Jos galimybių ir apribojimų dimensinė analizė. Mano mokslo dienoraštis
Daugelis praktikoje sutinkamų procesų yra tokie sudėtingi, kad jų negalima tiesiogiai apibūdinti diferencialinėmis lygtimis. Tokiais atvejais labai vertingas būdas atskleisti ryšį tarp kintamųjų yra dimensijų analizė.
Šis metodas nesuteikia visos informacijos apie ryšį tarp kintamųjų, kurie galiausiai turi būti atskleisti eksperimentiškai. Tačiau šis metodas gali žymiai sumažinti eksperimentinio darbo kiekį.
Taigi efektyvus matmenų metodo taikymas įmanomas tik kartu su eksperimentu; šiuo atveju turi būti žinomi visi veiksniai arba kintamieji, turintys įtakos tiriamam procesui.
Matmenų analizė leidžia logiškai paskirstyti dydžius bedimensinėse grupėse. Apskritai N funkcinę priklausomybę galima pavaizduoti kaip formulę, kuri vadinama dimensijos formule:
Tai apima (k + 1) įtraukimo dydžius ir N dydžius. Jie gali būti kintami, pastovūs, matmenų ir be matmenų. Tačiau šiuo atveju būtina, kad skaitiniams dydžiams, įtrauktiems į lygtį, apibūdinančią fizikinį reiškinį, būtų priimta ta pati pagrindinių matavimo vienetų sistema. Esant šiai sąlygai, lygtis lieka galioti savavališkai pasirinktai vienetų sistemai. Be to, šie pagrindiniai vienetai turi būti nepriklausomi savo matmenimis, o jų skaičius turi būti toks, kad per juos būtų galima pavaizduoti visų dydžių, įtrauktų į funkcinę priklausomybę (3.73), matmenis.
Tokie matavimo vienetai gali būti bet kokie trys dydžiai, įtraukti į (3.73) lygtį ir kurie yra nepriklausomi vienas nuo kito pagal matmenis. Jei matavimo vienetais paimtume, pavyzdžiui, ilgį L ir greitį V, tada gautume duotą ilgio L vienetą ir laiko vienetą . Taigi trečiajam matavimo vienetui negalima priimti jokio dydžio, kurio matmenyse yra tik ilgis ir laikas, pavyzdžiui, pagreitis, nes šio dydžio vienetas jau yra nustatytas pasirinkus matavimo vienetus. ilgis ir greitis. Todėl papildomai turi būti pasirinkta bet kokia reikšmė, kurios matmenys apima masę, pavyzdžiui, tankį, klampumą, jėgą ir kt.
Praktikoje, pavyzdžiui, atliekant hidraulinius tyrimus, tikslinga naudoti šiuos tris matavimo vienetus: bet kurios srauto dalelės greitį V 0, bet kokį ilgį (vamzdyno skersmuo D arba jo ilgį L), vamzdžio tankį ρ. pasirinkta dalelė.
Šių matavimo vienetų matmenys:
m/s; m; kg/m3.
Taigi, matmenų lygtis pagal funkcinę priklausomybę (3.73) gali būti pavaizduota tokia forma:
Vertės N i ir n i, paimtos pagrindinių vienetų sistemoje (metras, sekundė, kilogramas), gali būti išreikštos bematiais skaičiais:
; 
.
Todėl vietoj (3.73) lygties galima parašyti lygtį, kurioje visi dydžiai išreiškiami santykiniais vienetais (atsižvelgiant į V 0, L 0, ρ 0):
Kadangi p 1, p 2, p 3 yra atitinkamai V 0, L 0, ρ 0, tai pirmieji trys lygties nariai virsta trimis vienetais ir funkcinė priklausomybė įgauna formą:
. (3.76)
Pagal π teoremą bet koks santykis tarp matmenų dydžių gali būti suformuluotas kaip ryšys tarp bematių dydžių. Tyrimuose ši teorema leidžia nustatyti ryšį ne tarp pačių kintamųjų, o tarp kai kurių jų bedimensinių santykių, sudarytų pagal tam tikrus dėsnius.
Taigi funkcinė priklausomybė tarp k + 1 matmenų dydžių N ir n i paprastai išreiškiama santykiu tarp (k + 1-3) dydžių π ir π i (i = 4,5, ..., k), kurių kiekvienas yra bematis galios derinys dydžių, įtrauktų į funkcinę priklausomybę. Bedimensiniai skaičiai π turi panašumo kriterijų pobūdį, kaip matyti iš šio pavyzdžio.
3.3 pavyzdys. Nustatykite funkcinę priklausomybę nuo pasipriešinimo jėgos F (N = kg m / s 2), kurią plokštė patiria tekėdamas skysčiu savo ilgio kryptimi.
Atsparumo jėgos funkcinė priklausomybė gali būti pavaizduota kaip daugelio nepriklausomų kintamųjų funkcija ir nustatyta panašumo sąlygomis:
,
kur 
srauto greitis, m/s; 
plokštės plotas, m 2; 
skysčio tankis, kg/m 3; 
dinaminis klampos koeficientas, Pa s ([Pa s] = kg/m s); 
laisvo kritimo pagreitis, m/s 2 ; 
slėgis, Pa (Pa = kg/m s); plokštės aukščio ir ilgio santykis; plokštės pasvirimo kampas srauto kryptimi.
Taigi dydžiai ir yra be matmenų, likę šeši yra matmenų. Trys iš jų: 
, 
ir laikomi pagrindiniais. Pagal π teoremą čia galimi tik trys bedimensiniai santykiai. Vadinasi:
pasipriešinimo jėgai:
1 \u003d z (rodikliai kairėje ir dešinėje esant kg);
2 \u003d - x (rodikliai kairėje ir dešinėje ties c);
1 \u003d x + 2y - 3z (indikatoriai kairėje ir dešinėje ties m).
Šių lygčių sprendimas duoda: x = 2; y = 1; z = 1.
Funkcinė priklausomybė:
Panašiai gauname:
Dėl klampumo:
turime x 1 = 1; y 1 = 0,5; z1 = 1.
Funkcinė priklausomybė:
;
turime x 2 = 2; y 2 = -0,5; z2 = 0.
Funkcinė priklausomybė:
Dėl slėgio:
turime x 3 = 2; y 3 = 0; z3 = 1.
Funkcinė priklausomybė:
.
Tai akivaizdu 
, 
, 
.
Iš to galime daryti išvadą, kad ištyrus šį procesą tam tikrais dydžiais, greičiais ir pan., galima nustatyti, kaip jis vyks esant kitiems dydžiams ir greičiams, jei iš šių kintamųjų sudaryti bedimensiniai santykiai abiem atvejais yra vienodi. Taigi išvados, gautos eksperimentuojant su tam tikrų dydžių kūnais, judančiais tam tikru greičiu ir pan., akivaizdžiai galios ir bet kokiems kitiems kūno dydžiams, greičiams ir pan. su sąlyga, kad bematmenų santykiai yra vienodi 
su stebimais eksperimentuose.
3.4 pavyzdys. Remiantis ankstesniais laboratorinio prietaiso tyrimais, nustatyti maišyklės variklio galios N (W = kg m 2 /s 3) funkcinę priklausomybę, reikalingą plaušienai maišyti su reagentais kontaktiniame bakelyje.
Dėl dviejų maišymo sistemų panašumo reikia:
Geometrinis panašumas, kuriame dydžių santykis nagrinėjamoms sistemoms turi būti lygus vienas kitam;
Kinematinis panašumas, kai greičiai atitinkamuose taškuose turi būti tokio paties santykio kaip greičiai kituose atitinkamuose taškuose, tai yra, plaušienos keliai turi būti panašūs;
Dinaminis panašumas, kuris reikalauja, kad jėgų santykis atitinkamuose taškuose būtų lygus jėgų santykiui kituose atitinkamuose taškuose.
Jei ribinės sąlygos yra fiksuotos, vienas kintamasis gali būti išreikštas kitais kintamaisiais, tai yra, maišytuvo variklio galios funkcinė priklausomybė gali būti pavaizduota kaip daugelio nepriklausomų kintamųjų funkcija ir nustatoma pagal panašumo kriterijus:
,
kur yra maišytuvo skersmuo, m; plaušienos tankis, kg/m 3; 
maišyklės sukimosi greitis, s -1 ; dinaminis klampos koeficientas, Pa·s (Pa·s=kg/m·s); laisvo kritimo pagreitis, m/s 2 – plokštės pasvirimo į tekėjimo kryptį kampas.
Taigi, turime penkių matmenų dydžius, iš kurių trys: , ir 
priimtas kaip pagrindinis. Pagal π teoremą čia galimi tik du bedimensiniai santykiai. Vadinasi:
.
Atsižvelgiant į skaitiklio ir vardiklio matmenų lygybę, randame eksponentus:
maišytuvo variklio galiai:
,
3 \u003d z (rodikliai kairėje ir dešinėje c);
1 = in (rodikliai kairėje ir dešinėje esant kg);
2 \u003d x - 3y (indikatoriai kairėje ir dešinėje ties m).
Šių lygčių sprendimas duoda: x = 5; y = 1; z = 3.
Funkcinė priklausomybė:
Panašiai gauname:
Dėl klampumo:
turime x 1 = 2; y 1 = 1; z1 = 1.
Funkcinė priklausomybė:
;
Norėdami pagreitinti laisvąjį kritimą:
turime x 2 = 1; y 2 = 0; z2 = 1.
Funkcinė priklausomybė:
;
Akivaizdu, kad . Tada norima funkcinė priklausomybė turi tokią formą:
.
Iš to galime daryti išvadą, kad suradus funkcinę maišytuvo variklio galios priklausomybę nuo kai kurių jo parametrų, galima nustatyti kokia ji bus esant kitiems dydžiams ir greičiams ir pan. jei bedimensiniai santykiai abiem atvejais yra vienodi. Taigi išvados, gautos naudojant eksperimentinį įrenginį, galios bet kuriam kitam įrenginiui, jei bedimensiniai santykiai bus lygūs eksperimentuose pastebėtiems.
3.5 pavyzdys. Ištirtas sodrinimo procesas sunkiosios terpės separatoriuje. Sunkiosios terpės atskyrimo proceso parametrinėje diagramoje (3.5 pav.) rodomi gaunami, išeinantys ir valdomi parametrai bei galimos kliūtys:
Įvesties ir valdomi parametrai: Qin – pirminės medžiagos separatoriaus veikimas; Q susp - suspensijos srautas; V - kibiro tūris; Δρ – suspensijos ir atskirtinos frakcijos tankių skirtumas; ω - lifto rato sukimosi greitis; n – lifto rato kaušų skaičius;
Išėjimo ir valdomi parametrai: Q to-t – koncentrato separatoriaus veikimas; Q otx – atliekų separatoriaus veikimas;
Kliūtys (neatsižvelgta į parametrus, turinčius įtakos procesui): drėgmė, granulometrinė ir trupmeninė sudėtis.
Patikriname, ar pakanka parametrų skaičiaus modeliui apskaičiuoti, kuriam užrašome visų dydžių matmenis = kg / s; \u003d m 3 / s; [Δ] \u003d kg / m 3; [V] \u003d m 3; [ 
] = c -1; = kg/s; [n] = 8.
Pagrindiniai matmenų dydžiai m = 3 (kg, m, s), todėl skaičiuojant galima naudoti:
parametras, ty Q out, V, Δ, ω.
0 = 3x - 3z (rodikliai kairėje ir dešinėje ties L);
1 \u003d - y - 3z (indikatoriai kairėje ir dešinėje ties T);
Taigi x = 1; y = -2; z = 1, tai yra, atliekų separatoriaus talpos funkcinė priklausomybė nuo kaušo tūrio, lifto rato sukimosi greičio ir pakabos tankio bei atskirtos frakcijos skirtumo yra tokia:
Koeficiento k reikšmė nustatoma remiantis ankstesniais tyrimais su fiksuotais parametrais: V = 0,25 m 3 ; Δ \u003d 100 kg / m 3; = 0,035 s -1; n \u003d 8, dėl to buvo nustatyta, kad Q otx \u003d 42 kg / s:
Formulė 
yra matematinis tiriamo proceso modelis.
3.6 pavyzdys. Tiriamas koncentrato, kurio dalelių dydis 0,5 - 13 mm, transportavimo sausinimo maišytuvu-karteriu elevatoriumi procesas:
Įvesties ir valdomi parametrai: ω - lifto kaušo talpa, išreikšta kietosiomis medžiagomis; ρ - tiekimo tankis; V – lifto grandinės greitis;
Išeiga ir valdomas parametras: Q - vandens šalinimo maišytuvo-siurblys elevatoriaus našumas pagal klasę 0,5 - 13 mm;
Pastovūs parametrai: kibiro užpildymo koeficientas 
= 0,5; drėgmė, granulometrinė ir frakcinė sudėtis.
Šiame pavyzdyje:
Patikriname, ar pakanka parametrų skaičiaus modeliui apskaičiuoti, kuriam užrašome visų dydžių matmenis: [ω] = m 3; [ρ] \u003d kg / m 3; [V] = m/s.
Pagrindiniai matmenų dydžiai m = 3 (kg, m, s), todėl skaičiuojant galima naudoti:
parametras, ty Q, V, , ω.
Kadangi neatsižvelgiama į visus parametrus, koeficientas k pridedamas prie funkcinės priklausomybės tarp pasirinktų parametrų:
,
arba naudojant bazinius vienetus M, L, T:
0 \u003d 3x + y - 3z (indikatoriai kairėje ir dešinėje ties L);
1 \u003d - y (indikatoriai kairėje ir dešinėje ties T);
1 = z (rodikliai kairėje ir dešinėje ties M).
Taigi x = 2/3; y = 1; z = 1, tai yra, 0,5-13 mm klasės sausinimo maišo-siurblys elevatoriaus našumo funkcinė priklausomybė nuo kaušo tūrio, elevatoriaus grandinės greičio ir padavimo tankio yra tokia:
.
Koeficiento k reikšmė nustatoma remiantis ankstesniais tyrimais su fiksuotais parametrais: V = 0,25 m/s; \u003d 1400 kg / m 3; \u003d 50 10 -3 m 3, dėl to buvo nustatyta, kad Q \u003d 1,5 kg / s, be to, reikia atsižvelgti į kibiro užpildymo koeficientą = 0,5 ir tada:
.
Formulė 
yra matematinis koncentrato, kurio dalelių dydis yra 0,5-13 mm, transportavimo tiriamu vandens šalinimo maišytuvu-siurblys liftu proceso modelis.
Reikia turėti omenyje, kad kuo mažesnė koeficiento k reikšmė, tuo didesnė nagrinėjamų parametrų reikšmė.
Matmenų analizė, panašumo teorija, modeliavimas, taip pat įvairių reiškinių analogijos metodas leidžia kartu su teisingai suformuluoti ir atlikti eksperimentus, pagreitinti skaičiavimo ir kitus darbus. Tačiau šis metodas nėra plačiai naudojamas teoriniuose naftos ir dujų gręžinių gręžimo pagrindus. Tuo pačiu metu šios priemonės yra gana plačiai naudojamos teoriniams naftos ir dujų telkinių plėtros pagrindams.
Norint teisingai nustatyti eksperimentus, apdoroti gautus rezultatus ir apibendrinimus, būtina atlikti kiekybinę-teorinę analizę. Tokiu atveju eksperimentų, kurių rezultatai išreiškiami bematiais parametrais, skaičius mažėja. Visų pirma hidrodinamikoje šie parametrai apibrėžiami kaip jėgų santykis.
Paprastai skiriami matmenų ir bematių dydžiai. Matmenų dydžių pavyzdžiai yra greitis, slėgis, klampumas, didžiausias šlyties įtempis, ilgis, laikas ir kt.
Ilgio ir skersmens, klampumo jėgų ir ribinio šlyties įtempio ir kt. santykis yra bematis dydis. Dimensijų teorijos analizė leidžia sumažinti kintamųjų skaičių lygtyse, pereinant nuo matmenų kintamųjų prie bedimensinių kintamųjų. Tarkime, kad gausime tokią kvadratinę lygtį:
ax2 + bx+c = 0,
kur bedimens X priklauso nuo koeficientų a, b ir c, kurių matmenys tokie patys.
Su, tada lygtis įgaus formą
Kaip matyti iš lygties, kintamasis X priklauso nuo ir , t.y.
. Todėl rašant lygtį bedimensine forma
leidžia sumažinti kintamųjų skaičių nuo trijų iki dviejų. Jei lygtis nežinoma arba būtina nustatyti funkcinės priklausomybės tipą, tada užuot keiskite a ir b pakeisti santykius ir . Taigi ne tik sumažinamas kintamųjų skaičius, bet ir pasiekiama galimybė atlikti eksperimentą su mažiausiai laiko ir darbo sąnaudomis. Tarkime, kad norint nustatyti eksperimentą, reikia pakeisti ir reikšmes. Jei eksperimentuojant vertė Su lengva pakeisti, tada keičiant vertę Su, galima keisti reikšmes ir (kai reikšmės a ir b išlieka pastovios), ir, atvirkščiai, jei sunku pakeisti reikšmę c eksperimentuojant, tai pakeitus reikšmes ir galima pakeisti reikšmes a ir b. Jeigu
atliekant eksperimentus sunku pakeisti b uc reikšmes, tada pakeitus vieną iš jų galima pasiekti dydžių santykio pasikeitimą.
Fiziniai pagrindai dydžius susieja su tam tikromis priklausomybėmis. Todėl, jei kai kuriems dydžiams pasirenkami matmenys, tai kitų dydžių matmenys gali būti gauti pagal atitinkamas formules. Priklausomybė tarp fizikinių dydžių leidžia pasirinkti tokią bazinę matmenų sistemą, kad mechaniniams dydžiams šioje sistemoje išmatuoti pakanka savavališko trijų matmenų pasirinkimo.
Daugeliu atvejų ilgio vieneto technikoje L laikas T ir jėga F imami kaip baziniai vienetai. Tačiau tarp matavimo vienetų klampumas , greitis v o tankis taip pat gali būti laikomas baziniu. Tokie dydžiai vadinami nepriklausomų matmenų dydžiais (žr. toliau).
Šiuo metu yra priimta tarptautinė SI vienetų sistema, kurioje ilgio matmuo yra 1 m, masė - 1 kg, o laikas - 1 sek.
Jei žymime nepriklausomus ilgio, laiko ir jėgos matmenis, atitinkamai, per L, T ir F, tada hidromechanikoje plačiai naudojami kiekiai turės tokius matmenis:
greitis
Jei matematiniam apibūdinimui neįmanoma sudaryti diferencialinės lygties ar kitos matematinės priklausomybės, tai, naudojant matmenų teoriją, galima apibūdinti fizikinį reiškinį be procesą apibūdinančios lygties. Tačiau tam būtina žinoti pradines ir ribines sąlygas, paaiškinančias šį reiškinį. Šiems tikslams panaudojus -teoremą (Bekingemo teoremą), galima nustatyti pagrindinius bedimensinius parametrus, apibūdinančius nagrinėjamą reiškinį.
Darome prielaidą, kad bematis dydis a priklauso nuo nepriklausomų kintamųjų 1:..., a p
a \u003d a (a 1, a 2, a 3,. . ., a m, a m+1 , . . ., a p).
Funkcinė priklausomybė paprastai rašoma kaip ; su daugybe priklausomybių. Funkcijos požymius reikia vertinti kitaip. Paprasčiau tariant, priklausomybės rodomos taip:
Tarkime, kad tarp šių matmenų dydžių nepriklausomų matmenų dydžių skaičius yra lygus t. Mechanikoje ir technikoje jų negali būti daugiau nei trys. Ilgis imamas kaip nepriklausomi matmenys L laikas T, stiprumas F arba jų galios derinys, iš kurio galima gauti L, T ir F, pavyzdžiui:
Į lygtį įeina n+1 matmenų dydžiai. Remiantis l-teorema, ryšys tarp P Galima atlikti + 1 matmenų vienetus P+ 1 - m bedimensiniai parametrai, susidedantys iš P+ 1 matmenys.
Tada galima užrašyti bedimensinius parametrus
Čia rodikliai t 1, t 2, ..., m k ; p 1 p 2 ,.., p k ; g 1 g 2..., g k parenkami taip, kad parametrai 
pasirodė bematis.
Paaiškinkime -teoremos taikymą konkrečiu pavyzdžiu. Tarkime, kad vietoj nurodytos vertės , o vietoj nepriklausomų matmenų dydžių pateikiami . Tada gauname
Kadangi šios formulės kairioji pusė yra bematė, tai ir dešinioji turi būti bematė, t.y.
Tada, sulyginant eksponentus ties L, T ir F, mes gauname:
 |
Šios trijų tiesinių lygčių sistemos sprendiniai bus tokie:
Todėl bematis parametras gali būti pavaizduotas kaip
Ši išraiška yra slėgio ir inercijos santykis ir vadinama Eulerio parametru.
Naudojant matmenų teoriją, naudojami fiziniai ir matematiniai svarstymai.
Panagrinėkime stacionarų nesuspaudžiamo klampaus plastiko skysčio judėjimą cilindriniame vamzdyje. Slėgio kritimas dujotiekio galuose priklauso nuo vamzdžio ilgio ir skersmens, konstrukcinio klampumo, ribinio šlyties įtempio, skysčio tankio, taip pat nuo gravitacijos pagreičio ir judėjimo greičio. Kai suspaudžiamas skystis juda, į lygtį turi būti įtrauktas ne slėgio kritimas, o absoliučios slėgių, veikiančių vamzdžio galuose, vertės. Nagrinėjamu atveju fizinė lygtis turi formą
, arba
Kadangi nepriklausomų skaičius yra trys, naudodamiesi -teorema galime išvesti penkis bedimensius parametrus. Šiuo atveju kaip nepriklausomų matmenų kiekius galima pasirinkti: t.t.
Aukščiau buvo pažymėta, kad kiekviename variante turi būti parinkti nepriklausomų matmenų dydžiai, kad jų galios deriniai leistų gauti ilgio matmenis L stiprumas F, laikas T. Dabar patikrinkime šią priimtų variantų sąlygą.
Kadangi pirmajame variante pagrindiniais laikomi slėgis, skersmuo ir greitis, juos derindami sieksime gauti matmenis L, F ir T.
Raskite ilgio matmenis
Vadinasi, 
Taigi, norėdami gauti ilgio matmenį, turite paimti tokį derinį p, d ir v:
.
Raskime jėgos matmenis:
,
Vadinasi,
;
y., norėdami gauti jėgos matmenį, turite naudoti šį derinį:
.
Raskime laiko dimensiją
,
Vadinasi,
.
Laiko matmuo gaunamas iš toliau pateikto derinio p, d ir v:
Kiekviename variante šių dydžių deriniai parenkami taip, kad būtų galima gauti bedimensinį parametrą. Dabar kiekvienai iš dviejų parinkčių gauname bedimensinius parametrus.
1 variantas. Trijų dydžių deriniai, paimti išvedant bedimensinius parametrus , turi būti parenkami taip, kad būtų galima gauti likusių dydžių matmenis, o tada, padalijus, gautą reikšmę paversti bedimensine forma.
Dėl vertės galime parašyti:
 |
Taigi formoje gauname ketvirtąjį bematį parametrą
Čia stacionariam klampių plastikinių skysčių judėjimui gaunami parametrai Eu, Fr, La" ir La".
Panašiai, jei gausime bedimensinius parametrus , tada gauname
Dėl to, kad trys iš aštuonių į lygtį įtrauktų dydžių yra paimti kaip nepriklausomi kintamieji, bedimensinių parametrų skaičius sumažės nepriklausomų kintamųjų skaičiumi, t.y. P- t= 8-3 = 5 bedimensiniai parametrai.
2 variantas. Paėmę matmenų dydžius kaip pagrindinius ir iš -teoremos išvedę bedimensinius parametrus, gauname tokias išraiškas:
Palyginkime juos su I varianto parametrais:
Atsižvelgiant į tai, kad norima vertė yra įtrauktas į parametrą Eu, tada eksperimentų rezultatai pateikiami formoje
Nuo vertės yra įtrauktas į parametrą Eu, likę trys parametrai pasirenkami taip, kad ten būtų norima reikšmė nedalyvavo.
Lygtį taip pat galima išreikšti naudojant Lagranžo parametrą, kuriame , t.y.
Ši lygtis taikoma stacionariam judėjimui; jei judesys nestacionarus, reikia atsižvelgti ir į Strouhal parametrą.
Kai vamzdis yra horizontalus, gravitacija neturi įtakos judėjimui, todėl g neatsižvelgta.
Kadangi izoterminio judėjimo metu skysčių fizikinės savybės vamzdžio ilgiu nekinta, srautas ir skerspjūvis išlieka pastovūs, slėgio nuostoliai ilgio vienetui (iš tęstinumo lygties) skiriasi. Šiuo atveju būdinga. Pavyzdžiui, jei žinome slėgio nuostolius, atitinkančius 100 m ilgio, galima nustatyti slėgio nuostolius esant 200, 300 m ir tt Čia neatsižvelgiama į pradžios ir pabaigos dalis. Tada slėgio kritimas ilgio vienetui gali būti išreikštas kaip
.
Kadangi yra apibrėžta , tada parametras išnyksta ir Eulerio parametras įrašomas formoje
Klampių skysčių atveju panaši lygtis, kurią nepriklausomai išvedė Darcy ir Weisbach, vadinama Darcy-Weisbach lygtimi.
Šiuo būdu,
kur 
- hidraulinio pasipriešinimo koeficientas.
Apsvarstykite ilgos dviejų laidų linijos lygtį. Dviejų laidų liniją vaizduoja sistema su tolygiai paskirstytais nuotėkiais, induktyvumu, varžomis ir talpomis. Potencialus skirtumas U ir srovės stiprumas i skyriuose X ir yra nustatomas remiantis Kirchhoffo dėsniu, parašytam procesui, vykstančiam segmente per laiko intervalą . Skirtumas U(x, t) – U(x+ Ak, t) nustato potencialų skirtumą tarp induktyvumo ir ominės varžos
kur L ir R- atitinkamai induktyvumas ir ominė varža vienam ilgio vienetui.
Pirmasis dešinės pusės narys, apibūdinantis pokytį e. d.s. dėl induktyvumo, nustatomas pagal srovės stiprumo pokytį laikui bėgant. Antrasis narys yra potencialų skirtumas, kuris apskaičiuojamas pagal Ohmo dėsnį.
Antroji lygtis – srovės balansas, nulemtas kondensatoriaus ir nuotėkio, t.y.
"kur NUO- ilgio vieneto talpa; G- - laidumas ilgio vienetui.
Pirmasis dešinės pusės narys yra srovės, einančios per kondensatorių, stiprumas ir apibūdinamas potencialų skirtumo pasikeitimu laikui bėgant. Antrasis terminas yra srovės stiprumas – nuotėkis, nustatomas pagal Ohmo dėsnį.
Aukščiau pateiktos dvi lygtys yra ilgos dviejų laidų linijos baigtinių skirtumų lygtys. Perėjimas prie ribos ties 
,
galima:
Ši lygčių sistema skirta G= 0 yra gana panašus į skysčio lašelio judėjimo vamzdyne diferencialines lygtis.
Apsvarstykite netolygus tikrosios terpės judėjimas horizontaliame apvaliame cilindriniame vamzdyje. Šiuo atveju vienas atsipalaidavimo bumas apibūdina nestacionarumą išilgai ašies, kitas - išilgai atkarpos. Daroma prielaida, kad antrasis yra nereikšmingas, palyginti su pirmuoju. Todėl tiriamas nestacionarumas, besivystantis išilgai vamzdžio ašies, ty nagrinėjamas beveik vienmatis judėjimas, apibūdinamas parametrais, suvidurkintais per skerspjūvį. Daroma prielaida, kad skystis yra blogai suspaudžiamas, t.y., jo greičio pokytis išilgai ašies yra nedidelis. skyriuje 1 -1 (žr. 9 pav.) vidutinis slėgis žymimas p(x, t), ir 2 skyriuje -2 - per .
Šlyties įtempis žymimas . Tada tre-shya jėga, veikianti elementaraus apvalaus cilindro šoninį paviršių, bus , kur S1- sudrėkintas perimetras.
Judėjimo lygtyje "vietinis greitis" apytiksliai pakeičiamas skerspjūvio vidutiniu greičiu v, bet tai neturi įtakos galutiniam rezultatui.
Atsparumo ir slėgio jėgų suma yra , kur F- skerspjūvio plotas.
Peržengę ribą, gauname
Absoliučią inercinės jėgos vertę išreiškiame per , kur
 |
 |
Terpės masė skyriuje 1-1, 2-2 vamzdžiai. Tada ties riba. Remiantis D principu „Alembert
Dėl to, kad greitis vamzdžio ilgiu kinta mažai, galima nepaisyti antrojo šios lygybės nario lyginant su pirmuoju, t.y.
Išsamiau suformuluokime sąlygas, kurioms esant antrasis terminas gali būti nepaisomas, palyginti su pirmuoju. Pirmasis terminas turi tvarką , antra (L- būdingas dydis, šiuo atveju dujotiekio ilgis, T yra būdingas laikas, kuris gali būti laikomas atsipalaidavimo laiku). Antrojo termino galima nepaisyti, palyginti su pirmuoju, su sąlyga
Parametras yra be matmenų. Apskaičiuokime šio parametro reikšmę magistraliniam dujotiekiui: 1 m/s; 100 km.
Jei darysime prielaidą, kad kelių valandų eilės atsipalaidavimo laikas atitinka praktinio stacionario pasiekimo laiką
kur R yra hidraulinis spindulys.
režimu, gauname . Tada
kur R yra hidraulinis spindulys
Tęstinumo lygtį įrašome į formą
Izoterminiam judėjimui priimama būsenos lygtis
Vietoj to įvesdami vidutinį masės greitį w, galime rašyti
Iš matmenų analizės nesunku nustatyti, kad laminariniame režime, proporcingai vidutiniam greičiui iki pirmo laipsnio,
o turbulentinėmis sąlygomis – greičio kvadratą.
Dar kartą pažymėtina, kad čia naudojome kvazistacionarumo principą, t.y. pasipriešinimo jėgos buvo nustatytos stacionaraus režimo formulėmis. Paėmimas , rasti
kur 2 a- pasipriešinimo koeficientas.
Iš šių dviejų lygčių galima gauti vieną
Panagrinėkime, kaip, naudodamiesi matmenų svarstymais, galime supaprastinti lygtį. Ieškokime bedimensinių kintamųjų:
kur L, t0 ir w 0- būdingi dydžiai.
Kaip L paėmė dujotiekio ilgį. Todėl į
bedimensiniai kintamieji
Iš būklės nustatoma. Pagaliau
Jei koeficientas ties terminu yra pakankamai didelis, tada inercijos jėgą galima nepaisyti, palyginti su pasipriešinimo jėga.
Taigi slėgio kritimas naudojamas tik pasipriešinimo jėgoms įveikti. Šiuo atveju lygtis įgauna formą
Natūralu, kad priimta prielaida yra pagrįsta labai ilgo ilgio vamzdynams ir kai per juos juda labai didelio klampumo skystis. Nustatant pradinį slėgį vamzdynuose ir šulinyje, į inercijos jėgą galima nepaisyti
 |
Lygis, kurį galima laikyti pakankamai dideliu, nustatomas remiantis panašiais skaičiavimais. Panašumo svarstymai leidžia, neišsprendžiant lygčių, gauti tam tikros informacijos. Pavyzdžiui, antrąjį Niutono dėsnį konkrečiam potencialaus jėgos lauko atvejui galima parašyti kaip
priėmęs 
,
prieinama
Todėl, jei taško masė sumažinama 25 kartus, orbita praeis penkis kartus mažiau laiko.
Tarp įvairių reiškinių, sutinkamų gamtoje, buvo nustatyta daug matematinių analogijų. Pastaruosius dešimtmečius praktikoje buvo naudojami laboratoriniai tyrimai ir projektai, pagrįsti elektrine, magnetine, elektrodinamine, elektromagnetine, šilumine, garso, optomechanine, magneto-optine ir kitomis analogijomis bei modeliavimo teorija. Įvairių fizikinių reiškinių elektrinis modeliavimas plačiai taikomas filtravimo teorijoje, hidraulikoje, hidrodinamikoje, statyboje, šilumos inžinerijoje, tamprumo teorijoje, grunto mechanikoje, mechanizmų teorijoje, akustikoje, automatinio valdymo teorijoje, taip pat kitose mokslo ir technikos srityse.
Šiuolaikinėje hidrotechnikoje didelių ir sudėtingų hidrotechnikos konstrukcijų statyba reikalauja sudėtingų filtravimo tyrimų. Teorinis šių klausimų tyrimas yra labai sunkus ir kartais neišsprendžiamas. Šios sudėtingos problemos labai lengvai išsprendžiamos naudojant EGDA metodą (elektrohidrodinaminė analogija), įskaitant daugybę problemų, susijusių su naftos, dujų ir gazuotų skysčių filtravimu.
EGDA metodą naudoti tiriant grunto vandens filtravimą po hidrotechnikos statiniais pirmą kartą pasiūlė 1918 m., o teoriškai jį pagrindė akademikas N. N. Pavlovskis. EGDA metodas taip pat plačiai naudojamas įvairiose mokslinių tyrimų srityse.
Išcentrinio modeliavimo panaudojimas duoda gerų rezultatų sprendžiant šias su uolienų statika ir dinamika susijusias problemas: žemės statinių šlaitų stiprumo nustatymas; šachtų ir kitų pastato pamatų stiprumo nustatymas; įtempių pasiskirstymas uolienose ir pastato paviršių sąlytyje su uoliena; pastato nusėdimas; vandens filtravimas uolienoje ir filtravimo poveikis uolienai; trinties ir sanglaudos jėgų surištose uolienose nustatymas ir kt.
Žemiau pateikiame du paprastus su analogija susijusius pavyzdžius.
Elektrinių ir mechaninių reiškinių analogija
Uždara grandinė (25 pav.) apima kondensatorių, kurio talpa C, ominę varžą R, saviindukcijos ritę L ir raktas KAM.
Per grandinę teka elektros srovė I. Nuosekliosios grandinės atveju, kaip žinoma iš Kirchhoffo dėsnio, potencialų skirtumas sudarys iš įtampos skirtumo sumos
ominė varža, kondensatorius ir ritė. Šie trys komponentai apskaičiuojami taip:
a) dėl saviindukcijos įtampos skirtumas lygus saviindukcijos koeficiento ir srovės kitimo greičio sandaugai, t.y.;
b) įtampos skirtumas, susijęs su omine varža, yra lygus sandaugai R.I.(Omo dėsnis);
c) kondensatoriaus įtampos skirtumas (pagal apibrėžimą)
Taigi reiškinį apibūdinančią diferencialinę lygtį galime užrašyti forma
Sprendžiant šią antros eilės diferencialinę lygtį, norint rasti dvi konstantas, reikia nurodyti dvi sąlygas. Pavyzdžiui, iš pradžių t = t0 yra duoti
Utopija ir .
Apsistokime prie sąlygų, būtinų lygtims išspręsti. Jei reiškinys aprašomas įprasta n-osios eilės diferencialine lygtimi, t. y. lygtyje, norima funkcija priklauso tik nuo vieno argumento (P- aukščiausia į lygtį įtrauktos išvestinės eilės tvarka - sveikas skaičius, kuris gali būti lygus vienam ar daugiau), tada jo sprendimo rezultatas turėtų būti gautas P savavališkos konstantos. Norint juos rasti, reikia nustatyti P sąlygos. Šios sąlygos, priklausomai nuo tiriamo reiškinio pobūdžio, gali būti patikslintos įvairiai.
1. Esant tam tikram argumento reikšmei nurodoma funkcija ir jos P - 1 dariniai. Pavyzdžiui, jei tam tikroje trečiosios eilės lygtyje norima funkcija priklauso nuo laiko, tada tam tikroje
funkcijai ir jos pirmai bei antrai išvestiniams turi būti pateiktos laiko reikšmės.
Tokia problema vadinama pradinių sąlygų problema arba Koši problema.
2. Tam tikroms argumentų reikšmėms nurodomos funkcijos ir jų išvestinės. Pavyzdžiui, jei turime penktos eilės diferencialinę lygtį, tada iš dviejų argumentų reikšmių viena iš jų pateikia norimą funkciją ir jos pirmąją bei antrąją išvestines, o kita reikšmė – funkciją ir trečią jos išvestinę. Čia, priklausomai nuo problemos formulavimo, galimi ir įvairūs kiti variantai.
Sumažintos elektros grandinės ribines sąlygas galima nustatyti taip:
Apsvarstykite mechaninę grandinę, turinčią vieną laisvės laipsnį. Parašykime spyruoklę veikiančių jėgų pusiausvyros sąlygą (26 pav.).
 |
Spyruoklę veikia aktyviosios gravitacijos ir elastingumo jėgos bei pasyvioji pasipriešinimo jėga.
Naudodamiesi D "Alembert" principu, pusiausvyros sąlygą įrašome formoje
kur t - svoris; h- virpesių slopinimas; į- standumo koeficientas; X- judėjimas.
Pirmiau pateiktoje lygtyje (A) pirmasis narys absoliučia verte reiškia inercijos jėgą, antrasis - trinties jėgą, o trečiasis - elastingumo jėgą.
Mechaninio svyravimo lygtis turi tokią pačią formą kaip ir elektrinį virpesį apibūdinanti lygtis. Todėl šiose lygtyse parametrai yra panašūs: X- aš
t- L:h- R.
Pereikime prie bedimensinių dydžių taip:
kur t0- pradinė argumento reikšmė; x 0 ir I 0 yra pradinės funkcijos reikšmės. Šiuo būdu,
Jei visi lygties nariai padalinti iš , gauname tokią lygtį su bematiais koeficientais:
Panašiai mechaninių virpesių lygtis gali būti parašyta bedimensine forma
Parašykime pradines elektros grandinės virpesių lygties sąlygas bedimensine forma:
Pradinės mechaninių virpesių lygties sąlygos bus:
Kad antrosios pradinės sąlygos būtų lygios, turi būti įvykdyta ši sąlyga:
Dabar, naudodamiesi mechaninių ir elektrinių virpesių lygčių analogija, pereikime nuo vienos lygties prie kitos.
Tarkime, kad mechaninei grandinei t, k C ir aš " 0 , iš šių trijų lygčių galima rasti I 0, L ir R.Šių parametrų pasirinkimas priklauso nuo eksperimento vietos ir sąlygų.
Radęs šiuos parametrus, kad nustatytų priklausomybę, I =I(t) surenkama atitinkama elektros grandinė.
Hidraulinė analogija sprendžiant šilumos perdavimo problemas
Analitinis šilumos perdavimo problemų sprendimas sudėtingomis ribinėmis sąlygomis ir kintančiais šiluminiais koeficientais (su kuriais dažnai susiduriama praktikoje) yra susijęs su dideliais sunkumais. Elementariųjų balansų metodo taikymas siejamas su daug darbo reikalaujančiomis skaičiavimo operacijomis. Šiuo atžvilgiu skaičiavimo įrenginiai buvo sukurti remiantis analogijomis, kurios palengvina skaičiavimo operacijas. Taikant analogijos metodą, tiriamą reiškinį siekiama atkurti panašiu reiškiniu, kuris apibūdinamas tomis pačiomis matematinėmis priklausomybėmis, bet lengviau valdomas. Tai labai supaprastina skaičiavimo darbą.
Yra žinomi nestacionarių šilumos laidumo procesų elektriniai modeliai (L. I. Gutenmakher elektrinis integratorius); rastas pritaikymas ir hidraulinės analogijos metodas, pasiūlytas V. S. Lukjanovo.
V. S. Lukjanovo hidraulinis integratorius yra pagrįstas matematinių ryšių, apibūdinančių temperatūros pasiskirstymą kietame kūne ir slėgio pasiskirstymą, analogija. in vanduo, judantis per hidraulines varžas laminariniu režimu.
Pagrindinis esminis bruožas, lemiantis hidraulinio integratoriaus konstrukciją, yra tolygiai paskirstytų parametrų pakeitimas vienkartiniais parametrais hidrauliniame lauke, t. y. perėjimas iš lauko į grandinę su vienkartiniais parametrais. Šiuo atžvilgiu nenutrūkstamo temperatūros lauko atkūrimo su vienkartiniais parametrais procesas yra perėjimas nuo diferencialinių lygčių sprendimo prie lygties baigtinių skirtumų sprendimo.
Šį įrenginį sudaro pagrindiniai hidraulinės grandinės analogijos elementai su koncentruotais varžos ir talpos elementais, taip pat specialūs elementai, atkuriantys latentinės šilumos išsiskyrimą, kai pasikeičia agregacijos būsena; prietaisai ribinėms sąlygoms nustatyti; prietaisai slėgiui matuoti hidraulinės grandinės mazguose; prietaisas, kuris aprūpina įrenginį vandeniu.
Panagrinėkime konkretų temperatūros pasiskirstymo daugiasluoksnėje sienoje su vienmačiu šilumos srautu nustatymo pavyzdį. Siena nustatoma pagal atskirų sluoksnių matmenis ir termofizines medžiagų charakteristikas, t. y. pagal tūrines šilumos talpas ( , kur Su- savitasis kūno šilumos laidumas; - tūrinis kūno svoris), ir šilumos laidumo koeficientai (27 pav.).
Pateikiamas tam tikras pradinis temperatūrų pasiskirstymas ir savavališkai parinktas išorinių terpių temperatūrų bei šilumos srautų poveikis sienos paviršiui. Pirmiausia sudaroma skaičiavimo schema. Suskaidykite sieną į ribotą skaičių sluoksnių. Daroma prielaida, kad kiekvieno sluoksnio šiluminė talpa yra sutelkta jo viduryje ir yra apsaugota šiluminėmis varžomis, lygiomis pusei sluoksnio storio.
Taigi skaičiavimo schema yra padidintų talpų c grandinė, atskirta viena nuo kitos šiluminėmis varžomis .
Ekstremalių sluoksnių šiluminės galios yra atskirtos nuo išorinės aplinkos papildoma šilumos perdavimo nuo paviršiaus šilumine varža. Elementarių sluoksnių šilumos mainų tarp jų ir aplinkos procesas nustatomas pagal šią lygčių sistemą:
; (1-98)
Hidraulinio pasipriešinimo koeficientas; h- skysčio lygis inde; - skysčio lygio skirtumas induose.
Skysčio tekėjimas q yra proporcingas lygių skirtumui induose (analogiškai šilumos laidumo dėsniui), o vandens kiekio padidėjimas inde laikui bėgant yra lygus indo skerspjūvio ploto sandaugai ir lygio aukščio padidėjimas.
(1,98) ir (1,95) lygtys yra panašios į (1,100) ir (1,101) lygtis. Tarkime, kad laivų grandinė sudaryta taip, kad kiekiai 
yra skaitiniu požiūriu lygūs. Pradinis lygių paskirstymas h atitinkamu masteliu vaizduoja pradinį temperatūros pasiskirstymą elementariųjų sluoksnių centre, o lygių pokytis judančiose induose vyksta taip pat, kaip ir aplinkos temperatūros pokytis. Tada lygis induose keisis panašiai kaip temperatūros pokytis elementariuose sluoksniuose. Jei ir yra skaitine prasme ne lygūs ir , o tik jiems proporcingi, tai terminis procesas taip pat bus atkurtas modelyje, bet tik skirtinga laiko skale. Tokios galimybės buvimas sukuria didelį patogumą, nes galima žymiai pagreitinti lėtų ir sulėtinti greitų šilumos perdavimo procesų atkūrimą. Tokiu atveju nuo hidraulinio modelio galima pereiti prie tiriamo proceso, pasirenkant atitinkamus mastelio koeficientus.
Jei visi dydžiai, įtraukti į lygtis (1.98) – (1.101), išreiškiami bematiais dydžiais, tai sistema (1.98) ir (1.99) bus panaši į sistemas
Fizikiniai dydžiai, kurių skaitinė reikšmė nepriklauso nuo pasirinktos vienetų skalės, vadinami bedimensiniais. Bedimensinių dydžių pavyzdžiai yra kampas (lanko ilgio ir spindulio santykis), materijos lūžio rodiklis (šviesos greičio vakuume ir šviesos greičio medžiagoje santykis).
Fiziniai dydžiai, kurie keičia savo skaitinę reikšmę, kai keičiasi vienetų skalė, vadinami matmeniniais. Matmenų dydžių pavyzdžiai yra ilgis, jėga ir kt. Fizinio dydžio vieneto išraiška pagrindiniais vienetais vadinama jo matmeniu (arba matmenų formule). Pavyzdžiui, jėgos matmuo CGS ir SI sistemose išreiškiamas formule
Matmenų svarstymai gali būti naudojami tikrinant gautų atsakymų teisingumą sprendžiant fizikinius uždavinius: gautų posakių dešinioji ir kairioji dalys, taip pat atskiri terminai kiekvienoje iš dalių turi būti vienodo dydžio.
Matmenų metodas taip pat gali būti naudojamas formulėms ir lygtims išvesti, kai žinome, nuo kokių fizikinių parametrų gali priklausyti norima reikšmė. Metodo esmę lengviausia suprasti pasitelkus konkrečius pavyzdžius.
Matmenų metodo taikymai. Apsvarstykite problemą, kurios atsakymas mums yra gerai žinomas: kokiu greičiu kūnas kris ant žemės, laisvai krisdamas be pradinio greičio iš aukščio, jei galima nepaisyti oro pasipriešinimo? Vietoj tiesioginio skaičiavimo, pagrįsto judėjimo dėsniais, ginčysime taip.
Pagalvokime, nuo ko gali priklausyti norimas greitis. Akivaizdu, kad jis turi priklausyti nuo pradinio aukščio ir nuo laisvojo kritimo pagreičio. Galima daryti prielaidą, kad, vadovaujantis Aristoteliu, priklauso ir nuo masės. Kadangi galima pridėti tik to paties matmens reikšmes, norimam greičiui galima pasiūlyti tokią formulę:
kur C yra tam tikra bematė konstanta (skaitinis koeficientas), o x, y ir z yra nežinomi skaičiai, kuriuos reikia nustatyti.
Šios lygybės dešiniosios ir kairiosios dalių matmenys turi būti vienodi, ir pagal šią sąlygą galima nustatyti rodiklius x, y, z (2). Greičio matmuo yra aukščio matmuo, laisvojo kritimo pagreičio matmuo yra , ir galiausiai masės matmuo yra M. Kadangi konstanta C yra bematė, formulė (2) atitinka tokią matmenų lygybę:
Ši lygybė turi galioti neatsižvelgiant į tai, kokios yra skaitinės reikšmės. Todėl kairėje ir dešinėje lygybės (3) dalyse reikia sulyginti eksponentus ties ir M:
Iš šios lygčių sistemos gauname Todėl (2) formulė įgauna formą
Tikroji greičio vertė, kaip žinoma, yra lygi
Taigi, taikytas metodas leido teisingai nustatyti priklausomybę nuo vertės ir neleido rasti vertės
bedimens konstanta C. Nors mums nepavyko gauti išsamaus atsakymo, vis dėlto buvo gauta labai reikšmingos informacijos. Pavyzdžiui, galime visiškai užtikrintai teigti, kad pradinį aukštį padidinus keturis kartus, greitis kritimo momentu padvigubės ir, priešingai nei mano Aristotelis, šis greitis nepriklauso nuo krentančio kūno masės.
Pasirinkimų pasirinkimas. Taikant matmenų metodą, pirmiausia reikėtų nustatyti parametrus, lemiančius nagrinėjamą reiškinį. Tai lengva padaryti, jei žinomi tai apibūdinantys fiziniai dėsniai. Daugeliu atvejų reiškinį lemiantys parametrai gali būti nurodyti net tada, kai fizikiniai dėsniai nežinomi. Paprastai norint naudoti matmenų analizės metodą, reikia žinoti mažiau nei rašyti judesio lygtis.
Jei parametrų, lemiančių tiriamą reiškinį, skaičius yra didesnis nei pagrindinių vienetų, ant kurių pastatyta pasirinkta vienetų sistema, skaičius, tai, žinoma, visi siūlomos ieškomos reikšmės formulės rodikliai negali būti nustatyti. Šiuo atveju pravartu visų pirma nustatyti visas nepriklausomas bedimensines pasirinktų parametrų kombinacijas. Tada norimas fizikinis dydis bus nustatytas ne pagal (2) tipo formulę, o iš kokio nors (paprasčiausio) parametrų derinio, turinčio norimą matmenį (t. y. norimo dydžio matmenį), sandauga pagal kokią nors funkciją rasti bedimensiniai parametrai.
Nesunku pastebėti, kad aukščiau pateiktame kūno kritimo iš aukščio pavyzdyje iš dydžių ir bedimens derinio sudaryti bematės kombinacijos neįmanoma. Todėl (2) formulė išnaudoja visus galimus atvejus.
Parametras be matmenų. Dabar panagrinėkime šią problemą: nustatome sviedinio, paleisto horizontalia kryptimi pradiniu greičiu iš ginklo, esančio ant aukščio kalno, horizontalaus skrydžio diapazoną.
Jei oro pasipriešinimo nėra, parametrų, nuo kurių gali priklausyti norimas diapazonas, skaičius yra lygus keturiems: ir m. Kadangi pagrindinių vienetų skaičius lygus trims, visiškas problemos sprendimas matmenų metodu yra neįmanomas. . Pirmiausia suraskime visus nepriklausomus bedimensius parametrus y, kuriuos galima sudaryti iš ir
Ši išraiška atitinka tokią matmenų lygybę:
Iš čia gauname lygčių sistemą
kuri suteikia ir norimam bedimens parametrui gauname
Matyti, kad vienintelis nepriklausomas bematis parametras nagrinėjamoje užduotyje yra .
kur yra dar nežinoma bedimensio parametro funkcija Matmenų metodas (pateiktoje versijoje) neleidžia šios funkcijos nustatyti. Bet jei iš kažkur, pavyzdžiui, iš patirties žinome, kad norimas diapazonas yra proporcingas horizontaliam sviedinio greičiui, tai iš karto nustatoma funkcijos forma: greitis turi įeiti į ją iki pirmos laipsnio, t.y.
Dabar nuo (5) gauname sviedinio diapazoną
kuris atitinka teisingą atsakymą
Pabrėžiame, kad naudojant šį funkcijos tipo nustatymo metodą, mums pakanka žinoti eksperimentiškai nustatytos skrydžio nuotolio priklausomybės pobūdį ne nuo visų parametrų, o tik nuo vieno iš jų.
Vektoriniai ilgio vienetai. Bet diapazoną (7) galima nustatyti tik pagal matmenis, jei iki keturių padidinsime pagrindinių vienetų, kuriais išreiškiami parametrai, skaičių ir pan. Iki šiol rašant matmenų formules nebuvo daroma skirtumo tarp matmenų vienetų. ilgis horizontalia ir vertikalia kryptimis. Tačiau toks skirtumas gali būti įvestas remiantis tuo, kad gravitacija veikia tik vertikaliai.
Pažymėkime ilgio matmenį horizontalia kryptimi per ir vertikalia kryptimi - per Tada skrydžio nuotolio matmuo horizontalia kryptimi bus aukščio matmuo bus horizontalaus greičio matmuo ir pagreičiui
laisvo kritimo gauname Dabar, žvelgdami į (5) formulę, matome, kad vienintelis būdas gauti tinkamą matmenį dešinėje yra laikyti jį proporcingu. Vėlgi prieiname prie (7) formulės.
Žinoma, turint keturis pagrindinius vienetus ir M, galima tiesiogiai sukonstruoti reikiamo matmens reikšmę iš keturių parametrų ir
Kairiosios ir dešiniosios dalių matmenų lygybė turi formą
Lygčių sistema x, y, z ir ir suteikia reikšmes ir vėl pasiekiame (7) formulę.
Čia naudojami skirtingi ilgio vienetai tarpusavyje statmenomis kryptimis, kartais vadinami vektoriniais ilgio vienetais. Jų taikymas žymiai išplečia matmenų analizės metodo galimybes.
Naudojant dimensinės analizės metodą, pravartu ugdyti įgūdžius tiek, kad norimoje formulėje nedarytumėte rodiklių lygčių sistemos, o pasirinktumėte tiesiogiai. Pavaizduokime tai kitoje užduotyje.
Užduotis
Maksimalus diapazonas. Kokiu kampu horizontalės atžvilgiu reikia mesti akmenį, kad būtų maksimaliai padidintas horizontalaus skrydžio nuotolis?
Sprendimas. Tarkime, kad „pamiršome“ visas kinematikos formules ir pabandykime gauti atsakymą iš matmenų svarstymų. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad matmenų metodas čia visiškai netaikomas, nes atsakant turi būti įtraukta kokia nors trigonometrinė metimo kampo funkcija. Todėl vietoj paties kampo a bandysime ieškoti diapazono išraiškos Aišku, kad neapsieisime be vektorinių ilgio vienetų.
Fizikoje... nėra vietos supainiotoms mintims...
Tikrai supranti gamtą
Tas ar kitas reiškinys turėtų gauti pagrindinį
Dėsniai iš dimensijos svarstymo. E. Fermi
Tos ar kitos problemos aprašymas, teorinių ir eksperimentinių klausimų aptarimas prasideda kokybiniu šio darbo duodamo poveikio aprašymu ir įvertinimu.
Apibūdinant problemą, pirmiausia reikia įvertinti laukiamo efekto dydžio eiliškumą, paprastus ribinius atvejus, šį reiškinį apibūdinančių dydžių funkcinio ryšio pobūdį. Šie klausimai vadinami kokybiniu fizinės situacijos aprašymu.
Vienas iš efektyviausių tokios analizės metodų yra matmenų metodas.
Štai keletas matmenų metodo pranašumų ir taikymo būdų:
- greitas tiriamų reiškinių masto įvertinimas;
- kokybinių ir funkcinių priklausomybių gavimas;
- egzaminuose pamirštų formulių atkūrimas;
- kai kurių egzamino užduočių atlikimas;
- uždavinių sprendimo teisingumo patikrinimas.
Matmenų analizė fizikoje buvo naudojama nuo Niutono laikų. Tai buvo Niutonas, kuris suformulavo, glaudžiai susijęs su matmenų metodu, panašumo principas (analogija).
Su matmenų metodu studentai pirmą kartą susiduria studijuodami šiluminę spinduliuotę 11 klasės fizikos kurse:
Kūno šiluminės spinduliuotės spektrinė charakteristika yra energijos šviesumo spektrinis tankis r v - elektromagnetinės spinduliuotės energija, skleidžiama per laiko vienetą kūno paviršiaus ploto vienetui vienetiniu dažnio intervalu.
Energijos šviesumo spektrinio tankio vienetas yra džaulis kvadratiniam metrui (1 J / m 2). Juodojo kūno šiluminės spinduliuotės energija priklauso nuo temperatūros ir bangos ilgio. Vienintelis šių dydžių derinys su matmeniu J/m 2 yra kT/ 2 ( = c/v). Tikslus Rayleigh ir Jeans atliktas skaičiavimas 1900 m., Klasikinės bangų teorijos rėmuose, davė tokį rezultatą:
kur k yra Boltzmanno konstanta.
Kaip parodė patirtis, ši išraiška atitinka eksperimentinius duomenis tik pakankamai žemų dažnių srityje. Aukštiems dažniams, ypač ultravioletinėje spektro srityje, Rayleigh-Jeans formulė yra neteisinga: ji smarkiai skiriasi nuo eksperimento. Klasikinės fizikos metodai pasirodė esą nepakankami paaiškinti juodojo kūno spinduliuotės ypatybes. Todėl klasikinės bangų teorijos ir eksperimento rezultatų neatitikimas XIX a. vadinama „ultravioletinė katastrofa“.
Parodykime matmenų metodo taikymą paprastu ir gerai suprantamu pavyzdžiu.
1 paveikslas
Juodojo kūno šiluminė spinduliuotė: ultravioletinė katastrofa – neatitikimas tarp klasikinės šiluminės spinduliuotės teorijos ir patirties.
Įsivaizduokite, kad kūnas, kurio masė yra m, juda tiesia linija, veikiant pastoviai jėgai F. Jei kūno pradinis greitis lygus nuliui, o greitis nuvažiuotos s ilgio kelio atkarpos pabaigoje lygus v, tada galime parašyti kinetinės energijos teoremą: Tarp reikšmių F, m, v ir s yra funkcinis ryšys.
Tarkime, kad kinetinės energijos teorema pamiršta, bet suprantame, kad funkcinė priklausomybė tarp v, F, m ir s egzistuoja ir turi galios dėsnį.
Čia x, y, z yra keletas skaičių. Apibrėžkime juos. Ženklas ~ reiškia, kad kairioji formulės pusė yra proporcinga dešiniajai, tai yra, kur k yra skaitinis koeficientas, neturi matavimo vienetų ir nėra nustatoma naudojant matmenų metodą.
Kairioji ir dešinioji santykio (1) dalys turi tuos pačius matmenis. V, F, m ir s matmenys yra: [v] = m/c = ms -1, [F] = H = kgms -2, [m] = kg, [s] = m. (simbolis [A ] žymi A matmenį.) Parašykime matmenų lygybę kairėje ir dešinėje santykio (1) dalyse:
m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x .
Kairėje lygties pusėje iš viso nėra kilogramų, todėl jų neturėtų būti ir dešinėje.
Tai reiškia kad
Dešinėje skaitikliai įtraukiami į x + z laipsnius, o kairėje - į 1 laipsnius, taigi
Panašiai išplaukia ir palyginus eksponentus sekundėmis
Iš gautų lygčių randame skaičius x, y, z:
x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.
Galutinė formulė atrodo taip
Padalindami kvadratu kairiąją ir dešiniąją šio santykio puses, tai gauname
Paskutinė formulė yra matematinis kinetinės energijos teoremos žymėjimas, nors ir be skaitinio koeficiento.
Niutono suformuluotas panašumo principas yra tas, kad santykis v 2 /s yra tiesiogiai proporcingas santykiui F/m. Pavyzdžiui, du skirtingos masės m 1 ir m 2 kūnai; juos veiksime skirtingomis jėgomis F 1 ir F 2, bet taip, kad F 1 / m 1 ir F 2 / m 2 santykiai būtų vienodi. Šių jėgų įtakoje kūnai pradės judėti. Jei pradiniai greičiai lygūs nuliui, tai s ilgio kelio atkarpoje kūnų įgyjami greičiai bus lygūs. Tai panašumo dėsnis, prie kurio priėjome pasitelkę formulės dešinės ir kairiosios dalių matmenų lygybės idėją, kuri apibūdina galios ir dėsnio ryšį tarp galutinio greičio vertės su jėgos, masės ir kelio ilgio vertės.
Matmenų metodas buvo pradėtas naudoti kuriant klasikinės mechanikos pagrindus, tačiau efektyvus jo taikymas fizinių problemų sprendimui prasidėjo praeities pabaigoje – mūsų amžiaus pradžioje. Didelis nuopelnas propaguojant šį metodą ir jo pagalba sprendžiant įdomias bei svarbias problemas priklauso iškiliam fizikui lordui Reiliui. Rayleigh rašė 1915 m.: Mane dažnai stebina tai, kad net labai puikūs mokslininkai mažai dėmesio skiria dideliam panašumo principui. Dažnai nutinka taip, kad kruopštaus tyrimo rezultatai pateikiami kaip naujai atrasti „dėsniai“, kuriuos vis dėlto būtų galima a priori gauti per kelias minutes.
Šiais laikais fizikų nebegalima priekaištauti dėl aplaidaus požiūrio ar nepakankamo dėmesio panašumo principui ir matmenų metodui. Apsvarstykite vieną iš klasikinių Rayleigh problemų.
Reilio problema dėl rutulio virpesių ant stygos.
Tegul tarp taškų A ir B yra ištempta eilutė. Stygos įtempimo jėga F. Šios stygos viduryje taške C yra sunkus rutulys. Atkarpos AC (ir atitinkamai CB) ilgis lygus 1. Rutulio masė M yra daug didesnė už pačios stygos masę. Virvelė ištraukiama ir atleidžiama. Gana aišku, kad kamuolys svyruos. Jei šių x svyravimų amplitudė yra daug mažesnė už eilutės ilgį, tada procesas bus harmoningas.
Nustatykime rutulio virpesių ant stygos dažnį. Tegul dydžiai , F, M ir 1 yra sujungti galios dėsniu:
Rodikliai x, y, z yra skaičiai, kuriuos turime nustatyti.
Išrašykime mus dominančių kiekių matmenis SI sistemoje:
C -1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.
Jei (2) formulė išreiškia realų fizikinį dėsningumą, tai šios formulės dešinės ir kairės dalių matmenys turi sutapti, tai yra lygybė
c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x
Kairėje šios lygties pusėje metrai ir kilogramai visiškai neįtraukti, o sekundės įtrauktos į laipsnius - 1. Tai reiškia, kad x, y ir z lygtys tenkinamos:
x+y=0, x+z=0, -2x= -1
Išspręsdami šią sistemą randame:
x = 1/2, y = -1/2, z = -1/2
Vadinasi,
~F 1/2 M -1/2 1 -1/2
Tiksli dažnio formulė skiriasi nuo nustatytos tik koeficientu ( 2 = 2F/(M1)).
Taip gautas ne tik kokybinis, bet ir kiekybinis priklausomybės nuo F, M ir 1 reikšmių įvertis. Pagal dydį rasta galių kombinacija suteikia teisingą dažnio reikšmę. Įvertinimas visada įdomus pagal dydį. Paprastuose uždaviniuose koeficientai, kurie nėra nustatyti matmenų metodu, dažnai gali būti laikomi vieneto eilės skaičiais. Tai nėra griežta taisyklė.
Tirdamas bangas, vertinu kokybinį garso greičio numatymą matmenų analizės metodu. Mes ieškome garso greičio kaip suspaudimo ir retėjimo bangos sklidimo greičio dujose. Mokiniams nekyla abejonių dėl garso greičio dujose priklausomybės nuo dujų tankio ir jų slėgio p.
Atsakymo ieškome formoje:
kur С yra bematis veiksnys, kurio skaitinės reikšmės negalima rasti iš matmenų analizės. Perėjimas (1) į matmenų lygybę.
m / s \u003d (kg / m 3) x Pay,
m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,
m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2 m m -2 m,
m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,
m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y.
Matmenų lygybė kairėje ir dešinėje lygybės pusėse suteikia:
x + y = 0, -3x-y = 1, -2y = -1,
x = -y, -3 + x = 1, -2x = 1,
x = -1/2, y = 1/2.
Taigi garso greitis dujose
(2) formulę, kai C=1, pirmą kartą gavo I. Niutonas. Tačiau kiekybiniai šios formulės išvedimai buvo labai sunkūs.
Eksperimentinis garso greičio ore nustatymas buvo atliktas 1738 m. Paryžiaus mokslų akademijos narių kolektyviniame darbe, kurio metu buvo išmatuotas laikas, per kurį patrankos šūvio garsas nukeliautų 30 km atstumą.
Kartojant šią medžiagą 11 klasėje, atkreipiamas mokinių dėmesys, kad rezultatą (2) galima gauti garso sklidimo izoterminio proceso modeliui naudojant Mendelejevo-Klapeirono lygtį ir tankio sąvoką:
yra garso sklidimo greitis.
Supažindinęs studentus su matmenų metodu, suteikiu jiems šį metodą idealiųjų dujų bazinei MKT lygčiai gauti.
Studentai supranta, kad idealių dujų slėgis priklauso nuo atskirų idealių dujų molekulių masės, molekulių skaičiaus tūrio vienete - n (dujų molekulių koncentracija) ir molekulių judėjimo greičio -.
Žinodami į šią lygtį įtrauktų dydžių matmenis, turime:
,
,
,
Palyginus šios lygybės kairiosios ir dešiniosios dalių matmenis, gauname:
Todėl pagrindinė MKT lygtis turi tokią formą:
– tai reiškia
Iš nuspalvinto trikampio matyti, kad
Atsakymas: B).
Naudojome matmenų metodą.
Matmenų metodas, be tradicinio uždavinių sprendimo teisingumo patikrinimo, kai kurių vieningo valstybinio egzamino užduočių, padeda rasti funkcinius ryšius tarp įvairių fizikinių dydžių, tačiau tik toms situacijoms, kai šios priklausomybės yra galios. įstatymas. Gamtoje yra daug tokių priklausomybių, o matmenų metodas yra geras pagalbininkas sprendžiant tokias problemas.
Pagrindinės modeliavimo teorijos sąvokos
Modeliavimas – tai reiškinio modelio, o ne gamtos reiškinio eksperimentinio tyrimo metodas. Modelis parenkamas taip, kad eksperimento rezultatus būtų galima išplėsti iki gamtos reiškinio.
Leiskite modeliuoti kiekio lauką w. Tada tikslaus modeliavimo atveju panašiuose modelio ir pilno mastelio objekto taškuose – sąlyga
kur yra modeliavimo skalė.
Apytikrio modeliavimo atveju gauname
Santykis vadinamas iškraipymo laipsniu.
Jei iškraipymo laipsnis neviršija matavimo tikslumo, tai apytikslis modeliavimas nesiskiria nuo tikslaus. Neįmanoma iš anksto įsitikinti, kad vertė neviršija tam tikros iš anksto nustatytos vertės, nes daugeliu atvejų ji net negali būti nustatyta iš anksto.
analogijos metodas
Jeigu du skirtingos fizikinės prigimties fizikiniai reiškiniai aprašomi identiškomis lygtimis ir unikalumo sąlygomis (ribinėmis arba stacionariu atveju – ribinėmis sąlygomis), pateiktomis bedimensine forma, tai reiškiniai vadinami analogiškais. Tomis pačiomis sąlygomis tos pačios fizinės prigimties reiškiniai vadinami panašiais.
Nepaisant to, kad panašūs reiškiniai turi skirtingą fizinę prigimtį, jie priklauso vienam individualiam apibendrintam atvejui. Ši aplinkybė leido sukurti labai patogų analogijų metodą fizikiniams reiškiniams tirti. Jo esmė tokia: tiriamas ne tiriamas reiškinys, kurio norimas reikšmes sunku arba neįmanoma išmatuoti, o specialiai parinktas panašus į tiriamąjį. Kaip pavyzdį apsvarstykite elektroterminę analogiją. Šiuo atveju tiriamas reiškinys yra stacionarus temperatūros laukas, o jo analogija – stacionarus elektrinio potencialo laukas
Šilumos lygtis
(9.3)
kur yra absoliuti temperatūra,
ir elektrinio potencialo lygtis
(9.4)
kur elektrinis potencialas yra panašus. Be matmenų šios lygtys bus identiškos.
Jei potencialui bus sukurtos ribinės sąlygos, panašios į temperatūros sąlygas, tada bematėje formoje jos taip pat bus identiškos.
Elektroterminė analogija plačiai naudojama tiriant šilumos laidumo procesus. Pavyzdžiui, šiuo metodu buvo išmatuoti dujų turbinų menčių temperatūros laukai.
Dimensijų analizė
Kartais reikia tirti procesus, kurie dar nėra aprašyti diferencialinėmis lygtimis. Vienintelis būdas mokytis – eksperimentuoti. Patartina eksperimento rezultatus pateikti apibendrintai, tačiau tam reikia mokėti rasti tokiam procesui būdingus bedimensinius kompleksus.
Dimensinė analizė – bedimensių kompleksų kompiliavimo metodas tokiomis sąlygomis, kai tiriamas procesas dar nėra aprašytas diferencialinėmis lygtimis.
Visi fiziniai dydžiai gali būti suskirstyti į pirminius ir antrinius. Šilumos mainų procesams dažniausiai pirminiai pasirenkami: ilgis L masė m, laikas t, šilumos kiekis K perteklinė temperatūra . Tada antrinės vertės bus tokie dydžiai kaip šilumos perdavimo koeficiento šiluminis difuziškumas a ir tt
Antrinių dydžių matmenų formulės turi galios monomų formą. Pavyzdžiui, šilumos perdavimo koeficiento matmenų formulė yra
(9.5)
kur K- šilumos kiekis.
Tegul žinomi visi tiriamam procesui būtini fizikiniai dydžiai. Būtina rasti bedimensinius kompleksus.
Sudarykime sandaugą iš visų fizikinių dydžių, būtinų procesui tam tikrais laipsniais, kurie dar neapibrėžti, matmenų formulių; akivaizdu, kad tai bus galios monomis (procesui). Tarkime, kad jo (galios monomio) matmuo yra lygus nuliui, t. y. pirminių dydžių, įtrauktų į matmenų formulę, rodikliai sumažėjo, tada galios monomį (proceso) galima pavaizduoti sandaugos forma. matmenų dydžių bedimensių kompleksų. Vadinasi, jei sudarysime sandaugą iš matmenų formulių, būtinų neapibrėžto laipsnio fizikinių dydžių procesams, tai iš sąlygos, kad šio galios monomio pirminių dydžių laipsnių suma lygi nuliui, mes gali nustatyti reikiamus bedimens kompleksus.
Parodykime šią operaciją naudodamiesi periodinio šilumos laidumo proceso pavyzdžiu kietame kūne, plaunamame skystu šilumnešiu. Darome prielaidą, kad nagrinėjamo proceso diferencialinės lygtys nežinomos. Būtina rasti bedimensinius kompleksus.
Esminiai fiziniai dydžiai tiriamam procesui yra šie: būdingas dydis l(m), kietosios medžiagos šilumos laidumas, (J/(m K)), kietosios medžiagos savitoji šiluma Su(J / (kg K)), kieto kūno tankis (kg / m 3), šilumos perdavimo koeficientas (šilumos perdavimas) (J / m 2 K)), periodo laikas , c), būdinga perteklinė temperatūra (K). Iš šių dydžių sudarome formos galios monomį
Pirminio dydžio rodiklis vadinamas antrinio dydžio matmeniu duoto pirminio dydžio atžvilgiu.
Pakeiskime fiziniais dydžiais (išskyrus Q) jų matmenų formules, kaip rezultatą gauname
Šiuo atveju eksponentai turi vertes, kuriose K iškrenta iš lygties.
Mes prilyginame monomio eksponentus nuliui:
dėl ilgio
a - b - 3i - 2k = 0; (9.8)
už šilumos kiekį K
0; (9.9)
už laiką
dėl temperatūros
masėms m
Iš viso yra septyni reikšmingi dydžiai, yra penkios rodiklių nustatymo lygtys, tai reiškia, kad tik du rodikliai, pvz. b ir km galima pasirinkti savavališkai.
Išreikškime visus rodiklius b ir k. Dėl to gauname:
iš (8.8), (8.9), (8.12)
f = -b - k; (9.14)
r=b + k; (9.15)
iš (8.11) ir (8.9)
n=b+f+k=b+(-b-k) + k = 0; (9.16)
iš (8.12) ir (8.9)
i = f = -b -k. (9.17)
Dabar monomiją galima pavaizduoti formoje
Kadangi rodikliai b ir k galima pasirinkti savavališkai, tarkime:
1. tuo pačiu rašome