जटिल असमानताएँ. जटिल असमानताओं का समाधान

लघुगणकीय असमानताओं की संपूर्ण विविधता के बीच, चर आधार वाली असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है, जो किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है:

लॉग के (एक्स) एफ (एक्स) ∨ लॉग के (एक्स) जी (एक्स) ⇒ (एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1) ∨ 0

"∨" चेकबॉक्स के बजाय, आप कोई भी असमानता चिह्न लगा सकते हैं: अधिक या कम। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इस तरह हम लघुगणक से छुटकारा पा लेते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता तक कम कर देते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लघुगणक को त्यागने पर अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का पता लगाना पर्याप्त है। यदि आप लघुगणक का ODZ भूल गए हैं, तो मैं दृढ़तापूर्वक इसे दोहराने की सलाह देता हूं - "लघुगणक क्या है" देखें।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित हर चीज़ को अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

एफ(एक्स) > 0; जी(एक्स) > 0; के(एक्स) > 0; के(एक्स) ≠ 1.

ये चार असमानताएँ एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ संतुष्ट किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा मिल गई है, तो जो कुछ बचा है उसे तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ जोड़ना है - और उत्तर तैयार है।

काम। असमानता का समाधान करें:

सबसे पहले, आइए लघुगणक का ODZ लिखें:

पहली दो असमानताएँ स्वतः संतुष्ट हो जाती हैं, लेकिन अंतिम को लिखना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य होता है यदि और केवल यदि वह संख्या स्वयं शून्य हो, तो हमारे पास है:

एक्स 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
एक्स ≠ 0.

यह पता चलता है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम लघुगणकीय असमानता से तर्कसंगत असमानता में परिवर्तन करते हैं। मूल असमानता में "इससे कम" चिन्ह होता है, जिसका अर्थ है कि परिणामी असमानता में "इससे कम" चिन्ह भी होना चाहिए। हमारे पास है:

(10 - (एक्स 2 + 1)) · (एक्स 2 + 1 - 1)< 0;
(9 − एक्स 2) एक्स 2< 0;
(3 − एक्स) · (3 + एक्स) · एक्स 2< 0.

इस अभिव्यक्ति के शून्य हैं: x = 3; एक्स = −3; x = 0. इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इससे गुजरने पर फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है। हमारे पास है:

हमें x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) मिलता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में समाहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लघुगणकीय असमानताओं को परिवर्तित करना

अक्सर मूल असमानता उपरोक्त से भिन्न होती है। लघुगणक के साथ काम करने के मानक नियमों का उपयोग करके इसे आसानी से ठीक किया जा सकता है - "लघुगणक के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

1. किसी भी संख्या को किसी दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
2. समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एक लघुगणक से बदला जा सकता है।

अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहूंगा। चूँकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का VA ज्ञात करना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

1. असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का VA ज्ञात करें;
2. लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को एक मानक स्तर तक कम करें;
3. ऊपर दी गई योजना का उपयोग करके परिणामी असमानता को हल करें।

काम। असमानता का समाधान करें:

आइए पहले लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (डीओ) खोजें:

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। अंश के शून्य ज्ञात करना:

3x − 2 = 0;
एक्स = 2/3.

तब - हर के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1.

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिह्न अंकित करते हैं:

हमें x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) मिलता है। दूसरे लघुगणक में समान VA होगा। अगर आपको यकीन नहीं है तो आप इसे चेक कर सकते हैं. अब हम दूसरे लघुगणक को बदलते हैं ताकि आधार दो हो:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक के सामने तीन को कम कर दिया गया है। हमें समान आधार वाले दो लघुगणक मिले। आइए उन्हें जोड़ें:

लॉग 2 (x − 1) 2< 2;
लॉग 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

हमने मानक लघुगणकीय असमानता प्राप्त की। हम सूत्र का उपयोग करके लघुगणक से छुटकारा पाते हैं। चूंकि मूल असमानता में "इससे कम" चिह्न शामिल है, परिणामी तर्कसंगत अभिव्यक्ति भी शून्य से कम होनी चाहिए। हमारे पास है:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
एक्स 2 − 2एक्स − 3< 0;
(एक्स − 3)(एक्स + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

हमें दो सेट मिले:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. उम्मीदवार का उत्तर: x ∈ (−1; 3).

इन समुच्चयों को प्रतिच्छेद करना बाकी है - हमें वास्तविक उत्तर मिलता है:

हम सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम उन अंतरालों का चयन करते हैं जो दोनों तीरों पर छायांकित हैं। हमें x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) मिलता है - सभी बिंदु छिद्रित हैं।

पाठ का उद्देश्य: अधिक जटिल असमानताओं को हल करने पर विचार करें।

कक्षाओं के दौरान

I. पाठ के विषय और उद्देश्य का विवरण।

द्वितीय. कवर की गई सामग्री की पुनरावृत्ति और समेकन।

1. गृहकार्य पर प्रश्नों के उत्तर (अनसुलझी समस्याओं का विश्लेषण)।

2. सामग्री के आत्मसात (परीक्षण) की निगरानी करना।

तृतीय. नई सामग्री सीखना.

मॉड्यूल या मापदंडों के साथ जटिल असमानताओं को हल करना।

आइए असमानता को हल करें |x – 1| < 3.

सबसे पहले, आइए दो मामलों पर विचार करके इस असमानता को विश्लेषणात्मक रूप से हल करें:

a) यदि x – 1 > 0, अर्थात x > 1, तो |x – 1| = x – 1 और असमानता x – 1 जैसी दिखती है< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1, इस मामले में हमें समाधान 1 प्राप्त होता है< х < 4 или х [ 1; 4).

बी) यदि एक्स - 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

हम प्राप्त समाधानों का मिलन पाते हैं।

चूँकि पैरामीटर वाली समस्याओं में उत्तर लिखना बहुत महत्वपूर्ण है (उत्तर पैरामीटर के आरोही क्रम में लिखा जाता है), हम पूरा उत्तर देते हैं:

जब एक< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1 एक्स (-; ए + 1]।

आइए अब दो चरों में रैखिक असमानताओं को देखें। एक नियम के रूप में, ऐसी समस्याएं उन बिंदुओं के एक समूह को चित्रित करने के लिए कम हो जाती हैं जिनके निर्देशांक समन्वय विमान पर असमानता को संतुष्ट करते हैं।

निर्देशांक तल पर हम बिंदुओं के एक समूह को दर्शाते हैं जिनके निर्देशांक असमानता y-2 > x-3 को संतुष्ट करते हैं।

आइए इस असमानता को y > x-1 के रूप में लिखें। सबसे पहले, आइए रैखिक फलन y = x-1 (सीधी रेखा) आलेखित करें। यह रेखा निर्देशांक तल के सभी बिंदुओं को इस रेखा पर स्थित बिंदुओं और इस रेखा के नीचे स्थित बिंदुओं में विभाजित करती है। आइए देखें कि कौन से बिंदु इस असमानता को संतुष्ट करते हैं।

पहले क्षेत्र से, उदाहरण के लिए, नियंत्रण बिंदु A (0; 0) - निर्देशांक की उत्पत्ति। यह जांचना आसान है कि तब असमानता y > -1 कायम है। दूसरे क्षेत्र से हम चयन करते हैं, उदाहरण के लिए, नियंत्रण बिंदु बी (1; -1)। ऐसे बिंदु के लिए असमानता y > x-1 मान्य नहीं है। नतीजतन, यह असमानता ऊपर और रेखा y = x-1 पर स्थित बिंदुओं से संतुष्ट होती है (अर्थात बिंदु A के समान बिंदु)। ये बिंदु छायांकित हैं।

पैरामीटर a के किन मानों के लिए समीकरण ax 2 + x – 1 = 0 का कोई समाधान नहीं है?

चूँकि समीकरण का अग्रणी गुणांक पैरामीटर a पर निर्भर करता है, इसलिए दो मामलों पर विचार करना आवश्यक है।

a) यदि 0 है, तो समीकरण ax 2 + x – 1 = 0 द्विघात है। ऐसे समीकरण का कोई हल नहीं है यदि इसका विवेचक D है< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

बी) यदि a = 0 है, तो समीकरण ax 2 + x - 1 = 0 रैखिक है और इसका रूप x - 1 = 0 है। जाहिर है, समीकरण का एक अद्वितीय समाधान x = 1 है।

तो, (-; -) के लिए इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

आइए असमानता को हल करें |x – 1| + एक्स 2 + 2 एक्स + 1< 0.

आइए असमानता को |x – 1| के रूप में लिखें + (एक्स + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 और a के सभी मानों के लिए 2 > 0, तो योग

|ए| सभी ए के लिए + ए 2 > 0। इसलिए असमानता, |ए| +ए 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

दो चरों के साथ समान प्रकार की असमानताएँ मौजूद हैं।

निर्देशांक तल पर हम बिंदुओं के एक समूह को दर्शाते हैं जिनके निर्देशांक असमानता y-1 को संतुष्ट करते हैं< х 2 .

आइए असमानता को y रूप में लिखें< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

चतुर्थ. कक्षा में और घर पर असाइनमेंट।

1. असमानता को विश्लेषणात्मक रूप से हल करें:

2. a के सभी मानों के लिए, असमानता को हल करें:

3. पैरामीटर के किन मानों पर समीकरण बनता है

a) 3x 2 – 2x + a = 0 का कोई मूल नहीं है;
बी) 2x 2 – 3x + 5a = 0 के दो अलग-अलग मूल हैं;
ग) 3एख 2 – 4х + 1 = 0 की दो अलग-अलग जड़ें हैं;
d) ax 2 – 3x + 2 = 0 का कम से कम एक मूल है।

4. असमानताओं को विश्लेषणात्मक रूप से (और यदि संभव हो तो ग्राफिक रूप से) हल करें:

उदाहरण के लिए, असमानता अभिव्यक्ति \(x>5\) है।

असमानताओं के प्रकार:

यदि \(a\) और \(b\) संख्याएँ या हैं, तो असमानता कहलाती है न्यूमेरिकल. यह वास्तव में केवल दो संख्याओं की तुलना है। ऐसी असमानताओं को विभाजित किया गया है वफादारऔर अनफेथफुल.

उदाहरण के लिए:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) एक गलत संख्यात्मक असमानता है, क्योंकि \(17+3=20\), और \(20\) \(115\) से कम है (और इससे अधिक या उसके बराबर नहीं है) .

यदि \(a\) और \(b\) एक चर वाले व्यंजक हैं, तो हमारे पास है चर के साथ असमानता. ऐसी असमानताओं को सामग्री के आधार पर प्रकारों में विभाजित किया जाता है:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				केवल प्रथम घात तक परिवर्तनशील
\(3x^2-x+5>0\)				दूसरी शक्ति (वर्ग) में एक चर है, लेकिन कोई उच्च शक्तियाँ (तीसरी, चौथी, आदि) नहीं हैं।
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... और इसी तरह।

असमानता का समाधान क्या है?

यदि आप असमानता में चर के स्थान पर कोई संख्या डालते हैं, तो यह एक संख्यात्मक में बदल जाएगी।

यदि x के लिए दिया गया मान मूल असमानता को वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देता है, तो इसे कहा जाता है असमानता का समाधान. यदि नहीं, तो यह मान कोई समाधान नहीं है. और करने के लिए असमानता को हल करें- आपको इसके सभी समाधान खोजने होंगे (या यह दिखाना होगा कि कोई नहीं है)।

उदाहरण के लिए,यदि हम संख्या \(7\) को रैखिक असमानता \(x+6>10\) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही संख्यात्मक असमानता मिलती है: \(13>10\)। और यदि हम \(2\) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो एक गलत संख्यात्मक असमानता \(8>10\) होगी। अर्थात्, \(7\) मूल असमानता का समाधान है, लेकिन \(2\) नहीं है।

हालाँकि, असमानता \(x+6>10\) के अन्य समाधान भी हैं। दरअसल, \(5\), और \(12\), और \(138\) को प्रतिस्थापित करने पर हमें सही संख्यात्मक असमानताएँ मिलेंगी... और हम सभी संभावित समाधान कैसे पा सकते हैं? इसके लिए वे हमारे मामले के लिए उपयोग करते हैं:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

अर्थात् चार से बड़ी कोई भी संख्या हमारे लिए उपयुक्त है। अब आपको उत्तर लिखना है. असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्यात्मक रूप से लिखे जाते हैं, इसके अतिरिक्त उन्हें छायांकन के साथ संख्या अक्ष पर चिह्नित किया जाता है। हमारे मामले के लिए हमारे पास है:

उत्तर: \(x\in(4;+\infty)\)

असमानता का चिन्ह कब बदलता है?

असमानताओं में एक बड़ा जाल है जिसमें फंसना छात्रों को वास्तव में "पसंद" होता है:

किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा (या विभाजित) करते समय, इसे उलट दिया जाता है ("अधिक" को "कम", "अधिक या बराबर" को "कम या बराबर", और इसी तरह)

ऐसा क्यों हो रहा है? इसे समझने के लिए, आइए संख्यात्मक असमानता \(3>1\) के परिवर्तनों को देखें। यह सही है, तीन वास्तव में एक से बड़ा है। सबसे पहले, आइए इसे किसी भी धनात्मक संख्या से गुणा करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, दो:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

जैसा कि हम देख सकते हैं, गुणन के बाद असमानता सत्य बनी रहती है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस सकारात्मक संख्या से गुणा करते हैं, हमें हमेशा सही असमानता मिलेगी। आइए अब एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, शून्य से तीन:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

परिणाम एक गलत असमानता है, क्योंकि शून्य से नौ शून्य से तीन से कम है! अर्थात्, असमानता को सत्य बनाने के लिए (और इसलिए, ऋणात्मक द्वारा गुणन का परिवर्तन "कानूनी" था), आपको तुलना चिह्न को इस तरह उलटना होगा: \(−9)<− 3\).
विभाजन के साथ यह उसी तरह काम करेगा, आप इसे स्वयं जांच सकते हैं।

ऊपर लिखा गया नियम सभी प्रकार की असमानताओं पर लागू होता है, न कि केवल संख्यात्मक असमानताओं पर।

उदाहरण: असमानता को हल करें \(2(x+1)-1<7+8x\)
समाधान:

\(2x+2-1<7+8x\)	आइए \(8x\) को बाईं ओर और \(2\) और \(-1\) को दाईं ओर ले जाएं, संकेतों को बदलना न भूलें
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	आइए असमानता के दोनों पक्षों को \(-6\) से विभाजित करें, "कम" से "अधिक" में बदलना न भूलें
	आइए अक्ष पर एक संख्यात्मक अंतराल चिह्नित करें। असमानता, इसलिए हम मान \(-1\) को ही "छोड़" देते हैं और इसे उत्तर के रूप में नहीं लेते हैं
	आइए उत्तर को अंतराल के रूप में लिखें

उत्तर: \(x\in(-1;\infty)\)

असमानताएं और विकलांगता

असमानताओं पर, समीकरणों की तरह, यानी x के मानों पर प्रतिबंध हो सकता है। तदनुसार, वे मान जो डीजेड के अनुसार अस्वीकार्य हैं, उन्हें समाधान की सीमा से बाहर रखा जाना चाहिए।

उदाहरण: असमानता को हल करें \(\sqrt(x+1)<3\)

समाधान: यह स्पष्ट है कि बाईं ओर \(3\) से कम होने के लिए, मूल अभिव्यक्ति \(9\) से कम होनी चाहिए (आखिरकार, \(9\) से केवल \(3\))। हम पाते हैं:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(एक्स<8\)

सभी? \(8\) से छोटा x का कोई भी मान हमारे लिए उपयुक्त होगा? नहीं! क्योंकि यदि हम, उदाहरण के लिए, वह मान \(-5\) लेते हैं जो आवश्यकता के अनुरूप प्रतीत होता है, तो यह मूल असमानता का समाधान नहीं होगा, क्योंकि यह हमें एक ऋणात्मक संख्या के मूल की गणना करने की ओर ले जाएगा।

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

इसलिए, हमें X के मान पर प्रतिबंधों को भी ध्यान में रखना चाहिए - ऐसा नहीं हो सकता कि मूल के नीचे कोई ऋणात्मक संख्या हो। इस प्रकार, हमारे पास x के लिए दूसरी आवश्यकता है:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

और x को अंतिम समाधान बनाने के लिए, इसे एक ही बार में दोनों आवश्यकताओं को पूरा करना होगा: इसे \(8\) से कम होना चाहिए (एक समाधान होने के लिए) और \(-1\) से अधिक होना चाहिए (सैद्धांतिक रूप से स्वीकार्य होने के लिए)। इसे संख्या रेखा पर आलेखित करने पर, हमारे पास अंतिम उत्तर होता है:

उत्तर: \(\left[-1;8\right)\)