Математически анализ.

Работилница.

За студенти по специалността:

"Държавна и общинска администрация"

Т.З. Павлова

Колпашево 2008г

Глава 1 Въведение в анализа

1.1 Функции. Общи свойства

1.2 Теория на границите

1.3 Непрекъснатост на функцията

2.1 Определение на производната

2.4 Изследване на функции

2.4.1 Пълнофункционален учебен план

2.4.2 Примери за изследване на функциите

2.4.3. Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент

2.5 Правилото на L'Hospital

3.1 Неопределен интеграл

3.1.1 Дефиниции и свойства

3.1.2 Таблица на интегралите

3.1.3 Основни методи за интегриране

3.2 Определен интеграл

3.2.2 Методи за изчисляване на определен интеграл

Глава 4

4.1 Основни понятия

4.2 Граници и непрекъснатост на функциите на няколко променливи

4.3.3 Общ диференциал и неговото приложение към приблизителни изчисления

Глава 5

6.1 Помощна функция.

6.2 Линии на безразличие

6.3 Бюджет

Домашни задачи

1.1 Функции. Общи свойства

Числова функция се дефинира върху множеството D от реални числа, ако всяка стойност на променливата е свързана с някаква добре дефинирана реална стойност на променливата y, където D е домейнът на функцията.

Аналитично представяне на функцията:

изрично: ;

имплицитно: ;

в параметрична форма:

различни формули в областта на дефиницията:

Имоти.

Четна функция: . Например функцията е четна, т.к .

Нечетна функция: . Например, функцията е странна, т.к .

Периодична функция: , където T е периодът на функцията, . Например тригонометрични функции.

монотонна функция. Ако за някоя от областите на дефиниция - функцията се увеличава, - намалява. Например - увеличаване и - намаляващо.

Ограничена функция. Ако има число M такова, че . Например функции и , защото .

Пример 1. Намерете обхвата на функциите.

+ 2 – 3 +

1.2 Теория на границите

Определение 1. Границата на функцията at е числото b, ако за което и да е ( е произволно малко положително число) е възможно да се намери такава стойност на аргумента, започвайки от която се изпълнява неравенството.

Обозначаване: .

Определение 2. Границата на функцията at е числото b, ако за всяко (- произволно малко положително число) има такова положително число, че за всички стойности на x, удовлетворяващи неравенството, неравенството е вярно.

Обозначаване: .

Определение 3.Функцията се нарича безкрайно малка за или , ако или .

Имоти.

1. Алгебричната сума от краен брой безкрайно малки величини е безкрайно малка величина.

2. Произведението на безкрайно малка величина и ограничена функция (константа, друга безкрайно малка величина) е безкрайно малка величина.

3. Коефициентът на разделяне на безкрайно малка величина на функция, чиято граница е различна от нула, е безкрайно малка величина.

Определение 4.Функцията се нарича безкрайно голяма за if .

Имоти.

1. Произведението на безкрайно голямо количество от функция, чиято граница е различна от нула, е безкрайно голяма величина.

2. Сборът от безкрайно голямо количество и ограничена функция е безкрайно голяма величина.

3. Коефициентът на разделяне на безкрайно голямо количество на функция, която има ограничение, е безкрайно голямо количество.

Теорема.(Връзката между безкрайно малка стойност и безкрайно голяма стойност.) Ако функцията е безкрайно малка при (), тогава функцията е безкрайно голяма стойност при (). И обратно, ако функцията е безкрайно голяма при (), тогава функцията е безкрайно малка стойност при ().

Пределни теореми.

1. Функцията не може да има повече от едно ограничение.

2. Пределът на алгебричния сбор на няколко функции е равен на алгебричния сбор от границите на тези функции:

3. Границата на произведението на няколко функции е равна на произведението на границите на тези функции:

4. Границата на степента е равна на степента на границата:

5. Границата на частното е равна на частното от границите, ако границата на делителя съществува:

.

6. Първата забележителна граница.

Последствия:

7. Втора забележителна граница:

Последствия:

Еквивалентни безкрайно малки количества при:

Изчисляване на лимити.

При изчисляване на границите се използват основните теореми за границите, свойствата на непрекъснатите функции и правилата, които следват от тези теореми и свойства.

Правило 1За да се намери границата в точка на функция, която е непрекъсната в тази точка, е необходимо да се замести нейната гранична стойност вместо аргумента x във функцията под знака за граница.

Пример 2. Намерете

Правило 2Ако при намиране на границата на дроб границата на знаменателя е равна на нула, а границата на числителя е различна от нула, тогава границата на такава функция е равна на .

Пример 3. Намерете

Правило 3Ако при намиране на границата на дроб границата на знаменателя е равна, а границата на числителя е различна от нула, тогава границата на такава функция е равна на нула.

Пример 4 Намерете

Често заместването на граничната стойност на аргумент води до недефинирани изрази на формата

.

Намирането на границата на функция в тези случаи се нарича разкриване на несигурност. За да се разкрие несигурността, е необходимо, преди да се стигне до границата, да се извърши трансформацията на този израз. Използват се различни техники за разкриване на несигурност.

Правило 4. Несигурността на формата се разкрива чрез преобразуване на функцията на сублимита, така че в числителя и знаменателя да изберете фактор, чиято граница е нула, и, намалявайки дроба с него, намерете границата на частното. За да направите това, числителят и знаменателят се разлагат на множители или се умножават по изразите, свързани с числителя и знаменателя.

Правило 5Ако изразът за сублимит съдържа тригонометрични функции, тогава първата забележителна граница се използва за разкриване на несигурността на формата.

.

Правило 6. За да се разкрие несигурността на формата при , числителят и знаменателят на сублимитната дроб трябва да бъдат разделени на най-високата степен на аргумента и след това трябва да се намери границата на частното.

Възможни резултати:

1) желаната граница е равна на съотношението на коефициентите при най-високите степени на аргумента на числителя и знаменателя, ако тези степени са еднакви;

2) границата е равна на безкрайност, ако степента на аргумента числител е по-висока от степента на аргумента на знаменателя;

3) границата е нула, ако степента на аргумента числител е по-ниска от степента на аргумента на знаменателя.

а)

защото

Степените са равни, което означава, че границата е равна на съотношението на коефициентите при по-високи степени, т.е. .

б)

Степента на числителя, знаменателят е 1, което означава, че границата е равна на

v)

Степента на числителя е 1, знаменателят е , така че границата е 0.

Правило 7. За да се разкрие несигурността на формата, числителят и знаменателят на сублимитната дроб трябва да се умножат по спрегнатия израз.

Пример 10

Правило 8. За разкриване на несигурността на вида се използва втората забележителна граница и нейните последици.

Може да се докаже, че

Пример 11.

Пример 12.

Пример 13

Правило 9. При разкриване на несигурности, чиято сублимитна функция съдържа b.m.v., е необходимо да се заменят границите на тези b.m. до границите на б.м., еквивалентни на тях.

Пример 14

Пример 15

Правило 10 Правилото на L'Hospital (вж. 2.6).

1.3 Непрекъснатост на функцията

Функцията е непрекъсната в точката, ако границата на функцията, когато аргументът клони към a, съществува и е равна на стойността на функцията в тази точка.

Еквивалентни условия:

1. ;

3.

Класификация на точките на прекъсване:

разкъсване от първи вид

Отстраняеми – едностранните граници съществуват и са равни;

Фатален (скок) - едностранните граници не са равни;

прекъсване от втори вид: границата на функцията в дадена точка не съществува.

Пример 16. Установете естеството на прекъсването на функция в дадена точка или докажете непрекъснатостта на функция в тази точка.

за , функцията не е дефинирана, така че не е непрекъсната в този момент. Защото и съответно, , тогава е точка на прекъсване от първи вид.

б)

в сравнение със задача (а), функцията се разширява в точката, така че , така че дадената функция е непрекъсната в дадена точка.

Когато функцията не е дефинирана;

.

Защото една от едностранните граници е безкрайна, тогава е точка на прекъсване от втори вид.

Глава 2

2.1 Определение на производната

Дефиниция на производната

Производната или на дадена функция е границата на съотношението на увеличението на функцията към съответното увеличение на аргумента, когато нарастването на аргумента клони към нула:

Или .

Механичното значение на производната е скоростта на промяна на функцията. Геометричното значение на производната е допирателната на наклона на допирателната към графиката на функцията:

2.2 Основни правила за диференциация

име	Функция	Производна
Умножение с постоянен коефициент
Алгебрична сума от две функции
Продукт на две функции
Коефициент на две функции
Сложна функция

Производни на основни елементарни функции

№ п / стр	Име на функцията	Функция и нейната производна
1	постоянен
2	функция за захранване специални случаи
3	експоненциална функция специален случай
4	логаритмична функция специален случай
5	тригонометрични функции
6	обратен тригонометричен

б)

2.3 Деривати от по-висок порядък

Производна от втори ред на функция

Производна от втори ред на функцията:

Пример 18.

а) Намерете производната от втори ред на функцията.

Решение. Нека първо намерим производната от първи ред .

От производната от първи ред отново вземаме производната.

Пример 19. Намерете производната от трети порядък на функцията .

2.4 Изследване на функции

2.4.1 Пълнофункционален учебен план:

Пълен учебен план за функции:

1. Елементарно изследване:

Намерете областта на дефиниция и диапазона от стойности;

Открийте общите свойства: четно (нечетно), периодичност;

Намерете пресечни точки с координатни оси;

Определете областите на постоянство.

2. Асимптоти:

Намерете вертикални асимптоти, ако ;

Намерете наклонени асимптоти: .

Ако има някакво число, тогава са хоризонталните асимптоти.

3. Изследване с помощта на:

Намерете критичните точки, тези. точки, в които или не съществуват;

Определете интервалите на увеличение, тези. интервали, на които и намаляване на функцията - ;

Определете крайните точки: точките, при преминаване през които знакът се променя от "+" на "-", са максималните точки, от "-" до "+" - минималните.

4. Проучване с помощта на:

Намерете точки, в които или не съществуват;

Намерете области на изпъкналост, т.е. пролуки, върху които и вдлъбнатини -;

Намерете точки на огъване, т.е. точки на прехода, през който се променя знакът.

1. Отделните елементи от изследването се нанасят на графиката постепенно, както се намират.

2. Ако има трудности с конструирането на графика на функция, тогава стойностите на функцията се намират в някои допълнителни точки.

3. Целта на изследването е да се опише естеството на поведението на функцията. Следователно не се изгражда точна графика, а нейната апроксимация, върху която ясно са отбелязани намерените елементи (екстремуми, точки на инфлексия, асимптоти и др.).

4. Не е необходимо стриктно да се придържате към горния план; важно е да не се пропуснат характерните елементи от поведението на функцията.

2.4.2 Примери за изследване на функциите:

1)

2) Нечетна функция:

.

3) Асимптоти.

са вертикалните асимптоти, тъй като

Наклонена асимптота.

5)

- точка на огъване.

2) Нечетна функция:

3) Асимптоти: Няма вертикални асимптоти.

наклонен:

са наклонени асимптоти

4) - функцията се увеличава.

- точка на огъване.

Схематична графика на тази функция:

2) Обща функция

3) Асимптоти

- няма наклонени асимптоти

е хоризонталната асимптота при

- точка на огъване

Схематична графика на тази функция:

2) Асимптоти.

е вертикалната асимптота, тъй като

- няма наклонени асимптоти

, е хоризонталната асимптота

Схематична графика на тази функция:

2) Асимптоти

е вертикалната асимптота при , защото

- няма наклонени асимптоти

, е хоризонталната асимптота

3) – функцията намалява на всеки от интервалите.

Схематична графика на тази функция:

За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент, можете да използвате схемата:

1. Намерете производната на функцията.

2. Намерете критичните точки на функцията, в която или не съществува.

3. Намерете стойността на функцията в критичните точки, принадлежащи на даден сегмент и в неговите краища, и изберете най-голямата и най-малката от тях.

Пример. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията на дадения сегмент.

25. между

2) - критични точки

26. между тях.

Производната не съществува в , но 1 не принадлежи на този интервал. Функцията намалява на интервала, което означава, че няма максимална стойност, а най-малката стойност.

2.5 Правилото на L'Hospital

Теорема. Границата на съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи функции е равна на границата на отношението на техните производни (крайни или безкрайни), ако последната съществува в посочения смисъл.

Тези. когато разкривате несигурности от типа или, можете да използвате формулата:

.

27.

Глава 3. Интегрално смятане

3.1 Неопределен интеграл

3.1.1 Дефиниции и свойства

Определение 1. Функцията се нарича антипроизводна за if .

Определение 2. Неопределеният интеграл на функция f(x) е множеството от всички първопроизводни за тази функция.

Обозначаване: , където c е произволна константа.

Свойства на неопределения интеграл

1. Производна на неопределения интеграл:

2. Диференциал на неопределения интеграл:

3. Неопределен интеграл от диференциала:

4. Неопределен интеграл от сбора (разликата) на две функции:

5. Изваждане на постоянния фактор от знака на неопределения интеграл:

3.1.2 Таблица на интегралите

.1.3 Основни методи за интегриране

1. Използване на свойствата на неопределения интеграл.

Пример 29.

2. Подвеждане под знака на диференциала.

Пример 30.

3. Променлив метод за замяна:

а) заместване в интеграла

където - функция, която е по-лесна за интегриране от оригиналната; - функция, обратна функция; - първопроизводна на функцията .

Пример 31.

б) заместване в интеграла на вида:

Пример 32.

Пример 33.

4. Метод на интегриране по части:

Пример 34.

Пример 35.

Вземете отделно интеграла

Да се ​​върнем към нашия интеграл:

3.2 Определен интеграл

3.2.1 Понятието за определен интеграл и неговите свойства

Определение.Нека е дадена непрекъсната функция на някакъв интервал. Нека го начертаем.

Фигура, ограничена отгоре с крива, отляво и отдясно с прави линии и отдолу от сегмент на оста на абсцисата между точки а и b, се нарича криволинеен трапец.

S - площ - криволинеен трапец.

Разделете интервала на точки и вземете:

Интегрална сума:

Определение. Определеният интеграл е границата на интегралната сума.

Свойства на определен интеграл:

1. От интегралния знак може да се извади постоянен коефициент:

2. Интегралът от алгебричния сбор на две функции е равен на алгебричния сбор от интегралите на тези функции:

3. Ако отсечката на интегрирането е разделена на части, тогава интегралът върху целия отсечка е равен на сбора от интегралите за всяка от възникналите части, т.е. за всякакви a, b, c:

4. Ако на сегмента , тогава и

5. Границите на интегриране могат да се сменят и знакът на интеграла се променя:

6.

7. Интегралът в точката е равен на 0:

8.

9. („за средната стойност“) Нека y = f(x) е функция, интегрируема върху . Тогава , където , f(c) е средната стойност на f(x) на :

10. Формула на Нютон-Лайбниц

,

където F(x) е антипроизводната за f(x).

3.2.2 Методи за изчисляване на определен интеграл.

1. Директна интеграция

Пример 35.

а)

б)

v)

д)

2. Промяна на променливи под знака на определен интеграл .

Пример 36.

2. Интегриране по части в определен интеграл .

Пример 37.

а)

б)

д)

3.2.3 Приложения на определения интеграл

Характеристика	Тип функция	Формула
	в декартови координати
криволинейна секторна площ	в полярни координати
площ на извит трапец	в параметрична форма
дължината на дъгата	в декартови координати
дължината на дъгата	в полярни координати
дължината на дъгата	в параметрична форма
обем на тялото завъртане	в декартови координати
обем на тялото с дадена напречна раздел

Пример 38. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: и .

Решение:Намерете пресечните точки на графиките на тези функции. За да направим това, приравняваме функциите и решаваме уравнението

И така, пресечните точки и .

Намерете площта на фигурата, като използвате формулата

.

В нашия случай

Отговор: площта е (квадратни единици).

4.1 Основни понятия

Определение. Ако на всяка двойка независими числа от определен набор се присвоят една или повече стойности на променливата z според някакво правило, тогава променливата z се нарича функция на две променливи.

Определение. Домейнът на функция z е наборът от двойки, за които съществува функцията z.

Областта на функция от две променливи е определен набор от точки в координатната равнина Oxy. Z-координата се нарича апликат, а след това самата функция се представя като някаква повърхност в пространството E 3 . Например:

Пример 39. Намерете обхвата на функция.

а)

Изразът от дясната страна има смисъл само когато . Това означава, че областта на тази функция е множеството от всички точки, лежащи вътре и на границата на окръжност с радиус R, центрирана в началото.

Областта на тази функция са всички точки от равнината, с изключение на точките на правите, т.е. координатни оси.

Определение. Линиите на ниво функция са семейство от криви в координатната равнина, описани с уравнения от вида .

Пример 40 Намерете линии на ниво характеристики .

Решение. Линиите на нивото на дадена функция са семейство от криви в равнината , описани от уравнението

Последното уравнение описва семейство окръжности с център в точката О 1 (1, 1) на радиус . Повърхността на въртене (параболоид), описана от тази функция, става „по-стръмна“, когато се отдалечава от оста, което се дава от уравненията x = 1, y = 1. (Фиг. 4)

4.2 Граници и непрекъснатост на функциите на няколко променливи.

1. Граници.

Определение. Числото A се нарича граница на функцията, тъй като точката клони към точката, ако за всяко произволно малко число има такова число, че условието е вярно за всяка точка, условието също е вярно . Записвам: .

Пример 41. Намерете граници:

тези. ограничението зависи от , което означава, че не съществува.

2. Приемственост.

Определение. Нека точката принадлежи към областта на дефиниране на функцията. Тогава функция се нарича непрекъсната в точка if

(1)

и точката клони към точката по произволен начин.

Ако условие (1) не е изпълнено в нито една точка, тогава тази точка се нарича точка на прекъсване на функцията. Това може да бъде в следните случаи:

1) Функцията не е дефинирана в точката.

2) Няма ограничение.

3) Тази граница съществува, но не е равна на .

Пример 42. Определете дали дадената функция е непрекъсната в точката, ако .

Разбрах това така че тази функция е непрекъсната в точката.

границата зависи от k, т.е. тя не съществува в този момент, което означава, че функцията има прекъсване в тази точка.

4.3 Производни и диференциали на функции на няколко променливи

4.3.1 Частични производни от първи ред

Частичната производна на функция по отношение на аргумента x е обикновената производна на функция на една променлива x за фиксирана стойност на променливата y и се означава:

Частичната производна на функция по отношение на аргумента y е обикновената производна на функция на една променлива y за фиксирана стойност на променливата x и се означава:

Пример 43. Намерете частни производни на функции.

4.3.2 Частични производни от втори ред

Частичните производни от втори ред са частични производни на частни производни от първи ред. За функция от две променливи във формата са възможни четири типа частични производни от втори ред:

Частични производни от втори ред, при които се извършва диференциране по отношение на различни променливи, се наричат ​​смесени производни. Смесените производни от втори ред на два пъти диференцируема функция са равни.

Пример 44. Намерете частни производни от втори ред.

4.3.3 Общ диференциал и неговото приложение към приблизителни изчисления.

Определение. Диференциалът от първи ред на функция от две променливи се намира по формулата

.

Пример 45. Намерете общия диференциал за функцията.

Решение. Нека намерим частични производни:

.

При малки нараствания на аргументите x и y функцията получава приращение приблизително равно на dz, т.е. .

Формулата за намиране на приблизителната стойност на функция в точка, ако е известна нейната точна стойност в дадена точка:

Пример 46 Намерете .

Решение. Позволявам ,

След това използваме формулата

Отговор. .

Пример 47. Изчислете приблизително.

Решение. Нека разгледаме функция. Ние имаме

Пример 48. Изчислете приблизително.

Решение. Помислете за функцията . Получаваме:

Отговор. .

4.3.4 Неявно диференциране на функциите

Определение. Функцията се нарича неявна, ако е дадена от уравнение, което не е разрешимо по отношение на z.

Частичните производни на такава функция се намират по формулите:

Пример 49. Намерете частните производни на функцията z, дадена от уравнението .

Решение.

Определение. Функцията се нарича неявна, ако е дадена от уравнение, което не е разрешимо по отношение на y.

Производната на такава функция се намира по формулата:

.

Пример 50. Намерете производни на тези функции.

5.1 Локален екстремум на функция от няколко променливи

Определение 1. Функцията има максимум в точката if

Определение 2. Функцията има минимум в точката if за всички точки, достатъчно близки до точката и различни от нея.

Необходимо условие за екстремум. Ако функцията достигне екстремум в точката , тогава частните производни на функцията изчезват или не съществуват в тази точка.

Точки, в които частичните производни изчезват или не съществуват, се наричат ​​критични.

Достатъчен знак за екстремум. Нека функцията е дефинирана в някаква околност на критичната точка и има непрекъснати частични производни от втори ред в тази точка

1) има локален максимум в точката, ако и ;

2) има локален минимум в точката, ако и ;

3) няма локален екстремум в точката, ако ;

Схема за изследване на екстремума на функция от две променливи.

1. Намерете частните производни на функциите : и .

2. Решете системата от уравнения и намерете критичните точки на функцията.

3. Намерете частични производни от втори ред, изчислете техните стойности в критични точки и, като използвате достатъчно условие, направете заключение за наличието на екстремуми.

4. Намерете екстремумите на функцията.

Пример 51. Намерете екстремуми на функция .

1) Нека намерим частни производни.

2) Решете системата от уравнения

4) Намерете частните производни от втори ред и техните стойности в критични точки: . В момента получаваме:

Това означава, че няма екстремум в точката. В момента получаваме:

означава в минималната точка.

5.2 Глобален екстремум (най-голямата и най-малката стойност на функцията)

Най-големите и най-малките стойности на функция от няколко променливи, непрекъснати върху някакво затворено множество, се достигат или в точките на екстремум, или на границата на множеството.

Схема за намиране на най-голямата и най-малката стойност.

1) Намерете критичните точки, лежащи вътре в региона, изчислете стойността на функцията в тези точки.

2) Изследване на функцията на границата на региона; ако границата се състои от няколко различни линии, тогава изследването трябва да се извърши за всеки участък поотделно.

3) Сравнете получените стойности на функцията и изберете най-голямата и най-малката.

Пример 52. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в правоъгълник.

Решение. 1) Намерете критичните точки на функцията, за това намираме частните производни: , и решаваме системата от уравнения:

Получихме критичната точка A. Получената точка лежи вътре в дадената област,

Границата на региона се състои от четири сегмента: i. намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията на всеки сегмент.

4) Нека сравним получените резултати и да ги получим в точките .

Глава 6. Моделът на потребителския избор

Ще приемем, че има n различни стоки. Тогава някакъв набор от стоки ще бъде обозначен с n-мерния вектор , където е количеството на i-тия продукт. Множеството от всички множества от стоки X се нарича пространство.

Изборът на отделен потребител се характеризира с отношение на предпочитание: смята се, че потребителят може да каже за всеки два набора, който е по-желан, или той не вижда разлика между тях. Връзката на предпочитание е преходна: ако множеството е предпочитано пред множеството и множеството е предпочитано пред множеството, тогава множеството е предпочитано пред множеството. Ще приемем, че поведението на потребителите се описва изцяло от аксиомата за отделния потребител: всеки отделен потребител взема решение за потребление, покупки и т.н., въз основа на своята система от предпочитания.

6.1 Помощна функция

На множеството потребителски пакети X, функцията , чиято стойност в потребителския набор е равна на потребителската оценка на индивида за този набор. Функцията се нарича функция на потребителската полезност или функция на потребителските предпочитания. Тези. всеки потребител има своя собствена функция на полезност. Но целият набор от потребители може да бъде разделен на определени класове потребители (по възраст, имотно състояние и т.н.) и на всеки клас може да се присвои някаква, може би, усреднена функция на полезност.

По този начин функцията е потребителската оценка или нивото на задоволяване на потребностите на индивида при придобиване на този комплект. Ако набор е за предпочитане пред набор за даден индивид, тогава .

Свойства на полезна функция.

1.

Първите частни производни на функцията на полезността се наричат ​​пределни полезности на продуктите. От това свойство следва, че увеличаването на потреблението на един продукт при същата консумация на други продукти води до повишаване на потребителската оценка. вектор е градиентът на функцията, той показва посоката на най-голям растеж на функцията. За функция нейният градиент е вектор на пределните полезности на продуктите.

2.

Тези. Пределната полезност на всяка стока намалява с увеличаване на потреблението.

3.

Тези. пределната полезност на всеки продукт се увеличава с количеството на другия продукт.

Някои видове помощни функции.

1) Неокласическа: .

2) Квадрат: , където матрицата е отрицателно определена и за .

3) Логаритмична функция: .

6.2 Линии на безразличие

В приложните проблеми и модели на потребителски избор често се използва специален случай на набор от две стоки, т.е. когато функцията на полезност зависи от две променливи. Линията на безразличие е линия, свързваща потребителски комплекти, които имат еднакво ниво на задоволяване на нуждите на индивида. По същество линиите на безразличие са линии на ниво функция. Уравнения на линиите на безразличие: .

Основни свойства на линиите на безразличие.

1. Линиите на безразличие, съответстващи на различни нива на задоволяване на потребностите, не се докосват и не се пресичат.

2. Линиите на безразличие намаляват.

3. Линиите на безразличие са изпъкнали надолу.

Свойство 2 предполага важно приблизително равенство.

Това съотношение показва с колко индивид трябва да увеличи (намали) потреблението на втория продукт, като същевременно намали (увеличи) потреблението на първия продукт с една единица, без да променя нивото на задоволяване на нуждите си. Съотношението се нарича скорост на замяна на първия продукт с втория, а стойността се нарича пределен процент на заместване на първия продукт с втория.

Пример 53. Ако пределната полезност на първата стока е 6, а втората е 2, то с намаляване на потреблението на първата стока с една единица, потреблението на втората стока трябва да се увеличи с 3 единици едновременно ниво на задоволяване на потребностите.

6.3 Бюджет

Позволявам е векторът на цените за набор от n продукта; I е доходът на индивида, който е готов да похарчи за закупуване на набор от продукти. Множеството от пакети стоки, струващи най-много I при дадени цени, се нарича бюджетно множество B. В този случай наборът от пакети с стойност I се нарича граница G на бюджетното множество B. Така. множеството B е ограничено от границата G и естествените ограничения.

Бюджетният набор се описва от системата от неравенства:

В случай на набор от две стоки, бюджетното множество B (фиг. 1) е триъгълник в координатната система , ограничен от координатните оси и правата линия .

6.4 Теория на потребителското търсене

В теорията на потреблението се приема, че потребителят винаги се стреми да максимизира своята полезност и единственото ограничение за него е ограниченият доход I, който той може да изразходва за закупуване на набор от стоки. Най-общо проблемът за потребителския избор (проблемът за рационалното потребителско поведение на пазара) се формулира по следния начин: намерете потребителски набор , което максимизира своята функция на полезност предвид бюджетното ограничение. Математически модел на тази задача:

В случай на комплект от два елемента:

Геометрично, решението на този проблем е точката на допир между границата на бюджетното множество G и линията на безразличие.

Решението на този проблем се свежда до решаване на системата от уравнения:

(1)

Решението на тази система е решението на проблема с потребителския избор.

Решението на проблема с потребителския избор се нарича точка на търсене. Тази точка на търсене зависи от цените и дохода, т.е. точката на търсене е функция на търсенето. От своя страна функцията за търсене е набор от n функции, всяка от които зависи от аргумента:

Тези функции се наричат ​​функции на търсенето на съответните стоки.

Пример 54. За набор от две стоки на пазара, известни цени за тях и доход I, намерете функциите на търсене, ако функцията на полезност има формата .

Решение. Ние разграничаваме функцията полезност:

.

Заместваме получените изрази в (1) и получаваме система от уравнения:

В този случай разходите за всеки продукт ще бъдат половината от дохода на потребителя, а сумата на закупения продукт е равна на сумата, изразходвана за него, разделена на цената на продукта.

Пример 55. Нека функцията полезност за първия продукт , втория ,

цената на първия артикул, цената на втория. Доход . Колко от стоката трябва да закупи потребителят, за да увеличи максимално полезността?

Решение. Намерете производните на функциите на полезността, заместете в система (1) и я решете:

Този набор от стоки е оптимален за потребителя по отношение на максимизиране на полезността.

Контролната работа трябва да бъде завършена в съответствие с опцията, избрана от последната цифра от номера на регистрационната книга в отделна тетрадка. Всеки проблем трябва да съдържа условие, подробно решение и заключение.

1. Въведение в смятането

Задача 1. Намерете домейна на функцията.

5.

Задача 2. Намерете границите на функциите.

.

Задача 3. Намерете точките на прекъсване на функциите и определете техния тип.

1. 2. 3.

Глава 2

Задача 4. Намерете производни на тези функции.

1. а); б) в) y = ;

г) y = x 6 + + + 5; д) y \u003d x tg x + ln sin x + e 3x;

е) y \u003d 2 x - arcsin x.

2. а) ; б) y = ; в) y = ; г) y \u003d x 2 - + 3; д) y = e cos ; е) y = .

3. а) y = lnx; б) y =; в) y = ln;

4. а) y = ; б) y \u003d (e 5 x - 1) 6; в) y = ; г) y = ; д) y = x 8 ++ + 5; е) y \u003d 3 x - arcsin x.

5. а) y \u003d 2x 3 - + e x; б) y = ; в) y = ;

г) y = ; д) y = 2 cos ; е) y = .

6. а) y = lnx; б) y =; в) y = ln;

г) y = ; д) y \u003d x 7 + + 1; е) y = 2.

7. а) ; б) y = ; в) y = ; г) y \u003d x 2 + xsinx +; д) y = e cos ; е) y = .

8. а) y = ; б) y = (3 x - 4) 6; в) y = sintg;

г) y = 3x 4 - - 9+ 9; д) y = ;

д) y \u003d x 2 + arcsin x - x.

9. а); б) ; в) y = ; г) y \u003d 5 sin 3 x; д) y \u003d x 3 - - 6+ 3; е) y = 4x 4 + ln.

10. а) б) y = ; в) y = (3 x - 4) 6 ; г) y = ; д) y \u003d x 2 - x; е) y \u003d e sin 3 x + 2.

Задача 5. Изследване на функция и изграждане на нейната графика.

1. а) б) в).

2. а) б) v) .

3. а) б) v) .

4. б) v)

5. а) б) v) .

6. а) б) v) .

7. а) б) в).

8. а) б) в).

9. а) б) в).

10. а) б) v) .

Задача 6. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията на даден интервал.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Глава 3. Интегрално смятане

Задача 7. Намерете неопределени интеграли.

1. а) б);

2. а) ;b) c) d).

4. ж)

5. а) ; б); v) ; G).

6. а) ; б); v); ж)

7. а) ; б) ; v) ; ж)

8. а) ; б); v) ; Ж) .

9. а) ; б) в); G).

10. а) б) v) ; Ж) .

Задача 8. Изчисляване на определени интеграли.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Задача 9. Намерете неправилни интеграли или докажете, че се разминават.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задача 10. Намерете площта на областта, ограничена от криви

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Глава 4. Диференциално смятане на функция от няколко променливи.

Задача 11. Намерете домейна на функцията (показана на чертежа).

Задача 12. Изследване на непрекъснатостта на функция за

Задача 13. Намерете производната на имплицитно зададена функция.

Задача 14. Изчислете приблизително

1. а); б) ; v)

2. а) ; б) ; v) .

3. а) ; б) ; v) .

4. а) ; б) ; v) .

5. а); б) ; v) .

6. а); б) ; v) .

7. а); б) ; v) .

8. а) ;б) ; v)

9. а) ; б) ; v) .

10. а) ;б) ; v)

Задача 15. Изследване на функция за екстремуми.

7. .

8. .

9. .

10. .

Задача 16. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в дадена затворена област.

1. в правоъгълник

2.

3. в правоъгълник

4. в областта, ограничена от парабола

И абсцисата.

5. на квадрат

6. в триъгълник, ограничен от координатните оси и права линия

7. в триъгълник, ограничен от координатните оси и права линия

8. в триъгълник, ограничен от координатните оси и права линия

9. в областта, ограничена от парабола

И абсцисата.

10. в областта, ограничена от парабола

И абсцисата.

Основен

1. M.S. Крас, Б.П. Чупринов. Основи на математиката и нейното приложение в икономическото образование: Учеб. - 4-то изд., испански. – М.: Дело, 2003.

2. M.S. Крас, Б.П. Чупринов. Математика за икономически специалности: Учеб. - 4-то изд., испански. – М.: Дело, 2003.

3. M.S. Крас, Б.П. Чупринов. Математика за бакалавър по икономика. Учебник. - 4-то изд., испански. – М.: Дело, 2005.

4. Висша математика за икономисти. Учебник за университети / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Изд. проф. Н.Ш. Кремер, - 2-ро изд., преработено. и допълнителни - М: UNITI, 2003.

5. Кремер Н.Ш, Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Висша математика за икономически специалности. Учебник и практикум (част I и II) / Изд. проф. Н.Ш. Кремер, - 2-ро изд., преработено. и допълнителни - М: Висше образование, 2007. - 893с. - (Основи на науките)

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Висша математика в упражнения и задачи. М. гимназия. 1999 г.

Допълнителен

1. I.I. Баврин, В.Л. моряци. Висша математика. „Хуманитарен издателски център „Владос“, 2002г.

2. I.A. Зайцев. Висша математика. "Гимназия", 1998г.

3. A.S. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. Математика в икономиката / в две части/. М. Финанси и статистика. 1999 г.

Съдържанието на статията

МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ,клон на математиката, който предоставя методи за количествено изследване на различни процеси на промяна; се занимава с изследване на скоростта на изменение (диференциално смятане) и определяне на дължините на кривите, площите и обемите на фигурите, ограничени от извити контури и повърхности (интегрално смятане). Характерно за задачите на математическия анализ е, че тяхното решение е свързано с понятието граница.

Началото на математическия анализ е поставено през 1665 г. от И. Нютон и (около 1675) независимо от Г. Лайбниц, въпреки че важна подготвителна работа е извършена от И. Кеплер (1571–1630), Ф. Кавалиери (1598–1647), П. Ферма (1601–1665), Ж. Уолис (1616–1703) и И. Бароу (1630–1677).

За да направим презентацията по-оживена, ще прибегнем до езика на графиките. Следователно може да е полезно за читателя да разгледа статията АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ, преди да прочете тази статия.

ДИФЕРЕНЦИАЛНО ИЗЧИСЛЕНИЕ

Тангенти.

На фиг. 1 е показан фрагмент от кривата г = 2х – х 2, приложени между х= –1 и х= 3. Достатъчно малките сегменти от тази крива изглеждат прави. С други думи, ако Ре произволна точка от тази крива, тогава има някаква права линия, минаваща през тази точка и представляваща приближение на кривата в малък квартал на точката Р, и колкото по-малък е кварталът, толкова по-добро е приближението. Такава права се нарича допирателна към кривата в точката Р. Основната задача на диференциалното смятане е да се конструира общ метод, който ви позволява да намерите посоката на допирателната във всяка точка на кривата, където съществува допирателната. Лесно е да си представим крива с рязко прекъсване (фиг. 2). Ако Ре върхът на такова прекъсване, тогава е възможно да се построи апроксимираща права линия PT 1 - вдясно от точката Ри друга приблизителна линия RT 2 - вляво от точката Р. Но няма нито една права, минаваща през точката Р, който се приближи еднакво добре до кривата в близост до точката Пкакто отдясно, така и отляво, оттук и допирателната в точката Пне съществува.

На фиг. 1 допирателна ОТизтеглено през началото О= (0,0). Наклонът на тази права линия е 2, т.е. когато абсцисата се промени с 1, ординатата се увеличава с 2. Ако хи гса координатите на произволна точка на ОТ, след което се отдалечава от Оот разстояние хединици вдясно, ние се отдалечаваме от Она 2 гединици нагоре. следователно, г/х= 2, или г = 2х. Това е уравнението на допирателната ОТкъм кривата г = 2х – х 2 в точката О.

Сега е необходимо да се обясни защо от множеството прави, минаващи през точката О, се избира правата линия ОТ. Каква е разликата между права линия с наклон 2 и други прави линии? Има един прост отговор и ни е трудно да устоим на изкушението да го дадем, използвайки аналогията на допирателна към окръжност: допирателната ОТима само една обща точка с кривата, докато всяка друга невертикална линия, минаваща през точката О, пресича кривата два пъти. Това може да се провери по следния начин.

Тъй като изразът г = 2х – х 2 може да се получи чрез изваждане х 2 от г = 2х(директни уравнения ОТ), след това стойностите гза графиката има по-малко знания гза права линия във всички точки, с изключение на точката х= 0. Следователно графиката е навсякъде с изключение на точката О, разположен по-долу ОТ, и тази линия и графиката имат само една обща точка. Освен това, ако г = mx- уравнението на друга права линия, минаваща през точката О, тогава трябва да има две пресечни точки. Наистина ли, mx = 2х – х 2 не само за х= 0, но също и за х = 2 – м. И само когато м= 2 и двете пресечни точки съвпадат. На фиг. 3 показва случая, когато мпо-малко от 2, така че вдясно от Оима втора пресечна точка.

Какво ОТе единствената невертикална линия, минаваща през точката Ои има само една обща точка с графиката, което не е най-важното му свойство. Всъщност, ако се обърнем към други графики, скоро ще стане ясно, че свойството на допирателната, която отбелязахме, като цяло не е изпълнено. Например от фиг. 4 се вижда, че близо до точката (1,1) е графиката на кривата г = х 3 е добре апроксимирана от права линия RT, което обаче има повече от една обща точка с него. Въпреки това бихме искали да разгледаме RTдопирателна към тази графика в точката Р. Следователно е необходимо да се намери някакъв друг начин за подчертаване на допирателната от този, който ни послужи толкова добре в първия пример.

Да приемем, че през точката Ои произволна точка В = (з,к) върху графиката на кривата г = 2х – х 2 (фиг. 5) е начертана права линия (наречена секуща). Заместване в уравнението на кривата на стойностите х = зи г = к, разбираме това к = 2з – з 2, следователно, наклонът на секущата е равен на

При много малки зсмисъл мблизо до 2. Освен това избирайки здостатъчно близо до 0, можем да направим мпроизволно близо до 2. Можем да кажем, че м"отива до границата" равно на 2 когато зклони към нула или каква е границата ме равно на 2, когато зстремящи се към нула. Символично се пише така:

След това допирателната към графиката в точката Одефиниран като права, минаваща през точка О, с наклон, равен на тази граница. Това определение за допирателна е приложимо в общия случай.

Ще покажем предимствата на този подход с още един пример: ще намерим наклона на допирателната към графиката на кривата г = 2х – х 2 в произволна точка П = (х,г), не се ограничава до най-простия случай, когато П = (0,0).

Позволявам В = (х + з, г + к) е втората точка на графиката, разположена на разстояние звдясно от Р(фиг. 6). Необходимо е да се намери коефициентът на наклона к/зсеканс PQ. точка Ве на разстояние

над ос х.

Разширявайки скобите, намираме:

Изваждане от това уравнение г = 2х – х 2, намерете вертикалното разстояние от точката Ркъм основния въпрос В:

Следователно, наклонът мсеканс PQравно на

Сега какво зклони към нула мклони към 2-2 х; ще вземем последната стойност за наклона на допирателната PT. (Същият резултат ще бъде получен, ако зприема отрицателни стойности, което съответства на избора на точка Ввляво от П.) Имайте предвид, че за х= 0 резултатът е същият като предишния.

Израз 2 - 2 хсе нарича производна на 2 х – х 2. В старите времена производната се наричаше още "диференциално съотношение" и "диференциален коефициент". Ако израз 2 х – х 2 определят е(х), т.е.

тогава производната може да бъде обозначена

За да разберете наклона на допирателната към графиката на функцията г = е(х) в даден момент е необходимо да се замени в еў ( х) стойност, съответстваща на тази точка х. Така че наклонът еў (0) = 2 за х = 0, еў (0) = 0 за х= 1 и е¢ (2) = –2 at х = 2.

Производната също е обозначена вў , dy/dx, D x yи направи.

Фактът, че кривата г = 2х – х 2 близо до дадена точка е практически неразличима от нейната допирателна в тази точка, ни позволява да говорим за наклона на допирателната като "наклон на кривата" в точката на контакт. По този начин можем да твърдим, че наклонът на кривата, която разглеждаме, има наклон 2 в точката (0,0). Можем също да кажем, че когато х= 0 скорост на промяна готносително хе равно на 2. В точка (2,0) наклонът на допирателната (и кривата) е -2. (Знакът минус означава, че като хпроменлива гнамалява.) В точката (1,1) допирателната е хоризонтална. Казваме кривата г = 2х – х 2 има стационарна стойност в тази точка.

Върхове и спадове.

Току-що показахме, че кривата е(х) = 2х – х 2 е неподвижен в точката (1,1). Защото еў ( х) = 2 – 2х = 2(1 – х), ясно е, че кога х, по-малко от 1, еў ( х) е положителен и следователно гсе увеличава; в х, голям 1, еў ( х) е отрицателен и следователно гнамалява. По този начин, в близост до точката (1,1), посочена на фиг. 6 буква М, значение внараства до точка М, неподвижен в точката Ми намалява след точката М. Такава точка се нарича "максимум", тъй като стойността вв този момент надвишава която и да е от стойностите си в достатъчно малък квартал от него. По същия начин, "минимум" се дефинира като точката, около която всички стойности гнадвишават стойността вточно в този момент. Може също така да се случи, че въпреки че производната на е(х) в даден момент и изчезва, неговият знак не се променя в съседство на тази точка. Такава точка, която не е нито максимум, нито минимум, се нарича точка на прегъване.

Като пример, нека намерим неподвижната точка на кривата

Производната на тази функция е

и изчезва при х = 0, х= 1 и х= –1; тези. в точки (0,0), (1, –2/15) и (–1, 2/15). Ако хмалко по-малко от -1, тогава еў ( х) е отрицателен; ако хмалко повече от -1, тогава еў ( х) е положителен. Следователно точката (–1, 2/15) е максималната. По същия начин може да се покаже, че точката (1, -2/15) е минимум. Но производната еў ( х) е отрицателен както преди точката (0,0), така и след нея. Следователно (0,0) е точка на прегъване.

Изследването, проведено върху формата на кривата, както и факта, че кривата пресича оста хв е(х) = 0 (т.е. за х= 0 или ) ни позволяват да представим неговата графика приблизително, както е показано на фиг. 7.

Като цяло, ако изключим необичайни случаи (криви, съдържащи сегменти от прави линии или безкраен брой завои), има четири опции за относителното положение на кривата и допирателната в близост до точката на допирателна Р. (См. ориз. 8, където допирателната има положителен наклон.)

1) От двете страни на точката Ркривата лежи над допирателната (фиг. 8, а). В този случай казваме, че кривата в точката Ризпъкнала надолу или вдлъбната.

2) От двете страни на точката Ркривата е разположена под допирателната (фиг. 8, б). В този случай се казва, че кривата е изпъкнала нагоре или просто изпъкнала.

3) и 4) Кривата е разположена над допирателната от едната страна на точката Ра отдолу - от другата. В такъв случай Р- точка на огъване.

Сравняване на стойности еў ( х) от двете страни на Рсъс стойността му в точката Р, можете да определите с кой от тези четири случая трябва да се справите в конкретен проблем.

Приложения.

Всичко по-горе намира важни приложения в различни области. Например, ако тялото е хвърлено вертикално нагоре с начална скорост от 200 фута в секунда, тогава височината с, на която ще бъдат разположени през тсекунди в сравнение с началната точка ще бъде

Продължавайки по същия начин, както в примерите, които разгледахме, откриваме

тази стойност изчезва при s. Производна еў ( х) е положителен до c и отрицателен след това време. следователно, снараства до , след това става неподвижно и след това намалява. Това е общото описание на движението на тяло, хвърлено нагоре. От него научаваме кога тялото достигне най-високата си точка. След това заместване т= 25/4 инча е(т), получаваме 625 фута, максималната височина на повдигане. В тази задача еў ( т) има физическо значение. Тази производна показва скоростта, с която тялото се движи в даден момент т.

Нека сега разгледаме друг тип приложение (Фигура 9). От лист картон с площ 75 см 2 е необходимо да се направи кутия с квадратно дъно. Какви трябва да са размерите на тази кутия, за да има максимален обем? Ако х- страна на основата на кутията и зе неговата височина, тогава обемът на кутията е равен на V = х 2 з, а повърхността е 75 = х 2 + 4xh. Преобразувайки уравнението, получаваме:

Производна на Vсе оказва равен

и изчезва при х= 5. Тогава

и V= 125/2. Графика на функциите V = (75х – х 3)/4 е показано на фиг. 10 (отрицателни стойности хпропуснат, тъй като нямат физическо значение в този проблем).

Производни.

Важна задача на диференциалното смятане е създаването на методи, които ви позволяват бързо и удобно да намерите производни. Например, лесно е да се изчисли това

(Производната на константата, разбира се, е нула.) Не е трудно да се изведе общото правило:

където н- всяко цяло число или дроб. Например,

(Този пример показва колко полезни са дробните експоненти.)

Ето някои от най-важните формули:

Съществуват и следните правила: 1) ако всяка от двете функции ж(х) и е(х) има производни, то производната на тяхната сума е равна на сумата от производните на тези функции, а производната на разликата е равна на разликата на производните, т.е.

2) производната на произведението на две функции се изчислява по формулата:

3) производната на съотношението на две функции има формата

4) производната на функция, умножена по константа, е равна на константата, умножена по производната на тази функция, т.е.

Често се случва стойностите на дадена функция да се изчисляват на етапи. Например за изчисляване на греха х 2, първо трябва да намерим u = х 2 и след това вече изчислете синуса на числото u. Ние намираме производната на такива сложни функции, използвайки така нареченото "верижно правило":

В нашия пример е(u) = грях u, еў ( u) = cos u, следователно,

Тези и други подобни правила дават възможност незабавно да се запишат производните на много функции.

Линейни приближения.

Фактът, че, знаейки производната, в много случаи можем да заменим графиката на функция близо до някаква точка с нейната допирателна в тази точка, е от голямо значение, тъй като правите линии са по-лесни за работа.

Тази идея намира пряко приложение при изчисляването на приблизителните стойности на функциите. Например, е доста трудно да се изчисли стойността за х= 1,033. Но можете да използвате факта, че числото 1,033 е близко до 1 и това . близо х= 1 можем да заменим графиката на допирателната крива, без да правим сериозна грешка. Наклонът на такава допирателна е равен на стойността на производната ( х 1/3)ў = (1/3) х–2/3 за x = 1, т.е. 1/3. Тъй като точката (1,1) лежи върху кривата и наклонът на допирателната към кривата в тази точка е 1/3, уравнението на допирателната има вида

На тази права линия х = 1,033

Получена стойност гтрябва да бъде много близо до истинската стойност г; и наистина е само с 0,00012 повече от истинското. В математическия анализ са разработени методи, които позволяват да се подобри точността на такива линейни приближения. Тези методи гарантират надеждността на нашите приблизителни изчисления.

Току-що описаната процедура предлага една полезна нотация. Позволявам П- точката, съответстваща на графиката на функцията епроменлива х, и нека функцията е(х) е диференцируем. Нека променим графика на кривата близо до точката Рдопирателна към него в тази точка. Ако хпромяна на стойност з, тогава допирателната ордината ще се промени със стойността зХ е ў ( х). Ако змного малка, тогава последната стойност е добро приближение към истинската промяна в ординатата гграфики. Ако вместо това зще напишем символ dx(това не е продукт!), а промяна в ординатата гобозначават dy, тогава получаваме dy = е ў ( х)dx, или dy/dx = е ў ( х) (см. ориз. единадесет). Следователно, вместо на Dyили е ў ( х) за обозначаване на производната често се използва символът dy/dx. Удобството на тази нотация зависи главно от изричния вид на верижното правило (диференциране на сложна функция); в новата нотация тази формула изглежда така:

където се подразбира, че взависи от u, а uот своя страна зависи от х.

Стойност dyнаречен диференциал в; всъщност зависи от двепроменливи, а именно: от хи нараствания dx. При увеличение dxмного малък, размер dyе близо до съответната промяна в стойността г. Но да предположим, че увеличението dxмалко, няма нужда.

Производна на функция г = е(х) означихме е ў ( х) или dy/dx. Често е възможно да се вземе производната на производната. Резултатът се нарича втора производна на е (х) и се обозначава е ўў ( х) или д 2 г/dx 2. Например, ако е(х) = х 3 – 3х 2, тогава е ў ( х) = 3х 2 – 6хи е ўў ( х) = 6х– 6. Подобна нотация се използва за производни от по-висок порядък. Въпреки това, за да се избегне голям брой щрихи (равни на реда на производната), четвъртата производна (например) може да се запише като е (4) (х), и производната нта поръчка като е (н) (х).

Може да се покаже, че кривата в дадена точка е изпъкнала надолу, ако втората производна е положителна, и изпъкнала нагоре, ако втората производна е отрицателна.

Ако функцията има втора производна, тогава промяната в стойността гсъответстващ на приращението dxпроменлива х, може да се изчисли приблизително по формулата

Това приближение обикновено е по-добро от даденото от диференциала еў ( х)dx. Това съответства на замяната на част от кривата вече не е права линия, а парабола.

Ако функцията има е(х) тогава има производни от по-висок порядък

Останалият член има формата

където х- някакво число между хи х + dx. Горният резултат се нарича формула на Тейлър с остатък. Ако е(х) има производни на всички порядки, тогава обикновено R n® 0 за н ® Ґ .

ИНТЕГРАЛНО ИЗЧИСЛЕНИЕ

Квадратчета.

Изучаването на областите на криволинейните плоски фигури отваря нови аспекти на математическия анализ. Такива проблеми са се опитвали да решат дори древните гърци, за които определянето, например, на площта на кръг е една от най-трудните задачи. Голям успех в решаването на този проблем е постигнат от Архимед, който също успява да намери площта на параболичния сегмент (фиг. 12). Използвайки много сложни разсъждения, Архимед доказа, че площта на параболичен сегмент е 2/3 от площта на описания правоъгълник и следователно в този случай е равна на (2/3)(16) = 32/ 3. Както ще видим по-нататък, този резултат може лесно да бъде получен чрез методите на математическия анализ.

Предшествениците на Нютон и Лайбниц, главно Кеплер и Кавалиери, решават проблемите с изчисляването на площите на криволинейните фигури по метод, който трудно може да се нарече логически издържан, но който се оказва изключително плодотворен. Когато Уолис през 1655 г. комбинира методите на Кеплер и Кавалиери с тези на Декарт (аналитична геометрия) и се възползва от новородената алгебра, сцената за появата на Нютон е напълно подготвена.

Уолис раздели фигурата, чиято площ трябваше да се изчисли, на много тесни ивици, всяка от които приблизително се считаше за правоъгълник. След това той сумира площите на апроксимиращите правоъгълници и в най-простите случаи получава стойността, към която се стреми сумата от площите на правоъгълниците, когато броят на лентите отиде до безкрайност. На фиг. 13 показва правоъгълници, съответстващи на някакво разделяне на ленти на площта под кривата г = х 2 .

Основна теорема.

Великото откритие на Нютон и Лайбниц направи възможно да се изключи трудоемкият процес на преминаване до предела на сбора от площи. Това беше направено благодарение на нов поглед върху концепцията за площ. Изводът е, че трябва да представим площта под кривата, генерирана от движещата се от ляво на дясно ордината и да попитаме колко бързо се променя площта, изметната от ординатите. Получаваме ключа за отговора на този въпрос, ако разгледаме два специални случая, в които областта е известна предварително.

Да започнем с площта под графиката на линейната функция г = 1 + х, тъй като в този случай площта може да се изчисли с помощта на елементарна геометрия.

Позволявам А(х) е частта от равнината, затворена между правата линия г = 1 + хи сегмент OQ(фиг. 14). При шофиране QPдесен квадрат А(х) се увеличава. с каква скорост? Не е трудно да се отговори на този въпрос, тъй като знаем, че площта на трапец е равна на произведението на неговата височина и половината от сбора на основите. следователно,

Скорост на промяна на площта А(х) се определя от неговата производна

Ние виждаме това Аў ( х) съвпада с ординатата вточки Р. Случайно ли е? Нека се опитаме да проверим параболата, показана на фиг. 15. Квадрат А (х) под параболата в = х 2 в диапазона от 0 до хе равно на А(х) = (1 / 3)(х)(х 2) = х 3/3. Скоростта на промяна на тази област се определя от израза

която точно съвпада с ординатата вдвижеща се точка Р.

Ако приемем, че това правило важи в общия случай, така че

е скоростта на изменение на площта под графиката на функцията г = е(х), то това може да се използва за изчисления на други области. Всъщност съотношението Аў ( х) = е(х) изразява основна теорема, която може да бъде формулирана по следния начин: производната или скоростта на промяна на площта като функция на х, е равно на стойността на функцията е (х) в точката х.

Например, за да намерите площта под графиката на функция г = х 3 от 0 до х(фиг. 16), ние задаваме

Възможен отговор гласи:

тъй като производната на х 4/4 наистина е равно х 3 . Освен това, А(х) е нула за х= 0, както би трябвало да бъде, ако А(х) наистина е област.

При математическия анализ се доказва, че няма друг отговор освен горния израз за А(х), не съществува. Нека покажем, че това твърдение е правдоподобно, като използваме следните евристични (нестроги) разсъждения. Да предположим, че има някакво второ решение V(х). Ако А(х) и V(х) „стартира“ едновременно от нулевата стойност при х= 0 и се променят с една и съща скорост през цялото време, тогава техните стойности никога няма да се променят хне може да стане различен. Те трябва да съвпадат навсякъде; следователно има уникално решение.

Как можете да оправдаете съотношението Аў ( х) = е(х) общо взето? На този въпрос може да се отговори само чрез изследване на скоростта на промяна на площта като функция на хобщо взето. Позволявам м- най-малката стойност на функцията е (х) в интервала от хпреди ( х + з), а Ме най-голямата стойност на тази функция в същия интервал. След това увеличение на площта при преминаване от хДа се ​​( х + з) трябва да бъде затворен между площите на двата правоъгълника (фиг. 17). Основите на двата правоъгълника са равни з. По-малкият правоъгълник има височина ми площ mh, по-голям, съответно Ми Mh. Върху парцел с площ vs. х(фиг. 18) се вижда, че когато абсцисата се промени на з, стойността на ординатата (т.е. площта) се увеличава със сумата между mhи Mh. Наклонът на секанса в тази графика е между ми М. какво се случва, когато зотива на нула? Ако графиката на функцията г = е(х) е непрекъснат (т.е. не съдържа прекъсвания), тогава М, и мима тенденция в е(х). Следователно, наклонът Аў ( х) графика на площта като функция на хравно на е(х). Това беше изводът, до който трябваше да се стигне.

Лайбниц предложи за площта под кривата г = е(х) от 0 до аобозначаване

При строг подход този така наречен определен интеграл трябва да бъде определен като граница на определени суми по начина на Уолис. Като се има предвид получения резултат по-горе, става ясно, че този интеграл се изчислява при условие, че можем да намерим такава функция А(х), което изчезва, когато х= 0 и има производна Аў ( х) равна на е (х). Намирането на такава функция обикновено се нарича интегриране, въпреки че би било по-подходящо тази операция да се нарече антидиференциация, което означава, че в известен смисъл е обратното на диференцирането. В случай на полином, интегрирането е лесно. Например, ако

което е лесно да се провери чрез диференциране А(х).

За изчисляване на площта А 1 под кривата г = 1 + х + х 2 /2, затворени между ординатите 0 и 1, просто пишем

и чрез заместване х= 1, получаваме А 1 = 1 + 1 / 2 + 1 / 6 = 5 / 3. Квадрат А(х) от 0 до 2 е А 2 = 2 + 4 / 2 + 8 / 6 = 16 / 3. Както се вижда от фиг. 19, областта, затворена между ординатите 1 и 2 е А 2 – А 1 = 11/3. Обикновено се записва като определен интеграл

томове.

Подобни разсъждения правят изненадващо лесно изчисляването на обемите на телата на въртене. Нека демонстрираме това с примера за изчисляване на обема на топка, друг класически проблем, който древните гърци, използвайки познатите им методи, успяха да решат с голяма трудност.

Нека завъртим част от равнината, затворена в една четвърт от окръжността с радиус r, под ъгъл от 360° около оста х. В резултат на това получаваме полукълбо (фиг. 20), чийто обем означаваме V(х). Необходимо е да се определи скоростта, с която се V(х) с увеличаване х. Тръгвайки от хДа се х + з, лесно е да се провери дали увеличението на силата на звука е по-малко от обема стр(r 2 – х 2)зкръгъл цилиндър с радиус и височина з, и повече от обема стр[r 2 – (х + з) 2 ]зрадиус и височина на цилиндъра з. Следователно на графиката на функцията V(х) наклонът на секущата е затворен между стр(r 2 – х 2) и стр[r 2 – (х + з) 2]. Кога зклони към нула, наклонът клони към

В х = rполучаваме

за обема на полукълбото и следователно 4 p r 3/3 за обема на цялата топка.

Подобен метод позволява намиране на дължините на кривите и площите на извити повърхности. Например, ако а(х) - дължината на дъгата PRна фиг. 21, тогава нашата задача е да изчислим аў( х). На евристично ниво използваме техника, която ни позволява да не прибягваме до обичайното преминаване до границата, което е необходимо за строго доказателство на резултата. Да приемем, че скоростта на промяна на функцията а(х) в точката Рсъщото, което би било, ако кривата бъде заменена от нейната допирателна PTв точката П. Но от фиг. 21 се вижда директно, когато стъпвате звдясно или вляво от точката хзаедно RTсмисъл а(х) променя на

Следователно скоростта на промяна на функцията а(х) е

За да намерите самата функция а(х), необходимо е само да се интегрира изразът от дясната страна на равенството. Оказва се, че интеграцията е доста трудна за повечето функции. Следователно разработването на методи за интегрално изчисление е голяма част от математическия анализ.

Примитиви.

Всяка функция, чиято производна е равна на дадената функция е(х), се нарича антипроизводна (или примитивна) за е(х). Например, х 3/3 - антипроизводна за функцията х 2 защото ( х 3 /3)ў = х 2. Разбира се х 3/3 не е единствената първопроизводна на функцията х 2 защото х 3 /3 + ° Се също производната за х 2 за всяка константа С. Въпреки това, в това, което следва, се съгласяваме да пропуснем такива адитивни константи. Общо взето

където не цяло положително число, тъй като ( x n + 1/(н+ 1))ў = x n. Отношение (1) се удовлетворява в още по-общ смисъл, ако нзамени с произволно рационално число к, с изключение на -1.

Произволна антипроизводна функция за дадена функция е(х) обикновено се нарича неопределен интеграл от е(х) и го означете като

Например, тъй като (sin х)ў = cos х, формулата

В много случаи, когато има формула за неопределен интеграл на дадена функция, тя може да бъде намерена в множество широко публикувани таблици с неопределени интеграли. Интегралите на елементарните функции са таблични (те включват степени, логаритми, експоненциална функция, тригонометрични функции, обратни тригонометрични функции, както и техните крайни комбинации, получени чрез събиране, изваждане, умножение и деление). С помощта на таблични интеграли интегралите могат да бъдат изчислени и от по-сложни функции. Има много начини за изчисляване на неопределени интеграли; най-често срещаният от тях е променливият метод на заместване или заместване. Състои се във факта, че ако искаме да заменим в неопределения интеграл (2) хкъм някаква диференцируема функция х = ж(u), то за да не се промени интегралът, е необходимо хзаменен от жў ( u)ду. С други думи, равенството

(замяна 2 х = u, откъдето 2 dx = ду).

Нека представим още един метод на интегриране – метода на интегриране по части. Тя се основава на добре познатата формула

След интегриране на лявата и дясната страна и като се вземе предвид това

Тази формула се нарича формула за интегриране по части.

Пример 2. Трябва да намерите . Тъй като cos х= (грях х)ў , можем да напишем това

От (5), ако приемем u = хи v= грях х, получаваме

И тъй като (-cos х)ў = грях хнамираме това и

Трябва да се подчертае, че сме се ограничили до много кратко въведение в една много обширна тема, в която са натрупани множество остроумни трикове.

Функции на две променливи.

Поради извивката г = е(х), разгледахме два проблема.

1) Намерете наклона на допирателната към кривата в дадена точка. Този проблем се решава чрез изчисляване на стойността на производната еў ( х) в дадена точка.

2) Намерете площта под кривата над сегмента на оста хограничена от вертикални линии х = аи х = б. Този проблем се решава чрез изчисляване на определен интеграл.

Всеки от тези проблеми има аналог в случай на повърхност z = е(х,г).

1) Намерете допирателната равнина към повърхността в дадена точка.

2) Намерете обема под повърхността над частта на равнината ху, ограничена крива С, а отстрани - перпендикулярно на равнината xyпреминаващ през точките на граничната крива С (см. ориз. 22).

Следващите примери показват как се решават тези проблеми.

Пример 4. Намерете допирателната равнина към повърхността

в точката (0,0,2).

Равнината се дефинира, ако са дадени две пресичащи се прави, лежащи в нея. Един от тези редове л 1) ще се качим в самолета xz (в= 0), секунда ( л 2) - в самолета yz (х = 0) (см. ориз. 23).

На първо място, ако в= 0, тогава z = е(х,0) = 2 – 2х – 3х 2. Производна по отношение на х, обозначено еў х(х,0) = –2 – 6х, при х= 0 има стойност -2. Направо л 1, дадено от уравненията z = 2 – 2х, в= 0 - допирателна към С 1 , линии на пресичане на повърхността с равнината в= 0. По същия начин, ако х= 0, тогава е(0,г) = 2 – г – г 2 , и производната по отношение на вима формата

Защото еў г(0.0) = -1, крива С 2 - линия на пресичане на повърхността с равнината yz- има допирателна л 2 дадено от уравненията z = 2 – г, х= 0. Желаната допирателна равнина съдържа и двете прави л 1 и л 2 и се записва от уравнението

Това е уравнението на равнината. Освен това получаваме директни л 1 и л 2, като се приеме, че съответно в= 0 и х = 0.

Фактът, че уравнение (7) наистина дефинира допирателна равнина, може да се види на евристично ниво, ако се забележи, че това уравнение съдържа членове от първи ред в уравнение (6) и че членовете от втори ред могат да бъдат представени като –. Тъй като този израз е отрицателен за всички стойности хи в, Освен това х = в= 0, повърхността (6) лежи под равнината (7) навсякъде, с изключение на точката Р= (0,0,0). Можем да кажем, че повърхността (6) е изпъкнала нагоре в точката Р.

Пример 5. Намерете допирателната равнина към повърхността z = е(х,г) = х 2 – г 2 в началото 0.

На повърхността в= 0 имаме: z = е(х,0) = х 2 и еў х(х,0) = 2х. На С 1, пресечни линии, z = х 2. В точката Онаклонът е еў х(0,0) = 0. На равнината х= 0 имаме: z = е(0,г) = –г 2 и еў г(0,г) = –2г. На С 2, пресечни линии, z = –г 2. В точката Онаклон на кривата С 2 равни еў г(0,0) = 0. Тъй като допирателните към С 1 и С 2 са оси хи в, допирателната равнина, която ги съдържа, е равнината z = 0.

Въпреки това, в близост до началото, нашата повърхност не е от същата страна на допирателната равнина. Наистина, кривата С 1 лежи над допирателната равнина навсякъде, с изключение на точката 0 и кривата С 2 - съответно под него. Повърхността пресича допирателната равнина z= 0 по прави линии в = хи в = –х. За такава повърхност се казва, че има седловина в началото (фиг. 24).

Частни деривати.

В предишните примери използвахме производните на е (х,г) На хи от в. Нека сега разгледаме такива производни по по-общ начин. Ако имаме функция от две променливи, напр. Ф(х,г) = х 2 – xy, тогава можем да определим във всяка точка две от нейните "частични производни", едната - чрез диференциране на функцията по отношение на хи фиксиране в, и диференциране на другия по отношение на ви фиксиране х. Първата от тези производни се обозначава като еў х(х,г) или ¶ е/¶ х; второто е как ее г. Ако и двете смесени производни (от хи в, На ви х) са непрекъснати, тогава ¶ 2 е/¶ х¶ г= ¶ 2 е/¶ г¶ х; в нашия пример ¶ 2 е/¶ х¶ г= ¶ 2 е/¶ г¶ х = –1.

Частична производна еў х(х,г) показва скоростта на промяна на функцията ев точка ( х,г) в посока на нарастване х, а еў г(х,г) е скоростта на промяна на функцията евъв възходяща посока в. Скорост на промяна на функцията ев точка ( х,в) по посока на правата линия, съставляваща ъгъла qс положителна посока на ос х, се нарича производна на функцията екъм; стойността му е комбинация от две частни производни на функцията f в допирателната равнина е почти равен (за малки dxи dy) истинска промяна zна повърхността, но изчисляването на диференциала обикновено е по-лесно.

Формулата, която вече разгледахме от метода за промяна на променливата, известна като производна на сложна функция или верижното правило, в едномерния случай, когато взависи от х, а хзависи от т, изглежда като:

За функции на две променливи подобна формула има формата:

Понятията и обозначенията на частичното диференциране могат лесно да бъдат обобщени до по-високи измерения. По-специално, ако повърхността е дадена имплицитно от уравнението е(х,г,z) = 0, на уравнението на допирателната равнина към повърхността може да се даде по-симетричен вид: уравнението на допирателната равнина в точката ( x(x 2 /4)], след което се интегрира над хот 0 до 1. Крайният резултат е 3/4.

Формула (10) може да се интерпретира и като т. нар. двоен интеграл, т.е. като граница на сбора от обеми на елементарни "клетки". Всяка такава клетка има основа D хд ги височина, равна на височината на повърхността над някаква точка от правоъгълната основа ( см. ориз. 26). Може да се покаже, че и двете гледни точки на формула (10) са еквивалентни. Двойните интеграли се използват за намиране на центрове на тежестта и множество моменти, срещани в механиката.

По-строга обосновка на математическия апарат.

Досега представихме концепциите и методите на математическия анализ на интуитивно ниво и не се поколебахме да прибегнем до геометрични фигури. Остава да разгледаме накратко по-строгите методи, възникнали през 19-ти и 20-ти век.

В началото на 19-ти век, когато ерата на щурмите и настъплението в „създаването на математическия анализ” приключи, въпросите за неговата обосновка излязоха на преден план. В трудовете на Абел, Коши и редица други изтъкнати математици понятията "предел", "непрекъсната функция", "сходящ ред" са точно определени. Това беше необходимо, за да се въведе логически ред в основата на математическия анализ, за ​​да се превърне в надежден инструмент за изследване. Необходимостта от задълбочена обосновка стана още по-очевидна след откриването през 1872 г. от Вайерщрас на функции, които са навсякъде непрекъснати, но никъде не диференцируеми (графиката на такива функции има прекъсване във всяка от точките си). Този резултат направи зашеметяващо впечатление на математиците, тъй като явно противоречи на тяхната геометрична интуиция. Още по-ярък пример за ненадеждността на геометричната интуиция беше конструираната от Д. Пеано непрекъсната крива, която напълно запълва определен квадрат, т.е. преминавайки през всичките му точки. Тези и други открития оживяват програмата за "аритметизация" на математиката, т.е. правейки го по-надежден чрез обосноваване на всички математически понятия с помощта на понятието число. Почти пуританското въздържане от визуализация в трудовете върху основите на математиката имаше своето историческо оправдание.

Според съвременните канони на логическа строгост е неприемливо да се говори за площта под кривата г = е(х) и над сегмента на оста х, дори ее непрекъсната функция, без предварително да е определено точното значение на термина "област" и без да се установи, че така определената площ наистина съществува. Този проблем е успешно решен през 1854 г. от Б. Риман, който дава точно определение на понятието определен интеграл. Оттогава идеята за сумиране зад концепцията за определен интеграл е обект на много задълбочени изследвания и обобщения. В резултат на това днес е възможно да се даде смисъл на определения интеграл, дори ако интегралната функция е прекъсната навсякъде. Новите концепции за интеграция, за създаването на които А. Лебег (1875–1941) и други математици дадоха голям принос, увеличиха силата и красотата на съвременния математически анализ.

Едва ли би било уместно да навлизаме в детайлите на всички тези и други понятия. Ние се ограничаваме до даването на строги дефиниции на границата и определения интеграл.

В заключение нека кажем, че математическият анализ, като изключително ценен инструмент в ръцете на учен и инженер, все още привлича вниманието на математиците днес като източник на ползотворни идеи. В същото време съвременното развитие изглежда показва, че математическият анализ все повече се усвоява от такива доминиращи през 20-ти век. клонове на математиката като абстрактна алгебра и топология.

На който анализирахме най-простите производни, а също така се запознахме с правилата за диференциране и някои техники за намиране на производни. По този начин, ако не сте много добри с производните на функциите или някои точки от тази статия не са напълно ясни, тогава първо прочетете горния урок. Моля, настройте се на сериозно настроение - материалът не е лесен, но все пак ще се опитам да го представя просто и ясно.

На практика се налага да се справяте с производната на сложна функция много често, дори бих казал почти винаги, когато ви се поставят задачи за намиране на производни.

Разглеждаме в таблицата правилото (№ 5) за диференциране на сложна функция:

Разбираме. Първо, нека да разгледаме нотацията. Тук имаме две функции - и , а функцията, образно казано, е вложена във функцията. Функция от този вид (когато една функция е вложена в друга) се нарича сложна функция.

Ще извикам функцията външна функция, и функцията – вътрешна (или вложена) функция.

! Тези дефиниции не са теоретични и не трябва да се появяват в окончателния дизайн на заданията. Използвам неформалните изрази "външна функция", "вътрешна" функция само за да ви улесня в разбирането на материала.

За да изясните ситуацията, помислете за:

Пример 1

Намерете производната на функция

Под синуса имаме не само буквата "x", а целия израз, така че намирането на производната веднага от таблицата няма да работи. Също така забелязваме, че е невъзможно да се прилагат първите четири правила тук, изглежда има разлика, но факт е, че е невъзможно да се „разкъса“ синусът:

В този пример, вече от моите обяснения, интуитивно е ясно, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (вграждане) и външна функция.

Първа стъпка, което трябва да се извърши при намиране на производната на сложна функция е to разберете коя функция е вътрешна и коя е външна.

В случай на прости примери изглежда ясно, че полиномът е вложен под синуса. Но какво ще стане, ако не е очевидно? Как точно да определим коя функция е външна и коя вътрешна? За да направите това, предлагам да използвате следната техника, която може да се извърши умствено или на чернова.

Нека си представим, че трябва да изчислим стойността на израза с калкулатор (вместо едно може да има произволно число).

Какво изчисляваме първо? Преди всичкоще трябва да извършите следното действие: , така че полиномът ще бъде вътрешна функция:

Второще трябва да намерите, така че синусът - ще бъде външна функция:

След като ние РАЗБЕРЕТЕс вътрешни и външни функции е време да приложим правилото за диференциране на съставните функции .

Започваме да решаваме. От урока Как да намеря производната?помним, че дизайнът на решението на всяка производна винаги започва така - поставяме израза в скоби и поставяме черта в горния десен ъгъл:

Първонамираме производната на външната функция (синус), погледнете таблицата с производните на елементарните функции и забележете, че . Всички таблични формули са приложими дори ако "x" е заменено със сложен израз, в такъв случай:

Имайте предвид, че вътрешната функция не се е променило, ние не го докосваме.

Е, това е съвсем очевидно

Резултатът от прилагането на формулата чистото изглежда така:

Постоянният фактор обикновено се поставя в началото на израза:

Ако има някакво недоразумение, запишете решението на хартия и прочетете отново обясненията.

Пример 2

Намерете производната на функция

Пример 3

Намерете производната на функция

Както винаги пишем:

Разбираме къде имаме външна функция и къде вътрешна. За да направим това, се опитваме (умствено или на чернова) да изчислим стойността на израза за . Какво трябва да се направи първо? На първо място, трябва да изчислите на какво е равна основата:, което означава, че полиномът е вътрешна функция:

И едва тогава се извършва експоненция, следователно функцията на мощността е външна функция:

Според формулата , първо трябва да намерите производната на външната функция, в този случай степента. Търсим желаната формула в таблицата:. Пак повтаряме: всяка таблична формула е валидна не само за "x", но и за сложен израз. По този начин резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция следващия:

Отново подчертавам, че когато вземем производната на външната функция, вътрешната функция не се променя:

Сега остава да намерим много проста производна на вътрешната функция и да „разрешем“ малко резултата:

Пример 4

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решаване (отговор в края на урока).

За да затвърдя разбирането за производната на сложна функция, ще дам пример без коментари, опитайте се да го разберете сами, причина, къде е външната и къде е вътрешната функция, защо задачите се решават по този начин?

Пример 5

а) Намерете производната на функция

б) Намерете производната на функцията

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук имаме корен и за да се диференцира коренът, той трябва да бъде представен като степен. Така първо привеждаме функцията в правилната форма за диференциране:

Анализирайки функцията, стигаме до извода, че сборът от три члена е вътрешна функция, а степенуването е външна функция. Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция :

Степента отново се представя като радикал (корен), а за производната на вътрешната функция прилагаме просто правило за диференциране на сумата:

Готов. Можете също да доведете израза до общ знаменател в скоби и да запишете всичко като една дроб. Красиво е, разбира се, но когато се получат тромави дълги производни, по-добре е да не правите това (лесно е да се объркате, да направите ненужна грешка и ще бъде неудобно за учителя да провери).

Пример 7

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решаване (отговор в края на урока).

Интересно е да се отбележи, че понякога вместо правилото за диференциране на сложна функция, може да се използва правилото за диференциране на частно , но такова решение ще изглежда като извращение необичайно. Ето един типичен пример:

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да използвате правилото за диференциране на частното , но е много по-изгодно да се намери производната чрез правилото за диференциране на сложна функция:

Подготвяме функцията за диференциране - изваждаме знака минус на производната и повдигаме косинуса до числителя:

Косинусът е вътрешна функция, степента е външна функция.
Нека използваме нашето правило :

Намираме производната на вътрешната функция, нулираме косинуса обратно:

Готов. В разглеждания пример е важно да не се бъркате в знаците. Между другото, опитайте се да го решите с правилото , отговорите трябва да съвпадат.

Пример 9

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решаване (отговор в края на урока).

Досега разглеждахме случаи, при които имахме само едно вложение в сложна функция. В практическите задачи често можете да намерите производни, където, подобно на кукли за гнездене, една в друга, 3 или дори 4-5 функции са вложени наведнъж.

Пример 10

Намерете производната на функция

Разбираме прикачените файлове на тази функция. Опитваме се да оценим израза с помощта на експерименталната стойност. Как бихме разчитали на калкулатор?

Първо трябва да намерите, което означава, че арксинусът е най-дълбокото гнездене:

След това този арксинус на единството трябва да бъде на квадрат:

И накрая, вдигаме седемте на степен:

Тоест, в този пример имаме три различни функции и две вложени функции, докато най-вътрешната функция е арксинус, а най-външната функция е експоненциалната функция.

Започваме да решаваме

Според правилото първо трябва да вземете производната на външната функция. Разглеждаме таблицата на производните и намираме производната на експоненциалната функция: Единствената разлика е, че вместо "x" имаме сложен израз, който не отрича валидността на тази формула. И така, резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция следващия.

за студенти медицински, детски, дентални

и медицински и профилактични факултети

към лабораторна работа

"Основни понятия на математическия анализ"

1. Научно-методическа обосновка на темата:

Понятията за производна и диференциал са сред основните понятия на математическия анализ. Изчисляването на производните е необходимо при решаване на много задачи по физика и математика (намиране на скорост, ускорение, налягане и др.). Значението на концепцията за производна, по-специално, се определя от факта, че производната на функция характеризира скоростта на промяна на тази функция, когато нейният аргумент се промени.

Използването на диференциала дава възможност за извършване на приблизителни изчисления, както и за оценка на грешките.

Методите за намиране на производни и диференциали на функциите и тяхното приложение представляват основната задача на диференциалното смятане. Необходимостта от концепцията за производна възниква във връзка с формулирането на задачата за изчисляване на скоростта на движение и намиране на ъгъла на допирателната към кривата. Възможна е и обратната задача: определете изминатото разстояние от скоростта и намерете съответната функция по тангенса на наклона на допирателната. Такава обратна задача води до концепцията за неопределен интеграл.

Концепцията за определен интеграл се използва в редица практически задачи, по-специално в задачи за изчисляване на площите на плоските фигури, изчисляване на работата, извършена от променлива сила, и намиране на средната стойност на функция.

При математическото описание на различни физически, химични, биологични процеси и явления често се използват уравнения, които съдържат не само изследваните величини, но и техните производни от различни порядки на тези величини. Например, според най-простата версия на закона за бактериалната репродукция, скоростта на възпроизвеждане е пропорционална на броя на бактериите в даден момент. Ако това число се обозначи с N(t), тогава, в съответствие с физическото значение на производната, скоростта на размножаване на бактериите е производна на N(t) и въз основа на горния закон можем да напишем съотношението N "(t) = k ∙ N, където k> 0 - коефициент на пропорционалност Полученото уравнение не е алгебрично, тъй като съдържа не само неизвестната функция N(t), но и нейната производна от първи ред.

2. Кратка теория:

1. Проблеми, водещи до понятието производно

1. Проблемът за намиране на скоростта v на материална точка. Нека някаква материална точка направи праволинейно движение. В момента във времето т 1 точката е на позиция М 1. В момента във времето т 2 бременна М 2 . Означете интервала М 1 , М 2 през ∆S; т 2 - т 1 =Δt. Стойността се нарича средна скорост на движение. За намиране на моментната скорост на точка в позиция М 1 необходимо Δtсе насочи към нулата. Математически това означава, че

, (1)

По този начин, за да се намери моментната скорост на материална точка, е необходимо да се изчисли границата на съотношението на приращение на функцията ∆Sна нарастването на аргумента Δt при условие, че ∆t→0.

2. Проблемът за намиране на ъгъла на наклона на допирателната към графиката на функцията.

Фиг. 1

Помислете за графиката на някаква функция y=f(x).Какъв е ъгълът на наклон
допирателна, начертана в точка М 1 ? В точката М 1 начертайте допирателна към графиката на функцията. Изберете произволна точка на графиката М 2 и начертайте секуща. Той е наклонен към оста охпод ъгъл α 1 . Обмисли ΔM 1 М 2 A:

, (2)

Ако точката М 1 фиксирайте и насочете М 2 Приближаване М 1 , след това секанс М 1 М 2 ще стане допирателна към графиката на функцията в точката М 1 и можете да напишете:

, (3)

По този начин е необходимо да се изчисли границата на съотношението на приращението на функцията към приращението на аргумента, ако приращението на аргумента клони към нула.

Границата на съотношението на приращение Δy на функцията y=f(x) към приращение на аргумента Δx в дадена точка x 0 тъй като Δx клони към нула, се нарича производна на функцията в дадена точка.

Производна нотация: y", f "(x), . По дефиниция

, (4)

където Δx=х 2 -х 1 е приращението на аргумента (разликата между две следващи достатъчно близки стойности на аргумента), Δy=y 2 -y 1 е приращението на функцията (разликата между стойностите ​​на функцията, съответстваща на тези стойности на аргумента).

Намирането на производната на дадена функция се нарича нейно диференциация. Диференцирането на основните елементарни функции се извършва по готови формули (виж таблицата), както и с помощта на правила:

Производна на алгебрична сума функции е равна на сумата от производните на тези функции:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Производната на произведението на две функции е равна на сбора от произведенията на втората функция по производната на първата и първата функция по производната на втората:

(у∙υ )"=u"υ +уυ "

3. Производна на частното на две функции е равно на дроб, числителят на която е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадратът на знаменателя:

Физическото значение на производната. От сравнението на (4) и (1) следва, че моментната скорост на праволинейното движение на материална точка е равна на производната на зависимостта на нейната координата от времето.

Общото значение на производната на функция е, че тя характеризира скорост (бързина) на промяна на функциятапредвид промяната в аргумента. Скоростта на физичните, химичните и други процеси, като скоростта на охлаждане на тялото, скоростта на химична реакция, скоростта на размножаване на бактериите и др., също се изразява с производно.

Геометричното значение на производната.Стойността на тангенса на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията, се нарича в математиката наклона на допирателната.

Наклонът на допирателната, начертан към графиката на диференцируема функция в дадена точка, е числено равен на производната на функцията в тази точка.

Това твърдение се нарича геометричен смисъл на производната.