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परिभाषा.

यह एक षट्भुज है, जिसके आधार दो समान वर्ग हैं, और पार्श्व फलक समान आयत हैं।

साइड रिबदो आसन्न भुजाओं का उभयनिष्ठ पक्ष है

प्रिज्म ऊँचाईप्रिज्म के आधारों के लंबवत एक रेखा खंड है

प्रिज्म विकर्ण- आधारों के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है

विकर्ण विमान- एक तल जो प्रिज्म के विकर्ण और उसके पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है

विकर्ण खंड- प्रिज्म और विकर्ण तल के प्रतिच्छेदन की सीमाएँ। एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण खंड एक आयत है

लंबवत खंड (ऑर्थोगोनल सेक्शन)- यह एक प्रिज्म का प्रतिच्छेदन है और इसके किनारे के किनारों पर लंबवत खींचा गया एक विमान है

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के तत्व

यह आंकड़ा दो नियमित चतुर्भुज प्रिज्म दिखाता है, जो संबंधित अक्षरों से चिह्नित होते हैं:

• आधार एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 एक दूसरे के बराबर और समानांतर हैं
• भुजा का मुख AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C और CC 1 D 1 D है, जिनमें से प्रत्येक एक आयत है
• पार्श्व सतह - प्रिज्म के सभी पक्षों के क्षेत्रों का योग
• कुल सतह - सभी आधारों और पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग (पक्ष की सतह और आधारों के क्षेत्रफल का योग)
• साइड रिब्स AA 1, BB 1, CC 1 और DD 1।
• विकर्ण बी 1 डी
• आधार विकर्ण BD
• विकर्ण खंड बी बी 1 डी 1 डी
• लंबवत खंड ए 2 बी 2 सी 2 डी 2।

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के गुण

• आधार दो बराबर वर्ग हैं
• आधार एक दूसरे के समानांतर हैं
• भुजाएँ आयताकार हैं।
• पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर हैं
• पार्श्व फलक आधारों के लंबवत होते हैं
• पार्श्व पसलियां एक दूसरे के समानांतर और बराबर होती हैं
• लंबवत खंड सभी तरफ की पसलियों के लंबवत और आधारों के समानांतर
• लंबवत खंड कोण - दाएं
• एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण खंड एक आयत है
• लंबवत (ऑर्थोगोनल सेक्शन) आधारों के समानांतर

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के सूत्र

समस्याओं के समाधान के निर्देश

विषय पर समस्याओं को हल करते समय " नियमित चतुर्भुज प्रिज्म" इसका आशय है:

सही प्रिज्म- एक प्रिज्म जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और किनारे के किनारे आधार के विमानों के लंबवत होते हैं। अर्थात्, एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म इसके आधार पर होता है वर्ग. (एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के गुणों के ऊपर देखें) टिप्पणी. यह ज्यामिति (सेक्शन सॉलिड ज्योमेट्री - प्रिज्म) में समस्याओं वाले पाठ का हिस्सा है। यहां ऐसे कार्य हैं जो हल करने में कठिनाइयों का कारण बनते हैं। यदि आपको ज्यामिति में कोई समस्या हल करने की आवश्यकता है, जो यहाँ नहीं है - इसके बारे में फोरम में लिखें. निकालने की क्रिया को इंगित करने के लिए वर्गमूलसमस्या समाधान में प्रतीक का प्रयोग किया जाता है√ .

एक कार्य।

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म में, आधार क्षेत्र 144 सेमी 2 और ऊंचाई 14 सेमी है। प्रिज्म का विकर्ण और कुल सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

समाधान.
एक नियमित चतुर्भुज एक वर्ग है।
तदनुसार, आधार की भुजा बराबर होगी

√144 = 12 सेमी.
जहां से एक नियमित आयताकार प्रिज्म के आधार का विकर्ण बराबर होगा
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

एक नियमित प्रिज्म का विकर्ण आधार के विकर्ण और प्रिज्म की ऊंचाई के साथ बनता है सही त्रिकोण. तदनुसार, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, किसी दिए गए नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का विकर्ण बराबर होगा:
((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 सेमी

उत्तर: 22 सेमी

एक कार्य

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि इसका विकर्ण 5 सेमी और पार्श्व फलक का विकर्ण 4 सेमी है।

समाधान.
चूंकि एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, तो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा आधार की भुजा (ए के रूप में निरूपित) पाई जाती है:

ए 2 + ए 2 = 5 2
2ए 2 = 25
ए = √12.5

पार्श्व फलक की ऊंचाई (एच के रूप में निरूपित) तब इसके बराबर होगी:

एच 2 + 12.5 \u003d 4 2
एच 2 + 12.5 = 16
ज 2 \u003d 3.5
एच = √3.5

कुल सतह क्षेत्र पार्श्व सतह क्षेत्र के योग के बराबर होगा और आधार क्षेत्र का दोगुना होगा

एस = 2a 2 + 4ah
एस = 25 + 4√12.5 * √3.5
एस = 25 + 4√43.75
एस = 25 + 4√ (175/4)
एस = 25 + 4√ (7*25/4)
एस \u003d 25 + 10√7 51.46 सेमी 2.

उत्तर: 25 + 10√7 51.46 सेमी 2.

ठोस ज्यामिति के पाठ्यक्रम के लिए स्कूली पाठ्यक्रम में, त्रि-आयामी आकृतियों का अध्ययन आमतौर पर एक साधारण ज्यामितीय निकाय - एक प्रिज्म पॉलीहेड्रॉन से शुरू होता है। इसके आधारों की भूमिका समांतर तलों में पड़े 2 समान बहुभुजों द्वारा निभाई जाती है। एक विशेष मामला एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म है। इसके आधार 2 समान नियमित चतुर्भुज होते हैं, जिनकी भुजाएँ लंबवत होती हैं, जिनमें समांतर चतुर्भुज का आकार होता है (या यदि प्रिज्म झुका हुआ नहीं है तो आयत)।

प्रिज्म कैसा दिखता है

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म एक षट्भुज होता है, जिसके आधार पर 2 वर्ग होते हैं, और पार्श्व फलक आयतों द्वारा दर्शाए जाते हैं। इसके लिए एक और नाम ज्यामितीय आकृति- एक सीधा समानांतर चतुर्भुज।

एक चतुर्भुज प्रिज्म को दर्शाने वाला चित्र नीचे दिखाया गया है।

आप भी तस्वीर में देख सकते हैं सबसे महत्वपूर्ण तत्व जो एक ज्यामितीय निकाय बनाते हैं. उन्हें आमतौर पर कहा जाता है:

कभी-कभी ज्यामिति की समस्याओं में आप एक खंड की अवधारणा पा सकते हैं। परिभाषा इस तरह सुनाई देगी: एक खंड एक वॉल्यूमेट्रिक बॉडी के सभी बिंदु हैं जो काटने वाले विमान से संबंधित हैं। खंड लंबवत है (आकृति के किनारों को 90 डिग्री के कोण पर पार करता है)। एक आयताकार प्रिज्म के लिए, 2 किनारों और आधार के विकर्णों से गुजरते हुए एक विकर्ण खंड पर भी विचार किया जाता है (अधिकतम वर्गों का निर्माण किया जा सकता है 2)।

यदि खंड को इस तरह से खींचा जाता है कि काटने वाला विमान या तो आधारों या साइड चेहरों के समानांतर नहीं होता है, तो परिणाम एक छोटा प्रिज्म होता है।

कम किए गए प्रिज्मीय तत्वों को खोजने के लिए विभिन्न अनुपातों और सूत्रों का उपयोग किया जाता है। उनमें से कुछ को प्लानिमेट्री के पाठ्यक्रम से जाना जाता है (उदाहरण के लिए, एक प्रिज्म के आधार के क्षेत्र को खोजने के लिए, यह एक वर्ग के क्षेत्र के लिए सूत्र को याद करने के लिए पर्याप्त है)।

सतह क्षेत्र और मात्रा

सूत्र का उपयोग करके प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा:

वी = स्प्रिम एच

चूँकि एक नियमित चतुष्फलकीय प्रिज्म का आधार भुजा वाला एक वर्ग है एक,आप सूत्र को अधिक विस्तृत रूप में लिख सकते हैं:

वी = ए² एच

यदि हम एक घन के बारे में बात कर रहे हैं - समान लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई वाला एक नियमित प्रिज्म, तो आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है:

यह समझने के लिए कि किसी प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको इसके स्वीप की कल्पना करने की आवश्यकता है।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि पार्श्व सतह 4 समान आयतों से बनी है। इसके क्षेत्रफल की गणना आधार की परिधि और आकृति की ऊंचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है:

साइड \u003d फोटो एच

चूँकि एक वर्ग का परिमाप है पी = 4aसूत्र रूप लेता है:

साइड = 4a h

घन के लिए:

साइड = 4a²

प्रिज्म के कुल सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, पार्श्व क्षेत्र में 2 आधार क्षेत्र जोड़ें:

सफुल = साइड + 2Sbase

जैसा कि एक चतुर्भुज नियमित प्रिज्म पर लागू होता है, सूत्र का रूप होता है:

पूर्ण = 4a h + 2a²

घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए:

पूर्ण = 6a²

आयतन या सतह क्षेत्र को जानकर, आप एक ज्यामितीय निकाय के अलग-अलग तत्वों की गणना कर सकते हैं।

प्रिज्म तत्व ढूँढना

अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें वॉल्यूम दिया जाता है या पार्श्व सतह क्षेत्र का मूल्य ज्ञात होता है, जहां आधार के किनारे की लंबाई या ऊंचाई निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसे मामलों में, सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं:

• आधार पक्ष लंबाई: ए = साइड / 4 एच = (वी / एच);
• ऊंचाई या साइड रिब लंबाई: एच = साइड / 4 ए = वी / ए²;
• आधार क्षेत्र: स्प्रिम = वी / एच;
• पार्श्व चेहरा क्षेत्र: पक्ष जीआर = साइड / 4।

यह निर्धारित करने के लिए कि एक विकर्ण खंड का क्षेत्रफल कितना है, आपको विकर्ण की लंबाई और आकृति की ऊंचाई जानने की आवश्यकता है। एक वर्ग के लिए डी = ए√2।इसलिए:

सदियग = आह√2

प्रिज्म के विकर्ण की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है:

dprize = (2a² + h²)

यह समझने के लिए कि उपरोक्त अनुपातों को कैसे लागू किया जाए, आप कुछ सरल कार्यों का अभ्यास और समाधान कर सकते हैं।

समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण

गणित में राज्य की अंतिम परीक्षा में आने वाले कुछ कार्य यहां दिए गए हैं।

अभ्यास 1।

रेत को एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आकार वाले बॉक्स में डाला जाता है। इसके स्तर की ऊंचाई 10 सेमी है यदि आप इसे उसी आकार के कंटेनर में ले जाते हैं, लेकिन आधार लंबाई 2 गुना अधिक है तो रेत का स्तर क्या होगा?

इसे निम्नानुसार तर्क दिया जाना चाहिए। पहले और दूसरे कंटेनर में रेत की मात्रा नहीं बदली, यानी उनमें इसकी मात्रा समान है। आप आधार की लंबाई को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं: एक. इस स्थिति में, पहले डिब्बे के लिए पदार्थ का आयतन होगा:

वी₁ = हा² = 10a²

दूसरे बॉक्स के लिए, आधार की लंबाई है 2ए, लेकिन रेत के स्तर की ऊंचाई अज्ञात है:

वी₂ = एच(2ए)² = 4ha²

क्यों कि वी₁ = वी₂, भावों की बराबरी की जा सकती है:

10a² = 4ha²

समीकरण के दोनों पक्षों को a² से कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामस्वरूप, रेत का नया स्तर होगा एच = 10 / 4 = 2.5सेमी।

कार्य 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ एक नियमित प्रिज्म है। यह ज्ञात है कि BD = AB₁ = 6√2। शरीर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यह समझना आसान बनाने के लिए कि कौन से तत्व ज्ञात हैं, आप एक आकृति बना सकते हैं।

चूंकि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आधार 6√2 के विकर्ण के साथ एक वर्ग है। पार्श्व फलक के विकर्ण का मान समान होता है, इसलिए पार्श्व फलक का आकार भी आधार के बराबर वर्ग का होता है। यह पता चला है कि तीनों आयाम - लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई - समान हैं। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ABCDA₁B₁C₁D₁ एक घन है।

किसी भी किनारे की लंबाई ज्ञात विकर्ण द्वारा निर्धारित की जाती है:

ए = डी / √2 = 6√2 / √2 = 6

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घन के सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

पूर्ण = 6a² = 6 6² = 216

कार्य 3.

कमरे की मरम्मत की जा रही है। यह ज्ञात है कि इसकी मंजिल 9 वर्ग मीटर के क्षेत्रफल के साथ एक वर्ग के आकार की है। कमरे की ऊंचाई 2.5 मीटर है यदि 1 वर्ग मीटर की लागत 50 रूबल है तो कमरे की दीवारपैरिंग की सबसे कम लागत क्या है?

चूंकि फर्श और छत वर्ग हैं, अर्थात् नियमित चतुर्भुज हैं, और इसकी दीवारें क्षैतिज सतहों के लंबवत हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक नियमित प्रिज्म है। इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है।

कमरे की लंबाई है ए = √9 = 3एम।

वर्ग वॉलपेपर के साथ कवर किया जाएगा भुजा = 4 3 2.5 = 30 वर्ग मीटर.

इस कमरे के लिए वॉलपेपर की सबसे कम कीमत होगी 50 30 = 1500रूबल।

इस प्रकार, एक आयताकार प्रिज्म पर समस्याओं को हल करने के लिए, यह एक वर्ग और एक आयत के क्षेत्र और परिधि की गणना करने में सक्षम होने के साथ-साथ आयतन और सतह क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्रों को जानने के लिए पर्याप्त है।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें