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Funzione lineare e sua. Funzione lineare e suo grafico

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Una funzione lineare è una funzione della forma y=kx+b, dove x è una variabile indipendente, k e b sono numeri qualsiasi.
Il grafico di una funzione lineare è una retta.

1. Costruire grafico della funzione, abbiamo bisogno delle coordinate di due punti appartenenti al grafico della funzione. Per trovarli, devi prendere due valori x, sostituirli nell'equazione della funzione e calcolare da essi i valori y corrispondenti.

Ad esempio, per tracciare la funzione y= x+2, è conveniente prendere x=0 e x=3, quindi le ordinate di questi punti saranno uguali a y=2 e y=3. Otteniamo i punti A(0;2) e B(3;3). Colleghiamoli e otteniamo il grafico della funzione y= x+2:

2. Nella formula y=kx+b, il numero k è chiamato coefficiente di proporzionalità:
se k>0, allora la funzione y=kx+b aumenta
se k
Il coefficiente b mostra lo spostamento del grafico della funzione lungo l'asse OY:
se b>0, allora il grafico della funzione y=kx+b si ottiene dal grafico della funzione y=kx spostando b unità in alto lungo l'asse OY
se b
La figura seguente mostra i grafici delle funzioni y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Si noti che in tutte queste funzioni il coefficiente k Sopra lo zero, e le funzioni sono crescente. Inoltre, maggiore è il valore di k, maggiore è l'angolo di inclinazione della retta rispetto alla direzione positiva dell'asse OX.

In tutte le funzioni b=3 - e vediamo che tutti i grafici intersecano l'asse OY nel punto (0;3)

Consideriamo ora i grafici delle funzioni y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Questa volta, in tutte le funzioni, il coefficiente k minore di zero e caratteristiche diminuire. Il coefficiente b=3, ed i grafici, come nel caso precedente, incrociano l'asse OY nel punto (0;3)

Considera i grafici delle funzioni y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Ora, in tutte le equazioni delle funzioni, i coefficienti k sono uguali a 2. E abbiamo tre rette parallele.

Ma i coefficienti b sono diversi e questi grafici intersecano l'asse OY in punti diversi:
Il grafico della funzione y=2x+3 (b=3) attraversa l'asse OY nel punto (0;3)
Il grafico della funzione y=2x (b=0) attraversa l'asse OY nel punto (0;0) - l'origine.
Il grafico della funzione y=2x-3 (b=-3) attraversa l'asse OY nel punto (0;-3)

Quindi, se conosciamo i segni dei coefficienti k e b, allora possiamo immediatamente immaginare come appare il grafico della funzione y=kx+b.
Se k 0

Se k>0 e b>0, allora il grafico della funzione y=kx+b appare come:

Se k>0 e b, allora il grafico della funzione y=kx+b appare come:

Se k, allora il grafico della funzione y=kx+b appare come:

Se k=0, allora la funzione y=kx+b si trasforma in una funzione y=b e il suo grafico è simile a:

Le ordinate di tutti i punti del grafico della funzione y=b sono uguali a b If b=0, allora il grafico della funzione y=kx (proporzionalità diretta) passa per l'origine:

3. Separatamente, notiamo il grafico dell'equazione x=a. Il grafico di questa equazione è una retta parallela all'asse OY, i cui punti hanno tutti un'ascissa x=a.

Ad esempio, il grafico dell'equazione x=3 si presenta così:
Attenzione! L'equazione x=a non è una funzione, poiché un valore dell'argomento corrisponde a diversi valori della funzione, che non corrispondono alla definizione della funzione.


4. Condizione per il parallelismo di due rette:

Il grafico della funzione y=k 1 x+b 1 è parallelo al grafico della funzione y=k 2 x+b 2 se k 1 =k 2

5. La condizione per due rette perpendicolari:

Il grafico della funzione y=k 1 x+b 1 è perpendicolare al grafico della funzione y=k 2 x+b 2 se k 1 *k 2 =-1 oppure k 1 =-1/k 2

6. Punti di intersezione del grafico della funzione y=kx+b con gli assi delle coordinate.

con asse OY. L'ascissa di qualsiasi punto appartenente all'asse OY è uguale a zero. Pertanto, per trovare il punto di intersezione con l'asse OY, è necessario sostituire zero invece di x nell'equazione della funzione. Otteniamo y=b. Cioè, il punto di intersezione con l'asse OY ha coordinate (0;b).

Con l'asse x: L'ordinata di qualsiasi punto appartenente all'asse x è zero. Pertanto, per trovare il punto di intersezione con l'asse OX, è necessario sostituire zero anziché y nell'equazione della funzione. Otteniamo 0=kx+b. Quindi x=-b/k. Cioè, il punto di intersezione con l'asse OX ha coordinate (-b / k; 0):

Funzione lineareè chiamata funzione della forma y = kx + b, definito sull'insieme di tutti i numeri reali. Qui K – pendenza(numero reale), B – membro gratuito (numero reale), Xè una variabile indipendente.

In un caso particolare, se k = 0, otteniamo una funzione costante y=b, il cui grafico è una retta parallela all'asse Ox, passante per il punto con coordinate (0;b).

Se b = 0, quindi otteniamo la funzione y=kx, che è in proporzione diretta.

B – lunghezza del segmento, che taglia la linea lungo l'asse Oy, contando dall'origine.

Il significato geometrico del coefficiente K – angolo di inclinazione dritto alla direzione positiva dell'asse Ox è considerato in senso antiorario.

Proprietà della funzione lineare:

1) Il dominio di una funzione lineare è l'intero asse reale;

2) Se k ≠ 0, allora l'intervallo della funzione lineare è l'intero asse reale. Se k = 0, quindi l'intervallo della funzione lineare è costituito dal numero B;

3) L'uniformità e la disparità di una funzione lineare dipendono dai valori dei coefficienti K e B.

un) b ≠ 0, k = 0, Di conseguenza, y = b è pari;

B) b = 0, k ≠ 0, Di conseguenza y = kx è dispari;

C) b ≠ 0, k ≠ 0, Di conseguenza y = kx + b è una funzione generale;

D) b = 0, k = 0, Di conseguenza y = 0 è sia una funzione pari che dispari.

4) Una funzione lineare non ha la proprietà della periodicità;

5) Punti di intersezione con assi coordinati:

Bue: y = kx + b = 0, x = -b/k, Di conseguenza (-b/k; 0)- punto di intersezione con l'asse delle ascisse.

Ehi: y=0k+b=b, Di conseguenza (0;b)è il punto di intersezione con l'asse y.

Nota.Se b = 0 e k = 0, quindi la funzione y=0 scompare per qualsiasi valore della variabile X. Se b ≠ 0 e k = 0, quindi la funzione y=b non svanisce per nessun valore della variabile X.

6) Gli intervalli di costanza di segno dipendono dal coefficiente k.

un) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- positivo a X da (-b/k; +∞),

y = kx + b- negativo a X da (-∞; -b/k).

B) K< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- positivo a X da (-∞; -b/k),

y = kx + b- negativo a X da (-b/k; +∞).

C) k = 0, b > 0; y = kx + b positivo in tutto il dominio di definizione,

k = 0, b< 0; y = kx + b è negativo in tutto il dominio di definizione.

7) Gli intervalli di monotonia di una funzione lineare dipendono dal coefficiente K.

k > 0, Di conseguenza y = kx + b aumenta nell'intero dominio di definizione,

K< 0 , Di conseguenza y = kx + b diminuisce nell'intero dominio di definizione.

8) Il grafico di una funzione lineare è una retta. Per tracciare una retta basta conoscere due punti. La posizione della retta sul piano delle coordinate dipende dai valori dei coefficienti K e B. Di seguito una tabella che lo illustra chiaramente.

>>Matematica: funzione lineare e suo grafico

Funzione lineare e suo grafico


 L'algoritmo per costruire un grafico dell'equazione ax + by + c = 0, che abbiamo formulato nel § 28, per tutta la sua chiarezza e certezza, ai matematici non piace molto. Di solito avanzano rivendicazioni sui primi due passaggi dell'algoritmo. Perché, dicono, risolvono l'equazione due volte rispetto alla variabile y: prima ax1 + bu + c = O, poi axi + bu + c = O? Non sarebbe meglio esprimere immediatamente y dall'equazione ax + by + c = 0, allora sarà più facile eseguire i calcoli (e, soprattutto, più veloce)? Controlliamo. Considera prima l'equazione 3x - 2y + 6 = 0 (vedi esempio 2 dal § 28).

Dando x valori specifici, è facile calcolare i corrispondenti valori y. Ad esempio, per x = 0 otteniamo y = 3; a x = -2 abbiamo y = 0; per x = 2 abbiamo y = 6; per x = 4 otteniamo: y = 9.

Puoi vedere con quanta facilità e rapidità sono stati trovati i punti (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) e (4; 9), che sono stati evidenziati nell'esempio 2 dal § 28.

Allo stesso modo, l'equazione bx - 2y = 0 (vedi esempio 4 del § 28) potrebbe essere convertita nella forma 2y = 16 -3x. allora y = 2,5x; è facile trovare i punti (0; 0) e (2; 5) che soddisfano questa equazione.

Infine, l'equazione 3x + 2y - 16 = 0 dello stesso esempio può essere convertita nella forma 2y = 16 -3x e quindi è facile trovare i punti (0; 0) e (2; 5) che la soddisfano.

Consideriamo ora queste trasformazioni in forma generale.


Pertanto, l'equazione lineare (1) con due variabili xey può sempre essere convertita nella forma
y = kx + m,(2) dove k,m sono numeri (coefficienti) e .

Questo vista privata equazione lineare sarà chiamata funzione lineare.

Utilizzando l'uguaglianza (2), è facile, specificando un valore specifico di x, calcolare il valore corrispondente di y. Lasciamo, per esempio,

y = 2x + 3. Quindi:
se x = 0, allora y = 3;
se x = 1, allora y = 5;
se x = -1, allora y = 1;
se x = 3, allora y = 9, ecc.

Di solito questi risultati sono presentati nel modulo tavoli:

I valori y dalla seconda riga della tabella sono chiamati i valori della funzione lineare y \u003d 2x + 3, rispettivamente, nei punti x \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d -1, x \u003d -3.

Nell'equazione (1) le variabili xnu sono uguali, ma nell'equazione (2) non lo sono: assegniamo valori specifici a una di esse - la variabile x, mentre il valore della variabile y dipende dal valore scelto della variabile x. Pertanto, di solito si dice che x è la variabile (o argomento) indipendente, y è la variabile dipendente.

Si noti che una funzione lineare è un tipo speciale di equazione lineare con due variabili. grafico delle equazioni y - kx + m, come qualsiasi equazione lineare con due variabili, è una retta - è anche chiamato il grafico di una funzione lineare y = kx + mp. Quindi vale il seguente teorema.


Esempio 1 Costruisci un grafico di una funzione lineare y \u003d 2x + 3.

Soluzione. Facciamo una tabella:

Nella seconda situazione, la variabile indipendente x, che denota, come nella prima situazione, il numero di giorni, può assumere solo i valori 1, 2, 3, ..., 16. Infatti, se x \u003d 16 , quindi utilizzando la formula y \u003d 500 - Z0x troviamo: y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20. Ciò significa che già il 17° giorno non sarà possibile estrarre 30 tonnellate di carbone dal magazzino, poiché solo 20 tonnellate rimarranno nel magazzino entro questo giorno e il processo di esportazione del carbone dovrà essere interrotto. Pertanto, il raffinato modello matematico della seconda situazione si presenta così:

y \u003d 500 - ZOD:, dove x \u003d 1, 2, 3, .... 16.

Nella terza situazione, indipendente variabile x può teoricamente assumere qualsiasi valore non negativo (es. x valore = 0, x valore = 2, x valore = 3,5, ecc.), ma in pratica un turista non può camminare a velocità costante senza dormire e riposare così a lungo come vuole. Quindi abbiamo dovuto stabilire limiti ragionevoli su x, diciamo 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Ricordiamo che il modello geometrico del non stretto doppia disuguaglianza 0 < х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Al posto della frase “x appartiene all'insieme X”, accettiamo di scrivere (si leggono: “l'elemento x appartiene all'insieme X”, e è il segno di appartenenza). Come puoi vedere, la nostra dimestichezza con il linguaggio matematico è costante.

Se la funzione lineare y \u003d kx + m deve essere considerata non per tutti i valori di x, ma solo per i valori di x da un intervallo numerico X, allora scrivono:

Esempio 2. Rappresentare graficamente una funzione lineare:

Soluzione, a) Creare una tabella per la funzione lineare y = 2x + 1

Costruiamo punti (-3; 7) e (2; -3) sul piano delle coordinate xOy e tracciamo una linea retta attraverso di essi. Questo è il grafico dell'equazione y \u003d -2x: + 1. Quindi, seleziona il segmento che collega i punti costruiti (Fig. 38). Questo segmento è il grafico della funzione lineare y \u003d -2x + 1, dove xe [-3, 2].

Di solito dicono questo: abbiamo tracciato una funzione lineare y \u003d - 2x + 1 sul segmento [- 3, 2].

b) In che modo questo esempio è diverso dal precedente? La funzione lineare è la stessa (y \u003d -2x + 1), il che significa che la stessa linea retta funge da grafico. Ma fa attenzione! - questa volta x e (-3, 2), ovvero non si considerano i valori x = -3 e x = 2, non appartengono all'intervallo (-3, 2). Come abbiamo segnato le estremità dell'intervallo sulla linea delle coordinate? Cerchi di luce (Fig. 39), ne abbiamo parlato nel § 26. Allo stesso modo, i punti (- 3; 7) e B; - 3) dovrà essere segnato sul disegno con cerchi luminosi. Questo ci ricorderà che vengono presi solo quei punti della retta y \u003d - 2x + 1 che si trovano tra i punti contrassegnati da cerchi (Fig. 40). Tuttavia, a volte in questi casi non vengono utilizzati cerchi di luce, ma frecce (Fig. 41). Questo non è fondamentale, l'importante è capire cosa c'è in gioco.


Esempio 3 Trova i valori più grande e più piccolo della funzione lineare sul segmento.
Soluzione. Facciamo una tabella per una funzione lineare

Costruiamo punti (0; 4) e (6; 7) sul piano delle coordinate xOy e tracciamo una linea retta attraverso di essi: il grafico della funzione x lineare (Fig. 42).

Dobbiamo considerare questa funzione lineare non nel suo insieme, ma sul segmento, cioè per x e.

Il segmento corrispondente del grafico è evidenziato nel disegno. Notiamo che l'ordinata più grande dei punti appartenenti alla parte selezionata è 7 - questo è il valore più grande della funzione lineare sul segmento. Di solito viene utilizzata la seguente notazione: y max = 7.

Notiamo che l'ordinata più piccola dei punti appartenenti alla parte della retta evidenziata in Figura 42 è 4 - questo è il valore più piccolo della funzione lineare sul segmento.
Di solito usa la seguente voce: y nome. = 4.

Esempio 4 Trova y naib e y naim. per la funzione lineare y = -1,5x + 3,5

a) sul segmento; b) sull'intervallo (1.5);
c) sul semiintervallo.

Soluzione. Creiamo una tabella per la funzione lineare y \u003d -l, 5x + 3,5:

Costruiamo i punti (1; 2) e (5; - 4) sul piano delle coordinate xOy e tracciamo una linea retta attraverso di essi (Fig. 43-47). Individuiamo sulla retta costruita la parte corrispondente ai valori di x dal segmento (Fig. 43), dall'intervallo A, 5) (Fig. 44), dal semiintervallo (Fig. 47 ).

a) Usando la Figura 43, è facile concludere che y max \u003d 2 (la funzione lineare raggiunge questo valore in x \u003d 1) e y max. = - 4 (la funzione lineare raggiunge questo valore in x = 5).

b) Usando la Figura 44, concludiamo che questa funzione lineare non ha né i valori più grandi né quelli più piccoli nell'intervallo dato. Come mai? Il fatto è che, a differenza del caso precedente, sono escluse dalla considerazione entrambe le estremità del segmento, in cui sono stati raggiunti i valori più grandi e quelli più piccoli.

c) Con l'aiuto della Figura 45 concludiamo che y max. = 2 (come nel primo caso), mentre la funzione lineare non ha il valore più piccolo (come nel secondo caso).

d) Utilizzando la Figura 46, concludiamo: y max = 3,5 (la funzione lineare raggiunge questo valore in x = 0), e y max. non esiste.

e) Utilizzando la Figura 47, concludiamo: y max = -1 (la funzione lineare raggiunge questo valore in x = 3), e y max non esiste.

Esempio 5. Tracciare una funzione lineare

y \u003d 2x - 6. Usando il grafico, rispondi alle seguenti domande:

a) a quale valore di x y = 0?
b) per quali valori di x y > 0?
c) per quali valori di x y< 0?

Soluzione Creiamo una tabella per la funzione lineare y \u003d 2x-6:

Disegna una linea retta attraverso i punti (0; - 6) e (3; 0) - il grafico della funzione y \u003d 2x - 6 (Fig. 48).

a) y \u003d 0 in x \u003d 3. Il grafico interseca l'asse x nel punto x \u003d 3, questo è il punto con l'ordinata y \u003d 0.
b) y > 0 per x > 3. Infatti, se x > 3, allora la retta si trova sopra l'asse x, il che significa che le ordinate dei punti corrispondenti della retta sono positive.

gatto< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Si noti che in questo esempio abbiamo deciso con l'aiuto del grafico:

a) equazione 2x - 6 = 0 (ottenuto x = 3);
b) disuguaglianza 2x - 6 > 0 (abbiamo x > 3);
c) disuguaglianza 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Commento. In russo, lo stesso oggetto è spesso chiamato in modo diverso, ad esempio: "casa", "edificio", "struttura", "cottage", "mansion", "barrack", "hut", "hut". Nel linguaggio matematico, la situazione è più o meno la stessa. Diciamo uguaglianza con due variabili y = kx + m, dove k, m sono numeri specifici, può essere chiamata funzione lineare, può essere chiamata equazione lineare con due variabili x e y (o con due incognite x e y) può essere chiamata una formula, può essere chiamata una relazione relativa a xey, può infine essere chiamata una relazione tra x e y. Non importa, l'importante è capire che in tutti i casi si tratta di un modello matematico y = kx + m

.

Si consideri il grafico di una funzione lineare mostrata nella Figura 49, a. Se ci muoviamo lungo questo grafico da sinistra a destra, le ordinate dei punti del grafico aumentano continuamente, sembriamo "salire la collina". In questi casi, i matematici usano il termine aumento e dicono questo: se k>0, la funzione lineare y \u003d kx + m aumenta.

Si consideri il grafico di una funzione lineare mostrata nella Figura 49, b. Se ci muoviamo lungo questo grafico da sinistra a destra, le ordinate dei punti del grafico diminuiscono continuamente, sembra che stiamo "scendendo la collina". In questi casi, i matematici usano il termine diminuzione e dicono questo: se k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Funzione lineare nella vita reale

Ora riassumiamo questo argomento. Abbiamo già familiarizzato con un concetto come una funzione lineare, ne conosciamo le proprietà e abbiamo imparato a costruire grafici. Inoltre, hai considerato casi speciali di una funzione lineare e hai appreso da cosa dipende la posizione relativa dei grafici delle funzioni lineari. Ma si scopre che nel ns Vita di ogni giorno anche noi ci intersechiamo costantemente con questo modello matematico.

Pensiamo a quali situazioni della vita reale sono associate a un concetto come le funzioni lineari? E inoltre, tra quali quantità o situazioni di vita, è possibile stabilire una relazione lineare?

Molti di voi probabilmente non capiscono bene perché hanno bisogno di imparare le funzioni lineari, perché è improbabile che ciò sia utile in età avanzata. Ma qui ti sbagli profondamente, perché incontriamo funzioni sempre e ovunque. Dal momento che anche il solito canone mensile è una funzione che dipende da molte variabili. E queste variabili includono la metratura, il numero dei residenti, le tariffe, il consumo di elettricità, ecc.

Naturalmente, gli esempi più comuni di funzioni di dipendenza lineare che abbiamo incontrato sono lezioni di matematica.

Tu ed io abbiamo risolto problemi in cui trovavamo le distanze percorse da automobili, treni o pedoni a una certa velocità. Queste sono le funzioni lineari del tempo di movimento. Ma questi esempi sono applicabili non solo in matematica, sono presenti nella nostra vita quotidiana.

Il contenuto calorico dei latticini dipende dal contenuto di grassi e tale dipendenza, di regola, è una funzione lineare. Quindi, ad esempio, con un aumento della percentuale di contenuto di grassi nella panna acida, aumenta anche il contenuto calorico del prodotto.



Ora facciamo i calcoli e troviamo i valori di k e b risolvendo il sistema di equazioni:


Ora deriviamo la formula di dipendenza:

Di conseguenza, abbiamo ottenuto una relazione lineare.

Per conoscere la velocità di propagazione del suono in funzione della temperatura, è possibile scoprirla applicando la formula: v = 331 + 0,6t, dove v è la velocità (in m/s), t è la temperatura. Se tracciamo un grafico di questa dipendenza, vedremo che sarà lineare, cioè rappresenterà una linea retta.

E tali usi pratici della conoscenza nell'applicazione della dipendenza funzionale lineare possono essere elencati per molto tempo. A cominciare dalle tariffe telefoniche, dalla lunghezza e dall'altezza dei capelli e persino dai proverbi in letteratura. E questo elenco può essere continuato all'infinito.

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AV Pogorelov, Geometria per i gradi 7-11, Libro di testo per le istituzioni educative