Kranai

Taško judėjimas prieš gravitaciją. Kūno judėjimas veikiant gravitacijai vertikalia plokštuma

01.09.2021

Įvadas

1. Kūno judėjimas veikiant gravitacijai

1.1 Kūno judėjimas apskritimo arba elipsės formos orbita aplink planetą

1.2 Kūno judėjimas veikiant gravitacijai vertikalioje plokštumoje

1.3 Kūno judėjimas, jei pradinis greitis nukreiptas kampu gravitacijos atžvilgiu

2. Kūno judėjimas terpėje su pasipriešinimu

3. Kūno judėjimo dėsnių taikymas veikiant gravitacijai, atsižvelgiant į terpės pasipriešinimą balistikoje.

Išvada

Bibliografija

Įvadas

Pagal antrąjį Niutono dėsnį judėjimo pokyčio priežastis, tai yra kūnų pagreičio priežastis, yra jėga. Mechanikoje nagrinėjamos įvairios fizikinės prigimties jėgos. Daugelį mechaninių reiškinių ir procesų lemia gravitacinių jėgų veikimas. Teisė gravitacija atrado I. Niutonas 1682 m. Dar 1665 m. 23 metų Niutonas teigė, kad jėgos, išlaikančios Mėnulį savo orbitoje, yra tokios pačios kaip jėgos, dėl kurių obuolys nukrenta į Žemę. Pagal jo hipotezę, tarp visų Visatos kūnų veikia patrauklios jėgos (gravitacinės jėgos), nukreiptos išilgai masės centrus jungiančios linijos. Vienalyčio rutulio formos kūnui masės centras sutampa su rutulio centru.

1 pav. gravitacinės jėgos.

Vėlesniais metais Niutonas bandė rasti fizinį paaiškinimą planetų judėjimo dėsniams, kuriuos XVII amžiaus pradžioje atrado astronomas I. Kepleris, ir pateikti kiekybinė išraiška gravitacinėms jėgoms. Žinodamas, kaip planetos juda, Niutonas norėjo nustatyti, kokios jėgos jas veikia. Šis kelias vadinamas atvirkštine mechanikos problema. Jei pagrindinis mechanikos uždavinys yra nustatyti žinomos masės kūno koordinates ir jo greitį bet kuriuo laiko momentu iš žinomų jėgų, veikiančių kūną ir duotomis pradinėmis sąlygomis (tiesioginė mechanikos problema), tai sprendžiant atvirkštinę problemą , reikia nustatyti kūną veikiančias jėgas, jei žinoma, kaip jis juda. Šios problemos sprendimas paskatino Niutoną atrasti visuotinės gravitacijos dėsnį. Visi kūnai traukia vienas kitą jėga, kuri yra tiesiogiai proporcinga jų masėms ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui:

Proporcingumo koeficientas G yra vienodas visiems gamtos kūnams. Tai vadinama gravitacine konstanta.

G \u003d 6,67 10 -11 N m 2 / kg 2

Daugelis gamtos reiškinių paaiškinami visuotinės traukos jėgų veikimu. Planetų judėjimas Saulės sistemoje, dirbtinių Žemės palydovų judėjimas, balistinių raketų skrydžio trajektorijos, kūnų judėjimas šalia Žemės paviršiaus – visi šie reiškiniai paaiškinami remiantis visuotinės gravitacijos dėsniu. ir dinamikos dėsniai. Viena iš visuotinės traukos jėgos apraiškų yra gravitacijos jėga.

Gravitacija yra jėga, veikianti kūną iš Žemės pusės ir suteikianti kūnui laisvojo kritimo pagreitį:

Bet koks kūnas, esantis Žemėje (ar šalia jos), kartu su Žeme sukasi aplink savo ašį, t.y. kūnas juda apskritimu, kurio spindulys yra pastovus modulinis greitis.

2 pav. Kūno judėjimas žemės paviršiuje.

Žemės paviršiuje esantį kūną veikia gravitacijos jėga ir jėga iš žemės paviršiaus

Jų rezultatas

suteikia kūnui įcentrinį pagreitį

Gravitacinę jėgą išskaidykime į dvi dedamąsias, kurių viena bus, t.y.

Iš (1) ir (2) lygčių matome, kad

Taigi gravitacija yra vienas iš gravitacinės jėgos komponentų, antrasis komponentas suteikia kūnui įcentrinį pagreitį. Taške Μ geografinėje platumoje φ gravitacijos jėga nukreipta ne išilgai Žemės spindulio, o tam tikru kampu α į ją. Gravitacijos jėga nukreipta išilgai vadinamosios vertikalios tiesės (vertikaliai žemyn).

Gravitacijos jėga yra lygi gravitacijos jėgai tik ašigalių dydžiu ir kryptimi. Ties pusiauju jie sutampa kryptimi, o absoliutus skirtumas yra didžiausias.

kur ω – Žemės sukimosi kampinis greitis, R – Žemės spindulys.

rad/s, ω = 0,727 10 -4 rad/s.

Kadangi ω yra labai mažas, tai F T ≈ F. Vadinasi, sunkio jėgos absoliučia reikšme mažai skiriasi nuo gravitacijos jėgos, todėl šio skirtumo dažnai galima nepaisyti.

Tada F T ≈ F,

Iš šios formulės matyti, kad laisvojo kritimo pagreitis g nepriklauso nuo krintančio kūno masės, o priklauso nuo aukščio.

Jei M yra Žemės masė, R З yra jos spindulys, m yra nurodyto kūno masė, tada gravitacijos jėga yra lygi

kur g yra laisvojo kritimo pagreitis Žemės paviršiuje:

Gravitacijos jėga nukreipta į žemės centrą. Nesant kitų jėgų, kūnas laisvai krenta į Žemę su laisvo kritimo pagreičiu. Vidutinė laisvojo kritimo pagreičio vertė įvairiuose Žemės paviršiaus taškuose yra 9,81 m/s 2 . Žinant laisvojo kritimo pagreitį ir Žemės spindulį

(R З \u003d 6,38 10 6 m), galite apskaičiuoti Žemės masę M:

Tolstant nuo Žemės paviršiaus, gravitacijos jėga ir laisvojo kritimo pagreitis keičiasi atvirkščiai atstumo r iki Žemės centro kvadratui. Paveikslas iliustruoja gravitacinės jėgos, veikiančios erdvėlaivyje esantį astronautą, kaitą jam tolstant nuo Žemės, pasikeitimą. Manoma, kad jėga, kuria astronautas traukia Žemę šalia jos paviršiaus, yra 700 N.

3 pav. Gravitacinės jėgos, veikiančios astronautą tolstant nuo Žemės, pokytis.

Dviejų sąveikaujančių kūnų sistemos pavyzdys yra Žemės ir Mėnulio sistema. Mėnulis yra nutolęs nuo Žemės r L = 3,84 10 6 m. Šis atstumas yra maždaug 60 kartų didesnis už Žemės spindulį R З.

Tokiu pagreičiu, nukreiptu link Žemės centro, Mėnulis juda orbita. Todėl šis pagreitis yra įcentrinis pagreitis. Jį galima apskaičiuoti naudojant įcentrinio pagreičio kinematinę formulę:

kur T = 27,3 dienos. yra mėnulio apsisukimo aplink žemę laikotarpis. Skirtingais metodais atliktų skaičiavimų rezultatų sutapimas patvirtina Niutono prielaidą apie Mėnulį orbitoje laikančios jėgos ir gravitacijos jėgos vieningą prigimtį. Paties Mėnulio gravitacinis laukas lemia laisvojo kritimo pagreitį g l jo paviršiuje. Mėnulio masė yra 81 kartą mažesnė už Žemės masę, o spindulys yra maždaug 3,7 karto mažesnis už Žemės spindulį. Todėl pagreitis g l nustatomas pagal išraišką:

Mėnulyje nusileidę astronautai atsidūrė tokios silpnos gravitacijos sąlygomis. Žmogus tokiomis sąlygomis gali atlikti milžiniškus šuolius. Pavyzdžiui, jei žmogus Žemėje šokinėja į 1 m aukštį, tai Mėnulyje jis galėtų šokti į daugiau nei 6 m aukštį.

1. Kūno judėjimas veikiant gravitacijai

Jei kūną veikia tik gravitacijos jėga, tada kūnas yra laisvo kritimo. Judėjimo trajektorijos tipas priklauso nuo pradinio greičio krypties ir modulio. Tokiu atveju galimi šie kūno judėjimo atvejai:

1. Kūnas gali judėti apskritimo arba elipsės formos orbita aplink planetą.

2. Jei pradinis kūno greitis yra lygus nuliui arba lygiagretus gravitacijos jėgai, kūnas daro tiesiai laisvą kritimą.

3. Jei pradinis kūno greitis nukreiptas kampu gravitacijos atžvilgiu, tai kūnas judės išilgai parabolės, arba išilgai parabolės šakos.

1.1 Kūno judėjimas apskritimo arba elipsės formos orbita aplink planetą

Dabar panagrinėkime dirbtinių Žemės palydovų klausimą. Dirbtiniai palydovai juda už žemės atmosferos ribų, o juos veikia tik žemės gravitacinės jėgos. Priklausomai nuo pradinio greičio, erdvės kūno trajektorija gali būti skirtinga. Čia nagrinėsime tik dirbtinio palydovo, judančio apskrita Žemės orbita, atvejį. Tokie palydovai skrenda 200–300 km aukštyje, o atstumas iki Žemės centro apytiksliai gali būti lygus jo spinduliui R3. Tada palydovo įcentrinis pagreitis, kurį jam suteikia jėgos gravitacija, yra maždaug lygus laisvojo kritimo pagreičiui g. Palydovo greitį artimoje Žemės orbitoje pažymėkime per υ 1 . Šis greitis vadinamas pirmuoju kosminiu greičiu. Naudojant įcentrinio pagreičio kinematinę formulę, gauname:

Judėdamas tokiu greičiu, palydovas laiku apskris Žemę

Tiesą sakant, palydovo apsisukimo žiedine orbita prie Žemės paviršiaus laikotarpis šiek tiek viršija nurodytą reikšmę dėl skirtumo tarp tikrosios orbitos spindulio ir Žemės spindulio. Palydovo judėjimas gali būti laikomas laisvu kritimu, panašiu į sviedinių ar balistinių raketų judėjimą. Vienintelis skirtumas yra tas, kad palydovo greitis yra toks didelis, kad jo trajektorijos kreivės spindulys yra lygus Žemės spinduliui. Palydovams, judantiems apskritimo trajektorijomis dideliu atstumu nuo Žemės, Žemės gravitacija susilpnėja atvirkščiai trajektorijos spindulio r kvadratui. Palydovo greitis υ randamas iš sąlygos

Taigi, esant aukštoms orbitoms, palydovų judėjimo greitis yra mažesnis nei šalia Žemės. Tokio palydovo orbitos periodas T yra

Čia T 1 yra palydovo apsisukimo netoli Žemės orbitoje laikotarpis. Palydovo orbitos periodas didėja didėjant orbitos spinduliui. Nesunku apskaičiuoti, kad kai orbitos spindulys r lygus maždaug 6,6R3, palydovo apsisukimo laikotarpis bus lygus 24 valandoms. Palydovas su tokiu apsisukimo periodu, paleistas pusiaujo plokštumoje, nejudėdamas kabės tam tikrame žemės paviršiaus taške. Tokie palydovai naudojami kosminėse radijo ryšio sistemose. Orbita, kurios spindulys r = 6,6Rо, vadinama geostacionariąja.

1.2 Kūno judėjimas veikiant gravitacijai vertikalioje plokštumoje

Jei pradinis kūno greitis yra lygus nuliui arba lygiagretus gravitacijos jėgai, kūnas yra tiesiame laisvajame kritime.

Pagrindinis mechanikos uždavinys – bet kuriuo metu nustatyti kūno padėtį. Dalelių, judančių Žemės gravitaciniame lauke, uždavinio sprendimas yra šios lygtys, projekcijose ant OX ir OY ašių:

Šių formulių pakanka, kad išspręstų bet kokią problemą, susijusią su kūno judėjimu veikiant gravitacijai.

Kūnas išmestas vertikaliai į viršų

Šiuo atveju v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = -g.

Kūno judėjimas šiuo atveju vyks tiesia linija ir pirmiausia vertikaliai aukštyn iki taško, kuriame greitis tampa lygus nuliui, o tada vertikaliai žemyn.

4 pav. Išmesto kūno judėjimas.

Kai kūnas juda su pagreičiu gravitaciniame lauke, keičiasi kūno svoris.

Kūno svoris yra jėga, kuria kūnas veikia atramą arba pakabą, pritvirtintą jo atžvilgiu.

Kūno svoris atsiranda dėl jo deformacijos, kurią sukelia jėga iš atramos pusės (reakcijos jėga) arba pakabos (tempimo jėga) Svoris labai skiriasi nuo gravitacijos:

Tai kitokio pobūdžio jėgos: gravitacija – gravitacinė jėga, svoris – tamprumo jėga (elektromagnetinio pobūdžio).

Jie taikomi skirtingiems kūnams: gravitacija – kūnui, svoris – atramai.

5 pav. Gravitacijos ir kūno svorio taikymo taškai.

Kūno svorio kryptis nebūtinai sutampa su vertikalia kryptimi.

Kūno gravitacijos jėga tam tikroje Žemės vietoje yra pastovi ir nepriklauso nuo kūno judėjimo pobūdžio; svoris priklauso nuo pagreičio, kuriuo kūnas juda.

Apsvarstykite, kaip keičiasi vertikalia kryptimi judančio kūno svoris kartu su atrama. Kūną veikia gravitacijos ir atramos reakcijos jėga.

5 pav. Kūno svorio pokytis judant su pagreičiu.

Pagrindinė dinamikos lygtis: . Oy ašies projekcijoje:

Pagal trečiąjį Niutono dėsnį jėgos moduliai N p1 = P 1 . Todėl kūno masė P 1 = mg

, (organizmas patiria perkrovą).

Todėl kūno svoris

Jei a = g, tada P = 0

Taigi, kūno svoris vertikaliai judant gali būti išreiškiamas formule

Protiškai padalinkime nejudantį kūną į horizontalius sluoksnius. Kiekvieną iš šių sluoksnių veikia gravitacija ir viršutinės kūno dalies svoris. Šis svoris bus didesnis, kuo žemesnis sluoksnis. Todėl, veikiamas viršutinių kūno dalių svorio, kiekvienas sluoksnis deformuojasi ir jame atsiranda elastiniai įtempiai, kurie didėja pereinant nuo viršutinės kūno dalies į apatinę.

6 pav. Kūnas padalintas į horizontalius sluoksnius.

Jei kūnas krinta laisvai (a = g), tada jo svoris lygus nuliui, kūne išnyksta visos deformacijos ir, nepaisant nuolatinio gravitacijos poveikio, viršutiniai sluoksniai nedarys spaudimo apatiniams.

Būsena, kai laisvai judančiame kūne išnyksta deformacijos ir tarpusavio spaudimai, vadinama nesvarumu. Nesvarumo priežastis yra ta, kad visuotinės gravitacijos jėga kūnui ir jo atramai suteikia tokį patį pagreitį.

1.3 Kūno judėjimas, jei pradinis greitis nukreiptas kampu gravitacijos atžvilgiu

Kūnas metamas horizontaliai, t.y. stačiu kampu gravitacijos krypčiai.

Šiuo atveju v 0x \u003d v 0, g x \u003d 0, v 0y \u003d 0, g y \u003d - g, x 0 \u003d 0, todėl

Norėdami nustatyti trajektorijos, kuria šiuo atveju judės kūnas, tipą, išreiškiame laiką t iš pirmosios lygties ir pakeičiame jį antrąja lygtimi. Dėl to gauname kvadratinę y priklausomybę nuo x:

Tai reiškia, kad kūnas judės išilgai parabolės šakos.

7 pav. Kūno, mesto kampu į horizontą, judėjimas.

Kūno, mesto tam tikru pradiniu greičiu υ o kampu α į horizontą, judėjimas taip pat yra sudėtingas judėjimas: vienodas horizontalia kryptimi ir kartu tolygiai pagreitintas judėjimas vertikalia kryptimi, veikiant gravitacijai. Taip slidininkas juda šokinėdamas nuo tramplino, vandens čiurkšlės iš žarnos ir pan.

8 pav. Vandens srove iš žarnos.

Tokio judėjimo ypatybių tyrimas buvo pradėtas gana seniai, dar XVI amžiuje, ir buvo susijęs su artilerijos dalių atsiradimu ir tobulėjimu.

Idėjos apie artilerijos sviedinių trajektoriją tais laikais buvo gana juokingos. Buvo tikima, kad ši trajektorija susideda iš trijų sekcijų: A – smurtinis judėjimas, B – mišrus judėjimas ir C – natūralus judėjimas, kuriame patrankos sviedinys krenta ant priešo karių iš viršaus.

9 pav. Artilerijos sviedinio trajektorija.

Sviedinių skrydžio dėsniai nesulaukė didelio mokslininkų dėmesio, kol nebuvo išrasti tolimojo nuotolio pabūklai, kurie sviedinį paleido per kalvas ar medžius – taip, kad šaulys nepamatytų jų skrydžio.

Iš pradžių ypač toli šaudymas iš tokių ginklų buvo naudojamas daugiausia demoralizuoti ir įbauginti priešą, o šaudymo tikslumas iš pradžių nevaidino itin svarbaus vaidmens.

Arti teisingo sprendimo dėl patrankų sviedinių skrydžio atėjo italų matematikas Tartaglia, jis sugebėjo parodyti, kad didžiausias sviedinių nuotolis gali būti pasiektas, kai šūvis nukreipiamas 45 ° kampu į horizontą. Jo knygoje „Naujasis mokslas“ buvo suformuluotos šaudymo taisyklės, kuriomis artileristai vadovavosi iki XVII amžiaus vidurio.

bet, pilnas sprendimas problemos, susijusios su kūnų, išmestų horizontaliai arba kampu į horizontą, judėjimu, atliekamos visose „Galileo“. Savo samprotavimuose jis rėmėsi dviem pagrindinėmis idėjomis: horizontaliai judantys ir kitų jėgų neveikiantys kūnai išlaikys savo greitį; išorinių poveikių atsiradimas pakeis judančio kūno greitį, neatsižvelgiant į tai, ar jis buvo ramybės būsenoje, ar judėjo iki jų veikimo pradžios. Galilėjus parodė, kad sviedinių trajektorijos, jei nepaisysime oro pasipriešinimo, yra parabolės. Galilėjus atkreipė dėmesį, kad realaus sviedinių judėjimo metu dėl oro pasipriešinimo jų trajektorija nebeprimins parabolės: besileidžianti trajektorijos atšaka eitų kiek statesnė už apskaičiuotą kreivę.

Niutonas ir kiti mokslininkai sukūrė ir patobulino naują šaudymo teoriją, atsižvelgdami į padidėjusią oro pasipriešinimo jėgų įtaką artilerijos sviedinių judėjimui. Atsirado ir naujas mokslas – balistika. Praėjo daug daug metų, o dabar sviediniai juda taip greitai, kad net paprastas jų judėjimo trajektorijų tipo palyginimas patvirtina padidėjusią oro pasipriešinimo įtaką.

10 pav. Ideali ir reali sviedinio trajektorija.

Mūsų paveiksle ideali sunkiojo sviedinio, iššauto iš patrankos vamzdžio dideliu pradiniu greičiu, trajektorija pavaizduota punktyrine linija, o ištisinė linija rodo tikrąją sviedinio trajektoriją tomis pačiomis šaudymo sąlygomis.

Šiuolaikinėje balistikoje tokioms problemoms spręsti naudojama elektroninė skaičiavimo įranga – kompiuteriai, tačiau kol kas apsiribosime paprastu atveju – tokio judėjimo, kuriame oro pasipriešinimo galima nepaisyti, tyrimu. Tai leis mums beveik be jokių pakeitimų pakartoti „Galileo“ samprotavimus.

Kulkų ir sviedinių skrydis yra kampu į horizontą išmestų kūnų judėjimo pavyzdys. Tiksliai apibūdinti tokio judėjimo prigimtį galima tik įvertinus kokią nors idealią situaciją.

Pažiūrėkime, kaip keičiasi kūno, mesto kampu α į horizontą, greitis, jei nėra oro pasipriešinimo. Visą skrydžio laiką gravitacija veikia kūną. Pirmoje trajektorijos atkarpoje kryptimi.

11 pav. Greičio pokytis išilgai trajektorijos.

Aukščiausiame trajektorijos taške – taške C – kūno greitis bus mažiausias, jis nukreiptas horizontaliai, 90° kampu į gravitacijos veikimo liniją. Antroje trajektorijos dalyje kūno skrydis vyksta panašiai kaip ir horizontaliai mesto kūno judėjimas. Judėjimo iš taško A į tašką C laikas bus lygus judėjimo antraja trajektorijos dalimi, nesant oro pasipriešinimo jėgų, laikui.

Jei „metimo“ ir „nutūpimo“ taškai yra toje pačioje horizontalioje linijoje, tai tą patį galima pasakyti apie „metimo“ ir „nusileidimo“ greitį. Kampai tarp Žemės paviršiaus ir judėjimo greičio krypties „metimo“ ir „nusileidimo“ taškuose šiuo atveju taip pat bus lygūs.

Kampu į horizontą mesto kūno skrydžio nuotolis AB priklauso nuo pradinio greičio reikšmės ir metimo kampo. Esant pastoviam metimo greičiui V 0, padidėjus kampui tarp metimo greičio krypties ir horizontalaus paviršiaus nuo 0 iki 45 °, skrydžio nuotolis didėja, o toliau didinant metimo kampą – mažėja. Tuo nesunku įsitikinti nukreipiant vandens srovę skirtingais kampais į horizontą arba stebint iš spyruoklinio „pistoleto“ paleisto kamuoliuko judėjimą (tokius eksperimentus nesunku atlikti patiems).

Tokio judėjimo trajektorija yra simetriška aukščiausio skrydžio taško atžvilgiu ir esant mažam pradiniam greičiui, kaip minėta anksčiau, yra parabolė.

Didžiausias skrydžio nuotolis tam tikru išvykimo greičiu pasiekiamas esant 45° metimo kampui. Kai metimo kampas yra 30° arba 60°, tai kūnų skrydžio nuotolis abiem kampais yra vienodas. Esant 75° ir 15° metimo kampams, skrydžio nuotolis vėl bus toks pat, bet mažesnis nei 30° ir 60° metimo kampų. Tai reiškia, kad „palankiausias“ tolimojo metimo kampas yra 45 ° kampas; esant bet kuriai kitai metimo kampo vertei, skrydžio nuotolis bus mažesnis.

Jei messite kūną tam tikru pradiniu greičiu v o 45 ° kampu horizonto atžvilgiu, tada jo skrydžio nuotolis bus du kartus didesnis už maksimalų kūno aukštį, mesto vertikaliai aukštyn tuo pačiu pradiniu greičiu.

Kūno, išmesto kampu α į horizontą, maksimalų skrydžio diapazoną S galima rasti pagal formulę:

didžiausias kėlimo aukštis H pagal formulę:

Jei oro pasipriešinimo nėra, didžiausias skrydžio nuotolis atitiktų šautuvo vamzdžio pasvirimo kampą, lygų 45 °, tačiau oro pasipriešinimas žymiai pakeičia judėjimo trajektoriją ir didžiausias skrydžio nuotolis atitinka skirtingą šautuvo vamzdžio pasvirimo kampą. šautuvo vamzdis - daugiau nei 45 °. Šio kampo reikšmė priklauso ir nuo kulkos greičio iššaunant. Jei kulkos greitis paleidžiant yra 870 m/s, tai realus skrydžio nuotolis bus maždaug 3,5 km, o ne 77 km, kaip rodo „idealūs“ skaičiavimai.

Šie santykiai rodo, kad kūno nuvažiuotas atstumas vertikalia kryptimi nepriklauso nuo pradinio greičio reikšmės – juk jo reikšmė neįtraukta į aukščio H skaičiavimo formulę. O kulkos nuotolis Horizontali kryptis bus didesnė, tuo didesnis jo pradinis greitis.

Išnagrinėkime kūno, išmesto pradiniu greičiu v 0 kampu α į horizontą, judėjimą, laikydami jį materialiu masės tašku m. Tuo pačiu nepaisysime oro pasipriešinimo ir atsižvelgsime į gravitacijos laukas turi būti vienodas (Р=const), darant prielaidą, kad skrydžio nuotolis ir trajektorijos aukštis yra nedideli, palyginti su žemės spinduliu.

Iškilmę O pastatykime į pradinę taško padėtį. O y ašį nukreipkime vertikaliai aukštyn; horizontaliąją ašį O x pastatysime plokštumoje, einančioje per O y ir vektorių v 0, o ašį O z nubrėžsime statmeną pirmosioms dviem ašims. Tada kampas tarp vektoriaus v 0 ir ašies O x bus lygus α

12 pav. Kūno, mesto kampu į horizontą, judėjimas.

Pavaizduokime kur nors trajektorijoje judantį tašką M. Tik gravitacija veikia tašką, kurio projekcijos koordinačių ašyse yra: P x \u003d 0, P y \u003d-P \u003d mg, P Z \u003d 0

Šiuos dydžius pakeitus diferencialinėmis lygtimis ir pastebėjus, kad ir pan. sumažinus m, gauname:

Abi šių lygčių puses padauginus iš dt ir integruojant, gauname:

Pradinės mūsų problemos sąlygos yra tokios formos:

x=0,

y=0,

Įvykdę pradines sąlygas, turėsime:

Pakeitę šias reikšmes С 1 , С 2 ir С 3 į aukščiau rastą sprendinį ir pakeitę V x , V Y , V z prieme prie lygčių:

Integravę šias lygtis, gauname:

Pakeitus pradinius duomenis gaunama C 4 = C 5 = C 6 = 0 ir galiausiai randame taško M judėjimo lygtis formoje:

Iš paskutinės lygties išplaukia, kad judėjimas vyksta plokštumoje O xy

Turint taško judėjimo lygtį, kinematikos metodais galima nustatyti visas tam tikro judėjimo charakteristikas.

1. Taško trajektorija. Iš pirmųjų dviejų lygčių (1) pašalinus laiką t, gauname taško trajektorijos lygtį:

(2)

Tai parabolės, kurios ašis lygiagreti O y ašiai, lygtis. Taigi sunkus taškas, mestas kampu į horizontą, juda vakuume išilgai parabolės (Galileo).

2. Horizontalus diapazonas. Nustatykime horizontalų diapazoną, t.y. atstumas OS=X, išmatuotas išilgai O x ašies. Darant prielaidą, kad (2) lygybėje y=0, randame trajektorijos susikirtimo taškus su ašimi О x. Iš lygties:

mes gauname

Pirmasis sprendimas suteikia tašką O, antrasis tašką C. Todėl X \u003d X 2 ir galiausiai

(3)

Iš (3) formulės matyti, kad tas pats horizontalus diapazonas X bus gautas kampu β, kuriam 2β=180° - 2α , t.y. jei kampas β=90°-α . Todėl esant tam tikram pradiniam greičiui v 0, vieną ir tą patį tašką C galima pasiekti dviem trajektorijomis: plokščia (α<45°) и навесной (β=90°-α>45°)

Esant tam tikram pradiniam greičiui v 0, didžiausias horizontalus diapazonas beorėje erdvėje gaunamas, kai sin 2 α = 1, t.y. kampu α=45°.

tada yra trajektorijos H aukštis:

(4)

Skrydžio laikas. Iš pirmosios sistemos (1) lygties išplaukia, kad bendra skrydžio trukmė T nustatoma pagal lygybę Pakeitę X čia jo verte, gauname

Didžiausio diapazono kampu α=45° visos rastos reikšmės yra lygios:

Gauti rezultatai praktiškai visiškai pritaikomi preliminariai 200–600 km nuotolio sviedinių (raketų) skrydžio charakteristikoms nustatyti, kadangi šiuose nuotoliuose (ir ties ) sviedinys didžiąją savo kelio dalį nukeliauja stratosferoje, kur oro pasipriešinimo galima nepaisyti. Esant trumpesniems atstumams, rezultatą stipriai paveiks oro pasipriešinimas, o esant didesniam nei 600 km atstumui, gravitacija nebegali būti laikoma pastovia.

Kūno, išmesto iš aukščio, judėjimas h.

Iš ginklo, sumontuoto aukštyje h, buvo paleistas šūvis α kampu į horizontą. Šerdis išskrido iš ginklo vamzdžio u greičiu. Apibrėžkime branduolio judėjimo lygtis.

13 pav. Kūno, išmesto iš aukščio, judėjimas.

Norint teisingai sudaryti diferencialines judėjimo lygtis, tokias užduotis reikia išspręsti pagal tam tikrą schemą.

a) Priskirkite koordinačių sistemą (ašių skaičių, jų kryptį ir pradžią). Gerai parinktos ašys supaprastina sprendimą.

b) Parodykite tašką tarpinėje padėtyje. Tokiu atveju būtina užtikrinti, kad tokios padėties koordinatės būtų teigiamos.

c) Parodykite jėgas, veikiančias tašką šioje tarpinėje padėtyje (nerodykite inercijos jėgų!).

Šiame pavyzdyje tai tik jėga, šerdies svoris. Į oro pasipriešinimą neatsižvelgiama.

d) Sudarykite diferencialines lygtis naudodami formules:

Iš čia gauname dvi lygtis: ir .

e) Išspręskite diferencialines lygtis.

Čia gautos lygtys yra tiesines lygtis antros eilės, dešinėje pusėje yra konstantos. Šių lygčių sprendimas yra elementarus.

Belieka rasti nuolatines integracijas. Pakeičiame pradines sąlygas (kai t = 0, x = 0, y = h, ,) į šias keturias lygtis: ,,

0 \u003d C 2, h = D 2.

Konstantų reikšmes pakeičiame į lygtis ir užrašome taško judėjimo lygtis galutinėje formoje

Turint šias lygtis, kaip žinoma iš kinematikos skyriaus, galima bet kada nustatyti branduolio trajektoriją ir greitį, ir pagreitį, ir branduolio padėtį.

Kaip matote iš šio pavyzdžio, problemų sprendimo schema yra gana paprasta. Sunkumai gali kilti tik sprendžiant diferencialines lygtis, kurios gali pasirodyti sudėtingos.

Čia jėga yra trinties jėga. Jei tiesė, kuria taškas juda, yra lygi, tada Т = 0 ir tada antroje lygtyje bus tik vienas nežinomasis - koordinatė s:

Išspręsdami šią lygtį, gauname taško judėjimo dėsnį, taigi, jei reikia, ir greitį, ir pagreitį. Pirmoji ir trečioji lygtys (5) leis mums rasti reakcijas ir .

2. Kūno judėjimas terpėje su pasipriešinimu

pasipriešinimas judėjimui balistika elipsinė orbita

Vienas iš svarbiausių aero- ir hidrodinamikos uždavinių yra kietųjų kūnų judėjimo dujose ir skystyje tyrimas. Visų pirma, jėgų, kuriomis terpė veikia judantį kūną, tyrimas. Ši problema tapo ypač svarbi sparčiai vystantis aviacijai ir didėjant laivų greičiui. Kūną, judantį skystyje ar dujose, veikia dvi jėgos (jų rezultantą žymime kaip R), iš kurių viena (R x) nukreipta kūno judėjimui priešinga kryptimi (tekėjimo kryptimi), yra pasipriešinimas, o antroji (R y) yra statmena šia kryptimi yra kėlimo jėga.

kur ρ yra terpės tankis; υ – kūno greitis; S yra didžiausias kūno skerspjūvis.

Kėlimo jėgą galima nustatyti pagal formulę:

Čia C y yra bematis kėlimo koeficientas.

Jei kūnas yra simetriškas ir jo simetrijos ašis sutampa su greičio kryptimi, tai jį veikia tik priekinis pasipriešinimas, o kėlimo jėga šiuo atveju lygi nuliui. Galima įrodyti, kad idealus skystis vienodas judesys atsiranda be priekinio pasipriešinimo. Jei atsižvelgsime į cilindro judėjimą tokiame skystyje, tada srautų modelis yra simetriškas ir susidaranti slėgio jėga cilindro paviršiuje bus lygi nuliui.

Situacija yra kitokia, kai kūnai juda klampiame skystyje (ypač kai didėja srauto greitis). Dėl terpės klampumo greta kūno paviršiaus esančioje srityje susidaro ribinis dalelių, judančių mažesniu greičiu, sluoksnis. Dėl šio sluoksnio lėtėjimo vyksta dalelių sukimasis, o skysčio judėjimas ribiniame sluoksnyje tampa sūkuriu. Jei kūnas nėra aptakios formos (nėra tolygiai plonėjančios uodegos), tada ribinis skysčio sluoksnis yra atskirtas nuo kūno paviršiaus. Už kūno yra skysčio arba dujų srautas, nukreiptas priešais artėjančiam srautui. Atsiskyręs ribinis sluoksnis, sekdamas šiuo srautu, sudaro priešingomis kryptimis besisukančius sūkurius. Atsparumas priklauso nuo kėbulo formos ir padėties srauto atžvilgiu, į kurią atsižvelgiama pagal pasipriešinimo koeficientą. Klampumas (vidinė trintis) – tai tikrų skysčių savybė atsispirti vienos skysčio dalies judėjimui kitos atžvilgiu. Kai vieni tikrojo skysčio sluoksniai juda kitų atžvilgiu, atsiranda vidinės trinties jėgos F, nukreiptos tangentiškai į sluoksnių paviršių. Šių jėgų veikimas pasireiškia tuo, kad iš greičiau judančio sluoksnio pusės lėčiau judantį sluoksnį veikia greitinanti jėga. Iš lėčiau judančio sluoksnio pusės greičiau judantį sluoksnį veikia lėtinanti jėga. Vidinė trinties jėga F yra didesnė, tuo didesnis sluoksnio paviršiaus plotas S ir priklauso nuo to, kaip greitai keičiasi skysčio srauto greitis judant iš sluoksnio į sluoksnį. Reikšmė parodo, kaip greitai keičiasi greitis judant iš sluoksnio į sluoksnį kryptimi x, statmena sluoksnių judėjimo krypčiai, ir vadinamas greičio gradientu. Taigi vidinės trinties jėgos modulis

kur yra proporcingumo koeficientas η, priklausomai nuo skysčio pobūdžio. vadinama dinamine klampa.

Kuo didesnis klampumas, tuo labiau skystis skiriasi nuo idealaus, tuo didesnės jame atsiranda vidinės trinties jėgos. Klampumas priklauso nuo temperatūros, o šios priklausomybės pobūdis skysčiams ir dujoms yra skirtingas (skysčiams η mažėja didėjant temperatūrai, dujoms, atvirkščiai, didėja), o tai rodo vidinės trinties mechanizmų skirtumus juose. .

3. Kūno judėjimo dėsnių taikymas veikiant gravitacijai, atsižvelgiant į terpės pasipriešinimą balistikoje.

Pagrindinis balistikos uždavinys – nustatyti, kokiu kampu į horizontą ir kokiu pradiniu greičiu turi skristi tam tikros masės ir formos kulka, kad ji pasiektų taikinį.

Trajektorijos formavimas.

Šūvio metu kulka, kildama iš angos, gavusi tam tikrą pradinį greitį, veikiant miltelinėms dujoms, inercija linkusi išlaikyti šio greičio dydį ir kryptį, o granata, turinti reaktyvinį variklį, juda. inercija nutekėjus dujoms iš reaktyvinio variklio. Jei kulkos (granatos) skrydis vyktų beorėje erdvėje, o gravitacija jos neveiktų, kulka (granata) judėtų tiesia linija, tolygiai ir be galo. Tačiau ore skrendančią kulką (granatą) veikia jėgos, keičiančios jos skrydžio greitį ir judėjimo kryptį. Šios jėgos yra gravitacija ir oro pasipriešinimas.

Dėl bendro šių jėgų veikimo kulka praranda greitį ir keičia judėjimo kryptį, judėdama ore išilgai lenktos linijos, einančios žemiau angos ašies krypties.

Lenkta linija, apibūdinanti erdvėje judančios kulkos (sviedinio) svorio centrą skrydžio metu, vadinama trajektorija. Paprastai balistika laiko trajektoriją aukščiau (arba žemiau) ginklo horizonto – įsivaizduojamą begalinę horizontalią plokštumą, einanti per išvykimo tašką. Kulkos judėjimas, taigi ir trajektorijos forma, priklauso nuo daugelio sąlygų. Oru skrendančią kulką veikia dvi jėgos: gravitacija ir oro pasipriešinimas. Dėl gravitacijos jėgos kulka palaipsniui leidžiasi žemyn, o oro pasipriešinimo jėga nuolat lėtina kulkos judėjimą ir linkusi ją nuversti. Dėl šių jėgų veikimo skrydžio greitis palaipsniui mažėja, o jo trajektorija yra netolygiai išlenkta lenkta linija.

Gravitacijos veiksmas.

Įsivaizduokime, kad tik viena gravitacijos jėga veikia kulką, kai ji paliko angą. Tada jis pradės kristi vertikaliai žemyn, kaip ir bet kuris laisvai krintantis kūnas. Jei darysime prielaidą, kad gravitacija kulką veikia jos skrydžio metu inercija beorėje erdvėje, tai veikiama šios jėgos kulka nukris žemiau nuo angos ašies tęsinio: per pirmąją sekundę - 4,9 m, antroji sekundė - 19,6 m ir tt Tokiu atveju, nukreipus ginklo vamzdį į taikinį, kulka niekada nepataikys į jį, nes, veikiama gravitacijos, ji praskris po taikiniu. Visiškai akivaizdu, kad norint, kad kulka nukeliautų tam tikrą atstumą ir pataikytų į taikinį, ginklo vamzdį reikia nukreipti kur nors aukščiau taikinio, kad kulkos trajektorija, lenkiant gravitacijos įtaka, būtų nukreipta į taikinį. kerta taikinio centrą. Norėdami tai padaryti, būtina, kad kiaurymės ašis ir ginklo horizonto plokštuma sudarytų tam tikrą kampą, kuris vadinamas pakilimo kampu. Kulkos trajektorija beorėje erdvėje, kurioje veikia gravitacijos jėga, yra taisyklinga kreivė, vadinama parabole. Aukščiausias trajektorijos taškas virš ginklo horizonto vadinamas jo viršūne. Kreivės dalis nuo išvykimo taško iki viršaus vadinama kylančia trajektorijos atšaka, o nuo viršaus iki kritimo taško – besileidžiančia. Tokia kulkos trajektorija pasižymi tuo, kad kylančios ir besileidžiančios šakos yra visiškai vienodos, o metimo ir kritimo kampai yra lygūs vienas kitam.

Oro pasipriešinimo jėgos veikimas.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo mažai tikėtina, kad tokio mažo tankio oras galėtų suteikti didelį pasipriešinimą kulkos judėjimui ir taip žymiai sumažinti jos greitį. Tačiau oro pasipriešinimas stipriai stabdo kulką, todėl ji praranda greitį. Oro pasipriešinimą kulkos skrydžiui lemia tai, kad oras yra elastinga terpė, todėl dalis kulkos energijos išeikvojama judėjimui šioje terpėje. Oro pasipriešinimo jėgą sukelia trys pagrindinės priežastys: oro trintis, sūkurių susidarymas ir balistinės bangos susidarymas.

Kaip rodo viršgarsiniu greičiu (daugiau nei 340 m/sek) skriejančios kulkos nuotraukos, priešais jos galvą susidaro oro sandariklis. Nuo šio sutankinimo galvos banga skiriasi visomis kryptimis. Oro dalelės, slysdamos kulkos paviršiumi ir atitrūkdamos nuo jos šoninių sienelių, už kulkos dugno sudaro išretėjusios erdvės zoną, dėl to ant galvos ir dugno dalyse atsiranda slėgio skirtumas. Šis skirtumas sukuria jėgą, nukreiptą į šoną, priešingą kulkos judėjimui, ir sumažina jos skrydžio greitį. Oro dalelės, bandydamos užpildyti už kulkos susidariusią tuštumą, sukuria sūkurį, dėl kurio už kulkos dugno nusidriekia uodegos banga.

Oro suspaudimas prieš kulkos galvutę sulėtina jos skrydį; reta zona už kulkos įsiurbia ją ir taip dar labiau sustiprina stabdymą; Dėl viso to kulkos sienelės patiria trintį prieš oro daleles, o tai taip pat lėtina jos skrydį. Šių trijų jėgų rezultatas yra oro pasipriešinimo jėga. Skrydžio metu kulka (granata) susiduria su oro dalelėmis ir sukelia jų virpesius. Dėl to prieš kulką (granatą) didėja oro tankis, susidaro garso bangos. Todėl kulkos (granatos) skrydį lydi būdingas garsas. Kai kulkos (granatos) skrydžio greitis yra mažesnis už garso greitį, šių bangų susidarymas turi mažai įtakos jo skrydžiui, nes bangos sklinda greičiau nei kulkos (granatos) skrydžio greitis. Kai kulkos greitis yra didesnis už garso greitį, dėl garso bangų įsiskverbimo viena prieš kitą susidaro labai sutankinto oro banga – balistinė banga, lėtinanti kulkos greitį, nes kulka praleidžia dalį savo energiją šiai bangai sukurti.

Visų jėgų, atsirandančių dėl oro įtakos kulkos (granatos) skrydžiui, rezultatas (suma) yra oro pasipriešinimo jėga. Atsparumo jėgos taikymo taškas vadinamas pasipriešinimo centru.

Oro pasipriešinimo įtaka kulkos skrydžiui yra labai didelė – dėl to sumažėja kulkos greitis ir nuotolis.

Oro pasipriešinimo įtaka kulkai.

Oro pasipriešinimo jėgos dydis priklauso nuo skrydžio greičio, kulkos formos ir kalibro, taip pat nuo jos paviršiaus ir oro tankio.

Oro pasipriešinimo jėga didėja didėjant kulkos kalibrui, jos skrydžio greičiui ir oro tankiui. Kad oro pasipriešinimas mažiau sulėtintų kulką skrydžio metu, visiškai akivaizdu, kad reikia mažinti jos kalibrą ir didinti masę. Šie svarstymai lėmė poreikį šaulių ginkluose naudoti pailgas kulkas, o atsižvelgiant į kulkos viršgarsinį greitį, kai pagrindinė oro pasipriešinimo priežastis yra oro sandariklio susidarymas priešais galvą (balistinė banga), kulkos. su pailga smailia galva yra naudingi. Skrydant ikigarsiniu granatų greičiu, kai pagrindinė oro pasipriešinimo priežastis yra išretėjusios erdvės susidarymas ir turbulencija, naudingos granatos su pailga ir susiaurėjusia uodega.

Kuo lygesnis kulkos paviršius, tuo mažesnė trinties jėga ir oro pasipriešinimo jėga.

Šiuolaikinių kulkų formų įvairovę daugiausia lemia poreikis sumažinti oro pasipriešinimo jėgą.

Jei kulkos skrydis vyktų beorėje erdvėje, tai jos išilginės ašies kryptis būtų nepakitusi ir kulka ant žemės nukristų ne galva, o dugnu.

Tačiau kai kulką veiks oro pasipriešinimo jėga, jos skrydis bus visiškai kitoks. Pradinių perturbacijų (smūgių) įtakoje tuo momentu, kai kulka palieka angą, tarp kulkos ašies ir trajektorijos liestinės susidaro kampas, o oro pasipriešinimo jėga veikia ne išilgai kulkos ašies, o kampu. prie jos, stengdamasi ne tik sulėtinti kulkos judėjimą, bet ir ją apversti. Pirmą akimirką, kai kulka palieka angą, oro pasipriešinimas ją tik sulėtina. Tačiau kai tik kulka pradeda kristi žemyn veikiama gravitacijos, oro dalelės pradės slėgti ne tik galvos dalį, bet ir jos šoninį paviršių.

Kuo labiau kulka nusileis, tuo labiau jos šoninis paviršius bus veikiamas oro pasipriešinimo. Ir kadangi oro dalelės daro daug didesnį spaudimą kulkos galvutei nei uodegai, jos linkusios nulenkti kulkos galvutę atgal.

Vadinasi, oro pasipriešinimo jėga ne tik sulėtina kulką skrydžio metu, bet ir linkusi atsukti galvą atgal. Kuo didesnis kulkos greitis ir kuo ji ilgesnė, tuo stipresnis oras ją apverčia. Visiškai suprantama, kad esant tokiam oro pasipriešinimo veiksmui, kulka skrydžio metu pradės kristi. Tuo pačiu metu, atskleidžiant orą į vieną ar kitą pusę, kulka greitai praras greitį, todėl skrydžio nuotolis bus mažas, o mūšio tikslumas bus nepatenkinamas.

Išvada

Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose kūną veikė ta pati gravitacijos jėga. Tačiau judesiai atrodė kitaip. Tai paaiškinama tuo, kad bet kurio kūno judėjimo pobūdį tam tikromis sąlygomis lemia jo pradinė būsena. Ne veltui visose mūsų gautose lygtyse yra pradinės koordinatės ir pradiniai greičiai. Juos keisdami galime priversti kūną tiesia linija kilti aukštyn arba žemyn, judėti išilgai parabolės, pasiekdami jos viršūnę, arba išilgai nukristi žemyn; galime daugiau ar mažiau sulenkti parabolės lanką ir pan. Ir tuo pačiu metu visa ši judesių įvairovė gali būti išreikšta viena paprasta formule:

Bibliografija

1. Geršenzonas E.M., Malovas N.N. Bendrosios fizikos kursas. M. Išsilavinimas, 1995 m.

2. Rymkevičius P.A. Fizikos kursas. M. Švietimas, 1975 m

3. Saveliev I.V. Bendrosios fizikos kursas. M. Išsilavinimas, 1983 m.

4. Trofimova T.I. Fizikos kursas. M. Švietimas, 1997 m

5. Čertovas A.G., Vorobjovas A.A. Fizikos užduotis. M. Išsilavinimas, 1988 m.

Tema. Gravitacijos jėga. Kūno judėjimas veikiant gravitacijai

Pamokos tikslas: suteikti mokiniams supratimą apie gravitacijos sampratą; suprasti šios jėgos prigimtį. Supažindinti juos su kūno judėjimu gravitacijos įtakoje

Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymasis

Pamokos planas

Žinių kontrolė		1. Visuotinės gravitacijos dėsnis. 2. Gravitacinės konstantos fizinė reikšmė. 3. Visuotinės gravitacijos dėsnio taikymo ribos
Demonstracijos		1. Krintantys kūnai ant žemės. 2. Kūnų svorio centras. 3. Vertikaliai mesto kūno judėjimas aukštyn ir žemyn.
Naujos medžiagos mokymasis		1. Svorio jėga ir svorio centras. 2. Laisvo kritimo pagreitis. 3. Kūno judėjimas vertikaliai. 4. Horizontaliai mesto kūno judėjimas. 5. Kūno, mesto kampu į horizontą, judėjimas
Studijuotos medžiagos konsolidavimas		1. Mokomės spręsti problemas. 2. Saugumo klausimai

MOKYMOSI NAUJA MEDŽIAGA

Nuo skardžio nukritęs akmuo ir vertikaliai aukštyn išmestas kamuolys juda tiesia linija. Įsibėgėjus ant kranto, žmogus šoka į vandenį, o jos kūno trajektorija yra pusė parabolės. Sviedinys, paleistas iš patrankos kampu į horizontą, apibūdins ir parabolę erdvėje. Žemės palydovo trajektorija yra labai arti apskritimo. Visų šių kūnų judėjimas vyksta veikiant gravitacijai. Kodėl šie judesiai taip skiriasi vienas nuo kito? Akivaizdu, kad priežastis yra skirtingos pradinės sąlygos.

Jei kūną veikia tik gravitacija, tada pagal antrąjį Niutono dėsnį m \u003d m arba m \u003d m. Tai reiškia, kad veikiamas gravitacijos kūnas juda pagreičiu g (a = g). Šiuo atveju greičio priklausomybės nuo laiko lygtis yra tokia: = 0 + t .

Ši lygtis rodo, kad kūno greitis yra plokštumoje, kurią sudaro vektoriai 0 ir , todėl tokiems judesiams aprašyti pakanka dvimatės koordinačių sistemos.

Apsvarstykite kūno judėjimą vertikaliai: kūnas metamas vertikaliai aukštyn (a pav.), o kūnas krenta vertikaliai žemyn (b pav.).

Šiuo atveju kūno trajektorija bus tiesi atkarpa, nes išilgai Ox ašies nėra judėjimo (0x = 0, x = x0).

Nes judant aukštyn tada judesio lygtys bus tokios formos:

Panašiai, judant žemyn numestam kūnui, lygtys atrodys taip:

1. Kokiu dėsniu remiantis galima teigti, kad gravitacijos jėga yra proporcinga kūno masei?

2. Kaip gravitacijos pagreitis priklauso nuo aukščio virš Žemės paviršiaus?

3. Kokiu pagreičiu juda horizontaliai išmestas kūnas?

4. Ar horizontaliai mesto kūno skrydžio laikas priklauso nuo pradinio greičio reikšmės?

5. Ar kampu į horizontą mesto kūno judėjimą galima laikyti tolygiai pagreitintu?

6. Kas būdinga vertikaliai aukštyn ir kampu horizontui išmestų kūnų judėjime?

TYRIMOS MEDŽIAGOS KONFIGŪRAVIJA

1. Apskaičiuokite Žemės masę, jei žinoma, kad jos spindulys yra 6400 km.

2. Apskaičiuokite laisvojo kritimo pagreitį aukštyje, lygiame Žemės spinduliui.

3. Kokiu greičiu reikia išmesti kūną horizontaliai iš tam tikro aukščio, kad skrydžio nuotolis būtų lygus aukščiui, iš kurio mestas kūnas?

4. Horizontaliai nuo namo stogo 15 m/s greičiu numestas akmuo nukrito ant žemės 60° kampu horizonto atžvilgiu. Koks yra namo aukštis?

5. Akmuo, mestas 30° kampu į horizontą, tame pačiame aukštyje aplankė du kartus: po 3 s ir 5 s nuo judėjimo pradžios. Apskaičiuokite pradinį metimo greitį ir didžiausią kėlimo aukštį.

1. Kodėl didėjant aukščiui virš Žemės paviršiaus mažėja laisvojo kritimo pagreitis?

2. Ar veikiamas gravitacijos kūnas gali judėti apskritimu? Pagrįskite savo atsakymą.

3. Kas būdinga vertikaliai aukštyn ir kampu horizontui išmestų kūnų judėjime?

4. Kaip pasikeis horizontaliai iš tam tikro aukščio mesto kūno skrydžio laikas ir nuotolis, jei metimo greitis bus padvigubintas?

5. Kūnas, išmestas 30° kampu į horizontą, nukrito į tam tikrą žemės paviršiaus tašką. Kokiu kampu reikia mesti antrąjį kūną tokiu pat pradiniu greičiu, kad jis nukristų į tą patį tašką kaip ir pirmasis?

Ką išmokome pamokoje

Jėga, kuria Žemė traukia bet kurį kūną, vadinama gravitacija.

Kūną veikianti gravitacijos jėga yra proporcinga to kūno masei.

Kūną veikiančios gravitacijos jėgos taikymo taškas bet kurioje jo padėtyje erdvėje vadinamas sunkio centru.

Laisvo kritimo pagreitis yra:

Jei kūną veikia tik gravitacija, tada kūno greičio priklausomybės nuo laiko lygtis yra tokia:

Horizontaliai išmestas kūnas juda išilgai parabolės, kurios viršūnė yra ties atspirties taškas judėjimas.

Horizontaliai išmesto kūno skrydžio laikas ir skrydžio nuotolis apskaičiuojami pagal formules:

Judant kūnui, mestam kampu į horizontą:

a) kūno aukštis -

b) kūno skrydžio nuotolis -

c) didžiausias skrydžio nuotolis pasiekiamas, jei kampas = 45°.

p1) - 7,8; 7,21; 7,28, 8,6; 8,7;

p2) - 7,54; 7,55; 7.56. 8,13, 8,14;

p3) - 7,75; 7,81; 8,34; 8.39, 8.40.

Tikslai:

Pažinties su įvairiais tolygiai pagreitintais judesiais tęsinys.
Mokymasis lyginti skirtingus judesių tipai, bendrų bruožų ir skirtumų radimas, gebėjimas daryti išvadas iš stebimų reiškinių.
Supažindinti su šios temos problemų sprendimo metodika, parodyti sprendžiant problemas naudojamų dėsnių universalumą.
Plečiantis horizontus.

Pamokų etapai:

Pamokos tikslo nustatymo etapas
Žinių atnaujinimo etapas
Naujų žinių gavimo etapas tema „Kūnų judėjimas veikiant gravitacijai“
Pasirengimo spręsti problemas etapas
Medžiagos tvirtinimo etapas sprendžiant kryžiažodį, užduotys, testai
Namų darbai

Lydinčios pamokos:

Pristatymas „Kūnų judėjimas veikiant gravitacijai“.
Filmų klipai.
Patirtys.

Pamokos įranga:

kompiuterių klasė
vaizdo projektorius
Elektroninė didaktinė medžiaga studentams
Prietaisai: Niutono vamzdis, metaliniai ir popieriniai diskai

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU

aš. Nuo šiandien svarstysime kūnų, kuriuos veikia tik gravitacija, pobūdį ir judėjimo dėsnius. Veikiant gravitacijai gali būti keli judesių tipai: vertikaliai į viršų, vertikaliai žemyn, horizontaliai, kampu į horizontą. Negalima nuvertinti šių dėsnių išmanymo svarbos. Jie paaiškina parašiutininkų, sviedinių, šuolininkų slidėmis judėjimą ir kt.

Laisvas kūnų judėjimas turi tokią savybę: horizontaliai išmestas ir tiesiog iš to paties lygio paleistas kūnas krenta vienu metu. Atsekime tokių kūnų judėjimą modelyje.

Paskutinėse pristatymo skaidrėse Nr. 18,19, 20, 21 pateikti filmo fragmentai (žr. 6 priedas ):

Pagrindinė mechanikos užduotis ir kūnų, mestų kampu į horizontą, judėjimas,
Iš lėktuvo išmestų sviedinių kritimas,
balistinių raketų skrydis,
Kosminių raketų skrydis.

Filmo klipai gali būti naudojami prieš pradedant temą, kad būtų sukurtas dominantis elementas, viduryje, kad būtų galima pagrįsti tokio pobūdžio judesių svarstymą, arba pabaigoje, kai apibendrinate.

Pagrindinis mechanikos uždavinys – bet kuriuo metu nustatyti kūno padėtį. Žemės gravitaciniame lauke judančių dalelių uždavinio sprendimas yra lygtys projekcijomis ant OX ir OY ašių:

Šių formulių pakanka, kad išspręstų bet kokią problemą, susijusią su kūno judėjimu veikiant gravitacijai.

A) Kūnas metamas vertikaliai aukštyn

Tokiu atveju v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = - g .

Kūno judėjimas šiuo atveju vyks tiesia linija ir pirmiausia vertikaliai aukštyn iki taško, kuriame greitis tampa lygus nuliui, o tada vertikaliai žemyn.

B) Horizontaliai mestas kūnas

Kuriame v 0x \u003d v 0, g x \u003d 0, v 0y \u003d 0, g y \u003d - g, x 0 \u003d 0, taigi

Norėdami nustatyti trajektorijos, kuria šiuo atveju judės kūnas, tipą, išreiškiame laiką t iš pirmosios lygties ir pakeiskite ją antrąja lygtimi. Dėl to gauname kvadratinę priklausomybę adresu iš X:

Tai reiškia, kad kūnas judės išilgai parabolės šakos.

C) Kūnas metamas kampu į horizontalę

Tokiu atveju v 0 x \u003d v 0 su osα, g x \u003d 0, v 0y \u003d v 0 sin α, g y \u003d - g, x 0 \u003d y 0 \u003d 0, ir dėl to

Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose kūną veikė ta pati gravitacijos jėga. Tačiau judesiai atrodė kitaip. Tai paaiškinama tuo, kad bet kurio kūno judėjimo pobūdį tam tikromis sąlygomis lemia jo pradinė būsena. Ne veltui visose mūsų gautose lygtyse yra pradinės koordinatės ir pradiniai greičiai. Juos keisdami galime priversti kūną tiesia linija kilti aukštyn arba žemyn, judėti išilgai parabolės, pasiekdami jos viršūnę, arba išilgai nukristi žemyn; mes galime sulenkti parabolės lanką daugiau ar mažiau ir tt Ir tuo pačiu visą šią judesių įvairovę galima išreikšti viena paprasta formule.

Daugelis reiškinių paaiškinami visuotinės gravitacijos jėgų veikimu gamtoje: planetų judėjimas Saulės sistemoje, dirbtiniai Žemės palydovai, balistinių raketų skrydžio trajektorijos, kūnų judėjimas šalia Žemės paviršiaus – visa tai. iš jų paaiškinami remiantis visuotinės traukos dėsniu ir dinamikos dėsniais.

Visuotinės gravitacijos dėsnis paaiškina mechaninį įrenginį saulės sistema, o iš jo galima išvesti Keplerio dėsnius, apibūdinančius planetų trajektorijas. Kepleriui jo dėsniai buvo grynai aprašomieji – mokslininkas tiesiog apibendrino savo stebėjimus matematine forma, į formules nepaskleisdamas jokių teorinių pagrindų. Didžiojoje pasaulio santvarkos sistemoje pagal Newtoną Keplerio dėsniai tampa tiesioginiu visuotinių mechanikos dėsnių ir visuotinės gravitacijos dėsniu. Tai yra, mes vėl stebime, kaip empirinės išvados, gautos viename lygyje, virsta griežtai pagrįstomis loginėmis išvadomis pereinant prie kito žingsnio gilinant mūsų žinias apie pasaulį.

Niutonas pirmasis pasiūlė, kad gravitacinės jėgos lemia ne tik Saulės sistemos planetų judėjimą; jie veikia tarp bet kurių Visatos kūnų. Viena iš visuotinės traukos jėgos apraiškų yra gravitacijos jėga – taip įprasta vadinti kūnų traukos prie Žemės prie jos paviršiaus jėgą.

Jei M yra Žemės masė, RЗ yra jos spindulys, m yra nurodyto kūno masė, tada gravitacijos jėga yra lygi

kur g yra laisvojo kritimo pagreitis Žemės paviršiuje

Gravitacijos jėga nukreipta į žemės centrą. Nesant kitų jėgų, kūnas laisvai krenta į Žemę su laisvo kritimo pagreičiu.

Vidutinė gravitacinio pagreičio vertė įvairiuose Žemės paviršiaus taškuose yra 9,81 m/s2. Žinodami laisvojo kritimo pagreitį ir Žemės spindulį (RЗ = 6,38 106 m), galime apskaičiuoti Žemės masę

Saulės sistemos struktūros paveikslą, kuris išplaukia iš šių lygčių ir sujungia žemiškąją ir dangiškąją gravitaciją, galima suprasti paprastu pavyzdžiu. Tarkime, kad stovime ant uolos krašto, šalia patrankos ir patrankų sviedinių kalvos. Jei tiesiog nuleisite šerdį nuo uolos krašto vertikaliai, ji pradės kristi žemyn vertikaliai ir vienodu pagreičiu. Jo judėjimas bus aprašytas Niutono dėsniais tolygiai pagreitėjusiam kūno judėjimui, kurio pagreitis g. Jei dabar paleisite šerdį nuo patrankos horizonto kryptimi, ji skris – ir kris lanku. Ir šiuo atveju jo judėjimas bus aprašytas Niutono dėsniais, tik dabar jie taikomi kūnui, judančiam veikiant gravitacijai ir turinčiam tam tikrą pradinį greitį horizontalioje plokštumoje. Dabar, kai į patranką pakartotinai įkelsite sunkesnį patrankos sviedinį ir jį šaudysite, pastebėsite, kad kiekvienam iš eilės patrankos sviediniui paliekant vamzdį didesniu pradiniu greičiu, patrankos sviediniai krenta vis toliau ir toliau nuo uolos papėdės.

Dabar įsivaizduokime, kad į patranką įpylėme tiek parako, kad patrankos sviedinio greičio užtenka apskrieti Žemės rutulį. Nepaisydamas oro pasipriešinimo, patrankos sviedinys, apskridęs Žemę, grįš į pradinį tašką lygiai tokiu pat greičiu, kokiu iš pradžių išskrido iš patrankos. Kas bus toliau, aišku: šerdis čia nesustos ir toliau vingiuos ratą po rato aplink planetą.

Kitaip tariant, gausime dirbtinį palydovą, skriejantį aplink Žemę, kaip ir natūralų palydovą – Mėnulį.

Taigi žingsnis po žingsnio nuo kūno judėjimo, krentančio vien tik „žemiškos“ gravitacijos (niutono obuolio) apibūdinimo, perėjome prie palydovo (Mėnulio) judėjimo orbitoje aprašymo, nekeičiant gravitacinio poveikio pobūdžio. iš „žemiško“ į „dangiškąjį“. Būtent ši įžvalga leido Niutonui susieti dvi gravitacinės traukos jėgas, kurios prieš jį buvo laikomos skirtingomis.

Tolstant nuo Žemės paviršiaus, gravitacijos jėga ir laisvojo kritimo pagreitis keičiasi atvirkščiai atstumo r iki Žemės centro kvadratui. Dviejų sąveikaujančių kūnų sistemos pavyzdys yra Žemės ir Mėnulio sistema. Mėnulis yra nuo Žemės atstumu rL = 3,84 106 m Šis atstumas yra maždaug 60 kartų didesnis už Žemės spindulį RЗ. Vadinasi, laisvojo kritimo pagreitis aL dėl Žemės gravitacijos Mėnulio orbitoje yra

Tokiu pagreičiu, nukreiptu link Žemės centro, Mėnulis juda orbita. Todėl šis pagreitis yra įcentrinis pagreitis. Jį galima apskaičiuoti pagal įcentrinio pagreičio kinematinę formulę

kur T = 27,3 dienos yra Mėnulio apsisukimo aplink Žemę laikotarpis.

Skirtingais metodais atliktų skaičiavimų rezultatų sutapimas patvirtina Niutono prielaidą apie Mėnulį orbitoje laikančios jėgos ir gravitacijos jėgos vieningą prigimtį.

Paties Mėnulio gravitacinis laukas lemia laisvojo kritimo pagreitį gL jo paviršiuje. Mėnulio masė yra 81 kartą mažesnė už Žemės masę, o spindulys yra maždaug 3,7 karto mažesnis už Žemės spindulį.

Todėl pagreitis gL nustatomas pagal išraišką

Apsvarstykite dirbtinių Žemės palydovų klausimą. Dirbtiniai Žemės palydovai juda už Žemės atmosferos ribų, o juos veikia tik gravitacinės jėgos iš Žemės.

Priklausomai nuo pradinio greičio, erdvės kūno trajektorija gali būti skirtinga. Apsvarstykite atvejį, kai dirbtinis palydovas juda apskrita Žemės orbita. Tokie palydovai skrenda 200–300 km aukštyje, o atstumas iki Žemės centro gali būti apytiksliai lygus jo spinduliui R3. Tada palydovo įcentrinis pagreitis, kurį jam suteikia gravitacinės jėgos, yra maždaug lygus gravitaciniam pagreičiui g. Palydovo greitį artimoje Žemės orbitoje žymime υ1 – toks greitis vadinamas pirmuoju kosminiu greičiu. Naudodami įcentrinio pagreičio kinematinę formulę, gauname

Judėdamas tokiu greičiu, palydovas laiku apskris Žemę

Palydovams, judantiems apskritimo trajektorijomis dideliu atstumu nuo Žemės, Žemės gravitacija susilpnėja atvirkščiai trajektorijos spindulio r kvadratui. Taigi, esant aukštoms orbitoms, palydovų judėjimo greitis yra mažesnis nei šalia Žemės.

Palydovo orbitos periodas didėja didėjant orbitos spinduliui. Nesunku apskaičiuoti, kad kai orbitos spindulys r lygus maždaug 6,6 R3, palydovo apsisukimo laikotarpis bus lygus 24 valandoms. Palydovas su tokiu apsisukimo periodu, paleistas pusiaujo plokštumoje, nejudėdamas kabės tam tikrame žemės paviršiaus taške. Tokie palydovai naudojami kosminėse radijo ryšio sistemose. Orbita, kurios spindulys r = 6,6 R3, vadinama geostacionariąja.

Antrasis kosminis greitis – mažiausias greitis, apie kurį reikia pranešti erdvėlaiviui šalia Žemės paviršiaus, kad, įveikęs žemės gravitaciją, jis virstų dirbtiniu Saulės palydovu (dirbtine planeta). Tokiu atveju laivas nutols nuo Žemės paraboline trajektorija.

5 paveiksle pavaizduoti erdvės greičiai. Jei greitis erdvėlaivis yra lygus υ1 = 7,9 103 m/s ir yra nukreiptas lygiagrečiai Žemės paviršiui, tuomet laivas judės apskrita orbita nedideliame aukštyje virš Žemės. Kai pradinis greitis viršija υ1, bet mažesnis nei υ2 = 11,2 103 m/s, laivo orbita bus elipsės formos. Pradiniu greičiu υ2 laivas judės išilgai parabolės, o dar didesniu pradiniu greičiu – išilgai hiperbolės.

5 pav. – Kosminiai greičiai

Greičiai šalia Žemės paviršiaus nurodomi: 1) υ = υ1 – apskritimo trajektorija;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 yra parabolinė trajektorija; 5) υ > υ2 yra hiperbolinė trajektorija;

6) mėnulio trajektorija

Taigi išsiaiškinome, kad visi Saulės sistemos judesiai paklūsta Niutono visuotinės gravitacijos dėsniui.

Remiantis maža planetų ir, be to, kitų Saulės sistemos kūnų mase, galime apytiksliai daryti prielaidą, kad judesiai artimoje Saulės erdvėje paklūsta Keplerio dėsniams.

Visi kūnai skrieja aplink Saulę elipsės formos orbitomis, kurių viename židinių yra Saulė. Kuo dangaus kūnas arčiau Saulės, tuo didesnis jo skriejimo greitis (tolimiausia žinoma planeta Plutonas juda 6 kartus lėčiau nei Žemė).

Kūnai taip pat gali judėti atviromis orbitomis: parabole arba hiperbole. Taip atsitinka, jei kūno greitis yra lygus antrojo kosminio Saulės greičio vertei arba viršija ją tam tikru atstumu nuo centrinio šviestuvo. Jei kalbame apie planetos palydovą, tai kosminis greitis turi būti apskaičiuojamas atsižvelgiant į planetos masę ir atstumą iki jos centro.