परिभाषा
घातांक पी के साथ पावर फ़ंक्शनफ़ंक्शन f है (एक्स) = एक्सपी, जिसका बिंदु x पर मान बिंदु p पर आधार x के साथ घातीय फलन के मान के बराबर है।
इसके अलावा, एफ (0) = 0 पी = 0पी > के लिए 0 .

घातांक के प्राकृतिक मानों के लिए, घात फलन x के बराबर n संख्याओं का गुणनफल है:
.
इसे सभी वैध के लिए परिभाषित किया गया है।

घातांक के सकारात्मक तर्कसंगत मूल्यों के लिए, पावर फ़ंक्शन संख्या x की डिग्री m की n जड़ों का उत्पाद है:
.
विषम m के लिए, इसे सभी वास्तविक x के लिए परिभाषित किया गया है। सम m के लिए, पावर फ़ंक्शन को गैर-नकारात्मक लोगों के लिए परिभाषित किया गया है।

नकारात्मक के लिए, पावर फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
इसलिए, इसे बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

घातांक पी के अपरिमेय मूल्यों के लिए, शक्ति फ़ंक्शन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
,
जहां a एक मनमाना धनात्मक संख्या है जो एक के बराबर नहीं है: .
कब, इसके लिए परिभाषित किया गया है।
जब, पावर फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है।

निरंतरता. एक शक्ति फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर रहता है।

x ≥ 0 के लिए घात फलन के गुण और सूत्र

यहां हम तर्क x के गैर-नकारात्मक मानों के लिए पावर फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करेंगे। जैसा कि ऊपर बताया गया है, घातांक पी के कुछ मानों के लिए, पावर फ़ंक्शन को एक्स के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है। इस मामले में, इसके गुणों को सम या विषम का उपयोग करके, के गुणों से प्राप्त किया जा सकता है। इन मामलों पर पृष्ठ "" पर विस्तार से चर्चा और चित्रण किया गया है।

एक घात फलन, y = x p, घातांक p के साथ निम्नलिखित गुण हैं:
(1.1) सेट पर परिभाषित और निरंतर
पर ,
पर ;
(1.2) के कई अर्थ हैं
पर ,
पर ;
(1.3) सख्ती से बढ़ता है,
के रूप में सख्ती से घटता है;
(1.4) पर ;
पर ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

गुणों का प्रमाण "पावर फ़ंक्शन (निरंतरता और गुणों का प्रमाण)" पृष्ठ पर दिया गया है

जड़ें - परिभाषा, सूत्र, गुण

परिभाषा
किसी संख्या x की डिग्री n का मूलवह संख्या है जिसे घात n तक बढ़ाने पर x प्राप्त होता है:
.
यहाँ n= 2, 3, 4, ... - एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या।

आप यह भी कह सकते हैं कि घात n वाली संख्या x का मूल समीकरण का मूल (अर्थात् समाधान) है
.
ध्यान दें कि फ़ंक्शन, फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है।

x का वर्गमूलडिग्री 2 का मूल है: .

x का घनमूलडिग्री 3 का मूल है: .

यहां तक ​​कि डिग्री भी

सम घातों के लिए n = 2 मी, मूल को x ≥ के लिए परिभाषित किया गया है 0 . अक्सर उपयोग किया जाने वाला सूत्र सकारात्मक और नकारात्मक x दोनों के लिए मान्य है:
.
वर्गमूल के लिए:
.

यहां वह क्रम महत्वपूर्ण है जिसमें संक्रियाएं निष्पादित की जाती हैं - अर्थात, पहले वर्ग निष्पादित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, और फिर उससे मूल निकाला जाता है (वर्गमूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से लिया जा सकता है) ). यदि हमने क्रम बदल दिया:, तो ऋणात्मक x के लिए मूल अपरिभाषित होगा, और इसके साथ संपूर्ण अभिव्यक्ति अपरिभाषित होगी।

अजीब डिग्री

विषम शक्तियों के लिए, मूल को सभी x के लिए परिभाषित किया गया है:
;
.

जड़ों के गुण एवं सूत्र

x का मूल एक घात फलन है:
.
जब x ≥ 0 निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:
;
;
, ;
.

ये सूत्र चरों के ऋणात्मक मानों के लिए भी लागू किये जा सकते हैं। आपको बस यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि सम शक्तियों की मौलिक अभिव्यक्ति नकारात्मक न हो।

निजी मूल्य

0 का मूल 0: है।
मूल 1, 1 के बराबर है:।
0 का वर्गमूल 0: है।
1 का वर्गमूल 1: है।

उदाहरण। जड़ की जड़

आइए जड़ों के वर्गमूल का एक उदाहरण देखें:
.
आइए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आंतरिक वर्गमूल को रूपांतरित करें:
.
आइए अब मूल रूट को रूपांतरित करें:
.
इसलिए,
.

घातांक p के विभिन्न मानों के लिए y = x p।

यहां तर्क x के गैर-नकारात्मक मानों के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिए गए हैं। x के नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ "पावर फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़" पृष्ठ पर दिए गए हैं।

उलटा काम करना

घातांक p के साथ एक घात फलन का व्युत्क्रम घातांक 1/p के साथ एक घात फलन है।

तो अगर।

एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न

nवें क्रम का व्युत्पन्न:
;

सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग

पी ≠ - 1 ;
.

शक्ति शृंखला विस्तार

पर - 1 < x < 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें:
एफ (जेड) = जेड टी.
आइए हम जटिल चर z को मापांक r और तर्क φ (r = |z|) के संदर्भ में व्यक्त करें:
z = r e i φ .
हम सम्मिश्र संख्या t को वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में निरूपित करते हैं:
टी = पी + आई क्यू .
हमारे पास है:

इसके बाद, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है:
,

आइए उस मामले पर विचार करें जब q = 0 , अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या है, t = p. तब
.

यदि p एक पूर्णांक है, तो kp एक पूर्णांक है। फिर, त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता के कारण:
.
अर्थात्, किसी दिए गए z के लिए पूर्णांक घातांक वाले घातांकीय फ़ंक्शन का केवल एक ही मान होता है और इसलिए यह स्पष्ट है।

यदि p अपरिमेय है, तो किसी भी k के लिए गुणनफल kp पूर्णांक उत्पन्न नहीं करता है। चूँकि k मानों की एक अनंत श्रृंखला से होकर गुजरता है के = 0, 1, 2, 3, ..., तो फलन z p में अपरिमित रूप से अनेक मान हैं। जब भी तर्क z बढ़ाया जाता है 2π(एक मोड़ पर), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं।

यदि p परिमेय है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
, कहाँ एम, एन- पूर्णांक जिनमें उभयनिष्ठ भाजक नहीं होते। तब
.
पहले n मान, k = k के साथ 0 = 0, 1, 2, ...एन-1, kp के n भिन्न मान दें:
.
हालाँकि, बाद के मान ऐसे मान देते हैं जो पिछले वाले से एक पूर्णांक से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, जब k = k 0+एनहमारे पास है:
.
त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन जिनके तर्क गुणकों से भिन्न होते हैं 2π, समान मूल्य हैं। इसलिए, k में और वृद्धि के साथ, हमें z p का वही मान प्राप्त होता है जो k = k के लिए होता है 0 = 0, 1, 2, ...एन-1.

इस प्रकार, एक तर्कसंगत घातांक वाला एक घातांकीय फलन बहुमूल्यांकित होता है और इसमें n मान (शाखाएँ) होते हैं। जब भी तर्क z बढ़ाया जाता है 2π(एक मोड़ पर), हम फ़ंक्शन की एक नई शाखा में जाते हैं। ऐसी क्रांतियों के बाद हम पहली शाखा पर लौटते हैं जहाँ से उलटी गिनती शुरू हुई थी।

विशेष रूप से, डिग्री n के मूल में n मान होते हैं। उदाहरण के तौर पर, एक वास्तविक धनात्मक संख्या z = x के nवें मूल पर विचार करें। इस मामले में φ 0 = 0 , z = r = |z| = एक्स, .
.
तो, एक वर्गमूल के लिए, n = 2 ,
.
सम k के लिए, (- 1 ) के = 1. विषम k के लिए, (- 1 ) के = - 1.
अर्थात वर्गमूल के दो अर्थ होते हैं: + और -।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

व्यवहार में रूट निष्कर्षण ऑपरेशन का सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन के गुणों से परिचित होना होगा।
सभी गुण केवल जड़ों के चिह्नों के अंतर्गत निहित चर के गैर-नकारात्मक मानों के लिए तैयार और सिद्ध किए जाते हैं।

प्रमेय 1. दो गैर-नकारात्मक चिप्स के उत्पाद का nवाँ मूल (n=2, 3, 4,...) इन संख्याओं के nवें मूल के गुणनफल के बराबर है:

टिप्पणी:

1. प्रमेय 1 उस स्थिति के लिए मान्य है जब मूल अभिव्यक्ति दो से अधिक गैर-नकारात्मक संख्याओं का उत्पाद है।

प्रमेय 2.अगर, और n एक प्राकृत संख्या है जो 1 से बड़ी है, तो समानता सत्य है

संक्षिप्त(यद्यपि गलत) सूत्रीकरण, जो व्यवहार में उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है: भिन्न का मूल मूल के अंश के बराबर होता है।

प्रमेय 1 हमें t को गुणा करने की अनुमति देता है केवल समान डिग्री की जड़ें , अर्थात। केवल समान सूचकांक वाली जड़ें।

प्रमेय 3.यदि ,k एक प्राकृत संख्या है और n एक प्राकृत संख्या है जो 1 से बड़ी है, तो समानता सत्य है

दूसरे शब्दों में, किसी जड़ को प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने के लिए, इस शक्ति की मूल अभिव्यक्ति को ऊपर उठाना ही पर्याप्त है।
यह प्रमेय 1 का परिणाम है। वास्तव में, उदाहरण के लिए, k = 3 के लिए हम प्राप्त करते हैं: हम घातांक k के किसी अन्य प्राकृतिक मान के मामले में बिल्कुल उसी तरह से तर्क कर सकते हैं।

प्रमेय 4.यदि ,k, n 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो समानता सत्य है

दूसरे शब्दों में, जड़ से जड़ निकालने के लिए, जड़ों के संकेतकों को गुणा करना पर्याप्त है।
उदाहरण के लिए,

ध्यान से!हमने सीखा कि जड़ों पर चार ऑपरेशन किए जा सकते हैं: गुणा, भाग, घातांक, और जड़ निष्कर्षण (जड़ से)। लेकिन जड़ों को जोड़ने और घटाने के बारे में क्या? बिलकुल नहीं।
उदाहरण के लिए, वास्तव में लिखने के बजाय, लेकिन यह स्पष्ट है कि

प्रमेय 5.यदि मूल और मूल अभिव्यक्ति के संकेतकों को एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा, अर्थात।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1।गणना

समाधान।जड़ों की पहली संपत्ति (प्रमेय 1) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2.गणना
समाधान।किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलें.
हमने जड़ों की दूसरी संपत्ति का उपयोग किया है ( प्रमेय 2 ), हम पाते हैं:

उदाहरण 3.गणना करें:

समाधान।बीजगणित में कोई भी सूत्र, जैसा कि आप अच्छी तरह से जानते हैं, न केवल "बाएँ से दाएँ" बल्कि "दाएँ से बाएँ" भी प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार, जड़ों की पहली संपत्ति का मतलब है कि उन्हें रूप में दर्शाया जा सकता है और, इसके विपरीत, अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यही बात जड़ों के दूसरे गुण पर भी लागू होती है। इसे ध्यान में रखते हुए, आइए गणना करें।

विषय पर 11वीं कक्षा के लिए पाठ स्क्रिप्ट:

“वास्तविक संख्या का nवाँ मूल। »

पाठ का उद्देश्य:छात्रों में जड़ की समग्र समझ का निर्माण एन-वीं डिग्री और एनवीं डिग्री की अंकगणितीय जड़, कम्प्यूटेशनल कौशल का गठन, एक कट्टरपंथी युक्त विभिन्न समस्याओं को हल करते समय जड़ के गुणों के सचेत और तर्कसंगत उपयोग के कौशल। विषय के प्रश्नों के बारे में छात्रों की समझ के स्तर की जाँच करें।

विषय:विषय पर सामग्री में महारत हासिल करने के लिए सार्थक और संगठनात्मक स्थितियाँ बनाएँ "संख्यात्मक और वर्णमाला अभिव्यक्तियाँ » धारणा, समझ और प्राथमिक स्मरण के स्तर पर; किसी वास्तविक संख्या के nवें मूल की गणना करते समय इस जानकारी का उपयोग करने की क्षमता विकसित करना;

मेटा-विषय:कंप्यूटिंग कौशल के विकास को बढ़ावा देना; विश्लेषण करने, तुलना करने, सामान्यीकरण करने, निष्कर्ष निकालने की क्षमता;

निजी:अपना दृष्टिकोण व्यक्त करने, दूसरों के उत्तर सुनने, संवाद में भाग लेने और सकारात्मक सहयोग की क्षमता विकसित करने की क्षमता विकसित करना।

नियोजित परिणाम.

विषय: मूलों की गणना और समीकरणों को हल करते समय किसी वास्तविक संख्या के nवें मूल के गुणों को वास्तविक स्थिति में लागू करने में सक्षम होना।

निजी: गणनाओं में सावधानी और सटीकता विकसित करना, स्वयं और अपने काम के प्रति एक मांगलिक रवैया विकसित करना और पारस्परिक सहायता की भावना विकसित करना।

पाठ का प्रकार: अध्ययन करने और प्रारंभ में नए ज्ञान को समेकित करने पर पाठ

शैक्षिक गतिविधियों के लिए प्रेरणा:

पूर्वी ज्ञान कहता है: "आप घोड़े को पानी तक ले जा सकते हैं, लेकिन आप उसे पानी पीने के लिए मजबूर नहीं कर सकते।" और किसी व्यक्ति को अच्छी तरह से अध्ययन करने के लिए मजबूर करना असंभव है यदि वह स्वयं अधिक सीखने की कोशिश नहीं करता है और अपने मानसिक विकास पर काम करने की इच्छा नहीं रखता है। आख़िरकार, ज्ञान केवल तभी ज्ञान होता है जब इसे किसी के विचारों के प्रयासों से प्राप्त किया जाता है, न कि केवल स्मृति के माध्यम से।

हमारा पाठ इस आदर्श वाक्य के तहत आयोजित किया जाएगा: "यदि हम इसके लिए प्रयास करेंगे तो हम किसी भी शिखर पर विजय प्राप्त करेंगे।" पाठ के दौरान, आपको और मुझे कई चोटियों को पार करने के लिए समय की आवश्यकता होगी, और आप में से प्रत्येक को इन चोटियों पर विजय पाने के लिए अपने सभी प्रयास करने होंगे।

“आज हमारे पास एक पाठ है जिसमें हमें एक नई अवधारणा से परिचित होना चाहिए: “एनथ रूट” और सीखना चाहिए कि इस अवधारणा को विभिन्न अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के लिए कैसे लागू किया जाए।

आपका लक्ष्य विभिन्न प्रकार के कार्यों के माध्यम से अपने मौजूदा ज्ञान को सक्रिय करना, सामग्री के अध्ययन में योगदान देना और अच्छे ग्रेड प्राप्त करना है।
हमने आठवीं कक्षा में वास्तविक संख्या के वर्गमूल का अध्ययन किया। वर्गमूल प्रपत्र के एक फ़ंक्शन से संबंधित है य=एक्स 2. दोस्तों, क्या आपको याद है कि हमने वर्गमूल की गणना कैसे की थी और इसमें क्या गुण थे?
ए) व्यक्तिगत सर्वेक्षण:

ये कैसी अभिव्यक्ति है

वर्गमूल किसे कहते हैं

अंकगणितीय वर्गमूल किसे कहते हैं?

वर्गमूल के गुणों की सूची बनाएं

बी) जोड़ियों में काम करें: गणना करें।

-

2. ज्ञान को अद्यतन करना और समस्या की स्थिति पैदा करना:समीकरण x 4 =1 को हल करें. हम इसे कैसे हल कर सकते हैं? (विश्लेषणात्मक और ग्राफिकल). आइए इसे आलेखीय रूप से हल करें। ऐसा करने के लिए, एक समन्वय प्रणाली में हम फ़ंक्शन y = x 4 सीधी रेखा y = 1 (चित्र 164 a) का एक ग्राफ़ बनाएंगे। वे दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं: A (-1;1) और B(1;1)। बिंदु A और B का भुज, अर्थात्। एक्स 1 = -1,

x 2 = 1 समीकरण x 4 = 1 के मूल हैं।
ठीक उसी प्रकार तर्क करते हुए, हम समीकरण x 4 =16 के मूल ज्ञात करते हैं: अब आइए समीकरण x 4 =5 को हल करने का प्रयास करें; चित्र में एक ज्यामितीय चित्रण दिखाया गया है। 164 ख. यह स्पष्ट है कि समीकरण के दो मूल x 1 और x 2 हैं, और ये संख्याएँ, पिछले दो मामलों की तरह, परस्पर विपरीत हैं। लेकिन पहले दो समीकरणों के लिए जड़ें बिना किसी कठिनाई के पाई गईं (उन्हें ग्राफ़ का उपयोग किए बिना पाया जा सकता है), लेकिन समीकरण x 4 = 5 के साथ समस्याएं हैं: ड्राइंग से हम जड़ों के मूल्यों को इंगित नहीं कर सकते हैं, लेकिन हम केवल यह स्थापित किया जा सकता है कि एक मूल बिंदु -1 के बाईं ओर स्थित है, और दूसरा बिंदु 1 के दाईं ओर है।

x 2 = - (पढ़ें: "पांच का चौथा मूल")।

हमने समीकरण x 4 = a के बारे में बात की, जहां a 0 है। हम समान रूप से समीकरण x 4 = a के बारे में भी बात कर सकते हैं, जहां a 0 है, और n कोई प्राकृतिक संख्या है। उदाहरण के लिए, ग्राफ़िक रूप से समीकरण x 5 = 1 को हल करने पर, हमें x = 1 मिलता है (चित्र 165); समीकरण x 5 "= 7 को हल करते हुए, हम स्थापित करते हैं कि समीकरण का एक मूल x 1 है, जो x अक्ष पर बिंदु 1 के थोड़ा दाईं ओर स्थित है (चित्र 165 देखें)। संख्या x 1 के लिए, हम परिचय देते हैं अंकन.

परिभाषा 1.एक गैर-ऋणात्मक संख्या a (n = 2, 3,4, 5,...) का nवाँ मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसे जब घात n तक बढ़ाया जाता है, तो संख्या a प्राप्त होती है।

इस संख्या को निरूपित किया जाता है, संख्या a को मूल संख्या कहा जाता है, और संख्या n मूल का घातांक है।
यदि n=2 है, तो वे आमतौर पर "दूसरा मूल" नहीं कहते हैं, बल्कि "वर्गमूल" कहते हैं। इस मामले में, वे इसे नहीं लिखते हैं। यह विशेष मामला है जिसे आपने विशेष रूप से 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में पढ़ा है .

यदि n = 3 है, तो "थर्ड डिग्री रूट" के बजाय वे अक्सर "क्यूब रूट" कहते हैं। घनमूल से आपका पहला परिचय भी आठवीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में हुआ। हमने 9वीं कक्षा के बीजगणित में घनमूलों का उपयोग किया।

तो, यदि a ≥0, n= 2,3,4,5,…, तो 1) ≥ 0; 2) () एन = ए।

सामान्य तौर पर, =b और b n =a गैर-नकारात्मक संख्याओं a और b के बीच समान संबंध हैं, लेकिन केवल दूसरे को पहले की तुलना में सरल भाषा (सरल प्रतीकों का उपयोग) में वर्णित किया गया है।

किसी गैर-ऋणात्मक संख्या का मूल ज्ञात करने की क्रिया को आमतौर पर मूल निष्कर्षण कहा जाता है। यह ऑपरेशन उचित शक्ति तक बढ़ाने के विपरीत है। तुलना करना:

कृपया फिर से ध्यान दें: तालिका में केवल सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देती हैं, क्योंकि यह परिभाषा 1 में निर्धारित है। और यद्यपि, उदाहरण के लिए, (-6) 6 = 36 एक सही समानता है, इससे वर्गमूल का उपयोग करके अंकन पर जाएँ, अर्थात। लिखो कि यह असंभव है. परिभाषा के अनुसार, एक धनात्मक संख्या का अर्थ है = 6 (-6 नहीं)। उसी तरह, यद्यपि 2 4 =16, टी (-2) 4 =16, जड़ों के चिह्नों की ओर बढ़ते हुए, हमें = 2 (और साथ ही ≠-2) लिखना होगा।

कभी-कभी अभिव्यक्ति को रेडिकल कहा जाता है (लैटिन शब्द गैडिक्स से - "रूट")। रूसी में, रेडिकल शब्द का प्रयोग अक्सर किया जाता है, उदाहरण के लिए, "कट्टरपंथी परिवर्तन" - इसका अर्थ है "कट्टरपंथी परिवर्तन"। वैसे, मूल का पदनाम ही गैडिक्स शब्द की याद दिलाता है: प्रतीक एक शैलीबद्ध अक्षर आर है।

जड़ निकालने की प्रक्रिया एक ऋणात्मक मूल संख्या के लिए भी निर्धारित की जाती है, लेकिन केवल एक विषम मूल घातांक के मामले में। दूसरे शब्दों में, समानता (-2) 5 = -32 को समकक्ष रूप में =-2 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। निम्नलिखित परिभाषा का प्रयोग किया जाता है।

परिभाषा 2.ऋणात्मक संख्या a (n = 3.5,...) का एक विषम मूल n एक ऋणात्मक संख्या है, जिसे जब घात n तक बढ़ाया जाता है, तो संख्या a प्राप्त होती है।

यह संख्या, जैसा कि परिभाषा 1 में है, द्वारा निरूपित की जाती है, संख्या a मूल संख्या है, और संख्या n मूल का घातांक है।
तो, यदि a , n=,5,7,…, तो: 1) 0; 2) () एन = ए।

इस प्रकार, एक सम मूल का अर्थ केवल एक गैर-नकारात्मक मूल अभिव्यक्ति के लिए होता है (अर्थात, परिभाषित किया गया है); किसी भी मौलिक अभिव्यक्ति के लिए एक अजीब जड़ समझ में आती है।

5. ज्ञान का प्राथमिक समेकन:

1. गणना करें: संख्या 33.5; 33.6; 33.74 33.8 मौखिक रूप से ए); बी) ; वी); जी) ।

घ) पिछले उदाहरणों के विपरीत, हम संख्या का सटीक मान नहीं बता सकते। यह केवल स्पष्ट है कि यह 2 से अधिक है, लेकिन 3 से कम है, क्योंकि 2 4 = 16 (यह 17 से कम है), और 3 4 = 81 (यह 17 से अधिक है)। हम देखते हैं कि 24, 34 की तुलना में 17 के बहुत करीब है, इसलिए अनुमानित समानता चिह्न का उपयोग करने का कारण है:
2. निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के अर्थ खोजें।

उदाहरण के आगे संबंधित अक्षर रखें.

महान वैज्ञानिक के बारे में थोड़ी जानकारी. रेने डेसकार्टेस (1596-1650) फ्रांसीसी रईस, गणितज्ञ, दार्शनिक, शरीर विज्ञानी, विचारक। रेने डेसकार्टेस ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की नींव रखी और अक्षर पदनाम x 2, y 3 प्रस्तुत किए। हर कोई कार्टेशियन निर्देशांक जानता है जो एक चर के फ़ंक्शन को परिभाषित करता है।

3 . समीकरण हल करें: a) = -2; बी) = 1; ग) = -4

समाधान:ए) यदि = -2, तो y = -8. वास्तव में, हमें दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों को घन करना होगा। हमें मिलता है: 3x+4= - 8; 3x= -12; एक्स = -4. बी) उदाहरण ए के अनुसार तर्क करते हुए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी घात तक बढ़ाते हैं। हमें मिलता है: x=1.

ग) इसे चौथी घात तक बढ़ाने की कोई आवश्यकता नहीं है; इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है। क्यों? क्योंकि, परिभाषा 1 के अनुसार, एक सम मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है।
आपके ध्यान में अनेक कार्य प्रस्तुत किये गये हैं। जब आप इन कार्यों को पूरा कर लेंगे, तो आपको महान गणितज्ञ का नाम और उपनाम पता चल जाएगा। यह वैज्ञानिक 1637 में मूल चिह्न प्रस्तुत करने वाले पहले व्यक्ति थे।

6. चलो थोड़ा आराम करें.

वर्ग हाथ उठाता है - यह "एक" है।

सिर घूम गया - यह "दो" थे।

हाथ नीचे करो, आगे देखो - यह "तीन" है।

हाथ भुजाओं की ओर चौड़े होकर "चार" हो गए

उन्हें अपने हाथों में ज़ोर से दबाना "हाई फाइव" है।

सभी लोगों को बैठना होगा - यह "छह" है।

7. स्वतंत्र कार्य:

विकल्प: विकल्प 2:

बी) 3-. बी)12 -6.

2. समीकरण हल करें: a) x 4 = -16; बी) 0.02x 6 -1.28=0; ए) एक्स 8 = -3; बी)0.3x 9 - 2.4=0;

ग) = -2; ग)= 2

8. दोहराव:समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए = - x. यदि समीकरण में एक से अधिक मूल हैं, तो छोटे मूल से उत्तर लिखें।

9. प्रतिबिंब:आपने पाठ में क्या सीखा? क्या दिलचस्प था? क्या मुश्किल था?

सितबतालोवा अल्मा कपरोव्ना

गणित शिक्षक

लिसेयुम नंबर 15

अस्ताना

"बहस करो, गलतियाँ करो, गलतियाँ करो, लेकिन, भगवान के लिए, सोचो, और, भले ही यह टेढ़ा हो, इसे स्वयं करो।"

जी. लेसिंग.

छात्रों में जानकारी के साथ काम करने की क्षमता विकसित करने, उन्हें स्वतंत्र रूप से सोचने और एक टीम में काम करने में सक्षम बनाने के लिए विभिन्न शैक्षणिक तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है। लेखक कार्य के समूह स्वरूप को प्राथमिकता देता है।

ग्रेड 11

पाठ विषय: nवाँ मूल और उसके गुण।

पाठ का उद्देश्य:

छात्रों में जड़ की समग्र समझ का निर्माणएन -वीं डिग्री, विभिन्न समस्याओं को हल करते समय जड़ के गुणों के सचेत और तर्कसंगत उपयोग का कौशल;मूलांक वाले भावों को सरल बनाने के सिद्धांतों को समझना. विषय के प्रश्नों के बारे में छात्रों की समझ के स्तर की जाँच करें।

पाठ मकसद:

1. आवश्यक ज्ञान और कौशल को अद्यतन करें।जड़ की अवधारणा दीजिएएन-वीं डिग्री, इसके गुणों पर विचार करें।

2. समस्या को हल करने के लिए छात्रों की मानसिक गतिविधि को व्यवस्थित करें (आवश्यक संचार का निर्माण करें)।एल्गोरिथम, रचनात्मक सोच के विकास को बढ़ावा देना, आत्म-नियंत्रण कौशल विकसित करना। विषय और गतिविधि में रुचि के विकास को बढ़ावा देना।

3. गतिविधि के एक नए तरीके के विश्लेषण और विनियोग के माध्यम से अन्य लोगों की राय और अन्य लोगों के काम के लिए सम्मान पैदा करना,एक टीम में काम करने, अपनी राय व्यक्त करने, सिफारिशें देने की क्षमता।

उपकरण:

प्रस्तुतिकरण प्रदर्शित करने के लिए कंप्यूटर, प्रोजेक्टर और स्क्रीन; समूह कार्य के लिए कार्य कार्ड; एक नई प्रकार की गतिविधि के असाइनमेंट का आकलन करने के लिए एक तालिका वाले कार्ड; छात्रों के लिए बहु-स्तरीय स्वतंत्र कार्य करने के लिए खाली डबल शीट; बहु-स्तरीय कार्यों वाले कार्ड।

पाठ का प्रकार:

संयुक्त (व्यवस्थितीकरण और सामान्यीकरण, नए ज्ञान को आत्मसात करना, ज्ञान का परीक्षण और मूल्यांकन)।

शैक्षिक गतिविधियों के संगठन के रूप :

व्यक्तिगत, बहुवचन, संवाद, स्लाइड के पाठ के साथ कार्य, पाठ्यपुस्तक।

तरीकों :

दृश्य, मौखिक, ग्राफिक, सशर्त प्रतीकात्मक, अनुसंधान।

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि की प्रेरणा:

छात्रों को यह बताएंजड़ के गुणों का अध्ययनएनथवीं डिग्री छात्रों को पहले से ही ज्ञात डिग्री के गुणों का एक सामान्यीकरण है।

शिक्षण योजना:

संगठनात्मक और प्रेरक ( शिक्षक का अभिवादन , विषय की स्वीकृति, पाठ के लक्ष्य , कार्य में शामिल करना ).

ज्ञान को अद्यतन करना (व्यवस्थितीकरण और सामान्यीकरण, नए ज्ञान को आत्मसात करना)।

जो सीखा गया है उसका अनुप्रयोग ( नई शैक्षिक सामग्री में महारत हासिल करने की शुद्धता और जागरूकता स्थापित करना; कमियों और गलतफहमियों की पहचान करना और उन्हें ठीक करना)।

नियंत्रण और आत्मसंयम (ज्ञान की जाँच)।

प्रतिबिंब (छात्रों को उनके व्यवहार (प्रेरणा, गतिविधि के तरीके, संचार) पर विचार करने के लिए प्रेरित करना)।

सारांश (लक्ष्य प्राप्त करने की सफलता का विश्लेषण और मूल्यांकन दें और आगे के काम की संभावनाओं की रूपरेखा तैयार करें)।

गृहकार्य (होमवर्क पूरा करने के उद्देश्य, सामग्री और तरीकों की समझ सुनिश्चित करना)।

कक्षाओं के दौरान:

संगठनात्मक और प्रेरक ( शिक्षक का अभिवादन , विषय की स्वीकृति, पाठ के लक्ष्य, कार्य में समावेश, 1-2 मि ). छात्रों को शुभकामनाएँ, संदेश विषय "रूटएन- वें डिग्री और उसके गुण", उद्देश्य और गतिविधि की विधि का संचार।

ज्ञान को अद्यतन करना (व्यवस्थितीकरण और सामान्यीकरण, नए ज्ञान को आत्मसात करना, 15 मिनट)।

बुनियादी ज्ञान की पुनरावृत्ति (व्यवस्थितीकरण और सामान्यीकरण):

कक्षा को तीन समूहों में बांटा गया है।

शिक्षक की गतिविधियाँ: सवाल पूछे जा रहे है:

अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा.

अंकगणितीय वर्गमूल के गुण.

प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री के गुण।

शीट पर गुण लिखें,

,

सवालों के जवाब,

कार्य पूर्ण करें.

नए ज्ञान को आत्मसात करना:

शिक्षक की गतिविधियाँ: नई अवधारणाएँ प्रस्तुत की गई हैं:

परिभाषा। जड़एन बीच से th डिग्रीए इस नंबर पर कॉल किया जाता हैएन जिसकी वां डिग्री बराबर हैए .

परिभाषा। अंकगणित मूलएन बीच से th डिग्रीए किसी गैर-नकारात्मक नंबर पर कॉल करेंएन जिसकी वां डिग्री बराबर हैए .

अंकगणितीय जड़ों के मूल गुणएन -वीं डिग्री.

जब भीएन दो जड़ें हैंएन किसी भी धनात्मक संख्या की घातए , जड़एन संख्या 0 की वां शक्ति पतवार के बराबर है; नकारात्मक संख्याओं की सम शक्ति जड़ मौजूद नहीं है। विषम के लिएएनएक जड़ हैएन -किसी भी नंबर से नॉयए और उस पर केवल एक।

किसी भी संख्या के लिए निम्नलिखित समानताएँ कायम हैं:

1) ; 3) ;

2) 4) ;

5) ; 6) .

कार्यों के उदाहरण स्लाइड पर दिए गए हैं:

समूहों में छात्र गतिविधियाँ:

शीट पर गुण स्वयं लिखें,

सटीकता के लिए स्लाइड की जाँच करें,

सवालों के जवाब,

कार्य पूर्ण करें.

जो सीखा गया है उसका अनुप्रयोग ( नई शैक्षिक सामग्री में महारत हासिल करने की शुद्धता और जागरूकता स्थापित करना; कमियों और गलतफहमियों की पहचान करना और उन्हें ठीक करना, 15 मिनट)।

शिक्षक की गतिविधियाँ: आगे की कार्रवाइयों पर टिप्पणी देता है:

चरणों के अनुसार समूहों में कार्य करें,

प्रत्येक समूह के सामने समान कार्य वाला कागज का एक टुकड़ा है, लेकिन विभिन्न शर्तों के साथ (स्लाइड पर "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं"):

- चरण 1 "विचारों का सृजन"।

1 अवस्था:

नंबर 1 दर्ज करें.

कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक अपेक्षित कार्रवाइयों का क्रम लिखें।

समूह गतिविधियों का प्रबंधन (यह सुनिश्चित करने के लिए कि सभी छात्र काम में शामिल हों).

- चरण 2 "विचारों का विश्लेषण"।

स्लाइड पर गतिविधि निर्देशों से परिचित होना:

अवस्था:

नंबर 2 दर्ज करें.

प्रस्तावित एल्गोरिथम का उपयोग करके कार्य को पूरा करें, यदि आवश्यक हो तो इसमें सुधार करें।

प्रस्तावित एल्गोरिथम का उपयोग करके कार्य पूरा किया जा सकता है या नहीं, इसके बारे में निष्कर्ष निकालें और लिखें।

समूह गतिविधियों का प्रबंधन.

- चरण 3 "परीक्षा"।

:

अवस्था:

क्रमांक 3 दर्ज करें.

एल्गोरिथम के अनुसार कार्य की शुद्धता की जाँच करें।

निष्कर्ष निकालें और लिखें कि क्या आवश्यक एल्गोरिदम बनाना संभव था, और कार्य को सही ढंग से पूरा करना संभव था।

- चरण 4 "परिणामों की प्रस्तुति"।

स्लाइड पर गतिविधि निर्देशों से परिचित होना:

अवस्था:

प्रत्येक चरण में सभी समूहों की गतिविधियों का मूल्यांकन करें।

व्यक्तिगत रूप से उस चरण का चयन करें जिस पर काम करना आसान था और जिस चरण पर कठिनाइयाँ उत्पन्न हुईं।

समूहों में छात्र गतिविधियाँ:

चरण 1 पर:कार्यों का विश्लेषण करें, आवश्यक कार्यवाही करें,

स्टेज 2 पर:दूसरे समूह द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिदम का विश्लेषण करें, परआवश्यकतानुसार समायोजन करें,कार्यों को पूरा करें,

चरण 3 पर: कार्य का विश्लेषण करेंपिछले समूह, निष्कर्ष निकालें,

चरण 4 पर:निकाले गए निष्कर्ष का विश्लेषण करें, स्लाइड पर दिए गए उत्तर से समाधान की सत्यता की जाँच करें, एक तालिका के साथ कार्ड भरें, उस भूमिका का चयन करें जिसमें वे अधिक सफल हों।

स्वास्थ्य का एक मिनट (आंखों के लिए जिम्नास्टिक)।

नियंत्रण और आत्मसंयम (ज्ञान परीक्षण, 7 मि.)

शिक्षक की गतिविधियाँ: स्वतंत्र कार्य करने के निर्देश देता है:

सभी छात्र स्लाइड पर कार्ड पर स्तर 1 ("3") के कार्यों को पूरा करते हैं:

स्वतंत्र काम। रेटिंग "3"।

मैं विकल्प।

ए)

बी)

2). संख्याओं की तुलना करें:

द्वितीय विकल्प।

1). संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें:

ए)

बी)

2). संख्याओं की तुलना करें:

:

स्वतंत्र काम। रेटिंग "3"।

जवाब :

मैं विकल्प

1). ए) 11

बी) 15

2). <

द्वितीय विकल्प

1). ए) 7

बी) 15

2. >

3. लेवल 1 का कार्य किसने पूरा किया?

4. जिन विद्यार्थियों ने स्तर 1 का सामना कर लिया है वे स्तर 2 के कार्यों ("4" पर) की ओर बढ़ जाते हैं, जो उनका सामना नहीं कर पाए हैं वे स्लाइड पर, कार्डों पर कार्य के स्तर 1 पर बने रहते हैं:

स्वतंत्र काम।

रेटिंग "3"।

1). संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें:

ए)

बी)

2). संख्याओं की तुलना करें:

रेटिंग "4"।

1). प्रश्न हल करें:

ए)

बी)

2). अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

स्लाइड पर दिए गए उत्तरों के आधार पर स्व-परीक्षण करें:

स्वतंत्र काम।

जवाब :

रेटिंग "3"।

1). ए) 13

बी) 6

2). <

रेटिंग "4"।

1). ए)

बी)

2). 2ए

6. लेवल 3 पर कौन गया?

लेवल 2 पर कौन रहा?

लेवल 2 पर कौन गया?

लेवल 1 पर कौन रहा?

7. जिन छात्रों को "4" प्राप्त हुआ, वे स्तर 3 ("5" पर) के कार्यों को पूरा करते हैं।

जिन छात्रों को "4" प्राप्त नहीं हुआ है और उन्होंने लेवल 1 पूरा कर लिया है, वे लेवल 2 असाइनमेंट पूरा करते हैं।

जिन छात्रों को "3" नहीं मिला है, वे स्लाइड पर कार्ड पर लेवल 1 के कार्यों को पूरा करते हैं:

स्वतंत्र काम।

रेटिंग "4"।

रेटिंग "5"।

रेटिंग "4"?

रेटिंग "3"?

10. लेवल 1 के कार्यों में कौन असफल हुआ?

समूहों में छात्र गतिविधियाँ:

कार्य पूर्ण करें.

यदि सभी कार्य पूरे हो जाएं तो "3" का अंक देते हुए स्व-परीक्षण करें.

परिणाम प्रस्तुत करें.

कार्य पूर्ण करें.

स्व-परीक्षण करें: यदि स्तर 1 के सभी कार्य पूरे हो गए हैं तो "3" लगाएं; यदि लेवल 2 के 3 में से 2 कार्य पूरे हो गए हैं तो "4" लगाएं.

परिणाम प्रस्तुत करें.

कार्य पूर्ण करें.

स्व-परीक्षण करें: यदि स्तर 1 के सभी कार्य पूरे हो गए हैं तो "3" लगाएं; यदि स्तर 2 के 2 कार्य पूरे हो गए हैं तो "4" लगाएं; यदि 2 में से कम से कम 1 कार्य पूरा हो जाए तो "5" रेटिंग दें.

परिणाम प्रस्तुत करें.

प्रतिबिंब (छात्रों को उनके व्यवहार पर विचार करने के लिए प्रेरित करना (प्रेरणा, गतिविधि के तरीके, संचार, 3 मिनट)।

शिक्षक की गतिविधियाँ: "सिनक्वेन" लिखने पर टिप्पणियाँ देता है, स्लाइड पर निर्देश:

सिंकवाइन।

पंक्ति 1 - विषय या विषय बताया गया है (एक संज्ञा);

पंक्ति 2 - विषय का विवरण (दो विशेषण या कृदंत);

पंक्ति 3 - विषय की क्रियाओं का वर्णन करती है (तीन क्रियाएं);

पंक्ति 4 - विषय के प्रति लेखक के दृष्टिकोण की अभिव्यक्ति (चार शब्द);

पंक्ति 5 - एक पर्यायवाची शब्द जो विषय (एक शब्द) के अर्थ को सामान्यीकृत या विस्तारित करता है।

समूहों में छात्र गतिविधियाँ:

सिंकवाइन लिखने के एल्गोरिदम से परिचित हों,

वे स्वतंत्र कार्य की शीट पर सिनक्वेन लिखते हैं,

यदि वांछित हो तो सिंकवाइन पढ़ा जाता है,

सत्यापन के लिए शीट जमा करें.

सारांश (लक्ष्य प्राप्त करने की सफलता का विश्लेषण और मूल्यांकन दें और बाद के काम के लिए संभावनाओं की रूपरेखा तैयार करें, 1-2 मिनट)।

शिक्षक की गतिविधियाँ: पाठ के विभिन्न चरणों में प्रदर्शन मूल्यांकन का विश्लेषण: किसी न किसी भूमिका में आपके लिए यह आसान (अधिक कठिन) क्यों था? प्रत्येक विद्यार्थी के कार्य का मूल्यांकन किया जाता है।

समूहों में छात्र गतिविधियाँ: सवाल का जवाब दें।

गृहकार्य (होमवर्क पूरा करने के उद्देश्य, सामग्री और तरीकों की समझ सुनिश्चित करना, 1-2 मिनट)।

शिक्षक की गतिविधियाँ: होमवर्क करने के निर्देश देता है:(ए. एबिलकासिमोवा, प्राकृतिक-गणित। उदाहरण के लिए)
§ 5, संख्या 83 (2; 4), संख्या 84 (2; 3), संख्या 86, 87 (3; 4), संख्या 89।

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या वर्गों के अंतर के सूत्र का इस प्रकार उपयोग करें:

• (x 2 -4)*(x 2 +4)=0.

दो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो।

व्यंजक x 2 +4 शून्य के बराबर नहीं हो सकता, इसलिए जो कुछ बचता है वह (x 2 -4)=0 है।

हम इसे हल करते हैं और दो उत्तर प्राप्त करते हैं।

उत्तर: x=-2 और x=2.

हमने पाया कि समीकरण x 4 =16 के केवल 2 वास्तविक मूल हैं। ये संख्या 16 से चौथी डिग्री की जड़ें हैं। इसके अलावा, सकारात्मक जड़ को संख्या 16 से चौथी डिग्री की अंकगणितीय जड़ कहा जाता है। और उन्हें 4√16 नामित किया गया है। यानी 4√16=2.

परिभाषा

• किसी गैर-ऋणात्मक संख्या a की प्राकृतिक घात n>=2 का अंकगणितीय मूल कुछ गैर-ऋणात्मक संख्या है, जब घात n तक बढ़ाया जाता है, तो संख्या a प्राप्त होती है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी भी गैर-नकारात्मक a और प्राकृतिक n के लिए, समीकरण x n =a का एक एकल गैर-नकारात्मक मूल होगा। यह वह मूल है जिसे संख्या a की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल कहा जाता है।

किसी संख्या की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल इस प्रकार दर्शाया गया है: n√a.

इस मामले में संख्या a को मूलांक अभिव्यक्ति कहा जाता है।

उस स्थिति में जब n=2, वे दो नहीं लिखते, बल्कि केवल √a लिखते हैं।

दूसरी और तीसरी डिग्री की अंकगणितीय जड़ें हैं उनके विशेष नाम.

दूसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को वर्गमूल कहा जाता है, और तीसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को घनमूल कहा जाता है।

केवल अंकगणितीय मूल की परिभाषा का उपयोग करके, कोई यह साबित कर सकता है कि n√a, b के बराबर है। ऐसा करने के लिए हमें यह दिखाना होगा कि:

• 1. b शून्य से बड़ा या उसके बराबर है।
• 2. बी एन =ए.

उदाहरण के लिए, 3√(64) = 4, चूँकि 1. 4>0, 2. 4 3 =64.

अंकगणितीय मूल की परिभाषा का परिणाम।

• (n√a) n = ए.
• n√(a n) = ए.

उदाहरण के लिए, (5√2) 5 = 2.

nवाँ मूल निकालना

nवें मूल को निकालना वह क्रिया है जिसका उपयोग nवें मूल को खोजने के लिए किया जाता है। nवीं जड़ को लेना इसे nवीं घात तक बढ़ाने के विपरीत है।

आइए एक उदाहरण देखें.

समीकरण x 3 = -27 को हल करें।

आइए इस समीकरण को (-x) 3 =27 के रूप में फिर से लिखें।

मान लीजिए y=-x, तो y 3 =27. इस समीकरण का एक धनात्मक मूल y= 3√27 = 3 है।

y 3 के बाद से इस समीकरण का कोई नकारात्मक मूल नहीं है

हम पाते हैं कि समीकरण 3 =27 का केवल एक मूल है।

मूल समीकरण पर लौटने पर, हम पाते हैं कि इसका भी केवल एक मूल x=-y=-3 है।