Pohyb bodu proti gravitaci. Pohyb tělesa pod vlivem gravitace ve vertikální rovině

01.09.2021

Úvod

1. Pohyb tělesa vlivem gravitace

1.1 Pohyb tělesa po kruhové nebo eliptické dráze kolem planety

1.2 Pohyb tělesa působením gravitace ve svislé rovině

1.3 Pohyb tělesa, pokud počáteční rychlost směřuje pod úhlem k gravitaci

2. Pohyb tělesa v prostředí s odporem

3. Aplikace zákonů pohybu tělesa při působení gravitace s přihlédnutím k odporu média v balistice.

Závěr

Bibliografie

Úvod

Podle druhého Newtonova zákona je příčinou změny pohybu, tedy příčinou zrychlení těles, síla. V mechanice se uvažují síly různé fyzikální povahy. Mnoho mechanických jevů a procesů je dáno působením gravitačních sil. Zákon gravitace byla objevena I. Newtonem v roce 1682. Již v roce 1665 23letý Newton navrhl, že síly, které udržují Měsíc na jeho oběžné dráze, jsou stejné povahy jako síly, které způsobují pád jablka na Zemi. Podle jeho hypotézy působí mezi všemi tělesy Vesmíru přitažlivé síly (gravitační síly) směřující po přímce spojující těžiště hmoty. U tělesa ve formě homogenní koule se těžiště shoduje se středem koule.

Obr. 1. gravitační síly.

V následujících letech se Newton pokusil najít fyzikální vysvětlení zákonů pohybu planet, které objevil astronom I. Kepler na počátku 17. století, a podat kvantitativní vyjádření pro gravitační síly. Newton věděl, jak se planety pohybují, a chtěl zjistit, jaké síly na ně působí. Tato cesta se nazývá inverzní problém mechaniky. Je-li hlavním úkolem mechaniky určit souřadnice tělesa o známé hmotnosti a jeho rychlosti v libovolném časovém okamžiku ze známých sil působících na těleso a daných počátečních podmínek (přímý problém mechaniky), pak při řešení inverzní úlohy , je nutné určit síly působící na těleso, je-li známo, jak se pohybuje. Řešení tohoto problému vedlo Newtona k objevu zákona univerzální gravitace. Všechna tělesa jsou k sobě přitahována silou, která je přímo úměrná jejich hmotnosti a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti mezi nimi:

Koeficient úměrnosti G je stejný pro všechna tělesa v přírodě. Říká se tomu gravitační konstanta.

G \u003d 6,67 10-11 N m 2 / kg 2

Mnoho jevů v přírodě se vysvětluje působením sil univerzální gravitace. Pohyb planet ve sluneční soustavě, pohyb umělých družic Země, dráhy letu balistických střel, pohyb těles v blízkosti povrchu Země – všechny tyto jevy jsou vysvětlovány na základě zákona univerzální gravitace. a zákony dynamiky. Jedním z projevů síly univerzální gravitace je gravitační síla.

Gravitace je síla působící na tělo ze strany Země a udělující tělu zrychlení volného pádu:

Jakékoli těleso umístěné na Zemi (nebo v její blízkosti) se spolu se Zemí otáčí kolem své osy, tzn. těleso se pohybuje po kružnici o poloměru r konstantní modulovou rychlostí.

Obr.2. Pohyb tělesa na povrchu Země.

Na těleso na povrchu Země působí gravitační síla a síla ze strany zemského povrchu

Jejich výslednice

dodává tělu dostředivé zrychlení

Rozložme gravitační sílu na dvě složky, z nichž jedna bude, tzn.

Z rovnic (1) a (2) to vidíme

Gravitace je tedy jednou ze složek gravitační síly, druhá složka uděluje tělesu dostředivé zrychlení. V bodě Μ na zeměpisné šířce φ nesměřuje gravitační síla podél poloměru Země, ale pod určitým úhlem α k ní. Gravitační síla směřuje po tzv. svislé přímce (svisle dolů).

Gravitační síla se velikostí a směrem rovná gravitační síle pouze na pólech. Na rovníku se shodují ve směru a absolutní rozdíl je největší.

kde ω je úhlová rychlost rotace Země, R je poloměr Země.

rad/s, ω = 0,72710-4 rad/s.

Protože ω je velmi malé, pak F T ≈ F. V důsledku toho se gravitační síla v absolutní hodnotě jen málo liší od gravitační síly, takže tento rozdíl lze často zanedbat.

Potom F T ≈ F,

Z tohoto vzorce je vidět, že zrychlení volného pádu g nezávisí na hmotnosti padajícího tělesa, ale závisí na výšce.

Jestliže M je hmotnost Země, R З je její poloměr, m je hmotnost daného tělesa, pak je gravitační síla rovna

kde g je zrychlení volného pádu na povrchu Země:

Gravitační síla směřuje do středu Země. V nepřítomnosti jiných sil padá těleso volně k Zemi se zrychlením volného pádu. Průměrná hodnota zrychlení volného pádu pro různé body na zemském povrchu je 9,81 m/s 2 . Znát zrychlení volného pádu a poloměr Země

(R З \u003d 6,38 10 6 m), můžete vypočítat hmotnost Země M:

Při vzdalování se od povrchu Země se gravitační síla a zrychlení volného pádu mění nepřímo s druhou mocninou vzdálenosti r ke středu Země. Obrázek znázorňuje změnu gravitační síly působící na astronauta v kosmické lodi, když se vzdaluje od Země. Předpokládá se, že síla, kterou je astronaut přitahován k Zemi blízko jejího povrchu, je 700 N.

Obr. 3. Změna gravitační síly působící na astronauta při vzdalování se od Země.

Příkladem systému dvou interagujících těles je systém Země–Měsíc. Měsíc se od Země nachází ve vzdálenosti r L = 3,84 10 6 m. Tato vzdálenost je přibližně 60x větší než poloměr Země R З.

S takovým zrychlením směřujícím ke středu Země se Měsíc pohybuje po oběžné dráze. Proto je toto zrychlení dostředivé zrychlení. Lze jej vypočítat pomocí kinematického vzorce pro dostředivé zrychlení:

kde T = 27,3 dne. je období rotace Měsíce kolem Země. Shoda výsledků výpočtů provedených různými metodami potvrzuje Newtonův předpoklad o jednotné povaze síly držící Měsíc na oběžné dráze a gravitační síly. Vlastní gravitační pole Měsíce určuje zrychlení volného pádu g l na jeho povrchu. Hmotnost Měsíce je 81krát menší než hmotnost Země a jeho poloměr je přibližně 3,7krát menší než poloměr Země. Proto je zrychlení g l určeno výrazem:

Astronauti, kteří přistáli na Měsíci, se ocitli v podmínkách tak slabé gravitace. Člověk v takových podmínkách dokáže obří skoky. Pokud například člověk na Zemi skočí do výšky 1 m, pak na Měsíci by mohl skočit do výšky více než 6 m.

1. Pohyb tělesa vlivem gravitace

Pokud na těleso působí pouze gravitační síla, pak je těleso ve volném pádu. Typ trajektorie pohybu závisí na směru a modulu počáteční rychlosti. V tomto případě jsou možné následující případy pohybu těla:

1. Těleso se může pohybovat po kruhové nebo eliptické dráze kolem planety.

2. Pokud je počáteční rychlost tělesa nulová nebo rovnoběžná s gravitační silou, těleso provede přímý volný pád.

3. Pokud je počáteční rychlost tělesa nasměrována pod úhlem vůči gravitaci, pak se těleso bude pohybovat po parabole nebo po větvi paraboly.

1.1 Pohyb tělesa po kruhové nebo eliptické dráze kolem planety

Podívejme se nyní na otázku umělých družic Země. Umělé družice se pohybují mimo zemskou atmosféru a působí na ně pouze gravitační síly ze země. V závislosti na počáteční rychlosti může být trajektorie vesmírného tělesa různá. Budeme zde uvažovat pouze případ umělé družice pohybující se po kruhové orbitě blízko Země. Takové družice létají ve výškách řádově 200–300 km a vzdálenost do středu Země lze považovat přibližně za rovnou poloměru R3. gravitace, je přibližně rovna zrychlení volného pádu g. Označme rychlost satelitu na oběžné dráze v blízkosti Země přes υ 1 . Tato rychlost se nazývá první kosmická rychlost. Pomocí kinematického vzorce pro dostředivé zrychlení získáme:

Pohybující se touto rychlostí by satelit obletěl Zemi v čase

Ve skutečnosti doba rotace družice na kruhové dráze v blízkosti zemského povrchu poněkud překračuje stanovenou hodnotu v důsledku rozdílu mezi poloměrem skutečné dráhy a poloměrem Země. Pohyb družice si lze představit jako volný pád, podobně jako pohyb projektilů nebo balistických střel. Jediný rozdíl je v tom, že rychlost družice je tak velká, že poloměr zakřivení její trajektorie se rovná poloměru Země. U satelitů pohybujících se po kruhových trajektoriích ve značné vzdálenosti od Země zemská gravitace slábne nepřímo s druhou mocninou poloměru r trajektorie. Rychlost satelitu υ se zjistí z podmínky

Na vysokých drahách je tedy rychlost pohybu satelitů menší než na oběžné dráze blízké Zemi. Oběžná doba T takového satelitu je

Zde T 1 je období rotace satelitu na oběžné dráze v blízkosti Země. S rostoucím poloměrem oběžné dráhy se prodlužuje oběžná doba satelitu. Je snadné vypočítat, že při poloměru oběžné dráhy r rovném přibližně 6,6 R3 bude doba otáčení satelitu rovna 24 hodinám. Satelit s takovou periodou revoluce, vypuštěný v rovině rovníku, bude nehybně viset nad určitým bodem na zemském povrchu. Takové družice se používají v kosmických radiokomunikačních systémech. Dráha s poloměrem r = 6,6R® se nazývá geostacionární.

1.2 Pohyb tělesa působením gravitace ve svislé rovině

Pokud je počáteční rychlost tělesa nulová nebo rovnoběžná s gravitační silou, těleso je v přímém volném pádu.

Hlavním úkolem mechaniky je kdykoli určit polohu těla. Řešením úlohy pro částice pohybující se v gravitačním poli Země jsou následující rovnice, v projekcích na osy OX a OY:

Tyto vzorce stačí k vyřešení jakéhokoli problému o pohybu tělesa při působení gravitace.

Tělo hozeno svisle nahoru

V tomto případě v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = -g.

Pohyb tělesa v tomto případě nastane po přímce a nejprve svisle nahoru do bodu, ve kterém se rychlost stane nulovou, a poté svisle dolů.

Obr. 4. Pohyb nadhozeného těla.

Když se těleso pohybuje se zrychlením v gravitačním poli, mění se hmotnost tělesa.

Hmotnost tělesa je síla, kterou těleso působí na podpěru nebo závěs, který je k němu připevněn.

Hmotnost tělesa vzniká v důsledku jeho deformace způsobené působením síly ze strany podpěry (reakční síla) nebo zavěšení (tahová síla) Hmotnost se výrazně liší od gravitace:

Jde o síly odlišné povahy: gravitace je gravitační síla, hmotnost je elastická síla (elektromagnetické povahy).

Jsou aplikovány na různá těla: gravitace - na tělo, váha - na podporu.

Obr.5. Místa působení gravitace a tělesné hmotnosti.

Směr tělesné hmotnosti se nemusí nutně shodovat s vertikálním směrem.

Tíhová síla tělesa v daném místě na Zemi je konstantní a nezávisí na povaze pohybu tělesa; hmotnost závisí na zrychlení, se kterým se těleso pohybuje.

Zvažte, jak se mění hmotnost tělesa pohybujícího se ve vertikálním směru spolu s podporou. Na těleso působí gravitační síla a reakční síla podpěry.

Obr.5. Změna tělesné hmotnosti při pohybu se zrychlením.

Základní dynamická rovnice: . V projekci na ose Oy:

Podle třetího Newtonova zákona platí, že silové moduly N p1 = P 1 . Proto tělesná hmotnost P 1 = mg

, (tělo zažívá přetížení).

Proto tělesná hmotnost

Pokud a = g, pak P = 0

Tělesnou hmotnost při vertikálním pohybu lze tedy obecně vyjádřit vzorcem

Rozdělme mentálně nehybné tělo na horizontální vrstvy. Každá z těchto vrstev je ovlivněna gravitací a hmotností nadložní části těla. Tato hmotnost bude tím větší, čím níže vrstva leží. Vlivem hmotnosti nadložních částí těla se proto každá vrstva deformuje a vznikají v ní elastická napětí, která se při přechodu z horní do spodní části těla zvětšují.

Obr. 6. Těleso rozdělené do vodorovných vrstev.

Padne-li těleso volně (a = g), pak je jeho hmotnost rovna nule, v tělese zmizí všechny deformace a i přes pokračující působení gravitace nebudou horní vrstvy vyvíjet tlak na spodní.

Stav, kdy ve volně se pohybujícím tělese mizí deformace a vzájemné tlaky, se nazývá stav beztíže. Důvodem stavu beztíže je to, že síla univerzální gravitace uděluje stejné zrychlení tělu a jeho podpoře.

1.3 Pohyb tělesa, pokud počáteční rychlost směřuje pod úhlem k gravitaci

Tělo je vrženo vodorovně, tzn. v pravém úhlu ke směru gravitace.

V tomto případě v 0x \u003d v 0, g x \u003d 0, v 0y \u003d 0, g y \u003d - g, x 0 \u003d 0, a proto,

Pro určení typu trajektorie, po které se v tomto případě těleso bude pohybovat, vyjádříme čas t z první rovnice a dosadíme ji do druhé rovnice. V důsledku toho dostaneme kvadratickou závislost y na x:

To znamená, že těleso se pak bude pohybovat po větvi paraboly.

Obr.7. Pohyb tělesa vrženého pod úhlem k horizontu.

Pohyb tělesa vrženého určitou počáteční rychlostí υ o pod úhlem α k horizontu je rovněž složitým pohybem: rovnoměrným ve vodorovném směru a zároveň rovnoměrně zrychleným pohybem ve vertikálním směru působením gravitace. Takto se lyžař pohybuje při skoku z odrazového můstku, proudu vody z hadice atp.

Obr.8. Proud vody z hadice.

Studium rysů takového pohybu začalo již před dlouhou dobou, v 16. století, a bylo spojeno se vzhledem a vylepšením dělostřeleckých děl.

Představy o dráze dělostřeleckých granátů v té době byly docela legrační. Věřilo se, že tato trajektorie se skládá ze tří úseků: A – prudký pohyb, B – smíšený pohyb a C – přirozený pohyb, při kterém dělová koule dopadá na nepřátelské vojáky shora.

Obr.9. Dráha dělostřeleckého projektilu.

Zákony letu projektilů nepřitahovaly příliš pozornosti vědců, dokud nebyly vynalezeny dalekonosné zbraně, které poslaly projektil přes kopce nebo stromy - takže střelec jejich let neviděl.

Zpočátku sloužila palba na ultradaleký dosah z takovýchto zbraní hlavně k demoralizaci a zastrašování nepřítele a přesnost střelby zpočátku nehrála nijak zvlášť důležitou roli.

Blízko ke správnému rozhodnutí o letu dělových koulí přišel italský matematik Tartaglia, dokázal ukázat, že největšího dosahu projektilů lze dosáhnout, když je výstřel nasměrován pod úhlem 45° k horizontu. V jeho knize Nová věda byla formulována pravidla střelby, která řídila dělostřelce až do poloviny 17. století.

Ale, kompletní řešení problémy spojené s pohybem těles vržených vodorovně nebo pod úhlem k horizontu, provedl všechny stejné Galileo. Ve svých úvahách vycházel ze dvou hlavních myšlenek: tělesa pohybující se vodorovně a nepodléhající jiným silám si udrží svou rychlost; výskyt vnějších vlivů změní rychlost pohybujícího se tělesa bez ohledu na to, zda bylo před začátkem jejich působení v klidu nebo se pohybovalo. Galileo ukázal, že trajektorie střel, pokud zanedbáme odpor vzduchu, jsou paraboly. Galileo poukázal na to, že při skutečném pohybu skořepin kvůli odporu vzduchu už jejich trajektorie nebude připomínat parabolu: sestupná větev trajektorie by šla poněkud strměji než vypočítaná křivka.

Newton a další vědci vyvinuli a zdokonalili novou teorii střelby s přihlédnutím ke zvýšenému vlivu sil odporu vzduchu na pohyb dělostřeleckých granátů. Vznikla také nová věda – balistika. Uplynulo mnoho a mnoho let a nyní se projektily pohybují tak rychle, že i prosté srovnání typu trajektorií jejich pohybu potvrzuje zvýšený vliv odporu vzduchu.

Obr.10. Ideální a skutečná dráha střely.

Na našem obrázku je tečkovanou čarou znázorněna ideální dráha těžkého projektilu vystřeleného z hlavně děla vysokou počáteční rychlostí a plná čára skutečnou dráhu střely za stejných podmínek střelby.

V moderní balistice se k řešení takových problémů používá elektronické výpočetní zařízení - počítače, ale nyní se omezíme na jednoduchý případ - studium takového pohybu, při kterém lze zanedbat odpor vzduchu. To nám umožní zopakovat Galileovu úvahu téměř beze změn.

Let kulek a projektilů je příkladem pohybu těles vržených pod úhlem k horizontu. Přesný popis povahy takového pohybu je možný pouze při zvažování nějaké ideální situace.

Podívejme se, jak se mění rychlost tělesa vrženého pod úhlem α k horizontu při absenci odporu vzduchu. Po celou dobu letu na tělo působí gravitace. Na prvním úseku trajektorie ve směru.

Obr. 11. Změna rychlosti podél trajektorie.

V nejvyšším bodě trajektorie - v bodě C - bude rychlost tělesa nejmenší, směřuje vodorovně, pod úhlem 90° k linii působení gravitace. Na druhé části trajektorie dochází k letu tělesa podobně jako k pohybu tělesa vrženého vodorovně. Doba pohybu z bodu A do bodu C se bude rovnat době pohybu po druhé části trajektorie za nepřítomnosti sil odporu vzduchu.

Pokud body „hodu“ a „přistání“ leží na stejné vodorovné čáře, pak totéž lze říci o rychlostech „hodu“ a „přistání“. Úhly mezi povrchem Země a směrem rychlosti pohybu v bodech „hodu“ a „přistání“ budou v tomto případě také stejné.

Dosah letu AB tělesa vrženého pod úhlem k horizontu závisí na hodnotě počáteční rychlosti a úhlu vrhu. Při konstantní rychlosti vrhu V 0 se zvětšením úhlu mezi směrem rychlosti vrhu a vodorovnou plochou od 0 do 45° se dosah letu zvětšuje a s dalším zvyšováním úhlu vrhu se zmenšuje. Je snadné to ověřit nasměrováním proudu vody v různých úhlech k horizontu nebo sledováním pohybu koule vystřelené z pružinové „zbraně“ (takové experimenty lze snadno provést sami).

Trajektorie takového pohybu je symetrická vzhledem k nejvyššímu bodu letu a při nízkých počátečních rychlostech, jak již bylo zmíněno dříve, je parabola.

Maximální letový dosah při dané odletové rychlosti je dosažen při úhlu vrhu 45°. Když je úhel vrhu 30° nebo 60°, pak je dosah letu těles pro oba úhly stejný. Pro úhly vrhu 75° a 15° bude dosah letu opět stejný, ale menší než pro úhly vrhu 30° a 60°. To znamená, že „nejpříznivější“ úhel pro vrh na velkou vzdálenost je úhel 45°, pro jakékoli jiné hodnoty úhlu vrhu bude dosah letu menší.

Pokud odhodíte těleso s určitou počáteční rychlostí v o pod úhlem 45° k horizontu, pak jeho letový dosah bude dvojnásobkem maximální výšky tělesa vrženého svisle vzhůru se stejnou počáteční rychlostí.

Maximální dosah letu S tělesa vrženého pod úhlem α k horizontu lze zjistit podle vzorce:

maximální výška zdvihu H podle vzorce:

Při absenci odporu vzduchu by největší dosah letu odpovídal úhlu sklonu hlavně pušky rovný 45°, ale odpor vzduchu výrazně mění trajektorii pohybu a maximálnímu dosahu letu odpovídá jiný úhel sklonu pušky. hlaveň pušky - více než 45 °. Hodnota tohoto úhlu závisí také na rychlosti střely při výstřelu. Pokud je rychlost střely při výstřelu 870 m/s, pak skutečný dolet bude přibližně 3,5 km, a nikoli 77 km, jak ukazují „ideální“ výpočty.

Tyto poměry ukazují, že vzdálenost, kterou urazí těleso ve svislém směru, nezávisí na hodnotě počáteční rychlosti – ostatně její hodnota není zahrnuta ve vzorci pro výpočet výšky H. A dostřel střely v horizontální směr bude tím větší, čím větší bude jeho počáteční rychlost.

Studujme pohyb tělesa vrženého počáteční rychlostí v 0 pod úhlem α k horizontu, uvažujme jej jako hmotný bod o hmotnosti m. Přitom zanedbáme odpor vzduchu a budeme uvažovat gravitaci. pole být jednotné (Р=konst), za předpokladu, že dosah letu a výška trajektorie jsou malé ve srovnání s poloměrem Země.

Umístíme počátek O do počáteční polohy bodu. Nasměrujme osu O y svisle nahoru; vodorovnou osu O x umístíme do roviny procházející O y a vektorem v 0 a osu O z nakreslíme kolmo k prvním dvěma osám. Potom bude úhel mezi vektorem v 0 a osou O x roven α

Obr. 12. Pohyb tělesa vrženého šikmo k horizontu.

Znázorněme pohybující se bod M někde na trajektorii. Pouze gravitace působí na bod, jehož průměty na souřadnicových osách jsou: P x \u003d 0, P y \u003d-P \u003d mg, P Z \u003d 0

Dosazení těchto veličin do diferenciálních rovnic a všímání si toho atd. po zmenšení o m dostaneme:

Vynásobením obou stran těchto rovnic dt a integrací zjistíme:

Počáteční podmínky v našem problému mají tvar:

x=0,

y=0,

Po splnění počátečních podmínek budeme mít:

Dosazením těchto hodnot С 1 , С 2 a С 3 do výše uvedeného řešení a nahrazením V x , V Y , V z dojdeme k rovnicím:

Integrací těchto rovnic dostaneme:

Dosazením počátečních dat získáme C 4 = C 5 = C 6 = 0 a nakonec najdeme pohybové rovnice bodu M ve tvaru:

Z poslední rovnice vyplývá, že k pohybu dochází v rovině O xy

Máme-li pohybovou rovnici bodu, je možné pomocí kinematických metod určit všechny charakteristiky daného pohybu.

1. Trajektorie bodu. Vynecháním času t z prvních dvou rovnic (1) získáme rovnici pro trajektorii bodu:

(2)

Toto je rovnice paraboly s osou rovnoběžnou s osou O y. Těžký bod hozený pod úhlem k horizontu se tedy pohybuje ve vakuu podél paraboly (Galileo).

2. Horizontální rozsah. Stanovme horizontální rozsah, tzn. vzdálenost OS=X měřená podél osy O x. Za předpokladu rovnosti (2) y=0 najdeme průsečíky trajektorie s osou О x. Z rovnice:

dostaneme

První řešení dává bod O, druhé bod C. Proto X \u003d X 2 a nakonec

(3)

Ze vzorce (3) je vidět, že stejný horizontální rozsah X bude získán pod úhlem β, pro který je 2β=180° - 2α, tzn. jestliže úhel β=90°-α . Proto pro danou počáteční rychlost v 0 lze jednoho a téhož bodu C dosáhnout dvěma trajektoriemi: plochou (α<45°) и навесной (β=90°-α>45°)

Pro danou počáteční rychlost v 0 se největší horizontální rozsah v bezvzduchovém prostoru získá, když sin 2 α = 1, tzn. pod úhlem α=45°.

pak je tu výška trajektorie H:

(4)

Doba letu. Z první rovnice soustavy (1) vyplývá, že celková doba letu T je určena rovností Když zde nahradíme X jeho hodnotou, dostaneme

V úhlu největšího rozsahu α=45° jsou všechny nalezené hodnoty stejné:

Získané výsledky jsou prakticky zcela použitelné pro orientační stanovení letových charakteristik střel (raket) s dolety řádově 200–600 km, neboť na těchto vzdálenostech (a při ) střela urazí většinu své dráhy ve stratosféře, kde odpor vzduchu lze zanedbat. Při kratších vzdálenostech bude výsledek silně ovlivněn odporem vzduchu a při vzdálenostech nad 600 km již nelze gravitaci považovat za konstantní.

Pohyb tělesa vrženého z výšky h.

Ze zbraně instalované ve výšce h byl vypálen výstřel pod úhlem α k horizontu. Jádro vylétlo z hlavně zbraně rychlostí u. Definujme pohybové rovnice jádra.

Obr. 13. Pohyb tělesa vrženého z výšky.

Pro správné sestavení diferenciálních pohybových rovnic je nutné takové úlohy řešit podle určitého schématu.

a) Přiřaďte souřadný systém (počet os, jejich směr a počátek). Dobře zvolené osy zjednodušují rozhodování.

b) Ukažte bod v mezipoloze. V tomto případě je nutné zajistit, aby souřadnice takové polohy byly kladné.

c) Ukažte síly působící na bod v této mezipoloze (nezobrazujte setrvačné síly!).

V tomto příkladu je to pouze síla, hmotnost jádra. Odpor vzduchu nebude zohledněn.

d) Sestavte diferenciální rovnice pomocí vzorců:

Odtud dostáváme dvě rovnice: a .

e) Řešte diferenciální rovnice.

Zde získané rovnice jsou lineární rovnice druhého řádu jsou na pravé straně konstanty. Řešení těchto rovnic je elementární.

Zbývá najít neustálé integrace. Dosadíme počáteční podmínky (při t = 0, x = 0, y = h, ,) do těchto čtyř rovnic: ,,

0 \u003d C 2, h \u003d D 2.

Hodnoty konstant dosadíme do rovnic a zapíšeme pohybové rovnice bodu v konečném tvaru

S těmito rovnicemi, jak je známo ze sekce kinematiky, je možné kdykoli určit trajektorii jádra, rychlost, zrychlení a polohu jádra.

Jak můžete vidět z tohoto příkladu, schéma řešení problémů je poměrně jednoduché. Potíže mohou nastat pouze při řešení diferenciálních rovnic, což se může ukázat jako obtížné.

Zde je síla silou tření. Pokud je přímka, po které se bod pohybuje, hladká, pak Т = 0 a pak druhá rovnice bude obsahovat pouze jednu neznámou - souřadnici s:

Řešením této rovnice získáme pohybový zákon bodu, a tedy v případě potřeby i rychlost a zrychlení. První a třetí rovnice (5) nám umožní najít reakce a .

2. Pohyb tělesa v prostředí s odporem

odpor pohybu balistika eliptická orbita

Jedním z nejdůležitějších úkolů aero- a hydrodynamiky je studium pohybu pevných látek v plynu a kapalině. Zejména studium sil, kterými médium působí na pohybující se těleso. Tento problém se stal obzvláště důležitým v souvislosti s rychlým rozvojem letectví a zvýšením rychlosti lodí. Na těleso pohybující se v kapalině nebo plynu působí dvě síly (jejich výslednici označujeme jako R), z nichž jedna (R x) směřuje v opačném směru, než je pohyb tělesa (ve směru proudění), je odpor a druhý (R y) je kolmý, tento směr je vztlaková síla.

kde ρ je hustota média; υ je rychlost tělesa; S je největší průřez těla.

Vztlakovou sílu lze určit podle vzorce:

Kde C y je bezrozměrný součinitel vztlaku.

Pokud je těleso symetrické a jeho osa souměrnosti se shoduje se směrem rychlosti, pak na něj působí pouze čelní odpor, přičemž zvedací síla je v tomto případě nulová. Dá se prokázat, že v ideální tekutina rovnoměrný pohyb dochází bez čelního odporu. Uvažujeme-li pohyb válce v takové tekutině, pak vzor proudnic je symetrický a výsledná tlaková síla na povrch válce bude rovna nule.

Jiná situace je, když se tělesa pohybují ve viskózní tekutině (zejména při zvýšení rychlosti proudění). Vlivem viskozity média v oblasti přiléhající k povrchu tělesa vzniká mezní vrstva částic pohybujících se nižší rychlostí. V důsledku zpomalujícího působení této vrstvy dochází k rotaci částic a pohyb tekutiny v mezní vrstvě se stává vírovým. Pokud tělo nemá proudnicový tvar (není zde hladce se ztenčující ocas), pak se mezní vrstva kapaliny oddělí od povrchu těla. Za tělesem je proudění kapaliny nebo plynu, směřující proti proudu přicházejícího. Oddělená mezní vrstva po tomto toku vytváří víry rotující v opačných směrech. Odpor závisí na tvaru tělesa a jeho poloze vzhledem k proudění, což je zohledněno součinitelem odporu. Viskozita (vnitřní tření) je vlastnost skutečných kapalin odolávat pohybu jedné části kapaliny vůči druhé. Když se některé vrstvy skutečné tekutiny pohybují vzhledem k jiným, vznikají vnitřní třecí síly F, směřující tangenciálně k povrchu vrstev. Působení těchto sil se projevuje tak, že ze strany rychleji se pohybující vrstvy působí na vrstvu pohybující se pomaleji zrychlující síla. Ze strany vrstvy, která se pohybuje pomaleji, je vrstva pohybující se rychleji ovlivněna zpomalující silou. Vnitřní třecí síla F je tím větší, čím větší je uvažovaná plocha S povrchu vrstvy, a závisí na tom, jak rychle se mění rychlost proudění tekutiny při pohybu z vrstvy na vrstvu. Hodnota ukazuje, jak rychle se mění rychlost při pohybu z vrstvy na vrstvu ve směru x, kolmo ke směru pohybu vrstev, a nazývá se gradient rychlosti. Tedy modul síly vnitřního tření

kde je koeficient úměrnosti η v závislosti na povaze kapaliny. tzv. dynamická viskozita.

Čím větší je viskozita, tím více se kapalina liší od ideální, tím větší jsou v ní síly vnitřního tření. Viskozita závisí na teplotě a povaha této závislosti je u kapalin a plynů různá (u kapalin η s rostoucí teplotou klesá, u plynů naopak roste), což ukazuje na rozdíl v mechanismech vnitřního tření v nich. .

3. Aplikace zákonů pohybu tělesa při působení gravitace s přihlédnutím k odporu média v balistice.

Hlavním úkolem balistiky je určit, pod jakým úhlem k horizontu a jakou počáteční rychlostí musí letět střela určité hmotnosti a tvaru, aby dosáhla cíle.

Tvorba trajektorie.

Během výstřelu kulka, která získala určitou počáteční rychlost působením práškových plynů při vzletu z vývrtu, má tendenci udržovat velikost a směr této rychlosti setrvačností a granát, který má proudový motor, se pohybuje setrvačností po výronu plynů z proudového motoru. Pokud by let střely (granátu) probíhal v bezvzduchovém prostoru a nepůsobila by na něj gravitace, pohybovala by se střela (granát) přímočaře, rovnoměrně a nekonečně. Na střelu (granát) letící ve vzduchu však působí síly, které mění rychlost jejího letu a směr pohybu. Těmito silami jsou gravitace a odpor vzduchu.

Kombinovaným působením těchto sil střela ztrácí rychlost a mění směr svého pohybu, pohybuje se ve vzduchu po zakřivené čáře procházející pod směrem osy vývrtu.

Zakřivená čára, která popisuje v prostoru těžiště pohybující se střely (projektilu) za letu, se nazývá trajektorie. Balistika obvykle zvažuje trajektorii nad (nebo pod) horizontem zbraně - pomyslnou nekonečnou horizontální rovinu procházející bodem odletu. Pohyb střely a tím i tvar trajektorie závisí na mnoha podmínkách. Kulka letící vzduchem je vystavena dvěma silám: gravitaci a odporu vzduchu. Gravitační síla způsobuje postupné klesání střely a síla odporu vzduchu plynule zpomaluje pohyb střely a má tendenci ji převrhnout. Působením těchto sil se rychlost letu postupně snižuje a jeho trajektorií je tvarově nerovnoměrně zakřivená křivka.

Působení gravitace.

Představme si, že na střelu poté, co opustila vývrt, působí pouze jedna gravitační síla. Pak začne padat svisle dolů, jako každé volně padající těleso. Pokud předpokládáme, že gravitace působí na střelu během jejího letu setrvačností v bezvzduchovém prostoru, pak pod vlivem této síly střela klesne níže od pokračování osy vývrtu: v první sekundě - o 4,9 m, v druhá sekunda - o 19,6 m atd. Pokud v tomto případě namíříte hlaveň zbraně na cíl, kulka ji nikdy nezasáhne, protože bude vystavena působení gravitace a proletí pod cílem. Je zcela zřejmé, že k tomu, aby střela urazila určitou vzdálenost a zasáhla cíl, je nutné nasměrovat hlaveň zbraně někam nad cíl, aby dráha střely, ohýbající se vlivem gravitace, byla nasměrována na cíl. překročí střed cíle. K tomu je nutné, aby osa vývrtu a rovina horizontu zbraně svíraly určitý úhel, který se nazývá elevační úhel. Dráha střely v bezvzduchovém prostoru, na kterou působí gravitační síla, je pravidelná křivka, které se říká parabola. Nejvyšší bod trajektorie nad horizontem zbraně se nazývá její vrchol. Část křivky od výchozího bodu k vrcholu se nazývá vzestupná větev trajektorie a od vrcholu k klesajícímu bodu - sestupná větev. Taková dráha střely se vyznačuje tím, že vzestupná a sestupná větev jsou přesně stejné a úhel vrhu a pádu se navzájem rovnají.

Působení odporové síly vzduchu.

Na první pohled se zdá nepravděpodobné, že by vzduch, který má tak nízkou hustotu, mohl klást výrazný odpor pohybu střely a tím výrazně snížit její rychlost. Odpor vzduchu má však na střelu silný zpomalovací účinek, a proto ztrácí na rychlosti. Odpor vzduchu proti letu střely je způsoben tím, že vzduch je elastické prostředí a proto je část energie střely vynaložena na pohyb v tomto prostředí. Síla odporu vzduchu je způsobena třemi hlavními příčinami: třením vzduchu, vznikem vírů a vznikem balistické vlny.

Jak ukazují fotografie kulky letící nadzvukovou rychlostí (přes 340 m/s), před její hlavou se vytvoří vzduchový uzávěr. Od tohoto zhutnění se hlavová vlna rozchází do všech směrů. Částice vzduchu, klouzající po povrchu střely a odlamující se od jejích bočních stěn, tvoří za dnem střely zónu řídkého prostoru, v důsledku čehož vzniká tlakový rozdíl na hlavové a spodní části. Tento rozdíl vytváří sílu nasměrovanou na stranu opačnou k pohybu střely a snižuje rychlost jejího letu. Částice vzduchu, které se snaží vyplnit prázdnotu vytvořenou za kulkou, vytvářejí vír, v důsledku čehož se za spodní částí kulky táhne ocasní vlna.

Zhutnění vzduchu před hlavou střely zpomaluje její let; řídká zóna za kulkou ji nasaje a tím dále zlepší brzdění; k tomu všemu dochází na stěnách střely ke tření o částice vzduchu, což také zpomaluje její let. Výsledkem těchto tří sil je síla odporu vzduchu. Střela (granát) za letu narazí na částice vzduchu a způsobí jejich kmitání. V důsledku toho se před střelou (granátem) zvyšuje hustota vzduchu a vytvářejí se zvukové vlny. Proto je let střely (granátu) doprovázen charakteristickým zvukem. Při rychlosti letu střely (granátu), která je menší než rychlost zvuku, má tvorba těchto vln malý vliv na její let, protože vlny se šíří rychleji než rychlost letu střely (granátu). Když je rychlost střely vyšší než rychlost zvuku, vytvoří se vlna vysoce zhutněného vzduchu z vnikání zvukových vln proti sobě - balistická vlna, která zpomaluje rychlost střely, protože střela stráví část jeho energie k vytvoření této vlny.

Výslednicí (celkem) všech sil vyplývajících z vlivu vzduchu na let střely (granátu) je síla odporu vzduchu. Místo působení odporové síly se nazývá střed odporu.

Vliv odporu vzduchu na let střely je velmi velký - způsobuje snížení rychlosti a dostřelu střely.

Vliv odporu vzduchu na střelu.

Velikost odporu vzduchu závisí na rychlosti letu, tvaru a ráži střely a také na jejím povrchu a hustotě vzduchu.

Síla odporu vzduchu se zvyšuje s nárůstem ráže střely, její rychlosti letu a hustoty vzduchu. Aby odpor vzduchu střelu během letu méně zpomaloval, je zcela zřejmé, že je nutné snížit její ráži a zvýšit její hmotnost. Tyto úvahy vedly k potřebě používat prodloužené střely do ručních zbraní a při zohlednění nadzvukových rychlostí střely, kdy hlavní příčinou odporu vzduchu je vytvoření vzduchového těsnění před hlavou (balistická vlna), střely s prodlouženou špičatou hlavou jsou výhodné. Při rychlostech letu podzvukových granátů, kdy je hlavní příčinou odporu vzduchu tvorba řídkého prostoru a turbulence, jsou výhodné granáty s prodlouženou a zúženou ocasní částí.

Čím hladší je povrch střely, tím nižší je třecí síla a síla odporu vzduchu.

Tvarová rozmanitost moderních střel je do značné míry dána potřebou snížit sílu odporu vzduchu.

Pokud by let střely probíhal v bezvzduchovém prostoru, pak by byl směr její podélné osy neměnný a střela by padala k zemi nikoli hlavou, ale spodkem.

Když však na střelu působí odporová síla vzduchu, bude její let úplně jiný. Pod vlivem počátečních poruch (otřesů) v okamžiku, kdy střela opustí vývrt, se mezi osou střely a tečnou k trajektorii vytvoří úhel a síla odporu vzduchu nepůsobí podél osy střely, ale pod úhlem k to, snaží se nejen zpomalit pohyb kulky, ale také ji převrátit. V prvním okamžiku, kdy střela opustí vývrt, odpor vzduchu ji pouze zpomalí. Jakmile ale střela začne působením gravitace padat dolů, částice vzduchu začnou vyvíjet tlak nejen na hlavovou část, ale i na její boční povrch.

Čím více střela klesne, tím více vystaví svůj boční povrch odporu vzduchu. A protože částice vzduchu vyvíjejí mnohem větší tlak na hlavu střely než na ocas, mají tendenci naklánět hlavu střely dozadu.

V důsledku toho síla odporu vzduchu nejen zpomaluje kulku během jejího letu, ale má také tendenci zaklánět její hlavu dozadu. Čím větší je rychlost střely a čím je delší, tím silnější na ni vzduch působí převracením. Je celkem pochopitelné, že při takovém působení odporu vzduchu se střela během letu začne klopit. Současně, vystavením vzduchu na jednu nebo druhou stranu, kulka rychle ztratí rychlost, v souvislosti s tím bude dosah letu malý a přesnost bitvy bude neuspokojivá.

Závěr

Ve všech uvažovaných příkladech působila na těleso stejná gravitační síla. Pohyby však vypadaly jinak. Vysvětluje se to tím, že povaha pohybu libovolného tělesa za daných podmínek je dána jeho výchozím stavem. Ne nadarmo všechny rovnice, které jsme získali, obsahují počáteční souřadnice a počáteční rychlosti. Jejich změnou můžeme přimět těleso jít nahoru nebo dolů po přímce, pohybovat se po parabole, dosáhnout jejího vrcholu nebo po ní klesat; můžeme oblouk paraboly více či méně ohnout a tak dále. A zároveň lze celou tuto rozmanitost pohybů vyjádřit jedním jednoduchým vzorcem:

Bibliografie

1. Gershenzon E.M., Malov N.N. Kurz obecné fyziky. M. Education, 1995.

2. Rymkevič P.A. Kurz fyziky. M. Osvěta, 1975

3. Saveliev I.V. Kurz obecné fyziky. M. Education, 1983.

4. Trofimová T.I. Kurz fyziky. M. Osvícení, 1997

5. Chertov A.G., Vorobyov A.A. Úkol z fyziky. M. Education, 1988.

Téma. Gravitační síla. Pohyb tělesa pod vlivem gravitace

Účel lekce: poskytnout studentům představu o pojmu gravitace; pochopit podstatu této síly. Seznámit je s pohybem těla pod vlivem gravitace

Typ lekce: učení nového materiálu

Plán lekce

Kontrola znalostí		1. Zákon univerzální gravitace. 2. Fyzikální význam gravitační konstanty. 3. Meze použitelnosti zákona univerzální gravitace
Ukázky		1. Padající těla na zem. 2. Těžiště těles. 3. Pohyb těla vrženého svisle nahoru a dolů.
Učení nového materiálu		1. Tíhová síla a těžiště. 2. Zrychlení volného pádu. 3. Pohyb těla svisle. 4. Pohyb tělesa vrženého vodorovně. 5. Pohyb tělesa vrženého pod úhlem k horizontu
Konsolidace studovaného materiálu		1. Trénujeme řešení problémů. 2. Bezpečnostní otázky

STUDIJTE NOVÝ MATERIÁL

Kámen padající z útesu a míč vržený svisle nahoru se pohybují v přímé linii. Po zrychlení na břehu člověk skočí do vody, zatímco trajektorie jejího těla je polovina paraboly. Projektil vystřelený z děla pod úhlem k horizontu bude také popisovat parabolu ve vesmíru. Dráha družice Země je velmi blízko kruhu. K pohybu všech těchto těles dochází vlivem gravitace. Proč se tyto pohyby od sebe tak liší? Důvodem jsou samozřejmě odlišné výchozí podmínky.

Pokud na tělo působí pouze gravitace, pak podle druhého Newtonova zákona m \u003d m nebo m \u003d m. To znamená, že při působení gravitace se těleso pohybuje se zrychlením g (a = g). V tomto případě má rovnice pro závislost rychlosti na čase tvar: = 0 + t .

Tato rovnice ukazuje, že rychlost tělesa je v rovině tvořené vektory 0 a , takže k popisu takových pohybů stačí dvourozměrný souřadnicový systém.

Uvažujme pohyb tělesa svisle: těleso je vrženo svisle nahoru (obr. a) a těleso padá svisle dolů (obr. b).

V tomto případě bude trajektorií tělesa úsečka, protože nedochází k žádnému pohybu podél osy Ox (0x = 0, x = x0).

Protože při pohybu nahoru pak pohybové rovnice budou mít následující tvar:

Podobně během pohybu těla shozeného dolů, rovnice budou vypadat takto:

1. Na základě jakého zákona lze tvrdit, že gravitační síla je úměrná hmotnosti tělesa?

2. Jak závisí gravitační zrychlení na výšce nad povrchem Země?

3. S jakým zrychlením se pohybuje těleso vržené vodorovně?

4. Závisí doba letu tělesa vrženého vodorovně na hodnotě počáteční rychlosti?

5. Lze pohyb tělesa vrženého pod úhlem k horizontu považovat za rovnoměrně zrychlený?

6. Co je běžné při pohybu těles vrhaných svisle vzhůru a pod úhlem k horizontu?

KONFIGURACE STUDOVANÉHO MATERIÁLU

1. Vypočítejte hmotnost Země, je-li známo, že její poloměr je 6400 km.

2. Vypočítejte zrychlení volného pádu ve výšce rovné poloměru Země.

3. Jakou rychlostí by mělo být těleso vrženo vodorovně z určité výšky, aby se dosah letu rovnal výšce, ze které je těleso vrženo?

4. Kámen odhozený vodorovně ze střechy domu rychlostí 15 m/s dopadl na zem pod úhlem 60° k horizontu. Jaká je výška domu?

5. Kámen hozený pod úhlem 30° k horizontu navštívil stejnou výšku dvakrát: 3 s a 5 s po zahájení pohybu. Vypočítejte počáteční rychlost házení a maximální výšku zdvihu.

1. Proč s rostoucí výškou nad povrchem Země klesá zrychlení volného pádu?

2. Může se těleso pod vlivem gravitace pohybovat po kružnici? Zdůvodněte svou odpověď.

3. Co je běžné při pohybu těles vrhaných svisle vzhůru a pod úhlem k horizontu?

4. Jak se změní čas a rozsah letu tělesa vrženého vodorovně z určité výšky, pokud se rychlost vrhu zdvojnásobí?

5. Těleso vržené pod úhlem 30° k horizontu dopadlo do určitého bodu na zemském povrchu. Pod jakým úhlem musí být druhé těleso vrženo stejnou počáteční rychlostí, aby dopadlo do stejného bodu jako první?

Co jsme se naučili v lekci

Síla, kterou Země přitahuje jakékoli těleso, se nazývá gravitace.

Gravitační síla působící na těleso je úměrná hmotnosti tohoto tělesa.

Místo působení gravitační síly působící na těleso pro jakoukoli jeho polohu v prostoru se nazývá těžiště.

Zrychlení volného pádu je:

Pokud na těleso působí pouze gravitace, pak rovnice pro závislost rychlosti tělesa na čase má tvar:

Těleso hozené vodorovně se pohybuje podél paraboly, jejíž vrchol je v výchozí bod hnutí.

Doba letu a letový dosah tělesa vrženého vodorovně se vypočítá podle vzorců:

Při pohybu tělesa vrženého pod úhlem k horizontu:

a) výška postavy -

b) dolet těla -

c) maximálního letového dosahu je dosaženo, je-li úhel = 45°.

p1) - 7,8; 7,21; 7,28, 8,6; 8,7;

p2) - 7,54; 7,55; 7,56. 8,13, 8,14;

p3) - 7,75; 7,81; 8,34; 8,39, 8,40.

cíle:

Pokračování seznamování s řadou rovnoměrně zrychlených pohybů.
Naučit se porovnávat různé druhy pohybů, hledání společných rysů a rozdílů, schopnost vyvozovat závěry z pozorovaných jevů.
Seznámit se s metodikou řešení problémů na toto téma, ukázat univerzálnost zákonitostí používaných při řešení problémů.
Rozšíření obzorů.

Etapy lekcí:

Fáze určení účelu lekce
Fáze aktualizace znalostí
Fáze získávání nových znalostí na téma „Pohyb těles pod vlivem gravitace“
Fáze přípravy na řešení problémů
Fáze fixace látky v procesu řešení křížovky, úkolů, testů
Domácí práce

Doprovodné lekce:

Prezentace "Pohyb těles pod vlivem gravitace."
Filmové klipy.
Zkušenosti.

Vybavení lekce:

počítačová třída
Video projektor
Elektronický didaktický materiál pro studenty
Zařízení: Newtonova trubice, kovové a papírové kotouče

BĚHEM lekcí

já Ode dneška budeme uvažovat o povaze a zákonech pohybu těles, která jsou ovlivněna pouze gravitací. Působením gravitace může existovat několik typů pohybů: pohyb těles vržených svisle nahoru, svisle dolů, vodorovně, pod úhlem k horizontu. Význam znalosti těchto zákonitostí nelze podceňovat. Vysvětlují pohyb parašutistů, projektilů, skokanů na lyžích atd.

Volný pohyb těles má následující vlastnost: těleso vržené vodorovně a jednoduše uvolněné ze stejné úrovně současně padá. Zaznamenejme pohyb takových těles na modelu.

Na posledních snímcích prezentace č. 18,19, 20, 21 jsou uvedeny filmové fragmenty (viz. Dodatek 6 ):

Hlavním úkolem mechaniky a pohybu těles vržených pod úhlem k horizontu,
Pád granátů vyhozených z letadla,
let balistických raket,
Let vesmírných raket.

Filmové klipy lze použít před zahájením tématu k vytvoření prvku zájmu, uprostřed k odůvodnění zvažování těchto typů pohybů nebo na konci při rozboru.

Hlavním úkolem mechaniky je kdykoli určit polohu těla. Řešením úlohy pro částice pohybující se v gravitačním poli Země jsou rovnice v průmětech na osy OX a OY:

Tyto vzorce stačí k vyřešení jakéhokoli problému o pohybu tělesa při působení gravitace.

A) Tělo je vrženo svisle nahoru

V tomto případě v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = - g .

Pohyb tělesa v tomto případě nastane po přímce a nejprve svisle nahoru do bodu, ve kterém se rychlost stane nulovou, a poté svisle dolů.

B) Těleso je vrženo vodorovně

V čem v 0x \u003d v 0, g x \u003d 0, v 0y \u003d 0, g y \u003d - g, x 0 \u003d 0, a tedy

Pro určení typu trajektorie, po které se těleso v tomto případě bude pohybovat, vyjádříme čas t z první rovnice a dosaďte ji do druhé rovnice. V důsledku toho dostaneme kvadratickou závislost na z X:

To znamená, že těleso se pak bude pohybovat po větvi paraboly.

C) Těleso je vrženo pod úhlem k horizontále

V tomto případě v 0 x \u003d v 0 s osα, g x \u003d 0, v 0y \u003d v 0 sin α, g y \u003d - g, x 0 \u003d y 0 \u003d 0, a proto

Ve všech uvažovaných příkladech působila na těleso stejná gravitační síla. Pohyby však vypadaly jinak. Vysvětluje se to tím, že povaha pohybu libovolného tělesa za daných podmínek je dána jeho výchozím stavem. Ne nadarmo všechny rovnice, které jsme získali, obsahují počáteční souřadnice a počáteční rychlosti. Jejich změnou můžeme přimět těleso jít nahoru nebo dolů po přímce, pohybovat se po parabole, dosáhnout jejího vrcholu nebo po ní klesat; můžeme oblouk paraboly více či méně ohnout atd. A zároveň lze celou tuto rozmanitost pohybů vyjádřit jedním jednoduchým vzorcem.

Mnoho jevů se vysvětluje působením sil univerzální gravitace v přírodě: pohyb planet ve sluneční soustavě, umělé družice Země, dráhy letu balistických střel, pohyb těles v blízkosti povrchu Země - vše z nich jsou vysvětleny na základě zákona univerzální gravitace a zákonů dynamiky.

Zákon univerzální gravitace vysvětluje mechanické zařízení Sluneční Soustava, a lze z něj odvodit Keplerovy zákony popisující trajektorie planet. Pro Keplera byly jeho zákony čistě popisné – vědec jednoduše zobecnil svá pozorování v matematické podobě, aniž by pod vzorce zahrnul jakékoli teoretické základy. Ve velkém systému světového řádu podle Newtona se Keplerovy zákony stávají přímým důsledkem univerzálních zákonů mechaniky a zákona univerzální gravitace. To znamená, že znovu pozorujeme, jak se empirické závěry získané na jedné úrovni při přechodu k dalšímu kroku v prohlubování našich znalostí o světě mění v přísně odůvodněné logické závěry.

Newton byl první, kdo navrhl, že gravitační síly určují nejen pohyb planet sluneční soustavy; působí mezi jakýmikoli tělesy Vesmíru. Jedním z projevů síly univerzální gravitace je síla gravitace – tak je zvykem nazývat sílu přitahování těles k Zemi v blízkosti jejího povrchu.

Jestliže M je hmotnost Země, RЗ je její poloměr, m je hmotnost daného tělesa, pak je gravitační síla rovna

kde g je zrychlení volného pádu na zemském povrchu

Gravitační síla směřuje do středu Země. V nepřítomnosti jiných sil padá těleso volně k Zemi se zrychlením volného pádu.

Průměrná hodnota tíhového zrychlení pro různé body na zemském povrchu je 9,81 m/s2. Když známe zrychlení volného pádu a poloměr Země (RЗ = 6,38 106 m), můžeme vypočítat hmotnost Země

Obraz struktury sluneční soustavy, který z těchto rovnic vyplývá a kombinuje zemskou a nebeskou gravitaci, lze pochopit na jednoduchém příkladu. Předpokládejme, že stojíme na okraji strmého útesu, vedle děla a kopce dělových koulí. Pokud jednoduše upustíte jádro z okraje útesu vertikálně, začne padat dolů vertikálně as rovnoměrným zrychlením. Jeho pohyb bude popsán Newtonovými zákony pro rovnoměrně zrychlený pohyb tělesa se zrychlením g. Pokud nyní uvolníte jádro z děla ve směru k horizontu, poletí – a spadne v oblouku. A v tomto případě bude jeho pohyb popisován Newtonovými zákony, jen jsou nyní aplikovány na těleso pohybující se vlivem gravitace a mající určitou počáteční rychlost ve vodorovné rovině. Nyní, když do děla opakovaně nakládáte těžší dělovou kouli a střílíte z ní, zjistíte, že jak každá následující dělová koule opouští hlaveň vyšší počáteční rychlostí, dělové koule padají stále dále a dále od paty útesu.

Nyní si představme, že jsme do děla nacpali tolik střelného prachu, že rychlost dělové koule stačí na oblet zeměkoule. Při zanedbání odporu vzduchu se dělová koule, která obletěla Zemi, vrátí do výchozího bodu přesně stejnou rychlostí, jakou původně vyletěla z děla. Co se bude dít dál, je jasné: jádro se tam nezastaví a bude dál kroužit kolem planety kruh za kruhem.

Jinými slovy, dostaneme umělou družici obíhající kolem Země jako přirozený satelit – Měsíc.

Krok za krokem jsme tedy přešli od popisu pohybu tělesa padajícího výhradně pod vlivem „pozemské“ gravitace (newtonské jablko) k popisu pohybu satelitu (Měsíce) na oběžné dráze, aniž bychom změnili povahu gravitačního vlivu. od „pozemského“ k „nebeskému“. Právě tento vhled umožnil Newtonovi spojit dvě síly gravitační přitažlivosti, které byly před ním považovány za odlišné povahy.

Při vzdalování se od povrchu Země se gravitační síla a zrychlení volného pádu mění nepřímo s druhou mocninou vzdálenosti r ke středu Země. Příkladem systému dvou interagujících těles je systém Země–Měsíc. Měsíc se od Země nachází ve vzdálenosti rL = 3,84 106 m. Tato vzdálenost je přibližně 60x větší než poloměr Země RЗ. V důsledku toho je zrychlení volného pádu aL v důsledku zemské gravitace na oběžné dráze Měsíce

S takovým zrychlením směřujícím ke středu Země se Měsíc pohybuje po oběžné dráze. Proto je toto zrychlení dostředivé zrychlení. Lze jej vypočítat z kinematického vzorce pro dostředivé zrychlení

kde T = 27,3 dne je doba oběhu Měsíce kolem Země.

Shoda výsledků výpočtů provedených různými metodami potvrzuje Newtonův předpoklad o jednotné povaze síly držící Měsíc na oběžné dráze a gravitační síly.

Vlastní gravitační pole Měsíce určuje zrychlení volného pádu gL na jeho povrchu. Hmotnost Měsíce je 81krát menší než hmotnost Země a jeho poloměr je přibližně 3,7krát menší než poloměr Země.

Proto je zrychlení gL určeno výrazem

Zvažte otázku umělých družic Země. Umělé družice Země se pohybují mimo zemskou atmosféru a působí na ně pouze gravitační síly ze Země.

V závislosti na počáteční rychlosti může být trajektorie vesmírného tělesa různá. Vezměme si případ umělé družice pohybující se po kruhové dráze blízké Zemi. Takové družice létají ve výškách řádově 200–300 km a vzdálenost do středu Země může být přibližně rovna jejímu poloměru R3. Potom se dostředivé zrychlení družice, které jí udělují gravitační síly, přibližně rovná gravitačnímu zrychlení g. Rychlost satelitu na oběžné dráze v blízkosti Země označujeme jako υ1 – tato rychlost se nazývá první kosmická rychlost. Pomocí kinematického vzorce pro dostředivé zrychlení dostaneme

Pohybující se touto rychlostí by satelit obletěl Zemi v čase

U satelitů pohybujících se po kruhových trajektoriích ve značné vzdálenosti od Země zemská gravitace slábne nepřímo s druhou mocninou poloměru r trajektorie. Na vysokých drahách je tedy rychlost pohybu satelitů menší než na oběžné dráze blízké Zemi.

S rostoucím poloměrem oběžné dráhy se prodlužuje oběžná doba satelitu. Je snadné vypočítat, že při poloměru oběžné dráhy r rovném přibližně 6,6 R3 bude doba otáčení satelitu rovna 24 hodinám. Satelit s takovou periodou revoluce, vypuštěný v rovině rovníku, bude nehybně viset nad určitým bodem na zemském povrchu. Takové družice se používají v kosmických radiokomunikačních systémech. Dráha s poloměrem r = 6,6 R3 se nazývá geostacionární.

Druhá kosmická rychlost je minimální rychlost, která musí být hlášena kosmické lodi blízko povrchu Země, aby se po překonání zemské gravitace proměnila v umělou družici Slunce (umělou planetu). V tomto případě se loď bude vzdalovat od Země po parabolické trajektorii.

Obrázek 5 znázorňuje prostorové rychlosti. Pokud rychlost kosmická loď je rovna υ1 = 7,9 103 m/s a směřuje rovnoběžně s povrchem Země, pak se loď bude pohybovat po kruhové dráze v malé výšce nad Zemí. Při počátečních rychlostech přesahujících υ1, ale nižších než υ2 = 11,2 103 m/s, bude dráha lodi eliptická. Při počáteční rychlosti υ2 se loď bude pohybovat po parabole a při ještě vyšší počáteční rychlosti po hyperbole.

Obrázek 5 - Kosmické rychlosti

Rychlosti v blízkosti zemského povrchu jsou označeny: 1) υ = υ1 – kruhová trajektorie;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 je parabolická trajektorie; 5) υ > υ2 je hyperbolická trajektorie;

6) trajektorii Měsíce

Tak jsme zjistili, že všechny pohyby ve sluneční soustavě se řídí Newtonovým zákonem univerzální gravitace.

Na základě malé hmotnosti planet, a tím spíše ostatních těles sluneční soustavy, můžeme přibližně předpokládat, že pohyby v blízkém slunečním prostoru se řídí Keplerovy zákony.

Všechna tělesa se pohybují kolem Slunce po eliptických drahách, v jejichž jednom z ohnisek je Slunce. Čím blíže je nebeské těleso Slunci, tím vyšší je jeho oběžná rychlost (planeta Pluto, nejvzdálenější známá, se pohybuje 6krát pomaleji než Země).

Tělesa se také mohou pohybovat po otevřených drahách: parabola nebo hyperbola. To se stane, pokud je rychlost tělesa rovna nebo vyšší než hodnota druhé kosmické rychlosti pro Slunce v dané vzdálenosti od centrálního svítidla. Pokud mluvíme o satelitu planety, pak je třeba vypočítat kosmickou rychlost vzhledem k hmotnosti planety a vzdálenosti k jejímu středu.