Вода от чешмата 

Аритметични операции. Деление на естествени числа със стълб, примери, решения Правила за записване при деление със стълб

Раздели: Математика

клас: 5

Тема:Деление с остатък.

Цели на урока:

Повторете делението с остатък, изведете правило как да намерите дивидента при деление с остатък и го запишете като буквален израз;
- развиват вниманието, логическото мислене, математическата реч;
- възпитаване на култура на речта, постоянство.

По време на часовете

Урокът е придружен с компютърна презентация. (Приложение)

аз. Организиране на времето

II. Устно броене. Съобщение за темата на урока

След като решите примерите и попълните таблицата, ще можете да прочетете темата на урока.

На бюрото:

Прочетете темата на урока.

Отвориха тетрадки, записаха датата, темата на урока. (Слайд 1)

III. Работа по темата на урока

Решете устно. (Слайд 2)

1. Прочетете изразите:

30: 5
103: 10
34: 5
60: 7
47: 6
131: 11
42: 6

На какви две групи могат да бъдат разделени? Запишете и решете тези, в които делението е с остатък.

2. Да проверим. (Слайд 3)

Без остатък:

С остатъка:

30: 5
42: 6

103: 10 = 10 (почивка 3)
34: 5 = 6 (ост 4)
60: 7 = 8 (почивка 4)
47: 6 = 7 (почивка 5)
131: 11 = 11 (останали 10)

Можете ли да ми кажете как направихте деление с остатък?

Не винаги едно естествено число се дели на друго число. Но винаги можете да извършите деление с остатък.

Какво означава да разделя с остатъка? За да отговорим на този въпрос, нека разрешим проблема. ( слайд 4)

4 внуци дойдоха на гости при баба си. Баба реши да почерпи внуците си със сладкиши. Във вазата имаше 23 бонбона. Колко сладки ще получи всяко внуче, ако бабата предложи да си поделят бонбоните по равно?

Нека разсъждаваме.

Колко бонбона има баба? (23)

Колко внуци дойдоха да посетят баба си? (4)

Какво трябва да се направи според условието на задачата? (Бонбоните трябва да се разделят по равно, 23 трябва да се раздели на 4; 23 се дели на 4 с остатък; в частното ще бъде 5, а остатъкът ще бъде 3.)

Колко сладки ще получи всяко внуче? (Всеки внук ще получи 5 бонбона, а 3 бонбона ще останат във вазата.)

Нека запишем решението. (Слайд 5)

23: 4=5 (почивка 3)

Как се казва числото, което се дели? (Делимо.)

Какво е разделител? (Число, на което да разделите.)

Как се нарича резултатът от деление с остатък? (Непълно частно.)

Назовете дивидента, делителя, частичното частно и остатъка в нашето решение (23 е дивидентът, 4 е делителят, 5 е частичното частно, 3 е остатъкът.)

Момчета, помислете и запишете как да намерите дивидента 23, като знаете делителя, непълното частно и остатъка?

Да проверим.

Момчета, нека формулираме правило как да намерим дивидента, ако делителя, непълното частно и остатъка са известни.

правило. (Слайд 6)

Дивидентът е равен на произведението на делителя и непълното частно, добавено с остатъка.

а = слънце + д , a - дивидент, c - делител, c - частично частно, d - остатък.

Когато се извършва деление с остатък, какво трябва да помним?

Точно така, остатъкът винаги е по-малък от делителя.

И ако остатъкът е нула, дивидентът се дели на делителя без остатък, изцяло.

IV. Затвърдяване на изучения материал

Слайд 7

Намерете дивидента, ако:

А) частичният коефициент е 7, остатъкът е 3, а делителят е 6.
Б) непълното частно е 11, остатъкът е 1, а делителя е 9.
В) частичният коефициент е 20, остатъкът е 13, а делителят е 15.

V. Работа с учебника

1. Работа по задача.
2. Формулиране на решение на проблем.

№ 516 (Ученикът решава задачата на дъската.)

20 x 10: 18 = 11 (почивка 2)

Отговор: 11 части от по 18 кг могат да бъдат отлети от 10 слитъка, ще останат 2 кг чугун.

№ 519 (Работна тетрадка, С. 52 #1.)

слайд 8, 9

Първата задача се изпълнява от ученика на дъската. Вторият и третият - учениците изпълняват самостоятелно със самопроверка.

Решаваме проблеми устно. (Слайд 10)

VI. Обобщение на урока

Във вашия клас има 17 ученици. Бяхте подредени. Получиха се няколко реда от 5 ученика и един непълен ред. Колко пълни реда се оказаха и колко души са в непълен ред?

Вашият клас в урока по физическо отново беше подреден. Този път се оказаха 4 еднакви пълни реда и един непълен? Колко души има във всяка линия? А в непълни?

Отговаряме на въпроси:

Може ли остатъкът да е по-голям от делителя? Може ли остатъкът да бъде равен на делителя?

Как да намерим дивидента по непълното частно, делителя и остатъка?

Какви са остатъците при деление на 5? Дай примери.

Как да проверя дали делението с остатък е правилно?

Оксана се сети за едно число. Ако това число се увеличи 7 пъти и към произведението се добави 17, то ще бъде 108. Какво число е намислила Оксана?

VII. Домашна работа

Т. 13, № 537, 538, работна тетрадка, стр. 42, № 4.

Библиография

1. Математика: учеб. за 5 клетки. общо образование институции / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург. - 9-то изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2001. – 384 с.: ил.
2. Математика. 5 клас Работна тетрадка номер 1. естествени числа / V.N. Рудницкая. – 7-мо изд. – М.: Мнемозина, 2008. – 87 с.: ил.
3. Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактически материали по математика за 5 клас. - М. : Класически стил, 2007. - 144 с.: ил.

Раздели: Математика

клас: 6

Цели на урока:
1. Образователни: повторение, обобщение и проверка на знанията по темата: „Делимост естествени числа»; развитие на основни умения.
2. Развитие: да се развие вниманието на учениците, постоянство, постоянство, логическо мислене, математическа реч.
3. Образователни: чрез урока да се култивира внимателно отношение един към друг, да се внуши способността да се слушат другари, взаимопомощ, независимост.
Цели на урока:
Да се ​​формира способност за прилагане на концепцията за делители и кратни; развиват мисленето и елементите на творческата дейност; прилагат признаците за делимост в най-прости ситуации; намиране на GCD и LCM числа, развиват наблюдателност и логическо мислене.
Тип урок- комбинирани.
Форма на урока- Урок с компютърна поддръжка.
Оборудване:
1. Дъска и тебешир.
2. Компютър и проектор.
3. Хартиен вариант на всички задачи.

По време на часовете.

Числата управляват света.
Питагор.
1. Организационен момент.
2. Съобщаване на целта на урока.
3. Актуализация основни познания.
1. Какво се нарича делител на число а?
2. Какво се нарича кратно на число а?
3. Има ли най-голямо кратно?
4. Формулирайте признаци на делимост?
5. Кои числа се наричат ​​прости и кои съставни?
(Доклад на ученика за Питагор, за Ератостен, за Евклид)

Историческа информация:

Евклид – древногръцки учен (365 – 300 г. пр. н. е.). Много малко се знае за живота на този велик учен. Той живее и работи в Александрия, град, основан от Александър Велики. Има много легенди, свързани с името на Евклид. Една от тях разказва, че цар Птолемей попитал Евклид: "Има ли по-кратък път към познанието на геометрията?", На което ученият отговорил: "Няма кралски път към геометрията!". Евклид се занимаваше много с теория на числата: той доказа това прости числабезкрайно много. Алгоритъмът за намиране на НОД на две числа се нарича алгоритъм на Евклид.
Древногръцкият математик Евклид в книгата си "Принципи", която в продължение на две хиляди години беше основен учебник по математика, доказа, че има безкрайно много прости числа, т.е. зад всяко просто число има друго просто число.
Питагор (6 век пр.н.е.) и неговите ученици изучават делимостта на числата. Числото, равно на сумата от всичките му делители (без самото число), те наричат ​​перфектно число.
Например числото 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни.
Следващите перфектни числа са 496, 8128, 33550336
Питагорейците знаеха само първите три съвършени числа. Четвъртият 8128 става известен през 1 век пр.н.е.
Петият номер 33550336 е открит през 15 век.
До 1983 г. вече са известни 27 съвършени числа. Но досега учените не знаят дали има нечетно перфектно число, дали има най-голямо перфектно число. Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко естествено число, по-голямо от 1, е или просто число, или може да бъде съставено като произведение от прости числа: 14 = 2∙ 7, 16 = 2∙2 ∙2 ∙2
Възниква въпросът: съществува ли последното (най-голямото) просто число?

Проблем: Помислете за просто число. Следващото естествено число също е просто. За какви цифри говорим?
Отговор: 2.3.
6. Кои числа се наричат ​​относително прости?
7. Обяснете как да намерите НОД (LCC) на две числа.
(Съобщение на ученика за намиране на НОД на две числа)
Един ден числата 24 и 60 спореха как да намерят GCD. Числото 24 заяви, че първо трябва да намерите общи числа сред всички делители и след това да изберете най-голямото число от тях. И числото 60 възрази:
- Е, какво си ти! Не ми харесва този начин. Имам твърде много делители и когато ги изброявам, мога да пропусна някои. Ами ако се окаже най-големият? Не, не ми харесва този начин. И те решиха да потърсят помощ от магистър на науките DELENCHESKII. И майсторът им отговори:
- Да, 24, вашият начин за намиране на GCD номера може да се използва, но не винаги е удобен. И можете да намерите NOD по друг начин.
Необходимо е да разложим 24 и 60 на прости множители.

24 2
12 2
6 2
3 3
1
60 2
30 2
15 3
5 5
1

24 = 2³ ∙ 3
60 = 2² ∙ 3 ∙ 5
Трябва да вземете общите делители на числа с по-малък показател.
НОД (24; 60) \u003d 2² ∙ 3 \u003d 12.

И за да намерите LCM на две числа, трябва:

  1. Разложете на прости множители;
  2. Запишете всички прости множители, които са включени в първото число и във второто число с най-голям показател.

означава:
24 = 2³ ∙ 3 60 = 2² ∙ 3 ∙ 5 NOC (24; 60) = 2³∙ 3 ∙ 5 = 120.


Разделянето на естествени числа, особено многозначни, удобно се извършва по специален метод, който се нарича деление по колона (в колона). Можете също да видите името ъглово разделение. Веднага отбелязваме, че колоната може да се извърши както деление на естествени числа без остатък, така и деление на естествени числа с остатък.

В тази статия ще разберем как се извършва разделянето по колона. Тук ще говорим за правилата за писане и за всички междинни изчисления. Първо, нека се спрем на разделянето на многозначно естествено число на едноцифрено число чрез колона. След това ще се съсредоточим върху случаите, когато и дивидентът, и делителят са многозначни естествени числа. Цялата теория на тази статия е снабдена с характерни примери за деление на колона от естествени числа с подробни обяснения на решението и илюстрации.

Навигация в страницата.

Правила за записване при деление по стълб

Нека започнем с изучаването на правилата за писане на дивидент, делител, всички междинни изчисления и резултати при деление на естествени числа по колона. Да кажем веднага, че е най-удобно да се раздели в колона писмено на хартия с карирана линия - така че има по-малък шанс да се отклоните от желания ред и колона.

Първо се изписват делителя и делителя на един ред отляво надясно, след което между записаните числа се показва символ на формата. Например, ако дивидентът е числото 6 105, а делителят е 5 5, тогава правилното им записване, когато се раздели в колона, ще бъде:

Вижте следната диаграма, която илюстрира местата за записване на дивидент, делител, частно, остатък и междинни изчисления при деление на колона.

От горната диаграма се вижда, че желаното частно (или непълно частно при деление с остатък) ще бъде записано под делителя под хоризонталната линия. И междинните изчисления ще бъдат извършени под дивидента и трябва предварително да се погрижите за наличието на място на страницата. В този случай трябва да се ръководите от правилото: колкото по-голяма е разликата в броя на знаците в записите на дивидент и делител, толкова повече място е необходимо. Например, при разделяне на естествено число 614 808 на 51 234 с колона (614 808 е шестцифрено число, 51 234 е петцифрено число, разликата в броя на знаците в записите е 6−5=1), междинен изчисленията ще изискват по-малко място, отколкото при разделянето на числата 8 058 и 4 (тук разликата в броя на знаците е 4−1=3 ). За потвърждение на нашите думи представяме попълнените записи за деление на колона от тези естествени числа:

Сега можете да преминете директно към процеса на деление на естествени числа по колона.

Деление по стълб на естествено число с едноцифрено естествено число, деление по стълб алгоритъм

Ясно е, че разделянето на едно едноцифрено естествено число на друго е доста просто и няма причина тези числа да се разделят в колона. Въпреки това ще бъде полезно да практикувате първоначалните умения за деление по колона върху тези прости примери.

Пример.

Нека трябва да разделим с колона 8 на 2.

Решение.

Разбира се, можем да извършим деление с помощта на таблицата за умножение и веднага да запишем отговора 8:2=4.

Но ние се интересуваме как да разделим тези числа на колона.

Първо записваме дивидент 8 и делител 2, както се изисква от метода:

Сега започваме да намираме колко пъти делителя е в дивидента. За да направите това, последователно умножаваме делителя по числата 0, 1, 2, 3, ... докато резултатът е число, равно на делителя (или число, по-голямо от делителя, ако има деление с остатък ). Ако получим число, равно на делителя, веднага го записваме под дивидент, а на мястото на частното записваме числото, с което сме умножили делителя. Ако получим число, по-голямо от делимото, тогава под делителя записваме числото, изчислено на предпоследната стъпка, а на мястото на непълното частно записваме числото, с което е умножен делителя на предпоследната стъпка.

Да тръгваме: 2 0=0 ; 2 1=2 ; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Получихме число, равно на дивидента, така че го записваме под дивидента, а на мястото на частното пишем числото 4. Тогава записът ще изглежда така:

Остава последният етап от деленето на едноцифрените естествени числа със стълб. Под числото, написано под дивидента, трябва да нарисувате хоризонтална линия и да извадите числа над тази линия по същия начин, както се прави при изваждане на естествени числа с колона. Числото, получено след изваждане, ще бъде остатъкът от делението. Ако е равно на нула, тогава оригиналните числа се делят без остатък.

В нашия пример получаваме

Сега имаме готов запис на деление с колона на числото 8 на 2. Виждаме, че частното 8:2 е 4 (и остатъкът е 0).

Отговор:

8:2=4 .

Сега помислете как се извършва разделянето на колона от едноцифрени естествени числа с остатък.

Пример.

Разделете в колона 7 на 3.

Решение.

На начална фазазаписът изглежда така:

Започваме да откриваме колко пъти дивидентът съдържа делител. Ще умножим 3 по 0, 1, 2, 3 и т.н. докато получим число равно или по-голямо от дивидента 7. Получаваме 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (ако е необходимо, вижте статията сравнение на естествени числа). Под дивидент записваме числото 6 (получено е на предпоследната стъпка), а на мястото на непълното частно записваме числото 2 (умножението е извършено върху него на предпоследната стъпка).

Остава да извършим изваждането и деленето на колона от едноцифрени естествени числа 7 и 3 ще бъде завършено.

Така че частичният коефициент е 2, а остатъкът е 1.

Отговор:

7:3=2 (почивка 1) .

Сега можем да преминем към деление на многозначни естествени числа на едноцифрени естествени числа чрез колона.

Сега ще анализираме алгоритъм за разделяне на колони. На всеки етап ще представяме резултатите, получени от разделянето на многозначното естествено число 140 288 на еднозначното естествено число 4 . Този пример не е избран случайно, тъй като при решаването му ще се сблъскаме с всички възможни нюанси, ще можем да ги анализираме в детайли.

    Първо, разглеждаме първата цифра отляво в записа за дивидент. Ако числото, определено от тази цифра, е по-голямо от делителя, тогава в следващия параграф трябва да работим с това число. Ако това число е по-малко от делителя, тогава трябва да добавим следващата цифра отляво в записа на дивидента и да работим по-нататък с числото, определено от въпросните две цифри. За удобство избираме в нашия запис номера, с който ще работим.

    Първата цифра отляво в дивидента 140 288 е числото 1. Числото 1 е по-малко от делителя 4, така че разглеждаме и следващата цифра отляво в записа на дивидента. В същото време виждаме числото 14, с което трябва да работим по-нататък. Избираме това число в нотацията на дивидента.

Следващите точки от втора до четвърта се повтарят циклично, докато завърши разделянето на естествените числа по колона.

    Сега трябва да определим колко пъти делителя се съдържа в числото, с което работим (за удобство нека означим това число като x). За целта последователно умножаваме делителя по 0, 1, 2, 3, ... докато получим числото x или число, по-голямо от x. Когато се получи число x, тогава го записваме под избраното число според правилата за запис, използвани при изваждане от колона от естествени числа. Числото, с което е извършено умножението, се записва на мястото на частното по време на първото преминаване на алгоритъма (по време на следващите преминавания на 2-4 точки от алгоритъма това число се записва вдясно от числата, които вече са там). Когато се получи число, което е по-голямо от числото x, тогава под избраното число записваме числото, получено на предпоследната стъпка, а на мястото на частното (или вдясно от числата, които вече са там) записваме числото чрез при което умножението е извършено на предпоследната стъпка. (Извършихме подобни действия в двата примера, обсъдени по-горе).

    Умножаваме делителя на 4 по числата 0, 1, 2, ... докато получим число, което е равно на 14 или по-голямо от 14. Имаме 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>четиринадесет . Тъй като на последната стъпка получихме числото 16, което е по-голямо от 14, тогава под избраното число записваме числото 12, което се оказа на предпоследната стъпка, а на мястото на частното записваме числото 3, тъй като в предпоследния параграф умножението е извършено точно върху него.

    На този етап от избраното число извадете числото под него в колона. Под хоризонталната линия е резултатът от изваждането. Ако обаче резултатът от изваждането е нула, тогава не е необходимо да се записва (освен ако изваждането в този момент не е последното действие, което напълно завършва делението по колона). Тук, за ваш контрол, няма да е излишно да сравните резултата от изваждането с делителя и да се уверите, че е по-малък от делителя. Иначе някъде е допусната грешка.

    Трябва да извадим числото 12 от числото 14 в колона (за правилното записване не трябва да забравяте да поставите знак минус отляво на извадените числа). След завършване на това действие цифрата 2 се появи под хоризонталната линия. Сега проверяваме нашите изчисления, като сравняваме полученото число с делител. Тъй като числото 2 е по-малко от делителя 4, можете спокойно да преминете към следващия елемент.

    Сега под хоризонталната линия вдясно от числата, разположени там (или вдясно от мястото, където не сме написали нула), записваме числото, разположено в същата колона в записа на дивидента. Ако няма числа в записа на дивидента в тази колона, тогава разделянето по колона завършва тук. След това избираме числото, образувано под хоризонталната линия, приемаме го като работно число и повтаряме с него от 2 до 4 точки от алгоритъма.

    Под хоризонталната линия вдясно от числото 2, което вече е там, записваме числото 0, тъй като това е числото 0, което е в записа на дивидента 140 288 в тази колона. Така под хоризонталната линия се образува числото 20.

    Избираме това число 20, приемаме го като работно число и повтаряме с него действията от втора, трета и четвърта точка от алгоритъма.

    Умножаваме делителя на 4 по 0, 1, 2, ... докато получим числото 20 или число, което е по-голямо от 20. Имаме 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).

    Извършваме изваждане по колона. Тъй като изваждаме равни естествени числа, тогава, поради свойството да изваждаме равни естествени числа, получаваме нула като резултат. Ние не записваме нула (тъй като това все още не е последният етап от разделянето на колона), но си спомняме мястото, където можем да я запишем (за удобство ще маркираме това място с черен правоъгълник).

    Под хоризонталната линия вдясно от запомненото място записваме числото 2, тъй като именно тя е в записа на дивидента 140 288 в тази колона. Така под хоризонталната линия имаме числото 2 .

    Вземаме числото 2 като работно число, маркираме го и отново ще трябва да изпълним стъпките от 2-4 точки на алгоритъма.

    Умножаваме делителя по 0 , 1 , 2 и така нататък и сравняваме получените числа с отбелязаното число 2 . Имаме 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Затова под маркираното число записваме числото 0 (получено е на предпоследната стъпка), а на мястото на частното отдясно на числото, което вече е там, записваме числото 0 (умножихме по 0 на предпоследната стъпка).

    Извършваме изваждане по колона, получаваме числото 2 под хоризонталната линия. Проверяваме се, като сравняваме полученото число с делителя 4 . От 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.

    Под хоризонталната линия вдясно от числото 2 добавяме числото 8 (тъй като е в тази колона в записа на дивидента 140 288). Така под хоризонталната линия е числото 28.

    Приемаме този номер като работник, маркираме го и повтаряме стъпки 2-4 от параграфи.

Тук не би трябвало да има проблеми, ако сте внимавали досега. След извършване на всички необходими действия се получава следният резултат.

Остава за последен път да изпълним действията от точки 2, 3, 4 (оставяме на вас), след което получаваме пълна картина на разделянето на естествените числа 140 288 и 4 в колона:

Моля, имайте предвид, че числото 0 е написано най-отдолу на реда. Ако това не беше последната стъпка от деленето на колона (т.е. ако имаше числа в колоните отдясно в записа на дивидента), тогава нямаше да пишем тази нула.

Така, разглеждайки завършения запис за деление на многозначното естествено число 140 288 на еднозначното естествено число 4, виждаме, че числото 35 072 е лично (и остатъкът от делението е нула, той е на самия долната линия).

Разбира се, когато разделяте естествените числа на колона, няма да опишете всичките си действия толкова подробно. Вашите решения ще изглеждат като следните примери.

Пример.

Извършете дълго деление, ако дивидентът е 7136 и делителят е едно естествено число 9.

Решение.

На първата стъпка от алгоритъма за деление на естествени числа по колона получаваме запис от формата

След извършване на действията от втора, трета и четвърта точка на алгоритъма, записът на деление по колона ще приеме вида

Повтаряйки цикъла, ще имаме

Още едно преминаване ще ни даде пълна картина на деленето на колона от естествени числа 7 136 и 9

Така частичният коефициент е 792, а остатъкът от делението е 8.

Отговор:

7 136:9=792 (почивка 8) .

И този пример показва как дълго трябва да изглежда деленето.

Пример.

Разделете естественото число 7 042 035 на едноцифреното естествено число 7 .

Решение.

Най-удобно е да се извърши разделяне по колона.

Отговор:

7 042 035:7=1 006 005 .

Деление на колона от многозначни естествени числа

Бързаме да ви зарадваме: ако сте усвоили добре алгоритъма за разделяне на колона от предишния параграф на тази статия, тогава вече почти знаете как да изпълнявате деление на колона от многозначни естествени числа. Това е вярно, тъй като стъпки от 2 до 4 от алгоритъма остават непроменени и само незначителни промени се появяват в първата стъпка.

На първия етап от разделянето на колона от многозначни естествени числа, трябва да погледнете не първата цифра отляво в записа на дивидента, а толкова много от тях, колкото има цифри в записа на делителя. Ако числото, определено от тези числа, е по-голямо от делителя, тогава в следващия параграф трябва да работим с това число. Ако това число е по-малко от делителя, тогава трябва да добавим към разглеждането следващата цифра отляво в записа на дивидента. След това се извършват действията, посочени в параграфи 2, 3 и 4 от алгоритъма до получаване на крайния резултат.

Остава само да видим приложението на алгоритъма за деление на колона от многозначни естествени числа на практика при решаване на примери.

Пример.

Нека извършим деление на колона от многозначни естествени числа 5562 и 206.

Решение.

Тъй като в записа на делителя 206 участват 3 знака, ние разглеждаме първите 3 цифри отляво в записа на дивидента 5 562. Тези числа съответстват на числото 556. Тъй като 556 е по-голямо от делителя 206, ние приемаме числото 556 като работно, избираме го и преминаваме към следващия етап от алгоритъма.

Сега умножаваме делителя 206 по числата 0, 1, 2, 3, ... докато получим число, което е равно на 556 или по-голямо от 556. Имаме (ако умножението е трудно, тогава е по-добре да извършите умножението на естествените числа в колона): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Тъй като получихме число, което е по-голямо от числото 556, тогава под избраното число записваме числото 412 (получено е на предпоследната стъпка), а на мястото на частното записваме числото 2 (тъй като е умножено при предпоследната стъпка). Записът за разделяне на колони приема следната форма:

Извършете изваждане на колона. Получаваме разликата 144, това число е по-малко от делителя, така че можете безопасно да продължите да извършвате необходимите действия.

Под хоризонталната линия вдясно от наличното там число записваме числото 2, тъй като то е в записа на дивидента 5 562 в тази колона:

Сега работим с числото 1442, избираме го и преминаваме отново през стъпки две до четири.

Умножаваме делителя 206 по 0, 1, 2, 3, ... докато получим числото 1442 или число, което е по-голямо от 1442. Да тръгваме: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Изваждаме по колона, получаваме нула, но не я записваме веднага, а само запомняме позицията й, защото не знаем дали делението свършва тук, или ще трябва да повторим стъпките от алгоритъма отново:

Сега виждаме, че под хоризонталната линия вдясно от запомнената позиция не можем да запишем никакво число, тъй като в записа на дивидента в тази колона няма числа. Следователно това разделяне по колона приключи и ние допълваме записа:

  • Математика. Всякакви учебници за 1,2,3,4 клас на учебните заведения.
  • Математика. Всякакви учебници за 5 класа на учебни заведения.

Трябва да се отбележи, че комбинаториката е независим раздел от висшата математика (а не част от terver) и в тази дисциплина са написани тежки учебници, чието съдържание понякога не е по-лесно от абстрактната алгебра. Въпреки това, малка част от теоретичните знания ще ни бъдат достатъчни и в тази статия ще се опитам да анализирам основите на темата с типични комбинаторни проблеми в достъпна форма. И много от вас ще ми помогнат ;-)

Какво ще правим? В тесен смисъл комбинаториката е изчисляването на различни комбинации, които могат да бъдат направени от определен набор отделенобекти. Под обекти се разбират всякакви изолирани обекти или живи същества - хора, животни, гъби, растения, насекоми и др. При това на комбинаториката изобщо не й пука, че комплектът се състои от чиния грис, поялник и блатна жаба. Принципно важно е, че тези обекти са изброими - те са три. (дискретност)и е важно никой от тях да не си прилича.

След като много подредени, сега за комбинациите. Най-често срещаните видове комбинации са пермутации на обекти, изборът им от набор (комбинация) и разпределение (поставяне). Нека да видим как става това в момента:

Пермутации, комбинации и поставяния без повторение

Не се страхувайте от неясни термини, особено след като някои от тях наистина не са много успешни. Нека започнем с опашката на заглавката - какво означава " без повторение"? Това означава, че в този раздел ще разгледаме множества, които се състоят от различниобекти. Например ... не, няма да предлагам каша с поялник и жаба, нещо по-вкусно е по-добре =) Представете си, че на масата пред вас са се материализирали ябълка, круша и банан (ако има има такива, ситуацията може да бъде симулирана и реална). Подреждаме плодовете отляво надясно в следния ред:

ябълка / круша / банан

Въпрос първи: По колко начина могат да бъдат пренаредени?

Една комбинация вече е написана по-горе и няма проблеми с останалите:

ябълка / банан / круша
круша / ябълка / банан
круша / банан / ябълка
банан / ябълка / круша
банан / круша / ябълка

Обща сума: 6 комбинации или 6 пермутации.

Е, не беше трудно да изброя всички възможни случаи тук, но какво ще стане, ако има повече елементи? Вече с четири различни плода, броят на комбинациите ще се увеличи значително!

Моля, отворете референтния материал (ръководството е лесно за отпечатване)и в параграф номер 2 намерете формулата за броя на пермутациите.

Без мъки - 3 обекта могат да бъдат пренаредени по начини.

Въпрос втори: По колко начина можете да изберете а) един плод, б) два плода, в) три плода, г) поне един плод?

Защо да изберем? И така, в предишния абзац са събудили апетит - за да ядат! =)

а) Един плод може да бъде избран, очевидно, по три начина - вземете или ябълка, или круша, или банан. Официалното преброяване се извършва според формула за броя на комбинациите:

Записът в този случай трябва да се разбира по следния начин: „по колко начина можете да изберете 1 плод от три?“

б) Изброяваме всички възможни комбинации от два плода:

ябълка и круша;
ябълка и банан;
круша и банан.

Броят на комбинациите е лесен за проверка по същата формула:

Записът се разбира по подобен начин: „по колко начина можете да изберете 2 плода от три?“.

в) И накрая, три плода могат да бъдат избрани по уникален начин:

Между другото, формулата за броя на комбинациите също има смисъл за празна проба:
По този начин не можете да изберете нито един плод - всъщност не вземете нищо и това е.

г) По колко начина може поне единплодове? Условието „поне един“ предполага, че сме доволни от 1 плод (който и да е) или произволни 2 плода или всичките 3 плода:
начини, по които можете да изберете поне един плод.

Читателите, които внимателно са проучили уводния урок по теория на вероятноститевече измисли нещо. Но за значението на знака плюс по-късно.

За да отговоря на следващия въпрос, имам нужда от двама доброволци ... ... Е, тъй като никой не иска, тогава ще се обадя на дъската =)

Въпрос трети: По колко начина може да се раздаде един плод на Даша и Наташа?

За да раздадете два плода, първо трябва да ги изберете. Съгласно параграф "be" от предишния въпрос, това може да стане по начини, ще ги пренапиша отново:

ябълка и круша;
ябълка и банан;
круша и банан.

Но сега ще има двойно повече комбинации. Помислете например за първата двойка плодове:
можете да почерпите Даша с ябълка, а Наташа с круша;
или обратното - Даша ще получи крушата, а Наташа ще получи ябълката.

И такава пермутация е възможна за всяка двойка плодове.

Помислете за същата студентска група, която отиде на хорото. По колко начина могат да се сдвоят момче и момиче?

Начини, по които можете да изберете 1 млад мъж;
начини, по които можете да изберете 1 момиче.

И така, един млад мъж иможе да се избере едно момиче: начини.

Когато от всеки набор е избран 1 обект, тогава е валиден следният принцип на броене на комбинации: “ всекиобект от едно множество може да образува двойка с всекиобект от друг набор.

Тоест Олег може да покани всяко от 13-те момичета да танцуват, Евгений също може да покани всяко от тринадесетте, а други млади хора имат подобен избор. Общо: възможни двойки.

Трябва да се отбележи, че в този пример "историята" на образуването на двойка няма значение; ако обаче се вземе предвид инициативата, тогава броят на комбинациите трябва да се удвои, тъй като всяко от 13-те момичета може да покани и всяко момче да танцува. Всичко зависи от условията на конкретна задача!

Подобен принцип важи и за по-сложни комбинации, например: по колко начина могат да бъдат избрани двама младежи идве момичета да участват в скеча на KVN?

съюз Иподсказва недвусмислено, че комбинациите трябва да бъдат умножени:

Възможни групи от артисти.

С други думи, всекидвойка момчета (45 уникални двойки), с които може да се състезава всякаквидвойка момичета (78 уникални двойки). И ако вземем предвид разпределението на ролите между участниците, тогава ще има още повече комбинации. ... Много ми се иска, но все пак ще се въздържа да продължа, за да не насаждам у вас отвращение към студентския живот =).

Правилото за умножение се прилага за повече множители:

Задача 8

Колко трицифрени числа има, които се делят на 5?

Решение: за по-голяма яснота, ние обозначаваме това число с три звездички: ***

AT стотици мястоможете да напишете всяко едно от числата (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Нулата не е добра, защото в този случай числото престава да бъде трицифрено.

Но в десетки място(„в средата“) можете да изберете някоя от 10-те цифри: .

По условие числото трябва да се дели на 5. Числото се дели на 5, ако завършва на 5 или 0. По този начин в най-малката цифра се задоволяваме с 2 цифри.

Общо, има: трицифрени числа, които се делят на 5.

В същото време работата се дешифрира по следния начин: „9 начина, по които можете да изберете число стотици място и 10 начина да изберете число в десетки място и 2 начина на влизане единица цифра»

Или още по-просто: всекиот 9 цифри до стотици мястокомбинирани с всекиот 10 цифри десетки място и с всекиот две цифри единици цифра».

Отговор: 180

И сега…

Да, почти забравих за обещания коментар към задача № 5, в която Боря, Дима и Володя могат да получат по една карта по различни начини. Умножението тук има същото значение: по начини, по които можете да извадите 3 карти от тестето И във всекипроба, за да ги пренаредите по начини.

И сега проблемът за независимо решение ... сега ще измисля нещо по-интересно, ... нека бъде за същата руска версия на блекджек:

Задача 9

Колко печеливши комбинации от 2 карти има в игра с точки?

За тези, които не знаят: печеливша комбинация 10 + ACE (11 точки) = 21 точки и нека разгледаме печелившата комбинация от две аса.

(редът на картите във всяка двойка няма значение)

Кратко решение и отговор в края на урока.

Между другото, не е необходимо да се счита за примитивен пример. Блекджек е почти единствената игра, за която има математически обоснован алгоритъм, който ви позволява да победите казиното. Желаещите могат лесно да намерят много информация за оптималната стратегия и тактика. Вярно е, че такива майстори бързо попадат в черния списък на всички заведения =)

Време е да консолидираме покрития материал с няколко солидни задачи:

Задача 10

Вася има 4 котки вкъщи.

а) По колко начина могат да се поставят котките в ъглите на стаята?
б) По колко начина може да се позволи на котките да се разхождат?
в) по колко начина може Вася да вземе две котки (едната отляво, другата отдясно)?

Ние решаваме: първо, трябва отново да се отбележи, че проблемът е около различнопредмети (дори ако котките са еднояйчни близнаци). Това е много важно условие!

а) Мълчанието на котките. Това изпълнение подлежи на всички котки наведнъж
+ тяхното местоположение е важно, така че тук има пермутации:
начини, по които можете да поставите котки в ъглите на стаята.

Повтарям, че при пермутация има значение само броят на различните обекти и тяхната относителна позиция. В зависимост от настроението си, Вася може да настани животните в полукръг на дивана, в редица на перваза на прозореца и т.н. - ще има 24 пермутации във всички случаи.За удобство, желаещите могат да си представят, че котките са многоцветни (например бяло, черно, червено и раирано) и да изброят всички възможни комбинации.

б) По колко начина може да се позволи на котките да се разхождат?

Предполага се, че котките излизат на разходка само през вратата, докато въпросът предполага безразличие относно броя на животните - 1, 2, 3 или всичките 4 котки могат да излязат на разходка.

Отчитаме всички възможни комбинации:

Начини, по които можете да пуснете на разходка една котка (всеки от четирите);
начини, по които можете да пуснете две котки на разходка (сами избройте опциите);
начини, по които можете да пуснете три котки на разходка (една от четирите седи у дома);
начин, по който можете да освободите всички котки.

Вероятно се досещате, че получените стойности трябва да се сумират:
начини да пуснете котките на разходка.

За ентусиастите предлагам сложна версия на проблема - когато всяка котка от всяка извадка може случайно да излезе навън, както през вратата, така и през прозореца на 10-ия етаж. Ще има още комбинации!

в) По колко начина може Вася да вземе две котки?

Ситуацията включва не само избора на 2 животни, но и тяхното поставяне на ръцете:
начини да вземете 2 котки.

Второто решение: по начини, по които можете да изберете две котки иначини за засаждане всекидвойка в ръка:

Отговор: а) 24, б) 15, в) 12

Е, за да си изчистя съвестта, нещо по-конкретно за умножението на комбинации.... Нека Вася има 5 допълнителни котки =) По колко начина можете да пуснете 2 котки на разходка и 1 котка?

Тоест с всекиняколко котки могат да бъдат освободени всекикотка

Друг акордеон с бутони за самостоятелно решение:

Задача 11

3-ма пътници се качиха в асансьора на 12-етажна сграда. Всеки, независимо от останалите, може да излезе на всеки (започвайки от 2-ри) етаж с еднаква вероятност. По колко начина:

1) Пътниците могат да слизат на същия етаж (редът за излизане няма значение);
2) двама души могат да слязат на един етаж, а трети на друг;
3) хората могат да слизат на различни етажи;
4) Могат ли пътниците да излязат от асансьора?

И тук често питат отново, пояснявам: ако 2-3 души излизат на един етаж, тогава редът на излизане няма значение. МИСЛЕТЕ, използвайте формули и правила за комбинации събиране/умножение. В случай на затруднение е полезно пътниците да посочват имена и мотиви в какви комбинации могат да излязат от асансьора. Няма нужда да се разстройвате, ако нещо не се получи, например точка номер 2 е доста коварна, но един от читателите намери просто решение и още веднъж изразявам благодарността си за вашите писма!

Цялостно решение с подробни коментари в края на урока.

Последният параграф е посветен на комбинации, които също се срещат доста често - по моя субективна оценка в около 20-30% от комбинаторните задачи:

Пермутации, комбинации и поставяния с повторения

Изброените видове комбинации са описани в параграф № 5 от справочния материал Основни формули на комбинаториката, но някои от тях може да не са много ясни на първо четене. В този случай е препоръчително първо да се запознаете с практически примери и едва след това да разберете общата формулировка. Отивам:

Пермутации с повторения

При пермутации с повторения, както при "обикновени" пермутации, целия набор от обекти наведнъж, но има едно нещо: в това множество един или повече елементи (обекти) се повтарят. Отговаря на следващия стандарт:

Задача 12

Колко различни комбинации от букви могат да се получат чрез пренареждане на карти със следните букви: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?

Решение: в случай, че всички букви са различни, тогава трябва да се приложи тривиална формула, но е съвсем ясно, че за предложения набор от карти някои манипулации ще работят „на празен ход“, така че, например, ако размените някоя две карти с буквите „K във всяка дума, това ще бъде същата дума. Освен това физически картите могат да бъдат много различни: едната може да е кръгла с отпечатана буква „K“, другата е квадратна с нарисувана буква „K“. Но според смисъла на проблема, дори и такива карти счита за същото, тъй като условието пита за буквени комбинации.

Всичко е изключително просто - общо: 11 карти, включително буквата:

К - повтаря се 3 пъти;
O - повтаря се 3 пъти;
L - повтаря се 2 пъти;
b - повтаря се 1 път;
H - повтаря се 1 път;
И - повтаря се 1 път.

Проверка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, което искахме да проверим.

Според формулата брой пермутации с повторения:
могат да се получат различни буквени комбинации. Повече от половин милион!

За бързо изчисляване на голяма факторна стойност е удобно да използвате стандартната функция на Excel: отбелязваме във всяка клетка =ФАКТ(11)и щракнете Въведете.

На практика е напълно приемливо да не се записва общата формула и освен това да се пропуснат факторните единици:

Но предварителни коментари за повтарящи се букви са задължителни!

Отговор: 554400

Друг типичен пример за пермутации с повторения се намира в задачата за подреждане на шахматни фигури, които могат да бъдат намерени в склада готови решенияв съответния pdf. И за независимо решение измислих по-малко шаблонна задача:

Задача 13

Алексей се занимава със спорт, като 4 дни в седмицата - лека атлетика, 2 дни - силови упражнения и 1 ден почивка. По колко начина може да планира седмичните си часове?

Формулата не работи тук, защото взема предвид припокриващи се пермутации (например, когато силови упражнения в сряда се разменят със силови упражнения в четвъртък). И отново - всъщност едни и същи 2 силови тренировъчни сесии могат да бъдат много различни една от друга, но в контекста на задачата (по отношение на графика), те се считат за едни и същи елементи.

Решение в два реда и отговор в края на урока.

Комбинации с повторения

Характерна особеност на този тип комбинация е, че извадката се съставя от няколко групи, всяка от които се състои от едни и същи обекти.

Всички работиха усилено днес, така че е време да се освежите:

Задача 14

Студентското кафене продава колбаси в тесто, чийзкейкове и понички. По колко начина могат да бъдат закупени пет торти?

Решение: веднага обърнете внимание на типичния критерий за комбинации с повторения - според условието не набор от обекти като такъв, а различни видовеобекти; предполага се, че в продажба има поне пет хот-дога, 5 чийзкейка и 5 понички. Пайовете във всяка група, разбира се, са различни - защото абсолютно еднакви понички могат да бъдат симулирани само на компютър =) Въпреки това, физическите характеристики на пайовете не са от съществено значение за смисъла на проблема, а хот-догът / чийзкейкът / поничката в техните групи се считат за еднакви.

Какво може да има в пробата? На първо място трябва да се отбележи, че в мострата със сигурност ще има еднакви пити (защото избираме 5 броя, а се предлагат 3 вида за избор). Тук има опции за всеки вкус: 5 хот-дога, 5 чийзкейка, 5 понички, 3 хот-дога + 2 чийзкейка, 1 хот-дог + 2 + чийзкейка + 2 понички и т.н.

Както при "обикновените" комбинации, редът на избор и поставяне на питите в пробата няма значение - просто са избрали 5 парчета и това е.

Използваме формулата брой комбинации с повторения:
начин можете да купите 5 пая.

Приятен апетит!

Отговор: 21

Какво заключение може да се направи от много комбинаторни задачи?

Понякога най-трудното нещо е да се разбере състоянието.

Подобен пример за решение „направи си сам“:

Задача 15

Портфейлът съдържа доста голям брой монети от 1, 2, 5 и 10 рубли. По колко начина могат да се извадят три монети от портфейла?

За целите на самоконтрола отговорете на няколко прости въпроса:

1) Могат ли всички монети в извадката да са различни?
2) Посочете „най-евтината“ и най-„скъпата“ комбинация от монети.

Решение и отговори в края на урока.

От личен опит мога да кажа, че комбинациите с повторения са най-редкият гост в практиката, което не може да се каже за следния тип комбинации:

Поставяния с повторения

От набор, състоящ се от елементи, се избират елементи, като редът на елементите във всяка проба е важен. И всичко би било наред, но доста неочаквана шега е, че можем да избираме всеки обект от оригиналния комплект толкова пъти, колкото пожелаем. Образно казано, от „множеството няма да намалее“.

Кога се случва? Типичен пример е кодова брава с няколко диска, но поради развитието на технологиите е по-уместно да се разглежда нейният цифров наследник:

Задача 16

Колко 4-цифрени пин кода има?

Решение: всъщност, за да разрешите проблема, е достатъчно да знаете правилата на комбинаториката: можете да изберете първата цифра на ПИН кода по начини иначини - втората цифра на пин кода ипо същия начин - третият итолкова - четвъртият. По този начин, според правилото за умножение на комбинации, четирицифрен пин код може да бъде съставен: по начини.

А сега с формулата. По условие ни се предлага набор от числа, от които се избират и поставят числа в определен ред, докато числата в извадката могат да се повтарят (т.е. всяка цифра от оригиналния набор може да се използва произволен брой пъти). Според формулата за броя на поставянията с повторения:

Отговор: 10000

Какво ви идва на ум тук ... ... ако банкоматът "изяде" картата след третия неуспешен опит за въвеждане на пин кода, тогава шансовете да го вземете на случаен принцип са много илюзорни.

И кой каза, че няма практически смисъл от комбинаториката? Познавателна задача за всички читатели на сайта:

Проблем 17

Според държавния стандарт регистрационният номер на автомобила се състои от 3 цифри и 3 букви. В този случай не се допуска число с три нули, а буквите се избират от набора A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (използват се само онези букви на кирилицата, чието изписване съответства на латинските букви).

Колко различни регистрационни номера могат да бъдат съставени за даден регион?

Не е така, между другото, и много. В големите региони този брой не е достатъчен и затова за тях има няколко кода за надписа RUS.

Решение и отговор в края на урока. Не забравяйте да използвате правилата на комбинаториката ;-) …Исках да се похваля, че е изключително, но се оказа, че не е изключително =) Погледнах Wikipedia - там има изчисления, но без коментари. Въпреки че за образователни цели, вероятно, малко хора са го решили.

Нашият увлекателен урок приключи и накрая искам да кажа, че не си загубихте времето напразно - поради причината, че формулите на комбинаториката намират друго жизненоважно практическо приложение: те се намират в различни задачи на теория на вероятностите,
и в задачи по класическата дефиниция на вероятността- особено често

Благодарим на всички за активното участие и до скоро!

Решения и отговори:

Задача 2: Решение: намерете броя на всички възможни пермутации на 4 карти:

Когато карта с нула е на 1-во място, числото става трицифрено, така че тези комбинации трябва да бъдат изключени. Нека нулата е на първо място, тогава останалите 3 цифри в най-малко значимите цифри могат да бъдат пренаредени по различни начини.

Забележка : защото има малко карти, лесно е да изброите всички такива опции тук:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Така от предложения комплект можете да направите:
24 - 6 = 18 четирицифрени числа
Отговор : 18

З.Й.Никога не съм мислил , че тези задачи ще бъдат предложени на първокласници, един от които забеляза, че картата „9“ може да се използва като „6“ и следователно броят на комбинациите трябва да се удвои. Но условието все пак посочва конкретна цифра и е по-добре да се въздържате от удвояване.

Задача 4: Решение: 3 карти могат да бъдат избрани от 36 начина.
Отговор : 7140

Задача 6: Решение: начини.
Друго решение : начини за избор на двама души от група и начини за разпределяне на позициите във всяка извадка. Така може да се избират началник и негов заместник начини. Третото решение намерено от друг читател на сайта. Чрез комбинаторния продукт:

(11 начина да слезете от един пътник и за всекиот тези опции - 10 начина може да получите друг пътник и за всекивъзможна комбинация от изхода им – 9 начина може ли третият пътник да излезе)

4) Метод първи: обобщете комбинациите от първите три точки:
начина, по който пътниците могат да излязат от асансьора.

Метод втори : в общия случай е по-рационално; освен това ви позволява да се справите без резултатите от предишните параграфи. Разсъждението е следното: начините, по които първият пътник може да излезе от асансьора иначини, по които може да слезе вторият пътник и
2) „Най-евтиният“ комплект съдържа 3 монети от рубли, а най-„скъпият“ комплект съдържа 3 монети от десет рубли.

Задача 17: Решение: начини, по които можете да направите цифрова комбинация от регистрационен номер, като един от тях (000) трябва да бъде изключен:.
начини, по които можете да направите буквена комбинация от номер на кола.
Според правилото за умножение на комбинации всичко може да се състави:
номерата на колите
(всекикомбинирана цифрова комбинация с всекикомбинация от букви).
Отговор : 1726272