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Analisi dimensionale delle sue capacità e dei suoi limiti. Il mio blog scientifico

Molti processi riscontrati nella pratica sono così complessi che non possono essere descritti direttamente mediante equazioni differenziali. In questi casi, l'analisi dimensionale è una tecnica molto preziosa per identificare la relazione tra quantità variabili.

Questo metodo non fornisce informazioni complete sulla relazione tra le variabili, che alla fine devono essere rivelate sperimentalmente. Tuttavia, questo metodo può ridurre significativamente la quantità di lavoro sperimentale.

Pertanto, l'uso efficace del metodo dimensionale è possibile solo quando è combinato con la sperimentazione; in questo caso devono essere conosciuti tutti i fattori o variabili che influenzano il processo oggetto di studio.

L'analisi dimensionale fornisce una distribuzione logica delle quantità tra gruppi adimensionali. In generale, la dipendenza funzionale N può essere rappresentata come una formula chiamata formula della dimensione:

Ciò include (k + 1) quantità di inclusione e quantità N. Possono essere variabili, costanti, dimensionali e adimensionali. In questo caso, però, è necessario che lo stesso sistema di unità di misura fondamentali venga adottato per le quantità numeriche comprese nell'equazione che caratterizza il fenomeno fisico. Se questa condizione è soddisfatta, l'equazione rimane valida per un sistema di unità scelto arbitrariamente. Inoltre, queste unità di base devono essere indipendenti nelle loro dimensioni, e il loro numero deve essere tale che sia possibile rappresentare attraverso di esse le dimensioni di tutte le quantità comprese nella dipendenza funzionale (3.73).

Tali unità di misura possono essere tre quantità qualsiasi incluse nell'equazione (3.73) e che sono indipendenti l'una dall'altra in termini di dimensione. Se prendiamo ad esempio la lunghezza L e la velocità V come unità di misura, avremo così una data unità di lunghezza L e un'unità di tempo. Pertanto, come terza unità di misura, è impossibile accettare qualsiasi quantità la cui dimensione contenga solo lunghezza e tempo, come ad esempio l'accelerazione, poiché l'unità di questa quantità è già data come risultato della scelta delle unità di misura. lunghezza e velocità. Pertanto, deve essere selezionata in aggiunta qualsiasi grandezza la cui dimensione includa la massa, ad esempio densità, viscosità, forza, ecc.

In pratica, ad esempio, negli studi idraulici, risulta opportuno prendere le seguenti tre unità di misura: velocità V 0 di qualsiasi particella del flusso, qualsiasi lunghezza (diametro del tubo D o sua lunghezza L), densità ρ del fluido selezionato particella.

Le dimensioni di queste unità di misura sono:

SM; M; kg/m3.

Pertanto, l'equazione per le dimensioni secondo la dipendenza funzionale (3.73) può essere presentata nella forma seguente:

I valori di N i e n i, presi nel sistema delle unità di base (metro, secondo, chilogrammo), possono essere espressi in numeri adimensionali:

; .

Pertanto, invece dell'equazione (3.73), puoi scrivere un'equazione in cui tutte le quantità sono espresse in unità relative (rispetto a V 0, L 0, ρ 0):

Poiché p 1, p 2, p 3 rappresentano rispettivamente V 0, L 0, ρ 0, i primi tre termini dell'equazione si trasformano in tre unità e la dipendenza funzionale assume la forma:

. (3.76)

Secondo il teorema π, qualsiasi relazione tra quantità dimensionali può essere formulata come una relazione tra quantità adimensionali. Durante la ricerca, questo teorema ci consente di determinare la relazione non tra le variabili stesse, ma tra alcune delle loro relazioni adimensionali, compilate secondo determinate leggi.

Pertanto, la relazione funzionale tra k + 1 quantità dimensionali N e n i è generalmente espressa come il rapporto tra (k + 1- 3) quantità π e π i (i = 4,5, ..., k), ciascuna delle quali è un combinazione adimensionale della legge di potenza di quantità incluse nella dipendenza funzionale. I numeri adimensionali π hanno la natura di criteri di somiglianza, come si può vedere dal seguente esempio.

Esempio 3.3. Determinare la dipendenza funzionale della forza di resistenza F (N = kg m/s 2) subita dalla piastra quando il fluido scorre attorno ad essa nella direzione della sua lunghezza.

La dipendenza funzionale della forza di resistenza può essere rappresentata in funzione di un numero di variabili indipendenti e determinata in condizioni di similarità:

,

Dove velocità del flusso, m/s; superficie della piastra, m2; densità del liquido, kg/m3; coefficiente di viscosità dinamica, Pa s ([Pa s] = kg/m s); accelerazione di caduta libera, m/s 2 ; pressione, Pa (Pa = kg/m·s); rapporto tra l'altezza della piastra e la sua lunghezza; l'angolo di inclinazione della piastra rispetto alla direzione del flusso.

Pertanto le quantità sono adimensionali, le altre sei sono dimensionali. Tre di loro: , e accettato come fondamentale. Secondo il teorema π qui sono possibili solo relazioni tridimensionali. Quindi:

per la forza di resistenza:

1 = z (indicatori a sinistra e a destra in kg);

2 = - x (indicatori a sinistra e a destra in c);

1 = x + 2y - 3z (indicatori a sinistra e a destra in m).

Risolvendo queste equazioni si ottiene: x = 2; y = 1; z = 1.

Dipendenza funzionale:

Allo stesso modo otteniamo:

Per la viscosità:

abbiamo x 1 = 1; y1 = 0,5; z1 = 1.

Dipendenza funzionale:

;

abbiamo x2 = 2; y2 = - 0,5; z2 = 0.

Dipendenza funzionale:

Per la pressione:

abbiamo x 3 = 2; y3 = 0; z3 = 1.

Dipendenza funzionale:

.

E' ovvio , ,

.

Da ciò possiamo concludere che dopo aver studiato questo processo a determinate dimensioni, velocità, ecc., è possibile stabilire come procederà ad altre dimensioni e velocità se i rapporti adimensionali costituiti da queste variabili sono gli stessi in entrambi i casi. Quindi, le conclusioni ottenute dagli esperimenti con corpi di date dimensioni, che si muovono a una data velocità, ecc., saranno ovviamente valide per qualsiasi altra dimensione corporea, velocità, ecc. soggetto all’uguaglianza dei rapporti adimensionali con quelli osservati negli esperimenti.

Esempio 3.4. Sulla base di studi precedenti su un dispositivo di laboratorio, determinare la dipendenza funzionale della potenza N (W = kg m 2 /s 3) del motore dell'agitatore elettrico, necessaria per mescolare la polpa con i reagenti nella vasca di contatto.

Per la somiglianza di due sistemi di miscelazione, è richiesto quanto segue:

Somiglianza geometrica, in cui il rapporto tra le quantità per i sistemi considerati deve essere uguale tra loro;

Somiglianza cinematica, quando le velocità nei punti corrispondenti devono essere nello stesso rapporto delle velocità negli altri punti corrispondenti, cioè i percorsi di movimento della polpa devono essere simili;

Somiglianza dinamica, che richiede che il rapporto delle forze nei punti corrispondenti sia uguale al rapporto delle forze negli altri punti corrispondenti.

Se le condizioni al contorno sono fisse, una quantità variabile può essere espressa in termini di altre variabili, cioè la dipendenza funzionale della potenza del motore dell'agitatore può essere rappresentata come una funzione di un numero di quantità variabili indipendenti e determinata da criteri di similarità :

,

dov'è il diametro del mixer, m; densità della polpa, kg/m3; velocità di rotazione dell'agitatore, s -1; coefficiente di viscosità dinamica, Pa·s (Pa·s=kg/m·s); accelerazione di caduta libera, m/s 2 – angolo di inclinazione della piastra rispetto alla direzione del flusso.

Pertanto, abbiamo cinque quantità dimensionali, tre delle quali: , e accettato come fondamentale. Secondo il teorema π qui sono possibili solo due relazioni adimensionali. Quindi:

.

Considerando l'uguaglianza delle dimensioni per numeratore e denominatore, troviamo gli esponenti:

per la potenza del motore dell'agitatore:

,

3 = z (indicatori a sinistra e a destra in c);

1 = in (indicatori a sinistra e a destra in kg);

2 = x - 3y (indicatori a sinistra e a destra per m).

Risolvendo queste equazioni si ottiene: x = 5; y = 1; z = 3.

Dipendenza funzionale:

Allo stesso modo otteniamo:

Per la viscosità:

abbiamo x 1 = 2; y1 = 1; z1 = 1.

Dipendenza funzionale:

;

Per accelerare la caduta libera:

abbiamo x 2 = 1; y2 = 0; z2 = 1.

Dipendenza funzionale:

;

È ovvio che, . Allora la dipendenza funzionale richiesta ha la forma:

.

Da ciò possiamo concludere che dopo aver trovato la dipendenza funzionale della potenza del motore dell'agitatore per alcuni dei suoi parametri, è possibile stabilire quale sarà per altre dimensioni e velocità, ecc. nel caso in cui i rapporti adimensionali per entrambi i casi siano gli stessi. Pertanto, le conclusioni ottenute sul dispositivo sperimentale saranno valide per qualsiasi altro dispositivo, a condizione che i rapporti adimensionali siano uguali a quelli osservati negli esperimenti.

Esempio 3.5. Viene studiato il processo di arricchimento in un separatore di mezzi pesanti. Il diagramma parametrico del processo di separazione dei mezzi pesanti (Fig. 3.5) indica i parametri in ingresso, in uscita e controllati, nonché i possibili ostacoli:

Parametri immessi e controllati: Qin - produttività del separatore per il materiale di partenza; Sospensione Q: consumo della sospensione; V - volume della benna; Δρ è la differenza tra le densità della sospensione e della frazione separata; ω - velocità di rotazione della ruota dell'elevatore; n è il numero di tazze della ruota dell'elevatore;

Parametri di output e controllati: Q set - produttività del separatore concentrato; Q rifiuti - produttività della raccolta differenziata;

Ostacoli (parametri non contabilizzati che influenzano il processo): umidità, composizione granulometrica e frazionaria.

Controlliamo se il numero di parametri è sufficiente per calcolare il modello, per il quale scriviamo le dimensioni di tutte le quantità = kg/s; = m3/s; [Δ] = kg/m3; [V] = m3; [ ] = c –1 ; = kg/s; [n] = 8.

Le principali grandezze dimensionali sono m = 3 (kg, m, s), pertanto nei calcoli è possibile utilizzare:

parametro, cioè Q out, V, Δ, ω.

0 = 3x - 3z (indicatori a sinistra e a destra in L);

1 = - y - 3z (indicatori a sinistra e a destra in T);

Quindi x = 1; y = - 2; z = 1, cioè la dipendenza funzionale della produttività del separatore di rifiuti dal volume della benna, dalla velocità di rotazione della ruota dell'elevatore e dalla differenza nella densità della sospensione e della frazione separata ha la forma:

Il valore del coefficiente k è determinato sulla base di studi precedenti con parametri fissi: V = 0,25 m 3 ; Δ = 100 kg/m3; = 0,035 s –1 ; n = 8, in conseguenza del quale è stato stabilito che Q out = 42 kg/s:

Formula è un modello matematico del processo in studio.

Esempio 3.6. Viene studiato il processo di trasporto del concentrato con una dimensione delle particelle di 0,5 - 13 mm utilizzando un elevatore a vaschetta di disidratazione:

Parametri immessi e controllati: ω - capacità di solidi della tazza dell'elevatore; ρ - densità nutrizionale; V è la velocità di movimento della catena dell'elevatore;

Produzione e parametri controllati: Q - produttività dell'elevatore del bacino di disidratazione secondo la classe 0,5 - 13 mm;

Parametri costanti: fattore di riempimento della benna = 0,5; umidità, composizione granulometrica e frazionaria.

In questo esempio:

Controlliamo se il numero di parametri è sufficiente per calcolare il modello, per il quale annotiamo le dimensioni di tutte le quantità: [ω] = m 3 ; [ρ] = kg/m3; [V] = m/s.

Le principali quantità dimensionali m = 3 (kg, m, s), pertanto nei calcoli è possibile utilizzare quanto segue:

parametro, cioè Q, V, , ω.

Poiché non tutti i parametri vengono presi in considerazione, alla relazione funzionale tra i parametri selezionati viene aggiunto il coefficiente k:

,

oppure utilizzando le unità di misura base M, L, T:

0 = 3x + y - 3z (indicatori a sinistra e a destra in L);

1 = - y (indicatori a sinistra e a destra in T);

1 = z (indicatori a sinistra e a destra in M).

Quindi x = 2/3; y = 1; z = 1, ovvero la dipendenza funzionale della produttività dell'elevatore del bacino di disidratazione secondo la classe 0,5-13 mm dal volume del secchio, dalla velocità di movimento della catena dell'elevatore e dalla densità di alimentazione ha la forma :

.

Il valore del coefficiente k è determinato sulla base di studi precedenti con parametri fissi: V = 0,25 m/s; = 1400kg/m3; = 50·10 –3 m 3 per cui è stato stabilito che Q = 1,5 kg/s, inoltre occorre tenere conto del fattore di riempimento dei secchi = 0,5 e quindi:

.

Formula è un modello matematico del processo di trasporto del concentrato con una dimensione delle particelle di 0,5-13 mm mediante l'elevatore a vasca di disidratazione studiato.

Va tenuto presente che quanto più basso è il valore del coefficiente k, tanto maggiore è il valore dei parametri in esame.

L'analisi dimensionale, la teoria della somiglianza, la modellizzazione, nonché il metodo dell'analogia di vari fenomeni consentono, insieme alla corretta formulazione e conduzione degli esperimenti, di accelerare il lavoro computazionale e di altro tipo. Tuttavia, dentro fondamenti teorici Questo metodo non è ampiamente utilizzato per la perforazione di pozzi di petrolio e gas. Allo stesso tempo, questi strumenti sono relativamente ampiamente utilizzati come base teorica per lo sviluppo dei giacimenti di petrolio e gas.

Per impostare correttamente gli esperimenti, elaborare i risultati ottenuti e fare generalizzazioni, è necessario condurre un'analisi teorica quantitativa. In questo caso, il numero di esperimenti, i cui risultati sono espressi in parametri adimensionali, viene ridotto. In idrodinamica, in particolare, questi parametri sono definiti come rapporto tra le forze.

Di solito viene fatta una distinzione tra quantità dimensionali e adimensionali. Esempi di quantità dimensionali sono velocità, pressione, viscosità, sforzo di taglio ultimo, lunghezza, tempo, ecc.

Il rapporto tra la lunghezza e il suo diametro, le forze viscose e lo sforzo di taglio ultimo, ecc. sono quantità adimensionali. L'analisi della teoria dimensionale consente di ridurre il numero di variabili nelle equazioni passando da variabili dimensionali a variabili adimensionali. Supponiamo che sia data la seguente equazione quadratica:

ax2 + bx+c = 0,

dove è adimensionale X dipende dai coefficienti a, b e c, che hanno le stesse dimensioni.

Con, allora l'equazione assumerà la forma

Come si può vedere dall'equazione, la variabile X dipende da e , cioè

. Pertanto, scrivendo l'equazione in forma adimensionale

consente di ridurre il numero di variabili da tre a due. Se l'equazione è sconosciuta o è necessario determinare il tipo di dipendenza funzionale, invece di cambiare UN e bcambiare la relazione e . Pertanto, non solo viene ridotto il numero di variabili, ma si ottiene anche la possibilità di condurre un esperimento con il minor dispendio di tempo e lavoro. Supponiamo che l'impostazione di un esperimento richieda un cambiamento nelle quantità e . Se durante la sperimentazione il valore Con facile da modificare, quindi modificando il valore Con, puoi modificare i valori di e (mentre i valori di aeb rimangono costanti) e, al contrario, se è difficile modificare il valore di c durante la sperimentazione, quindi modificando i valori di e tu può modificare i valori aeb. Se

Quando si eseguono esperimenti è difficile modificare i valori di b is, quindi modificandone uno è possibile ottenere una modifica nel rapporto tra i valori.

I principi fisici collegano le quantità con determinate dipendenze. Pertanto, se si selezionano le dimensioni per alcune quantità, in base alle formule corrispondenti è possibile ottenere le dimensioni di altre quantità. La dipendenza tra le quantità fisiche ci consente di scegliere un sistema di dimensioni così elementare che per misurare le quantità meccaniche in questo sistema è sufficiente una scelta arbitraria di tre dimensioni.

In molti casi in unità ingegneristiche di lunghezza L, tempo T e forza F sono presi come unità di base. Tuttavia, tra le unità di misura, la viscosità , velocità v e anche la densità può essere considerata fondamentale. Tali quantità sono chiamate quantità con dimensioni indipendenti (vedi sotto).

Attualmente è stato adottato il sistema internazionale di unità SI, in cui la dimensione della lunghezza è 1 M, massa - 1 kg e tempo - 1 sez.

Se indichiamo le dimensioni indipendenti di lunghezza, tempo e forza, rispettivamente, con L, t E F, allora le grandezze largamente usate in idromeccanica avranno le seguenti dimensioni:

velocità

Se non è possibile elaborare un'equazione differenziale o un'altra relazione matematica per una descrizione matematica, utilizzando la teoria delle dimensioni è possibile descrivere un fenomeno fisico senza un'equazione che descriva il processo. Ma per questo è necessario conoscere le condizioni iniziali e al contorno che spiegano questo fenomeno. L'utilizzo del teorema (teorema di Buckingham) per questi scopi consente di individuare i principali parametri adimensionali caratterizzanti il ​​fenomeno in esame.

Supponiamo che la quantità adimensionale UN dipende da variabili indipendenti tra loro un 1:..., una pag

a = a(a 1, a 2, a 3,. . ., un t, un t+1 , . . ., a p).

La dipendenza funzionale è solitamente scritta come ; A grandi quantità dipendenze I segni della funzione devono essere diversi. In un modo più semplice, le dipendenze sono rappresentate in questo modo:

Supponiamo che tra queste quantità dimensionali il numero di quantità con dimensioni indipendenti sia uguale a T. Nella meccanica e nella tecnologia non possono essercene più di tre. La lunghezza viene considerata come dimensioni indipendenti L, tempo T, forza F o la loro combinazione legge-potenza, da cui possono essere ottenuti L, t E F, Per esempio:

L'equazione include n+1 quantità dimensionali. Basato sul teorema k, la connessione tra P+ È possibile eseguire unità monodimensionali P+ 1 - M parametri adimensionali costituiti da P+ Quantità 1 dimensionali.

Quindi è possibile scrivere i parametri adimensionali

Ecco gli indicatori t1, t2, ..., mk; p 1 p 2 ,.., p k ; g1g2..., gk sono scelti in modo che i parametri risulta in forma adimensionale.

Spiegheremo l'applicazione del teorema utilizzando un esempio specifico. Supponiamo che invece della quantità data , e invece di quantità con dimensioni indipendenti, . Allora otteniamo

Poiché in questa formula il lato sinistro è adimensionale, anche il lato destro deve essere adimensionale, cioè

Quindi, uguagliando gli esponenti a L, t E F, noi abbiamo:


Soluzioni a questo sistema di tre equazioni lineari sarà il seguente:

Pertanto il parametro adimensionale può essere rappresentato nella forma

Questa espressione rappresenta il rapporto tra pressione e inerzia ed è chiamata parametro di Eulero.

Quando si utilizza la teoria dimensionale, vengono utilizzate considerazioni fisiche e matematiche.

Consideriamo il moto stazionario di un fluido viscoplastico incomprimibile in un tubo cilindrico. La caduta di pressione alle estremità della tubazione dipende dalla lunghezza e dal diametro del tubo, dalla viscosità strutturale, dallo sforzo di taglio ultimo, dalla densità del fluido, nonché dall'accelerazione di gravità e dalla velocità di movimento. Quando un fluido comprimibile si muove, l'equazione non deve comprendere la caduta di pressione, ma i valori assoluti delle pressioni agenti alle estremità del tubo. Per il caso in esame, l'equazione fisica ha la forma

, O

Poiché il numero di quelli indipendenti è tre, utilizzando il teorema possiamo ricavare cinque parametri adimensionali. In questo caso si possono scegliere come quantità con dimensioni indipendenti: ecc.

Si è notato sopra che in ciascuna versione le quantità con dimensioni indipendenti devono essere scelte in modo che le loro combinazioni legge di potenza permettano di ottenere dimensioni di lunghezza L, forza F, tempo T. Ora controlliamo questa condizione per le opzioni accettate.

Poiché nella prima opzione pressione, diametro e velocità sono presi come principali, combinandoli cercheremo di ottenere le dimensioni L, F E T.

Troviamo la dimensione della lunghezza

Quindi,

Pertanto, per ottenere la dimensione della lunghezza, è necessario prendere la seguente combinazione p, d E v:

.

Troviamo la dimensione della forza:

,

Quindi,

;

ovvero per ottenere la dimensione della forza è necessario utilizzare la seguente combinazione:

.

Troviamo la dimensione del tempo

,

Quindi,

.

Otteniamo la dimensione temporale dalla combinazione indicata di seguito p, d E v:

In ciascuna opzione, vengono scelte combinazioni di queste quantità in modo che il risultato possa essere un parametro adimensionale. Ora per ciascuna delle due opzioni deriveremo parametri adimensionali.

Opzione 1. Combinazioni di tre quantità adottate quando si derivano parametri adimensionali , deve essere scelto in modo che sia possibile ottenere le dimensioni delle quantità rimanenti e quindi, a seguito della divisione, portare la quantità risultante in una forma adimensionale.

Per il valore possiamo scrivere:




Pertanto, otteniamo il quarto parametro adimensionale nella forma

Qui, per il moto stazionario dei fluidi viscoplastici, si ottengono i parametri Eu, Fr, La" e La".

Allo stesso modo, se deriviamo parametri adimensionali per , allora otteniamo

Poiché delle otto quantità incluse nell'equazione, tre sono prese come variabili indipendenti, il numero di parametri adimensionali diminuirà del numero di variabili indipendenti, ad es. otteniamo P- T= 8-3 = 5 parametri adimensionali.

Opzione 2. Prendendo come base le quantità dimensionali e derivando i parametri adimensionali dal teorema, otteniamo le seguenti espressioni:

Confrontiamoli con i parametri dell'opzione I:


A causa del fatto che il valore desiderato è incluso nel parametro Eu, i risultati sperimentali vengono presentati nel modulo

Dal valore è incluso nel parametroEu, selezioniamo gli altri tre parametri in modo che il valore desiderato sia presente non ha partecipato.

L'equazione può anche essere espressa utilizzando il parametro di Lagrange, che implica , cioè.

Questa equazione è applicabile al movimento stazionario; se il moto è instabile è necessario tenere conto del parametro Strouhal.

Quando il tubo è in posizione orizzontale, la gravità non ne influenza quindi il movimento G non viene preso in considerazione.

Poiché durante il movimento isotermico le proprietà fisiche del liquido lungo la lunghezza del tubo non cambiano, la portata e la sezione trasversale rimangono costanti, la perdita di pressione per unità di lunghezza (dall'equazione di continuità) è diversa. In questo caso è caratteristico, ad esempio se conosciamo la perdita di pressione corrispondente a 100 M lunghezza, quindi è possibile determinare la perdita di pressione a 200, 300 M ecc. Qui le sezioni iniziale e finale non vengono prese in considerazione. Quindi la caduta di pressione per unità di lunghezza può essere espressa come

.

Poiché è determinato , poi il parametro scompare e nella forma viene scritto il parametro di Eulero

Per i liquidi viscosi, un'equazione simile, derivata indipendentemente da Darcy e Weisbach, è chiamata equazione di Darcy-Weisbach.

Così,

Dove - coefficiente resistenza idraulica.

Considera l'equazione di una lunga linea bifilare. Una linea bifilare è rappresentata da un sistema con dispersioni, induttanze, resistenze e capacità uniformemente distribuite. Differenza di potenziale U e la forza attuale io in sezioni X ed è determinato sulla base della legge di Kirchhoff, scritta per un processo che si svolge in un periodo di tempo . Differenza U(x, t) - U(x+ Ah, t) determina la differenza di potenziale tra induttanze e resistenze ohmiche

Dove l E R- rispettivamente induttanza e resistenza ohmica per unità di lunghezza.

Il primo termine a destra, che caratterizza il cambiamento in e. d.s. sulle induttanze, è determinato dalla variazione dell'intensità di corrente nel tempo. Il secondo termine è la differenza di potenziale, che si calcola secondo la legge di Ohm.

La seconda equazione è il bilancio di corrente determinato dal condensatore e dalle perdite, vale a dire

" Dove CON- capacità per unità di lunghezza; G- - conduttività per unità di lunghezza.

Il primo termine a destra è l'intensità della corrente che passa attraverso il condensatore ed è caratterizzato dalla variazione della differenza di potenziale nel tempo. Il secondo termine è la forza attuale - perdita, determinata dalla legge di Ohm.

Le due equazioni fornite sono equazioni alle differenze finite per una lunga linea bifilare. Andando al limite a , disponibile:

Questo sistema di equazioni a G= 0 è abbastanza simile alle equazioni differenziali del moto di una gocciolina di liquido in una tubazione a .

Consideriamo il moto instabile di un mezzo reale in un tubo cilindrico tondo orizzontale. In questo caso, un'onda di rilassamento caratterizza la stagnazione lungo l'asse, l'altra lungo la sezione. Si presuppone che il secondo sia trascurabile rispetto al primo. Pertanto, viene studiata l'instabilità che si sviluppa lungo l'asse del tubo, ovvero viene considerato il movimento quasi unidimensionale, caratterizzato da parametri mediati sulla sezione trasversale. Si presuppone che il fluido sia poco comprimibile, cioè che la variazione della sua velocità lungo l'asse sia piccola. In sezione trasversale 1 -1 (vedi Fig. 9) la pressione media è indicata da p(x, t), e nella sezione 2 -2 - Attraverso .

Lo sforzo di taglio è indicato con . Quindi la forza che agisce sulla superficie laterale di un cilindro rotondo elementare sarà , Dove S1- perimetro bagnato.

Nell'equazione del moto, la “velocità locale” è approssimativamente sostituita dalla velocità media della sezione trasversale v, ma questo non pregiudica il risultato finale.

La somma delle forze di resistenza e pressione è uguale a , dove F- area della sezione trasversale.

Passando al limite, otteniamo

Esprimiamo il valore assoluto della forza d'inerzia attraverso , Dove



La massa del mezzo nel compartimento è di 1-1, 2-2 tubi. Quindi al limite. Basato sul principio di D'Alembert

Dato che la velocità varia poco lungo la lunghezza del tubo, il secondo termine di questa uguaglianza può essere trascurato rispetto al primo, cioè

Formuliamo più dettagliatamente le condizioni nelle quali il secondo termine può essere trascurato rispetto al primo. Il primo termine ha l'ordine , secondo (l- dimensione caratteristica, in questo caso la lunghezza della tubazione, T- tempo caratteristico, che può essere preso come tempo di rilassamento). Il secondo termine può essere trascurato rispetto al primo sotto la condizione

Il parametro è adimensionale. Stimiamo il valore di questo parametro per la condotta principale: 1 m/sec; 100 km.

Se assumiamo che il tempo di rilassamento sia dell'ordine di diverse ore, corrisponde al tempo necessario per raggiungere praticamente la stazionarietà

dove R è il raggio idraulico.

modalità, quindi otteniamo . Poi

dove R è il raggio idraulico

Scriviamo l'equazione di continuità nella forma

Per il moto isotermo si accetta l’equazione di stato

Introducendo invece la velocità media della massa w possiamo scrivere

Dall'analisi dimensionale è facile stabilire che in modalità laminare è proporzionale alla velocità media alla prima potenza,

e in modalità turbolenta - il quadrato della velocità.

Va notato ancora una volta che qui abbiamo utilizzato il principio di quasi-stazionarietà, cioè le forze di resistenza sono state determinate utilizzando formule per un regime stazionario. Prendendo , noi troviamo

dove 2 UN- coefficiente di resistenza.

Da queste due equazioni possiamo ottenerne una

Diamo un'occhiata a come possiamo semplificare l'equazione utilizzando considerazioni dimensionali. Cerchiamo variabili adimensionali:

Dove L, t0 E w0- quantità caratteristiche.

COME lè stata presa la lunghezza della tubazione. Pertanto, dentro

variabili adimensionali

Dalla condizione è determinato. Finalmente

Se il coefficiente del termine è sufficientemente grande, allora la forza d'inerzia può essere trascurata rispetto alla forza di resistenza.

Pertanto, la differenza di pressione viene spesa solo per superare le forze di resistenza. In questo caso, l'equazione assume la forma

Naturalmente, l'ipotesi accettata è giustificata per tubazioni molto lunghe e quando al loro interno si muove un liquido ad altissima viscosità. Quando si determina la pressione iniziale nelle tubazioni e nel pozzo, la forza d'inerzia può essere trascurata



Il livello che può essere accettato come sufficientemente elevato viene determinato sulla base di calcoli comparabili. Considerazioni sulla similarità ci permettono di ottenere alcune informazioni senza risolvere l'equazione. Ad esempio, la seconda legge di Newton per il caso speciale di un potenziale campo di forza può essere scritta come

avendo accettato , disponibile

Di conseguenza, se riduci la massa di un punto di 25 volte, ci vorrà cinque volte meno tempo per percorrere l'orbita.

Tra i vari fenomeni riscontrati in natura sono state individuate numerose analogie matematiche. Negli ultimi decenni sono stati utilizzati nella pratica ricerca di laboratorio e progetti basati su analogie elettriche, magnetiche, elettrodinamiche, elettromagnetiche, termiche, sonore, ottico-meccaniche, magneto-ottiche e altre analogie e teoria dei modelli. La modellazione elettrica di vari fenomeni fisici è ampiamente utilizzata nella teoria della filtrazione, nell'idraulica, nell'idrodinamica, nell'edilizia, nell'ingegneria del calore, nella teoria dell'elasticità, nella meccanica del suolo, nella teoria dei meccanismi, nell'acustica, nella teoria del controllo automatico, nonché in altri campi della scienza e della tecnologia.

Nella moderna ingegneria idraulica, la costruzione di strutture idrauliche grandi e complesse richiede complessi studi di filtrazione. Lo studio teorico di questi problemi è molto difficile e talvolta intrattabile. Questi problemi complessi possono essere risolti molto facilmente utilizzando il metodo EGDA (analogia elettroidrodinamica), compresi molti problemi legati alla filtrazione di petrolio, gas e liquidi gassati.

L'uso del metodo EGDA nello studio della filtrazione dell'acqua del suolo sotto strutture idrauliche fu proposto per la prima volta e giustificato teoricamente nel 1918 dall'accademico N. N. Pavlovsky. Il metodo EGDA è ampiamente utilizzato anche in vari campi della ricerca scientifica.

L'uso della modellazione centrifuga dà buoni risultati quando si risolvono i seguenti problemi legati alla statica e alla dinamica delle rocce: determinazione della resistenza dei pendii delle costruzioni in terra; determinazione della resistenza di pozzi e altre fondazioni di edifici; distribuzione delle tensioni nelle rocce e al contatto delle superfici dell'edificio con la roccia; cedimento dell'edificio; filtrazione dell'acqua nella roccia e influenza della filtrazione sulla roccia; determinazione delle forze di attrito e di adesione nelle rocce collegate, ecc.

Di seguito mostriamo due semplici esempi legati all’analogia.

Analogia tra fenomeni elettrici e meccanici

Un circuito chiuso (Fig. 25) comprende un condensatore con capacità C, resistenza ohmica R e una bobina di autoinduzione l e la chiave A.

Attraverso il circuito passa una corrente elettrica I. Per un circuito in serie, come noto dalla legge di Kirchhoff, la differenza di potenziale sarà costituita dalla somma della differenza di tensione ai capi

resistenza ohmica, condensatore e bobina. Queste tre componenti vengono calcolate come segue:

a) come risultato dell'autoinduzione, la differenza di tensione è uguale al prodotto del coefficiente di autoinduzione e della velocità di variazione della corrente, vale a dire;

b) la differenza di tensione associata alla resistenza ohmica è pari al prodotto R.I.(Legge di Ohm);

c) differenza di tensione ai capi del condensatore (per definizione)

Pertanto, scriviamo l'equazione differenziale che descrive il fenomeno nella forma

Quando si risolve questa equazione differenziale del secondo ordine, è necessario specificare due condizioni per trovare le due costanti. Ad esempio, nel momento iniziale t = t 0 sono dati

Utopia E .

Soffermiamoci sulle condizioni necessarie per risolvere le equazioni. Se il fenomeno è descritto da un'equazione differenziale ordinaria dell'ordine n, cioè nell'equazione la funzione desiderata dipende da un solo argomento (P- l'ordine più alto della derivata inclusa nell'equazione è un numero intero che può essere uguale a uno o più), quindi il risultato della sua soluzione dovrebbe essere P costanti arbitrarie. Per trovarli bisogna darli P condizioni. Tali condizioni, a seconda della natura del fenomeno oggetto di studio, possono essere specificate in vari modi.

1. Ad un certo valore dell'argomento, viene specificata una funzione e la sua P - 1 derivati. Ad esempio, se in una data equazione del terzo ordine la funzione richiesta dipende dal tempo, allora per un certo

i valori temporali devono essere dati alla funzione e alle sue derivate prima e seconda.

Un problema di questo tipo è chiamato problema con condizioni iniziali o problema di Cauchy.

2. Per determinati valori degli argomenti, vengono specificate le funzioni e le loro derivate. Ad esempio, se si dispone di un'equazione differenziale del quinto ordine, quindi da due valori degli argomenti, uno di essi fornisce la funzione desiderata e le sue derivate prima e seconda, e l'altro valore fornisce la funzione e la sua derivata terza. A seconda della formulazione del problema sono possibili anche diverse altre opzioni.

Per il dato circuito elettrico le condizioni al contorno possono essere specificate come segue:

Consideriamo una catena meccanica ad un grado di libertà. Scriviamo la condizione di equilibrio delle forze agenti sulla molla (Fig. 26).

Si agisce sulla primavera forze attive gravità ed elasticità e forza di resistenza passiva.

Usando il principio di D'Alembert, scriviamo la condizione di equilibrio nella forma

Dove T - peso; H- smorzamento delle vibrazioni; A- coefficiente di rigidezza; X- movimento.

Nella data equazione (A), il primo termine in valore assoluto rappresenta la forza inerziale, il secondo la forza di attrito e il terzo la forza elastica.

L'equazione della vibrazione meccanica ha la stessa forma dell'equazione che descrive la vibrazione elettrica. Pertanto, in queste equazioni i parametri sono simili: X- IO,

T- L:h- R.

Passiamo alle quantità adimensionali come segue:

Dove t0- valore iniziale dell'argomento; x0 e io 0 - valori iniziali della funzione. Così,

Se tutti i termini dell'equazione vengono divisi per , otteniamo la seguente equazione a coefficienti adimensionali:


Allo stesso modo, l'equazione delle vibrazioni meccaniche può essere scritta in forma adimensionale

Scriviamo le condizioni iniziali per l'equazione delle oscillazioni in un circuito elettrico in forma adimensionale:

Le condizioni iniziali per l’equazione della vibrazione meccanica saranno:

Affinché le seconde condizioni iniziali siano uguali, deve essere soddisfatta la seguente condizione:

Ora, utilizzando l'analogia delle equazioni delle oscillazioni meccaniche ed elettriche, passiamo da un'equazione all'altra.

Supponiamo che per un circuito meccanico t, kC e io " 0 , da queste tre equazioni si trova I 0, l E R. La scelta di questi parametri dipende dalla posizione e dalle condizioni dell'esperimento.

Dopo aver trovato questi parametri per stabilire la dipendenza I =I(t) viene assemblato il circuito elettrico corrispondente.

Analogia idraulica per risolvere problemi di trasferimento di calore

La soluzione analitica dei problemi di trasferimento di calore con condizioni al contorno complesse e coefficienti termici variabili (che si incontrano spesso nella pratica) è associata a grandi difficoltà. L'uso del metodo del bilancio elementare comporta operazioni computazionali ad alta intensità di lavoro. A questo proposito, sono stati realizzati dispositivi informatici basati su analogie che facilitano le operazioni computazionali. Quando si utilizza il metodo dell'analogia, si cerca di riprodurre il dato fenomeno studiato utilizzando un fenomeno simile, che è descritto dalle stesse dipendenze matematiche, ma è più facilmente controllabile. Allo stesso tempo, il lavoro computazionale è notevolmente facilitato.

Sono noti modelli elettrici di processi non stazionari di conducibilità termica (integratore elettrico di L. I. Gutenmacher); Anche il metodo dell'analogia idraulica proposto da V. S. Lukyanov ha trovato applicazione.

L’integratore idraulico di V. S. Lukyanov si basa sull’analogia delle relazioni matematiche che descrivono la distribuzione della temperatura in un corpo solido e la distribuzione delle pressioni V acqua che si muove attraverso la resistenza idraulica in modalità laminare.

La principale caratteristica fondamentale che determina la progettazione di un integratore idraulico è la sostituzione dei parametri uniformemente distribuiti in un campo idraulico con parametri concentrati, ovvero il passaggio da un campo ad un circuito con parametri concentrati. A questo proposito, il processo di riproduzione di un campo di temperatura continuo con parametri concentrati rappresenta una transizione dalla risoluzione di equazioni differenziali alla risoluzione di un'equazione alle differenze finite.

Questo dispositivo è costituito da elementi di base analoghi ad un circuito idraulico con elementi concentrati di resistenza e capacità, nonché da elementi speciali che riproducono il rilascio di calore latente quando si cambia stato di aggregazione; dispositivi per impostare condizioni al contorno; dispositivi per la misurazione della pressione in gruppi di circuiti idraulici; dispositivo che fornisce acqua al dispositivo.

Consideriamo un esempio concreto di determinazione della distribuzione della temperatura in una parete multistrato con un flusso di calore unidimensionale. La parete è specificata dalle dimensioni dei singoli strati e dalle caratteristiche termofisiche dei materiali, cioè capacità termiche volumetriche ( , dove Con- conduttività termica del corpo; - peso volumetrico del corpo) e coefficienti di conducibilità termica (Fig. 27).

Vengono fornite una certa distribuzione iniziale della temperatura e influenze scelte arbitrariamente delle temperature esterne e dei flussi di calore sulla superficie della parete. Innanzitutto, viene elaborato uno schema di calcolo. Il muro è suddiviso in un numero finito di strati. Si presuppone che la capacità termica di ciascuno strato sia concentrata al centro dello stesso e sia protetta da resistenze termiche pari alla metà dello spessore dello strato.

Pertanto, il diagramma di progettazione rappresenta una catena di capacità c, separate l'una dall'altra da resistenze termiche.

Le capacità termiche degli strati esterni sono separate dall'ambiente esterno mediante un'ulteriore resistenza termica di trasferimento del calore dalla superficie. Il processo di scambio termico tra strati elementari e ambienteè determinato dal seguente sistema di equazioni:

; (1-98)

Coefficiente di resistenza idraulica; H- livello del liquido nel recipiente; - differenza nei livelli dei liquidi nei vasi.

Flusso del fluido Qè proporzionale alla differenza di livello nei vasi (un analogo della legge della conduttività termica) e l'aumento del contenuto di acqua nel vaso nel tempo è uguale al prodotto dell'area della sezione trasversale della nave e l'incremento dell'altezza del livello.

Le equazioni (1.98) e (1.95) sono simili alle equazioni (1.100) e (1.101). Supponiamo che la catena di vasi sia composta in modo tale che le quantità in essa contenute lo siano numericamente uguali. Distribuzione del livello iniziale H rappresenta su una scala adeguata la distribuzione iniziale della temperatura al centro degli strati elementari, e la variazione di livello nei vasi in movimento avviene allo stesso modo della variazione di temperatura dei mezzi circostanti. Quindi il livello nei vasi cambierà in modo simile alla variazione di temperatura negli strati elementari. Se e non sono numericamente uguali a e , ma sono solo proporzionali ad essi, allora il processo termico verrà riprodotto anche nel modello, ma solo su una scala temporale diversa. La presenza di tale possibilità crea grande comodità, poiché è possibile accelerare significativamente la riproduzione di processi lenti e rallentare la riproduzione di rapidi trasferimenti di calore. In questo caso è possibile passare dal modello idraulico al processo in studio selezionando le opportune relazioni di scala.

Se tutte le quantità incluse nelle equazioni (1.98) - (1.101) sono espresse in quantità adimensionali, allora il sistema (1.98) e (1.99) sarà simile ai sistemi

Le quantità fisiche il cui valore numerico non dipende dalla scala unitaria scelta sono dette adimensionali. Esempi di quantità adimensionali sono l'angolo (il rapporto tra la lunghezza dell'arco e il raggio), l'indice di rifrazione della materia (il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nella materia).

Le quantità fisiche che cambiano il loro valore numerico al variare della scala delle unità sono dette dimensionali. Esempi di quantità dimensionali sono lunghezza, forza, ecc. L'espressione di un'unità di quantità fisica attraverso unità di base è chiamata dimensione (o formula dimensionale). Ad esempio, la dimensione della forza nei sistemi GHS e SI è espressa dalla formula

Le considerazioni dimensionali possono essere utilizzate per verificare la correttezza delle risposte ottenute durante la risoluzione di problemi fisici: le parti destra e sinistra delle espressioni risultanti, così come i singoli termini in ciascuna parte, devono avere la stessa dimensione.

Il metodo dimensionale può essere utilizzato anche per derivare formule ed equazioni quando sappiamo da quali parametri fisici il valore desiderato può dipendere. L'essenza del metodo è più facile da comprendere con esempi specifici.

Applicazioni del metodo dimensionale. Consideriamo un problema di cui conosciamo bene la risposta: con quale velocità cadrà al suolo un corpo in caduta libera senza velocità iniziale da un'altezza se si può trascurare la resistenza dell'aria? Invece del calcolo diretto basato sulle leggi del movimento, ragioneremo come segue.

Pensiamo a cosa può dipendere la velocità richiesta. Ovviamente dovrebbe dipendere dall'altezza iniziale e dall'accelerazione di gravità, possiamo supporre, seguendo Aristotele, che dipenda anche dalla massa. Poiché è possibile sommare solo quantità della stessa dimensione, per la velocità desiderata si può proporre la seguente formula:

dove C è una costante adimensionale (coefficiente numerico) e x, yez sono numeri sconosciuti che devono essere determinati.

Le dimensioni dei lati destro e sinistro di questa uguaglianza devono essere le stesse, ed è questa condizione che può essere utilizzata per determinare gli esponenti x, y, z nella (2). La dimensione della velocità è quella dell'altezza, la dimensione dell'accelerazione di gravità è uguale a , e infine la dimensione della massa è uguale a M. Poiché la costante C è adimensionale, la formula (2) corrisponde alla seguente uguaglianza di dimensioni:

Questa uguaglianza deve valere indipendentemente da quali siano i valori numerici. Pertanto, dovremmo uguagliare gli esponenti di e M sui lati sinistro e destro dell'uguaglianza (3):

Da questo sistema di equazioni otteniamo Pertanto, la formula (2) assume la forma

Il vero valore della velocità, come è noto, è pari a

Pertanto, l'approccio utilizzato ha consentito di determinare correttamente la dipendenza da e e non ha consentito di ricavarne il valore

costante adimensionale C. Anche se non siamo riusciti ad ottenere una risposta esauriente, abbiamo comunque ottenuto informazioni molto significative. Ad esempio, possiamo affermare con assoluta certezza che se l'altezza iniziale viene quadruplicata, la velocità al momento della caduta raddoppierà e che, contrariamente a quanto sostiene Aristotele, tale velocità non dipende dalla massa del corpo che cade.

Selezione dei parametri. Quando si utilizza il metodo dimensionale occorre innanzitutto individuare i parametri che determinano il fenomeno in esame. Questo è facile da fare se si conoscono le leggi fisiche che lo descrivono. In alcuni casi i parametri che determinano il fenomeno possono essere specificati anche quando non si conoscono le leggi fisiche. In genere, è necessario sapere meno per utilizzare il metodo di analisi dimensionale che per scrivere le equazioni del moto.

Se il numero di parametri che determinano il fenomeno studiato è maggiore del numero di unità di base su cui è costruito il sistema di unità selezionato, allora, ovviamente, non è possibile determinare tutti gli esponenti nella formula proposta per il valore desiderato. In questo caso, è utile determinare prima tutte le combinazioni adimensionali indipendenti dei parametri selezionati. Quindi la quantità fisica desiderata sarà determinata non da una formula come (2), ma dal prodotto di qualche (la più semplice) combinazione di parametri che ha la dimensione richiesta (cioè la dimensione della quantità cercata) per qualche funzione della trovato parametri adimensionali.

È facile vedere che nell'esempio sopra di un corpo che cade da un'altezza, non è possibile creare una combinazione adimensionale dalle quantità. Pertanto la formula (2) esaurisce tutti i casi possibili.

Parametro adimensionale. Consideriamo ora il seguente problema: determiniamo la portata di volo orizzontale di un proiettile sparato in direzione orizzontale con una velocità iniziale da un cannone situato all'altezza di una montagna

In assenza di resistenza dell'aria, il numero di parametri da cui può dipendere l'intervallo desiderato è quattro: ecc. Poiché il numero di unità di base è tre, allora soluzione completa problemi utilizzando il metodo dimensionale è impossibile. Troviamo prima tutti i parametri adimensionali indipendenti y, che possono essere composti da e

Questa espressione corrisponde alla seguente uguaglianza di dimensioni:

Da qui otteniamo un sistema di equazioni

che dà e per il parametro adimensionale desiderato otteniamo

Si può vedere che l'unico parametro adimensionale indipendente nel problema in esame è Ora è sufficiente trovare un parametro qualsiasi che abbia la dimensione della lunghezza, ad esempio prendere il parametro stesso per scrivere un'espressione generale per la portata di volo orizzontale di un proiettile nella forma

dove è una funzione ancora sconosciuta del parametro adimensionale. Il metodo delle dimensioni (nella versione presentata) non consente di determinare questa funzione. Ma se sappiamo da qualche parte, ad esempio per esperienza, che l'intervallo richiesto è proporzionale velocità orizzontale proiettile, allora la forma della funzione è immediatamente determinata: la velocità deve entrare in esso alla prima potenza, cioè

Ora dalla (5) otteniamo la distanza di volo del proiettile

che coincide con la risposta corretta

Sottolineiamo che con questo metodo per determinare il tipo di funzione, è sufficiente per noi conoscere la natura della dipendenza stabilita sperimentalmente dell'autonomia di volo non da tutti i parametri, ma solo da uno di essi.

Unità vettoriali di lunghezza. Ma è possibile determinare l'intervallo (7) solo da considerazioni dimensionali, se si aumenta a 4 il numero delle unità di base attraverso le quali sono espressi i parametri, ecc.. Fino ad ora, quando si scrivono formule dimensionali, non è stata fatta alcuna distinzione tra le unità di lunghezza nelle direzioni orizzontale e verticale. Tuttavia tale distinzione può essere introdotta in base al fatto che la gravità agisce solo verticalmente.

Indichiamo la dimensione della lunghezza nella direzione orizzontale con e nella direzione verticale con Quindi la dimensione dell'autonomia di volo orizzontale sarà la dimensione dell'altezza sarà la dimensione della velocità orizzontale sarà per l'accelerazione

caduta libera otteniamo Ora, guardando la formula (5), vediamo che l'unico modo per ottenere la dimensione corretta sul lato destro è assumere proporzionale. Arriviamo di nuovo alla formula (7).

Naturalmente, avendo quattro unità di base e M, è possibile costruire direttamente un valore della dimensione richiesta da quattro parametri e

L'uguaglianza delle dimensioni dei lati sinistro e destro ha la forma

Il sistema di equazioni per x, y, z ee fornisce i valori e arriviamo nuovamente alla formula (7).

Le diverse unità di lunghezza qui utilizzate in direzioni reciprocamente perpendicolari sono talvolta chiamate unità vettoriali di lunghezza. Il loro utilizzo espande significativamente le capacità del metodo di analisi dimensionale.

Quando si utilizza il metodo dell'analisi dimensionale, è utile sviluppare competenze a tal punto da non dover creare un sistema di equazioni per gli esponenti nella formula desiderata, ma selezionarli direttamente. Illustriamolo con il seguente problema.

Compito

Portata massima. A quale angolo rispetto all'orizzonte dovrebbe essere lanciata una pietra per massimizzare la sua distanza di volo orizzontale?

Soluzione. Supponiamo di aver “dimenticato” tutte le formule cinematiche e proviamo a ottenere una risposta da considerazioni dimensionali. A prima vista, può sembrare che il metodo dimensionale non sia affatto applicabile qui, poiché la risposta deve includere una sorta di funzione trigonometrica dell'angolo di lancio. Cerchiamo quindi al posto dell’angolo a stesso un’espressione per la distanza: è chiaro che qui non possiamo fare a meno delle unità vettoriali di lunghezza.

In fisica... non c'è spazio per i pensieri confusi...
Comprendere davvero la natura
Questo o quel fenomeno deve essere ricevuto di base
Leggi da considerazioni di dimensione. E. Fermi

La descrizione di un particolare problema, la discussione di questioni teoriche e sperimentali inizia con una descrizione qualitativa e una valutazione dell'effetto che questo lavoro dà.

Quando si descrive un problema, è necessario, prima di tutto, valutare l'ordine di grandezza dell'effetto atteso, i semplici casi limite e la natura della connessione funzionale delle quantità che descrivono questo fenomeno. Queste domande sono chiamate descrizione qualitativa di una situazione fisica.

Una delle più metodi efficaci Tale analisi è il metodo dimensionale.

Ecco alcuni vantaggi e applicazioni del metodo dimensionale:

  • rapida valutazione della portata dei fenomeni oggetto di studio;
  • ottenere dipendenze qualitative e funzionali;
  • ripristino delle formule dimenticate negli esami;
  • completare alcune attività USE;
  • verificare la correttezza della risoluzione dei problemi.

L'analisi dimensionale è stata utilizzata in fisica fin dai tempi di Newton. Fu Newton a formulare il metodo delle dimensioni, strettamente correlato principio di somiglianza (analogia).

Gli studenti incontrano per la prima volta il metodo dimensionale studiando la radiazione termica in un corso di fisica dell'11° grado:

La caratteristica spettrale della radiazione termica di un corpo è densità di luminosità spettrale rv- l'energia della radiazione elettromagnetica emessa per unità di tempo da un'unità di superficie di un corpo in un intervallo di frequenza unitario.

L'unità di densità spettrale della luminosità energetica è joule per metro quadro(1J/m2). L'energia della radiazione termica di un corpo nero dipende dalla temperatura e dalla lunghezza d'onda. L'unica combinazione di queste quantità con la dimensione J/m 2 è kT/ 2 ( = c/v). Un calcolo esatto effettuato da Rayleigh e Jeans nel 1900 nell'ambito della teoria ondulatoria classica ha dato il seguente risultato:

dove k è la costante di Boltzmann.

Come l’esperienza ha dimostrato, questa espressione concorda con i dati sperimentali solo nella regione delle frequenze sufficientemente basse. Per le alte frequenze, soprattutto nella regione ultravioletta dello spettro, la formula di Rayleigh-Jeans non è corretta: diverge nettamente dall'esperimento. I metodi della fisica classica si rivelarono insufficienti per spiegare le caratteristiche della radiazione del corpo nero. Pertanto, la discrepanza tra i risultati della teoria ondulatoria classica e quelli sperimentali fine XIX V. chiamata la “catastrofe ultravioletta”.

Dimostriamo l'applicazione del metodo dimensionale utilizzando un esempio semplice e ben compreso.

Immagine 1

Radiazione termica di un corpo completamente nero: catastrofe ultravioletta - discrepanza tra la teoria classica della radiazione termica e l'esperienza.

Immaginiamo che un corpo di massa m si muova rettilineamente sotto l'azione di una forza costante F. Se la velocità iniziale del corpo è zero e la velocità alla fine del tratto percorso del percorso di lunghezza s è uguale a v, allora possiamo scrivere il teorema sull'energia cinetica: tra le quantità F, m, v e s esiste una connessione funzionale.

Supponiamo che il teorema sull'energia cinetica sia dimenticato e comprendiamo che la relazione funzionale tra v, F, m e s esiste e ha carattere di legge di potenza.

Qui x, y, z sono alcuni numeri. Definiamoli. Il segno ~ significa che il lato sinistro della formula è proporzionale al lato destro, cioè dove k è un coefficiente numerico, non ha unità di misura e non si determina con il metodo dimensionale.

I lati sinistro e destro della relazione (1) hanno le stesse dimensioni. Le dimensioni delle quantità v, F, m e s sono le seguenti: [v] = m/s = ms -1, [F] = H = kgms -2, [m] = kg, [s] = m. (Il simbolo [A] denota la dimensione della quantità A.) Scriviamo l'uguaglianza delle dimensioni sui lati sinistro e destro della relazione (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x .

Non ci sono chilogrammi sul lato sinistro dell’equazione, quindi non dovrebbero essercene nemmeno sul lato destro.

Significa che

A destra i contatori sono espressi in potenze di x+z, mentre a sinistra sono espressi in potenze di 1, quindi

Allo stesso modo, da un confronto degli esponenti in secondi segue

Dalle equazioni risultanti troviamo i numeri x, y, z:

x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.

La formula finale è

Elevando al quadrato i lati sinistro e destro di questa relazione, otteniamo questo

L'ultima formula è una rappresentazione matematica del teorema sull'energia cinetica, anche se senza coefficiente numerico.

Il principio di similitudine formulato da Newton è che il rapporto v 2 /s è direttamente proporzionale al rapporto F/m. Ad esempio, due corpi con masse diverse m 1 e m 2; agiremo di conseguenza da forze diverse F 1 e F 2, ma in modo tale che i rapporti F 1/m 1 e F 2/m 2 siano gli stessi. Sotto l'influenza di queste forze, i corpi inizieranno a muoversi. Se le velocità iniziali sono nulle, allora le velocità acquisite dai corpi su un segmento di percorso di lunghezza s saranno uguali. Questa è la legge di similitudine, alla quale siamo arrivati ​​con l'aiuto dell'idea di uguaglianza delle dimensioni dei lati destro e sinistro della formula, che descrive la relazione di legge di potenza tra il valore della velocità finale e i valori di forza, massa e lunghezza del percorso.

Il metodo dimensionale è stato introdotto durante la costruzione delle basi della meccanica classica, ma il suo utilizzo efficace per risolvere problemi fisici è iniziato alla fine dell'ultimo, all'inizio del nostro secolo. Gran parte del merito per aver promosso questo metodo e aver risolto con esso problemi interessanti e importanti va all'eccezionale fisico Lord Rayleigh. Nel 1915 Rayleigh scrisse: “ Spesso mi stupisce la scarsa attenzione prestata al grande principio della somiglianza, anche da parte di scienziati anche molto eminenti. Accade spesso che i risultati di una ricerca scrupolosa vengano presentati come “leggi” appena scoperte, che tuttavia potrebbero essere ottenute a priori in pochi minuti”.

Oggigiorno i fisici non possono più essere accusati di negligenza o di insufficiente attenzione al principio di similitudine e al metodo delle dimensioni. Consideriamo uno dei classici problemi di Rayleigh.

Problema di Rayleigh sulle oscillazioni di una palla su una corda.

Sia tesa una corda tra i punti A e B. La forza di tensione della corda è F. C'è una pallina pesante al centro di questa corda nel punto C. La lunghezza del segmento AC (e, di conseguenza, CB) è uguale a 1. La massa M della pallina è molto maggiore della massa della corda stessa. La corda viene tirata indietro e rilasciata. È abbastanza chiaro che la palla oscillerà. Se l'ampiezza di queste x vibrazioni è molto inferiore alla lunghezza della corda, il processo sarà armonico.

Determiniamo la frequenza di vibrazione della pallina sulla corda. Lasciamo che le quantità , F, M e 1 siano legate da una legge di potenza:

Gli esponenti x, y, z sono i numeri che dobbiamo determinare.

Scriviamo le dimensioni delle quantità che ci interessano nel sistema SI:

C -1 , [F] = kgm s -2 , [M] = kg, = m.

Se la formula (2) esprime un modello fisico reale, allora le dimensioni delle parti destra e sinistra di questa formula devono coincidere, cioè l'uguaglianza deve essere soddisfatta

s -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

Il lato sinistro di questa uguaglianza non include affatto metri e chilogrammi, e i secondi sono inclusi in potenze di – 1. Ciò significa che per x, y e z le equazioni sono soddisfatte:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Risolvendo questo sistema troviamo:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Quindi,

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

La formula esatta per la frequenza differisce da quella trovata solo per un fattore (2 = 2F/(M1)).

Pertanto, è stata ottenuta non solo una stima qualitativa, ma anche quantitativa della dipendenza dai valori di F, M e 1. In termini di ordine di grandezza, la combinazione legge di potenza trovata fornisce il valore di frequenza corretto. La stima è sempre interessante in ordine di grandezza. Nei problemi semplici, i coefficienti che non possono essere determinati con il metodo dimensionale possono spesso essere considerati numeri di ordine uno. Questa non è una regola rigida.

Quando studio le onde, considero la previsione qualitativa della velocità del suono utilizzando il metodo dell'analisi dimensionale. Cerchiamo la velocità del suono come velocità di propagazione delle onde di compressione e rarefazione nel gas. Gli studenti non hanno dubbi sulla dipendenza della velocità del suono in un gas dalla densità del gas e dalla sua pressione p.

Stiamo cercando una risposta nel modulo:

dove C è un fattore adimensionale, il cui valore numerico non può essere ricavato dall'analisi dimensionale. Passando a (1) all'uguaglianza delle dimensioni.

m/s = (kg/m 3) x Pa y,

m/s = (kg/m 3) x (kg m/(s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 = kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y ,

m 1 s -1 = kg x+y m -3x + y-2y c -2y ,

m 1 s -1 = kg x+y m -3x-y c -2y .

L'uguaglianza delle dimensioni sui lati sinistro e destro dell'uguaglianza dà:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2 , y = 1/2 .

Quindi, la velocità del suono nel gas

La formula (2) in C=1 fu ottenuta per la prima volta da I. Newton. Ma le conclusioni quantitative di questa formula erano molto complesse.

La determinazione sperimentale della velocità del suono nell'aria fu effettuata in un lavoro collettivo di membri dell'Accademia delle Scienze di Parigi nel 1738, in cui fu misurato il tempo impiegato dal suono di un colpo di cannone per percorrere una distanza di 30 km .

Ripetendo questo materiale in 11a elementare, si attira l'attenzione degli studenti sul fatto che il risultato (2) può essere ottenuto per un modello del processo isotermico di propagazione del suono utilizzando l'equazione di Mendeleev-Clapeyron e il concetto di densità:

– velocità di propagazione del suono.

Dopo aver introdotto gli studenti al metodo dimensionale, lascerò che utilizzino questo metodo per derivare l'equazione MKT di base per un gas ideale.

Gli studenti comprendono che la pressione di un gas ideale dipende dalla massa delle singole molecole di gas ideale, dal numero di molecole per unità di volume - n (la concentrazione delle molecole di gas) e dalla velocità di movimento delle molecole - .

Conoscendo le dimensioni delle quantità incluse in questa equazione, abbiamo:

,

,

,

Confrontando le dimensioni dei lati sinistro e destro di questa uguaglianza, abbiamo:

Pertanto, l’equazione MKT di base ha la seguente forma:

- ciò implica

Dal triangolo ombreggiato si può vedere questo

Risposta: B).

Abbiamo utilizzato il metodo delle dimensioni.

Il metodo dimensionale, oltre a effettuare la tradizionale verifica della correttezza della risoluzione dei problemi e dell'esecuzione di alcuni compiti USE, aiuta a trovare dipendenze funzionali tra varie quantità fisiche, ma solo per quelle situazioni in cui queste dipendenze sono leggi di potenza. Esistono molte di queste dipendenze in natura e il metodo dimensionale è un buon assistente nella risoluzione di tali problemi.

Concetti di base della teoria dei modelli

La modellazione è un metodo per studiare sperimentalmente un modello di un fenomeno anziché un fenomeno naturale. Il modello è scelto in modo che i risultati sperimentali possano essere estesi ad un fenomeno naturale.

Lascia che il campo quantità sia modellato w. Quindi, durante la modellazione accurata in punti simili del modello e dell'oggetto in scala reale, la condizione deve essere soddisfatta

dove è la scala della simulazione.

Nel caso di modellazione approssimata, otteniamo

Il rapporto è chiamato grado di distorsione.

Se il grado di distorsione non supera la precisione della misurazione, il modello approssimativo non differisce da quello esatto. È impossibile assicurarsi in anticipo che il valore non superi un certo valore predeterminato, poiché nella maggior parte dei casi non può nemmeno essere determinato in anticipo.

Metodo delle analogie

Se due fenomeni fisici di natura fisica diversa sono descritti da equazioni e condizioni di unicità identiche (condizioni al contorno o, nel caso stazionario, condizioni al contorno) presentate in forma adimensionale, allora i fenomeni sono detti analoghi. Nelle stesse condizioni, fenomeni della stessa natura fisica sono detti simili.

Nonostante il fatto che fenomeni simili abbiano natura fisica diversa, appartengono a un caso generalizzato individuale. Questa circostanza ha permesso di creare un metodo di analogie molto conveniente per studiare i fenomeni fisici. La sua essenza è la seguente: non è il fenomeno studiato, per il quale è difficile o impossibile misurare le quantità richieste, ad essere esaminato, ma un fenomeno appositamente selezionato simile a quello studiato. Ad esempio, consideriamo l'analogia elettrotermica. In questo caso, il fenomeno studiato è un campo di temperatura stazionario e la sua analogia è un campo di potenziale elettrico stazionario

Equazione termica

(9.3)

dov'è la temperatura assoluta,

e l'equazione del potenziale elettrico

(9.4)

dove il potenziale elettrico è simile. In forma adimensionale, queste equazioni saranno identiche.

Se si creano condizioni al contorno per il potenziale simili a quelle per la temperatura, allora anche nella forma adimensionale saranno identiche.

L'analogia elettrotermica è ampiamente utilizzata nello studio dei processi di conduttività termica. Ad esempio, i campi di temperatura delle pale delle turbine a gas sono stati misurati utilizzando questo metodo.

Analisi dimensionale

A volte devi studiare processi che non sono ancora descritti da equazioni differenziali. L’unico modo per studiare è sperimentare. È consigliabile presentare i risultati dell'esperimento in forma generalizzata, ma per questo è necessario essere in grado di trovare complessi adimensionali caratteristici di tale processo

L'analisi dimensionale è un metodo per comporre complessi adimensionali in condizioni in cui il processo studiato non è stato ancora descritto da equazioni differenziali.

Tutto quantità fisiche possono essere suddivisi in primari e secondari. Per i processi di trasferimento di calore, solitamente vengono scelti come primari: lunghezza L, massa M, tempo T, quantità di calore Q temperatura eccessiva . Quindi le quantità secondarie saranno quantità come coefficiente di scambio termico, diffusività termica UN e così via.

Le formule per la dimensione delle quantità secondarie hanno la forma di monomi di potenza. Ad esempio, la formula dimensionale per il coefficiente di scambio termico ha la forma

(9.5)

Dove Q-quantità di calore.

Siano note tutte le grandezze fisiche essenziali per il processo studiato. Dobbiamo trovare complessi adimensionali.

Componiamo un prodotto dalle formule dimensionali di tutte le quantità fisiche essenziali per il processo in alcuni gradi ancora indeterminati; ovviamente sarà un monomio di potenza (per il processo). Supponiamo che la sua dimensione (del monomio di potenza) sia uguale a zero, cioè siano stati ridotti gli esponenti delle potenze delle quantità primarie comprese nella formula dimensionale, allora il monomio di potenza (del processo) può essere rappresentato sotto forma di un prodotto di complessi adimensionali di quantità dimensionali. Ciò significa che se componiamo un prodotto da formule di dimensioni essenziali per processi di quantità fisiche a potenze indefinite, allora dalla condizione che la somma degli esponenti delle quantità primarie di questo monomio di potenza è uguale a zero, possiamo determinare i complessi adimensionali richiesti.

Dimostriamo questa operazione utilizzando l'esempio di un processo periodico di conduzione termica in un corpo solido lavato da un liquido refrigerante. Assumeremo che le equazioni differenziali del processo in esame siano sconosciute. Dobbiamo trovare complessi adimensionali.

Le grandezze fisiche essenziali per il processo in studio saranno le seguenti: dimensione caratteristica l(m), conducibilità termica di un solido, (J/(m K)), calore specifico di un solido Con(J/(kg K)), densità del corpo solido (kg/m 3), coefficiente di scambio termico (scambio di calore) (J/m 2 K)), periodo di tempo , (c), temperatura caratteristica in eccesso (K). Costruiamo da queste quantità un monomio di potenza della forma

L'esponente di una quantità primaria è chiamato dimensione della quantità secondaria rispetto alla quantità primaria data.

Sostituiamolo con quantità fisiche (eccetto Q) dalle loro formule dimensionali, di conseguenza otteniamo

In questo caso gli esponenti hanno valori a cui Q cade fuori dall'equazione.

Uguagliamo a zero gli esponenti del monomio:

per lunghezza

a – b - 3i - 2k = 0; (9.8)

per la quantità di calore Q

0; (9.9)

per tempo

per la temperatura

per la messa M

Ci sono sette quantità significative in totale, ci sono cinque equazioni per determinare gli indicatori, il che significa solo due indicatori, ad esempio, B e k possono essere scelti arbitrariamente.

Esprimiamo tutti gli esponenti attraverso B E K. Di conseguenza otteniamo:

da (8.8), (8.9), (8.12)

f = -b - k; (9.14)

r=b + k; (9.15)

da (8.11) e (8.9)

n = b + f + k = b +(-b–k) + k = 0; (9.16)

da (8.12) e (8.9)

io = f = -b -k. (9.17)

Ora il monomio può essere rappresentato nella forma

Poiché gli indicatori B E K può essere scelto arbitrariamente, supponiamo:

1. allo stesso tempo scriviamo