Прямоугольного параллелепипеда определяется произведением. Объем параллелепипеда
Если прямоугольные параллелепипеды имеют равные основания, то их можно вложить один в другой.
Пусть AG и AP (рис.) два таких параллелепипеда. Рассмотрим два случая.
1. Высоты BF и BN соизмеримы.
Пусть общая мера высот содержится m раз в BF и n раз в BN.
Проведем через точки деления ряд плоскостей, параллельных основанию.
Тогда параллелепипед AG разделится на m, а параллелепипед AP на n равных частей.
Таким образом мы получим:
\(\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}\) и \(\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n} \)
Следовательно:
\(\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{BF}{BN} \)
2. Высоты BF и BN несоизмеримы.
Разделим BN на n равных частей и одну часть отложим на BF столько раз, сколько можно.
Пусть 1/n доля BN содержится в BF более m раз, но менее m+1 раз.
Тогда, проведя попрежнему ряд плоскостей, параллельных основанию, мы разделим пар-д AP на n таких равных частей, каких в пар-де AG содержится более m, но менее m+1.
Следовательно:
прибл.отн. \(\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}\) и прибл.отн. \(\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n}\)
Таким образом, приближенные отношения, вычисленные с произвольной, но одинаковой точностью, равны. А в этом и состоит равенство несоизмеримых отношений.
Лемма 2. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.
Пусть (рис.) P и P 1 два прямоугольных параллелепипеда. Обозначим неравные основания одного из них через a и b, а другого через a 1 и b 1 .
Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого высота такая же, как у данных тел, а основанием служит прямоугольник со сторонами a и b 1 .
У параллелепипедов P и Q передние грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут b и b 1 , и следовательно:
Объем P/Объем Q = b/b1
У параллелепипедов Q и P 1 боковые грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут a и a 1 , и следовательно:
Объем Q/Объем P 1 = a/a1
Перемножив равенства и , найдем:
Объем P/Объем P 1 = ab/a 1 b 1
Так как ab выражает площадь основания пар-да P, а a 1 b 1 - площадь основания пар-да P 1 , то лемма доказана.
Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Пусть (рис.) P есть прямоугольный параллелепипед, а P 1 какая-нибудь кубическая единица.
Обозначим площадь основания и высоту первого через B и H, а второго через B 1 и H 1 .
Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого площадь основания B 1 , а высота H.
Сравнивая P с Q, а затем Q с P 1 , находим:
Об. P/Об. Q = B/B1 и об. Q/об. P1 = H/H1
Перемножив эти равенства, получим:
Об. P/Об. P1 = B/B1 * H/H1
Отношения, входящие в это равенство есть числа, выражающие объем, площадь основания и высоту данного параллелепипеда в соответствующих кубических, квадратных и линейных единицах. Поэтому последнее равенство можно выразить так:
Число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда, равно произведению чисел, выражающих площадь основания и высоту в соответствующих единицах.
Это выражают сокращенно так: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т.е.
где под V, B и H разумеются числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту прямоугольного параллелепипеда.
Обозначая буквами a, b и с три измерения прямоугольного пар-да (выраженные в числах), можем написать:
потому что площадь основания выражается произведением двух из этих измерений, а высота равна третьему измерению.
Следствия:- Объем куба равен третьей степени его ребра.
- Отношение двух кубических единиц равно третьей степени отношения соответствующих линейных единиц. Так, отношение м3 к дм3 равно 10 3 , т.е. 1000.
Объем любого параллелепипеда
Лемма.
Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - ее боковому ребру.
Через какую-нибудь точку a (рис.) одного из боковых ребер наклонной призмы A 1 d проведем перпендикулярное сечение abcde. Затем продолжим все боковые грани вниз, отложим aa 1 =AA 1 и через точку a 1 проведем перпендикулярное сечение a 1 b 1 с 1 d 1 e 1 .
Так как плоскости двух сечений параллельны, то части боковых ребер, заключенные между ними, равны, т.е.
bb 1 = сс 1 = dd 1 = ee 1 = aa 1 = AA 1 .
Вследствие этого многогранник a 1 d есть прямая призма, у которой основанием служит перпендикулярное сечение, а высота (или, что то же самое, боковое ребро) равна боковому ребру наклонной призмы.
Докажем, что наклонная призма равновелика прямой призме.
Для этого предварительно убедимся, что многогранники aD и a 1 D 1 равны.
Основания их abcde и a 1 b 1 с 1 d 1 e 1 равны, как основания призмы a 1 d.
С другой стороны, отняв от обеих частей равенства A 1 A = a 1 a по одной и той же прямой A 1 a , получим aA = a 1 A 1 .
Подобно этому: bB = b 1 B 1 , сС = с 1 С 1 и т.д.
Вообразим теперь, что многогранник aD вложен в a 1 D 1 так, чтобы основания их совпали. Тогда боковые ребра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут.
Поэтому многогранник aD совместится с a 1 D 1 . Значит, эти тела равны.
Теперь заметим, что если от целого многогранника a 1 D , отнимем часть aD , то получим прямую призму. А если от того же многогранника отнимем часть a 1 D 1 , то получим наклонную призму.
Из этого следует, что эти две призмы равновелики, так как объемы их представляют собой разности объемов равных тел.
Теорема. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямоугольного, теперь докажем ее для параллелепипеда прямого, а потом наклонного.
1. Пусть (рис.) AC 1 прямой пар-д, т.е. такой, у которого основание ABCD какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани - прямоугольники.
Возьмем в нем за основание грань AA 1 B 1 B. Тогда параллелепипед будет наклонный.
Рассматривая его, как частный случай наклонной призмы, мы, на основании леммы предыдущего параграфа, можем утверждать, что этот пар-д равновелик такому прямому, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота BC.
Четырехугольник MNPQ есть прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов. Поэтому прямой параллелепипед, имеющий это основание должен быть прямоугольным, и, следовательно, его объем равен произведению площади основания MNPQ на высоту BC.
Но площадь MNPQ равна MN * MQ. Значит:
Объем AC1 = MN * MQ * BC
Произведение MQ * BC выражает площадь параллелограмма ABCD. Поэтому:
Объем AC 1 = (площ.ABCD) * MN
2. Пусть (рис.) AC 1 есть пар-д наклонный. Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение MNPQ, а высотой ребро BC.
Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Значит:
Объем AC 1 = (площ.MNPQ) * BC
Если RS есть высота сечения MNPQ, то площадь MNPQ = MQ * RS. Поэтому:
Объем AC1 = MQ * RS * BC
Произведение BC * MQ выражает площадь параллелограмма ABCD. Следовательно:
Объем AC 1 = (площ.ABCD) * RS
Т.е. объем всякого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .
Следствие. Если V, B и H - числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту какого - нибудь паралллелепипеда, то можем написать:
Задача. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна S. Площади диагональных сечений равны S 1 и S 2 . Найти объем параллелепипеда.
Для нахождения объема параллелепипеда нужно найти его высоту Н (рис. 242).
Обозначим длины диагоналей основания через d 1 и d 2 . Тогда
d 1 H = S 1 , d 2 H = S 2 , d 1 d 2 = 2S.
Из этих уравнений находим
$$ \frac{S_1}{H}\cdot \frac{S_2}{H} = 2S, \;\; H=\sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}} $$
Следовательно,
$$ V=S\cdot H = S\sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}=\sqrt{\frac{S\cdot S_1\cdot S_2}{2}} $$
ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. имеет место формула
Упражнение 1 Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 6.
Упражнение 2 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 3. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ: 1, 5.
Упражнение 3 Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 2. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 6.
Упражнение 4 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Диагональ параллелепипеда равна 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 4.
Упражнение 6 Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в два раза? Ответ: В 8 раз.
Упражнение 9 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 10. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 2.
Упражнение 10 Ребро прямоугольного параллелепипеда равно 1. Диагональ равна 3. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 4.
Упражнение 12 Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 1, 2, 3. Найдите объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен Ответ:
Упражнение 19 Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение: Ребра параллелепипеда равны 2, 2 и 1. Его объем равен 4.
Упражнение 20 Параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его объем. Решение: Ребра параллелепипеда равны 2. Его объем равен 8.
Упражнение 21 Найдите объем куба, вписанного в единичный октаэдр. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен
Упражнение 22 Найдите объем куба, описанного около единичного октаэдра. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен
Упражнение 23 Найдите объем куба, вписанного в единичный додекаэдр. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен
Упражнение 24 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть меньше 1, а объем параллелепипеда быть больше 100? Ответ: Нет, объем будет меньше 1.
Упражнение 25 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть больше 100, а объем параллелепипеда быть меньше 1? Ответ: Да.
Упражнение 27 Четыре грани параллелепипеда – прямоугольники со сторонами 1 и 2. Какой наибольший объем может иметь этот параллелепипед? Решение. Искомым параллелепипедом является прямоугольный параллелепипед, у которого две оставшиеся грани – квадраты со стороной 2. Его объем равен 4. Ответ: 4.
Какой наибольший объем может иметь параллелепипед, вписанный в прямой цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1? Ответ: 2.
Фигуры на рисунке 175, а и б состоят из равного количества одинаковых кубиков. О таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Прямоугольные параллелепипеды, изображенные на рисунке 175, в и г, состоят соответственно из 18 и 9 одинаковых кубиков. Поэтому можно сказать, что объем первого из них в два раза больше объема второго.
С такой величиной, как объем, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: объем топливного бака, объем бассейна, объем классной комнаты, показатели потребления газа или воды на счетчиках и т.д.
Опыт подсказывает вам, что одинаковые емкости имеют равные объемы. Например, одинаковые бочки имеют равные объемы.
Если емкость разделить на несколько частей, то объем всей емкости равен сумме объемов ее частей. Например, объем двухкамерного холодильника равен сумме объемов его камер.
Эти примеры иллюстрируют следующие свойства объема фигуры .
1 ) Равные фигуры имеют равные объемы.
2 ) Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.
Как и в случаях с другими величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения объема.
За единицу измерения объема выбираю куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным .
кубическим миллиметром . Пишут 1 мм 3 .
Объем куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром . Пишут 1 см 3 .
Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром . Пишут 1 дм 3 .
При измерении объемов жидкостей и газов 1 дм 3 называют литром . Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм 3 .
Если объем красного кубика (см. рис. 175, д) принять за единицу, то объемы фигур на рисунке 175, а, б, в и г соответственно равны 5, 5, 18 и 9 кубических единиц.
Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 5 см, 6 см, 4 см, то этот параллелепипед можно разделить на 5 * 6 * 4 единичных кубов (рис. 176 ). Поэтому его объем равен 5 * 6 * 4 = 120 см 3 .
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
V = abc
где V − объем, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.
Поскольку у куба все ребра равны, то его объем вычисляют по формуле:
V = a 3
где a − длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.
Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177 ). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буквой h. Тогда объем V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh .
V = abh = (ab)h = Sh .
Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:
V = Sh
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Пример. Какой должна быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем составлял 324 дм 3 , а площадь дна − 54 дм 2 ?
Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V: S. Тогда искомую высоту h бака можно вычислить так:
h = 324 : 54 = 6 (дм).
Ответ: 6 дм.
showPlots(;0 noAxes0 );
Рис. 2.1: Два параллелепипеда
2.0.6 Единица объёма.
За единицу объемов при измерении их берут объем такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице. Так, употребительны кубические метры (m3 ), кубические сантиметры (cm3 ) и т.д.
2.1 Объем параллелепипеда.
2.1.1 Теорема об объеме правильного прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
В таком кратком выражении теорему эту надо понимать так: число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубической единице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соответствующей линейной единице, т.е. в единице, являющейся ребром куба, объем которого принят за кубическую единицу. Так, если x есть число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, и a; b и c
числа, выражающие три его измерения в линейных сантиметрах, то теорема утверждает, что x = abc При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая: 1) Измерения выражаются целыми числами. Пусть, например, измерения, будут (2.2) AB = a; BC = b и BD = c, где a; b и c какие-нибудь целые числа (например, как изображено у нас на рисунке: a = 4; b = 2 и c = 5). Тогда основание параллелепипеда содержит ab таких квадратов, из которых каждый представляет собой соответствующую квадратную единицу. На каждом из этих квадратов, очевидно, можно поместить по одной кубической единице. Тогда получится слой (изображенный на 2.2), состоящий из ab кубических единиц. Так как высота этого слоя равна одной линейной единице, а высота всего параллелепипеда содержит c таких единиц, то внутри параллелепипеда можно поместить c таких слоев. Следовательно, объем этого параллелепипеда равен abc кубических единиц. 2) Измерения выражаются дробными числами. Пусть измерения параллелепипеда будут:
m n ; p q ; r s
(некоторые из этих дробей могут равняться целому числу). Приведя дроби к одинаковому знаменателю, будем иметь:
mqs ngs ; pns qns; rnq snq:
Примем nqs 1 долю линейной единицы за новую (вспомогательную) едини-
цу длины. Тогда в этой новой единице измерения данного параллелепипеда выразятся целыми числами, а именно:
(mqs) (pns) (rnq);
и потому по доказанному (в случае 1) объем параллелепипеда равен произведению (mqs) (pns) (rnq), если измерять этот объем новой кубической единицей, соответствующей новой линейной единице. Таких кубических еди-
ниц в одной кубической единице, соответствующей прежней линейной едини- q
це, содержится (nqs)3 ; значит, новая кубическая единица составляет (nqs) 3
прежней. Поэтому объем параллелепипеда, выраженный в прежних единицах, равен
(mqs) (pns) (rnq) = |
|||||||||||||||
(nqs)3 |
|||||||||||||||
3) Измерения выражаются иррациональными числами. Пусть у данного параллелепипеда (2.3), который для краткости мы обозначим одной буквой Q, измерения будут:
AB = ; AC = ; AD = ;
где все числа; и или только некоторые из них иррациональные. Каждое из чисел; и может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Возьмем приближенные значения этих дробей с n десятичными знаками сначала с недостатком, а затем с избытком. Значения с недостатком обозначим n ; n ; n значения с избытком n 0 ; n 0 ; n 0 . Отложим на ребре AB, начиная от точки A, два отрезка AB1 = n и AB2 = n 0 . На ребре AC от той же точки A отложим отрезки AC1 = n и AC2 = n 0 и на ребре AD от той же точки отрезки AD1 = n и n 0 . При этом мы будем иметь
AB1 < AB < AB2 ; AC1 < AC < AC2 ; AD1 < AD < AD2 :
Построим теперь два вспомогательных параллелепипеда: один (обозначим его Q1 ) с измерениями AB1 ; AC1 и AD1 и другой (обозначим его Q2 ) с измерениями AB2 ; AC2 и AD2 . Параллелепипед Q1 будет весь помещаться внутри параллелепипеда Q, а параллелепипед Q2 будет содержать внутри себя параллелепипед Q. По доказанному (в случае 2) будем иметь:
Q1 = n n n ; (1)
Q2 = n 0 n 0 n 0 ; (2)
причем объем Q1 < объема Q2 .
Начнем теперь увеличивать число n. Это значит, что мы берем приближенные значения чисел; ; gamma все с большей и большей степенью точности. Посмотрим, как при этом изменяются объемы параллелепипедов Q1
и Q 2 При неограниченном возрастании n объём Q1 , очевидно, увеличивается
и в силу равенства (1) при беспредельном увеличении n имеет своим пре-
делом предел произведения(n ; n ; n ). Объем Q2 , очевидно уменьшается и
в силу равенства (2) имеет пределом предел произведения n 0 ; n 0 ; n 0 . Но из алгебры известно, что оба произведения n ; n ; n и n 0 ; n 0 ; n 0 при неограниченном увеличении п имеют общий предел, который является произведением иррациональных чисел Этот предел мы и принимаем за меру объема параллелепипеда Q: объём Q = . Можно доказать, что определенный таким образом объем удовлетворяет тем условиям, которые установлены для объема. В самом деле, при таком определении объема равные параллелепипеды, очевидно, имеют равные объемы. Следовательно, первое условие выполняется. Разобьем теперь данный параллелепипед Q плоскостью, параллельной его основанию, надвое: Q1 и Q2 (2.4). Тогда будем иметь:
Q1 = AB AC AD;
Q2 = AB AA1 AD;
Q3 = A1 B1 A1 C A1 D1 :
Складывая почленно два последних равенства и замечая, что A1 B1 = AB и A1 D1 = AD, получим объем Q1 + объем Q2 = AB AA1 AD + AB A1 C AD = AB AD(AA1 + A1 C) = AB AD AC, отсюда получаем:
Q1 + Q2 = Q:
Следовательно, и второе условие тоже выполняется, если параллелепипед складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, параллельной одной из граней.
set2D(0; 20; 4; 20); |
|||||||||||||||||||
;0 dash0 ); |
|||||||||||||||||||
;0 dash0 ); |
|||||||||||||||||||
;0 dash0 ); |
|||||||||||||||||||
dash0 ); |
|||||||||||||||||||
p8 = pointsPlot(4 |
|||||||||||||||||||
[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 a 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 D 0]; |
|||||||||||||||||||
showPlots(;0 noAxes0 ); |
|||||||||||||||||||
set2D(3; 12; 2; 13); |
|||||||||||||||||||
;0 dash0 ); |
||||
;0 dash0 ); |
|||
Рис. 2.2: Параллелепипед
