इसकी संभावनाओं और सीमाओं का आयामी विश्लेषण। मेरा विज्ञान ब्लॉग

व्यवहार में आने वाली कई प्रक्रियाएँ इतनी जटिल हैं कि उन्हें अवकल समीकरणों द्वारा सीधे वर्णित नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, चर के बीच संबंधों को प्रकट करने के लिए एक बहुत ही मूल्यवान तकनीक आयामों का विश्लेषण है।

यह विधि चर के बीच संबंध के बारे में पूरी जानकारी प्रदान नहीं करती है, जिसे अंततः प्रयोगात्मक रूप से प्रकट किया जाना चाहिए। हालांकि, यह विधि प्रयोगात्मक कार्य की मात्रा को काफी कम कर सकती है।

इस प्रकार, प्रयोग के साथ संयुक्त होने पर ही आयामी पद्धति का प्रभावी अनुप्रयोग संभव है; इस मामले में, अध्ययन के तहत प्रक्रिया को प्रभावित करने वाले सभी कारकों या चरों को जानना चाहिए।

आयामी विश्लेषण आयामहीन समूहों पर मात्राओं का तार्किक वितरण देता है। सामान्य तौर पर, एन की कार्यात्मक निर्भरता को एक सूत्र के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसे आयाम सूत्र कहा जाता है:

इसमें शामिल है (k + 1) समावेशन मात्रा और N मात्रा। वे परिवर्तनशील, स्थिर, आयामी और आयाम रहित हो सकते हैं। हालांकि, इस मामले में, यह आवश्यक है कि भौतिक घटना की विशेषता वाले समीकरण में शामिल संख्यात्मक मात्राओं के लिए, माप की मूल इकाइयों की एक ही प्रणाली को अपनाया जाएगा। इस शर्त के तहत, समीकरण मनमाने ढंग से चुनी गई इकाइयों की प्रणाली के लिए मान्य रहता है। इसके अलावा, ये मूल इकाइयाँ अपने आयामों में स्वतंत्र होनी चाहिए, और उनकी संख्या ऐसी होनी चाहिए कि उनके माध्यम से कार्यात्मक निर्भरता (3.73) में शामिल सभी मात्राओं के आयामों का प्रतिनिधित्व करना संभव हो।

माप की ऐसी इकाइयाँ समीकरण (3.73) में शामिल कोई भी तीन मात्राएँ हो सकती हैं और जो आयाम की दृष्टि से एक दूसरे से स्वतंत्र होती हैं। यदि हम, उदाहरण के लिए, लंबाई एल और गति वी को माप की इकाइयों के रूप में लेते हैं, तो हमारे पास लंबाई एल की इकाई और समय की इकाई है। इस प्रकार, माप की तीसरी इकाई के लिए किसी भी मात्रा को स्वीकार करना असंभव है जिसके आयाम में केवल लंबाई और समय होता है, उदाहरण के लिए, त्वरण, क्योंकि इस मात्रा की इकाई पहले से ही लंबाई की इकाइयों की पसंद के परिणामस्वरूप निर्धारित की जाती है। और गति। इसलिए, इसके अलावा, किसी भी मूल्य को चुना जाना चाहिए, जिसके आयाम में द्रव्यमान शामिल है, उदाहरण के लिए, घनत्व, चिपचिपाहट, बल, आदि।

व्यवहार में, उदाहरण के लिए, हाइड्रोलिक अध्ययन में, माप की निम्नलिखित तीन इकाइयाँ लेना उपयुक्त हो जाता है: किसी भी प्रवाह कण की गति V 0, कोई भी लंबाई (पाइपलाइन व्यास D या इसकी लंबाई L), घनत्व का चयनित कण।

माप की इन इकाइयों का आयाम:

एमएस; एम; किग्रा / मी 3.

इस प्रकार, कार्यात्मक निर्भरता (3.73) के अनुसार आयामों के समीकरण को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

मूल इकाइयों (मीटर, सेकंड, किलोग्राम) की प्रणाली में लिए गए मान N i और n i को आयाम रहित संख्याओं में व्यक्त किया जा सकता है:

; .

इसलिए, समीकरण (3.73) के बजाय, कोई एक समीकरण लिख सकता है जिसमें सभी मात्राएं सापेक्ष इकाइयों में व्यक्त की जाती हैं (वी 0, एल 0, ρ 0 के संबंध में):

चूंकि पी 1, पी 2, पी 3 क्रमशः वी 0, एल 0, 0 हैं, तो समीकरण के पहले तीन शब्द तीन इकाइयों में बदल जाते हैं और कार्यात्मक निर्भरता रूप लेती है:

. (3.76)

-प्रमेय के अनुसार, आयामी मात्राओं के बीच किसी भी संबंध को आयामहीन मात्राओं के बीच संबंध के रूप में तैयार किया जा सकता है। शोध में, यह प्रमेय स्वयं चरों के बीच संबंध को निर्धारित करना संभव नहीं बनाता है, बल्कि कुछ कानूनों के अनुसार संकलित उनके कुछ आयामहीन अनुपातों के बीच संबंध निर्धारित करना संभव बनाता है।

इस प्रकार, k + 1 आयामी मात्रा N और n i के बीच कार्यात्मक निर्भरता को आम तौर पर (k + 1- 3) मात्रा π और i (i = 4.5, ..., k) के बीच के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक एक है कार्यात्मक निर्भरता में शामिल मात्राओं का आयामहीन शक्ति संयोजन। आयामहीन संख्या में समानता मानदंड का चरित्र होता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से देखा जा सकता है।

उदाहरण 3.3। प्रतिरोध बल F (N = kg m / s 2) के लिए कार्यात्मक निर्भरता का निर्धारण करें, जिसे प्लेट अपनी लंबाई की दिशा में तरल के साथ बहने पर अनुभव करती है।

ड्रैग फोर्स की कार्यात्मक निर्भरता को कई स्वतंत्र चर के एक समारोह के रूप में दर्शाया जा सकता है और समानता की स्थिति के तहत निर्धारित किया जा सकता है:

,

कहाँ पे प्रवाह वेग, एम / एस; प्लेट क्षेत्र, मी 2 ; तरल घनत्व, किग्रा / मी 3 ; चिपचिपाहट का गतिशील गुणांक, Pa s ([Pa s] = kg/m s); मुक्त गिरावट त्वरण, एम/एस 2 ; दबाव, पा (पा = किग्रा/एम एस); प्लेट की ऊंचाई और उसकी लंबाई का अनुपात; प्रवाह की दिशा में प्लेट के झुकाव का कोण।

इस प्रकार, मात्राएँ और आयामहीन हैं, शेष छह आयामी हैं। उन में से तीन लोग: , और मुख्य के रूप में लिया। -प्रमेय के अनुसार, यहाँ केवल त्रिविमीय संबंध संभव हैं। फलस्वरूप:

प्रतिरोध बल के लिए:

1 \u003d z (किलो पर बाईं और दाईं ओर संकेतक);

2 \u003d - x (सी पर बाएं और दाएं संकेतक);

1 \u003d x + 2y - 3z (बाएं और दाएं मीटर पर संकेतक)।

इन समीकरणों का हल देता है: x = 2; वाई = 1; जेड = 1.

कार्यात्मक निर्भरता:

इसी तरह, हमें मिलता है:

चिपचिपाहट के लिए:

हमारे पास x 1 = 1 है; वाई 1 = 0.5; z1 = 1.

कार्यात्मक निर्भरता:

;

हमारे पास x 2 = 2 है; वाई 2 = - 0.5; z2 = 0.

कार्यात्मक निर्भरता:

दबाव के लिए:

हमारे पास x 3 = 2 है; वाई 3 = 0; जेड 3 = 1.

कार्यात्मक निर्भरता:

.

जाहिर सी बात है , ,

.

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कुछ आकार, गति आदि पर इस प्रक्रिया का अध्ययन करने के बाद, यह स्थापित करना संभव है कि यह अन्य आकारों और गति पर कैसे आगे बढ़ेगा यदि इन चरों से बना आयामहीन अनुपात दोनों मामलों के लिए समान हैं। तो, दिए गए आकार के निकायों के साथ प्रयोगों में प्राप्त निष्कर्ष, एक निश्चित गति से आगे बढ़ना, आदि, स्पष्ट रूप से किसी भी अन्य शरीर के आकार, गति आदि के लिए मान्य होंगे। बशर्ते कि आयामहीन अनुपात बराबर हों प्रयोगों में देखे गए लोगों के साथ।

उदाहरण 3.4. प्रयोगशाला उपकरण पर पिछले अध्ययनों के आधार पर, स्टिरर मोटर की शक्ति एन (डब्ल्यू = किग्रा एम 2 / एस 3) की कार्यात्मक निर्भरता निर्धारित करें, जो संपर्क टैंक में अभिकर्मकों के साथ लुगदी को मिलाने के लिए आवश्यक है।

दो मिश्रण प्रणालियों की समानता के लिए, यह आवश्यक है:

ज्यामितीय समानता, जिसमें विचाराधीन प्रणालियों के लिए मात्राओं का अनुपात एक दूसरे के बराबर होना चाहिए;

गतिज समानता, जब संबंधित बिंदुओं पर गति अन्य संगत बिंदुओं पर गति के समान अनुपात में होनी चाहिए, अर्थात लुगदी के पथ समान होने चाहिए;

गतिशील समानता, जिसके लिए आवश्यक है कि संबंधित बिंदुओं पर बलों का अनुपात अन्य प्रासंगिक बिंदुओं पर बलों के अनुपात के बराबर हो।

यदि सीमा की स्थिति तय की जाती है, तो एक चर को अन्य चर के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात, मिक्सर मोटर शक्ति की कार्यात्मक निर्भरता को कई स्वतंत्र चर के एक समारोह के रूप में दर्शाया जा सकता है और समानता मानदंड द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

,

मिक्सर का व्यास कहाँ है, मी; लुगदी घनत्व, किग्रा/एम 3 ; उत्तेजक घूर्णन गति, एस -1; चिपचिपाहट का गतिशील गुणांक, Pa·s (Pa·s=kg/m·s); मुक्त गिरावट त्वरण, m/s 2 - प्रवाह की दिशा में प्लेट के झुकाव का कोण।

इस प्रकार, हमारे पास पाँच आयामी मात्राएँ हैं, उनमें से तीन: , तथा बुनियादी के रूप में लिया। -प्रमेय के अनुसार, यहां केवल दो आयामहीन संबंध संभव हैं। फलस्वरूप:

.

अंश और हर के लिए आयामों की समानता को देखते हुए, हम घातांक पाते हैं:

उत्तेजक मोटर की शक्ति के लिए:

,

3 \u003d z (सी पर बाएं और दाएं संकेतक);

1 = इंच (किलो पर बाएं और दाएं संकेतक);

2 \u003d x - 3y (बाएं और दाएं मीटर पर संकेतक)।

इन समीकरणों का हल देता है: x = 5; वाई = 1; जेड = 3.

कार्यात्मक निर्भरता:

इसी तरह, हमें मिलता है:

चिपचिपाहट के लिए:

हमारे पास x 1 = 2 है; वाई 1 = 1; z1 = 1.

कार्यात्मक निर्भरता:

;

मुक्त गिरावट में तेजी लाने के लिए:

हमारे पास x 2 = 1 है; वाई 2 = 0; z2 = 1.

कार्यात्मक निर्भरता:

;

जाहिर सी बात है कि, . तब वांछित कार्यात्मक निर्भरता का रूप है:

.

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इसके कुछ मापदंडों के लिए आंदोलनकारी मोटर की शक्ति की कार्यात्मक निर्भरता का पता लगाने के बाद, यह स्थापित करना संभव है कि यह अन्य आकारों और गति आदि के लिए क्या होगा। यदि दोनों मामलों के लिए आयाम रहित अनुपात समान हैं। तो, प्रायोगिक उपकरण पर प्राप्त निष्कर्ष किसी अन्य उपकरण के लिए मान्य होंगे, बशर्ते कि आयाम रहित अनुपात प्रयोगों में देखे गए अनुपात के बराबर हों।

उदाहरण 3.5. एक भारी माध्यम विभाजक में संवर्धन प्रक्रिया की जांच की जाती है। भारी मीडिया पृथक्करण की प्रक्रिया का पैरामीट्रिक आरेख (चित्र। 3.5) आने वाले, बाहर जाने वाले और नियंत्रित मापदंडों के साथ-साथ संभावित बाधाओं को दर्शाता है:

इनपुट और नियंत्रित पैरामीटर: किन - स्रोत सामग्री के लिए विभाजक का प्रदर्शन; क्यू संदिग्ध - निलंबन की प्रवाह दर; वी - बाल्टी मात्रा; Δρ निलंबन के घनत्व और अलग किए जाने वाले अंश में अंतर है; - लिफ्ट के पहिये के घूमने की गति; n लिफ्ट व्हील की बाल्टी की संख्या है;

आउटपुट और नियंत्रित पैरामीटर: क्यू टू-टी - ध्यान केंद्रित करने के लिए विभाजक का प्रदर्शन; क्यू ओटीएक्स - कचरे के लिए विभाजक का प्रदर्शन;

बाधाएं (प्रक्रिया को प्रभावित करने वाले मापदंडों के लिए बेहिसाब): आर्द्रता, ग्रैनुलोमेट्रिक और भिन्नात्मक संरचना।

हम जांचते हैं कि क्या मॉडल की गणना के लिए मापदंडों की संख्या पर्याप्त है, जिसके लिए हम सभी मात्राओं के आयाम = किग्रा / एस लिखते हैं; \u003d एम 3 / एस; [Δ] \u003d किग्रा / मी 3; [वी] \u003d एम 3; [ ] = सी -1; = किग्रा/एस; [एन] = 8.

मुख्य आयामी मात्रा एम = 3 (किलो, एम, एस), इसलिए, गणना में निम्नलिखित का उपयोग किया जा सकता है:

पैरामीटर, यानी क्यू आउट, वी, Δ, ।

0 = 3x - 3z (एल पर बाएं और दाएं घातांक);

1 \u003d - y - 3z (टी पर बाएं और दाएं संकेतक);

तो एक्स = 1; वाई = - 2; z = 1, यानी बाल्टी मात्रा पर अपशिष्ट विभाजक क्षमता की कार्यात्मक निर्भरता, लिफ्ट व्हील की घूर्णन गति और निलंबन के घनत्व और अलग अंश में अंतर का रूप है:

गुणांक k का मान निश्चित मापदंडों के साथ पिछले अध्ययनों के आधार पर निर्धारित किया जाता है: V = 0.25 m 3; \u003d 100 किग्रा / मी 3; = 0.035 एस -1; n \u003d 8, जिसके परिणामस्वरूप यह पाया गया कि Q otx \u003d 42 kg / s:

सूत्र अध्ययन के तहत प्रक्रिया का गणितीय मॉडल है।

उदाहरण 3.6। एक ओसिंग बैगर-सम्प एलेवेटर द्वारा 0.5 - 13 मिमी के कण आकार के साथ एक सांद्रण के परिवहन की प्रक्रिया का अध्ययन किया जा रहा है:

इनपुट और नियंत्रित पैरामीटर: - ठोस के मामले में लिफ्ट बाल्टी की क्षमता; - आपूर्ति घनत्व; वी लिफ्ट श्रृंखला की गति है;

आउटपुट और नियंत्रित पैरामीटर: क्यू - 0.5 - 13 मिमी वर्ग के अनुसार डिवाटरिंग बैगर-संप एलेवेटर की उत्पादकता;

लगातार पैरामीटर: बाल्टी भरण कारक = 0.5; आर्द्रता, ग्रैनुलोमेट्रिक और भिन्नात्मक संरचना।

इस उदाहरण में:

हम जांचते हैं कि क्या मॉडल की गणना के लिए मापदंडों की संख्या पर्याप्त है, जिसके लिए हम सभी मात्राओं के आयाम लिखते हैं: [ω] = एम 3; [ρ] \u003d किग्रा / मी 3; [वी] = एम / एस।

मुख्य आयामी मात्रा एम = 3 (किलो, एम, एस), इसलिए, गणना में निम्नलिखित का उपयोग किया जा सकता है:

पैरामीटर, यानी क्यू, वी, , ।

चूंकि सभी मापदंडों को ध्यान में नहीं रखा जाता है, इसलिए गुणांक k को चयनित मापदंडों के बीच कार्यात्मक निर्भरता में जोड़ा जाता है:

,

या आधार इकाइयों एम, एल, टी का उपयोग करना:

0 \u003d 3x + y - 3z (एल पर बाएं और दाएं संकेतक);

1 \u003d - y (टी पर बाएं और दाएं संकेतक);

1 = z (बाएँ और दाएँ M पर घातांक)।

तो एक्स = 2/3; वाई = 1; z = 1, अर्थात्, बाल्टी की मात्रा पर 0.5-13 मिमी वर्ग के अनुसार डिवाटरिंग बैगर-सॉंप एलेवेटर की उत्पादकता की कार्यात्मक निर्भरता, लिफ्ट श्रृंखला की गति और फ़ीड घनत्व का रूप है:

.

गुणांक k का मान निश्चित मापदंडों के साथ पिछले अध्ययनों के आधार पर निर्धारित किया जाता है: V = 0.25 m/s; \u003d 1400 किग्रा / मी 3; \u003d 50 10 -3 मीटर 3 जिसके परिणामस्वरूप यह पाया गया कि क्यू \u003d 1.5 किग्रा / सेकंड, इसके अलावा, बाल्टियों के भरने वाले कारक को ध्यान में रखा जाना चाहिए = 0.5 और फिर:

.

सूत्र जांच किए गए डिवाटरिंग बैगर-संप एलेवेटर द्वारा 0.5-13 मिमी के कण आकार के साथ एक सांद्रण के परिवहन की प्रक्रिया का एक गणितीय मॉडल है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि गुणांक k का मान जितना छोटा होगा, विचाराधीन मापदंडों का मान उतना ही अधिक होगा।

आयामी विश्लेषण, समानता सिद्धांत, मॉडलिंग, साथ ही साथ विभिन्न घटनाओं की सादृश्यता की विधि, सही सूत्रीकरण और प्रयोगों के संचालन के साथ, कम्प्यूटेशनल और अन्य कार्य को गति देने के लिए अनुमति देती है। हालांकि, तेल और गैस कुओं की ड्रिलिंग की सैद्धांतिक नींव में इस पद्धति का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। साथ ही, तेल और गैस जमा के विकास की सैद्धांतिक नींव में इन उपकरणों का अपेक्षाकृत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

प्रयोगों की सही सेटिंग, प्राप्त परिणामों के प्रसंस्करण और सामान्यीकरण के लिए, मात्रात्मक-सैद्धांतिक विश्लेषण करना आवश्यक है। इस मामले में, प्रयोगों की संख्या, जिसके परिणाम आयाम रहित मापदंडों में व्यक्त किए जाते हैं, घट जाती है। हाइड्रोडायनामिक्स में, विशेष रूप से, इन मापदंडों को बलों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

आमतौर पर आयामी और आयामहीन मात्रा के बीच अंतर किया जाता है। आयामी मात्राओं के उदाहरण गति, दबाव, चिपचिपाहट, अंतिम कतरनी तनाव, लंबाई, समय आदि हैं।

लंबाई और व्यास के अनुपात, श्यानता बल से अंतिम अपरूपण प्रतिबल आदि आयाम रहित मात्राएँ हैं। आयामों के सिद्धांत का विश्लेषण आयामी चर से आयाम रहित चर में पारित करके समीकरणों में चर की संख्या को कम करना संभव बनाता है। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित द्विघात समीकरण दिया गया है:

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0,

जहां आयामहीन एक्सगुणांक ए, बी, और सी पर निर्भर करता है, जिनके समान आयाम हैं।

साथ,तब समीकरण का रूप ले लेगा

जैसा कि समीकरण से देखा जा सकता है, चर एक्सऔर पर निर्भर करता है, अर्थात्।

. अतः समीकरण को विमाहीन रूप में लिखना

आपको चर की संख्या को तीन से दो तक कम करने की अनुमति देता है। यदि समीकरण अज्ञात है या कार्यात्मक निर्भरता के प्रकार को निर्धारित करना आवश्यक है, तो बदलने के बजाय एकऔर बी रिश्ते को बदलते हैं और। इस प्रकार, न केवल चर की संख्या कम हो जाती है, बल्कि एक प्रयोग करने की संभावना कम से कम समय और श्रम के साथ प्राप्त की जाती है। आइए मान लें कि एक प्रयोग स्थापित करने के लिए और के मूल्यों में बदलाव की आवश्यकता है। यदि प्रयोग के दौरान मूल्य साथबदलने में आसान, फिर मूल्य बदलकर साथ,मूल्यों को बदलना संभव है और (जबकि मूल्य ए और बी स्थिर रहते हैं), और, इसके विपरीत, यदि प्रयोग के दौरान मूल्य सी को बदलना मुश्किल है, तो मूल्यों को बदलकर और, कोई भी कर सकता है मूल्यों को बदलें ए और बी।यदि

प्रयोगों का संचालन करते समय, buc के मूल्यों को बदलना मुश्किल होता है, फिर उनमें से एक को बदलकर मात्राओं के अनुपात में परिवर्तन प्राप्त करना संभव है।

भौतिक नींव मात्राओं को कुछ निर्भरताओं से जोड़ती है। इसलिए, यदि कुछ मात्राओं के लिए आयामों को चुना जाता है, तो, संबंधित सूत्रों के आधार पर, अन्य मात्राओं के आयाम प्राप्त किए जा सकते हैं। भौतिक मात्राओं के बीच निर्भरता किसी को आयामों की ऐसी बुनियादी प्रणाली चुनने की अनुमति देती है कि इस प्रणाली में यांत्रिक मात्रा को मापने के लिए तीन आयामों का एक मनमाना विकल्प पर्याप्त है।

कई मामलों में इकाई लंबाई की तकनीक में लीसमय टीऔर ताकत एफआधार इकाइयों के रूप में लिया गया। हालांकि, माप की इकाइयों के बीच, चिपचिपाहट , रफ़्तार वीऔर घनत्व को भी बुनियादी के रूप में लिया जा सकता है। ऐसी मात्राएँ स्वतंत्र विमाओं वाली मात्राएँ कहलाती हैं (नीचे देखें)।

वर्तमान में, SI इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली को अपनाया गया है, जिसमें लंबाई का आयाम 1 . है एम,द्रव्यमान - 1 किग्रा और समय - 1 सेकंड

यदि हम क्रमशः लंबाई, समय और बल के स्वतंत्र आयामों को द्वारा निरूपित करते हैं एल, टीतथा एफ,तो हाइड्रोमैकेनिक्स में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली मात्राओं के निम्नलिखित आयाम होंगे:

रफ़्तार

यदि गणितीय विवरण के लिए अंतर समीकरण या अन्य गणितीय निर्भरता की रचना करना असंभव है, तो, आयामों के सिद्धांत का उपयोग करके, प्रक्रिया का वर्णन करने वाले समीकरण के बिना एक भौतिक घटना का वर्णन करना संभव है। लेकिन इसके लिए इस घटना की व्याख्या करने वाली प्रारंभिक और सीमा शर्तों को जानना आवश्यक है। इन उद्देश्यों के लिए -प्रमेय (बकिंघम की प्रमेय) का उपयोग उन मुख्य आयामहीन मापदंडों की पहचान करना संभव बनाता है जो विचाराधीन घटना की विशेषता रखते हैं।

हम मानते हैं कि आयामहीन मात्रा एकस्वतंत्र चर पर निर्भर करता है ए 1:..., एक पी

ए \u003d ए (ए 1, ए 2, ए 3,. . ., एक एम, एक एम+1, . . ., ए पी)।

कार्यात्मक निर्भरता को आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है ; बड़ी संख्या में निर्भरता के साथ। समारोह के संकेतों को अलग तरह से लिया जाना चाहिए। सरल शब्दों में, निर्भरता इस तरह दिखाई जाती है:

आइए मान लें कि इन आयामी मात्राओं में, स्वतंत्र आयामों वाली मात्राओं की संख्या बराबर है टी।यांत्रिकी और प्रौद्योगिकी में, तीन से अधिक नहीं हो सकते। लंबाई को स्वतंत्र आयामों के रूप में लिया जाता है लीसमय टी,ताकत एफया उनका शक्ति संयोजन, जिससे प्राप्त किया जा सकता है एल, टीतथा एफ,उदाहरण के लिए:

समीकरण में n+1 आयामी मात्राएँ शामिल हैं। एल-प्रमेय के आधार पर, के बीच संबंध पी+ 1 आयामी इकाइयों को अंजाम दिया जा सकता है पी+ 1 - एमआयाम रहित पैरामीटर, जिसमें शामिल हैं पी+ 1 आयाम।

तब आयाम रहित पैरामीटर लिखे जा सकते हैं

यहाँ संकेतक टी 1, टी 2, ..., एम के; पी 1 पी 2, .., पी के; जी 1 जी 2..., जी कोचुना जाता है ताकि पैरामीटर आयामहीन हो गया।

आइए हम एक विशिष्ट उदाहरण के साथ -प्रमेय के अनुप्रयोग की व्याख्या करें। आइए मान लें कि दिए गए मान के बजाय , और मात्राओं के स्थान पर स्वतंत्र विमाएँ दी गई हैं। तब हमें मिलता है

चूँकि इस सूत्र का बायाँ भाग आयामहीन है, इसलिए दायाँ पक्ष भी आयामहीन होना चाहिए, अर्थात।

फिर, घातांक की बराबरी करते हुए एल, टीतथा एफ,हम पाते हैं:

तीन रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली के समाधान निम्नलिखित होंगे:

इसलिए, आयाम रहित पैरामीटर को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

यह व्यंजक दबाव और जड़ता का अनुपात है और इसे यूलर पैरामीटर कहा जाता है।

आयाम के सिद्धांत का उपयोग करते समय, भौतिक और गणितीय विचारों का उपयोग किया जाता है।

आइए हम एक बेलनाकार पाइप में एक असंपीड्य चिपचिपा-प्लास्टिक द्रव की स्थिर गति पर विचार करें। पाइप लाइन के सिरों पर दबाव ड्रॉप पाइप की लंबाई और व्यास, संरचनात्मक चिपचिपाहट, अंतिम कतरनी तनाव, तरल घनत्व, साथ ही गुरुत्वाकर्षण के त्वरण और गति की गति पर निर्भर करता है। जब एक संपीड़ित द्रव चलता है, तो समीकरण में दबाव ड्रॉप नहीं होना चाहिए, लेकिन पाइप के सिरों पर काम करने वाले दबावों का निरपेक्ष मान शामिल होना चाहिए। विचाराधीन मामले के लिए, भौतिक समीकरण का रूप है

, या

चूंकि निर्दलीय उम्मीदवारों की संख्या तीन है, इसलिए -प्रमेय का उपयोग करके, हम पांच आयाम रहित पैरामीटर प्राप्त कर सकते हैं। इस मामले में, निम्नलिखित को स्वतंत्र आयामों वाली मात्राओं के रूप में चुना जा सकता है: आदि।

ऊपर यह उल्लेख किया गया था कि प्रत्येक प्रकार में, स्वतंत्र आयामों वाली मात्राओं को चुना जाना चाहिए ताकि उनके शक्ति संयोजन लंबाई के आयामों को प्राप्त करना संभव बना सकें। लीताकत एफ,समय टी।आइए अब स्वीकृत वेरिएंट के लिए इस शर्त की जांच करें।

चूंकि पहले संस्करण में दबाव, व्यास और वेग को मुख्य के रूप में लिया जाता है, उन्हें मिलाकर, हम आयाम प्राप्त करने का प्रयास करेंगे एल, एफतथा टी।

लंबाई का आयाम ज्ञात कीजिए

फलस्वरूप,

इस प्रकार, लंबाई का आयाम प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित संयोजन लेने की आवश्यकता है पी, डीतथा वी:

.

आइए बल का आयाम ज्ञात करें:

,

फलस्वरूप,

;

यानी, बल का आयाम प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित संयोजन का उपयोग करने की आवश्यकता है:

.

आइए समय का आयाम ज्ञात करें

,

फलस्वरूप,

.

समय का आयाम नीचे दिए गए संयोजन से प्राप्त होता है पी, डीतथा वी:

प्रत्येक प्रकार में, इन मात्राओं के संयोजन चुने जाते हैं ताकि परिणामस्वरूप एक आयामहीन पैरामीटर प्राप्त किया जा सके। अब, दो विकल्पों में से प्रत्येक के लिए, हम आयामहीन पैरामीटर प्राप्त करते हैं।

विकल्प 1. आयामहीन मापदंडों की व्युत्पत्ति में ली गई तीन मात्राओं का संयोजन , चुना जाना चाहिए ताकि शेष मात्राओं के आयाम प्राप्त करना संभव हो, और फिर, विभाजन के परिणामस्वरूप, परिणामी मूल्य को आयामहीन रूप में लाएं।

मूल्य के लिए हम लिख सकते हैं:

इस प्रकार, हम फॉर्म में चौथा आयाम रहित पैरामीटर प्राप्त करते हैं

यहां, चिपचिपा-प्लास्टिक तरल पदार्थ की स्थिर गति के लिए, पैरामीटर ईयू, फ्र, ला" और ला" प्राप्त किए जाते हैं।

इसी तरह, अगर हम के लिए आयाम रहित पैरामीटर प्राप्त करते हैं , तब हमें मिलता है

इस तथ्य के कारण कि समीकरण में शामिल आठ मात्राओं में से तीन को स्वतंत्र चर के रूप में लिया जाता है, आयाम रहित मापदंडों की संख्या स्वतंत्र चर की संख्या से घट जाएगी, अर्थात हम प्राप्त करते हैं पी- टी= 8-3 = 5 आयामहीन पैरामीटर।

विकल्प 2. विमीय राशियों को मुख्य मान लेते हुए और -प्रमेय से विमारहित प्राचलों को व्युत्पन्न करते हुए, हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होते हैं:

आइए उनकी तुलना विकल्प I के मापदंडों से करें:

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि वांछित मूल्य ईयू पैरामीटर में शामिल है, फिर प्रयोगों के परिणाम फॉर्म में प्रस्तुत किए जाते हैं

चूंकि मूल्य पैरामीटर ईयू में शामिल है, शेष तीन पैरामीटर चुने गए हैं ताकि वांछित मूल्य हो भाग नहीं लिया।

समीकरण को लैग्रेंज पैरामीटर का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें , अर्थात।

यह समीकरण स्थिर गति के लिए लागू होता है; यदि गति गैर-स्थिर है, तो स्ट्रॉहल पैरामीटर को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए।

जब पाइप क्षैतिज होता है, गुरुत्वाकर्षण गति को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए जीध्यान में नहीं रखा।

चूंकि इज़ोटेर्मल गति के दौरान तरल पदार्थ के भौतिक गुण पाइप की लंबाई के साथ नहीं बदलते हैं, प्रवाह दर और क्रॉस सेक्शन स्थिर रहते हैं, प्रति यूनिट लंबाई (निरंतरता समीकरण से) दबाव के नुकसान अलग-अलग होते हैं। इस मामले में, विशेषता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 100 . के अनुरूप दबाव हानि को जानते हैं एमलंबाई, 200, 300 . पर दबाव हानि का निर्धारण करना संभव है एमआदि। यहां शुरुआत और अंत वर्गों को ध्यान में नहीं रखा जाता है। तब प्रति इकाई लंबाई दबाव ड्रॉप के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

.

चूंकि यह परिभाषित है , तब पैरामीटर गायब हो जाता है और यूलर पैरामीटर फॉर्म में लिखा जाता है

चिपचिपा तरल पदार्थों के लिए, डार्सी और वीसबैक द्वारा स्वतंत्र रूप से व्युत्पन्न एक समान समीकरण को डार्सी-वीसबैक समीकरण कहा जाता है।

इस तरह,

कहाँ पे - हाइड्रोलिक प्रतिरोध का गुणांक।

एक लंबी दो-तार रेखा के समीकरण पर विचार करें। एक दो-तार लाइन को समान रूप से वितरित रिसाव, अधिष्ठापन, प्रतिरोध और समाई के साथ एक प्रणाली द्वारा दर्शाया जाता है। संभावित अंतर यूऔर वर्तमान ताकत मैंअनुभागों में एक्सऔर किरचॉफ के नियम के आधार पर निर्धारित किया जाता है, जो एक समय अंतराल में एक खंड पर होने वाली प्रक्रिया के लिए लिखा जाता है . अंतर यू(एक्स, टी) - यू(एक्स+ आह, टी)अधिष्ठापन और ओमिक प्रतिरोधों में संभावित अंतर निर्धारित करता है

कहाँ पे लीतथा आर- प्रति इकाई लंबाई क्रमशः अधिष्ठापन और ओमिक प्रतिरोध।

दाईं ओर का पहला सदस्य ई में परिवर्तन को दर्शाता है। डी.एस. अधिष्ठापन पर, समय के साथ वर्तमान ताकत में बदलाव से निर्धारित होता है। दूसरा पद संभावित अंतर है, जिसकी गणना ओम के नियम के अनुसार की जाती है।

दूसरा समीकरण संधारित्र और रिसाव द्वारा निर्धारित वर्तमान संतुलन है, अर्थात।

" कहाँ पे से- प्रति यूनिट लंबाई समाई; जी- - प्रति इकाई लंबाई चालकता।

दाहिनी ओर का पहला सदस्य संधारित्र से गुजरने वाली धारा की ताकत है और समय के साथ संभावित अंतर में बदलाव की विशेषता है। दूसरा शब्द वर्तमान ताकत है - रिसाव, ओम के नियम द्वारा निर्धारित।

उपरोक्त दो समीकरण एक लंबी दो-तार रेखा के परिमित-अंतर समीकरण हैं। सीमा तक जा रहा है , उपलब्ध:

के लिए समीकरणों की यह प्रणाली जी= 0 पर एक पाइपलाइन में एक छोटी बूंद तरल की गति के अंतर समीकरणों के समान है।

एक क्षैतिज गोल बेलनाकार पाइप में एक वास्तविक माध्यम की अस्थिर गति पर विचार करें। इस मामले में, एक छूट बूम अक्ष के साथ गैर-स्थिरता की विशेषता है, दूसरा - अनुभाग के साथ। यह माना जाता है कि पहले की तुलना में दूसरा नगण्य है। इसलिए, पाइप की धुरी के साथ विकसित होने वाली गैर-स्थिरता की जांच की जाती है, अर्थात, एक अर्ध-एक-आयामी गति पर विचार किया जाता है, जो कि अनुभाग पर औसत मापदंडों की विशेषता है। यह माना जाता है कि तरल खराब रूप से संकुचित होता है, अर्थात, अक्ष के साथ इसके वेग में परिवर्तन छोटा होता है। अनुभाग में 1 -1 (अंजीर देखें। 9) माध्य दबाव को द्वारा निरूपित किया जाता है पी (एक्स, टी),और धारा 2 . में -2 - के माध्यम से .

कतरनी तनाव द्वारा दर्शाया गया है। तब एक प्राथमिक गोल बेलन की पार्श्व सतह पर कार्य करने वाला त्रिशय बल होगा , कहाँ पे एस 1- गीला परिमाप।

गति के समीकरण में, "स्थानीय वेग" को लगभग पार-अनुभागीय औसत वेग से बदल दिया जाता है वी,लेकिन यह अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

प्रतिरोध और दबाव बलों का योग है, जहां एफ- संकर अनुभागीय क्षेत्र।

सीमा तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं

हम जड़त्वीय बल के निरपेक्ष मान को के माध्यम से व्यक्त करते हैं , कहाँ पे

डिब्बे में माध्यम का द्रव्यमान 1-1, 2-2 पाइप। फिर सीमा पर। डी "एलेम्बर्टो" के सिद्धांत पर आधारित

इस तथ्य के कारण कि पाइप की लंबाई के साथ वेग थोड़ा बदलता है, इस समानता के दूसरे पद को पहले की तुलना में उपेक्षित किया जा सकता है, अर्थात।

आइए हम उन शर्तों को पूरी तरह से तैयार करें जिनके तहत पहले की तुलना में दूसरे पद की उपेक्षा की जा सकती है। पहले पद का क्रम है , दूसरा (एल- विशेषता आकार, इस मामले में, पाइपलाइन की लंबाई, टीविशेषता समय है, जिसे विश्राम के समय के रूप में लिया जा सकता है)। पहले की तुलना में दूसरे पद की उपेक्षा की जा सकती है, बशर्ते कि

पैरामीटर आयामहीन है। आइए मुख्य पाइपलाइन के लिए इस पैरामीटर के मूल्य का अनुमान लगाएं: 1 एमएस; 100 किमी.

यदि हम मान लें कि कई घंटों के आदेश का विश्राम समय स्टेशनरी की व्यावहारिक उपलब्धि के समय से मेल खाता है

जहां R हाइड्रोलिक त्रिज्या है।

मोड, हमें मिलता है। फिर

जहां आर हाइड्रोलिक त्रिज्या है

हम निरंतरता समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

समतापीय गति के लिए, अवस्था का समीकरण अपनाया जाता है

इसके बजाय औसत द्रव्यमान वेग का परिचय देते हुए, हम लिख सकते हैं

आयामों के विश्लेषण से, यह स्थापित करना आसान है कि लामिना शासन में, पहली डिग्री के औसत वेग के समानुपाती,

और अशांत परिस्थितियों में - गति का वर्ग।

यह एक बार फिर ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां हमने अर्ध-स्थिरता के सिद्धांत का उपयोग किया था, अर्थात, स्थिर शासन के लिए सूत्रों द्वारा प्रतिरोध बलों को निर्धारित किया गया था। ले रहा , पाना

जहां 2 एक- प्रतिरोध का गुणांक।

इन दो समीकरणों से कोई एक प्राप्त कर सकता है

आइए विचार करें कि कैसे, विमीय विचारों का उपयोग करके, हम समीकरण को सरल बना सकते हैं। आइए आयाम रहित चर की खोज करें:

कहाँ पे एल, टी0तथा डब्ल्यू 0- विशेषता मात्रा।

जैसा लीपाइपलाइन की लंबाई ली। इसलिए, में

आयामहीन चर

से शर्त तय होती है। आखिरकार

यदि पद पर गुणांक काफी बड़ा है, तो प्रतिरोध बल की तुलना में जड़त्व बल की उपेक्षा की जा सकती है।

इस प्रकार, दबाव ड्रॉप का उपयोग केवल प्रतिरोध बलों को दूर करने के लिए किया जाता है। इस मामले में, समीकरण रूप लेता है

स्वाभाविक रूप से, स्वीकृत धारणा बहुत लंबी लंबाई की पाइपलाइनों के लिए उचित है और जब बहुत अधिक चिपचिपाहट का तरल उनके माध्यम से चलता है। पाइपलाइनों और कुओं में शुरुआती दबाव का निर्धारण करते समय, जड़ता के बल की उपेक्षा की जा सकती है

जिस स्तर को पर्याप्त रूप से बड़ा माना जा सकता है वह तुलनीय गणनाओं के आधार पर निर्धारित किया जाता है। समानता के विचार, समीकरणों को हल किए बिना, कुछ जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, संभावित बल क्षेत्र के विशेष मामले के लिए न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है

स्वीकार कर लिया , उपलब्ध

इसलिए, यदि किसी बिंदु का द्रव्यमान 25 गुना कम कर दिया जाए, तो कक्षा को गुजरने में पांच गुना कम समय लगेगा।

प्रकृति में होने वाली विभिन्न घटनाओं के बीच, कई गणितीय उपमाओं की पहचान की गई है। पिछले दशकों में, विद्युत, चुंबकीय, इलेक्ट्रोडायनामिक, विद्युत चुम्बकीय, थर्मल, ध्वनि, ऑप्टोमैकेनिकल, मैग्नेटो-ऑप्टिकल और अन्य अनुरूपताओं और मॉडलिंग सिद्धांत पर आधारित प्रयोगशाला अनुसंधान और परियोजनाओं का अभ्यास में उपयोग किया गया है। विभिन्न भौतिक घटनाओं के विद्युत मॉडलिंग का व्यापक रूप से निस्पंदन सिद्धांत, हाइड्रोलिक्स, हाइड्रोडायनामिक्स, निर्माण, गर्मी इंजीनियरिंग, लोच सिद्धांत, मिट्टी यांत्रिकी, तंत्र सिद्धांत, ध्वनिकी, स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, साथ ही साथ विज्ञान और प्रौद्योगिकी के अन्य क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।

आधुनिक हाइड्रोलिक इंजीनियरिंग में, बड़े और जटिल हाइड्रोलिक संरचनाओं के निर्माण के लिए जटिल निस्पंदन अध्ययन की आवश्यकता होती है। इन मुद्दों का सैद्धांतिक अध्ययन बहुत कठिन है, और कभी-कभी अनसुलझा होता है। ईजीडीए पद्धति (इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक सादृश्य) का उपयोग करके इन जटिल मुद्दों को बहुत आसानी से हल किया जाता है, जिसमें तेल, गैस और कार्बोनेटेड तरल पदार्थों के निस्पंदन से संबंधित कई समस्याएं शामिल हैं।

हाइड्रोलिक संरचनाओं के तहत मिट्टी के पानी के निस्पंदन के अध्ययन में ईजीडीए पद्धति का उपयोग पहली बार 1918 में प्रस्तावित किया गया था और सैद्धांतिक रूप से शिक्षाविद् एन.एन. पावलोवस्की द्वारा प्रमाणित किया गया था। वैज्ञानिक अनुसंधान के विभिन्न क्षेत्रों में ईजीडीए पद्धति का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अपकेंद्री मॉडलिंग के उपयोग से चट्टानों की स्थिरता और गतिकी से संबंधित निम्नलिखित समस्याओं को हल करने में अच्छे परिणाम मिलते हैं: पृथ्वी निर्माण ढलानों की ताकत का निर्धारण; शाफ्ट और अन्य भवन नींव की ताकत का निर्धारण; चट्टानों में तनाव का वितरण और चट्टान के साथ सतहों के निर्माण के संपर्क में; निर्माण अवतलन; चट्टान में पानी का निस्पंदन और चट्टान पर निस्पंदन का प्रभाव; बाध्य चट्टानों आदि में घर्षण और संसक्ति बलों का निर्धारण।

नीचे हम सादृश्य से संबंधित दो सरल उदाहरण दिखाते हैं।

विद्युत और यांत्रिक घटनाओं के बीच सादृश्य

एक बंद सर्किट (छवि 25) में एक समाई सी के साथ एक संधारित्र, एक ओमिक प्रतिरोध आर, एक आत्म-प्रेरण कुंडल शामिल है लीऔर कुंजी प्रति।

एक विद्युत प्रवाह I सर्किट से गुजरता है। एक श्रृंखला सर्किट के लिए, जैसा कि किरचॉफ के नियम से जाना जाता है, संभावित अंतर में वोल्टेज अंतर का योग शामिल होगा

ओमिक प्रतिरोध, संधारित्र और कुंडल। इन तीन घटकों की गणना निम्नानुसार की जाती है:

ए) स्व-प्रेरण के परिणामस्वरूप, वोल्टेज अंतर स्व-प्रेरण गुणांक के उत्पाद और वर्तमान परिवर्तन की दर के बराबर है, अर्थात;

बी) ओमिक प्रतिरोध से जुड़ा वोल्टेज अंतर उत्पाद के बराबर है आर.आई.(ओम का नियम);

सी) संधारित्र में वोल्टेज अंतर (परिभाषा के अनुसार)

इस प्रकार, हम घटना का वर्णन करते हुए अंतर समीकरण को रूप में लिख सकते हैं

इस दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को हल करते समय, दो स्थिरांक खोजने के लिए दो शर्तों को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक समय में टी = टी0दिया जाता है

आदर्शलोक तथा .

आइए हम समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक शर्तों पर ध्यान दें। यदि घटना को nवें क्रम के एक साधारण अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, अर्थात समीकरण में, वांछित कार्य केवल एक तर्क पर निर्भर करता है (पी- समीकरण में शामिल व्युत्पन्न का उच्चतम क्रम - एक पूर्णांक जो एक या अधिक के बराबर हो सकता है), फिर इसके समाधान के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाना चाहिए पीमनमाना स्थिरांक। उन्हें खोजने के लिए, किसी को सेट करना होगा पीस्थितियाँ। अध्ययन के तहत घटना की प्रकृति के आधार पर इन स्थितियों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

1. तर्क के एक निश्चित मूल्य पर, एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट किया जाता है और उसका पी - 1 डेरिवेटिव। उदाहरण के लिए, यदि किसी दिए गए तीसरे क्रम के समीकरण में वांछित कार्य समय पर निर्भर करता है, तो एक निश्चित के लिए

फ़ंक्शन और उसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव को समय मान दिया जाना चाहिए।

इस तरह की समस्या को प्रारंभिक स्थितियों के साथ समस्या या कॉची समस्या कहा जाता है।

2. तर्कों के कुछ मूल्यों के लिए, कार्य और उनके डेरिवेटिव निर्दिष्ट हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास पांचवें क्रम का अंतर समीकरण है, तो तर्कों के दो मूल्यों में से, उनमें से एक वांछित फ़ंक्शन और उसका पहला और दूसरा डेरिवेटिव देता है, और दूसरा मान फ़ंक्शन और उसका तीसरा व्युत्पन्न देता है। यहां, समस्या के निरूपण के आधार पर, कई अन्य विकल्प भी संभव हैं।

कम विद्युत परिपथ के लिए, सीमा की स्थिति निम्नानुसार निर्धारित की जा सकती है:

एक डिग्री की स्वतंत्रता वाले यांत्रिक सर्किट पर विचार करें। आइए हम स्प्रिंग पर लगने वाले बलों के संतुलन के लिए शर्त लिखें (चित्र 26)।

गुरुत्वाकर्षण और लोच के सक्रिय बल और निष्क्रिय प्रतिरोध बल वसंत पर कार्य करते हैं।

डी "एलेम्बर्ट के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, हम संतुलन की स्थिति को रूप में लिखते हैं

कहाँ पे टी -वजन; एच- दोलन भिगोना; प्रति- कठोरता का गुणांक; एक्स- गति।

उपरोक्त समीकरण (ए) में, निरपेक्ष मूल्य में पहला शब्द जड़ता के बल का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा - घर्षण बल, और तीसरा - लोच का बल।

यांत्रिक दोलन समीकरण का वही रूप है जो विद्युत दोलन का वर्णन करने वाले समीकरण का है। इसलिए, इन समीकरणों में, पैरामीटर समान हैं: एक्स- मैं

टी- एल: एच- आर।

आइए आयाम रहित मात्राओं की ओर इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:

कहाँ पे t0- तर्क का प्रारंभिक मूल्य; एक्स 0और I 0 फ़ंक्शन के प्रारंभिक मान हैं। इस तरह,

यदि समीकरण के सभी पदों को से विभाजित किया जाता है , हम आयामहीन गुणांक के साथ निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, यांत्रिक कंपनों के समीकरण को विमाहीन रूप में लिखा जा सकता है

आइए हम एक विद्युत परिपथ में दोलनों के समीकरण के लिए एक आयामहीन रूप में प्रारंभिक शर्तें लिखें:

यांत्रिक दोलन समीकरण के लिए प्रारंभिक शर्तें होंगी:

दूसरी प्रारंभिक शर्तों के बराबर होने के लिए, निम्नलिखित शर्त पूरी होनी चाहिए:

अब, यांत्रिक और विद्युत कंपन के समीकरणों की सादृश्यता का उपयोग करते हुए, आइए एक समीकरण से दूसरे समीकरण पर चलते हैं।

मान लीजिए कि एक यांत्रिक सर्किट के लिए टी, के सीऔर मैं " 0 , इन तीन समीकरणों से कोई भी I 0 ढूंढ सकता है, लीतथा आर।इन मापदंडों का चुनाव प्रयोग के स्थान और शर्तों पर निर्भर करता है।

निर्भरता स्थापित करने के लिए इन मापदंडों को खोजने के बाद I = मैं (टी)संबंधित विद्युत सर्किट को इकट्ठा किया जाता है।

गर्मी हस्तांतरण समस्याओं को हल करने में हाइड्रोलिक सादृश्य

जटिल सीमा स्थितियों और अलग-अलग थर्मल गुणांक (जो अक्सर व्यवहार में सामने आते हैं) के साथ गर्मी हस्तांतरण समस्याओं का विश्लेषणात्मक समाधान बड़ी कठिनाइयों से जुड़ा है। प्राथमिक संतुलन की विधि का अनुप्रयोग श्रम-गहन कम्प्यूटेशनल संचालन से जुड़ा हुआ है। इस संबंध में, संगणकीय प्रचालनों की सुविधा प्रदान करने वाली उपमाओं के आधार पर संगणन उपकरण बनाए गए हैं। सादृश्य पद्धति का उपयोग करते समय, वे एक समान घटना पर अध्ययन के तहत घटना को पुन: पेश करना चाहते हैं, जिसे समान गणितीय निर्भरता द्वारा वर्णित किया गया है, लेकिन अधिक आसानी से नियंत्रित किया जाता है। यह कम्प्यूटेशनल कार्य को बहुत सरल करता है।

गर्मी चालन की गैर-स्थिर प्रक्रियाओं के इलेक्ट्रिक मॉडल ज्ञात हैं (एल। आई। गुटेनमाखेर का विद्युत इंटीग्रेटर); वी.एस. लुक्यानोव द्वारा प्रस्तावित आवेदन और हाइड्रोलिक सादृश्य की विधि।

वी.एस. लुक्यानोव का हाइड्रोलिक इंटीग्रेटर एक ठोस शरीर में तापमान के वितरण और दबाव के वितरण का वर्णन करने वाले गणितीय संबंधों की सादृश्यता पर आधारित है। मेंलैमिनार मोड में हाइड्रोलिक प्रतिरोधों के माध्यम से चलने वाला पानी।

हाइड्रोलिक इंटीग्रेटर के डिजाइन को निर्धारित करने वाली मुख्य मौलिक विशेषता हाइड्रोलिक क्षेत्र में गांठ वाले मापदंडों के साथ समान रूप से वितरित मापदंडों का प्रतिस्थापन है, अर्थात, एक क्षेत्र से एक सर्किट में गांठ वाले मापदंडों के साथ संक्रमण। इस संबंध में, ढेलेदार मापदंडों के साथ एक निरंतर तापमान क्षेत्र को पुन: उत्पन्न करने की प्रक्रिया अंतर समीकरणों को हल करने से परिमित अंतर में एक समीकरण को हल करने के लिए एक संक्रमण है।

इस उपकरण में प्रतिरोध और समाई के केंद्रित तत्वों के साथ हाइड्रोलिक सर्किट के सादृश्य के मुख्य तत्व होते हैं, साथ ही विशेष तत्व जो एकत्रीकरण की स्थिति में परिवर्तन होने पर गुप्त गर्मी की रिहाई को पुन: उत्पन्न करते हैं; सीमा की स्थिति निर्धारित करने के लिए उपकरण; हाइड्रोलिक सर्किट के नोड्स में दबाव मापने के लिए उपकरण; एक उपकरण जो उपकरण को पानी की आपूर्ति करता है।

आइए हम एक-आयामी गर्मी प्रवाह के साथ एक बहुपरत दीवार में तापमान वितरण का निर्धारण करने के एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें। दीवार अलग-अलग परतों के आयामों और सामग्रियों की थर्मोफिजिकल विशेषताओं द्वारा निर्धारित की जाती है, यानी, वॉल्यूमेट्रिक ताप क्षमता (, जहां साथ- शरीर की विशिष्ट तापीय चालकता; - शरीर का बड़ा वजन), और तापीय चालकता गुणांक (चित्र। 27)।

एक निश्चित प्रारंभिक तापमान वितरण और बाहरी मीडिया के तापमान और दीवार की सतह पर गर्मी के प्रवाह के मनमाने ढंग से चुने गए प्रभाव दिए गए हैं। सबसे पहले, एक गणना योजना तैयार की जाती है। दीवार को परतों की एक सीमित संख्या में तोड़ें। यह माना जाता है कि प्रत्येक परत के लिए गर्मी क्षमता इसके बीच में केंद्रित होती है और परत की आधी मोटाई के बराबर थर्मल प्रतिरोधों द्वारा संरक्षित होती है।

इस प्रकार, गणना योजना थर्मल प्रतिरोधों द्वारा एक दूसरे से अलग किए गए अपलोकैपेसिटेंस सी की एक श्रृंखला है।

सतह से गर्मी हस्तांतरण के अतिरिक्त थर्मल प्रतिरोध द्वारा चरम परतों की गर्मी क्षमता बाहरी वातावरण से अलग हो जाती है। अपने और पर्यावरण के बीच प्राथमिक परतों के ताप विनिमय की प्रक्रिया समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है:

; (1-98)

हाइड्रोलिक प्रतिरोध का गुणांक; एच- बर्तन में तरल स्तर; - जहाजों में तरल स्तर में अंतर।

तरल बहाव क्यूजहाजों में स्तरों में अंतर (गर्मी चालन के नियम के अनुरूप) के समानुपाती है, और समय के साथ पोत में पानी की मात्रा में वृद्धि पोत के पार-अनुभागीय क्षेत्र के उत्पाद के बराबर है और स्तर की ऊंचाई में वृद्धि।

समीकरण (1.98) और (1.95) समीकरणों (1.100) और (1.101) के समान हैं। आइए मान लें कि जहाजों की श्रृंखला इस तरह से बनाई गई है कि मात्राएं संख्यात्मक रूप से बराबर हैं। स्तरों का प्रारंभिक वितरण एचएक उपयुक्त पैमाने पर प्राथमिक परतों के केंद्र में प्रारंभिक तापमान वितरण को दर्शाता है, और चलती जहाजों में स्तरों में परिवर्तन उसी तरह होता है जैसे परिवेश के तापमान में परिवर्तन होता है। तब जहाजों में स्तर प्राथमिक परतों में तापमान में परिवर्तन के समान ही बदल जाएगा। यदि और संख्यात्मक रूप से और के बराबर नहीं हैं, लेकिन केवल उनके समानुपाती हैं, तो थर्मल प्रक्रिया को भी मॉडल पर पुन: प्रस्तुत किया जाएगा, लेकिन केवल एक अलग समय के पैमाने पर। इस तरह की संभावना की उपस्थिति बहुत सुविधा पैदा करती है, क्योंकि धीमी गति से प्रजनन को तेज करना और तेज गर्मी हस्तांतरण प्रक्रियाओं के प्रजनन को धीमा करना संभव है। इस मामले में, उपयुक्त स्केलिंग अनुपात चुनकर हाइड्रोलिक मॉडल से अध्ययन के तहत प्रक्रिया में जाना संभव है।

यदि समीकरणों (1.98) - (1.101) में शामिल सभी मात्राओं को आयाम रहित मात्रा में व्यक्त किया जाता है, तो सिस्टम (1.98) और (1.99) सिस्टम के समान होंगे

भौतिक राशियाँ, जिनका संख्यात्मक मान इकाइयों के चुने हुए पैमाने पर निर्भर नहीं करता है, विमाहीन कहलाती हैं। आयाम रहित मात्राओं के उदाहरण हैं कोण (त्रिज्या से चाप की लंबाई का अनुपात), पदार्थ का अपवर्तनांक (निर्वात में प्रकाश की गति और पदार्थ में प्रकाश की गति का अनुपात)।

वे भौतिक राशियाँ जो इकाइयों का पैमाना बदलने पर अपना संख्यात्मक मान बदल देती हैं, विमीय कहलाती हैं। विमीय राशियों के उदाहरण लंबाई, बल आदि हैं। किसी भौतिक मात्रा की एक इकाई को मूल इकाइयों के रूप में व्यक्त करने को उसका आयाम (या आयाम सूत्र) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सीजीएस और एसआई सिस्टम में बल का आयाम सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

भौतिक समस्याओं को हल करते समय प्राप्त उत्तरों की शुद्धता की जांच करने के लिए आयाम के विचारों का उपयोग किया जा सकता है: प्राप्त अभिव्यक्तियों के दाएं और बाएं हिस्सों के साथ-साथ प्रत्येक भाग में अलग-अलग शब्दों का आयाम समान होना चाहिए।

आयामों की विधि का उपयोग सूत्रों और समीकरणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है, जब हम जानते हैं कि वांछित मूल्य किन भौतिक मापदंडों पर निर्भर हो सकता है। ठोस उदाहरणों के साथ विधि का सार समझना सबसे आसान है।

आयामों की विधि के अनुप्रयोग।एक ऐसी समस्या पर विचार करें जिसका उत्तर हमें अच्छी तरह से पता है: यदि वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जा सकती है, तो शरीर किस गति से जमीन पर गिरेगा, स्वतंत्र रूप से ऊंचाई से प्रारंभिक वेग के बिना गिरेगा? गति के नियमों के आधार पर प्रत्यक्ष गणना के बजाय, हम इस प्रकार तर्क देंगे।

आइए विचार करें कि वांछित गति किस पर निर्भर हो सकती है। यह स्पष्ट है कि यह प्रारंभिक ऊंचाई पर और मुक्त गिरने के त्वरण पर निर्भर होना चाहिए अरस्तू का अनुसरण करते हुए, यह माना जा सकता है कि यह द्रव्यमान पर भी निर्भर करता है। चूंकि केवल समान आयाम के मान जोड़े जा सकते हैं, वांछित गति के लिए निम्न सूत्र प्रस्तावित किया जा सकता है:

जहां सी कुछ आयामहीन स्थिरांक (संख्यात्मक गुणांक) है, और x, y और z अज्ञात संख्याएं हैं जिन्हें निर्धारित किया जाना है।

इस समानता के दाएं और बाएं हिस्सों के आयाम समान होने चाहिए, और यह वह स्थिति है जिसका उपयोग घातांक x, y, z को (2) में निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। वेग का आयाम ऊंचाई का आयाम है, मुक्त गिरावट त्वरण का आयाम है, और अंत में, द्रव्यमान का आयाम एम है। चूंकि निरंतर सी आयामहीन है, सूत्र (2) आयामों की निम्नलिखित समानता से मेल खाता है:

सांख्यिक मान जो भी हों, इस पर ध्यान दिए बिना यह समानता कायम रहनी चाहिए। इसलिए, समानता के बाएँ और दाएँ भागों (3) में घातांक और M की बराबरी करना आवश्यक है:

समीकरणों की इस प्रणाली से, हम प्राप्त करते हैं इसलिए, सूत्र (2) रूप लेता है

गति का सही मूल्य, जैसा कि ज्ञात है, के बराबर है

इसलिए, उपयोग किए गए दृष्टिकोण ने निर्भरता को सही ढंग से निर्धारित करना संभव बना दिया और मूल्य को खोजना संभव नहीं बनाया

आयामहीन स्थिरांक C. हालांकि हम एक विस्तृत उत्तर प्राप्त करने में सक्षम नहीं हैं, फिर भी, बहुत महत्वपूर्ण जानकारी प्राप्त हुई है। उदाहरण के लिए, हम पूर्ण निश्चितता के साथ कह सकते हैं कि यदि प्रारंभिक ऊंचाई चौगुनी हो जाती है, तो गिरने के समय गति दोगुनी हो जाएगी और अरस्तू की राय के विपरीत, यह गति गिरते शरीर के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।

विकल्पों का चुनाव।आयामों की विधि का उपयोग करते समय, सबसे पहले उन मापदंडों की पहचान करनी चाहिए जो विचाराधीन घटना को निर्धारित करते हैं। यह करना आसान है यदि इसका वर्णन करने वाले भौतिक नियम ज्ञात हों। कई मामलों में, भौतिक नियम अज्ञात होने पर भी घटना का निर्धारण करने वाले पैरामीटर निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। एक नियम के रूप में, आपको गति के समीकरण लिखने की तुलना में आयामी विश्लेषण पद्धति का उपयोग करने के लिए कम जानने की आवश्यकता है।

यदि अध्ययन के तहत घटना को निर्धारित करने वाले मापदंडों की संख्या उन बुनियादी इकाइयों की संख्या से अधिक है, जिन पर इकाइयों की चुनी हुई प्रणाली बनाई गई है, तो, निश्चित रूप से, प्रस्तावित सूत्र में मांगे गए मूल्य के सभी घातांक निर्धारित नहीं किए जा सकते हैं। इस मामले में, सबसे पहले चुने हुए मापदंडों के सभी स्वतंत्र आयामहीन संयोजनों को निर्धारित करना उपयोगी है। फिर वांछित भौतिक मात्रा का निर्धारण प्रकार (2) के सूत्र द्वारा नहीं, बल्कि मापदंडों के कुछ (सरलतम) संयोजन के गुणनफल द्वारा किया जाएगा, जिसमें वांछित आयाम (अर्थात, वांछित मात्रा का आयाम) के कुछ फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किया जाएगा। आयाम रहित पैरामीटर पाए गए।

यह देखना आसान है कि ऊंचाई से गिरने वाले शरीर के उपरोक्त उदाहरण में, मात्राओं और आयामहीन संयोजन से एक आयामहीन संयोजन बनाना असंभव है। इसलिए, सूत्र (2) सभी संभावित मामलों को समाप्त कर देता है।

आयामहीन पैरामीटर।आइए अब हम निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: हम ऊंचाई के पहाड़ पर स्थित एक बंदूक से प्रारंभिक वेग के साथ क्षैतिज दिशा में दागे गए प्रक्षेप्य की क्षैतिज उड़ान की सीमा निर्धारित करते हैं

वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, मापदंडों की संख्या जिन पर वांछित सीमा निर्भर हो सकती है, चार के बराबर है: और आदि। चूंकि मूल इकाइयों की संख्या तीन के बराबर है, इसलिए आयामों की विधि द्वारा समस्या का पूर्ण समाधान असंभव है। . आइए सबसे पहले सभी स्वतंत्र आयाम रहित पैरामीटर y खोजें जो कि और . से बना हो सकता है

यह अभिव्यक्ति आयामों की निम्नलिखित समानता से मेल खाती है:

यहाँ से हमें समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है

जो देता है और वांछित आयाम रहित पैरामीटर के लिए हम प्राप्त करते हैं

यह देखा जा सकता है कि विचाराधीन समस्या में एकमात्र स्वतंत्र आयाम रहित पैरामीटर है।

आयाम रहित पैरामीटर का अभी तक अज्ञात कार्य कहां है। आयामों की विधि (प्रस्तुत संस्करण में) किसी को इस फ़ंक्शन को निर्धारित करने की अनुमति नहीं देती है। लेकिन अगर हम कहीं से जानते हैं, उदाहरण के लिए, अनुभव से, कि वांछित सीमा प्रक्षेप्य के क्षैतिज वेग के समानुपाती है, तो फ़ंक्शन का रूप तुरंत निर्धारित किया जाता है: वेग को इसमें पहली शक्ति में प्रवेश करना चाहिए, अर्थात।

अब से (5) प्रक्षेप्य की सीमा के लिए हमें मिलता है

जो सही उत्तर से मेल खाता है

हम इस बात पर जोर देते हैं कि फ़ंक्शन के प्रकार को निर्धारित करने की इस पद्धति के साथ, हमारे लिए उड़ान रेंज की प्रयोगात्मक रूप से स्थापित निर्भरता की प्रकृति को सभी मापदंडों पर नहीं, बल्कि उनमें से केवल एक पर जानना पर्याप्त है।

लंबाई की वेक्टर इकाइयाँ।लेकिन परास (7) को केवल विमीय विचारों से ही निर्धारित किया जा सकता है, यदि हम उन मूल इकाइयों की संख्या को चार तक बढ़ा दें जिनके माध्यम से पैरामीटर व्यक्त किए जाते हैं, आदि। अब तक, आयाम सूत्र लिखते समय, की इकाइयों के बीच कोई अंतर नहीं किया गया था। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में लंबाई। हालांकि, इस तरह के अंतर को इस तथ्य के आधार पर पेश किया जा सकता है कि गुरुत्वाकर्षण केवल लंबवत कार्य करता है।

आइए हम लंबाई के आयाम को क्षैतिज दिशा में और लंबवत दिशा में निरूपित करें - फिर क्षैतिज दिशा में उड़ान रेंज का आयाम ऊंचाई का आयाम होगा क्षैतिज गति का आयाम होगा और त्वरण के लिए

फ़्री फ़ॉल हमें मिलता है अब, सूत्र (5) को देखते हुए, हम देखते हैं कि दाईं ओर सही आयाम प्राप्त करने का एकमात्र तरीका आनुपातिक लेना है हम फिर से सूत्र (7) पर आते हैं।

बेशक, चार बुनियादी इकाइयाँ और M होने पर, कोई भी सीधे चार मापदंडों से आवश्यक आयाम के मूल्य का निर्माण कर सकता है और

बाएँ और दाएँ भागों के आयामों की समानता का रूप है

x, y, z और और के लिए समीकरणों की प्रणाली मान देती है और हम फिर से सूत्र (7) पर आते हैं।

यहां परस्पर लंबवत दिशाओं में उपयोग की जाने वाली लंबाई की विभिन्न इकाइयों को कभी-कभी लंबाई की सदिश इकाइयों के रूप में संदर्भित किया जाता है। उनका आवेदन आयामी विश्लेषण पद्धति की संभावनाओं का काफी विस्तार करता है।

आयामी विश्लेषण पद्धति का उपयोग करते समय, कौशल को इस हद तक विकसित करना उपयोगी होता है कि आप वांछित सूत्र में घातांक के लिए समीकरणों की एक प्रणाली नहीं बनाते हैं, बल्कि उन्हें सीधे चुनते हैं। आइए इसे अगली समस्या में स्पष्ट करें।

एक कार्य

अधिकतम सीमा। क्षैतिज उड़ान सीमा को अधिकतम करने के लिए पत्थर को क्षैतिज से किस कोण पर फेंका जाना चाहिए?

समाधान। आइए मान लें कि हम सभी किनेमेटिक्स फ़ार्मुलों को "भूल गए" हैं और आयामी विचारों से उत्तर प्राप्त करने का प्रयास करते हैं। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि आयामों की विधि यहां बिल्कुल भी लागू नहीं होती है, क्योंकि फेंकने वाले कोण के कुछ त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को उत्तर में प्रवेश करना होगा। इसलिए, कोण a के बजाय, हम परास के लिए एक व्यंजक खोजने का प्रयास करेंगे। यह स्पष्ट है कि हम लंबाई की सदिश इकाइयों के बिना नहीं कर सकते।

भौतिकी में... भ्रमित विचारों के लिए कोई जगह नहीं है...
वास्तव में प्रकृति को समझना
इस या उस घटना को मुख्य प्राप्त करना चाहिए
आयाम के विचार से कानून। ई. फर्मिक

इस या उस समस्या का विवरण, सैद्धांतिक और प्रायोगिक मुद्दों की चर्चा गुणात्मक विवरण और इस काम के प्रभाव के आकलन के साथ शुरू होती है।

किसी समस्या का वर्णन करते समय, सबसे पहले, अपेक्षित प्रभाव के परिमाण के क्रम, सरल सीमित मामलों और इस घटना का वर्णन करने वाली मात्राओं के कार्यात्मक संबंध की प्रकृति का मूल्यांकन करना आवश्यक है। इन प्रश्नों को भौतिक स्थिति का गुणात्मक विवरण कहा जाता है।

इस तरह के विश्लेषण के सबसे प्रभावी तरीकों में से एक आयाम की विधि है।

यहाँ आयामी विधि के कुछ फायदे और अनुप्रयोग दिए गए हैं:

• अध्ययन के तहत घटना के पैमाने का तेजी से मूल्यांकन;
• गुणात्मक और कार्यात्मक निर्भरता प्राप्त करना;
• परीक्षा में भूले हुए फॉर्मूले की बहाली;
• परीक्षा के कुछ कार्यों की पूर्ति;
• समस्याओं के समाधान की शुद्धता का सत्यापन।

न्यूटन के समय से भौतिकी में आयामी विश्लेषण का उपयोग किया गया है। यह न्यूटन ही थे जिन्होंने आयामों की विधि से निकटता से संबंधित सूत्र तैयार किया, समानता का सिद्धांत (समानता)।

11 वीं कक्षा के भौतिकी पाठ्यक्रम में थर्मल विकिरण का अध्ययन करते समय छात्रों को पहली बार आयामी विधि का सामना करना पड़ता है:

किसी पिंड के ऊष्मीय विकिरण की वर्णक्रमीय विशेषता है ऊर्जा चमक का वर्णक्रमीय घनत्व आर वी - एक इकाई आवृत्ति अंतराल में शरीर की सतह के प्रति इकाई क्षेत्र में प्रति इकाई समय में उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की ऊर्जा।

ऊर्जा चमक के वर्णक्रमीय घनत्व की इकाई एक जूल प्रति वर्ग मीटर (1 J / m 2) है। एक काले शरीर के ऊष्मीय विकिरण की ऊर्जा तापमान और तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करती है। J/m 2 के आयाम के साथ इन राशियों का एकमात्र संयोजन kT/2 (= c/v) है। रैले और जीन्स द्वारा 1900 में शास्त्रीय तरंग सिद्धांत के ढांचे के भीतर की गई सटीक गणना ने निम्नलिखित परिणाम दिए:

जहां k बोल्ट्जमान स्थिरांक है।

जैसा कि अनुभव ने दिखाया है, यह अभिव्यक्ति केवल पर्याप्त रूप से कम आवृत्तियों के क्षेत्र में प्रयोगात्मक डेटा के अनुरूप है। उच्च आवृत्तियों के लिए, विशेष रूप से स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी क्षेत्र में, रेले-जीन्स सूत्र गलत है: यह प्रयोग से तेजी से भिन्न होता है। काले शरीर के विकिरण की विशेषताओं को समझाने के लिए शास्त्रीय भौतिकी के तरीके अपर्याप्त साबित हुए। इसलिए, 19वीं शताब्दी के अंत में शास्त्रीय तरंग सिद्धांत और प्रयोग के परिणामों के बीच विसंगति "पराबैंगनी आपदा" कहा जाता है।

आइए हम एक सरल और अच्छी तरह से समझे गए उदाहरण पर आयाम विधि के अनुप्रयोग को दिखाएं।

चित्र 1

एक काले शरीर का थर्मल विकिरण: पराबैंगनी तबाही - थर्मल विकिरण और अनुभव के शास्त्रीय सिद्धांत के बीच विसंगति।

कल्पना कीजिए कि द्रव्यमान का एक पिंड एक स्थिर बल F की क्रिया के तहत एक सीधी रेखा में चलता है। यदि शरीर की प्रारंभिक गति शून्य है, और लंबाई s के पथ के यात्रा खंड के अंत में गति के बराबर है वी, तो हम गतिज ऊर्जा प्रमेय लिख सकते हैं: एफ, एम, वी और एस के बीच एक कार्यात्मक संबंध है।

आइए मान लें कि गतिज ऊर्जा प्रमेय को भुला दिया गया है, लेकिन हम समझते हैं कि v, F, m और s के बीच कार्यात्मक निर्भरता मौजूद है और इसका एक शक्ति कानून है।

यहाँ x, y, z कुछ संख्याएँ हैं। आइए उन्हें परिभाषित करें। ~ चिह्न का अर्थ है कि सूत्र का बायाँ भाग दाएँ पक्ष के समानुपाती होता है, अर्थात् जहाँ k एक संख्यात्मक गुणांक है, जिसकी माप की कोई इकाई नहीं है और यह आयामी विधि का उपयोग करके निर्धारित नहीं किया जाता है।

संबंध के बाएँ और दाएँ भाग (1) के आयाम समान हैं। वी, एफ, एम और एस के आयाम हैं: [वी] = एम/सी = एमएस -1, [एफ] = एच = किग्रा -2, [एम] = किग्रा, [एस] = एम। (प्रतीक [ए ] ए के आयाम को दर्शाता है। आइए हम संबंध के बाएँ और दाएँ भागों में आयामों की समानता को लिखें (1):

एम सी -1 = किलो एक्स एम एक्स सी -2x किलो वाई एम जेड = किलो एक्स+वाई एम एक्स+जेड सी -2x।

समीकरण के बाईं ओर कोई किलोग्राम नहीं है, इसलिए दाईं ओर भी कोई किलोग्राम नहीं होना चाहिए।

इसका मतलब है कि

दाईं ओर, मीटर x + z की घातों में और बाईं ओर, 1 की घातों में शामिल हैं, इसलिए

इसी तरह, सेकंड में घातांक की तुलना से, यह निम्नानुसार है

प्राप्त समीकरणों से हम संख्याएँ x, y, z पाते हैं:

x=1/2, y=-1/2, z=1/2.

अंतिम सूत्र जैसा दिखता है

इस संबंध के बाएँ और दाएँ पक्षों का वर्ग करने पर, हम पाते हैं कि

अंतिम सूत्र गतिज ऊर्जा प्रमेय का गणितीय संकेतन है, हालांकि संख्यात्मक गुणांक के बिना।

न्यूटन द्वारा प्रतिपादित समानता का सिद्धांत यह है कि अनुपात v 2/s, F/m के अनुपात के सीधे समानुपाती होता है। उदाहरण के लिए, अलग-अलग द्रव्यमान वाले दो निकाय m 1 तथा m 2 ; हम उन पर विभिन्न बलों F 1 और F 2 के साथ कार्य करेंगे, लेकिन इस तरह से कि अनुपात F 1 / m 1 और F 2 / m 2 समान होंगे। इन बलों के प्रभाव में, शरीर हिलना शुरू हो जाएगा। यदि प्रारंभिक गति शून्य के बराबर है, तो लंबाई के पथ के एक खंड पर निकायों द्वारा प्राप्त गति समान होगी। यह समानता का नियम है, जिसे हम सूत्र के दाएं और बाएं भागों के आयामों की समानता के विचार की सहायता से प्राप्त करते हैं, जो अंतिम वेग के मूल्य के शक्ति-कानून संबंध का वर्णन करता है बल, द्रव्यमान और पथ की लंबाई के मान।

शास्त्रीय यांत्रिकी की नींव बनाते समय आयामों की विधि पेश की गई थी, लेकिन भौतिक समस्याओं को हल करने के लिए इसका प्रभावी अनुप्रयोग अतीत के अंत में शुरू हुआ - हमारी शताब्दी की शुरुआत में। इस पद्धति को बढ़ावा देने और इसकी मदद से दिलचस्प और महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने में एक महान योग्यता उत्कृष्ट भौतिक विज्ञानी लॉर्ड रेले की है। 1915 में रेले ने लिखा: मुझे अक्सर इस बात पर आश्चर्य होता है कि समानता के महान सिद्धांत पर बहुत कम ध्यान दिया गया है, यहाँ तक कि बहुत महान वैज्ञानिकों द्वारा भी। अक्सर ऐसा होता है कि श्रमसाध्य शोध के परिणाम नए खोजे गए "कानूनों" के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं, जो कि, कुछ ही मिनटों में प्राथमिकता प्राप्त की जा सकती है।

आजकल, भौतिकविदों को अब उपेक्षापूर्ण रवैये या समानता के सिद्धांत और आयामों की विधि पर अपर्याप्त ध्यान देने के लिए फटकार नहीं लगाई जा सकती है। रेले की क्लासिक समस्याओं में से एक पर विचार करें।

एक स्ट्रिंग पर गेंद के कंपन पर रेले की समस्या।

मान लीजिए कि एक डोरी को बिन्दु A और B के बीच में खींचा जाता है। स्ट्रिंग F का तनाव बल। इस स्ट्रिंग के बीच में बिंदु C पर एक भारी गेंद है। खंड AC (और, तदनुसार, CB) की लंबाई 1 के बराबर है। गेंद का द्रव्यमान M, स्वयं स्ट्रिंग के द्रव्यमान से बहुत अधिक है। स्ट्रिंग खींची जाती है और जारी की जाती है। इससे साफ है कि गेंद दोलन करेगी। यदि इन x दोलनों का आयाम डोरी की लंबाई से बहुत कम है, तो प्रक्रिया हार्मोनिक होगी।

आइए स्ट्रिंग पर गेंद के कंपन की आवृत्ति निर्धारित करें। मान लीजिए, F, M और 1 की मात्राओं को एक शक्ति नियम द्वारा जोड़ा जाता है:

घातांक x, y, z वे संख्याएँ हैं जिन्हें हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है।

आइए हम SI प्रणाली में हमारे लिए ब्याज की मात्रा के आयामों को लिखें:

सी -1, [एफ] = किग्रा एस -2, [एम] = किग्रा, = मी।

यदि सूत्र (2) वास्तविक भौतिक नियमितता को व्यक्त करता है, तो इस सूत्र के दाएं और बाएं भागों के आयामों का मिलान होना चाहिए, अर्थात समानता

सी -1 = किलो एक्स एम एक्स सी -2x किलो वाई एम जेड = किलो एक्स + वाई एम एक्स + जेड सी -2x

इस समीकरण के बाईं ओर मीटर और किलोग्राम बिल्कुल भी शामिल नहीं है, और सेकंड शक्तियों में शामिल हैं - 1. इसका मतलब है कि x, y और z के लिए समीकरण संतुष्ट हैं:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

फलस्वरूप,

~एफ 1/2 एम -1/2 1 -1/2

आवृत्ति के लिए सटीक सूत्र केवल ( 2 = 2F/(M1)) के कारक द्वारा पाए जाने वाले से भिन्न होता है।

इस प्रकार, न केवल गुणात्मक, बल्कि एफ, एम, और 1 के मूल्यों पर निर्भरता का मात्रात्मक अनुमान भी प्राप्त किया गया था। परिमाण के क्रम में, पाया गया शक्ति संयोजन आवृत्ति का सही मूल्य देता है। परिमाण के क्रम में मूल्यांकन हमेशा रुचिकर होता है। साधारण समस्याओं में, गुणांक जो आयामों की विधि से निर्धारित नहीं होते हैं, उन्हें अक्सर एकता के क्रम की संख्या माना जा सकता है। यह कोई सख्त नियम नहीं है।

तरंगों का अध्ययन करते समय, मैं आयामी विश्लेषण की विधि द्वारा ध्वनि की गति की गुणात्मक भविष्यवाणी पर विचार करता हूं। हम ध्वनि की गति को गैस में संपीडन और विरलन तरंग के प्रसार की गति के रूप में देख रहे हैं। गैस के घनत्व और उसके दबाव p पर गैस में ध्वनि की गति की निर्भरता के बारे में छात्रों को कोई संदेह नहीं है।

हम फॉर्म में जवाब ढूंढ रहे हैं:

जहां एक आयामहीन कारक है, जिसका संख्यात्मक मान आयामों के विश्लेषण से नहीं पाया जा सकता है। (1) आयामों की समानता में प्रवेश करना।

एम / एस \u003d (किलो / एम 3) एक्स पा वाई,

एम / एस \u003d (किलो / एम 3) एक्स (किलो एम / (एस 2 एम 2)) वाई,

एम 1 एस -1 \u003d किलो एक्स एम -3x किलो वाई एम वाई सी -2y एम -2y,

एम 1 एस -1 \u003d किग्रा x + y एम -3x + y-2y c -2y,

मी 1 एस -1 \u003d किग्रा x + y m -3x-y c -2y।

समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों पर आयामों की समानता देता है:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y = -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

एक्स = -1/2, वाई = 1/2।

अतः गैस में ध्वनि की चाल

C=1 पर फॉर्मूला (2) सबसे पहले I. न्यूटन द्वारा प्राप्त किया गया था। लेकिन इस सूत्र की मात्रात्मक व्युत्पत्तियां बहुत कठिन थीं।

1738 में पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्यों के एक सामूहिक कार्य में हवा में ध्वनि की गति का एक प्रयोगात्मक निर्धारण किया गया था, जिसने 30 किमी की दूरी की यात्रा करने के लिए एक तोप शॉट की आवाज के समय को मापा।

11 वीं कक्षा में इस सामग्री को दोहराते हुए, छात्रों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित किया जाता है कि परिणाम (2) मेंडेलीव-क्लैपेरॉन समीकरण और घनत्व की अवधारणा का उपयोग करके ध्वनि प्रसार की इज़ोटेर्मल प्रक्रिया के मॉडल के लिए प्राप्त किया जा सकता है:

ध्वनि प्रसार की गति है।

विद्यार्थियों को विमाओं की विधि से परिचित कराने के बाद, मैं उन्हें आदर्श गैस के लिए मूल एमकेटी समीकरण व्युत्पन्न करने के लिए यह विधि देता हूं।

छात्र समझते हैं कि एक आदर्श गैस का दबाव एक आदर्श गैस के अलग-अलग अणुओं के द्रव्यमान, प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या - n (गैस के अणुओं की सांद्रता) और अणुओं की गति की गति पर निर्भर करता है।

इस समीकरण में शामिल मात्राओं के आयामों को जानने के बाद, हमारे पास है:

,

,

,

इस समानता के बाएँ और दाएँ भागों के आयामों की तुलना करने पर, हमारे पास है:

इसलिए, एमकेटी के मूल समीकरण का निम्न रूप है:

- यह संकेत करता है

छायांकित त्रिभुज से यह देखा जा सकता है कि

उत्तर: बी)।

हमने आयाम विधि का उपयोग किया है।

आयामों की विधि, समस्याओं को हल करने की शुद्धता के पारंपरिक सत्यापन के अलावा, एकीकृत राज्य परीक्षा के कुछ कार्यों को करने से विभिन्न भौतिक मात्राओं के बीच कार्यात्मक संबंध खोजने में मदद मिलती है, लेकिन केवल उन स्थितियों के लिए जहां ये निर्भरताएं शक्ति हैं- कानून। प्रकृति में ऐसी कई निर्भरताएँ हैं, और ऐसी समस्याओं को हल करने में आयामों की विधि एक अच्छा सहायक है।

मॉडलिंग सिद्धांत की मूल अवधारणाएं

मॉडलिंग एक प्राकृतिक घटना के बजाय एक घटना के मॉडल के प्रयोगात्मक अध्ययन की एक विधि है। मॉडल को चुना जाता है ताकि प्रयोग के परिणामों को प्राकृतिक घटना तक बढ़ाया जा सके।

मात्रा फ़ील्ड को मॉडलिंग करने दें वू. फिर, मॉडल के समान बिंदुओं और पूर्ण पैमाने की वस्तु पर सटीक मॉडलिंग के मामले में, स्थिति

सिमुलेशन का पैमाना कहां है।

अनुमानित मॉडलिंग के मामले में, हम प्राप्त करते हैं

अनुपात को विकृति की डिग्री कहा जाता है।

यदि विरूपण की डिग्री माप सटीकता से अधिक नहीं है, तो अनुमानित सिमुलेशन सटीक से भिन्न नहीं होता है। अग्रिम में यह सुनिश्चित करना असंभव है कि मूल्य कुछ पूर्व निर्धारित मूल्य से अधिक न हो, क्योंकि ज्यादातर मामलों में इसे पहले से निर्धारित भी नहीं किया जा सकता है।

सादृश्य विधि

यदि अलग-अलग भौतिक प्रकृति की दो भौतिक घटनाओं को समान समीकरणों और विशिष्टता की स्थिति (सीमा या, स्थिर मामले में, सीमा की स्थिति) द्वारा एक आयामहीन रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो घटना को अनुरूप कहा जाता है। समान परिस्थितियों में, समान भौतिक प्रकृति की घटनाओं को समान कहा जाता है।

इस तथ्य के बावजूद कि समान घटनाओं की एक अलग भौतिक प्रकृति है, वे एक व्यक्तिगत सामान्यीकृत मामले से संबंधित हैं। इस परिस्थिति ने भौतिक घटनाओं के अध्ययन के लिए उपमाओं की एक बहुत ही सुविधाजनक विधि बनाना संभव बना दिया। इसका सार इस प्रकार है: यह अध्ययन की गई घटना नहीं है, जिसके लिए वांछित मूल्यों को मापना मुश्किल या असंभव है, जो कि परीक्षा के अधीन है, बल्कि विशेष रूप से चयनित एक के समान है जिसका अध्ययन किया जा रहा है। एक उदाहरण के रूप में, इलेक्ट्रोथर्मल सादृश्य पर विचार करें। इस मामले में, अध्ययन के तहत घटना एक स्थिर तापमान क्षेत्र है, और इसकी सादृश्य एक स्थिर विद्युत क्षमता क्षेत्र है

ऊष्मा समीकरण

(9.3)

परम तापमान कहाँ है,

और विद्युत संभावित समीकरण

(9.4)

जहां विद्युत क्षमता समान है। आयामहीन रूप में, ये समीकरण समान होंगे।

यदि तापमान के लिए समान क्षमता के लिए सीमा की स्थिति बनाई जाती है, तो आयामहीन रूप में वे भी समान होंगे।

गर्मी चालन प्रक्रियाओं के अध्ययन में इलेक्ट्रोथर्मल सादृश्य का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, इस विधि द्वारा गैस टरबाइन ब्लेड के तापमान क्षेत्रों को मापा गया है।

आयामी विश्लेषण

कभी-कभी ऐसी प्रक्रियाओं का अध्ययन करना आवश्यक होता है जिनका अभी तक अवकल समीकरणों द्वारा वर्णन नहीं किया गया है। अध्ययन का एकमात्र तरीका प्रयोग है। प्रयोग के परिणामों को सामान्यीकृत रूप में प्रस्तुत करने की सलाह दी जाती है, लेकिन इसके लिए ऐसी प्रक्रिया की विशेषता वाले आयामहीन परिसरों को खोजने में सक्षम होना आवश्यक है।

आयामी विश्लेषण उन परिस्थितियों में आयामहीन परिसरों को संकलित करने की एक विधि है जब अध्ययन के तहत प्रक्रिया को अभी तक अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित नहीं किया गया है।

सभी भौतिक राशियों को प्राथमिक और द्वितीयक में विभाजित किया जा सकता है। गर्मी विनिमय प्रक्रियाओं के लिए, निम्नलिखित को आमतौर पर प्राथमिक के रूप में चुना जाता है: लंबाई लीद्रव्यमान एम, समय टी, गर्मी की मात्रा क्यूअतिरिक्त तापमान . तब द्वितीयक मान ऐसी मात्राएँ होंगी जैसे ऊष्मा अंतरण गुणांक ऊष्मीय विवर्तनशीलता एकआदि।

द्वितीयक मात्राओं के लिए आयाम सूत्रों में शक्ति मोनोमियल का रूप होता है। उदाहरण के लिए, गर्मी हस्तांतरण गुणांक के लिए आयाम सूत्र है

(9.5)

कहाँ पे क्यू-गर्मी की मात्रा।

अध्ययन के तहत प्रक्रिया के लिए आवश्यक सभी भौतिक मात्राओं को ज्ञात होने दें। आयामहीन परिसरों को खोजना आवश्यक है।

आइए हम कुछ अंशों में प्रक्रिया के लिए आवश्यक सभी भौतिक मात्राओं के आयामों के सूत्रों से एक उत्पाद की रचना करें जो अभी भी अपरिभाषित हैं; जाहिर है, यह एक शक्ति मोनोमियल (प्रक्रिया के लिए) होगी। मान लीजिए कि इसका आयाम (एक शक्ति मोनोमियल का) शून्य के बराबर है, अर्थात, आयामों के सूत्र में शामिल प्राथमिक मात्राओं के घातांक कम हो गए हैं, तो पावर मोनोमियल (एक प्रक्रिया के लिए) को उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है आयामी मात्राओं के आयामहीन परिसरों की। इसलिए, यदि हम आयामों के सूत्रों से उत्पाद बनाते हैं जो भौतिक मात्रा की प्रक्रियाओं के लिए अनिश्चित डिग्री में आवश्यक हैं, तो इस शर्त से कि इस शक्ति मोनोमियल की प्राथमिक मात्राओं की शक्तियों के घातांक का योग शून्य के बराबर है, हम वांछित आयामहीन परिसरों का निर्धारण कर सकते हैं।

आइए हम इस ऑपरेशन को एक तरल गर्मी वाहक द्वारा धोए गए ठोस शरीर में आवधिक गर्मी चालन प्रक्रिया के उदाहरण का उपयोग करके प्रदर्शित करें। हम मानते हैं कि विचाराधीन प्रक्रिया के लिए अवकल समीकरण अज्ञात हैं। आयामहीन परिसरों को खोजना आवश्यक है।

अध्ययन के तहत प्रक्रिया के लिए आवश्यक भौतिक मात्राएँ निम्नलिखित हैं: विशिष्ट आकार मैं(एम), एक ठोस की तापीय चालकता, (जे / (एम के)), एक ठोस की विशिष्ट गर्मी साथ(जे / (किलो के)), एक ठोस शरीर का घनत्व (किलो / एम 3), गर्मी हस्तांतरण गुणांक (गर्मी हस्तांतरण) (जे / एम 2 के)), अवधि समय , (सी), विशेषता अतिरिक्त तापमान (के)। इन मात्राओं से, हम फॉर्म का एक शक्ति मोनोमियल बनाते हैं

प्राथमिक मात्रा के घातांक को दी गई प्राथमिक राशि के संबंध में द्वितीयक मात्रा का आयाम कहा जाता है।

आइए हम भौतिक मात्राओं में प्रतिस्थापित करें (छोड़कर क्यू)उनके आयाम सूत्र, परिणामस्वरूप हम प्राप्त करते हैं

इस मामले में, घातांक का मान होता है जिस पर क्यूसमीकरण से बाहर हो जाता है।

हम एकपदी के घातांक को शून्य के बराबर करते हैं:

लंबाई के लिए

ए - बी - 3i - 2k = 0; (9.8)

गर्मी की मात्रा के लिए क्यू

0; (9.9)

समय के लिए

तापमान के लिए

मास के लिए एम

कुल सात महत्वपूर्ण मात्राएँ हैं, संकेतक निर्धारित करने के लिए पाँच समीकरण हैं, जिसका अर्थ है कि केवल दो संकेतक, उदाहरण के लिए, बीऔर किमी को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

आइए हम सभी घातांकों को के रूप में व्यक्त करें बीतथा क।परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

से (8.8), (8.9), (8.12)

एफ = -बी - के; (9.14)

आर = बी + के; (9.15)

(8.11) और (8.9) से

n=b+f+k=b+(-बी-के) + के = 0; (9.16)

(8.12) और (8.9) से

मैं = एफ = -बी-के। (9.17)

अब एकपदी को इस रूप में दर्शाया जा सकता है

संकेतकों के बाद से बीतथा कमनमाने ढंग से चुना जा सकता है, मान लें:

1. उसी समय हम लिखते हैं