Matemaattinen analyysi.

Työpaja.

Erikoisalan yliopisto-opiskelijoille:

"Valtio- ja kuntahallinto"

T.Z. Pavlova

Kolpashevo 2008

Luku 1 Johdatus analyysiin

1.1 Toiminnot. Yleiset ominaisuudet

1.2 Rajateoria

1.3 Toiminnan jatkuvuus

2.1 Johdannan määritelmä

2.4 Toimintojen tutkiminen

2.4.1 Täyden toiminnan opiskelusuunnitelma

2.4.2 Esimerkkejä funktiotutkimuksesta

2.4.3. Segmentin funktion suurin ja pienin arvo

2.5 L'Hospitalin sääntö

3.1 Epämääräinen integraali

3.1.1 Määritelmät ja ominaisuudet

3.1.2 Integraalitaulukko

3.1.3 Integroinnin perusmenetelmät

3.2 Tarkka integraali

3.2.2 Määrätyn integraalin laskentamenetelmät

Luku 4

4.1 Peruskäsitteet

4.2 Useiden muuttujien funktioiden rajat ja jatkuvuus

4.3.3 Kokonaisdifferentiaali ja sen soveltaminen likimääräisiin laskelmiin

Luku 5

6.1 Aputoiminto.

6.2 Välinpitämättömyysviivat

6.3 Budjetti asetettu

Kotitehtävät

1.1 Toiminnot. Yleiset ominaisuudet

Numeerinen funktio määritellään reaalilukujen joukolle D, jos jokainen muuttujan arvo liittyy johonkin muuttujan y hyvin määriteltyyn reaaliarvoon, jossa D on funktion alue.

Toiminnon analyyttinen esitys:

nimenomaisesti: ;

implisiittisesti: ;

parametrisessa muodossa:

erilaisia ​​kaavoja määritelmäalueella:

Ominaisuudet.

Parillinen toiminto: . Esimerkiksi funktio on parillinen, koska .

Pariton toiminto: . Esimerkiksi funktio on pariton, koska .

Jaksollinen toiminto: , jossa T on funktion jakso, . Esimerkiksi trigonometriset funktiot.

monotoninen toiminto. Jos jollakin määrittelyalueella - funktio kasvaa, - pienenee. Esimerkiksi - kasvava ja - laskeva.

Rajoitettu ominaisuus. Jos on sellainen luku M, että . Esimerkiksi funktiot ja , koska .

Esimerkki 1. Etsi funktioiden laajuus.

+ 2 – 3 +

1.2 Rajateoria

Määritelmä 1. Funktion at raja on luku b, jos jollekin ( on mielivaltaisen pieni positiivinen luku) on mahdollista löytää sellainen argumentin arvo, josta alkaen epäyhtälö toteutuu.

Nimitys: .

Määritelmä 2. Toiminnon rajana on luku b, jos jollakin ( - mielivaltaisen pienellä positiivisella luvulla) on niin positiivinen luku, että kaikilla x-arvoilla, jotka tyydyttävät epäyhtälön, epäyhtälö on tosi.

Nimitys: .

Määritelmä 3. Funktiota kutsutaan infinitesimaaliksi for or , jos tai .

Ominaisuudet.

1. Äärellisen määrän äärettömän pienten suureiden algebrallinen summa on äärettömän pieni määrä.

2. Äärettömän pienen määrän ja rajoitetun funktion (vakio, toinen äärettömän pieni määrä) tulo on äärettömän pieni määrä.

3. Äärettömän pienen määrän jakaminen funktiolla, jonka raja on eri kuin nolla, on äärettömän pieni määrä.

Määritelmä 4. Funktiota kutsutaan äärettömäksi suureksi jos .

Ominaisuudet.

1. Äärettömän suuren tulo funktiolla, jonka raja on eri kuin nolla, on äärettömän suuri määrä.

2. Äärettömän suuren ja rajallisen funktion summa on äärettömän suuri määrä.

3. Äärettömän suuren määrän jakaminen funktiolla, jolla on raja, on äärettömän suuri määrä.

Lause.(Äärettömän pienen arvon ja äärettömän suuren arvon välinen suhde.) Jos funktio on äärettömän pieni kohdassa (), niin funktio on äärettömän suuri arvo kohdassa (). Ja päinvastoin, jos funktio on äärettömän suuri kohdassa (), niin funktio on äärettömän pieni arvo kohdassa ().

Rajalauseet.

1. Funktiolla voi olla vain yksi raja.

2. Useiden funktioiden algebrallisen summan raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen algebrallinen summa:

3. Useiden funktioiden tulon raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden tulojen tulo:

4. Tutkinnon raja on yhtä suuri kuin rajan aste:

5. Osamäärän raja on yhtä suuri kuin rajojen osamäärä, jos jakolaja on olemassa:

.

6. Ensimmäinen merkittävä raja.

Seuraukset:

7. Toinen merkittävä raja:

Seuraukset:

Vastaavat äärettömän pienet määrät:

Rajojen laskeminen.

Raja-arvoja laskettaessa käytetään peruslauseita rajoista, jatkuvien funktioiden ominaisuuksista sekä näistä lauseista ja ominaisuuksista seuraavia sääntöjä.

Sääntö 1 Raja löytämiseksi funktion pisteestä, joka on jatkuva tässä pisteessä, on välttämätöntä korvata sen raja-arvo argumentin x sijasta rajamerkin alla olevaan funktioon.

Esimerkki 2. Etsi

Sääntö 2 Jos murto-osan rajaa löydettäessä nimittäjän raja on nolla ja osoittajan raja on nollasta poikkeava, niin tällaisen funktion raja on yhtä suuri kuin .

Esimerkki 3. Etsi

Sääntö 3 Jos murto-osan rajaa löydettäessä nimittäjän raja on yhtä suuri ja osoittajan raja on nollasta poikkeava, niin tällaisen funktion raja on nolla.

Esimerkki 4 Etsi

Usein argumentin raja-arvon korvaaminen johtaa muodon määrittelemättömiin ilmauksiin

.

Funktion rajan löytämistä näissä tapauksissa kutsutaan epävarmuuden paljastamiseksi. Epävarmuuden paljastamiseksi on tarpeen suorittaa tämän lausekkeen muunnos ennen rajalle menemistä. Erilaisia ​​tekniikoita käytetään epävarmuuksien paljastamiseen.

Sääntö 4. Muodon epävarmuus paljastuu muuntamalla sublimit-funktiota siten, että osoittajasta ja nimittäjästä valitaan tekijä, jonka raja on nolla, ja murto-osaa sillä pienentäen etsitään osamäärän raja. Tätä varten osoittaja ja nimittäjä joko kerrotaan tai kerrotaan osoittajaan ja nimittäjään konjugoiduilla lausekkeilla.

Sääntö 5 Jos sublimit-lauseke sisältää trigonometrisiä funktioita, niin ensimmäistä merkittävää rajaa käytetään paljastamaan muodon epävarmuus.

.

Sääntö 6. Kohteen muodon epävarmuuden paljastamiseksi sublimiittimurtoluvun osoittaja ja nimittäjä on jaettava argumentin korkeimmalla asteikolla ja sitten löydettävä osamäärän raja.

Mahdolliset tulokset:

1) haluttu raja on yhtä suuri kuin kertoimien suhde osoittajan ja nimittäjän argumentin korkeimmilla tehoilla, jos nämä potenssit ovat samat;

2) raja on yhtä suuri kuin ääretön, jos osoittajaargumentin aste on suurempi kuin nimittäjäargumentin aste;

3) raja on nolla, jos osoittajaargumentin aste on pienempi kuin nimittäjäargumentin aste.

a)

koska

Asteet ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että raja on yhtä suuri kuin kertoimien suhde korkeammilla asteilla, ts. .

b)

Osoittajan aste, nimittäjä on 1, mikä tarkoittaa, että raja on yhtä suuri kuin

v)

Osoittajan aste on 1, nimittäjä on, joten raja on 0.

Sääntö 7. Muodon epävarmuuden paljastamiseksi sublimiittimurtoluvun osoittaja ja nimittäjä on kerrottava konjugaattilausekkeella.

Esimerkki 10

Sääntö 8. Lajien epävarmuuden paljastamiseksi käytetään toista merkittävää rajaa ja sen seurauksia.

Se voidaan todistaa

Esimerkki 11.

Esimerkki 12.

Esimerkki 13

Sääntö 9. Paljastettaessa epävarmuustekijöitä, joiden sublimit-funktio sisältää b.m.v.:n, on tarpeen korvata näiden b.m.:n rajat. b.m.:n rajoihin, mikä vastaa niitä.

Esimerkki 14

Esimerkki 15

Sääntö 10 L'Hospitalin sääntö (katso 2.6).

1.3 Toiminnan jatkuvuus

Funktio on jatkuva siinä pisteessä, jos funktion raja, kun argumentti pyrkii a:han, on olemassa ja on sama kuin funktion arvo tässä pisteessä.

Vastaavat ehdot:

1. ;

3.

Katkopisteiden luokittelu:

ensimmäisen tyyppinen repeämä

Irrotettava - yksipuoliset rajat ovat olemassa ja ovat samat;

Kohtalokas (hyppy) - yksipuoliset rajat eivät ole samat;

toisen tyyppinen epäjatkuvuus: funktion rajaa pisteessä ei ole olemassa.

Esimerkki 16. Määritä funktion epäjatkuvuuden luonne pisteessä tai todista funktion jatkuvuus tässä pisteessä.

, funktiota ei ole määritelty, joten se ei ole jatkuva tässä vaiheessa. Koska ja vastaavasti, , silloin on ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuuspiste.

b)

tehtävään (a) verrattuna funktiota laajennetaan kohdassa siten, että , joten annettu funktio on jatkuva annetussa pisteessä.

Kun toimintoa ei ole määritetty;

.

Koska yksi yksipuolisista rajoista on ääretön, sitten on toisen tyyppinen epäjatkuvuuspiste.

kappale 2

2.1 Johdannan määritelmä

Johdannainen määritelmä

Tietyn funktion derivaatta tai funktio on funktion lisäyksen ja argumentin vastaavan lisäyksen suhteen raja, kun argumentin lisäys pyrkii nollaan:

Tai .

Derivaatan mekaaninen merkitys on funktion muutosnopeus. Derivaatan geometrinen merkitys on tangentin kaltevuuden tangentti funktion kuvaajaan:

2.2 Erottamisen perussäännöt

Nimi	Toiminto	Johdannainen
Kerroin vakiokertoimella
Kahden funktion algebrallinen summa
Kahden funktion tulos
Kahden funktion osamäärä
Monimutkainen toiminto

Alkeisfunktioiden johdannaiset

Nro p / s	Toiminnon nimi	Funktio ja sen johdannainen
1	vakio
2	tehotoiminto erikoistapaukset
3	eksponentti funktio erikoistapaus
4	logaritminen funktio erikoistapaus
5	trigonometriset funktiot
6	käänteinen trigonometrinen

b)

2.3 Korkeamman asteen johdannaiset

Funktion toisen asteen derivaatta

Funktion toisen asteen derivaatta:

Esimerkki 18.

a) Etsi funktion toisen asteen derivaatta.

Ratkaisu. Etsitään ensin ensimmäisen asteen derivaatta .

Ensimmäisen kertaluvun johdannaisesta otamme derivaatan uudelleen.

Esimerkki 19. Etsi funktion kolmannen asteen derivaatta.

2.4 Toimintojen tutkiminen

2.4.1 Koko tehtävän opiskelusuunnitelma:

Täysi toimintasuunnitelma:

1. Perustutkimus:

Etsi määrittelyalue ja arvoalue;

Selvitä yleiset ominaisuudet: parillinen (pariton), jaksollisuus;

Etsi leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa;

Määritä vakioalueet.

2. Asymptootit:

Etsi pystyasymptootit if ;

Etsi vinot asymptootit: .

Jos jokin luku on, ne ovat vaakasuuntaiset asymptootit.

3. Tutki käyttämällä:

Etsi kriittiset kohdat, ne. kohdat, joissa tai ei ole olemassa;

Määritä kasvuvälit, ne. funktion aikavälit ja vähennys - ;

Määritä ääripisteet: pisteet, joiden läpi kulkee merkki muuttuu "+":sta "-", ovat maksimipisteet, "-":sta "+" - minimiin.

4. Tutkimuksia käyttämällä:

Etsi pisteet, joissa tai ei ole olemassa;

Etsi kuperuusalueet, ts. aukot, joissa ja koveruudet -;

Etsi käännepisteet, ts. osoittaa siirtymäkohdassa, jonka kautta merkki muuttuu.

1. Tutkimuksen yksittäiset elementit piirretään kaavioon asteittain sitä mukaa kuin niitä löydetään.

2. Jos funktion kaavion rakentamisessa on vaikeuksia, niin funktion arvot löytyvät joistakin lisäpisteistä.

3. Tutkimuksen tarkoituksena on kuvata funktion käyttäytymisen luonnetta. Siksi ei rakenneta tarkkaa kuvaajaa, vaan sen approksimaatiota, johon löydetyt elementit (äärimmäiset, käännepisteet, asymptootit jne.) on merkitty selkeästi.

4. Ei ole välttämätöntä noudattaa tiukasti yllä olevaa suunnitelmaa; on tärkeää, ettei funktion käyttäytymisen tunnusomaisia ​​elementtejä jätetä huomiotta.

2.4.2 Esimerkkejä funktiotutkimuksesta:

1)

2) Pariton toiminto:

.

3) Asymptootit.

ovat vertikaalisia asymptootteja, koska

Vino asymptootti.

5)

- käännekohta.

2) Pariton toiminto:

3) Asymptootit: Pystyasymptootteja ei ole.

Kalteva:

ovat vinoja asymptootteja

4) - toiminto lisääntyy.

- käännekohta.

Tämän funktion kaaviokuva:

2) Yleinen toiminta

3) Asymptootit

- ei vinoja asymptootteja

on vaaka-asymptootti

- käännekohta

Tämän funktion kaaviokuva:

2) Asymptootit.

on vertikaalinen asymptootti, koska

- ei vinoja asymptootteja

, on vaakasuuntainen asymptootti

Tämän funktion kaaviokuva:

2) Asymptootit

on pystysuora asymptootti paikassa , koska

- ei vinoja asymptootteja

, on vaakasuuntainen asymptootti

3) – toiminto pienenee kullakin aikavälillä.

Tämän funktion kaaviokuva:

Voit löytää segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvon käyttämällä kaaviota:

1. Etsi funktion derivaatta.

2. Etsi funktion kriittiset pisteet, joissa tai ei ole olemassa.

3. Etsi funktion arvo tiettyyn segmenttiin kuuluvissa kriittisissä pisteissä ja sen päissä ja valitse niistä suurin ja pienin.

Esimerkki. Etsi funktion pienin ja suurin arvo annetusta segmentistä.

25. välissä

2) - kriittiset pisteet

26. välissä.

Derivaata ei ole olemassa paikassa , mutta 1 ei kuulu tähän väliin. Funktio pienenee välillä , mikä tarkoittaa, että ei ole maksimiarvoa, vaan pienin arvo .

2.5 L'Hospitalin sääntö

Lause. Kahden äärettömän pienen tai äärettömän suuren funktion suhteen raja on yhtä suuri kuin niiden derivaattojen (äärellisen tai äärettömän) suhteen raja, jos jälkimmäinen on olemassa esitetyssä merkityksessä.

Nuo. kun paljastat tyyppisiä epävarmuustekijöitä, tai voit käyttää kaavaa:

.

27.

Luku 3. Integraalilaskenta

3.1 Epämääräinen integraali

3.1.1 Määritelmät ja ominaisuudet

Määritelmä 1. Funktiota kutsutaan antiderivaatiiviseksi jos .

Määritelmä 2. Funktion f(x) epämääräinen integraali on joukko tämän funktion antiderivaatat.

Nimitys: , jossa c on mielivaltainen vakio.

Epämääräisen integraalin ominaisuudet

1. Epämääräisen integraalin johdannainen:

2. Epämääräisen integraalin differentiaali:

3. Differentiaalin määrittelemätön integraali:

4. Kahden funktion summan (eron) määrittelemätön integraali:

5. Vakiotekijän poistaminen määrittelemättömän integraalin etumerkistä:

3.1.2 Integraalitaulukko

.1.3 Integroinnin perusmenetelmät

1. Käyttämällä epämääräisen integraalin ominaisuuksia.

Esimerkki 29.

2. Tuodaan tasauspyörästön merkin alle.

Esimerkki 30.

3. Muuttuva vaihtomenetelmä:

a) vaihto integraalissa

missä - toiminto, joka on helpompi integroida kuin alkuperäinen; - funktio, käänteisfunktio ; -funktion antijohdannainen.

Esimerkki 31.

b) korvaaminen lomakkeen osana:

Esimerkki 32.

Esimerkki 33.

4. Integrointi osamenetelmällä:

Esimerkki 34.

Esimerkki 35.

Ota integraali erikseen

Palataan integraaliimme:

3.2 Tarkka integraali

3.2.1 Määrätyn integraalin käsite ja sen ominaisuudet

Määritelmä. Olkoon jatkuva funktio jollain aikavälillä. Suunnitellaan se.

Kuvaa, jota ylhäältä rajaa käyrä, vasemmalta ja oikealta suorat viivat ja alhaalta abskissa-akselin segmentti pisteiden a ja b välillä, kutsutaan kaarevaksi puolisuunnikkaaksi.

S - alue - kaareva puolisuunnikas.

Jaa väli pisteillä ja saa:

Integroitu summa:

Määritelmä. Tarkka integraali on integraalisumman raja.

Määrätyn integraalin ominaisuudet:

1. Integraalimerkistä voidaan ottaa vakiotekijä:

2. Kahden funktion algebrallisen summan integraali on yhtä suuri kuin näiden funktioiden integraalien algebrallinen summa:

3. Jos integrointisegmentti on jaettu osiin, niin koko segmentin integraali on yhtä suuri kuin kunkin syntyneen osan integraalien summa, ts. mille tahansa a, b, c:lle:

4. Jos segmentillä , niin ja

5. Integroinnin rajat voidaan vaihtaa ja integraalin merkki muuttuu:

6.

7. Pisteessä oleva integraali on yhtä suuri kuin 0:

8.

9. ("noin keskiarvosta") Olkoon y = f(x) funktio, joka voidaan integroida . Sitten , missä , f(c) on f(x):n keskiarvo :

10. Newton-Leibnizin kaava

,

jossa F(x) on f(x:n) antiderivaata.

3.2.2 Määrätyn integraalin laskentamenetelmät.

1. Suora integrointi

Esimerkki 35.

a)

b)

v)

e)

2. Muuttujien muutos määrätyn integraalin merkin alla .

Esimerkki 36.

2. Integrointi osien mukaan kiinteään integraaliin .

Esimerkki 37.

a)

b)

e)

3.2.3 Määrällisen integraalin sovellukset

Ominaista	Toiminnan tyyppi	Kaava
	suorakulmaisissa koordinaateissa
kaareva sektorialue	napakoordinaateissa
kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala	parametrisessa muodossa
kaaren pituus	suorakulmaisissa koordinaateissa
kaaren pituus	napakoordinaateissa
kaaren pituus	parametrisessa muodossa
kehon tilavuus kierto	suorakulmaisissa koordinaateissa
kehon tilavuus tietyllä poikittaisella -osio

Esimerkki 38. Laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala: ja .

Ratkaisu: Etsi näiden funktioiden kuvaajien leikkauspisteet. Tätä varten vertaamme funktiot ja ratkaisemme yhtälön

Joten, leikkauspisteet ja .

Etsi kuvion pinta-ala kaavan avulla

.

Meidän tapauksessamme

Vastaus: pinta-ala on (neliöyksikköä).

4.1 Peruskäsitteet

Määritelmä. Jos kullekin tietyn joukon riippumattomien lukujen parille annetaan jonkin säännön mukaan yksi tai useampi muuttujan z arvo, muuttujaa z kutsutaan kahden muuttujan funktioksi.

Määritelmä. Funktion z toimialue on joukko pareja, joille funktio z on olemassa.

Kahden muuttujan funktion alue on tietty joukko pisteitä koordinaattitasolla Oxy. Z-koordinaattia kutsutaan aplikaatioksi, jolloin itse funktio esitetään jonkinlaisena pintana avaruudessa E 3 . Esimerkiksi:

Esimerkki 39. Etsi funktion laajuus.

a)

Oikealla puolella oleva ilmaisu on järkevä vain, kun . Tämä tarkoittaa, että tämän funktion toimialue on joukko pisteitä, jotka sijaitsevat origossa keskitetyn säteisen R ympyrän sisällä ja rajalla.

Tämän funktion toimialue on kaikki tason pisteet, paitsi viivojen pisteet, ts. koordinaattiakselit.

Määritelmä. Funktiotasoviivat ovat muodon yhtälöillä kuvattuja käyriperheitä koordinaattitasolla.

Esimerkki 40 Etsi piirretason viivoja .

Ratkaisu. Tietyn funktion tasoviivat ovat yhtälöllä kuvattuja käyriperheitä tasossa

Viimeinen yhtälö kuvaa ympyröiden perhettä, jonka keskipiste on pisteessä О 1 (1, 1), jonka säde on . Tämän funktion kuvaama kierrospinta (paraboloidi) muuttuu "jyrkemmäksi" siirtyessään pois akselista, mikä saadaan yhtälöistä x = 1, y = 1. (Kuva 4)

4.2 Useiden muuttujien funktioiden rajat ja jatkuvuus.

1. Rajoitukset.

Määritelmä. Lukua A kutsutaan funktion rajaksi, koska piste pyrkii pisteeseen, jos jokaiselle mielivaltaisen pienelle luvulle on sellainen luku, että ehto on tosi missä tahansa pisteessä, ehto on myös tosi . Kirjoita ylös: .

Esimerkki 41. Hae rajat:

nuo. raja riippuu , mikä tarkoittaa, että sitä ei ole olemassa.

2. Jatkuvuus.

Määritelmä. Kuulukoon piste funktion määritelmäalueeseen. Tällöin funktiota kutsutaan jatkuvaksi pisteessä if

(1)

ja piste pyrkii pisteeseen mielivaltaisella tavalla.

Jos ehto (1) ei täyty missään vaiheessa, tätä pistettä kutsutaan funktion taitepisteeksi. Tämä voi olla seuraavissa tapauksissa:

1) Funktiota ei ole määritelty pisteessä .

2) Ei ole rajaa.

3) Tämä raja on olemassa, mutta se ei ole yhtä suuri kuin .

Esimerkki 42. Määritä, onko annettu funktio jatkuva pisteessä jos .

Selvä joten tämä funktio on jatkuva pisteessä .

raja riippuu k:stä, ts. sitä ei ole olemassa tässä vaiheessa, mikä tarkoittaa, että funktiolla on tässä vaiheessa epäjatkuvuus.

4.3 Useiden muuttujien funktioiden derivaatat ja differentiaalit

4.3.1 Ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat

Funktion osittaisderivaata argumentin x suhteen on yhden muuttujan x funktion tavallinen derivaatta muuttujan y kiinteälle arvolle, ja sitä merkitään:

Funktion osittaisderivaata argumentin y suhteen on yhden muuttujan y funktion tavallinen derivaatta muuttujan x kiinteälle arvolle, ja sitä merkitään:

Esimerkki 43. Etsi funktioiden osittaiset derivaatat.

4.3.2 Toisen kertaluvun osittaiset derivaatat

Toisen asteen osittaisderivaatat ovat ensimmäisen asteen osittaisten johdannaisten osittaisjohdannaisia. Kahden muodon muuttujan funktiolle on mahdollista neljä erilaista toisen asteen osittaista derivaatta:

Toisen kertaluvun osittaisderivaatat, joissa differentiointi suoritetaan eri muuttujien suhteen, kutsutaan sekaderivaataiksi. Kaksinkertaisesti differentioituvan funktion sekoitetut toisen kertaluvun derivaatat ovat yhtä suuret.

Esimerkki 44. Etsi toisen kertaluvun osittaiset derivaatat.

4.3.3 Kokonaisdifferentiaali ja sen soveltaminen likimääräisiin laskelmiin.

Määritelmä. Kahden muuttujan funktion ensimmäisen kertaluvun differentiaali löydetään kaavasta

.

Esimerkki 45. Etsi funktion kokonaisdifferentiaali.

Ratkaisu. Etsitään osittaiset derivaatat:

.

Pienillä argumenteilla x ja y funktio saa inkrementin, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin dz, ts. .

Kaava funktion likimääräisen arvon löytämiseksi pisteestä, jos sen tarkka arvo pisteessä tiedetään:

Esimerkki 46 Etsi .

Ratkaisu. Päästää ,

Sitten käytämme kaavaa

Vastaus. .

Esimerkki 47. Laske likimääräinen.

Ratkaisu. Tarkastellaan funktiota. Meillä on

Esimerkki 48. Laske likimääräinen.

Ratkaisu. Harkitse toimintoa . Saamme:

Vastaus. .

4.3.4 Implisiittisten funktioiden eriyttäminen

Määritelmä. Funktiota kutsutaan implisiittiseksi, jos se on annettu yhtälöllä, joka ei ole ratkaistavissa z:n suhteen.

Tällaisen funktion osittaiset derivaatat löytyvät kaavoista:

Esimerkki 49. Etsi yhtälön antaman funktion z osaderivaatat .

Ratkaisu.

Määritelmä. Funktiota kutsutaan implisiittiseksi, jos se on annettu yhtälöllä, joka ei ole ratkaistavissa y:n suhteen.

Tällaisen funktion derivaatta löytyy kaavasta:

.

Esimerkki 50. Etsi näiden funktioiden derivaatat.

5.1 Usean muuttujan funktion paikallinen ääripää

Määritelmä 1. Funktiolla on maksimi pisteessä if

Määritelmä 2. Funktiolla on minimi pisteessä if kaikille pisteille, jotka ovat riittävän lähellä pistettä ja eroavat siitä.

Ekstreemin välttämätön edellytys. Jos funktio saavuttaa ääripisteen pisteessä , funktion osittaiset derivaatat katoavat tai niitä ei ole olemassa tässä pisteessä.

Pisteitä, joissa osittaiset derivaatat katoavat tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittisiksi.

Riittävä merkki ääripäästä. Olkoon funktio määritelty jossain kriittisen pisteen naapurustossa ja sillä on jatkuvat toisen kertaluvun osittaiset derivaatat tässä pisteessä

1) on paikallinen maksimi kohdassa if ja ;

2) on paikallinen minimi kohdassa if ja ;

3) ei ole paikallista ääripäätä kohdassa if ;

Kaavio kahden muuttujan funktion ääripään tutkimiseksi.

1. Etsi funktioiden : ja osittaisderivaatat.

2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä ja löydä funktion kriittiset pisteet.

3. Etsi toisen kertaluvun osittaiset derivaatat, laske niiden arvot kriittisissä pisteissä ja tee riittävällä ehdolla johtopäätös äärimmäisyyksien esiintymisestä.

4. Etsi funktion ääripää.

Esimerkki 51. Etsi funktion ääriarvot .

1) Etsitään osittaiset derivaatat.

2) Ratkaise yhtälöjärjestelmä

4) Etsi toisen kertaluvun osittaiset derivaatat ja niiden arvot kriittisissä pisteissä: . Siinä vaiheessa saamme:

Tämä tarkoittaa, että pisteessä ei ole ääripäätä. Siinä vaiheessa saamme:

tarkoittaa minimipisteessä.

5.2 Globaali ääriarvo (funktion suurin ja pienin arvo)

Useiden muuttujien funktion suurin ja pienin, jatkuva jollakin suljetulla joukolla, saavutetaan joko joukon ääripisteissä tai rajalla.

Kaavio suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi.

1) Etsi alueen sisällä olevat kriittiset pisteet, laske funktion arvo näissä pisteissä.

2) Selvitä toiminto alueen rajalla; jos raja koostuu useista eri viivoista, niin tutkimus on suoritettava jokaiselle osalle erikseen.

3) Vertaa funktion saatuja arvoja ja valitse suurin ja pienin.

Esimerkki 52. Etsi suorakulmion funktion suurin ja pienin arvo.

Ratkaisu. 1) Etsi funktion kriittiset pisteet, tätä varten etsimme osittaiset derivaatat: , ja ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Saimme kriittisen pisteen A. Tuloksena oleva piste on annetun alueen sisällä,

Alueen raja koostuu neljästä segmentistä: i. etsi funktion suurin ja pienin arvo kustakin segmentistä.

4) Verrataan saatuja tuloksia ja hankitaan se pisteistä .

Luku 6. Kuluttajan valintamalli

Oletetaan, että on n erilaista tavaraa. Sitten jokin tavarajoukko merkitään n-ulotteisella vektorilla , missä on i:nnen tuotteen määrä. Kaikkien tavarajoukkojen X joukkoa kutsutaan avaruudeksi.

Yksittäisen kuluttajan valinnalle on ominaista mieltymyssuhde: uskotaan, että kuluttaja voi sanoa mistä tahansa kahdesta sarjasta, mikä on toivottavampi, tai hän ei näe niiden välillä eroa. Preferenssisuhde on transitiivinen: jos joukko on joukon etusija ja joukko on joukon etusijalla, niin joukko on joukon etusijalla. Oletetaan, että kuluttajan käyttäytyminen kuvataan täysin yksittäisen kuluttajan aksioomalla: kukin yksittäinen kuluttaja tekee päätöksen kulutuksesta, ostoista jne. mieltymysjärjestelmänsä perusteella.

6.1 Aputoiminto

Kuluttajapakettien X joukossa funktio , jonka arvo kuluttajasarjassa on yhtä suuri kuin yksilön kuluttajaluokitus tälle sarjalle. Funktiota kutsutaan kuluttajahyötyfunktioksi tai kuluttajan mieltymysfunktioksi. Nuo. jokaisella kuluttajalla on oma hyötytoimintonsa. Mutta koko kuluttajajoukko voidaan jakaa tiettyihin kuluttajaluokkiin (iän, omaisuuden jne. mukaan) ja jokaiselle luokalle voidaan osoittaa jokin, kenties, keskimääräinen hyödyllisyysfunktio.

Tehtävänä on siis kuluttajan arvio tai yksilön tarpeiden tyytyväisyyden taso tätä sarjaa hankittaessa. Jos joukko on parempi kuin tietyn henkilön joukko, niin .

Hyötyfunktion ominaisuudet.

1.

Hyötyfunktion ensimmäisiä osittaisia ​​derivaattoja kutsutaan tuotteiden marginaalihyötysuhteiksi. Tästä ominaisuudesta seuraa, että yhden tuotteen kulutuksen lisääntyminen samalla kun muiden tuotteiden kulutus johtaa kuluttaja-arvion lisääntymiseen. Vektori on funktion gradientti, se näyttää funktion suurimman kasvun suunnan. Funktiolle sen gradientti on tuotteiden marginaalihyötyjen vektori.

2.

Nuo. Minkä tahansa hyödykkeen rajahyötysuhde pienenee kulutuksen kasvaessa.

3.

Nuo. kunkin tuotteen rajahyötyisyys kasvaa toisen tuotteen määrän mukana.

Eräänlaisia ​​aputoimintoja.

1) Uusklassinen: .

2) Neliö: , jossa matriisi on negatiivinen definitiivinen ja for .

3) Logaritminen funktio: .

6.2 Välinpitämättömyysviivat

Sovelletuissa ongelmissa ja kuluttajan valinnan malleissa käytetään usein kahden tavaran joukon erikoistapausta, ts. kun hyödyllisyysfunktio riippuu kahdesta muuttujasta. Välinpitämättömyyslinja on linja, joka yhdistää kuluttajakokonaisuuksia, joilla on samantasoinen yksilön tarpeiden tyydytys. Pohjimmiltaan välinpitämättömyysviivat ovat toimintotason viivoja. Välinpitämättömyyslinjojen yhtälöt: .

Välinpitämättömyysviivojen perusominaisuudet.

1. Eri tarpeiden tyydyttämisen tasoja vastaavat välinpitämättömyyden linjat eivät kosketa tai leikkaa toisiaan.

2. Välinpitämättömyyden linjat vähenevät.

3. Välinpitämättömyyden linjat ovat kuperia alaspäin.

Ominaisuus 2 merkitsee tärkeää likimääräistä yhtäläisyyttä.

Tämä suhde osoittaa, kuinka paljon henkilön tulisi lisätä (vähentää) toisen tuotteen kulutusta samalla kun ensimmäisen tuotteen kulutusta vähennetään (lisätään) yhdellä yksiköllä muuttamatta tarpeidensa tyydyttämistä. Suhdesuhdetta kutsutaan ensimmäisen tuotteen korvausnopeudeksi toisella, ja arvoa kutsutaan ensimmäisen tuotteen korvaamisen rajanopeudeksi toisella.

Esimerkki 53. Jos ensimmäisen hyödykkeen rajahyötysuhde on 6 ja toisen on 2, niin ensimmäisen tavaran kulutuksen pienentyessä yhdellä yksiköllä toisen hyödykkeen kulutusta on lisättävä 3 yksikköä samalla tarpeiden tyydytystaso.

6.3 Budjetti asetettu

Päästää on n tuotteen joukon hintavektori; I on henkilön tulot, jotka hän on valmis käyttämään tuotesarjan ostamiseen. Joukkoa tavaranippuja, jotka maksavat korkeintaan I tietyillä hinnoilla, kutsutaan budjettijoukoksi B. Tässä tapauksessa I maksavien nippujen joukkoa kutsutaan budjettijoukon B rajaksi G. Näin ollen. joukkoa B rajoittavat raja G ja luonnolliset rajoitukset.

Budjettijoukko kuvataan epätasa-arvojärjestelmällä:

Kahden tavaran joukon tapauksessa budjettijoukko B (kuva 1) on kolmio koordinaattijärjestelmässä , jota rajoittavat koordinaattiakselit ja suora .

6.4 Kuluttajakysyntäteoria

Kulutusteoriassa oletetaan, että kuluttaja pyrkii aina maksimoimaan hyödyllisyytensä ja ainoa rajoitus hänelle on rajallinen tulo I, jonka hän voi käyttää tavarasarjan ostamiseen. Yleisesti ottaen kuluttajan valinnan ongelma (rationaalisen kuluttajakäyttäytymisen ongelma markkinoilla) muotoillaan seuraavasti: etsi kuluttajajoukko , joka maksimoi sen hyödyllisyysfunktion budjettirajoituksen vuoksi. Tämän tehtävän matemaattinen malli:

Jos kyseessä on kahden kohteen sarja:

Geometrisesti ratkaisu tähän ongelmaan on budjettijoukon G rajan ja välinpitämättömyysviivan välinen kosketuspiste.

Tämän ongelman ratkaisu rajoittuu yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen:

(1)

Tämän järjestelmän ratkaisu on ratkaisu kuluttajan valinnan ongelmaan.

Ratkaisua kuluttajan valintaongelmaan kutsutaan kysyntäpisteeksi. Tämä kysyntäpiste riippuu hinnoista ja tuloista, ts. kysyntäpiste on kysynnän funktio. Kysyntäfunktio puolestaan ​​on joukko n funktiota, joista jokainen riippuu argumentista:

Näitä toimintoja kutsutaan vastaavien tavaroiden kysyntäfunktioiksi.

Esimerkki 54. Etsi joukolle kaksi markkinoilla olevaa tavaraa, niille tunnetut hinnat ja tulo I, etsi kysyntäfunktiot, jos hyödyllisyysfunktiolla on muoto .

Ratkaisu. Erottelemme apufunktion:

.

Korvaamme saadut lausekkeet arvolla (1) ja saamme yhtälöjärjestelmän:

Tällöin kunkin tuotteen menot ovat puolet kuluttajan tuloista ja ostetun tuotteen määrä on yhtä suuri kuin siihen käytetty summa jaettuna tuotteen hinnalla.

Esimerkki 55. Olkoon hyödyllisyysfunktio ensimmäiselle tuotteelle , toiselle ,

ensimmäisen tuotteen hinta, toisen hinta. Tulo . Kuinka paljon tavaraa kuluttajan tulisi ostaa maksimoidakseen hyödyn?

Ratkaisu. Etsi hyödyllisyysfunktioiden derivaatat, korvaa ne systeemillä (1) ja ratkaise se:

Tämä tavarasarja on optimaalinen kuluttajalle hyödyn maksimoimisen kannalta.

Tarkastustyö on suoritettava erillisessä muistikirjassa arkiston numeron viimeisellä numerolla valitun vaihtoehdon mukaisesti. Jokaisen ongelman tulee sisältää ehto, yksityiskohtainen ratkaisu ja johtopäätös.

1. Johdatus laskemiseen

Tehtävä 1. Etsi funktion toimialue.

5.

Tehtävä 2. Etsi funktioiden rajat.

.

Tehtävä 3. Etsi funktion katkeamispisteet ja määritä niiden tyyppi.

1. 2. 3.

kappale 2

Tehtävä 4. Etsi näiden funktioiden derivaatat.

1. a); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y \u003d x tg x + ln sin x + e 3x;

f) y \u003d 2 x - arcsin x.

2. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 - + 3; e) y = e cos ; f) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y = ; b) y \u003d (e 5 x - 1) 6; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; f) y \u003d 3 x - arcsin x.

5. a) y \u003d 2x 3 - + e x; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 cos; f) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y \u003d x 7 + + 1; f) y = 2.

7. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 + xsinx +; e) y = e cos ; f) y = .

8. a) y = ; b) y \u003d (3 x - 4) 6; c) y = sintg;

d) y = 3 x 4 - - 9+ 9; e) y = ;

e) y \u003d x 2 + arcsin x - x.

9. a); b) ; c) y = ; d) y \u003d 5 sin 3 x; e) y \u003d x 3 - - 6+ 3; f) y = 4 x 4 + ln.

10. a) b) y = ; c) y = (3 x - 4)6; d) y = ; e) y \u003d x 2 - x; f) y \u003d e sin 3 x + 2.

Tehtävä 5. Tutki funktiota ja rakenna sen graafi.

1. a) b) c).

2. a) b) v) .

3. a) b) v) .

4. b) v)

5. a) b) v) .

6. a) b) v) .

7. a) b) c).

8. a) b) c).

9. a) b) c).

10. a) b) v) .

Tehtävä 6. Etsi funktion suurin ja pienin arvo tietyllä aikavälillä.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Luku 3. Integraalilaskenta

Tehtävä 7. Etsi epämääräiset integraalit.

1. a) b);

2. a) ;b) c) d).

4. G)

5. a) ; b); v) ; G).

6. a) ; b); v); G)

7. a) ; b) ; v) ; G)

8. a) ; b); v) ; G) .

9. a) ; b) c); G).

10. a) b) v) ; G) .

Tehtävä 8. Laske kiinteät integraalit.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Tehtävä 9. Etsi väärät integraalit tai todista, että ne hajoavat.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Tehtävä 10. Etsi käyrien rajaaman alueen pinta-ala

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Luku 4. Useiden muuttujien funktion differentiaalilaskenta.

Tehtävä 11. Etsi funktion toimialue (näkyy piirustuksessa).

Tehtävä 12. Tutki funktion jatkuvuutta for

Tehtävä 13. Etsi implisiittisesti annetun funktion derivaatta.

Tehtävä 14. Laske likimääräinen

1. a); b) ; v)

2. a) ; b) ; v) .

3. a) ; b) ; v) .

4. a) ; b) ; v) .

5. a); b) ; v) .

6. a); b) ; v) .

7. a); b) ; v) .

8. a) ;b) ; v)

9. a) ; b) ; v) .

10. a) ;b) ; v)

Tehtävä 15. Tutki funktiota ääriarvoille.

7. .

8. .

9. .

10. .

Tehtävä 16. Etsi funktion suurin ja pienin arvo annetulla suljetulla alueella.

1. suorakulmiossa

2.

3. suorakulmiossa

4. paraabelin rajoittamalla alueella

Ja abskissa.

5. neliö

6. kolmiossa, jota rajoittavat koordinaattiakselit ja suora

7. kolmiossa, jota rajoittavat koordinaattiakselit ja suora

8. kolmiossa, jota rajoittavat koordinaattiakselit ja suora

9. paraabelin rajoittamalla alueella

Ja abskissa.

10. paraabelin rajoittamalla alueella

Ja abskissa.

Main

1. M.S. Crass, B.P. Chuprynov. Matematiikan perusteet ja sen soveltaminen talouskasvatuksessa: Oppikirja. - 4. painos, espanja. – M.: Delo, 2003.

2. M.S. Crass, B.P. Chuprynov. Taloustieteen matematiikka: Oppikirja. - 4. painos, espanja. – M.: Delo, 2003.

3. M.S. Crass, B.P. Chuprynov. Matematiikka kauppatieteiden kandidaatiksi. Oppikirja. - 4. painos, espanja. – M.: Delo, 2005.

4. Korkeampi matematiikka taloustieteilijöille. Oppikirja yliopistoille / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; Ed. prof. N.Sh. Kremer, - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M: UNITI, 2003.

5. Kremer N.Sh, Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N. Korkeampi matematiikka taloustieteen erikoisaloihin. Oppikirja ja harjoitus (osat I ja II) / Toim. prof. N.Sh. Kremer, - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M: Korkea-asteen koulutus, 2007. - 893s. - (Tieteiden perusteet)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Korkeampaa matematiikkaa harjoituksissa ja tehtävissä. M. lukio. 1999.

Lisätiedot

1. I.I. Bavrin, V.L. Merimiehet. Korkeampi matematiikka. "Vlados Humanitarian Publishing Center", 2002.

2. I.A. Zaitsev. Korkeampi matematiikka. "Lukio", 1998.

3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. Taloustieteen matematiikka / kahdessa osassa /. M. Talous ja tilastot. 1999.

Artikkelin sisältö

MATEMAATTINEN ANALYYSI, matematiikan haara, joka tarjoaa menetelmiä erilaisten muutosprosessien kvantitatiiviseen tutkimiseen; käsittelee muutosnopeuden tutkimusta (differentiaalilaskenta) ja kaarevien ääriviivojen ja pintojen rajaamien kuvioiden käyrien pituuksien, pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämistä (integraalilaskenta). Matemaattisen analyysin ongelmille on tyypillistä, että niiden ratkaisu liittyy rajan käsitteeseen.

Matemaattisen analyysin aloittivat vuonna 1665 I. Newton ja (noin 1675) itsenäisesti G. Leibniz, vaikka tärkeitä valmistelutyötä suorittivat I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) ja I. Barrow (1630–1677).

Jotta esityksestä tulee eloisampi, turvaudumme graafien kieleen. Siksi lukijan voi olla hyödyllistä tutustua artikkeliin ANALyyTTINEN GEOMETRIA ennen tämän artikkelin lukemista.

DIFFERENTIAALILASKENTA

Tangentit.

Kuvassa Kuva 1 esittää katkelman käyrästä y = 2x – x 2 välissä x= –1 ja x= 3. Tämän käyrän riittävän pienet segmentit näyttävät suorilta. Toisin sanoen, jos R on tämän käyrän mielivaltainen piste, silloin tämän pisteen läpi kulkee jokin suora viiva, joka on käyrän likiarvo pisteen pienessä ympäristössä R, ja mitä pienempi alue, sitä parempi likiarvo. Tällaista suoraa kutsutaan käyrän tangentiksi pisteessä R. Differentiaalilaskennan päätehtävä on rakentaa yleinen menetelmä, jonka avulla voit löytää tangentin suunnan missä tahansa käyrän pisteessä, jossa tangentti on. On helppo kuvitella käyrä, jossa on jyrkkä katko (kuva 2). Jos R on tällaisen katkoksen kärki, niin on mahdollista rakentaa approksimoiva suora PT 1 - pisteen oikealla puolella R ja toinen likimääräinen rivi RT 2 - pisteen vasemmalla puolella R. Mutta pisteen läpi ei kulje yksikään viiva R, joka lähestyi käyrää yhtä hyvin pisteen läheisyydessä P sekä oikealla että vasemmalla, joten tangentti pisteessä P ei ole olemassa.

Kuvassa 1 tangentti FROM piirretty alkuperän kautta O= (0,0). Tämän suoran kaltevuus on 2, ts. kun abskissa muuttuu yhdellä, ordinaatta kasvaa 2:lla. Jos x ja y ovat mielivaltaisen pisteen koordinaatit FROM, siirryt sitten pois O matkan päästä X yksiköistä oikealle, siirrymme pois O 2. päivänä y yksiköt ylös. Siten, y/x= 2 tai y = 2x. Tämä on tangenttiyhtälö FROM käyrälle y = 2x – x 2 kohdassa O.

Nyt on tarpeen selittää miksi pisteen läpi kulkevien viivojen joukosta O, suora valitaan FROM. Mitä eroa on suoralla viivalla, jonka kaltevuus on 2, ja muilla suorilla viivoilla? On yksi yksinkertainen vastaus, ja meidän on vaikea vastustaa kiusausta antaa se käyttämällä analogiaa ympyrän tangentista: tangentti FROM sillä on vain yksi yhteinen piste käyrän kanssa, kun taas mikä tahansa muu ei-pystysuora viiva, joka kulkee pisteen läpi O, ylittää käyrän kahdesti. Tämä voidaan varmistaa seuraavasti.

Ilmaisusta lähtien y = 2x – x 2 saadaan vähentämällä X 2 / y = 2x(suorat yhtälöt FROM), sitten arvot y grafiikkaa varten on vähemmän tietoa y suoralle viivalle kaikissa pisteissä pistettä lukuun ottamatta x= 0. Siksi kuvaaja on kaikkialla paitsi pisteessä O, joka sijaitsee alla FROM, ja tällä viivalla ja kaaviolla on vain yksi yhteinen piste. Lisäksi jos y = mx- jonkin muun pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö O, silloin on oltava kaksi leikkauspistettä. Todella, mx = 2x – x 2 ei vain x= 0, mutta myös varten x = 2 – m. Ja vasta kun m= 2 molemmat leikkauspisteet ovat samat. Kuvassa 3 näyttää tapauksen, jolloin m alle 2, joten oikealla O on toinen leikkauspiste.

Mitä FROM on ainoa ei-pystysuora viiva, joka kulkee pisteen läpi O ja sillä on vain yksi yhteinen piste graafin kanssa, mikä ei ole sen tärkein ominaisuus. Todellakin, jos käännymme muihin kuvaajiin, käy pian selväksi, että havaitsemamme tangentin ominaisuus ei yleensä täyty. Esimerkiksi kuvasta Kuvasta 4 voidaan nähdä, että lähellä pistettä (1,1) käyrän kuvaaja y = x 3 on hyvin likimääräinen suoralla viivalla RT, jolla on kuitenkin enemmän kuin yksi yhteinen kohta. Haluamme kuitenkin harkita RT Tämän kaavion tangentti pisteessä R. Siksi on tarpeen löytää jokin muu tapa korostaa tangenttia kuin se, joka palveli meitä niin hyvin ensimmäisessä esimerkissä.

Oletetaan, että pisteen kautta O ja mielivaltainen piste K = (h,k) käyrän kaaviossa y = 2x – x 2 (kuva 5) piirretään suora viiva (kutsutaan sekantiksi). Korvaamalla arvot käyrän yhtälössä x = h ja y = k, ymmärrämme sen k = 2h – h 2 , siksi sekantin kaltevuus on yhtä suuri kuin

Hyvin pienellä h merkitys m lähellä 2. Lisäksi valitsemalla h tarpeeksi lähellä nollaa, voimme tehdä m mielivaltaisen lähellä 2. Voimme sanoa, että m"menee rajaan" yhtä suuri kuin 2 milloin h yleensä nolla, tai mikä on raja m on yhtä kuin 2 kun h nollaan taipuvainen. Symbolisesti se on kirjoitettu näin:

Sitten kaavion tangentti pisteessä O määritellään pisteen kautta kulkevaksi suoraksi O, jonka kaltevuus on yhtä suuri kuin tämä raja. Tätä tangentin määritelmää voidaan soveltaa yleisessä tapauksessa.

Näytämme tämän lähestymistavan edut vielä yhdellä esimerkillä: löydämme käyrän kaavion tangentin jyrkkyyden y = 2x – x 2 mielivaltaisessa kohdassa P = (x,y), ei rajoitu yksinkertaisimpiin tapauksiin, kun P = (0,0).

Päästää K = (x + h, y + k) on kaavion toinen piste, joka sijaitsee etäisyyden päässä h oikealle R(Kuva 6). Kaltevuuskerroin on löydettävä k/h sekantti PQ. Piste K on etäisyyden päässä

akselin yli X.

Laajennamme sulkuja, löydämme:

Vähentäminen tästä yhtälöstä y = 2x – x 2 , etsi pystyetäisyys pisteestä R asiaan K:

Siksi kaltevuus m sekantti PQ on yhtä suuri

Nyt kun h pyrkii nollaan m yleensä 2-2 x; otamme viimeisen arvon tangentin kulmakertoimelle PT. (Sama tulos saadaan, jos h ottaa negatiiviset arvot, mikä vastaa pisteen valintaa K vasemmalla P.) Huomaa, että varten x= 0 tulos on sama kuin edellinen.

Lauseke 2 - 2 x kutsutaan luvun 2 derivaatiksi x – x 2. Vanhoina aikoina johdannaista kutsuttiin myös "differentiaalisuhteeksi" ja "differentiaalikertoimeksi". Jos lauseke 2 x – x 2 nimetä f(x), eli

niin derivaatta voidaan merkitä

Jotta saadaan selville funktiokaavion tangentin kaltevuus y = f(x) jossain vaiheessa on tarpeen korvata se fў ( x) tätä pistettä vastaava arvo X. Joten rinne fў (0) = 2 varten X = 0, fў (0) = 0 varten X= 1 ja f¢ (2) = –2 at X = 2.

Myös johdannainen on merkitty kloў , dy/dx, D x y ja Tehdä.

Se, että käyrä y = 2x – x 2 lähellä tiettyä pistettä on käytännössä mahdoton erottaa tangentistaan ​​tässä pisteessä, joten voimme puhua tangentin jyrkkyydestä "käyrän kaltevuudeksi" kosketuspisteessä. Näin ollen voimme väittää, että tarkastelemamme käyrän kaltevuus on pisteessä (0,0) 2. Voidaan myös sanoa, että kun x= 0 muutosnopeus y suhteellisesti x on yhtä suuri kuin 2. Pisteessä (2,0) tangentin (ja käyrän) kaltevuus on -2. (Miinusmerkki tarkoittaa, että as x muuttuja y pienenee.) Pisteessä (1,1) tangentti on vaakasuora. Sanomme käyrän y = 2x – x 2:lla on paikallaan pysyvä arvo tässä vaiheessa.

Huiput ja alamäet.

Olemme juuri osoittaneet, että käyrä f(x) = 2x – x 2 on paikallaan pisteessä (1,1). Koska fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), on selvää, että milloin x, alle 1, fў ( x) on positiivinen, ja siksi y lisääntyy; klo x, iso 1, fў ( x) on negatiivinen, ja siksi y vähenee. Siten kuvan 2 osoittaman pisteen (1,1) läheisyydessä. 6 kirjainta M, merkitys klo kasvaa tiettyyn pisteeseen M, paikallaan pisteessä M ja pienenee pisteen jälkeen M. Tällaista pistettä kutsutaan "maksimiksi", koska arvo klo tässä vaiheessa ylittää minkä tahansa arvonsa riittävän pienellä alueella. Samoin "minimi" määritellään pisteeksi, jonka ympärillä kaikki arvot y ylittää arvon klo juuri tässä vaiheessa. Saattaa myös käydä niin, että vaikka johdannainen f(x) jossain vaiheessa ja katoaa, sen merkki ei muutu tämän pisteen läheisyydessä. Tällaista pistettä, joka ei ole maksimi eikä minimi, kutsutaan käännepisteeksi.

Esimerkkinä etsitään käyrän stationaarinen piste

Tämän funktion derivaatta on

ja katoaa klo x = 0, X= 1 ja X= -1; nuo. pisteissä (0,0), (1, –2/15) ja (–1, 2/15). Jos X sitten hieman alle -1 fў ( x) on negatiivinen; jos X sitten hieman yli -1 fў ( x) on positiivinen. Siksi piste (-1, 2/15) on maksimi. Vastaavasti voidaan osoittaa, että piste (1, -2/15) on minimi. Mutta johdannainen fў ( x) on negatiivinen sekä ennen pistettä (0,0) että sen jälkeen. Siksi (0,0) on käännepiste.

Tutkimus suoritettiin käyrän muodosta sekä siitä, että käyrä leikkaa akselin X klo f(x) = 0 (eli X= 0 tai ) antaa meille mahdollisuuden esittää sen kaavion suunnilleen kuvan 1 mukaisesti. 7.

Yleisesti ottaen, jos jätetään pois epätavalliset tapaukset (käyrät, jotka sisältävät suoria segmenttejä tai ääretön määrä mutkia), käyrän suhteelliselle sijainnille ja tangentille on neljä vaihtoehtoa tangentin pisteen läheisyydessä. R. (cm. riisi. 8, jossa tangentilla on positiivinen kulmakerroin.)

1) Pisteen molemmilla puolilla R käyrä on tangentin yläpuolella (kuva 8, a). Tässä tapauksessa sanomme, että käyrä pisteessä R alaspäin kupera tai kovera.

2) Pisteen molemmilla puolilla R käyrä sijaitsee tangentin alapuolella (kuva 8, b). Tässä tapauksessa käyrän sanotaan olevan kupera ylöspäin tai yksinkertaisesti kupera.

3) ja 4) Käyrä sijaitsee tangentin yläpuolella pisteen toisella puolella R ja alla - toisaalta. Tässä tapauksessa R- käännekohta.

Arvojen vertailu fў ( x) molemmilla puolilla R sen arvolla pisteessä R, voit määrittää, mitä näistä neljästä tapauksesta sinun on käsiteltävä tietyssä ongelmassa.

Sovellukset.

Kaikille edellä mainituille löytyy tärkeitä sovelluksia eri aloilla. Esimerkiksi, jos kappale heitetään pystysuoraan ylöspäin alkunopeudella 200 jalkaa sekunnissa, niin korkeus s, jonka kautta ne sijaitsevat t sekuntia lähtöpisteeseen verrattuna

Etenemällä samalla tavalla kuin tarkastelemissamme esimerkeissä, huomaamme

tämä arvo katoaa s:ssä. Johdannainen fў ( x) on positiivinen c asti ja negatiivinen tämän ajan jälkeen. Siten, s kasvaa arvoon, muuttuu sitten paikallaan ja sitten pienenee. Tämä on yleinen kuvaus ylöspäin heitetyn kappaleen liikkeestä. Siitä opimme, milloin keho saavuttaa korkeimman pisteensä. Seuraavaksi vaihtaminen t= 25/4 tuumaa f(t), saamme 625 jalkaa, suurin nostokorkeus. Tässä tehtävässä fў ( t) on fyysinen merkitys. Tämä derivaatta näyttää nopeuden, jolla keho liikkuu kerrallaan t.

Tarkastellaan nyt toista sovellustyyppiä (kuva 9). Pahvilevystä, jonka pinta-ala on 75 cm 2, on tehtävä laatikko, jossa on neliömäinen pohja. Mitkä tämän laatikon mitat pitäisi olla, jotta sen tilavuus olisi suurin? Jos X- laatikon pohjan sivu ja h on sen korkeus, silloin laatikon tilavuus on yhtä suuri kuin V = x 2 h, ja pinta-ala on 75 = x 2 + 4xh. Muuntamalla yhtälön saamme:

Johdannainen V osoittautuu tasa-arvoiseksi

ja katoaa klo X= 5. Sitten

ja V= 125/2. Funktiokaavio V = (75x – x 3)/4 on esitetty kuvassa. 10 (negatiiviset arvot X jätetty pois, koska sillä ei ole fyysistä merkitystä tässä ongelmassa).

Johdannaiset.

Differentiaalilaskennan tärkeä tehtävä on sellaisten menetelmien luominen, joiden avulla voit löytää derivaattoja nopeasti ja kätevästi. Esimerkiksi se on helppo laskea

(Vakion derivaatta on tietysti nolla.) Ei ole vaikea päätellä yleissääntöä:

missä n- mikä tahansa kokonaisluku tai murtoluku. Esimerkiksi,

(Tämä esimerkki osoittaa, kuinka hyödyllisiä murtolukueksponentit ovat.)

Tässä on joitain tärkeimmistä kaavoista:

On myös seuraavat säännöt: 1) jos kumpikin toimii g(x) ja f(x) on derivaattoja, silloin niiden summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa ja erotuksen derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen erotus, ts.

2) kahden funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:

3) kahden funktion suhteen derivaatalla on muoto

4) funktion derivaatta kerrottuna vakiolla on yhtä suuri kuin vakio kerrottuna tämän funktion derivaatalla, ts.

Usein käy niin, että funktion arvot on laskettava vaiheittain. Esimerkiksi synnin laskemiseen x 2, meidän on ensin löydettävä u = x 2 , ja sitten jo laskea luvun sini u. Löydämme tällaisten monimutkaisten funktioiden johdannaisen käyttämällä niin kutsuttua "ketjusääntöä":

Meidän esimerkissämme f(u) = synti u, fў ( u) = cos u, siis,

Nämä ja muut vastaavat säännöt mahdollistavat monien funktioiden johdannaisten kirjaamisen välittömästi muistiin.

Lineaariset approksimaatiot.

Se, että derivaatan tuntemalla voimme monissa tapauksissa korvata jonkin pisteen lähellä olevan funktion graafin sen tangentilla kyseisessä pisteessä, on erittäin tärkeä, koska suorien viivojen kanssa on helpompi työskennellä.

Tämä idea löytää suoran sovelluksen funktioiden likimääräisten arvojen laskennassa. Esimerkiksi arvon laskeminen on melko vaikeaa x= 1,033. Mutta voit käyttää sitä tosiasiaa, että luku 1.033 on lähellä yhtä ja että . kiinni x= 1 voimme korvata tangenttikäyrän graafin tekemättä mitään vakavaa virhettä. Tällaisen tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin derivaatan arvo ( x 1/3)ў = (1/3) x–2/3, kun x = 1, ts. 1/3. Koska piste (1,1) on käyrällä ja käyrän tangentin kaltevuus tässä pisteessä on 1/3, tangenttiyhtälön muoto on

Tällä suoralla X = 1,033

Vastaanotettu arvo y pitäisi olla hyvin lähellä todellista arvoa y; ja todellakin, se on vain 0,00012 enemmän kuin todellinen. Matemaattisessa analyysissä on kehitetty menetelmiä, jotka mahdollistavat tällaisten lineaaristen approksimaatioiden tarkkuuden parantamisen. Nämä menetelmät varmistavat likimääräisten laskelmiemme luotettavuuden.

Juuri kuvattu menettely ehdottaa yhtä hyödyllistä merkintää. Päästää P- funktion kuvaajaa vastaava piste f muuttuja X, ja anna toiminnon f(x) on erotettavissa. Muutetaan käyrän kuvaaja lähellä pistettä R tangentti sitä siinä vaiheessa. Jos X muuttaa arvoksi h, niin tangenttiordinaatta muuttuu arvon verran h H f ў ( x). Jos h hyvin pieni, niin jälkimmäinen arvo on hyvä approksimaatio ordinaatan todelliselle muutokselle y grafiikkaa. Jos sen sijaan h kirjoitamme symbolin dx(tämä ei ole tuote!), vaan muutos ordinaatassa y merkitä dy, sitten saamme dy = f ў ( x)dx, tai dy/dx = f ў ( x) (cm. riisi. yksitoista). Siksi sen sijaan Dy tai f ў ( x) merkitsemään derivaatta, symbolia käytetään usein dy/dx. Tämän merkinnän mukavuus riippuu pääasiassa ketjusäännön eksplisiittisestä ulkonäöstä (yhdistefunktion erilaistumisesta); uudessa merkinnässä tämä kaava näyttää tältä:

missä niin vihjataan klo riippuu u, a u puolestaan ​​riippuu X.

Arvo dy kutsutaan differentiaaliksi klo; itse asiassa se riippuu kaksi muuttujat, nimittäin: alkaen X ja lisäyksiä dx. Kun lisäys dx erittäin pieni, kokoinen dy on lähellä vastaavaa arvon muutosta y. Mutta oletetaan, että lisäys dx vähän, ei tarvetta.

Johdannainen funktiosta y = f(x) merkitsimme f ў ( x) tai dy/dx. Usein on mahdollista ottaa johdannaisen johdannainen. Tulosta kutsutaan toiseksi derivaatiksi f (x) ja merkitty f ўў ( x) tai d 2 y/dx 2. Esimerkiksi jos f(x) = x 3 – 3x 2 siis f ў ( x) = 3x 2 – 6x ja f ўў ( x) = 6x– 6. Samanlaista merkintää käytetään korkeamman asteen johdannaisille. Kuitenkin, jotta vältetään suuri määrä alkulukuja (yhtä kuin derivaatan järjestys), neljäs derivaatta (esimerkiksi) voidaan kirjoittaa muodossa f (4) (x) ja johdannainen n tilaus as f (n) (x).

Voidaan osoittaa, että käyrä pisteessä on alaspäin konveksi, jos toinen derivaatta on positiivinen, ja ylöspäin konveksi, jos toinen derivaatta on negatiivinen.

Jos funktiolla on toinen derivaatta, niin arvon muutos y lisäystä vastaavasti dx muuttuja X, voidaan laskea likimäärin kaavalla

Tämä likiarvo on yleensä parempi kuin differentiaalin antama fў ( x)dx. Se vastaa sitä, että käyrän osan korvaaminen ei ole enää suora, vaan paraabeli.

Jos toiminnolla on f(x) on siis korkeamman asteen johdannaisia

Lopulla termillä on muoto

missä x- jokin numero väliltä x ja x + dx. Yllä olevaa tulosta kutsutaan Taylorin kaavaksi jäännöksen kanssa. Jos f(x) sisältää johdannaisia ​​kaikista arvoista, silloin yleensä R n® 0 varten n ® Ґ .

INTEGRAALIKINKKI

Neliöt.

Kaarevaviivaisten tasokuvioiden alueiden tutkiminen avaa uusia näkökulmia matemaattiseen analyysiin. Tällaisia ​​ongelmia yrittivät ratkaista jopa muinaiset kreikkalaiset, joille esimerkiksi ympyrän alueen määrittäminen oli yksi vaikeimmista tehtävistä. Suuren menestyksen tämän ongelman ratkaisemisessa saavutti Archimedes, joka onnistui myös löytämään parabolisen segmentin alueen (kuva 12). Arkhimedes osoitti erittäin monimutkaisen päättelyn avulla, että parabolisen segmentin pinta-ala on 2/3 rajatun suorakulmion pinta-alasta ja siksi tässä tapauksessa yhtä suuri kuin (2/3)(16) = 32/ 3. Kuten myöhemmin näemme, tämä tulos voidaan helposti saada matemaattisen analyysin menetelmillä.

Newtonin ja Leibnizin edeltäjät, pääasiassa Kepler ja Cavalieri, ratkaisivat kaarevien kuvioiden pinta-alojen laskentaongelmat menetelmällä, jota tuskin voi kutsua loogisesti järkeväksi, mutta joka osoittautui erittäin hedelmälliseksi. Kun Wallis vuonna 1655 yhdisti Keplerin ja Cavalierin menetelmät Descartesin menetelmiin (analyyttinen geometria) ja käytti hyväkseen vastasyntynyttä algebraa, vaihe Newtonin syntymiselle oli täysin valmis.

Wallis jakoi kuvan, jonka pinta-ala oli laskettava, hyvin kapeiksi nauhoiksi, joista jokaista pidettiin suunnilleen suorakulmiona. Sitten hän summasi likimääräisten suorakulmioiden pinta-alat ja sai yksinkertaisimmissa tapauksissa arvon, johon suorakulmioiden pinta-alojen summa pyrki, kun kaistaleiden määrä meni äärettömään. Kuvassa Kuvio 13 esittää suorakulmioita, jotka vastaavat käyrän alla olevan alueen jotakin raidoitusta y = x 2 .

Päälause.

Newtonin ja Leibnizin suuri löytö teki mahdolliseksi eliminoida työläs prosessi siirtyä pinta-alojen summan rajalle. Tämä tehtiin alueen käsitteen uudenlaisen näkökulman ansiosta. Tärkeintä on, että meidän tulisi esittää käyrän alla oleva alue vasemmalta oikealle liikkuvan ordinaatin generoimana ja kysyä, kuinka nopeasti ordinaattien pyyhkäisemä alue muuttuu. Avaimen tähän kysymykseen saamme, jos tarkastellaan kahta erikoistapausta, joissa alue on tiedossa etukäteen.

Aloitetaan lineaarifunktion kaavion alla olevasta alueesta y = 1 + x, koska tässä tapauksessa pinta-ala voidaan laskea käyttämällä alkeellista geometriaa.

Päästää A(x) on suoran välissä oleva tason osa y = 1 + x ja segmentoida O Q(Kuva 14). Ajettaessa QP oikea neliö A(x) kasvaa. Millä nopeudella? Tähän kysymykseen ei ole vaikea vastata, koska tiedämme, että puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen korkeuden ja puolen kantajen summan tulo. Siten,

Alueen muutosnopeus A(x) määräytyy sen johdannaisen mukaan

Näemme sen Aў ( x) osuu yhteen ordinaatin kanssa klo pisteitä R. Onko se sattumaa? Yritetään tarkistaa kuvassa näkyvä paraabeli. 15. Neliö A (x) paraabelin alla klo = X 2 välillä 0 - X on yhtä suuri kuin A(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Tämän alueen muutosnopeus määräytyy lausekkeen mukaan

joka on täsmälleen sama kuin ordinaatin klo liikkuva kohta R.

Olettaen, että tämä sääntö pätee yleisessä tapauksessa, niin että

on funktion kaavion alla olevan alueen muutosnopeus y = f(x), tätä voidaan käyttää muiden alueiden laskelmiin. Itse asiassa suhde Aў ( x) = f(x) ilmaisee peruslauseen, joka voitaisiin muotoilla seuraavasti: derivaatta tai alueen muutosnopeus X, on yhtä suuri kuin funktion arvo f (x) pisteessä X.

Esimerkiksi funktion kaavion alla olevan alueen etsiminen y = x 3 0 - X(Kuva 16), asetamme

Mahdollinen vastaus kuuluu:

johdannaisesta lähtien X 4/4 on todella sama X 3. Lisäksi, A(x) on nolla X= 0, kuten sen pitäisi olla jos A(x) on todellakin alue.

Matemaattisessa analyysissä osoitetaan, että ei ole muuta vastausta kuin yllä oleva lauseke A(x), ei ole olemassa. Osoittakaamme, että tämä väite on uskottava käyttämällä seuraavaa heuristista (ei-tiukkaa) päättelyä. Oletetaan, että on olemassa toinen ratkaisu V(x). Jos A(x) ja V(x) "aloita" samanaikaisesti nolla-arvosta klo X= 0 ja muuttuvat samalla nopeudella koko ajan, niin niiden arvot eivät koskaan muutu X ei voi muuttua erilaiseksi. Niiden on vastattava kaikkialla; siksi on olemassa ainutlaatuinen ratkaisu.

Miten voit perustella suhdetta Aў ( x) = f(x) yleisesti? Tähän kysymykseen voidaan vastata vain tutkimalla pinta-alan muutosnopeutta funktiona X yleisesti. Päästää m- funktion pienin arvo f (x) aikavälillä alkaen X ennen ( x + h), a M on tämän funktion suurin arvo samalla aikavälillä. Sitten pinta-ala kasvaa lähdettäessä X Vastaanottaja ( x + h) on suljettava kahden suorakulmion alueiden väliin (kuva 17). Molempien suorakulmioiden kantat ovat yhtä suuret h. Pienemmällä suorakulmiolla on korkeus m ja alue mh, vastaavasti suurempi, M ja Mh. Tontilla alue vs. X(Kuva 18) voidaan nähdä, että kun abskissa muuttuu muotoon h, ordinaatan (eli alueen) arvoa kasvatetaan välillä olevalla määrällä mh ja Mh. Sekantin kaltevuus tässä kaaviossa on välillä m ja M. mitä tapahtuu kun h menee nollaan? Jos funktion kaavio y = f(x) on jatkuva (eli ei sisällä epäjatkuvuuksia), niin M, ja m Tapana f(x). Siksi kaltevuus Aў ( x) alueen kuvaaja funktiona X on yhtä suuri f(x). Se oli se johtopäätös, joka oli tehtävä.

Leibniz ehdotti käyrän alla olevaa aluetta y = f(x) 0 - a nimitys

Tiukkaa lähestymistapaa noudattaen tämä ns. määrätty integraali on määriteltävä tiettyjen summien rajaksi Wallisin tapaan. Edellä saadun tuloksen perusteella on selvää, että tämä integraali lasketaan sillä ehdolla, että voimme löytää tällaisen funktion A(x), joka katoaa kun X= 0 ja sillä on derivaatta Aў ( x) yhtä kuin f (x). Tällaisen funktion löytämistä kutsutaan yleensä integraatioksi, vaikka olisi tarkoituksenmukaisempaa kutsua tätä operaatiota anti-differentioitumiseksi, mikä tarkoittaa, että se on tietyssä mielessä differentioinnin käänteinen. Polynomin tapauksessa integrointi on helppoa. Esimerkiksi jos

joka on helppo todentaa erottamalla A(x).

Laskemaan pinta-alaa A 1 käyrän alla y = 1 + x + x 2 /2 ordinaattien 0 ja 1 välissä, kirjoitamme yksinkertaisesti

ja korvaamalla X= 1, saamme A 1 = 1 + 1 / 2 + 1 / 6 = 5 / 3. Neliö A(x) 0 - 2 on A 2 = 2 + 4 / 2 + 8 / 6 = 16 / 3. Kuten kuvasta näkyy. 19, ordinaattien 1 ja 2 välissä oleva alue on A 2 – A 1 = 11/3. Se kirjoitetaan yleensä kiinteänä integraalina

Volyymit.

Samanlainen päättely tekee kierroskappaleiden tilavuuksien laskemisen yllättävän yksinkertaiseksi. Osoitetaan tämä esimerkillä pallon tilavuuden laskemisesta, joka on toinen klassinen ongelma, jonka muinaiset kreikkalaiset onnistuivat ratkaisemaan heille tunnetuilla menetelmillä suurilla vaikeuksilla.

Kierretään osa tasosta, joka on suljettu sädeympyrän neljänneksen sisään r, 360° kulmassa akselin ympäri X. Tuloksena saamme puolipallon (kuva 20), jonka tilavuutta merkitsemme V(x). On määritettävä kurssi, jolla V(x) kasvaessa x. Lähtee X Vastaanottaja X + h, on helppo varmistaa, että äänenvoimakkuuden lisäys on pienempi kuin äänenvoimakkuus p(r 2 – x 2)h pyöreä sylinteri, jonka säde ja korkeus h, ja enemmän kuin äänenvoimakkuus p[r 2 – (x + h) 2 ]h sylinterin säde ja korkeus h. Siksi funktion kaaviossa V(x) sekantin kaltevuus on suljettu väliin p(r 2 – x 2) ja p[r 2 – (x + h) 2 ]. Kun h pyrkii nollaan, kaltevuus pyrkii

klo x = r saamme

puolipallon tilavuudelle ja siksi 4 p r 3/3 koko pallon tilavuudesta.

Samanlainen menetelmä mahdollistaa käyrien pituuksien ja kaarevien pintojen pinta-alojen löytämisen. Esimerkiksi jos a(x) – kaaren pituus PR kuvassa 21, niin meidän tehtävämme on laskea aў( x). Heuristisella tasolla käytämme tekniikkaa, jonka avulla emme turvautu tavanomaiseen rajan ylitykseen, mikä on välttämätöntä tuloksen tiukan todistamisen kannalta. Oletetaan, että funktion muutosnopeus a(x) pisteessä R sama kuin se olisi, jos käyrä korvattaisiin sen tangentilla PT pisteessä P. Mutta kuvasta. 21 näkyy suoraan astuessa h pisteen oikealla tai vasemmalla puolella X pitkin RT merkitys a(x) muuttuu muotoon

Siksi funktion muutosnopeus a(x) On

Itse funktion löytäminen a(x), on tarpeen vain integroida yhtälön oikealla puolella oleva lauseke. Osoittautuu, että integrointi on melko vaikeaa useimmille toiminnoille. Siksi integraalilaskentamenetelmien kehittäminen on suuri osa matemaattista analyysiä.

Primitiivit.

Jokainen funktio, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin annettu funktio f(x), kutsutaan antiderivatiiviseksi (tai primitiiviseksi). f(x). Esimerkiksi, X 3 /3 - toiminnon antiderivaatti X 2 koska ( x 3 /3)ў = x 2. Tietysti X 3/3 ei ole funktion ainoa antiderivaate X 2 koska x 3 /3 + C on myös johdannainen sanalle X 2 mille tahansa vakiolle KANSSA. Seuraavassa suostumme kuitenkin jättämään pois tällaiset lisävakiot. Yleisesti

missä n on positiivinen kokonaisluku, koska ( x n + 1/(n+ 1))ў = x n. Suhde (1) täyttyy vielä yleisemmässä mielessä, jos n korvata millä tahansa rationaalisella luvulla k, paitsi -1.

Satunnainen antiderivatiivinen funktio tietylle funktiolle f(x) kutsutaan yleensä määrittelemättömäksi integraaliksi f(x) ja merkitse se muodossa

Esimerkiksi koska (sin x)ў = cos x, kaava

Monissa tapauksissa, joissa tietyn funktion määrittelemättömälle integraalille on kaava, se löytyy lukuisista laajalti julkaistuista epämääräisten integraalien taulukoista. Alkeisfunktioiden integraalit ovat taulukkomuotoisia (niitä ovat potenssit, logaritmit, eksponentiaalifunktiot, trigonometriset funktiot, käänteiset trigonometriset funktiot sekä niiden äärelliset yhdistelmät, jotka on saatu yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskulla). Taulukkointegraalien avulla integraaleja voidaan laskea myös monimutkaisemmista funktioista. On monia tapoja laskea epämääräisiä integraaleja; yleisin näistä on muuttujan substituutio tai substituutiomenetelmä. Se koostuu siitä, että jos haluamme korvata epämääräisessä integraalissa (2) x johonkin erottuvaan funktioon x = g(u), niin se on välttämätöntä, jotta integraali ei muutu x korvattu gў ( u)du. Toisin sanoen tasa-arvo

(korvaus 2 x = u, mistä 2 dx = du).

Esitetään vielä yksi integrointimenetelmä – osien integrointimenetelmä. Se perustuu hyvin tunnettuun kaavaan

Vasemman ja oikean puolen integroinnin jälkeen ja tämä huomioiden

Tätä kaavaa kutsutaan osien integrointikaavaksi.

Esimerkki 2. Tarve löytää . Koska cos x= (synti x)ў , voimme kirjoittaa sen

(5) olettaen u = x ja v= synti x, saamme

Ja koska (-cos x)ў = synti x löydämme sen ja

On syytä korostaa, että olemme rajoittuneet hyvin lyhyeen johdatukseen erittäin laajaan aiheeseen, johon on kertynyt lukuisia nokkelaa temppua.

Kahden muuttujan funktiot.

Käyrän takia y = f(x), harkitsimme kahta ongelmaa.

1) Etsi käyrän tangentin kaltevuus tietyssä pisteessä. Tämä ongelma ratkaistaan ​​laskemalla derivaatan arvo fў ( x) annetussa kohdassa.

2) Etsi pinta-ala käyrän alla akselisegmentin yläpuolelta X pystysuorien viivojen rajaama X = a ja X = b. Tämä ongelma ratkaistaan ​​laskemalla määrällinen integraali.

Jokaisella näistä ongelmista on analogi pinnan tapauksessa z = f(x,y).

1) Etsi pinnan tangenttitaso tietyssä pisteessä.

2) Etsi tilavuus pinnan alla tason osan yläpuolella hu, rajattu käyrä KANSSA, ja sivulla - kohtisuorassa tasoon nähden xy kulkee rajakäyrän pisteiden läpi KANSSA (cm. riisi. 22).

Seuraavat esimerkit osoittavat, kuinka nämä ongelmat ratkaistaan.

Esimerkki 4. Etsi pinnan tangenttitaso

pisteessä (0,0,2).

Taso määritellään, jos siinä on kaksi leikkaavaa suoraa. Yksi näistä riveistä l 1) nousemme koneeseen xz (klo= 0), toinen ( l 2) - koneessa yz (x = 0) (cm. riisi. 23).

Ensinnäkin, jos klo= 0 siis z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Johdannainen suhteessa X, merkitty fў x(x,0) = –2 – 6x, klo X= 0:n arvo on -2. Suoraan l 1 yhtälöiden antama z = 2 – 2x, klo= 0 - tangentti KANSSA 1, pinnan ja tason leikkausviivat klo= 0. Vastaavasti jos X= 0 siis f(0,y) = 2 – y – y 2 ja johdannainen suhteessa klo on muotoa

Koska fў y(0,0) = -1, käyrä KANSSA 2 - pinnan ja tason leikkausviiva yz- on tangentti l 2 yhtälöillä z = 2 – y, X= 0. Haluttu tangenttitaso sisältää molemmat suorat l 1 ja l 2 ja se on kirjoitettu yhtälöllä

Tämä on tason yhtälö. Lisäksi saamme suoraan l 1 ja l 2, olettaen vastaavasti klo= 0 ja X = 0.

Se, että yhtälö (7) todellakin määrittelee tangentin tason, voidaan varmistaa heuristisella tasolla, jos huomaa, että tämä yhtälö sisältää ensimmäisen kertaluvun termejä yhtälössä (6) ja että toisen kertaluvun termit voidaan esittää muodossa - . Koska tämä lauseke on negatiivinen kaikille arvoille X ja klo, Sitä paitsi X = klo= 0, pinta (6) on tason (7) alapuolella kaikkialla pistettä lukuun ottamatta R= (0,0,0). Voidaan sanoa, että pinta (6) on pisteessä ylöspäin kupera R.

Esimerkki 5. Etsi pinnan tangenttitaso z = f(x,y) = x 2 – y 2 lähtöpisteessä 0.

Pinnalla klo= 0 meillä on: z = f(x,0) = x 2 ja fў x(x,0) = 2x. Käytössä KANSSA 1 , leikkausviivat, z = x 2. Pisteessä O rinne on fў x(0,0) = 0. Tasossa X= 0 meillä on: z = f(0,y) = –y 2 ja fў y(0,y) = –2y. Käytössä KANSSA 2 , leikkausviivat, z = –y 2. Pisteessä O käyrän kaltevuus KANSSA 2 on yhtä suuri fў y(0,0) = 0. Koska tangentit to KANSSA 1 ja KANSSA 2 ovat akseleita X ja klo, ne sisältävä tangenttitaso on taso z = 0.

Origon läheisyydessä pintamme ei kuitenkaan ole samalla puolella tangenttitasoa. Todellakin, käyrä KANSSA 1 on tangenttitason yläpuolella kaikkialla, paitsi piste 0 ja käyrä KANSSA 2 - vastaavasti sen alapuolella. Pinta leikkaa tangenttitason z= 0 suorilla viivoilla klo = X ja klo = –X. Tällaisella pinnalla sanotaan olevan satulapiste origossa (kuva 24).

Yksityiset johdannaiset.

Aiemmissa esimerkeissä käytimme johdannaisia f (x,y) päällä X ja klo. Tarkastellaan nyt tällaisia ​​johdannaisia ​​yleisemmin. Jos meillä on kahden muuttujan funktio, esim. F(x,y) = x 2 – xy, niin voimme määrittää kussakin pisteessä kaksi sen "osittaisderivaatta", yksi - erottamalla funktion suhteessa X ja korjaaminen klo, ja erottaa toinen suhteessa klo ja korjaaminen X. Ensimmäinen näistä johdannaisista on merkitty nimellä fў x(x,y) tai ¶ f/¶ x; toinen on miten f f y. Jos molemmat sekajohdannaiset (by X ja klo, päällä klo ja X) ovat jatkuvia, sitten ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x; esimerkissämme ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x = –1.

Osittainen johdannainen fў x(x,y) osoittaa funktion muutosnopeuden f kohdassa ( x,y) kasvun suuntaan X, a fў y(x,y) on funktion muutosnopeus f nousevaan suuntaan klo. Toiminnan muutosnopeus f kohdassa ( X,klo) kulman muodostavan suoran suunnassa q positiivisella akselisuunnalla X, kutsutaan funktion derivaatiksi f kohti; sen arvo on funktion kahden osittaisen derivaatan yhdistelmä f tangenttitasossa on melkein yhtä suuri (pienille dx ja dy) todellinen muutos z pinnalla, mutta eron laskeminen on yleensä helpompaa.

Kaava, jota olemme jo tarkastelleet muuttujan menetelmän muutoksesta, joka tunnetaan kompleksisen funktion derivaatana tai ketjusäännönä, yksiulotteisessa tapauksessa, kun klo riippuu X, a X riippuu t, näyttää:

Kahden muuttujan funktioille samanlainen kaava on muotoa:

Osittaisen eriyttämisen käsitteet ja merkintä ovat helposti yleistettävissä korkeampiin ulottuvuuksiin. Erityisesti, jos pinta on annettu yhtälöllä implisiittisesti f(x,y,z) = 0, pinnan tangenttitason yhtälölle voidaan antaa symmetrisempi muoto: tangenttitason yhtälö pisteessä ( x(x 2 /4)], integroi sitten yli X 0-1. Lopputulos on 3/4.

Kaava (10) voidaan tulkita myös ns. kaksoisintegraaliksi, ts. alkeis "solujen" tilavuuksien summan rajana. Jokaisella sellaisella solulla on kanta D x D y ja korkeus, joka on yhtä suuri kuin pinnan korkeus suorakaiteen muotoisen alustan jonkin pisteen yläpuolella ( cm. riisi. 26). Voidaan osoittaa, että molemmat näkemykset kaavasta (10) ovat samanarvoisia. Kaksoisintegraaleja käytetään painopisteiden ja lukuisten mekaniikassa kohtaamien momenttien löytämiseen.

Matemaattisen laitteen tiukempi perustelu.

Toistaiseksi olemme esittäneet matemaattisen analyysin käsitteitä ja menetelmiä intuitiivisella tasolla emmekä ole epäröineet turvautua geometrisiin kuvioihin. Meidän on vielä pohdittava lyhyesti 1800- ja 1900-luvuilla syntyneitä ankarampia menetelmiä.

1800-luvun alussa, kun "matemaattisen analyysin luomisen" hyökkäyksen ja hyökkäyksen aika päättyi, kysymykset sen oikeutuksesta nousivat esiin. Abelin, Cauchyn ja useiden muiden erinomaisten matemaatikoiden teoksissa käsitteet "raja", "jatkuva funktio", "konvergentti sarja" määriteltiin tarkasti. Tämä oli tarpeen, jotta matemaattisen analyysin perustaan ​​saataisiin looginen järjestys, jotta siitä tulisi luotettava tutkimusväline. Perusteellisen perustelun tarve tuli vieläkin ilmeisemmäksi sen jälkeen, kun Weierstrass löysi vuonna 1872 funktioita, jotka ovat kaikkialla jatkuvia, mutta eivät missään erotettavissa (tällaisten funktioiden kaaviossa on tauko jokaisessa pisteessään). Tämä tulos teki hämmästyttävän vaikutuksen matemaatikoihin, koska se oli selvästi ristiriidassa heidän geometrisen intuitionsa kanssa. Vielä silmiinpistävämpi esimerkki geometrisen intuition epäluotettavuudesta oli D. Peanon rakentama jatkuva käyrä, joka täyttää kokonaan tietyn neliön, ts. kulkee kaikkien pisteidensä läpi. Nämä ja muut löydöt herättivät henkiin matematiikan "aritmetisointiohjelman", ts. tehdä siitä luotettavampi perustelemalla kaikki matemaattiset käsitteet numerokäsitteen avulla. Lähes puritaanisella visualisoinnista pidättäytymisellä matematiikan perusteisiin perustuvissa teoksissa oli historiallinen perusteensa.

Nykyaikaisten loogisen kurinalaisuuden kanonien mukaan ei ole hyväksyttävää puhua käyrän alla olevasta alueesta y = f(x) ja akselisegmentin yläpuolella X, jopa f on jatkuva funktio ilman, että se on etukäteen määritellyt sanan "alue" tarkkaa merkitystä ja varmistamatta, että tällä tavalla määritelty alue todella on olemassa. Tämän ongelman ratkaisi onnistuneesti vuonna 1854 B. Riemann, joka antoi tarkan määritelmän määrätyn integraalin käsitteelle. Siitä lähtien ajatus summauksesta määrätyn integraalin käsitteen takana on ollut monien syvällisten tutkimusten ja yleistysten kohteena. Tämän seurauksena nykyään on mahdollista antaa merkitys määrätylle integraalille, vaikka integrandi on epäjatkuva kaikkialla. Uudet integraatiokäsitteet, joiden luomiseen A. Lebesgue (1875–1941) ja muut matemaatikot antoivat suuren panoksen, ovat lisänneet modernin matemaattisen analyysin tehoa ja kauneutta.

Kaikkien näiden ja muiden käsitteiden yksityiskohtiin tuskin olisi sopivaa mennä. Pysymme antamaan tiukat määritelmät rajalle ja määrätylle integraalille.

Lopuksi sanotaan, että matemaattinen analyysi, joka on erittäin arvokas väline tiedemiehen ja insinöörin käsissä, herättää edelleen matemaatikoiden huomion hedelmällisten ideoiden lähteenä. Samaan aikaan moderni kehitys näyttää osoittavan, että matemaattinen analyysi imeytyy yhä enemmän sellaisiin hallitseviin 1900-luvulla. matematiikan haarat, kuten abstrakti algebra ja topologia.

Jolla analysoimme yksinkertaisimpia derivaattoja ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin tekniikoihin johdannaisten löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selviä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvä ja viritä vakavaan tunnelmaan - materiaali ei ole helppoa, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.

Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.

Katsomme taulukosta sääntöä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Me ymmärrämme. Ensinnäkin, katsotaanpa merkintää. Tässä on kaksi funktiota - ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäinen funktioon . Tällaista funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.

Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto, ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.

! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja "ulkoinen toiminto", "sisäinen" toiminto vain helpottaakseni materiaalin ymmärtämistä.

Selvittääksesi tilannetta, harkitse:

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

Sinin alla ei ole vain kirjain "x", vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen heti taulukosta ei toimi. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä on mahdotonta "repiä":

Tässä esimerkissä jo selityksistäni käy intuitiivisesti selväksi, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen funktio (upotus) ja ulkoinen funktio.

Ensimmäinen askel, joka on suoritettava, kun löydetään kompleksisen funktion derivaatta ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.

Yksinkertaisten esimerkkien tapauksessa näyttää selvältä, että polynomi on sisäkkäin sinin alle. Mutta entä jos se ei ole ilmeistä? Kuinka määrittää tarkalleen, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan suorittaa henkisesti tai luonnoksessa.

Kuvitellaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo laskimella (yksien sijaan voi olla mikä tahansa luku).

Mitä laskemme ensin? Ensinnäkin sinun on suoritettava seuraava toiminto: , joten polynomi on sisäinen funktio:

toiseksi sinun on löydettävä, joten sini - on ulkoinen funktio:

Meidän jälkeen YMMÄRTÄÄ sisäisten ja ulkoisten funktioiden kanssa on aika soveltaa yhdistefunktioiden erottelusääntöä .

Alamme päättää. Oppitunnilta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa derivaatan ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme vedon oikeaan yläkulmaan:

Ensimmäinen löydämme ulkoisen funktion derivaatan (sini), katsomme alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa ja huomaamme, että . Kaikki taulukkokaavat ovat käyttökelpoisia, vaikka "x" korvattaisiin monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:

Huomaa, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.

No sehän on aivan ilmeistä

Kaavan soveltamisen tulos puhdas näyttää tältä:

Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:

Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita päätös paperille ja lue selitykset uudelleen.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Kuten aina, kirjoitamme:

Selvitämme, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä on sisäinen. Tätä varten yritämme (mielisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä pitää tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri:, mikä tarkoittaa, että polynomi on sisäinen funktio:

Ja vasta sitten suoritetaan eksponentio, joten tehofunktio on ulkoinen toiminto:

Kaavan mukaan , sinun on ensin löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme haluttua kaavaa taulukosta:. Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "x:lle", vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Siten monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos Seuraava:

Korostan jälleen, että kun otamme ulkofunktion derivaatan, sisäfunktio ei muutu:

Nyt on vielä löydettävä hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja "kampattava" tulos hieman:

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Monimutkaisen funktion derivaatan ymmärtämisen vahvistamiseksi annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, syy, missä on ulkoinen ja missä on sisäinen funktio, miksi tehtävät ratkaistaan ​​tällä tavalla?

Esimerkki 5

a) Etsi funktion derivaatta

b) Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä asteena. Joten tuomme ensin funktion oikeaan muotoon erottamista varten:

Funktiota analysoimalla tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja eksponentio on ulkoinen funktio. Sovellamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä :

Aste esitetään jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:

Valmis. Voit myös tuoda lausekkeen yhteiseen nimittäjään suluissa ja kirjoittaa kaiken yhdeksi murtoluvuksi. Se on tietysti kaunista, mutta kun hankalia pitkiä johdannaisia ​​saadaan, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeeton virhe, ja opettajan on hankala tarkistaa).

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voidaan käyttää osamäärän erottamissääntöä , mutta tällainen ratkaisu näyttää epätavalliselta perversiolta. Tässä on tyypillinen esimerkki:

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön kautta:

Valmistelemme funktion differentiaatiota varten - poistamme derivaatan miinusmerkin ja nostamme kosinin osoittajaan:

Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme :

Löydämme sisäisen funktion derivaatan, nollaamme kosinin alaspäin:

Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää olla hämmentymättä merkkejä. Muuten, yritä ratkaista se säännöllä , vastausten on oltava samat.

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Toistaiseksi olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Ymmärrämme tämän toiminnon liitteet. Pyrimme arvioimaan lausekkeen kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?

Ensin sinun on löydettävä, mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin pesä:

Tämä yksikköarsini tulee sitten neliöidä:

Ja lopuksi nostamme seitsemän valtaan:

Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi sisäkkäistä funktiota, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.

Alamme päättää

Säännön mukaan Ensin sinun on otettava ulomman funktion johdannainen. Katsomme derivaattataulukkoa ja löydämme eksponentiaalisen funktion derivaatan: Ainoa ero on, että "x":n sijasta meillä on kompleksilauseke, joka ei kumoa tämän kaavan pätevyyttä. Eli monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos Seuraava.

opiskelijoille lääketiede, lastenlääketiede, hammaslääketiede

sekä lääketieteelliset ja ehkäisevät tiedekunnat

laboratoriotöihin

"Matemaattisen analyysin peruskäsitteet"

1. Aiheen tieteellinen ja metodologinen perustelu:

Käsitteet derivaatta ja differentiaali ovat matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Johdannaisten laskenta on tarpeen ratkaistaessa monia fysiikan ja matematiikan ongelmia (etsintänopeus, kiihtyvyys, paine jne.). Etenkin derivaatan käsitteen tärkeys määräytyy sen perusteella, että funktion derivaatta luonnehtii tämän funktion muutosnopeutta sen argumentin muuttuessa.

Differentiaalin käyttö mahdollistaa likimääräisten laskelmien suorittamisen sekä virheiden arvioinnin.

Menetelmät funktioiden derivaattojen ja differentiaalien löytämiseksi ja niiden soveltaminen muodostavat differentiaalilaskennan päätehtävän. Tarve derivaatan käsitteelle syntyy liikkeen nopeuden laskemisen ja käyrän tangentin kulman löytämisen ongelman muotoilun yhteydessä. Käänteinen ongelma on myös mahdollinen: määritä nopeudella kuljettu matka ja löydä vastaava funktio tangentin kaltevuuden tangentin avulla. Tällainen käänteinen ongelma johtaa epämääräisen integraalin käsitteeseen.

Määrätyn integraalin käsitettä käytetään useissa käytännön ongelmissa, erityisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskennassa, muuttuvan voiman tekemän työn laskemisessa ja funktion keskiarvon löytämisessä.

Erilaisten fysikaalisten, kemiallisten, biologisten prosessien ja ilmiöiden matemaattisessa kuvauksessa käytetään usein yhtälöitä, jotka eivät sisällä vain tutkittavia suureita, vaan myös niiden johdannaisia ​​näiden suureiden eri kertaluokista. Esimerkiksi bakteerien lisääntymislain yksinkertaisimman version mukaan lisääntymisnopeus on verrannollinen bakteerien määrään tietyllä hetkellä. Jos tätä numeroa merkitään N(t), niin johdannaisen fyysisen merkityksen mukaisesti bakteerien lisääntymisnopeus on N(t:n johdannainen), ja edellä olevan lain perusteella voidaan kirjoittaa suhde N "(t) = k ∙ N, missä k> 0 - suhteellisuuskerroin Tuloksena oleva yhtälö ei ole algebrallinen, koska se ei sisällä vain tuntematonta funktiota N(t), vaan myös sen ensimmäisen kertaluvun derivaatan.

2. Lyhyt teoria:

1. Johdannan käsitteeseen johtavat ongelmat

1. Ongelma materiaalin pisteen nopeuden v löytämisessä. Anna jonkin materiaalipisteen tehdä suoraviivaista liikettä. Ajankohtana t 1 piste on paikallaan M 1. Ajankohtana t 2 raskaana M 2 . Merkitse intervalli M 1 , M 2 poikki ∆S; t 2 – t 1 =Δt. Arvoa kutsutaan keskimääräiseksi liikenopeudeksi. Löytää pisteen hetkellisen nopeuden tietyssä paikassa M 1 tarpeellista Δt suuntaa kohti nollaa. Matemaattisesti tämä tarkoittaa sitä

, (1)

Siten materiaalipisteen hetkellisen nopeuden löytämiseksi on tarpeen laskea funktion inkrementin suhteen raja ∆S argumentin Δt lisäykseen edellyttäen, että ∆t → 0.

2. Ongelma funktiokaavion tangentin kaltevuuskulman löytämisessä.

Kuva 1

Tarkastellaan jonkin funktion kuvaajaa y=f(x). Mikä on kaltevuuskulma
tangentti piirretty pisteeseen M 1 ? Pisteessä M 1 piirrä tangentti funktion kuvaajalle. Valitse mielivaltainen piste kaaviosta M 2 ja piirrä sekantti. Se on kallistettu akselia kohti VAI NIIN kulmassa α 1 . Harkitse ΔM 1 M 2 V:

, (2)

Jos kohta M 1 korjaa ja osoita M 2 lähestyä M 1 , sitten sekantti M 1 M 2 tulee tangentti funktion kuvaajalle pisteessä M 1 ja voit kirjoittaa:

, (3)

Näin ollen on tarpeen laskea funktion inkrementin ja argumentin lisäyksen suhteen raja, jos argumentin inkrementti pyrkii nollaan.

Funktion y=f(x) lisäyksen Δy suhteen raja argumentin Δx lisäykseen tietyssä pisteessä x 0 koska Δx pyrkii nollaan, sitä kutsutaan funktion derivaatiksi tietyssä pisteessä.

Johdannainen merkintä: y", f "(x), . Määritelmän mukaan

, (4)

missä Δx=х 2 -х 1 on argumentin lisäys (ero argumentin kahden peräkkäisen riittävän läheisen arvon välillä), Δy=y 2 -y 1 on funktion lisäys (arvojen välinen ero näitä argumentin arvoja vastaavan funktion).

Tietyn funktion derivaatan löytämistä kutsutaan funktioksi erilaistuminen. Perusfunktioiden erottelu suoritetaan valmiiden kaavojen mukaan (katso taulukko) sekä käyttämällä säännöt:

Algebrallisen summan johdannainen Funktiot on yhtä suuri kuin näiden funktioiden johdannaisten summa:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin toisen funktion tulojen summa ensimmäisen funktion derivaatalla ja ensimmäisen funktion tulojen summa toisen funktion derivaatalla:

(u∙υ )"=u"υ +uυ "

3. Osamäärän derivaatta kahdesta funktiosta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän tulojen ja osoittajan derivaatan ja osoittajan ja nimittäjän derivaatan välinen ero, ja nimittäjä on nimittäjän neliö:

Johdannan fyysinen merkitys. (4) ja (1) vertailusta seuraa, että aineellisen pisteen suoraviivaisen liikkeen hetkellinen nopeus on yhtä suuri kuin sen koordinaatin ajasta riippuvuuden derivaatta.

Funktion derivaatan yleinen merkitys on, että se karakterisoi funktion muutoksen nopeus (nopeus). argumentin muutoksen vuoksi. Fysikaalisten, kemiallisten ja muiden prosessien nopeus, kuten kehon jäähtymisnopeus, kemiallisen reaktion nopeus, bakteerien lisääntymisnopeus jne., ilmaistaan ​​myös käyttämällä johdannaista.

Johdannan geometrinen merkitys. Funktiograafiin piirretyn tangentin kulmakertoimen tangentin arvoa kutsutaan matematiikassa tangentin kaltevuus.

Differentioituvan funktion kuvaajaan jossakin pisteessä piirretyn tangentin kaltevuus on numeerisesti yhtä suuri kuin funktion derivaatta kyseisessä pisteessä.

Tätä lausuntoa kutsutaan johdannaisen geometrinen merkitys.