Matematinė analizė.

Seminaras.

Universiteto studentams pagal specialybę:

„Valstybės ir savivaldybių administracija“

T.Z. Pavlova

Kolpashevo 2008 m

1 skyrius Įvadas į analizę

1.1 Funkcijos. Bendrosios savybės

1.2 Ribų teorija

1.3 Funkcijos tęstinumas

2.1 Išvestinės priemonės apibrėžimas

2.4 Funkcijų tyrinėjimas

2.4.1 Pilnų funkcijų studijų planas

2.4.2 Funkcijų tyrimo pavyzdžiai

2.4.3. Didžiausia ir mažiausia segmento funkcijos reikšmė

2.5 L'Hospital taisyklė

3.1 Neapibrėžtas integralas

3.1.1 Apibrėžimai ir savybės

3.1.2 Integralų lentelė

3.1.3 Pagrindiniai integravimo metodai

3.2 Apibrėžtinis integralas

3.2.2 Apibrėžtinio integralo skaičiavimo metodai

4 skyrius

4.1 Pagrindinės sąvokos

4.2 Kelių kintamųjų funkcijų ribos ir tęstinumas

4.3.3 Bendras skirtumas ir jo taikymas apytiksliems skaičiavimams

5 skyrius

6.1 Naudingumo funkcija.

6.2 Abejingumo linijos

6.3 Biudžeto rinkinys

Namų darbų užduotys

1.1 Funkcijos. Bendrosios savybės

Skaitinė funkcija apibrėžiama realiųjų skaičių D aibėje, jei kiekviena kintamojo reikšmė yra susieta su kokia nors tiksliai apibrėžta realia kintamojo y reikšme, kur D yra funkcijos sritis.

Analitinis funkcijos vaizdavimas:

aiškiai: ;

netiesiogiai: ;

parametrine forma:

skirtingos formulės apibrėžimo srityje:

Savybės.

Lygi funkcija: . Pavyzdžiui, funkcija yra lygi, nes .

Nelyginė funkcija: . Pavyzdžiui, funkcija yra nelyginė, nes .

Periodinė funkcija: , kur T yra funkcijos periodas, . Pavyzdžiui, trigonometrinės funkcijos.

monotoniška funkcija. Jei kuriai nors iš apibrėžimo srities - funkcija didėja, - mažėja. Pavyzdžiui, - didėja ir - mažėja.

Ribota funkcija. Jei yra toks skaičius M, kad . Pavyzdžiui, funkcijos ir , nes .

1 pavyzdys. Raskite funkcijų sritį.

+ 2 – 3 +

1.2 Ribų teorija

1 apibrėžimas. Funkcijos at riba yra skaičius b, jei bet kuriam ( yra savavališkai mažas teigiamas skaičius) galima rasti tokią argumento reikšmę, nuo kurios įvykdoma nelygybė.

Pavadinimas: .

2 apibrėžimas. Funkcijos at riba yra skaičius b, jei bet kuriam (- savavališkai mažam teigiamam skaičiui) yra toks teigiamas skaičius, kad visoms x reikšmėms, tenkinančioms nelygybę, nelygybė yra teisinga.

Pavadinimas: .

3 apibrėžimas. Funkcija vadinama be galo maža už arba , jei arba .

Savybės.

1. Baigtinio skaičiaus be galo mažų dydžių algebrinė suma yra be galo mažas dydis.

2. Be galo mažo dydžio ir apribotos funkcijos sandauga (konstanta, kitas begalinis dydis) yra be galo mažas dydis.

3. Be galo mažo dydžio dalijimosi iš funkcijos, kurios riba skiriasi nuo nulio, koeficientas yra be galo mažas dydis.

4 apibrėžimas. Funkcija vadinama be galo didele, jei .

Savybės.

1. Be galo didelio kiekio sandauga iš funkcijos, kurios riba skiriasi nuo nulio, yra be galo didelis dydis.

2. Be galo didelio kiekio ir apribotos funkcijos suma yra be galo didelis dydis.

3. Be galo didelio kiekio dalijimo iš funkcijos, kuri turi ribą, koeficientas yra be galo didelis dydis.

Teorema.(Ryšys tarp be galo mažos reikšmės ir be galo didelės reikšmės.) Jei funkcija yra be galo maža ties (), tai funkcija yra be galo didelė reikšmė ties (). Ir atvirkščiai, jei funkcija yra be galo didelė ties (), tada funkcija yra be galo maža ().

Ribinės teoremos.

1. Funkcija negali turėti daugiau nei vienos ribos.

2. Kelių funkcijų algebrinės sumos riba lygi šių funkcijų ribų algebrinei sumai:

3. Kelių funkcijų sandaugos riba lygi šių funkcijų ribų sandaugai:

4. Laipsnio riba lygi ribos laipsniui:

5. Dalinio riba lygi ribų daliniui, jei yra daliklio riba:

.

6. Pirmoji nepaprasta riba.

Pasekmės:

7. Antra reikšminga riba:

Pasekmės:

Lygiaverčiai be galo maži dydžiai:

Ribų skaičiavimas.

Skaičiuojant ribas, naudojamos pagrindinės teoremos apie ribas, tęstinių funkcijų savybes ir iš šių teoremų bei savybių išplaukiančios taisyklės.

1 taisyklė Norint rasti ribą funkcijos taške, kuris yra tęstinis šiame taške, vietoj argumento x į funkciją po ribos ženklu reikia pakeisti jos ribinę reikšmę.

2 pavyzdys. Rasti

2 taisyklė Jeigu, randant trupmenos ribą, vardiklio riba lygi nuliui, o skaitiklio riba yra ne nulis, tai tokios funkcijos riba lygi .

3 pavyzdys. Rasti

3 taisyklė Jeigu, randant trupmenos ribą, vardiklio riba lygi, o skaitiklio riba yra ne nulis, tai tokios funkcijos riba lygi nuliui.

4 pavyzdys Rasti

Dažnai argumento ribinės vertės pakeitimas sukelia neapibrėžtas formos išraiškas

.

Funkcijos ribos nustatymas šiais atvejais vadinamas neapibrėžtumo atskleidimu. Norint atskleisti neapibrėžtumą, prieš einant iki ribos, būtina atlikti šios išraiškos transformaciją. Neaiškumui atskleisti naudojami įvairūs metodai.

4 taisyklė. Formos neapibrėžtumas atskleidžiamas transformuojant sublimito funkciją taip, kad skaitiklyje ir vardiklyje pasirenkamas koeficientas, kurio riba lygi nuliui, ir, juo sumažinus trupmeną, randama dalinio ribą. Norėdami tai padaryti, skaitiklis ir vardiklis yra koeficientai arba dauginami iš išraiškų, susietų su skaitikliu ir vardikliu.

5 taisyklė Jei sublimito išraiškoje yra trigonometrinių funkcijų, tada pirmoji žymi riba naudojama formos neapibrėžtumui atskleisti.

.

6 taisyklė. Norint atskleisti formos neapibrėžtumą, sublimitinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš didžiausio argumento laipsnio ir tada reikia rasti koeficiento ribą.

Galimi rezultatai:

1) norima riba lygi koeficientų santykiui su skaitiklio ir vardiklio argumento didžiausiais laipsniais, jei šios laipsniai yra vienodi;

2) riba lygi begalybei, jei skaitiklio argumento laipsnis didesnis už vardiklio argumento laipsnį;

3) riba lygi nuliui, jei skaitiklio argumento laipsnis yra mažesnis už vardiklio argumento laipsnį.

a)

nes

Laipsniai yra lygūs, vadinasi, riba lygi koeficientų santykiui esant aukštesniems laipsniams, t.y. .

b)

Skaitiklio laipsnis, vardiklis yra 1, tai reiškia, kad riba lygi

v)

Skaitiklio laipsnis yra 1, vardiklis yra , taigi riba yra 0.

7 taisyklė. Norint atskleisti formos neapibrėžtumą, sublimitinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis turi būti padauginti iš konjuguotos išraiškos.

10 pavyzdys

8 taisyklė. Norint atskleisti rūšies neapibrėžtumą, naudojama antroji žymi riba ir jos pasekmės.

Tai galima įrodyti

11 pavyzdys.

12 pavyzdys.

13 pavyzdys

9 taisyklė. Atskleidžiant neapibrėžtumus, kurių sublimitavimo funkcijoje yra b.m.v., būtina pakeisti šių b.m. ribas. iki b.m ribos, lygiavertės joms.

14 pavyzdys

15 pavyzdys

10 taisyklė L'Hospital taisyklė (žr. 2.6).

1.3 Funkcijos tęstinumas

Funkcija yra ištisinė taške, jei funkcijos riba, kai argumentas yra linkęs į a, egzistuoja ir yra lygi funkcijos reikšmei šiame taške.

Lygiavertės sąlygos:

1. ;

3.

Lūžio taškų klasifikacija:

pirmosios rūšies plyšimas

Nuimamas – vienpusės ribos egzistuoja ir yra lygios;

Fatalinis (šuolis) – vienpusės ribos nėra lygios;

antrojo tipo nenutrūkstamumas: funkcijos riba taške neegzistuoja.

16 pavyzdys. Nustatykite funkcijos nenutrūkstamumo pobūdį taške arba įrodykite funkcijos tęstinumą šiame taške.

, funkcija neapibrėžta, todėl šiuo metu ji nėra ištisinė. Nes ir atitinkamai, , tada yra pirmosios rūšies nepertraukiamumo taškas.

b)

lyginant su užduotimi (a), funkcija išplečiama taške taip, kad , taigi duotoji funkcija duotame taške yra ištisinė.

Kai funkcija neapibrėžta;

.

Nes viena iš vienpusių ribų yra begalinė, tada yra antrojo tipo nutrūkimo taškas.

2 skyrius

2.1 Išvestinės priemonės apibrėžimas

Išvestinė apibrėžimas

Nurodytos funkcijos išvestinė arba išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir atitinkamo argumento prieaugio santykio riba, kai argumento prieaugis linkęs į nulį:

Arba .

Mechaninė išvestinės reikšmė yra funkcijos kitimo greitis. Išvestinės geometrinė reikšmė yra funkcijos grafiko liestinės nuolydžio liestinė:

2.2 Pagrindinės diferenciacijos taisyklės

vardas	Funkcija	Darinys
Padauginimas iš pastovaus koeficiento
Dviejų funkcijų algebrinė suma
Dviejų funkcijų produktas
Dviejų funkcijų koeficientas
Sudėtinga funkcija

Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestiniai

Nr. p / p	Funkcijos pavadinimas	Funkcija ir jos išvestinė
1	pastovus
2	galios funkcija ypatingi atvejai
3	eksponentinė funkcija ypatinga byla
4	logaritminė funkcija ypatinga byla
5	trigonometrinės funkcijos
6	atvirkščiai trigonometrinis

b)

2.3 Aukštesnės eilės išvestinės finansinės priemonės

Antros eilės funkcijos išvestinė

Antros eilės funkcijos išvestinė:

18 pavyzdys.

a) Raskite funkcijos antros eilės išvestinę .

Sprendimas. Pirmiausia suraskime pirmosios eilės išvestinę .

Iš pirmosios eilės išvestinės vėl imame išvestinę.

19 pavyzdys. Raskite funkcijos trečiosios eilės išvestinę.

2.4 Funkcijų tyrinėjimas

2.4.1 Pilnų funkcijų studijų planas:

Visas funkcijų studijų planas:

1. Elementarus tyrimas:

Raskite apibrėžimo sritį ir reikšmių diapazoną;

Išsiaiškinti bendrąsias savybes: lyginis (nelyginis), periodiškumas;

Raskite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis;

Nustatykite pastovumo sritis.

2. Asimptotės:

Rasti vertikalius asimptotus, jei ;

Raskite pasvirusius asimptotus: .

Jei bet koks skaičius, tai yra horizontalios asimptotės.

3. Tyrimas naudojant:

Raskite kritinius taškus, tuos. taškai, kuriuose nėra arba nėra;

Nustatykite didėjimo intervalus, tuos. intervalai, kuriais ir funkcijos sumažėjimas - ;

Nustatykite kraštutinius taškus: taškai, per kuriuos einant ženklas pasikeičia iš „+“ į „-“, yra didžiausi taškai, nuo „-“ iki „+“ – minimumas.

4. Tyrimas naudojant:

Rasti taškus, kurių nėra arba nėra;

Raskite išgaubimo sritis, t.y. tarpai, ant kurių ir įdubimai -;

Raskite vingio taškus, t.y. taškai ties perėjimu, per kurį keičiasi ženklas.

1. Atskiri tyrimo elementai grafike brėžiami palaipsniui, juos surandant.

2. Jei kyla sunkumų sudarant funkcijos grafiką, tai funkcijos reikšmės randamos kai kuriuose papildomuose taškuose.

3. Tyrimo tikslas – apibūdinti funkcijos elgsenos pobūdį. Todėl statomas ne tikslus grafikas, o jo aproksimacija, kurioje aiškiai pažymėti rasti elementai (ekstremumai, vingio taškai, asimptotės ir kt.).

4. Nebūtina griežtai laikytis aukščiau pateikto plano; svarbu nepraleisti būdingų funkcijos elgsenos elementų.

2.4.2 Funkcijų tyrimo pavyzdžiai:

1)

2) Funkcija nelyginė:

.

3) Asimptotės.

yra vertikalūs asimptotai, nes

Įstrižas asimptotas .

5)

- Vingio taškas.

2) Funkcija nelyginė:

3) Asimptotės: vertikalių asimptočių nėra.

Pasviręs:

yra įstrižai asimptotai

4) - funkcija didėja.

- Vingio taškas.

Šios funkcijos schema:

2) Bendroji funkcija

3) Asimptotės

- nėra įstrižų asimptotų

yra horizontalioji asimptotė ties

- Vingio taškas

Šios funkcijos schema:

2) Asimptotės.

yra vertikali asimptotė, nes

- nėra įstrižų asimptotų

, yra horizontalioji asimptotė

Šios funkcijos schema:

2) Asimptotės

yra vertikali asimptotė ties , nes

- nėra įstrižų asimptotų

, yra horizontalioji asimptotė

3) – funkcija mažėja kiekviename intervale.

Šios funkcijos schema:

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią segmento funkcijos reikšmę, galite naudoti schemą:

1. Raskite funkcijos išvestinę.

2. Raskite funkcijos, kuri neegzistuoja arba neegzistuoja, kritinius taškus.

3. Raskite funkcijos reikšmę duotam atkarpai priklausančiuose kritiniuose taškuose ir jo galuose ir pasirinkite didžiausią bei mažiausią iš jų.

Pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmę duotame segmente.

25. tarp

2) - kritiniai taškai

26. tarpais.

Išvestinė neegzistuoja, bet 1 nepriklauso šiam intervalui. Funkcija mažėja intervale , o tai reiškia, kad nėra maksimalios vertės, o yra mažiausia.

2.5 L'Hospital taisyklė

Teorema. Dviejų be galo mažų ar be galo didelių funkcijų santykio riba lygi jų išvestinių (baigtinių arba begalinių) santykio ribai, jeigu pastaroji nurodyta prasme egzistuoja.

Tie. atskleisdami tipo neapibrėžtumus arba galite naudoti formulę:

.

27.

3 skyrius. Integralinis skaičiavimas

3.1 Neapibrėžtas integralas

3.1.1 Apibrėžimai ir savybės

Apibrėžimas 1. Funkcija vadinama antiderivatine, jei .

Apibrėžimas 2. Funkcijos f(x) neapibrėžtasis integralas yra visų šios funkcijos antidarinių aibė.

Pavadinimas: , kur c yra savavališka konstanta.

Neapibrėžtinio integralo savybės

1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė:

2. Neapibrėžto integralo diferencialas:

3. Neapibrėžtas diferencialo integralas:

4. Dviejų funkcijų sumos (skirtumo) neapibrėžtasis integralas:

5. Konstantinio koeficiento išėmimas iš neapibrėžtinio integralo ženklo:

3.1.2 Integralų lentelė

.1.3 Pagrindiniai integravimo metodai

1. Naudojant neapibrėžtinio integralo savybes.

29 pavyzdys.

2. Atvedimas po diferencialo ženklu.

30 pavyzdys.

3. Kintamasis pakeitimo būdas:

a) pakeitimas integralu

kur - funkcija, kurią lengviau integruoti nei originalią; - funkcija, atvirkštinė funkcija ; - funkcijos antidarinys .

31 pavyzdys.

b) pakeitimas formos integralu:

32 pavyzdys.

33 pavyzdys.

4. Integravimas dalimis metodu:

34 pavyzdys.

35 pavyzdys.

Atskirai paimkite integralą

Grįžkime prie mūsų integralo:

3.2 Apibrėžtinis integralas

3.2.1 Apibrėžtinio integralo sąvoka ir jo savybės

Apibrėžimas. Tegu tam tikrame intervale duota tolydi funkcija. Suplanuokime.

Figūra, kurią iš viršaus riboja kreivė, iš kairės ir dešinės – tiesios linijos, o iš apačios – abscisių ašies atkarpa tarp taškų a ir b, vadinama kreivine trapecija.

S – plotas – kreivinė trapecija.

Padalinkite intervalą taškais ir gaukite:

Integrali suma:

Apibrėžimas. Apibrėžiamasis integralas yra integralo sumos riba.

Apibrėžto integralo savybės:

1. Iš integralo ženklo galima išimti pastovų koeficientą:

2. Dviejų funkcijų algebrinės sumos integralas yra lygus šių funkcijų integralų algebrinei sumai:

3. Jei integralų atkarpa padalinta į dalis, tai integralas visame atkarpoje lygus integralų sumai kiekvienai iš atsiradusių dalių, t.y. bet kuriam a, b, c:

4. Jei segmente , tada ir

5. Integracijos ribos gali būti keičiamos, o integralo ženklas keičiasi:

6.

7. Integralas taške lygus 0:

8.

9. ("apie vidurkį") Tegul y = f(x) yra funkcija, integruojama į . Tada , kur , f(c) yra vidutinė f(x) reikšmė:

10. Niutono-Leibnizo formulė

,

kur F(x) yra f(x) antidarinys.

3.2.2 Apibrėžtinio integralo skaičiavimo metodai.

1. Tiesioginė integracija

35 pavyzdys.

a)

b)

v)

e)

2. Kintamųjų kaita po apibrėžtojo integralo ženklu .

36 pavyzdys.

2. Integravimas dalimis į apibrėžtąjį integralą .

37 pavyzdys.

a)

b)

e)

3.2.3 Apibrėžtinio integralo taikymai

Charakteristika	Funkcijos tipas	Formulė
	Dekarto koordinatėmis
kreivinio sektoriaus plotas	poliarinėse koordinatėse
lenktos trapecijos plotas	parametrine forma
arkos ilgis	Dekarto koordinatėmis
arkos ilgis	poliarinėse koordinatėse
arkos ilgis	parametrine forma
kūno apimtis sukimasis	Dekarto koordinatėmis
kūno tūris su tam tikra skersine skyrius

38 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą: ir .

Sprendimas: Raskite šių funkcijų grafikų susikirtimo taškus. Norėdami tai padaryti, sulyginame funkcijas ir išsprendžiame lygtį

Taigi, susikirtimo taškai ir .

Raskite figūros plotą naudodami formulę

.

Mūsų atveju

Atsakymas: plotas yra (kvadratiniais vienetais).

4.1 Pagrindinės sąvokos

Apibrėžimas. Jei kiekvienai nepriklausomų skaičių porai iš tam tikros aibės pagal kokią nors taisyklę priskiriama viena ar daugiau kintamojo z reikšmių, tada kintamasis z vadinamas dviejų kintamųjų funkcija.

Apibrėžimas. Funkcijos z sritis yra porų, kurioms egzistuoja funkcija z, rinkinys.

Dviejų kintamųjų funkcijos sritis yra tam tikra taškų rinkinys koordinačių plokštumoje Oxy. Z koordinatė vadinama aplikacija, o tada pati funkcija vaizduojama kaip koks nors paviršius erdvėje E 3 . Pavyzdžiui:

39 pavyzdys. Raskite funkcijos apimtį.

a)

Išraiška dešinėje turi prasmę tik tada, kai . Tai reiškia, kad šios funkcijos sritis yra visų taškų, esančių apskritimo, kurio spindulys R, ribose, kurio centras yra pradinis taškas, viduje ir ant ribos.

Šios funkcijos sritis yra visi plokštumos taškai, išskyrus tiesių taškus, t.y. koordinačių ašys.

Apibrėžimas. Funkcijų lygio linijos yra kreivių šeima koordinačių plokštumoje, aprašyta formos lygtimis.

40 pavyzdys Raskite objekto lygio linijas .

Sprendimas. Nurodytos funkcijos lygio linijos yra kreivių šeima plokštumoje, aprašyta lygtimi

Paskutinė lygtis apibūdina apskritimų šeimą, kurios centras yra taške О 1 (1, 1), kurio spindulys yra . Šia funkcija aprašytas apsisukimo paviršius (paraboloidas) tampa „statesnis“, toldamas nuo ašies, o tai duodama lygtimis x = 1, y = 1. (4 pav.)

4.2 Kelių kintamųjų funkcijų ribos ir tęstinumas.

1. Ribos.

Apibrėžimas. Skaičius A vadinamas funkcijos riba, nes taškas linksta į tašką, jei kiekvienam savavališkai mažam skaičiui yra toks skaičius, kad sąlyga yra teisinga bet kuriame taške, sąlyga taip pat yra teisinga . Užsirašyti: .

41 pavyzdys. Raskite ribas:

tie. riba priklauso nuo , o tai reiškia, kad jos nėra.

2. Tęstinumas.

Apibrėžimas. Tegul taškas priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai. Tada funkcija vadinama tęstine taške if

(1)

o taškas savavališkai linksta į tašką.

Jei sąlyga (1) netenkinama bet kuriame taške, tada šis taškas vadinamas funkcijos lūžio tašku. Tai gali būti šiais atvejais:

1) Funkcija taške neapibrėžta.

2) Nėra jokių apribojimų.

3) Ši riba egzistuoja, bet ji nėra lygi .

42 pavyzdys. Nustatykite, ar duotoji funkcija yra ištisinė taške, jei .

Supratau taigi ši funkcija yra nuolatinė taške .

riba priklauso nuo k, t.y. šiuo metu jos neegzistuoja, o tai reiškia, kad funkcija šiuo metu turi pertrūkį.

4.3 Kelių kintamųjų funkcijų išvestinės ir diferencialai

4.3.1 Pirmosios eilės dalinės išvestinės

Dalinė funkcijos išvestinė argumento x atžvilgiu yra įprastinė vieno kintamojo x funkcijos išvestinė fiksuotai kintamojo y vertei ir žymima:

Dalinė funkcijos išvestinė argumento y atžvilgiu yra įprastinė vieno kintamojo y funkcijos išvestinė fiksuotai kintamojo x vertei ir žymima:

43 pavyzdys. Raskite funkcijų dalines išvestines.

4.3.2 Antrosios eilės dalinės išvestinės

Antros eilės dalinės išvestinės yra dalinės pirmosios eilės dalinių išvestinių išvestinės išvestinės priemonės. Dviejų formos kintamųjų funkcijai galimi keturi antros eilės dalinių išvestinių tipai:

Antrosios eilės dalinės išvestinės, kuriose diferencijavimas vykdomas skirtingų kintamųjų atžvilgiu, vadinamos mišriomis išvestinėmis. Du kartus diferencijuojamos funkcijos mišrios antros eilės išvestinės yra lygios.

44 pavyzdys. Raskite antros eilės dalines išvestines.

4.3.3 Bendras skirtumas ir jo taikymas apytiksliems skaičiavimams.

Apibrėžimas. Dviejų kintamųjų funkcijos pirmosios eilės skirtumas randamas pagal formulę

.

45 pavyzdys. Raskite bendrą funkcijos skirtumą.

Sprendimas. Raskime dalines išvestines:

.

Nedideliais argumentų x ir y žingsniais funkcija gauna prieaugį, maždaug lygų dz, t.y. .

Apytikslės funkcijos reikšmės taške radimo formulė, jei žinoma tiksli jos reikšmė taške:

46 pavyzdys Rasti .

Sprendimas. Leisti ,

Tada mes naudojame formulę

Atsakymas. .

47 pavyzdys. Apskaičiuokite apytikslę.

Sprendimas. Panagrinėkime funkciją. Mes turime

48 pavyzdys. Apskaičiuokite apytikslę.

Sprendimas. Apsvarstykite funkciją . Mes gauname:

Atsakymas. .

4.3.4 Numanomas funkcijų diferencijavimas

Apibrėžimas. Funkcija vadinama numanoma, jei ji pateikta lygtimi, kuri nėra išsprendžiama z atžvilgiu.

Tokios funkcijos dalinės išvestinės randamos pagal formules:

49 pavyzdys. Raskite lygties pateiktos funkcijos z dalines išvestines .

Sprendimas.

Apibrėžimas. Funkcija vadinama numanoma, jei ji pateikiama lygtimi, kuri nėra išsprendžiama y atžvilgiu.

Tokios funkcijos išvestinė randama pagal formulę:

.

50 pavyzdys. Raskite šių funkcijų išvestines.

5.1 Kelių kintamųjų funkcijos lokalus ekstremumas

Apibrėžimas 1. Funkcija turi maksimumą taške if

Apibrėžimas 2. Funkcija turi minimumą taške if visiems pakankamai arti taško ir skiriasi nuo jo taškams.

Būtina ekstremumo sąlyga. Jei funkcija pasiekia ekstremumą taške , tai dalinės funkcijos išvestinės išnyksta arba tame taške neegzistuoja.

Taškai, kuriuose daliniai dariniai išnyksta arba neegzistuoja, vadinami kritiniais.

Pakankamas ekstremumo požymis. Tegul funkcija yra apibrėžta kurioje nors kritinio taško kaimynystėje ir šiame taške turi ištisines antros eilės dalines išvestines

1) turi vietinį maksimumą taške, jei ir ;

2) turi vietinį minimumą taške, jei ir ;

3) neturi vietinio ekstremumo taške, jei ;

Dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumo tyrimo schema.

1. Raskite funkcijų : ir dalines išvestines.

2. Išspręskite lygčių sistemą ir raskite funkcijos kritinius taškus.

3. Raskite antros eilės dalinius išvestinius, apskaičiuokite jų reikšmes kritiniuose taškuose ir, esant pakankamai sąlygai, padarykite išvadą apie ekstremalių buvimą.

4. Raskite funkcijos kraštutinumą.

51 pavyzdys. Raskite funkcijos kraštutinumus .

1) Raskime dalines išvestines.

2) Išspręskite lygčių sistemą

4) Raskite antros eilės dalines išvestis ir jų reikšmes kritiniuose taškuose: . Tuo momentu gauname:

Tai reiškia, kad taške nėra ekstremumo. Tuo momentu gauname:

reiškia minimaliame taške.

5.2 Visuotinis ekstremumas (didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė)

Didžiausia ir mažiausia kelių kintamųjų funkcijos reikšmės, nuolatinės tam tikroje uždaroje aibėje, pasiekiamos ekstremaliuose taškuose arba aibės ribose.

Didžiausių ir mažiausių verčių radimo schema.

1) Raskite regiono viduje esančius kritinius taškus, apskaičiuokite funkcijos reikšmę šiuose taškuose.

2) Ištirti regiono ribos funkciją; jei riba susideda iš kelių skirtingų linijų, tai tyrimas turi būti atliekamas kiekvienai atkarpai atskirai.

3) Palyginkite gautas funkcijos reikšmes ir pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

52 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes stačiakampyje.

Sprendimas. 1) Raskite funkcijos kritinius taškus, tam randame dalines išvestines: , ir išspręskite lygčių sistemą:

Gavome kritinį tašką A. Gautas taškas yra nurodytoje srityje,

Regiono ribą sudaro keturi segmentai: i. raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę kiekviename segmente.

4) Palyginkime gautus rezultatus ir gaukime tai taškuose .

6 skyrius. Vartotojo pasirinkimo modelis

Darysime prielaidą, kad yra n skirtingų prekių. Tada tam tikra prekių rinkinys bus pažymėtas n-mačio vektoriumi , kur yra i-ojo produkto kiekis. Visų prekių aibių X aibė vadinama tarpu.

Individualaus vartotojo pasirinkimui būdingas pirmenybės santykis: manoma, kad vartotojas gali pasakyti apie bet kuriuos du rinkinius, kuris yra labiau pageidaujamas, arba nemato skirtumo tarp jų. Pirmenybės santykis yra pereinamasis: jei aibė teikiama pirmenybė prieš aibę, o aibė teikiama pirmenybę prieš aibę, tada aibė teikiama pirmenybė prieš aibę. Darysime prielaidą, kad vartotojų elgseną visiškai apibūdina individualaus vartotojo aksioma: kiekvienas individualus vartotojas, remdamasis savo pirmenybių sistema, priima sprendimą dėl vartojimo, pirkimų ir pan.

6.1 Naudingumo funkcija

Vartotojų paketų rinkinyje X funkcija , kurio vertė vartotojo rinkinyje yra lygi fizinio asmens vartotojo įvertinimui šiam rinkiniui. Funkcija vadinama vartotojo naudingumo funkcija arba vartotojo pirmenybės funkcija. Tie. kiekvienas vartotojas turi savo naudingumo funkciją. Bet visą vartotojų aibę galima suskirstyti į tam tikras vartotojų klases (pagal amžių, turtinę padėtį ir pan.) ir kiekvienai klasei priskirti kokią nors, galbūt, vidutinę naudingumo funkciją.

Taigi funkcija yra vartotojo įvertinimas arba asmens poreikių tenkinimo lygis įsigyjant šį rinkinį. Jei rinkinys yra geresnis nei tam tikro asmens rinkinys, tada .

Naudingumo funkcijos savybės.

1.

Pirmosios naudingumo funkcijos dalinės išvestinės yra vadinamos produktų ribiniais naudingumais. Iš šios savybės išplaukia, kad padidėjus vieno produkto suvartojimui su tuo pačiu kitų produktų vartojimu, didėja vartotojų vertinimas. Vektorius yra funkcijos gradientas, jis parodo didžiausio funkcijos augimo kryptį. Funkcijos gradientas yra ribinių produktų naudingumo vektorius.

2.

Tie. Bet kurios prekės ribinis naudingumas mažėja didėjant vartojimui.

3.

Tie. kiekvieno produkto ribinis naudingumas didėja didėjant kito produkto kiekiui.

Kai kurios naudingumo funkcijos.

1) Neoklasikinis: .

2) Kvadratas: , kur matrica yra neigiama apibrėžtoji ir dėl .

3) Logaritminė funkcija: .

6.2 Abejingumo linijos

Taikomose vartotojo pasirinkimo problemose ir modeliuose dažnai naudojamas specialus dviejų prekių rinkinio atvejis, t.y. kai naudingumo funkcija priklauso nuo dviejų kintamųjų. Abejingumo linija – tai linija, jungianti vartotojų rinkinius, turinčius vienodą individo poreikių patenkinimo lygį. Iš esmės abejingumo linijos yra funkcijos lygio linijos. Abejingumo linijų lygtys: .

Pagrindinės abejingumo linijų savybės.

1. Skirtingus poreikių tenkinimo lygius atitinkančios abejingumo linijos nesiliečia ir nesusikerta.

2. Abejingumo linijos mažėja.

3. Abejingumo linijos yra išgaubtos žemyn.

2 savybė reiškia svarbią apytikslę lygybę.

Šis santykis parodo, kiek individas turėtų padidinti (sumažinti) antrojo produkto suvartojimą, tuo pačiu sumažindamas (padidindamas) pirmojo produkto suvartojimą vienu vienetu, nekeičiant savo poreikių patenkinimo lygio. Santykis vadinamas pirmojo produkto pakeitimo antruoju greičiu, o reikšmė vadinama ribine pirmojo produkto pakeitimo antruoju norma.

53 pavyzdys Jei pirmosios prekės ribinis naudingumas yra 6, o antrosios yra 2, tai sumažėjus pirmosios prekės suvartojimui vienu vienetu, antrosios prekės suvartojimas tuo pačiu metu turi būti padidintas 3 vienetais. poreikių patenkinimo lygis.

6.3 Biudžeto rinkinys

Leisti yra n produktų aibės kainų vektorius; Aš – tai asmens pajamos, kurias jis nori išleisti produktų rinkiniui įsigyti. Prekių ryšulių, kainuojančių daugiausia I nurodytomis kainomis, aibė vadinama biudžeto rinkiniu B. Šiuo atveju rinkinių, kainuojančių I, aibė vadinama biudžeto aibės B riba G. Taigi. aibę B riboja riba G ir gamtiniai apribojimai.

Biudžeto rinkinys apibūdinamas nelygybių sistema:

Dviejų prekių aibės atveju biudžeto rinkinys B (1 pav.) yra trikampis koordinačių sistemoje, ribojamas koordinačių ašių ir tiesės .

6.4 Vartotojų paklausos teorija

Vartojimo teorijoje daroma prielaida, kad vartotojas visada siekia maksimaliai padidinti savo naudingumą ir vienintelis jo apribojimas yra ribotos pajamos I, kurias jis gali išleisti pirkdamas prekių rinkinį. Apskritai vartotojų pasirinkimo problema (racionalaus vartotojų elgesio rinkoje problema) formuluojama taip: rasti vartotojų rinkinį. , kuris maksimaliai padidina jo naudingumą atsižvelgiant į biudžeto apribojimą. Šios užduoties matematinis modelis:

Jei yra dviejų elementų rinkinys:

Geometriškai šios problemos sprendimas yra sąlyčio taškas tarp biudžeto aibės G ribos ir abejingumo linijos.

Šios problemos sprendimas redukuojamas iki lygčių sistemos sprendimo:

(1)

Šios sistemos sprendimas yra vartotojo pasirinkimo problemos sprendimas.

Vartotojo pasirinkimo problemos sprendimas vadinamas paklausos tašku. Šis paklausos taškas priklauso nuo kainų ir pajamų T.y. paklausos taškas yra paklausos funkcija. Savo ruožtu paklausos funkcija yra n funkcijų rinkinys, kurių kiekviena priklauso nuo argumento:

Šios funkcijos vadinamos atitinkamų prekių paklausos funkcijomis.

54 pavyzdys. Dviejų rinkoje esančių prekių rinkiniui, žinomoms jų kainoms ir I pajamoms, raskite paklausos funkcijas, jei naudingumo funkcija turi formą .

Sprendimas. Mes išskiriame naudingumo funkciją:

.

Gautas išraiškas pakeičiame į (1) ir gauname lygčių sistemą:

Tokiu atveju išlaidos kiekvienai prekei bus pusė vartotojo pajamų, o perkamos prekės suma lygi jai išleistai sumai, padalytai iš prekės kainos.

55 pavyzdys. Tegul naudingumo funkcija skirta pirmajam produktui , antrajam ,

pirmos prekės kaina, antrojo kaina. Pajamos . Kiek prekės turėtų įsigyti vartotojas, kad padidintų naudingumą?

Sprendimas. Raskite naudingumo funkcijų išvestinius, pakeiskite į sistemą (1) ir išspręskite:

Šis prekių rinkinys yra optimalus vartotojui naudingumo maksimizavimo požiūriu.

Kontrolinis darbas turi būti atliktas pagal variantą, pasirinktą paskutiniu apskaitos žurnalo numerio skaitmeniu atskirame sąsiuvinyje. Kiekviena problema turi turėti sąlygą, išsamų sprendimą ir išvadą.

1. Įvadas į skaičiavimus

Užduotis 1. Raskite funkcijos sritį.

5.

2 užduotis. Raskite funkcijų ribas.

.

3 užduotis. Raskite funkcijų lūžio taškus ir nustatykite jų tipą.

1. 2. 3.

2 skyrius

4 užduotis. Raskite šių funkcijų išvestinius.

1. a); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y \u003d x tg x + ln sin x + e 3x;

f) y \u003d 2 x - arcsin x.

2. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 - + 3; e) y = e cos ; f) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y = ; b) y \u003d (e 5 x - 1) 6; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; f) y \u003d 3 x - arcsin x.

5. a) y \u003d 2x 3 - + e x; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 cos ; f) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y \u003d x 7 + + 1; f) y = 2.

7. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 + xsinx +; e) y = e cos ; f) y = .

8. a) y = ; b) y \u003d (3 x - 4) 6; c) y = sintg;

d) y = 3x 4 - - 9+ 9; e) y = ;

e) y \u003d x 2 + arcsin x - x.

9. a); b) ; c) y = ; d) y \u003d 5 sin 3 x; e) y \u003d x 3 - - 6+ 3; f) y = 4x 4 + ln.

10. a) b) y = ; c) y = (3 x - 4) 6; d) y = ; e) y \u003d x 2 - x; f) y \u003d e sin 3 x + 2.

5 užduotis. Ištirkite funkciją ir sudarykite jos grafiką.

1. a) b) c).

2. a) b) v) .

3. a) b) v) .

4. b) v)

5. a) b) v) .

6. a) b) v) .

7. a) b) c).

8. a) b) c).

9. a) b) c).

10. a) b) v) .

6 užduotis. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę duotame intervale.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

3 skyrius. Integralinis skaičiavimas

7 užduotis. Raskite neapibrėžtuosius integralus.

1. a) b);

2. a) ;b) c) d).

4. G)

5. a) ; b); v) ; G).

6. a) ; b); v); G)

7. a) ; b) ; v) ; G)

8. a) ; b); v) ; G) .

9. a) ; b) c); G).

10. a) b) v) ; G) .

8 užduotis. Apskaičiuokite apibrėžtuosius integralus.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

9 uždavinys. Raskite netinkamus integralus arba įrodykite, kad jie skiriasi.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

10 uždavinys. Raskite kreivių apribotos srities plotą

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

4 skyrius. Kelių kintamųjų funkcijos diferencialinis skaičiavimas.

Užduotis 11. Raskite funkcijos sritį (parodyta brėžinyje).

12 uždavinys. Ištirkite funkcijos tęstinumą

13 užduotis. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę.

14 uždavinys. Apskaičiuokite apytikslę

1. a); b) ; v)

2. a) ; b) ; v) .

3. a) ; b) ; v) .

4. a) ; b) ; v) .

5. a); b) ; v) .

6. a); b) ; v) .

7. a); b) ; v) .

8. a) ;b) ; v)

9. a) ; b) ; v) .

10. a) ;b) ; v)

15 uždavinys. Ištirkite ekstremalių funkciją.

7. .

8. .

9. .

10. .

16 uždavinys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę duotoje uždaroje srityje.

1. stačiakampyje

2.

3. stačiakampyje

4. parabolės apribotoje srityje

Ir abscisė.

5. kvadratu

6. trikampyje, kurį riboja koordinačių ašys ir tiesė

7. trikampyje, kurį riboja koordinačių ašys ir tiesė

8. trikampyje, apribotame koordinačių ašių ir tiesės

9. parabolės apribotoje srityje

Ir abscisė.

10. parabolės apribotoje srityje

Ir abscisė.

Pagrindinis

1. M.S. Crassas, B.P. Chuprynovas. Matematikos pagrindai ir jos taikymas ekonominiame ugdyme: Vadovėlis. - 4-asis leidimas, ispanų kalba. – M.: Delo, 2003 m.

2. M.S. Crassas, B.P. Chuprynovas. Matematika ekonomikos specialybėms: Vadovėlis. - 4-asis leidimas, ispanų kalba. – M.: Delo, 2003 m.

3. M.S. Crassas, B.P. Chuprynovas. Matematika ekonomikos bakalaurui. Vadovėlis. - 4-asis leidimas, ispanų kalba. – M.: Delo, 2005 m.

4. Aukštoji matematika ekonomistams. Vadovėlis universitetams / N.Sh. Kremeris, B.A. Putko, I.M. Trišinas, M.N. Friedmanas; Red. prof. N.Sh. Kremer, – 2-asis leidimas, pataisytas. ir papildomas - M: UNITI, 2003 m.

5. Kremer N.Sh, Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N. Aukštoji matematika ekonomikos specialybėms. Vadovėlis ir praktikumas (I ir II dalys) / Red. prof. N.Sh. Kremer, – 2-asis leidimas, pataisytas. ir papildomas - M: Aukštasis išsilavinimas, 2007. - 893s. - (Mokslų pagrindai)

6. Danko P.E., Popovas A.G., Koževnikova T.Ya. Aukštoji matematika pratimuose ir užduotyse. M. vidurinę mokyklą. 1999 m.

Papildomas

1. I.I. Bavrinas, V.L. Jūreiviai. Aukštoji matematika. „Vlados humanitarinės leidybos centras“, 2002 m.

2. I.A. Zaicevas. Aukštoji matematika. „Vidurinė mokykla“, 1998 m.

3. A.S. Solodovnikovas, V.A. Babicevas, A.V. Brailovas, I.G. Šandra. Matematika ekonomikoje / iš dviejų dalių /. M. Finansai ir statistika. 1999 m.

Straipsnio turinys

MATEMATINĖ ANALIZĖ, matematikos šaka, teikianti įvairių kitimo procesų kiekybinio tyrimo metodus; nagrinėja kitimo greičio tyrimą (diferencialinis skaičiavimas) ir kreivių kontūrų ir paviršių apribotų figūrų kreivių ilgių, plotų ir tūrių nustatymą (integralinis skaičiavimas). Matematinės analizės uždaviniams būdinga, kad jų sprendimas siejamas su ribos samprata.

Matematinės analizės pradžią 1665 m. padėjo I. Niutonas ir (apie 1675 m.) savarankiškai G. Leibnicas, nors svarbius parengiamuosius darbus atliko I. Kepleris (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) ir I. Barrow (1630–1677).

Kad pristatymas būtų gyvesnis, pasitelksime grafikų kalbą. Todėl prieš skaitant šį straipsnį skaitytojui gali būti naudinga perskaityti straipsnį ANALITINĖ GEOMETRIJOS.

DIFERENCINIS SKAIČIUS

Tangentai.

Ant pav. 1 parodytas kreivės fragmentas y = 2x – x 2 uždarytas tarp x= –1 ir x= 3. Pakankamai maži šios kreivės segmentai atrodo tiesūs. Kitaip tariant, jei R yra savavališkas šios kreivės taškas, tada per šį tašką eina tam tikra linija, kuri yra kreivės apytikslė taško kaimynystėje R, ir kuo mažesnė kaimynystė, tuo geresnis apytikslis. Tokia linija vadinama kreivės liestine taške R. Pagrindinė diferencialinio skaičiavimo užduotis yra sukurti bendrą metodą, leidžiantį rasti liestinės kryptį bet kuriame kreivės taške, kuriame yra liestinė. Lengva įsivaizduoti kreivę su staigiu lūžiu (2 pav.). Jeigu R yra tokio lūžio viršūnė, tuomet galima nukonstruoti apytikslę tiesę PT 1 - taško dešinėje R ir kitą apytikslę eilutę RT 2 – taško kairėje R. Tačiau per tašką nėra vienos linijos R, kuris vienodai gerai priartėjo prie kreivės taško apylinkėse P tiek dešinėje, tiek kairėje, taigi ir liestinė taške P neegzistuoja.

Ant pav. 1 liestinė NUO nupieštas per kilmę O= (0,0). Šios tiesės nuolydis yra 2, t.y. abscisei pasikeitus 1, ordinatės padidėja 2. Jei x ir y yra savavališko taško koordinatės NUO, tada tolsta nuo O per atstumą X vienetų į dešinę, tolstame nuo O 2 dieną y vienetų aukštyn. Vadinasi, y/x= 2 arba y = 2x. Tai yra liestinės lygtis NUOį kreivę y = 2x – x 2 taške O.

Dabar reikia paaiškinti, kodėl, iš eilučių, einančių per tašką, rinkinio O, pasirenkama tiesi linija NUO. Kuo skiriasi tiesė, kurios nuolydis yra 2, ir kitos tiesės? Yra vienas paprastas atsakymas, ir mums sunku atsispirti pagundai pateikti jį naudojant apskritimo liestinės analogiją: liestinę. NUO turi tik vieną bendrą tašką su kreive, o bet kuri kita ne vertikali linija, einanti per tašką O, kerta kreivę du kartus. Tai galima patikrinti taip.

Nuo išraiškos y = 2x – x 2 galima gauti atėmus X 2 iš y = 2x(tiesioginės linijos lygtys NUO), tada vertės y grafikai yra mažiau žinių y tiesei visuose taškuose, išskyrus tašką x= 0. Todėl grafikas yra visur, išskyrus tašką O, esantis žemiau NUO, o ši linija ir grafikas turi tik vieną bendrą tašką. Be to, jei y = mx- kokios nors kitos tiesės, einančios per tašką, lygtis O, tada turi būti du susikirtimo taškai. tikrai, mx = 2x – x 2 ne tik x= 0, bet ir už x = 2 – m. Ir tik tada, kai m= 2 abu susikirtimo taškai sutampa. Ant pav. 3 parodytas atvejis, kai m mažiau nei 2, taigi į dešinę nuo O yra antras susikirtimo taškas.

Ką NUO yra vienintelė ne vertikali linija, einanti per tašką O ir turintis tik vieną bendrą tašką su grafiku, o tai nėra svarbiausia jo savybė. Iš tiesų, jei pažvelgsime į kitus grafikus, greitai paaiškės, kad mūsų pažymėtos liestinės savybė paprastai nėra patenkinama. Pavyzdžiui, iš fig. 4 matyti, kad šalia taško (1,1) yra kreivės brėžinys y = x 3 yra gerai apytikslė tiesia linija RT, kuris vis dėlto turi daugiau nei vieną bendrą dalyką. Tačiau norėtume apsvarstyti RTšio grafiko liestinė taške R. Todėl būtina rasti kitą būdą liestinei paryškinti nei ta, kuri mums taip pasitarnavo pirmame pavyzdyje.

Tarkime, kad per tašką O ir savavališkas taškas K = (h,k) kreivės grafike y = 2x – x 2 (5 pav.) nubrėžiama tiesi linija (vadinama sekantu). Kreivės lygtyje pakeičiant reikšmes x = h ir y = k, mes tai suprantame k = 2h – h 2 , todėl sekanto nuolydis lygus

Esant labai mažam h prasmė m artimas 2. Be to, pasirenkant h pakankamai arti 0, galime padaryti m savavališkai arti 2. Galime pasakyti, kad m"eina iki ribos" lygus 2 kai h linkęs į nulį arba kokia riba m lygus 2 kai h linkę į nulį. Simboliškai parašyta taip:

Tada grafiko liestinė taške O apibrėžiamas kaip tiesė, einanti per tašką O, kurio nuolydis lygus šiai ribai. Šis liestinės apibrėžimas taikomas bendruoju atveju.

Šio metodo privalumus parodysime dar vienu pavyzdžiu: rasime kreivės grafiko liestinės nuolydį y = 2x – x 2 savavališkame taške P = (x,y), neapsiribojant paprasčiausiu atveju, kai P = (0,0).

Leisti K = (x + h, y + k) yra antrasis diagramos taškas, esantis atstumu hį dešinę R(6 pav.). Būtina rasti nuolydžio koeficientą k/h sekantas PQ. Taškas K yra per atstumą

virš ašies X.

Išplėsdami skliaustus randame:

Atimant iš šios lygties y = 2x – x 2, raskite vertikalų atstumą nuo taško R iki taško K:

Todėl nuolydis m sekantas PQ lygus

Dabar kai h linkęs į nulį m linkęs į 2-2 x; imsime paskutinę liestinės nuolydžio reikšmę PT. (Tas pats rezultatas bus gautas, jei h ima neigiamas reikšmes, kurios atitinka taško pasirinkimą K kairėje nuo P.) Atkreipkite dėmesį, kad už x= 0 rezultatas yra toks pat kaip ir ankstesnis.

2 - 2 išraiška x vadinamas 2 išvestiniu x – x 2. Senovėje išvestinė dar buvo vadinama „diferencialiniu santykiu“ ir „diferencialiniu koeficientu“. Jei 2 išraiška x – x 2 paskirti f(x), t.y.

tada išvestinę galima žymėti

Norėdami sužinoti funkcijos grafiko liestinės nuolydį y = f(x) tam tikru momentu būtina jį pakeisti fў ( x) reikšmę, atitinkančią šį tašką X. Taigi nuolydis fў (0) = 2 už X = 0, fў (0) = 0 X= 1 ir f¢ (2) = –2 at X = 2.

Taip pat žymimas vedinys adresuў , dy/dx, D x y ir Daryk.

Faktas, kad kreivė y = 2x – x 2 šalia tam tikro taško praktiškai nesiskiria nuo jo liestinės šiame taške, leidžia kalbėti apie liestinės nuolydį kaip apie "kreivės nuolydį" sąlyčio taške. Taigi galime teigti, kad nagrinėjamos kreivės nuolydis taške (0,0) yra lygus 2. Taip pat galime pasakyti, kad kai x= 0 kitimo greitis y santykinai x lygus 2. Taške (2,0) liestinės (ir kreivės) nuolydis yra -2. (Minuso ženklas reiškia, kad kaip x kintamasis y mažėja.) Taške (1,1) liestinė yra horizontali. Mes sakome kreivę y = 2x – x 2 šiuo metu turi stacionarią vertę.

Aukštumos ir nuosmukiai.

Mes ką tik parodėme, kad kreivė f(x) = 2x – x 2 yra nejudantis taške (1,1). Nes fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), aišku, kad kada x, mažiau nei 1, fў ( x) yra teigiamas, todėl y dideja; adresu x, didelis 1, fў ( x) yra neigiamas, todėl y mažėja. Taigi, šalia taško (1,1), nurodyto Fig. 6 raidė M, prasmė adresu auga iki taško M, stacionarus taške M ir mažėja po taško M. Toks taškas vadinamas „maksimuliu“, nes reikšmė adresušiuo metu viršija bet kurią savo vertę pakankamai mažoje jo kaimynystėje. Panašiai „minimalus“ apibrėžiamas kaip taškas, aplink kurį yra visos reikšmės y viršija vertę adresušiuo metu. Taip pat gali atsitikti taip, kad nors išvestinė iš f(x) tam tikru momentu ir išnyksta, jo ženklas nesikeičia šio taško kaimynystėje. Toks taškas, kuris nėra nei maksimumas, nei minimumas, vadinamas vingio tašku.

Kaip pavyzdį suraskime stacionarų kreivės tašką

Šios funkcijos išvestinė yra

ir dingsta x = 0, X= 1 ir X= –1; tie. taškuose (0,0), (1, –2/15) ir (–1, 2/15). Jeigu X tada šiek tiek mažiau nei -1 fў ( x) yra neigiamas; jeigu X tada šiek tiek daugiau nei -1 fў ( x) yra teigiamas. Todėl taškas (–1, 2/15) yra maksimalus. Panašiai galima parodyti, kad taškas (1, -2/15) yra minimumas. Tačiau išvestinė fў ( x) yra neigiamas tiek prieš tašką (0,0), tiek po jo. Todėl (0,0) yra vingio taškas.

Tyrimas, atliktas dėl kreivės formos, taip pat tai, kad kreivė kerta ašį X adresu f(x) = 0 (t. y. už X= 0 arba ) leidžia pavaizduoti jo grafiką maždaug taip, kaip parodyta Fig. 7.

Apskritai, jei neįtrauksime neįprastų atvejų (kreivės, kuriose yra tiesių linijų atkarpų arba begalinis posūkių skaičius), yra keturios santykinės kreivės padėties ir liestinės ties liestinės taško parinktys. R. (Cm. ryžių. 8, kur liestinė turi teigiamą nuolydį.)

1) Abiejose taško pusėse R kreivė yra virš liestinės (8 pav., a). Šiuo atveju sakome, kad kreivė taške R išgaubtas žemyn arba įgaubtas.

2) Abiejose taško pusėse R kreivė yra žemiau liestinės (8 pav., b). Šiuo atveju sakoma, kad kreivė yra išgaubta į viršų arba tiesiog išgaubta.

3) ir 4) Kreivė yra virš liestinės vienoje taško pusėje R o žemiau – kitoje. Tokiu atveju R- Vingio taškas.

Vertybių palyginimas fў ( x) abiejose pusėse R su jo verte taške R, galite nustatyti, kurį iš šių keturių atvejų turite spręsti tam tikra problema.

Programos.

Visa tai, kas išdėstyta pirmiau, yra svarbi įvairiose srityse. Pavyzdžiui, jei kūnas metamas vertikaliai aukštyn pradiniu 200 pėdų per sekundę greičiu, tada aukštis s, ant kurio jie bus išdėstyti t sekundžių, palyginti su pradiniu tašku

Tęsdami taip pat, kaip ir nagrinėtuose pavyzdžiuose, mes nustatome

ši reikšmė išnyksta s. Darinys fў ( x) yra teigiamas iki c ir neigiamas po šio laiko. Vadinasi, s padidėja iki , tada tampa nejudantis, o tada mažėja. Tai bendras kūno, išmesto aukštyn, judėjimo aprašymas. Iš jo sužinome, kada kūnas pasiekia aukščiausią tašką. Kitas, pakeitimas t= 25/4 colio f(t), gauname 625 pėdas, maksimalų kėlimo aukštį. Šioje užduotyje fў ( t) turi fizinę reikšmę. Ši išvestinė rodo greitį, kuriuo kūnas juda vienu metu t.

Dabar apsvarstykime kitą taikymo tipą (9 pav.). Iš kartono lakšto, kurio plotas 75 cm 2, reikia padaryti dėžutę kvadratiniu dugnu. Kokie turėtų būti šios dėžutės matmenys, kad jos tūris būtų didžiausias? Jeigu X- dėžutės pagrindo šoną ir h yra jo aukštis, tada dėžutės tūris yra lygus V = x 2 h, o paviršiaus plotas yra 75 = x 2 + 4xh. Transformuodami lygtį, gauname:

Darinys iš V pasirodo lygūs

ir dingsta X= 5. Tada

ir V= 125/2. Funkcijų grafikas V = (75x – x 3)/4 parodyta pav. 10 (neigiamos reikšmės X praleistas kaip neturintis fizinės reikšmės šioje problemoje).

Dariniai.

Svarbi diferencialinio skaičiavimo užduotis yra metodų, leidžiančių greitai ir patogiai rasti išvestines, sukūrimas. Pavyzdžiui, tai lengva apskaičiuoti

(Konstantos išvestinė, žinoma, lygi nuliui.) Nesunku išvesti bendrąją taisyklę:

kur n- bet koks sveikasis skaičius arba trupmena. Pavyzdžiui,

(Šis pavyzdys parodo, kokie naudingi yra trupmeniniai rodikliai.)

Štai keletas svarbiausių formulių:

Taip pat yra šios taisyklės: 1) jei kiekviena iš dviejų funkcijų g(x) ir f(x) turi išvestines, tai jų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių sumai, o skirtumo išvestinė lygi išvestinių skirtumui, t.y.

2) dviejų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

3) dviejų funkcijų santykio išvestinė turi formą

4) funkcijos išvestinė, padauginta iš konstantos, lygi konstantai, padaugintai iš šios funkcijos išvestinės, t.y.

Dažnai atsitinka taip, kad funkcijos reikšmės turi būti skaičiuojamos etapais. Pavyzdžiui, apskaičiuoti nuodėmę x 2, pirmiausia turime rasti u = x 2 , o tada jau apskaičiuokite skaičiaus sinusą u. Tokių sudėtingų funkcijų išvestinę randame naudodami vadinamąją „grandinės taisyklę“:

Mūsų pavyzdyje f(u) = nuodėmė u, fў ( u) = cos u, vadinasi,

Šios ir kitos panašios taisyklės leidžia iš karto užrašyti daugelio funkcijų išvestinius.

Tiesinės aproksimacijos.

Tai, kad, žinodami išvestinę, daugeliu atvejų galime pakeisti funkcijos grafiką šalia kurio nors taško jos liestine tame taške, nes su tiesėmis dirbti lengviau.

Ši idėja randa tiesioginį pritaikymą apskaičiuojant apytiksles funkcijų vertes. Pavyzdžiui, gana sunku apskaičiuoti vertę x= 1,033. Tačiau galite pasinaudoti tuo, kad skaičius 1,033 yra artimas 1 ir kad . Uždaryti x= 1 galime pakeisti liestinės kreivės grafiką nepadarydami rimtos klaidos. Tokios liestinės nuolydis yra lygus išvestinės ( x 1/3)ў = (1/3) x–2/3, kai x = 1, t.y. 1/3. Kadangi taškas (1,1) yra kreivėje, o kreivės liestinės nuolydis šiame taške yra 1/3, liestinės lygtis turi tokią formą

Šioje tiesioje linijoje X = 1,033

Gauta vertė y turėtų būti labai arti tikrosios vertės y; ir iš tikrųjų tai tik 0,00012 daugiau nei tikrasis. Matematinės analizės metu buvo sukurti metodai, kurie leidžia pagerinti tokių tiesinių aproksimacijų tikslumą. Šie metodai užtikrina mūsų apytikslių skaičiavimų patikimumą.

Ką tik aprašyta procedūra siūlo vieną naudingą žymėjimą. Leisti P- funkcijos grafiką atitinkantis taškas f kintamasis X, ir leiskite funkciją f(x) yra diferencijuojamas. Pakeiskime kreivės brėžinį šalia taško R tuo metu jai liestinė. Jeigu X pakeisti į vertę h, tada tangentinė ordinatė pasikeis reikšme h H f ў ( x). Jeigu h labai mažas, tada pastaroji reikšmė yra geras tikrojo ordinačių pokyčio aproksimacija y grafika. Jei vietoj h parašysime simbolį dx(tai ne gaminys!), o ordinatės pasikeitimas yžymėti dy, tada gauname dy = f ў ( x)dx, arba dy/dx = f ў ( x) (cm. ryžių. vienuolika). Todėl vietoj Dy arba f ў ( x) išvestinei žymėti dažnai naudojamas simbolis dy/dx. Šio žymėjimo patogumas daugiausia priklauso nuo aiškios grandinės taisyklės išvaizdos (sudėtingos funkcijos diferenciacijos); naujajame žymėjime ši formulė atrodo taip:

kur numanoma, kad adresu priklauso nuo u, a u savo ruožtu priklauso nuo X.

Vertė dy vadinamas diferencialu adresu; iš tikrųjų tai priklauso nuo du kintamieji, būtent: nuo X ir prieaugiais dx. Kai prieaugis dx labai mažas, dydis dy yra artimas atitinkamam vertės pokyčiui y. Bet tarkime, kad prieaugis dx mažai, nereikia.

Funkcijos išvestinė y = f(x) pažymėjome f ў ( x) arba dy/dx. Dažnai galima imti išvestinę išvestinę. Rezultatas vadinamas antruoju išvestiniu f (x) ir pažymėtas f ўў ( x) arba d 2 y/dx 2. Pavyzdžiui, jei f(x) = x 3 – 3x 2, tada f ў ( x) = 3x 2 – 6x ir f ўў ( x) = 6x– 6. Panašus žymėjimas naudojamas aukštesnės eilės išvestinėms. Tačiau norint išvengti didelio potėpių skaičiaus (lygaus išvestinės tvarkai), ketvirtą išvestinę (pavyzdžiui) galima parašyti kaip f (4) (x), ir išvestinė nįsakymas kaip f (n) (x).

Galima parodyti, kad kreivė taške yra išgaubta žemyn, jei antroji išvestinė yra teigiama, ir išgaubta aukštyn, jei antroji išvestinė yra neigiama.

Jei funkcija turi antrą išvestinę, tada reikšmės pokytis y atitinkantį prieaugį dx kintamasis X, galima apytiksliai apskaičiuoti pagal formulę

Šis apytikslis apskaičiavimas paprastai yra geresnis už tą, kurį suteikia diferencialas fў ( x)dx. Tai atitinka kreivės dalies pakeitimą nebe tiese, o parabole.

Jei funkcija turi f(x) yra aukštesnių eilių išvestiniai, tada

Likęs terminas turi formą

kur x- tam tikras skaičius tarp x ir x + dx. Aukščiau pateiktas rezultatas vadinamas Taylor formule su likusia dalimi. Jeigu f(x) turi visų eilių išvestinius, tada paprastai R n® 0 už n ® Ґ .

INTEGRALINIS SKAIČIUS

Kvadratai.

Kreivų plokštumos figūrų sričių tyrimas atveria naujus matematinės analizės aspektus. Tokias problemas bandė spręsti net senovės graikai, kuriems nustatyti, pavyzdžiui, apskritimo plotą buvo viena iš sunkiausių užduočių. Didelę sėkmę sprendžiant šią problemą pasiekė Archimedas, kuris taip pat sugebėjo rasti parabolinio segmento plotą (12 pav.). Remdamasis labai sudėtingais samprotavimais, Archimedas įrodė, kad parabolinės atkarpos plotas yra 2/3 apibrėžto stačiakampio ploto, todėl šiuo atveju lygus (2/3)(16) = 32/ 3. Kaip matysime vėliau, šį rezultatą nesunkiai galima gauti matematinės analizės metodais.

Niutono ir Leibnizo pirmtakai, daugiausia Kepleris ir Kavalieri, kreivių figūrų plotų skaičiavimo problemas išsprendė vargu ar logiškai pagrįstu, bet itin vaisingu metodu. Kai Wallis 1655 m. sujungė Keplerio ir Cavalieri metodus su Dekarto metodais (analitine geometrija) ir pasinaudojo naujai gimusia algebra, Niutono atsiradimo etapas buvo visiškai paruoštas.

Wallis padalijo figūrą, kurios plotą reikėjo apskaičiuoti, į labai siauras juosteles, kurių kiekviena buvo maždaug laikoma stačiakampiu. Tada jis susumavo apytikslių stačiakampių plotus ir, paprasčiausiais atvejais, gavo reikšmę, į kurią linko stačiakampių plotų suma, kai juostelių skaičius pasiekė begalybę. Ant pav. 13 pavaizduoti stačiakampiai, atitinkantys tam tikrą padalijimą į ploto po kreive juosteles y = x 2 .

Pagrindinė teorema.

Puikus Niutono ir Leibnizo atradimas leido pašalinti sunkų procesą, pereinant prie plotų sumos ribos. Tai buvo padaryta naujai pažvelgus į ploto sąvoką. Esmė ta, kad turėtume pavaizduoti plotą po kreive, sukurtą ordinatėms judant iš kairės į dešinę, ir paklausti, kaip greitai keičiasi ordinačių nubraukiamas plotas. Raktą atsakydami į šį klausimą gausime, jei atsižvelgsime į du ypatingus atvejus, kai sritis yra žinoma iš anksto.

Pradėkime nuo ploto po tiesinės funkcijos grafiku y = 1 + x, nes šiuo atveju plotą galima apskaičiuoti naudojant elementariąją geometriją.

Leisti A(x) yra plokštumos dalis, esanti tarp tiesės y = 1 + x ir segmentas OQ(14 pav.). Vairuojant QP dešinysis kvadratas A(x) dideja. Kokiu greičiu? Į šį klausimą atsakyti nesunku, nes žinome, kad trapecijos plotas lygus jos aukščio ir pusės bazių sumos sandaugai. Vadinasi,

Ploto kitimo greitis A(x) nustatomas pagal jo išvestinę

Mes tai matome Aў ( x) sutampa su ordinatėmis adresu taškų R. Ar tai atsitiktinai? Pabandykime patikrinti parabolę, parodytą Fig. 15. Kvadratas A (x) po parabole adresu = X 2 diapazone nuo 0 iki X yra lygus A(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Šios srities kitimo greitis nustatomas pagal išraišką

kuri tiksliai sutampa su ordinatėmis adresu judantis taškas R.

Darant prielaidą, kad ši taisyklė galioja bendruoju atveju, taigi

yra ploto po funkcijos grafiku kitimo greitis y = f(x), tai gali būti naudojama kitų sričių skaičiavimams. Tiesą sakant, santykis Aў ( x) = f(x) išreiškia pagrindinę teoremą, kurią būtų galima suformuluoti taip: išvestinė arba ploto kitimo greitis kaip funkcija X, yra lygus funkcijos reikšmei f (x) taške X.

Pavyzdžiui, norint rasti sritį po funkcijos grafiku y = x 3 nuo 0 iki X(16 pav.), nustatome

Galimas atsakymas skamba taip:

nes vedinys iš X 4/4 tikrai lygu X 3 . Be to, A(x) yra nulis X= 0, kaip turėtų būti, jei A(x) iš tikrųjų yra sritis.

Matematinės analizės metu įrodyta, kad nėra kito atsakymo, išskyrus aukščiau pateiktą išraišką A(x), neegzistuoja. Parodykime, kad šis teiginys yra tikėtinas, naudodamiesi šiuo euristiniu (negriežtu) samprotavimu. Tarkime, kad yra koks nors antrasis sprendimas V(x). Jeigu A(x) ir V(x) „pradėti“ vienu metu nuo nulinės vertės ties X= 0 ir visą laiką keičiasi tuo pačiu greičiu, tada jų reikšmės niekada nebus X negali tapti kitokiu. Jie visur turi atitikti; taigi yra unikalus sprendimas.

Kaip jūs galite pagrįsti santykį Aў ( x) = f(x) apskritai? Į šį klausimą galima atsakyti tik ištyrus ploto kitimo greitį kaip funkciją X apskritai. Leisti m- mažiausia funkcijos reikšmė f (x) intervalu nuo X prieš ( x + h), a M yra didžiausia šios funkcijos reikšmė tame pačiame intervale. Tada plotas didėja pravažiuojant iš Xį ( x + h) turi būti tarp dviejų stačiakampių sričių (17 pav.). Abiejų stačiakampių pagrindai yra lygūs h. Mažesnis stačiakampis turi aukštį m ir plotas mh, atitinkamai didesnis, M ir Mh. Sklype plotas vs. X(18 pav.) matyti, kad abscisei pasikeitus į h, ordinatės (t. y. ploto) reikšmė padidinama suma tarp mh ir Mh. Sekanto nuolydis šiame grafike yra tarp m ir M. kas atsitinka kada h eina į nulį? Jei funkcijos grafikas y = f(x) yra tęstinis (t. y. jame nėra nutrūkimų), tada M, ir m linkęs į f(x). Todėl nuolydis Aў ( x) ploto grafiką kaip funkciją X lygus f(x). Būtent tokią išvadą ir reikėjo padaryti.

Leibnicas pasiūlė plotą po kreive y = f(x) nuo 0 iki a paskirtis

Taikant griežtą požiūrį, šis vadinamasis apibrėžtas integralas turi būti apibrėžtas kaip tam tikrų sumų riba, kaip Wallis. Atsižvelgiant į aukščiau gautą rezultatą, aišku, kad šis integralas apskaičiuojamas su sąlyga, kad galime rasti tokią funkciją A(x), kuris išnyksta, kai X= 0 ir turi išvestinę Aў ( x) lygus f (x). Tokios funkcijos radimas paprastai vadinamas integravimu, nors tikslingiau būtų šią operaciją vadinti antidiferenciacija, ty tai tam tikra prasme yra atvirkštinė diferenciacija. Polinomo atveju integravimas yra lengvas. Pavyzdžiui, jei

kurią lengva patikrinti diferencijuojant A(x).

Norėdami apskaičiuoti plotą A 1 po kreive y = 1 + x + x 2 /2 tarp ordinačių 0 ir 1, mes tiesiog rašome

ir pakeičiant X= 1, gauname A 1 = 1 + 1 / 2 + 1 / 6 = 5 / 3. Kvadratas A(x) nuo 0 iki 2 yra A 2 = 2 + 4 / 2 + 8 / 6 = 16 / 3. Kaip matyti iš fig. 19, plotas, esantis tarp 1 ir 2 ordinačių, yra A 2 – A 1 = 11/3. Paprastai jis rašomas kaip apibrėžtas integralas

Apimtys.

Panašus samprotavimas leidžia stebėtinai paprasta apskaičiuoti apsisukimų kūnų tūrį. Pademonstruokime tai naudodami rutulio tūrio skaičiavimo pavyzdį – kitą klasikinę problemą, kurią senovės graikai, naudodami jiems žinomus metodus, sugebėjo išspręsti labai sunkiai.

Pasukime plokštumos dalį, esančią ketvirčio spindulio apskritimo viduje r, 360° kampu aplink ašį X. Dėl to gauname puslankį (20 pav.), kurio tūrį žymime V(x). Būtina nustatyti kursą, kuriuo V(x) didėjant x. Vyksta iš XĮ X + h, nesunku patikrinti, ar garsumo padidėjimas yra mažesnis už garsumą p(r 2 – x 2)h apskrito spindulio ir aukščio cilindras h, ir daugiau nei garsumas p[r 2 – (x + h) 2 ]h cilindro spindulys ir aukštis h. Todėl funkcijos grafike V(x) sekanto nuolydis yra uždaras tarp p(r 2 – x 2) ir p[r 2 – (x + h) 2 ]. Kada h linkęs į nulį, nuolydis linkęs

At x = r mes gauname

pusrutulio tūriui, taigi 4 p r 3/3 viso rutulio tūrio.

Panašus metodas leidžia nustatyti kreivių ilgius ir lenktų paviršių plotus. Pavyzdžiui, jei a(x) - arkos ilgis PR pav. 21, tada mūsų užduotis yra apskaičiuoti aў( x). Euristiniu lygmeniu naudojame techniką, kuri leidžia nesinaudoti įprastu perėjimu iki ribos, kuri būtina norint tiksliai įrodyti rezultatą. Tarkime, kad funkcijos kitimo greitis a(x) taške R toks pat, koks būtų, jei kreivė būtų pakeista jos liestine PT taške P. Bet iš pav. 21 yra tiesiogiai matomas žengiant h taško dešinėje arba kairėje X kartu RT prasmė a(x) keičiasi į

Todėl funkcijos kitimo greitis a(x) yra

Norėdami rasti pačią funkciją a(x), tereikia integruoti raišką dešinėje lygybės pusėje. Pasirodo, daugumos funkcijų integravimas yra gana sudėtingas. Todėl integralinio skaičiavimo metodų kūrimas yra didelė matematinės analizės dalis.

Primityvūs.

Kiekviena funkcija, kurios išvestinė yra lygi duotai funkcijai f(x), vadinamas antidariniu (arba primityviuoju). f(x). Pavyzdžiui, X 3/3 - antiderivatas funkcijai X 2 nes ( x 3 /3)ў = x 2. Žinoma X 3/3 nėra vienintelis funkcijos antidarinys X 2 nes x 3 /3 + C taip pat yra vedinys X 2 bet kuriai konstantai SU. Tačiau toliau mes sutinkame praleisti tokias priedų konstantas. Apskritai

kur n yra teigiamas sveikasis skaičius, nes ( x n + 1/(n+ 1))ў = x n. Santykis (1) patenkinamas dar bendresne prasme, jei n pakeisti bet kokiu racionaliu skaičiumi k, išskyrus -1.

Savavališka tam tikros funkcijos antidarinė funkcija f(x) paprastai vadinamas neapibrėžtuoju integralu f(x) ir pažymėkite kaip

Pavyzdžiui, nuo (nuodėmė x)ў = cos x, formulė

Daugeliu atvejų, kai yra tam tikros funkcijos neapibrėžto integralo formulė, ją galima rasti daugelyje plačiai paskelbtų neapibrėžtų integralų lentelių. Elementariųjų funkcijų integralai yra lentelės formos (į juos įeina laipsniai, logaritmai, eksponentinė funkcija, trigonometrinės funkcijos, atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, taip pat jų baigtinės kombinacijos, gautos naudojant sudėjimą, atimtį, daugybą ir padalijimą). Naudojant lentelių integralus, integralus galima apskaičiuoti ir iš sudėtingesnių funkcijų. Yra daug būdų, kaip apskaičiuoti neapibrėžtus integralus; labiausiai paplitęs iš jų yra kintamojo pakeitimo arba pakeitimo metodas. Tai susideda iš to, kad jei norime pakeisti neapibrėžtą integralą (2) xį kokią nors diferencijuojamą funkciją x = g(u), tada tam, kad integralas nesikeistų, būtina x pakeistas gў ( u)du. Kitaip tariant, lygybė

(2 pakaitalas x = u, iš kur 2 dx = du).

Pateiksime dar vieną integravimo būdą – integravimo dalimis metodą. Jis pagrįstas gerai žinoma formule

Integravus kairę ir dešinę puses ir atsižvelgiant į tai

Ši formulė vadinama integravimo pagal dalis formule.

Pavyzdys 2. Reikia rasti . Kadangi cos x= (nuodėmė x)ў , galime tai parašyti

Iš (5), darant prielaidą, kad u = x ir v= nuodėmė x, mes gauname

Ir nuo (-cos x)ў = nuodėmė x randame, kad ir

Reikia pabrėžti, kad apsiribojome labai trumpu įvadu į labai platų dalyką, kuriame sukaupta daugybė šmaikščių gudrybių.

Dviejų kintamųjų funkcijos.

Dėl kreivės y = f(x), svarstėme dvi problemas.

1) Raskite kreivės liestinės nuolydį tam tikrame taške. Ši problema išspręsta apskaičiuojant išvestinės priemonės vertę fў ( x) nurodytame taške.

2) Raskite plotą po kreive virš ašies segmento X apribotas vertikaliomis linijomis X = a ir X = b. Ši problema išspręsta apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą.

Kiekviena iš šių problemų turi analogą paviršiaus atveju z = f(x,y).

1) Raskite paviršiaus liestinės plokštumą tam tikrame taške.

2) Raskite tūrį po paviršiumi virš plokštumos dalies hu, ribojama kreivė SU, o šone – statmenai plokštumai xy einančios per ribinės kreivės taškus SU (cm. ryžių. 22).

Toliau pateikti pavyzdžiai parodo, kaip šios problemos išsprendžiamos.

Pavyzdys 4. Raskite paviršiaus liestinės plokštumą

taške (0,0,2).

Plokštuma apibrėžiama, jei pateiktos dvi joje esančios susikertančios tiesės. Viena iš šių eilučių l 1) lipsime į lėktuvą xz (adresu= 0), antra ( l 2) – plokštumoje yz (x = 0) (cm. ryžių. 23).

Visų pirma, jei adresu= 0, tada z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Išvestinė atžvilgiu X, pažymėta fў x(x,0) = –2 – 6x, adresu X= 0 turi reikšmę -2. Tiesiai l 1, pateiktos lygtimis z = 2 – 2x, adresu= 0 – liestinė SU 1 , paviršiaus susikirtimo su plokštuma linijos adresu= 0. Panašiai, jei X= 0, tada f(0,y) = 2 – y – y 2 , ir išvestinė atžvilgiu adresu turi formą

Nes fў y(0,0) = -1, kreivė SU 2 - paviršiaus susikirtimo su plokštuma linija yz- turi liestinę l 2 pateiktos lygtyse z = 2 – y, X= 0. Norimoje liestinės plokštumoje yra abi tiesės l 1 ir l 2 ir parašyta lygtimi

Tai yra plokštumos lygtis. Be to, gauname tiesioginį l 1 ir l 2, darant prielaidą, kad adresu= 0 ir X = 0.

Tai, kad (7) lygtis iš tikrųjų apibrėžia liestinės plokštumą, gali būti matoma euristiniu lygmeniu, jei pastebėsite, kad šioje lygtyje yra pirmosios eilės terminų (6) lygtyje, o antros eilės terminai gali būti pavaizduoti kaip –. Kadangi ši išraiška yra neigiama visoms reikšmėms X ir adresu, Be to X = adresu= 0, paviršius (6) yra žemiau plokštumos (7) visur, išskyrus tašką R= (0,0,0). Galima sakyti, kad paviršius (6) taške yra išgaubtas į viršų R.

Pavyzdys 5. Raskite paviršiaus liestinės plokštumą z = f(x,y) = x 2 – y 2 iš pradžių 0.

Ant paviršiaus adresu= 0 mes turime: z = f(x,0) = x 2 ir fў x(x,0) = 2x. Ant SU 1 , sankirtos linijos, z = x 2. Taške O nuolydis yra fў x(0,0) = 0. Plokštumoje X= 0 mes turime: z = f(0,y) = –y 2 ir fў y(0,y) = –2y. Ant SU 2, susikirtimo linijos, z = –y 2. Taške O kreivės nuolydis SU 2 lygu fў y(0,0) = 0. Kadangi liestinės į SU 1 ir SU 2 yra ašys X ir adresu, liestinės plokštuma, kurioje jie yra, yra plokštuma z = 0.

Tačiau kilmės kaimynystėje mūsų paviršius nėra toje pačioje liestinės plokštumos pusėje. Iš tiesų, kreivė SU 1 yra virš liestinės plokštumos visur, išskyrus tašką 0 ir kreivę SU 2 - atitinkamai žemiau jo. Paviršius kerta liestinės plokštumą z= 0 tiesiomis linijomis adresu = X ir adresu = –X. Teigiama, kad toks paviršius ištakoje turi balno tašką (24 pav.).

Privačios išvestinės priemonės.

Ankstesniuose pavyzdžiuose naudojome išvestinius iš f (x,y) įjungta X ir pagal adresu. Dabar panagrinėkime tokius išvestinius dalykus bendriau. Pavyzdžiui, jei turime dviejų kintamųjų funkciją, F(x,y) = x 2 – xy, tada kiekviename taške galime nustatyti du jo „dalinius išvestinius“, vieną – diferencijuodami funkciją pagal X ir tvirtinimas adresu, ir atskirti kitus pagal adresu ir tvirtinimas X. Pirmasis iš šių darinių žymimas kaip fў x(x,y) arba ¶ f/¶ x; antrasis – kaip f f y. Jei abu mišrūs dariniai (pagal X ir adresu, įjungta adresu ir X) yra ištisiniai, tada ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x; mūsų pavyzdyje ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x = –1.

Dalinė išvestinė fў x(x,y) rodo funkcijos kitimo greitį f taške ( x,y) didėjimo kryptimi X, a fў y(x,y) yra funkcijos kitimo greitis f kylančia kryptimi adresu. Funkcijų pasikeitimo greitis f taške ( X,adresu) kampą sudarančios tiesios linijos kryptimi q su teigiama ašies kryptimi X, vadinamas funkcijos išvestine f link; jo reikšmė yra dviejų funkcijos dalinių išvestinių derinys f liestinės plokštumoje yra beveik lygus (mažoms dx ir dy) tikras pokytis z paviršiuje, tačiau diferencialą apskaičiuoti paprastai yra lengviau.

Formulė, kurią jau nagrinėjome iš kintamojo metodo pakeitimo, žinomo kaip kompleksinės funkcijos išvestinė arba grandinės taisyklė, vienmačiu atveju, kai adresu priklauso nuo X, a X priklauso nuo t, atrodo kaip:

Dviejų kintamųjų funkcijoms panaši formulė yra tokia:

Dalinės diferenciacijos sąvokas ir žymėjimą galima nesunkiai apibendrinti iki aukštesnių dimensijų. Visų pirma, jei paviršius netiesiogiai pateikiamas lygtimi f(x,y,z) = 0, paviršiaus liestinės plokštumos lygtis gali būti simetriškesnė: liestinės plokštumos taške ( x(x 2 /4)], tada integruojama X nuo 0 iki 1. Galutinis rezultatas – 3/4.

(10) formulė gali būti interpretuojama ir kaip vadinamasis dvigubas integralas, t.y. kaip elementariųjų „ląstelių“ tūrių sumos ribą. Kiekviena tokia ląstelė turi bazę D x D y ir aukštis, lygus paviršiaus aukščiui virš kurio nors stačiakampio pagrindo taško ( cm. ryžių. 26). Galima parodyti, kad abu požiūriai į (10) formulę yra lygiaverčiai. Dvigubi integralai naudojami svorio centrams ir daugeliui momentų, su kuriais susiduriama mechanikoje, rasti.

Griežtesnis matematinio aparato pagrindimas.

Iki šiol matematinės analizės sąvokas ir metodus pristatėme intuityviu lygmeniu ir nedvejodami pasitelkėme geometrines figūras. Belieka trumpai panagrinėti griežtesnius metodus, atsiradusius XIX ir XX a.

XIX amžiaus pradžioje, pasibaigus „matematinės analizės kūrimo“ puolimo ir puolimo erai, iškilo jos pateisinimo klausimai. Abelio, Koši ir daugelio kitų iškilių matematikų darbuose buvo tiksliai apibrėžtos sąvokos „riba“, „nepertraukiama funkcija“, „konvergencinė eilutė“. Tai buvo būtina norint įvesti loginę matematinės analizės pagrindą, kad ji būtų patikima tyrimo priemonė. Išsamaus pagrindimo poreikis tapo dar akivaizdesnis po to, kai 1872 m. Weierstrassas atrado funkcijas, kurios visur yra ištisinės, bet niekur nesiskiriančios (tokių funkcijų grafikas turi pertrauką kiekviename jo taške). Šis rezultatas padarė nuostabų įspūdį matematikams, nes aiškiai prieštaravo jų geometrinei intuicijai. Dar ryškesnis geometrinės intuicijos nepatikimumo pavyzdys buvo D. Peano sukonstruota ištisinė kreivė, visiškai užpildanti tam tikrą kvadratą, t.y. einantis per visus jo taškus. Šie ir kiti atradimai atgaivino matematikos „aritmetizavimo“ programą, t.y. padaryti jį patikimesniu, pagrįsti visas matematines sąvokas skaičiaus sąvokos pagalba. Beveik puritoniškas susilaikymas nuo vizualizacijos matematikos pagrindų darbuose turėjo savo istorinį pagrindimą.

Pagal šiuolaikinius loginio griežtumo kanonus nepriimtina kalbėti apie plotą po kreive y = f(x) ir virš ašies segmento X, net f yra tęstinė funkcija, prieš tai nenustačius tikslios sąvokos „plotas“ reikšmės ir nenustačius, kad taip apibrėžta sritis tikrai egzistuoja. Šią problemą 1854 metais sėkmingai išsprendė B. Riemannas, tiksliai apibrėžęs apibrėžtojo integralo sąvoką. Nuo tada apibendrinimo idėja, slypinti už apibrėžtojo integralo sąvokos, buvo daugelio gilių tyrimų ir apibendrinimų objektas. Dėl to šiandien galima įprasminti apibrėžtąjį integralą, net jei integralas visur yra nenutrūkstamas. Naujos integracijos koncepcijos, prie kurių kūrimo labai prisidėjo A. Lebesgue'as (1875–1941) ir kiti matematikai, padidino šiuolaikinės matematinės analizės galią ir grožį.

Vargu ar būtų tikslinga gilintis į visas šias ir kitas sąvokas. Mes apsiribojame griežtais ribos ir apibrėžtojo integralo apibrėžimais.

Apibendrinant, sakykime, kad matematinė analizė, būdama nepaprastai vertinga mokslininko ir inžinieriaus priemonė, ir šiandien patraukia matematikų dėmesį kaip vaisingų idėjų šaltinis. Kartu atrodo, kad šiuolaikinė raida rodo, kad matematinė analizė vis labiau įsisavinama tokia dominuojanti XX amžiuje. tokios matematikos šakos kaip abstrakčioji algebra ir topologija.

Ant kurio išanalizavome paprasčiausius darinius, taip pat susipažinome su diferencijavimo taisyklėmis ir kai kuriomis išvestinių radimo technikomis. Taigi, jei nesate labai gerai susipažinę su funkcijų išvestiniais arba kai kurie šio straipsnio punktai nėra visiškai aiškūs, pirmiausia perskaitykite aukščiau pateiktą pamoką. Prašau nusiteikti rimtai – medžiaga nelengva, bet vis tiek stengsiuosi ją pateikti paprastai ir aiškiai.

Praktikoje su kompleksinės funkcijos išvestine tenka susidurti labai dažnai, net sakyčiau beveik visada, kai duodama užduotis surasti išvestines.

Lentelėje žiūrime į taisyklę (Nr. 5), kaip atskirti sudėtingą funkciją:

Mes suprantame. Visų pirma, pažvelkime į užrašą. Čia turime dvi funkcijas – ir , o funkcija, vaizdžiai tariant, yra įdėta į funkciją . Tokio tipo funkcija (kai viena funkcija įdėta į kitą) vadinama sudėtinga funkcija.

Paskambinsiu funkcijai išorinė funkcija, ir funkcija – vidinė (arba įdėta) funkcija.

! Šie apibrėžimai nėra teoriniai ir neturėtų būti įtraukti į galutinį užduočių planą. Neformalius posakius „išorinė funkcija“, „vidinė“ vartoju tik tam, kad jums būtų lengviau suprasti medžiagą.

Norėdami išsiaiškinti situaciją, apsvarstykite:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Po sinusu turime ne tik raidę "x", bet ir visą išraišką, todėl išvestinės iš karto rasti iš lentelės nepavyks. Taip pat pastebime, kad čia neįmanoma taikyti pirmųjų keturių taisyklių, atrodo, kad yra skirtumas, bet faktas yra tas, kad sinuso „išplėšti“ neįmanoma:

Šiame pavyzdyje jau iš mano paaiškinimų intuityviai aišku, kad funkcija yra sudėtinga funkcija, o daugianomas yra vidinė funkcija (įterpimas) ir išorinė funkcija.

Pirmas žingsnis, kuris turi būti atliktas ieškant sudėtingos funkcijos išvestinės to suprasti, kuri funkcija yra vidinė, o kuri išorinė.

Paprastų pavyzdžių atveju atrodo aišku, kad polinomas yra įdėtas po sinusu. Bet kas, jei tai nėra akivaizdu? Kaip tiksliai nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė? Norėdami tai padaryti, siūlau naudoti šią techniką, kurią galima atlikti protiškai arba pagal juodraštį.

Įsivaizduokime, kad reiškinio reikšmę reikia apskaičiuoti skaičiuotuvu (vietoj vieno skaičius gali būti bet koks).

Ką pirmiausia skaičiuosime? Pirmiausia turėsite atlikti šį veiksmą: , todėl daugianomas bus vidinė funkcija:

Antra jums reikės rasti, taigi sinusas - bus išorinė funkcija:

Po mūsų SUPRASTI su vidinėmis ir išorinėmis funkcijomis, laikas taikyti sudėtinės funkcijų diferenciacijos taisyklę .

Pradedame spręsti. Iš pamokos Kaip rasti išvestinę priemonę? prisimename, kad bet kurios išvestinės sprendinio dizainas visada prasideda taip - išraišką įdedame skliausteliuose, o viršuje dešinėje darome brūkšnį:

Pirmas randame išorinės funkcijos išvestinę (sinusą), pažiūrime į elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę ir pastebime, kad . Visos lentelės formulės yra taikomos, net jei "x" pakeičiamas sudėtinga išraiška, tokiu atveju:

Atkreipkite dėmesį, kad vidinė funkcija nepasikeitė, mes jo neliečiame.

Na, tai visiškai akivaizdu

Formulės taikymo rezultatas švarus atrodo taip:

Pastovus koeficientas paprastai dedamas išraiškos pradžioje:

Jei kyla nesusipratimų, užrašykite sprendimą ant popieriaus ir dar kartą perskaitykite paaiškinimus.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip visada rašome:

Išsiaiškiname, kur turime išorinę funkciją, o kur – vidinę. Norėdami tai padaryti, bandome (protiškai arba juodraštyje) apskaičiuoti išraiškos reikšmę. Ką pirmiausia reikia padaryti? Visų pirma, reikia apskaičiuoti, kam lygi bazė:, tai reiškia, kad daugianomas yra vidinė funkcija:

Ir tik tada atliekamas eksponentas, todėl galios funkcija yra išorinė funkcija:

Pagal formulę , pirmiausia reikia rasti išorinės funkcijos išvestinę, šiuo atveju laipsnį. Lentelėje ieškome norimos formulės:. Dar kartą kartojame: bet kuri lentelės formulė galioja ne tik "x", bet ir sudėtingai išraiškai. Taigi kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklės taikymo rezultatas Kitas:

Dar kartą pabrėžiu, kad imant išorinės funkcijos išvestinę, vidinė funkcija nesikeičia:

Dabar belieka rasti labai paprastą vidinės funkcijos darinį ir šiek tiek „šukuoti“ rezultatą:

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys savarankiškam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).

Kad būtų įtvirtintas supratimas apie kompleksinės funkcijos išvestinę, pateiksiu pavyzdį be komentarų, pabandykite tai išsiaiškinti patys, samprotaukite, kur yra išorinė, o kur vidinė funkcija, kodėl taip sprendžiami uždaviniai?

5 pavyzdys

a) Raskite funkcijos išvestinę

b) Raskite funkcijos išvestinę

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia mes turime šaknį, o norint atskirti šaknį, ji turi būti pavaizduota kaip laipsnis. Taigi pirmiausia pateikiame funkciją į tinkamą diferencijavimo formą:

Analizuodami funkciją, darome išvadą, kad trijų narių suma yra vidinė funkcija, o eksponentiškumas yra išorinė funkcija. Taikome kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę :

Laipsnis vėl vaizduojamas kaip radikalas (šaknis), o vidinės funkcijos išvestinei taikome paprastą sumos diferencijavimo taisyklę:

Paruošta. Taip pat galite suvesti išraišką į bendrą vardiklį skliausteliuose ir parašyti viską kaip vieną trupmeną. Žinoma, gražu, bet kai gaunami sudėtingi ilgi dariniai, geriau to nedaryti (lengva susipainioti, padaryti nereikalingą klaidą, o mokytojui bus nepatogu patikrinti).

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys savarankiškam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).

Įdomu pastebėti, kad kartais vietoj sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės galima naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę. , tačiau toks sprendimas atrodys kaip iškrypimas neįprastas. Čia yra tipiškas pavyzdys:

8 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę , bet daug pelningiau išvestinę rasti taikant sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:

Paruošiame funkciją diferencijuoti - išimame išvestinės minuso ženklą, o kosinusą pakeliame iki skaitiklio:

Kosinusas yra vidinė funkcija, eksponentiškumas yra išorinė funkcija.
Pasinaudokime savo taisykle :

Randame vidinės funkcijos išvestinę, iš naujo nustatome kosinusą žemyn:

Paruošta. Nagrinėjamame pavyzdyje svarbu nesupainioti ženkluose. Beje, pabandykite tai išspręsti taisykle , atsakymai turi sutapti.

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys savarankiškam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).

Iki šiol svarstėme atvejus, kai sudėtingoje funkcijoje turėjome tik vieną lizdą. Praktinėse užduotyse dažnai galima rasti išvestinių, kur, kaip lėlytės, viena kitos viduje, vienu metu įdėtos 3 ar net 4-5 funkcijos.

10 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes suprantame šios funkcijos priedus. Bandome įvertinti išraišką naudodami eksperimentinę reikšmę . Kaip suskaičiuotume skaičiuotuvą?

Pirmiausia turite rasti, o tai reiškia, kad arcsinusas yra giliausias lizdas:

Tada šis vienybės arcsinusas turėtų būti padalytas kvadratu:

Ir galiausiai iškeliame septynis į galią:

Tai reiškia, kad šiame pavyzdyje turime tris skirtingas funkcijas ir du lizdus, ​​o vidinė funkcija yra arcsinė, o tolimiausia funkcija yra eksponentinė funkcija.

Pradedame spręsti

Pagal taisyklę pirmiausia reikia paimti išorinės funkcijos išvestinę. Žiūrime į išvestinių lentelę ir randame eksponentinės funkcijos išvestinę: Vienintelis skirtumas yra tas, kad vietoj "x" turime sudėtingą išraišką, kuri nepaneigia šios formulės galiojimo. Taigi, kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklės taikymo rezultatas Kitas.

studentams medicinos, vaikų, odontologijos

ir medicinos bei prevencijos fakultetai

laboratoriniams darbams

„Pagrindinės matematinės analizės sąvokos“

1. Mokslinis ir metodinis temos pagrindimas:

Išvestinės ir diferencialo sąvokos yra vienos iš pagrindinių matematinės analizės sąvokų. Išvestinių skaičiavimas reikalingas sprendžiant daugelį fizikos ir matematikos uždavinių (greičio, pagreičio, slėgio ir kt. radimo). Išvestinės sąvokos svarbą visų pirma lemia tai, kad funkcijos išvestinė charakterizuoja šios funkcijos kitimo greitį, kai keičiasi jos argumentas.

Diferencialo naudojimas leidžia atlikti apytikslius skaičiavimus, taip pat įvertinti klaidas.

Funkcijų išvestinių ir diferencialų radimo metodai ir jų pritaikymas yra pagrindinė diferencialinio skaičiavimo užduotis. Išvestinės sąvokos poreikis iškyla suformuluojant judėjimo greičio skaičiavimo ir kreivės liestinės kampo nustatymo problemą. Galima ir atvirkštinė problema: pagal greitį nustatykite nuvažiuotą atstumą, o pagal liestinės nuolydžio liestinę raskite atitinkamą funkciją. Tokia atvirkštinė problema veda prie neapibrėžto integralo sampratos.

Apibrėžtinio integralo sąvoka naudojama daugelyje praktinių problemų, ypač plokštumos figūrų plotų skaičiavimo, kintamos jėgos atliekamo darbo apskaičiavimo ir funkcijos vidutinės reikšmės nustatymo uždaviniuose.

Įvairių fizikinių, cheminių, biologinių procesų ir reiškinių matematiniame aprašyme dažnai naudojamos lygtys, kuriose pateikiami ne tik tiriamieji dydžiai, bet ir įvairios šių dydžių eilės jų išvestiniai. Pavyzdžiui, pagal paprasčiausią bakterijų dauginimosi dėsnio versiją, dauginimosi greitis yra proporcingas bakterijų skaičiui tam tikru metu. Jei šis skaičius žymimas N(t), tai pagal fizinę darinio reikšmę bakterijų dauginimosi greitis yra N(t) darinys ir remiantis aukščiau pateiktu dėsniu galime parašyti santykį. N "(t) = k ∙ N, kur k> 0 - proporcingumo koeficientas Gauta lygtis nėra algebrinė, nes joje yra ne tik nežinoma funkcija N(t), bet ir jos pirmosios eilės išvestinė.

2. Trumpa teorija:

1. Problemos, vedančios prie išvestinės sąvokos

1. Materialaus taško greičio v radimo problema. Tegul koks nors materialus taškas atlieka tiesinį judėjimą. Laiko momentu t 1 taškas yra padėtyje M 1. Laiko momentu t 2 nėščia M 2 . Pažymėkite intervalą M 1 , M 2 skersai ∆S; t 2 – t 1 =Δt. Ši vertė vadinama vidutiniu judėjimo greičiu. Norėdami rasti momentinį taško greitį tam tikroje padėtyje M 1 būtina Δt eikite link nulio. Matematiškai tai reiškia

, (1)

Taigi, norint rasti momentinį materialaus taško greitį, reikia apskaičiuoti funkcijos prieaugio santykio ribą ∆S prie argumento Δt prieaugio su sąlyga, kad ∆t→0.

2. Funkcijos grafiko liestinės polinkio kampo radimo problema.

1 pav

Apsvarstykite kokios nors funkcijos grafiką y=f(x). Koks yra pasvirimo kampas
taške nubrėžta liestinė M 1 ? Taške M 1 nubrėžkite funkcijos grafiko liestinę. Diagramoje pasirinkite savavališką tašką M 2 ir nubrėžkite sekantą. Jis pasviręs link ašies OI kampu α 1 . Apsvarstykite ΔM 1 M 2 A:

, (2)

Jei taškas M 1 pataisyti ir nukreipti M 2 metodas M 1 , tada sekantas M 1 M 2 taps funkcijos grafiko liestinė taške M 1 ir tu gali parašyti:

, (3)

Taigi, reikia apskaičiuoti funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribą, jei argumento prieaugis linkęs į nulį.

Funkcijos y=f(x) padidėjimo Δy ir argumento Δx prieaugio santykio riba duotame taške x 0 kadangi Δx linkęs į nulį, vadinama funkcijos išvestine tam tikrame taške.

Išvestinis žymėjimas: y", f "(x), . Pagal apibrėžimą

, (4)

kur Δx=х 2 -х 1 yra argumento padidėjimas (skirtumas tarp dviejų vėlesnių pakankamai artimų argumento reikšmių), Δy=y 2 -y 1 yra funkcijos padidėjimas (skirtumas tarp reikšmių funkcijos, atitinkančios šias argumento reikšmes).

Duotos funkcijos išvestinės radimas vadinamas jos diferenciacija. Pagrindinių elementariųjų funkcijų diferencijavimas atliekamas pagal paruoštas formules (žr. lentelę), taip pat naudojant taisykles:

Algebrinės sumos išvestinė funkcijos yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė lygi antrosios funkcijos sandaugų sumai iš pirmosios ir pirmosios funkcijos iš antrosios išvestinės:

(u∙υ )"=u"υ +uυ "

3. Dalinio išvestinė dviejų funkcijų yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio ir skaitiklio išvestinės ir skaitiklio bei vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra vardiklio kvadratas:

Išvestinio fizinė reikšmė. Iš (4) ir (1) palyginimo matyti, kad momentinis materialaus taško tiesinio judėjimo greitis yra lygus jo koordinatės priklausomybės nuo laiko išvestinei.

Bendroji funkcijos išvestinės reikšmė yra ta, kad ji charakterizuoja funkcijos kitimo greitis (greitas). atsižvelgiant į argumentų pasikeitimą. Taip pat dariniu išreiškiamas fizinių, cheminių ir kitų procesų greitis, pavyzdžiui, kūno aušinimo greitis, cheminės reakcijos greitis, bakterijų dauginimosi greitis ir kt.

Išvestinės geometrinė reikšmė. Funkcijų grafikui nubrėžtos liestinės nuolydžio liestinės reikšmė matematikoje vadinama liestinės nuolydis.

Diferencijuojamos funkcijos grafiko liestinės nuolydis tam tikru tašku yra skaitiniu požiūriu lygus funkcijos išvestinei tame taške.

Šis teiginys vadinamas geometrinė išvestinės reikšmė.