Matematička analiza.

Radionica.

Za sveučilišne studente u specijalnosti:

"Državna i općinska uprava"

T.Z. Pavlova

Kolpaševo 2008

Poglavlje 1 Uvod u analizu

1.1 Funkcije. Opća svojstva

1.2 Teorija granica

1.3 Kontinuitet funkcije

2.1 Definicija izvedenice

2.4 Istraživanje funkcija

2.4.1 Punofunkcionalni studijski plan

2.4.2 Primjeri proučavanja funkcija

2.4.3. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu

2.5 L'Hospitalovo pravilo

3.1 Neodređeni integral

3.1.1 Definicije i svojstva

3.1.2 Tablica integrala

3.1.3 Osnovne metode integracije

3.2 Definitivni integral

3.2.2 Metode za izračunavanje određenog integrala

Poglavlje 4

4.1 Osnovni pojmovi

4.2 Granice i kontinuitet funkcija nekoliko varijabli

4.3.3 Ukupni diferencijal i njegova primjena na aproksimativne izračune

Poglavlje 5

6.1 Korisna funkcija.

6.2 Linije ravnodušnosti

6.3 Postavljen proračun

Domaća zadaća

1.1 Funkcije. Opća svojstva

Numerička funkcija je definirana na skupu D realnih brojeva ako je svakoj vrijednosti varijable pridružena neka dobro definirana realna vrijednost varijable y, gdje je D domena funkcije.

Analitički prikaz funkcije:

izričito: ;

implicitno: ;

u parametarskom obliku:

različite formule u domeni definicije:

Svojstva.

Parna funkcija: . Na primjer, funkcija je parna, jer .

Neparna funkcija: . Na primjer, funkcija je neparna, jer .

Periodična funkcija: , gdje je T period funkcije, . Na primjer, trigonometrijske funkcije.

monotonska funkcija. Ako je za bilo koju domenu definicije - funkcija raste, - opada. Na primjer, - povećanje i - smanjenje.

Ograničena značajka. Ako postoji broj M takav da . Na primjer, funkcije i , jer .

Primjer 1. Pronađite opseg funkcija.

+ 2 – 3 +

1.2 Teorija granica

Definicija 1. Granica funkcije at je broj b, ako je za bilo koji ( je proizvoljno mali pozitivan broj) moguće pronaći takvu vrijednost argumenta počevši od koje je nejednakost ispunjena.

Oznaka: .

Definicija 2. Granica funkcije at je broj b, ako za bilo koji (- proizvoljno mali pozitivan broj) postoji takav pozitivan broj da je za sve x vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost nejednakost istinita.

Oznaka: .

Definicija 3. Funkcija se zove beskonačno mala za ili , ako ili .

Svojstva.

1. Algebarski zbroj konačnog broja infinitezimalnih veličina je beskonačno mala veličina.

2. Umnožak beskonačno male količine i ograničene funkcije (konstanta, druga infinitezimalna veličina) je beskonačno mala veličina.

3. Kvocijent dijeljenja beskonačno male količine s funkcijom čija je granica različita od nule je beskonačno mala veličina.

Definicija 4. Funkcija se zove beskonačno velika za ako .

Svojstva.

1. Umnožak beskonačno velike količine na funkciju čija je granica različita od nule je beskonačno velika veličina.

2. Zbroj beskonačno velike količine i ograničene funkcije je beskonačno velika veličina.

3. Kvocijent dijeljenja beskonačno velike količine funkcijom koja ima granicu je beskonačno velika količina.

Teorema.(Odnos između beskonačno male vrijednosti i beskonačno velike vrijednosti.) Ako je funkcija beskonačno mala u (), tada je funkcija beskonačno velika vrijednost u (). I, obrnuto, ako je funkcija beskonačno velika u (), tada je funkcija beskonačno mala vrijednost u ().

Granični teoremi.

1. Funkcija ne može imati više od jednog ograničenja.

2. Granica algebarskog zbroja nekoliko funkcija jednaka je algebarskom zbroju granica ovih funkcija:

3. Granica umnoška nekoliko funkcija jednaka je umnošku granica ovih funkcija:

4. Granica stupnja jednaka je stupnju granice:

5. Granica kvocijenta jednaka je količniku granica, ako granica djelitelja postoji:

.

6. Prva izvanredna granica.

Posljedice:

7. Druga izvanredna granica:

Posljedice:

Ekvivalentne beskonačno male količine na:

Izračun granica.

Pri izračunu granica koriste se osnovni teoremi o granicama, svojstva kontinuiranih funkcija te pravila koja proizlaze iz tih teorema i svojstava.

Pravilo 1 Da bismo pronašli granicu u točki funkcije koja je u ovoj točki kontinuirana, potrebno je zamijeniti njezinu graničnu vrijednost umjesto argumenta x u funkciju pod predznakom granice.

Primjer 2. Pronađite

Pravilo 2 Ako je pri pronalaženju granice razlomka granica nazivnika jednaka nuli, a granica brojnika različita od nule, tada je granica takve funkcije jednaka .

Primjer 3. Pronađite

Pravilo 3 Ako je pri pronalaženju granice razlomka granica nazivnika jednaka, a granica brojnika različita od nule, tada je granica takve funkcije jednaka nuli.

Primjer 4 Pronađite

Često zamjena granične vrijednosti argumenta dovodi do nedefiniranih izraza oblika

.

Pronalaženje granice funkcije u tim slučajevima naziva se otkrivanjem nesigurnosti. Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je prije odlaska do krajnjih granica provesti transformaciju ovog izraza. Za otkrivanje nesigurnosti koriste se različite tehnike.

Pravilo 4. Nesigurnost oblika otkriva se transformacijom podgranične funkcije, tako da se u brojniku i nazivniku odabere faktor čija je granica nula i, smanjivši razlomak njime, pronađe se granica kvocijenta. Da biste to učinili, brojnik i nazivnik se ili rastavljaju na faktore ili množe s izrazima konjugiranim s brojnikom i nazivnikom.

Pravilo 5 Ako podgranični izraz sadrži trigonometrijske funkcije, tada se prva izvanredna granica koristi za otkrivanje nesigurnosti oblika.

.

Pravilo 6. Da bi se otkrila nesigurnost oblika na , brojnik i nazivnik podgraničnog razlomka moraju se podijeliti s najvišim stupnjem argumenta, a zatim treba pronaći granicu kvocijenta.

Mogući rezultati:

1) željena granica jednaka je omjeru koeficijenata na najvećim potencijama argumenta brojnika i nazivnika, ako su te potencije jednake;

2) granica je jednaka beskonačnosti ako je stupanj argumenta brojnika veći od stupnja argumenta nazivnika;

3) granica je nula ako je stupanj argumenta brojnika niži od stupnja argumenta nazivnika.

a)

jer

Stupnjevi su jednaki, što znači da je granica jednaka omjeru koeficijenata na višim stupnjevima, t.j. .

b)

Stupanj brojnika, nazivnik je 1, što znači da je granica jednaka

v)

Stupanj brojnika je 1, nazivnik je , pa je granica 0.

Pravilo 7. Da bi se otkrila nesigurnost oblika , brojnik i nazivnik podgraničnog razlomka moraju se pomnožiti s konjugiranim izrazom.

Primjer 10

Pravilo 8. Da bi se otkrila nesigurnost vrste, koristi se druga izvanredna granica i njezine posljedice.

Može se dokazati da

Primjer 11.

Primjer 12.

Primjer 13

Pravilo 9. Prilikom otkrivanja nesigurnosti čija podgranična funkcija sadrži b.m.v., potrebno je zamijeniti granice tih b.m. do granica b.m., njima ekvivalentno.

Primjer 14

Primjer 15

Pravilo 10 L'Hospitalovo pravilo (vidi 2.6).

1.3 Kontinuitet funkcije

Funkcija je kontinuirana u točki ako granica funkcije, kada argument teži a, postoji i jednaka je vrijednosti funkcije u ovoj točki.

Ekvivalentni uvjeti:

1. ;

3.

Klasifikacija točaka prekida:

ruptura prve vrste

Uklonjivo - jednostrane granice postoje i jednake su;

Fatalni (skok) - jednostrane granice nisu jednake;

diskontinuitet druge vrste: granica funkcije u točki ne postoji.

Primjer 16. Utvrditi prirodu diskontinuiteta funkcije u točki ili dokazati kontinuitet funkcije u ovoj točki.

za , funkcija nije definirana, tako da nije kontinuirana u ovoj točki. Jer i shodno tome, , tada je točka diskontinuiteta prve vrste.

b)

u usporedbi sa zadatkom (a), funkcija je proširena u točki tako da , pa je zadana funkcija kontinuirana u zadanoj točki.

Kada funkcija nije definirana;

.

Jer jedna od jednostranih granica je beskonačna, tada je točka diskontinuiteta druge vrste.

2. Poglavlje

2.1 Definicija izvedenice

Definicija izvedenice

Derivat ili dane funkcije je granica omjera prirasta funkcije i odgovarajućeg prirasta argumenta kada prirast argumenta teži nuli:

Ili .

Mehaničko značenje derivacije je brzina promjene funkcije. Geometrijsko značenje derivacije je tangenta nagiba tangente na graf funkcije:

2.2 Osnovna pravila diferencijacije

Ime	Funkcija	Derivat
Množenje konstantnim faktorom
Algebarski zbroj dviju funkcija
Proizvod dviju funkcija
Kvocijent dviju funkcija
Složena funkcija

Derivati ​​osnovnih elementarnih funkcija

br. p / str	Naziv funkcije	Funkcija i njezin derivat
1	konstantno
2	funkcija snage posebnim slučajevima
3	eksponencijalna funkcija poseban slučaj
4	logaritamska funkcija poseban slučaj
5	trigonometrijske funkcije
6	obrnuto trigonometrijski

b)

2.3 Derivati ​​višeg reda

Izvod funkcije drugog reda

Izvod funkcije drugog reda:

Primjer 18.

a) Pronađite derivaciju drugog reda funkcije .

Riješenje. Nađimo prvo derivaciju prvog reda .

Od derivacije prvog reda uzimamo opet derivaciju.

Primjer 19. Pronađite derivaciju trećeg reda funkcije .

2.4 Istraživanje funkcija

2.4.1 Punofunkcionalni studijski plan:

Plan studija pune funkcije:

1. Osnovno istraživanje:

Pronađite područje definicije i raspon vrijednosti;

Saznati opća svojstva: paran (neparan), periodičnost;

Pronađite točke presjeka s koordinatnim osi;

Odrediti područja postojanosti.

2. Asimptote:

Pronađite vertikalne asimptote ako ;

Pronađite kose asimptote: .

Ako ima bilo koji broj, onda su horizontalne asimptote.

3. Istražite koristeći:

Pronađite kritične točke, one. točke u kojima postoji ili ne postoji;

Odredite intervale povećanja, one. intervali na kojima i smanjenje funkcije - ;

Odredite ekstremne točke: točke, pri prolasku kroz koje se znak mijenja iz "+" u "-", su maksimalne točke, od "-" do "+" - minimalne.

4. Istražite koristeći:

Pronađite točke u kojima ili ne postoje;

Pronađite područja konveksnosti, t.j. praznine, na kojima i udubljenja -;

Pronađite točke pregiba, t.j. točke na prijelazu kroz koji se mijenja znak.

1. Pojedini elementi studije ucrtavaju se na graf postupno, kako se nalaze.

2. Ako postoje poteškoće s konstruiranjem grafa funkcije, tada se vrijednosti funkcije nalaze u nekim dodatnim točkama.

3. Svrha studije je opisati prirodu ponašanja funkcije. Stoga se ne gradi točan graf, već njegova aproksimacija na kojoj su jasno označeni pronađeni elementi (ekstremumi, infleksijske točke, asimptote itd.).

4. Nije potrebno strogo se pridržavati gornjeg plana; važno je ne propustiti karakteristične elemente ponašanja funkcije.

2.4.2 Primjeri proučavanja funkcija:

1)

2) Funkcija neparna:

.

3) Asimptote.

su vertikalne asimptote, budući da

Kosa asimptota .

5)

- prevojna točka.

2) Funkcija neparna:

3) Asimptote: Ne postoje vertikalne asimptote.

nagnut:

su kose asimptote

4) - funkcija se povećava.

- prevojna točka.

Shematski grafikon ove funkcije:

2) Opća funkcija

3) Asimptote

- nema kosih asimptota

je horizontalna asimptota na

- točka pregiba

Shematski grafikon ove funkcije:

2) Asimptote.

je vertikalna asimptota, budući da je

- nema kosih asimptota

, je horizontalna asimptota

Shematski grafikon ove funkcije:

2) Asimptote

je vertikalna asimptota na , jer

- nema kosih asimptota

, je horizontalna asimptota

3) – funkcija se smanjuje na svakom od intervala.

Shematski grafikon ove funkcije:

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu, možete koristiti shemu:

1. Pronađite derivaciju funkcije.

2. Pronađite kritične točke funkcije u kojoj ili ne postoji.

3. Pronađite vrijednost funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju danom segmentu i na njegovim krajevima te odaberite najveću i najmanju od njih.

Primjer. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu.

25. između

2) - kritične točke

26. između.

Izvod ne postoji na , ali 1 ne pripada ovom intervalu. Funkcija se smanjuje na intervalu, što znači da ne postoji maksimalna vrijednost, već najmanja vrijednost.

2.5 L'Hospitalovo pravilo

Teorema. Granica omjera dviju beskonačno malih ili beskonačno velikih funkcija jednaka je granici omjera njihovih derivacija (konačnih ili beskonačnih), ako potonji postoji u navedenom smislu.

Oni. kada otkrivate nesigurnosti tipa ili, možete koristiti formulu:

.

27.

Poglavlje 3. Integralni račun

3.1 Neodređeni integral

3.1.1 Definicije i svojstva

Definicija 1. Funkcija se zove antiderivativna za ako .

Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih antiderivata za ovu funkciju.

Oznaka: , gdje je c proizvoljna konstanta.

Svojstva neodređenog integrala

1. Derivat neodređenog integrala:

2. Diferencijal neodređenog integrala:

3. Neodređeni integral diferencijala:

4. Neodređeni integral zbroja (razlike) dviju funkcija:

5. Izuzimanje konstantnog faktora iz predznaka neodređenog integrala:

3.1.2 Tablica integrala

.1.3 Osnovne metode integracije

1. Koristeći svojstva neodređenog integrala.

Primjer 29.

2. Dovođenje pod znak diferencijala.

Primjer 30.

3. Metoda zamjene varijable:

a) zamjena u integralu

gdje - funkcija koju je lakše integrirati od izvorne; - funkcija, inverzna funkcija ; - antiderivat funkcije .

Primjer 31.

b) zamjena u integralu oblika:

Primjer 32.

Primjer 33.

4. Metoda integracije po dijelovima:

Primjer 34.

Primjer 35.

Uzmite zasebno integral

Vratimo se našem integralu:

3.2 Definitivni integral

3.2.1 Pojam određenog integrala i njegova svojstva

Definicija. Neka je na nekom intervalu dana neprekidna funkcija. Zacrtajmo to.

Lik omeđen odozgo krivuljom, s lijeve i desne strane ravnim linijama, a odozdo segmentom osi apscise između točaka a i b naziva se krivuljasti trapez.

S - površina - krivolinijski trapez.

Podijelite interval točkama i dobijete:

Integralni zbroj:

Definicija. Određeni integral je granica integralnog zbroja.

Svojstva određenog integrala:

1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

2. Integral algebarskog zbroja dviju funkcija jednak je algebarskom zbroju integrala ovih funkcija:

3. Ako se dio integracije podijeli na dijelove, tada je integral na cijelom segmentu jednak zbroju integrala za svaki od nastalih dijelova, t.j. za bilo koje a, b, c:

4. Ako na segmentu , onda i

5. Granice integracije se mogu mijenjati, a predznak integrala se mijenja:

6.

7. Integral u točki jednak je 0:

8.

9. (“o srednjoj”) Neka je y = f(x) funkcija integrabilna na . Zatim , gdje je , f(c) prosječna vrijednost f(x) na :

10. Newton-Leibnizova formula

,

gdje je F(x) antiderivat za f(x).

3.2.2 Metode za izračunavanje određenog integrala.

1. Izravna integracija

Primjer 35.

a)

b)

v)

e)

2. Promjena varijabli pod predznakom određenog integrala .

Primjer 36.

2. Integracija po dijelovima u određenom integralu .

Primjer 37.

a)

b)

e)

3.2.3 Primjena određenog integrala

Karakteristično	Vrsta funkcije	Formula
	u kartezijanskim koordinatama
područje krivolinijskog sektora	u polarnim koordinatama
površina zakrivljenog trapeza	u parametarskom obliku
dužina luka	u kartezijanskim koordinatama
dužina luka	u polarnim koordinatama
dužina luka	u parametarskom obliku
volumen tijela rotacija	u kartezijanskim koordinatama
volumen tijela sa zadanim poprečnim odjeljak

Primjer 38. Izračunajte površinu figure omeđenog linijama: i .

Riješenje: Pronađite presječne točke grafova ovih funkcija. Da bismo to učinili, izjednačimo funkcije i riješimo jednadžbu

Dakle, točke sjecišta i .

Pomoću formule pronađite površinu figure

.

U našem slučaju

Odgovor: površina je (kvadratne jedinice).

4.1 Osnovni pojmovi

Definicija. Ako je svakom paru nezavisnih brojeva iz određenog skupa dodijeljena jedna ili više vrijednosti varijable z prema nekom pravilu, tada se varijabla z naziva funkcijom dviju varijabli.

Definicija. Domena funkcije z je skup parova za koje funkcija z postoji.

Područje funkcije dviju varijabli je određeni skup točaka na koordinatnoj ravnini Oxy. Z-koordinata se naziva applicate, a zatim se sama funkcija predstavlja kao neka ploha u prostoru E 3 . Na primjer:

Primjer 39. Pronađite opseg funkcije.

a)

Izraz na desnoj strani ima smisla samo kada . To znači da je domena ove funkcije skup svih točaka koje leže unutar i na granici kružnice polumjera R sa središtem u ishodištu.

Područje ove funkcije su sve točke ravnine, osim točaka pravaca, t.j. koordinatne osi.

Definicija. Linije na razini funkcije su obitelj krivulja na koordinatnoj ravnini opisanih jednadžbama oblika .

Primjer 40 Pronađite linije na razini značajke .

Riješenje. Linije razine zadane funkcije su obitelj krivulja u ravnini , opisanih jednadžbom

Posljednja jednadžba opisuje obitelj kružnica sa središtem u točki O 1 (1, 1) polumjera . Površina okretanja (paraboloid) opisana ovom funkcijom postaje "strmija" kako se udaljava od osi, što je zadano jednadžbama x = 1, y = 1. (Slika 4.)

4.2 Granice i kontinuitet funkcija nekoliko varijabli.

1. Ograničenja.

Definicija. Broj A naziva se granica funkcije jer točka teži točki, ako za svaki proizvoljno mali broj postoji takav broj da je uvjet istinit za bilo koju točku, uvjet je također istinit . Zapiši: .

Primjer 41. Pronađite granice:

oni. granica ovisi o , što znači da ne postoji.

2. Kontinuitet.

Definicija. Neka točka pripada domeni definicije funkcije. Tada se funkcija naziva kontinuiranom u točki ako

(1)

a točka teži točki na proizvoljan način.

Ako uvjet (1) nije zadovoljen ni u jednoj točki, tada se ta točka naziva prijelomna točka funkcije. To može biti u sljedećim slučajevima:

1) Funkcija nije definirana u točki .

2) Nema ograničenja.

3) Ova granica postoji, ali nije jednaka .

Primjer 42. Odrediti je li zadana funkcija kontinuirana u točki ako je .

Shvatio sam pa je ova funkcija kontinuirana u točki .

granica ovisi o k, t.j. u ovoj točki ne postoji, što znači da funkcija u ovoj točki ima diskontinuitet.

4.3 Derivati ​​i diferencijali funkcija više varijabli

4.3.1 Djelomične izvedenice prvog reda

Djelomična derivacija funkcije s obzirom na argument x obična je derivacija funkcije jedne varijable x za fiksnu vrijednost varijable y i označava se:

Djelomična derivacija funkcije s obzirom na argument y obična je derivacija funkcije jedne varijable y za fiksnu vrijednost varijable x i označava se:

Primjer 43. Naći parcijalne izvode funkcija.

4.3.2 Parcijalne derivacije drugog reda

Parcijalni derivati ​​drugog reda su djelomični derivati ​​parcijalnih izvodnica prvog reda. Za funkciju dviju varijabli oblika moguće su četiri vrste parcijalnih derivacija drugog reda:

Parcijalne derivacije drugog reda, u kojima se diferencijacija provodi s obzirom na različite varijable, nazivaju se mješoviti derivati. Mješovite derivacije drugog reda dvostruko diferencibilne funkcije jednake su.

Primjer 44. Pronađite parcijalne derivacije drugog reda.

4.3.3 Ukupni diferencijal i njegova primjena na aproksimativne izračune.

Definicija. Diferencijal prvog reda funkcije dviju varijabli nalazi se formulom

.

Primjer 45. Pronađite ukupni diferencijal za funkciju.

Riješenje. Nađimo parcijalne derivacije:

.

Uz male priraštaje argumenata x i y, funkcija dobiva prirast približno jednak dz, t.j. .

Formula za pronalaženje približne vrijednosti funkcije u točki ako je poznata njezina točna vrijednost u točki:

Primjer 46 Pronađite .

Riješenje. neka ,

Zatim koristimo formulu

Odgovor. .

Primjer 47. Približno izračunaj.

Riješenje. Razmotrimo funkciju. Imamo

Primjer 48. Približno izračunaj.

Riješenje. Razmotrite funkciju . dobivamo:

Odgovor. .

4.3.4 Implicitna diferencijacija funkcija

Definicija. Funkcija se naziva implicitna ako je dana jednadžbom koja nije rješiva ​​s obzirom na z.

Parcijalne derivacije takve funkcije nalaze se formulama:

Primjer 49. Pronađite parcijalne izvode funkcije z zadane jednadžbom .

Riješenje.

Definicija. Funkcija se naziva implicitnom ako je dana jednadžbom koja nije rješiva ​​s obzirom na y.

Derivat takve funkcije nalazi se po formuli:

.

Primjer 50. Pronađite derivacije ovih funkcija.

5.1 Lokalni ekstremum funkcije nekoliko varijabli

Definicija 1. Funkcija ima maksimum u točki if

Definicija 2. Funkcija ima minimum u točki if za sve točke koje su dovoljno bliske točki i različite od nje.

Neophodan uvjet za ekstrem. Ako funkcija dosegne ekstrem u točki , tada parcijalni derivati ​​funkcije nestaju ili ne postoje u toj točki.

Točke u kojima parcijalni derivati ​​nestaju ili ne postoje nazivaju se kritičnim.

Dovoljan znak ekstrema. Neka je funkcija definirana u nekom susjedstvu kritične točke i ima kontinuirane parcijalne derivacije drugog reda u ovoj točki

1) ima lokalni maksimum u točki ako i ;

2) ima lokalni minimum u točki ako i ;

3) nema lokalni ekstrem u točki ako ;

Shema proučavanja ekstrema funkcije dviju varijabli.

1. Pronađite parcijalne derivacije funkcija : i .

2. Riješite sustav jednadžbi i pronađite kritične točke funkcije.

3. Pronađite parcijalne derivacije drugog reda, izračunajte njihove vrijednosti u kritičnim točkama i, koristeći dovoljan uvjet, izvedite zaključak o prisutnosti ekstrema.

4. Pronađite ekstreme funkcije.

Primjer 51. Naći ekstreme funkcije .

1) Nađimo parcijalne derivacije.

2) Riješite sustav jednadžbi

4) Pronađite parcijalne derivacije drugog reda i njihove vrijednosti u kritičnim točkama: . U trenutku dobivamo:

To znači da u točki nema ekstrema. U trenutku dobivamo:

znači na minimalnoj točki.

5.2 Globalni ekstrem (najveća i najmanja vrijednost funkcije)

Najveće i najmanje vrijednosti funkcije više varijabli, kontinuirane na nekom zatvorenom skupu, postižu se ili u točkama ekstrema ili na granici skupa.

Shema za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

1) Pronađite kritične točke koje leže unutar regije, izračunajte vrijednost funkcije u tim točkama.

2) Istražiti funkciju na granici regije; ako se granica sastoji od nekoliko različitih linija, tada se studija mora provesti za svaki dio posebno.

3) Usporedite dobivene vrijednosti funkcije i odaberite najveću i najmanju.

Primjer 52. Nađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u pravokutniku.

Riješenje. 1) Pronađite kritične točke funkcije, za to nalazimo parcijalne derivacije: , i riješite sustav jednadžbi:

Dobili smo kritičnu točku A. Dobivena točka leži unutar zadanog područja,

Granicu regije čine četiri segmenta: i. pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na svakom segmentu.

4) Usporedimo dobivene rezultate i dobijemo ih u točkama .

Poglavlje 6. Model izbora potrošača

Pretpostavit ćemo da postoji n različitih dobara. Tada će neki skup dobara biti označen n-dimenzionalnim vektorom , gdje je količina i-tog proizvoda. Skup svih skupova dobara X naziva se prostor.

Izbor pojedinog potrošača karakterizira odnos preferencija: smatra se da potrošač može reći za bilo koja dva skupa koji je poželjniji, ili ne vidi razliku između njih. Relacija preferencije je tranzitivna: ako je skup preferiraniji od skupa, a skup preferiraniji od skupa, tada je skup preferiraniji od skupa. Pretpostavit ćemo da je ponašanje potrošača u potpunosti opisano aksiomom pojedinog potrošača: svaki pojedini potrošač donosi odluku o potrošnji, kupnji itd. na temelju svog sustava preferencija.

6.1 Korisna funkcija

Na skupu potrošačkih paketa X, funkcija , čija je vrijednost na potrošačkom skupu jednaka ocjeni pojedinca za ovaj skup. Funkcija se zove funkcija potrošačke korisnosti ili funkcija potrošačkih preferencija. Oni. svaki potrošač ima svoju funkciju korisnosti. Ali cijeli skup potrošača može se podijeliti u određene klase potrošača (prema dobi, imovinskom statusu itd.) i svakoj se klasi može dodijeliti neka, možda, prosječna funkcija korisnosti.

Dakle, funkcija je ocjena potrošača ili razina zadovoljenja potreba pojedinca prilikom nabave ovog kompleta. Ako je skup poželjniji od skupa za danog pojedinca, tada .

Svojstva uslužne funkcije.

1.

Prvi parcijalni derivati ​​funkcije korisnosti nazivaju se granične korisnosti proizvoda. Iz ovog svojstva proizlazi da povećanje potrošnje jednog proizvoda uz istu potrošnju drugih proizvoda dovodi do povećanja ocjene potrošača. Vektor je gradijent funkcije, pokazuje smjer najvećeg rasta funkcije. Za funkciju, njezin gradijent je vektor graničnih korisnosti proizvoda.

2.

Oni. Granična korisnost svakog dobra opada kako se potrošnja povećava.

3.

Oni. granična korisnost svakog proizvoda raste s količinom drugog proizvoda.

Neke vrste uslužnih funkcija.

1) Neoklasični: .

2) Kvadrat: , gdje je matrica negativno određena i za .

3) Logaritamska funkcija: .

6.2 Linije ravnodušnosti

U primijenjenim problemima i modelima izbora potrošača često se koristi poseban slučaj skupa od dva dobra, t.j. kada funkcija korisnosti ovisi o dvije varijable. Linija ravnodušnosti je linija koja povezuje potrošačke skupove koji imaju istu razinu zadovoljenja potreba pojedinca. U biti, linije ravnodušnosti su linije na razini funkcije. Jednadžbe indiferentnih linija: .

Osnovna svojstva linija indiferentnosti.

1. Linije ravnodušnosti koje odgovaraju različitim razinama zadovoljenja potreba ne dodiruju se i ne sijeku.

2. Smanjuju se linije ravnodušnosti.

3. Linije ravnodušnosti su konveksne prema dolje.

Svojstvo 2 implicira važnu približnu jednakost.

Ovaj omjer pokazuje koliko bi pojedinac trebao povećati (smanjiti) potrošnju drugog proizvoda, a smanjiti (povećati) potrošnju prvog proizvoda za jednu jedinicu bez promjene razine zadovoljenja svojih potreba. Omjer se naziva stopa zamjene prvog proizvoda drugim, a vrijednost se naziva granična stopa zamjene prvog proizvoda drugim.

Primjer 53. Ako je granična korisnost prvog dobra 6, a drugog 2, tada se smanjenjem potrošnje prvog dobra za jednu jedinicu potrošnja drugog dobra mora povećati za 3 jedinice istovremeno razina zadovoljenja potreba.

6.3 Postavljen proračun

Neka je vektor cijena za skup od n proizvoda; I je prihod pojedinca koji je spreman potrošiti na kupnju seta proizvoda. Skup paketa roba koji koštaju najviše I po zadanim cijenama naziva se proračunski skup B. U ovom slučaju, skup paketa koji koštaju I naziva se granica G proračunskog skupa B. Dakle. skup B omeđen je granicom G i prirodnim ograničenjima.

Proračunski skup opisan je sustavom nejednakosti:

Za slučaj skupa od dva dobra, proračunski skup B (slika 1) je trokut u koordinatnom sustavu , omeđen koordinatnim osi i ravnom linijom .

6.4 Teorija potrošačke potražnje

U teoriji potrošnje pretpostavlja se da potrošač uvijek nastoji maksimizirati svoju korisnost i jedino ograničenje za njega je ograničeni prihod I koji može potrošiti na kupnju skupa dobara. Općenito, problem izbora potrošača (problem racionalnog ponašanja potrošača na tržištu) formulira se na sljedeći način: pronaći skup potrošača , što maksimizira svoju funkciju korisnosti s obzirom na proračunsko ograničenje. Matematički model ovog zadatka:

U slučaju seta od dvije stavke:

Geometrijski, rješenje ovog problema je dodirna točka između granice proračunskog skupa G i linije indiferencije.

Rješenje ovog problema svodi se na rješavanje sustava jednadžbi:

(1)

Rješenje ovog sustava je rješenje problema izbora potrošača.

Rješenje problema izbora potrošača naziva se točka potražnje. Ova točka potražnje ovisi o cijenama i prihodima T.j. točka potražnje je funkcija potražnje. Zauzvrat, funkcija potražnje je skup od n funkcija, od kojih svaka ovisi o argumentu:

Te se funkcije nazivaju funkcijama potražnje dotične robe.

Primjer 54. Za skup od dva dobra na tržištu, poznatih cijena za njih i prihoda I, pronaći funkcije potražnje ako funkcija korisnosti ima oblik .

Riješenje. Razlikujemo funkciju korisnosti:

.

Dobivene izraze zamjenjujemo u (1) i dobivamo sustav jednadžbi:

U tom slučaju, izdaci za svaki proizvod bit će polovica prihoda potrošača, a iznos kupljenog proizvoda jednak je iznosu potrošenom na njega podijeljenom s cijenom proizvoda.

Primjer 55. Neka funkcija korisnosti za prvi proizvod , drugi ,

cijena prvog artikla, cijena drugog. Prihodi . Koliko dobara potrošač treba kupiti da bi povećao korisnost?

Riješenje. Pronađite derivacije funkcija korisnosti, zamijenite ih u sustav (1) i riješite ga:

Ovaj skup dobara je optimalan za potrošača u smislu maksimizacije korisnosti.

Kontrolni rad mora se izvršiti u skladu s opcijom odabranom posljednjom znamenkom broja matične knjige u posebnoj bilježnici. Svaki problem treba sadržavati uvjet, detaljno rješenje i zaključak.

1. Uvod u račun

Zadatak 1. Pronađite domenu funkcije.

5.

Zadatak 2. Pronađite granice funkcija.

.

Zadatak 3. Pronađite točke prekida funkcije i odredite njihov tip.

1. 2. 3.

2. Poglavlje

Zadatak 4. Pronađite derivacije ovih funkcija.

1. a); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y \u003d x tg x + ln sin x + e 3x;

f) y \u003d 2 x - arcsin x.

2. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 - + 3; e) y = e cos ; f) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y = ; b) y \u003d (e 5 x - 1) 6; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; f) y \u003d 3 x - arcsin x.

5. a) y \u003d 2x 3 - + e x; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 cos ; f) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y \u003d x 7 + + 1; f) y = 2.

7. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 + xsinx +; e) y = e cos ; f) y = .

8. a) y = ; b) y \u003d (3 x - 4) 6; c) y = sintg;

d) y = 3x 4 - - 9+ 9; e) y = ;

e) y \u003d x 2 + arcsin x - x.

9. a); b) ; c) y = ; d) y \u003d 5 sin 3 x; e) y \u003d x 3 - - 6+ 3; f) y = 4x 4 + ln.

10. a) b) y = ; c) y = (3 x - 4) 6 ; d) y = ; e) y \u003d x 2 - x; f) y \u003d e sin 3 x + 2.

Zadatak 5. Istražite funkciju i izgradite njezin graf.

1. a) b) c).

2. a) b) v) .

3. a) b) v) .

4. b) v)

5. a) b) v) .

6. a) b) v) .

7. a) b) c).

8. a) b) c).

9. a) b) c).

10. a) b) v) .

Zadatak 6. Nađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na zadanom intervalu.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Poglavlje 3. Integralni račun

Zadatak 7. Nađi neodređene integrale.

1. a) b);

2. a) ;b) c) d).

4. G)

5. a) ; b); v) ; G).

6. a) ; b); v); G)

7. a) ; b) ; v) ; G)

8. a) ; b); v) ; G) .

9. a) ; b) c); G).

10. a) b) v) ; G) .

Zadatak 8. Izračunaj određene integrale.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Zadatak 9. Pronađite nepravilne integrale ili dokažite da divergiraju.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Zadatak 10. Nađite površinu područja omeđenog krivuljama

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Poglavlje 4. Diferencijalni račun funkcije više varijabli.

Zadatak 11. Pronađite domenu funkcije (prikazano na crtežu).

Zadatak 12. Istražiti kontinuitet funkcije za

Zadatak 13. Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije.

Zadatak 14. Približno izračunaj

1. a); b) ; v)

2. a) ; b) ; v) .

3. a) ; b) ; v) .

4. a) ; b) ; v) .

5. a); b) ; v) .

6. a); b) ; v) .

7. a); b) ; v) .

8. a) ;b) ; v)

9. a) ; b) ; v) .

10. a) ;b) ; v)

Zadatak 15. Istražite funkciju za ekstreme.

7. .

8. .

9. .

10. .

Zadatak 16. Nađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u zadanom zatvorenom području.

1. u pravokutniku

2.

3. u pravokutniku

4. u području omeđenom parabolom

I apscisa.

5. na kvadrat

6. u trokutu omeđenom koordinatnim osi i ravnom crtom

7. u trokutu omeđenom koordinatnim osi i ravnom crtom

8. u trokutu omeđenom koordinatnim osi i ravnom linijom

9. u području omeđenom parabolom

I apscisa.

10. u području omeđenom parabolom

I apscisa.

Glavni

1. M.S. Crass, B.P. Chuprynov. Osnove matematike i njezina primjena u ekonomskom obrazovanju: Udžbenik. - 4. izd., španjolski. – M.: Delo, 2003.

2. M.S. Crass, B.P. Chuprynov. Matematika za ekonomske specijalnosti: Udžbenik. - 4. izd., španjolski. – M.: Delo, 2003.

3. M.S. Crass, B.P. Chuprynov. Matematika za prvostupnicu ekonomije. Udžbenik. - 4. izd., španjolski. – M.: Delo, 2005.

4. Viša matematika za ekonomiste. Udžbenik za sveučilišta / N.Sh. Kremer, dipl. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; Ed. prof. N.Sh. Kremer, - 2. izd., prerađeno. i dodatni - M: UNITI, 2003.

5. Kremer N.Sh, Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N. Viša matematika za ekonomske specijalnosti. Udžbenik i praktikum (I. i II. dio) / Ur. prof. N.Sh. Kremer, - 2. izd., prerađeno. i dodatni - M: Visoko obrazovanje, 2007. - 893s. - (Osnove znanosti)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Viša matematika u vježbama i zadacima. M. gimnazija. 1999.

Dodatni

1. I.I. Bavrin, V.L. mornari. Viša matematika. "Humanitarno-izdavački centar Vlados", 2002.

2. I.A. Zaitsev. Viša matematika. „Srednja škola“, 1998.

3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. Matematika u ekonomiji / u dva dijela /. M. Financije i statistika. 1999.

Sadržaj članka

MATEMATIČKA ANALIZA, grana matematike koja daje metode za kvantitativno proučavanje različitih procesa promjena; bavi se proučavanjem brzine promjene (diferencijalni račun) i određivanjem duljina krivulja, površina i volumena likova omeđenih zakrivljenim konturama i površinama (integralni račun). Za probleme matematičke analize tipično je da je njihovo rješenje povezano s pojmom granice.

Početak matematičke analize položio je 1665. I. Newton i (oko 1675.) samostalno G. Leibniz, iako su važne pripremne radove obavili I. Kepler (1571.–1630.), F. Cavalieri (1598.–1647.), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) i I. Barrow (1630–1677).

Kako bi prezentacija bila življa, poslužit ćemo se jezikom grafova. Stoga bi čitatelju moglo biti korisno da prije čitanja ovog članka pogleda članak ANALITIČKA GEOMETRIJA.

DIFERENCIJALNI RAČUN

Tangente.

Na sl. 1 prikazuje fragment krivulje y = 2x – x 2 priložena između x= –1 i x= 3. Dovoljno mali segmenti ove krivulje izgledaju ravno. Drugim riječima, ako R je proizvoljna točka ove krivulje, tada postoji neka ravna linija koja prolazi kroz ovu točku i predstavlja aproksimaciju krivulje u malom susjedstvu točke R, a što je susjedstvo manje, to je bolja aproksimacija. Takav pravac naziva se tangenta na krivulju u točki R. Glavni zadatak diferencijalnog računa je konstruirati opću metodu koja vam omogućuje da pronađete smjer tangente u bilo kojoj točki na krivulji gdje tangenta postoji. Lako je zamisliti krivulju s oštrim prekidom (slika 2). Ako R je vrh takvog prijeloma, tada je moguće konstruirati aproksimirajuću ravnu liniju PT 1 - desno od točke R i još jedna aproksimirajuća linija RT 2 - lijevo od točke R. Ali ne postoji niti jedna linija koja prolazi kroz točku R, koji se jednako dobro približio krivulji u blizini točke P i s desne i s lijeve strane, dakle tangenta u točki P ne postoji.

Na sl. 1 tangenta IZ provučen kroz ishodište O= (0,0). Nagib ove ravne linije je 2, t.j. kada se apscisa promijeni za 1, ordinata raste za 2. Ako x i y su koordinate proizvoljne točke na IZ, a zatim se udalji od O na udaljenosti x jedinice udesno, odmičemo se od O na 2 y jedinice gore. Stoga, y/x= 2, ili y = 2x. Ovo je jednadžba tangente IZ na krivulju y = 2x – x 2 u točki O.

Sada je potrebno objasniti zašto, iz skupa pravaca koji prolaze kroz točku O, bira se ravna crta IZ. Koja je razlika između ravne crte s nagibom od 2 i ostalih ravnih linija? Postoji jedan jednostavan odgovor i teško nam je odoljeti iskušenju da ga damo koristeći analogiju tangente na kružnicu: tangenta IZ ima samo jednu zajedničku točku s krivuljom, dok svaka druga neokomita linija koja prolazi kroz točku O, dvaput prelazi krivulju. To se može provjeriti na sljedeći način.

Budući da je izraz y = 2x – x 2 se može dobiti oduzimanjem x 2 od y = 2x(jednadžbe izravne linije IZ), zatim vrijednosti y za grafiku je manje znanja y za ravnu crtu u svim točkama, osim u točki x= 0. Stoga je graf posvuda osim točke O, koji se nalazi ispod IZ, a ovaj pravac i graf imaju samo jednu zajedničku točku. Osim toga, ako y = mx- jednadžba neke druge ravne linije koja prolazi kroz točku O, tada moraju postojati dvije točke presjeka. Stvarno, mx = 2x – x 2 ne samo za x= 0, ali i za x = 2 – m. I to samo kada m= 2 obje točke presjeka se podudaraju. Na sl. 3 prikazuje slučaj kada m manje od 2, dakle desno od O postoji druga točka raskrižja.

Što IZ je jedina neokomita linija koja prolazi kroz točku O i imaju samo jednu zajedničku točku s grafom, što nije njegovo najvažnije svojstvo. Doista, ako se okrenemo drugim grafovima, uskoro će postati jasno da svojstvo tangente koje smo zabilježili općenito nije zadovoljeno. Na primjer, sa sl. 4 može se vidjeti da je blizu točke (1,1) dijagram krivulje y = x 3 je dobro aproksimirana ravnom linijom RT, koji, međutim, ima više od jedne zajedničke točke s njim. Međutim, željeli bismo razmotriti RT tangenta na ovaj graf u točki R. Stoga je potrebno pronaći neki drugi način za isticanje tangente od onog koji nam je tako dobro poslužio u prvom primjeru.

Pretpostavimo da kroz točku O i proizvoljna točka P = (h,k) na grafu krivulje y = 2x – x 2 (slika 5) nacrtana je ravna crta (nazvana sekantom). Zamjena u jednadžbi krivulje vrijednosti x = h i y = k, shvaćamo to k = 2h – h 2 , dakle, nagib sekante je jednak

U vrlo malim h značenje m blizu 2. Štoviše, birajući h dovoljno blizu 0, možemo m proizvoljno blizu 2. Možemo reći da m"ide do granice" jednako 2 kada h teži nuli ili koja je granica m jednako 2 kada h teži nuli. Simbolično je napisano ovako:

Zatim tangenta na graf u točki O definiran kao pravac koji prolazi kroz točku O, s nagibom jednakim ovoj granici. Ova definicija tangente primjenjiva je u općem slučaju.

Prednosti ovog pristupa pokazat ćemo još jednim primjerom: pronaći ćemo nagib tangente na graf krivulje y = 2x – x 2 u proizvoljnoj točki P = (x,y), ne ograničavajući se na najjednostavniji slučaj kada P = (0,0).

Neka P = (x + h, y + k) je druga točka na grafu, smještena na udaljenosti h desno od R(slika 6). Potrebno je pronaći koeficijent nagiba k/h sekanti PQ. Točka P je na udaljenosti

preko osi x.

Proširujući zagrade, nalazimo:

Oduzimanje od ove jednadžbe y = 2x – x 2, pronađite okomitu udaljenost od točke R do točke P:

Stoga, nagib m sekanti PQ jednaki

Sad to h teži nuli m teži 2 - 2 x; uzet ćemo zadnju vrijednost za nagib tangente PT. (Isti rezultat će se dobiti ako h uzima negativne vrijednosti, što odgovara izboru točke P s lijeve strane P.) Imajte na umu da za x= 0 rezultat je isti kao i prethodni.

Izraz 2 - 2 x naziva se derivacija od 2 x – x 2. U starim danima derivacija se nazivala i "diferencijalni omjer" i "diferencijalni koeficijent". Ako izraz 2 x – x 2 odrediti f(x), tj.

onda se izvedenica može označiti

Kako bi saznali nagib tangente na graf funkcije y = f(x) u nekom trenutku potrebno je zamijeniti u fў ( x) vrijednost koja odgovara ovoj točki x. Dakle, nagib f u (0) = 2 for x = 0, f u (0) = 0 for x= 1 i f¢ (2) = –2 at x = 2.

Derivat je također označen naў , dy/dx, D x y i Čini.

Činjenica da je krivulja y = 2x – x 2 u blizini dane točke praktički se ne razlikuje od svoje tangente u ovoj točki, što nam omogućuje da govorimo o nagibu tangente kao o "nagibu krivulje" u točki dodira. Dakle, možemo tvrditi da nagib krivulje koju razmatramo ima nagib od 2 u točki (0,0) Također možemo reći da kada x= 0 stopa promjene y relativno x jednako 2. U točki (2,0), nagib tangente (i krivulje) je -2. (Znak minus znači da kao x varijabla y opada.) U točki (1,1) tangenta je horizontalna. Kažemo krivulja y = 2x – x 2 u ovom trenutku ima stacionarnu vrijednost.

Usponi i padovi.

Upravo smo pokazali da je krivulja f(x) = 2x – x 2 miruje u točki (1,1). Jer fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), jasno je da kada x, manje od 1, fў ( x) je pozitivan, i stoga y povećava; na x, veliki 1, fў ( x) je negativan, i stoga y smanjuje se. Dakle, u blizini točke (1,1), prikazane na sl. 6 slovo M, značenje na raste do točke M, nepomičan u točki M a opada nakon točke M. Takva točka naziva se "maksimum" jer vrijednost na u ovom trenutku premašuje bilo koju od svojih vrijednosti u dovoljno malom njegovom susjedstvu. Slično, "minimum" je definiran kao točka oko koje su sve vrijednosti y nadmašuju vrijednost na upravo u ovom trenutku. Također se može dogoditi da iako izvedenica od f(x) u nekom trenutku i nestane, njegov se predznak ne mijenja u susjedstvu ove točke. Takva točka, koja nije ni maksimum ni minimum, naziva se točka pregiba.

Kao primjer, pronađimo stacionarnu točku krivulje

Izvod ove funkcije je

i nestaje na x = 0, x= 1 i x= –1; oni. u točkama (0,0), (1, –2/15) i (–1, 2/15). Ako x onda nešto manje od -1 fў ( x) je negativan; ako x onda nešto više od -1 fў ( x) je pozitivan. Stoga je točka (–1, 2/15) maksimum. Slično, može se pokazati da je točka (1, -2/15) minimum. Ali derivat fў ( x) je negativan i prije točke (0,0) i nakon nje. Prema tome, (0,0) je točka pregiba.

Provedeno istraživanje o obliku krivulje, kao i činjenici da krivulja siječe os x na f(x) = 0 (tj. za x= 0 ili ) dopuštaju nam da njegov graf predstavimo približno kao što je prikazano na Sl. 7.

Općenito, ako izuzmemo neobične slučajeve (krivulje koje sadrže segmente ravnih linija ili beskonačan broj zavoja), postoje četiri opcije za relativni položaj krivulje i tangente u blizini tangentne točke R. (cm. riža. 8, gdje tangenta ima pozitivan nagib.)

1) S obje strane točke R krivulja leži iznad tangente (slika 8, a). U ovom slučaju kažemo da je krivulja u točki R konveksno prema dolje ili konkavno.

2) S obje strane točke R krivulja se nalazi ispod tangente (slika 8, b). U ovom slučaju se kaže da je krivulja konveksna prema gore ili jednostavno konveksna.

3) i 4) Krivulja se nalazi iznad tangente s jedne strane točke R a ispod - s druge strane. U ovom slučaju R- prevojna točka.

Uspoređivanje vrijednosti fў ( x) s obje strane R sa svojom vrijednošću u točki R, možete odrediti s kojim se od ova četiri slučaja morate pozabaviti u određenom problemu.

Prijave.

Sve navedeno nalazi važnu primjenu u raznim područjima. Na primjer, ako se tijelo baci okomito prema gore s početnom brzinom od 200 stopa u sekundi, tada visina s, na kojem će se nalaziti kroz t sekundi u odnosu na početnu točku bit će

Postupajući na isti način kao u primjerima koje smo razmotrili, nalazimo

ova vrijednost nestaje na s. Derivat fў ( x) je pozitivan do c i negativan nakon tog vremena. Stoga, s raste na , zatim postaje stacionarno, a zatim opada. Ovo je opći opis gibanja tijela bačenog prema gore. Iz njega učimo kada tijelo dosegne svoju najvišu točku. Dalje, zamjena t= 25/4 in f(t), dobivamo 625 stopa, maksimalnu visinu dizanja. U ovom zadatku fў ( t) ima fizičko značenje. Ova derivacija pokazuje brzinu kojom se tijelo giba u jednom trenutku t.

Razmotrimo sada drugu vrstu aplikacije (slika 9). Od lista kartona površine 75 cm 2 potrebno je napraviti kutiju s četvrtastim dnom. Koje bi trebale biti dimenzije ove kutije da bi imala maksimalan volumen? Ako x- strana baze kutije i h je njegova visina, tada je volumen kutije jednak V = x 2 h, a površina je 75 = x 2 + 4xh. Transformacijom jednadžbe dobivamo:

Derivat od V ispada jednaka

i nestaje na x= 5. Tada

i V= 125/2. Grafikon funkcije V = (75x – x 3)/4 prikazan je na sl. 10 (negativne vrijednosti x izostavljen jer nema fizičkog značenja u ovom problemu).

Derivati.

Važan zadatak diferencijalnog računa je stvaranje metoda koje vam omogućuju brzo i prikladno pronalaženje izvedenica. Na primjer, to je lako izračunati

(Derivat konstante je, naravno, nula.) Nije teško izvesti opće pravilo:

gdje n- bilo koji cijeli broj ili razlomak. Na primjer,

(Ovaj primjer pokazuje koliko su korisni razlomci eksponenta.)

Evo nekih od najvažnijih formula:

Postoje i sljedeća pravila: 1) ako svaka od dvije funkcije g(x) i f(x) ima derivacije, tada je derivacija njihova zbroja jednaka zbroju derivacija tih funkcija, a derivacija razlike jednaka je razlici derivacija, t.j.

2) derivacija umnoška dviju funkcija izračunava se po formuli:

3) derivacija omjera dviju funkcija ima oblik

4) derivacija funkcije pomnožena konstantom jednaka je konstanti pomnoženoj s derivacijom ove funkcije, t.j.

Često se događa da se vrijednosti funkcije moraju izračunati u fazama. Na primjer, za izračunavanje grijeha x 2, prvo moramo pronaći u = x 2 , a zatim već izračunajte sinus broja u. Izvod takvih složenih funkcija nalazimo koristeći takozvano "pravilo lanca":

U našem primjeru f(u) = grijeh u, fў ( u) = cos u, stoga,

Ova i druga slična pravila omogućuju odmah zapisivanje izvedenica mnogih funkcija.

Linearne aproksimacije.

Činjenica da, poznavajući derivaciju, u mnogim slučajevima možemo zamijeniti graf funkcije blizu neke točke njezinom tangentom u toj točki, od velike je važnosti, budući da je s ravnim crtama lakše raditi.

Ova ideja nalazi izravnu primjenu u izračunu približnih vrijednosti funkcija. Na primjer, prilično je teško izračunati vrijednost za x= 1,033. Ali možete iskoristiti činjenicu da je broj 1,033 blizu 1 i da . Zatvoriti x= 1 možemo zamijeniti graf tangentne krivulje bez ozbiljne pogreške. Nagib takve tangente jednak je vrijednosti derivacije ( x 1/3)ŭ = (1/3) x–2/3 za x = 1, tj. 1/3. Budući da točka (1,1) leži na krivulji i da je nagib tangente na krivulju u ovoj točki 1/3, jednadžba tangente ima oblik

Na ovoj pravoj liniji x = 1,033

Primljena vrijednost y treba biti vrlo blizu pravoj vrijednosti y; i, doista, samo je 0,00012 više od pravog. U matematičkoj analizi razvijene su metode koje omogućuju poboljšanje točnosti takvih linearnih aproksimacija. Ove metode osiguravaju pouzdanost naših približnih izračuna.

Upravo opisani postupak sugerira jednu korisnu notaciju. Neka P- točka koja odgovara grafu funkcije f varijabla x, i neka funkcija f(x) je diferencibilan. Promijenimo dijagram krivulje blizu točke R tangenta na nju u toj točki. Ako x promijeniti u vrijednost h, tada će se tangentna ordinata promijeniti za vrijednost h H f ў ( x). Ako h vrlo mala, tada je potonja vrijednost dobra aproksimacija pravoj promjeni ordinate y grafika. Ako umjesto toga h napisat ćemo lik dx(ovo nije proizvod!), nego promjena ordinate y označiti dy, onda dobivamo dy = f ў ( x)dx, ili dy/dx = f ў ( x) (cm. riža. jedanaest). Stoga, umjesto Dy ili f ў ( x) za označavanje izvedenice često se koristi simbol dy/dx. Pogodnost ove notacije uglavnom ovisi o eksplicitnom izgledu pravila lanca (diferencijacija složene funkcije); u novom zapisu ova formula izgleda ovako:

gdje se podrazumijeva da na ovisi o u, a u pak ovisi o x.

Vrijednost dy naziva diferencijalnim na; zapravo ovisi o tome dva varijable, i to: od x i prirasta dx. Kada se povećava dx vrlo mala, veličina dy je blizu odgovarajuće promjene vrijednosti y. Ali pretpostavimo da je prirast dx malo, nema potrebe.

Derivat funkcije y = f(x) označili smo f ў ( x) ili dy/dx. Često je moguće uzeti izvedenicu od izvedenice. Rezultat se naziva druga derivacija od f (x) i označeno f ўў ( x) ili d 2 y/dx 2. Na primjer, ako f(x) = x 3 – 3x 2, dakle f ў ( x) = 3x 2 – 6x i f ўў ( x) = 6x– 6. Sličan zapis se koristi za derivacije višeg reda. Međutim, kako bi se izbjegao veliki broj poteza (jednak redoslijedu izvedenice), četvrti se izvod (na primjer) može napisati kao f (4) (x), i izvedenica n th reda kao f (n) (x).

Može se pokazati da je krivulja u točki prema dolje konveksna ako je druga derivacija pozitivna, a prema gore ako je druga derivacija negativna.

Ako funkcija ima drugi izvod, tada se mijenja vrijednost y koji odgovara prirastu dx varijabla x, može se približno izračunati po formuli

Ova aproksimacija je općenito bolja od one koju daje diferencijal fў ( x)dx. To odgovara zamjeni dijela krivulje više nije ravna linija, već parabola.

Ako funkcija ima f(x) tada postoje derivati ​​viših redova

Preostali pojam ima oblik

gdje x- neki broj između x i x + dx. Gornji rezultat naziva se Taylorova formula s ostatkom. Ako f(x) ima derivate svih redova, tada obično R n® 0 for n ® Ґ .

INTEGRALNI RAČUN

Kvadrati.

Proučavanje područja krivuljastih ravninskih figura otvara nove aspekte matematičke analize. Takve su probleme pokušavali riješiti čak i stari Grci, za koje je određivanje, na primjer, površine kruga bio jedan od najtežih zadataka. Veliki uspjeh u rješavanju ovog problema postigao je Arhimed, koji je također uspio pronaći područje paraboličkog segmenta (slika 12). Koristeći vrlo složeno razmišljanje, Arhimed je dokazao da je površina paraboličkog segmenta 2/3 površine opisanog pravokutnika i stoga je u ovom slučaju jednaka (2/3)(16) = 32/ 3. Kao što ćemo kasnije vidjeti, ovaj se rezultat lako može dobiti metodama matematičke analize.

Prethodnici Newtona i Leibniza, uglavnom Kepler i Cavalieri, rješavali su probleme izračunavanja površina krivolinijskih figura metodom koja se teško može nazvati logično ispravnom, ali koja se pokazala iznimno plodnom. Kada je Wallis 1655. kombinirao Keplerove i Cavalierijeve metode s Descartesovim (analitička geometrija) i iskoristio novonastalu algebru, pozornica za pojavu Newtona bila je potpuno pripremljena.

Wallis je lik, čiju je površinu trebalo izračunati, podijelio na vrlo uske trake, od kojih se svaka približno smatrala pravokutnikom. Zatim je zbrojio površine aproksimirajućih pravokutnika i, u najjednostavnijim slučajevima, dobio vrijednost kojoj je težio zbroj površina pravokutnika kada je broj traka otišao u beskonačnost. Na sl. Slika 13 prikazuje pravokutnike koji odgovaraju nekom prugama područja ispod krivulje y = x 2 .

Glavni teorem.

Veliko otkriće Newtona i Leibniza omogućilo je da se isključi naporan proces prijelaza do granice zbroja površina. To je učinjeno zahvaljujući novom pogledu na koncept područja. Zaključak je da bismo trebali predstaviti područje ispod krivulje kako je generirano ordinatom koja se pomiče s lijeva na desno i pitati koliko se brzo mijenja područje zahvaćeno ordinatama. Ključ za odgovor na ovo pitanje dobivamo ako razmotrimo dva posebna slučaja u kojima je područje unaprijed poznato.

Počnimo s površinom ispod grafa linearne funkcije y = 1 + x, budući da se u ovom slučaju površina može izračunati pomoću elementarne geometrije.

Neka A(x) je dio ravnine zatvoren između prave y = 1 + x i segment OQ(slika 14). Prilikom vožnje QP desni kvadrat A(x) povećava. Kojom brzinom? Nije teško odgovoriti na ovo pitanje, jer znamo da je površina trapeza jednaka umnošku njegove visine i pola zbroja baza. Stoga,

Brzina promjene područja A(x) određen je svojom derivacijom

Vidimo to Aў ( x) poklapa se s ordinatom na bodova R. Je li slučajno? Pokušajmo provjeriti parabolu prikazanu na sl. 15. Kvadrat A (x) ispod parabole na = x 2 u rasponu od 0 do x jednako je A(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Brzina promjene ovog područja određena je izrazom

koji se točno poklapa s ordinatom na pokretna točka R.

Uz pretpostavku da ovo pravilo vrijedi u općem slučaju, tako da

je brzina promjene površine ispod grafa funkcije y = f(x), onda se to može koristiti za izračune drugih područja. Zapravo, omjer Aў ( x) = f(x) izražava temeljni teorem koji bi se mogao formulirati na sljedeći način: derivacija ili brzina promjene površine kao funkcija x, jednak je vrijednosti funkcije f (x) u točki x.

Na primjer, pronaći područje ispod grafa funkcije y = x 3 od 0 do x(slika 16), postavljamo

Mogući odgovor glasi:

budući da je izvedenica od x 4/4 je stvarno jednako x 3 . Štoviše, A(x) je nula za x= 0, kako bi trebalo biti ako A(x) je doista područje.

U matematičkoj analizi dokazano je da nema drugog odgovora osim gornjeg izraza za A(x), ne postoji. Pokažimo da je ova izjava uvjerljiva koristeći sljedeće heurističko (nerigorozno) razmišljanje. Pretpostavimo da postoji neko drugo rješenje V(x). Ako A(x) i V(x) “kreni” istovremeno od nulte vrijednosti na x= 0 i mijenjaju se cijelo vrijeme istom brzinom, onda se njihove vrijednosti nikada neće x ne može postati drugačiji. Moraju odgovarati posvuda; stoga postoji jedinstveno rješenje.

Kako možete opravdati omjer Aў ( x) = f(x) općenito? Na ovo se pitanje može odgovoriti samo proučavanjem brzine promjene površine kao funkcije x općenito. Neka m- najmanja vrijednost funkcije f (x) u intervalu od x prije ( x + h), a M je najveća vrijednost ove funkcije u istom intervalu. Zatim povećanje površine nakon prolaska iz x Za ( x + h) mora biti zatvoren između površina dvaju pravokutnika (slika 17). Osnove oba pravokutnika su jednake h. Manji pravokutnik ima visinu m i područje mh, veći, odnosno M i Mh. Na parceli površine vs. x(Sl. 18) može se vidjeti da kada se apscisa promijeni u h, vrijednost ordinate (tj. površine) povećava se za iznos između mh i Mh. Nagib sekante u ovom grafu je između m i M. što se događa kada h ide na nulu? Ako je graf funkcije y = f(x) je kontinuiran (tj. ne sadrži diskontinuitete), dakle M, i m nastojati f(x). Stoga, nagib Aў ( x) graf površine u funkciji od x jednaki f(x). To je bio zaključak do kojeg je trebalo doći.

Leibniz je predložio područje ispod krivulje y = f(x) od 0 do a oznaka

S rigoroznim pristupom, ovaj takozvani određeni integral mora se definirati kao granica određenih zbroja na Wallisov način. S obzirom na gore dobiveni rezultat, jasno je da se ovaj integral izračunava pod uvjetom da možemo pronaći takvu funkciju A(x), koji nestaje kada x= 0 i ima derivaciju Aў ( x) jednak f (x). Pronalaženje takve funkcije obično se naziva integracijom, iako bi bilo prikladnije ovu operaciju nazvati antidiferencijacijom, što znači da je ona u određenom smislu inverzna od diferencijacije. U slučaju polinoma, integracija je laka. Na primjer, ako

što je lako provjeriti diferenciranjem A(x).

Za izračunavanje površine A 1 ispod krivulje y = 1 + x + x 2 /2 zatvoreno između ordinata 0 i 1, jednostavno pišemo

i zamjenom x= 1, dobivamo A 1 = 1 + 1 / 2 + 1 / 6 = 5 / 3. Kvadrat A(x) od 0 do 2 je A 2 = 2 + 4 / 2 + 8 / 6 = 16 / 3. Kao što se može vidjeti iz sl. 19, područje zatvoreno između ordinata 1 i 2 je A 2 – A 1 = 11 / 3. Obično se piše kao određeni integral

Svezaci.

Slično razmišljanje čini iznenađujuće jednostavnim izračunavanje volumena tijela okretanja. Pokažimo to na primjeru izračunavanja obujma lopte, još jednog klasičnog problema koji su stari Grci, koristeći im poznate metode, teškom mukom uspjeli riješiti.

Zarotirajmo dio ravnine zatvoren unutar četvrtine kruga polumjera r, pod kutom od 360° oko osi x. Kao rezultat, dobivamo hemisferu (slika 20), čiji volumen označavamo V(x). Potrebno je odrediti stopu kojom se V(x) s povećanjem x. Polazeći od x Do x + h, lako je provjeriti da je prirast volumena manji od volumena str(r 2 – x 2)h kružni cilindar polumjera i visine h, i više od volumena str[r 2 – (x + h) 2 ]h polumjer i visina cilindra h. Dakle, na grafu funkcije V(x) nagib sekante je zatvoren između str(r 2 – x 2) i str[r 2 – (x + h) 2 ]. Kada h teži nuli, nagib teži

Na x = r dobivamo

za volumen hemisfere, pa prema tome 4 p r 3/3 za volumen cijele lopte.

Slična metoda omogućuje pronalaženje duljina krivulja i površina zakrivljenih površina. Na primjer, ako a(x) - dužina luka PR na sl. 21, onda je naš zadatak izračunati aў( x). Na heurističkoj razini koristimo tehniku ​​koja nam omogućuje da ne pribjegavamo uobičajenom prolazu do granice, što je neophodno za rigorozni dokaz rezultata. Pretpostavimo da je brzina promjene funkcije a(x) u točki R isto kao što bi bilo kad bi krivulju zamijenila njezina tangenta PT u točki P. Ali sa sl. 21 je izravno vidljiv, kada se korača h desno ili lijevo od točke x uz RT značenje a(x) mijenja se u

Dakle, brzina promjene funkcije a(x) je

Pronaći samu funkciju a(x), potrebno je samo integrirati izraz s desne strane jednakosti. Pokazalo se da je integracija prilično teška za većinu funkcija. Stoga je razvoj integralnih računskih metoda velik dio matematičke analize.

Primitivci.

Svaka funkcija čiji je izvod jednak zadanoj funkciji f(x), naziva se antiderivativnim (ili primitivnim) za f(x). Na primjer, x 3 /3 - antiderivat za funkciju x 2 jer ( x 3 /3)ŭ = x 2. Naravno x 3/3 nije jedini antiderivat funkcije x 2 jer x 3 /3 + C je također izvedenica za x 2 za bilo koju konstantu S. Međutim, u onome što slijedi slažemo se izostaviti takve aditivne konstante. Općenito

gdje n je pozitivan cijeli broj, budući da ( x n + 1/(n+ 1))ŭ = x n. Relacija (1) je zadovoljena u još općenitijem smislu ako n zamijeniti bilo kojim racionalnim brojem k, osim -1.

Proizvoljna antiderivativna funkcija za danu funkciju f(x) se obično naziva neodređenim integralom f(x) i označimo ga kao

Na primjer, budući da (grijeh x)ŭ = cos x, formula

U mnogim slučajevima gdje postoji formula za neodređeni integral dane funkcije, ona se može naći u brojnim široko objavljenim tablicama neodređenih integrala. Integrali elementarnih funkcija su tablični (uključuju potencije, logaritme, eksponencijalnu funkciju, trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije, kao i njihove konačne kombinacije dobivene zbrajanjem, oduzimanjem, množenjem i dijeljenjem). Uz pomoć tabličnih integrala, integrali se mogu izračunati i iz složenijih funkcija. Postoji mnogo načina za izračunavanje neodređenih integrala; najčešća od njih je varijabilna supstitucija ili supstitucijska metoda. Sastoji se u tome da ako želimo zamijeniti u neodređenom integralu (2) x na neku diferencijabilnu funkciju x = g(u), tada je potrebno da se integral ne bi promijenio x zamijenjen sa gў ( u)du. Drugim riječima, jednakost

(zamjena 2 x = u, odakle 2 dx = du).

Predstavimo još jednu metodu integracije – metodu integracije po dijelovima. Temelji se na dobro poznatoj formuli

Nakon integracije lijeve i desne strane, i uzimajući u obzir to

Ova formula se zove formula integracije po dijelovima.

Primjer 2. Treba pronaći . Budući da cos x= (grijeh x)ŭ , možemo to napisati

Iz (5), uz pretpostavku u = x i v= grijeh x, dobivamo

I budući da (-cos x)ŭ = grijeh x nalazimo da i

Valja naglasiti da smo se ograničili na vrlo kratak uvod u vrlo opsežnu temu, u kojoj su se nakupile brojne duhovite trikove.

Funkcije dviju varijabli.

Zbog krivulje y = f(x), razmotrili smo dva problema.

1) Pronađite nagib tangente na krivulju u danoj točki. Taj se problem rješava izračunavanjem vrijednosti izvedenice fў ( x) u datoj točki.

2) Pronađite površinu ispod krivulje iznad segmenta osi x omeđen okomitim linijama x = a i x = b. Taj se problem rješava izračunavanjem određenog integrala.

Svaki od ovih problema ima analogiju u slučaju površine z = f(x,y).

1) Pronađite tangentnu ravninu na površinu u danoj točki.

2) Pronađite volumen ispod površine iznad dijela ravnine hu, ograničena krivulja S, a sa strane - okomito na ravninu xy prolazeći kroz točke granične krivulje S (cm. riža. 22).

Sljedeći primjeri pokazuju kako se ovi problemi rješavaju.

Primjer 4. Pronađite tangentnu ravninu na površinu

u točki (0,0,2).

Ravnina je definirana ako su zadana dva pravca koja se u njoj sijeku. Jedan od ovih redova l 1) ući ćemo u avion xz (na= 0), drugi ( l 2) - u avionu yz (x = 0) (cm. riža. 23).

Prije svega, ako na= 0, dakle z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Derivat u odnosu na x, označeno fў x(x,0) = –2 – 6x, u x= 0 ima vrijednost -2. Ravno l 1 dat jednadžbama z = 2 – 2x, na= 0 - tangenta na S 1, linije presjeka plohe s ravninom na= 0. Slično, ako x= 0, dakle f(0,y) = 2 – y – y 2 , i derivacija u odnosu na na ima oblik

Jer fў y(0,0) = -1, krivulja S 2 - linija presjeka površine s ravninom yz- ima tangentu l 2 dat jednadžbama z = 2 – y, x= 0. Željena tangentna ravnina sadrži oba pravca l 1 i l 2 i zapisuje se jednadžbom

Ovo je jednadžba ravnine. Osim toga, dobivamo izravne l 1 i l 2, uz pretpostavku, na= 0 i x = 0.

Činjenica da jednadžba (7) doista definira tangentnu ravninu može se provjeriti na heurističkoj razini ako se primijeti da ova jednadžba sadrži članove prvog reda u jednadžbi (6), te da se članovi drugog reda mogu predstaviti u obliku – . Budući da je ovaj izraz negativan za sve vrijednosti x i na, Osim x = na= 0, površina (6) leži ispod ravnine (7) posvuda, osim točke R= (0,0,0). Možemo reći da je površina (6) u točki konveksna prema gore R.

Primjer 5. Pronađite tangentnu ravninu na površinu z = f(x,y) = x 2 – y 2 na početku 0.

Na površini na= 0 imamo: z = f(x,0) = x 2 i fў x(x,0) = 2x. Na S 1, presjek linija, z = x 2. U točki O nagib je fў x(0,0) = 0. Na ravnini x= 0 imamo: z = f(0,y) = –y 2 i fў y(0,y) = –2y. Na S 2, linije presjeka, z = –y 2. U točki O nagib krivulje S 2 jednako fў y(0,0) = 0. Budući da tangente na S 1 i S 2 su sjekire x i na, tangentna ravnina koja ih sadrži je ravnina z = 0.

Međutim, u susjedstvu ishodišta, naša površina nije na istoj strani tangentne ravnine. Doista, krivulja S 1 leži iznad tangentne ravnine posvuda, osim točke 0 i krivulje S 2 - odnosno ispod njega. Površina siječe tangentnu ravninu z= 0 u ravnim linijama na = x i na = –x. Za takvu plohu kažemo da u ishodištu ima sedlo (slika 24).

Privatni derivati.

U prethodnim primjerima koristili smo derivate od f (x,y) uključeno x i po na. Razmotrimo sada takve izvedenice na općenitiji način. Ako imamo funkciju dvije varijable, npr. F(x,y) = x 2 – xy, tada možemo u svakoj točki odrediti dvije njegove "djelomične derivacije", jednu - diferenciranjem funkcije s obzirom na x i popravljanja na, i razlikovanje drugog s obzirom na na i popravljanja x. Prva od ovih izvedenica označava se kao fў x(x,y) ili ¶ f/¶ x; drugo je kako f f y. Ako su obje mješovite izvedenice (do x i na, na na i x) su kontinuirani, onda ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x; u našem primjeru ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x = –1.

Djelomična derivacija fў x(x,y) označava brzinu promjene funkcije f u točki ( x,y) u smjeru povećanja x, a fў y(x,y) je brzina promjene funkcije f u uzlaznom smjeru na. Stopa promjene funkcije f u točki ( x,na) u smjeru ravne linije koja čini kut q s pozitivnim smjerom osi x, naziva se derivacija funkcije f prema; njezina je vrijednost kombinacija dvaju parcijalnih izvoda funkcije f u tangentnoj ravnini je gotovo jednak (za male dx i dy) istinska promjena z na površini, ali je izračunavanje diferencijala obično lakše.

Formula koju smo već razmatrali iz metode promjene varijable, poznate kao derivacija kompleksne funkcije ili lančano pravilo, u jednodimenzionalnom slučaju, kada na ovisi o x, a x ovisi o t, izgleda kao:

Za funkcije dviju varijabli, slična formula ima oblik:

Koncepti i oznake djelomične diferencijacije mogu se lako generalizirati na više dimenzije. Konkretno, ako je površina implicitno dana jednadžbom f(x,y,z) = 0, jednadžbi tangentne ravnine na površinu može se dati simetričniji oblik: jednadžba tangentne ravnine u točki ( x(x 2 /4)], zatim integrira preko x od 0 do 1. Konačni rezultat je 3/4.

Formula (10) se može tumačiti i kao tzv. dvostruki integral, tj. kao granica zbroja volumena elementarnih "ćelija". Svaka takva ćelija ima bazu D x D y i visina jednaka visini površine iznad neke točke pravokutne baze ( cm. riža. 26). Može se pokazati da su obje točke gledišta na formulu (10) ekvivalentne. Dvostruki integrali se koriste za pronalaženje centara gravitacije i brojnih momenata koji se susreću u mehanici.

Rigoroznije opravdanje matematičkog aparata.

Do sada smo koncepte i metode matematičke analize predstavili na intuitivnoj razini i bez ustručavanja posegnuti za geometrijskim likovima. Ostaje nam da ukratko razmotrimo rigoroznije metode koje su se pojavile u 19. i 20. stoljeću.

Početkom 19. stoljeća, kada je završila era juriša i nasrtaja u "stvaranju matematičke analize", u prvi plan izbijaju pitanja njezine opravdanosti. U djelima Abela, Cauchyja i niza drugih istaknutih matematičara, pojmovi "granične", "kontinuirane funkcije", "konvergentnog niza" precizno su definirani. To je bilo potrebno kako bi se u temelj matematičke analize uveo logički red kako bi ona postala pouzdan alat za istraživanje. Potreba za temeljitim opravdanjem postala je još očitija nakon što je Weierstrass 1872. otkrio funkcije koje su svugdje kontinuirane, ali nigdje ne diferencirane (graf takvih funkcija ima prekid u svakoj točki). Ovaj rezultat ostavio je zapanjujući dojam na matematičare, budući da je bio u suprotnosti s njihovom geometrijskom intuicijom. Još upečatljiviji primjer nepouzdanosti geometrijske intuicije bila je kontinuirana krivulja koju je konstruirao D. Peano, a koja u potpunosti ispunjava određeni kvadrat, t.j. prolazeći kroz sve njegove točke. Ova i druga otkrića oživjela su program "aritmetizacije" matematike, t.j. čineći ga pouzdanijim potkrepljujući sve matematičke pojmove uz pomoć pojma broja. Gotovo puritansko suzdržavanje od vizualizacije u djelima o temeljima matematike imalo je svoje povijesno opravdanje.

Prema suvremenim kanonima logičke strogosti, neprihvatljivo je govoriti o području ispod krivulje y = f(x) i iznad segmenta osi x, čak f je kontinuirana funkcija, bez prethodnog utvrđivanja točnog značenja pojma "područje" i bez utvrđivanja da ovako definirano područje stvarno postoji. Taj je problem 1854. godine uspješno riješio B. Riemann, koji je dao preciznu definiciju pojma određenog integrala. Od tada je ideja zbrajanja iza koncepta određenog integrala bila predmet mnogih dubokih istraživanja i generalizacija. Kao rezultat toga, danas je moguće dati značenje određenom integralu, čak i ako je integrand posvuda diskontinuiran. Novi koncepti integracije, čijem su stvaranju A. Lebesgue (1875–1941) i drugi matematičari dali veliki doprinos, povećali su snagu i ljepotu moderne matematičke analize.

Teško da bi bilo prikladno ulaziti u detalje svih ovih i drugih pojmova. Ograničavamo se na davanje rigoroznih definicija granice i određenog integrala.

Zaključno, recimo da matematička analiza, kao izuzetno vrijedan alat u rukama znanstvenika i inženjera, i danas privlači pozornost matematičara kao izvor plodonosnih ideja. U isto vrijeme, čini se da suvremeni razvoj ukazuje da je matematička analiza sve više apsorbirana od strane takvih dominantnih u 20. stoljeću. grane matematike poput apstraktne algebre i topologije.

Na kojoj smo analizirali najjednostavnije derivacije, a također se upoznali s pravilima diferencijacije i nekim tehnikama pronalaženja derivacija. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili neke točke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Uključite se u ozbiljno raspoloženje – gradivo nije lako, ali ću ga ipak pokušati predstaviti jednostavno i jasno.

U praksi se s derivacijom složene funkcije morate suočiti vrlo često, rekao bih čak i gotovo uvijek, kada dobijete zadatke za pronalaženje izvodnica.

U tablici gledamo pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, pogledajmo notaciju. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena u funkciju . Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija koristim samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "x", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tablice neće raditi. Primjećujemo i da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da je nemoguće “rastrgnuti” sinus:

U ovom primjeru, već iz mojih objašnjenja, intuitivno je jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom je unutarnja funkcija (embedding) i vanjska funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvesti pri pronalaženju derivacije složene funkcije je to razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali što ako nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može provesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislimo da kalkulatorom trebamo izračunati vrijednost izraza (umjesto jedan može biti bilo koji broj).

Što prvo izračunamo? Kao prvo morat ćete izvesti sljedeću radnju: , tako da će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat ćete pronaći, pa će sinus - biti vanjska funkcija:

Nakon što smo RAZUMIJETI s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila diferencijacije složenih funkcija .

Počinjemo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - izraz stavljamo u zagrade i stavljamo crtu u gornji desni:

Prvi nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus), pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve tablične formule su primjenjive čak i ako je "x" zamijenjen složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutarnja funkcija nije se promijenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule čisto izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, odluku zapišite na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 3

Pronađite derivaciju funkcije

Kao i uvijek, pišemo:

Shvatimo gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza za . Što prvo treba učiniti? Prije svega, morate izračunati koliko je baza jednaka:, što znači da je polinom interna funkcija:

I tek tada se izvodi eksponencijalizacija, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Tražimo željenu formulu u tablici:. Ponavljamo opet: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo derivaciju vanjske funkcije, unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavnu derivaciju unutarnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Za konsolidaciju razumijevanja derivacije složene funkcije dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami shvatiti, razlog, gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na taj način?

Primjer 5

a) Pronađite derivaciju funkcije

b) Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao stupanj. Stoga prvo dovodimo funkciju u odgovarajući oblik za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a eksponencijacija vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije :

Stupanj je opet predstavljen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje zbroja:

Spreman. Također možete dovesti izraz do zajedničkog nazivnika u zagradama i sve napisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada se dobiju glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad, umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije, može koristiti pravilo za razlikovanje kvocijenta , ali takvo rješenje će izgledati kao izopačenje neobično. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali je mnogo isplativije pronaći derivaciju kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - vadimo znak minus iz derivacije i dižemo kosinus na brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo se našim pravilom :

Pronalazimo derivaciju unutarnje funkcije, vraćamo kosinus na dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zabuniti se u znakovima. Usput, pokušaj to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo razmatrali slučajeve kada smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje se, poput lutki za gniježđenje, jedna u drugoj, ugniježđeno 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite derivaciju funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo procijeniti izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsin najdublje gniježđenje:

Ovaj arcsin jedinstva tada treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, dok je najnutarnja funkcija arcsinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počinjemo odlučivati

Prema pravilu prvo trebate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz, što ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći.

za studente medicinski, pedijatrijski, stomatološki

te medicinski i preventivni fakulteti

na laboratorijski rad

"Osnovni pojmovi matematičke analize"

1. Znanstveno-metodološka utemeljenost teme:

Pojmovi derivacije i diferencijala spadaju u osnovne pojmove matematičke analize. Izračun derivacija je neophodan pri rješavanju mnogih zadataka iz fizike i matematike (nalaženje brzine, ubrzanja, tlaka i sl.). Važnost koncepta derivacije, posebice, određena je činjenicom da derivacija funkcije karakterizira brzinu promjene ove funkcije kada se promijeni njezin argument.

Korištenje diferencijala omogućuje provođenje približnih izračuna, kao i procjenu pogrešaka.

Metode pronalaženja derivacija i diferencijala funkcija i njihova primjena čine glavni zadatak diferencijalnog računa. Potreba za pojmom derivacije javlja se u vezi s formulacijom problema izračunavanja brzine kretanja i nalaženja kuta tangente na krivulju. Moguć je i inverzni problem: odrediti prijeđenu udaljenost prema brzini, a odgovarajuću funkciju pronaći tangentom nagiba tangente. Takav inverzni problem dovodi do koncepta neodređenog integrala.

Koncept određenog integrala koristi se u brojnim praktičnim problemima, posebice u problemima izračunavanja površina ravnih likova, izračunavanja rada promjenjive sile i pronalaženja prosječne vrijednosti funkcije.

U matematičkom opisu različitih fizikalnih, kemijskih, bioloških procesa i pojava često se koriste jednadžbe koje ne sadrže samo proučavane veličine, već i njihove derivate različitih redova tih veličina. Na primjer, prema najjednostavnijoj verziji zakona o razmnožavanju bakterija, stopa razmnožavanja je proporcionalna broju bakterija u određenom trenutku. Ako se taj broj označi s N(t), tada je, sukladno fizičkom značenju derivata, brzina razmnožavanja bakterija derivat N(t), a na temelju spomenutog zakona možemo napisati omjer N "(t) \u003d k∙N, gdje je k\u003e 0 - koeficijent proporcionalnosti Rezultirajuća jednadžba nije algebarska, jer sadrži ne samo nepoznatu funkciju N(t), već i njen izvod prvog reda.

2. Kratka teorija:

1. Problemi koji vode do koncepta izvedenice

1. Problem nalaženja brzine v materijalne točke. Neka materijalna točka napravi pravocrtno gibanje. U trenutku t 1 točka je na poziciji M 1. U trenutku t 2 trudna M 2 . Označite interval M 1 , M 2 preko ∆S; t 2 – t 1 =Δt. Vrijednost se naziva prosječna brzina kretanja. Pronaći trenutnu brzinu točke na poziciji M 1 potrebno Δt krenuti prema nuli. Matematički, to znači da

, (1)

Dakle, da bismo pronašli trenutnu brzinu materijalne točke, potrebno je izračunati granicu omjera prirasta funkcije ∆S na prirast argumenta Δt pod uvjetom da ∆t→0.

2. Problem nalaženja kuta nagiba tangente na graf funkcije.

Sl. 1

Razmotrimo graf neke funkcije y=f(x). Koliki je kut nagiba
tangenta povučena u točki M 1 ? U točki M 1 nacrtati tangentu na graf funkcije. Odaberite proizvoljnu točku na grafu M 2 i nacrtati sekantu. Nagnut je prema osi OH pod kutom α 1 . Smatrati ΔM 1 M 2 O:

, (2)

Ako je točka M 1 popraviti i ukazati M 2 pristup M 1 , zatim sekansa M 1 M 2 postat će tangenta na graf funkcije u točki M 1 a možete napisati:

, (3)

Dakle, potrebno je izračunati granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, ako prirast argumenta teži nuli.

Granica omjera prirasta Δy funkcije y=f(x) i prirasta argumenta Δx u danoj točki x 0 kako Δx teži nuli, naziva se derivacija funkcije u danoj točki.

Derivacijska oznaka: y", f "(x), . Po definiciji

, (4)

gdje je Δx=h 2 -h 1 prirast argumenta (razlika između dvije sljedeće dovoljno bliske vrijednosti argumenta), Δy=y 2 -y 1 je prirast funkcije (razlika između vrijednosti ​​funkcije koja odgovara ovim vrijednostima argumenta).

Pronalaženje derivacije zadane funkcije naziva se njezinim diferencijacija. Diferencijacija glavnih elementarnih funkcija provodi se prema gotovim formulama (vidi tablicu), kao i korištenjem pravila:

Derivat algebarskog zbroja funkcije jednaka je zbroju derivacija ovih funkcija:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Derivat umnoška dviju funkcija jednak je zbroju umnožaka druge funkcije derivacijom prve i prve funkcije derivacijom druge:

(u∙υ )"=u"υ +uυ "

3. Derivat kvocijenta dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat nazivnika:

Fizičko značenje izvedenice. Iz usporedbe (4) i (1) proizlazi da je trenutna brzina pravocrtnog gibanja materijalne točke jednaka derivaciji ovisnosti njezine koordinate o vremenu.

Opće značenje derivacije funkcije je da ona karakterizira brzina (brzina) promjene funkcije s obzirom na promjenu argumenta. Brzina fizikalnih, kemijskih i drugih procesa, kao što su brzina hlađenja tijela, brzina kemijske reakcije, brzina razmnožavanja bakterija i sl., također se izražava pomoću izvedenice.

Geometrijsko značenje izvedenice. Vrijednost tangente nagiba tangente povučene na graf funkcije naziva se u matematici nagib tangente.

Nagib tangente povučene na graf diferencijabilne funkcije u nekoj točki brojčano je jednak derivaciji funkcije u toj točki.

Ova izjava se zove geometrijsko značenje izvedenice.