materiaaleja 

Yksinkertaisten murtolukujen muuntaminen desimaaleiksi. Muunna tavallinen murto desimaaliksi verkossa

Hyvin usein koulun matematiikan opetussuunnitelmassa lapset kohtaavat ongelman, kuinka yhteinen murto muunnetaan desimaaliksi. Muuntaaksemme yhteisen murtoluvun desimaaliluvuksi, muistetaan ensin, mitä yhteinen murto ja desimaaliluku ovat. Yhteinen murto-osa on murto-osa muotoa m/n, jossa m on osoittaja ja n on nimittäjä. Esimerkki: 8/13; 6/7 jne. Murtoluvut jaetaan tavallisiin, vääriin ja sekalukuihin. Oikea murtoluku on, kun osoittaja on pienempi kuin nimittäjä: m / n, missä m 3. Virheellinen murtoluku voidaan aina esittää sekalukuna, nimittäin: 4/3 \u003d 1 ja 1/3;

Tavallisen murtoluvun muuntaminen desimaaliksi

Katsotaan nyt kuinka käännetään sekoitettu fraktio desimaaliin. Mikä tahansa tavallinen murtoluku, oli se oikea tai väärä, voidaan muuntaa desimaaliluvuksi. Tätä varten sinun on jaettava osoittaja nimittäjällä. Esimerkki: yksinkertainen murtoluku (oikea) 1/2. Jaamme osoittajan 1 nimittäjällä 2, saamme 0,5. Otetaan esimerkki 45/12, on heti selvää, että tämä on väärä murto-osa. Tässä nimittäjä on pienempi kuin osoittaja. Muutamme väärän murtoluvun desimaaliksi: 45: 12 \u003d 3,75.

Muunna sekaluvut desimaaleiksi

Esimerkki: 25/8. Ensin muutetaan sekaluku vääräksi murtoluvuksi: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 ja 1/8; sitten jaetaan osoittaja, joka on yhtä suuri kuin 1, nimittäjällä, joka on yhtä suuri, sarakkeessa tai laskimessa, ja saadaan desimaalimurto, joka on yhtä suuri kuin 0,125. Artikkeli tarjoaa helpoimpia esimerkkejä muuntamisesta desimaalimurtoiksi. Kun olet ymmärtänyt käännöstekniikan yksinkertaisten esimerkkien avulla, voit helposti ratkaista monimutkaisimmat.


Tässä artikkelissa analysoimme kuinka yhteisten murtolukujen muuntaminen desimaaleiksi ja harkitse myös käänteinen prosessi- muuntaa desimaalilukuja yhteisiksi murtoiksi. Täällä kerromme murtolukujen kääntämisen säännöt ja annamme yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja tyypillisille esimerkeille.

Sivulla navigointi.

Yleisten murtolukujen muuntaminen desimaaleiksi

Merkitään sekvenssi, jossa käsittelemme yhteisten murtolukujen muuntaminen desimaaleiksi.

Ensin tarkastellaan, kuinka tavallisia murtolukuja nimittäjillä 10, 100, 1000, ... esitetään desimaalimurtoina. Tämä johtuu siitä, että desimaalimurtoluvut ovat pohjimmiltaan tiivis muoto tavallisista murtoluvuista nimittäjillä 10, 100, ....

Sen jälkeen mennään pidemmälle ja näytämme kuinka tavallinen murtoluku (ei vain nimittäjillä 10, 100, ...) kirjoitetaan muotoon desimaaliluku. Tällä tavallisten murtolukujen muunnolla saadaan sekä äärelliset desimaalimurtoluvut että äärettömät jaksolliset desimaaliluvut.

Nyt kaikki järjestyksessä.

Muunnetaan tavalliset murtoluvut nimittäjillä 10, 100, ... desimaalimurtoiksi

Jotkut tavalliset murtoluvut vaativat "alkuvalmistelun" ennen desimaalien muuntamista. Tämä koskee tavallisia murtolukuja, joiden osoittajassa olevien numeroiden määrä on pienempi kuin nimittäjässä olevien nollien määrä. Esimerkiksi yhteinen murto-osa 2/100 on ensin valmisteltava desimaalimurtoluvuksi muuntamista varten, mutta murto-osaa 9/10 ei tarvitse valmistaa.

Oikeiden tavallisten murtolukujen "esivalmistelu" desimaalimurtoiksi muuntamista varten koostuu niin paljon nollia lisäämisestä osoittajan vasemmalle puolelle, että siellä olevien numeroiden kokonaismäärä on yhtä suuri kuin nimittäjässä olevien nollien määrä. Esimerkiksi murtoluku nollien lisäämisen jälkeen näyttää tältä .

Kun olet valmistellut oikean tavallisen murtoluvun, voit alkaa muuntaa sen desimaalimurtoluvuksi.

Annetaan sääntö oikean yhteisen murtoluvun muuntamiseksi, jonka nimittäjä on 10, 100 tai 1 000, ... desimaalimurtoluvuksi. Se koostuu kolmesta vaiheesta:

  • kirjoittaa muistiin 0;
  • laita desimaalipiste sen jälkeen;
  • kirjoita muistiin numero osoittajasta (yhdessä lisättyjen nollien kanssa, jos ne on lisätty).

Harkitse tämän säännön soveltamista esimerkkien ratkaisemisessa.

Esimerkki.

Muunna oikea murtoluku 37/100 desimaaliksi.

Ratkaisu.

Nimittäjä sisältää luvun 100, jonka syötteessä on kaksi nollaa. Osoittaja sisältää luvun 37, sen tietueessa on kaksi numeroa, joten tätä murtolukua ei tarvitse valmistella desimaalimurtoluvun muuntamista varten.

Nyt kirjoitetaan 0, laitetaan desimaalipiste ja kirjoitetaan numero 37 osoittajasta, kun taas saadaan desimaalimurto 0,37.

Vastaus:

0,37 .

Vahvistaaksemme taitoja kääntää säännöllisiä tavallisia murtolukuja osoittajilla 10, 100, ... desimaalimurtoiksi analysoimme toisen esimerkin ratkaisua.

Esimerkki.

Kirjoita oikea murtoluku 107/10 000 000 desimaalina.

Ratkaisu.

Numeroiden lukumäärä osoittajassa on 3 ja nollien määrä nimittäjässä 7, joten tämä tavallinen murtoluku on valmisteltava desimaaliksi muuntamista varten. Meidän on lisättävä osoittajaan vasemmalle 7-3=4 nollaa, jotta numeroiden kokonaismäärä on yhtä suuri kuin nimittäjässä olevien nollien määrä. Saamme .

Vielä on muodostettava haluttu desimaaliluku. Tätä varten ensinnäkin kirjoitamme muistiin 0, toiseksi laitamme pilkun, kolmanneksi kirjoitamme numeron osoittajasta yhdessä nollien kanssa 0000107 , jolloin meillä on desimaalimurto 0,0000107 .

Vastaus:

0,0000107 .

Väärät yhteiset murtoluvut eivät vaadi valmistelua, kun ne muunnetaan desimaalimurtoiksi. Seuraavaa on noudatettava säännöt virheellisten yhteisten murtolukujen muuntamisesta desimaalimurtoiksi nimittäjillä 10, 100, ...:

  • kirjoita numero ylös osoittajasta;
  • erotamme desimaalipilkulla oikealla niin monta numeroa kuin alkuperäisen murtoluvun nimittäjässä on nollia.

Analysoidaan tämän säännön soveltamista esimerkkiä ratkaistaessa.

Esimerkki.

Muunna väärä yhteinen murtoluku 56 888 038 009/100 000 desimaaliksi.

Ratkaisu.

Ensinnäkin kirjoitetaan muistiin numero osoittajasta 56888038009 ja toiseksi erotetaan 5 numeroa oikealta desimaalipilkulla, koska alkuperäisen murtoluvun nimittäjässä on 5 nollaa. Tämän seurauksena meillä on desimaaliluku 568 880,38009.

Vastaus:

568 880,38009 .

Jos haluat muuntaa sekaluvun desimaaliluvuksi, jonka murto-osan nimittäjä on luku 10 tai 100 tai 1 000, ..., voit muuntaa sekaluvun vääräksi tavalliseksi murtoluvuksi, jonka jälkeen tuloksena oleva murtoluku voidaan muuntaa desimaaliluvuksi. Mutta voit käyttää myös seuraavaa sääntö sekalukujen, joiden nimittäjä on murto-osa 10, 100 tai 1000, ... muuntamisesta desimaalimurtoiksi:

  • tarvittaessa suoritamme alkuperäisen sekaluvun murto-osan "esivalmistelun" lisäämällä tarvittavan määrän nollia osoittajaan vasemmalle;
  • kirjoita muistiin alkuperäisen sekaluvun kokonaislukuosa;
  • laita desimaalipilkku;
  • kirjoitamme numeron osoittajasta yhdessä lisättyjen nollien kanssa.

Tarkastellaan esimerkkiä, jonka ratkaisemisessa suoritamme kaikki tarvittavat vaiheet sekaluvun esittämiseksi desimaalilukuna.

Esimerkki.

Muunna sekaluku desimaaliksi.

Ratkaisu.

Murto-osan nimittäjässä on 4 nollaa ja 2 numerosta koostuvassa osoittajassa numero 17, joten meidän on lisättävä osoittajaan vasemmalle kaksi nollaa, jotta siellä olevien merkkien määrä on yhtä suuri kuin nollien määrä nimittäjässä. Kun teet tämän, osoittaja on 0017.

Nyt kirjoitamme muistiin alkuperäisen luvun kokonaislukuosan, eli luvun 23, laitamme desimaalipisteen, jonka jälkeen kirjoitamme numeron osoittajasta yhdessä lisättyjen nollien kanssa, eli 0017, samalla kun saamme halutun desimaalin murto-osa 23,0017.

Kirjoitetaanpa koko ratkaisu lyhyesti: .

Epäilemättä oli mahdollista esittää sekaluku ensin vääränä murtolukuna ja sitten muuntaa se desimaalimurtoluvuksi. Tällä lähestymistavalla ratkaisu näyttää tältä:

Vastaus:

23,0017 .

Tavallisten murtolukujen muuntaminen äärellisiksi ja äärettömiksi jaksollisiksi desimaalimurtoiksi

Ei vain tavallisia murtolukuja, joiden nimittäjä on 10, 100, ..., vaan tavallisia murtolukuja, joissa on muut nimittäjät, voidaan muuntaa desimaalimurtoiksi. Nyt selvitetään, miten tämä tehdään.

Joissakin tapauksissa alkuperäinen tavallinen murto-osa pienenee helposti joksikin nimittäjäksi 10, 100 tai 1 000, ... (katso tavallisen murto-osan pienentäminen uuteen nimittäjään), minkä jälkeen ei ole vaikea esittää tuloksena oleva murtoluku desimaalilukuna. Esimerkiksi on selvää, että murto-osa 2/5 voidaan vähentää murto-osaan nimittäjällä 10, tätä varten sinun on kerrottava osoittaja ja nimittäjä kahdella, mikä antaa murto-osan 4/10, mikä Edellisessä kappaleessa käsitellyt säännöt voidaan helposti muuntaa desimaalimurtoluvuksi 0, 4 .

Muissa tapauksissa sinun on käytettävä erilaista tapaa muuntaa tavallinen murto desimaaliluvuksi, jota tarkastelemme nyt.

Tavallisen murtoluvun muuntamiseksi desimaaliluvuksi murtoluvun osoittaja jaetaan nimittäjällä, osoittaja on aiemmin korvattu sitä vastaavalla desimaaliluvulla millä tahansa määrällä nollia desimaalipilkun jälkeen (puhuimme tästä osiossa yhtä suuret ja eriarvoiset desimaaliluvut). Tässä tapauksessa jako suoritetaan samalla tavalla kuin jako luonnollisten lukujen sarakkeella, ja osamäärään sijoitetaan desimaalipiste, kun osingon kokonaislukuosan jako päättyy. Kaikki tämä käy ilmi alla olevien esimerkkien ratkaisuista.

Esimerkki.

Muunna yhteinen murtoluku 621/4 desimaaliksi.

Ratkaisu.

Esitetään osoittajassa 621 oleva luku desimaalilukuna lisäämällä desimaalipilkku ja muutama nolla sen perään. Aluksi lisäämme 2 numeroa 0, myöhemmin tarvittaessa voimme aina lisätä nollia. Meillä on siis 621,00.

Jaetaan nyt luku 621 000 4:llä sarakkeella. Kolme ensimmäistä vaihetta eivät eroa jakamisesta luonnollisten lukujen sarakkeella, minkä jälkeen pääsemme seuraavaan kuvaan:

Joten pääsimme osingossa desimaalipilkuun, ja loppuosa on eri kuin nolla. Tässä tapauksessa laitamme osamäärään desimaalipilkun ja jatkamme sarakkeella jakamista pilkkuja huomioimatta:

Tämä jako on valmis, ja tuloksena saatiin desimaalimurtoluku 155,25, joka vastaa alkuperäistä tavallista murtolukua.

Vastaus:

155,25 .

Aineiston yhdistämiseksi harkitse toisen esimerkin ratkaisua.

Esimerkki.

Muunna yhteinen murtoluku 21/800 desimaaliksi.

Ratkaisu.

Muuntaaksesi tämän yhteisen murtoluvun desimaaliluvuksi jaetaan desimaaliluku 21 000 ... 800:lla sarakkeella. Ensimmäisen vaiheen jälkeen meidän on asetettava desimaalipiste osamäärään ja jatkettava sitten jakoa:

Lopuksi saatiin jäännös 0, tällä on suoritettu tavanomaisen murtoluvun 21/400 muuntaminen desimaalimurtoluvuksi ja olemme päässeet desimaalimurtoon 0,02625.

Vastaus:

0,02625 .

Saattaa käydä niin, että kun jaetaan osoittaja tavallisen murtoluvun nimittäjällä, emme koskaan saa jäännöstä 0. Näissä tapauksissa jakoa voidaan jatkaa niin kauan kuin halutaan. Tietystä vaiheesta alkaen jäännökset alkavat kuitenkin toistua ajoittain, kun taas osamäärän numerot toistuvat myös. Tämä tarkoittaa, että alkuperäinen yhteinen murtoluku on ääretön jaksollinen desimaali. Osoitetaan tämä esimerkillä.

Esimerkki.

Kirjoita yhteinen murtoluku 19/44 desimaalilukuna.

Ratkaisu.

Jos haluat muuntaa tavallisen murtoluvun desimaaliluvuksi, teemme jakamisen sarakkeella:

On jo selvää, että jakamisen yhteydessä jäännökset 8 ja 36 alkoivat toistaa, kun taas osamäärässä numerot 1 ja 8 toistuvat. Siten alkuperäinen tavallinen murtoluku 19/44 muunnetaan jaksolliseksi desimaalimurtoluvuksi 0,43181818…=0,43(18) .

Vastaus:

0,43(18) .

Tämän kappaleen lopuksi selvitetään, mitkä tavalliset murtoluvut voidaan muuntaa lopullisiksi desimaalimurtoiksi ja mitkä vain jaksollisiksi murtoluvuiksi.

Olkoon edessämme pelkistämätön tavallinen murto-osa (jos murto-osa on pelkistävä, niin suoritamme ensin murto-osan pelkistys), ja meidän on selvitettävä, mihin desimaalimurtoon se voidaan muuntaa - äärelliseksi tai jaksolliseksi.

On selvää, että jos tavallinen murto-osa voidaan vähentää yhdeksi nimittäjistä 10, 100, 1000, ..., niin tuloksena oleva murto-osa voidaan helposti muuntaa lopulliseksi desimaalimurtoluvuksi edellisessä kappaleessa käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Mutta nimittäjiin 10, 100, 1000 jne. kaikkia tavallisia murtolukuja ei ole annettu. Vain murtoluvut voidaan vähentää sellaisiksi nimittäjiksi, joiden nimittäjät ovat vähintään yksi luvuista 10, 100, ... Ja mitkä luvut voivat olla luvun 10, 100, ... jakajia? Numerot 10, 100, … antavat meille mahdollisuuden vastata tähän kysymykseen, ja ne ovat seuraavat: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Tästä seuraa, että jakajat 10, 100, 1000 jne. voi olla vain lukuja, joiden alkutekijöihin hajotukset sisältävät vain luvut 2 ja (tai) 5 .

Nyt voimme tehdä yleisen johtopäätöksen tavallisten murtolukujen muuntamisesta desimaalimurtoiksi:

  • jos vain luvut 2 ja (tai) 5 ovat läsnä nimittäjän alkutekijöiksi hajotuksessa, tämä murto-osa voidaan muuntaa lopulliseksi desimaalimurtoluvuksi;
  • jos nimittäjän laajennuksessa on kahden ja viiden lisäksi muita alkuluvut, niin tämä murto-osa muunnetaan äärettömäksi desimaaliluvuksi.

Esimerkki.

Muuntamatta tavallisia murtolukuja desimaaliluvuiksi, kerro minulle, mitkä murtoluvuista 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 voidaan muuntaa lopulliseksi desimaalimurtoluvuksi ja mitkä vain jaksolliseksi.

Ratkaisu.

Murtoluvun 47/20 nimittäjän alkuluku on muotoa 20=2 2 5 . Tässä laajennuksessa on vain kaksi ja viisi, joten tämä murto-osa voidaan vähentää joksikin nimittäjistä 10, 100, 1000, ... (tässä esimerkissä nimittäjäksi 100), joten se voidaan muuntaa lopulliseksi. desimaaliluku.

Murtoluvun 7/12 nimittäjän alkuluku on muotoa 12=2 2 3 . Koska se sisältää yksinkertaisen kertoimen 3, joka eroaa 2:sta ja 5:stä, tätä murtolukua ei voida esittää äärellisenä desimaalilukuna, vaan se voidaan muuntaa jaksolliseksi desimaalimurtoluvuksi.

Murto-osa 21/56 - supistettava, pienennyksen jälkeen se on muotoa 3/8. Nimittäjän jakaminen alkutekijöiksi sisältää kolme tekijää, jotka ovat yhtä suuria kuin 2, joten tavallinen murto-osa 3/8 ja siten sitä vastaava murto-osa 21/56 voidaan muuntaa lopulliseksi desimaalimurtoluvuksi.

Lopuksi murto-osan 31/17 nimittäjän laajennus on itse 17, joten tätä murtolukua ei voida muuntaa äärettömäksi desimaalimurtoluvuksi, mutta se voidaan muuntaa äärettömäksi jaksolliseksi murtoluvuksi.

Vastaus:

47/20 ja 21/56 voidaan muuntaa viimeisiksi desimaaleiksi, kun taas 7/12 ja 31/17 voidaan muuntaa vain säännöllisiksi desimaaleiksi.

Yleisiä murtolukuja ei muunneta äärettömiksi ei-toistuviksi desimaaliluvuiksi

Edellisen kappaleen tiedot herättävät kysymyksen: "Voidaanko saada ääretön ei-jaksollinen murto, kun jaetaan murtoluvun osoittaja nimittäjällä"?

Vastaus: ei. Käännettäessä tavallista murtolukua voidaan saada joko äärellinen desimaalimurto tai ääretön jaksollinen desimaaliluku. Selitetään, miksi näin on.

Jakojäännöslausekkeesta selviää, että jäännös on aina pienempi kuin jakaja, eli jos jaetaan jokin kokonaisluku kokonaisluvulla q, niin vain yksi luvuista 0, 1, 2, ..., q−1 voi olla jäännös. Tästä seuraa, että sen jälkeen, kun tavallisen murtoluvun osoittajan kokonaislukuosan jakaminen nimittäjällä q on suoritettu, syntyy enintään q vaiheen jälkeen jompikumpi seuraavista kahdesta tilanteesta:

  • joko saamme jäännöksen 0, tämä lopettaa jaon ja saamme viimeisen desimaaliluvun;
  • tai saamme jo aiemmin esiintyneen jäännöksen, jonka jälkeen jäännökset alkavat toistaa kuten edellisessä esimerkissä (koska jakamalla yhtä suuret luvut q:lla saadaan yhtä suuret jäännökset, mikä seuraa jo mainitusta jakolauseesta), joten saadaan ääretön jaksollinen desimaaliluku.

Muita vaihtoehtoja ei voi olla, joten kun muunnetaan tavallinen murto desimaalimurtoluvuksi, ääretöntä ei-jaksollista desimaalilukua ei voida saada.

Tässä kappaleessa esitetystä päättelystä seuraa myös, että desimaalimurtoluvun jakson pituus on aina pienempi kuin vastaavan tavallisen murtoluvun nimittäjän arvo.

Muunna desimaalit yhteisiksi murtoluvuiksi

Nyt selvitetään kuinka muuntaa desimaalimurto tavalliseksi. Aloitetaan muuntamalla viimeiset desimaalit yhteisiksi murtoluvuiksi. Harkitse sen jälkeen menetelmää, jolla invertoidaan äärettömät jaksolliset desimaaliluvut. Lopuksi sanotaan mahdottomuus muuntaa äärettömiä ei-jaksollisia desimaalilukuja tavallisiksi murtoluvuiksi.

Lopun desimaalien muuntaminen yhteisiksi murtoluvuiksi

Tavallisen murtoluvun saaminen, joka kirjoitetaan viimeisenä desimaalilukuna, on melko yksinkertaista. Sääntö viimeisen desimaaliluvun muuntamiseksi tavalliseksi murtoluvuksi koostuu kolmesta vaiheesta:

  • kirjoita ensin annettu desimaaliluku osoittajaan, kun olet aiemmin hylännyt desimaalipisteen ja kaikki vasemmalla olevat nollat, jos niitä on;
  • toiseksi, kirjoita yksi nimittäjään ja lisää siihen niin monta nollaa kuin desimaalipilkun jälkeen on numeroita alkuperäisessä desimaaliluvussa;
  • kolmanneksi, tarvittaessa pienennä tuloksena olevaa fraktiota.

Mietitään esimerkkejä.

Esimerkki.

Muunna desimaaliluku 3,025 yhteiseksi murtoluvuksi.

Ratkaisu.

Jos poistamme desimaalipisteen alkuperäisestä desimaaliluvusta, saamme luvun 3025. Sen vasemmalla puolella ei ole nollia, jotka hylkäämme. Joten vaaditun murtoluvun osoittajaan kirjoitamme 3025.

Kirjoitamme nimittäjään luvun 1 ja lisäämme sen oikealle puolelle 3 nollaa, koska alkuperäisessä desimaaliluvussa on 3 numeroa desimaalipilkun jälkeen.

Saimme siis tavallisen murto-osan 3 025/1 000. Tätä murto-osaa voidaan pienentää 25:llä .

Vastaus:

.

Esimerkki.

Muunna desimaaliluku 0,0017 yhteiseksi murtoluvuksi.

Ratkaisu.

Ilman desimaalipistettä alkuperäinen desimaaliluku näyttää 00017:ltä, hylkäämällä nollat ​​vasemmalla, saadaan numero 17, joka on halutun tavallisen murtoluvun osoittaja.

Nimittäjään kirjoitetaan yksikkö, jossa on neljä nollaa, koska alkuperäisessä desimaalimurtoluvussa on 4 numeroa desimaalipilkun jälkeen.

Tuloksena meillä on tavallinen murto-osa 17/10 000. Tämä murto-osa on redusoitumaton, ja desimaalimurto muunnetaan tavalliseksi murtoluvuksi.

Vastaus:

.

Kun alkuperäisen lopullisen desimaaliluvun kokonaislukuosa eroaa nollasta, se voidaan muuntaa välittömästi sekaluvuksi, ohittaen tavallisen murtoluvun. Annetaan sääntö viimeisen desimaalin muuttamiseksi sekaluvuksi:

  • desimaalipilkkua edeltävä luku on kirjoitettava halutun sekaluvun kokonaislukuosana;
  • murto-osan osoittajaan sinun on kirjoitettava alkuperäisen desimaaliluvun murto-osasta saatu luku sen jälkeen, kun olet hylännyt kaikki vasemmalla olevat nollat;
  • murto-osan nimittäjään on kirjoitettava numero 1, johon oikealla lisätään niin monta nollaa kuin on numeroita alkuperäisen desimaaliluvun syötössä desimaalipilkun jälkeen;
  • tarvittaessa pienennä tuloksena olevan sekaluvun murto-osaa.

Harkitse esimerkkiä desimaaliluvun muuntamisesta sekaluvuksi.

Esimerkki.

Ilmaise desimaaliluku 152.06005 sekalukuna

Jos meidän on jaettava 497 4:llä, niin jakamalla näemme, että 497 ei ole jaollinen 4:llä, ts. jää divisioonan loppuosaksi. Tällaisissa tapauksissa niin sanotaan jako jäännöksellä, ja ratkaisu kirjoitetaan seuraavasti:
497: 4 = 124 (1 loppu).

Jakokomponentteja tasa-arvon vasemmalla puolella kutsutaan samoin kuin jaossa ilman jäännöstä: 497 - osinkoa, 4 - jakaja. Jakotulosta, kun jaetaan jäännöksellä, kutsutaan epätäydellinen yksityinen. Meidän tapauksessamme tämä luku on 124. Ja lopuksi viimeinen komponentti, joka ei ole tavallisessa jaossa, on loput. Kun jäännöstä ei ole, yhden luvun sanotaan jaettuna toisella. ilman jälkiä tai kokonaan. Uskotaan, että tällaisella jaolla jäännös on nolla. Meidän tapauksessamme jäännös on 1.

Jäännös on aina pienempi kuin jakaja.

Voit tarkistaa jakamisen kertomalla. Jos esimerkiksi on yhtälö 64: 32 = 2, niin tarkistus voidaan tehdä näin: 64 = 32 * 2.

Usein tapauksissa, joissa jako jäännöksellä suoritetaan, on kätevää käyttää tasa-arvoa
a \u003d b * n + r,
missä a on osinko, b on jakaja, n on osaosamäärä, r on jakoosa.

Luonnollisten lukujen jaon osamäärä voidaan kirjoittaa murtolukuna.

Murtoluvun osoittaja on osinko, ja nimittäjä on jakaja.

Koska murtoluvun osoittaja on osinko ja nimittäjä jakaja, uskovat, että murto-osion rivi tarkoittaa jakolaskua. Joskus on kätevää kirjoittaa jako murtolukuna ilman ":"-merkkiä.

Luonnollisten lukujen m ja n jaon osamäärä voidaan kirjoittaa murtolukuna \(\frac(m)(n) \), jossa osoittaja m on osinko ja nimittäjä n on jakaja:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Seuraavat säännöt ovat oikein:

Jotta saadaan murtoluku \(\frac(m)(n) \), sinun on jaettava yksikkö n yhtä suureen osaan (osuuteen) ja otettava m tällaista osaa.

Saadaksesi murtoluvun \(\frac(m)(n) \), sinun on jaettava luku m luvulla n.

Löytääksesi osan kokonaisuudesta, sinun on jaettava kokonaisuutta vastaava luku nimittäjällä ja kerrottava tulos tämän osan ilmaisevan murto-osan osoittajalla.

Löytääksesi kokonaisuuden osalla, sinun on jaettava tätä osaa vastaava luku osoittajalla ja kerrottava tulos tämän osan ilmaisevan murto-osan nimittäjällä.

Jos murto-osan osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla (paitsi nolla), murto-osan arvo ei muutu:
\(\suuri \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jos murto-osan osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla (paitsi nolla), murto-osan arvo ei muutu:
\(\suuri \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Tätä ominaisuutta kutsutaan murto-osan perusominaisuus.

Kaksi viimeistä muunnosa kutsutaan fraktion vähentäminen.

Jos murtoluvut on esitettävä murtoluvuina, joilla on sama nimittäjä, niin tällaista toimintaa kutsutaan murto-osien vähentäminen yhteiseksi nimittäjäksi.

Oikeat ja väärät murtoluvut. sekalaisia ​​numeroita

Tiedät jo, että murto-osa voidaan saada jakamalla kokonaisuus yhtä suuriin osiin ja ottamalla useita tällaisia ​​osia. Esimerkiksi murto-osa \(\frac(3)(4) \) tarkoittaa kolmea neljäsosaa yhdestä. Monissa edellisen osan ongelmissa murtolukuja käytettiin osoittamaan kokonaisuuden osaa. Terve järki määrää, että osan tulee aina olla pienempi kuin kokonaisuus, mutta entä murtoluvut, kuten \(\frac(5)(5) \) tai \(\frac(8)(5) \)? On selvää, että tämä ei ole enää osa yksikköä. Luultavasti tästä syystä sellaisia ​​murtolukuja, joissa osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä, kutsutaan vääriä murtolukuja. Jäljelle jääneet murtoluvut eli murtoluvut, joissa osoittaja on pienempi kuin nimittäjä, kutsutaan oikeat murtoluvut.

Kuten tiedät, mikä tahansa tavallinen murtoluku, sekä oikea että väärä, voidaan katsoa tulokseksi jakamalla osoittaja nimittäjällä. Siksi matematiikassa, toisin kuin tavallinen kieli, termi "sopimaton murtoluku" ei tarkoita, että teimme jotain väärin, vaan vain sitä, että tämän murtoluvun osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjä.

Jos luku koostuu kokonaisluvun osasta ja murto-osasta, niin sellainen fraktioita kutsutaan sekoitettuiksi.

Esimerkiksi:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 on kokonaislukuosa ja \(\frac(2)(3) \) on murto-osa.

Jos murtoluvun \(\frac(a)(b) \) osoittaja on jaollinen luonnollisella luvulla n, niin tämän murtoluvun jakamiseksi n:llä sen osoittaja on jaettava tällä luvulla:
\(\suuri \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jos murtoluvun \(\frac(a)(b) \) osoittaja ei ole jaollinen luonnollisella luvulla n, jakaaksesi tämän murtoluvun n:llä, sinun on kerrottava sen nimittäjä tällä numerolla:
\(\suuri \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Huomaa, että toinen sääntö pätee myös, kun osoittaja on jaollinen n:llä. Siksi voimme käyttää sitä silloin, kun on ensi silmäyksellä vaikeaa määrittää, onko murtoluvun osoittaja jaollinen n:llä vai ei.

Toiminnot murtoluvuilla. Murtolukujen lisääminen.

Murtoluvuilla, kuten luonnollisilla lukuilla, voit suorittaa aritmeettisia operaatioita. Katsotaanpa ensin murtolukujen lisäämistä. Murtolukuja on helppo lisätä samoilla nimittäjillä. Etsi esimerkiksi \(\frac(2)(7) \) ja \(\frac(3)(7) \) summa. On helppo ymmärtää, että \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Kirjaimia käyttämällä sääntö samojen nimittäjien murtolukujen lisäämisestä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\(\suuri \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jos haluat lisätä murtolukuja eri nimittäjillä, ne on ensin vähennettävä yhteiseksi nimittäjäksi. Esimerkiksi:
\(\suuri \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Murtoluvuille, kuten myös luonnollisille lukuille, yhteenlaskujen kommutatiiviset ja assosiatiiviset ominaisuudet ovat voimassa.

Sekafraktioiden lisääminen

Tallenteita, kuten \(2\frac(2)(3) \), kutsutaan sekoitettuja fraktioita. Numeroa 2 kutsutaan koko osa sekoitettu murtoluku, ja luku \(\frac(2)(3) \) on sen murto-osa. Merkintä \(2\frac(2)(3) \) luetaan seuraavasti: "kaksi ja kaksi kolmasosaa".

Jakamalla luvun 8 luvulla 3 saadaan kaksi vastausta: \(\frac(8)(3) \) ja \(2\frac(2)(3) \). Ne ilmaisevat saman murtoluvun, eli \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Siten väärä murtoluku \(\frac(8)(3) \) esitetään sekamurtolukuna \(2\frac(2)(3) \). Tällaisissa tapauksissa he sanovat sen väärästä murto-osasta nosti esiin kokonaisuuden.

Murtolukujen vähentäminen (murtoluvut)

Murtolukujen, samoin kuin luonnollisten, vähentäminen määräytyy yhteenlaskuoperaation perusteella: toisen vähentäminen yhdestä luvusta tarkoittaa sellaisen luvun löytämistä, joka toiseen lisättynä antaa ensimmäisen. Esimerkiksi:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) koska \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Samankaltaisten nimittäjien murtolukujen vähentämissääntö on samanlainen kuin tällaisten murtolukujen lisäämissääntö:
Jos haluat löytää eron samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen välillä, vähennä toisen osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätä nimittäjä ennalleen.

Kirjaimia käyttämällä tämä sääntö kirjoitetaan seuraavasti:
\(\suuri \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Murtolukujen kertolasku

Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät ja kirjoitettava ensimmäinen tulo osoittajaksi ja toinen nimittäjäksi.

Kirjaimia käyttämällä murtolukujen kertomissääntö voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\(\suuri \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Muotoiltua sääntöä käyttäen rukoillaan kertomaan murto-osa luonnollisella luvulla, sekamurtoluvulla ja myös kertomaan sekamurtoluvut. Tätä varten sinun on kirjoitettava luonnollinen luku murtolukuna, jonka nimittäjä on 1, ja sekamurto virheellisenä murtolukuna.

Kertolaskua tulee yksinkertaistaa (jos mahdollista) pienentämällä murtolukua ja korostamalla väärän murtoluvun kokonaislukuosa.

Murtoluvuille samoin kuin luonnollisille luvuille pätevät kertolaskujen kommutatiiviset ja assosiatiiviset ominaisuudet sekä kertolaskujen jakautumisominaisuus summauksen suhteen.

Murtolukujen jako

Ota murtoluku \(\frac(2)(3) \) ja "käännä" se vaihtamalla osoittaja ja nimittäjä. Saamme murto-osan \(\frac(3)(2) \). Tätä murtolukua kutsutaan käänteinen murtoluvut \(\frac(2)(3) \).

Jos nyt "käännämme" murto-osan \(\frac(3)(2) \), niin saadaan alkuperäinen murtoluku \(\frac(2)(3) \). Siksi murtoluvut, kuten \(\frac(2)(3) \) ja \(\frac(3)(2) \), kutsutaan keskenään käänteisesti.

Esimerkiksi murtoluvut \(\frac(6)(5) \) ja \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ja \(\frac (18) )(7) \).

Kirjaimia käyttämällä käänteiset murtoluvut voidaan kirjoittaa seuraavasti: \(\frac(a)(b) \) ja \(\frac(b)(a) \)

On selvää että käänteismurtolukujen tulo on 1. Esimerkki: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Käänteismurtolukuja käyttämällä murto-osien jako voidaan pelkistää kertolaskuksi.

Sääntö murtoluvun jakamiseksi murtoluvulla:
Jos haluat jakaa yhden murtoluvun toisella, sinun on kerrottava osinko jakajan käänteisluvulla.

Kirjaimia käyttämällä murtolukujen jakamissääntö voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\(\suuri \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Jos osinko tai jakaja on luonnollinen luku tai sekamurtoluku, niin murto-osien jakosäännön käyttämiseksi se on ensin esitettävä vääränä murtolukuna.

Käytetään laajasti eri aloilla ihmisen toiminta olipa kyseessä tieteellinen ja soveltava laskenta, erilaisten laitteiden kehittäminen ja käyttö, taloudellinen laskelma ja niin edelleen. Eri syistä johtuen se on usein tarpeen suorittaa desimaaliversio, sekä prosessi käänteinen sille. On huomattava, että tällainen muunnoksia tuotetaan suhteellisen helposti ja tiettyjen sääntöjen ja menetelmien mukaisesti, jotka ovat olleet matematiikassa satoja vuosia.

Desimaaliluvun muuntaminen yksinkertaiseksi murtoluvuksi

Desimaalimuunnos murto-osaan "tavallinen" tehdään melko helposti ja yksinkertaisesti. Tätä varten käytetään seuraavaa tekniikkaa: alkuperäisen luvun desimaalipilkun oikealla puolella oleva luku otetaan uuden murtoluvun osoittajaksi, numeroa kymmentä käytetään nimittäjänä siinä määrin kuin osoittajan numeroiden määrä. Mitä tulee koko muuhun osaan, se pysyy ennallaan. Jos kokonaislukuosa on yhtä suuri kuin nolla, se jätetään muunnoksen jälkeen yksinkertaisesti pois.

ESIMERKKI 1

Viisikymmentä pistettä kaksikymmentäviisi sadasosaa on viisikymmentä pistettä ja kaksikymmentäviisi jaettuna sadalla on viisikymmentä pistettä yksi neljäsosa.

Murtoluvun muuntaminen desimaaliksi

Murtoluvun muuntaminen desimaaliksi, itse asiassa, on käänteinen desimaalin muuntaminen yksinkertaiseksi. Sen toteuttaminen ei myöskään aiheuta vaikeuksia ja on itse asiassa melko yksinkertainen. aritmeettinen operaatio. Jotta muuntaa yksinkertaisen murtoluvun desimaaliksi sinun on jaettava osoittaja sen nimittäjällä tiettyjen sääntöjen mukaisesti.

ESIMERKKI 1

Tarve toteuttaa muunnos tavallinen murto-osa viisi kahdeksasosaa desimaali.

Viiden jakaminen kahdeksalla antaa desimaali nolla piste kuusisataakaksikymmentäviisi tuhannesosaa.

= 0.625

Murtoluvun muuntamisen tuloksen pyöristys desimaaliksi

On huomattava, että toisin kuin sellainen prosessi kuin desimaalimuunnos, tämä toimenpide voi usein kestää loputtomasti. Tällaisissa tapauksissa sanotaan, että menettelyn tulos murto-osan muuntaminen desimaaliksi ei ehkä ole tarkka. Käytäntö osoittaa kuitenkin, että suurimmassa osassa tapauksia ei vaadita täysin tarkan tuloksen saamista. Pääsääntöisesti jakoprosessi päättyy, kun niiden desimaaliosien arvot, jotka ovat käytännössä kiinnostavia kussakin tapauksessa, on jo saatu sen aikana.

ESIMERKKI 1

Kilon painoinen voin pala on leikattava yhdeksään osaan samaa massaa. Tätä menettelyä suoritettaessa käy ilmi, että kunkin massa on 1/9 kilogrammaa. Jos kaikkien sääntöjen mukaan suorittaa muunnos Tämä tavallinen murto-osa v desimaaliluku, käy ilmi, että kunkin tuloksena olevan osan massa on yhtä suuri kuin nolla kokonaislukua ja yksi kilogramman jaksossa.

Pyöristys suoritetaan aritmetiikassa säädettyjen vakiosääntöjen mukaisesti: jos ensimmäisen "hylätyn" numeron arvo on 5 tai enemmän, viimeistä merkitsevistä numeroista kasvatetaan yhdellä. Muuten se pysyy ennallaan.

ESIMERKKI 2

Muunna yhteinen murtoluku kahdeksasosa desimaalin tarkkuudella.

Kun jaat yhden kahdeksalla, saat nolla pisteen satakaksikymmentäviisi tuhannesosaa tai pyöristettynä ylöspäin - nolla piste kolmetoista sadasosaa.

Murtoluku voidaan muuntaa kokonaisluvuksi tai desimaaliluvuksi. Virheellinen murtoluku, jonka osoittaja on suurempi kuin nimittäjä ja on sillä jaollinen ilman jäännöstä, muunnetaan kokonaisluvuksi, esimerkiksi: 20/5. Jaa 20 viidellä ja saa luku 4. Jos murtoluku on oikea, eli osoittaja on pienempi kuin nimittäjä, muunna se luvuksi (desimaalimurto). Voit oppia lisää murtoluvuista osiostamme -.

Tapa muuntaa murto luvuksi

  • Ensimmäinen tapa muuntaa murto luvuksi sopii murtoluvulle, joka voidaan muuntaa luvuksi, joka on desimaalimurto. Ensin selvitetään, onko mahdollista muuntaa annettu murto-osa desimaalimurtoluvuksi. Voit tehdä tämän kiinnittämällä huomiota nimittäjään (numeroon, joka on viivan alla tai vinon oikealla puolella). Jos nimittäjä voidaan jakaa tekijöiksi (esimerkissämme - 2 ja 5), ​​jotka voidaan toistaa, niin tämä murto-osa voidaan todella muuttaa lopulliseksi desimaalimurtoluvuksi. Esimerkki: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Tämä yhteinen murtoluku muunnetaan luvuksi (desimaalimurto), jossa on äärellinen määrä desimaalipaikkoja. Mutta murto-osa 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) muunnetaan luvuksi, jossa on ääretön määrä desimaalipaikkoja. Eli kun numeerista arvoa lasketaan tarkasti, on melko vaikeaa määrittää lopullinen merkki desimaalipilkun jälkeen, koska tällaisia ​​merkkejä on ääretön määrä. Siksi ongelmien ratkaisemiseksi sinun on yleensä pyöristettävä arvo sadasosiksi tai tuhannesosiksi. Lisäksi on tarpeen kertoa sekä osoittaja että nimittäjä sellaisella luvulla, että nimittäjässä on luvut 10, 100, 1000 jne. Esimerkiksi: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
  • Toinen tapa muuntaa murto luvuksi on yksinkertaisempi: sinun on jaettava osoittaja nimittäjällä. Tämän menetelmän soveltamiseksi suoritamme yksinkertaisesti jaon, jolloin tuloksena oleva luku on haluttu desimaaliluku. Esimerkiksi murto-osa 2/15 on muutettava luvuksi. Jaamme 2:lla 15. Saamme 0, 1333 ... - ääretön murto-osa. Kirjoitamme sen muistiin näin: 0.13(3). Jos murto-osa on virheellinen, eli osoittaja on suurempi kuin nimittäjä (esimerkiksi 345/100), niin sen luvuksi muuntamisen tuloksena kokonaisluvun numeerinen arvo tai desimaalimurto, jossa on kokonaisluku murto-osa saada. Esimerkissämme tämä on 3,45. Jos haluat muuntaa sekamurtoluvun, kuten 3 2/7, luvuksi, sinun on ensin muutettava se vääräksi murtoluvuksi: (3∙7+2)/7 =23/7. Seuraavaksi jaamme 23:lla 7 ja saamme luvun 3.2857143, jonka vähennämme 3.29:ään.

Helpoin tapa muuntaa murto luvuksi on käyttää laskinta tai muuta laskentalaitetta. Osoitamme ensin murtoluvun osoittajan, paina sitten "jako"-kuvakkeen painiketta ja kirjoita nimittäjä. Kun olet painanut "="-näppäintä, saamme halutun numeron.