समानता की अवधारणा, समान चिह्न, संबंधित परिभाषाएँ। समानता क्या है? समानता का प्रथम लक्षण एवं सिद्धांत IX

मात्राओं के साथ समानताएँ।

जब बच्चा 1 से 20 तक के मात्रा कार्डों से परिचित हो जाए, तो आप प्रशिक्षण के पहले चरण में दूसरा चरण जोड़ सकते हैं - मात्राओं के साथ समानताएँ।

समानता क्या है? यह एक अंकगणितीय संक्रिया और उसका परिणाम है।

आप सीखने के इस चरण की शुरुआत "जोड़" विषय से करें।

जोड़ना।

मात्रा कार्ड के दो सेट दिखाकर, आप जोड़ समीकरण जोड़ते हैं।

यह ऑपरेशन सिखाना बहुत आसान है. दरअसल, आपका बच्चा कई हफ्तों से इसके लिए तैयार है। आख़िरकार, हर बार जब आप उसे कोई नया कार्ड दिखाते हैं, तो वह देखता है कि उस पर एक अतिरिक्त बिंदु दिखाई दिया है।

बच्चा अभी तक नहीं जानता कि इसे क्या कहा जाता है, लेकिन उसे पहले से ही पता है कि यह क्या है और यह कैसे काम करता है।

आपके पास प्रत्येक कार्ड के पीछे अतिरिक्त उदाहरणों के लिए पहले से ही सामग्री है।

समानता दिखाने की तकनीक कुछ इस तरह दिखता है: आप बच्चे को समानता देना चाहते हैं: 1 +2 = 3. आप इसे कैसे दिखा सकते हैं?

पाठ शुरू करने से पहले, अपनी गोद में तीन कार्ड नीचे की ओर रखें, एक दूसरे के ऊपर। एक पोर से शीर्ष कार्ड उठाते हुए बोले, कहो "एक",फिर इसे एक तरफ रख दें और कहें "प्लस",दो डोमिनोज़ वाला एक कार्ड दिखाओ, कहो "दो",शब्द के बाद इसे एक तरफ रख दें "इच्छा",तीन डोमिनोज़ वाला एक कार्ड दिखाओ, कहो "तीन"।

एक दिन में आप समानता के साथ तीन कक्षाएं संचालित करते हैं और प्रत्येक पाठ में आप तीन अलग-अलग समानताएं दिखाते हैं। कुल मिलाकर, बच्चा एक दिन में नौ अलग-अलग समानताएँ देखता है।

बच्चा बिना किसी स्पष्टीकरण के समझ जाता है कि शब्द का क्या अर्थ है "प्लस",वह स्वयं संदर्भ से इसका अर्थ निकाल लेता है। क्रियाएं करके, आप किसी भी स्पष्टीकरण की तुलना में जोड़ का सही अर्थ तेजी से प्रदर्शित करते हैं। समानता के बारे में बात करते समय, हमेशा समान शर्तों का उपयोग करते हुए, प्रस्तुति के समान तरीके का पालन करें। कहा गया है "एक और दो बराबर तीन"बाद में बात मत करना "एक में दो जोड़ने पर तीन के बराबर होता है।"जब आप किसी बच्चे को तथ्य सिखाते हैं, तो वह अपने निष्कर्ष निकालता है और नियम सीखता है। यदि आप शर्तें बदलते हैं, तो बच्चे के पास यह सोचने का हर कारण है कि नियम भी बदल गए हैं।

किसी विशेष समानता के लिए आवश्यक सभी कार्ड पहले से तैयार कर लें। ऐसा मत सोचिए कि आपका बच्चा चुपचाप बैठेगा और आपको ताश के ढेर में से ताश के पत्तों को खंगालते हुए देखेगा और आपकी ज़रूरत के हिसाब से ताश के पत्तों का चयन करेगा। वह बस भाग जाएगा और सही हो जाएगा, क्योंकि उसका समय आपके समय से कम मूल्यवान नहीं है।

ऐसी समानताएँ न बनाने का प्रयास करें जिनमें कुछ समानता हो और जिससे बच्चे को पहले से ही उनका अनुमान लगाने की अनुमति मिल जाए (ऐसी समानताएँ बाद में उपयोग की जा सकती हैं)। यहां ऐसी समानताओं का एक उदाहरण दिया गया है:

इनका उपयोग करना बहुत बेहतर है:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

बच्चे को गणितीय सार देखना चाहिए; वह गणितीय कौशल और अवधारणाएँ विकसित करता है। लगभग दो सप्ताह के बाद, शिशु को पता चलता है कि जोड़ क्या है: आख़िरकार, इस दौरान आपने उसे जोड़ के लिए 126 अलग-अलग समीकरण दिखाए।

इंतिहान।

इस स्तर पर जाँच उदाहरणों को हल करना है।

एक उदाहरण समानता से किस प्रकार भिन्न है?
समानता एक क्रिया है जिसका परिणाम बच्चे को दिखाया जाता है।

उदाहरण एक क्रिया है जिसे निष्पादित किया जाना है। हमारे मामले में, आप बच्चे को दो उत्तर दिखाते हैं, और वह सही उत्तर चुनता है, अर्थात। उदाहरण हल करता है.

आप नियमित पाठ के बाद तीन अतिरिक्त समीकरणों के साथ एक उदाहरण पोस्ट कर सकते हैं। आप उदाहरण वैसे ही दिखाइए जैसे आपने पहले समानता का प्रदर्शन किया था। यानी, आप अपने हाथों में कार्डों को फिर से व्यवस्थित करते हैं, प्रत्येक कार्ड को ज़ोर से कहते हैं। उदाहरण के लिए, "बीस और दस का मतलब तीस या पैंतालीस होता है?" और बच्चे को दो कार्ड दिखाएं, जिनमें से एक का उत्तर सही हो।

उत्तर वाले कार्डों को बच्चे की आंखों से समान दूरी पर रखा जाना चाहिए और किसी भी तरह की उकसावे वाली कार्रवाई की अनुमति नहीं दी जानी चाहिए।

जब आप सही बच्चा चुनते हैं, तो आप ज़ोर-शोर से अपनी प्रसन्नता व्यक्त करते हैं, चूमते हैं और उसकी प्रशंसा करते हैं।

यदि आप गलत उत्तर चुनते हैं, तो निराशा व्यक्त किए बिना, आप सही उत्तर वाला कार्ड बच्चे की ओर बढ़ाते हैं और प्रश्न पूछते हैं: "यह तीस हो जाएगा, है ना?" ऐसे प्रश्न का उत्तर आमतौर पर बच्चा हां में देता है। इस सही उत्तर के लिए अपने बच्चे की प्रशंसा अवश्य करें।

खैर, यदि आपका बच्चा दस उदाहरणों में से कम से कम छह को सही ढंग से हल करता है, तो निश्चित रूप से आपके लिए घटाव समीकरणों पर आगे बढ़ने का समय आ गया है!

यदि आपको नहीं लगता कि अपने बच्चे की जांच करना आवश्यक है (और यह सही भी है!), तो 10-14 दिनों के बाद भी, घटाव समीकरणों पर आगे बढ़ें!

विचार करें - घटाव।

आप जोड़ना बंद कर दें और पूरी तरह से घटाव पर स्विच कर दें। प्रत्येक में तीन अलग-अलग समानताओं के साथ तीन दैनिक पाठ संचालित करें।

घटाव समीकरणों को इस प्रकार व्यक्त करें: "बारह घटा सात पांच है।"

साथ ही, आप मात्रा कार्ड (दो सेट, पांच कार्ड प्रत्येक) दिन में तीन बार भी दिखाना जारी रखें। कुल मिलाकर, आपके पास प्रतिदिन नौ बहुत छोटे पाठ होंगे। इसलिए आप दो सप्ताह से अधिक काम न करें।

इंतिहान

परीक्षण में, जोड़ के मामले की तरह, दो में से एक उत्तर चुनने के साथ उदाहरणों को हल करना शामिल हो सकता है।

विचार-गुणा.

गुणा बार-बार जोड़ने से ज्यादा कुछ नहीं है, इसलिए यह क्रिया आपके बच्चे के लिए कोई बड़ी खोज नहीं होगी। जैसे-जैसे आप मात्रा कार्ड (प्रत्येक पांच कार्ड के दो सेट) का अध्ययन करना जारी रखते हैं, आपके पास गुणन समीकरण बनाने का अवसर होता है।

गुणन समानता को इस प्रकार व्यक्त करें: "दो गुणा तीन बराबर छह।"

बच्चा शब्द समझ जाएगा "गुणा करो"जितनी जल्दी उसने इस शब्द को पहले समझ लिया था "प्लस"और "माइनस"।

आप अभी भी एक दिन में तीन पाठ पढ़ाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में तीन अलग-अलग गुणन समीकरण होते हैं। यह कार्य दो सप्ताह से अधिक नहीं चलता।

पूर्वानुमानित समानताओं से बचना जारी रखें। उदाहरण के लिए, जैसे:

अपने बच्चे को लगातार आश्चर्य और किसी नई चीज़ की अपेक्षा की स्थिति में रखना आवश्यक है। उसके लिए मुख्य प्रश्न यह होना चाहिए: "आगे क्या होगा?"-और प्रत्येक पाठ में उसे इसका एक नया उत्तर मिलना चाहिए।

इंतिहान

आप उदाहरणों को उसी तरह हल करें जैसे "जोड़" और "घटाव" विषय में। यदि आपके बच्चे को मात्रा कार्ड के साथ चेक बॉक्स का खेल पसंद है, तो आप उन्हें खेलना जारी रख सकते हैं, इस प्रकार नई, बड़ी मात्रा को दोहरा सकते हैं।

हमारे द्वारा प्रस्तावित योजना का पालन करते हुए, इस समय तक आप गणित सीखने का पहला चरण पूरा कर सकते हैं - 100 के भीतर मात्राओं का अध्ययन करें। अब उस कार्ड से परिचित होने का समय है जो बच्चों को सबसे ज्यादा पसंद है।

आइए शून्य की अवधारणा पर विचार करें।

उनका कहना है कि गणितज्ञ पांच सौ वर्षों से शून्य के विचार का अध्ययन कर रहे हैं। यह सच है या नहीं, बच्चे, मात्रा का विचार बमुश्किल सीख पाते हैं, तुरंत इसकी पूर्ण अनुपस्थिति का अर्थ समझ जाते हैं। वे बस शून्य को पसंद करते हैं, और संख्याओं की दुनिया में आपकी यात्रा अधूरी होगी यदि आप अपने बच्चे को ऐसा कार्ड नहीं दिखाएंगे जिस पर बिल्कुल भी बिंदु नहीं है (यानी यह पूरी तरह से खाली कार्ड होगा)।

अपने बच्चे के परिचय को मज़ेदार और दिलचस्प बनाने के लिए, आप कार्ड के प्रदर्शन के साथ एक पहेली भी जोड़ सकते हैं:

घर पर गिलहरियों के सात बच्चे हैं, थाली में सात शहद मशरूम हैं। गिलहरियों ने सारे मशरूम खा लिये। थाली में क्या बचा है?

अंतिम वाक्यांश का उच्चारण करते समय, हम "शून्य" कार्ड दिखाते हैं।

आप इसे लगभग हर दिन इस्तेमाल करेंगे. यह जोड़, घटाव और गुणा कार्यों के लिए उपयोगी होगा।

आप एक सप्ताह तक "शून्य" कार्ड के साथ काम कर सकते हैं। बच्चा इस विषय पर जल्दी ही महारत हासिल कर लेता है। पहले की तरह, दिन में आप तीन कक्षाएं संचालित करते हैं। प्रत्येक पाठ में, आप अपने बच्चे को जोड़, घटाव और शून्य से गुणा के लिए तीन अलग-अलग समानताएँ दिखाते हैं। कुल मिलाकर, आपको प्रतिदिन नौ समानताएँ मिलेंगी।

इंतिहान

शून्य के साथ उदाहरणों को हल करना एक परिचित पैटर्न का अनुसरण करता है।

विचार करें-विभाजन।

जब आप 0 से 100 तक के सभी मात्रा कार्ड पूरे कर लेते हैं, तो आपके पास मात्राओं के साथ विभाजन के उदाहरणों के लिए सभी आवश्यक सामग्री होती है।

इस विषय के लिए समानताएँ प्रदर्शित करने की तकनीक समान है। प्रतिदिन आप तीन कक्षाएँ संचालित करते हैं। प्रत्येक पाठ में, आप अपने बच्चे को तीन अलग-अलग समानताएँ दिखाते हैं। यह अच्छा है अगर इस सामग्री का पारित होना दो सप्ताह से अधिक न हो।

इंतिहान

परीक्षण में दो में से एक उत्तर चुनने के साथ उदाहरणों को हल करना शामिल है।

जब आप सभी मात्राओं का अध्ययन कर लेते हैं और अंकगणित के चार नियमों से परिचित हो जाते हैं, तो आप हर संभव तरीके से अपनी पढ़ाई में विविधता ला सकते हैं और इसे जटिल बना सकते हैं। सबसे पहले, समानताएँ दिखाएँ जहाँ एक अंकगणितीय ऑपरेशन का उपयोग किया जाता है: केवल जोड़, घटाव, गुणा या भाग।

तब - समानताएँ जहाँ जोड़ और घटाव या गुणा और भाग संयुक्त होते हैं:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

कार्डों में भ्रमित न होने के लिए, आप कक्षाओं के संचालन के तरीके को बदल सकते हैं। अब प्रत्येक बुनाई सुई कार्ड को दिखाना आवश्यक नहीं है; आप केवल उत्तर दिखा सकते हैं, और केवल क्रियाओं का ही उच्चारण कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, आपकी कक्षाएँ छोटी हो जाएँगी। आप बस बच्चे से कहें: "बाईस को ग्यारह से विभाजित किया जाता है, दो से विभाजित करने पर एक होता है,"- और उसे "एक" कार्ड दिखाओ।

इस विषय में आप उन समानताओं का उपयोग कर सकते हैं जिनके बीच किसी प्रकार का पैटर्न होता है।

उदाहरण के लिए:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

चार अंकगणितीय संक्रियाओं को एक समानता में जोड़ते समय, याद रखें कि गुणा और भाग को समानता की शुरुआत में रखा जाना चाहिए:

समानताएं प्रदर्शित करने से न डरें, उदाहरण के लिए, समानताएं सौ से अधिक हैं।

मध्यवर्ती परिणाम

42 * 3 - 36 = 90,

जहां इंटरमीडिएट का परिणाम 126 (42 * 3 = 126) है

आपका बच्चा उनके साथ बहुत अच्छा करेगा!

परीक्षण में दो में से एक उत्तर चुनने के साथ उदाहरणों को हल करना शामिल है। आप अपने बच्चे को उत्तर चुनने के लिए सभी समानता कार्ड और दो कार्ड दिखाकर, या सीधे कहें तो संपूर्ण समानता दिखाकर, अपने बच्चे को उत्तर के लिए केवल दो कार्ड दिखाकर एक उदाहरण प्रदर्शित कर सकते हैं।

याद करना! आप जितना अधिक समय तक अध्ययन करेंगे, उतनी ही तेजी से आपको नए विषयों का परिचय देना होगा। जैसे ही आप बच्चे की असावधानी या बोरियत के पहले लक्षण देखें, एक नए विषय पर आगे बढ़ें। थोड़ी देर के बाद, आप पिछले विषय पर लौट सकते हैं (लेकिन उन समानताओं से परिचित होने के लिए जो अभी तक नहीं दिखाई गई हैं)।

दृश्यों

अनुक्रम समान समानताएँ हैं। इस विषय पर माता-पिता के अनुभव से पता चला है कि बच्चों को अनुक्रम बहुत दिलचस्प लगते हैं।

प्लस सीक्वेंस बढ़ते हुए सीक्वेंस हैं। माइनस वाले अनुक्रम कम हो रहे हैं।

क्रम जितने अधिक विविध होंगे, शिशु के लिए वे उतने ही अधिक दिलचस्प होंगे।

यहां अनुक्रमों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

तकनीकीअनुक्रम दिखाना इस प्रकार हो सकता है. आपने प्लस के लिए तीन क्रम तैयार किए हैं।

बच्चे को पाठ के विषय की घोषणा करें, पहले अनुक्रम के कार्डों को एक के बाद एक फर्श पर रखें, उन्हें आवाज दें।

अपने बच्चे के साथ कमरे के दूसरे कोने में जाएँ और दूसरा क्रम भी इसी तरह से बिछाएँ।

कमरे के तीसरे कोने में आप तीसरे क्रम को आवाज देते हुए प्रस्तुत करें।

अनुक्रमों को एक दूसरे के नीचे भी रखा जा सकता है, जिससे उनके बीच अंतराल रह जाता है।

सरल से जटिल की ओर बढ़ते हुए हमेशा आगे बढ़ने का प्रयास करें। गतिविधियों में बदलाव करें: कभी-कभी आप जो दिखाते हैं उसे ज़ोर से कहें, और कभी-कभी चुपचाप कार्ड दिखाएं। किसी भी स्थिति में, बच्चा अनुक्रम को अपने सामने खुला हुआ देखता है।

प्रत्येक अनुक्रम के लिए, आपको कम से कम छह कार्डों का उपयोग करने की आवश्यकता है, कभी-कभी अधिक, ताकि बच्चे के लिए अनुक्रम के सिद्धांत को निर्धारित करना आसान हो सके।

जैसे ही आप बच्चे की आंखों में चमक देखें, तीन अनुक्रमों में एक उदाहरण जोड़ने का प्रयास करें (यानी उसके ज्ञान का परीक्षण करें)।

आप इस तरह का एक उदाहरण दिखाते हैं: पहले आप पूरा क्रम बनाते हैं, जैसा कि आप आमतौर पर करते हैं, और अंत में आप दो कार्ड उठाते हैं (एक कार्ड वह है जो अनुक्रम में अगला आता है, और दूसरा यादृच्छिक है) और पूछें बच्चा: "अगला कौन सा है?"

सबसे पहले, कार्डों को एक के बाद एक क्रम में बिछाएं, फिर आप लेआउट फॉर्म बदल सकते हैं: कार्डों को कमरे की परिधि के चारों ओर एक सर्कल में रखें, आदि।

जैसे-जैसे आप बेहतर और बेहतर होते जाते हैं, अपने अनुक्रमों में गुणा और भाग का उपयोग करने से न डरें।

अनुक्रमों के उदाहरण:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - इस क्रम में, प्रत्येक बाद की संख्या 2 से बढ़ जाती है;

2; 4; 7; 14; 17; 34 - इस क्रम में गुणा और जोड़ वैकल्पिक (x 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 - इस क्रम में, प्रत्येक बाद की संख्या 2 गुना बढ़ जाती है;

22; 18; 14; 10; 6; 2 - इस क्रम में, प्रत्येक बाद की संख्या 4 से कम हो जाती है;

84; 42; 40; 20; 18; 9 - इस क्रम में विभाजन और घटाव वैकल्पिक (: 2; - 2);

संकेत "इससे अधिक", "इससे कम"

ये कार्ड संख्याओं और चिह्नों के 110 कार्डों (अनास्ता पद्धति का दूसरा घटक) में शामिल हैं।

आपके बच्चे को "अधिक और कम" की अवधारणाओं से परिचित कराने के लिए पाठ बहुत छोटा होगा। आपको बस तीन कार्ड दिखाने होंगे।

प्रदर्शन तकनीक

फर्श पर बैठें और प्रत्येक कार्ड को बच्चे के सामने रखें ताकि वह तीनों कार्ड एक साथ देख सके। आप प्रत्येक कार्ड को नाम दें.

आप इसे इस तरह कह सकते हैं: "छह तीन से अधिक है"या "छह तीन से अधिक है।"

प्रत्येक पाठ में, आप अपने बच्चे को असमानताओं के तीन अलग-अलग संस्करण दिखाते हैं

कार्ड "अधिक" - "कम"। प्रति दिन असमानताएँ।

तो आप नौ अलग-अलग दिखा रहे हैं

पहले की तरह, आप प्रत्येक असमानता को केवल एक बार दिखाते हैं।

कुछ दिनों के बाद, आप तीन शो में एक उदाहरण जोड़ सकते हैं। पहले से ही इंतिहान,और यह ऐसे होता है:

पहले से तैयार किए गए कार्डों को फर्श पर रखें, उदाहरण के लिए, "68" नंबर वाला कार्ड और "अधिक" चिन्ह वाला कार्ड। अपने बच्चे से पूछें: “अड़सठ किस संख्या से बड़ा है?”या "अड़सठ वर्ष पचास से अधिक है या निन्यानवे?" अपने बच्चे को दो कार्डों में से वह कार्ड चुनने के लिए आमंत्रित करें जिसकी उसे आवश्यकता है। आप (या वह स्वयं) बच्चे द्वारा बताए गए सही कार्ड को "अधिक" चिह्न के बाद रखें।

आप बच्चे के सामने मात्राओं वाले दो कार्ड रख सकते हैं और उसे उस चिन्ह को चुनने का अवसर दे सकते हैं जो फिट बैठता है, अर्थात > या<.

समानताएं और असमानताएं

समानताएं और असमानताएं सिखाना उतना ही आसान है जितना "अधिक" और "कम" की अवधारणाएं।

आपको छह अंकगणितीय प्रतीक कार्डों की आवश्यकता होगी। आप उन्हें संख्याओं और चिह्नों के 110 कार्डों (अनास्ता पद्धति का दूसरा घटक) के हिस्से के रूप में भी पाएंगे।

प्रदर्शन तकनीक

आपने अपने बच्चे को निम्नलिखित दो असमानताएँ और एक समानता दिखाने का निर्णय लिया:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

आप उन्हें क्रम से फर्श पर रखें ताकि बच्चा उनमें से प्रत्येक को एक ही बार में देख सके। उसी समय, आप सब कुछ कहते हैं, उदाहरण के लिए: "आठ घटा छह दस घटा सात के बराबर नहीं है।"

इसी प्रकार आप शेष समानता और असमानता का उच्चारण करते समय करते हैं।

इस विषय को पढ़ाने के प्रारंभिक चरण में, सभी कार्ड तैयार कर लिए जाते हैं।

तब आप केवल "बराबर" और "बराबर नहीं" कार्ड दिखा सकते हैं।

एक दिन आप अपने बच्चे को अपना ज्ञान दिखाने का अवसर दें। आप मात्राओं के साथ कार्ड बिछाएं, और उससे यह चुनने के लिए कहें कि कौन सा कार्ड किस चिह्न के साथ रखा जाना चाहिए: "बराबर" या "बराबर नहीं।"

इससे पहले कि आप अपने बच्चे के साथ बीजगणित सीखना शुरू करें, आपको उसे एक अक्षर द्वारा दर्शाए गए चर की अवधारणा से परिचित कराना होगा।

अक्षर x आमतौर पर गणित में उपयोग किया जाता है, लेकिन चूंकि इसे आसानी से गुणन चिह्न के साथ भ्रमित किया जा सकता है, इसलिए इसे y का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है।

आप पहले पांच डोमिनो मोतियों वाला एक कार्ड रखें, फिर एक प्लस चिन्ह (+), उसके बाद एक वाई चिन्ह, फिर एक बराबर चिन्ह और अंत में सात डोमिनो मोतियों वाला एक कार्ड रखें। फिर आप प्रश्न पूछें: "आपका यहाँ क्या मतलब है?"

और आप स्वयं इसका उत्तर देते हैं: "इस समीकरण में इसका अर्थ दो है।"

इंतिहान:

इस स्तर पर लगभग एक से डेढ़ सप्ताह की कक्षाओं के बाद, आप अपने बच्चे को उत्तर चुनने का अवसर दे सकते हैं।

संख्याओं और मात्राओं के साथ समानता का चौथा चरण

जब आप संख्या 1 से 20 तक पढ़ चुके हों, तो यह संख्याओं और मात्राओं के बीच "पुल बनाने" का समय है। इसे करने के कई तरीके हैं। सबसे सरल में से एक समानता और असमानताओं का उपयोग है, "अधिक" और "कम" के रिश्ते, संख्याओं और डोमिनोज़ वाले कार्ड का उपयोग करके प्रदर्शित किए जाते हैं।

प्रदर्शन तकनीक.

12 नंबर वाला एक कार्ड लें, इसे फर्श पर रखें, फिर उसके बगल में "इससे बड़ा" चिन्ह रखें, और फिर 10 नंबर वाला एक कार्ड रखें, साथ ही यह भी कहें: "बारह दस से अधिक है।"

असमानताएँ (समानताएँ) इस तरह दिख सकती हैं:

प्रत्येक (समानता) दिन में तीन पाठ होते हैं, और प्रत्येक पाठ में मात्राओं और संख्याओं में तीन असमानताएँ होती हैं। दैनिक समानताओं की कुल संख्या नौ होगी। साथ ही, आप पांच-पांच कार्डों के दो सेटों का उपयोग करके संख्याओं का अध्ययन करना जारी रखते हैं, वह भी दिन में तीन बार।

इंतिहान।

आप अपने बच्चे को "इससे अधिक", "इससे कम", "बराबर" कार्ड चुनने का अवसर दे सकते हैं या एक उदाहरण इस तरह बना सकते हैं कि बच्चा इसे स्वयं समाप्त कर सके। उदाहरण के लिए, हम एक नंबर कार्ड 7 रखते हैं, फिर "इससे बड़ा" चिह्न लगाते हैं और बच्चे को उदाहरण पूरा करने का अवसर देते हैं, यानी, एक नंबर कार्ड चुनते हैं, उदाहरण के लिए, 9 या एक नंबर कार्ड, उदाहरण के लिए, 5।

जब बच्चा मात्राओं और संख्याओं के बीच संबंध को समझ जाए, तो आप संख्याओं और मात्राओं दोनों वाले कार्ड का उपयोग करके समानता को हल करना शुरू कर सकते हैं।

संख्याओं और मात्राओं के साथ समानताएँ।

संख्याओं और मात्राओं वाले कार्डों का उपयोग करके, आप पहले से ही परिचित विषयों से गुजरते हैं: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, अनुक्रम, समानताएं और असमानताएं, भिन्न, समीकरण, दो या दो से अधिक संक्रियाओं में समानताएं।

यदि आप अनुमानित गणित शिक्षण योजना (पृ. 20) को ध्यान से देखें, तो आप देखेंगे कि पाठों का कोई अंत नहीं है। बच्चे की मानसिक गिनती विकसित करने के लिए अपने स्वयं के उदाहरण बनाएं, वास्तविक वस्तुओं (मेवे, मेहमानों के लिए चम्मच, कटे हुए केले के टुकड़े, ब्रेड, आदि) के साथ मात्राओं को सहसंबंधित करें - एक शब्द में, साहस करें, बनाएं, आविष्कार करें, प्रयास करें! और आप सफल होंगे!

"समानता" एक ऐसा विषय है जिसे छात्रों को प्राथमिक विद्यालय से ही पढ़ाया जाता है। यह "असमानताओं" के साथ-साथ चलता है। ये दोनों अवधारणाएँ आपस में घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई हैं। इसके अलावा, वे समीकरण और पहचान जैसे शब्दों से जुड़े हुए हैं। तो समानता क्या है?

समानता की अवधारणा

यह शब्द उन कथनों को संदर्भित करता है जिनमें "=" चिह्न होता है। समानताएँ सत्य और असत्य में विभाजित हैं। यदि प्रविष्टि में = के स्थान पर है<, >, तो हम असमानताओं के बारे में बात कर रहे हैं। वैसे, समानता का पहला संकेत यह दर्शाता है कि अभिव्यक्ति के दोनों भाग अपने परिणाम या रिकॉर्ड में समान हैं।

समानता की अवधारणा के अलावा, स्कूल "संख्यात्मक समानता" विषय का भी अध्ययन करता है। यह कथन दो संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को संदर्भित करता है जो = चिह्न के दोनों ओर स्थित हैं। उदाहरण के लिए, 2*5+7=17. रिकार्ड के दोनों भाग एक दूसरे के बराबर हैं।

इस प्रकार की संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ कोष्ठक का उपयोग कर सकती हैं जो संचालन के क्रम को प्रभावित करती हैं। तो, 4 नियम हैं जिन्हें संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के परिणामों की गणना करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए।

1. यदि प्रविष्टि में कोई कोष्ठक नहीं हैं, तो कार्रवाई उच्चतम स्तर से की जाती है: III→II→I। यदि एक ही श्रेणी की अनेक क्रियाएँ हों तो वे बाएँ से दाएँ की ओर की जाती हैं।
2. यदि प्रविष्टि में कोष्ठक हैं, तो कार्रवाई कोष्ठक में और फिर चरणों में की जाती है। कोष्ठक में कई क्रियाएँ हो सकती हैं।
3. यदि अभिव्यक्ति को भिन्न के रूप में प्रस्तुत किया गया है, तो आपको पहले अंश की गणना करनी होगी, फिर हर की, फिर अंश को हर से विभाजित करना होगा।
4. यदि किसी रिकॉर्ड में नेस्टेड कोष्ठक हैं, तो आंतरिक कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मूल्यांकन पहले किया जाता है।

तो, अब यह स्पष्ट है कि समानता क्या है। भविष्य में, समीकरणों की अवधारणाओं, सर्वसमिकाओं और उनकी गणना के तरीकों पर विचार किया जाएगा।

संख्यात्मक समानता के गुण

समानता क्या है? इस अवधारणा का अध्ययन करने के लिए संख्यात्मक पहचान के गुणों के ज्ञान की आवश्यकता होती है। नीचे दिए गए पाठ सूत्र आपको इस विषय का बेहतर अध्ययन करने की अनुमति देते हैं। बेशक, ये गुण हाई स्कूल में गणित का अध्ययन करने के लिए अधिक उपयुक्त हैं।

1. मौजूदा अभिव्यक्ति के दोनों भागों में समान संख्या जोड़ने पर संख्यात्मक समानता का उल्लंघन नहीं होगा।

ए = बी↔ ए + 5 = बी + 5

2. यदि समीकरण के दोनों भागों को शून्य से भिन्न एक ही संख्या या व्यंजक से गुणा या भाग दिया जाए तो समीकरण का उल्लंघन नहीं होगा।

पी = ओ↔ पी ∙ 5 = ओ ∙ 5

पी = ओ↔ पी: 5 = ओ: 5

3. पहचान के दोनों पक्षों में समान फ़ंक्शन जोड़कर, जो चर के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए समझ में आता है, हम एक नई समानता प्राप्त करते हैं जो मूल के बराबर है।

एफ(एक्स) = Ψ(एक्स) ↔ एफ(एक्स) + आर(एक्स) =Ψ (एक्स) + आर(एक्स)

4. किसी भी पद या अभिव्यक्ति को समान चिह्न के दूसरी ओर ले जाया जा सकता है, लेकिन चिह्न उलटे होने चाहिए।

एक्स + 5 = वाई - 20 ↔ एक्स = वाई - 20 - 5 ↔ एक्स = वाई - 25

5. समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही फ़ंक्शन से गुणा या विभाजित करके, जो शून्य से भिन्न है और ODZ से X के प्रत्येक मान के लिए अर्थ रखता है, हमें एक नया समीकरण प्राप्त होता है जो मूल समीकरण के बराबर होता है।

एफ(एक्स) = Ψ(एक्स)↔ एफ(एक्स)∙आर(एक्स) = Ψ(एक्स)∙आर(एक्स)

एफ(एक्स) = Ψ(एक्स)↔ एफ(एक्स) : जी(एक्स) = Ψ(एक्स) : जी(एक्स)

उपरोक्त नियम स्पष्ट रूप से समानता के सिद्धांत को इंगित करते हैं, जो कुछ शर्तों के तहत मौजूद है।

अनुपात की अवधारणा

गणित में संबंधों की समानता जैसी कोई चीज़ होती है। इस मामले में, अनुपात की परिभाषा निहित है. यदि आप A को B से विभाजित करते हैं, तो परिणाम संख्या A और संख्या B का अनुपात होगा। अनुपात दो अनुपातों की समानता है:

कभी-कभी अनुपात इस प्रकार लिखा जाता है: ए:बी=सी:डी।इसका तात्पर्य अनुपात की मूल संपत्ति से है: ए*डी=डी*सी, जहां ए और डी अनुपात के चरम पद हैं, और बी और सी औसत हैं।

पहचान

एक पहचान एक समानता है जो कार्य में शामिल चर के सभी अनुमेय मूल्यों के लिए सत्य होगी। पहचानों को शाब्दिक या संख्यात्मक समानता के रूप में दर्शाया जा सकता है।

वे अभिव्यक्तियाँ जिनमें समानता के दोनों पक्षों पर एक अज्ञात चर होता है जो एक पूर्णांक के दो भागों को बराबर कर सकता है, समान रूप से समान कहलाते हैं।

यदि आप एक अभिव्यक्ति को दूसरे के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, जो इसके बराबर होगी, तो हम एक समान परिवर्तन के बारे में बात कर रहे हैं। इस मामले में, आप संक्षिप्त गुणन सूत्रों, अंकगणित के नियमों और अन्य सर्वसमिकाओं का उपयोग कर सकते हैं।

भिन्न को कम करने के लिए, आपको समान परिवर्तन करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, एक अंश दिया गया है। परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको संक्षिप्त गुणन सूत्रों, गुणनखंडन, व्यंजकों को सरल बनाने और भिन्नों को कम करने का उपयोग करना चाहिए।

यह विचार करने योग्य है कि यह अभिव्यक्ति तब समरूप होगी जब हर 3 के बराबर न हो।

पहचान साबित करने के 5 तरीके

पहचान समानता को साबित करने के लिए, आपको अभिव्यक्तियों को बदलने की आवश्यकता है।

विधि I

बाईं ओर समतुल्य परिवर्तन करना आवश्यक है। परिणाम दाहिनी ओर है, और हम कह सकते हैं कि पहचान सिद्ध हो गई है।

द्वितीय विधि

सभी अभिव्यक्ति परिवर्तन क्रियाएँ दाईं ओर होती हैं। किए गए जोड़तोड़ का परिणाम बाईं ओर है। यदि दोनों भाग एक समान हों तो पहचान सिद्ध हो जाती है।

तृतीय विधि

अभिव्यक्ति के दोनों भागों में "परिवर्तन" होते हैं। यदि परिणाम दो समान भाग हैं, तो पहचान सिद्ध हो जाती है।

चतुर्थ विधि

दाएँ पक्ष को बाएँ पक्ष से घटा दिया गया है। समतुल्य परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, परिणाम शून्य होना चाहिए। तब हम अभिव्यक्ति की पहचान के बारे में बात कर सकते हैं।

वी विधि

बायीं ओर को दायीं ओर से घटा दिया गया है। सभी समतुल्य परिवर्तनों को यह सुनिश्चित करने के लिए कम कर दिया गया है कि उत्तर में शून्य है। केवल इस मामले में ही हम समानता की पहचान के बारे में बात कर सकते हैं।

पहचान के मूल गुण

गणित में, समानता के गुणों का उपयोग अक्सर गणना प्रक्रिया को तेज़ करने के लिए किया जाता है। बुनियादी बीजगणितीय सर्वसमिकाओं के लिए धन्यवाद, कुछ अभिव्यक्तियों की गणना करने की प्रक्रिया में लंबे घंटों के बजाय कुछ मिनटों का समय लगेगा।

• एक्स + वाई = वाई + एक्स
• एक्स + (वाई + सी) = (एक्स + वाई) + सी
• एक्स + 0 = एक्स
• एक्स + (-एक्स) = 0
• एक्स ∙ (वाई + सी) = एक्स∙वाई + एक्स∙सी
• एक्स ∙ (वाई - सी) = एक्स ∙ वाई - एक्स ∙ सी
• (एक्स + वाई) ∙ (सी + ई) = एक्स∙सी + एक्स∙ई + वाई∙सी + वाई∙ई
• एक्स + (वाई + सी) = एक्स + वाई + सी
• एक्स + (वाई - सी) = एक्स + वाई - सी
• एक्स - (वाई + सी) = एक्स - वाई - सी
• एक्स - (वाई - सी) = एक्स - वाई + सी
• एक्स ∙ वाई = वाई ∙ एक्स
• एक्स ∙ (वाई ∙ सी) = (एक्स ∙ वाई) ∙ सी
• एक्स ∙ 1 = एक्स
• एक्स ∙ 1/एक्स = 1, जहां एक्स ≠ 0

संक्षिप्त गुणन सूत्र

उनके मूल में, संक्षिप्त गुणन सूत्र समानताएं हैं। वे अपनी सरलता और उपयोग में आसानी के कारण गणित की कई समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं।

• (ए + बी) 2 = ए 2 + 2∙ए∙बी + बी 2 - संख्याओं के जोड़े के योग का वर्ग;

• (ए - बी) 2 = ए 2 - 2∙ए∙बी + बी 2 - संख्याओं के एक जोड़े का वर्ग अंतर;

• (सी + बी) ∙ (सी - बी) = सी 2 - बी 2 - वर्गों का अंतर;

• (ए + बी) 3 = ए 3 + 3∙ए 2 ∙बी + 3∙ए∙बी 2 + बी 3 - योग का घन;

• (ए - बी) 3 = ए 3 - 3∙ए 2 ∙बी + 3∙ए∙बी 2 - बी 3 - अंतर का घन;

• (पी + बी) ∙ (पी 2 - पी∙बी + बी 2) = पी 3 + बी 3 - घनों का योग;

• (पी - बी) ∙ (पी 2 + पी∙बी + बी 2) = पी 3 - बी 3 - घनों का अंतर।

यदि किसी बहुपद को उसके सामान्य रूप में लाना, उसे सभी संभव तरीकों से सरल बनाना आवश्यक हो तो संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अक्सर उपयोग किया जाता है। प्रस्तुत सूत्रों को सिद्ध करना आसान है: बस कोष्ठक खोलें और समान शब्द जोड़ें।

समीकरण

समानता क्या है, इस प्रश्न का अध्ययन करने के बाद, आप अगले बिंदु पर आगे बढ़ सकते हैं: एक समीकरण को एक समानता के रूप में समझा जाता है जिसमें अज्ञात मात्राएँ मौजूद होती हैं। किसी समीकरण को हल करना एक चर के सभी मानों को इस प्रकार ज्ञात करना है कि संपूर्ण अभिव्यक्ति के दोनों पक्ष समान हों। ऐसे कार्य भी हैं जिनमें किसी समीकरण का समाधान खोजना असंभव है। इस मामले में वे कहते हैं कि जड़ें नहीं हैं.

एक नियम के रूप में, अज्ञात के साथ समानताएं समाधान के रूप में पूर्णांक उत्पन्न करती हैं। हालाँकि, ऐसे मामले भी हो सकते हैं जहां रूट एक वेक्टर, फ़ंक्शन या अन्य ऑब्जेक्ट है।

गणित में समीकरण सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। अधिकांश वैज्ञानिक और व्यावहारिक समस्याएँ किसी भी मात्रा को मापने या गणना करने की अनुमति नहीं देती हैं। इसलिए, एक ऐसा अनुपात बनाना आवश्यक है जो कार्य की सभी शर्तों को पूरा करेगा। ऐसे संबंध को संकलित करने की प्रक्रिया में, एक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली प्रकट होती है।

आमतौर पर, किसी अज्ञात के साथ समानता को हल करना एक जटिल समीकरण को बदलने और इसे सरल रूपों में कम करने के लिए आता है। यह याद रखना चाहिए कि परिवर्तन दोनों तरफ से किए जाने चाहिए, अन्यथा आउटपुट गलत होगा।

किसी समीकरण को हल करने के 4 तरीके

किसी समीकरण को हल करने से हमारा तात्पर्य किसी दी गई समानता को दूसरी समानता से प्रतिस्थापित करना है, जो पहली के बराबर है। इस तरह के प्रतिस्थापन को पहचान परिवर्तन के रूप में जाना जाता है। समीकरण को हल करने के लिए, आपको किसी एक विधि का उपयोग करना होगा।

1. एक अभिव्यक्ति को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो आवश्यक रूप से पहले के समान होगा। उदाहरण: (3∙x+3) 2 =15∙x+10. इस अभिव्यक्ति को 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10 में परिवर्तित किया जा सकता है।

2. अज्ञात के साथ समानता की शर्तों का एक पक्ष से दूसरे पक्ष में स्थानांतरण। ऐसे में संकेतों को सही ढंग से बदलना जरूरी है. जरा सी गलती सारे किये बनाये काम बर्बाद कर देगी. आइए पिछले "नमूना" को एक उदाहरण के रूप में लें।

9∙x 2 + 12∙x + 4 = 15∙x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. किसी समानता के दोनों पक्षों को एक समान संख्या या अभिव्यक्ति से गुणा करना जो 0 के बराबर नहीं है। हालांकि, यह याद रखने योग्य है कि यदि नया समीकरण परिवर्तनों से पहले समानता के बराबर नहीं है, तो जड़ों की संख्या महत्वपूर्ण रूप से बदल सकती है।

4. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग निकालना। यह विधि अत्यंत अद्भुत है, विशेषकर तब जब समानता में अतार्किक अभिव्यक्तियाँ हों, अर्थात् इसके अंतर्गत अभिव्यक्ति हो। यहां एक बारीकियां है: यदि आप समीकरण को एक समान शक्ति तक बढ़ाते हैं, तो बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं जो कार्य के सार को विकृत कर देंगी। और यदि आप मूल को गलत तरीके से निकालते हैं, तो समस्या में प्रश्न का अर्थ स्पष्ट नहीं होगा। उदाहरण: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 और 2) - 7∙х = 35 → समीकरण सही ढंग से हल हो जाएगा।

इसलिए, इस लेख में समीकरण और सर्वसमिका जैसे शब्दों का उल्लेख किया गया है। वे सभी "समानता" की अवधारणा से आते हैं। विभिन्न प्रकार के समतुल्य भावों की बदौलत कुछ समस्याओं का समाधान बहुत आसान हो जाता है।

"=" चिह्न से जुड़े दो संख्यात्मक गणितीय अभिव्यक्तियों को समानता कहा जाता है।

उदाहरण के लिए: 3 + 7 = 10 - समानता।

समानता सत्य या असत्य हो सकती है।

किसी भी उदाहरण को हल करने का उद्देश्य उस अभिव्यक्ति का एक मूल्य ढूंढना है जो इसे वास्तविक समानता में बदल देता है।

सच्ची और झूठी समानता के बारे में विचार बनाने के लिए, पहली कक्षा की पाठ्यपुस्तक में विंडो वाले उदाहरणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए:

चयन विधि का उपयोग करके, बच्चा उपयुक्त संख्याएँ ढूँढता है और गणना द्वारा समानता की सटीकता की जाँच करता है।

संख्याओं की तुलना करने और तुलना संकेतों का उपयोग करके उनके बीच संबंधों को इंगित करने की प्रक्रिया असमानताओं को जन्म देती है।

उदाहरण के लिए: 5< 7; б >4 - संख्यात्मक असमानताएँ

असमानताएँ सत्य या असत्य भी हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए:

चयन विधि का उपयोग करके, बच्चा उपयुक्त संख्याएँ ढूँढता है और असमानता की सटीकता की जाँच करता है।

संख्यात्मक असमानताएँ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों और संख्याओं की तुलना करके प्राप्त की जाती हैं।

उदाहरण के लिए:

तुलनात्मक चिह्न चुनते समय, बच्चा अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करता है और इसकी तुलना किसी दिए गए नंबर से करता है, जो संबंधित चिह्न की पसंद में परिलक्षित होता है:

10-2>7 5+के7 7 + 3>9 6-3 = 3

तुलना चिह्न का चयन करने का एक और तरीका संभव है - अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना के संदर्भ के बिना।

नैपिमेप:

संख्या 7 और 2 का योग स्पष्ट रूप से संख्या 7 से अधिक होगा, जिसका अर्थ है 7 + 2 > 7.

संख्या 10 और 3 के बीच का अंतर स्पष्ट रूप से संख्या 10 से कम होगा, जिसका अर्थ है 10 - 3< 10.

संख्यात्मक असमानताएँ दो संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की तुलना करके प्राप्त की जाती हैं।

दो अभिव्यक्तियों की तुलना करने का अर्थ है उनके अर्थों की तुलना करना। उदाहरण के लिए:

तुलनात्मक चिह्न चुनते समय, बच्चा भावों के अर्थों की गणना करता है और उनकी तुलना करता है, जो संबंधित चिह्न के चयन में परिलक्षित होता है:

तुलना चिह्न का चयन करने का एक और तरीका संभव है - अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना के संदर्भ के बिना। उदाहरण के लिए:

तुलना चिह्न सेट करने के लिए, आप निम्नलिखित तर्क अपना सकते हैं:

संख्या 6 और 4 का योग संख्या 6 और 3 के योग से अधिक है, क्योंकि 4 > 3, जिसका अर्थ है 6 + 4 > 6 + 3।

संख्या 7 और 5 के बीच का अंतर संख्या 7 और 3 के बीच के अंतर से कम है, क्योंकि 5 > 3, जिसका अर्थ है 7 - 5< 7 - 3.

90 और 5 का भागफल 90 और 10 के भागफल से बड़ा होता है, क्योंकि एक ही संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करने पर भागफल छोटा होता है, जिसका अर्थ है 90:5 > 90:10।

सच्ची और झूठी समानताओं और असमानताओं के बारे में विचार बनाने के लिए, पाठ्यपुस्तक का नया संस्करण (2001) इस प्रकार के कार्यों का उपयोग करता है:

जाँच करने के लिए भावों के अर्थ की गणना करने और परिणामी संख्याओं की तुलना करने की विधि का उपयोग किया जाता है।

स्थिर गणित पाठ्यपुस्तक के नवीनतम संस्करणों में चर के साथ असमानताओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि वे पहले के संस्करणों में मौजूद थे। वैकल्पिक गणित पाठ्यपुस्तकों में चर वाली असमानताओं का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। ये प्रपत्र की असमानताएँ हैं:

 + 7 < 10; 5 -  >2;  > 0;  >ओ

किसी अज्ञात संख्या को दर्शाने के लिए एक अक्षर प्रस्तुत करने के बाद, ऐसी असमानताएँ एक चर के साथ असमानताओं का परिचित रूप ले लेती हैं:

ए + 7>10; 12-डी<7.

ऐसी असमानताओं में अज्ञात संख्याओं का मान चयन द्वारा पाया जाता है, और फिर प्रत्येक चयनित संख्या को प्रतिस्थापन द्वारा जाँचा जाता है। इन असमानताओं की ख़ासियत यह है कि कई संख्याएँ चुनी जा सकती हैं जो उनमें फिट बैठती हैं (सही असमानता देते हुए)।

उदाहरण के लिए: ए + 7 > 10; ए = 4, ए = 5, ए = 6, आदि - अक्षर ए के लिए मूल्यों की संख्या अनंत है, कोई भी संख्या ए > 3 इस असमानता के लिए उपयुक्त है; 12 - डी< 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.

किसी असमानता के समाधानों की अनंत संख्या या बड़ी संख्या में समाधानों के मामले में, बच्चा उस चर के कई मानों का चयन करने तक सीमित है जिसके लिए असमानता सत्य है।

कक्षा: 3

पाठ के लिए प्रस्तुति

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ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस कार्य में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

पाठ का प्रकार:नये ज्ञान की खोज.

तकनीकी:पढ़ने और लिखने के माध्यम से आलोचनात्मक सोच विकसित करने की तकनीक, गेमिंग तकनीक।

लक्ष्य:समानता और असमानताओं के बारे में छात्रों के ज्ञान का विस्तार करना, सच्ची और झूठी समानता और असमानताओं की अवधारणा को पेश करना।

उपदेशात्मक कार्य:नई सामग्री का अध्ययन करने के लिए छात्रों की संयुक्त, स्वतंत्र गतिविधियों का आयोजन करें।

पाठ मकसद:

1. विषय:
   • समानता और असमानता के लक्षण बता सकेंगे; समानताओं और असमानताओं के बारे में छात्रों की समझ का विस्तार करना;
   • सच्ची और झूठी समानता और असमानता की अवधारणा का परिचय दे सकेंगे;
   • किसी चर वाले व्यंजक का मान ज्ञात करने का कौशल विकसित करना;
   • कंप्यूटिंग कौशल का गठन.
2. मेटासब्जेक्ट:
   1. संज्ञानात्मक:
      • ध्यान, स्मृति, सोच के विकास को बढ़ावा देना;
      • जानकारी निकालने, किसी की ज्ञान प्रणाली को नेविगेट करने और नए ज्ञान की आवश्यकता को पहचानने की क्षमता विकसित करना;
      • सामग्री को चुनने और व्यवस्थित करने की तकनीक में महारत हासिल करना, मिलान करने और तुलना करने की क्षमता, और जानकारी को (आरेख, तालिका में) परिवर्तित करना।
   2. नियामक:
      • दृश्य धारणा का विकास;
      • छात्रों में आत्म-नियंत्रण और आत्म-सम्मान के निर्माण पर काम जारी रखें;
   3. संचारी:
      • जोड़े में बच्चों की बातचीत का निरीक्षण करें और आवश्यक समायोजन करें;
      • आपसी सहायता को बढ़ावा देना.
3. निजी:
   • कक्षा में स्टार बोर्ड इंटरैक्टिव स्कूल बोर्ड का उपयोग करके छात्रों की सीखने की प्रेरणा बढ़ाना;
   • स्टार बोर्ड के साथ काम करने में कौशल में सुधार।

उपकरण:

• पाठ्यपुस्तक "गणित" तीसरी कक्षा, भाग 2 (एल.जी. पीटरसन);
• व्यक्ति हैंडआउट शीट ;
• जोड़े में काम करने के लिए कार्ड;
• स्टार बोर्ड पैनल पर प्रदर्शित पाठ के लिए प्रस्तुति;
• कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्टार बोर्ड।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

और इसलिए, दोस्तों, ध्यान दें।
आख़िर घंटी बजी
आराम से बैठो
आइए जल्द ही पाठ शुरू करें!

द्वितीय. मौखिक गिनती.

– आज हम आपके साथ घूमने चलेंगे. कविता सुनने के बाद आप परिचारिका का नाम बता सकेंगे. (एक छात्र की कविता पढ़ते हुए)

सदियों से गणित को महिमा से आच्छादित किया गया है,
सभी सांसारिक प्रकाशकों का प्रकाशमान।
उसकी राजसी रानी
इसमें कोई आश्चर्य नहीं कि गॉस ने इसे यह नाम दिया।
हम मानव मन की प्रशंसा करते हैं,
उसके जादुई हाथों की कृतियाँ,
इस सदी की आशा,
सभी सांसारिक विज्ञानों की रानी।

- और इसलिए, गणित हमारा इंतजार कर रहा है। उसके राज्य में कई रियासतें हैं, लेकिन आज हम उनमें से एक का दौरा करेंगे (स्लाइड 4)

– आप उदाहरणों को हल करके और उत्तरों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करके रियासत का नाम पता लगा लेंगे। ( कथन)

7200: 90 = 80	साथ		280: 70 = 4	और
5400: 9 = 600	वाई		3500: 70 = 50	जेड
2700: 300 = 9	में		4900: 700 = 7	ए
4800: 80 = 60	ए		1600: 40 = 40	वाई
560: 8 = 70	को		1800: 600 = 3	इ
4200: 6 = 700	में		350: 70 = 5	एन

- आइए याद करें कि एक बयान क्या है? ( कथन)

– कथन क्या हो सकता है? (सही या गलत)

– आज हम गणितीय कथनों के साथ काम करेंगे। इसका अर्थ क्या है? (अभिव्यक्ति, समानताएं, असमानताएं, समीकरण)

तृतीय. चरण 1. चुनौती. नई चीजें सीखने की तैयारी.

(स्लाइड 5 नोट देखें)

- प्रिंसेस सेइंग आपको पहला परीक्षण प्रदान करती है।

- आपके सामने कार्ड हैं। एक अतिरिक्त कार्ड ढूंढें और उसे दिखाएं (ए + 6 - 45 * 2)।

- वह फालतू क्यों है? (अभिव्यक्ति)

– क्या अभिव्यक्ति पूर्ण कथन है? (नहीं, ऐसा नहीं है, क्योंकि इसे तार्किक निष्कर्ष तक नहीं लाया गया है)

– समानता और असमानता क्या हैं? क्या इन्हें कथन कहा जा सकता है?

– सही समानताओं का नाम बताएं.

– सच्ची समानता का दूसरा नाम क्या है? ( सत्य)

- काफ़िरों के बारे में क्या? (असत्य)

– कौन से समीकरण सत्य नहीं कहे जा सकते? ( चर के साथ)

-गणित हमें लगातार अपने कथनों को सत्य या असत्य सिद्ध करना सिखाता है।

चतुर्थ. पाठ के उद्देश्य के बारे में बताएं.

- और आज हमें सीखना चाहिए कि समानता और असमानता क्या हैं और उनकी सच्चाई और झूठ का निर्धारण करना सीखना चाहिए।

- यहां आपके सामने बयान हैं। इन्हें ध्यान से पढ़ें. यदि आपको लगता है कि यह सही है, तो पहले कॉलम में "+" डालें; यदि नहीं, तो "-" डालें।

	पढ़ने से पहले	पढ़ने के बाद
समानताएँ दो अभिव्यक्तियाँ हैं जो चिन्ह "=" से जुड़ी हैं
अभिव्यक्तियाँ संख्यात्मक या वर्णानुक्रमिक हो सकती हैं।
यदि दो अभिव्यक्तियाँ संख्यात्मक हैं, तो समानता एक प्रस्ताव है।
संख्यात्मक समानताएँ सत्य या असत्य हो सकती हैं।
6 * 3 = 18 - सही संख्यात्मक समानता
16: 3 = 8 - गलत संख्यात्मक समानता
">" या "से जुड़े दो भाव<» - неравенство.
संख्यात्मक असमानताएँ प्रस्ताव हैं।

आपकी धारणा के औचित्य के साथ सामूहिक सत्यापन।

वी. चरण 2. प्रतिबिंब. नई चीजें सीखें।

- हम कैसे जांच सकते हैं कि हमारी धारणाएं सही हैं या नहीं?

(पाठ्यपुस्तक पृष्ठ 74.)

– समानता क्या है?

– असमानता क्या है?

- हमने राजकुमारी कहने का कार्य पूरा कर लिया है, और पुरस्कार के रूप में वह हमें छुट्टियों पर आमंत्रित करती है।

VI. शारीरिक शिक्षा मिनट.

सातवीं. चरण 3. प्रतिबिंब-प्रतिबिंब

1. पी. 75.5 (प्रदर्शित) (स्लाइड 8)

– कार्य पढ़ें, क्या करने की आवश्यकता है?

8 + 12 = 20		ए > बी
8 + 12 + 20		ए - बी
8 + 12 > 20		ए + बी = सी
20 = 8 + 12		ए + बी * सी

– आपने कितनी समानताओं पर जोर दिया? की जाँच करें।

– कितनी असमानताएँ?

– आपको कार्य पूरा करने में किस बात ने मदद की? (चिह्न "=", ">", "<»)

– वहाँ रेखांकित प्रविष्टियाँ क्यों थीं? (अभिव्यक्ति)

2. खेल "मौन" (स्लाइड 9)

(छात्र समानताएं पतली पट्टियों पर लिखते हैं और शिक्षक को दिखाते हैं, फिर स्वयं जांचते हैं)।

कथन को समानता के रूप में लिखें:

• 5, 3 बटा 2 से अधिक है (5 - 3 = 2)
• 12, 2 से 6 गुना बड़ा है (12:2 = 6)
• x, y से 3 कम है (y – x = 3)

3. समीकरण हल करना (स्लाइड 10)

– हमारे सामने क्या है? (समीकरण, समानता)

- क्या हम बता सकते हैं कि वे सच हैं या झूठ? (नहीं, एक चर है)

– कैसे पता करें कि किसी चर के किस मान पर समानताएँ सत्य हैं? (तय करना)

• 1 कॉलम - 1 कॉलम
• स्तम्भ 2 - स्तम्भ 2
• 3 कॉलम - 3 कॉलम

नोटबुक का आदान-प्रदान करें और अपने मित्र के काम की जाँच करें। इसे रेट करें।

आठवीं. पाठ सारांश.

– आज हमने किन अवधारणाओं के साथ काम किया?

– किस प्रकार की समानता हो सकती है? (झूठा या सच)

- क्या आपको लगता है कि केवल गणित के पाठों में ही हमें झूठे कथनों को सच्चे कथनों से अलग करने में सक्षम होने की आवश्यकता है? (एक व्यक्ति को अपने जीवन में बहुत सी अलग-अलग सूचनाओं का सामना करना पड़ता है, और व्यक्ति को सत्य को असत्य से अलग करने में सक्षम होना चाहिए)।

नौवीं. विद्यार्थियों के कार्य का मूल्यांकन करना और ग्रेड प्रदान करना।

– रानी गणित हमें किस बात के लिए धन्यवाद दे सकती है?

टिप्पणी। यदि शिक्षक स्टार बोर्ड का उपयोग कर रहा है, तो इस स्लाइड को बोर्ड पर टाइप किए गए कार्ड से बदल दिया जाता है। जाँच करते समय, छात्र बोर्ड पर काम करते हैं।

यह आलेख उन जानकारियों को एक साथ लाता है जो गणित के संदर्भ में समानता के विचार को आकार देती हैं। यहां हम जानेंगे कि गणितीय दृष्टिकोण से समानता क्या है और वे क्या हैं। आइए समानता और समान चिह्न लिखने के बारे में भी बात करें। अंत में, हम समानता के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं और स्पष्टता के लिए उदाहरण देते हैं।

पेज नेविगेशन.

समानता क्या है?

समानता की अवधारणा तुलना के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई है - समान विशेषताओं की पहचान करने के लिए गुणों और विशेषताओं की तुलना। और तुलना, बदले में, दो वस्तुओं या वस्तुओं की उपस्थिति मानती है, जिनमें से एक की तुलना दूसरे से की जाती है। जब तक, निश्चित रूप से, आप किसी वस्तु की तुलना स्वयं से नहीं करते हैं, और तब इसे दो वस्तुओं की तुलना करने का एक विशेष मामला माना जा सकता है: वस्तु स्वयं और उसकी "सटीक प्रतिलिपि"।

उपरोक्त तर्क से यह स्पष्ट है कि समानता कम से कम दो वस्तुओं की उपस्थिति के बिना मौजूद नहीं हो सकती है, अन्यथा हमारे पास तुलना करने के लिए कुछ भी नहीं होगा। यह स्पष्ट है कि आप तुलना के लिए तीन, चार या अधिक वस्तुएँ ले सकते हैं। लेकिन यह स्वाभाविक रूप से इन वस्तुओं से बने सभी संभावित जोड़ों की तुलना करने के लिए नीचे आता है। दूसरे शब्दों में, यह दो वस्तुओं की तुलना करने तक सीमित है। अतः समानता के लिए दो वस्तुओं की आवश्यकता होती है।

सबसे सामान्य अर्थ में समानता की अवधारणा का सार "समान" शब्द द्वारा सबसे स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है। यदि हम दो समान वस्तुएँ लें तो हम उनके बारे में कह सकते हैं कि वे बराबर. उदाहरण के तौर पर, हम दो समान वर्ग देते हैं और। बदले में, विभिन्न वस्तुओं को कहा जाता है असमान.

समानता की अवधारणा समग्र रूप से वस्तुओं और उनके व्यक्तिगत गुणों और विशेषताओं दोनों पर लागू हो सकती है। वस्तुएँ समग्र रूप से तब समान होती हैं जब वे उनमें निहित सभी प्रकार से समान हों। पिछले उदाहरण में, हमने सामान्य रूप से वस्तुओं की समानता के बारे में बात की थी - दोनों वस्तुएं वर्ग हैं, उनका आकार समान है, रंग समान है, और सामान्य तौर पर वे पूरी तरह से समान हैं। दूसरी ओर, वस्तुएं समग्र रूप से असमान हो सकती हैं, लेकिन उनमें कुछ समान विशेषताएं हो सकती हैं। उदाहरण के तौर पर, ऐसी वस्तुओं पर विचार करें और। जाहिर है उनका आकार बराबर है - वे दोनों वृत्त हैं। और रंग और आकार में वे असमान हैं, उनमें से एक नीला है और दूसरा लाल है, एक छोटा है और दूसरा बड़ा है।

पिछले उदाहरण से, हम स्वयं ध्यान देते हैं कि हमें पहले से यह जानना होगा कि हम वास्तव में समानता के बारे में क्या बात कर रहे हैं।

उपरोक्त सभी तर्क गणित में समानता पर लागू होते हैं, केवल यहाँ समानता गणितीय वस्तुओं को संदर्भित करती है। अर्थात्, गणित का अध्ययन करते समय, हम संख्याओं की समानता, अभिव्यक्ति मूल्यों की समानता, किसी भी मात्रा की समानता, उदाहरण के लिए, लंबाई, क्षेत्र, तापमान, श्रम उत्पादकता आदि के बारे में बात करेंगे।

समानताएँ लिखना, =

समानताएं लिखने के नियमों पर गौर करने का समय आ गया है। इसी उद्देश्य से इसका प्रयोग किया जाता है =(इसे समान चिह्न भी कहा जाता है), जिसका रूप = है, अर्थात यह क्षैतिज रूप से एक के ऊपर एक स्थित दो समान रेखाओं का प्रतिनिधित्व करता है। समान चिह्न = को सर्वमान्य माना जाता है।

समानताएँ लिखते समय समान वस्तुएँ लिखें और उनके बीच समान चिह्न लगाएँ। उदाहरण के लिए, समान संख्याएँ 4 और 4 लिखना 4=4 जैसा लगेगा और इसे "चार बराबर चार" के रूप में पढ़ा जा सकता है। दूसरा उदाहरण: त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल S ABC की सात वर्ग मीटर की समानता को S ABC = 7 m 2 के रूप में लिखा जाएगा। सादृश्य से, हम समानताएँ लिखने के अन्य उदाहरण दे सकते हैं।

यह ध्यान देने योग्य है कि गणित में, समानता के सुविचारित अंकन को अक्सर समानता की परिभाषा के रूप में उपयोग किया जाता है।

परिभाषा।

वे रिकॉर्ड जो दो गणितीय वस्तुओं (दो संख्याएं, अभिव्यक्ति आदि) को अलग करने के लिए समान चिह्न का उपयोग करते हैं, कहलाते हैं समानता.

यदि आपको दो वस्तुओं की असमानता को लिखित रूप में इंगित करने की आवश्यकता है, तो उपयोग करें समान चिन्ह नहीं≠. हम देखते हैं कि यह एक कटे हुए समान चिह्न का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के तौर पर, आइए प्रविष्टि 1+2≠7 लें। इसे इस तरह पढ़ा जा सकता है: "एक और दो का योग सात के बराबर नहीं है।" एक अन्य उदाहरण है |AB|≠5 सेमी - खंड AB की लंबाई पांच सेंटीमीटर के बराबर नहीं है।

सच्ची और झूठी समानताएँ

लिखित समानताएँ समानता की अवधारणा के अर्थ के अनुरूप हो सकती हैं, या वे इसका खंडन भी कर सकती हैं। इसके आधार पर समानताओं को विभाजित किया गया है सच्ची समानताएँऔर झूठी समानताएँ. आइए इसे उदाहरणों से समझते हैं.

आइए समानता 5=5 लिखें। संख्याएँ 5 और 5 निस्संदेह बराबर हैं, इसलिए 5=5 एक सच्ची समानता है। लेकिन समानता 5=2 गलत है, क्योंकि संख्या 5 और 2 बराबर नहीं हैं।

समानता के गुण

जिस तरह से समानता की अवधारणा को पेश किया गया है, उससे इसके विशिष्ट परिणाम - समानता के गुण - स्वाभाविक रूप से सामने आते हैं। तीन मुख्य हैं समानता के गुण:

• रिफ्लेक्सिविटी का गुण, जो बताता है कि कोई वस्तु स्वयं के बराबर है।
• समरूपता का गुण, जो बताता है कि यदि पहली वस्तु दूसरी के बराबर है, तो दूसरी पहली के बराबर है।
• और अंत में, परिवर्तनशीलता का गुण, जो बताता है कि यदि पहली वस्तु दूसरी के बराबर है, और दूसरी तीसरी के बराबर है, तो पहली वस्तु तीसरी के बराबर है।

आइए अक्षरों का उपयोग करके गणित की भाषा में व्यक्त गुणों को लिखें:

• ए=ए ;
• यदि a=b तो b=a ;
• यदि a=b और b=c तो a=c।

अलग से, यह समानता के दूसरे और तीसरे गुणों - समरूपता और परिवर्तनशीलता के गुणों - की योग्यता पर ध्यान देने योग्य है कि वे हमें उनकी जोड़ीदार समानता के माध्यम से तीन या अधिक वस्तुओं की समानता के बारे में बात करने की अनुमति देते हैं।

दोहरी, तिगुनी समानताएं, आदि।

समानता के लिए सामान्य संकेतन के साथ, जिनके उदाहरण हमने पिछले पैराग्राफ में दिए थे, तथाकथित दोहरी समानता, त्रिगुण समानताऔर इसी तरह, समानता की श्रृंखलाओं का प्रतिनिधित्व करते हुए। उदाहरण के लिए, अंकन 1+1+1=2+1=3 एक दोहरी समानता है, और |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - चौगुनी समानता का एक उदाहरण.

युगल, त्रिगुण आदि का उपयोग करना। समानता के लिए तीन, चार आदि की समानता लिखना सुविधाजनक होता है। तदनुसार वस्तुएँ। ये रिकॉर्ड स्वाभाविक रूप से किन्हीं दो वस्तुओं की समानता को दर्शाते हैं जो समानता की मूल श्रृंखला बनाते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त दोहरी समानता 1+1+1=2+1=3 का मूलतः अर्थ है समानता 1+1+1=2+1, और 2+1=3, और 1+1+1=3, और में समानताओं की समरूपता की संपत्ति के कारण और 2+1=1+1+1, और 3=2+1, और 3=1+1+1।

समानता की ऐसी श्रृंखलाओं के रूप में, उदाहरणों और समस्याओं का चरण-दर-चरण समाधान तैयार करना सुविधाजनक होता है, जबकि समाधान संक्षिप्त दिखता है और मूल अभिव्यक्ति को बदलने के मध्यवर्ती चरण दिखाई देते हैं।

ग्रंथ सूची.

• मोरो एम.आई.. अंक शास्त्र। पाठयपुस्तक 1 कक्षा के लिए. शुरुआत विद्यालय 2 घंटे में। भाग 1. (वर्ष की पहली छमाही) / एम. आई. मोरो, एस. आई. वोल्कोवा, एस. वी. स्टेपानोवा। - 6वां संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2006. - 112 पी.: बीमार.+जोड़ें। (2 अलग एल. बीमार.). - आईएसबीएन 5-09-014951-8.
• अंक शास्त्र: पाठ्यपुस्तक 5वीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / एन. हां. विलेंकिन, वी. आई. झोखोव, ए. एस. चेसनोकोव, एस. आई. श्वार्ट्सबर्ड। - 21वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: मेनेमोसिन, 2007. - 280 पीपी.: बीमार। आईएसबीएन 5-346-00699-0।