गणितीय विश्लेषण।

कार्यशाला।

विशेषता में विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए:

"राज्य और नगरपालिका प्रशासन"

टी.जेड. पावलोवा

कोल्पाशेवो 2008

अध्याय 1 विश्लेषण का परिचय

1.1 कार्य। सामान्य विशेषता

1.2 सीमा का सिद्धांत

1.3 कार्य की निरंतरता

2.1 व्युत्पन्न की परिभाषा

2.4 कार्यों की खोज

2.4.1 पूर्ण कार्य अध्ययन योजना

2.4.2 कार्य अध्ययन उदाहरण

2.4.3. किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

2.5 एल'अस्पताल का नियम

3.1 अनिश्चितकालीन अभिन्न

3.1.1 परिभाषाएं और गुण

3.1.2 समाकलकों की तालिका

3.1.3 बुनियादी एकीकरण विधियां

3.2 निश्चित समाकलन

3.2.2 एक निश्चित समाकल की गणना करने की विधियाँ

अध्याय 4

4.1 बुनियादी अवधारणाएँ

4.2 कई चरों के कार्यों की सीमा और निरंतरता

4.3.3 कुल अंतर और अनुमानित गणना के लिए इसका अनुप्रयोग

अध्याय 5

6.1 उपयोगिता समारोह।

6.2 उदासीनता रेखा

6.3 बजट सेट

गृहकार्य कार्य

1.1 कार्य। सामान्य विशेषता

वास्तविक संख्याओं के सेट डी पर एक संख्यात्मक फ़ंक्शन परिभाषित किया जाता है यदि चर का प्रत्येक मान चर y के कुछ अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक मान से जुड़ा होता है, जहां डी फ़ंक्शन का डोमेन है।

फ़ंक्शन का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व:

स्पष्ट रूप से: ;

परोक्ष रूप से: ;

पैरामीट्रिक रूप में:

परिभाषा के क्षेत्र में विभिन्न सूत्र:

गुण।

यहां तक ​​कि समारोह: । उदाहरण के लिए, फलन सम है, क्योंकि .

पुराना फंक्शन: . उदाहरण के लिए, फलन विषम है, क्योंकि .

आवधिक कार्य: , जहां टी समारोह की अवधि है, . उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्य।

मोनोटोनिक फ़ंक्शन। यदि परिभाषा के किसी भी क्षेत्र के लिए - फलन बढ़ रहा है, - घट रहा है। जैसे,-बढ़ना, और-घटाना।

सीमित सुविधा। यदि ऐसी कोई संख्या M है। उदाहरण के लिए, कार्य और , क्योंकि .

उदाहरण 1. कार्यों का दायरा खोजें।

+ 2 – 3 +

1.2 सीमा का सिद्धांत

परिभाषा 1. पर फ़ंक्शन की सीमा संख्या बी है, यदि किसी के लिए (एक मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या है) तर्क के ऐसे मूल्य को खोजना संभव है जिससे असमानता पूरी हो।

पद: ।

परिभाषा 2. पर फ़ंक्शन की सीमा संख्या बी है, यदि किसी के लिए (- मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या) ऐसी सकारात्मक संख्या है कि असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी एक्स मानों के लिए असमानता सत्य है।

पद: ।

परिभाषा 3.फ़ंक्शन को या , यदि या के लिए इनफिनिटसिमल कहा जाता है।

गुण।

1. अपरिमित मात्राओं की एक परिमित संख्या का बीजगणितीय योग एक अपरिमित मात्रा होती है।

2. एक अतिसूक्ष्म मात्रा और एक परिबद्ध फलन का गुणनफल (स्थिर, एक अन्य अतिसूक्ष्म मात्रा) एक अतिसूक्ष्म मात्रा है।

3. एक अपरिमित मात्रा को एक ऐसे फलन से विभाजित करने का भागफल जिसकी सीमा शून्य से भिन्न है, एक अतिसूक्ष्म मात्रा है।

परिभाषा 4.फ़ंक्शन को if के लिए असीम रूप से बड़ा कहा जाता है।

गुण।

1. एक अनंत बड़ी मात्रा का एक फलन द्वारा गुणनफल जिसकी सीमा शून्य से भिन्न होती है, एक अपरिमित रूप से बड़ी मात्रा होती है।

2. एक अपरिमित रूप से बड़ी मात्रा और एक परिबद्ध फलन का योग एक अपरिमित रूप से बड़ी मात्रा होती है।

3. एक असीम रूप से बड़ी मात्रा को एक सीमा वाले फलन से विभाजित करने का भागफल एक अपरिमित रूप से बड़ी मात्रा होती है।

प्रमेय।(एक अपरिमित मान और एक अपरिमित रूप से बड़े मान के बीच संबंध।) यदि कोई फलन () पर अपरिमित रूप से छोटा है, तो फलन () पर एक अपरिमित रूप से बड़ा मान है। और, इसके विपरीत, यदि फलन () पर अपरिमित रूप से बड़ा है, तो फलन () पर एक अपरिमित रूप से छोटा मान है।

प्रमेयों को सीमित करें।

1. एक फलन की एक से अधिक सीमा नहीं हो सकती।

2. कई फलनों के बीजीय योग की सीमा इन फलनों की सीमाओं के बीजगणितीय योग के बराबर होती है:

3. कई फलनों के गुणनफल की सीमा इन फलनों की सीमाओं के गुणनफल के बराबर होती है:

4. डिग्री की सीमा सीमा की डिग्री के बराबर है:

5. भाजक की सीमा मौजूद होने पर भागफल की सीमा सीमा के भागफल के बराबर होती है:

.

6. पहली उल्लेखनीय सीमा।

परिणाम:

7. दूसरी उल्लेखनीय सीमा:

परिणाम:

समतुल्य अतिसूक्ष्म मात्राएँ:

सीमा की गणना।

सीमाओं की गणना करते समय, सीमा पर मूल प्रमेय, निरंतर कार्यों के गुण और इन प्रमेयों और गुणों से पालन करने वाले नियमों का उपयोग किया जाता है।

नियम 1किसी फ़ंक्शन के एक बिंदु पर सीमा ज्ञात करने के लिए जो इस बिंदु पर निरंतर है, यह आवश्यक है कि सीमा चिह्न के तहत फ़ंक्शन में तर्क x के बजाय इसके सीमा मान को प्रतिस्थापित किया जाए।

उदाहरण 2. खोजें

नियम 2यदि किसी भिन्न की सीमा ज्ञात करते समय हर की सीमा शून्य के बराबर हो, और अंश की सीमा गैर-शून्य हो, तो ऐसे फलन की सीमा बराबर होती है।

उदाहरण 3. खोजें

नियम 3यदि किसी भिन्न की सीमा ज्ञात करते समय हर की सीमा समान हो और अंश की सीमा शून्येतर हो, तो ऐसे फलन की सीमा शून्य के बराबर होती है।

उदाहरण 4 खोजें

अक्सर किसी तर्क के सीमा मान के प्रतिस्थापन से प्रपत्र के अपरिभाषित व्यंजक प्राप्त होते हैं

.

इन मामलों में किसी फलन की सीमा ज्ञात करना अनिश्चितता प्रकटीकरण कहलाता है। अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, सीमा तक जाने से पहले, इस अभिव्यक्ति के परिवर्तन को अंजाम देना आवश्यक है। अनिश्चितताओं को उजागर करने के लिए विभिन्न तकनीकों का उपयोग किया जाता है।

नियम 4. सबलिमिट फ़ंक्शन को बदलने से फॉर्म की अनिश्चितता का पता चलता है, ताकि अंश और हर में, एक कारक का चयन करें जिसकी सीमा शून्य है, और, इसके द्वारा अंश को कम करके, भागफल की सीमा का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, अंश और हर को या तो गुणनखंडित किया जाता है या अंश और हर से संयुग्मित व्यंजकों से गुणा किया जाता है।

नियम 5यदि उप-सीमा व्यंजक में त्रिकोणमितीय फलन होते हैं, तो पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग प्रपत्र की अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए किया जाता है।

.

नियम 6. पर फॉर्म की अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, सबलिमिट फ्रैक्शन के अंश और हर को तर्क की उच्चतम डिग्री से विभाजित किया जाना चाहिए और फिर भागफल की सीमा का पता लगाया जाना चाहिए।

संभावित परिणाम:

1) वांछित सीमा अंश और हर के तर्क की उच्चतम शक्तियों पर गुणांक के अनुपात के बराबर है, यदि ये शक्तियां समान हैं;

2) सीमा अनंत के बराबर है यदि अंश तर्क की डिग्री हर तर्क की डिग्री से अधिक है;

3) सीमा शून्य है यदि अंश तर्क की डिग्री हर तर्क की डिग्री से कम है।

ए)

चूंकि

डिग्री बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि सीमा उच्च डिग्री पर गुणांक के अनुपात के बराबर है, अर्थात। .

बी)

अंश, हर की डिग्री 1 है, जिसका अर्थ है कि सीमा बराबर है

वी)

अंश की घात 1 है, हर है, इसलिए सीमा 0 है।

नियम 7. प्रपत्र की अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, उप-सीमा भिन्न के अंश और हर को संयुग्मी व्यंजक से गुणा किया जाना चाहिए।

उदाहरण 10

नियम 8. प्रजातियों की अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, दूसरी उल्लेखनीय सीमा और उसके परिणामों का उपयोग किया जाता है।

यह साबित किया जा सकता है कि

उदाहरण 11.

उदाहरण 12.

उदाहरण 13

नियम 9. अनिश्चितताओं का खुलासा करते समय, जिसके सबलिमिट फ़ंक्शन में b.m.v. होता है, इन b.m. की सीमाओं को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। b.m. की सीमा तक, उनके बराबर।

उदाहरण 14

उदाहरण 15

नियम 10 एल'अस्पताल का नियम (देखें 2.6)।

1.3 कार्य की निरंतरता

फ़ंक्शन उस बिंदु पर निरंतर होता है यदि फ़ंक्शन की सीमा, जब तर्क a की ओर जाता है, मौजूद है और इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान के बराबर है।

समतुल्य शर्तें:

1. ;

3.

विराम बिंदुओं का वर्गीकरण:

पहली तरह का टूटना

हटाने योग्य - एकतरफा सीमाएं मौजूद हैं और बराबर हैं;

घातक (कूदना) - एक तरफा सीमाएँ समान नहीं हैं;

दूसरे प्रकार का असंबद्धता: एक बिंदु पर फलन की सीमा मौजूद नहीं होती है।

उदाहरण 16. किसी बिंदु पर किसी फलन के असंतत होने की प्रकृति को स्थापित करें या इस बिंदु पर किसी फलन की निरंतरता को सिद्ध करें।

के लिए, फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, इसलिए यह इस बिंदु पर निरंतर नहीं है। चूंकि और तदनुसार, , तो पहली तरह का एक असंततता बिंदु है।

बी)

कार्य (ए) की तुलना में, फ़ंक्शन को बिंदु पर बढ़ाया जाता है ताकि , इसलिए दिया गया कार्य दिए गए बिंदु पर निरंतर है।

जब फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता है;

.

चूंकि एक तरफा सीमाओं में से एक अनंत है, तो दूसरी तरह का एक असंततता बिंदु है।

अध्याय दो

2.1 व्युत्पन्न की परिभाषा

व्युत्पन्न परिभाषा

व्युत्पन्न या किसी दिए गए फ़ंक्शन का तर्क के संगत वेतन वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है:

या .

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है। व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा है:

2.2 विभेदीकरण के बुनियादी नियम

नाम	समारोह	यौगिक
एक स्थिर कारक से गुणा
दो कार्यों का बीजगणितीय योग
दो कार्यों का उत्पाद
दो कार्यों का भागफल
जटिल कार्य

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

संख्या पी / पी	समारोह का नाम	कार्य और उसका व्युत्पन्न
1	लगातार
2	ऊर्जा समीकरण विशेष स्थितियां
3	घातांक प्रकार्य विशेष मामला
4	लॉगरिदमिक फ़ंक्शन विशेष मामला
5	त्रिकोणमितीय फलन
6	उलटना त्रिकोणमितीय

बी)

2.3 हायर ऑर्डर डेरिवेटिव्स

किसी फ़ंक्शन का दूसरा क्रम व्युत्पन्न

फ़ंक्शन का दूसरा क्रम व्युत्पन्न:

उदाहरण 18.

ए) फ़ंक्शन का दूसरा क्रम व्युत्पन्न खोजें।

समाधान। आइए पहले पहले क्रम का अवकलज ज्ञात करें .

पहले आदेश के व्युत्पन्न से, हम फिर से व्युत्पन्न लेते हैं।

उदाहरण 19. फलन का तृतीय कोटि अवकलज ज्ञात कीजिए।

2.4 कार्यों की खोज

2.4.1 पूर्ण कार्य अध्ययन योजना:

पूर्ण कार्य अध्ययन योजना:

1. प्राथमिक शोध:

परिभाषा के क्षेत्र और मूल्यों की सीमा का पता लगाएं;

सामान्य गुणों का पता लगाएं: सम (विषम), आवर्तता;

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें;

स्थिरता के क्षेत्रों का निर्धारण करें।

2. स्पर्शोन्मुख:

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी खोजें यदि ;

तिरछे स्पर्शोन्मुख खोजें:।

यदि कोई संख्या है, तो क्षैतिज अनंतस्पर्शी हैं।

3. अनुसंधान का उपयोग कर:

महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, वो। जिन बिंदुओं पर या मौजूद नहीं है;

वृद्धि के अंतराल निर्धारित करें, अर्थात्। अंतराल जिस पर और समारोह की कमी - ;

चरम बिंदुओं का निर्धारण करें: जिन बिंदुओं से गुजरते समय "+" से "-" में परिवर्तन होता है, वे अधिकतम बिंदु होते हैं, "-" से "+" तक - न्यूनतम।

4. अनुसंधान का उपयोग कर:

उन बिंदुओं का पता लगाएं जिन पर या मौजूद नहीं है;

उत्तलता के क्षेत्रों का पता लगाएं, अर्थात। अंतराल, जिस पर और अंतराल -;

विभक्ति बिंदु खोजें, अर्थात। संक्रमण के बिंदु जिसके माध्यम से संकेत बदलता है।

1. अध्ययन के अलग-अलग तत्वों को ग्राफ पर धीरे-धीरे प्लॉट किया जाता है, जैसा कि वे पाए जाते हैं।

2. यदि किसी फंक्शन का ग्राफ़ बनाने में कठिनाइयाँ आती हैं, तो फंक्शन के मान कुछ अतिरिक्त बिन्दुओं पर मिलते हैं।

3. अध्ययन का उद्देश्य कार्य के व्यवहार की प्रकृति का वर्णन करना है। इसलिए, एक सटीक ग्राफ नहीं बनाया गया है, लेकिन इसका सन्निकटन, जिस पर पाए गए तत्व (चरम, विभक्ति बिंदु, स्पर्शोन्मुख, आदि) स्पष्ट रूप से चिह्नित हैं।

4. उपरोक्त योजना का कड़ाई से पालन करना आवश्यक नहीं है; यह महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन के व्यवहार के विशिष्ट तत्वों को याद न करें।

2.4.2 कार्य अध्ययन उदाहरण:

1)

2) फ़ंक्शन विषम:

.

3) स्पर्शोन्मुख।

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी हैं, क्योंकि

तिरछा स्पर्शोन्मुख।

5)

- संक्रमण का बिन्दु।

2) फ़ंक्शन विषम:

3) स्पर्शोन्मुख: कोई लंबवत स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

झुका हुआ:

तिरछे स्पर्शोन्मुख हैं

4) - समारोह बढ़ रहा है।

- संक्रमण का बिन्दु।

इस फ़ंक्शन का योजनाबद्ध ग्राफ:

2) सामान्य कार्य

3) स्पर्शोन्मुख

- कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं

क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है

- संक्रमण का बिन्दु

इस फ़ंक्शन का योजनाबद्ध ग्राफ:

2) स्पर्शोन्मुख।

ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है, क्योंकि

- कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं

, क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है

इस फ़ंक्शन का योजनाबद्ध ग्राफ:

2) स्पर्शोन्मुख

पर लम्बवत अनंतस्पर्शी है, क्योंकि

- कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं

, क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है

3) - प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन घटता है।

इस फ़ंक्शन का योजनाबद्ध ग्राफ:

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आप इस योजना का उपयोग कर सकते हैं:

1. फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

2. फलन के उन क्रांतिक बिंदुओं का पता लगाएं जिन पर या मौजूद नहीं है।

3. किसी दिए गए खंड और उसके सिरों पर महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें और उनमें से सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

उदाहरण। दिए गए खंड पर फलन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

25. बीच में

2) - महत्वपूर्ण बिंदु

26. बीच में।

व्युत्पन्न पर मौजूद नहीं है, लेकिन 1 इस अंतराल से संबंधित नहीं है। फ़ंक्शन अंतराल पर घटता है, जिसका अर्थ है कि कोई अधिकतम मान नहीं है, लेकिन सबसे छोटा मान है।

2.5 एल'अस्पताल का नियम

प्रमेय। दो असीम रूप से छोटे या असीम रूप से बड़े कार्यों के अनुपात की सीमा उनके डेरिवेटिव (परिमित या अनंत) के अनुपात की सीमा के बराबर है, यदि बाद वाले संकेतित अर्थ में मौजूद हैं।

वे। प्रकार की अनिश्चितताओं का खुलासा करते समय या, आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

.

27.

अध्याय 3. इंटीग्रल कैलकुलस

3.1 अनिश्चितकालीन अभिन्न

3.1.1 परिभाषाएं और गुण

परिभाषा 1. एक फलन को यदि के लिए प्रतिअवकलन कहते हैं।

परिभाषा 2. एक फलन f(x) का अनिश्चित समाकल इस फलन के सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय है।

पद: , जहां c एक मनमाना स्थिरांक है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

1. अनिश्चितकालीन अभिन्न का व्युत्पन्न:

2. अनिश्चितकालीन अभिन्न का अंतर:

3. अंतर का अनिश्चितकालीन अभिन्न:

4. दो कार्यों के योग (अंतर) का अनिश्चितकालीन अभिन्न:

5. अचर गुणनखंड को अनिश्चित समाकल के चिह्न से बाहर निकालना:

3.1.2 समाकलकों की तालिका

.1.3 बुनियादी एकीकरण विधियां

1. अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों का उपयोग करना।

उदाहरण 29.

2. अंतर के संकेत के तहत लाना।

उदाहरण 30.

3. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि:

ए) इंटीग्रल में प्रतिस्थापन

कहाँ पे - एक ऐसा फ़ंक्शन जो मूल की तुलना में एकीकृत करना आसान है; - फ़ंक्शन, उलटा फ़ंक्शन; - समारोह के विरोधी व्युत्पन्न।

उदाहरण 31.

बी) फॉर्म के अभिन्न अंग में प्रतिस्थापन:

उदाहरण 32.

उदाहरण 33.

4. भागों विधि द्वारा एकीकरण:

उदाहरण 34.

उदाहरण 35.

इंटीग्रल को अलग से लें

आइए अपने अभिन्न पर वापस जाएं:

3.2 निश्चित समाकलन

3.2.1 एक निश्चित समाकल की अवधारणा और उसके गुण

परिभाषा।मान लीजिए कि कुछ अंतराल पर एक सतत फलन दिया जाता है। आइए इसे साजिश करते हैं।

ऊपर से एक वक्र द्वारा, बाईं और दाईं ओर से सीधी रेखाओं से और नीचे से बिंदु a और b के बीच भुज अक्ष के एक खंड से घिरी हुई आकृति को वक्रीय समलम्बाकार कहा जाता है।

एस - क्षेत्र - वक्रतापूर्ण समलम्बाकार।

अंतराल को बिंदुओं से विभाजित करें और प्राप्त करें:

अभिन्न योग:

परिभाषा। निश्चित समाकल समाकलन योग की सीमा है।

एक निश्चित अभिन्न के गुण:

1. एक अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से निकाला जा सकता है:

2. दो फलनों के बीजीय योग का समाकल इन फलनों के समाकलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है:

3. यदि समाकलन के खंड को भागों में विभाजित किया जाता है, तो पूरे खंड पर समाकलन उत्पन्न होने वाले प्रत्येक भाग के लिए समाकलों के योग के बराबर होता है, अर्थात। किसी भी ए, बी, सी के लिए:

4. यदि खण्ड पर , तो तथा

5. एकीकरण की सीमाओं को आपस में बदला जा सकता है, और अभिन्न परिवर्तनों का संकेत:

6.

7. बिंदु पर समाकल 0 के बराबर है:

8.

9. ("माध्य के बारे में") मान लीजिए कि y = f(x) पर एक पूर्णांकीय फलन है। फिर , जहां , f(c) f(x) का औसत मान है:

10. न्यूटन-लीबनिज सूत्र

,

जहाँ F(x) f(x) का प्रतिअवकलन है।

3.2.2 एक निश्चित समाकल की गणना करने की विधियाँ।

1. प्रत्यक्ष एकीकरण

उदाहरण 35.

ए)

बी)

वी)

इ)

2. एक निश्चित समाकल के चिन्ह के अंतर्गत चरों का परिवर्तन .

उदाहरण 36.

2. एक निश्चित अभिन्न में भागों द्वारा एकीकरण .

उदाहरण 37.

ए)

बी)

इ)

3.2.3 निश्चित समाकल के अनुप्रयोग

विशेषता	समारोह प्रकार	सूत्र
	कार्टेशियन निर्देशांक में
वक्रीय क्षेत्र क्षेत्र	ध्रुवीय निर्देशांक में
एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र	पैरामीट्रिक रूप में
चाप की लम्बाई	कार्टेशियन निर्देशांक में
चाप की लम्बाई	ध्रुवीय निर्देशांक में
चाप की लम्बाई	पैरामीट्रिक रूप में
शरीर की मात्रा रोटेशन	कार्टेशियन निर्देशांक में
दिए गए अनुप्रस्थ के साथ शरीर का आयतन अनुभाग

उदाहरण 38. रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना कीजिए: तथा ।

समाधान:इन फलनों के आलेखों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम कार्यों को समान करते हैं और समीकरण को हल करते हैं

तो, प्रतिच्छेदन बिंदु और .

सूत्र का उपयोग करके आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

.

हमारे मामले में

उत्तर: क्षेत्रफल (वर्ग इकाई) है।

4.1 बुनियादी अवधारणाएँ

परिभाषा। यदि किसी निश्चित समुच्चय से स्वतंत्र संख्याओं के प्रत्येक युग्म को किसी नियम के अनुसार चर z के एक या अधिक मान निर्दिष्ट किए जाते हैं, तो चर z दो चरों का फलन कहलाता है।

परिभाषा। फ़ंक्शन z का प्रांत युग्मों का समूह है जिसके लिए फ़ंक्शन z मौजूद है।

दो चरों के फलन का प्रांत निर्देशांक तल ऑक्सी पर बिंदुओं का एक निश्चित समूह होता है। z-निर्देशांक को अनुप्रयुक्त कहा जाता है, और फिर फलन को ही अंतरिक्ष E 3 में किसी सतह के रूप में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए:

उदाहरण 39. किसी फलन का कार्यक्षेत्र ज्ञात कीजिए।

ए)

दाईं ओर की अभिव्यक्ति तभी समझ में आती है जब . इसका अर्थ यह है कि इस फलन का प्रांत मूल पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक वृत्त की सीमा के अंदर और अंदर स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय है।

इस फलन का क्षेत्र रेखाओं के बिन्दुओं को छोड़कर, तल के सभी बिन्दु हैं, अर्थात्। समायोजन ध्रुव।

परिभाषा। फ़ंक्शन स्तर रेखाएं रूप के समीकरणों द्वारा वर्णित समन्वय तल पर वक्रों का एक परिवार हैं।

उदाहरण 40 फीचर स्तर की रेखाएं खोजें .

समाधान। किसी दिए गए फ़ंक्शन की स्तर रेखाएं समीकरण द्वारा वर्णित विमान में वक्रों का एक परिवार हैं

अंतिम समीकरण त्रिज्या के बिंदु О 1 (1, 1) पर केन्द्रित वृत्तों के परिवार का वर्णन करता है। इस फ़ंक्शन द्वारा वर्णित क्रांति की सतह (पैराबोलॉइड) धुरी से दूर जाने पर "स्टीपर" हो जाती है, जो समीकरण x = 1, y = 1 द्वारा दिया जाता है। (चित्र 4)

4.2 कई चरों के कार्यों की सीमा और निरंतरता।

1. सीमाएं।

परिभाषा। संख्या ए को फ़ंक्शन की सीमा कहा जाता है क्योंकि बिंदु बिंदु पर जाता है, यदि प्रत्येक मनमाने ढंग से छोटी संख्या के लिए ऐसी संख्या है कि किसी भी बिंदु के लिए शर्त सत्य है, तो शर्त भी सच है . लिखो: .

उदाहरण 41. सीमाएँ ज्ञात कीजिए:

वे। सीमा निर्भर करती है, जिसका अर्थ है कि यह अस्तित्व में नहीं है।

2. निरंतरता।

परिभाषा। मान लें कि बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है। तब एक फलन को एक बिंदु पर निरंतर कहा जाता है यदि

(1)

और बिंदु मनमाने ढंग से बिंदु तक जाता है।

यदि किसी बिंदु पर शर्त (1) संतुष्ट नहीं होती है, तो इस बिंदु को फलन का विराम बिंदु कहा जाता है। यह निम्नलिखित मामलों में हो सकता है:

1) फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

2) कोई सीमा नहीं है।

3) यह सीमा मौजूद है, लेकिन इसके बराबर नहीं है।

उदाहरण 42. निर्धारित करें कि क्या दिया गया फलन बिंदु पर सतत है यदि ।

मिला क्या इसलिए यह फ़ंक्शन बिंदु पर निरंतर है।

सीमा k पर निर्भर करती है, अर्थात। यह इस बिंदु पर मौजूद नहीं है, जिसका अर्थ है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन में एक असंतुलन है।

4.3 अनेक चरों के फलनों के अवकलज और अवकलन

4.3.1 पहले आदेश के आंशिक व्युत्पन्न

तर्क x के संबंध में किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न चर y के निश्चित मान के लिए एक चर x के फ़ंक्शन का सामान्य व्युत्पन्न है और इसे दर्शाया गया है:

तर्क y के संबंध में किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न चर x के निश्चित मान के लिए एक चर y के फ़ंक्शन का सामान्य व्युत्पन्न है और इसे निरूपित किया जाता है:

उदाहरण 43. फलनों के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए।

4.3.2 दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न

दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव पहले ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव के आंशिक डेरिवेटिव हैं। प्रपत्र के दो चरों के एक फलन के लिए, चार प्रकार के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न संभव हैं:

दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न, जिसमें विभिन्न चर के संबंध में विभेदन किया जाता है, मिश्रित व्युत्पन्न कहलाते हैं। दो बार अवकलनीय फलन के मिश्रित द्वितीय कोटि के अवकलज समान होते हैं।

उदाहरण 44. द्वितीय कोटि के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए।

4.3.3 कुल अंतर और अनुमानित गणना के लिए इसका अनुप्रयोग।

परिभाषा। दो चरों के फलन का प्रथम कोटि अंतर सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है

.

उदाहरण 45. फलन के लिए कुल अंतर ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

.

तर्कों के छोटे वेतन वृद्धि के साथ x और y, फ़ंक्शन को लगभग dz के बराबर वृद्धि प्राप्त होती है, अर्थात। .

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का अनुमानित मान ज्ञात करने का सूत्र यदि किसी बिंदु पर उसका सटीक मान ज्ञात हो:

उदाहरण 46 खोजें .

समाधान। होने देना ,

फिर हम सूत्र का उपयोग करते हैं

उत्तर। .

उदाहरण 47. लगभग गणना करें।

समाधान। आइए एक समारोह पर विचार करें। हमारे पास है

उदाहरण 48. लगभग गणना करें।

समाधान। समारोह पर विचार करें . हम पाते हैं:

उत्तर। .

4.3.4 निहित कार्य विभेदन

परिभाषा। एक फ़ंक्शन को निहित कहा जाता है यदि यह एक समीकरण द्वारा दिया जाता है जो z के संबंध में हल करने योग्य नहीं है।

ऐसे फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं:

उदाहरण 49. समीकरण द्वारा दिए गए फलन z का आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए .

समाधान।

परिभाषा। एक फ़ंक्शन को निहित कहा जाता है यदि यह एक समीकरण द्वारा दिया जाता है जो y के संबंध में हल करने योग्य नहीं है।

ऐसे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सूत्र द्वारा पाया जाता है:

.

उदाहरण 50. इन फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए।

5.1 अनेक चरों वाले फलन का स्थानीय चरम सीमा

परिभाषा 1. फ़ंक्शन का बिंदु पर अधिकतम होता है यदि

परिभाषा 2. फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम होता है यदि सभी बिंदुओं के लिए पर्याप्त रूप से बिंदु के करीब और उससे अलग।

एक चरम के लिए एक आवश्यक शर्त। यदि फ़ंक्शन बिंदु पर एक चरम पर पहुंच जाता है, तो फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न गायब हो जाता है या उस बिंदु पर मौजूद नहीं होता है।

जिन बिंदुओं पर आंशिक व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं या मौजूद नहीं होते हैं उन्हें महत्वपूर्ण कहा जाता है।

एक चरम का पर्याप्त संकेत। फ़ंक्शन को महत्वपूर्ण बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित करें और इस बिंदु पर निरंतर दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव हैं

1) बिंदु पर एक स्थानीय अधिकतम है अगर तथा ;

2) बिंदु पर एक स्थानीय न्यूनतम है यदि तथा ;

3) यदि बिंदु पर स्थानीय चरम सीमा नहीं है;

दो चर के एक समारोह के चरम का अध्ययन करने की योजना।

1. फलनों के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए : तथा ।

2. समीकरणों की प्रणाली को हल करें, और फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।

3. दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें, महत्वपूर्ण बिंदुओं पर उनके मूल्यों की गणना करें और पर्याप्त स्थिति का उपयोग करके, एक्स्ट्रेमा की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें।

4. फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 51. किसी फलन का चरम ज्ञात कीजिए .

1) आइए आंशिक व्युत्पन्न खोजें।

2) समीकरणों के निकाय को हल करें

4) दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न और उनके मूल्यों को महत्वपूर्ण बिंदुओं पर खोजें:। बिंदु पर हमें मिलता है:

इसका मतलब है कि बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है। बिंदु पर हमें मिलता है:

यानी न्यूनतम बिंदु पर।

5.2 वैश्विक चरम (फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान)

कई चरों के एक फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान, कुछ बंद सेट पर निरंतर, चरम बिंदुओं पर या सेट की सीमा पर पहुंच जाते हैं।

सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की योजना।

1) क्षेत्र के अंदर स्थित महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं, इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

2) क्षेत्र की सीमा पर कार्य की जांच करें; यदि सीमा में कई अलग-अलग रेखाएँ हैं, तो प्रत्येक खंड के लिए अलग-अलग अध्ययन किया जाना चाहिए।

3) फ़ंक्शन के प्राप्त मूल्यों की तुलना करें और सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

उदाहरण 52. एक आयत में किसी फलन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, इसके लिए हम आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं: , और समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

हमें क्रांतिक बिंदु A मिला है। परिणामी बिंदु दिए गए क्षेत्र के अंदर है,

क्षेत्र की सीमा चार खंडों से बनी है: i. प्रत्येक खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

4) आइए प्राप्त परिणामों की तुलना करें और इसे बिंदुओं पर प्राप्त करें .

अध्याय 6. उपभोक्ता विकल्प मॉडल

हम मान लेंगे कि n अलग-अलग सामान हैं। फिर माल के कुछ सेट को n-आयामी वेक्टर द्वारा दर्शाया जाएगा , i-वें उत्पाद की मात्रा कहां है। वस्तु X के सभी समुच्चयों के समुच्चय को समष्टि कहते हैं।

एक व्यक्तिगत उपभोक्ता की पसंद एक वरीयता संबंध की विशेषता है: यह माना जाता है कि उपभोक्ता किन्हीं दो सेटों के बारे में कह सकता है जो अधिक वांछनीय हैं, या वह उनके बीच अंतर नहीं देखता है। वरीयता संबंध सकर्मक है: यदि सेट को सेट के लिए पसंद किया जाता है और सेट को सेट के लिए पसंद किया जाता है, तो सेट को सेट के लिए प्राथमिकता दी जाती है। हम मानेंगे कि उपभोक्ता व्यवहार पूरी तरह से व्यक्तिगत उपभोक्ता के स्वयंसिद्ध द्वारा वर्णित है: प्रत्येक व्यक्तिगत उपभोक्ता अपनी वरीयताओं की प्रणाली के आधार पर खपत, खरीद आदि के बारे में निर्णय लेता है।

6.1 उपयोगिता समारोह

उपभोक्ता बंडलों के सेट पर X, फ़ंक्शन , जिसका उपभोक्ता सेट पर मूल्य इस सेट के लिए व्यक्ति की उपभोक्ता रेटिंग के बराबर है। फ़ंक्शन को उपभोक्ता उपयोगिता फ़ंक्शन या उपभोक्ता वरीयता फ़ंक्शन कहा जाता है। वे। प्रत्येक उपभोक्ता का अपना उपयोगिता कार्य होता है। लेकिन उपभोक्ताओं के पूरे सेट को उपभोक्ताओं के कुछ वर्गों (उम्र, संपत्ति की स्थिति, आदि) में विभाजित किया जा सकता है और प्रत्येक वर्ग को कुछ, शायद, एक औसत उपयोगिता कार्य सौंपा जा सकता है।

इस प्रकार, कार्य इस सेट को प्राप्त करते समय उपभोक्ता मूल्यांकन या व्यक्ति की जरूरतों की संतुष्टि का स्तर है। यदि एक सेट किसी दिए गए व्यक्ति के लिए एक सेट के लिए बेहतर है, तो .

उपयोगिता समारोह गुण।

1.

उपयोगिता फलन के प्रथम आंशिक अवकलज को उत्पादों की सीमांत उपयोगिता कहा जाता है। इस संपत्ति से यह इस प्रकार है कि अन्य उत्पादों की समान खपत के साथ एक उत्पाद की खपत में वृद्धि से उपभोक्ता मूल्यांकन में वृद्धि होती है। वेक्टर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट है, यह फ़ंक्शन की सबसे बड़ी वृद्धि की दिशा को दर्शाता है। किसी फ़ंक्शन के लिए, इसका ग्रेडिएंट उत्पादों की सीमांत उपयोगिताओं का एक सदिश है।

2.

वे। खपत बढ़ने पर किसी भी वस्तु की सीमांत उपयोगिता घट जाती है।

3.

वे। प्रत्येक उत्पाद की सीमांत उपयोगिता दूसरे उत्पाद की मात्रा के साथ बढ़ती है।

कुछ प्रकार के उपयोगिता कार्य।

1) नियोक्लासिकल: .

2) वर्ग: , जहां मैट्रिक्स ऋणात्मक निश्चित है और के लिये ।

3) लॉगरिदमिक फ़ंक्शन:।

6.2 उदासीनता रेखा

लागू समस्याओं और उपभोक्ता की पसंद के मॉडल में, दो वस्तुओं के एक सेट का एक विशेष मामला अक्सर उपयोग किया जाता है, अर्थात। जब उपयोगिता फलन दो चरों पर निर्भर करता है। उदासीनता रेखा उपभोक्ता सेटों को जोड़ने वाली एक रेखा है जिसमें व्यक्ति की जरूरतों की संतुष्टि का समान स्तर होता है। संक्षेप में, उदासीनता रेखाएँ कार्य स्तर की रेखाएँ हैं। उदासीनता रेखाओं के समीकरण: .

उदासीनता रेखाओं के मूल गुण।

1. आवश्यकताओं की संतुष्टि के विभिन्न स्तरों के अनुरूप उदासीनता की रेखाएँ स्पर्श या प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

2. उदासीनता की रेखाएँ घटती हैं।

3. उदासीनता की रेखाएँ उत्तल होती हैं।

संपत्ति 2 का तात्पर्य एक महत्वपूर्ण अनुमानित समानता से है।

यह अनुपात दर्शाता है कि एक व्यक्ति को अपनी आवश्यकताओं की संतुष्टि के स्तर को बदले बिना एक इकाई द्वारा पहले उत्पाद की खपत को कम (बढ़ते) करते हुए दूसरे उत्पाद की खपत में कितनी वृद्धि (कमी) करनी चाहिए। अनुपात को पहले उत्पाद के दूसरे द्वारा प्रतिस्थापन की दर कहा जाता है, और मूल्य को दूसरे उत्पाद द्वारा पहले उत्पाद के प्रतिस्थापन की सीमांत दर कहा जाता है।

उदाहरण 53. यदि पहली वस्तु की सीमांत उपयोगिता 6 है, और दूसरी 2 है, तो पहली वस्तु की खपत में एक इकाई की कमी के साथ, दूसरी वस्तु की खपत में उसी समय 3 इकाई की वृद्धि होनी चाहिए। जरूरतों की संतुष्टि का स्तर।

6.3 बजट सेट

होने देना n उत्पादों के एक सेट के लिए कीमतों का वेक्टर है; मैं व्यक्ति की आय है, जिसे वह उत्पादों के एक सेट की खरीद पर खर्च करने को तैयार है। दी गई कीमतों पर अधिकतम I लागत वाली वस्तुओं के बंडलों के सेट को बजट सेट B कहा जाता है। इस मामले में, I लागत वाले बंडलों के सेट को बजट सेट B की सीमा G कहा जाता है। इस प्रकार। सेट बी सीमा जी और प्राकृतिक बाधाओं से घिरा है।

बजट सेट को असमानताओं की प्रणाली द्वारा वर्णित किया गया है:

दो वस्तुओं के एक सेट के मामले में, बजट सेट बी (छवि 1) समन्वय प्रणाली में एक त्रिकोण है, जो समन्वय अक्ष और सीधी रेखा से घिरा है।

6.4 उपभोक्ता मांग सिद्धांत

खपत के सिद्धांत में, यह माना जाता है कि उपभोक्ता हमेशा अपनी उपयोगिता को अधिकतम करना चाहता है और उसके लिए एकमात्र सीमा सीमित आय I है जिसे वह सामानों के एक सेट को खरीदने पर खर्च कर सकता है। सामान्य तौर पर, उपभोक्ता की पसंद की समस्या (बाजार में तर्कसंगत उपभोक्ता व्यवहार की समस्या) निम्नानुसार तैयार की जाती है: एक उपभोक्ता सेट खोजें , जो बजट की कमी को देखते हुए इसके उपयोगिता कार्य को अधिकतम करता है। इस कार्य का गणितीय मॉडल:

दो वस्तुओं के एक सेट के मामले में:

ज्यामितीय रूप से, इस समस्या का समाधान बजट सेट G की सीमा और उदासीनता रेखा के बीच संपर्क बिंदु है।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए इस समस्या का समाधान कम किया गया है:

(1)

इस प्रणाली का समाधान उपभोक्ता की पसंद की समस्या का समाधान है।

उपभोक्ता की पसंद की समस्या के समाधान को मांग बिंदु कहा जाता है। मांग का यह बिंदु कीमतों और आय पर निर्भर करता है I मांग बिंदु मांग का एक कार्य है। बदले में, मांग फ़ंक्शन n फ़ंक्शन का एक सेट है, जिनमें से प्रत्येक तर्क पर निर्भर करता है:

इन कार्यों को संबंधित वस्तुओं का मांग फलन कहा जाता है।

उदाहरण 54. बाजार में दो वस्तुओं के सेट के लिए, उनके लिए ज्ञात मूल्य और आय I, मांग फलन ज्ञात कीजिए यदि उपयोगिता फलन का रूप है .

समाधान। हम उपयोगिता फ़ंक्शन को अलग करते हैं:

.

हम प्राप्त अभिव्यक्तियों को (1) में प्रतिस्थापित करते हैं और समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

इस मामले में, प्रत्येक उत्पाद पर खर्च उपभोक्ता की आय का आधा होगा, और खरीदे गए उत्पाद की राशि उस पर खर्च की गई राशि के बराबर होती है, जो उत्पाद की कीमत से विभाजित होती है।

उदाहरण 55. मान लें कि उपयोगिता पहले उत्पाद के लिए कार्य करती है, दूसरी,

पहली वस्तु की कीमत, दूसरी की कीमत। आय। उपयोगिता को अधिकतम करने के लिए उपभोक्ता को कितना सामान खरीदना चाहिए?

समाधान। उपयोगिता कार्यों के व्युत्पन्न खोजें, सिस्टम में स्थानापन्न करें (1) और इसे हल करें:

उपयोगिता अधिकतमकरण के मामले में माल का यह सेट उपभोक्ता के लिए इष्टतम है।

एक अलग नोटबुक में रिकॉर्ड बुक नंबर के अंतिम अंक द्वारा चुने गए विकल्प के अनुसार नियंत्रण कार्य पूरा किया जाना चाहिए। प्रत्येक समस्या में एक शर्त, एक विस्तृत समाधान और एक निष्कर्ष होना चाहिए।

1. पथरी का परिचय

कार्य 1. फ़ंक्शन का डोमेन खोजें।

5.

कार्य 2. कार्यों की सीमा ज्ञात कीजिए।

.

टास्क 3. फंक्शन ब्रेक प्वाइंट खोजें और उनके प्रकार का निर्धारण करें।

1. 2. 3.

अध्याय दो

कार्य 4. इन कार्यों के व्युत्पन्न खोजें।

1. ए); बी) सी) वाई =;

डी) वाई = एक्स 6 + + + 5; ई) वाई \u003d एक्स टीजी एक्स + एलएन पाप एक्स + ई 3x;

च) वाई \u003d 2 एक्स - आर्कसिन एक्स।

2. क) ; बी) वाई =; सी) वाई =; डी) वाई \u003d एक्स 2 - + 3; ई) वाई = ई कॉस; च) वाई =।

3. ए) वाई = एलएनएक्स; बी) वाई =; सी) वाई = एलएन;

4. ए) वाई =; बी) वाई \u003d (ई 5 एक्स - 1) 6; सी) वाई =; डी) वाई =; ई) वाई = एक्स 8 ++ + 5; च) वाई \u003d 3 एक्स - आर्कसिन एक्स।

5. ए) वाई \u003d 2x 3 - + ई एक्स; बी) वाई =; सी) वाई =;

डी) वाई =; ई) वाई = 2 कॉस; च) वाई =।

6. ए) वाई = एलएनएक्स; बी) वाई =; सी) वाई = एलएन;

डी) वाई =; ई) वाई \u003d एक्स 7 + + 1; च) वाई = 2.

7. क) ; बी) वाई =; सी) वाई =; डी) वाई \u003d x 2 + xsinx +; ई) वाई = ई कॉस; च) वाई =।

8. ए) वाई =; बी) वाई \u003d (3 एक्स - 4) 6; सी) वाई = सिंघ;

डी) वाई = 3x 4 - - 9+ 9; ई) वाई =;

ई) वाई \u003d एक्स 2 + आर्कसिन एक्स - एक्स।

9. ए); बी) ; सी) वाई =; डी) वाई \u003d 5 पाप 3 एक्स; ई) वाई \u003d एक्स 3 - - 6+ 3; च) वाई = 4x 4 + एलएन।

10:00 पूर्वाह्न) बी) वाई =; सी) वाई = (3 एक्स - 4) 6; डी) वाई =; ई) वाई \u003d एक्स 2 - एक्स; च) y \u003d ई पाप 3 x + 2.

टास्क 5. एक फंक्शन की जांच करें और उसका ग्राफ बनाएं।

1. ए) बी) सी)।

2. ए) बी) वी) ।

3. ए) बी) वी) ।

4. बी) वी)

5. ए) बी) वी) ।

6. ए) बी) वी) ।

7. ए) बी) सी)।

8. ए) बी) सी)।

9. ए) बी) सी)।

10. ए) बी) वी) ।

टास्क 6. दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

अध्याय 3. इंटीग्रल कैलकुलस

कार्य 7. अनिश्चितकालीन समाकल ज्ञात कीजिए।

1. क) बी);

2. क) ;बी) सी) डी)।

4. जी)

5. क) ; बी); वी) ; जी)।

6. क) ; बी); वी); जी)

7. क) ; बी) ; वी) ; जी)

8. क) ; बी); वी) ; जी) ।

9. क) ; बी) सी); जी)।

10:00 पूर्वाह्न) बी) वी) ; जी) ।

कार्य 8. निश्चित समाकलों की गणना कीजिए।

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

समस्या 9. अनुचित समाकल ज्ञात कीजिए या सिद्ध कीजिए कि वे विचलन करते हैं।

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

समस्या 10. वक्रों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

अध्याय 4. अनेक चरों वाले फलन का अवकलन कलन।

कार्य 11. फ़ंक्शन का डोमेन खोजें (ड्राइंग पर दिखाया गया है)।

समस्या 12. के लिए एक फलन की निरंतरता की जाँच करें

कार्य 13. एक निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समस्या 14. लगभग गणना करें

1. ए); बी) ; वी)

2. क) ; बी) ; वी) .

3. क) ; बी) ; वी) ।

4. क) ; बी) ; वी) ।

5. ए); बी) ; वी) ।

6. ए); बी) ; वी) ।

7. ए); बी) ; वी) ।

8. ए) ;बी) ; वी)

9. क) ; बी) ; वी) .

10. ए) ;बी) ; वी)

समस्या 15. एक्स्ट्रेमा के लिए एक फलन की जाँच करें।

7. .

8. .

9. .

10. .

समस्या 16. दिए गए बंद क्षेत्र में किसी फलन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

1. एक आयत में

2.

3. एक आयत में

4. एक परवलय से घिरे क्षेत्र में

और एब्सिस्सा।

5. चुकता

6. निर्देशांक अक्षों और एक सीधी रेखा से घिरे त्रिभुज में

7. निर्देशांक अक्षों और एक सीधी रेखा से घिरे त्रिभुज में

8. निर्देशांक अक्षों और एक सीधी रेखा से घिरे त्रिभुज में

9. एक परवलय से घिरे क्षेत्र में

और एब्सिस्सा।

10. एक परवलय से घिरे क्षेत्र में

और एब्सिस्सा।

मुख्य

1. एम.एस. क्रॉस, बी.पी. चुप्रिनोव। गणित के मूल सिद्धांत और आर्थिक शिक्षा में इसका अनुप्रयोग: पाठ्यपुस्तक। - चौथा संस्करण, स्पेनिश। - एम .: डेलो, 2003।

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लेख की सामग्री

गणितीय विश्लेषण,गणित की एक शाखा जो परिवर्तन की विभिन्न प्रक्रियाओं के मात्रात्मक अध्ययन के लिए तरीके प्रदान करती है; परिवर्तन की दर (डिफरेंशियल कैलकुलस) के अध्ययन और वक्रों की लंबाई, क्षेत्रों और घुमावदार आकृति और सतहों (इंटीग्रल कैलकुलस) से बंधे हुए आंकड़ों के आयतन के निर्धारण से संबंधित है। गणितीय विश्लेषण की समस्याओं के लिए यह विशिष्ट है कि उनका समाधान एक सीमा की अवधारणा से जुड़ा है।

गणितीय विश्लेषण की शुरुआत 1665 में आई. न्यूटन द्वारा और (लगभग 1675) स्वतंत्र रूप से जी. लिबनिज़ द्वारा की गई थी, हालांकि महत्वपूर्ण प्रारंभिक कार्य आई. केपलर (1571-1630), एफ. कैवेलियरी (1598-1647) द्वारा किया गया था। पी. फ़र्मेट (1601–1665), जे. वालिस (1616–1703) और आई. बैरो (1630–1677)।

प्रस्तुति को अधिक जीवंत बनाने के लिए हम रेखांकन की भाषा का सहारा लेंगे। इसलिए, पाठक के लिए इस लेख को पढ़ने से पहले विश्लेषणात्मक ज्यामिति लेख को देखना उपयोगी हो सकता है।

अंतर कलन

स्पर्शरेखा।

अंजीर पर। 1 वक्र का एक टुकड़ा दिखाता है आप = 2एक्स – एक्स 2 के बीच संलग्न एक्स= -1 और एक्स= 3. पर्याप्त रूप से इस वक्र के छोटे खंड सीधे दिखते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि आरइस वक्र का एक मनमाना बिंदु है, तो इस बिंदु से गुजरने वाली कुछ सीधी रेखा है और बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में वक्र का सन्निकटन है आर, और आस-पड़ोस जितना छोटा होगा, सन्निकटन उतना ही बेहतर होगा। ऐसी रेखा को बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा कहा जाता है आर. डिफरेंशियल कैलकुलस का मुख्य कार्य एक सामान्य विधि का निर्माण करना है जो आपको वक्र पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा की दिशा खोजने की अनुमति देता है जहाँ स्पर्शरेखा मौजूद है। एक तीव्र विराम के साथ वक्र की कल्पना करना आसान है (चित्र 2)। अगर आरइस तरह के एक ब्रेक का शीर्ष है, तो एक अनुमानित सीधी रेखा बनाना संभव है पीटी 1 - बिंदु के दाईं ओर आरऔर दूसरी सन्निकटन रेखा आर टी 2 - बिंदु के बाईं ओर आर. लेकिन बिंदु से गुजरने वाली एक भी रेखा नहीं है आर, जो बिंदु के आसपास के क्षेत्र में समान रूप से अच्छी तरह से वक्र के पास पहुंचा पीदाईं ओर और बाईं ओर, इसलिए बिंदु पर स्पर्शरेखा पीमौजूद नहीं होना।

अंजीर पर। 1 स्पर्शरेखा सेमूल के माध्यम से खींचा गया हे= (0,0)। इस सरल रेखा का ढाल 2 है, अर्थात्। जब भुज 1 से बदल जाता है, तो कोटि 2 से बढ़ जाती है। यदि एक्सतथा आपपर एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक हैं से, फिर से दूर जा रहा है हेदूरी पर एक्सइकाइयाँ दाईं ओर, हम दूर जाते हैं हे 2 . को आपइकाइयां ऊपर। इसलिये, आप/एक्स= 2, या आप = 2एक्स. यह स्पर्शरेखा समीकरण है सेवक्र के लिए आप = 2एक्स – एक्स 2 बिंदु पर हे.

अब यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि बिन्दु से गुजरने वाली रेखाओं के समुच्चय से क्यों? हे, सीधी रेखा को चुना जाता है से. 2 की ढलान वाली सीधी रेखा और अन्य सीधी रेखाओं में क्या अंतर है? एक सरल उत्तर है, और हमारे लिए एक वृत्त के स्पर्शरेखा की सादृश्यता का उपयोग करके इसे देने के प्रलोभन का विरोध करना कठिन है: स्पर्शरेखा सेवक्र के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है, जबकि बिंदु से गुजरने वाली कोई अन्य गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा है हे, वक्र को दो बार पार करता है। इसे निम्नानुसार सत्यापित किया जा सकता है।

अभिव्यक्ति के बाद से आप = 2एक्स – एक्स 2 घटाकर प्राप्त किया जा सकता है एक्स 2 के आप = 2एक्स(सीधी रेखा समीकरण से), फिर मान आपग्राफिक्स के लिए कम ज्ञान है आपबिंदु को छोड़कर सभी बिंदुओं पर एक सीधी रेखा के लिए एक्स= 0. इसलिए, बिंदु को छोड़कर ग्राफ हर जगह है हे, नीचे स्थित से, और इस रेखा और आलेख में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है। इसके अलावा, यदि आप = एमएक्स- बिंदु से गुजरने वाली किसी अन्य सीधी रेखा का समीकरण हे, तो चौराहे के दो बिंदु होने चाहिए। सच में, एमएक्स = 2एक्स – एक्स 2 न केवल के लिए एक्स= 0, लेकिन के लिए भी एक्स = 2 – एम. और केवल जब एम= 2 प्रतिच्छेदन के दोनों बिंदु संपाती हैं। अंजीर पर। 3 मामला दिखाता है जब एम 2 से कम, तो . के दायीं ओर हेदूसरा चौराहा बिंदु है।

क्या सेबिंदु से गुजरने वाली एकमात्र गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा है हेऔर ग्राफ़ के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होना, जो कि इसका सबसे महत्वपूर्ण गुण नहीं है। वास्तव में, यदि हम अन्य रेखांकन की ओर मुड़ें, तो यह जल्द ही स्पष्ट हो जाएगा कि हमने जो स्पर्शरेखा नोट की है, वह आम तौर पर संतुष्ट नहीं है। उदाहरण के लिए, अंजीर से। 4 यह देखा जा सकता है कि बिंदु (1,1) के निकट वक्र का प्लॉट आप = एक्स 3 एक सीधी रेखा द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है आर टी, हालांकि, इसके साथ एक से अधिक सामान्य बिंदु हैं। हालांकि, हम विचार करना चाहेंगे आर टीबिंदु पर इस ग्राफ के स्पर्शरेखा आर. इसलिए, पहले उदाहरण में हमें इतनी अच्छी तरह से सेवा देने वाले की तुलना में स्पर्शरेखा को उजागर करने के लिए कोई अन्य तरीका खोजना आवश्यक है।

आइए मान लें कि बिंदु के माध्यम से हेऔर एक मनमाना बिंदु क्यू = (एच,क) वक्र के ग्राफ पर आप = 2एक्स – एक्स 2 (चित्र 5) एक सीधी रेखा (जिसे छेदक कहा जाता है) खींची जाती है। वक्र के समीकरण में मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एक्स = एचतथा आप = क, हमें वह मिलता है क = 2एच – एच 2 , इसलिए, छेदक का ढलान बराबर है

बहुत छोटा एचअर्थ एम 2 के करीब। इसके अलावा, चुनना एच 0 के काफी करीब, हम कर सकते हैं एममनमाने ढंग से करीब 2. हम कह सकते हैं कि एम"सीमा तक जाता है" 2 के बराबर जब एचशून्य हो जाता है, या सीमा क्या है एमबराबर 2 जब एचशून्य की ओर प्रवृत्त। प्रतीकात्मक रूप से यह इस प्रकार लिखा गया है:

फिर बिंदु . पर ग्राफ की स्पर्शरेखा हेएक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के रूप में परिभाषित हे, इस सीमा के बराबर ढलान के साथ। स्पर्शरेखा की यह परिभाषा सामान्य स्थिति में लागू होती है।

हम एक और उदाहरण के साथ इस दृष्टिकोण के फायदे दिखाएंगे: हम वक्र के ग्राफ के स्पर्शरेखा का ढलान पाएंगे आप = 2एक्स – एक्स 2 एक मनमाना बिंदु पर पी = (एक्स,आप), सरलतम मामले तक सीमित नहीं है जब पी = (0,0).

होने देना क्यू = (एक्स + एच, आप + क) दूरी पर स्थित ग्राफ पर दूसरा बिंदु है एचके अधिकार के लिए आर(चित्र 6)। ढाल गुणांक ज्ञात करना आवश्यक है क/एचकाटनेवाला पी क्यू. दूरसंचार विभाग क्यूदूरी पर है

धुरी के ऊपर एक्स.

कोष्ठक का विस्तार करते हुए, हम पाते हैं:

इस समीकरण से घटाना आप = 2एक्स – एक्स 2 , बिंदु से लंबवत दूरी पाएं आरमुद्दे पर क्यू:

इसलिए, ढलान एमकाटनेवाला पी क्यूबराबरी

अब वह एचशून्य हो जाता है एम 2 - 2 . की ओर जाता है एक्स; हम स्पर्शरेखा के ढलान के लिए अंतिम मान लेंगे पीटी. (वही परिणाम प्राप्त होगा यदि एचनकारात्मक मान लेता है, जो एक बिंदु की पसंद से मेल खाता है क्यूकी बाईं ओर पी।) ध्यान दें कि के लिए एक्स= 0 परिणाम पिछले वाले जैसा ही है।

अभिव्यक्ति 2 - 2 एक्स 2 . का व्युत्पन्न कहा जाता है एक्स – एक्स 2. पुराने दिनों में, व्युत्पन्न को "अंतर अनुपात" और "अंतर गुणांक" भी कहा जाता था। यदि व्यंजक 2 एक्स – एक्स 2 मनोनीत एफ(एक्स), अर्थात।

तब व्युत्पन्न निरूपित किया जा सकता है

फलन ग्राफ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करने के लिए आप = एफ(एक्स) किसी बिंदु पर, इसे प्रतिस्थापित करना आवश्यक है एफў ( एक्स) इस बिंदु के अनुरूप मूल्य एक्स. तो ढलान एफ(0) = 2 के लिए एक्स = 0, एफ(0) = 0 के लिए एक्स= 1 और एफ(2) = -2 पर एक्स = 2.

व्युत्पन्न को भी निरूपित किया जाता है परў , डीवाई/डीएक्स, डी एक्स वाईतथा कर.

तथ्य यह है कि वक्र आप = 2एक्स – एक्सकिसी दिए गए बिंदु के पास 2 इस बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा से व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य है, हमें स्पर्शरेखा के ढलान को संपर्क के बिंदु पर "वक्र की ढलान" के रूप में बोलने की अनुमति देता है। इस प्रकार, हम यह दावा कर सकते हैं कि हम जिस वक्र पर विचार कर रहे हैं उसकी ढलान बिंदु (0,0) पर 2 की ढलान है। हम यह भी कह सकते हैं कि जब एक्स= 0 परिवर्तन की दर आपअपेक्षाकृत एक्स 2 के बराबर है। बिंदु (2,0) पर, स्पर्शरेखा (और वक्र) का ढलान -2 है। (ऋण चिह्न का अर्थ है कि जैसे एक्सचर आपघटता है।) बिंदु (1,1) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है। हम कहते हैं वक्र आप = 2एक्स – एक्सइस बिंदु पर 2 का स्थिर मान है।

उतार - चढ़ाव।

हमने अभी दिखाया है कि वक्र एफ(एक्स) = 2एक्स – एक्स 2 बिंदु (1,1) पर स्थिर है। चूंकि एफў ( एक्स) = 2 – 2एक्स = 2(1 – एक्स), यह स्पष्ट है कि जब एक्स, 1 से कम, एफў ( एक्स) सकारात्मक है, और इसलिए आपबढ़ती है; पर एक्स, बड़ा 1, एफў ( एक्स) नकारात्मक है, और इसलिए आपघटता है। इस प्रकार, बिंदु (1,1) के आसपास के क्षेत्र में, अंजीर में दर्शाया गया है। 6 अक्षर एम, अर्थ परएक बिंदु तक बढ़ रहा है एम, बिंदु पर स्थिर एमऔर बिंदु के बाद घटता है एम. ऐसे बिंदु को "अधिकतम" कहा जाता है क्योंकि मान परइस बिंदु पर इसके पर्याप्त रूप से छोटे पड़ोस में इसके किसी भी मूल्य से अधिक है। इसी तरह, "न्यूनतम" को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके चारों ओर सभी मान आपमूल्य से अधिक परइसी बिंदु पर। ऐसा भी हो सकता है कि यद्यपि का व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी बिंदु पर और गायब हो जाता है, इस बिंदु के पड़ोस में इसका चिन्ह नहीं बदलता है। ऐसा बिंदु, जो न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम हो, विभक्ति बिंदु कहलाता है।

एक उदाहरण के रूप में, आइए वक्र का स्थिर बिंदु ज्ञात करें

इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

और गायब हो जाता है एक्स = 0, एक्स= 1 और एक्स= -1; वे। बिंदुओं (0,0), (1, -2/15) और (-1, 2/15) पर। अगर एक्स-1 से थोड़ा कम, तो एफў ( एक्स) नकारात्मक है; अगर एक्स-1 से थोड़ा अधिक, तो एफў ( एक्स) सकारात्मक है। इसलिए, बिंदु (-1, 2/15) अधिकतम है। इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि बिंदु (1, -2/15) एक न्यूनतम है। लेकिन व्युत्पन्न एफў ( एक्स) बिंदु (0,0) से पहले और उसके बाद दोनों में ऋणात्मक है। इसलिए, (0,0) एक विभक्ति बिंदु है।

अध्ययन वक्र के आकार के साथ-साथ इस तथ्य पर किया गया कि वक्र अक्ष को काटता है एक्सपर एफ(एक्स) = 0 (यानी, के लिए एक्स= 0 या ) हमें इसके ग्राफ को लगभग चित्र में दर्शाए अनुसार निरूपित करने की अनुमति देते हैं। 7.

सामान्य तौर पर, यदि हम असामान्य मामलों (सीधी रेखा खंडों वाले वक्र या अनंत संख्या में मोड़) को बाहर करते हैं, तो वक्र की सापेक्ष स्थिति और स्पर्शरेखा बिंदु के आसपास स्पर्शरेखा के लिए चार विकल्प होते हैं। आर. (सेमी. चावल। 8, जहाँ स्पर्श रेखा का ढाल धनात्मक है।)

1) बिंदु के दोनों ओर आरवक्र स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित है (चित्र 8, ए) इस मामले में, हम कहते हैं कि बिंदु पर वक्र आरउत्तल नीचे या अवतल।

2) बिंदु के दोनों ओर आरवक्र स्पर्शरेखा के नीचे स्थित है (चित्र 8, बी) इस मामले में, वक्र को ऊपर की ओर उत्तल या केवल उत्तल कहा जाता है।

3) और 4) वक्र बिंदु के एक तरफ स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित होता है आरऔर नीचे - दूसरे पर। इस मामले में आर- संक्रमण का बिन्दु।

मूल्यों की तुलना एफў ( एक्स) के दोनों किनारों पर आरबिंदु पर इसके मूल्य के साथ आर, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि किसी विशेष समस्या में आपको इन चार मामलों में से किससे निपटना है।

अनुप्रयोग।

उपरोक्त सभी विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक पिंड को 200 फीट प्रति सेकंड के प्रारंभिक वेग के साथ लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो ऊंचाई एस, जिस पर वे स्थित होंगे टीप्रारंभिक बिंदु की तुलना में सेकंड होगा

जिस तरह से हमने उदाहरणों पर विचार किया है, उसी तरह से आगे बढ़ते हुए, हम पाते हैं

यह मान s पर लुप्त हो जाता है। यौगिक एफў ( एक्स) इस समय के बाद c तक धनात्मक और ऋणात्मक है। इसलिये, एसतक बढ़ता है, फिर स्थिर हो जाता है, और फिर घट जाता है। यह ऊपर की ओर फेंके गए पिंड की गति का सामान्य विवरण है। इससे हम सीखते हैं जब शरीर अपने उच्चतम बिंदु पर पहुंच जाता है। अगला, प्रतिस्थापन टी= 25/4 इंच एफ(टी), हमें 625 फीट, अधिकतम लिफ्ट ऊंचाई मिलती है। इस कार्य में एफў ( टी) का भौतिक अर्थ है। यह व्युत्पन्न उस गति को दर्शाता है जिस पर शरीर एक समय में आगे बढ़ रहा है टी.

आइए अब एक अन्य प्रकार के अनुप्रयोग पर विचार करें (चित्र 9)। 75 सेमी 2 के क्षेत्र के साथ कार्डबोर्ड की एक शीट से, एक चौकोर तल के साथ एक बॉक्स बनाना आवश्यक है। अधिकतम आयतन प्राप्त करने के लिए इस बॉक्स के आयाम क्या होने चाहिए? अगर एक्स- बॉक्स के आधार के किनारे और एचइसकी ऊंचाई है, तो बॉक्स की मात्रा बराबर है वी = एक्स 2 एच, और सतह का क्षेत्रफल 75 = . है एक्स 2 + 4xh. समीकरण को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

का व्युत्पन्न वीबराबर हो जाता है

और गायब हो जाता है एक्स= 5. तब

तथा वी= 125/2। फंक्शन ग्राफ वी = (75एक्स – एक्स 3)/4 अंजीर में दिखाया गया है। 10 (ऋणात्मक मान एक्सइस समस्या में कोई भौतिक अर्थ नहीं होने के कारण छोड़ा गया है)।

संजात।

डिफरेंशियल कैलकुलस का एक महत्वपूर्ण कार्य उन तरीकों का निर्माण है जो आपको जल्दी और आसानी से डेरिवेटिव खोजने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, यह गणना करना आसान है कि

(स्थिरांक का व्युत्पन्न, निश्चित रूप से, शून्य है।) सामान्य नियम को निकालना कठिन नहीं है:

कहाँ पे एन- कोई पूर्णांक या भिन्न। उदाहरण के लिए,

(यह उदाहरण दिखाता है कि भिन्नात्मक घातांक कितने उपयोगी हैं।)

यहाँ कुछ सबसे महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं:

निम्नलिखित नियम भी हैं: 1) यदि दोनों में से प्रत्येक कार्य करता है जी(एक्स) तथा एफ(एक्स) में डेरिवेटिव हैं, तो उनके योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के डेरिवेटिव के योग के बराबर है, और अंतर का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के अंतर के बराबर है, अर्थात।

2) दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

3) दो कार्यों के अनुपात के व्युत्पन्न का रूप है

4) किसी फलन के अवकलज को अचर से गुणा करने पर, इस फलन के अवकलज से गुणित अचर के बराबर होता है, अर्थात्।

अक्सर ऐसा होता है कि किसी फ़ंक्शन के मानों की गणना चरणों में करनी पड़ती है। उदाहरण के लिए, पाप की गणना करने के लिए एक्स 2, हमें पहले खोजने की जरूरत है तुम = एक्स 2 , और फिर पहले से ही संख्या की ज्या की गणना करें तुम. हम तथाकथित "श्रृंखला नियम" का उपयोग करके ऐसे जटिल कार्यों का व्युत्पन्न पाते हैं:

हमारे उदाहरण में एफ(तुम) = पाप तुम, एफў ( तुम) = कोस तुम, इसलिए,

ये और इसी तरह के अन्य नियम कई कार्यों के डेरिवेटिव को तुरंत लिखना संभव बनाते हैं।

रैखिक सन्निकटन।

तथ्य यह है कि, व्युत्पन्न जानने के बाद, हम कई मामलों में किसी बिंदु के पास किसी बिंदु के स्पर्शरेखा के साथ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि सीधी रेखाओं के साथ काम करना आसान होता है।

यह विचार कार्यों के अनुमानित मूल्यों की गणना में प्रत्यक्ष आवेदन पाता है। उदाहरण के लिए, के लिए मान की गणना करना कठिन है एक्स= 1.033। लेकिन आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि 1.033 संख्या 1 के करीब है और वह है। बंद करे एक्स= 1 हम बिना कोई गंभीर गलती किए स्पर्शरेखा वक्र ग्राफ को बदल सकते हैं। ऐसी स्पर्शरेखा का ढलान व्युत्पन्न के मान के बराबर होता है ( एक्स 1/3)ў = (1/3) एक्स-2/3 x = 1 के लिए, अर्थात्। 1/3. चूंकि बिंदु (1,1) वक्र पर स्थित है और इस बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा का ढलान 1/3 है, स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है

इस सीधी रेखा पर एक्स = 1,033

प्राप्त मूल्य आपसही मूल्य के बहुत करीब होना चाहिए आप; और, वास्तव में, यह सत्य से केवल 0.00012 अधिक है। गणितीय विश्लेषण में, ऐसे तरीके विकसित किए गए हैं जो ऐसे रैखिक सन्निकटन की सटीकता में सुधार करना संभव बनाते हैं। ये विधियां हमारी अनुमानित गणनाओं की विश्वसनीयता सुनिश्चित करती हैं।

अभी वर्णित प्रक्रिया एक उपयोगी संकेतन का सुझाव देती है। होने देना पी- फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनुरूप बिंदु एफचर एक्स, और समारोह दें एफ(एक्स) भिन्न है। आइए बिंदु के पास वक्र का प्लॉट बदलें आरउस बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा। अगर एक्समूल्य में बदलें एच, तो स्पर्शरेखा कोटि मान से बदल जाएगी एचएच एफ ў ( एक्स) अगर एचबहुत छोटा है, तो बाद वाला मान कोटि में सही परिवर्तन के लिए एक अच्छा सन्निकटन है आपग्राफिक्स। अगर इसके बजाय एचहम एक चरित्र लिखेंगे डीएक्स(यह एक उत्पाद नहीं है!), लेकिन कोटि में बदलाव आपनिरूपित डीवाई, तो हमें मिलता है डीवाई = एफ ў ( एक्स)डीएक्स, या डीवाई/डीएक्स = एफ ў ( एक्स) (सेमी. चावल। ग्यारह)। इसलिए, के बजाय डीवाईया एफ ў ( एक्स) व्युत्पन्न को निरूपित करने के लिए, प्रतीक अक्सर प्रयोग किया जाता है डीवाई/डीएक्स. इस संकेतन की सुविधा मुख्य रूप से श्रृंखला नियम की स्पष्ट उपस्थिति (एक जटिल कार्य का भेदभाव) पर निर्भर करती है; नए नोटेशन में, यह सूत्र इस तरह दिखता है:

जहां यह निहित है कि परनिर्भर करता है तुम, ए तुमबदले में निर्भर करता है एक्स.

मूल्य डीवाईअंतर कहा जाता है पर; वास्तव में यह निर्भर करता है दोचर, अर्थात्: से एक्सऔर वेतन वृद्धि डीएक्स. जब वेतन वृद्धि डीएक्सबहुत छोटा, आकार डीवाईमूल्य में संबंधित परिवर्तन के करीब है आप. लेकिन मान लीजिए कि वेतन वृद्धि डीएक्सथोड़ा, कोई ज़रूरत नहीं।

एक समारोह का व्युत्पन्न आप = एफ(एक्स) हमने निरूपित किया एफ ў ( एक्स) या डीवाई/डीएक्स. व्युत्पन्न का व्युत्पन्न लेना अक्सर संभव होता है। परिणाम को का दूसरा व्युत्पन्न कहा जाता है एफ (एक्स) और निरूपित एफ ўў ( एक्स) या डी 2 आप/डीएक्स 2. उदाहरण के लिए, यदि एफ(एक्स) = एक्स 3 – 3एक्स 2, फिर एफ ў ( एक्स) = 3एक्स 2 – 6एक्सतथा एफ ўў ( एक्स) = 6एक्स- 6. समान अंकन का उपयोग उच्च क्रम के डेरिवेटिव के लिए किया जाता है। हालांकि, बड़ी संख्या में अभाज्य संख्याओं (व्युत्पन्न के क्रम के बराबर) से बचने के लिए, चौथा व्युत्पन्न (उदाहरण के लिए) के रूप में लिखा जा सकता है एफ (4) (एक्स), और व्युत्पन्न एनवें क्रम के रूप में एफ (एन) (एक्स).

यह दिखाया जा सकता है कि एक बिंदु पर वक्र नीचे की ओर उत्तल होता है यदि दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होता है और यदि दूसरा अवकलज ऋणात्मक होता है तो ऊपर की ओर उत्तल होता है।

यदि फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न है, तो मान में परिवर्तन आपवृद्धि के अनुरूप डीएक्सचर एक्स, लगभग सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

यह सन्निकटन आम तौर पर अंतर द्वारा दिए गए अनुमान से बेहतर होता है एफў ( एक्स)डीएक्स. यह वक्र के भाग के प्रतिस्थापन से मेल खाती है जो अब एक सीधी रेखा नहीं है, बल्कि एक परवलय है।

यदि फ़ंक्शन में है एफ(एक्स) उच्च आदेशों के डेरिवेटिव हैं, फिर

शेष पद का रूप है

कहाँ पे एक्स- के बीच कुछ संख्या एक्सतथा एक्स + डीएक्स. उपरोक्त परिणाम को शेषफल के साथ टेलर सूत्र कहा जाता है। अगर एफ(एक्स) सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं, तो आमतौर पर आर नहीं® 0 के लिए एन ® Ґ .

समाकलन गणित

वर्ग।

वक्रीय समतल आकृतियों के क्षेत्रों के अध्ययन से गणितीय विश्लेषण के नए पहलू खुलते हैं। प्राचीन यूनानियों द्वारा भी ऐसी समस्याओं को हल करने की कोशिश की गई थी, जिनके लिए निर्धारण करना, उदाहरण के लिए, एक सर्कल का क्षेत्र सबसे कठिन कार्यों में से एक था। इस समस्या को हल करने में बड़ी सफलता आर्किमिडीज ने हासिल की, जो परवलयिक खंड (चित्र 12) के क्षेत्र को खोजने में भी कामयाब रहे। बहुत जटिल तर्क का प्रयोग करते हुए, आर्किमिडीज ने सिद्ध किया कि एक परवलयिक खंड का क्षेत्रफल परिबद्ध आयत के क्षेत्रफल का 2/3 है और इसलिए, इस मामले में (2/3)(16) = 32/ के बराबर है। 3. जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह परिणाम गणितीय विश्लेषण की विधियों द्वारा आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटन और लाइबनिज के पूर्ववर्तियों, मुख्य रूप से केप्लर और कैवलियरी ने वक्राकार आकृतियों के क्षेत्रों की गणना की समस्याओं को एक ऐसी विधि से हल किया जिसे शायद ही तार्किक रूप से ध्वनि कहा जा सकता है, लेकिन जो बेहद उपयोगी साबित हुई। जब वालिस ने 1655 में केप्लर और कैवेलियरी की विधियों को डेसकार्टेस (विश्लेषणात्मक ज्यामिति) के तरीकों के साथ जोड़ा और नवजात बीजगणित का लाभ उठाया, तो न्यूटन के उद्भव के लिए मंच पूरी तरह से तैयार हो गया था।

वालिस ने उस आकृति को विभाजित किया, जिसके क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता थी, बहुत संकीर्ण पट्टियों में, जिनमें से प्रत्येक को लगभग एक आयत माना जाता था। फिर उन्होंने सन्निकटन आयतों के क्षेत्रफलों को जोड़ा और, सरलतम मामलों में, वह मान प्राप्त किया जिससे आयतों के क्षेत्रफलों का योग तब प्राप्त हुआ जब पट्टियों की संख्या अनंत हो गई। अंजीर पर। 13 वक्र के नीचे के क्षेत्र की कुछ पट्टी के अनुरूप आयत दिखाता है आप = एक्स 2 .

मुख्य प्रमेय।

न्यूटन और लाइबनिज की महान खोज ने क्षेत्रों के योग की सीमा तक जाने की श्रमसाध्य प्रक्रिया को समाप्त करना संभव बना दिया। यह क्षेत्र की अवधारणा पर एक नए रूप के लिए धन्यवाद किया गया था। लब्बोलुआब यह है कि हमें वक्र के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना चाहिए जैसा कि बाएं से दाएं जाने वाले कोर्डिन द्वारा उत्पन्न होता है और यह पूछना चाहिए कि निर्देशांक द्वारा क्षेत्र कितनी तेजी से बदलता है। हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की कुंजी तब मिलती है जब हम दो विशेष मामलों पर विचार करते हैं जिनमें क्षेत्र पहले से जाना जाता है।

आइए रेखीय फलन के ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल से प्रारंभ करें आप = 1 + एक्स, क्योंकि इस मामले में क्षेत्र की गणना प्राथमिक ज्यामिति का उपयोग करके की जा सकती है।

होने देना ए(एक्स) सीधी रेखा के बीच संलग्न समतल का भाग है आप = 1 + एक्सऔर खंड ओक्यू(चित्र 14)। जब ड्राइविंग करें क्यूपीदायां वर्ग ए(एक्स) बढ़ती है। किस गति से? इस प्रश्न का उत्तर देना कठिन नहीं है, क्योंकि हम जानते हैं कि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी ऊँचाई के गुणनफल और आधारों के योग के आधे के बराबर होता है। इसलिये,

क्षेत्र परिवर्तन की दर ए(एक्स) इसके व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है

हम देखते है कि एў ( एक्स) निर्देशांक के साथ मेल खाता है परअंक आर. क्या यह संयोग से है? आइए अंजीर में दिखाए गए परवलय को जांचने का प्रयास करें। 15. स्क्वायर ए (एक्स) परवलय के तहत पर = एक्स 2 0 से . की सीमा में एक्सके बराबर है ए(एक्स) = (1 / 3)(एक्स)(एक्स 2) = एक्स 3/3। इस क्षेत्र के परिवर्तन की दर अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है

जो बिल्कुल निर्देशांक के साथ मेल खाता है परगतिमान बिंदु आर.

यह मानते हुए कि यह नियम सामान्य स्थिति में लागू होता है, ताकि

फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र के परिवर्तन की दर है आप = एफ(एक्स), तो इसका उपयोग अन्य क्षेत्रों की गणना के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, अनुपात एў ( एक्स) = एफ(एक्स) एक मौलिक प्रमेय को व्यक्त करता है जिसे निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: व्युत्पन्न, या क्षेत्र के परिवर्तन की दर के एक समारोह के रूप में एक्स, फ़ंक्शन के मान के बराबर है एफ (एक्स) बिंदु पर एक्स.

उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप = एक्स 3 से 0 तक एक्स(चित्र 16), हम सेट करते हैं

एक संभावित उत्तर पढ़ता है:

के व्युत्पन्न के बाद से एक्स 4/4 वास्तव में बराबर है एक्स 3. इसके अलावा, ए(एक्स) के लिए शून्य है एक्स= 0, जैसा कि होना चाहिए अगर ए(एक्स) वास्तव में एक क्षेत्र है।

गणितीय विश्लेषण में यह सिद्ध हो जाता है कि उपरोक्त व्यंजक के अतिरिक्त कोई अन्य उत्तर नहीं है ए(एक्स), मौजूद नहीं होना। आइए हम दिखाते हैं कि निम्नलिखित अनुमानी (गैर-कठोर) तर्क का उपयोग करके यह कथन प्रशंसनीय है। मान लीजिए कोई दूसरा उपाय है वी(एक्स) अगर ए(एक्स) तथा वी(एक्स) "शुरू" एक साथ शून्य मान से एक्स= 0 और हर समय एक ही दर से बदलते रहते हैं, तो उनका मान कभी नहीं होगा एक्सअलग नहीं हो सकता। उन्हें हर जगह मेल खाना चाहिए; इसलिए एक अनूठा समाधान है।

आप अनुपात को कैसे सही ठहरा सकते हैं एў ( एक्स) = एफ(एक्स) सामान्य रूप में? इस प्रश्न का उत्तर केवल के फलन के रूप में क्षेत्रफल परिवर्तन की दर का अध्ययन करके ही दिया जा सकता है एक्ससामान्य रूप में। होने देना एम- फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एफ (एक्स) के अंतराल में एक्सइससे पहले ( एक्स + एच), ए एमसमान अंतराल में इस फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है। फिर से गुजरने पर क्षेत्रफल में वृद्धि होती है एक्सप्रति ( एक्स + एच) दो आयतों के क्षेत्रफलों के बीच संलग्न होना चाहिए (चित्र 17)। दोनों आयतों के आधार बराबर हैं एच. छोटे आयत की ऊँचाई होती है एमऔर क्षेत्र महाराष्ट्र, बड़ा, क्रमशः, एमतथा महाराष्ट्र. बनाम क्षेत्र के एक भूखंड पर। एक्स(चित्र 18) यह देखा जा सकता है कि जब भुज में बदल जाता है एच, कोटि (अर्थात क्षेत्रफल) का मान के बीच की राशि से बढ़ जाता है महाराष्ट्रतथा महाराष्ट्र. इस ग्राफ में छेदक का ढाल के बीच है एमतथा एम. क्या होता है जब एचशून्य हो जाता है? यदि फ़ंक्शन का ग्राफ आप = एफ(एक्स) निरंतर है (अर्थात, इसमें असंततता नहीं है), तो एम, तथा एमप्रवृत्त एफ(एक्स) इसलिए, ढलान एў ( एक्स) के फलन के रूप में क्षेत्रफल का ग्राफ एक्सबराबरी एफ(एक्स) यही वह निष्कर्ष था जिस पर पहुंचने की जरूरत थी।

लाइबनिज ने वक्र के अंतर्गत क्षेत्र के लिए प्रस्तावित किया आप = एफ(एक्स) 0 से . तक एपद

एक कठोर दृष्टिकोण के साथ, इस तथाकथित निश्चित अभिन्न को वालिस के तरीके से कुछ राशियों की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। ऊपर प्राप्त परिणाम को देखते हुए, यह स्पष्ट है कि इस अभिन्न की गणना इस शर्त के तहत की जाती है कि हम ऐसा फ़ंक्शन पा सकते हैं ए(एक्स), जो गायब हो जाता है जब एक्स= 0 और एक व्युत्पन्न है एў ( एक्स) के बराबर एफ (एक्स) इस तरह के एक फ़ंक्शन को खोजने को आमतौर पर एकीकरण कहा जाता है, हालांकि इस ऑपरेशन को भेदभाव-विरोधी कहना अधिक उपयुक्त होगा, जिसका अर्थ है कि यह भेदभाव के विपरीत है। बहुपद के मामले में, एकीकरण आसान है। उदाहरण के लिए, यदि

जिसे विभेदित करके सत्यापित करना आसान है ए(एक्स).

क्षेत्रफल की गणना करने के लिए ए 1 वक्र के नीचे आप = 1 + एक्स + एक्स 2/2 निर्देशांक 0 और 1 के बीच संलग्न है, हम बस लिखते हैं

और प्रतिस्थापित करके एक्स= 1, हमें मिलता है ए 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3। वर्ग ए(एक्स) 0 से 2 तक है ए 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3। जैसे कि चित्र से देखा जा सकता है। 19, कोटि 1 और 2 के बीच का क्षेत्र है ए 2 – ए 1 = 11 / 3. यह आमतौर पर एक निश्चित अभिन्न के रूप में लिखा जाता है

वॉल्यूम।

इसी तरह का तर्क क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करने के लिए आश्चर्यजनक रूप से सरल बनाता है। आइए इसे एक गेंद के आयतन की गणना के उदाहरण का उपयोग करके प्रदर्शित करें, एक और क्लासिक समस्या जिसे प्राचीन यूनानियों ने ज्ञात विधियों का उपयोग करके बड़ी कठिनाई से हल करने में कामयाबी हासिल की।

आइए त्रिज्या के एक वृत्त के एक चौथाई के अंदर संलग्न विमान के एक हिस्से को घुमाएं आर, अक्ष के चारों ओर 360° के कोण पर एक्स. नतीजतन, हमें एक गोलार्द्ध (चित्र 20) मिलता है, जिसका आयतन हम निरूपित करते हैं वी(एक्स) उस दर को निर्धारित करना आवश्यक है जिस पर वी(एक्स) बढ़ते हुए एक्स. से जा रहे हैं एक्सप्रति एक्स + एच, यह सत्यापित करना आसान है कि वॉल्यूम वृद्धि वॉल्यूम से कम है पी(आर 2 – एक्स 2)एचत्रिज्या और ऊंचाई का गोलाकार सिलेंडर एच, और मात्रा से अधिक पी[आर 2 – (एक्स + एच) 2 ]एचसिलेंडर त्रिज्या और ऊंचाई एच. इसलिए, फ़ंक्शन के ग्राफ पर वी(एक्स) छेदक का ढलान के बीच संलग्न है पी(आर 2 – एक्स 2) और पी[आर 2 – (एक्स + एच) 2]। कब एचशून्य की ओर जाता है, ढलान की ओर जाता है

पर एक्स = आरहम पाते हैं

गोलार्ध के आयतन के लिए, और इसलिए 4 पी आरपूरी गेंद के आयतन के लिए 3/3।

एक समान विधि वक्र की लंबाई और घुमावदार सतहों के क्षेत्रों को खोजने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, यदि ए(एक्स) - चाप की लम्बाई जनसंपर्कअंजीर में। 21, तो हमारा काम गणना करना है एў( एक्स) अनुमानी स्तर पर, हम एक ऐसी तकनीक का उपयोग करते हैं जो हमें उस सीमा तक सामान्य मार्ग का सहारा नहीं लेने देती है, जो परिणाम के कठोर प्रमाण के लिए आवश्यक है। आइए मान लें कि फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर ए(एक्स) बिंदु पर आरयह वैसा ही होगा यदि वक्र को उसकी स्पर्शरेखा से बदल दिया जाए पीटीबिंदु पर पी. लेकिन अंजीर से। 21 सीधे दिखाई देता है, कदम रखते समय एचबिंदु के दाएँ या बाएँ एक्ससाथ में आर टीअर्थ ए(एक्स) में परिवर्तन

इसलिए, फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर ए(एक्स) है

फ़ंक्शन को स्वयं खोजने के लिए ए(एक्स), केवल समानता के दाईं ओर अभिव्यक्ति को एकीकृत करना आवश्यक है। यह पता चला है कि अधिकांश कार्यों के लिए एकीकरण काफी कठिन है। इसलिए, अभिन्न कलन विधियों का विकास गणितीय विश्लेषण का एक बड़ा हिस्सा है।

आदिम।

प्रत्येक फलन जिसका अवकलज दिए गए फलन के बराबर है एफ(एक्स), के लिए एंटिडेरिवेटिव (या आदिम) कहा जाता है एफ(एक्स) उदाहरण के लिए, एक्स 3 /3 - फ़ंक्शन के लिए एंटिडेरिवेटिव एक्स 2 क्योंकि ( एक्स 3 /3)ў = एक्स 2. बेशक एक्स 3/3 केवल फलन का विरोधी अवकलज नहीं है एक्स 2 क्योंकि एक्स 3 /3 + सीके लिए व्युत्पन्न भी है एक्स 2 किसी भी स्थिरांक के लिए साथ. हालाँकि, निम्नलिखित में हम ऐसे योगात्मक स्थिरांक को छोड़ने के लिए सहमत हैं। सामान्य रूप में

कहाँ पे एनएक धनात्मक पूर्णांक है, क्योंकि ( एक्स एन + 1/(एन+ 1))ў = एक्स एन. संबंध (1) और भी अधिक सामान्य अर्थों में संतुष्ट है यदि एनकिसी भी परिमेय संख्या से बदलें क-1 को छोड़कर।

किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए एक मनमाना एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन एफ(एक्स) को आमतौर पर का अनिश्चितकालीन समाकल कहा जाता है एफ(एक्स) और इसे के रूप में निरूपित करें

उदाहरण के लिए, चूंकि (sin एक्स)ў = कोस एक्स, सूत्र

कई मामलों में जहां किसी दिए गए फ़ंक्शन के अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए एक सूत्र है, यह अनिश्चितकालीन अभिन्न के कई व्यापक रूप से प्रकाशित तालिकाओं में पाया जा सकता है। प्राथमिक कार्यों के समाकलन सारणीबद्ध होते हैं (उनमें घात, लघुगणक, घातांक फलन, त्रिकोणमितीय फलन, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, साथ ही जोड़, घटाव, गुणा और भाग का उपयोग करके प्राप्त उनके परिमित संयोजन शामिल हैं)। सारणीबद्ध समाकलों की सहायता से समाकलकों की गणना अधिक जटिल फलनों से भी की जा सकती है। अनिश्चितकालीन समाकलों की गणना करने के कई तरीके हैं; इनमें से सबसे आम परिवर्तनशील प्रतिस्थापन या प्रतिस्थापन विधि है। यह इस तथ्य में निहित है कि यदि हम अनिश्चितकालीन अभिन्न (2) में बदलना चाहते हैं एक्सकुछ भिन्न कार्य करने के लिए एक्स = जी(तुम), तो अभिन्न को नहीं बदलने के लिए, यह आवश्यक है एक्सद्वारा प्रतिस्थापित जीў ( तुम)ड्यू. दूसरे शब्दों में, समानता

(प्रतिस्थापन 2 एक्स = तुम, जहां से 2 डीएक्स = ड्यू).

आइए हम एकीकरण की एक और विधि प्रस्तुत करें - भागों द्वारा एकीकरण की विधि। यह प्रसिद्ध सूत्र पर आधारित है

बाएँ और दाएँ पक्षों को एकीकृत करने के बाद, और इसे ध्यान में रखते हुए

इस सूत्र को एकीकरण-दर-भाग सूत्र कहा जाता है।

उदाहरण 2. खोजने की जरूरत है। चूँकि cos एक्स= (पाप एक्स)ў , हम लिख सकते हैं कि

से (5), मानते हुए तुम = एक्सतथा वी= पाप एक्स, हम पाते हैं

और चूंकि (-cos एक्स)ў = पाप एक्सहम पाते हैं कि और

इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि हमने अपने आप को एक बहुत व्यापक विषय के एक बहुत ही संक्षिप्त परिचय तक सीमित कर लिया है, जिसमें कई मजाकिया तरकीबें जमा हो गई हैं।

दो चर के कार्य।

वक्र के कारण आप = एफ(एक्स), हमने दो समस्याओं पर विचार किया।

1) किसी दिए गए बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए। व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करके इस समस्या को हल किया जाता है एफў ( एक्स) दिए गए बिंदु पर।

2) अक्ष खंड के ऊपर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक्सखड़ी रेखाओं से घिरा एक्स = एतथा एक्स = बी. एक निश्चित समाकल की गणना करके इस समस्या का समाधान किया जाता है।

इनमें से प्रत्येक समस्या का सतह के मामले में एक एनालॉग है जेड = एफ(एक्स,आप).

1) किसी दिए गए बिंदु पर सतह पर स्पर्शरेखा तल का पता लगाएं।

2) समतल के भाग के ऊपर की सतह के नीचे का आयतन ज्ञात कीजिए हू, घिरा हुआ वक्र साथ, और किनारे पर - विमान के लंबवत xyसीमा वक्र के बिंदुओं से गुजरना साथ (सेमी. चावल। 22)।

निम्नलिखित उदाहरण दिखाते हैं कि इन समस्याओं का समाधान कैसे किया जाता है।

उदाहरण 4. सतह पर स्पर्शरेखा विमान खोजें

बिंदु पर (0,0,2)।

एक समतल को परिभाषित किया जाता है यदि उसमें पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ दी गई हों। इन पंक्तियों में से एक मैं 1) हम विमान में पहुँचेंगे xz (पर= 0), दूसरा ( मैं 2) - विमान में यज़ी (एक्स = 0) (सेमी. चावल। 23)।

सबसे पहले, अगर पर= 0, तब जेड = एफ(एक्स,0) = 2 – 2एक्स – 3एक्स 2. के संबंध में व्युत्पन्न एक्स, निरूपित एफў एक्स(एक्स,0) = –2 – 6एक्स, पर एक्स= 0 का मान -2 है। सीधा मैं 1 समीकरणों द्वारा दिया गया जेड = 2 – 2एक्स, पर= 0 - स्पर्शरेखा to साथ 1, समतल के साथ सतह के प्रतिच्छेदन की रेखाएं पर= 0. इसी प्रकार, यदि एक्स= 0, तब एफ(0,आप) = 2 – आप – आप 2 , और व्युत्पन्न के संबंध में पररूप है

चूंकि एफў आप(0.0) = -1, वक्र साथ 2 - समतल के साथ सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा यज़ी- एक स्पर्शरेखा है मैं 2 समीकरणों द्वारा दिया गया जेड = 2 – आप, एक्स= 0. वांछित स्पर्शरेखा तल में दोनों रेखाएँ होती हैं मैं 1 और मैं 2 और समीकरण द्वारा लिखा गया है

यह विमान का समीकरण है। इसके अलावा, हमें प्रत्यक्ष मिलता है मैं 1 और मैं 2 , मान कर, क्रमशः, पर= 0 और एक्स = 0.

तथ्य यह है कि समीकरण (7) वास्तव में एक स्पर्शरेखा विमान को परिभाषित करता है, एक अनुमानी स्तर पर सत्यापित किया जा सकता है यदि कोई यह नोटिस करता है कि इस समीकरण में समीकरण (6) में प्रथम-क्रम की शर्तें हैं, और दूसरे क्रम के शब्दों को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है - . चूँकि यह व्यंजक सभी मानों के लिए ऋणात्मक है एक्सतथा पर, के अतिरिक्त एक्स = पर= 0, सतह (6) बिंदु के अलावा, हर जगह विमान (7) के नीचे स्थित है आर= (0,0,0)। हम कह सकते हैं कि पृष्ठ (6) बिंदु पर ऊपर की ओर उत्तल है आर.

उदाहरण 5. सतह पर स्पर्शरेखा तल ज्ञात कीजिए जेड = एफ(एक्स,आप) = एक्स 2 – आप 2 मूल 0.

सतह पर पर= 0 हमारे पास है: जेड = एफ(एक्स,0) = एक्स 2 और एफў एक्स(एक्स,0) = 2एक्स. पर साथ 1, चौराहे की रेखाएं, जेड = एक्स 2. बिंदु पर हेढलान है एफў एक्स(0,0) = 0. समतल पर एक्स= 0 हमारे पास है: जेड = एफ(0,आप) = –आप 2 और एफў आप(0,आप) = –2आप. पर साथ 2, चौराहे की रेखाएं, जेड = –आप 2. बिंदु पर हेवक्र ढलान साथ 2 बराबर एफў आप(0,0) = 0. चूँकि की स्पर्श रेखाएँ साथ 1 और साथ 2 कुल्हाड़ी हैं एक्सतथा पर, स्पर्शरेखा विमान जिसमें वे शामिल हैं, वह तल है जेड = 0.

हालांकि, मूल के आसपास के क्षेत्र में, हमारी सतह स्पर्शरेखा तल के एक ही तरफ नहीं है। दरअसल, वक्र साथ 1 बिंदु 0 और वक्र को छोड़कर हर जगह स्पर्शरेखा तल के ऊपर स्थित है साथ 2 - इसके नीचे क्रमशः। सतह स्पर्शरेखा विमान को काटती है जेड= 0 सीधी रेखाओं में पर = एक्सतथा पर = –एक्स. ऐसी सतह को मूल बिंदु पर एक काठी बिंदु कहा जाता है (चित्र 24)।

निजी डेरिवेटिव।

पिछले उदाहरणों में, हमने के डेरिवेटिव का इस्तेमाल किया था एफ (एक्स,आप) पर एक्सऔर तक पर. आइए अब हम ऐसे डेरिवेटिव पर अधिक सामान्य तरीके से विचार करें। यदि हमारे पास दो चर का एक कार्य है, उदाहरण के लिए, एफ(एक्स,आप) = एक्स 2 – xy, तो हम प्रत्येक बिंदु पर इसके "आंशिक डेरिवेटिव" के दो निर्धारित कर सकते हैं, एक - के संबंध में फ़ंक्शन को अलग करके एक्सऔर फिक्सिंग पर, और के संबंध में दूसरे को अलग करना परऔर फिक्सिंग एक्स. इनमें से पहला डेरिवेटिव के रूप में दर्शाया गया है एफў एक्स(एक्स,आप) या ¶ एफ/¶ एक्स; दूसरा है कैसे एफएफ आप. यदि दोनों मिश्रित व्युत्पन्न (द्वारा एक्सतथा पर, पर परतथा एक्स) निरंतर हैं, तो ¶ 2 एफ/¶ एक्स¶ आप= 2 एफ/¶ आप¶ एक्स; हमारे उदाहरण में 2 एफ/¶ एक्स¶ आप= 2 एफ/¶ आप¶ एक्स = –1.

आंशिक व्युत्पन्न एफў एक्स(एक्स,आप) फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को इंगित करता है एफबिंदु पर ( एक्स,आप) वृद्धि की दिशा में एक्स, ए एफў आप(एक्स,आप) फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है एफआरोही दिशा में पर. समारोह परिवर्तन दर एफबिंदु पर ( एक्स,पर) कोण बनाने वाली सीधी रेखा की दिशा में क्यूसकारात्मक अक्ष दिशा के साथ एक्स, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है एफकी ओर; इसका मान फ़ंक्शन के दो आंशिक व्युत्पन्नों का एक संयोजन है f स्पर्शरेखा तल में लगभग बराबर है (छोटे के लिए डीएक्सतथा डीवाई) सच परिवर्तन जेडसतह पर, लेकिन अंतर की गणना करना आमतौर पर आसान होता है।

एक-आयामी मामले में, एक जटिल फ़ंक्शन या श्रृंखला नियम के व्युत्पन्न के रूप में ज्ञात चर विधि के परिवर्तन से हमने पहले ही सूत्र पर विचार किया है, जब परनिर्भर करता है एक्स, ए एक्सनिर्भर करता है टी, की तरह लगता है:

दो चर के कार्यों के लिए, एक समान सूत्र का रूप है:

आंशिक विभेदीकरण की अवधारणा और अंकन को उच्च आयामों के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। विशेष रूप से, यदि सतह समीकरण द्वारा निहित रूप से दी गई है एफ(एक्स,आप,जेड) = 0, सतह पर स्पर्शरेखा तल के समीकरण को अधिक सममित रूप दिया जा सकता है: बिंदु पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण ( एक्स (एक्स 2/4)], फिर ओवर को एकीकृत करता है एक्स 0 से 1 तक। अंतिम परिणाम 3/4 है।

फॉर्मूला (10) की व्याख्या तथाकथित डबल इंटीग्रल के रूप में भी की जा सकती है, यानी। प्राथमिक "कोशिकाओं" की मात्रा के योग की सीमा के रूप में। ऐसी प्रत्येक कोशिका का आधार D होता है एक्सडी आपऔर आयताकार आधार के किसी बिंदु से ऊपर की सतह की ऊंचाई के बराबर ऊंचाई ( सेमी. चावल। 26)। यह दिखाया जा सकता है कि सूत्र (10) पर दोनों दृष्टिकोण समान हैं। गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों और यांत्रिकी में आने वाले कई क्षणों को खोजने के लिए डबल इंटीग्रल का उपयोग किया जाता है।

गणितीय तंत्र का अधिक कठोर औचित्य।

अब तक, हमने गणितीय विश्लेषण की अवधारणाओं और विधियों को सहज स्तर पर प्रस्तुत किया है और ज्यामितीय आंकड़ों का सहारा लेने में संकोच नहीं किया है। 19वीं और 20वीं शताब्दी में उभरे अधिक कठोर तरीकों पर संक्षेप में विचार करना हमारे लिए बाकी है।

उन्नीसवीं सदी की शुरुआत में, जब "गणितीय विश्लेषण के निर्माण" में हमले और हमले का युग समाप्त हुआ, तो इसके औचित्य के प्रश्न सामने आए। हाबिल, कॉची और कई अन्य उत्कृष्ट गणितज्ञों के कार्यों में, "सीमा", "निरंतर कार्य", "अभिसरण श्रृंखला" की अवधारणाओं को सटीक रूप से परिभाषित किया गया था। यह एक विश्वसनीय शोध उपकरण बनाने के लिए गणितीय विश्लेषण के आधार में तार्किक क्रम शुरू करने के लिए आवश्यक था। 1872 में वीयरस्ट्रैस द्वारा ऐसे कार्यों की खोज के बाद पूरी तरह से औचित्य की आवश्यकता और भी स्पष्ट हो गई जो हर जगह निरंतर हैं लेकिन कहीं भी अलग-अलग नहीं हैं (ऐसे कार्यों के ग्राफ में इसके प्रत्येक बिंदु पर ब्रेक होता है)। इस परिणाम ने गणितज्ञों पर एक आश्चर्यजनक प्रभाव डाला, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से उनके ज्यामितीय अंतर्ज्ञान का खंडन करता था। ज्यामितीय अंतर्ज्ञान की अविश्वसनीयता का एक और भी अधिक आकर्षक उदाहरण डी। पीनो द्वारा निर्मित निरंतर वक्र था, जो पूरी तरह से एक निश्चित वर्ग को भरता है, अर्थात। अपने सभी बिंदुओं से गुजर रहा है। इन और अन्य खोजों ने गणित के "अंकगणितीकरण" के कार्यक्रम को जीवंत किया, अर्थात। संख्या की अवधारणा की मदद से सभी गणितीय अवधारणाओं की पुष्टि करके इसे और अधिक विश्वसनीय बनाना। गणित की बुनियाद पर काम करने वाले कार्यों में कल्पना से लगभग शुद्धतावादी परहेज का ऐतिहासिक औचित्य था।

तार्किक कठोरता के आधुनिक सिद्धांतों के अनुसार, वक्र के नीचे के क्षेत्र के बारे में बात करना अस्वीकार्य है आप = एफ(एक्स) और अक्ष खंड के ऊपर एक्स, यहाँ तक की एफ"क्षेत्र" शब्द का सटीक अर्थ पहले से निर्धारित किए बिना और यह स्थापित किए बिना कि इस तरह से परिभाषित क्षेत्र वास्तव में मौजूद है, एक निरंतर कार्य है। इस समस्या को 1854 में बी. रीमैन द्वारा सफलतापूर्वक हल किया गया था, जिन्होंने एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा की एक सटीक परिभाषा दी थी। तब से, एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा के पीछे योग का विचार कई गहन जांच और सामान्यीकरण का विषय रहा है। फलतः आज निश्चित समाकल को अर्थ देना संभव है, भले ही समाकलन सर्वत्र असंतत ही क्यों न हो। एकीकरण की नई अवधारणाएं, जिसके निर्माण में ए. लेब्सग (1875-1941) और अन्य गणितज्ञों ने एक महान योगदान दिया, ने आधुनिक गणितीय विश्लेषण की शक्ति और सुंदरता को बढ़ाया है।

इन सभी और अन्य अवधारणाओं के विवरण में जाना शायद ही उचित होगा। हम सीमा और निश्चित अभिन्न की कठोर परिभाषा देने के लिए खुद को सीमित रखते हैं।

अंत में, हम यह कहें कि गणितीय विश्लेषण, एक वैज्ञानिक और इंजीनियर के हाथों में एक अत्यंत मूल्यवान उपकरण होने के कारण, आज भी गणितज्ञों का ध्यान फलदायी विचारों के स्रोत के रूप में आकर्षित करता है। साथ ही, आधुनिक विकास यह इंगित करता प्रतीत होता है कि 20वीं शताब्दी में गणितीय विश्लेषण इस तरह के प्रभावशाली लोगों द्वारा तेजी से अवशोषित किया जा रहा है। गणित की शाखाएँ जैसे अमूर्त बीजगणित और टोपोलॉजी।

जिस पर हमने सरलतम अवकलजों का विश्लेषण किया और विभेदीकरण के नियमों तथा अवकलजों को खोजने की कुछ तकनीकों से भी परिचित हुए। इस प्रकार, यदि आप कार्यों के व्युत्पन्न के साथ बहुत अच्छे नहीं हैं या इस लेख के कुछ बिंदु पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, तो पहले उपरोक्त पाठ को पढ़ें। कृपया एक गंभीर मूड में ट्यून करें - सामग्री आसान नहीं है, लेकिन मैं फिर भी इसे सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा।

व्यवहार में, आपको एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से बहुत बार निपटना पड़ता है, मैं लगभग हमेशा कहूंगा, जब आपको डेरिवेटिव खोजने के लिए कार्य दिए जाते हैं।

हम एक जटिल फलन में अंतर करने के लिए नियम (संख्या 5) की तालिका में देखते हैं:

हम समझते है। सबसे पहले, आइए नोटेशन पर एक नज़र डालें। यहां हमारे पास दो कार्य हैं - और, और फ़ंक्शन, आलंकारिक रूप से बोलना, फ़ंक्शन में नेस्टेड है। इस तरह के एक फंक्शन (जब एक फंक्शन दूसरे के भीतर नेस्ट किया जाता है) को कॉम्प्लेक्स फंक्शन कहा जाता है।

मैं समारोह को बुलाऊंगा बाहरी कार्य, और समारोह - आंतरिक (या नेस्टेड) ​​फ़ंक्शन.

! ये परिभाषाएं सैद्धांतिक नहीं हैं और इन्हें सत्रीय कार्य के अंतिम डिजाइन में नहीं दिखना चाहिए। मैं अनौपचारिक अभिव्यक्तियों "बाहरी कार्य", "आंतरिक" फ़ंक्शन का उपयोग केवल आपके लिए सामग्री को समझना आसान बनाने के लिए करता हूं।

स्थिति को स्पष्ट करने के लिए, विचार करें:

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

साइन के तहत, हमारे पास न केवल "x" अक्षर है, बल्कि संपूर्ण अभिव्यक्ति है, इसलिए तालिका से तुरंत व्युत्पन्न खोजने से काम नहीं चलेगा। हम यह भी देखते हैं कि यहां पहले चार नियमों को लागू करना असंभव है, एक अंतर प्रतीत होता है, लेकिन तथ्य यह है कि साइन को "फाड़ना" असंभव है:

इस उदाहरण में, पहले से ही मेरे स्पष्टीकरण से, यह सहज रूप से स्पष्ट है कि फ़ंक्शन एक जटिल कार्य है, और बहुपद एक आंतरिक फ़ंक्शन (एम्बेडिंग) और एक बाहरी फ़ंक्शन है।

पहला कदम, जो एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाना चाहिए, समझें कि कौन सा कार्य आंतरिक है और कौन सा बाहरी है.

सरल उदाहरणों के मामले में, यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि एक बहुपद ज्या के नीचे स्थित है। लेकिन क्या होगा अगर यह स्पष्ट नहीं है? कैसे निर्धारित करें कि कौन सा फ़ंक्शन बाहरी है और कौन सा आंतरिक है? ऐसा करने के लिए, मैं निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करने का प्रस्ताव करता हूं, जिसे मानसिक रूप से या मसौदे पर किया जा सकता है।

आइए कल्पना करें कि हमें कैलकुलेटर के साथ अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है (एक के बजाय, कोई भी संख्या हो सकती है)।

हम पहले क्या गणना करते हैं? सबसे पहलेआपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता होगी: , इसलिए बहुपद एक आंतरिक कार्य होगा:

दूसरेआपको खोजने की आवश्यकता होगी, इसलिए साइन - एक बाहरी कार्य होगा:

हमारे बाद समझनाआंतरिक और बाहरी कार्यों के साथ, यह यौगिक कार्य विभेदन नियम लागू करने का समय है .

हम फैसला करना शुरू करते हैं। पाठ से व्युत्पन्न कैसे खोजें?हमें याद है कि किसी भी व्युत्पन्न के समाधान का डिज़ाइन हमेशा इस तरह से शुरू होता है - हम अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करते हैं और ऊपर दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाते हैं:

प्रथमहम बाह्य फलन (साइन) का अवकलज पाते हैं, प्राथमिक फलनों के अवकलजों की तालिका को देखते हैं और देखते हैं कि . सभी सारणीबद्ध सूत्र लागू होते हैं, भले ही "x" को एक जटिल व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, इस मामले में:

ध्यान दें कि आंतरिक कार्य नहीं बदला है, हम इसे छूते नहीं हैं.

खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि

सूत्र लागू करने का परिणाम साफ इस तरह दिखता है:

स्थिरांक कारक आमतौर पर अभिव्यक्ति की शुरुआत में रखा जाता है:

यदि कोई गलतफहमी है, तो निर्णय को कागज पर लिख लें और स्पष्टीकरण दोबारा पढ़ें।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

हमेशा की तरह, हम लिखते हैं:

हम यह पता लगाते हैं कि हमारे पास बाहरी कार्य कहां है, और आंतरिक कहां है। ऐसा करने के लिए, हम के लिए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए (मानसिक रूप से या मसौदे पर) प्रयास करते हैं। पहले क्या करने की जरूरत है? सबसे पहले, आपको गणना करने की आवश्यकता है कि आधार किसके बराबर है:, जिसका अर्थ है कि बहुपद आंतरिक कार्य है:

और, उसके बाद ही घातांक किया जाता है, इसलिए, शक्ति कार्य एक बाहरी कार्य है:

सूत्र के अनुसार , पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, इस मामले में, डिग्री। हम तालिका में वांछित सूत्र की तलाश कर रहे हैं:। हम फिर दोहराते हैं: कोई भी सारणीबद्ध सूत्र न केवल "x" के लिए, बल्कि एक जटिल व्यंजक के लिए भी मान्य है. इस प्रकार, एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम को लागू करने का परिणाम अगला:

मैं फिर से जोर देता हूं कि जब हम बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेते हैं, तो आंतरिक कार्य नहीं बदलता है:

अब यह आंतरिक फ़ंक्शन का एक बहुत ही सरल व्युत्पन्न खोजने के लिए बना हुआ है और परिणाम को थोड़ा "कंघी" करता है:

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समझ को मजबूत करने के लिए, मैं टिप्पणियों के बिना एक उदाहरण दूंगा, इसे अपने दम पर समझने का प्रयास करें, कारण, बाहरी कहां है और आंतरिक कार्य कहां है, कार्यों को इस तरह क्यों हल किया जाता है?

उदाहरण 5

ए) एक समारोह के व्युत्पन्न खोजें

बी) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यहां हमारे पास एक जड़ है, और जड़ को अलग करने के लिए, इसे एक डिग्री के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। इस प्रकार, हम पहले फ़ंक्शन को विभेदन के लिए उचित रूप में लाते हैं:

फलन का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि तीन पदों का योग एक आंतरिक फलन है, और घातांक एक बाहरी फलन है। हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण का नियम लागू करते हैं :

डिग्री को फिर से एक कट्टरपंथी (रूट) के रूप में दर्शाया जाता है, और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए, हम योग को अलग करने के लिए एक सरल नियम लागू करते हैं:

तैयार। आप व्यंजक को कोष्ठकों में एक सामान्य हर में भी ला सकते हैं और सब कुछ एक भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। यह सुंदर है, निश्चित रूप से, लेकिन जब बोझिल लंबे डेरिवेटिव प्राप्त होते हैं, तो ऐसा नहीं करना बेहतर होता है (भ्रमित होना आसान है, एक अनावश्यक गलती करें, और शिक्षक के लिए जांचना असुविधाजनक होगा)।

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कभी-कभी, एक जटिल कार्य को अलग करने के नियम के बजाय, कोई व्यक्ति भागफल को अलग करने के लिए नियम का उपयोग कर सकता है , लेकिन ऐसा समाधान एक असामान्य विकृति की तरह दिखेगा। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण है:

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यहां आप भागफल के विभेदीकरण के नियम का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम के माध्यम से व्युत्पन्न खोजना अधिक लाभदायक है:

हम विभेदन के लिए फ़ंक्शन तैयार करते हैं - हम व्युत्पन्न का ऋण चिह्न निकालते हैं, और कोसाइन को अंश तक बढ़ाते हैं:

कोसाइन एक आंतरिक कार्य है, घातांक एक बाहरी कार्य है।
आइए हमारे नियम का उपयोग करें :

हम आंतरिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं, कोसाइन को वापस नीचे रीसेट करें:

तैयार। विचार किए गए उदाहरण में, यह महत्वपूर्ण है कि संकेतों में भ्रमित न हों। वैसे, इसे नियम से हल करने का प्रयास करें , उत्तरों का मिलान होना चाहिए।

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

अब तक, हमने उन मामलों पर विचार किया है जहां एक जटिल कार्य में हमारे पास केवल एक घोंसला था। व्यावहारिक कार्यों में, आप अक्सर व्युत्पन्न पा सकते हैं, जहां, घोंसले के शिकार गुड़िया की तरह, एक दूसरे के अंदर, 3 या यहां तक ​​​​कि 4-5 फ़ंक्शन एक ही बार में नेस्टेड होते हैं।

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

हम इस फ़ंक्शन के अनुलग्नकों को समझते हैं। हम प्रयोगात्मक मान का उपयोग करके व्यंजक का मूल्यांकन करने का प्रयास करते हैं। हम कैलकुलेटर पर कैसे भरोसा करेंगे?

पहले आपको खोजने की जरूरत है, जिसका अर्थ है कि आर्क्सिन सबसे गहरा घोंसला है:

एकता के इस चाप को तब चुकता किया जाना चाहिए:

और अंत में, हम सात को सत्ता में लाते हैं:

अर्थात्, इस उदाहरण में हमारे पास तीन अलग-अलग कार्य और दो घोंसले हैं, जबकि अंतरतम कार्य आर्क्सिन है, और सबसे बाहरी कार्य घातीय कार्य है।

हम तय करना शुरू करते हैं

नियम के अनुसार सबसे पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना होगा। हम डेरिवेटिव की तालिका को देखते हैं और घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं: केवल अंतर यह है कि "x" के बजाय हमारे पास एक जटिल अभिव्यक्ति है, जो इस सूत्र की वैधता को नकारती नहीं है। तो, एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम को लागू करने का परिणाम अगला।

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प्रयोगशाला के काम के लिए

"गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाएं"

1. विषय की वैज्ञानिक और पद्धतिगत पुष्टि:

व्युत्पन्न और अंतर की अवधारणाएं गणितीय विश्लेषण की मूल अवधारणाओं में से हैं। भौतिकी और गणित (गति, त्वरण, दबाव, आदि का पता लगाना) में कई समस्याओं को हल करते समय डेरिवेटिव की गणना आवश्यक है। व्युत्पन्न की अवधारणा का महत्व, विशेष रूप से, इस तथ्य से निर्धारित होता है कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है जब इसका तर्क बदलता है।

अंतर का उपयोग अनुमानित गणना करने के साथ-साथ त्रुटियों का मूल्यांकन करना संभव बनाता है।

व्युत्पन्न और कार्यों के अंतर और उनके आवेदन खोजने के तरीके अंतर कैलकुस के मुख्य कार्य का गठन करते हैं। गति की गति की गणना करने और वक्र के स्पर्शरेखा के कोण को खोजने की समस्या के निर्माण के संबंध में व्युत्पन्न की अवधारणा की आवश्यकता उत्पन्न होती है। उलटा समस्या भी संभव है: गति द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करें, और स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा द्वारा संबंधित कार्य खोजें। इस तरह की व्युत्क्रम समस्या अनिश्चितकालीन अभिन्न की अवधारणा की ओर ले जाती है।

एक निश्चित समाकलन की अवधारणा का उपयोग कई व्यावहारिक समस्याओं में किया जाता है, विशेष रूप से समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना करने, चर बल द्वारा किए गए कार्य की गणना करने और किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने की समस्याओं में।

विभिन्न भौतिक, रासायनिक, जैविक प्रक्रियाओं और परिघटनाओं के गणितीय विवरण में, अक्सर ऐसे समीकरणों का उपयोग किया जाता है जिनमें न केवल अध्ययन के तहत मात्राएँ होती हैं, बल्कि इन मात्राओं के विभिन्न आदेशों के उनके व्युत्पन्न भी होते हैं। उदाहरण के लिए, जीवाणु प्रजनन के नियम के सरलतम संस्करण के अनुसार, प्रजनन की दर एक निश्चित समय में जीवाणुओं की संख्या के समानुपाती होती है। यदि इस संख्या को N(t) द्वारा निरूपित किया जाता है, तो, व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ के अनुसार, जीवाणुओं के प्रजनन की दर N(t) का व्युत्पन्न है, और उल्लिखित कानून के आधार पर, हम लिख सकते हैं अनुपात N "(t) \u003d k∙N, जहाँ k\u003e 0 - आनुपातिकता का गुणांक परिणामी समीकरण बीजीय नहीं है, क्योंकि इसमें न केवल अज्ञात फ़ंक्शन N(t) शामिल है, बल्कि इसका प्रथम-क्रम व्युत्पन्न भी है।

2. संक्षिप्त सिद्धांत:

1. व्युत्पन्न की अवधारणा की ओर ले जाने वाली समस्याएं

1. एक भौतिक बिंदु की गति v खोजने की समस्या. मान लीजिए कि कुछ भौतिक बिंदु एक रेखीय गति करते हैं। समय पर टी 1 बिंदु स्थिति में है एम 1. समय पर टी 2 गर्भवती एम 2 . अंतराल को निरूपित करें एम 1 , एम 2 आर - पार एस; टी 2 - टी 1 =Δt. मान को गति की औसत गति कहा जाता है। किसी स्थान पर किसी बिंदु की तात्क्षणिक चाल ज्ञात करने के लिए एम 1 ज़रूरी tशून्य की ओर सिर। गणितीय रूप से, इसका अर्थ है कि

, (1)

इस प्रकार, एक भौतिक बिंदु के तात्कालिक वेग को खोजने के लिए, फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के अनुपात की सीमा की गणना करना आवश्यक है एसतर्क की वृद्धि के लिए बशर्ते कि t→0.

2. फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण को खोजने की समस्या.

चित्र .1

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें वाई = एफ (एक्स)।झुकाव का कोण क्या है
एक बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा एम 1 ? बिंदु पर एम 1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा बनाएं। ग्राफ पर एक मनमाना बिंदु चुनें एम 2 और एक छेदक ड्रा करें। यह अक्ष की ओर झुका हुआ है ओहएक कोण पर α 1 . विचार करना एम 1 एम 2 ए:

, (2)

यदि बिंदु एम 1 फिक्स और पॉइंट एम 2 पहुंचना एम 1 , फिर secant एम 1 एम 2 बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा बन जाएंगे एम 1 और आप लिख सकते हैं:

, (3)

इस प्रकार, यदि तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, तो तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा की गणना करना आवश्यक है।

किसी दिए गए बिंदु x पर तर्क Δx की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन y=f(x) की वृद्धि y के अनुपात की सीमा 0 जैसा कि Δx शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, किसी दिए गए बिंदु पर फलन का अवकलज कहलाता है।

व्युत्पन्न संकेतन: वाई", एफ "(एक्स), . परिभाषा से

, (4)

जहां Δx=х 2 -х 1 तर्क की वृद्धि है (तर्क के दो बाद के पर्याप्त रूप से करीबी मूल्यों के बीच का अंतर), Δy=y 2 -y 1 फ़ंक्शन की वृद्धि है (मानों के बीच का अंतर) तर्क के इन मूल्यों के अनुरूप कार्य)।

किसी दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करना उसका कहलाता है भेदभाव. बुनियादी प्राथमिक कार्यों का अंतर तैयार किए गए सूत्रों (तालिका देखें) के साथ-साथ उपयोग करके किया जाता है नियमों:

एक बीजीय योग का व्युत्पन्न फ़ंक्शन इन कार्यों के डेरिवेटिव के योग के बराबर है:

(तुम+ υ )"= तुम" + υ "

2. दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न पहले के व्युत्पन्न द्वारा दूसरे फ़ंक्शन के उत्पादों के योग के बराबर होता है और दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा पहला कार्य:

(यू∙ .)υ )"=यू"υ +यूυ "

3. भागफल का व्युत्पन्न दो कार्यों का अंश एक अंश के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर हर का वर्ग होता है:

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ. (4) और (1) की तुलना से यह इस प्रकार है कि किसी भौतिक बिंदु की सीधी गति की तात्कालिक गति समय पर उसके निर्देशांक की निर्भरता के व्युत्पन्न के बराबर होती है।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का सामान्य अर्थ यह है कि यह विशेषता है कार्य परिवर्तन की दर (तीव्रता)तर्क में परिवर्तन दिया। भौतिक, रासायनिक और अन्य प्रक्रियाओं की गति, जैसे शरीर के ठंडा होने की दर, रासायनिक प्रतिक्रिया की दर, बैक्टीरिया के प्रजनन की दर आदि को भी व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।फलन ग्राफ पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता की स्पर्श रेखा के मान को गणित में कहा जाता है स्पर्शरेखा का ढलान।

किसी बिंदु पर एक अवकलनीय फलन के ग्राफ पर खींची गई स्पर्श रेखा का ढाल संख्यात्मक रूप से उस बिंदु पर फलन के अवकलज के बराबर होता है।

इस कथन को कहा जाता है व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।