गुरुत्वाकर्षण के खिलाफ एक बिंदु की गति। एक ऊर्ध्वाधर विमान में गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में एक पिंड की गति

01.09.2021

परिचय

1. गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में किसी पिंड की गति

1.1 ग्रह के चारों ओर एक गोलाकार या अण्डाकार कक्षा में पिंड की गति

1.2 एक ऊर्ध्वाधर तल में गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत एक पिंड की गति

1.3 किसी पिंड की गति यदि प्रारंभिक वेग गुरुत्वाकर्षण के कोण पर निर्देशित है

2. प्रतिरोध वाले माध्यम में किसी पिंड की गति

3. बैलिस्टिक में माध्यम के प्रतिरोध को ध्यान में रखते हुए गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत शरीर की गति के नियमों का अनुप्रयोग

निष्कर्ष

ग्रन्थसूची

परिचय

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार गति में परिवर्तन का कारण, अर्थात पिंडों के त्वरण का कारण बल है। यांत्रिकी में, विभिन्न भौतिक प्रकृति की शक्तियों पर विचार किया जाता है। कई यांत्रिक घटनाएं और प्रक्रियाएं गुरुत्वाकर्षण बलों की कार्रवाई से निर्धारित होती हैं। कानून गुरुत्वाकर्षण 1682 में आई न्यूटन द्वारा खोजा गया था। 1665 में वापस, 23 वर्षीय न्यूटन ने सुझाव दिया कि चंद्रमा को अपनी कक्षा में रखने वाले बल उसी प्रकृति के हैं जैसे कि एक सेब को पृथ्वी पर गिरने वाले बल। उनकी परिकल्पना के अनुसार, ब्रह्मांड के सभी पिंडों के बीच आकर्षण बल (गुरुत्वाकर्षण बल) कार्य करते हैं, जो द्रव्यमान के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के साथ निर्देशित होते हैं। एक सजातीय गेंद के रूप में एक शरीर के लिए, द्रव्यमान का केंद्र गेंद के केंद्र के साथ मेल खाता है।

चित्र .1। गुरुत्वाकर्षण बल।

बाद के वर्षों में, न्यूटन ने 17वीं शताब्दी की शुरुआत में खगोलशास्त्री आई. केप्लर द्वारा खोजे गए ग्रहों की गति के नियमों के लिए एक भौतिक स्पष्टीकरण खोजने की कोशिश की, और देने के लिए मात्रात्मक अभिव्यक्तिगुरुत्वाकर्षण बलों के लिए। यह जानकर कि ग्रह कैसे चलते हैं, न्यूटन यह निर्धारित करना चाहता था कि कौन सी ताकतें उन पर कार्य करती हैं। इस पथ को यांत्रिकी की व्युत्क्रम समस्या कहा जाता है। यदि यांत्रिकी का मुख्य कार्य ज्ञात द्रव्यमान के पिंड के निर्देशांक और उसके वेग को किसी भी समय शरीर पर कार्य करने वाले ज्ञात बलों और प्रारंभिक स्थितियों (यांत्रिकी की प्रत्यक्ष समस्या) से निर्धारित करना है, तो व्युत्क्रम समस्या को हल करते समय , शरीर पर कार्य करने वाले बलों को निर्धारित करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात है कि यह कैसे चलता है। इस समस्या के समाधान ने न्यूटन को सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम की खोज के लिए प्रेरित किया। सभी पिंड एक दूसरे की ओर एक बल के साथ आकर्षित होते हैं जो उनके द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक होते हैं और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं:

आनुपातिकता G का गुणांक प्रकृति में सभी निकायों के लिए समान है। इसे गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक कहते हैं।

जी \u003d 6.67 10 -11 एन एम 2 / किग्रा 2

प्रकृति में कई घटनाओं को सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण की शक्तियों की क्रिया द्वारा समझाया गया है। सौर मंडल में ग्रहों की गति, पृथ्वी के कृत्रिम उपग्रहों की गति, बैलिस्टिक मिसाइलों के उड़ान पथ, पृथ्वी की सतह के पास पिंडों की गति - इन सभी घटनाओं को सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के आधार पर समझाया गया है। और गतिकी के नियम। सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण बल की अभिव्यक्तियों में से एक गुरुत्वाकर्षण बल है।

गुरुत्वाकर्षण पृथ्वी की ओर से शरीर पर कार्य करने वाला बल है और शरीर को मुक्त रूप से गिरने का त्वरण प्रदान करता है:

पृथ्वी पर (या उसके पास) स्थित कोई भी पिंड, पृथ्वी के साथ मिलकर अपनी धुरी पर घूमता है, अर्थात। एक पिंड त्रिज्या r के एक वृत्त में एक नियत मॉड्यूलो वेग के साथ गति करता है।

रेखा चित्र नम्बर 2। पृथ्वी की सतह पर किसी पिंड की गति।

पृथ्वी की सतह पर एक पिंड गुरुत्वाकर्षण बल और पृथ्वी की सतह के किनारे के बल से प्रभावित होता है

उनका परिणामी

शरीर को अभिकेन्द्रीय त्वरण प्रदान करता है

आइए हम गुरुत्वाकर्षण बल को दो घटकों में विघटित करें, जिनमें से एक होगा, अर्थात।

समीकरणों (1) और (2) से हम देखते हैं कि

इस प्रकार, गुरुत्वाकर्षण गुरुत्वाकर्षण बल के घटकों में से एक है, दूसरा घटक शरीर को अभिकेन्द्रीय त्वरण प्रदान करता है। भौगोलिक अक्षांश पर बिंदु पर, गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी की त्रिज्या के साथ निर्देशित नहीं होता है, लेकिन एक निश्चित कोण α पर होता है। गुरुत्वाकर्षण बल तथाकथित ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा (ऊर्ध्वाधर नीचे) के साथ निर्देशित होता है।

गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण और दिशा में केवल ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर है। भूमध्य रेखा पर, वे दिशा में मेल खाते हैं, और पूर्ण अंतर सबसे बड़ा है।

जहाँ पृथ्वी के घूर्णन का कोणीय वेग है, R पृथ्वी की त्रिज्या है।

रेड/एस, = 0.727 10 -4 रेड/एस।

चूंकि ω बहुत छोटा है, तो एफ टी ≈ एफ। नतीजतन, गुरुत्वाकर्षण बल गुरुत्वाकर्षण बल से पूर्ण मूल्य में थोड़ा भिन्न होता है, इसलिए इस अंतर को अक्सर उपेक्षित किया जा सकता है।

फिर एफ टी एफ,

इस सूत्र से यह देखा जा सकता है कि मुक्त गिरने का त्वरण g का त्वरण गिरते हुए पिंड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि ऊँचाई पर निर्भर करता है।

यदि M पृथ्वी का द्रव्यमान है, R इसकी त्रिज्या है, m दिए गए पिंड का द्रव्यमान है, तो गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर है

जहाँ g पृथ्वी की सतह पर मुक्त रूप से गिरने का त्वरण है:

गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। अन्य बलों की अनुपस्थिति में, पिंड मुक्त रूप से गिरने वाले त्वरण के साथ पृथ्वी पर स्वतंत्र रूप से गिरता है। पृथ्वी की सतह पर विभिन्न बिंदुओं के लिए मुक्त गिरावट त्वरण का औसत मूल्य 9.81 मी/से 2 है। मुक्त पतन के त्वरण और पृथ्वी की त्रिज्या को जानना

(आर \u003d 6.38 10 6 मीटर), आप पृथ्वी एम के द्रव्यमान की गणना कर सकते हैं:

पृथ्वी की सतह से दूर जाने पर, गुरुत्वाकर्षण बल और मुक्त गिरने का त्वरण पृथ्वी के केंद्र की दूरी r के वर्ग के विपरीत बदल जाता है। यह आंकड़ा एक अंतरिक्ष यान में एक अंतरिक्ष यात्री पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल में परिवर्तन को दर्शाता है क्योंकि वह पृथ्वी से दूर जाता है। जिस बल से एक अंतरिक्ष यात्री अपनी सतह के पास पृथ्वी की ओर आकर्षित होता है, उसे 700 N माना जाता है।

अंजीर। 3. पृथ्वी से दूर जाने पर अंतरिक्ष यात्री पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल में परिवर्तन।

दो परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों की एक प्रणाली का एक उदाहरण पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली है। चंद्रमा पृथ्वी से r L = 3.84 10 6 m की दूरी पर स्थित है। यह दूरी पृथ्वी की त्रिज्या R से लगभग 60 गुना अधिक है।

पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित इस तरह के त्वरण के साथ, चंद्रमा एक कक्षा में चलता है। इसलिए, यह त्वरण अभिकेन्द्रीय त्वरण है। अभिकेन्द्र त्वरण के लिए गतिज सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है:

जहां टी = 27.3 दिन। पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की क्रांति की अवधि है। विभिन्न विधियों द्वारा किए गए गणनाओं के परिणामों का संयोग, चंद्रमा को कक्षा में रखने वाले बल की एकीकृत प्रकृति और गुरुत्वाकर्षण बल के बारे में न्यूटन की धारणा की पुष्टि करता है। चंद्रमा का अपना गुरुत्वीय क्षेत्र उसकी सतह पर गिरने वाले मुक्त त्वरण g l को निर्धारित करता है। चंद्रमा का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान से 81 गुना कम है और इसकी त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से लगभग 3.7 गुना कम है। इसलिए, त्वरण g l व्यंजक द्वारा निर्धारित किया जाता है:

चंद्रमा पर उतरने वाले अंतरिक्ष यात्रियों ने खुद को ऐसे कमजोर गुरुत्वाकर्षण की स्थिति में पाया। ऐसी स्थिति में व्यक्ति बड़ी छलांग लगा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि पृथ्वी पर कोई व्यक्ति 1 मीटर की ऊंचाई तक कूदता है, तो चंद्रमा पर वह 6 मीटर से अधिक की ऊंचाई तक कूद सकता है।

1. गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में किसी पिंड की गति

यदि केवल गुरुत्वाकर्षण बल शरीर पर कार्य करता है, तो शरीर स्वतंत्र रूप से गिर रहा है। गति प्रक्षेपवक्र का प्रकार प्रारंभिक वेग की दिशा और मॉड्यूल पर निर्भर करता है। इस मामले में, शरीर की गति के निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1. पिंड ग्रह के चारों ओर एक गोलाकार या अण्डाकार कक्षा में घूम सकता है।

2. यदि पिंड का प्रारंभिक वेग शून्य है या गुरुत्वाकर्षण बल के समानांतर है, तो पिंड एक सीधी मुक्त गिरावट करता है।

3. यदि पिंड का प्रारंभिक वेग गुरुत्वाकर्षण के कोण पर निर्देशित है, तो पिंड एक परवलय के साथ, या एक परवलय की एक शाखा के साथ आगे बढ़ेगा।

1.1 ग्रह के चारों ओर एक गोलाकार या अण्डाकार कक्षा में पिंड की गति

आइए अब हम कृत्रिम पृथ्वी उपग्रहों के प्रश्न पर विचार करें। कृत्रिम उपग्रह पृथ्वी के वायुमंडल से बाहर जाते हैं, और केवल पृथ्वी से गुरुत्वाकर्षण बल ही उन पर कार्य करते हैं। प्रारंभिक गति के आधार पर, अंतरिक्ष पिंड का प्रक्षेपवक्र भिन्न हो सकता है। हम यहां केवल एक कृत्रिम उपग्रह के पृथ्वी की कक्षा के पास एक वृत्ताकार गतिमान होने के मामले पर विचार करेंगे। ऐसे उपग्रह 200-300 किमी के क्रम की ऊंचाई पर उड़ते हैं, और पृथ्वी के केंद्र की दूरी को लगभग इसकी त्रिज्या R3 के बराबर लिया जा सकता है। तब उपग्रह का अभिकेन्द्रीय त्वरण, इसे किस बलों द्वारा प्रदान किया जाता है गुरुत्वाकर्षण, मुक्त गिरावट त्वरण जी के लगभग बराबर है। आइए हम उपग्रह की गति को पृथ्वी के निकट कक्षा में 1 के माध्यम से निरूपित करें। इस गति को प्रथम ब्रह्मांडीय गति कहा जाता है। अभिकेन्द्र त्वरण के लिए गतिज सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इस गति से चलते हुए, उपग्रह समय पर पृथ्वी का चक्कर लगाएगा

वास्तव में, पृथ्वी की सतह के पास एक गोलाकार कक्षा में उपग्रह की परिक्रमा की अवधि वास्तविक कक्षा की त्रिज्या और पृथ्वी की त्रिज्या के बीच के अंतर के कारण कुछ हद तक निर्दिष्ट मान से अधिक है। प्रक्षेप्य या बैलिस्टिक मिसाइलों की गति के समान, उपग्रह की गति को एक मुक्त गिरावट के रूप में माना जा सकता है। अंतर केवल इतना है कि उपग्रह की गति इतनी अधिक होती है कि उसके प्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर होती है। पृथ्वी से काफी दूरी पर वृत्ताकार प्रक्षेपवक्र के साथ चलने वाले उपग्रहों के लिए, पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण प्रक्षेपवक्र के त्रिज्या r के वर्ग के साथ विपरीत रूप से कमजोर होता है। उपग्रह की गति स्थिति से पाई जाती है

इस प्रकार, उच्च कक्षाओं में, उपग्रहों की गति की गति निकट-पृथ्वी की कक्षा की तुलना में कम होती है। ऐसे उपग्रह की कक्षीय अवधि T है

यहाँ T 1 उपग्रह के निकट-पृथ्वी की कक्षा में परिक्रमण की अवधि है। एक उपग्रह की कक्षीय अवधि बढ़ती कक्षीय त्रिज्या के साथ बढ़ती है। यह गणना करना आसान है कि कक्षा त्रिज्या r लगभग 6.6R3 के बराबर है, उपग्रह की क्रांति की अवधि 24 घंटे के बराबर होगी। भूमध्य रेखा के तल में प्रक्षेपित क्रांति की ऐसी अवधि वाला उपग्रह, पृथ्वी की सतह पर एक निश्चित बिंदु पर गतिहीन होगा। ऐसे उपग्रहों का उपयोग अंतरिक्ष रेडियो संचार प्रणालियों में किया जाता है। त्रिज्या r = 6.6Rо वाली कक्षा को भूस्थिर कहा जाता है।

1.2 एक ऊर्ध्वाधर तल में गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत एक पिंड की गति

यदि पिंड का प्रारंभिक वेग शून्य है या गुरुत्वाकर्षण बल के समानांतर है, तो पिंड एक सीधी मुक्त गिरावट में है।

यांत्रिकी का मुख्य कार्य किसी भी समय शरीर की स्थिति का निर्धारण करना है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गतिमान कणों के लिए समस्या का समाधान निम्नलिखित समीकरण हैं, OX और ओए अक्षों पर अनुमानों में:

गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत किसी पिंड की गति के बारे में किसी भी समस्या को हल करने के लिए ये सूत्र पर्याप्त हैं।

शरीर लंबवत ऊपर की ओर फेंका गया

इस स्थिति में v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = -g।

इस मामले में शरीर की गति एक सीधी रेखा में होगी, और पहले लंबवत ऊपर की ओर उस बिंदु तक जाएगी जिस पर वेग शून्य हो जाता है, और फिर लंबवत नीचे की ओर।

अंजीर। 4. ऊपर फेंके गए शरीर की गति।

जब कोई पिंड गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में त्वरण के साथ गति करता है, तो पिंड का भार बदल जाता है।

किसी पिंड का भार वह बल है जिसके साथ कोई पिंड उसके सापेक्ष स्थिर किसी सहारे या निलंबन पर कार्य करता है।

किसी पिंड का वजन समर्थन (प्रतिक्रिया बल) या निलंबन (तनाव बल) की ओर से एक बल की कार्रवाई के कारण होने वाले विरूपण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है वजन गुरुत्वाकर्षण से काफी भिन्न होता है:

ये एक अलग प्रकृति के बल हैं: गुरुत्वाकर्षण एक गुरुत्वाकर्षण बल है, वजन एक लोचदार बल है (एक विद्युत चुम्बकीय प्रकृति का)।

वे विभिन्न निकायों पर लागू होते हैं: गुरुत्वाकर्षण - शरीर को, वजन - समर्थन के लिए।

चित्र 5. गुरुत्वाकर्षण और शरीर के वजन के आवेदन के बिंदु।

जरूरी नहीं कि शरीर के वजन की दिशा ऊर्ध्वाधर दिशा से मेल खाती हो।

पृथ्वी पर किसी स्थान पर किसी पिंड का गुरुत्वाकर्षण बल स्थिर होता है और यह शरीर की गति की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है; वजन उस त्वरण पर निर्भर करता है जिसके साथ शरीर आगे बढ़ रहा है।

विचार करें कि समर्थन के साथ-साथ ऊर्ध्वाधर दिशा में चलने वाले शरीर का वजन कैसे बदलता है। गुरुत्वाकर्षण बल और समर्थन की प्रतिक्रिया बल शरीर पर कार्य करते हैं।

चित्र 5. त्वरण के साथ चलने पर शरीर के वजन में परिवर्तन।

गतिकी का मूल समीकरण: . ओए अक्ष पर प्रक्षेपण में:

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, बल मॉड्यूल N p1 = P 1 । अत: शरीर का भार P1 = mg

, (शरीर अतिभार का अनुभव करता है)।

इसलिए, शरीर का वजन

यदि ए = जी, तो पी = 0

इस प्रकार, ऊर्ध्वाधर गति के दौरान शरीर के वजन को आम तौर पर सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

आइए मानसिक रूप से गतिहीन शरीर को क्षैतिज परतों में विभाजित करें। इनमें से प्रत्येक परत गुरुत्वाकर्षण और शरीर के ऊपरी हिस्से के वजन से प्रभावित होती है। यह भार जितना अधिक होगा, परत उतनी ही नीचे होगी। इसलिए, शरीर के ऊपरी हिस्सों के वजन के प्रभाव में, प्रत्येक परत विकृत हो जाती है और उसमें लोचदार तनाव उत्पन्न होता है, जो शरीर के ऊपरी से निचले हिस्से में संक्रमण के रूप में बढ़ता है।

अंजीर। 6. शरीर क्षैतिज परतों में विभाजित।

यदि शरीर स्वतंत्र रूप से गिरता है (ए = जी), तो इसका वजन शून्य के बराबर होता है, शरीर में सभी विकृतियाँ गायब हो जाती हैं और गुरुत्वाकर्षण के निरंतर प्रभाव के बावजूद, ऊपरी परतें निचली परतों पर दबाव नहीं डालेंगी।

स्वतंत्र रूप से गतिमान पिंड में जिस अवस्था में विकृतियाँ और परस्पर दबाव गायब हो जाते हैं उसे भारहीनता कहा जाता है। भारहीनता का कारण यह है कि सार्वत्रिक गुरुत्व बल शरीर और उसके सहारे को समान त्वरण प्रदान करता है।

1.3 किसी पिंड की गति यदि प्रारंभिक वेग गुरुत्वाकर्षण के कोण पर निर्देशित है

शरीर को क्षैतिज रूप से फेंका जाता है, अर्थात। गुरुत्वाकर्षण की दिशा के समकोण पर।

इस मामले में, v 0x \u003d v 0, g x \u003d 0, v 0y \u003d 0, g y \u003d - g, x 0 \u003d 0, और, इसलिए,

इस मामले में शरीर किस प्रकार के प्रक्षेपवक्र के साथ आगे बढ़ेगा, यह निर्धारित करने के लिए, हम पहले समीकरण से समय t व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें x पर y की द्विघात निर्भरता प्राप्त होती है:

इसका मतलब है कि शरीर तब परवलय की शाखा के साथ आगे बढ़ेगा।

चित्र 7. क्षितिज के कोण पर फेंके गए पिंड की गति।

एक निश्चित प्रारंभिक वेग के साथ फेंके गए पिंड की गति o एक कोण α क्षितिज पर भी एक जटिल गति है: क्षैतिज दिशा में एक समान और साथ ही गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत ऊर्ध्वाधर दिशा में समान रूप से त्वरित गति। एक स्प्रिंगबोर्ड से कूदते समय, एक नली से पानी का एक जेट, आदि से एक स्कीयर कैसे चलता है।

चित्र 8. एक नली से पानी का एक जेट।

इस तरह के एक आंदोलन की विशेषताओं का अध्ययन काफी समय पहले 16 वीं शताब्दी में शुरू हुआ था, और तोपखाने के टुकड़ों की उपस्थिति और सुधार से जुड़ा था।

उन दिनों तोपखाने के गोले के प्रक्षेपवक्र के बारे में विचार बहुत मज़ेदार थे। यह माना जाता था कि इस प्रक्षेपवक्र में तीन खंड होते हैं: ए - हिंसक आंदोलन, बी - मिश्रित आंदोलन और सी - प्राकृतिक आंदोलन, जिसमें तोप का गोला ऊपर से दुश्मन सैनिकों पर पड़ता है।

चित्र.9. आर्टिलरी प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र।

प्रोजेक्टाइल की उड़ान के नियमों ने वैज्ञानिकों का अधिक ध्यान तब तक आकर्षित नहीं किया जब तक कि लंबी दूरी की बंदूकों का आविष्कार नहीं किया गया जो पहाड़ियों या पेड़ों के माध्यम से एक प्रक्षेप्य भेजते थे - ताकि शूटर को उनकी उड़ान न दिखे।

सबसे पहले, ऐसी बंदूकों से अल्ट्रा-लॉन्ग-रेंज फायरिंग का इस्तेमाल मुख्य रूप से दुश्मन को हतोत्साहित करने और डराने के लिए किया जाता था, और शूटिंग की सटीकता ने पहली बार में विशेष रूप से महत्वपूर्ण भूमिका नहीं निभाई।

तोप के गोले की उड़ान के बारे में सही निर्णय के करीब इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया आया, वह यह दिखाने में सक्षम था कि प्रक्षेप्य की सबसे बड़ी श्रेणी तब प्राप्त की जा सकती है जब शॉट को क्षितिज पर 45 ° के कोण पर निर्देशित किया जाता है। उनकी पुस्तक द न्यू साइंस में, शूटिंग के नियम तैयार किए गए थे, जो 17 वीं शताब्दी के मध्य तक तोपखाने का मार्गदर्शन करते थे।

लेकिन, पूरा समाधानक्षैतिज रूप से या एक कोण पर फेंके गए पिंडों की गति से जुड़ी समस्याओं को सभी गैलीलियो ने अंजाम दिया। अपने तर्क में, वह दो मुख्य विचारों से आगे बढ़ा: क्षैतिज रूप से गतिमान पिंड और अन्य बलों के अधीन नहीं अपनी गति बनाए रखेंगे; बाहरी प्रभावों की उपस्थिति गतिमान पिंड की गति को बदल देगी, भले ही वह आराम पर था या उनकी क्रिया शुरू होने से पहले चल रहा था। गैलीलियो ने दिखाया कि अगर हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं, तो प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र परवलय होते हैं। गैलीलियो ने बताया कि गोले की वास्तविक गति के दौरान, वायु प्रतिरोध के कारण, उनका प्रक्षेपवक्र अब एक परवलय जैसा नहीं होगा: प्रक्षेपवक्र की अवरोही शाखा परिकलित वक्र की तुलना में कुछ अधिक तेज होगी।

न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों ने तोपखाने के गोले की गति पर वायु प्रतिरोध बलों के बढ़ते प्रभाव को ध्यान में रखते हुए, शूटिंग के एक नए सिद्धांत का विकास और सुधार किया। एक नया विज्ञान भी था - बैलिस्टिक। कई, कई साल बीत चुके हैं, और अब प्रक्षेप्य इतनी तेजी से आगे बढ़ रहे हैं कि उनके आंदोलन के प्रक्षेपवक्र के प्रकार की एक साधारण तुलना भी वायु प्रतिरोध के बढ़ते प्रभाव की पुष्टि करती है।

चित्र.10. आदर्श और वास्तविक प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र।

हमारे आंकड़े में, एक उच्च प्रारंभिक वेग पर एक तोप बैरल से दागे गए भारी प्रक्षेप्य का आदर्श प्रक्षेपवक्र एक बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है, और ठोस रेखा प्रक्षेप्य के वास्तविक प्रक्षेपवक्र को उसी फायरिंग स्थितियों के तहत दिखाती है।

आधुनिक बैलिस्टिक में, ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग उपकरण का उपयोग किया जाता है - कंप्यूटर, लेकिन अभी के लिए हम खुद को एक साधारण मामले तक सीमित रखेंगे - ऐसे आंदोलन का अध्ययन जिसमें वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जा सकती है। यह हमें गैलीलियो के तर्क को लगभग बिना किसी बदलाव के दोहराने की अनुमति देगा।

गोलियों और प्रक्षेप्यों की उड़ान एक कोण पर क्षितिज पर फेंके गए पिंडों की गति का एक उदाहरण है। किसी आदर्श स्थिति पर विचार करने पर ही इस तरह के आंदोलन की प्रकृति का सटीक विवरण संभव है।

आइए देखें कि वायु प्रतिरोध के अभाव में क्षितिज से α कोण पर फेंके गए पिंड की गति कैसे बदलती है। पूरे उड़ान समय के दौरान, गुरुत्वाकर्षण शरीर पर कार्य करता है। दिशा में प्रक्षेपवक्र के पहले खंड पर।

अंजीर 11. प्रक्षेपवक्र के साथ गति में परिवर्तन।

प्रक्षेपवक्र के उच्चतम बिंदु पर - बिंदु सी पर - शरीर की गति सबसे छोटी होगी, इसे क्षैतिज रूप से 90 ° के कोण पर गुरुत्वाकर्षण की क्रिया की रेखा पर निर्देशित किया जाता है। प्रक्षेपवक्र के दूसरे भाग पर, शरीर की उड़ान क्षैतिज रूप से फेंके गए शरीर की गति के समान होती है। बिंदु A से बिंदु C तक जाने का समय वायु प्रतिरोध बलों की अनुपस्थिति में प्रक्षेपवक्र के दूसरे भाग के साथ गति के समय के बराबर होगा।

यदि "फेंक" और "लैंडिंग" के बिंदु एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित हैं, तो "फेंक" और "लैंडिंग" की गति के बारे में भी यही कहा जा सकता है। पृथ्वी की सतह के बीच के कोण और "फेंक" और "लैंडिंग" के बिंदुओं पर गति की गति की दिशा भी इस मामले में समान होगी।

क्षितिज के कोण पर फेंके गए पिंड की उड़ान रेंज AB प्रारंभिक वेग के मूल्य और फेंकने के कोण पर निर्भर करती है। फेंकने की गति की दिशा और 0 से 45 ° तक क्षैतिज सतह के बीच कोण में वृद्धि के साथ निरंतर फेंकने की गति V 0 के साथ, उड़ान सीमा बढ़ जाती है, और फेंकने वाले कोण में और वृद्धि के साथ, यह घट जाती है। क्षितिज पर विभिन्न कोणों पर पानी के एक जेट को निर्देशित करके या वसंत-भारित "बंदूक" से निकाल दी गई गेंद की गति का अनुसरण करके इसे सत्यापित करना आसान है (ऐसे प्रयोग स्वयं करना आसान है)।

इस तरह के आंदोलन का प्रक्षेपवक्र उड़ान के उच्चतम बिंदु के संबंध में सममित है और कम प्रारंभिक गति पर, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक परवलय है।

दी गई प्रस्थान गति पर अधिकतम उड़ान रेंज 45° के थ्रो एंगल पर हासिल की जाती है। जब फेंकने का कोण 30° या 60° होता है, तो दोनों कोणों के लिए पिंडों की उड़ान सीमा समान होती है। 75° और 15° के थ्रो एंगल के लिए, फ़्लाइट रेंज फिर से वही होगी, लेकिन 30° और 60° के थ्रो एंगल से कम होगी। इसका मतलब है कि लंबी दूरी के थ्रो के लिए सबसे "अनुकूल" कोण 45 ° का कोण है; थ्रो एंगल के किसी भी अन्य मान के लिए, उड़ान सीमा कम होगी।

यदि आप एक निश्चित प्रारंभिक गति के साथ एक शरीर को क्षितिज पर 45 ° के कोण पर फेंकते हैं, तो इसकी उड़ान सीमा समान प्रारंभिक गति के साथ लंबवत ऊपर की ओर फेंके गए शरीर की अधिकतम ऊंचाई से दोगुनी होगी।

एक कोण α पर क्षितिज पर फेंके गए शरीर की अधिकतम उड़ान सीमा S सूत्र द्वारा पाई जा सकती है:

अधिकतम उठाने की ऊँचाई H सूत्र के अनुसार:

वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, सबसे बड़ी उड़ान रेंज राइफल बैरल के झुकाव के कोण के 45 ° के बराबर होगी, लेकिन वायु प्रतिरोध आंदोलन के प्रक्षेपवक्र को महत्वपूर्ण रूप से बदल देता है और अधिकतम उड़ान सीमा झुकाव के एक अलग कोण से मेल खाती है। राइफल बैरल - 45 ° से अधिक। इस कोण का मान भी गोली चलाते समय गोली की गति पर निर्भर करता है। यदि गोली चलाने पर गोली की गति 870 मीटर/सेकेंड है, तो वास्तविक उड़ान सीमा लगभग 3.5 किमी होगी, न कि 77 किमी, जैसा कि "आदर्श" गणनाओं से पता चलता है।

इन अनुपातों से पता चलता है कि ऊर्ध्वाधर दिशा में शरीर द्वारा तय की गई दूरी प्रारंभिक वेग के मूल्य पर निर्भर नहीं करती है - आखिरकार, इसका मान ऊंचाई एच की गणना के सूत्र में शामिल नहीं है। और बुलेट की सीमा में क्षैतिज दिशा जितनी अधिक होगी, उसका प्रारंभिक वेग उतना ही अधिक होगा।

आइए हम एक प्रारंभिक गति v 0 के साथ कोण α पर क्षितिज पर फेंके गए शरीर की गति का अध्ययन करें, इसे द्रव्यमान m के भौतिक बिंदु के रूप में देखते हुए। साथ ही, हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करेंगे, और हम विचार करेंगे गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एक समान होना चाहिए (Р=const), यह मानते हुए कि उड़ान रेंज और प्रक्षेपवक्र की ऊंचाई पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में छोटी है।

आइए मूल बिंदु O को बिंदु की प्रारंभिक स्थिति में रखें। आइए O y अक्ष को लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित करें; हम क्षैतिज अक्ष O x को O y और सदिश v 0 से गुजरने वाले तल में रखेंगे और अक्ष O z को पहले दो अक्षों के लंबवत खींचेंगे। तब सदिश v 0 और अक्ष O x के बीच का कोण α . के बराबर होगा

अंजीर। 12. क्षितिज के कोण पर फेंके गए शरीर की गति।

आइए प्रक्षेपवक्र पर कहीं एक गतिमान बिंदु M को चित्रित करें। केवल गुरुत्वाकर्षण उस बिंदु पर कार्य करता है, जिसके निर्देशांक अक्षों पर अनुमान हैं: P x \u003d 0, P y \u003d-P \u003d mg, P Z \u003d 0

इन मात्राओं को अवकल समीकरणों में प्रतिस्थापित करना और यह देखना कि, आदि। m से घटाने पर हमें प्राप्त होता है :

इन समीकरणों के दोनों पक्षों को dt से गुणा करने और समाकलन करने पर, हम पाते हैं:

हमारी समस्या में प्रारंभिक स्थितियों का रूप है:

एक्स = 0,

वाई = 0,

प्रारंभिक शर्तों को पूरा करते हुए, हमारे पास होगा:

इन मानों С 1 , С 2 और С 3 को ऊपर दिए गए समाधान में प्रतिस्थापित करने और V x , V Y , V z को प्रतिस्थापित करने पर हम समीकरणों पर आएंगे:

इन समीकरणों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

प्रारंभिक डेटा का प्रतिस्थापन C 4 = C 5 = C 6 = 0 देता है, और हम अंत में बिंदु M की गति के समीकरणों को रूप में पाते हैं:

अंतिम समीकरण से यह पता चलता है कि गति समतल O xy . में होती है

किसी बिंदु की गति का समीकरण होने से, गतिज विधियों का उपयोग करके किसी दी गई गति की सभी विशेषताओं को निर्धारित करना संभव है।

1. बिंदु प्रक्षेपवक्र। पहले दो समीकरणों (1) से समय t को हटाकर, हम बिंदु प्रक्षेपवक्र के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

(2)

यह O y अक्ष के समानांतर अक्ष के साथ एक परवलय का समीकरण है। इस प्रकार, क्षितिज के कोण पर फेंका गया एक भारी बिंदु एक परवलय (गैलीलियो) के साथ एक निर्वात में चलता है।

2. क्षैतिज सीमा। आइए हम क्षैतिज सीमा निर्धारित करें, अर्थात। दूरी ओएस = एक्स ओ एक्स अक्ष के साथ मापा जाता है। समानता में मानते हुए (2) y=0, हम अक्ष x के साथ प्रक्षेपवक्र के चौराहे के बिंदु पाते हैं। समीकरण से:

हम पाते हैं

पहला समाधान बिंदु O देता है, दूसरा बिंदु C. इसलिए, X \u003d X 2 और अंत में

(3)

यह सूत्र (3) से देखा जा सकता है कि समान क्षैतिज श्रेणी X कोण β पर प्राप्त की जाएगी जिसके लिए 2β=180° - 2α, अर्थात। यदि कोण β=90°-α । इसलिए, दी गई प्रारंभिक गति v 0 के लिए, एक और एक ही बिंदु C को दो प्रक्षेप पथों द्वारा पहुँचा जा सकता है: समतल (α)<45°) и навесной (β=90°-α>45°)

दी गई प्रारंभिक गति v 0 के लिए, वायुहीन अंतरिक्ष में सबसे बड़ी क्षैतिज सीमा तब प्राप्त होती है जब sin 2 α = 1, अर्थात। α=45° के कोण पर।

तब प्रक्षेपवक्र H की ऊँचाई होती है:

(4)

उड़ान का समय। यह सिस्टम (1) के पहले समीकरण से इस प्रकार है कि कुल उड़ान समय टी समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है यहाँ X को इसके मान से बदलने पर, हमें प्राप्त होता है

सबसे बड़े परास के कोण पर α=45°, सभी पाए गए मान समान हैं:

प्राप्त परिणाम व्यावहारिक रूप से 200-600 किमी की सीमा के साथ प्रोजेक्टाइल (मिसाइल) की उड़ान विशेषताओं के अस्थायी निर्धारण के लिए काफी लागू होते हैं, क्योंकि इन सीमाओं पर (और पर) प्रक्षेप्य समताप मंडल में अपने अधिकांश पथ की यात्रा करता है, जहां वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जा सकती है। कम दूरी पर, परिणाम हवा के प्रतिरोध से काफी प्रभावित होंगे, और 600 किमी से अधिक की दूरी पर, गुरुत्वाकर्षण को अब स्थिर नहीं माना जा सकता है।

ऊँचाई h से फेंके गए पिंड की गति।

ऊँचाई h पर स्थापित एक बंदूक से, कोण α पर क्षितिज पर एक शॉट दागा गया था। कोर ने गन बैरल से स्पीड यू के साथ उड़ान भरी। आइए हम नाभिक की गति के समीकरणों को परिभाषित करें।

अंजीर। 13. ऊंचाई से फेंके गए शरीर की गति।

गति के अंतर समीकरणों को सही ढंग से बनाने के लिए, ऐसी समस्याओं को एक निश्चित योजना के अनुसार हल करना आवश्यक है।

ए) एक समन्वय प्रणाली (कुल्हाड़ियों की संख्या, उनकी दिशा और मूल) असाइन करें। अच्छी तरह से चुनी गई कुल्हाड़ियाँ निर्णय को सरल बनाती हैं।

बी) एक मध्यवर्ती स्थिति में एक बिंदु दिखाएं। इस मामले में, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि ऐसी स्थिति के निर्देशांक सकारात्मक होने चाहिए।

सी) इस मध्यवर्ती स्थिति में एक बिंदु पर अभिनय करने वाले बलों को दिखाएं (जड़त्व की ताकतों को न दिखाएं!)।

इस उदाहरण में, यह केवल बल है, कोर का भार। वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।

डी) सूत्रों का उपयोग करके अंतर समीकरणों की रचना करें:

यहाँ से हमें दो समीकरण मिलते हैं: और .

ई) अंतर समीकरणों को हल करें।

यहां प्राप्त समीकरण हैं रेखीय समीकरणदूसरे क्रम के, दाईं ओर अचर हैं। इन समीकरणों का हल प्राथमिक है।

यह निरंतर एकीकरण खोजने के लिए बनी हुई है। हम प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करते हैं (t = 0, x = 0, y = h पर, ,) इन चार समीकरणों में: ,,

0 \u003d सी 2, एच \u003d डी 2।

हम स्थिरांक के मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं और बिंदु की गति के समीकरणों को अंतिम रूप में लिखते हैं

इन समीकरणों के होने से, जैसा कि किनेमेटिक्स के खंड से जाना जाता है, किसी भी समय नाभिक के प्रक्षेपवक्र, और गति, और त्वरण, और नाभिक की स्थिति को निर्धारित करना संभव है।

जैसा कि आप इस उदाहरण से देख सकते हैं, समस्याओं को हल करने की योजना काफी सरल है। अंतर समीकरणों को हल करते समय ही कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं, जो कठिन हो सकती हैं।

यहाँ बल घर्षण बल है। यदि वह रेखा जिसके साथ बिंदु चलता है चिकनी है, तो = 0 और फिर दूसरे समीकरण में केवल एक अज्ञात होगा - निर्देशांक s:

इस समीकरण को हल करने पर, हम बिंदु की गति का नियम प्राप्त करते हैं, और इसलिए, यदि आवश्यक हो, गति और त्वरण दोनों। पहले और तीसरे समीकरण (5) हमें प्रतिक्रियाओं को खोजने की अनुमति देंगे।

2. प्रतिरोध वाले माध्यम में किसी पिंड की गति

गति प्रतिरोध बैलिस्टिक अण्डाकार कक्षा

एयरो- और हाइड्रोडायनामिक्स के सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक गैस और तरल में ठोस पदार्थों की गति का अध्ययन है। विशेष रूप से, उन बलों का अध्ययन जिनके साथ माध्यम गतिमान पिंड पर कार्य करता है। विमानन के तेजी से विकास और जहाजों की गति में वृद्धि के संबंध में यह समस्या विशेष रूप से महत्वपूर्ण हो गई है। एक तरल या गैस में गतिमान पिंड पर दो बल कार्य करते हैं (हम उनके परिणामी को R के रूप में निरूपित करते हैं), जिनमें से एक (R x) शरीर की गति (प्रवाह की दिशा में) के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है, है खींचें, और दूसरा (R y) लंबवत है यह दिशा लिफ्ट बल है।

जहाँ माध्यम का घनत्व है; शरीर की गति है; S शरीर का सबसे बड़ा अनुप्रस्थ काट है।

लिफ्ट बल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

जहाँ C y आयामहीन लिफ्ट गुणांक है।

यदि शरीर सममित है और इसकी सममिति की धुरी वेग की दिशा के साथ मेल खाती है, तो केवल ललाट प्रतिरोध उस पर कार्य करता है, जबकि इस मामले में भारोत्तोलन बल शून्य है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि आदर्श द्रव एकसमान गतिललाट प्रतिरोध के बिना होता है। यदि हम ऐसे द्रव में एक बेलन की गति पर विचार करें, तो धारा रेखाओं का पैटर्न सममित होता है और सिलेंडर की सतह पर परिणामी दबाव बल शून्य के बराबर होगा।

स्थिति अलग होती है जब पिंड एक चिपचिपे द्रव में चलते हैं (विशेषकर जब प्रवाह वेग बढ़ता है)। शरीर की सतह से सटे क्षेत्र में माध्यम की चिपचिपाहट के कारण, कम गति से चलने वाले कणों की एक सीमा परत बन जाती है। इस परत की घटती क्रिया के परिणामस्वरूप कणों का घूर्णन होता है और सीमा परत में द्रव की गति भंवर बन जाती है। यदि शरीर का सुव्यवस्थित आकार नहीं है (सुचारू रूप से पतली पूंछ नहीं है), तो तरल की सीमा परत शरीर की सतह से अलग हो जाती है। शरीर के पीछे आने वाले प्रवाह के विपरीत दिशा में तरल या गैस का प्रवाह होता है। अलग हुई सीमा परत, इस प्रवाह का अनुसरण करते हुए, विपरीत दिशाओं में घूमते हुए भंवर बनाती है। ड्रैग शरीर के आकार और प्रवाह के सापेक्ष उसकी स्थिति पर निर्भर करता है, जिसे ड्रैग गुणांक द्वारा ध्यान में रखा जाता है। श्यानता (आंतरिक घर्षण) वास्तविक द्रवों का वह गुण है जो द्रव के एक भाग के सापेक्ष दूसरे भाग की गति का विरोध करता है। जब एक वास्तविक द्रव की कुछ परतें दूसरों के सापेक्ष गति करती हैं, तो आंतरिक घर्षण बल F उत्पन्न होता है, जो परतों की सतह पर स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है। इन बलों की क्रिया इस तथ्य में प्रकट होती है कि परत की ओर से तेजी से आगे बढ़ने पर, अधिक धीमी गति से चलने वाली परत एक त्वरित बल से प्रभावित होती है। परत की ओर से अधिक धीमी गति से आगे बढ़ने पर, तेजी से बढ़ने वाली परत एक मंदक बल से प्रभावित होती है। आंतरिक घर्षण बल F जितना अधिक होता है, परत की सतह का उतना ही बड़ा माना क्षेत्र S होता है, और यह इस बात पर निर्भर करता है कि परत से परत में जाने पर द्रव प्रवाह वेग कितनी जल्दी बदलता है। मान दिखाता है कि परत से परत की दिशा x में, परतों की गति की दिशा के लंबवत होने पर गति कितनी तेज़ी से बदलती है, और इसे वेग प्रवणता कहा जाता है। अत: आंतरिक घर्षण बल का मापांक

तरल की प्रकृति के आधार पर आनुपातिकता का गुणांक कहां है। गतिशील चिपचिपाहट कहा जाता है।

चिपचिपाहट जितनी अधिक होती है, तरल उतना ही आदर्श से भिन्न होता है, उतना ही अधिक आंतरिक घर्षण बल उसमें दिखाई देता है। चिपचिपाहट तापमान पर निर्भर करती है, और तरल पदार्थ और गैसों के लिए इस निर्भरता की प्रकृति अलग होती है (तरल पदार्थों के लिए, बढ़ते तापमान के साथ η घट जाती है, गैसों के लिए, इसके विपरीत, यह बढ़ जाती है), जो उनमें आंतरिक घर्षण के तंत्र में अंतर को इंगित करता है। .

बैलिस्टिक का मुख्य कार्य यह निर्धारित करना है कि क्षितिज के किस कोण पर, और किस प्रारंभिक गति के साथ, लक्ष्य तक पहुंचने के लिए एक निश्चित द्रव्यमान और आकार की गोली उड़नी चाहिए।

एक प्रक्षेपवक्र का गठन।

शॉट के दौरान, गोली, बोर से उतारते समय पाउडर गैसों की क्रिया के तहत एक निश्चित प्रारंभिक गति प्राप्त करने के बाद, इस गति के परिमाण और दिशा को जड़ता द्वारा बनाए रखने के लिए जाता है, और ग्रेनेड, जिसमें एक जेट इंजन होता है, चलता है जेट इंजन से गैसों के बहिर्वाह के बाद जड़ता से। यदि एक गोली (ग्रेनेड) की उड़ान वायुहीन स्थान में होती है, और गुरुत्वाकर्षण उस पर कार्य नहीं करता है, तो गोली (ग्रेनेड) एक समान और असीम रूप से एक सीधी रेखा में चलती है। हालाँकि, हवा में उड़ने वाली एक गोली (ग्रेनेड) उन बलों से प्रभावित होती है जो उसकी उड़ान की गति और गति की दिशा को बदल देती हैं। ये बल गुरुत्वाकर्षण और वायु प्रतिरोध हैं।

इन बलों की संयुक्त कार्रवाई के कारण, गोली गति खो देती है और अपनी गति की दिशा बदल देती है, हवा में एक घुमावदार रेखा के साथ चलती है जो बोर अक्ष की दिशा के नीचे से गुजरती है।

घुमावदार रेखा जो अंतरिक्ष में उड़ान में चलती गोली (प्रक्षेप्य) के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का वर्णन करती है, प्रक्षेपवक्र कहलाती है। आमतौर पर बैलिस्टिक हथियार के क्षितिज के ऊपर (या नीचे) प्रक्षेपवक्र को मानते हैं - प्रस्थान के बिंदु से गुजरने वाला एक काल्पनिक अनंत क्षैतिज विमान। गोली की गति, और इसलिए प्रक्षेपवक्र का आकार, कई स्थितियों पर निर्भर करता है। हवा के माध्यम से उड़ने वाली गोली दो बलों के अधीन होती है: गुरुत्वाकर्षण और वायु प्रतिरोध। गुरुत्वाकर्षण बल के कारण गोली धीरे-धीरे नीचे आती है, और वायु प्रतिरोध का बल लगातार गोली की गति को धीमा कर देता है और उसे गिरा देता है। इन बलों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, उड़ान की गति धीरे-धीरे कम हो जाती है, और इसका प्रक्षेपवक्र आकार में एक असमान घुमावदार घुमावदार रेखा है।

गुरुत्वाकर्षण की क्रिया।

आइए हम कल्पना करें कि बोर छोड़ने के बाद केवल एक गुरुत्वाकर्षण बल गोली पर कार्य करता है। फिर यह किसी भी मुक्त-गिरने वाले शरीर की तरह लंबवत नीचे की ओर गिरना शुरू कर देगा। यदि हम यह मान लें कि वायुहीन अंतरिक्ष में जड़ता द्वारा अपनी उड़ान के दौरान गोली पर गुरुत्वाकर्षण कार्य करता है, तो इस बल के प्रभाव में गोली बोर की धुरी की निरंतरता से नीचे गिरेगी: पहले सेकंड में - 4.9 मीटर, में दूसरा सेकंड - 19.6 मीटर, आदि। इस मामले में, यदि आप लक्ष्य पर हथियार के बैरल को इंगित करते हैं, तो गोली उसे कभी नहीं लगेगी, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के अधीन होने के कारण, यह लक्ष्य के नीचे उड़ जाएगी। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गोली के लिए एक निश्चित दूरी तय करने और लक्ष्य को हिट करने के लिए, हथियार के बैरल को लक्ष्य के ऊपर कहीं इंगित करना आवश्यक है, ताकि गोली का प्रक्षेपवक्र गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में झुक जाए, लक्ष्य के केंद्र को पार करता है। ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि बोर की धुरी और हथियार के क्षितिज के विमान एक निश्चित कोण बनाते हैं, जिसे ऊंचाई कोण कहा जाता है। वायुहीन अंतरिक्ष में एक गोली का प्रक्षेपवक्र, जिस पर गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है, एक नियमित वक्र है, जिसे परवलय कहा जाता है। हथियार के क्षितिज के ऊपर प्रक्षेपवक्र के उच्चतम बिंदु को इसका शीर्ष कहा जाता है। प्रस्थान बिंदु से शीर्ष तक वक्र के भाग को प्रक्षेपवक्र की आरोही शाखा कहा जाता है, और ऊपर से गिरने वाले बिंदु तक - अवरोही शाखा। इस तरह के बुलेट प्रक्षेपवक्र को इस तथ्य की विशेषता है कि आरोही और अवरोही शाखाएं बिल्कुल समान हैं, और फेंकने और गिरने का कोण एक दूसरे के बराबर है।

वायु प्रतिरोध बल की क्रिया।

पहली नज़र में, ऐसा लगता नहीं है कि हवा, जिसमें इतना कम घनत्व है, बुलेट की गति को महत्वपूर्ण प्रतिरोध प्रदान कर सकती है और इस तरह इसकी गति को काफी कम कर सकती है। हालांकि, हवा के प्रतिरोध का बुलेट पर एक मजबूत मंदी प्रभाव पड़ता है, और इसलिए यह अपनी गति खो देता है। बुलेट की उड़ान के लिए वायु प्रतिरोध इस तथ्य के कारण होता है कि हवा एक लोचदार माध्यम है और इसलिए बुलेट की ऊर्जा का कुछ हिस्सा इस माध्यम में गति पर खर्च होता है। वायु प्रतिरोध का बल तीन मुख्य कारणों से होता है: वायु घर्षण, भंवरों का निर्माण और बैलिस्टिक तरंग का निर्माण।

जैसा कि सुपरसोनिक गति (340 मीटर/सेकंड से अधिक) से उड़ने वाली गोली की तस्वीरों से पता चलता है, उसके सिर के सामने एक एयर सील बन जाती है। इस संघनन से, सिर की लहर सभी दिशाओं में विचरण करती है। हवा के कण, गोली की सतह के साथ फिसलते हुए और उसकी बगल की दीवारों से टूटकर, गोली के नीचे के पीछे दुर्लभ स्थान का एक क्षेत्र बनाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप सिर और नीचे के हिस्सों पर दबाव का अंतर दिखाई देता है। यह अंतर गोली की गति के विपरीत दिशा में निर्देशित बल बनाता है और इसकी उड़ान की गति को कम करता है। हवा के कण, गोली के पीछे बने शून्य को भरने की कोशिश करते हुए, एक भंवर बनाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक पूंछ की लहर गोली के नीचे तक फैल जाती है।

गोली के सिर के आगे हवा का संघनन उसकी उड़ान को धीमा कर देता है; बुलेट के पीछे दुर्लभ क्षेत्र इसे अंदर ले जाता है और इस तरह ब्रेकिंग को और बढ़ाता है; इस सब के लिए, बुलेट की दीवारें हवा के कणों के खिलाफ घर्षण का अनुभव करती हैं, जिससे इसकी उड़ान भी धीमी हो जाती है। इन तीनों बलों का परिणाम वायु प्रतिरोध बल है। उड़ान में एक गोली (ग्रेनेड) हवा के कणों से टकराती है और उन्हें दोलन करने का कारण बनती है। नतीजतन, बुलेट (ग्रेनेड) के सामने हवा का घनत्व बढ़ जाता है, और ध्वनि तरंगें बनती हैं। इसलिए, एक गोली (ग्रेनेड) की उड़ान एक विशिष्ट ध्वनि के साथ होती है। बुलेट (ग्रेनेड) की उड़ान की गति पर, जो ध्वनि की गति से कम होती है, इन तरंगों के बनने से इसकी उड़ान पर बहुत कम प्रभाव पड़ता है, क्योंकि तरंगें बुलेट (ग्रेनेड) की उड़ान गति की तुलना में तेजी से फैलती हैं। जब गोली की गति ध्वनि की गति से अधिक होती है, तो एक दूसरे के खिलाफ ध्वनि तरंगों के प्रवेश से अत्यधिक संकुचित हवा की एक लहर पैदा होती है - एक बैलिस्टिक तरंग जो गोली की गति को धीमा कर देती है, क्योंकि गोली का हिस्सा खर्च करती है इस लहर को बनाने के लिए उसकी ऊर्जा।

एक गोली (ग्रेनेड) की उड़ान पर हवा के प्रभाव से उत्पन्न सभी बलों का परिणामी (कुल) वायु प्रतिरोध का बल है। प्रतिरोध बल के अनुप्रयोग बिंदु को प्रतिरोध का केंद्र कहा जाता है।

बुलेट की उड़ान पर वायु प्रतिरोध का प्रभाव बहुत बड़ा होता है - यह गोली की गति और सीमा में कमी का कारण बनता है।

एक गोली पर वायु प्रतिरोध का प्रभाव।

वायु प्रतिरोध बल का परिमाण उड़ान की गति, बुलेट के आकार और कैलिबर के साथ-साथ इसकी सतह और वायु घनत्व पर निर्भर करता है।

बुलेट की कैलिबर, उसकी उड़ान की गति और वायु घनत्व में वृद्धि के साथ वायु प्रतिरोध का बल बढ़ता है। उड़ान के दौरान बुलेट को कम करने के लिए वायु प्रतिरोध के लिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इसके कैलिबर को कम करना और इसके द्रव्यमान को बढ़ाना आवश्यक है। इन विचारों ने छोटी भुजाओं में लम्बी गोलियों का उपयोग करने की आवश्यकता को जन्म दिया, और बुलेट की सुपरसोनिक गति को ध्यान में रखते हुए, जब वायु प्रतिरोध का मुख्य कारण सिर (बैलिस्टिक तरंग) के सामने एक वायु सील का निर्माण होता है, गोलियां लम्बे नुकीले सिर वाले लाभप्रद होते हैं। सबसोनिक ग्रेनेड उड़ान गति पर, जब वायु प्रतिरोध का मुख्य कारण दुर्लभ स्थान और अशांति का निर्माण होता है, तो लम्बी और संकुचित पूंछ वाले हथगोले फायदेमंद होते हैं।

गोली की सतह जितनी चिकनी होगी, घर्षण बल और वायु प्रतिरोध बल उतना ही कम होगा।

आधुनिक गोलियों के आकार की विविधता काफी हद तक वायु प्रतिरोध के बल को कम करने की आवश्यकता से निर्धारित होती है।

यदि गोली की उड़ान वायुहीन स्थान में होती है, तो इसके अनुदैर्ध्य अक्ष की दिशा अपरिवर्तित रहती है और गोली अपने सिर से नहीं, बल्कि नीचे से जमीन पर गिरती है।

हालांकि, जब वायु प्रतिरोध बल गोली पर कार्य करता है, तो उसकी उड़ान पूरी तरह से अलग होगी। प्रारंभिक गड़बड़ी (झटके) के प्रभाव में जिस समय गोली बोर से निकलती है, बुलेट अक्ष और प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के बीच एक कोण बनता है, और वायु प्रतिरोध बल बुलेट अक्ष के साथ कार्य नहीं करता है, लेकिन एक कोण पर इसके लिए, न केवल गोली की गति को धीमा करने की कोशिश की, बल्कि उसे उलटने की भी कोशिश की। जैसे ही कोई गोली बोर से निकलती है, वायु प्रतिरोध केवल उसे धीमा कर देता है। लेकिन जैसे ही गोली गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत नीचे गिरने लगेगी, हवा के कण न केवल सिर के हिस्से पर, बल्कि उसकी साइड की सतह पर भी दबाव डालना शुरू कर देंगे।

गोली जितनी अधिक नीचे जाती है, उतनी ही वह अपनी पार्श्व सतह को वायु प्रतिरोध के सामने उजागर करेगी। और चूंकि हवा के कण पूंछ की तुलना में गोली के सिर पर अधिक दबाव डालते हैं, इसलिए वे गोली के सिर को पीछे की ओर झुकाते हैं।

नतीजतन, वायु प्रतिरोध का बल न केवल उड़ान के दौरान गोली को धीमा कर देता है, बल्कि उसके सिर को पीछे की ओर झुका देता है। गोली की गति जितनी अधिक होती है और जितनी लंबी होती है, उतनी ही तेज हवा उस पर उलट प्रभाव डालती है। यह काफी समझ में आता है कि वायु प्रतिरोध की इस तरह की कार्रवाई के साथ, उड़ान के दौरान गोली गिरना शुरू हो जाएगी। उसी समय, हवा को एक तरफ या दूसरे को उजागर करने से, गोली जल्दी से गति खो देगी, जिसके संबंध में उड़ान की सीमा छोटी होगी, और लड़ाई की सटीकता असंतोषजनक होगी।

निष्कर्ष

विचार किए गए सभी उदाहरणों में, शरीर पर समान गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है। हालांकि, आंदोलन अलग दिख रहे थे। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि दी गई शर्तों के तहत किसी भी शरीर की गति की प्रकृति उसकी प्रारंभिक अवस्था से निर्धारित होती है। यह अकारण नहीं है कि हमने जो भी समीकरण प्राप्त किए हैं उनमें प्रारंभिक निर्देशांक और प्रारंभिक वेग शामिल हैं। उन्हें बदलकर, हम शरीर को एक सीधी रेखा में ऊपर या नीचे ले जा सकते हैं, एक परवलय के साथ आगे बढ़ सकते हैं, उसके शीर्ष पर पहुँच सकते हैं, या उसके साथ नीचे गिर सकते हैं; हम परवलय के चाप को कम या ज्यादा मोड़ सकते हैं, इत्यादि। और साथ ही, इन सभी प्रकार के आंदोलनों को एक सरल सूत्र में व्यक्त किया जा सकता है:

ग्रन्थसूची

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विषय। गुरुत्वाकर्षण - बल। गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में किसी पिंड की गति

पाठ का उद्देश्य: छात्रों को गुरुत्वाकर्षण की अवधारणा के बारे में एक विचार देना; इस बल की प्रकृति को समझें। उन्हें गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में शरीर की गति से परिचित कराने के लिए

पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखना

शिक्षण योजना

ज्ञान नियंत्रण		1. सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम। 2. गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक का भौतिक अर्थ। 3. सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम की प्रयोज्यता की सीमाएं
प्रदर्शनों		1. शरीर का जमीन पर गिरना। 2. पिंडों के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र। 3. लंबवत ऊपर और नीचे फेंके गए पिंड की गति।
नई सामग्री सीखना		1. गुरुत्वाकर्षण बल और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र। 2. मुक्त पतन का त्वरण। 3. शरीर की लंबवत गति। 4. क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड की गति। 5. क्षितिज के कोण पर फेंके गए पिंड की गति
अध्ययन सामग्री का समेकन		1. हम समस्याओं को हल करने के लिए प्रशिक्षित करते हैं। 2. सुरक्षा प्रश्न

नई सामग्री का अध्ययन करें

एक चट्टान से गिर रहा एक पत्थर और ऊपर की ओर फेंकी गई एक गेंद एक सीधी रेखा में चलती है। किनारे पर तेज होने के बाद, एक व्यक्ति पानी में कूद जाता है, जबकि उसके शरीर का प्रक्षेपवक्र आधा परवलय होता है। एक कोण पर एक तोप से क्षितिज तक दागा गया एक प्रक्षेप्य भी अंतरिक्ष में एक परवलय का वर्णन करेगा। पृथ्वी के उपग्रह का प्रक्षेप पथ एक वृत्त के बहुत करीब है। इन सभी पिंडों की गति गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होती है। ये आंदोलन एक दूसरे से इतने अलग क्यों हैं? जाहिर है, इसका कारण अलग-अलग प्रारंभिक स्थितियां हैं।

यदि केवल गुरुत्वाकर्षण शरीर पर कार्य करता है, तो न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, m \u003d m, या m \u003d m। इसका मतलब है कि गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत, शरीर त्वरण g (a = g) के साथ चलता है। इस मामले में, समय पर गति की निर्भरता के समीकरण का रूप है: = 0 + टी।

यह समीकरण दर्शाता है कि पिंड का वेग 0 और सदिशों द्वारा निर्मित समतल में है, इसलिए ऐसी गतियों का वर्णन करने के लिए एक द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली पर्याप्त है।

किसी पिंड की लंबवत गति पर विचार करें: शरीर को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है (चित्र a), और शरीर लंबवत नीचे की ओर गिरता है (चित्र b)।

इस मामले में, शरीर का प्रक्षेपवक्र एक सीधी रेखा खंड होगा, क्योंकि ऑक्स अक्ष (0x = 0, x = x0) के साथ कोई गति नहीं है।

क्योंकि ऊपर जाते समय तो गति के समीकरणों के निम्नलिखित रूप होंगे:

इसी तरह, नीचे फेंके गए शरीर की गति के दौरान, समीकरण इस तरह दिखेगा:

1. किस नियम के आधार पर यह तर्क दिया जा सकता है कि गुरुत्वाकर्षण बल पिंड के द्रव्यमान के समानुपाती होता है?

2. गुरुत्वाकर्षण का त्वरण पृथ्वी की सतह से ऊपर की ऊंचाई पर कैसे निर्भर करता है?

3. क्षैतिज रूप से फेंका गया पिंड किस त्वरण से गति करता है?

4. क्या क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड का उड़ान समय प्रारंभिक वेग के मान पर निर्भर करता है?

5. क्या क्षितिज के कोण पर फेंके गए पिंड की गति को समान रूप से त्वरित माना जा सकता है?

6. क्षैतिज रूप से ऊपर की ओर और एक कोण पर फेंके गए पिंडों की गति में क्या सामान्य है?

अध्ययन सामग्री का विन्यास

1. पृथ्वी के द्रव्यमान की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि इसकी त्रिज्या 6400 किमी है।

2. पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर गिरने वाले मुक्त त्वरण की गणना करें।

3. किसी पिंड को किस गति से एक निश्चित ऊंचाई से क्षैतिज रूप से फेंका जाना चाहिए ताकि उड़ान सीमा उस ऊंचाई के बराबर हो जिससे शरीर को फेंका जाता है?

4. एक घर की छत से क्षैतिज रूप से 15 मीटर/सेकेंड की गति से फेंका गया पत्थर क्षितिज से 60° के कोण पर जमीन पर गिरा। घर की ऊंचाई कितनी है?

5. क्षितिज पर 30° के कोण पर फेंका गया एक पत्थर गति की शुरुआत के बाद दो बार समान ऊंचाई पर गया: 3 s और 5 s। प्रारंभिक फेंक गति और अधिकतम लिफ्ट ऊंचाई की गणना करें।

1. पृथ्वी की सतह से ऊँचाई बढ़ने पर मुक्त रूप से गिरने का त्वरण क्यों कम हो जाता है?

2. क्या गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में कोई पिंड एक वृत्त में घूम सकता है? आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

3. क्षैतिज रूप से ऊपर की ओर और एक कोण पर फेंके गए पिंडों की गति में क्या सामान्य है?

4. एक निश्चित ऊंचाई से क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड की उड़ान का समय और सीमा कैसे बदलेगी यदि फेंकने की गति को दोगुना कर दिया जाए?

5. क्षितिज से 30° के कोण पर फेंका गया एक पिंड पृथ्वी की सतह पर एक निश्चित बिंदु पर गिरा। दूसरे पिंड को उसी प्रारंभिक वेग से किस कोण पर फेंका जाना चाहिए ताकि वह पहले वाले के समान बिंदु पर गिरे?

हमने पाठ में क्या सीखा

पृथ्वी जिस बल से किसी पिंड को अपनी ओर आकर्षित करती है उसे गुरुत्वाकर्षण कहते हैं।

किसी पिंड पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल उस पिंड के द्रव्यमान के समानुपाती होता है।

अंतरिक्ष में अपनी किसी भी स्थिति के लिए शरीर पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के आवेदन के बिंदु को गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कहा जाता है।

मुक्त गिरावट त्वरण है:

यदि केवल गुरुत्वाकर्षण शरीर पर कार्य करता है, तो समय पर शरीर के वेग की निर्भरता के समीकरण का रूप है:

क्षैतिज रूप से फेंका गया एक पिंड एक परवलय के साथ चलता है जिसका शीर्ष है प्रस्थान बिंदूगति।

क्षैतिज रूप से फेंके गए शरीर के उड़ान समय और उड़ान सीमा की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

क्षितिज पर एक कोण पर फेंके गए शरीर की गति के दौरान:

ए) शरीर की ऊंचाई -

b) बॉडी फ्लाइट रेंज -

सी) अधिकतम उड़ान सीमा हासिल की जाती है यदि कोण = 45 डिग्री।

पी1) - 7.8; 7.21; 7.28, 8.6; 8.7;

पी 2) - 7.54; 7.55; 7.56. 8.13, 8.14;

पी 3) - 7.75; 7.81; 8.34; 8.39, 8.40।

लक्ष्य:

समान रूप से त्वरित गतियों की एक किस्म के साथ परिचित की निरंतरता।
अलग-अलग तुलना करना सीखना आंदोलनों के प्रकार, सामान्य विशेषताओं और अंतरों को खोजना, देखी गई घटनाओं से निष्कर्ष निकालने की क्षमता।
इस विषय पर समस्याओं को हल करने की पद्धति से परिचित होना, समस्याओं को हल करने में प्रयुक्त कानूनों की सार्वभौमिकता दिखाना।
क्षितिज का विस्तार।

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प्रस्तुति "गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में निकायों की गति।"
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कक्षाओं के दौरान

मैं।आज से हम पिंडों की गति की प्रकृति और नियमों पर विचार करेंगे, जो केवल गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित होते हैं। गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत कई प्रकार की हलचलें हो सकती हैं: पिंडों की गति को क्षैतिज रूप से, लंबवत रूप से नीचे, क्षैतिज रूप से, एक कोण पर क्षितिज पर फेंका जाता है। इन कानूनों के ज्ञान के महत्व को कम करके नहीं आंका जा सकता है। वे स्काइडाइवर, प्रोजेक्टाइल, स्की जंपर्स आदि की गति की व्याख्या करते हैं।

पिंडों की मुक्त गति में निम्नलिखित विशेषता होती है: क्षैतिज रूप से फेंका गया और समान स्तर से आसानी से छोड़ा गया पिंड एक साथ गिरते हैं। आइए हम मॉडल पर ऐसे पिंडों की गति का पता लगाएं।

प्रस्तुति संख्या 18,19, 20, 21 की अंतिम स्लाइड्स पर फिल्म के अंश प्रस्तुत किए गए हैं (देखें। परिशिष्ट 6 ):

यांत्रिकी का मुख्य कार्य और एक कोण पर क्षितिज पर फेंके गए पिंडों की गति,
विमान से फेंके गए गोले का गिरना,
बैलिस्टिक मिसाइलों की उड़ान,
अंतरिक्ष रॉकेट की उड़ान।

फिल्म क्लिप का उपयोग किसी विषय को शुरू करने से पहले रुचि का एक तत्व बनाने के लिए किया जा सकता है, बीच में इस प्रकार के आंदोलनों पर विचार करने के लिए, या अंत में डीब्रीफिंग करते समय।

यांत्रिकी का मुख्य कार्य किसी भी समय शरीर की स्थिति का निर्धारण करना है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गतिमान कणों की समस्या का समाधान OX और OY अक्षों पर अनुमानों में समीकरण हैं:

ए) एक शरीर को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है

इस मामले में v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = - g ।

बी) एक शरीर क्षैतिज रूप से फेंका जाता है

जिसमें v 0x \u003d v 0, g x \u003d 0, v 0y \u003d 0, g y \u003d - g, x 0 \u003d 0, और इसलिए

इस मामले में शरीर किस प्रकार के प्रक्षेपवक्र के साथ आगे बढ़ेगा, यह निर्धारित करने के लिए, हम समय व्यक्त करते हैं टीपहले समीकरण से और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। परिणामस्वरूप, हमें द्विघात निर्भरता प्राप्त होती है परसे एक्स:

इसका मतलब है कि शरीर तब परवलय की शाखा के साथ आगे बढ़ेगा।

सी) एक शरीर को क्षैतिज कोण पर फेंक दिया जाता है

इस मामले में v 0 x \u003d v 0 osα, g x \u003d 0, v 0y \u003d v 0 sin α, g y \u003d - g, x 0 \u003d y 0 \u003d 0 के साथ, और यही कारण है

विचार किए गए सभी उदाहरणों में, शरीर पर समान गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है। हालांकि, आंदोलन अलग दिख रहे थे। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि दी गई शर्तों के तहत किसी भी शरीर की गति की प्रकृति उसकी प्रारंभिक अवस्था से निर्धारित होती है। यह अकारण नहीं है कि हमने जो भी समीकरण प्राप्त किए हैं उनमें प्रारंभिक निर्देशांक और प्रारंभिक वेग शामिल हैं। उन्हें बदलकर, हम शरीर को एक सीधी रेखा में ऊपर या नीचे ले जा सकते हैं, एक परवलय के साथ आगे बढ़ सकते हैं, उसके शीर्ष पर पहुँच सकते हैं, या उसके साथ नीचे गिर सकते हैं; हम परवलय के चाप को कम या ज्यादा मोड़ सकते हैं, आदि। और साथ ही, इन सभी प्रकार के आंदोलनों को एक सरल सूत्र में व्यक्त किया जा सकता है।

प्रकृति में सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण बलों की कार्रवाई द्वारा कई घटनाओं की व्याख्या की जाती है: सौर मंडल में ग्रहों की गति, पृथ्वी के कृत्रिम उपग्रह, बैलिस्टिक मिसाइलों के उड़ान पथ, पृथ्वी की सतह के पास पिंडों की गति - सभी उनमें से सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम और गतिकी के नियमों के आधार पर समझाया गया है।

सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम यांत्रिक उपकरण की व्याख्या करता है सौर प्रणाली, और ग्रहों के प्रक्षेप पथ का वर्णन करने वाले केप्लर के नियम इससे प्राप्त किए जा सकते हैं। केप्लर के लिए, उनके कानून विशुद्ध रूप से वर्णनात्मक थे - वैज्ञानिक ने केवल गणितीय रूप में अपनी टिप्पणियों को सामान्यीकृत किया, बिना किसी सैद्धांतिक नींव को सूत्रों के तहत शामिल किया। न्यूटन के अनुसार विश्व व्यवस्था की महान प्रणाली में, केप्लर के नियम यांत्रिकी के सार्वभौमिक नियमों और सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम का प्रत्यक्ष परिणाम बन जाते हैं। यही है, हम फिर से देखते हैं कि दुनिया के बारे में हमारे ज्ञान को गहरा करने के अगले चरण में जाने पर एक स्तर पर प्राप्त अनुभवजन्य निष्कर्ष सख्ती से प्रमाणित तार्किक निष्कर्ष में कैसे बदल जाते हैं।

न्यूटन ने सबसे पहले सुझाव दिया था कि गुरुत्वाकर्षण बल न केवल सौर मंडल के ग्रहों की गति को निर्धारित करते हैं; वे ब्रह्मांड के किसी भी पिंड के बीच कार्य करते हैं। सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण बल की अभिव्यक्तियों में से एक गुरुत्वाकर्षण बल है - इस तरह से इसकी सतह के पास पृथ्वी पर पिंडों के आकर्षण बल को कॉल करने की प्रथा है।

यदि M पृथ्वी का द्रव्यमान है, RЗ इसकी त्रिज्या है, m दिए गए पिंड का द्रव्यमान है, तो गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर है

जहाँ g पृथ्वी की सतह पर मुक्त रूप से गिरने का त्वरण है

गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। अन्य बलों की अनुपस्थिति में, पिंड मुक्त रूप से गिरने वाले त्वरण के साथ पृथ्वी पर स्वतंत्र रूप से गिरता है।

पृथ्वी की सतह पर विभिन्न बिंदुओं के लिए गुरुत्वीय त्वरण का औसत मान 9.81 m/s2 है। मुक्त पतन के त्वरण और पृथ्वी की त्रिज्या (RЗ = 6.38 106 m) को जानकर, हम पृथ्वी के द्रव्यमान की गणना कर सकते हैं

सौर मंडल की संरचना की तस्वीर, जो इन समीकरणों का अनुसरण करती है और स्थलीय और आकाशीय गुरुत्वाकर्षण को जोड़ती है, को एक सरल उदाहरण से समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हम एक तोप और तोप के गोले की पहाड़ी के बगल में एक सरासर चट्टान के किनारे पर खड़े हैं। यदि आप बस कोर को चट्टान के किनारे से लंबवत रूप से गिराते हैं, तो यह लंबवत और समान त्वरण के साथ नीचे गिरना शुरू हो जाएगा। इसकी गति को त्वरण g वाले पिंड की समान रूप से त्वरित गति के लिए न्यूटन के नियमों द्वारा वर्णित किया जाएगा। यदि आप अब क्षितिज की दिशा में तोप से कोर छोड़ते हैं, तो यह उड़ जाएगा - और एक चाप में गिर जाएगा। और इस मामले में, इसके आंदोलन को न्यूटन के नियमों द्वारा वर्णित किया जाएगा, केवल अब वे गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में चलने वाले शरीर पर लागू होते हैं और क्षैतिज विमान में एक निश्चित प्रारंभिक गति रखते हैं। अब, जब आप बार-बार एक भारी तोप के गोले को तोप में लोड करते हैं और उसे आग लगाते हैं, तो आप पाएंगे कि जैसे ही प्रत्येक क्रमिक तोप का गोला उच्च प्रारंभिक वेग से बैरल को छोड़ता है, तोप के गोले चट्टान के पैर से दूर और दूर गिरते हैं।

अब आइए कल्पना करें कि हमने तोप में इतना बारूद भर दिया कि तोप के गोले की गति दुनिया भर में उड़ने के लिए पर्याप्त है। हवा के प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए, तोप का गोला, पृथ्वी के चारों ओर उड़कर, अपने शुरुआती बिंदु पर ठीक उसी गति से लौटेगा, जिस गति से उसने शुरू में तोप से उड़ान भरी थी। आगे क्या होगा स्पष्ट है: कोर वहाँ नहीं रुकेगा और ग्रह के चारों ओर चक्कर लगाता रहेगा।

दूसरे शब्दों में, हमें एक प्राकृतिक उपग्रह - चंद्रमा की तरह, पृथ्वी की परिक्रमा करने वाला एक कृत्रिम उपग्रह मिलेगा।

इसलिए, कदम दर कदम, हम गुरुत्वाकर्षण प्रभाव की प्रकृति को बदले बिना, कक्षा में एक उपग्रह (चंद्रमा) की गति का वर्णन करने के लिए पूरी तरह से "पृथ्वी" गुरुत्वाकर्षण (न्यूटोनियन सेब) के प्रभाव में गिरने वाले शरीर की गति का वर्णन करने से चले गए। "सांसारिक" से "स्वर्गीय" तक। यह वह अंतर्दृष्टि थी जिसने न्यूटन को गुरुत्वाकर्षण आकर्षण की दो ताकतों को एक साथ जोड़ने की अनुमति दी, जिन्हें उनके सामने प्रकृति में भिन्न माना जाता था।

पृथ्वी की सतह से दूर जाने पर, गुरुत्वाकर्षण बल और मुक्त गिरने का त्वरण पृथ्वी के केंद्र की दूरी r के वर्ग के विपरीत बदल जाता है। दो परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों की एक प्रणाली का एक उदाहरण पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली है। चंद्रमा पृथ्वी से rL = 3.84 106 m की दूरी पर स्थित है। यह दूरी पृथ्वी RЗ की त्रिज्या से लगभग 60 गुना अधिक है। नतीजतन, चंद्रमा की कक्षा में पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण मुक्त गिरावट aL का त्वरण है

पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित इस तरह के त्वरण के साथ, चंद्रमा एक कक्षा में चलता है। इसलिए, यह त्वरण अभिकेन्द्रीय त्वरण है। इसकी गणना अभिकेन्द्र त्वरण के लिए गतिज सूत्र से की जा सकती है

जहां टी = 27.3 दिन पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की क्रांति की अवधि है।

विभिन्न विधियों द्वारा किए गए गणनाओं के परिणामों का संयोग, चंद्रमा को कक्षा में रखने वाले बल की एकीकृत प्रकृति और गुरुत्वाकर्षण बल के बारे में न्यूटन की धारणा की पुष्टि करता है।

चंद्रमा का अपना गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र उसकी सतह पर मुक्त गिरावट त्वरण gL निर्धारित करता है। चंद्रमा का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान से 81 गुना कम है और इसकी त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से लगभग 3.7 गुना कम है।

इसलिए, त्वरण gL व्यंजक द्वारा निर्धारित किया जाता है

कृत्रिम पृथ्वी उपग्रहों के प्रश्न पर विचार करें। कृत्रिम पृथ्वी उपग्रह पृथ्वी के वायुमंडल से बाहर जाते हैं, और केवल पृथ्वी से गुरुत्वाकर्षण बल ही उन पर कार्य करते हैं।

प्रारंभिक गति के आधार पर, अंतरिक्ष पिंड का प्रक्षेपवक्र भिन्न हो सकता है। पृथ्वी की कक्षा के पास एक वृत्ताकार गतिमान कृत्रिम उपग्रह के मामले पर विचार करें। ऐसे उपग्रह 200-300 किमी के क्रम की ऊंचाई पर उड़ते हैं, और पृथ्वी के केंद्र की दूरी लगभग इसकी त्रिज्या R3 के बराबर मानी जा सकती है। तब गुरुत्वाकर्षण बलों द्वारा उपग्रह का अभिकेन्द्रीय त्वरण गुरुत्वाकर्षण त्वरण g के लगभग बराबर होता है। हम निकट-पृथ्वी की कक्षा में उपग्रह की गति को υ1 के रूप में निरूपित करते हैं - इस गति को प्रथम ब्रह्मांडीय गति कहा जाता है। अभिकेन्द्रीय त्वरण के लिए गतिज सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इस गति से चलते हुए, उपग्रह समय पर पृथ्वी का चक्कर लगाएगा

पृथ्वी से काफी दूरी पर वृत्ताकार प्रक्षेपवक्र के साथ चलने वाले उपग्रहों के लिए, पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण प्रक्षेपवक्र के त्रिज्या r के वर्ग के साथ विपरीत रूप से कमजोर होता है। इस प्रकार, उच्च कक्षाओं में, उपग्रहों की गति की गति निकट-पृथ्वी की कक्षा की तुलना में कम होती है।

एक उपग्रह की कक्षीय अवधि बढ़ती कक्षीय त्रिज्या के साथ बढ़ती है। यह गणना करना आसान है कि कक्षा त्रिज्या r लगभग 6.6 R3 के बराबर है, उपग्रह की क्रांति की अवधि 24 घंटे के बराबर होगी। भूमध्य रेखा के तल में प्रक्षेपित क्रांति की ऐसी अवधि वाला उपग्रह, पृथ्वी की सतह पर एक निश्चित बिंदु पर गतिहीन होगा। ऐसे उपग्रहों का उपयोग अंतरिक्ष रेडियो संचार प्रणालियों में किया जाता है। त्रिज्या r = 6.6 R3 वाली कक्षा को भूस्थिर कहा जाता है।

दूसरी ब्रह्मांडीय गति न्यूनतम गति है जिसे पृथ्वी की सतह के पास अंतरिक्ष यान को सूचित किया जाना चाहिए, ताकि पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण पर काबू पाने के बाद, यह सूर्य (कृत्रिम ग्रह) के कृत्रिम उपग्रह में बदल जाए। इस मामले में, जहाज एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र के साथ पृथ्वी से दूर चला जाएगा।

चित्र 5 अंतरिक्ष वेगों को दर्शाता है। यदि गति अंतरिक्ष यानυ1 = 7.9 103 मीटर/सेकेंड के बराबर है और पृथ्वी की सतह के समानांतर निर्देशित है, तो जहाज पृथ्वी से कम ऊंचाई पर एक गोलाकार कक्षा में चलेगा। प्रारंभिक वेग υ1 से अधिक लेकिन υ2 = 11.2 103 m/s से कम होने पर, जहाज की कक्षा अण्डाकार होगी। υ2 की प्रारंभिक गति पर, जहाज एक परवलय के साथ आगे बढ़ेगा, और एक उच्च प्रारंभिक गति पर, एक अतिपरवलय के साथ।

चित्र 5 - ब्रह्मांडीय गति

पृथ्वी की सतह के पास वेग इंगित किए गए हैं: 1) υ = υ1 - वृत्ताकार प्रक्षेपवक्र;

2) 1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र है; 5) > υ2 एक अतिपरवलयिक प्रक्षेपवक्र है;

6) चंद्रमा का प्रक्षेपवक्र

इस प्रकार, हमने पाया कि सौर मंडल में सभी गतियां न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम का पालन करती हैं।

ग्रहों के छोटे द्रव्यमान और, इसके अलावा, सौर मंडल के अन्य निकायों के आधार पर, हम लगभग यह मान सकते हैं कि निकट-सौर अंतरिक्ष में गति केप्लर के नियमों का पालन करती है।

सभी पिंड सूर्य के चारों ओर अण्डाकार कक्षाओं में घूमते हैं, जिनमें से एक केंद्र में सूर्य है। एक खगोलीय पिंड सूर्य के जितना करीब होता है, उसकी कक्षीय गति उतनी ही तेज होती है (प्लूटो ग्रह, सबसे दूर ज्ञात, पृथ्वी की तुलना में 6 गुना धीमी गति से चलता है)।

पिंड खुली कक्षाओं में भी घूम सकते हैं: परवलय या अतिपरवलय। यह तब होता है जब शरीर की गति केंद्रीय प्रकाश से एक निश्चित दूरी पर सूर्य के लिए दूसरे ब्रह्मांडीय वेग के मान के बराबर या उससे अधिक हो। अगर हम ग्रह के एक उपग्रह के बारे में बात कर रहे हैं, तो ब्रह्मांडीय वेग की गणना ग्रह के द्रव्यमान और उसके केंद्र की दूरी के सापेक्ष की जानी चाहिए।