Analisi matematica.

Officina.

Per gli studenti universitari della specialità:

"Amministrazione statale e comunale"

TZ Pavlova

Kolpasevo 2008

Capitolo 1 Introduzione all'analisi

1.1 Funzioni. Proprietà generali

1.2 Teoria dei limiti

1.3 Continuità di funzionamento

2.1 Definizione di derivata

2.4 Esplorazione delle funzioni

2.4.1 Piano di studio completo delle funzioni

2.4.2 Esempi di studio delle funzioni

2.4.3. Il valore più grande e più piccolo di una funzione su un segmento

2.5 La regola dell'Ospedale

3.1 Integrale indefinito

3.1.1 Definizioni e proprietà

3.1.2 Tabella degli integrali

3.1.3 Metodi di integrazione di base

3.2 Integrale definito

3.2.2 Metodi per calcolare un integrale definito

capitolo 4

4.1 Concetti di base

4.2 Limiti e continuità di funzioni di più variabili

4.3.3 Differenziale totale e sua applicazione ai calcoli approssimativi

Capitolo 5

6.1 Funzione di utilità.

6.2 Linee di indifferenza

6.3 Budget stabilito

Compiti a casa

1.1 Funzioni. Proprietà generali

Una funzione numerica è definita sull'insieme D dei numeri reali se a ciascun valore della variabile è associato un valore reale ben definito della variabile y, dove D è il dominio della funzione.

Rappresentazione analitica della funzione:

esplicitamente: ;

implicitamente: ;

in forma parametrica:

diverse formule nel dominio di definizione:

Proprietà.

Funzione pari: . Ad esempio, la funzione è pari, perché .

Funzione dispari: . Ad esempio, la funzione è dispari, perché .

Funzione periodica: , dove T è il periodo della funzione, . Ad esempio, funzioni trigonometriche.

funzione monotona. Se per uno qualsiasi dei domini di definizione - la funzione è crescente, - decrescente. Ad esempio, - crescente e - decrescente.

Funzionalità limitata. Se esiste un numero M tale che . Ad esempio, funzioni e , perché .

Esempio 1. Trova l'ambito delle funzioni.

+ 2 – 3 +

1.2 Teoria dei limiti

Definizione 1. Il limite della funzione at è il numero b, se per qualsiasi ( è un numero positivo arbitrariamente piccolo) è possibile trovare un tale valore dell'argomento a partire dal quale la disuguaglianza è soddisfatta.

Designazione: .

Definizione 2. Il limite della funzione a è il numero b, se per qualsiasi (- numero positivo arbitrariamente piccolo) esiste un numero così positivo che per tutti i valori x che soddisfano la disuguaglianza la disuguaglianza è vera.

Designazione: .

Definizione 3. La funzione è chiamata infinitesimale per o , se o .

Proprietà.

1. La somma algebrica di un numero finito di quantità infinitesime è una quantità infinitesima.

2. Il prodotto di una quantità infinitesima per una funzione limitata (costante, un'altra quantità infinitesima) è una quantità infinitesima.

3. Il quoziente di divisione di una quantità infinitesima per una funzione il cui limite è diverso da zero è una quantità infinitesima.

Definizione 4. La funzione è chiamata infinitamente grande per if .

Proprietà.

1. Il prodotto di una quantità infinitamente grande per una funzione il cui limite è diverso da zero è una quantità infinitamente grande.

2. La somma di una quantità infinitamente grande e di una funzione limitata è una quantità infinitamente grande.

3. Il quoziente di divisione di una quantità infinitamente grande per una funzione che ha un limite è una quantità infinitamente grande.

Teorema.(La relazione tra un valore infinitesimo e un valore infinitamente grande.) Se una funzione è infinitamente piccola in (), allora la funzione è un valore infinitamente grande in (). E, al contrario, se la funzione è infinitamente grande in (), allora la funzione è un valore infinitamente piccolo in ().

Teoremi limite.

1. Una funzione non può avere più di un limite.

2. Il limite della somma algebrica di più funzioni è uguale alla somma algebrica dei limiti di queste funzioni:

3. Il limite del prodotto di più funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni:

4. Il limite del grado è uguale al grado del limite:

5. Il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti, se esiste il limite divisore:

.

6. Il primo limite notevole.

Conseguenze:

7. Secondo limite notevole:

Conseguenze:

Quantità infinitesime equivalenti a:

Calcolo dei limiti.

Quando si calcolano i limiti, vengono utilizzati i teoremi di base sui limiti, le proprietà delle funzioni continue e le regole che seguono da questi teoremi e proprietà.

Regola 1 Per trovare il limite in un punto di una funzione che a questo punto è continua, è necessario sostituire il suo valore limite al posto dell'argomento x nella funzione sotto il segno del limite.

Esempio 2. Trova

Regola 2 Se, quando si trova il limite di una frazione, il limite del denominatore è uguale a zero e il limite del numeratore è diverso da zero, il limite di tale funzione è uguale a .

Esempio 3. Trova

Regola 3 Se, quando si trova il limite di una frazione, il limite del denominatore è uguale e il limite del numeratore è diverso da zero, il limite di tale funzione è uguale a zero.

Esempio 4 Trova

Spesso la sostituzione del valore limite di un argomento porta a espressioni indefinite della forma

.

Trovare il limite di una funzione in questi casi è chiamato rivelazione dell'incertezza. Per svelare l'incertezza, è necessario trasformare questa espressione prima di andare al limite. Diverse tecniche sono utilizzate per scoprire le incertezze.

Regola 4. L'incertezza della forma si rivela trasformando la funzione di sottolimite, in modo che al numeratore e al denominatore si selezioni un fattore il cui limite sia zero e, riducendo di esso la frazione, si trovi il limite del quoziente. Per fare ciò, il numeratore e il denominatore vengono fattorizzati o moltiplicati per le espressioni coniugate al numeratore e al denominatore.

Regola 5 Se l'espressione sublimite contiene funzioni trigonometriche, il primo limite notevole viene utilizzato per scoprire il tipo di incertezza.

.

Regola 6. Per rivelare l'incertezza della forma in , il numeratore e il denominatore della frazione sublimite devono essere divisi per il grado più alto dell'argomento e quindi si dovrebbe trovare il limite del quoziente.

Possibili risultati:

1) il limite desiderato è uguale al rapporto dei coefficienti alle potenze più alte dell'argomento del numeratore e denominatore, se queste potenze sono uguali;

2) il limite è uguale all'infinito se il grado dell'argomento del numeratore è maggiore del grado dell'argomento del denominatore;

3) il limite è zero se il grado dell'argomento del numeratore è inferiore al grado dell'argomento del denominatore.

un)

perché

I gradi sono uguali, il che significa che il limite è uguale al rapporto dei coefficienti ai gradi più alti, cioè .

B)

Il grado del numeratore, il denominatore è 1, il che significa che il limite è uguale a

v)

Il grado del numeratore è 1, il denominatore è , quindi il limite è 0.

Regola 7. Per rivelare l'incertezza della forma, il numeratore e il denominatore della frazione sublimite devono essere moltiplicati per l'espressione coniugata.

Esempio 10

Regola 8. Per rivelare l'incertezza della specie, si utilizza il secondo limite notevole e le sue conseguenze.

Si può dimostrare che

Esempio 11.

Esempio 12.

Esempio 13

Regola 9. Quando si rivelano incertezze, la cui funzione di sublimite contiene b.m.v., è necessario sostituire i limiti di queste b.m. ai limiti di b.m., equivalenti ad essi.

Esempio 14

Esempio 15

Regola 10 Regola dell'Ospedale (vedi 2.6).

1.3 Continuità di funzionamento

La funzione è continua nel punto in cui il limite della funzione, quando l'argomento tende ad a, esiste ed è uguale al valore della funzione a questo punto.

Condizioni equivalenti:

1. ;

3.

Classificazione dei punti di interruzione:

rottura del primo tipo

Rimovibile: esistono limiti unilaterali e sono uguali;

Fatal (salto) - i limiti unilaterali non sono uguali;

discontinuità del secondo tipo: il limite della funzione in un punto non esiste.

Esempio 16. Stabilire la natura della discontinuità di una funzione in un punto o dimostrare la continuità di una funzione in questo punto.

per , la funzione non è definita, quindi non è continua a questo punto. Perché e corrispondentemente, , allora è un punto di discontinuità del primo tipo.

B)

rispetto al compito (a), la funzione è estesa al punto in modo che , quindi la funzione data è continua nel punto dato.

Quando la funzione non è definita;

.

Perché uno dei limiti unilaterali è infinito, quindi è un punto di discontinuità del secondo tipo.

capitolo 2

2.1 Definizione di derivata

Definizione derivativa

La derivata o di una data funzione è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e il corrispondente incremento dell'argomento quando l'incremento dell'argomento tende a zero:

o .

Il significato meccanico della derivata è il tasso di variazione della funzione. Il significato geometrico della derivata è la tangente della pendenza della tangente al grafico della funzione:

2.2 Regole di base di differenziazione

Nome	Funzione	Derivato
Moltiplicazione per un fattore costante
Somma algebrica di due funzioni
Il prodotto di due funzioni
Quoziente di due funzioni
Funzione complessa

Derivate di funzioni elementari di base

No. p / p	Nome della funzione	Funzione e sua derivata
1	costante
2	funzione di potenza casi speciali
3	funzione esponenziale caso speciale
4	funzione logaritmica caso speciale
5	funzioni trigonometriche
6	inversione trigonometrico

B)

2.3 Derivati ​​di ordine superiore

Derivata del secondo ordine di una funzione

Derivata del secondo ordine della funzione:

Esempio 18.

a) Trova la derivata del secondo ordine della funzione.

Soluzione. Troviamo prima la derivata del primo ordine .

Dalla derivata del primo ordine, prendiamo nuovamente la derivata.

Esempio 19. Trova la derivata del terzo ordine della funzione .

2.4 Esplorazione delle funzioni

2.4.1 Piano di studio completo delle funzioni:

Piano di studio delle funzioni complete:

1. Ricerca elementare:

Trova il dominio di definizione e l'intervallo di valori;

Scopri le proprietà generali: pari (dispari), periodicità;

Trova i punti di intersezione con gli assi coordinati;

Determina le aree di costanza.

2. Asintoti:

Trova gli asintoti verticali se ;

Trova gli asintoti obliqui: .

Se c'è un numero, allora sono gli asintoti orizzontali.

3. Ricerca utilizzando:

Trova i punti critici, quelli. punti in cui o non esiste;

Determina gli intervalli di aumento, quelli. intervalli su cui e diminuzione della funzione - ;

Determina i punti estremi: i punti, al passaggio attraverso i quali il segno cambia da "+" a "-", sono i punti massimi, da "-" a "+" - il minimo.

4. Ricerca utilizzando:

Trova punti in cui o non esiste;

Trova aree di convessità, ad es. lacune, su cui e concavità -;

Trova i punti di flesso, ad es. punti al passaggio attraverso il quale il segno cambia.

1. I singoli elementi dello studio vengono tracciati sul grafico gradualmente, man mano che vengono trovati.

2. Se ci sono difficoltà nella costruzione di un grafico di una funzione, i valori della funzione si trovano in alcuni punti aggiuntivi.

3. Scopo dello studio è descrivere la natura del comportamento della funzione. Non si costruisce quindi un grafico esatto, ma una sua approssimazione, su cui sono chiaramente indicati gli elementi trovati (estremi, punti di flesso, asintoti, ecc.).

4. Non è necessario attenersi rigorosamente al piano di cui sopra; è importante non perdere gli elementi caratteristici del comportamento della funzione.

2.4.2 Esempi di studio delle funzioni:

1)

2) Funzione dispari:

.

3) Asintoti.

sono gli asintoti verticali, poiché

Asintoto obliquo.

5)

- punto di flesso.

2) Funzione dispari:

3) Asintoti: non ci sono asintoti verticali.

Inclinato:

sono asintoti obliqui

4) - la funzione è in aumento.

- punto di flesso.

Grafico schematico di questa funzione:

2) Funzione generale

3) Asintoti

- nessun asintoto obliquo

è l'asintoto orizzontale a

- punto di flesso

Grafico schematico di questa funzione:

2) Asintoti.

è l'asintoto verticale, poiché

- nessun asintoto obliquo

, è l'asintoto orizzontale

Grafico schematico di questa funzione:

2) Asintoti

è l'asintoto verticale in , perché

- nessun asintoto obliquo

, è l'asintoto orizzontale

3) – la funzione diminuisce su ciascuno degli intervalli.

Grafico schematico di questa funzione:

Per trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione su un segmento, è possibile utilizzare lo schema:

1. Trova la derivata della funzione.

2. Trova i punti critici della funzione in cui o non esiste.

3. Trova il valore della funzione nei punti critici appartenenti a un dato segmento e ai suoi estremi e scegli il più grande e il più piccolo di essi.

Esempio. Trova il valore più piccolo e più grande della funzione sul segmento dato.

25. nel mezzo

2) - punti critici

26. nel mezzo.

La derivata non esiste a , ma 1 non appartiene a questo intervallo. La funzione diminuisce sull'intervallo, il che significa che non esiste un valore massimo, ma il valore più piccolo.

2.5 La regola dell'Ospedale

Teorema. Il limite del rapporto di due funzioni infinitamente piccole o infinitamente grandi è uguale al limite del rapporto delle loro derivate (finite o infinite), se quest'ultima esiste nel senso indicato.

Quelli. quando si rivelano incertezze del tipo oppure, è possibile utilizzare la formula:

.

27.

Capitolo 3. Calcolo integrale

3.1 Integrale indefinito

3.1.1 Definizioni e proprietà

Definizione 1. Una funzione è chiamata antiderivata per se .

Definizione 2. L'integrale indefinito di una funzione f(x) è l'insieme di tutte le antiderivate per questa funzione.

Designazione: , dove c è una costante arbitraria.

Proprietà dell'integrale indefinito

1. Derivata dell'integrale indefinito:

2. Differenziale dell'integrale indefinito:

3. Integrale indefinito del differenziale:

4. Integrale indefinito della somma (differenza) di due funzioni:

5. Togliendo il fattore costante dal segno dell'integrale indefinito:

3.1.2 Tabella degli integrali

.1.3 Metodi di integrazione di base

1. Utilizzo delle proprietà dell'integrale indefinito.

Esempio 29.

2. Portare sotto il segno del differenziale.

Esempio 30.

3. Metodo di sostituzione variabile:

a) sostituzione nell'integrale

dove - una funzione più facile da integrare rispetto a quella originaria; - funzione, funzione inversa; - antiderivata della funzione.

Esempio 31.

b) sostituzione nell'integrale del modulo:

Esempio 32.

Esempio 33.

4. Metodo di integrazione per parti:

Esempio 34.

Esempio 35.

Prendi separatamente l'integrale

Torniamo al nostro integrale:

3.2 Integrale definito

3.2.1 Il concetto di integrale definito e le sue proprietà

Definizione. Sia data una funzione continua su un certo intervallo. Tracciamolo.

Una figura delimitata dall'alto da una curva, da sinistra e da destra da rette e dal basso da un segmento dell'asse delle ascisse compreso tra i punti aeb, è chiamata trapezio curvilineo.

S - area - trapezio curvilineo.

Dividi l'intervallo per punti e ottieni:

Somma integrale:

Definizione. L'integrale definito è il limite della somma integrale.

Proprietà di un integrale definito:

1. Dal segno di integrale si può estrarre un fattore costante:

2. L'integrale della somma algebrica di due funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali di queste funzioni:

3. Se il segmento di integrazione è diviso in parti, l'integrale sull'intero segmento è uguale alla somma degli integrali per ciascuna delle parti sorte, cioè per ogni a, b, c:

4. Se sul segmento , allora e

5. I limiti dell'integrazione possono essere scambiati, e il segno dell'integrale cambia:

6.

7. L'integrale nel punto è uguale a 0:

8.

9. (“sulla media”) Sia y = f(x) una funzione integrabile su . Poi , dove , f(c) è il valore medio di f(x) su :

10. Formula di Newton-Leibniz

,

dove F(x) è l'antiderivata per f(x).

3.2.2 Metodi per calcolare un integrale definito.

1. Integrazione diretta

Esempio 35.

un)

B)

v)

e)

2. Cambio di variabili sotto il segno di un integrale definito .

Esempio 36.

2. Integrazione per parti in un integrale definito .

Esempio 37.

un)

B)

e)

3.2.3 Applicazioni dell'integrale definito

Caratteristica	Tipo di funzione	Formula
	in coordinate cartesiane
area del settore curvilineo	in coordinate polari
area di un trapezio curvo	in forma parametrica
lunghezza dell'arco	in coordinate cartesiane
lunghezza dell'arco	in coordinate polari
lunghezza dell'arco	in forma parametrica
volume corporeo rotazione	in coordinate cartesiane
volume corporeo con una data trasversale sezione

Esempio 38. Calcola l'area di una figura delimitata da linee: e .

Soluzione: Trova i punti di intersezione dei grafici di queste funzioni. Per fare ciò, uguagliamo le funzioni e risolviamo l'equazione

Quindi, i punti di intersezione e .

Trova l'area della figura usando la formula

.

Nel nostro caso

Risposta: l'area è (unità quadrate).

4.1 Concetti di base

Definizione. Se a ciascuna coppia di numeri indipendenti di un determinato insieme vengono assegnati uno o più valori della variabile z secondo una qualche regola, allora la variabile z viene chiamata funzione di due variabili.

Definizione. Il dominio di una funzione z è l'insieme di coppie per le quali esiste la funzione z.

Il dominio di una funzione di due variabili è un certo insieme di punti sul piano delle coordinate Oxy. La coordinata z è chiamata applicata, quindi la funzione stessa è rappresentata come una superficie nello spazio E 3 . Ad esempio:

Esempio 39. Trova l'ambito di una funzione.

un)

L'espressione sul lato destro ha senso solo quando . Ciò significa che il dominio di questa funzione è l'insieme di tutti i punti che giacciono all'interno e sul confine di una circonferenza di raggio R centrata nell'origine.

Il dominio di questa funzione è tutti i punti del piano, ad eccezione dei punti delle linee, cioè assi coordinati.

Definizione. Le linee del livello di funzione sono una famiglia di curve sul piano delle coordinate descritte dalle equazioni del modulo.

Esempio 40 Trova le linee del livello di funzionalità .

Soluzione. Le linee di livello di una data funzione sono una famiglia di curve nel piano, descritte dall'equazione

L'ultima equazione descrive una famiglia di cerchi centrata nel punto О 1 (1, 1) di raggio . La superficie di rivoluzione (paraboloide) descritta da questa funzione diventa “più ripida” man mano che si allontana dall'asse, dato dalle equazioni x = 1, y = 1. (Fig. 4)

4.2 Limiti e continuità di funzioni di più variabili.

1. Limiti.

Definizione. Il numero A è detto limite della funzione in quanto il punto tende al punto, se per ogni numero arbitrariamente piccolo esiste un numero tale che la condizione sia vera per qualsiasi punto, anche la condizione è vera . Annota: .

Esempio 41. Trova i limiti:

quelli. il limite dipende da , il che significa che non esiste.

2. Continuità.

Definizione. Lascia che il punto appartenga al dominio di definizione della funzione. Allora una funzione si dice continua in un punto se

(1)

e il punto tende al punto in modo arbitrario.

Se la condizione (1) non è soddisfatta in nessun punto, allora questo punto è chiamato punto di interruzione della funzione. Questo può essere nei seguenti casi:

1) La funzione non è definita nel punto.

2) Non c'è limite.

3) Questo limite esiste, ma non è uguale a .

Esempio 42. Determina se la funzione data è continua nel punto se .

Capito quindi questa funzione è continua nel punto.

il limite dipende da k, cioè non esiste a questo punto, il che significa che la funzione ha una discontinuità a questo punto.

4.3 Derivate e differenziali di funzioni di più variabili

4.3.1 Derivati ​​parziali del primo ordine

La derivata parziale di una funzione rispetto all'argomento x è la derivata ordinaria di una funzione di una variabile x per un valore fisso della variabile y ed è indicata:

La derivata parziale di una funzione rispetto all'argomento y è la derivata ordinaria di una funzione di una variabile y per un valore fisso della variabile x ed è indicata:

Esempio 43. Trova derivate parziali di funzioni.

4.3.2 Derivate parziali del secondo ordine

Le derivate parziali del secondo ordine sono derivate parziali delle derivate parziali del primo ordine. Per una funzione di due variabili della forma, sono possibili quattro tipi di derivate parziali del secondo ordine:

Le derivate parziali del secondo ordine, in cui si effettua la differenziazione rispetto a variabili diverse, sono dette derivate miste. Le derivate miste del secondo ordine di una funzione due volte differenziabile sono uguali.

Esempio 44. Trova le derivate parziali del secondo ordine.

4.3.3 Differenziale totale e sua applicazione ai calcoli approssimativi.

Definizione. Il differenziale del primo ordine di una funzione di due variabili si trova dalla formula

.

Esempio 45. Trova il differenziale totale per la funzione.

Soluzione. Troviamo le derivate parziali:

.

Con piccoli incrementi degli argomenti x e y, la funzione riceve un incremento approssimativamente uguale a dz, cioè .

La formula per trovare il valore approssimativo di una funzione in un punto se il suo valore esatto in un punto è noto:

Esempio 46 Trova .

Soluzione. Permettere ,

Quindi utilizziamo la formula

Risposta. .

Esempio 47. Calcola approssimativamente.

Soluzione. Consideriamo una funzione. abbiamo

Esempio 48. Calcola approssimativamente.

Soluzione. Considera la funzione . Noi abbiamo:

Risposta. .

4.3.4 Differenziazione delle funzioni implicite

Definizione. Una funzione si dice implicita se è data da un'equazione che non è risolvibile rispetto a z.

Le derivate parziali di tale funzione si trovano dalle formule:

Esempio 49. Trova le derivate parziali della funzione z data dall'equazione .

Soluzione.

Definizione. Una funzione si dice implicita se è data da un'equazione non risolvibile rispetto a y.

La derivata di tale funzione si trova con la formula:

.

Esempio 50. Trova le derivate di queste funzioni.

5.1 Estremo locale di una funzione di più variabili

Definizione 1. La funzione ha un massimo nel punto se

Definizione 2. La funzione ha un minimo nel punto se per tutti i punti sufficientemente vicini al punto e distinti da esso.

Condizione necessaria per un estremo. Se la funzione raggiunge un estremo nel punto , le derivate parziali della funzione svaniscono o non esistono in quel punto.

I punti in cui le derivate parziali svaniscono o non esistono sono detti critici.

Un segno sufficiente di un estremo. Sia definita la funzione in un intorno del punto critico e abbia a questo punto derivate parziali continue del secondo ordine

1) ha un massimo locale nel punto se e ;

2) ha un minimo locale nel punto se e ;

3) non ha un extremum locale nel punto se ;

Schema di studio dell'estremo di una funzione di due variabili.

1. Trova le derivate parziali delle funzioni : e .

2. Risolvi il sistema di equazioni e trova i punti critici della funzione.

3. Trova le derivate parziali del secondo ordine, calcola i loro valori nei punti critici e, utilizzando una condizione sufficiente, trai una conclusione sulla presenza di estremi.

4. Trova gli estremi della funzione.

Esempio 51. Trova gli estremi di una funzione .

1) Troviamo le derivate parziali.

2) Risolvi il sistema di equazioni

4) Trova le derivate parziali del secondo ordine e i loro valori nei punti critici: . Al punto otteniamo:

Ciò significa che non c'è un estremo in quel punto. Al punto otteniamo:

significa nel punto minimo.

5.2 Global extremum (valore massimo e minimo della funzione)

I valori più grandi e più piccoli di una funzione di più variabili, continui su qualche insieme chiuso, si raggiungono o nei punti estremi o al confine dell'insieme.

Schema per trovare i valori più grandi e più piccoli.

1) Trova i punti critici che si trovano all'interno della regione, calcola il valore della funzione in questi punti.

2) Indagare la funzione al confine della regione; se il confine è costituito da più linee diverse, lo studio deve essere effettuato separatamente per ciascuna sezione.

3) Confronta i valori ottenuti dalla funzione e scegli il più grande e il più piccolo.

Esempio 52. Trova i valori più grande e più piccolo di una funzione in un rettangolo.

Soluzione. 1) Trova i punti critici della funzione, per questo troviamo le derivate parziali: , e risolviamo il sistema di equazioni:

Abbiamo ottenuto il punto critico A. Il punto risultante si trova all'interno dell'area data,

Il confine della regione è composto da quattro segmenti: i. trova il valore più grande e più piccolo della funzione su ciascun segmento.

4) Confrontiamo i risultati ottenuti e li otteniamo ai punti .

Capitolo 6. Il modello di scelta del consumatore

Assumiamo che ci siano n beni diversi. Quindi un insieme di beni sarà indicato dal vettore n-dimensionale , dove è la quantità dell'i-esimo prodotto. L'insieme di tutti gli insiemi di beni X è chiamato spazio.

La scelta di un singolo consumatore è caratterizzata da una relazione di preferenza: si ritiene che il consumatore possa dire di due insiemi qualsiasi che è più desiderabile, oppure non vede alcuna differenza tra di loro. La relazione di preferenza è transitiva: se l'insieme è preferito all'insieme e l'insieme è preferito all'insieme, allora l'insieme è preferito all'insieme. Assumiamo che il comportamento del consumatore sia pienamente descritto dall'assioma del singolo consumatore: ogni singolo consumatore prende una decisione sui consumi, sugli acquisti, ecc., in base al suo sistema di preferenze.

6.1 Funzione di utilità

Sull'insieme dei bundle di consumatori X, la funzione , il cui valore sull'insieme del consumatore è uguale alla valutazione del consumatore dell'individuo per questo insieme. La funzione è chiamata funzione di utilità del consumatore o funzione di preferenza del consumatore. Quelli. ogni consumatore ha la sua funzione di utilità. Ma l'intero insieme di consumatori può essere suddiviso in determinate classi di consumatori (per età, stato della proprietà, ecc.) ea ciascuna classe può essere assegnata, forse, una funzione di utilità media.

Pertanto, la funzione è la valutazione del consumatore o il livello di soddisfazione dei bisogni dell'individuo al momento dell'acquisizione di questo set. Se un insieme è preferibile a un insieme per un determinato individuo, allora .

Proprietà della funzione di utilità.

1.

Le prime derivate parziali della funzione di utilità sono dette utilità marginali dei prodotti. Da questa proprietà deriva che un aumento del consumo di un prodotto con lo stesso consumo di altri prodotti porta ad un aumento della valutazione del consumatore. Vettore è il gradiente della funzione, mostra la direzione di massima crescita della funzione. Per una funzione, il suo gradiente è un vettore delle utilità marginali dei prodotti.

2.

Quelli. L'utilità marginale di ogni bene diminuisce all'aumentare del consumo.

3.

Quelli. l'utilità marginale di ciascun prodotto aumenta con la quantità dell'altro prodotto.

Alcuni tipi di funzioni di utilità.

1) Neoclassico: .

2) Quadrato: , dove la matrice è definita negativa e per .

3) Funzione logaritmica: .

6.2 Linee di indifferenza

Nei problemi applicati e nei modelli di scelta del consumatore, viene spesso utilizzato un caso speciale di un insieme di due beni, ad es. quando la funzione di utilità dipende da due variabili. La linea dell'indifferenza è una linea che collega insiemi di consumatori che hanno lo stesso livello di soddisfazione dei bisogni dell'individuo. In sostanza, le linee di indifferenza sono linee a livello di funzione. Equazioni delle linee di indifferenza: .

Proprietà di base delle rette di indifferenza.

1. Le linee di indifferenza corrispondenti a diversi livelli di soddisfazione dei bisogni non si toccano né si intersecano.

2. Le linee di indifferenza diminuiscono.

3. Le linee di indifferenza sono convesse verso il basso.

La proprietà 2 implica un'importante uguaglianza approssimativa.

Questo rapporto mostra quanto un individuo dovrebbe aumentare (diminuire) il consumo del secondo prodotto diminuendo (aumentando) il consumo del primo prodotto di un'unità senza modificare il livello di soddisfazione dei suoi bisogni. Il rapporto è chiamato tasso di sostituzione del primo prodotto con il secondo e il valore è chiamato tasso marginale di sostituzione del primo prodotto con il secondo.

Esempio 53. Se l'utilità marginale del primo bene è 6, e il secondo è 2, allora con una diminuzione del consumo del primo bene di una unità, il consumo del secondo bene deve essere aumentato di 3 unità allo stesso modo livello di soddisfazione dei bisogni.

6.3 Budget stabilito

Permettere è il vettore dei prezzi per un insieme di n prodotti; I è il reddito dell'individuo, che è disposto a spendere per l'acquisto di un insieme di prodotti. L'insieme dei pacchi di beni che costano al massimo I a determinati prezzi è chiamato insieme di budget B. In questo caso, l'insieme dei pacchi di beni che costano I è chiamato confine G dell'insieme di budget B. Quindi. l'insieme B è delimitato dal confine G e dai vincoli naturali.

L'insieme di bilancio è descritto dal sistema delle disuguaglianze:

Nel caso di un insieme di due beni, l'insieme di bilancio B (Fig. 1) è un triangolo nel sistema di coordinate, delimitato dagli assi delle coordinate e dalla retta.

6.4 Teoria della domanda dei consumatori

Nella teoria del consumo si presume che il consumatore cerchi sempre di massimizzare la propria utilità e l'unico limite per lui è il reddito limitato I che può spendere per acquistare un insieme di beni. In generale, il problema della scelta del consumatore (il problema del comportamento razionale del consumatore nel mercato) è formulato come segue: trovare un insieme di consumatori , che massimizza la sua funzione di utilità dato il vincolo di bilancio. Modello matematico di questo compito:

Nel caso di un insieme di due elementi:

Geometricamente, la soluzione a questo problema è il punto di contatto tra il confine dell'insieme di bilancio G e la retta di indifferenza.

La soluzione di questo problema si riduce alla soluzione del sistema di equazioni:

(1)

La soluzione di questo sistema è la soluzione al problema della scelta del consumatore.

La soluzione al problema della scelta del consumatore è chiamata punto di domanda. Questo punto di domanda dipende dai prezzi e dal reddito, ad es. il punto di domanda è una funzione della domanda. A sua volta, la funzione di domanda è un insieme di n funzioni, ognuna delle quali dipende dall'argomento:

Queste funzioni sono chiamate funzioni di domanda dei rispettivi beni.

Esempio 54. Per un insieme di due beni sul mercato, prezzi noti per loro e reddito I, trova le funzioni di domanda se la funzione di utilità ha la forma .

Soluzione. Differenziamo la funzione di utilità:

.

Sostituiamo le espressioni ottenute in (1) e otteniamo un sistema di equazioni:

In questo caso, la spesa per ciascun prodotto sarà la metà del reddito del consumatore e l'importo del prodotto acquistato è pari all'importo speso per esso diviso per il prezzo del prodotto.

Esempio 55. Sia la funzione di utilità per il primo prodotto , il secondo ,

il prezzo del primo articolo, il prezzo del secondo. Reddito . Quanto di un bene dovrebbe acquistare un consumatore per massimizzare l'utilità?

Soluzione. Trova le derivate delle funzioni di utilità, sostituisci nel sistema (1) e risolvilo:

Questo insieme di beni è ottimale per il consumatore in termini di massimizzazione dell'utilità.

Il lavoro di controllo deve essere completato secondo l'opzione selezionata dall'ultima cifra del numero del registro in un quaderno separato. Ogni problema dovrebbe contenere una condizione, una soluzione dettagliata e una conclusione.

1. Introduzione al calcolo

Attività 1. Trova il dominio della funzione.

5.

Compito 2. Trova i limiti delle funzioni.

.

Attività 3. Trova i punti di interruzione delle funzioni e determina il loro tipo.

1. 2. 3.

capitolo 2

Compito 4. Trova le derivate di queste funzioni.

1.a); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y \u003d x tg x + ln sin x + e 3x;

f) y \u003d 2 x - arcsin x.

2. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 - + 3; e) y = e cos ; f) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y = ; b) y \u003d (e 5 x - 1) 6; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; f) y \u003d 3 x - arcsin x.

5. a) y \u003d 2x 3 - + e x; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 cos ; f) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y \u003d x 7 + + 1; f) y = 2.

7. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 + xsinx +; e) y = e cos ; f) y = .

8. a) y = ; b) y \u003d (3 x - 4) 6; c) y = sint;

d) y = 3x 4 - - 9+ 9; e) y = ;

e) y \u003d x 2 + arcsin x - x.

9.a); B) ; c) y = ; d) y \u003d 5 peccato 3 x; e) y \u003d x 3 - - 6+ 3; f) y = 4x 4 + ln.

10. a) b) y = ; c) y = (3 x - 4) 6 ; d) y = ; e) y \u003d x 2 - x; f) y \u003d e sin 3 x + 2.

Compito 5. Analizza una funzione e costruisci il suo grafico.

1. a) b) c).

2. a) b) v).

3. a) b) v).

4. b) v)

5. a) b) v).

6. a) b) v).

7. a) b) c).

8. a) b) c).

9. a) b) c).

10. a) b) v).

Attività 6. Trova il valore più grande e più piccolo della funzione in un dato intervallo.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Capitolo 3. Calcolo integrale

Compito 7. Trova gli integrali indefiniti.

1. a) B);

2. a) ;b) c) d).

4. G)

5. a) ; B); v) ; G).

6. a) ; B); v); G)

7. a) ; B) ; v) ; G)

8. a) ; B); v) ; G) .

9. a) ; avanti Cristo); G).

10. a) B) v) ; G) .

Compito 8. Calcola integrali definiti.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Problema 9. Trova integrali impropri o prova che divergono.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Problema 10. Trova l'area dell'area delimitata dalle curve

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Capitolo 4. Calcolo differenziale di una funzione di più variabili.

Attività 11. Trova il dominio della funzione (mostrato nel disegno).

Problema 12. Indagare la continuità di una funzione per

Compito 13. Trova la derivata di una funzione data implicitamente.

Problema 14. Calcola approssimativamente

1.a); b) ; v)

2. a) ; B) ; v) .

3. a) ; B) ; v).

4. a) ; B) ; v).

5.a); B) ; v).

6.a); B) ; v).

7.a); B) ; v).

8. a) ;b) ; v)

9. a) ; B) ; v) .

10. a) ;b) ; v)

Problema 15. Indagare una funzione per gli estremi.

7. .

8. .

9. .

10. .

Problema 16. Trova il valore più grande e più piccolo di una funzione in una data area chiusa.

1. in un rettangolo

2.

3. in un rettangolo

4. nell'area delimitata da una parabola

E l'ascissa.

5. al quadrato

6. in un triangolo delimitato dagli assi coordinati e da una retta

7. in un triangolo delimitato dagli assi coordinati e da una retta

8. in un triangolo delimitato dagli assi coordinati e da una retta

9. nell'area delimitata da una parabola

E l'ascissa.

10. nell'area delimitata da una parabola

E l'ascissa.

Principale

1. MS Crass, BP Chuprynov. Fondamenti di matematica e sua applicazione nell'educazione economica: libro di testo. - 4a ed., spagnolo. – M.: Delo, 2003.

2. MS Crass, BP Chuprynov. Matematica per le specialità economiche: libro di testo. - 4a ed., spagnolo. – M.: Delo, 2003.

3. MS Crass, BP Chuprynov. Matematica per Laurea in Economia. Manuale. - 4a ed., spagnolo. – M.: Delo, 2005.

4. Matematica superiore per gli economisti. Libro di testo per le università / N.Sh. Kremer, BA Putko, I.M. Trishin, MN Friedman; ed. prof. N.Sh. Kremer, - 2a ed., riveduta. e aggiuntivo - M: UNITI, 2003.

5. Kremer N.Sh, Putko BA, Trishin IM, Fridman M.N. Matematica superiore per le specialità economiche. Libro di testo e pratica (parte I e II) / Ed. prof. N.Sh. Kremer, - 2a ed., riveduta. e aggiuntivo - M: Istruzione superiore, 2007. - 893s. - (Fondamenti di Scienze)

6. Danko PE, Popov AG, Kozhevnikova T.Ya. Matematica superiore in esercizi e compiti. M. liceo. 1999.

Aggiuntivo

1. I.I. Bavrin, V.L. marinai. Matematica Superiore. "Centro editoriale umanitario di Vlados", 2002.

2. IA Zaitsev. Matematica Superiore. "Scuola superiore", 1998.

3. A.S. Solodovnikov, VA Babaitsev, AV Brailov, I.G. Shandra. Matematica in Economia / in due parti /. M. Finanza e statistica. 1999.

Il contenuto dell'articolo

ANALISI MATEMATICA, una branca della matematica che fornisce metodi per lo studio quantitativo di vari processi di cambiamento; si occupa dello studio del tasso di variazione (calcolo differenziale) e della determinazione delle lunghezze di curve, aree e volumi di figure delimitate da contorni e superfici curve (calcolo integrale). È tipico dei problemi di analisi matematica che la loro soluzione sia associata al concetto di limite.

L'inizio dell'analisi matematica fu posto nel 1665 da I. Newton e (circa 1675) indipendentemente da G. Leibniz, sebbene importanti lavori preparatori furono eseguiti da I. Keplero (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601– 1665), J. Wallis (1616–1703) e I. Barrow (1630–1677).

Per rendere più vivace la presentazione, si ricorrerà al linguaggio dei grafici. Pertanto, può essere utile per il lettore esaminare l'articolo GEOMETRIA ANALITICA prima di leggere questo articolo.

CALCOLO DIFFERENZIALE

Tangenti.

Sulla fig. 1 mostra un frammento della curva y = 2X – X 2 racchiuso tra X= –1 e X= 3. I segmenti sufficientemente piccoli di questa curva sembrano dritti. In altre parole, se Rè un punto arbitrario di questa curva, allora c'è una retta che passa per questo punto ed è un'approssimazione della curva in un piccolo intorno del punto R, e più piccolo è il vicinato, migliore è l'approssimazione. Tale linea è chiamata tangente alla curva nel punto R. Il compito principale del calcolo differenziale è costruire un metodo generale che consenta di trovare la direzione della tangente in qualsiasi punto della curva in cui esiste la tangente. È facile immaginare una curva con una forte interruzione (Fig. 2). Se Rè il vertice di tale interruzione, allora è possibile costruire una retta approssimata PT 1 - a destra del punto R e un'altra linea di approssimazione RT 2 - a sinistra del punto R. Ma non c'è una singola linea che passa per il punto R, che si avvicinava ugualmente bene alla curva in prossimità del punto P sia a destra che a sinistra, da cui la tangente al punto P non esiste.

Sulla fig. 1 tangente A PARTIRE DAL disegnato attraverso l'origine o= (0,0). La pendenza di questa retta è 2, cioè quando l'ascissa cambia di 1, l'ordinata aumenta di 2. Se X e y sono le coordinate di un punto arbitrario su A PARTIRE DAL, quindi allontanarsi da o ad una distanza X unità a destra, ci allontaniamo o il 2 y unità in su. Quindi, y/X= 2, o y = 2X. Questa è l'equazione della tangente A PARTIRE DAL alla curva y = 2X – X 2 al punto o.

Occorre ora spiegare il perché, dall'insieme delle rette passanti per il punto o, viene scelta la retta A PARTIRE DAL. Qual è la differenza tra una retta con pendenza 2 e altre rette? C'è una risposta semplice, ed è difficile resistere alla tentazione di darla usando l'analogia di una tangente a un cerchio: la tangente A PARTIRE DAL ha un solo punto in comune con la curva, mentre qualsiasi altra linea non verticale passante per il punto o, attraversa la curva due volte. Questo può essere verificato come segue.

Dal momento che l'espressione y = 2X – X 2 si ottiene sottraendo X 2 di y = 2X(equazioni in linea diretta A PARTIRE DAL), quindi i valori y per la grafica c'è meno conoscenza y per una retta in tutti i punti, tranne il punto X= 0. Pertanto, il grafico è ovunque tranne che per il punto o, che si trova sotto A PARTIRE DAL, e questa linea e il grafico hanno un solo punto in comune. Inoltre, se y = mx- l'equazione di qualche altra retta passante per il punto o, allora devono esserci due punti di intersezione. Veramente, mx = 2X – X 2 non solo per X= 0, ma anche per X = 2 – m. E solo quando m= 2 entrambi i punti di intersezione coincidono. Sulla fig. 3 mostra il caso quando m meno di 2, quindi a destra di o c'è un secondo punto di intersezione.

Che cosa A PARTIRE DALè l'unica linea non verticale che passa per il punto o e avendo un solo punto in comune con il grafico, che non è la sua proprietà più importante. Infatti, se passiamo ad altri grafici, risulterà presto chiaro che la proprietà della tangente che abbiamo notato generalmente non è soddisfatta. Ad esempio, dalla fig. 4 si vede che in prossimità del punto (1,1) il tracciato della curva y = X 3 è ben approssimato da una retta RT, che, tuttavia, ha più di un punto in comune con esso. Tuttavia, vorremmo considerare RT tangente a questo grafico nel punto R. Pertanto, è necessario trovare un altro modo per evidenziare la tangente rispetto a quello che ci è servito così bene nel primo esempio.

Assumiamo che attraverso il punto o e un punto arbitrario Q = (h,K) sul grafico della curva y = 2X – X 2 (Fig. 5) viene tracciata una retta (detta secante). Sostituendo nell'equazione della curva i valori X = h e y = K, lo abbiamo capito K = 2h – h 2 , quindi, la pendenza della secante è uguale a

A molto piccolo h senso m vicino a 2. Inoltre, scegliendo h abbastanza vicino a 0, possiamo farlo m arbitrariamente vicino a 2. Possiamo dirlo m"va al limite" uguale a 2 quando h tende a zero, o qual è il limite mè uguale a 2 quando h tendente a zero. Simbolicamente è scritto così:

Quindi la tangente al grafico nel punto o definita come una retta passante per un punto o, con pendenza pari a questo limite. Questa definizione di tangente è applicabile nel caso generale.

Mostreremo i vantaggi di questo approccio con un altro esempio: troveremo la pendenza della tangente al grafico della curva y = 2X – X 2 in un punto arbitrario P = (X,y), non limitato al caso più semplice quando P = (0,0).

Permettere Q = (X + h, y + K) è il secondo punto del grafico, situato a distanza h alla destra R(Fig. 6). È necessario trovare il coefficiente di pendenza K/h secante PQ. Punto Qè a distanza

oltre l'asse X.

Espandendo le parentesi, troviamo:

Sottraendo da questa equazione y = 2X – X 2 , trova la distanza verticale dal punto R al punto Q:

Pertanto, la pendenza m secante PQ equivale

Ora che h tende a zero m tende a 2 - 2 X; prenderemo l'ultimo valore per la pendenza della tangente PT. (Lo stesso risultato si otterrà se h assume valori negativi, che corrispondono alla scelta di un punto Q A sinistra di P.) Si noti che per X= 0 il risultato è lo stesso del precedente.

Espressione 2 - 2 Xè chiamata derivata di 2 X – X 2. Anticamente la derivata era anche chiamata "rapporto differenziale" e "coefficiente differenziale". Se l'espressione 2 X – X 2 designare F(X), cioè.

allora si può denotare la derivata

Per scoprire la pendenza della tangente al grafico della funzione y = F(X) ad un certo punto, è necessario sostituire in Fў ( X) valore corrispondente a questo punto X. Quindi la pendenza Fў (0) = 2 per X = 0, Fў (0) = 0 per X= 1 e F¢ (2) = –2 a X = 2.

Si indica anche la derivata inў , dio/dx, D x y e Fare.

Il fatto che la curva y = 2X – X 2 vicino a un dato punto è praticamente indistinguibile dalla sua tangente a questo punto, ci permette di parlare della pendenza della tangente come della "pendenza della curva" nel punto di contatto. Possiamo quindi asserire che la pendenza della curva che stiamo considerando ha pendenza 2 nel punto (0,0), possiamo anche dire che quando X= 0 tasso di variazione y relativamente Xè uguale a 2. Nel punto (2,0), la pendenza della tangente (e della curva) è -2. (Il segno meno significa che come X variabile y decresce.) Nel punto (1,1) la tangente è orizzontale. Diciamo la curva y = 2X – X 2 ha un valore stazionario a questo punto.

Alti e bassi.

Abbiamo appena mostrato che la curva F(X) = 2X – X 2 è fermo nel punto (1,1). Perché Fў ( X) = 2 – 2X = 2(1 – X), è chiaro che quando X, meno di 1, Fў ( X) è positivo, e quindi y aumenta; in X, grande 1, Fў ( X) è negativo, e quindi y diminuisce. Pertanto, in prossimità del punto (1,1), indicato in Fig. 6 lettera m, senso in crescendo fino a un certo punto m, fermo nel punto m e diminuisce dopo il punto m. Tale punto è chiamato "massimo" perché il valore in a questo punto supera uno qualsiasi dei suoi valori in un quartiere sufficientemente piccolo di esso. Allo stesso modo, "minimo" è definito come il punto attorno al quale tutti i valori y superano il valore in proprio a questo punto. Può anche accadere che sebbene il derivato di F(X) ad un certo punto e scompare, il suo segno non cambia in un quartiere di questo punto. Tale punto, che non è né massimo né minimo, è chiamato punto di flesso.

Ad esempio, troviamo il punto stazionario della curva

La derivata di questa funzione è

e svanisce a X = 0, X= 1 e X= –1; quelli. ai punti (0,0), (1, –2/15) e (–1, 2/15). Se X leggermente inferiore a -1, quindi Fў ( X) è negativo; Se X poco più di -1, quindi Fў ( X) è positivo. Pertanto, il punto (–1, 2/15) è il massimo. Allo stesso modo si può dimostrare che il punto (1, -2/15) è minimo. Ma il derivato Fў ( X) è negativo sia prima del punto (0,0) che dopo di esso. Pertanto, (0,0) è un punto di flesso.

Lo studio effettuato sulla forma della curva, nonché sul fatto che la curva interseca l'asse X in F(X) = 0 (cioè, per X= 0 o ) ci permettono di rappresentare il suo grafico approssimativamente come mostrato in Fig. 7.

In generale, se escludiamo casi insoliti (curve contenenti segmenti di retta o un numero infinito di curve), ci sono quattro opzioni per la posizione relativa della curva e della tangente in prossimità del punto tangente R. (Centimetro. Riso. 8, dove la tangente ha pendenza positiva.)

1) Su entrambi i lati della punta R la curva si trova sopra la tangente (Fig. 8, un). In questo caso, diciamo che la curva nel punto R convesso verso il basso o concavo.

2) Su entrambi i lati della punta R la curva si trova al di sotto della tangente (Fig. 8, B). In questo caso, la curva si dice convessa verso l'alto o semplicemente convessa.

3) e 4) La curva si trova sopra la tangente su un lato del punto R e sotto - dall'altro. In questo caso R- punto di flesso.

Valori a confronto Fў ( X) su entrambi i lati di R con il suo valore al punto R, puoi determinare quale di questi quattro casi devi affrontare in un particolare problema.

Applicazioni.

Tutto quanto sopra trova importanti applicazioni in vari campi. Ad esempio, se un corpo viene lanciato verticalmente verso l'alto con una velocità iniziale di 200 piedi al secondo, allora l'altezza S, su cui saranno ubicati attraverso T secondi rispetto al punto di partenza saranno

Procedendo allo stesso modo degli esempi che abbiamo considerato, troviamo

questo valore svanisce a s. Derivato Fў ( X) è positivo fino a c e negativo dopo questo tempo. Quindi, S aumenta a , quindi diventa stazionario e quindi diminuisce. Questa è la descrizione generale del movimento di un corpo lanciato verso l'alto. Da esso impariamo quando il corpo raggiunge il suo punto più alto. Successivamente, sostituendo T= 25/4 pollici F(T), otteniamo 625 piedi, l'altezza massima di sollevamento. In questo compito Fў ( T) ha un significato fisico. Questa derivata mostra la velocità con cui il corpo si muove alla volta T.

Consideriamo ora un altro tipo di applicazione (Figura 9). Da un foglio di cartone con un'area di 75 cm 2, è necessario realizzare una scatola con fondo quadrato. Quali dovrebbero essere le dimensioni di questa scatola affinché abbia il volume massimo? Se X- lato della base della scatola e hè la sua altezza, allora il volume della scatola è uguale a V = X 2 h, e la superficie è 75 = X 2 + 4xh. Trasformando l'equazione, otteniamo:

Derivato di V risulta essere uguale

e svanisce a X= 5. Allora

e V= 125/2. Grafico delle funzioni V = (75X – X 3)/4 è mostrato in fig. 10 (valori negativi X omesso in quanto privo di significato fisico in questo problema).

Derivati.

Un compito importante del calcolo differenziale è la creazione di metodi che consentono di trovare le derivate in modo rapido e conveniente. Ad esempio, è facile calcolarlo

(La derivata della costante è, ovviamente, zero.) Non è difficile dedurre la regola generale:

dove n- qualsiasi numero intero o frazione. Ad esempio,

(Questo esempio mostra quanto siano utili gli esponenti frazionari.)

Ecco alcune delle formule più importanti:

Ci sono anche le seguenti regole: 1) se ognuna delle due funzioni G(X) e F(X) ha derivati, allora la derivata della loro somma è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni, e la derivata della differenza è uguale alla differenza delle derivate, cioè

2) la derivata del prodotto di due funzioni si calcola con la formula:

3) la derivata del rapporto di due funzioni ha la forma

4) la derivata di una funzione moltiplicata per una costante è uguale alla costante moltiplicata per la derivata di questa funzione, cioè

Capita spesso che i valori di una funzione debbano essere calcolati per gradi. Ad esempio, per calcolare il peccato X 2, dobbiamo prima trovare tu = X 2 , quindi calcola già il seno del numero tu. Troviamo la derivata di tali funzioni complesse usando la cosiddetta "regola della catena":

Nel nostro esempio F(tu) = peccato tu, Fў ( tu) = cos tu, quindi,

Queste e altre regole simili consentono di annotare immediatamente le derivate di molte funzioni.

Approssimazioni lineari.

Il fatto che, conoscendo la derivata, possiamo in molti casi sostituire il grafico di una funzione vicino a un punto con la sua tangente in quel punto è di grande importanza, poiché è più facile lavorare con le rette.

Questa idea trova un'applicazione diretta nel calcolo dei valori approssimativi delle funzioni. Ad esempio, è piuttosto difficile calcolare il valore per X= 1.033. Ma puoi usare il fatto che il numero 1.033 è vicino a 1 e che . chiudere X= 1 possiamo sostituire il grafico della curva tangente senza commettere gravi errori. La pendenza di tale tangente è uguale al valore della derivata ( X 1/3)ў = (1/3) X–2/3 per x = 1, cioè 1/3. Poiché il punto (1,1) giace sulla curva e la pendenza della tangente alla curva in questo punto è 1/3, l'equazione della tangente ha la forma

Su questa linea retta X = 1,033

Valore ricevuto y dovrebbe essere molto vicino al valore reale y; e, infatti, è solo 0,00012 in più di quello vero. Nell'analisi matematica sono stati sviluppati metodi che consentono di migliorare l'accuratezza di tali approssimazioni lineari. Questi metodi garantiscono l'affidabilità dei nostri calcoli approssimativi.

La procedura appena descritta suggerisce un'utile notazione. Permettere P- il punto corrispondente al grafico della funzione F variabile X e lascia che la funzione F(X) è differenziabile. Cambiamo il tracciato della curva vicino al punto R tangente ad esso in quel punto. Se X cambia in valore h, quindi l'ordinata tangente cambierà del valore h h F ў ( X). Se h molto piccolo, allora quest'ultimo valore è una buona approssimazione del vero cambiamento nell'ordinata y grafica. Se invece h scriveremo un personaggio dx(questo non è un prodotto!), ma un cambiamento nell'ordinata y denota dio, allora otteniamo dio = F ў ( X)dx, o dio/dx = F ў ( X) (centimetro. Riso. undici). Pertanto, invece di Dy o F ў ( X) per denotare la derivata, viene spesso utilizzato il simbolo dio/dx. La convenienza di questa notazione dipende principalmente dall'aspetto esplicito della regola della catena (la differenziazione di una funzione complessa); nella nuova notazione, questa formula si presenta così:

dove è implicito che in dipende da tu, un tu a sua volta dipende X.

Valore dio chiamato differenziale in; in realtà dipende Due variabili, ovvero: da X e incrementi dx. Quando incremento dx molto piccolo, di dimensioni dioè vicino alla corrispondente modifica del valore y. Ma supponiamo che l'incremento dx poco, non serve.

Derivata di una funzione y = F(X) abbiamo indicato F ў ( X) o dio/dx. Spesso è possibile prendere la derivata della derivata. Il risultato è chiamato derivata seconda di F (X) e indicato F ўў ( X) o D 2 y/dx 2. Ad esempio, se F(X) = X 3 – 3X 2, quindi F ў ( X) = 3X 2 – 6X e F ўў ( X) = 6X– 6. Una notazione simile viene utilizzata per le derivate di ordine superiore. Tuttavia, per evitare un numero elevato di numeri primi (uguale all'ordine della derivata), la quarta derivata (ad esempio) può essere scritta come F (4) (X), e la derivata n esimo ordine come F (n) (X).

Si può dimostrare che la curva in un punto è convessa verso il basso se la derivata seconda è positiva e convessa verso l'alto se la derivata seconda è negativa.

Se la funzione ha una derivata seconda, allora la modifica del valore y corrispondente all'incremento dx variabile X, può essere approssimativamente calcolato dalla formula

Questa approssimazione è generalmente migliore di quella data dal differenziale Fў ( X)dx. Corrisponde alla sostituzione di parte della curva non più una retta, ma una parabola.

Se la funzione ha F(X) ci sono derivati ​​di ordini superiori, quindi

Il resto del termine ha la forma

dove X- un certo numero tra X e X + dx. Il risultato sopra è chiamato formula di Taylor con resto. Se F(X) ha derivati ​​di tutti gli ordini, quindi di solito R n® 0 per n ® Ґ .

CALCOLO INTEGRALE

Piazze.

Lo studio delle aree delle figure piane curvilinee apre nuovi aspetti dell'analisi matematica. Tali problemi furono tentati di risolvere anche dagli antichi greci, per i quali determinare, ad esempio, l'area di un cerchio era uno dei compiti più difficili. Grande successo nella risoluzione di questo problema è stato ottenuto da Archimede, che è anche riuscito a trovare l'area del segmento parabolico (Fig. 12). Con ragionamenti molto complessi Archimede dimostrò che l'area di un segmento parabolico è 2/3 dell'area del rettangolo circoscritto e, quindi, in questo caso è uguale a (2/3)(16) = 32/ 3. Come vedremo in seguito, questo risultato può essere facilmente ottenuto con metodi di analisi matematica.

I predecessori di Newton e Leibniz, principalmente Keplero e Cavalieri, risolsero i problemi di calcolo delle aree delle figure curvilinee con un metodo che difficilmente può essere definito logicamente valido, ma che si rivelò estremamente fruttuoso. Quando Wallis, nel 1655, unì i metodi di Keplero e Cavalieri con quelli di Cartesio (geometria analitica) e si avvantaggiava della neonata algebra, la scena per l'emergere di Newton era del tutto preparata.

Wallis divise la figura, la cui area doveva essere calcolata, in strisce molto strette, ciascuna delle quali era approssimativamente considerata un rettangolo. Quindi sommava le aree dei rettangoli approssimativi e, nei casi più semplici, otteneva il valore a cui tendeva la somma delle aree dei rettangoli quando il numero delle strisce andava all'infinito. Sulla fig. 13 mostra dei rettangoli corrispondenti ad alcune striature dell'area sotto la curva y = X 2 .

Teorema principale.

La grande scoperta di Newton e Leibniz permise di eliminare il laborioso processo di passaggio al limite della somma delle aree. Ciò è stato possibile grazie a un nuovo sguardo al concetto di area. La linea di fondo è che dovremmo rappresentare l'area sotto la curva come generata dall'ordinata che si sposta da sinistra a destra e chiedere quanto velocemente cambia l'area spazzata dalle ordinate. Otteniamo la chiave per rispondere a questa domanda se consideriamo due casi speciali in cui l'area è conosciuta in anticipo.

Iniziamo con l'area sotto il grafico della funzione lineare y = 1 + X, poiché in questo caso l'area può essere calcolata utilizzando la geometria elementare.

Permettere UN(X) è la parte del piano racchiusa tra la retta y = 1 + X e segmento OQ(Fig. 14). Durante la guida QP quadrato destro UN(X) aumenta. A che velocità? Non è difficile rispondere a questa domanda, poiché sappiamo che l'area di un trapezio è uguale al prodotto della sua altezza e metà della somma delle basi. Quindi,

Tasso di cambio di area UN(X) è determinato dalla sua derivata

Lo vediamo UNў ( X) coincide con l'ordinata in punti R. È per caso? Proviamo a controllare la parabola mostrata in Fig. 15. Piazza UN (X) sotto la parabola in = X 2 nell'intervallo da 0 a Xè uguale a UN(X) = (1 / 3)(X)(X 2) = X 3/3. Il tasso di variazione di quest'area è determinato dall'espressione

che coincide esattamente con l'ordinata in punto in movimento R.

Supponendo che questa regola valga nel caso generale, quindi

è la velocità di variazione dell'area sotto il grafico della funzione y = F(X), quindi questo può essere utilizzato per calcoli di altre aree. In effetti, il rapporto UNў ( X) = F(X) esprime un teorema fondamentale che potrebbe essere formulato come segue: la derivata, ovvero il tasso di variazione dell'area in funzione di X, è uguale al valore della funzione F (X) al punto X.

Ad esempio, per trovare l'area sotto il grafico di una funzione y = X 3 da 0 a X(Fig. 16), abbiamo impostato

Una possibile risposta recita:

poiché la derivata di X 4/4 è davvero uguale X 3. Inoltre, UN(X) è zero per X= 0, come dovrebbe essere se UN(X) è davvero un'area.

Nell'analisi matematica, è dimostrato che non c'è altra risposta che l'espressione sopra per UN(X), non esiste. Mostriamo che questa affermazione è plausibile usando il seguente ragionamento euristico (non rigoroso). Supponiamo che ci sia una seconda soluzione V(X). Se UN(X) e V(X) “inizia” contemporaneamente dal valore zero a X= 0 e cambiano sempre alla stessa velocità, quindi i loro valori non saranno mai X non può diventare diverso. Devono corrispondere ovunque; quindi c'è una soluzione unica.

Come puoi giustificare il rapporto UNў ( X) = F(X) generalmente? Questa domanda può essere risolta solo studiando il tasso di variazione dell'area in funzione di X generalmente. Permettere m- il valore più piccolo della funzione F (X) nell'intervallo da X prima di ( X + h), un mè il valore più grande di questa funzione nello stesso intervallo. Quindi l'area aumenta al passaggio da X A ( X + h) deve essere racchiuso tra le aree dei due rettangoli (Fig. 17). Le basi di entrambi i rettangoli sono uguali h. Il rettangolo più piccolo ha un'altezza m e zona mh, rispettivamente più grandi m e Mh. Su un lotto di area vs. X(Fig. 18) si può vedere che quando l'ascissa cambia in h, il valore dell'ordinata (cioè l'area) viene aumentato dell'importo compreso tra mh e Mh. La pendenza della secante in questo grafico è compresa tra m e m. cosa succede quando h va a zero? Se il grafico della funzione y = F(X) è continuo (cioè non contiene discontinuità), quindi m, e m tendere a F(X). Pertanto, la pendenza UNў ( X) grafico dell'area in funzione di X equivale F(X). Questa era la conclusione che doveva essere raggiunta.

Leibniz ha proposto per l'area sotto la curva y = F(X) da 0 a un designazione

Con un approccio rigoroso, questo cosiddetto integrale definito deve essere definito come il limite di determinate somme alla maniera di Wallis. Dato il risultato ottenuto sopra, è chiaro che questo integrale è calcolato a condizione che possiamo trovare tale funzione UN(X), che svanisce quando X= 0 e ha una derivata UNў ( X) uguale a F (X). Trovare una tale funzione è solitamente chiamato integrazione, anche se sarebbe più appropriato chiamare questa operazione anti-differenziazione, nel senso che è in un certo senso l'inverso della differenziazione. Nel caso di un polinomio, l'integrazione è facile. Ad esempio, se

che è facile da verificare differenziando UN(X).

Per calcolare l'area UN 1 sotto la curva y = 1 + X + X 2/2 racchiusa tra le ordinate 0 e 1, scriviamo semplicemente

e sostituendo X= 1, otteniamo UN 1 = 1 + 1 / 2 + 1 / 6 = 5 / 3. Piazza UN(X) da 0 a 2 è UN 2 = 2 + 4 / 2 + 8 / 6 = 16 / 3. Come si può vedere dalla figura. 19, l'area racchiusa tra le ordinate 1 e 2 è UN 2 – UN 1 = 11 / 3. Di solito è scritto come un integrale definito

Volumi.

Un ragionamento simile rende sorprendentemente semplice calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione. Dimostriamolo usando l'esempio del calcolo del volume di una palla, altro classico problema che gli antichi greci, utilizzando i metodi a loro noti, riuscirono a risolvere con grande difficoltà.

Ruotiamo una parte del piano racchiusa all'interno di un quarto di cerchio di raggio R, ad un angolo di 360° attorno all'asse X. Di conseguenza, otteniamo un emisfero (Fig. 20), il cui volume indichiamo V(X). È necessario determinare la velocità con cui il V(X) all'aumentare X. Partendo da X a X + h, è facile verificare che l'incremento del volume sia inferiore al volume P(R 2 – X 2)h cilindro circolare di raggio e altezza h, e più del volume P[R 2 – (X + h) 2 ]h raggio e altezza del cilindro h. Pertanto, sul grafico della funzione V(X) la pendenza della secante è racchiusa tra P(R 2 – X 2) e P[R 2 – (X + h) 2 ]. quando h tende a zero, la pendenza tende a

A X = R noi abbiamo

per il volume dell'emisfero, e quindi 4 pr 3/3 per il volume dell'intera palla.

Un metodo simile consente di trovare le lunghezze delle curve e le aree delle superfici curve. Ad esempio, se un(X) - lunghezza dell'arco PR in fig. 21, allora il nostro compito è calcolare unў( X). A livello euristico utilizzeremo una tecnica che ci permette di non ricorrere al solito passaggio al limite, necessario per una prova rigorosa del risultato. Assumiamo che il tasso di variazione della funzione un(X) al punto R lo stesso che sarebbe se la curva fosse sostituita dalla sua tangente PT al punto P. Ma dalla Fig. 21 è direttamente visibile, quando si cammina h a destra o a sinistra del punto X lungo RT senso un(X) cambia in

Pertanto, il tasso di variazione della funzione un(X) è

Per trovare la funzione stessa un(X), è solo necessario integrare l'espressione sul lato destro dell'uguaglianza. Si scopre che l'integrazione è piuttosto difficile per la maggior parte delle funzioni. Pertanto, lo sviluppo di metodi di calcolo integrale è una parte importante dell'analisi matematica.

Primitivi.

Ogni funzione la cui derivata è uguale alla funzione data F(X), è chiamato antiderivato (o primitivo) per F(X). Ad esempio, X 3 /3 - antiderivata per la funzione X 2 perché ( X 3 /3)ў = X 2. Ovviamente X 3/3 non è l'unica antiderivata della funzione X 2 perché X 3 /3 + Cè anche la derivata di X 2 per qualsiasi costante CON. Tuttavia, in quanto segue accettiamo di omettere tali costanti additivi. Generalmente

dove nè un numero intero positivo, poiché ( x n + 1/(n+ 1))ў = x n. La relazione (1) è soddisfatta in senso ancora più generale se n sostituire con qualsiasi numero razionale K, ad eccezione di -1.

Una funzione antiderivativa arbitraria per una data funzione F(X) è solitamente chiamato integrale indefinito di F(X) e denotarlo come

Ad esempio, poiché (peccato X)ў = cos X, la formula

In molti casi in cui esiste una formula per l'integrale indefinito di una data funzione, può essere trovata in numerose tabelle di integrali indefiniti ampiamente pubblicate. Gli integrali delle funzioni elementari sono tabulari (includono potenze, logaritmi, funzioni esponenziali, funzioni trigonometriche, funzioni trigonometriche inverse, nonché le loro combinazioni finite ottenute mediante addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Con l'aiuto degli integrali tabulari, gli integrali possono essere calcolati anche da funzioni più complesse. Esistono molti modi per calcolare gli integrali indefiniti; il più comune di questi è il metodo di sostituzione o sostituzione delle variabili. Consiste nel fatto che se vogliamo sostituire nell'integrale indefinito (2) X a qualche funzione differenziabile X = G(tu), allora affinché l'integrale non cambi, è necessario X sostituito da Gў ( tu)du. In altre parole, l'uguaglianza

(sostituzione 2 X = tu, da cui 2 dx = du).

Presentiamo un altro metodo di integrazione: il metodo di integrazione per parti. Si basa sulla famosa formula

Dopo aver integrato i lati sinistro e destro e averne tenuto conto

Questa formula è chiamata formula di integrazione per parti.

Esempio 2. Necessità di trovare. Poiché cos X= (peccato X)ў , possiamo scriverlo

Da (5), supponendo tu = X e v= peccato X, noi abbiamo

E poiché (-cos X)ў = peccato X lo troviamo e

Va sottolineato che ci siamo limitati a una brevissima introduzione a un argomento molto ampio, in cui sono stati accumulati numerosi trucchi spiritosi.

Funzioni di due variabili.

A causa della curva y = F(X), abbiamo considerato due problemi.

1) Trova la pendenza della tangente alla curva in un dato punto. Questo problema si risolve calcolando il valore della derivata Fў ( X) nel punto indicato.

2) Trova l'area sotto la curva sopra il segmento dell'asse X delimitata da linee verticali X = un e X = B. Questo problema si risolve calcolando un integrale definito.

Ognuno di questi problemi ha un analogo nel caso di una superficie z = F(X,y).

1) Trova il piano tangente alla superficie in un dato punto.

2) Trova il volume sotto la superficie sopra la parte del piano eh, curva delimitata CON, e sul lato - perpendicolare al piano xy passante per i punti della curva limite CON (centimetro. Riso. 22).

Gli esempi seguenti mostrano come vengono risolti questi problemi.

Esempio 4. Trova il piano tangente alla superficie

nel punto (0,0,2).

Un piano è definito se vengono fornite due linee intersecanti che giacciono in esso. Una di queste righe l 1) saliremo sull'aereo xz (in= 0), secondo ( l 2) - nell'aereo yz (X = 0) (centimetro. Riso. 23).

Innanzitutto se in= 0, quindi z = F(X,0) = 2 – 2X – 3X 2. Derivato rispetto a X, indicato Fў X(X,0) = –2 – 6X, in X= 0 ha un valore di -2. Dritto l 1 dato dalle equazioni z = 2 – 2X, in= 0 - tangente a CON 1, linee di intersezione della superficie con il piano in= 0. Allo stesso modo, se X= 0, quindi F(0,y) = 2 – y – y 2 , e la derivata rispetto a in ha la forma

Perché Fў y(0,0) = -1, curva CON 2 - linea di intersezione della superficie con il piano yz- ha una tangente l 2 dato dalle equazioni z = 2 – y, X= 0. Il piano tangente desiderato contiene entrambe le rette l 1 e l 2 ed è scritto dall'equazione

Questa è l'equazione del piano. Inoltre, otteniamo direttamente l 1 e l 2, assumendo, rispettivamente, in= 0 e X = 0.

Il fatto che l'equazione (7) definisca effettivamente un piano tangente può essere visto a livello euristico se si nota che questa equazione contiene termini del primo ordine nell'equazione (6), e che i termini del secondo ordine possono essere rappresentati come –. Poiché questa espressione è negativa per tutti i valori X e in, Inoltre X = in= 0, la superficie (6) si trova al di sotto del piano (7) ovunque, tranne il punto R= (0,0,0). Possiamo dire che la superficie (6) è convessa verso l'alto nel punto R.

Esempio 5. Trova il piano tangente alla superficie z = F(X,y) = X 2 – y 2 all'origine 0.

In superficie in= 0 abbiamo: z = F(X,0) = X 2 e Fў X(X,0) = 2X. Sul CON 1, linee di intersezione, z = X 2. Al punto o la pendenza è Fў X(0,0) = 0. Sul piano X= 0 abbiamo: z = F(0,y) = –y 2 e Fў y(0,y) = –2y. Sul CON 2, linee di intersezione, z = –y 2. Al punto o pendenza della curva CON 2 uguale Fў y(0,0) = 0. Poiché le tangenti a CON 1 e CON 2 sono assi X e in, il piano tangente che li contiene è il piano z = 0.

Tuttavia, in prossimità dell'origine, la nostra superficie non è dalla stessa parte del piano tangente. Infatti, la curva CON 1 si trova sopra il piano tangente ovunque, ad eccezione del punto 0 e della curva CON 2 - rispettivamente al di sotto di esso. La superficie interseca il piano tangente z= 0 in linea retta in = X e in = –X. Si dice che tale superficie abbia un punto di sella all'origine (Fig. 24).

Derivati ​​privati.

Negli esempi precedenti abbiamo utilizzato le derivate di F (X,y) in poi X e da in. Consideriamo ora tali derivate in modo più generale. Se abbiamo una funzione di due variabili, ad esempio, F(X,y) = X 2 – xy, allora possiamo determinare in ogni punto due delle sue "derivate parziali", una - differenziando la funzione rispetto a X e fissaggio in, e differenziando l'altro rispetto a in e fissaggio X. La prima di queste derivate è indicata come Fў X(X,y) o ¶ F/¶ X; il secondo è come F F y. Se entrambe le derivate miste (by X e in, in poi in e X) sono continui, quindi ¶ 2 F/¶ X¶ y= ¶ 2 F/¶ y¶ X; nel nostro esempio ¶ 2 F/¶ X¶ y= ¶ 2 F/¶ y¶ X = –1.

Derivata parziale Fў X(X,y) indica la velocità di modifica della funzione F al punto ( X,y) in direzione di aumento X, un Fў y(X,y) è la velocità di variazione della funzione F in direzione ascendente in. Tasso di cambio di funzione F al punto ( X,in) nella direzione della retta che costituisce l'angolo Q con direzione dell'asse positiva X, è chiamata derivata della funzione F verso qualcosa; il suo valore è una combinazione di due derivate parziali della funzione f nel piano tangente è quasi uguale (per small dx e dio) vero cambiamento z in superficie, ma calcolare il differenziale di solito è più facile.

La formula che abbiamo già considerato dal cambio di metodo della variabile, detta derivata di una funzione complessa o regola della catena, nel caso unidimensionale, quando in dipende da X, un X dipende da T, sembra:

Per funzioni di due variabili, una formula simile ha la forma:

I concetti e la notazione di differenziazione parziale possono essere facilmente generalizzati a dimensioni superiori. In particolare, se la superficie è data implicitamente dall'equazione F(X,y,z) = 0, l'equazione del piano tangente alla superficie può avere una forma più simmetrica: l'equazione del piano tangente nel punto ( x(x 2 /4)], quindi si integra X da 0 a 1. Il risultato finale è 3/4.

La formula (10) può anche essere interpretata come il cosiddetto integrale doppio, cioè come limite della somma dei volumi delle "celle" elementari. Ciascuna di queste celle ha una base D X D y e un'altezza uguale all'altezza della superficie sopra un punto della base rettangolare ( centimetro. Riso. 26). Si può dimostrare che entrambi i punti di vista sulla formula (10) sono equivalenti. Gli integrali doppi sono usati per trovare i centri di gravità e numerosi momenti incontrati in meccanica.

Una giustificazione più rigorosa dell'apparato matematico.

Finora abbiamo presentato i concetti ei metodi dell'analisi matematica a livello intuitivo e non abbiamo esitato a ricorrere alle figure geometriche. Resta da considerare brevemente i metodi più rigorosi emersi nei secoli XIX e XX.

All'inizio del diciannovesimo secolo, quando finì l'era dell'assalto e dell'assalto nella "creazione dell'analisi matematica", vennero alla ribalta le domande sulla sua giustificazione. Nelle opere di Abele, Cauchy e numerosi altri eminenti matematici, i concetti di "limite", "funzione continua", "serie convergente" sono stati definiti con precisione. Ciò era necessario per introdurre un ordine logico nella base dell'analisi matematica in modo da farne uno strumento di ricerca affidabile. La necessità di una giustificazione completa divenne ancora più evidente dopo la scoperta nel 1872 da parte di Weierstrass di funzioni che sono ovunque continue ma in nessun modo differenziabili (il grafico di tali funzioni ha un'interruzione in ciascuno dei suoi punti). Questo risultato fece una straordinaria impressione sui matematici, poiché contraddiceva chiaramente la loro intuizione geometrica. Un esempio ancora più eclatante dell'inaffidabilità dell'intuizione geometrica è stata la curva continua costruita da D. Peano, che riempie completamente un certo quadrato, cioè passando per tutti i suoi punti. Queste e altre scoperte hanno dato vita al programma di "aritmetizzazione" della matematica, cioè rendendolo più affidabile sostanziando tutti i concetti matematici con l'aiuto del concetto di numero. L'astensione quasi puritana dalla visualizzazione nelle opere sui fondamenti della matematica aveva una sua giustificazione storica.

Secondo i moderni canoni del rigore logico, è inaccettabile parlare dell'area sotto la curva y = F(X) e sopra il segmento dell'asse X, Anche Fè una funzione continua, senza aver preventivamente determinato l'esatto significato del termine "area" e senza stabilire che l'area così definita esista realmente. Questo problema fu risolto con successo nel 1854 da B. Riemann, che diede una definizione precisa del concetto di integrale definito. Da allora, l'idea di sintesi alla base del concetto di integrale definito è stata oggetto di molte approfondite indagini e generalizzazioni. Di conseguenza, oggi è possibile dare significato all'integrale definito, anche se l'integrando è ovunque discontinuo. Nuovi concetti di integrazione, alla creazione dei quali A. Lebesgue (1875–1941) e altri matematici hanno dato un grande contributo, hanno accresciuto la potenza e la bellezza dell'analisi matematica moderna.

Non sarebbe appropriato entrare nei dettagli di tutti questi e altri concetti. Ci limitiamo a dare definizioni rigorose del limite e dell'integrale definito.

In conclusione, diciamo che l'analisi matematica, essendo uno strumento estremamente prezioso nelle mani di uno scienziato e di un ingegnere, attira ancora oggi l'attenzione dei matematici come fonte di idee fruttuose. Allo stesso tempo, lo sviluppo moderno sembra indicare che l'analisi matematica è sempre più assorbita da tale dominante nel 20° secolo. rami della matematica come l'algebra astratta e la topologia.

Su cui abbiamo analizzato le derivate più semplici e abbiamo anche familiarizzato con le regole di differenziazione e alcune tecniche per trovare le derivate. Quindi, se non sei molto bravo con le derivate di funzioni o alcuni punti di questo articolo non sono del tutto chiari, leggi prima la lezione sopra. Per favore, sintonizzati su uno stato d'animo serio: il materiale non è facile, ma cercherò comunque di presentarlo in modo semplice e chiaro.

In pratica, devi avere a che fare con la derivata di una funzione complessa molto spesso, direi quasi sempre, quando ti vengono assegnati compiti per trovare le derivate.

Osserviamo nella tabella la regola (n. 5) per differenziare una funzione complessa:

Capiamo. Prima di tutto, diamo un'occhiata alla notazione. Qui abbiamo due funzioni - e , e la funzione, in senso figurato, è nidificata nella funzione . Una funzione di questo tipo (quando una funzione è annidata all'interno di un'altra) è chiamata funzione complessa.

Chiamerò la funzione funzione esterna, e la funzione – funzione interna (o annidata)..

! Queste definizioni non sono teoriche e non dovrebbero apparire nella progettazione finale degli incarichi. Uso le espressioni informali "funzione esterna", funzione "interna" solo per facilitare la comprensione del materiale.

Per chiarire la situazione, considerare:

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione

Sotto il seno, non abbiamo solo la lettera "x", ma l'intera espressione, quindi trovare la derivata immediatamente dalla tabella non funzionerà. Notiamo anche che qui è impossibile applicare le prime quattro regole, sembra esserci una differenza, ma il fatto è che è impossibile "strappare" il seno:

In questo esempio, già dalle mie spiegazioni, è intuitivamente chiaro che la funzione è una funzione complessa, e il polinomio è una funzione interna (incorporamento) e una funzione esterna.

Primo passo, che deve essere eseguita quando si trova la derivata di una funzione complessa capire quale funzione è interna e quale esterna.

Nel caso di esempi semplici, sembra chiaro che un polinomio sia annidato sotto il seno. Ma cosa succede se non è ovvio? Come determinare esattamente quale funzione è esterna e quale interna? Per fare ciò, propongo di utilizzare la seguente tecnica, che può essere eseguita mentalmente o su una bozza.

Immaginiamo di dover calcolare il valore dell'espressione con una calcolatrice (invece di uno, può esserci un numero qualsiasi).

Cosa calcoliamo prima? Prima di tutto dovrai eseguire la seguente azione: , quindi il polinomio sarà una funzione interna:

In secondo luogo dovrai trovare, quindi il seno - sarà una funzione esterna:

Dopo che noi COMPRENDERE con le funzioni interne ed esterne, è il momento di applicare la regola di differenziazione delle funzioni composte .

Iniziamo a decidere. Dalla lezione Come trovare la derivata? ricordiamo che il disegno della soluzione di qualsiasi derivata inizia sempre così: racchiudiamo l'espressione tra parentesi e mettiamo un tratto in alto a destra:

Primo troviamo la derivata della funzione esterna (seno), osserviamo la tabella delle derivate delle funzioni elementari e notiamo che . Tutte le formule tabulari sono applicabili anche se "x" è sostituita da un'espressione complessa, in questo caso:

Si noti che la funzione interna non è cambiato, non lo tocchiamo.

Bene, è abbastanza ovvio che

Il risultato dell'applicazione della formula pulito si presenta così:

Il fattore costante è solitamente posto all'inizio dell'espressione:

In caso di incomprensione, annotare la decisione su carta e rileggere le spiegazioni.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Come sempre scriviamo:

Scopriamo dove abbiamo una funzione esterna e dov'è una funzione interna. Per fare ciò, proviamo (mentalmente o su una bozza) a calcolare il valore dell'espressione per . Cosa bisogna fare prima? Prima di tutto, devi calcolare a cosa è uguale la base:, il che significa che il polinomio è la funzione interna:

E, solo allora viene eseguita l'esponenziazione, quindi la funzione di potenza è una funzione esterna:

Secondo la formula , per prima cosa devi trovare la derivata della funzione esterna, in questo caso il grado. Cerchiamo nella tabella la formula desiderata:. Ripetiamo ancora: qualsiasi formula tabulare è valida non solo per "x", ma anche per un'espressione complessa. Quindi, il risultato dell'applicazione della regola di differenziazione di una funzione complessa prossimo:

Sottolineo ancora che quando prendiamo la derivata della funzione esterna, la funzione interna non cambia:

Ora resta da trovare un derivato molto semplice della funzione interna e "pettinare" un po' il risultato:

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione).

Per consolidare la comprensione della derivata di una funzione complessa, fornirò un esempio senza commenti, proverò a capirlo da solo, ragione, dov'è la funzione esterna e dov'è la funzione interna, perché i compiti vengono risolti in questo modo?

Esempio 5

a) Trova la derivata di una funzione

b) Trova la derivata della funzione

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Qui abbiamo una radice, e per differenziare la radice, deve essere rappresentata come un grado. Pertanto, portiamo prima la funzione nella forma corretta per la differenziazione:

Analizzando la funzione, giungiamo alla conclusione che la somma di tre termini è una funzione interna e l'esponenziazione è una funzione esterna. Applichiamo la regola di differenziazione di una funzione complessa :

Il grado è nuovamente rappresentato come un radicale (radice), e per la derivata della funzione interna applichiamo una semplice regola per differenziare la somma:

Pronto. Puoi anche portare l'espressione a un denominatore comune tra parentesi e scrivere tutto come una frazione. È bello, certo, ma quando si ottengono derivate lunghe ingombranti, è meglio non farlo (è facile confondersi, fare un errore inutile e sarà scomodo per l'insegnante controllare).

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione).

È interessante notare che a volte, invece della regola per differenziare una funzione complessa, si può usare la regola per differenziare un quoziente , ma una tale soluzione sembrerà una perversione insolita. Ecco un tipico esempio:

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi usare la regola di differenziazione del quoziente , ma è molto più vantaggioso trovare la derivata attraverso la regola di differenziazione di una funzione complessa:

Prepariamo la funzione per la differenziazione: togliamo il segno meno della derivata e alziamo il coseno al numeratore:

Il coseno è una funzione interna, l'esponenziazione è una funzione esterna.
Usiamo la nostra regola :

Troviamo la derivata della funzione interna, resettiamo il coseno verso il basso:

Pronto. Nell'esempio considerato, è importante non confondersi nei segni. A proposito, prova a risolverlo con la regola , le risposte devono corrispondere.

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione).

Finora, abbiamo considerato i casi in cui avevamo un solo annidamento in una funzione complessa. Nelle attività pratiche, puoi spesso trovare derivati, dove, come le bambole che nidificano, una dentro l'altra, 3 o anche 4-5 funzioni sono nidificate contemporaneamente.

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Comprendiamo gli allegati di questa funzione. Proviamo a valutare l'espressione utilizzando il valore sperimentale. Come possiamo contare su una calcolatrice?

Per prima cosa devi trovare, il che significa che l'arcoseno è l'annidamento più profondo:

Questo arcoseno di unità dovrebbe quindi essere quadrato:

E infine, eleviamo i sette al potere:

Cioè, in questo esempio abbiamo tre diverse funzioni e due annidamenti, mentre la funzione più interna è l'arcoseno e la funzione più esterna è la funzione esponenziale.

Iniziamo a decidere

Secondo la regola per prima cosa devi prendere la derivata della funzione esterna. Osserviamo la tabella delle derivate e troviamo la derivata della funzione esponenziale: L'unica differenza è che al posto di "x" abbiamo un'espressione complessa, che non nega la validità di questa formula. Quindi, il risultato dell'applicazione della regola di differenziazione di una funzione complessa prossimo.

per studenti medico, pediatrico, odontoiatrico

e facoltà di medicina e prevenzione

al lavoro di laboratorio

"Concetti di base dell'analisi matematica"

1. Convalida scientifica e metodologica dell'argomento:

I concetti di derivata e differenziale sono tra i concetti base dell'analisi matematica. Il calcolo delle derivate è necessario quando si risolvono molti problemi di fisica e matematica (trovare velocità, accelerazione, pressione, ecc.). L'importanza del concetto di derivata, in particolare, è determinata dal fatto che la derivata di una funzione caratterizza il tasso di variazione di questa funzione al variare del suo argomento.

L'uso del differenziale consente di eseguire calcoli approssimativi, nonché di valutare gli errori.

I metodi per trovare derivate e differenziali di funzioni e la loro applicazione costituiscono il compito principale del calcolo differenziale. La necessità del concetto di derivata nasce in connessione con la formulazione del problema del calcolo della velocità di movimento e della ricerca dell'angolo della tangente alla curva. È possibile anche il problema inverso: determinare la distanza percorsa dalla velocità e trovare la funzione corrispondente dalla tangente della pendenza della tangente. Tale problema inverso porta al concetto di integrale indefinito.

Il concetto di integrale definito è utilizzato in numerosi problemi pratici, in particolare nei problemi di calcolo delle aree di figure piane, di calcolo del lavoro svolto da una forza variabile e di determinazione del valore medio di una funzione.

Nella descrizione matematica di vari processi e fenomeni fisici, chimici, biologici, vengono spesso utilizzate equazioni che contengono non solo le quantità oggetto di studio, ma anche le loro derivate di vari ordini di queste quantità. Ad esempio, secondo la versione più semplice della legge sulla riproduzione batterica, la velocità di riproduzione è proporzionale al numero di batteri in un dato momento. Se questo numero è indicato con N(t), allora, in accordo con il significato fisico della derivata, la velocità di riproduzione dei batteri è una derivata di N(t), e sulla base della legge citata, possiamo scrivere il rapporto N "(t) \u003d k∙N, dove k\u003e 0 - coefficiente di proporzionalità L'equazione risultante non è algebrica, poiché contiene non solo la funzione sconosciuta N(t), ma anche la sua derivata del primo ordine.

2. Breve teoria:

1. Problemi che portano al concetto di derivata

1. Il problema di trovare la velocità v di un punto materiale. Lascia che un punto materiale compia un movimento rettilineo. Al momento T 1 il punto è in posizione m 1. Al momento T 2 incinta m 2 . Indica l'intervallo m 1 , M 2 attraverso ∆S; T 2 - T 1 =Δt. Il valore è chiamato velocità media di movimento. Per trovare la velocità istantanea di un punto in una posizione m 1 necessario Δt dirigersi verso lo zero. Matematicamente, questo significa questo

, (1)

Quindi, per trovare la velocità istantanea di un punto materiale, è necessario calcolare il limite del rapporto tra l'incremento della funzione ∆S all'incremento dell'argomento Δt previsto ∆t→0.

2. Il problema di trovare l'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione.

Fig. 1

Considera il grafico di alcune funzioni y=f(x). Qual è l'angolo di inclinazione
tangente tracciata in un punto m 1 ? Al punto m 1 traccia una tangente al grafico della funzione. Scegli un punto arbitrario sul grafico m 2 e disegna una secante. È inclinato verso l'asse OH ad angolo α 1 . Tenere conto ΔM 1 m 2 UN:

, (2)

Se il punto m 1 fissare e puntare m 2 approccio m 1 , quindi la secante m 1 m 2 diventerà tangente al grafico della funzione nel punto m 1 e puoi scrivere:

, (3)

Pertanto, è necessario calcolare il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, se l'incremento dell'argomento tende a zero.

Il limite del rapporto tra l'incremento Δy della funzione y=f(x) e l'incremento dell'argomento Δx in un dato punto x 0 poiché Δx tende a zero, è chiamata derivata della funzione in un dato punto.

Notazione derivata: y", f "(x), . Per definizione

, (4)

dove Δx=х 2 -х 1 è l'incremento dell'argomento (la differenza tra due successivi valori sufficientemente vicini dell'argomento), Δy=y 2 -y 1 è l'incremento della funzione (la differenza tra i valori ​​della funzione corrispondente a questi valori dell'argomento).

Trovare la derivata di una data funzione si dice sua differenziazione. La differenziazione delle principali funzioni elementari viene eseguita secondo formule già pronte (vedi tabella), oltre all'utilizzo regole:

Derivata di una somma algebrica functions è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni:

(tu+ υ )"= tu" + υ "

2. La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti della seconda funzione per la derivata della prima e della prima funzione per la derivata della seconda:

(u∙υ )"=u"υ +uυ "

3. Derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del denominatore:

Il significato fisico della derivata. Dal confronto di (4) e (1) segue che la velocità istantanea del moto rettilineo di un punto materiale è uguale alla derivata della dipendenza della sua coordinata dal tempo.

Il significato generale della derivata di una funzione è che caratterizza velocità (velocità) di modifica della funzione dato il cambio di argomento. Anche la velocità dei processi fisici, chimici e di altro tipo, come la velocità di raffreddamento del corpo, la velocità di una reazione chimica, la velocità di riproduzione dei batteri, ecc., è espressa utilizzando un derivato.

Il significato geometrico della derivata. In matematica viene chiamato il valore della tangente della pendenza della tangente disegnata al grafico della funzione la pendenza della tangente.

La pendenza della tangente disegnata al grafico di una funzione derivabile in un punto è numericamente uguale alla derivata della funzione in quel punto.

Questa affermazione si chiama significato geometrico della derivata.