बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्रों की गणना के उदाहरण। ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन एरिया प्रमेय

27.07.2020

मैं एक आयताकार टेट्राहेड्रोन के चेहरों के अनुमानों के सूत्र के प्रश्न पर विचार करूंगा। मैं सबसे पहले विमान α में पड़े एक खंड के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण पर विचार करूंगा, इस खंड के स्थान के दो मामलों को लाइन l=α∩π के सापेक्ष उजागर करता हूं।
मामला एक अबली(चित्र 8)। खंड ए 1 बी 1, जो खंड एबी का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है, खंड एबी के बराबर और समानांतर है।

चावल। आठ

केस 2 सीडी⊥एल(चित्र 8)। तीन लंबवत प्रमेय द्वारा, रेखा C 1 D 1 , जो कि रेखा CD का लंबकोणीय प्रक्षेपण है, रेखा l के लंबवत भी है। इसलिए, CEC 1 समतल α और प्रक्षेपणों के तल के बीच का कोण है, अर्थात, जहां सी 0 डी = सी 1 डी 1. इसलिए |सी 1 डी 1 |||=|सीडी|∙cosφ
अब एक त्रिभुज के लंबकोणीय प्रक्षेपण के मुद्दे पर विचार करें।
एक समतल पर त्रिभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल त्रिभुज के तल और अनुमानों के तल के बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए प्रक्षेपित त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

सबूत।एक त्रिभुज का प्रक्षेपण क्षेत्र।
a) माना त्रिभुज ABC की एक भुजा, उदाहरण के लिए AC, रेखा l=α∩π (चित्र 9) के समानांतर है या उस पर स्थित है।

चावल। 9

तब इसकी ऊँचाई VN सीधी रेखा l के लंबवत होती है, और इसका क्षेत्रफल बराबर होता है, अर्थात।

खंड के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के उपरोक्त गुणों के आधार पर, मेरे पास है:

तीन लंबवत प्रमेय के अनुसार, रेखा बी 1 एच 1 - रेखा बीएच का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण - रेखा एल के लंबवत है, इसलिए, खंड बी 1 एच 1 त्रिभुज ए 1 बी 1 सी 1 की ऊंचाई है। इसलिए । इस तरह, ।
b) प्रक्षेपित त्रिभुज ABC की कोई भी भुजा रेखा l (आकृति 10) के समानांतर नहीं है। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से रेखा l के समांतर एक रेखा खींचिए। इनमें से एक रेखा अन्य दो के बीच स्थित है (आकृति में, यह रेखा m है), और इसलिए, त्रिभुज ABC को त्रिभुजों ABD और ACD में विभाजित करती है, जिनकी ऊँचाई क्रमशः BH और CE है, जो उनकी उभयनिष्ठ भुजा AD तक खींची गई है। निरंतरता), जो l के समानांतर है। लाइन एम 1 - लाइन एम का ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन - त्रिकोण ए 1 बी 1 सी 1 - त्रिकोण एबीसी के ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन - को त्रिकोण ए 1 बी 1 डी 1 और ए 1 सी 1 डी 1 में विभाजित करता है, जहां। (9) और (10) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

याद रखें कि एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण किसी दी गई रेखा और उसके समतल पर प्रक्षेपण के बीच का कोण होता है (चित्र 164)।

प्रमेय। विमान पर बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्र बहुभुज के विमान और प्रक्षेपण विमान द्वारा गठित कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए अनुमानित बहुभुज के क्षेत्र के बराबर है।

प्रत्येक बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जिनके क्षेत्रफलों का योग बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसलिए, एक त्रिभुज के लिए प्रमेय को सिद्ध करना पर्याप्त है।

चलो $\Delta$ABC को समतल पर प्रक्षेपित किया जाए आर. दो मामलों पर विचार करें:

ए) पक्षों में से एक $\Delta$एबीसी विमान के समानांतर है आर;

b) कोई भी भुजा $\Delta$ABC समानांतर नहीं है आर.

विचार करना पहला मामला: चलो [एबी] || आर.

(एबी) विमान के माध्यम से ड्रा करें आर 1 || आरऔर प्रोजेक्ट ऑर्थोगोनली $\Delta$ABC on आर 1 और आगे आर(चित्र। 165); हमें $\Delta$ABC 1 और $\Delta$A'B'C' मिलता है।

प्रोजेक्शन प्रॉपर्टी से, हमारे पास $\Delta$ABC 1 $\cong$ $\Delta$ A'B'C' है, और इसलिए

S$\Delta$ABC1 = S$\Delta$A'B'C'

आइए और खंड D 1 C 1 ड्रा करें। तब ⊥ , a $\widehat(CD_(1)C_(1))$ = समतल $\Delta$ ABC और तल के बीच का कोण है आरएक । इसलिए

एस $\डेल्टा$ ABC1 = 1/2 |AB| |सी 1 डी 1 | = 1/2 |एबी| सीडी 1 | cos = S $\Delta$ABC cos

और इसलिए S $\Delta$A'B'C' = S $\Delta$ABC cos ।

आइए विचार पर चलते हैं दूसरा मामला. एक विमान बनाएं आर 1 || आरउस शीर्ष के माध्यम से $\Delta$ABC, जिस से विमान तक की दूरी आरसबसे छोटा (इसे शीर्ष A होने दें)।

आइए विमान पर $\Delta$ABC डिज़ाइन करें आर 1 और आर(चित्र। 166); इसके अनुमानों को क्रमशः $\Delta$AB 1 C 1 और $\Delta$A'B'C' होने दें।

माना (BC) $\cap $ पी 1 = डी. तब

S $\Delta$A'B'C' = S $\Delta$AB1 C1 = S $\Delta$ADC1 - S $\Delta$ADB1 = (S $\Delta$ ADC - S $\Delta$ADB) cos = S $\Delta$ABC cos

कार्य।एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार की भुजा के माध्यम से एक तल को उसके आधार तल से = 30° के कोण पर खींचा जाता है। परिणामी खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि प्रिज्म के आधार की भुजा ए= 6 सेमी.

आइए इस प्रिज्म के खंड को चित्रित करें (चित्र 167)। चूंकि प्रिज्म नियमित है, इसके पार्श्व किनारे आधार के तल के लंबवत हैं। इसलिए, $\Delta$ABC $\Delta$ADC का प्रक्षेपण है, इसलिए
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
या
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (सेमी^2) $$

ज्यामिति
कक्षा 10 . के लिए पाठ योजनाएँ

पाठ 56

विषय। एक बहुभुज के एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल

पाठ का उद्देश्य: एक बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का अध्ययन, समस्याओं को हल करने के लिए अध्ययन किए गए प्रमेय को लागू करने के लिए छात्रों के कौशल का गठन।

उपकरण: स्टीरियोमेट्रिक सेट, क्यूब मॉडल।

कक्षाओं के दौरान

I. होमवर्क की जाँच करना

1. दो छात्र बोर्ड पर समस्या संख्या 42, 45 के समाधान को पुन: प्रस्तुत करते हैं।

2. ललाट पूछताछ।

1) दो समतलों के बीच के कोण को परिभाषित कीजिए जो प्रतिच्छेद करते हैं।

2) के बीच का कोण क्या है:

ए) समानांतर विमान;

बी) लंबवत विमान?

3) दो तलों के बीच का कोण किस हद तक बदल सकता है?

4) क्या यह सच है कि एक तल जो समांतर तलों को काटता है, उन्हें समान कोणों पर प्रतिच्छेद करता है?

5) क्या यह सत्य है कि वह तल जो प्रतिच्छेद करता है लंबवत विमानउन्हें एक ही कोण पर काटती है?

3. समस्या संख्या 42, 45 के समाधान की शुद्धता की जाँच करना, जिसे छात्रों ने बोर्ड पर फिर से बनाया।

द्वितीय. नई सामग्री की धारणा और जागरूकता

छात्रों को असाइनमेंट

1. सिद्ध कीजिए कि प्रक्षेपण तल में एक भुजा वाले त्रिभुज का प्रक्षेपण क्षेत्र बहुभुज के तल और प्रक्षेपण तल के बीच के कोण के क्षेत्रफल और कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

2. उस स्थिति के लिए प्रमेय सिद्ध कीजिए जब जालक त्रिभुज की एक भुजा प्रक्षेपण तल के समानांतर हो।

3. उस स्थिति के लिए प्रमेय सिद्ध करें जब जाली त्रिभुज की कोई भी भुजा प्रक्षेपण तल के समानांतर न हो।

4. किसी भी बहुभुज के लिए प्रमेय सिद्ध कीजिए।

समस्या को सुलझाना

1. एक बहुभुज के लंबकोणीय प्रक्षेपण का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 50 सेमी2 है और बहुभुज के तल और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण 60° है।

2. बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इस बहुभुज के लंबकोणीय प्रक्षेपण का क्षेत्रफल 50 सेमी2 है, और बहुभुज के तल और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण 45° है।

3. बहुभुज का क्षेत्रफल 64 cm2 है, और लंबकोणीय प्रक्षेपण का क्षेत्रफल 32 cm2 है। बहुभुज के तलों और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

4. या हो सकता है कि बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल इस बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर हो?

5. घन का कोना है a. इस आधार से 30° के कोण पर आधार के शीर्ष से गुजरते हुए और सभी किनारों को प्रतिच्छेद करते हुए एक समतल द्वारा घन का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (उत्तर। )

6. पाठ्यपुस्तक से समस्या संख्या 48 (1, 3) (पृष्ठ 58)।

7. पाठ्यपुस्तक से समस्या संख्या 49 (2) (पृष्ठ 58)।

8. आयत की भुजाएँ 20 और 25 सेमी हैं। समतल पर इसका प्रक्षेपण इसके समान है। प्रक्षेपण परिधि का पता लगाएं। (उत्तर 72 सेमी या 90 सेमी।)

III. होम वर्क

4, एन. 34; सुरक्षा प्रश्न संख्या 17; कार्य संख्या 48 (2), 49 (1) (पृष्ठ 58)।

चतुर्थ। पाठ को सारांशित करना

कक्षा के लिए प्रश्न

1) बहुभुज के लंबकोणीय प्रक्षेपण के क्षेत्रफल पर एक प्रमेय बनाइए।

2) क्या किसी बहुभुज के लंबकोणीय प्रक्षेपण का क्षेत्रफल बहुभुज के क्षेत्रफल से अधिक हो सकता है?

3) कर्ण AB . द्वारा सही त्रिकोण ABC समतल α त्रिभुज के तल से 45° के कोण पर और तल α के लंबवत CO पर खींचा गया है। एसी \u003d 3 सेमी, बीसी \u003d 4 सेमी। इंगित करें कि निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है और कौन सा गलत है:

a) समतल ABC और α के बीच का कोण कोण CMO के बराबर है, जहां बिंदु H त्रिभुज ABC के ऊंचाई CM का आधार है;

बी) एसडी = 2.4 सेमी;

सी) त्रिभुज एओसी त्रिभुज एबीसी का विमान α पर एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है;

d) त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल 3 सेमी2 है।

(उत्तर। ए) सही; बी) गलत; ग) गलत; डी) सही।)

हाल ही में, कार्य C2 में, ऐसी समस्याएं हैं जिनमें एक समतल द्वारा बहुफलक के एक खंड का निर्माण करना और उसका क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है। डेमो संस्करण में ऐसा कार्य प्रस्तावित है। किसी खंड का क्षेत्रफल उसके ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र के माध्यम से खोजना अक्सर सुविधाजनक होता है। प्रस्तुति में इस तरह के समाधान के लिए एक सूत्र और समस्या का विस्तृत विश्लेषण होता है, जो चित्रों की एक श्रृंखला के साथ होता है।

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पूर्वावलोकन:

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स्लाइड कैप्शन:

गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा-2014 की तैयारी। इसके ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन के क्षेत्र के माध्यम से क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र का पता लगाना। टास्क C2 गणित शिक्षक MBOU माध्यमिक विद्यालय नंबर 143 क्रास्नोयार्स्क कन्याज़किना टी.वी.

ऐसी समस्या के समाधान पर विचार करें: घनाभ,। समांतर चतुर्भुज का खंड बिंदु B और D से होकर गुजरता है और समतल ABC के साथ एक कोण बनाता है। अनुभागीय क्षेत्र का पता लगाएं। किसी खंड का क्षेत्रफल उसके ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र के माध्यम से खोजना अक्सर सुविधाजनक होता है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र के संदर्भ में ज्ञात करना निम्न आकृति द्वारा आसानी से चित्रित किया गया है:

सीएच त्रिभुज एबीसी की ऊंचाई है, सी 'एच त्रिभुज एबीसी की ऊंचाई है", जो त्रिभुज एबीसी का एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है। दाएं त्रिकोण से सीएचसी ": त्रिभुज एबीसी का क्षेत्र" त्रिभुज का क्षेत्र है एबीसी इसलिए है, त्रिभुज एबीसी का क्षेत्रफल त्रिभुज एबीसी और त्रिभुज एबीसी के विमानों के बीच के कोण के कोसाइन द्वारा विभाजित त्रिभुज एबीसी के क्षेत्रफल के बराबर है, जो त्रिभुज एबीसी का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है।

चूँकि किसी भी बहुभुज के क्षेत्रफल को त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, एक बहुभुज का क्षेत्रफल उसके बीच के कोण के कोज्या द्वारा विभाजित एक समतल पर उसके ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्रफल के बराबर होता है। बहुभुज और उसके प्रक्षेपण के विमान। हम अपनी समस्या को हल करने के लिए इस तथ्य का उपयोग करते हैं (स्लाइड 2 देखें) समाधान योजना इस प्रकार है: ए) हम एक अनुभाग बनाते हैं। बी) आधार के तल पर इसके ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का पता लगाएं। सी) ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र का पता लगाएं। डी) क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र का पता लगाएं।

1. सबसे पहले हमें इस सेक्शन को बनाने की जरूरत है। जाहिर है, खंड बीडी सेक्शन प्लेन और बेस प्लेन से संबंधित है, यानी यह विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा से संबंधित है:

दो तलों के बीच का कोण दो लंबों के बीच का कोण होता है जो तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा पर खींचे जाते हैं और इन तलों में स्थित होते हैं। मान लीजिए कि बिंदु O आधार के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। OC - विमानों के चौराहे की रेखा के लंबवत, जो आधार के तल में स्थित है:

2. लंबवत की स्थिति निर्धारित करें, जो अनुभाग तल में स्थित है। (याद रखें कि यदि एक सीधी रेखा किसी तिरछी रेखा के प्रक्षेपण के लंबवत है, तो यह सबसे तिरछी रेखा के लंबवत भी है। हम इसके प्रक्षेपण (OC) और प्रक्षेपण और तिरछे के बीच के कोण द्वारा एक तिरछी तलाश कर रहे हैं। एक)। OC और OC . के बीच कोण COC की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए

इसलिए, सेक्शन प्लेन और बेस प्लेन के बीच का कोण OC और OC के बीच का कोण अधिक होता है। अर्थात्, खंड किसी तरह इस तरह स्थित है: K OP का प्रतिच्छेदन बिंदु है और A ₁C₁, LM||B₁D₁ ।

तो, यहाँ हमारा खंड है: 3. बेस प्लेन पर BLMD सेक्शन के प्रक्षेपण का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, हम एल और एम बिंदुओं के अनुमानों को ढूंढते हैं।

चतुर्भुज BL M₁D आधार के तल पर खंड का प्रक्षेपण है। 4. चतुर्भुज BL ₁M₁D का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, त्रिभुज BCD के क्षेत्रफल से त्रिभुज L ₁CM₁ का क्षेत्रफल घटाएं त्रिभुज L ₁CM₁ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। त्रिभुज L ₁CM₁ त्रिभुज BCD के समरूप है। आइए समानता गुणांक खोजें।

ऐसा करने के लिए, एम त्रिकोण ओपीसी और ओकेके पर विचार करें: इसलिए, त्रिभुज एल₁सीएम₁ का क्षेत्रफल त्रिभुज बीसीडी के क्षेत्रफल का 4/25 है (समान आंकड़ों के क्षेत्रों का अनुपात के वर्ग के बराबर है समानता गुणांक)। तब चतुर्भुज BL₁M₁D का क्षेत्रफल त्रिभुज BCD के क्षेत्रफल के 1-4/25=21/25 के बराबर है और बराबर है

5. अब 6 ज्ञात कीजिए। और अंत में, हमें मिलता है: उत्तर: 112

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55. बहुभुज का प्रक्षेपण क्षेत्र।

प्रमेय। विमान पर बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्र बहुभुज के विमान और प्रक्षेपण विमान द्वारा गठित कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए अनुमानित बहुभुज के क्षेत्र के बराबर है।

होने देना /\ ABC को एक समतल पर प्रक्षेपित किया जाता है आर. दो मामलों पर विचार करें:
ए) पार्टियों में से एक /\ ABC समतल के समानांतर है आर;
बी) पार्टियों में से कोई नहीं /\ एबीसी समानांतर नहीं है आर.

विचार करना पहला मामला: चलो [एबी] || आर.

(एबी) विमान के माध्यम से ड्रा करें आर 1 || आरऔर प्रोजेक्ट ऑर्थोगोनली /\ एबीसी चालू आर 1 और आगे आर(चित्र। 165); हम पाते हैं /\ एबीसी 1 और /\ ए "बी" एस"।
प्रक्षेपण संपत्ति से, हमारे पास है /\ एबीसी 1 /\ ए "बी" सी ", और इसलिए

एस /\ एबीसी1=एस /\ ए "बी" सी "

आइए _|_ और खंड D 1 C 1 ड्रा करें। तब _|_ , a = समतल के बीच का कोण है /\ एबीसी और विमान आरएक । इसलिए

एस /\ ABC1 = 1/2 | एबी | | सी 1 डी 1 | = 1/2 | एबी | | सीडी 1 | कॉस = एस /\ एबीसी कॉस

और इसलिए S /\ ए "बी" सी "= एस /\ एबीसी कॉस .

आइए विचार पर चलते हैं दूसरा मामला. एक विमान बनाएं आर 1 || आरउस चोटी के ऊपर /\ एबीसी, वह दूरी जिससे विमान तक आरसबसे छोटा (इसे शीर्ष A होने दें)।
हम डिजाइन करेंगे /\ एक विमान पर एबीसी आर 1 और आर(चित्र। 166); इसके अनुमानों को क्रमशः होने दें /\ एबी 1 सी 1 और /\ ए "बी" एस"।

चलो (सूर्य) पी 1 = डी. तब

एस /\ ए "बी" सी "= एस /\ AB1 C1 = S /\ एडीसी1-एस /\ एडीबी1 = (एस /\ एडीसी-एस /\ ADB) cos = S /\ एबीसी कॉस

कार्य।एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार की भुजा के माध्यम से एक तल को उसके आधार तल से = 30° के कोण पर खींचा जाता है। परिणामी खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि प्रिज्म के आधार की भुजा ए= 6 सेमी.

आइए इस प्रिज्म के खंड को चित्रित करें (चित्र 167)। चूंकि प्रिज्म नियमित है, इसके पार्श्व किनारे आधार के तल के लंबवत हैं। माध्यम, /\ एबीसी एक प्रक्षेपण है /\ एडीसी, सो

ज्यामिति कक्षा 10 . के लिए पाठ योजनाएँ