईं ओर के कॉलम में संख्याएँ थीं), तो हम यह शून्य नहीं लिखेंगे।
इस प्रकार, बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 140 288 को एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 4 से विभाजित करने के पूर्ण रिकॉर्ड को देखते हुए, हम देखते हैं कि संख्या 35 072 निजी है (और शेष भाग शून्य है, यह बहुत ही पर है जमीनी स्तर)।
बेशक, प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करते समय, आप अपने सभी कार्यों का इतने विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे। आपके समाधान निम्न उदाहरणों की तरह कुछ दिखाई देंगे।
उदाहरण।
यदि भाज्य 7136 है और भाजक एकल प्राकृत संख्या 9 है, तो लंबा विभाजन करें।
समाधान।
प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के पहले चरण में, हमें फॉर्म का रिकॉर्ड मिलता है
एल्गोरिथम के दूसरे, तीसरे और चौथे अंक से क्रियाओं को करने के बाद, एक कॉलम द्वारा विभाजन का रिकॉर्ड रूप लेगा
चक्र को दोहराते हुए, हमारे पास होगा
एक और पास हमें प्राकृत संख्याओं 7 136 और 9 . के एक स्तंभ द्वारा विभाजन की पूरी तस्वीर देगा
इस प्रकार, आंशिक भागफल 792 है, और शेष भाग 8 है।
उत्तर:
7 136:9=792 (बाकी 8)।
और यह उदाहरण दर्शाता है कि विभाजन कितना लंबा दिखना चाहिए।
उदाहरण।
प्राकृत संख्या 7 042 035 को एक अंक वाली प्राकृत संख्या 7 से भाग दें।
समाधान।
कॉलम द्वारा विभाजन करना सबसे सुविधाजनक है। 
उत्तर:
7 042 035:7=1 006 005 .
बहुमान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन
हम आपको खुश करने के लिए जल्दबाजी करते हैं: यदि आपने इस लेख के पिछले पैराग्राफ से एक कॉलम द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म में अच्छी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप पहले से ही लगभग जानते हैं कि कैसे प्रदर्शन करना है बहुमान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन. यह सच है, क्योंकि एल्गोरिथम के चरण 2 से 4 अपरिवर्तित रहते हैं, और पहले चरण में केवल मामूली परिवर्तन दिखाई देते हैं।
बहु-मूल्यवान प्राकृत संख्याओं के कॉलम में विभाजित करने के पहले चरण में, आपको लाभांश प्रविष्टि में बाईं ओर के पहले अंक को नहीं, बल्कि उनमें से जितने अंक भाजक प्रविष्टि में हैं, देखने की आवश्यकता है। यदि इन संख्याओं द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें लाभांश के रिकॉर्ड में बाईं ओर अगला अंक जोड़ने की आवश्यकता है। उसके बाद, अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक एल्गोरिथम के पैराग्राफ 2, 3 और 4 में इंगित क्रियाएं की जाती हैं।
यह केवल उदाहरणों को हल करते समय व्यवहार में बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म के अनुप्रयोग को देखने के लिए बनी हुई है।
उदाहरण।
आइए बहुमूल्यवान प्राकृत संख्याओं 5562 और 206 के एक स्तंभ द्वारा विभाजन करते हैं।
समाधान।
चूंकि भाजक 206 के रिकॉर्ड में 3 वर्ण शामिल हैं, हम लाभांश 5 562 के रिकॉर्ड में बाईं ओर पहले 3 अंकों को देखते हैं। ये संख्याएँ संख्या 556 के अनुरूप हैं। चूँकि 556 भाजक 206 से बड़ा है, हम 556 को एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चुनते हैं, और एल्गोरिथ्म के अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।
अब हम भाजक 206 को 0 , 1 , 2 , 3 , ... की संख्याओं से गुणा करते हैं जब तक कि हमें एक ऐसी संख्या प्राप्त न हो जाए जो या तो 556 के बराबर हो या 556 से बड़ी हो। हमारे पास है (यदि गुणा कठिन है, तो एक कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं का गुणन करना बेहतर है): 206 0 = 0<556
, 206·1=206<556
, 206·2=412<556
, 206·3=618>556. चूँकि हमें एक संख्या मिली है जो 556 से अधिक है, तो चयनित संख्या के तहत हम संख्या 412 लिखते हैं (इसे अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (चूंकि इसे अंतिम पर गुणा किया गया था) चरण)। कॉलम डिवीजन प्रविष्टि निम्नलिखित रूप लेती है:
कॉलम घटाव करें। हमें 144 का अंतर मिलता है, यह संख्या भाजक से कम है, इसलिए आप सुरक्षित रूप से आवश्यक क्रियाएं करना जारी रख सकते हैं।
वहां उपलब्ध संख्या के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह इस कॉलम में लाभांश 5 562 के रिकॉर्ड में है:
अब हम संख्या 1442 के साथ काम करते हैं, इसे चुनते हैं, और चरण दो से चार तक फिर से चलते हैं।
हम भाजक 206 को 0 , 1 , 2 , 3 , ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें संख्या 1442 या 1442 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। आइए चलें: 206 0=0<1 442
, 206·1=206<1 442
, 206·2=412<1 332
, 206·3=618<1 442
, 206·4=824<1 442
, 206·5=1 030<1 442
, 206·6=1 236<1 442
, 206·7=1 442
. Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442
, а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7
:
हम एक कॉलम से घटाते हैं, हमें शून्य मिलता है, लेकिन हम इसे तुरंत नहीं लिखते हैं, लेकिन केवल इसकी स्थिति याद रखते हैं, क्योंकि हम नहीं जानते कि विभाजन यहां समाप्त होता है, या हमें एल्गोरिथम के चरणों को दोहराना होगा फिर व:
अब हम देखते हैं कि कंठस्थ स्थिति के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे हम कोई संख्या नहीं लिख सकते, क्योंकि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई संख्या नहीं है। इसलिए, कॉलम द्वारा यह विभाजन समाप्त हो गया है, और हम प्रविष्टि को पूरा करते हैं:
- गणित। शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 1, 2, 3, 4 के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।
- गणित। शैक्षणिक संस्थानों की 5 कक्षाओं के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कॉम्बिनेटरिक्स उच्च गणित का एक स्वतंत्र खंड है (और टर्वर का हिस्सा नहीं) और इस अनुशासन में वजनदार पाठ्यपुस्तकें लिखी गई हैं, जिनमें से सामग्री, कभी-कभी, अमूर्त बीजगणित से आसान नहीं होती है। हालांकि, सैद्धांतिक ज्ञान का एक छोटा सा हिस्सा हमारे लिए पर्याप्त होगा, और इस लेख में मैं एक सुलभ रूप में विशिष्ट संयोजन समस्याओं के साथ विषय की मूल बातें विश्लेषण करने का प्रयास करूंगा। और आप में से बहुत से लोग मेरी मदद करेंगे ;-)
हम क्या करने वाले है? एक संकीर्ण अर्थ में, कॉम्बिनेटरिक्स विभिन्न संयोजनों की गणना है जिसे एक निश्चित सेट से बनाया जा सकता है अलगवस्तुओं। वस्तुओं को अलग-अलग वस्तुओं या जीवित प्राणियों के रूप में समझा जाता है - लोग, जानवर, मशरूम, पौधे, कीड़े, आदि। साथ ही, कॉम्बिनेटरिक्स को इस बात की बिल्कुल भी परवाह नहीं है कि सेट में सूजी की एक प्लेट, एक टांका लगाने वाला लोहा और एक दलदली मेंढक होता है। यह मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है कि ये वस्तुएं गणना योग्य हैं - उनमें से तीन हैं। (विसंगति)और यह आवश्यक है कि उनमें से कोई भी एक जैसे न हो।
बहुत कुछ सुलझा लिया गया है, अब संयोजनों के बारे में। सबसे आम प्रकार के संयोजन वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन, एक सेट (संयोजन) और वितरण (प्लेसमेंट) से उनका चयन हैं। आइए देखें कि यह अभी कैसे होता है:
दोहराव के बिना क्रमपरिवर्तन, संयोजन और प्लेसमेंट
अस्पष्ट शब्दों से डरो मत, खासकर जब से उनमें से कुछ वास्तव में बहुत सफल नहीं हैं। आइए शीर्षक की पूंछ से शुरू करते हैं - क्या करता है " दोहराव के बिना"? इसका अर्थ यह है कि इस भाग में हम उन समुच्चयों पर विचार करेंगे जिनमें विभिन्नवस्तुओं। उदाहरण के लिए, ... नहीं, मैं टांका लगाने वाले लोहे और मेंढक के साथ दलिया नहीं पेश करूंगा, कुछ बेहतर है =) कल्पना कीजिए कि एक सेब, एक नाशपाती और एक केला आपके सामने मेज पर रखा हुआ है (यदि वहाँ हैं) कोई भी, स्थिति को वास्तविक रूप में अनुकरण किया जा सकता है)। हम फलों को बाएं से दाएं निम्नलिखित क्रम में बिछाते हैं:
सेब / नाशपाती / केला
प्रश्न एक: उन्हें कितने तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है?
एक संयोजन पहले ही ऊपर लिखा जा चुका है और बाकी के साथ कोई समस्या नहीं है:
सेब / केला / नाशपाती
नाशपाती / सेब / केला
नाशपाती / केला / सेब
केला / सेब / नाशपाती
केला / नाशपाती / सेब
कुल: 6 संयोजन या 6 क्रमपरिवर्तन.
खैर, यहां सभी संभावित मामलों को सूचीबद्ध करना मुश्किल नहीं था, लेकिन क्या होगा यदि अधिक आइटम हैं? पहले से ही चार अलग-अलग फलों के साथ, संयोजनों की संख्या में काफी वृद्धि होगी!
कृपया संदर्भ सामग्री खोलें (मैनुअल प्रिंट करना आसान है)और पैराग्राफ संख्या 2 में, क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए सूत्र खोजें।
कोई पीड़ा नहीं - 3 वस्तुओं को तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
प्रश्न दो: आप कितने तरीकों से चुन सकते हैं a) एक फल, b) दो फल, c) तीन फल, d) कम से कम एक फल?
क्यों चुनें? इसलिए उन्होंने पिछले पैराग्राफ में भूख जगाई - खाने के लिए! =)
क) एक फल को तीन तरीकों से चुना जा सकता है - या तो एक सेब, या एक नाशपाती, या एक केला लें। औपचारिक गणना पर आधारित है संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र:
इस मामले में प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "आप तीन में से 1 फल को कितने तरीकों से चुन सकते हैं?"
बी) हम दो फलों के सभी संभावित संयोजनों को सूचीबद्ध करते हैं:
सेब और नाशपाती;
सेब और केला;
नाशपाती और केला।
एक ही सूत्र का उपयोग करके संयोजनों की संख्या की जांच करना आसान है:
प्रविष्टि को इसी तरह समझा जाता है: "आप तीन में से 2 फलों को कितने तरीकों से चुन सकते हैं?"।
ग) और अंत में, तीन फलों को एक अनोखे तरीके से चुना जा सकता है:
वैसे, संयोजनों की संख्या का सूत्र भी एक खाली नमूने के लिए समझ में आता है:
इस तरह, आप एक भी फल नहीं चुन सकते हैं - वास्तव में, कुछ भी न लें और बस।
d) आप कितने तरीकों से ले सकते हैं कम से कम एकफल? "कम से कम एक" शर्त का अर्थ है कि हम 1 फल (कोई भी) या किसी भी 2 फल या सभी 3 फलों से संतुष्ट हैं:
तरीके आप कम से कम एक फल चुन सकते हैं।
जिन पाठकों ने परिचयात्मक पाठ का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया है सिद्धांत संभावनापहले से ही कुछ पता लगा लिया। लेकिन बाद में प्लस चिन्ह के अर्थ के बारे में।
अगले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मुझे दो स्वयंसेवकों की आवश्यकता है ... ... खैर, चूंकि कोई नहीं चाहता है, तो मैं बोर्ड को बुलाऊंगा =)
प्रश्न तीन: दशा और नताशा को एक फल कितने प्रकार से बांटा जा सकता है?
दो फलों को वितरित करने के लिए, आपको पहले उनका चयन करना होगा। पिछले प्रश्न के पैराग्राफ "बी" के अनुसार, यह इस तरह से किया जा सकता है, मैं उन्हें फिर से लिखूंगा:
सेब और नाशपाती;
सेब और केला;
नाशपाती और केला।
लेकिन अब दोगुने संयोजन होंगे। उदाहरण के लिए, फलों की पहली जोड़ी पर विचार करें:
आप एक सेब के साथ दशा का इलाज कर सकते हैं, और नताशा एक नाशपाती के साथ इलाज कर सकते हैं;
या इसके विपरीत - दशा को नाशपाती मिलेगी, और नताशा को सेब मिलेगा।
और ऐसा क्रमपरिवर्तन प्रत्येक जोड़ी फलों के लिए संभव है।
उसी छात्र समूह पर विचार करें जो नृत्य करने गया था। एक लड़के और एक लड़की को कितने प्रकार से जोड़ा जा सकता है?
तरीके आप 1 जवान आदमी चुन सकते हैं;
तरीके आप 1 लड़की चुन सकते हैं।
तो एक युवक तथाएक लड़की को चुना जा सकता है: 
तरीके।
जब प्रत्येक सेट से 1 वस्तु का चयन किया जाता है, तो संयोजनों की गणना का निम्नलिखित सिद्धांत मान्य होता है: " प्रत्येकएक सेट से कोई वस्तु एक जोड़ी बना सकती है प्रत्येक के साथदूसरे सेट की वस्तु।
यही है, ओलेग 13 लड़कियों में से किसी को भी नृत्य करने के लिए आमंत्रित कर सकता है, एवगेनी - तेरह में से कोई भी, और अन्य युवाओं के पास एक समान पसंद है। कुल: संभव जोड़े।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस उदाहरण में, जोड़ी गठन का "इतिहास" कोई मायने नहीं रखता; हालांकि, अगर पहल को ध्यान में रखा जाता है, तो संयोजनों की संख्या दोगुनी होनी चाहिए, क्योंकि 13 लड़कियों में से प्रत्येक किसी भी लड़के को नृत्य करने के लिए आमंत्रित कर सकती है। यह सब किसी विशेष कार्य की शर्तों पर निर्भर करता है!
एक समान सिद्धांत अधिक जटिल संयोजनों के लिए मान्य है, उदाहरण के लिए: दो युवकों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है तथाकेवीएन स्किट में भाग लेंगी दो लड़कियां?
संघ तथास्पष्ट रूप से संकेत देता है कि संयोजनों को गुणा किया जाना चाहिए:
कलाकारों के संभावित समूह।
दूसरे शब्दों में, प्रत्येकलड़कों की जोड़ी (45 अद्वितीय जोड़े) के साथ प्रतिस्पर्धा कर सकते हैं कोईलड़कियों की एक जोड़ी (78 अद्वितीय जोड़े)। और अगर हम प्रतिभागियों के बीच भूमिकाओं के वितरण पर विचार करें, तो और भी संयोजन होंगे। ... मैं वास्तव में चाहता हूं, लेकिन फिर भी मैं जारी रखने से बचूंगा, ताकि आप में छात्र जीवन के प्रति घृणा पैदा न हो =)।
गुणन नियम अधिक गुणकों पर लागू होता है:
टास्क 8
ऐसी कितनी तीन अंकीय संख्याएँ हैं जो 5 से विभाज्य हैं?
समाधान: स्पष्टता के लिए, हम इस संख्या को तीन तारांकन से दर्शाते हैं: ***
वी सैकड़ों जगहआप कोई भी संख्या (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 या 9) लिख सकते हैं। शून्य अच्छा नहीं है, क्योंकि इस स्थिति में संख्या तीन अंकों की नहीं रह जाती है।
लेकिन में दस जगह("बीच में") आप 10 अंकों में से कोई भी चुन सकते हैं: .
शर्त के अनुसार, संख्या 5 से विभाज्य होनी चाहिए। संख्या 5 से विभाज्य है यदि यह 5 या 0 पर समाप्त होती है। इस प्रकार, सबसे कम महत्वपूर्ण अंक में, हम 2 अंकों से संतुष्ट हैं।
कुल, वहाँ है: तीन अंकों की संख्याएँ जो 5 से विभाज्य हैं।
उसी समय, कार्य को इस प्रकार समझा जाता है: "9 तरीकों से आप एक संख्या चुन सकते हैं सैकड़ों जगह तथाकिसी संख्या को चुनने के 10 तरीके दस जगह तथा 2 तरीके इकाई अंक»
या इससे भी सरल: प्रत्येक 9 अंकों से . तक सैकड़ों जगहसंयुक्त प्रत्येक के साथ 10 अंकों का दस जगह और प्रत्येक के साथदो अंकों का इकाई अंक».
उत्तर: 180
और अब…
हां, मैं समस्या संख्या 5 की वादा की गई टिप्पणी के बारे में लगभग भूल गया था, जिसमें बोरिया, दीमा और वोलोडा को अलग-अलग तरीकों से एक-एक कार्ड से निपटा जा सकता है। यहां गुणा का एक ही अर्थ है: जिस तरह से आप डेक से 3 कार्ड निकाल सकते हैं तथा सभी मेंउन्हें तरीकों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए नमूना।
और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए समस्या ... अब मैं कुछ और दिलचस्प लेकर आता हूं, ... इसे लाठी के उसी रूसी संस्करण के बारे में बताएं:
टास्क 9
एक "पॉइंट" गेम में 2 कार्ड्स के कितने विनिंग कॉम्बिनेशन होते हैं?
उन लोगों के लिए जो नहीं जानते हैं: संयोजन 10 + ACE (11 अंक) = 21 अंक जीतता है और, दो इक्के के विजेता संयोजन पर विचार करें।
(किसी भी जोड़ी में कार्ड का क्रम मायने नहीं रखता)
पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।
वैसे, एक आदिम उदाहरण पर विचार करना आवश्यक नहीं है। ब्लैकजैक लगभग एकमात्र ऐसा गेम है जिसके लिए गणितीय रूप से उचित एल्गोरिथम है जो आपको कैसीनो को हराने की अनुमति देता है। जो लोग चाहते हैं वे आसानी से इष्टतम रणनीति और रणनीति के बारे में बहुत सारी जानकारी पा सकते हैं। सच है, ऐसे स्वामी जल्दी ही सभी प्रतिष्ठानों की काली सूची में आ जाते हैं =)
कुछ ठोस कार्यों के साथ कवर की गई सामग्री को समेकित करने का समय आ गया है:
टास्क 10
वास्या के घर में 4 बिल्लियाँ हैं।
क) बिल्लियों को कमरे के कोनों में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?
ख) बिल्लियों को कितने प्रकार से घूमने दिया जा सकता है?
ग) वास्या कितने तरीकों से दो बिल्लियों को उठा सकती है (एक बाईं ओर, दूसरी दाईं ओर)?
हमने निर्णय किया: सबसे पहले, यह फिर से ध्यान दिया जाना चाहिए कि समस्या के बारे में है विभिन्नवस्तुएं (भले ही बिल्लियां समान जुड़वां हों)। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण शर्त है!
ए) बिल्लियों की चुप्पी। यह निष्पादन के अधीन है सभी बिल्लियाँ एक साथ
+ उनका स्थान महत्वपूर्ण है, इसलिए यहां क्रमपरिवर्तन हैं:
जिस तरह से आप बिल्लियों को कमरे के कोनों में बिठा सकते हैं।
मैं दोहराता हूं कि क्रमपरिवर्तन करते समय, केवल विभिन्न वस्तुओं की संख्या और उनकी सापेक्ष स्थिति मायने रखती है। अपने मूड के आधार पर, वास्या जानवरों को सोफे पर अर्धवृत्त में, खिड़की पर एक पंक्ति में, आदि में बैठा सकती है। - सभी मामलों में 24 क्रमपरिवर्तन होंगे। सुविधा के लिए, जो लोग चाहते हैं वे कल्पना कर सकते हैं कि बिल्लियाँ बहुरंगी हैं (उदाहरण के लिए, सफेद, काली, लाल और धारीदार) और सभी संभावित संयोजनों की सूची बनाएं।
ख) बिल्लियों को कितने प्रकार से घूमने दिया जा सकता है?
यह माना जाता है कि बिल्लियाँ केवल दरवाजे से टहलने जाती हैं, जबकि सवाल जानवरों की संख्या के बारे में उदासीनता का तात्पर्य है - 1, 2, 3 या सभी 4 बिल्लियाँ टहलने जा सकती हैं।
हम सभी संभावित संयोजनों पर विचार करते हैं:
एक बिल्ली (चार में से कोई एक) को टहलने के लिए जाने के तरीके; 
जिस तरह से आप दो बिल्लियों को टहलने के लिए जाने दे सकते हैं (विकल्पों को स्वयं सूचीबद्ध करें);
जिस तरह से आप तीन बिल्लियों को टहलने के लिए जाने दे सकते हैं (चार में से एक घर पर बैठती है);
जिस तरह से आप सभी बिल्लियों को मुक्त कर सकते हैं।
आपने शायद अनुमान लगाया है कि प्राप्त मूल्यों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए:
बिल्लियों को टहलने जाने के तरीके।
उत्साही लोगों के लिए, मैं समस्या का एक जटिल संस्करण पेश करता हूं - जब किसी भी नमूने में कोई बिल्ली बेतरतीब ढंग से बाहर जा सकती है, दोनों दरवाजे से और 10 वीं मंजिल की खिड़की के माध्यम से। अधिक संयोजन होंगे!
ग) वास्या दो बिल्लियों को कितने तरीकों से उठा सकती है?
स्थिति में न केवल 2 जानवरों की पसंद शामिल है, बल्कि हाथों पर उनका स्थान भी शामिल है:
तरीके आप 2 बिल्लियों को उठा सकते हैं।
दूसरा उपाय: तरीकों से आप दो बिल्लियों को चुन सकते हैं तथारोपण के तरीके हर एकहाथ में एक जोड़ा: 
उत्तर: ए) 24, बी) 15, सी) 12
खैर, मेरी अंतरात्मा को साफ करने के लिए, संयोजनों के गुणन पर कुछ और विशिष्ट .... माना वास्या के पास 5 अतिरिक्त बिल्लियाँ हैं =) आप कितने तरीकों से 2 बिल्लियों को टहलने जाने दे सकते हैं तथा 1 बिल्ली?
यानी के साथ प्रत्येककुछ बिल्लियों को छोड़ा जा सकता है हर एकबिल्ली।
एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और बटन अकॉर्डियन:
टास्क 11
12 मंजिला इमारत की लिफ्ट में 3 यात्री चढ़े। हर कोई, दूसरों से स्वतंत्र होकर, किसी भी (दूसरी मंजिल से शुरू करके) समान संभावना के साथ बाहर निकल सकता है। कितने प्रकार से:
1) यात्री एक ही मंजिल पर उतर सकते हैं (निकास आदेश कोई फर्क नहीं पड़ता);
2) दो लोग एक मंजिल पर और एक तिहाई दूसरी मंजिल पर उतर सकते हैं;
3) लोग विभिन्न मंजिलों पर उतर सकते हैं;
4) क्या यात्री लिफ्ट से बाहर निकल सकते हैं?
और यहां वे अक्सर फिर से पूछते हैं, मैं स्पष्ट करता हूं: यदि 2 या 3 लोग एक ही मंजिल पर बाहर जाते हैं, तो बाहर निकलने का क्रम मायने नहीं रखता। सोचिए, योग/गुणन संयोजनों के लिए सूत्रों और नियमों का उपयोग कीजिए। कठिनाई के मामले में, यात्रियों के लिए यह नाम और कारण देना उपयोगी होता है कि वे किस संयोजन में लिफ्ट से बाहर निकल सकते हैं। अगर कुछ काम नहीं करता है तो परेशान होने की जरूरत नहीं है, उदाहरण के लिए, बिंदु संख्या 2 काफी कपटी है, हालांकि, पाठकों में से एक ने एक आसान समाधान पाया, और एक बार फिर मैं आपके पत्रों के लिए अपना आभार व्यक्त करता हूं!
ट्यूटोरियल के अंत में विस्तृत टिप्पणियों के साथ पूर्ण समाधान।
अंतिम पैराग्राफ उन संयोजनों के लिए समर्पित है जो अक्सर होते हैं - मेरे व्यक्तिपरक मूल्यांकन के अनुसार, लगभग 20-30% कॉम्बीनेटरियल समस्याओं में:
दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन, संयोजन और प्लेसमेंट
सूचीबद्ध प्रकार के संयोजन संदर्भ सामग्री के पैराग्राफ संख्या 5 में उल्लिखित हैं कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र, हालांकि, उनमें से कुछ पहली बार पढ़ने पर बहुत स्पष्ट नहीं हो सकते हैं। इस मामले में, यह सलाह दी जाती है कि पहले व्यावहारिक उदाहरणों से खुद को परिचित करें, और उसके बाद ही सामान्य सूत्रीकरण को समझें। जाओ:
दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन
दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन में, जैसा कि "साधारण" क्रमपरिवर्तन में होता है, वस्तुओं का पूरा सेट एक साथ, लेकिन एक बात है: इस सेट में, एक या एक से अधिक तत्व (ऑब्जेक्ट्स) दोहराए जाते हैं। अगले मानक को पूरा करें:
टास्क 12
निम्नलिखित अक्षरों वाले कार्डों को पुनर्व्यवस्थित करके कितने अलग-अलग अक्षर संयोजन प्राप्त किए जा सकते हैं: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?
समाधान: इस घटना में कि सभी अक्षर अलग थे, तो एक तुच्छ सूत्र लागू किया जाना चाहिए, हालांकि, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि कार्ड के प्रस्तावित सेट के लिए, कुछ जोड़तोड़ "निष्क्रिय" काम करेंगे, इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि आप किसी भी दो को स्वैप करते हैं किसी भी शब्द में "K" अक्षर वाले कार्ड, यह वही शब्द होगा। इसके अलावा, भौतिक रूप से कार्ड बहुत भिन्न हो सकते हैं: एक मुद्रित अक्षर "K" के साथ गोल हो सकता है, दूसरा एक खींचा हुआ अक्षर "K" वाला वर्ग है। लेकिन समस्या के अर्थ के अनुसार ऐसे कार्ड भी वही माना जाता है, चूंकि शर्त पत्र संयोजनों के बारे में पूछती है।
सब कुछ बेहद सरल है - कुल मिलाकर: पत्र सहित 11 कार्ड:
के - 3 बार दोहराया गया;
ओ - 3 बार दोहराया गया;
एल - 2 बार दोहराया;
बी - 1 बार दोहराया गया;
एच - 1 बार दोहराया गया;
और - 1 बार दोहराता है।
जांचें: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, जिसे हम जांचना चाहते थे।
सूत्र के अनुसार दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या:
विभिन्न पत्र संयोजन प्राप्त किए जा सकते हैं। सवा लाख से ज्यादा!
बड़े फैक्टोरियल वैल्यू की त्वरित गणना के लिए, मानक एक्सेल फ़ंक्शन का उपयोग करना सुविधाजनक है: हम किसी भी सेल में स्कोर करते हैं = तथ्य(11)और क्लिक करें दर्ज.
व्यवहार में, सामान्य सूत्र को नहीं लिखना और इसके अलावा, इकाई भाज्य को छोड़ना काफी स्वीकार्य है: 
लेकिन दोहराए गए पत्रों के बारे में प्रारंभिक टिप्पणियों की आवश्यकता है!
उत्तर: 554400
दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन का एक और विशिष्ट उदाहरण शतरंज के टुकड़ों को व्यवस्थित करने की समस्या में पाया जाता है, जो गोदाम में पाया जा सकता है तैयार समाधानसंबंधित पीडीएफ में। और एक स्वतंत्र समाधान के लिए, मैं एक कम टेम्पलेट कार्य के साथ आया:
टास्क 13
एलेक्सी खेल के लिए जाता है, और सप्ताह में 4 दिन - एथलेटिक्स, 2 दिन - शक्ति व्यायाम और 1 दिन का आराम। वह अपनी साप्ताहिक कक्षाओं को कितने तरीकों से निर्धारित कर सकता है?
सूत्र यहां काम नहीं करता है क्योंकि यह ओवरलैपिंग क्रमपरिवर्तन को ध्यान में रखता है (उदाहरण के लिए, जब बुधवार को ताकत अभ्यास गुरुवार को ताकत अभ्यास के साथ बदल दिया जाता है)। और फिर - वास्तव में, वही 2 शक्ति प्रशिक्षण सत्र एक दूसरे से बहुत भिन्न हो सकते हैं, लेकिन कार्य के संदर्भ में (अनुसूची के संदर्भ में), उन्हें समान तत्व माना जाता है।
पाठ के अंत में दो-पंक्ति समाधान और उत्तर।
दोहराव के साथ संयोजन
इस प्रकार के संयोजन की एक विशेषता यह है कि नमूना कई समूहों से तैयार किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक में समान वस्तुएं होती हैं।
आज सभी ने कड़ी मेहनत की है, इसलिए यह समय खुद को तरोताजा करने का है:
टास्क 14
छात्र कैफेटेरिया आटा, चीज़केक और डोनट्स में सॉसेज बेचता है। पाँच केक कितने प्रकार से खरीदे जा सकते हैं?
समाधान: दोहराव के साथ संयोजन के लिए विशिष्ट मानदंड पर तुरंत ध्यान दें - स्थिति के अनुसार, वस्तुओं का एक सेट नहीं, लेकिन विभिन्न प्रकारवस्तुएं; यह माना जाता है कि बिक्री पर कम से कम पांच हॉट डॉग, 5 चीज़केक और 5 डोनट्स हैं। प्रत्येक समूह में पाई, निश्चित रूप से अलग हैं - क्योंकि बिल्कुल समान डोनट्स को केवल कंप्यूटर पर सिम्युलेटेड किया जा सकता है =) हालांकि, समस्या के अर्थ के लिए पाई की भौतिक विशेषताएं आवश्यक नहीं हैं, और हॉट डॉग / चीज़केक / डोनट्स उनके समूहों में समान माना जाता है।
नमूने में क्या हो सकता है? सबसे पहले, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नमूने में निश्चित रूप से समान पाई होगी (क्योंकि हम 5 टुकड़े चुनते हैं, और चुनने के लिए 3 प्रकार की पेशकश की जाती है)। हर स्वाद के लिए यहां विकल्प: 5 हॉट डॉग, 5 चीज़केक, 5 डोनट्स, 3 हॉट डॉग + 2 चीज़केक, 1 हॉट डॉग + 2 + चीज़केक + 2 डोनट्स, आदि।
"नियमित" संयोजनों के साथ, नमूने में पाई के चयन और प्लेसमेंट का क्रम कोई मायने नहीं रखता - उन्होंने सिर्फ 5 टुकड़े चुने और बस।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं 
दोहराव के साथ संयोजनों की संख्या: 
जिस तरह से आप 5 पाई खरीद सकते हैं।
बॉन एपेतीत!
उत्तर: 21
अनेक संयोजक समस्याओं से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
कभी-कभी, स्थिति को समझना सबसे कठिन काम होता है।
स्वयं करें समाधान के लिए एक समान उदाहरण:
टास्क 15
बटुए में काफी बड़ी संख्या में 1-, 2-, 5- और 10-रूबल के सिक्के हैं। बटुए से तीन सिक्के कितने तरीकों से निकाले जा सकते हैं?
आत्म-नियंत्रण उद्देश्यों के लिए, कुछ सरल प्रश्नों के उत्तर दें:
1) क्या नमूने के सभी सिक्के अलग हो सकते हैं?
2) सिक्कों के "सबसे सस्ते" और सबसे "महंगे" संयोजन का नाम बताइए।
पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।
अपने व्यक्तिगत अनुभव से, मैं कह सकता हूं कि दोहराव के साथ संयोजन व्यवहार में सबसे दुर्लभ अतिथि हैं, जिन्हें निम्नलिखित प्रकार के संयोजनों के बारे में नहीं कहा जा सकता है:
दोहराव के साथ प्लेसमेंट
तत्वों से युक्त एक सेट से, तत्वों का चयन किया जाता है, और प्रत्येक नमूने में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है। और सब कुछ ठीक हो जाएगा, लेकिन एक अप्रत्याशित मजाक यह है कि हम मूल सेट की किसी भी वस्तु को जितनी बार चाहें चुन सकते हैं। लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, "भीड़ कम नहीं होगी।"
यह कब होता है? एक विशिष्ट उदाहरण कई डिस्क के साथ एक संयोजन ताला है, लेकिन प्रौद्योगिकी के विकास के कारण, इसके डिजिटल वंशज पर विचार करना अधिक प्रासंगिक है:
टास्क 16
4 अंकों के कितने पिन कोड होते हैं?
समाधान: वास्तव में, समस्या को हल करने के लिए, कॉम्बिनेटरिक्स के नियमों को जानना पर्याप्त है: आप पिन कोड के पहले अंक को तरीकों से चुन सकते हैं तथातरीके - पिन कोड का दूसरा अंक तथाकई मायनों में - एक तिहाई तथाजितने - चौथे। इस प्रकार, संयोजनों के गुणन के नियम के अनुसार, चार अंकों का पिन कोड बनाया जा सकता है: तरीकों से।
और अब सूत्र के साथ। शर्त के अनुसार, हमें संख्याओं का एक सेट दिया जाता है, जिसमें से संख्याओं का चयन किया जाता है और रखा जाता है एक निश्चित क्रम में, जबकि नमूने में संख्याओं को दोहराया जा सकता है (अर्थात मूल समुच्चय के किसी भी अंक को मनमाने ढंग से कई बार इस्तेमाल किया जा सकता है). दोहराव के साथ नियुक्तियों की संख्या के सूत्र के अनुसार: 
उत्तर: 10000
यहाँ क्या दिमाग में आता है ... ... अगर पिन कोड दर्ज करने के तीसरे असफल प्रयास के बाद एटीएम कार्ड को "खा" लेता है, तो इसे यादृच्छिक रूप से लेने की संभावना बहुत भ्रामक है।
और किसने कहा कि कॉम्बिनेटरिक्स में व्यावहारिक अर्थ नहीं होता है? साइट के सभी पाठकों के लिए एक संज्ञानात्मक कार्य:
समस्या 17
राज्य मानक के अनुसार, एक कार लाइसेंस प्लेट में 3 नंबर और 3 अक्षर होते हैं। इस मामले में, तीन शून्य वाली संख्या की अनुमति नहीं है, और अक्षरों को सेट ए, बी, ई, के, एम, एच, ओ, आर, सी, टी, यू, एक्स से चुना जाता है। (सिरिलिक अक्षरों का ही प्रयोग किया जाता है, जिनकी वर्तनी लैटिन अक्षरों से मेल खाती है).
एक क्षेत्र के लिए कितनी अलग-अलग लाइसेंस प्लेट बनाई जा सकती हैं?
ऐसा नहीं है, वैसे, और बहुत कुछ। बड़े क्षेत्रों में, यह संख्या पर्याप्त नहीं है, और इसलिए उनके लिए शिलालेख RUS के लिए कई कोड हैं।
पाठ के अंत में समाधान और उत्तर। कॉम्बिनेटरिक्स के नियमों का उपयोग करना न भूलें;-) हालांकि शैक्षिक उद्देश्यों के लिए, शायद, कुछ लोगों ने इसे हल किया।
हमारा आकर्षक पाठ समाप्त हो गया है, और अंत में मैं यह कहना चाहता हूं कि आपने अपना समय बर्बाद नहीं किया - इस कारण से कि कॉम्बिनेटरिक्स सूत्र एक और महत्वपूर्ण व्यावहारिक अनुप्रयोग पाते हैं: वे विभिन्न कार्यों में पाए जाते हैं सिद्धांत संभावना,
और में संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा पर कार्य- विशेष रूप से अक्सर
आपकी सक्रिय भागीदारी के लिए आप सभी का धन्यवाद और जल्द ही मिलते हैं!
समाधान और उत्तर:
कार्य 2: समाधान: 4 कार्डों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों की संख्या ज्ञात कीजिए:
जब एक शून्य वाला कार्ड पहले स्थान पर होता है, तो संख्या तीन अंकों की हो जाती है, इसलिए इन संयोजनों को बाहर रखा जाना चाहिए। मान लीजिए कि शून्य पहले स्थान पर है, तो कम से कम महत्वपूर्ण अंकों में शेष 3 अंकों को तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
ध्यान दें
: चूंकि कुछ कार्ड हैं, ऐसे सभी विकल्पों को यहां सूचीबद्ध करना आसान है:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
इस प्रकार, प्रस्तावित सेट से, आप बना सकते हैं:
24 - 6 = 18 चार अंकों की संख्या
उत्तर
: 18
जेड वाईकभी सोचा नहीं , कि इन कार्यों को प्रथम-ग्रेडर को पेश किया जाएगा, जिनमें से एक ने देखा कि "9" कार्ड का उपयोग "6" के रूप में किया जा सकता है, और इसलिए संयोजनों की संख्या दोगुनी होनी चाहिए। लेकिन स्थिति फिर भी एक विशिष्ट आंकड़ा बताती है और दोहरीकरण से बचना बेहतर है।
कार्य 4: समाधान: 3 कार्डों को 36 तरीकों से चुना जा सकता है।
उत्तर
: 7140
कार्य 6: समाधान: 
तरीके।
एक और समाधान
: एक समूह से दो लोगों का चयन करने के तरीके और प्रत्येक नमूने में पदों को वितरित करने के तरीके। इस प्रकार, मुखिया और उसके डिप्टी को चुना जा सकता है 
तरीके। तीसरा उपाय
साइट के किसी अन्य पाठक द्वारा पाया गया। संयोजन उत्पाद के माध्यम से:
(एक यात्री से उतरने के 11 तरीके और प्रत्येक के लिएइन विकल्पों में से - 10 तरीकों से मिल सकता है दूसरा यात्री और प्रत्येक के लिएउनके बाहर निकलने का संभावित संयोजन - 9 तरीके से तीसरा यात्री निकल सकता है)
4) विधि एक: पहले तीन बिंदुओं के संयोजन का योग करें:
जिस तरह से यात्री लिफ्ट से बाहर निकल सकते हैं।
विधि दो
: सामान्य मामले में, यह अधिक तर्कसंगत है; इसके अलावा, यह आपको पिछले पैराग्राफ के परिणामों के बिना करने की अनुमति देता है। तर्क इस प्रकार है: पहला यात्री लिफ्ट से बाहर कैसे निकल सकता है तथादूसरा यात्री कैसे उतर सकता है तथा
2) "सबसे सस्ते" सेट में 3 रूबल के सिक्के होते हैं, और सबसे "महंगे" सेट में 3 दस रूबल के सिक्के होते हैं।
कार्य 17: समाधान: 
लाइसेंस प्लेट का डिजिटल संयोजन बनाने के तरीके, जबकि उनमें से एक (000) को बाहर रखा जाना चाहिए:।
जिस तरह से आप कार नंबर का अक्षर संयोजन बना सकते हैं।
संयोजनों के गुणन के नियम के अनुसार, हर चीज की रचना की जा सकती है:
कार नंबर
(प्रत्येकडिजिटल संयोजन संयुक्त प्रत्येक के साथपत्र संयोजन)।
उत्तर
: 1726272