Примери за изчисляване на площите на ортогоналната проекция на многоъгълник. Теорема за ортографична проекционна площ

27.07.2020

Ще разгледам въпроса за формулата за проекциите на лицата на правоъгълен тетраедър. Първо ще разгледам ортогоналната проекция на отсечка, лежаща в равнината α , като подчертая два случая на местоположението на тази отсечка спрямо правата l=α∩π .
Случай 1 AB∥l(фиг. 8). Отсечката A 1 B 1 , която е ортогонална проекция на отсечката AB, е равна и успоредна на отсечката AB.

Ориз. осем

Случай 2 CD⊥l(фиг. 8). По теоремата за трите перпендикуляра правата C 1 D 1 , която е ортогоналната проекция на правата CD, също е перпендикулярна на правата l. Следователно ∠CEC 1 е ъгълът между равнината α и равнината на проекциите π , т.е., където C 0 D=C 1 D 1. Следователно |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Сега разгледайте въпроса за ортогоналната проекция на триъгълник.
Площта на ортогоналната проекция на триъгълник върху равнина е равна на площта на проектирания триъгълник, умножена по косинуса на ъгъла между равнината на триъгълника и равнината на проекциите.

Доказателство.Проекционна площ на триъгълник.
а) Нека една от страните, например AC, на проектирания триъгълник ABC е успоредна на правата l=α∩π (фиг. 9) или лежи върху нея.

Ориз. 9

Тогава нейната височина VN е перпендикулярна на правата l, а площта е равна на, т.е.

Въз основа на горните свойства на ортогоналната проекция на сегмента, имам:

Според теоремата за трите перпендикуляра, правата B 1 H 1 - ортогоналната проекция на правата BH - е перпендикулярна на правата l, следователно сегментът B 1 H 1 е височината на триъгълника A 1 B 1 C 1. Ето защо . По този начин, .
б) Нито една от страните на проектирания триъгълник ABC не е успоредна на правата l (фиг. 10). Начертайте линия през всеки връх на триъгълника, успоредна на права l. Една от тези прави лежи между другите две (на фигурата това е права m) и следователно разделя триъгълника ABC на триъгълници ABD и ACD с височини съответно BH и CE, начертани към общата им страна AD (или неговото продължение), което е успоредно на l. Правата m 1 - ортогонална проекция на правата m - също разделя триъгълника A 1 B 1 C 1 - ортогоналната проекция на триъгълника ABC - на триъгълници A 1 B 1 D 1 и A 1 C 1 D 1 , където . Като вземем предвид (9) и (10), получаваме

Припомнете си, че ъгълът между права и равнина е ъгълът между дадена права и нейната проекция върху равнината (фиг. 164).

Теорема. Площта на ортогоналната проекция на многоъгълника върху равнината е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла, образуван от равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

Всеки многоъгълник може да бъде разделен на триъгълници, чиято сума от площите е равна на площта на многоъгълника. Следователно е достатъчно да се докаже теоремата за триъгълник.

Нека $\Delta$ABC се проектира върху равнината Р. Разгледайте два случая:

а) една от страните $\Delta$ABC е успоредна на равнината Р;

б) нито една от страните $\Delta$ABC не е успоредна Р.

Обмисли първи случай: нека [AB] || Р.

Начертайте през равнината (AB). Р 1 || Ри проектираме ортогонално $\Delta$ABC върху Р 1 и нататък Р(фиг. 165); получаваме $\Delta$ABC 1 и $\Delta$ABC.

Чрез свойството на проекцията имаме $\Delta$ABC 1 $\cong$ $\Delta$ ABC и следователно

S $\Делта$ABC1 = S $\Делта$ABC

Нека начертаем ⊥ и отсечката D 1 C 1 . Тогава ⊥ , a $\widehat(CD_(1)C_(1))$ = φ е ъгълът между равнината $\Delta$ ABC и равнината Редин . Ето защо

S $\Делта$ ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1/2 |AB| | CD 1 | cos φ = S $\Delta$ABC cos φ

и следователно S $\Delta$ABC = S $\Delta$ABC cos φ.

Нека да преминем към разглеждането втори случай. Начертайте равнина Р 1 || Рпрез този връх $\Delta$ABC, разстоянието от което до равнината Рнай-малкият (нека бъде връх A).

Нека проектираме $\Delta$ABC в самолета Р 1 и Р(фиг. 166); нека $\Delta$AB 1 C 1 и $\Delta$ABC съответно са неговите проекции.

Нека (BC) $\cap $ стр 1 = D. Тогава

S $\Delta$ABC = S $\Delta$AB1 C1 = S $\Delta$ADC1 - S $\Delta$ADB1 = (S $\Delta$ ADC - S $ \Delta$ADB) cos φ = S $\Delta$ABC cos φ

Задача.През страната на основата на правилна триъгълна призма е прекарана равнина под ъгъл φ = 30° спрямо равнината на нейната основа. Намерете площта на получената секция, ако страната на основата на призмата а= 6 см.

Нека изобразим сечението на тази призма (фиг. 167). Тъй като призмата е правилна, нейните странични ръбове са перпендикулярни на равнината на основата. Следователно $\Delta$ABC е проекцията на $\Delta$ADC, така че
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
или
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$

ГЕОМЕТРИЯ
Урочни планове за 10 клас

Урок 56

Тема. Площ на ортогонална проекция на многоъгълник

Целта на урока: изучаване на теоремата за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник, формиране на умения на учениците да прилагат изучената теорема при решаване на проблеми.

Оборудване: стереометричен комплект, модел на куб.

По време на часовете

I. Проверка на домашните

1. Двама ученици възпроизвеждат решенията на задачи No 42, 45 на дъската.

2. Фронтален въпрос.

1) Определете ъгъла между две равнини, които се пресичат.

2) Какъв е ъгълът между:

а) успоредни равнини;

б) перпендикулярни равнини?

3) До каква степен може да се промени ъгълът между две равнини?

4) Вярно ли е, че равнина, която пресича успоредни равнини, ги пресича под еднакви ъгли?

5) Вярно ли е, че равнината, която пресича перпендикулярни равниниги пресича под същия ъгъл?

3. Проверка на верността на решението на задачи No 42, 45, които учениците пресъздадоха на дъската.

II. Възприемане и осъзнаване на нов материал

Задание на учениците

1. Докажете, че площта на проекцията на триъгълник с една страна в равнината на проекцията е равна на произведението на неговата площ и косинуса на ъгъла между равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

2. Докажете теоремата за случая, когато решетъчен триъгълник има една страна, успоредна на проекционната равнина.

3. Докажете теоремата за случая, когато нито една от страните на решетъчния триъгълник не е успоредна на проекционната равнина.

4. Докажете теоремата за произволен многоъгълник.

Разрешаване на проблем

1. Намерете площта на ортогоналната проекция на многоъгълник, чиято площ е 50 cm2 и ъгълът между равнината на многоъгълника и неговата проекция е 60 °.

2. Намерете площта на многоъгълника, ако площта на ортогоналната проекция на този многоъгълник е 50 cm2, а ъгълът между равнината на многоъгълника и неговата проекция е 45 °.

3. Площта на многоъгълника е 64 cm2, а площта на ортогоналната проекция е 32 cm2. Намерете ъгъла между равнините на многоъгълника и неговата проекция.

4. Или може би площта на ортогоналната проекция на многоъгълника е равна на площта на този многоъгълник?

5. Ръбът на куба е a. Намерете площта на напречното сечение на куб с равнина, минаваща през горната част на основата под ъгъл 30° спрямо тази основа и пресичаща всички странични ръбове. (Отговор. )

6. Задача No 48 (1, 3) от учебника (с. 58).

7. Задача No 49 (2) от учебника (с. 58).

8. Страните на правоъгълника са 20 и 25 см. Проекцията му върху равнина е подобна на нея. Намерете периметъра на проекцията. (Отговор. 72 см или 90 см.)

III. Домашна работа

§4, н. 34; защитен въпрос № 17; задачи No 48 (2), 49 (1) (стр. 58).

IV. Обобщаване на урока

Въпрос към класа

1) Формулирайте теорема за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник.

2) Може ли площта на ортогоналната проекция на многоъгълник да бъде по-голяма от площта на многоъгълника?

3) През хипотенузата AB правоъгълен триъгълник ABC равнината α е начертана под ъгъл 45° спрямо равнината на триъгълника и перпендикуляр CO към равнината α. AC \u003d 3 см, BC \u003d 4 см. Посочете кои от следните твърдения са верни и кои не:

а) ъгълът между равнините ABC и α е равен на ъгъла CMO, където точката H е основата на височината CM на триъгълника ABC;

б) SD = 2,4 cm;

в) триъгълник AOC е ортогонална проекция на триъгълник ABC върху равнината α;

г) площта на триъгълника AOB е 3 cm2.

(Отговор. а) Правилно; б) грешен; в) грешен; г) правилно.)

Наскоро в задача C2 има задачи, в които е необходимо да се построи сечение на многостен с равнина и да се намери неговата площ. Такава задача е предложена в демо версията. Често е удобно да се намери площта на разрез през областта на неговата ортогонална проекция. Презентацията съдържа формула за такова решение и подробен анализ на проблема, който е придружен от поредица от рисунки.

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Подготовка за Единния държавен изпит - 2014 г. по математика. Намиране на площта на напречното сечение през площта на нейната ортогонална проекция. Задача C2 Учител по математика MBOU средно училище № 143 на Красноярск Knyazkina T.V.

Помислете за решението на такъв проблем: кубоид, . Сечението на паралелепипеда минава през точки B и D и сключва ъгъл с равнината ABC. Намерете площта на сечението. Често е удобно да се намери площта на разрез през областта на неговата ортогонална проекция. Намирането на площта на триъгълник по отношение на площта на неговата ортогонална проекция лесно се илюстрира със следната фигура:

CH е височината на триъгълник ABC, C 'H е височината на триъгълник ABC ", който е ортогонална проекция на триъгълник ABC. От правоъгълен триъгълник CHC ": Площта на триъгълник ABC " е Площта на триъгълника ABC е Следователно площта на триъгълник ABC е равна на площта на триъгълник ABC ', разделена на косинуса на ъгъла между равнините на триъгълник ABC и триъгълник ABC", което е ортогоналната проекция на триъгълник ABC.

Тъй като площта на всеки многоъгълник може да бъде представена като сума от площите на триъгълници, площта на многоъгълник е равна на площта на неговата ортогонална проекция върху равнина, разделена на косинуса на ъгъла между равнини на многоъгълника и неговата проекция. Използваме този факт, за да разрешим нашия проблем (вижте слайд 2). Планът за решение е следният: A) Изграждаме разрез. Б) Намерете неговата ортогонална проекция върху равнината на основата. C) Намерете областта на ортогоналната проекция. Г) Намерете площта на напречното сечение.

1. Първо трябва да изградим този раздел. Очевидно е, че сегментът BD принадлежи на равнината на сечението и на основната равнина, тоест принадлежи на линията на пресичане на равнините:

Ъгълът между две равнини е ъгълът между два перпендикуляра, които са начертани към пресечната линия на равнините и лежат в тези равнини. Нека точката O е пресечната точка на диагоналите на основата. OC - перпендикулярна на линията на пресичане на равнините, която лежи в равнината на основата:

2. Определете положението на перпендикуляра, който лежи в равнината на сечение. (Запомнете, че ако една права е перпендикулярна на проекцията на наклонена, то тя е перпендикулярна и на най-наклонената. Търсим наклонена по нейната проекция (OC) и ъгъла между проекцията и наклонената един). Намерете тангенса на ъгъла COC ₁ между OC ₁ и OC

Следователно ъгълът между равнината на сечението и основната равнина е по-голям, отколкото между OC ₁ и OC. Тоест участъкът е разположен някак така: K е пресечната точка на OP и A ₁C₁, LM||B₁D₁.

И така, ето го нашето сечение: 3. Намерете проекцията на сечението BLMD върху основната равнина. За целта намираме проекциите на точките L и M .

Четириъгълник BL ₁M₁D е проекцията на сечението върху равнината на основата. 4. Намерете лицето на четириъгълника BL ₁M₁D . За да направите това, извадете площта на триъгълника L ₁CM₁ от площта на триъгълника BCD. Намерете площта на триъгълника L ₁CM₁. Триъгълник L ₁CM₁ е подобен на триъгълник BCD. Нека намерим коефициента на подобие.

За да направите това, помислете за m триъгълника OPC и OKK₁ : Следователно площта на триъгълника L₁CM₁ е 4/25 от площта на триъгълника BCD (съотношението на площите на подобни фигури е равно на квадрата на коефициент на подобие). Тогава площта на четириъгълника BL₁M₁D е равна на 1-4/25=21/25 от площта на триъгълника BCD и е равна на

5. Сега намерете 6 . И накрая получаваме: Отговор: 112

По темата: методически разработки, презентации и бележки

Контролната работа по дисциплината "Инженерна компютърна графика" се състои от четири тестови задачи за установяване на съответствие. Ще имате 15-20 минути за изпълнение на задачите....

Подготовка за Единния държавен изпит-2014 по математика. Използването на производни и антипроизводни (B8 прототипи от отворената банка на USE задачи)

Презентация с кратък курс на теория и решения на различни прототипи на B8 от отворена банкаИЗПОЛЗВАЙТЕ задания. Възможно е да се използва за интерактивна дъска или компютър за ученици за самоподготовка....

Подготовка за Единния държавен изпит-2014 по математика. Решение на задача C1.

Материалът предоставя решения на задача C1 (тригонометрично уравнение) и 4 начина за избор на корените, принадлежащи на интервала: с помощта на тригонометрична окръжност, с помощта на функционална графика, изброяване ...

Глава IV. Прави и равнини в пространството. Многостени

§ 55. Проекционна площ на многоъгълник.

Теорема. Площта на ортогоналната проекция на многоъгълника върху равнината е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла, образуван от равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

Позволявам /\ ABC се проектира върху равнина Р. Разгледайте два случая:
а) една от страните /\ ABC е успореден на равнината Р;
б) нито една от страните /\ ABC не е успоредна Р.

Обмисли първи случай: нека [AB] || Р.

Начертайте през равнината (AB). Р 1 || Ри проектираме ортогонално /\ ABC включен Р 1 и нататък Р(фиг. 165); получаваме /\ ABC 1 и /\ КОРЕМНИ МУСКУЛИ".
Чрез свойството на проекцията имаме /\ ABC 1 /\ A"B"C", и следователно

С /\ ABC1=S /\ A "B" C

Нека начертаем _|_ и отсечката D 1 C 1 . Тогава _|_ , a = φ е ъгълът между равнината /\ ABC и самолет Редин . Ето защо

С /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

и следователно С /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Нека да преминем към разглеждането втори случай. Начертайте равнина Р 1 || Рнад този връх /\ ABC, разстоянието от което до равнината Рнай-малкият (нека бъде връх A).
Ние ще проектираме /\ ABC в самолет Р 1 и Р(фиг. 166); нека неговите проекции са съответно /\ AB 1 C 1 и /\ КОРЕМНИ МУСКУЛИ".

Нека (слънце) стр 1 = D. Тогава

С /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Задача.През страната на основата на правилна триъгълна призма е прекарана равнина под ъгъл φ = 30° спрямо равнината на нейната основа. Намерете площта на получената секция, ако страната на основата на призмата а= 6 см.

Нека изобразим сечението на тази призма (фиг. 167). Тъй като призмата е правилна, нейните странични ръбове са перпендикулярни на равнината на основата. означава, /\ ABC е проекция /\ ADC, така че

ГЕОМЕТРИЯ Урочни планове за 10 клас