Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos taškus. Funkcijos kritiniai taškai Kaip rasti maksimalų funkcijos y tašką
Apsvarstykite toliau pateiktą paveikslą.
Jame parodytas funkcijos y = x^3 - 3*x^2 grafikas. Apsvarstykite kokį nors intervalą, kuriame yra taškas x = 0, pavyzdžiui, nuo -1 iki 1. Toks intervalas dar vadinamas taško x = 0 kaimynyste. Kaip matyti grafike, šioje kaimynystėje funkcija y = x ^3 – 3*x^2 įgauna didžiausią reikšmę tiksliai taške x = 0.
Funkcijos maksimumas ir minimumas
Šiuo atveju taškas x = 0 vadinamas maksimaliu funkcijos tašku. Pagal analogiją taškas x = 2 vadinamas funkcijos y = x^3 - 3*x^2 minimaliu tašku. Kadangi yra tokia šio taško kaimynystė, kurioje vertė šiame taške bus minimali tarp visų kitų šios kaimynystės verčių.
taškas maksimalus funkcija f(x) vadinama tašku x0, su sąlyga, kad yra taško x0 kaimynystė, kad visiems x, kurie nėra lygūs x0 iš šios apylinkės, nelygybė f(x)< f(x0).
taškas minimumas funkcija f(x) vadinama tašku x0, su sąlyga, kad yra taško x0 kaimynystė, kad visiems x, kurie nėra lygūs x0 iš šios apylinkės, tenkinama nelygybė f(x) > f(x0).
Funkcijų didžiausiame ir minimaliame taške funkcijos išvestinės reikšmė lygi nuliui. Bet tai nėra pakankama sąlyga funkcijai egzistuoti didžiausiame ar mažiausiajame taške.
Pavyzdžiui, funkcija y = x^3 taške x = 0 turi išvestinę, lygią nuliui. Bet taškas x = 0 nėra mažiausias ar maksimalus funkcijos taškas. Kaip žinote, funkcija y = x^3 didėja visoje realioje ašyje.
Taigi minimalus ir maksimalus taškai visada bus tarp lygties f’(x) = 0 šaknų. Tačiau ne visos šios lygties šaknys bus didžiausi arba minimalūs taškai.
Stacionarūs ir kritiniai taškai
Taškai, kuriuose funkcijos išvestinės reikšmė lygi nuliui, vadinami stacionariais taškais. Taip pat gali būti maksimalaus arba minimumo taškai taškuose, kuriuose funkcijos išvestinės iš viso nėra. Pavyzdžiui, y = |x| taške x = 0 turi minimumą, bet išvestinė šiame taške neegzistuoja. Šis taškas bus kritinis funkcijos taškas.
Funkcijos kritiniai taškai yra taškai, kuriuose išvestinė yra lygi nuliui arba išvestinė šiuo metu neegzistuoja, tai yra, funkcija šiame taške yra nediferencijuojama. Norint rasti funkcijos maksimumą arba minimumą, turi būti įvykdyta pakankama sąlyga.
Tegul f(x) yra kokia nors intervale (a;b) diferencijuojama funkcija. Taškas x0 priklauso šiam intervalui ir f'(x0) = 0. Tada:
1. jei, eidama per stacionarų tašką x0, funkcija f (x) ir jos išvestinė keičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“, tai taškas x0 yra maksimalus funkcijos taškas.
2. jei, eidama per stacionarų tašką x0, funkcija f (x) ir jos išvestinė keičia ženklą, iš „minuso“ į „pliusą“, tai taškas x0 yra mažiausias funkcijos taškas.
prasmė
Didžiausias
prasmė
Mažiausiai
Maksimalus taškas
Žemas taškas
Funkcijos ekstremalių taškų radimo uždaviniai sprendžiami pagal standartinė schema 3 žingsniais.
1 žingsnis. Raskite funkcijos išvestinę
- Norėdami rasti išvestinę, įsiminkite elementariųjų funkcijų išvestinės formules ir pagrindines diferenciacijos taisykles.
y′(x)=(x3–243x+19)′=3x2–243.
2 žingsnis. Raskite išvestinės nulius
- Išspręskite gautą lygtį, kad surastumėte išvestinės nulius.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
3 veiksmas. Raskite ekstremalių taškų
- Išvestinės požymiams nustatyti naudokite tarpų metodą;
- Mažiausiame taške išvestinė yra lygi nuliui ir keičia ženklą iš minuso į pliusą, o didžiausiame – iš pliuso į minusą.
Taikykime šį metodą, kad išspręstume šią problemą:
Raskite funkcijos y=x3−243x+19 maksimalų tašką.
1) Raskite išvestinę: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Išspręskite lygtį y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Išvestinė yra teigiama, kai x>9 ir x<−9 и отрицательная при −9 Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę Išspręsti didžiausių ir mažiausių funkcijos reikšmių radimo problemą būtina: Padeda atlikti daugybę užduočių teorema: Jei atkarpoje yra tik vienas ekstremumo taškas ir tai yra mažiausias taškas, tada jame pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė. Jei tai yra didžiausias taškas, tada didžiausia vertė pasiekiama jame. 14. Neapibrėžtinio integralo samprata ir pagrindinės savybės. Jei funkcija f(x X, ir k- tada numeris Trumpai tariant: konstantą galima išimti iš integralo ženklo. Jei funkcijos f(x) ir g(x) intervale yra antidarinių X, tada Trumpai tariant: sumos integralas lygus integralų sumai. Jei funkcija f(x) intervale turi antidarinį X, tada šio intervalo vidiniams taškams: Trumpai tariant: integralo išvestinė lygi integrandui. Jei funkcija f(x) yra nuolatinis intervale X ir yra diferencijuojamas vidiniuose šio intervalo taškuose, tada: Trumpai tariant: funkcijos diferencialo integralas yra lygus tai funkcijai plius integravimo konstanta. Pateiksime griežtą matematinį apibrėžimą neapibrėžto integralo sąvokos. Malonus posakis vadinamas funkcijos integralas f(x)
, kur f(x)
- integrando funkcija, kuri yra duota (žinoma), dx
- diferencialas x
, su visada esančiu simboliu dx
. Apibrėžimas. Neapibrėžtas integralas vadinama funkcija F(x) + C
, kuriame yra savavališka konstanta C
, kurio diferencialas lygus integrandas išraiška f(x)dx
, t.y. Prisimink tai - funkcijų diferencialas ir apibrėžiamas taip: Problemos radimas neapibrėžtas integralas yra surasti funkciją išvestinė kuri lygi integrandui. Ši funkcija nustatoma iki konstantos, nes konstantos išvestinė lygi nuliui. Pavyzdžiui, žinoma, kad , tada paaiškėja, kad Rasti užduotį neapibrėžtas integralas iš funkcijų nėra taip paprasta ir lengva, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Daugeliu atvejų reikia turėti įgūdžių dirbti neapibrėžti integralai, turėtų būti patirtis, kuri ateina su praktika ir nuolatinė sprendžiant neapibrėžtųjų integralų pavyzdžius. Verta atsižvelgti į tai, kad neapibrėžtieji integralai iš kai kurių funkcijų (jų yra gana daug) elementariose funkcijose nepaimtos. 15. Pagrindinių neapibrėžtinių integralų lentelė. Pagrindinės formulės 16. Apibrėžtinis integralas kaip integralo sumos riba. Geometrinė ir fizinė integralo reikšmė. Tegul funkcija y=ƒ(x) yra apibrėžta atkarpoje [a; b] ir< b. Выполним следующие действия. 1. Naudojant taškus x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0 2. Kiekvienoje dalinėje atkarpoje , i = 1,2,...,n, pasirenkame savavališką tašką su i є ir jame apskaičiuojame funkcijos reikšmę, ty reikšmę ƒ(su i). 3. Rastą funkcijos reikšmę ƒ (iš i) padauginkite iš atitinkamos dalinės atkarpos ilgio ∆x i =x i -x i-1: ƒ (iš i) ∆х i. 4. Sudarykite visų tokių produktų sumą S n: Formos (35.1) suma vadinama funkcijos y \u003d ƒ (x) integralia suma atkarpoje [a; b]. Didžiausios dalinės atkarpos ilgį pažymėkite λ: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Raskite integralinės sumos (35.1) ribą kaip n → ∞, kad λ→0. Jei be to, integralinė suma S n turi ribą I, kuri nepriklauso nuo atkarpos skaidymo būdo [a; b] į dalines atkarpas arba nuo juose esančių taškų pasirinkimo, tada skaičius I vadinamas funkcijos y = ƒ(x) apibrėžtuoju integralu atkarpoje [a; b] ir žymimas taip, Skaičiai a ir b vadinami atitinkamai apatine ir viršutine integravimo ribomis, ƒ(x) – integrandu, ƒ(x) dx – integrandu, x – integravimo kintamuoju, atkarpa [a; b] - integracijos sritis (segmentas). Funkcija y \u003d ƒ (x), kuriai atkarpoje [a; b] šiame intervale yra apibrėžtas integralas, vadinamas integraliuoju. Dabar suformuluokime apibrėžtojo integralo egzistencijos teoremą. 35.1 teorema (Koši). Jei funkcija y = ƒ(x) yra ištisinė atkarpoje [a; b], tada apibrėžtasis integralas Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos tęstinumas yra pakankama jos integralumo sąlyga. Tačiau apibrėžtas integralas taip pat gali egzistuoti kai kurioms nepertraukiamoms funkcijoms, ypač bet kuriai funkcijai, kuri yra apribota intervalu ir turi baigtinį skaičių nenutrūkstamų taškų. Nurodykime kai kurias apibrėžtojo integralo savybes, kurios tiesiogiai išplaukia iš jo apibrėžimo (35.2). 1. Apibrėžiamasis integralas nepriklauso nuo integravimo kintamojo žymėjimo: Tai išplaukia iš to, kad integralioji suma (35.1) ir atitinkamai jos riba (35.2) nepriklauso nuo to, kokia raidė žymi šios funkcijos argumentą. 2. Apibrėžtasis integralas su tomis pačiomis integravimo ribomis yra lygus nuliui: 3. Bet kuriam realiajam skaičiui c. 17. Niutono-Leibnizo formulė. Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės. Tegul funkcija y = f(x) ištisinis segmente
ir F(x) yra vienas iš šio segmento funkcijos antidarinių Niutono-Leibnizo formulė: Niutono-Leibnizo formulė vadinama pagrindinė integralinio skaičiavimo formulė. Norint įrodyti Niutono-Leibnizo formulę, mums reikia integralo su kintamąja viršutine riba sąvokos. Jei funkcija y = f(x) ištisinis segmente
, tada argumento formos integralas yra viršutinės ribos funkcija. Mes pažymime šią funkciją Iš tiesų, parašykime funkcijos prieaugį, atitinkantį argumento prieaugį, ir naudokime penktąją apibrėžtojo integralo savybę bei dešimtosios savybės padarinį: Perrašykime šią lygybę į formą Apskaičiuokite F(a), naudojant pirmąją apibrėžtojo integralo savybę: Funkcijos padidėjimas paprastai žymimas kaip Norint pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę, mums pakanka žinoti vieną iš antidarinių y=F(x) integrandas y=f(x) segmente
ir apskaičiuokite šio antidarinio prieaugį šiame segmente. Straipsnyje integravimo metodai analizuojami pagrindiniai antidarinio radimo būdai. Pateiksime keletą apibrėžtųjų integralų skaičiavimo, naudojant Niutono-Leibnizo formulę, kad paaiškintume. Pavyzdys. Apskaičiuokite apibrėžtojo integralo reikšmę naudodami Niutono-Leibnizo formulę. Sprendimas. Pirma, atkreipkite dėmesį, kad integrandas yra tęstinis intervale
, taigi, yra integruojamas į jį. (Apie integruojamas funkcijas kalbėjome skyriuje apie funkcijas, kurioms yra apibrėžtas integralas). Iš neapibrėžtų integralų lentelės matyti, kad funkcijai antidarinių rinkinys visoms tikrosioms argumento reikšmėms (taigi, už ) yra parašytas kaip Dabar belieka naudoti Niutono-Leibnizo formulę apibrėžtajam integralui apskaičiuoti: 18. Apibrėžtinio integralo geometriniai taikymai. TIKRINIO INTEGRALO GEOMETRINIS TAIKYMAS Kūno tūrio skaičiavimas Kūno tūrio apskaičiavimas pagal žinomus lygiagrečių pjūvių plotus: Sukimosi korpuso tūris: ; . 1 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį riboja kreivė y=sinx, tiesios linijos Sprendimas: Figūros ploto radimas: 2 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą Sprendimas: Raskime šių funkcijų grafikų susikirtimo taškų abscises. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą Iš čia randame x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2,5. 19. Diferencialinių valdiklių samprata. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Diferencialinė lygtis- lygtis, jungianti funkcijos išvestinės reikšmę su pačia funkcija, nepriklausomo kintamojo reikšmėmis, skaičiais (parametrais). Į lygtį įtrauktų išvestinių eilės tvarka gali būti skirtinga (formaliai ji niekuo neribojama). Išvestinės išvestinės, funkcijos, nepriklausomi kintamieji ir parametrai gali būti įtraukti į lygtį įvairiais deriniais arba iš viso gali nebūti visų, išskyrus bent vieną išvestinę. Jokia lygtis, turinti nežinomos funkcijos išvestinius, nėra diferencialinė lygtis. Pavyzdžiui, Dalinės diferencialinės lygtys(URCHP) yra lygtys, kuriose yra nežinomų kelių kintamųjų funkcijų ir jų dalinių išvestinių. Bendra tokių lygčių forma gali būti pavaizduota taip: kur yra nepriklausomi kintamieji ir yra šių kintamųjų funkcija. Dalinių diferencialinių lygčių eiliškumą galima nustatyti taip pat, kaip ir įprastų diferencialinių lygčių atveju. Kita svarbi dalinių diferencialinių lygčių klasifikacija yra jų skirstymas į elipsinių, parabolinių ir hiperbolinių tipų lygtis, ypač antros eilės lygtims. Galima suskirstyti įprastąsias diferencialines lygtis ir dalines diferencialines lygtis linijinis ir nelinijinis. Diferencialinė lygtis yra tiesinė, jei nežinoma funkcija ir jos išvestinės į lygtį patenka tik iki pirmos laipsnio (ir nesidaugina tarpusavyje). Tokioms lygtims sprendiniai sudaro afininę funkcijų erdvės poerdvę. Tiesinių diferencialinių lygčių teorija buvo išplėtota daug giliau nei netiesinių lygčių teorija. Bendroji tiesinės diferencialinės lygties forma n- užsakymas: kur pi(x) yra žinomos nepriklausomo kintamojo funkcijos, vadinamos lygties koeficientais. Funkcija r(x) dešinėje pusėje vadinamas nemokamas narys(vienintelis terminas, kuris nepriklauso nuo nežinomos funkcijos) Svarbi konkreti tiesinių lygčių klasė yra tiesinės diferencialinės lygtys su pastovūs koeficientai. Tiesinių lygčių poklasis yra vienalytis diferencialinės lygtys – lygtys, kuriose nėra laisvo termino: r(x) = 0. Homogeninėms diferencialinėms lygtims galioja superpozicijos principas: tiesinis tokios lygties tam tikrų sprendinių derinys taip pat bus jos sprendimas. Visos kitos tiesinės diferencialinės lygtys vadinamos nevienalytis diferencialines lygtis. Netiesinės diferencialinės lygtys bendruoju atveju neturi sukurtų sprendimo metodų, išskyrus kai kurias konkrečias klases. Kai kuriais atvejais (naudojant tam tikrus aproksimacijas) juos galima sumažinti iki tiesinių. Pavyzdžiui, harmoninio osciliatoriaus tiesinė lygtis · yra antros eilės vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Sprendimas yra funkcijų šeima , kur ir yra savavališkos konstantos, kurios konkrečiam sprendimui nustatomos iš atskirai nurodytų pradinių sąlygų. Ši lygtis visų pirma apibūdina harmoninio osciliatoriaus, kurio ciklinis dažnis yra 3, judėjimą. · Antrasis Niutono dėsnis gali būti parašytas diferencialinės lygties forma · Beselio diferencialinė lygtis yra įprasta tiesinė homogeninė antros eilės lygtis su kintamaisiais koeficientais: jos sprendiniai yra Beselio funkcijos. Nehomogeninės netiesinės 1 eilės paprastosios diferencialinės lygties pavyzdys: Toliau pateiktoje pavyzdžių grupėje nežinoma funkcija u priklauso nuo dviejų kintamųjų x ir t arba x ir y. Pirmos eilės vienalytė tiesinė dalinė diferencialinė lygtis: Vienmatė bangų lygtis - vienalytė tiesinė lygtis dalinėse antros eilės hiperbolinio tipo išvestinėse su pastoviais koeficientais, apibūdina stygos virpesius, jei - stygos nuokrypį taške su koordinate. x tuo metu t, ir parametras a nustato eilutės savybes: Laplaso lygtis dvimatėje erdvėje yra vienalytė tiesinė diferencialinė lygtis elipsinio tipo antros eilės dalinėse išvestinėse su pastoviais koeficientais, kuri iškyla daugelyje fizinių mechanikos, šilumos laidumo, elektrostatikos, hidraulikos problemų: Korteweg-de Vries lygtis, netiesinė trečios eilės dalinė diferencialinė lygtis, apibūdinanti stacionarias nelinijines bangas, įskaitant solitonus: 20. Taikomos diferencialinės lygtys su atskiriamomis. Tiesinės lygtys ir Bernulio metodas. Pirmosios eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra lygtis, kuri yra tiesinė nežinomos funkcijos ir jos išvestinės atžvilgiu. Atrodo Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?
Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas. Funkcijos maksimumo ir minimumo (ekstremumo) būtina sąlyga yra tokia: jei funkcija f(x ) turi ekstremumą taške x = a, tai šiame taške išvestinė yra arba nulis, arba begalinė, arba neegzistuoja. Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali išnykti, pereiti į begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo. Kokia yra pakankama funkcijos kraštutinumo sąlyga (maksimali arba minimali)?
Pirmoji sąlyga: f? (x ) yra teigiamas į kairę nuo a ir neigiamas į dešinę nuo a, tada pačiame taške x = a funkcija f(x ) Tai turi maksimalus su sąlyga, kad funkcija f(x ) čia tęsiasi. Jei pakankamai arti taško x \u003d a, išvestinė f? (x ) yra neigiamas į kairę nuo a ir teigiamas į dešinę nuo a, tada pačiame taške x = a funkcija f(x ) Tai turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x ) čia tęsiasi. Vietoj to galite naudoti antroji pakankama sąlyga funkcijos ekstremumas:
Tegu taške x = ir pirmoji išvestinė f? (x ) išnyksta; jei antroji išvestinė f?? (a) yra neigiamas, tada funkcija f (x) taške x = a maksimalus, jei teigiamas – minimumas. Apie atvejį f?? (a) = 0 galima rasti M.Ya. Aukštosios matematikos vadove. Vygodskis. Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?
Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcijas f? (x ) ir prilyginant jį nuliui, išspręsti lygtį
f? (x ) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, ty argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas. Juos galima nesunkiai atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta. Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.
Funkcija y (x) \u003d 3 x 2 + 2 x - 50. Funkcijos išvestinė: y? (x) = 6 x + 2 Išsprendžiame lygtį: y? (x) = 0 6x + 2 \u003d 0,6x \u003d -2, x \u003d -2/6 \u003d -1/3 Šiuo atveju kritinis taškas yra x 0 = -1/3. Šią argumento reikšmę funkcija turi ekstremumas. Gauti tai rasti, funkcijos išraiškoje rastą skaičių pakeičiame vietoj "x": y 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?
Jei išvestinės ženklas pereinant per kritinį tašką x 0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tada x 0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x 0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x 0 nėra nei maksimumo, nei minimumo. Dėl nagrinėjamo pavyzdžio: Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1 Kai x = -1, išvestinės vertė bus y?
(-1) \u003d 6 * (-1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (t. y. ženklas yra „minusas“). Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1 Jei x = 1, išvestinės vertė bus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. pliuso ženklas). Kaip matote, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklą pakeitė iš minuso į pliusą. Tai reiškia, kad esant kritinei x 0 vertei, turime mažiausią tašką. Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė ant intervalo(segmente) randami ta pačia procedūra, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose. Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x intervalais: a) [-9; 9] b) [-6; -3] Taigi funkcijos išvestinė yra y? (x) \u003d 3 cos (x) – 0,5 3 lygties sprendimas cos (x) - 0,5 \u003d 0 3cos(x) = 0,5 cos(x) = 0,5/3 = 0,16667 x \u003d ± arkos (0,16667) + 2πk. Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]: x \u003d arccos (0,16667) – 2 π *2 = -11,163 (ne diapazone) x \u003d - arccos (0,16667) - 2 π * 1 \u003d -7,687 x \u003d arccos (0,16667) – 2 π * 1 \u003d –4,88 x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π * 0 \u003d -1,403 x \u003d arccos (0,16667) + 2 π * 0 = 1,403 x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π * 1 = 4,88 x \u003d arccos (0,16667) + 2 π * 1 \u003d 7,687 x \u003d - arccos (0,16667) + 2 π *2 = 11,163 (neįtraukta į diapazoną) Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms: y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885 y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398 y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256 y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256 y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398 y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885 Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę x = -4,88: x = -4,88, y = 5,398, o mažiausias - esant x = 4,88: x = 4,88, y = -5,398. Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra y = 5,398. Funkcijos reikšmę randame intervalo galuose: y (-6) = 3 cos (-6) - 0,5 = 3,838 y (-3) = 3 cos (-3) - 0,5 = 1,077 Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę y = 5,398, kai x = -4,88 mažiausia vertė yra y = 1,077, kai x = -3 Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubimo bei įgaubimo puses?
Norėdami rasti visus linijos lūžio taškus y=f(x ), reikia rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir patikrinti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui, begalinė arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei nesikeičia, tada nėra linksniavimo. Lygties f šaknys? (x ) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, funkcijos sritį padalija į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tada linija y=f(x ) čia įdubimu pasuktas aukštyn, o jei neigiamas, tai žemyn. Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus?
Norėdami rasti funkcijos kraštutinumą f (x, y ), skiriasi savo priskyrimo srityje, būtina: 1) Raskite kritinius taškus ir tam išspręskite lygčių sistemą f x ? (x, y) \u003d 0, f y? (x, y) = 0 2) kiekvienam kritiniam taškui Р 0 ( a; b ) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs f (x, y) – f (a, b) visiems taškams (x; y) pakankamai arti Р 0 . Jei skirtumas išlaiko teigiamą ženklą, tada taške P 0 turime minimumą, jei neigiamą, tada maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške Р 0 nėra ekstremumo. Panašiai funkcijos ekstremumai nustatomi didesniam argumentų skaičiui. Šaltiniai: Paprastas algoritmas ekstremumams rasti..
Iš taškų, įtariamų ekstremumu, būtina tiksliai rasti . Norėdami tai padaryti, mes žiūrime į mūsų tarpus koordinačių linijoje. Jei, einant per kurį nors tašką, išvestinės ženklas pasikeis iš pliuso į minusą, tai šis taškas bus maksimalus, o jei nuo minuso iki pliuso, tai minimumas. Norint rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir ekstremaliuose taškuose. Tada pasirinkite didžiausią ir mažiausią vertę. Apsvarstykite pavyzdį Matome, kad einant per tašką -1, išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, tai yra, tai bus minimalus taškas, o einant per 1, atitinkamai iš pliuso į minusą, tai yra maksimalus taškas.
arba 
Funkcija vadinama antiderivatinė funkcija. Funkcijos antiderivatinė nustatoma iki pastovios reikšmės.
, čia yra savavališka konstanta.
.
, o ši funkcija yra nuolatinė ir lygybė 
.
kur .
. Jei prisiminsime funkcijos išvestinės apibrėžimą ir pereisime prie ribos ties , gausime . Tai yra, yra vienas iš funkcijos antidarinių y = f(x) segmente
. Taigi, visų antidarinių rinkinys F(x) gali būti parašytas kaip 
, kur SU yra savavališka konstanta.
, vadinasi,. Skaičiuodami naudojame šį rezultatą F(b): , tai yra 
. Ši lygybė suteikia įrodomą Niutono-Leibnizo formulę .
. Naudojant šį žymėjimą, Niutono-Leibnizo formulė įgauna formą 
.
. Paimkime primityvus C=0: .
.Stačiakampis S.K. Funkcija, apibrėžta parametriškai Polyarnaya S.K.
Plokštumos figūrų ploto apskaičiavimas
Plokštumos kreivės lanko ilgio apskaičiavimas
Revoliucijos paviršiaus ploto apskaičiavimas
nėra diferencialinė lygtis.
gali būti laikomas matematinės švytuoklės netiesinės lygties aproksimacija 
mažos amplitudės atveju, kai y≈ nuodėmė y.
kur m- kūno masė, x- jos koordinatės, F(x, t) yra jėga, veikianti kūną su koordinate x tuo metu t. Jo sprendimas yra kūno trajektorija veikiant nurodytai jėgai.
Randame išvestinę ir prilygstame nuliui:
Gautas kintamųjų reikšmes pritaikome koordinačių linijai ir kiekviename intervale apskaičiuojame išvestinės ženklą. Na, pavyzdžiui, pirmam paėmimui-2
, tada išvestinė bus-0,24
, antrą kartą0
, tada išvestinė bus2
, o trečią imame2
, tada išvestinė bus-0,24. Padedame atitinkamus ženklus.