किसी फंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक कैसे ज्ञात करें। किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कैसे खोजें y
निम्नलिखित आकृति पर विचार करें।
यह फंक्शन y = x^3 - 3*x^2 का ग्राफ दिखाता है। बिंदु x = 0 वाले कुछ अंतराल पर विचार करें, उदाहरण के लिए, -1 से 1 तक। इस तरह के अंतराल को बिंदु x = 0 का पड़ोस भी कहा जाता है। जैसा कि ग्राफ पर देखा जा सकता है, इस पड़ोस में फ़ंक्शन y = x ^3 - 3*x^2 बिंदु x = 0 पर सबसे बड़ा मान लेता है।
किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम
इस मामले में, बिंदु x = 0 को फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कहा जाता है। इसके अनुरूप, बिंदु x = 2 को फ़ंक्शन y = x^3 - 3*x^2 का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है। क्योंकि इस बिंदु का एक ऐसा मोहल्ला है जिसमें इस मोहल्ले के अन्य सभी मूल्यों के बीच इस बिंदु पर मूल्य न्यूनतम होगा।
दूरसंचार विभाग ज्यादा से ज्यादाफ़ंक्शन f(x) को एक बिंदु x0 कहा जाता है, बशर्ते कि बिंदु x0 का एक पड़ोस ऐसा हो कि सभी x के लिए इस पड़ोस से x0 के बराबर न हो, असमानता f(x)< f(x0).
दूरसंचार विभाग न्यूनतमफ़ंक्शन f(x) को एक बिंदु x0 कहा जाता है, बशर्ते कि बिंदु x0 का एक पड़ोस ऐसा हो कि इस पड़ोस से x के बराबर नहीं होने वाले सभी x के लिए, असमानता f(x) > f(x0) संतुष्ट हो।
फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान शून्य के बराबर होता है। लेकिन अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अस्तित्व के लिए यह पर्याप्त शर्त नहीं है।
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = x^3 बिंदु x = 0 पर शून्य के बराबर व्युत्पन्न है। लेकिन बिंदु x = 0 फलन का न्यूनतम या अधिकतम बिंदु नहीं है। जैसा कि आप जानते हैं, फलन y = x^3 संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर बढ़ता है।
इस प्रकार, न्यूनतम और अधिकतम अंक हमेशा समीकरण f'(x) = 0 के मूल में होंगे। लेकिन इस समीकरण के सभी मूल अधिकतम या न्यूनतम अंक नहीं होंगे।
स्थिर और महत्वपूर्ण बिंदु
वे बिंदु जिन पर किसी फलन के अवकलज का मान शून्य के बराबर होता है, स्थिर बिंदु कहलाते हैं। उन बिंदुओं पर अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु भी हो सकते हैं जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बिल्कुल मौजूद नहीं होता है। उदाहरण के लिए, y = |x| बिंदु पर x = 0 का न्यूनतम है, लेकिन इस बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। यह बिंदु फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु होगा।
किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु वे बिंदु होते हैं जिन पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, या इस बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है, अर्थात, इस बिंदु पर कार्य गैर-भिन्न होता है। किसी फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम को खोजने के लिए, एक पर्याप्त शर्त पूरी होनी चाहिए।
मान लीजिए f(x) अंतराल (a;b) पर अवकलनीय कुछ फलन है। बिंदु x0 इस अंतराल से संबंधित है और f'(x0) = 0. तब:
1. यदि, स्थिर बिंदु x0 से गुजरते समय, फलन f (x) और उसका व्युत्पन्न चिह्न "धन" से "ऋण" में बदल जाता है, तो बिंदु x0 फलन का अधिकतम बिंदु होता है।
2. यदि, स्थिर बिंदु x0 से गुजरते समय, फलन f (x) और उसका व्युत्पन्न चिह्न "ऋण" से "धन" में बदल जाता है, तो बिंदु x0 फलन का न्यूनतम बिंदु है।
अर्थ
महानतम
अर्थ
कम से कम
अधिकतम बिंदु
अंतिम बिंदू
किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है मानक योजना 3 चरणों में।
स्टेप 1. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
- प्राथमिक फलनों के अवकलज के सूत्र और अवकलज ज्ञात करने के लिए विभेदीकरण के मूल नियम याद रखें।
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243।
चरण दो. व्युत्पन्न के शून्य खोजें
- व्युत्पन्न के शून्यों को खोजने के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
चरण 3. चरम बिंदु खोजें
- व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करने के लिए रिक्ति विधि का उपयोग करें;
- न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और साइन को माइनस से प्लस में और अधिकतम पॉइंट पर प्लस से माइनस में बदलता है।
आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने के लिए इस दृष्टिकोण को लागू करें:
फलन y=x3−243x+19 का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए।
1) अवकलज ज्ञात कीजिए: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) समीकरण को हल करें y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) व्युत्पन्न x>9 और x . के लिए धनात्मक है<−9 и отрицательная при −9 किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या को हल करने के लिए ज़रूरी: कई कार्यों में मदद करता है प्रमेय: यदि खंड पर केवल एक चरम बिंदु है, और यह न्यूनतम बिंदु है, तो इसमें फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान पहुंच जाता है। यदि यह अधिकतम बिंदु है, तो उस पर अधिकतम मान प्राप्त किया जाता है। 14. अनिश्चितकालीन अभिन्न की अवधारणा और बुनियादी गुण। यदि समारोह एफ(एक्स एक्स, तथा क- संख्या, फिर संक्षेप में बोल रहा हूँ: स्थिरांक को अभिन्न चिह्न से निकाला जा सकता है। यदि कार्य एफ(एक्स) तथा जी(एक्स) अंतराल पर एंटीडेरिवेटिव होते हैं एक्स, फिर संक्षेप में बोल रहा हूँ: योग का समाकल समाकलों के योग के बराबर होता है। यदि समारोह एफ(एक्स) अंतराल पर एक व्युत्पन्न है एक्स, तो इस अंतराल के आंतरिक बिंदुओं के लिए: संक्षेप में बोल रहा हूँ: इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर होता है। यदि समारोह एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर है एक्सऔर इस अंतराल के आंतरिक बिंदुओं पर अवकलनीय है, तब: संक्षेप में बोल रहा हूँ: किसी फलन के अवकलन का समाकल उस फलन और समाकलन स्थिरांक के बराबर होता है। आइए हम एक कठोर गणितीय परिभाषा दें अनिश्चितकालीन अभिन्न की अवधारणाएं. दयालु अभिव्यक्ति कहा जाता है समारोह का अभिन्न अंग एफ (एक्स)
, कहाँ पे एफ (एक्स)
- एकीकृत कार्य, जो दिया गया है (ज्ञात), डीएक्स
- अंतर एक्स
, प्रतीक के साथ हमेशा मौजूद डीएक्स
. परिभाषा। अनिश्चितकालीन अभिन्नएक समारोह कहा जाता है एफ (एक्स) + सी
, एक मनमाना स्थिरांक युक्त सी
, जिसका अंतर . के बराबर है एकीकृतअभिव्यक्ति एफ (एक्स) डीएक्स
, अर्थात। याद करें कि - समारोह अंतरऔर इस प्रकार परिभाषित किया गया है: समस्या ढूँढना अनिश्चितकालीन अभिन्नएक समारोह खोजने के लिए है यौगिकजो इंटीग्रैंड के बराबर है। यह फ़ंक्शन स्थिरांक तक निर्धारित होता है, क्योंकि स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि , तो यह पता चलता है कि कार्य ढूँढना अनिश्चितकालीन अभिन्नसे फ़ंक्शंस उतना सरल और आसान नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। कई मामलों में, के साथ काम करने में कौशल होना चाहिए अनिश्चितकालीन अभिन्न,एक ऐसा अनुभव होना चाहिए जो अभ्यास और निरंतर के साथ आता हो अनिश्चित समाकलन के उदाहरण हल करना।यह इस तथ्य पर विचार करने योग्य है कि अनिश्चित समाकलनकुछ कार्यों से (उनमें से काफी हैं) प्राथमिक कार्यों में नहीं लिया जाता है। 15. मूल अनिश्चित समाकलों की तालिका। मूल सूत्र 16. पूर्ण योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन। इंटीग्रल का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ। चलो समारोह y=ƒ(x) खंड पर परिभाषित किया जाना चाहिए [ए; बैंड< b. Выполним следующие действия. 1. अंक x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0) का उपयोग करना 2. प्रत्येक आंशिक खंड में, i = 1,2,...,n, हम i के साथ एक मनमाना बिंदु चुनते हैं और उस पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं, अर्थात मान ƒ (i के साथ)। 3. फलन (i से) के पाए गए मान को संगत आंशिक खंड की लंबाई ∆x i =x i -x i-1 से गुणा करें: (i से) i. 4. ऐसे सभी उत्पादों का योग S n लिखें: फॉर्म के योग (35.1) को खंड [ए] पर फ़ंक्शन y \u003d (x) का अभिन्न योग कहा जाता है; बी]। सबसे बड़े आंशिक खंड की लंबाई λ से निरूपित करें: λ = अधिकतम x i (i = 1,2,..., n)। 5. समाकलन योग (35.1) की सीमा n → के रूप में ज्ञात कीजिए ताकि λ→0 हो। यदि, इसके अतिरिक्त, अभिन्न योग S n की एक सीमा I है, जो खंड [a; को विभाजित करने की विधि पर निर्भर नहीं करती है; बी] आंशिक खंडों में, या उनमें बिंदुओं की पसंद से, तो संख्या I को खंड पर फ़ंक्शन y = ƒ(x) का एक निश्चित अभिन्न कहा जाता है [ए; बी] और इस प्रकार निरूपित किया जाता है, संख्या ए और बी को क्रमशः एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमा कहा जाता है, (x) - इंटीग्रैंड, ƒ(x) dx - इंटीग्रैंड, x - इंटीग्रेशन वेरिएबल, सेगमेंट [ए; बी] - एकीकरण का क्षेत्र (खंड)। फ़ंक्शन y \u003d (x), जिसके लिए खंड पर [ए; b] इस अंतराल पर एक निश्चित समाकलन होता है जिसे समाकलनीय कहा जाता है। आइए अब हम एक निश्चित समाकल के लिए अस्तित्व प्रमेय सूत्रबद्ध करें। प्रमेय 35.1 (कॉची)। यदि फलन y = (x) खंड [a; बी], फिर निश्चित अभिन्न ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन की निरंतरता इसकी अभिन्नता के लिए पर्याप्त शर्त है। हालाँकि, कुछ असंतत कार्यों के लिए एक निश्चित अभिन्न भी मौजूद हो सकता है, विशेष रूप से, किसी भी फ़ंक्शन के लिए जो एक अंतराल पर बंधा हुआ है और उस पर एक सीमित संख्या में असंततता बिंदु हैं। आइए हम निश्चित समाकलन के कुछ गुणों को इंगित करें जो इसकी परिभाषा (35.2) से सीधे अनुसरण करते हैं। 1. निश्चित अभिन्न एकीकरण चर के संकेतन से स्वतंत्र है: यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि अभिन्न योग (35.1) और, परिणामस्वरूप, इसकी सीमा (35.2) इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कौन सा अक्षर इस फ़ंक्शन के तर्क को दर्शाता है। 2. एकीकरण की समान सीमा के साथ एक निश्चित समाकलन शून्य के बराबर होता है: 3. किसी वास्तविक संख्या के लिए c. 17. न्यूटन-लीबनिज सूत्र। एक निश्चित अभिन्न के मूल गुण। चलो समारोह वाई = एफ (एक्स)खंड पर निरंतर
तथा एफ (एक्स)इस खंड पर फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव में से एक है, तो न्यूटन-लीबनिज सूत्र: न्यूटन-लीबनिज सूत्र को कहा जाता है अभिन्न कलन का मूल सूत्र. न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को सिद्ध करने के लिए, हमें एक परिवर्ती ऊपरी सीमा के साथ समाकलन की अवधारणा की आवश्यकता है। यदि समारोह वाई = एफ (एक्स)खंड पर निरंतर
, तो तर्क के लिए प्रपत्र का समाकलन ऊपरी सीमा का एक फलन है। हम इस फ़ंक्शन को निरूपित करते हैं वास्तव में, आइए हम तर्क की वृद्धि के अनुरूप फलन की वृद्धि को लिखें और दसवें गुण से निश्चित समाकलन और उपफल के पांचवें गुण का उपयोग करें: आइए इस समानता को इस रूप में फिर से लिखें गणना करना एफ (ए), निश्चित अभिन्न की पहली संपत्ति का उपयोग करना: किसी फ़ंक्शन की वृद्धि को आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करने के लिए, हमारे लिए एक प्रतिपदार्थ को जानना पर्याप्त है वाई = एफ (एक्स)एकीकृत वाई = एफ (एक्स)खंड पर
और इस खंड पर इस प्रतिपक्षी की वृद्धि की गणना करें। लेख में, एकीकरण के तरीकों का विश्लेषण किया गया है, जो कि एंटीडेरिवेटिव खोजने के मुख्य तरीकों का विश्लेषण करता है। आइए हम स्पष्टीकरण के लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकलों की गणना के कुछ उदाहरण दें। उदाहरण। न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकलन के मान की गणना कीजिए। समाधान। सबसे पहले, ध्यान दें कि अंतराल पर इंटीग्रैंड निरंतर है
, इसलिए, इस पर अभिन्न है। (हमने उन कार्यों के खंड में अभिन्न कार्यों के बारे में बात की, जिनके लिए एक निश्चित अभिन्न अंग है)। यह अनिश्चित इंटीग्रल की तालिका से देखा जा सकता है कि एक फ़ंक्शन के लिए, तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए एंटीडेरिवेटिव्स का सेट (इसलिए, के लिए) के रूप में लिखा जाता है अब निश्चित समाकलन की गणना के लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करना शेष है: 18. एक निश्चित समाकल के ज्यामितीय अनुप्रयोग। एक निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अनुप्रयोग शरीर की मात्रा की गणना समानांतर वर्गों के ज्ञात क्षेत्रों से शरीर की मात्रा की गणना: घूर्णन शरीर की मात्रा: ; . उदाहरण 1. वक्र y=sinx, सीधी रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए समाधान:आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना: उदाहरण 2. रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए समाधान:आइए इन कार्यों के रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं यहाँ से हम पाते हैं एक्स 1 \u003d 0, एक्स 2 \u003d 2.5। 19. विभेदक नियंत्रण की अवधारणा। पहले क्रम के अंतर समीकरण। अंतर समीकरण- एक समीकरण जो किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान को फ़ंक्शन के साथ जोड़ता है, स्वतंत्र चर के मान, संख्याएं (पैरामीटर)। समीकरण में शामिल डेरिवेटिव का क्रम भिन्न हो सकता है (औपचारिक रूप से, यह किसी भी चीज़ से सीमित नहीं है)। व्युत्पन्न, कार्य, स्वतंत्र चर और पैरामीटर विभिन्न संयोजनों में समीकरण में शामिल किए जा सकते हैं, या सभी लेकिन कम से कम एक व्युत्पन्न पूरी तरह से अनुपस्थित हो सकते हैं। किसी अज्ञात फलन के अवकलजों वाला कोई समीकरण अवकल समीकरण नहीं है। उदाहरण के लिए, आंशिक अंतर समीकरण(URCHP) ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें कई चरों के अज्ञात फलन और उनके आंशिक अवकलज होते हैं। ऐसे समीकरणों के सामान्य रूप को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: जहां स्वतंत्र चर हैं और इन चरों का एक कार्य है। आंशिक अंतर समीकरणों का क्रम उसी तरह निर्धारित किया जा सकता है जैसे साधारण अंतर समीकरणों के लिए। आंशिक अंतर समीकरणों का एक अन्य महत्वपूर्ण वर्गीकरण अण्डाकार, परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकार के समीकरणों में उनका विभाजन है, खासकर दूसरे क्रम के समीकरणों के लिए। साधारण अंतर समीकरण और आंशिक अंतर समीकरण दोनों को . में विभाजित किया जा सकता है रैखिकतथा गैर रेखीय. एक अवकल समीकरण रैखिक होता है यदि अज्ञात फलन और उसके अवकलज केवल प्रथम घात के समीकरण में प्रवेश करते हैं (और एक दूसरे से गुणा नहीं करते हैं)। ऐसे समीकरणों के लिए, समाधान कार्यों के स्थान का एक एफ़िन उप-स्थान बनाते हैं। रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत को गैर-रेखीय समीकरणों के सिद्धांत की तुलना में बहुत अधिक गहराई से विकसित किया गया है। एक रैखिक अंतर समीकरण का सामान्य रूप एन-वें क्रम: कहाँ पे अनुकरणीय(एक्स) स्वतंत्र चर के ज्ञात फलन हैं, जिन्हें समीकरण के गुणांक कहा जाता है। समारोह आर(एक्स) दाईं ओर कहा जाता है स्वतंत्र सदस्य(एकमात्र पद जो अज्ञात फलन पर निर्भर नहीं करता है) रैखिक समीकरणों का एक महत्वपूर्ण विशेष वर्ग रैखिक अवकल समीकरण है स्थिर गुणांक. रैखिक समीकरणों का एक उपवर्ग है सजातीयअवकल समीकरण - वे समीकरण जिनमें एक मुक्त पद नहीं होता है: आर(एक्स) = 0. सजातीय अवकल समीकरणों के लिए, अध्यारोपण सिद्धांत मानता है: ऐसे समीकरण के विशेष समाधानों का एक रैखिक संयोजन भी इसका समाधान होगा। अन्य सभी रैखिक अवकल समीकरण कहलाते हैं विजातीयविभेदक समीकरण। कुछ विशेष वर्गों को छोड़कर, सामान्य स्थिति में गैर-रेखीय अंतर समीकरणों में समाधान के तरीके विकसित नहीं होते हैं। कुछ मामलों में (कुछ अनुमानों के उपयोग के साथ) उन्हें रैखिक तक कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक थरथरानवाला का रैखिक समीकरण स्थिर गुणांकों के साथ एक दूसरे क्रम का सजातीय अंतर समीकरण है। समाधान कार्यों का एक परिवार है, जहां और मनमानी स्थिरांक हैं, जो एक विशिष्ट समाधान के लिए अलग-अलग निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। यह समीकरण, विशेष रूप से, 3 की चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक थरथरानवाला की गति का वर्णन करता है। न्यूटन के दूसरे नियम को अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है बेसेल अवकल समीकरण, चर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का एक साधारण रैखिक सजातीय समीकरण है: इसके समाधान बेसेल फलन हैं। 1 क्रम के गैर-सजातीय गैर-रैखिक साधारण अंतर समीकरण का एक उदाहरण: उदाहरणों के निम्नलिखित समूह में, अज्ञात कार्य तुमदो चर पर निर्भर करता है एक्सतथा टीया एक्सतथा आप. पहले क्रम के सजातीय रैखिक आंशिक अंतर समीकरण: एक-आयामी तरंग समीकरण - निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के हाइपरबोलिक प्रकार के आंशिक डेरिवेटिव में एक सजातीय रैखिक समीकरण, स्ट्रिंग के कंपन का वर्णन करता है, अगर - समन्वय के साथ एक बिंदु पर स्ट्रिंग का विचलन एक्सउन दिनों टी, और पैरामीटर एस्ट्रिंग गुण सेट करता है: द्वि-आयामी अंतरिक्ष में लाप्लास समीकरण स्थिर गुणांक के साथ अण्डाकार प्रकार के दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव में एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण है, जो यांत्रिकी, गर्मी चालन, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स, हाइड्रोलिक्स की कई भौतिक समस्याओं में उत्पन्न होता है: कोरटेवेग-डी व्रीस समीकरण, एक गैर-रैखिक तृतीय-क्रम आंशिक अंतर समीकरण, स्थिर गैर-रैखिक तरंगों का वर्णन करता है, जिसमें सॉलिटॉन शामिल हैं: 20. वियोज्य लागू के साथ विभेदक समीकरण। रैखिक समीकरण और बर्नौली विधि। एक प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण एक ऐसा समीकरण है जो किसी अज्ञात फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के संबंध में रैखिक होता है। ऐसा लग रहा है फंक्शन का एक्सट्रीमम क्या होता है और एक्सट्रीमम के लिए जरूरी कंडीशन क्या होती है?
किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है। फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (चरम) के लिए आवश्यक शर्त इस प्रकार है: यदि फ़ंक्शनएफ (एक्स ) बिंदु x = a पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य है, या अनंत है, या मौजूद नहीं है। यह शर्त आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। बिंदु x = a पर व्युत्पन्न गायब हो सकता है, अनंत तक जा सकता है, या इस बिंदु पर एक चरम होने वाले फ़ंक्शन के बिना मौजूद नहीं हो सकता है। फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?
पहली शर्त: एफ? (एक्स ) a के बाईं ओर धनात्मक है और a के दाईं ओर ऋणात्मक है, तो बिल्कुल बिंदु x = a फलन पर हैएफ (एक्स ) यह है ज्यादा से ज्यादाबशर्ते कि समारोहएफ (एक्स ) यहाँ निरंतर है। यदि बिंदु x \u003d a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्नएफ? (एक्स ) a के बाईं ओर ऋणात्मक है और a के दाईं ओर धनात्मक है, तो बिल्कुल बिंदु x = a फलन पर हैएफ (एक्स ) यह है न्यूनतमबशर्ते कि समारोहएफ (एक्स ) यहाँ निरंतर है। इसके बजाय, आप उपयोग कर सकते हैं दूसरी पर्याप्त शर्तकार्य चरम:
माना बिंदु x = और प्रथम अवकलज परएफ? (एक्स ) गायब हो जाता है; यदि दूसरा व्युत्पन्नएफ?? (ए) नकारात्मक है, तो कार्य f (x) का बिंदु x = a . है अधिकतम, यदि सकारात्मक - न्यूनतम। केस एफ के बारे में ?? (ए) = 0 M.Ya द्वारा उच्च गणित की पुस्तिका में पाया जा सकता है। वायगोडस्की। किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजना है?
यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का एक चरम (यानी अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए, आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंकार्योंएफ? (एक्स ) और इसे शून्य के बराबर करना, प्रश्न हल करें
एफ? (एक्स ) = 0. इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, यानी, तर्क के मूल्य जिस पर एक चरम हो सकता है। इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न ग्राफ: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिसा अक्ष (ऑक्स अक्ष) को काटता है और जिन पर ग्राफ़ टूट जाता है। उदाहरण के लिए, आइए खोजें परवलय का चरम.
फ़ंक्शन y (x) \u003d 3 x 2 + 2 x - 50। फ़ंक्शन व्युत्पन्न:आप? (एक्स) = 6 एक्स + 2 हम समीकरण हल करते हैं:आप? (एक्स) = 0 6x + 2 \u003d 0.6x \u003d -2, x \u003d -2/6 \u003d -1/3 इस मामले में, महत्वपूर्ण बिंदु x 0 = -1/3 है। यह तर्क के इस मान के लिए है कि फ़ंक्शन में है चरम. इसे पाने के लिए पाना, हम "x" के बजाय फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में मिली संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं: वाई 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात। इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य?
यदि क्रांतिक बिंदु x 0 से गुजरते समय अवकलज का चिन्ह "धन" से "ऋण" में बदल जाता है, तो x 0 है अधिकतम बिंदु; यदि अवकलज का चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है, तो x 0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिन्ह नहीं बदलता है, तो बिंदु x 0 पर न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम। माना उदाहरण के लिए: हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = -1 जब x = -1, अवकलज का मान होगा y?
(-1) \u003d 6 * (-1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (अर्थात चिन्ह "माइनस" है)। अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = 1 x = 1 के लिए व्युत्पन्न का मान y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (अर्थात, धन चिह्न) होगा। जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न संकेत माइनस से प्लस में बदल गया। इसका अर्थ है कि x 0 के क्रांतिक मान पर हमारे पास एक न्यूनतम बिंदु है। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान अंतराल पर(सेगमेंट पर) एक ही प्रक्रिया द्वारा पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि, शायद, सभी महत्वपूर्ण बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं होंगे। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल से बाहर हैं उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के अंदर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसका या तो अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों को भी ध्यान में रखते हैं। उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें वाई (एक्स) \u003d 3 पाप (एक्स) - 0.5x अंतरालों पर: क) [-9; 9] बी) [-6; -3] तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है आप? (एक्स) \u003d 3 कॉस (एक्स) - 0.5 समीकरण हल करना 3कॉस (एक्स) - 0.5 \u003d 0 3cos(x) = 0.5 cos(x) = 0.5/3 = 0.16667 x \u003d ± आर्ककोस (0.16667) + 2πk। हम अंतराल पर महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं [-9; 9]: x \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2 *2 = -11.163 (सीमा से बाहर) x \u003d - आर्ककोस (0.16667) - 2 * 1 \u003d -7.687 x \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2 * 1 \u003d -4.88 x \u003d - आर्ककोस (0.16667) + 2 * 0 \u003d -1.403 x \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2 * 0 \u003d 1.403 x \u003d - आर्ककोस (0.16667) + 2 * 1 \u003d 4.88 x \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2 * 1 \u003d 7.687 x \u003d - आर्ककोस (0.16667) + 2 *2 = 11.163 (रेंज में शामिल नहीं) हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन के मान पाते हैं: y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885 y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398 y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256 y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256 y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398 y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885 यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान हैएक्स = -4.88: एक्स = -4.88, वाई = 5.398, और सबसे छोटा - x = 4.88 पर: एक्स = 4.88, वाई = -5.398। अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फलन का मान y = 5.398 है। हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं: y (-6) = 3 cos (-6) - 0.5 = 3.838 y (-3) = 3 cos (-3) - 0.5 = 1.077 अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है y = 5.398 x = -4.88 . पर सबसे छोटा मान है y = 1.077 x = -3 . पर फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदुओं को कैसे खोजें और उत्तलता और अवतलता के पक्षों का निर्धारण कैसे करें?
एक रेखा के सभी विराम बिंदु ज्ञात करने के लिएवाई = एफ (एक्स ), आपको दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, इसे शून्य के बराबर करें (समीकरण को हल करें) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करें जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, अनंत है या मौजूद नहीं है। यदि, इनमें से किसी एक मान से गुजरते समय, दूसरा व्युत्पन्न चिह्न बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक विभक्ति होती है। यदि यह नहीं बदलता है, तो कोई विभक्ति नहीं है। समीकरण की जड़ें f ? (एक्स ) = 0, साथ ही साथ फलन के असंततता के संभावित बिंदु और दूसरा अवकलज, फलन के प्रांत को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के संकेत से निर्धारित होती है। यदि अध्ययन के तहत अंतराल पर एक बिंदु पर दूसरा अवकलज धनात्मक है, तो रेखावाई = एफ (एक्स ) यहाँ अवतल द्वारा ऊपर की ओर घुमाया जाता है, और यदि ऋणात्मक है, तो नीचे की ओर। कैसे दो चर के एक समारोह के एक्स्ट्रेमा खोजने के लिए?
किसी फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करने के लिएएफ (एक्स, वाई ), अपने असाइनमेंट के क्षेत्र में अलग-अलग, यह आवश्यक है: 1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करें एफ एक्स? (एक्स, वाई) \u003d 0, एफ वाई? (एक्स, वाई) = 0 2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए 0 (ए; बी ) जांच करने के लिए कि क्या अंतर का संकेत अपरिवर्तित रहता है एफ (एक्स, वाई) - एफ (ए, बी) सभी बिंदुओं (x; y) के लिए पर्याप्त रूप से Р 0 के करीब। यदि अंतर एक सकारात्मक संकेत रखता है, तो बिंदु P 0 पर हमारे पास न्यूनतम है, यदि ऋणात्मक है, तो अधिकतम है। यदि अंतर अपने चिन्ह को बरकरार नहीं रखता है, तो बिंदु 0 पर कोई चरम नहीं है। इसी तरह, फ़ंक्शन की चरम सीमा बड़ी संख्या में तर्कों के लिए निर्धारित की जाती है। स्रोत: एक्स्ट्रेमा खोजने के लिए एक सरल एल्गोरिदम ..
चरम सीमा के संदिग्ध बिंदुओं में से, सटीक रूप से खोजना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम समन्वय रेखा पर अपने अंतराल को देखते हैं। यदि, किसी बिंदु से गुजरते समय, अवकलज का चिह्न धन से ऋण में बदल जाता है, तो यह बिंदु होगा ज्यादा से ज्यादा, और यदि माइनस से प्लस तक, तो न्यूनतम. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको सेगमेंट के सिरों पर और चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता होती है। फिर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनें। एक उदाहरण पर विचार करें हम देखते हैं कि जब बिंदु -1 से गुजरते हैं, तो व्युत्पन्न संकेत ऋण से प्लस में बदल जाता है, अर्थात यह एक न्यूनतम बिंदु होगा, और जब 1 से होकर गुजरता है, तो प्लस से माइनस तक, यह एक अधिकतम बिंदु है।
या 
समारोह कहा जाता है विरोधी व्युत्पन्न कार्य. किसी फ़ंक्शन का एंटीडेरिवेटिव एक स्थिर मान तक निर्धारित किया जाता है।
, यहाँ एक मनमाना स्थिरांक है।
.
, और यह फ़ंक्शन निरंतर और समानता है 
.
कहाँ पे ।
. यदि हम किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा को याद करते हैं और सीमा पर जाते हैं, तो हमें मिलता है। यही है, फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है वाई = एफ (एक्स)खंड पर
. इस प्रकार, सभी अवकलजों का समुच्चय एफ (एक्स)के रूप में लिखा जा सकता है 
, कहाँ पे साथएक मनमाना स्थिरांक है।
, इसलिए, । हम इस परिणाम का उपयोग गणना करने के लिए करते हैं एफ (बी): , अर्थात् 
. यह समानता सिद्ध करने योग्य न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र देती है .
. इस संकेतन का प्रयोग करते हुए न्यूटन-लीबनिज सूत्र का रूप लेता है 
.
. आइए आदिम लेते हैं सी = 0: .
.आयताकार एस.के. फ़ंक्शन, पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित पोलारनाया एस.के.
समतल आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना
एक तलीय वक्र की चाप की लंबाई की गणना करना
क्रांति के सतह क्षेत्र की गणना
अंतर समीकरण नहीं है।
गणितीय लोलक के अरैखिक समीकरण का एक सन्निकटन माना जा सकता है 
छोटे आयामों के मामले में, जब आपपाप आप.
कहाँ पे एम- शरीर का भार, एक्स- इसका समन्वय, एफ(एक्स, टी) निर्देशांक के साथ शरीर पर कार्य करने वाला बल है एक्सउन दिनों टी. इसका समाधान निर्दिष्ट बल की कार्रवाई के तहत शरीर का प्रक्षेपवक्र है।
हम व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं:
हम चर के प्राप्त मूल्यों को समन्वय रेखा पर लागू करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत की गणना करते हैं। ठीक है, उदाहरण के लिए, पहले टेक के लिए-2
, तो व्युत्पन्न होगा-0,24
, दूसरे टेक के लिए0
, तो व्युत्पन्न होगा2
, और तीसरे के लिए हम लेते हैं2
, तो व्युत्पन्न होगा-0.24. हम उपयुक्त संकेत डालते हैं।