Как да намерите максимална и минимална точки на функция. Критични точки на функция Как да намерим максималната точка на функция y
Помислете за следната фигура.
Той показва графиката на функцията y = x^3 - 3*x^2. Да разгледаме някакъв интервал, съдържащ точката x = 0, например от -1 до 1. Такъв интервал се нарича още съседство на точка x = 0. Както се вижда на графиката, в тази околност функцията y = x ^3 - 3*x^2 приема най-голямата стойност точно в точката x = 0.
Максимум и минимум на функция
В този случай точката x = 0 се нарича максимална точка на функцията. По аналогия с това точката x = 2 се нарича минимална точка на функцията y = x^3 - 3*x^2. Тъй като има такъв квартал на тази точка, в който стойността в тази точка ще бъде минимална сред всички останали стойности от този квартал.
точка максимумфункцията f(x) се нарича точка x0, при условие че има такава окръжност на точка x0, че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, неравенството f(x)< f(x0).
точка минимумфункцията f(x) се нарича точка x0, при условие че има такава окръжност на точка x0, че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, е изпълнено неравенството f(x) > f(x0).
В точката на максимум и минимум на функциите стойността на производната на функцията е равна на нула. Но това не е достатъчно условие за съществуването на функция в точка максимум или минимум.
Например, функцията y = x^3 в точката x = 0 има производна, равна на нула. Но точката x = 0 не е минималната или максималната точка на функцията. Както знаете, функцията y = x^3 се увеличава по цялата реална ос.
По този начин минималната и максималната точки винаги ще бъдат сред корена на уравнението f’(x) = 0. Но не всички корени на това уравнение ще бъдат максимални или минимални точки.
Стационарни и критични точки
Точките, в които стойността на производната на функция е равна на нула, се наричат стационарни точки. Може също да има точки на максимум или минимум в точки, където производната на функцията изобщо не съществува. Например, y = |x| в точката x = 0 има минимум, но производната не съществува в тази точка. Тази точка ще бъде критичната точка на функцията.
Критичните точки на функция са точките, в които производната е равна на нула или производната не съществува в тази точка, тоест функцията в тази точка е недиференцируема. За да се намери максимума или минимума на функция, трябва да е изпълнено достатъчно условие.
Нека f(x) е някаква функция, диференцируема на интервала (a;b). Точката x0 принадлежи на този интервал и f'(x0) = 0. Тогава:
1. ако при преминаване през стационарната точка x0 функцията f (x) и нейната производна сменят знака от “плюс” на “минус”, то точката x0 е максималната точка на функцията.
2. ако при преминаване през стационарната точка x0 функцията f (x) и нейната производна сменят знака от “минус” на “плюс”, то точката x0 е минималната точка на функцията.
смисъл
Най велик
смисъл
Най-малкото
Максимална точка
Ниска точка
Проблемите за намиране на екстремални точки на функция се решават от стандартна схемав 3 стъпки.
Етап 1. Намерете производната на функция
- Запомнете формулите за производната на елементарните функции и основните правила за диференциране, за да намерите производната.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Стъпка 2. Намерете нулите на производната
- Решете полученото уравнение, за да намерите нулите на производната.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Стъпка 3. Намерете екстремни точки
- Използвайте метода на интервала, за да определите знаците на производната;
- В минималната точка производната е нула и променя знака от минус на плюс, а в максималната точка от плюс на минус.
Нека приложим този подход за решаване на следния проблем:
Намерете максималната точка на функцията y=x3−243x+19.
1) Намерете производната: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Решете уравнението y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Производната е положителна за x>9 и x<−9 и отрицательная при −9 Как да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция За решаване на проблема с намирането на най-големите и най-малките стойности на функцията необходимо: Помага при много задачи теорема: Ако на сегмента има само една точка на екстремум и това е минималната точка, тогава в нея се достига най-малката стойност на функцията. Ако това е максималната точка, тогава максималната стойност се достига при нея. 14. Понятие и основни свойства на неопределения интеграл. Ако функцията е(х х, и к- номер тогава Накратко казано: константата може да бъде извадена от интегралния знак. Ако функции е(х) и ж(х) имат антипроизводни на интервала х, тогава Накратко казано: интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Ако функцията е(х) има антипроизводна на интервала х, след това за вътрешни точки от този интервал: Накратко казано: производната на интеграла е равна на интеграла. Ако функцията е(х) е непрекъснат на интервала хи е диференцируема във вътрешни точки на този интервал, тогава: Накратко казано: интегралът от диференциала на функция е равен на тази функция плюс константата на интегриране. Нека дадем строга математическа дефиниция понятия за неопределен интеграл. Любезният израз се нарича интеграл от функцията f(x)
, където f(x)
- интегрална функция, която е дадена (известна), dx
- диференциал х
, със символ винаги присъства dx
. Определение. Неопределен интегралнаречена функция F(x) + C
, съдържаща произволна константа ° С
, чийто диференциал е равен на интегрална функцияизразяване f(x)dx
, т.е. Припомнете си, че - функционален диференциали се определя, както следва: Намиране на проблем неопределен интеграле да се намери функция производнокоето е равно на подинтегралното число. Тази функция се определя с точност до константа, т.к производната на константата е нула. Например, известно е, че , тогава се оказва, че Намиране на задача неопределен интеграл from функции не е толкова просто и лесно, колкото изглежда на пръв поглед. В много случаи трябва да има умения за работа неопределени интеграли,трябва да бъде опит, който идва с практика и постоянно решаване на примери за неопределени интеграли.Струва си да се има предвид фактът, че неопределени интегралиот някои функции (има доста от тях) не се вземат в елементарни функции. 15. Таблица на основните неопределени интеграли. Основни формули 16. Определен интеграл като граница на интегралната сума. Геометричен и физически смисъл на интеграла. Нека функцията y=ƒ(x) е дефинирана на отсечката [a; банда< b. Выполним следующие действия. 1. Използване на точките x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0 2. Във всеки частичен сегмент, i = 1,2,...,n, избираме произволна точка с i є и изчисляваме стойността на функцията в нея, т.е. стойността ƒ(с i). 3. Умножете намерената стойност на функцията ƒ (от i) по дължината ∆x i =x i -x i-1 на съответния частичен сегмент: ƒ (от i) ∆х i. 4. Съставете сумата S n от всички такива произведения: Сумата от формата (35.1) се нарича интегрална сума от функцията y = ƒ (x) на отсечката [a; б]. Означаваме с λ дължината на най-големия частичен сегмент: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Намерете границата на интегралната сума (35.1) при n → ∞, така че λ→0. Ако освен това интегралната сума S n има граница I, която не зависи от метода на разделяне на отсечката [a; b] на частични сегменти, нито от избора на точки в тях, тогава числото I се нарича определен интеграл от функцията y \u003d ƒ (x) на отсечката [a; b] и се обозначава така, Числата a и b се наричат съответно долната и горната граница на интегриране, ƒ(x) - подинтегралната функция, ƒ(x) dx - интегралната, x - променливата за интегриране, отсечката [a; b] - област (сегмент) на интеграция. Функцията y \u003d ƒ (x), за която на сегмента [a; b] има определен интеграл, наречен интегрируем на този интервал. Нека сега формулираме теоремата за съществуването за определен интеграл. Теорема 35.1 (Коши). Ако функцията y = ƒ(x) е непрекъсната на отсечката [a; b], тогава определеният интеграл Забележете, че непрекъснатостта на функция е достатъчно условие за нейната интегрируемост. Въпреки това, определен интеграл може да съществува и за някои прекъснати функции, по-специално за всяка функция, която е ограничена на интервал и има краен брой точки на прекъсване върху него. Нека посочим някои свойства на определения интеграл, които следват пряко от неговото определение (35.2). 1. Определеният интеграл е независим от нотацията на интегриращата променлива: Това следва от факта, че интегралната сума (35.1) и следователно нейната граница (35.2) не зависят от това коя буква обозначава аргумента на тази функция. 2. Определен интеграл със същите граници на интегриране е равен на нула: 3. За всяко реално число c. 17. Формула на Нютон-Лайбниц. Основни свойства на определен интеграл. Нека функцията y = f(x)непрекъснато на сегмента
и F(x)е една от първопроизводните на функцията на този сегмент, тогава Формула на Нютон-Лайбниц: Формулата на Нютон-Лайбниц се нарича основната формула на интегралното смятане. За да докажем формулата на Нютон-Лайбниц, се нуждаем от концепцията за интеграл с променлива горна граница. Ако функцията y = f(x)непрекъснато на сегмента
, то интегралът от формата за аргумента е функция на горната граница. Означаваме тази функция Наистина, нека напишем приращението на функцията, съответстващо на увеличението на аргумента и използваме петото свойство на определения интеграл и следствието от десетото свойство: Нека пренапишем това равенство във формата Изчислете F(a), използвайки първото свойство на определения интеграл: Увеличението на функция обикновено се обозначава като За да приложим формулата на Нютон-Лайбниц, достатъчно е да знаем една от антипроизводните y=F(x)интегрална функция y=f(x)на сегмента
и изчислете приращението на тази антипроизводна на този сегмент. В статията методите на интегриране са анализирани основните начини за намиране на антипроизводната. Даваме няколко примера за изчисляване на определени интеграли с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц за изясняване. Пример. Изчислете стойността на определения интеграл по формулата на Нютон-Лайбниц. Решение. Първо, отбележете, че интегралната функция е непрекъсната в интервала
, следователно, е интегрируем върху него. (За интегрируемите функции говорихме в раздела за функции, за които има определен интеграл). От таблицата с неопределени интеграли може да се види, че за функция наборът от антипроизводни за всички реални стойности на аргумента (следователно за ) се записва като Сега остава да използваме формулата на Нютон-Лайбниц, за да изчислим определения интеграл: 18. Геометрични приложения на определен интеграл. ГЕОМЕТРИЧНИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ Изчисляване на обема на тялото Изчисляване на обема на тялото от известни области на успоредни сечения: Обем на ротационното тяло: ; . Пример 1. Намерете площта на фигура, ограничена от крива y=sinx, прави линии решение:Намиране на площта на фигурата: Пример 2. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии решение:Нека намерим абсцисите на пресечните точки на графиките на тези функции. За да направим това, решаваме системата от уравнения От тук намираме x 1 = 0, x 2 = 2,5. 19. Концепция за диференциално управление. Диференциални уравнения от първи ред. Диференциално уравнение- уравнение, което свързва стойността на производната на функция със самата функция, стойностите на независимата променлива, числа (параметри). Редът на производните, включени в уравнението, може да бъде различен (формално не е ограничен от нищо). Производни, функции, независими променливи и параметри могат да бъдат включени в уравнението в различни комбинации или всички, освен поне една производна, могат да отсъстват напълно. Не всяко уравнение, съдържащо производни на неизвестна функция, не е диференциално уравнение. Например, Частни диференциални уравнения(URCHP) са уравнения, съдържащи неизвестни функции на няколко променливи и техните частни производни. Общата форма на такива уравнения може да бъде представена като: където са независими променливи и е функция на тези променливи. Редът на частните диференциални уравнения може да се определи по същия начин, както при обикновените диференциални уравнения. Друга важна класификация на частните диференциални уравнения е разделянето им на уравнения от елиптичен, параболичен и хиперболичен тип, особено за уравнения от втори ред. Както обикновените диференциални уравнения, така и частните диференциални уравнения могат да бъдат разделени на линеени нелинейни. Диференциалното уравнение е линейно, ако неизвестната функция и нейните производни влизат в уравнението само на първа степен (и не се умножават помежду си). За такива уравнения решенията образуват афинно подпространство на пространството на функциите. Теорията на линейните диференциални уравнения е разработена много по-задълбочено от теорията на нелинейните уравнения. Обща форма на линейно диференциално уравнение н-та поръчка: където пи(х) са известни функции на независимата променлива, наречени коефициенти на уравнението. Функция r(х) от дясната страна се нарича безплатен член(единственият член, който не зависи от неизвестната функция) Важен конкретен клас линейни уравнения са линейните диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Подклас линейни уравнения са хомогеннадиференциални уравнения - уравнения, които не съдържат свободен член: r(х) = 0. За хомогенни диференциални уравнения важи принципът на суперпозицията: линейна комбинация от частни решения на такова уравнение също ще бъде негово решение. Всички други линейни диференциални уравнения се наричат хетерогенендиференциални уравнения. Нелинейните диференциални уравнения в общия случай нямат разработени методи за решение, с изключение на някои конкретни класове. В някои случаи (с използването на определени приближения) те могат да бъдат сведени до линейни. Например, линейното уравнение на хармоничен осцилатор · е хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Решението е семейство от функции , където и са произволни константи, които за конкретно решение се определят от отделно определени начални условия. Това уравнение, по-специално, описва движението на хармоничен осцилатор с циклична честота 3. · Вторият закон на Нютон може да се запише под формата на диференциално уравнение · Диференциалното уравнение на Бесел е обикновено линейно хомогенно уравнение от втори ред с променливи коефициенти: Неговите решения са функциите на Бесел. Пример за нехомогенно нелинейно обикновено диференциално уравнение от 1-ви ред: В следващата група примери неизвестната функция uзависи от две променливи хи тили хи г. Хомогенно линейно частно диференциално уравнение от първи ред: Едномерно вълново уравнение - хомогенно линейно уравнение в частични производни от хиперболичен тип от втори ред с постоянни коефициенти, описва вибрацията на струната, ако - отклонението на струната в точка с координата хпо времето т, и параметърът азадава свойства на низове: Уравнението на Лаплас в двумерното пространство е хомогенно линейно диференциално уравнение в частични производни от втори ред на елиптичен тип с постоянни коефициенти, което възниква в много физически проблеми на механиката, топлопроводимостта, електростатиката, хидравликата: Уравнението на Korteweg-de Vries, нелинейно частно диференциално уравнение от трети порядък, описващо стационарни нелинейни вълни, включително солитони: 20. Диференциални уравнения с сепарируеми приложими. Линейни уравнения и методът на Бернули. Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение, което е линейно по отношение на неизвестна функция и нейната производна. Изглежда като Какво е екстремум на функция и какво е необходимото условие за екстремум?
Екстремумът на функция е максимумът и минимумът на функцията. Необходимото условие за максимум и минимум (екстремум) на функцията е както следва: ако функцията f(x ) има екстремум в точката x = a, тогава в тази точка производната е или нула, или безкрайна, или не съществува. Това условие е необходимо, но не е достатъчно. Производната в точката x = a може да изчезне, да отиде до безкрайност или да не съществува без функцията да има екстремум в тази точка. Какво е достатъчното условие за екстремума на функцията (максимум или минимум)?
Първо условие: е? (х ) е положителен вляво от a и отрицателен вдясно от a, тогава в самата точка x = a функцията f(x ) То има максимумпри условие, че функцията f(x ) тук е непрекъснато. Ако е в достатъчна близост до точката x \u003d a, производнатае? (х ) е отрицателна отляво на a и положителна вдясно от a, тогава в самата точка x = a функцията f(x ) То има минимумпри условие, че функцията f(x ) тук е непрекъснато. Вместо това можете да използвате второто достатъчно условиеекстремум на функцията:
Нека в точката x = и първата производнае? (х ) изчезва; ако втората производнае?? (а) е отрицателна, тогава функцията f (x) има в точката x = a максимум, ако е положителен - минимум. Относно случая f?? (a) = 0 може да се намери в Наръчника по висша математика от М.Я. Вигодски. Каква е критичната точка на функция и как да я намерим?
Това е стойността на аргумента на функцията, при който функцията има екстремум (т.е. максимум или минимум). За да го намерите, трябва намерете производнатафункциие? (х ) и приравнявайки го на нула, реши уравнението
е? (х ) = 0. Корените на това уравнение, както и тези точки, в които не съществува производната на тази функция, са критични точки, т.е. стойностите на аргумента, при които може да има екстремум. Те могат лесно да бъдат идентифицирани, като се разгледат производна графика: интересуват ни тези стойности на аргумента, при които графиката на функцията пресича оста на абсцисата (ос Ox) и тези, при които графиката търпи счупвания. Например, нека намерим екстремум на параболата.
Функция y (x) \u003d 3 x 2 + 2 x - 50. Производна на функцията: y? (x) = 6 x + 2 Решаваме уравнението: y? (x) = 0 6x + 2 = 0,6x = -2, x = -2/6 = -1/3 В този случай критичната точка е x 0 = -1/3. Функцията има тази стойност на аргумента екстремум. За да го получи да намеря, заместваме намереното число в израза за функцията вместо "x": y 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Как да определим максимума и минимума на функция, т.е. неговите най-големи и най-малки стойности?
Ако знакът на производната се промени от „плюс“ на „минус“ при преминаване през критичната точка x 0, тогава x 0 е максимална точка; ако знакът на производната се промени от минус на плюс, тогава x 0 е минимална точка; ако знакът не се промени, тогава в точката x 0 няма нито максимум, нито минимум. За разглеждания пример: Взимаме произволна стойност на аргумента вляво от критичната точка: x = -1 Когато x = -1, стойността на производната ще бъде y?
(-1) \u003d 6 * (-1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (т.е. знакът е „минус“). Сега вземаме произволна стойност на аргумента вдясно от критичната точка: x = 1 За x = 1 стойността на производната ще бъде y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакът плюс). Както можете да видите, производната смени знака от минус на плюс при преминаване през критичната точка. Това означава, че при критичната стойност на x 0 имаме минимална точка. Най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервала(на сегмента) се намират по същата процедура, само като се вземе предвид фактът, че може би не всички критични точки ще лежат в рамките на посочения интервал. Тези критични точки, които са извън интервала, трябва да бъдат изключени от разглеждане. Ако има само една критична точка вътре в интервала, тя ще има или максимум, или минимум. В този случай, за да определим най-големите и най-малките стойности на функцията, ние също вземаме предвид стойностите на функцията в краищата на интервала. Например, нека намерим най-големите и най-малките стойности на функцията y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x на интервали: а) [-9; девет] б) [-6; -3] Значи производната на функцията е y? (x) \u003d 3 cos (x) - 0,5 Решаване на уравнение 3 cos (x) - 0,5 \u003d 0 3cos(x) = 0,5 cos(x) = 0,5/3 = 0,16667 x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk. Откриваме критични точки на интервала [-9; девет]: x \u003d arccos (0,16667) - 2 π *2 = -11,163 (извън обхвата) x \u003d - arccos (0,16667) - 2 π * 1 = -7,687 x \u003d arccos (0,16667) - 2 π * 1 = -4,88 x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π * 0 = -1,403 x \u003d arccos (0,16667) + 2 π * 0 = 1,403 x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π * 1 = 4,88 x \u003d arccos (0,16667) + 2 π * 1 = 7,687 x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π *2 = 11,163 (не е включено в интервала) Намираме стойностите на функцията при критични стойности на аргумента: y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885 y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398 y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256 y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256 y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398 y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885 Вижда се, че на интервала [-9; 9] функцията има най-голяма стойност прих = -4,88: x = -4,88, y = 5,398, и най-малката - при x = 4,88: x = 4,88, y = -5,398. На интервала [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Стойността на функцията при x = -4,88 е y = 5,398. Намираме стойността на функцията в краищата на интервала: y (-6) = 3 cos (-6) - 0,5 = 3,838 y (-3) = 3 cos (-3) - 0,5 = 1,077 На интервала [-6; -3] имаме най-голямата стойност на функцията y = 5,398 при x = -4,88 най-малката стойност е y = 1,077 при x = -3 Как да намеря точките на огъване на графика на функцията и да определим страните на изпъкналостта и вдлъбнатината?
За да намерите всички точки на прекъсване на линия y=f(x ), трябва да намерите втората производна, да я приравните на нула (решете уравнението) и да тествате всички онези стойности на x, за които втората производна е нула, безкрайна или не съществува. Ако при преминаване през една от тези стойности втората производна промени знака, тогава графиката на функцията има флексия в тази точка. Ако не се промени, тогава няма флексия. Корените на уравнението f ? (х ) = 0, както и възможните точки на прекъсване на функцията и втората производна, разделят областта на функцията на множество интервали. Изпъкналостта на всеки техен интервал се определя от знака на втората производна. Ако втората производна в точка от изследвания интервал е положителна, тогава правата y=f(x ) тук е обърнат чрез вдлъбнатина нагоре, а ако е отрицателен, тогава надолу. Как да намеря екстремуми на функция от две променливи?
За намиране на екстремумите на функция f (x, y ), диференцируема в областта на неговото присвояване, е необходимо: 1) намерете критичните точки и за това решете системата от уравнения f x ? (x, y) \u003d 0, f y? (x, y) = 0 2) за всяка критична точка Р 0 (а; б ), за да се проучи дали знакът на разликата остава непроменен f (x, y) - f (a, b) за всички точки (x; y), достатъчно близки до Р 0 . Ако разликата запази положителен знак, тогава в точката P 0 имаме минимум, ако отрицателен, тогава максимум. Ако разликата не запази знака си, тогава няма екстремум в точката Р 0. По същия начин екстремумите на функцията се определят за по-голям брой аргументи. Източници: Прост алгоритъм за намиране на екстремни стойности..
От точките, заподозрени за екстремум, е необходимо да се намери точно . За да направим това, разглеждаме нашите празнини на координатната линия. Ако при преминаване през някаква точка знакът на производната се промени от плюс на минус, тогава тази точка ще бъде максимум, и ако от минус до плюс, тогава минимум. За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция, трябва да изчислите стойността на функцията в краищата на сегмента и в точките на екстремум. След това изберете най-голямата и най-малката стойност. Помислете за пример Виждаме, че при преминаване през точка -1 производната променя знака от минус на плюс, тоест ще бъде минимална точка, а при преминаване през 1, съответно от плюс към минус, това е максимална точка.
или 
Функцията се извиква антидеривна функция. Първоначалната производна на функция се определя до постоянна стойност.
, тук е произволна константа.
.
, и тази функция е непрекъсната и равенството 
.
където .
. Ако си припомним дефиницията на производната на функция и отидем до границата при , тогава получаваме . Тоест е един от първопроизводните на функцията y = f(x)на сегмента
. По този начин, наборът от всички антидеривати F(x)може да се запише като 
, където Се произволна константа.
, следователно, . Използваме този резултат за изчисляване F(b): , т.е 
. Това равенство дава доказуемата формула на Нютон-Лайбниц .
. Използвайки тази нотация, формулата на Нютон-Лайбниц приема формата 
.
. Да вземем примитивното C=0: .
.Правоъгълна С.К. Функция, дефинирана параметрично Polyarnaya S.K.
Изчисляване на площта на плоските фигури
Изчисляване на дължината на дъгата на планарна крива
Изчисляване на площта на въртене
не е диференциално уравнение.
може да се разглежда като приближение на нелинейното уравнение на математическо махало 
за случай на малки амплитуди, когато г≈ грях г.
където м- телесна маса, х- неговата координата, Ф(х, т) е силата, действаща върху тялото с координата хпо времето т. Неговото решение е траекторията на тялото под действието на посочената сила.
Намираме производната и я приравняваме на нула:
Прилагаме получените стойности на променливите към координатната линия и изчисляваме знака на производната на всеки от интервалите. Е, например, за първия дубъл-2
, тогава производната ще бъде-0,24
, за втория дубль0
, тогава производната ще бъде2
, а за третия вземаме2
, тогава производната ще бъде-0,24. Поставяме съответните знаци.