Ремонт и сервиз 

Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник. Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник Резюме на урока пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник

Цели на урока:

Образователни:

1. Създайте условия за независимо извеждане на връзки, свързващи пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник.

  1. Осигурете затвърждаване на придобитите знания при решаване на проблеми.

Разработване:

1. Осигурете развитие на самостоятелност при изпълнение на задачите.

Образователни :

1. Насърчавайте култура на общуване в микрогрупа.

  1. Развийте способността за вземане на решения и поемане на отговорност за тях.

По време на занятията.

  1. Организиране на времето.

Момчета, слушайте, каква тишина!

Започна в училище.

Няма да губим време

И нека всички да се захващаме за работа.

Дойдохме тук да учим

Не бъдете мързеливи, а работете здраво.

Работим усърдно

Слушаме внимателно.

  1. Мотивация на урока.

Скъпи момчета!

Надявам се, че този урок ще бъде интересен, с голяма полза за всички. Много искам тези, които все още са безразлични към кралицата на всички науки, да напуснат нашия урок с дълбоко убеждение, че геометрията е интересен и необходим предмет.

Френският писател от 19-ти век Анатол Франс веднъж отбеляза: „Ученето може да бъде само забавно... За да усвоите знанието, трябва да го усвоите с апетит.“

Нека последваме съвета на писателя в днешния урок: бъдете активни, внимателни, поглъщайте с голямо желание знанията, които ще ви бъдат полезни по-късно в живота.

3. Актуализиране на знанията. Проверка на d/z.

Предна анкета:

  1. Какво е съотношението на два сегмента
  2. В този случай се казва, че отсечките AB и SD са пропорционални на отсечките A 1 B 1 и C 1 D 1
  3. Определете подобни триъгълници
  4. Как да разчетем първия знак за сходството на триъгълниците
  5. Как да разчетем втория знак за сходството на триъгълниците
  6. Как да разчетем третия знак за сходството на триъгълниците
  7. Кои фигури се наричат ​​подобни. Какъв е коефициентът на подобие?
  8. Правоъгълен триъгълник. Крака. Хипотенуза.

Решете No 570 (устно), 573 (1) (писмено).

  1. Изучаване на нов материал.

При решаването на задачи най-често разглеждахме триъгълници с остър и тъпоъгълен ъгъл. Елементите на правоъгълния триъгълник са свързани един с друг по малко по-различен начин. Помислете за чертежа.

Свойства на пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник:
1) катета на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална между хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата;
2) височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална между проекциите на краката върху хипотенузата.

Справка по история.За развитието на практическата геометрия в древна Русия.

Още през XVI век. нуждите на геодезията, строителството и военното дело доведоха до създаването на ръкописни ръководства с геометрично съдържание. Първата работа от този вид, която е достигнала до нас, се нарича „За земното оформление, как да оформя земята“. Той е част от Книгата на сошските писма, за която се смята, че е написана при Иван IV през 1556 г. Оцелелия екземпляр датира от 1629 г.

По време на анализа на Оръжейната палата в Москва през 1775 г. е намерена инструкция „Устав на военните, оръдията и“ други въпроси, свързани с военна наука“, публикуван през 1607 и 1621 г. и съдържащ известна геометрична информация, която се свежда до определени методи за решаване на задачи за намиране на разстояния. Ето един пример.

За измерване на разстоянието от точка I до точка B (вижте фигурата), се препоръчва да задвижите прът в точка I около височината на човек. Върхът на десния ъгъл на квадрата е прикрепен към горния край на пръчката C, така че един от краката (или неговото продължение) да преминава през точка B. Точка 3 на пресечната точка на другия крак (или неговото продължение) с земята е маркирана. Тогава разстоянието на BJ е свързано с дължината на пръчката на QY по същия начин, както дължината на пръчката е с разстоянието на YA. За удобство на изчисленията и измерванията, пръчката беше разделена на 1000 равни части.

  1. Консолидиране на нов материал.

Решете устно No 601, писмено No 610, 600, 604 (1), 607 (2), 620.

  1. Физминутка за очите.

Без да обръщате главата си, огледайте стената на класната стая по посока на часовниковата стрелка около периметъра, черната дъска около периметъра обратно на часовниковата стрелка, триъгълника, изобразен на стойката по посока на часовниковата стрелка, и равния му триъгълник обратно на часовниковата стрелка. Обърнете главата си наляво и погледнете линията на хоризонта, а сега и върха на носа си. Затворете очи, пребройте до 5, отворете очи и...

Слагаме ръце на очите си,
Да поставим краката си здрави.
Обръщане надясно
Нека изглеждаме величествено.
И вляво също
Погледнете изпод дланите.
И - вдясно! И по-нататък
През лявото рамо!
и сега ще продължим да работим.

  1. Самостоятелна работа.

Работа по двойки: решаване #604(2) (писмено)

8. Резултатите от урока. Отражение.

  • Какво си спомняте най-много от урока?
  • Какво изненада?
  • Какво ви хареса най-много?
  • Как бихте искали да видите следващия урок?

Домашна работа: научете т. 14, решете № 604(3), 607(3), 573(2).

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com


Надписи на слайдове:

Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник Геометрия 8 клас

Домашна работа

1. Задача 3, 5 A B C N M 3 4 Дадено е: MN || AC. Намерете: R∆ABC

A B C D M N P Q MNPQ е паралелограм? 2. Предизвикателство

Сходство на правоъгълни триъгълници A B C A 1 B 1 C 1 Ако острия ъгъл на един правоъгълен триъгълник е равен на острия ъгъл на друг правоъгълен триъгълник, тогава тези правоъгълни триъгълници са подобни

Средната пропорционална A B C D X Y Отсечката XY се нарича средна пропорционална (средна геометрична) за отсечки AB и SD, ако

Решете задачите: 1. Отсечка с дължина 8 cm средно пропорционална ли е между отсечките с дължини 16 cm и 4 cm? 2. Отсечка с дължина 9 cm средно пропорционална ли е между отсечките с дължини 15 cm и 6 cm? 3. Отсечка с дължина cm средно пропорционална ли е между отсечките с дължини 5 cm и 4 cm? да не да

Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник A B C H

Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник A B C H 9 4 ? Задача 1 .

Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник A B C H 9 7 ? Задача 2 .

Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник A B C H Катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност за хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата.

Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник A B C H 21 4 ? Задача 3 .

A B C N 20 30 ? Задача 4 .

Домашна работа

Решете задача 5 2 ? ? ? Решете задача 9 4 ? ? ? Решете триъгълника

A B C N 20 15 ? Задача. В триъгълник, чиито страни са 15, 20 и 25, височината се изтегля към по-дългата му страна. Намерете отсечките, на които височината разделя тази страна 25

A B C N 20 15 ? Задача 5 . В триъгълник, чиито страни са 15, 20 и 25, височината се изтегля към по-дългата му страна. Намерете отсечките, на които височината разделя тази страна 25

Знак за подобие на правоъгълни триъгълници

Нека първо представим знака за подобие на правоъгълните триъгълници.

Теорема 1

Знак за подобие на правоъгълни триъгълници: два правоъгълни триъгълника са подобни, когато имат по един равен остър ъгъл (фиг. 1).

Фигура 1. Подобни правоъгълни триъгълници

Доказателство.

Нека ни се даде, че $\angle B=\angle B_1$. Тъй като триъгълниците са правоъгълни, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Следователно те са сходни според първия знак за сходството на триъгълниците.

Теоремата е доказана.

Теорема за височината в правоъгълен триъгълник

Теорема 2

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на два подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на дадения триъгълник.

Доказателство.

Нека ни е даден правоъгълен триъгълник $ABC$ с прав ъгъл $C$. Начертайте височината $CD$ (фиг. 2).

Фигура 2. Илюстрация на теорема 2

Нека докажем, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни на триъгълник $ABC$ и че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.

    Тъй като $\angle ADC=(90)^0$, триъгълникът $ACD$ е правоъгълен. Триъгълниците $ACD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $A$, следователно според теорема 1 триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са подобни.

    Тъй като $\angle BDC=(90)^0$, триъгълникът $BCD$ е правоъгълен. Триъгълниците $BCD$ и $ABC$ имат общ ъгъл $B$, следователно според теорема 1 триъгълниците $BCD$ и $ABC$ са подобни.

    Помислете сега за триъгълниците $ACD$ и $BCD$

    \[\ъгъл A=(90)^0-\ъгъл ACD\] \[\ъгъл BCD=(90)^0-\ъгъл ACD=\ъгъл A\]

    Следователно, съгласно теорема 1, триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са подобни.

Теоремата е доказана.

Средно пропорционално

Теорема 3

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е средната пропорционална за отсечките, на които височината разделя хипотенузата на този триъгълник.

Доказателство.

По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $BCD$ са сходни, следователно

Теоремата е доказана.

Теорема 4

Катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност между хипотенузата и отсечката от хипотенузата, затворена между катета и височината, изтеглена от върха на ъгъла.

Доказателство.

При доказателството на теоремата ще използваме обозначението от фигура 2.

По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ACD$ и $ABC$ са сходни, следователно

Теоремата е доказана.

раздели: математика

клас: 8

Тип урок:комбинирани.

Дидактическа цел:създаване на условия за разбиране и разбиране на концепцията за "средно пропорционално", подобряване на способността за намиране на пропорционални сегменти въз основа на сходството на триъгълници, проверка на нивото на усвояване на знания и умения по темата.

задачи:

  • установете съответствие между страните на правоъгълен триъгълник, височината, изтеглена към хипотенузата, и отсечките на хипотенузата;
  • въвеждат понятието средно пропорционално;
  • да формира умение за прилагане на придобитите знания при решаване на практически задачи;

Учебни материали:учебник "Геометрия 7-9" Л. С. Атанасян, презентация "Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник." Приложение 1 .

Очаквани резултати:

Лични

  • Способността да се определя границата на знанието и невежеството.
  • Способност за математически изразяване на идеи.
  • Способност за разпознаване на неправилни твърдения.

Метасубект

  • Способност да планират дейностите си за решаване на учебен проблем.
  • Способност за изграждане на верига от логически разсъждения.
  • Способността да се даде словесна формулировка на факт, написан под формата на формула.

предмет

  • Способността да се намират подобни триъгълници и да се доказва тяхното сходство.
  • Способността да се изразят краката на правоъгълен триъгълник и височината, изтеглена от върха на правия ъгъл през сегментите на хипотенузата.
  • Способността за четене на математически обозначения, използвайки концепцията за "средно пропорционално".

Конспектен план на урока.

1. Организационен момент. Организация на вниманието; волева саморегулация. (Всеки ученик получава работни листове за урока за два варианта). Приложение 2 ,Приложение 3 .

2. Повторение:Нека повторим основната информация от темата „Подобни триъгълници“ Слайд 1

  • Определете подобни триъгълници
  • Как да разчетем първия знак за сходството на триъгълниците
  • Как да разчетем втория знак за сходството на триъгълниците
  • Как да разчетем третия знак за сходството на триъгълниците
  • Какъв е коефициентът на подобие?
  • Правоъгълен триъгълник. Крака. Хипотенуза.

Тествайте за установяване на истинността или неверността на твърденията (отговорете „да“ или „не“). слайд 2

  • Два триъгълника са подобни, ако съответните им ъгли са равни и съответните страни са пропорционални.
  • Два равностранни триъгълника винаги са подобни.
  • Ако трите страни на един триъгълник са съответно пропорционални на трите страни на друг триъгълник, тогава триъгълниците са подобни.
  • Страните на единия триъгълник са с дължини 3, 4, 6 см, страните на другия триъгълник са 9, 14, 18 см. Тези триъгълници подобни ли са?
  • Периметрите на подобни триъгълници са равни.
  • Ако два ъгъла на един триъгълник са равни на 60° и 50°, а два ъгъла на друг триъгълник са равни на 50° и 80°, тогава тези триъгълници са подобни.
  • Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако всеки от тях има еднакъв остър ъгъл.
  • Два равнобедрени триъгълника са подобни.
  • Ако два ъгъла на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла на друг триъгълник, то такива триъгълници са подобни.
  • Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са подобни.

Тестов ключ: 1. да; 2. да; 3. да; 4. не; 5. не; 6. не; 7. да; 8. не; 9. да; 10. бр.

Формата на тестова проверка е взаимна проверка. Отговорите и проверката се извършват в работните листове за урока.

3. Теоретична задача в групи.Класът е разделен на три групи. Всяка група получава задача. Приложение 4 .

Група №1

  1. Докажете сходството на "ляв" и "десен" правоъгълен триъгълник.
  2. Запишете пропорционалността на краката.
  3. Изразете височината пропорционално.

Група №2

Според предварително подготвен чертеж на правоъгълен триъгълник (Фигура 1)

  1. Докажете сходството на "левия" и "големия" правоъгълен триъгълник.
  2. Изразете от пропорцията BC.

Група №3

Според предварително подготвен чертеж на правоъгълен триъгълник (Фигура 1)

  1. Докажете сходството на "правилния" и "големия" правоъгълни триъгълници.
  2. Запишете пропорционалността на подобни страни.
  3. Изразете от пропорцията AC.

На дъската, според предварително направени чертежи и в тетрадки, запишете доказателството за тези твърдения. Един човек от групата се извиква на дъската.

4. Формулиране на темата на урока.И в трите задачи изградихме някои взаимоотношения. Как можете да назовете елементите, включени в тези отношения. Отговор: пропорционални сегменти.Нека изясним пропорционалните отсечки в ...? Отговор: в правоъгълен триъгълник.И така, момчета, темата на нашия урок? Отговор: "Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник."слайд 3

5. Изложение на доказаните твърдения

Преди да продължим по-нататък, ние въвеждаме някои нови понятия и обозначения.
Какво е средното аритметично на две числа?
Отговор: Средно аритметични числа m и n е числото a, равно на половината от сбора на числата m и n
Запишете формулата за средноаритметичната стойност на m и n.
Нека формулираме дефиницията на средната геометрична стойност на две числа: числото a се нарича средно геометрично (или средно пропорционално) за числата m и n, ако равенството е изпълнено Слайд 4
Ще решим няколко упражнения за консолидиране на тези определения. слайд 5
1. Намерете средноаритметичната и средната геометрична стойност на числата 3 и 12.
2. Намерете дължината на средните пропорционални (средни геометрични) отсечки MN и KP, ако MN = 9 cm, KP = 27 cm
Нека представим концепцията за проекцията на катета върху хипотенузата. слайд 6.
Сега, използвайки нови концепции, ще се опитаме да формулираме изводите, доказани по време на работата в групи.
На този слайд се опитайте да формулирате твърдението, което са доказали втората и третата група. Слайд 7
Запишете това твърдение, като използвате новата нотация (проекции на катета върху хипотенузата) и след това го формулирайте, като използвате определението на проекцията на катета върху хипотенузата. Слайд 8
На този слайд се опитайте да формулирате твърдението, което учениците от трета група доказаха. Слайд 9
Запишете това твърдение, като използвате новата нотация (проекции на катета върху хипотенузата) и след това го формулирайте, като използвате определението на проекцията на катета върху хипотенузата. Слайд 10

6. Блиц анкета за консолидиране на изследваните формули.слайд 11-12

  • В правоъгълен триъгълник ABC от върха на прав ъгъл C е изтеглена височина CD. AD = 16, DB = 9. Намерете AC, AB, CB и CD. слайд 11
  • В правоъгълен триъгълник ABC от върха на прав ъгъл C е изтеглена надморска височина CD. AD = 18, DB = 2. Намерете AC, AB, CB и CD. слайд 12
  • В правоъгълен триъгълник ABC височината CH се изтегля от върха на правия ъгъл C. SA = 6, AN = 2. Намерете HB. слайд 13

Тест за проверка на първичната асимилация на материала

В презентацията отворете слайда с извлечените формули (Слайд 14). Върху работните листове е отпечатан тест: попълнете го, като напишете правилните отговори на таблета. След това взаимна проверка (Слайд 15) на готови отговори в презентацията.

Домашна работа

Всеки ученик получава бележка с формули и текст на домашните задачи със съвети (план за поетапно изпълнение на всяка задача) Приложение 5 .

9. Отражение

Обобщете урока. Съберете работни листове и дайте оценка за урока на всеки ученик.

литература.

  1. http://gorkunova.ucoz.ru/ Материал за семинара на тема "Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник"
  2. Презентация "Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник" Savchenko E.M. Polyarnye Zori, Мурманска област.