Анализ на размерите на неговите възможности и ограничения. Моят научен блог
Много от процесите, срещани в практиката, са толкова сложни, че не могат да бъдат директно описани с диференциални уравнения. В такива случаи много ценна техника за разкриване на връзката между променливите е анализът на измеренията.
Този метод не предоставя пълна информация за връзката между променливите, която в крайна сметка трябва да бъде разкрита експериментално. Този метод обаче може значително да намали обема на експерименталната работа.
По този начин ефективното прилагане на дименсионалния метод е възможно само когато се комбинира с експеримент; в този случай трябва да се знаят всички фактори или променливи, които влияят върху изследвания процес.
Размерният анализ дава логично разпределение на количествата върху безразмерни групи. Най-общо функционалната зависимост на N може да бъде представена като формула, която се нарича размерна формула:
Това включва (k + 1) количества на включване и количества N. Те могат да бъдат променливи, постоянни, размерни и безразмерни. В този случай обаче е необходимо за цифровите величини, включени в уравнението, което характеризира физическото явление, да бъде приета една и съща система от основни мерни единици. При това условие уравнението остава валидно за произволно избрана система от единици. Освен това тези основни единици трябва да бъдат независими по своите размери и техният брой трябва да бъде такъв, че чрез тях да е възможно да се представят размерите на всички количества, включени във функционалната зависимост (3.73).
Такива мерни единици могат да бъдат всякакви три величини, включени в уравнение (3.73) и които са независими една от друга по отношение на измерението. Ако вземем, например, дължината L и скоростта V като мерни единици, тогава имаме дадена единица дължина L и единица време. Така за третата мерна единица е невъзможно да се приеме всяка величина, чието измерение съдържа само дължина и време, като например ускорение, тъй като единицата на тази величина вече е зададена в резултат на избора на единиците за дължина и скорост. Следователно, освен това трябва да се избере всяка стойност, чието измерение включва маса, например плътност, вискозитет, сила и т.н.
На практика, например, при хидравлични изследвания се оказва подходящо да се вземат следните три мерни единици: скоростта V 0 на всяка частица на потока, всякаква дължина (диаметър на тръбопровода D или неговата дължина L), плътност ρ на избрана частица.
Размерът на тези мерни единици:
Госпожица; m; кг / м 3.
По този начин уравнението за размерите в съответствие с функционалната зависимост (3.73) може да бъде представено в следната форма:
Стойностите N i и n i, взети в системата от основни единици (метър, секунда, килограм), могат да бъдат изразени в безразмерни числа:
; 
.
Следователно, вместо уравнение (3.73), може да се напише уравнение, в което всички количества са изразени в относителни единици (по отношение на V 0 , L 0 , ρ 0):
Тъй като p 1, p 2, p 3 са съответно V 0, L 0, ρ 0, тогава първите три членове на уравнението се превръщат в три единици и функционалната зависимост приема формата:
. (3.76)
В съответствие с π-теоремата всяка връзка между размерните величини може да се формулира като връзка между безразмерни величини. В изследванията тази теорема дава възможност да се определи връзката не между самите променливи, а между някои от техните безразмерни съотношения, съставени според определени закони.
Така функционалната зависимост между k + 1 размерните величини N и n i обикновено се изразява като съотношението между (k + 1- 3) величините π и π i (i = 4,5, ..., k), всяка от които е a безразмерна мощностна комбинация от количествата, включени във функционалната зависимост. Безразмерните числа π имат характер на критерии за подобие, както се вижда от следния пример.
Пример 3.3. Определете функционалната зависимост за съпротивителната сила F (N = kg m / s 2), която изпитва плочата, когато тече около нея с течност по посока на нейната дължина.
Функционалната зависимост на съпротивителната сила може да бъде представена като функция на редица независими променливи и определена при условия на подобие:
,
където 
скорост на потока, m/s; 
площ на плочата, m 2; 
плътност на течността, kg/m 3 ; 
динамичен коефициент на вискозитет, Pa s ([Pa s] = kg/m s); 
ускорение на свободно падане, m/s 2 ; 
налягане, Pa (Pa = kg/m s); съотношението на височината на плочата към нейната дължина; ъгълът на наклона на плочата спрямо посоката на потока.
Така количествата и са безразмерни, останалите шест са размерни. Три от тях: 
, 
и взети като основни. В съответствие с π-теоремата тук са възможни само три безразмерни отношения. Следователно:
за съпротивителната сила:
1 \u003d z (индикатори отляво и отдясно при kg);
2 \u003d - x (индикатори отляво и отдясно при c);
1 \u003d x + 2y - 3z (индикатори отляво и отдясно при m).
Решението на тези уравнения дава: x = 2; y = 1; z = 1.
Функционална зависимост:
По същия начин получаваме:
За вискозитет:
имаме x 1 = 1; y 1 = 0,5; z1 = 1.
Функционална зависимост:
;
имаме x 2 = 2; y 2 = - 0,5; z2 = 0.
Функционална зависимост:
За натиск:
имаме x 3 = 2; y 3 = 0; z3 = 1.
Функционална зависимост:
.
Очевидно е, че 
, 
, 
.
От това можем да заключим, че след изучаване на този процес при определени размери, скорости и т.н., е възможно да се установи как ще продължи при други размери и скорости, ако безразмерните съотношения, съставени от тези променливи, са еднакви и за двата случая. Така че изводите, получени при експерименти с тела с дадени размери, движещи се с дадена скорост и т.н., очевидно ще бъдат валидни за всякакви други размери на тела, скорости и т.н. при условие, че безразмерните съотношения са равни 
с наблюдаваните в експериментите.
Пример 3.4. Въз основа на предишни изследвания на лабораторно устройство, определете функционалната зависимост на мощността N (W = kg m 2 /s 3) на двигателя на бъркалката, която е необходима за смесване на целулозата с реагентите в контактния резервоар.
За сходството на две системи за смесване се изисква:
Геометрично подобие, при което съотношението на количествата за разглежданите системи трябва да бъде равно помежду си;
Кинематично подобие, когато скоростите в съответните точки трябва да бъдат в същото съотношение като скоростите в други съответни точки, т.е. пътищата на пулпата трябва да са подобни;
Динамично подобие, което изисква съотношението на силите в съответните точки да бъде равно на съотношението на силите в други съответни точки.
Ако граничните условия са фиксирани, една променлива може да бъде изразена чрез други променливи, т.е. функционалната зависимост на мощността на двигателя на бъркалката може да бъде представена като функция на редица независими променливи и определена чрез критерии за сходство:
,
където е диаметърът на смесителя, m; плътност на пулпа, kg/m 3; 
скорост на въртене на бъркалката, s -1 ; динамичен коефициент на вискозитет, Pa·s (Pa·s=kg/m·s); ускорение на свободно падане, m/s 2 – ъгълът на наклона на плочата спрямо посоката на потока.
Така имаме петмерни величини, три от които: , и 
взето като основно. В съответствие с π-теоремата тук са възможни само две безразмерни отношения. Следователно:
.
Като се има предвид равенството на размерите на числителя и знаменателя, намираме показателите:
за мощността на двигателя на бъркалката:
,
3 \u003d z (индикатори отляво и отдясно при c);
1 = in (индикатори отляво и отдясно при kg);
2 \u003d x - 3y (индикатори отляво и отдясно при m).
Решението на тези уравнения дава: x = 5; y = 1; z = 3.
Функционална зависимост:
По същия начин получаваме:
За вискозитет:
имаме x 1 = 2; y 1 = 1; z1 = 1.
Функционална зависимост:
;
За да ускорите свободното падане:
имаме x 2 = 1; y 2 = 0; z2 = 1.
Функционална зависимост:
;
Очевидно е, че . Тогава търсената функционална зависимост има формата:
.
От това можем да заключим, че след намиране на функционалната зависимост на мощността на двигателя на бъркалката за някои негови параметри, може да се установи каква ще бъде тя за други размери и скорости и т.н. ако безразмерните съотношения и за двата случая са еднакви. Така че заключенията, получени на експерименталното устройство, ще бъдат валидни за всяко друго устройство, при условие че безразмерните съотношения са равни на наблюдаваните в експериментите.
Пример 3.5. Изследван е процесът на обогатяване в тежък среден сепаратор. Параметричната диаграма на процеса на разделяне на тежки среди (фиг. 3.5) показва входящите, изходящите и контролираните параметри, както и възможните препятствия:
Входни и контролирани параметри: Qin - производителност на сепаратора за изходния материал; Q susp - дебитът на суспензията; V - обем на кофата; Δρ е разликата в плътностите на суспензията и фракцията, която трябва да се раздели; ω - скорост на въртене на колелото на асансьора; n е броят на кофите на елеваторното колело;
Изходни и контролирани параметри: Q до-t - производителност на сепаратора за концентрат; Q otx - производителност на сепаратора за отпадъци;
Препятствия (неотчетени параметри, които влияят на процеса): влажност, гранулометричен и фракционен състав.
Проверяваме дали броят на параметрите е достатъчен за изчисляване на модела, за който записваме размерите на всички количества = kg / s; \u003d m 3 / s; [Δ] \u003d kg / m 3; [V] \u003d m 3; [ 
] = c -1 ; = kg/s; [n] = 8.
Основните размерни величини m = 3 (kg, m, s), следователно при изчисленията може да се използва следното:
параметър, т.е. Q out, V, Δ, ω.
0 = 3x - 3z (експоненти отляво и отдясно при L);
1 \u003d - y - 3z (индикатори отляво и отдясно при T);
Така че x = 1; y = - 2; z = 1, тоест функционалната зависимост на капацитета на сепаратора за отпадъци от обема на кофата, скоростта на въртене на елеваторното колело и разликата в плътността на суспензията и отделената фракция има формата:
Стойността на коефициента k се определя на базата на предишни изследвания с фиксирани параметри: V = 0,25 m 3 ; Δ \u003d 100 kg / m 3; = 0.035 s -1; n \u003d 8, в резултат на което беше установено, че Q otx \u003d 42 kg / s:
Формула 
е математически модел на изследвания процес.
Пример 3.6. Проучва се процесът на транспортиране на концентрат с размер на частиците 0,5 - 13 мм чрез обезводняващ багерно-картерен елеватор:
Входни и контролирани параметри: ω - вместимост на елеваторната кофа в сухо вещество; ρ - плътност на доставката; V е скоростта на веригата на асансьора;
Изходен и контролиран параметър: Q - производителност на обезводнителния багерно-картерен елеватор по клас 0,5 - 13 mm;
Постоянни параметри: коефициент на запълване на кофата 
= 0,5; влажност, гранулометричен и фракционен състав.
В този пример:
Проверяваме дали броят на параметрите е достатъчен за изчисляване на модела, за който записваме размерите на всички величини: [ω] = m 3; [ρ] \u003d kg / m 3; [V] = m/s.
Основните размерни величини m = 3 (kg, m, s), следователно при изчисленията може да се използва следното:
параметър, т.е. Q, V, , ω.
Тъй като не всички параметри са взети предвид, коефициентът k се добавя към функционалната зависимост между избраните параметри:
,
или използване на базови единици M, L, T:
0 \u003d 3x + y - 3z (индикатори отляво и отдясно при L);
1 \u003d - y (индикатори отляво и отдясно при T);
1 = z (експоненти отляво и отдясно при M).
Така че x = 2/3; y = 1; z = 1, т.е. функционалната зависимост на производителността на обезводняващия асансьор за багер-картер според класа 0,5-13 mm от обема на кофата, скоростта на веригата на елеватора и плътността на захранването има формата:
.
Стойността на коефициента k се определя на базата на предишни изследвания с фиксирани параметри: V = 0,25 m/s; \u003d 1400 kg / m 3; \u003d 50 10 -3 m 3, в резултат на което беше установено, че Q \u003d 1,5 kg / s, освен това трябва да се вземе предвид коефициентът на пълнене на кофите = 0,5 и след това:
.
Формула 
е математически модел на процеса на транспортиране на концентрат с размер на частиците 0,5-13 mm от изследвания обезводняващ багерно-картерен елеватор.
Трябва да се има предвид, че колкото по-малка е стойността на коефициента k, толкова по-голяма е стойността на разглежданите параметри.
Анализът на размерите, теорията на подобието, моделирането, както и методът на аналогия на различни явления позволяват, заедно с правилната формулировка и провеждане на експерименти, да ускорят изчислителната и друга работа. Този метод обаче не се използва широко в теоретичните основи на сондирането на нефтени и газови кладенци. В същото време тези инструменти се използват сравнително широко в теоретичните основи на разработването на находища на нефт и газ.
За правилната постановка на експериментите, обработката на получените резултати и обобщенията е необходимо извършването на количествено-теоретичен анализ. В този случай броят на експериментите, резултатите от които се изразяват в безразмерни параметри, намалява. По-специално в хидродинамиката тези параметри се определят като съотношение на силите.
Обикновено се прави разлика между размерни и безразмерни величини. Примери за размерни величини са скорост, налягане, вискозитет, крайно напрежение на срязване, дължина, време и др.
Съотношенията на дължината към неговия диаметър, силите на вискозитет към крайното напрежение на срязване и т.н. са безразмерни величини. Анализът на теорията на размерите позволява да се намали броят на променливите в уравненията чрез преминаване от размерни променливи към безразмерни. Да предположим, че ни е дадено следното квадратно уравнение:
ax2 + bx+c = 0,
където безразмерно хзависи от коефициентите a, b и c, които имат еднакви размери.
с,тогава уравнението ще приеме формата
Както се вижда от уравнението, променливата хзависи от и , т.е.
. Следователно запис на уравнението в безразмерна форма
ви позволява да намалите броя на променливите от три на две. Ако уравнението е неизвестно или е необходимо да се определи вида на функционалната зависимост, тогава вместо промяна аи b промяна на връзката и . По този начин се намалява не само броят на променливите, но се постига възможността за провеждане на експеримент с най-малко време и труд. Да приемем, че за настройка на експеримент е необходима промяна в стойностите на и . Ако по време на експеримента стойността слесна за промяна, след това чрез промяна на стойността с,възможно е да промените стойностите и (в същото време стойностите a и b остават постоянни) и обратно, ако е трудно да промените стойността c по време на експеримента, след това чрез промяна на стойностите и можете да промените стойностите а и б.Ако
при провеждане на експерименти е трудно да се променят стойностите на b uc, след което чрез промяна на една от тях е възможно да се постигне промяна в съотношението на количествата.
Физическите основи свързват количествата с определени зависимости. Следователно, ако са избрани размери за някои количества, тогава размерите на други количества могат да бъдат получени въз основа на съответните формули. Зависимостта между физическите величини позволява да се избере такава основна система от размери, че произволен избор от три измерения е достатъчен за измерване на механичните величини в тази система.
В много случаи в техниката на единица дължина Лвреме Tи сила Евзети като базови единици. Въпреки това, сред мерните единици, вискозитетът , скорост vи плътността също може да се приеме за основна. Такива величини се наричат величини с независими измерения (вижте по-долу).
Понастоящем е приета международната система от единици SI, в която измерението на дължината е 1 м,маса - 1 кг и време - 1 сек.
Ако обозначим независимите размери на дължината, времето и съответно силата чрез Л, Ти Е,тогава количествата, широко използвани в хидромеханиката, ще имат следните размери:
скорост
Ако е невъзможно да се направи диференциално уравнение или друга математическа зависимост за математическо описание, тогава, използвайки теорията на размерите, е възможно да се опише физическо явление без уравнение, описващо процеса. Но за това е необходимо да се знаят началните и граничните условия, обясняващи това явление. Използването на -теоремата (теоремата на Бъкингам) за тези цели позволява да се идентифицират основните безразмерни параметри, които характеризират разглежданото явление.
Приемаме, че безразмерната величина азависи от независими променливи а 1:..., a p
a \u003d a (a 1, a 2, a 3,. . ., a m, a m+1 , . . ., a p).
Функционалната зависимост обикновено се записва като ; с голям брой зависимости. Знаците на функцията трябва да се приемат по различен начин. По-просто казано, зависимостите се показват по следния начин:
Да приемем, че сред тези размерни величини броят на величините с независими размери е равен на T.В механиката и техниката не могат да бъдат повече от три. Дължината се приема като независима величина Лвреме T,сила Еили тяхната мощност комбинация, от която може да се получи Л, Ти Е,например:
Уравнението включва n+1 мерни величини. Въз основа на l-теоремата връзката между П+ 1 мерни единици могат да бъдат изпълнени П+ 1 - мбезразмерни параметри, състоящи се от П+ 1 размери.
След това могат да бъдат записани безразмерните параметри
Ето индикатори t1, t2, ..., mk; p 1 p 2 ,.., p k ; g 1 g 2..., g kса избрани така, че параметрите 
се оказа безразмерна.
Нека обясним приложението на -теоремата с конкретен пример. Нека приемем, че вместо дадената стойност , и вместо количества с независими размери са дадени . Тогава получаваме
Тъй като лявата страна на тази формула е безразмерна, дясната също трябва да е безразмерна, т.е.
След това, приравнявайки степенните степени на Л, Ти Е,получаваме:
 |
Решенията на тази система от три линейни уравнения ще бъдат следните:
Следователно безразмерният параметър може да бъде представен като
Този израз е отношението на налягането и инерцията и се нарича параметър на Ойлер.
Когато се използва теорията на размерността, се използват физически и математически съображения.
Нека разгледаме стационарното движение на несвиваема вискозна пластична течност в цилиндрична тръба. Спадът на налягането в краищата на тръбопровода зависи от дължината и диаметъра на тръбата, структурния вискозитет, крайното напрежение на срязване, плътността на течността, както и от ускорението на гравитацията и скоростта на движение. Когато свиваем флуид се движи, уравнението трябва да включва не спада на налягането, а абсолютните стойности на наляганията, действащи в краищата на тръбата. За разглеждания случай физическото уравнение има формата
, или
Тъй като броят на независимите е три, използвайки -теоремата, можем да извлечем пет безразмерни параметъра. В този случай като количества с независими размери могат да бъдат избрани: и др.
Беше отбелязано по-горе, че във всеки вариант трябва да бъдат избрани количества с независими размери, така че техните комбинации на мощност да направят възможно получаването на размерите на дължината Лсила Е,време T.Нека сега проверим това условие за приетите варианти.
Тъй като в първия вариант налягането, диаметърът и скоростта са взети като основни, комбинирайки ги, ще се стремим да получим размерите Л, Фи T.
Намерете размерността на дължината
Следователно, 
По този начин, за да получите измерението на дължината, трябва да вземете следната комбинация p, dи v:
.
Нека намерим измерението на силата:
,
Следователно,
;
т.е., за да получите измерението на силата, трябва да използвате следната комбинация:
.
Нека намерим измерението на времето
,
Следователно,
.
Измерението на времето се получава от комбинацията по-долу p, dи v:
Във всеки вариант се избират комбинации от тези величини, така че в резултат да се получи безразмерен параметър. Сега, за всяка от двете опции, извличаме безразмерни параметри.
Вариант 1. Комбинации от три величини, взети при извеждането на безразмерни параметри , трябва да бъде избран така, че да е възможно да се получат размерите на останалите количества и след това, в резултат на разделянето, да се доведе получената стойност до безразмерна форма.
За стойността можем да напишем:
 |
Така получаваме четвъртия безразмерен параметър във формата
Тук за стационарното движение на вискозно-пластични течности се получават параметрите Eu, Fr, La" и La".
По същия начин, ако извлечем безразмерни параметри за , тогава получаваме
Поради факта, че три от осемте количества, включени в уравнението, се приемат като независими променливи, броят на безразмерните параметри ще намалее с броя на независимите променливи, т.е. получаваме П- T= 8-3 = 5 безразмерни параметъра.
Вариант 2. Вземайки размерните величини като основни и извличайки безразмерните параметри от -теоремата, получаваме следните изрази:
Нека ги сравним с параметрите на вариант I:
С оглед на това, че желаната стойност се включва в параметъра Eu, тогава резултатите от експериментите се представят във формата
Тъй като стойността е включен в параметъра Eu, останалите три параметъра се избират така, че да има желаната стойност не е участвал.
Уравнението може да се изрази и с помощта на параметъра на Лагранж, в който , т.е.
Това уравнение е приложимо за стационарно движение; ако движението е нестационарно, трябва да се вземе предвид и параметърът на Струхал.
Следователно, когато тръбата е хоризонтална, гравитацията не влияе на движението жне е взето предвид.
Тъй като по време на изотермично движение физичните свойства на течностите не се променят по дължината на тръбата, дебитът и напречното сечение остават постоянни, загубите на налягане на единица дължина (от уравнението за непрекъснатост) са различни. В този случай е характеристика. Например, ако знаем загубата на налягане, съответстваща на 100 мдължина, възможно е да се определи загубата на налягане при 200, 300 ми т.н. Тук началната и крайната част не се вземат предвид. Тогава спадът на налягането на единица дължина може да се изрази като
.
Тъй като е определено , тогава параметърът изчезва и параметърът на Ойлер се записва във формата
За вискозни течности подобно уравнение, получено независимо от Дарси и Вайсбах, се нарича уравнение на Дарси-Вайсбах.
По този начин,
където 
- коефициент на хидравлично съпротивление.
Разгледайте уравнението на дълга двупроводна линия. Двупроводната линия е представена от система с равномерно разпределени утечки, индуктивности, съпротивления и капацитети. Потенциална разлика Uи сила на тока азв секции хи се определя на базата на закона на Кирхоф, написан за процес, протичащ на сегмент в интервал от време . Разлика U(x, t) - U(x+ Ах, т)определя потенциалната разлика между индуктивности и омични съпротивления
където Ли Р- съответно индуктивност и омично съпротивление на единица дължина.
Първият член на дясната страна, характеризиращ промяната в e. д.с. на индуктивности, се определя от промяната в силата на тока във времето. Вторият член е потенциалната разлика, която се изчислява съгласно закона на Ом.
Второто уравнение е текущият баланс, определен от кондензатора и утечката, т.е.
" където ОТ- капацитет на единица дължина; G- - проводимост на единица дължина.
Първият елемент от дясната страна е силата на тока, преминаващ през кондензатора и характеризиращ се с промяна в потенциалната разлика във времето. Вторият член е силата на тока - утечка, определена от закона на Ом.
Горните две уравнения са уравненията с крайни разлики на дълга двупроводна линия. Преминаване до границата при 
,
на разположение:
Тази система от уравнения за Ж= 0 е доста подобно на диференциалните уравнения на движение на капчица течност в тръбопровод при .
Помислете за нестационарното движение на реална среда в хоризонтална кръгла цилиндрична тръба. В този случай едната релаксираща стрела характеризира нестационарността по оста, а другата - по сечението. Приема се, че второто е незначително в сравнение с първото. Следователно се изследва нестационарността, развиваща се по оста на тръбата, т.е. разглежда се квазиедномерно движение, характеризиращо се с параметри, осреднени по сечението. Приема се, че течността е слабо компресируема, т.е. промяната в нейната скорост по оста е малка. в раздел 1 -1 (виж Фиг. 9) средното налягане се означава с p(x, t),и в раздел 2 -2 - през .
Напрежението на срязване се означава с . Тогава силата tre-shya, действаща върху страничната повърхност на елементарен кръгъл цилиндър, ще бъде , където S1- намокрен периметър.
В уравнението на движението "местната скорост" е приблизително заменена със средната скорост на напречното сечение v,но това не се отразява на крайния резултат.
Сумата от силите на съпротивление и натиск е , където Е- площ на напречното сечение.
Преминавайки до границата, получаваме
Изразяваме абсолютната стойност на инерционната сила чрез , където
 |
 |
Масата на средата в отделението 1-1, 2-2 тръби. Тогава на границата. Въз основа на принципа на D "Alembert
Поради факта, че скоростта се променя малко по дължината на тръбата, вторият член на това равенство може да бъде пренебрегнат в сравнение с първия, т.е.
Нека формулираме по-пълно условията, при които вторият член може да бъде пренебрегнат в сравнение с първия. Първият термин има ред , второ (Л- характерен размер, в този случай дължината на тръбопровода, Tе характерното време, което може да се приеме за време на релаксация). Вторият член може да бъде пренебрегнат в сравнение с първия, при условие че
Параметърът е безразмерен. Нека оценим стойността на този параметър за главния тръбопровод: 1 Госпожица; 100 км.
Ако приемем, че времето за релаксация от порядъка на няколко часа съответства на времето за практическо постигане на стационар
където R е хидравличният радиус.
режим, получаваме . Тогава
където R е хидравличният радиус
Записваме уравнението на непрекъснатостта във формата
За изотермично движение се приема уравнението на състоянието
Въвеждайки вместо това средната масова скорост w, можем да запишем
От анализа на размерите е лесно да се установи, че в ламинарен режим, пропорционален на средната скорост на първа степен,
а при турбулентни условия – квадрат на скоростта.
Трябва още веднъж да се отбележи, че тук използвахме принципа на квазистационарността, т.е. съпротивителните сили бяха определени по формулите за стационарен режим. Вземане , намирам
където 2 а- коефициент на съпротивление.
От тези две уравнения може да се получи едно
Нека разгледаме как, използвайки съображения за размери, можем да опростим уравнението. Нека потърсим безразмерни променливи:
където L, t0и w 0- характерни величини.
Като Лвзета дължината на тръбопровода. Следователно, в
безразмерни променливи
От условието се определя. Накрая
Ако коефициентът при термина е достатъчно голям, тогава силата на инерцията може да бъде пренебрегната в сравнение със силата на съпротивление.
Така спадът на налягането се използва само за преодоляване на съпротивителните сили. В този случай уравнението приема формата
Естествено, приетото предположение е оправдано за тръбопроводи с много дълги дължини и когато през тях се движи течност с много висок вискозитет. При определяне на началното налягане в тръбопроводите и в кладенеца силата на инерцията може да бъде пренебрегната
 |
Нивото, което може да се приеме за достатъчно голямо, се определя на базата на сравними изчисления. Съображенията за сходство позволяват, без да се решават уравнения, да се получи известна информация. Например, вторият закон на Нютон за частния случай на потенциално силово поле може да бъде написан като
като е приел 
,
на разположение
Следователно, ако масата на точка се намали 25 пъти, тогава орбитата ще отнеме пет пъти по-малко време за преминаване.
Сред различните явления, срещани в природата, са идентифицирани много математически аналогии. През последните десетилетия в практиката са използвани лабораторни изследвания и проекти, базирани на електрически, магнитни, електродинамични, електромагнитни, топлинни, звукови, оптомеханични, магнитооптични и други аналогии и на теория на моделирането. Електрическата симулация на различни физични явления се използва широко в теорията на филтрацията, хидравликата, хидродинамиката, строителството, топлотехниката, теорията на еластичността, механиката на почвата, теорията на механизмите, акустиката, теорията на автоматичното управление, както и в други области на науката и технологиите.
В съвременното хидротехническо строителство изграждането на големи и сложни хидротехнически съоръжения изисква комплексни филтрационни изследвания. Теоретичното изследване на тези въпроси е много трудно, а понякога и неразрешимо. Тези сложни проблеми се решават много лесно с помощта на метода EGDA (електрохидродинамична аналогия), включително много проблеми, свързани с филтрирането на нефт, газ и газирани течности.
Използването на метода EGDA при изследване на филтрацията на почвената вода под хидравлични съоръжения е предложено за първи път през 1918 г. и теоретично обосновано от академик Н. Н. Павловски. Методът EGDA също се използва широко в различни области на научните изследвания.
Използването на центробежно моделиране дава добри резултати при решаването на следните проблеми, свързани със статиката и динамиката на скалите: определяне на якостта на откосите на земните конструкции; определяне на якостта на шахти и други основи на сгради; разпределение на напреженията в скалите и при контакта на строителни повърхности със скали; слягане на сградата; филтриране на водата в скалата и ефекта от филтрацията върху скалата; определяне на силите на триене и кохезия в свързани скали и др.
По-долу показваме два прости примера, свързани с аналогията.
Аналогия между електрически и механични явления
Затворена верига (фиг. 25) включва кондензатор с капацитет C, омично съпротивление R, самоиндукционна бобина Ли ключ ДА СЕ.
През веригата преминава електрически ток I. За последователна верига, както е известно от закона на Кирхоф, потенциалната разлика ще се състои от сумата от разликата в напрежението
омично съпротивление, кондензатор и намотка. Тези три компонента се изчисляват, както следва:
а) в резултат на самоиндукция разликата в напрежението е равна на произведението на коефициента на самоиндукция и скоростта на промяна на тока, т.е.;
б) разликата в напрежението, свързана с омичното съпротивление, е равна на произведението Р.И.(закон на Ом);
в) разлика в напрежението в кондензатора (по дефиниция)
Така можем да напишем диференциалното уравнение, описващо явлението във формата
При решаването на това диференциално уравнение от втори ред трябва да бъдат посочени две условия, за да се намерят две константи. Например в началния момент t = t0са дадени
Утопия и .
Нека се спрем на условията, необходими за решаване на уравненията. Ако явлението е описано с обикновено диференциално уравнение от n-ти ред, т.е. в уравнението желаната функция зависи само от един аргумент (П- най-високият порядък на производната, включена в уравнението - цяло число, което може да бъде равно на едно или повече), тогава в резултат на неговото решение трябва да се получи Ппроизволни константи. За да ги намерите, човек трябва да зададе Пусловия. Тези условия, в зависимост от характера на изследваното явление, могат да бъдат конкретизирани по различни начини.
1. При определена стойност на аргумента се задава функция и нейните П - 1 производни. Например, ако в дадено уравнение от трети ред желаната функция зависи от времето, то за определено
времевите стойности трябва да бъдат дадени на функцията и нейните първи и втори производни.
Такава задача се нарича задача с начални условия или задача на Коши.
2. За определени стойности на аргументите са посочени функции и техните производни. Например, ако имаме диференциално уравнение от пети ред, тогава от две стойности на аргументите, едната от тях дава желаната функция и нейната първа и втора производна, а другата стойност дава функцията и нейната трета производна. Тук в зависимост от постановката на проблема са възможни и различни други варианти.
За намалената електрическа верига граничните условия могат да бъдат зададени, както следва:
Помислете за механична верига с една степен на свобода. Нека напишем условието за баланса на силите, действащи върху пружината (фиг. 26).
 |
Върху пружината действат активните сили на тежестта и еластичността и пасивната съпротивителна сила.
Използвайки принципа на D "Alembert, ние записваме условието за равновесие във формата
където T -тегло; ч- затихване на трептенията; да се- коефициент на твърдост; х- движение.
В горното уравнение (А) първият член по абсолютна стойност представлява силата на инерцията, вторият - силата на триене, а третият - силата на еластичността.
Уравнението на механичното трептене има същата форма като уравнението, описващо електрическото трептене. Следователно в тези уравнения параметрите са подобни: х- аз
T- Л: ч- Р.
Нека да преминем към безразмерни количества, както следва:
където t0- началната стойност на аргумента; х 0и I 0 са началните стойности на функцията. По този начин,
Ако всички членове на уравнението се разделят на , за да получим следното уравнение с безразмерни коефициенти:
По същия начин уравнението на механичните вибрации може да бъде написано в безразмерна форма
Нека напишем началните условия за уравнението на трептенията в електрическа верига в безразмерна форма:
Началните условия за уравнението на механичните трептения ще бъдат:
За да бъдат равни вторите начални условия, трябва да е изпълнено следното условие:
Сега, използвайки аналогията на уравненията на механичните и електрическите вибрации, нека преминем от едно уравнение към друго.
Да предположим, че за механична верига t, k Cи аз " 0 , от тези три уравнения може да се намери I 0, Ли Р.Изборът на тези параметри зависи от мястото и условията на експеримента.
След намирането на тези параметри за установяване на зависимостта I =I(t)се сглобява съответната електрическа верига.
Хидравлична аналогия при решаване на задачи за топлообмен
Аналитичното решаване на задачи за топлообмен със сложни гранични условия и вариращи топлинни коефициенти (които често се срещат в практиката) е свързано с големи трудности. Прилагането на метода на елементарните баланси е свързано с трудоемки изчислителни операции. В тази връзка изчислителните устройства са създадени въз основа на аналогии, които улесняват изчислителните операции. Когато използват метода на аналогията, те се стремят да възпроизведат изследваното явление върху подобно явление, което се описва със същите математически зависимости, но по-лесно се контролира. Това значително опростява изчислителната работа.
Известни са електрически модели на нестационарни процеси на топлопроводимост (електрическият интегратор на L. I. Gutenmakher); намери приложение и методът на хидравличната аналогия, предложен от В. С. Лукянов.
Хидравличният интегратор на В. С. Лукянов се основава на аналогията на математическите отношения, описващи разпределението на температурата в твърдо тяло и разпределението на налягането ввода, движеща се през хидравлични съпротивления в ламинарен режим.
Основната фундаментална характеристика, която определя конструкцията на хидравличния интегратор, е замяната на равномерно разпределени параметри с групирани в хидравличното поле, т.е. преходът от поле към верига с групирани параметри. В тази връзка процесът на възпроизвеждане на непрекъснато температурно поле със групирани параметри е преход от решаване на диференциални уравнения към решаване на уравнение в крайни разлики.
Това устройство се състои от основните елементи на аналогията на хидравлична верига с концентрирани елементи на съпротивление и капацитет, както и специални елементи, които възпроизвеждат освобождаването на латентна топлина при промяна на състоянието на агрегация; устройства за задаване на гранични условия; устройства за измерване на налягане във възлите на хидравличната верига; устройство, което захранва устройството с вода.
Нека разгледаме конкретен пример за определяне на разпределението на температурата в многослойна стена с едномерен топлинен поток. Стената се определя от размерите на отделните слоеве и топлофизичните характеристики на материалите, т.е. от обемните топлинни мощности ( , където с- специфична топлопроводимост на тялото; - обемно тегло на тялото) и коефициенти на топлопроводимост (фиг. 27).
Дадено е определено начално температурно разпределение и произволно избрани ефекти от температурите на външната среда и топлинните потоци върху повърхността на стената. Първо се изготвя изчислителна схема. Разбийте стената на краен брой слоеве. Приема се, че топлинният капацитет за всеки слой е концентриран в средата му и е защитен от термични съпротивления, равни на половината от дебелината на слоя.
По този начин изчислителната схема е верига от uploкапацитети c, разделени един от друг чрез термични съпротивления.
Топлинните мощности на крайните слоеве са отделени от външната среда чрез допълнително термично съпротивление на топлопредаване от повърхността. Процесът на топлообмен на елементарни слоеве между тях и околната среда се определя от следната система от уравнения:
; (1-98)
Коефициент на хидравлично съпротивление; ч- ниво на течността в съда; - разликата в нивата на течността в съдовете.
Поток на течност ре пропорционална на разликата в нивата в съдовете (аналогично на закона за топлопроводимост), а нарастването на водното съдържание в съда с течение на времето е равно на произведението от площта на напречното сечение на съда и увеличение на височината на нивото.
Уравнения (1.98) и (1.95) са подобни на уравнения (1.100) и (1.101). Да приемем, че веригата от съдове е съставена по такъв начин, че количествата 
са числено равни. Първоначално разпределение на нивата чв подходящ мащаб изобразява първоначалното разпределение на температурата в центъра на елементарните слоеве, а промяната в нивата в движещите се съдове става по същия начин, както промяната в температурата на околната среда. Тогава нивото в съдовете ще се промени подобно на промяната на температурата в елементарните слоеве. Ако и числено не са равни на и , а само пропорционални на тях, тогава топлинният процес също ще бъде възпроизведен върху модела, но само в различна времева скала. Наличието на такава възможност създава голямо удобство, тъй като е възможно значително да се ускори възпроизвеждането на бавни и да се забави възпроизвеждането на бързи процеси на топлообмен. В този случай е възможно да се премине от хидравличния модел към изследвания процес, като се изберат подходящите коефициенти на мащабиране.
Ако всички количества, включени в уравнения (1.98) - (1.101), са изразени в безразмерни величини, тогава системата (1.98) и (1.99) ще бъде подобна на системите
Физическите величини, чиято числена стойност не зависи от избраната скала на единиците, се наричат безразмерни. Примери за безразмерни величини са ъгълът (съотношението на дължината на дъгата към радиуса), индексът на пречупване на материята (съотношението на скоростта на светлината във вакуум към скоростта на светлината в материята).
Физическите величини, които променят числовата си стойност при промяна на мащаба на единиците, се наричат размерни. Примери за размерни величини са дължина, сила и т.н. Изразяването на единица от физическа величина чрез основни единици се нарича нейна размерност (или формула за размерност). Например измерението на силата в системите CGS и SI се изразява с формулата
Съображенията за размерността могат да се използват за проверка на правилността на отговорите, получени при решаване на физически задачи: дясната и лявата част на получените изрази, както и отделните членове във всяка от частите, трябва да имат еднаква размерност.
Методът на размерите може да се използва и за извеждане на формули и уравнения, когато знаем от какви физически параметри може да зависи желаната стойност. Същността на метода е най-лесно да се разбере с конкретни примери.
Приложения на метода на размерите.Да разгледаме задача, чийто отговор ни е добре известен: с каква скорост ще падне на земята свободно падащо без начална скорост от височина тяло, ако съпротивлението на въздуха може да се пренебрегне? Вместо директно изчисление, базирано на законите на движението, ще аргументираме следното.
Нека помислим от какво може да зависи желаната скорост. Очевидно е, че трябва да зависи от началната височина и от ускорението на свободното падане. Може да се предположи, следвайки Аристотел, че зависи и от масата. Тъй като могат да се добавят само стойности от едно и също измерение, може да се предложи следната формула за желаната скорост:
където C е някаква безразмерна константа (числов коефициент), а x, y и z са неизвестни числа, които трябва да бъдат определени.
Размерите на дясната и лявата част на това равенство трябва да са еднакви и именно това условие може да се използва за определяне на показателите x, y, z в (2). Размерността на скоростта е размерността на височината е размерността на ускорението на свободното падане е, накрая, размерността на масата е равна на M. Тъй като константата C е безразмерна, формула (2) съответства на следното равенство на размерите :
Това равенство трябва да е в сила независимо от това какви са числовите стойности. Следователно е необходимо да се приравнят показателите at и M в лявата и дясната част на равенството (3):
От тази система от уравнения получаваме Следователно формула (2) приема формата
Истинската стойност на скоростта, както е известно, е равна на
И така, използваният подход даде възможност да се определи правилно зависимостта от и и не направи възможно намирането на стойността
безразмерна константа C. Въпреки че не успяхме да получим изчерпателен отговор, все пак беше получена много важна информация. Например, можем да твърдим с пълна сигурност, че ако първоначалната височина се учетвори, скоростта в момента на падане ще се удвои и че, противно на мнението на Аристотел, тази скорост не зависи от масата на падащото тяло.
Избор на опции.Когато се използва методът на измеренията, първо трябва да се идентифицират параметрите, които определят разглежданото явление. Това е лесно да се направи, ако са известни физичните закони, които го описват. В редица случаи параметрите, определящи явлението, могат да бъдат уточнени дори когато физичните закони са неизвестни. Като правило трябва да знаете по-малко, за да използвате метода за анализ на размерите, отколкото да напишете уравнения на движение.
Ако броят на параметрите, които определят изследваното явление, е по-голям от броя на основните единици, върху които е изградена избраната система от единици, тогава, разбира се, всички показатели в предложената формула за желаната стойност не могат да бъдат определени. В този случай е полезно преди всичко да се определят всички независими безразмерни комбинации от избраните параметри. Тогава желаното физическо количество ще се определя не от формула като (2), а от произведението на някаква (най-проста) комбинация от параметри, която има желаното измерение (т.е. измерението на желаното количество) от някаква функция на намерени безразмерни параметри.
Лесно е да се види, че в горния пример на тяло, падащо от височина, е невъзможно да се образува безразмерна комбинация от количествата и безразмерната комбинация. Следователно формула (2) там изчерпва всички възможни случаи.
Безразмерен параметър.Нека сега разгледаме следната задача: определяме обхвата на хоризонталния полет на снаряд, изстрелян в хоризонтална посока с начална скорост от оръдие, разположено на планина с височина
При липса на въздушно съпротивление броят на параметрите, от които може да зависи желаният диапазон, е равен на четири: и м. Тъй като броят на основните единици е равен на три, пълното решение на проблема по метода на размерите е невъзможно . Нека първо намерим всички независими безразмерни параметри y, които могат да бъдат съставени от и
Този израз съответства на следното равенство на размерите:
От тук получаваме системата от уравнения
което дава и за търсения безразмерен параметър получаваме
Вижда се, че единственият независим безразмерен параметър в разглежданата задача е .
където е все още неизвестната функция на безразмерния параметър.Методът на размерите (в представената версия) не позволява да се определи тази функция. Но ако знаем от някъде, например от опит, че желаният обхват е пропорционален на хоризонталната скорост на снаряда, тогава веднага се определя формата на функцията: скоростта трябва да влезе в нея на първа степен, т.е.
Сега от (5) за обхвата на снаряда получаваме
който отговаря на правилния отговор
Подчертаваме, че при този метод за определяне на вида на функцията е достатъчно да знаем характера на експериментално установената зависимост на обхвата на полета не от всички параметри, а само от един от тях.
Векторни единици за дължина.Но е възможно да се определи диапазонът (7) само от размерни съображения, ако увеличим до четири броя на основните единици, чрез които се изразяват параметрите и т.н. Досега при писане на размерни формули не се правеше разлика между единици за дължина в хоризонтална и вертикална посока. Въпреки това, такова разграничение може да се въведе въз основа на факта, че гравитацията действа само вертикално.
Нека означим размерността на дължината в хоризонтална посока през и във вертикална посока - през Тогава размерността на обхвата на полета в хоризонтална посока ще бъде размерността на височината ще бъде размерността на хоризонталната скорост ще бъде и за ускорението
свободно падане, което получаваме. Сега, разглеждайки формула (5), виждаме, че единственият начин да получим правилното измерение от дясната страна е да го считаме за пропорционално.Отново стигаме до формула (7).
Разбира се, имайки четири основни единици и M, човек може директно да конструира стойността на изискваното измерение от четири параметъра и
Равенството на размерите на лявата и дясната част има формата
Системата от уравнения за x, y, z и и дава стойностите и отново стигаме до формула (7).
Различните единици за дължина, използвани тук във взаимно перпендикулярни посоки, понякога се наричат векторни единици за дължина. Тяхното приложение значително разширява възможностите на метода за размерен анализ.
Когато използвате метода на размерния анализ, е полезно да развиете умения до такава степен, че да не правите система от уравнения за показателите в желаната формула, а да ги изберете директно. Нека илюстрираме това в следващата задача.
Задача
Максимален обхват. Под какъв ъгъл спрямо хоризонталата трябва да се хвърли камък, за да се увеличи максимално обхватът на хоризонталния полет?
Решение. Да приемем, че сме "забравили" всички кинематични формули и да се опитаме да получим отговор от съображения за размери. На пръв поглед може да изглежда, че методът на размерите изобщо не е приложим тук, тъй като някаква тригонометрична функция на ъгъла на хвърляне трябва да влезе в отговора. Затова вместо самия ъгъл a ще се опитаме да потърсим израз за обхвата.Ясно е, че не можем без векторни единици за дължина.
Във физиката...няма място за объркани мисли...
Наистина разбиращ природата
Това или онова явление трябва да получи основното
Закони от съображения за измерение. Е. Ферми
Описанието на този или онзи проблем, обсъждането на теоретични и експериментални въпроси започва с качествено описание и оценка на ефекта, който тази работа дава.
Когато се описва проблем, е необходимо преди всичко да се оцени порядъкът на големината на очаквания ефект, простите ограничаващи случаи и естеството на функционалната връзка на величините, описващи това явление. Тези въпроси се наричат качествено описание на физическата ситуация.
Един от най-ефективните методи за такъв анализ е методът на размерите.
Ето някои предимства и приложения на дименсионалния метод:
- бърза оценка на мащаба на изследваните явления;
- получаване на качествени и функционални зависимости;
- възстановяване на забравени формули на изпити;
- изпълнение на някои задачи от изпита;
- проверка на правилността на решението на проблемите.
Анализът на размерите се използва във физиката от времето на Нютон. Нютон е този, който формулира, тясно свързано с метода на измеренията, принципът на подобието (аналогия).
Учениците за първи път се сблъскват с размерния метод при изучаване на топлинното излъчване в курса по физика за 11 клас:
Спектралната характеристика на топлинното излъчване на тялото е спектрална плътност на енергийната светимост r v - енергията на електромагнитното излъчване, излъчвана за единица време на единица площ от повърхността на тялото в единичен честотен интервал.
Единицата за спектрална плътност на енергийната осветеност е джаул на квадратен метър (1 J / m 2). Енергията на топлинното излъчване на черно тяло зависи от температурата и дължината на вълната. Единствената комбинация от тези величини с размерността на J/m 2 е kT/ 2 ( = c/v). Точното изчисление, направено от Rayleigh и Jeans през 1900 г., в рамките на класическата вълнова теория, дава следния резултат:
където k е константата на Болцман.
Както показва опитът, този израз е в съответствие с експерименталните данни само в областта на достатъчно ниски честоти. За високите честоти, особено в ултравиолетовата област на спектъра, формулата на Rayleigh-Jeans е неправилна: тя се различава рязко от експеримента. Методите на класическата физика се оказаха недостатъчни, за да обяснят характеристиките на излъчването на черното тяло. Следователно несъответствието между резултатите от класическата вълнова теория и експеримента в края на 19 век наречена "ултравиолетова катастрофа".
Нека покажем приложението на метода на размерите на прост и добре разбираем пример.
Снимка 1
Топлинно излъчване на черно тяло: ултравиолетова катастрофа - несъответствие между класическата теория за топлинното излъчване и опита.
Да си представим, че тяло с маса m се движи праволинейно под действието на постоянна сила F. Ако началната скорост на тялото е нула, а скоростта в края на изминатия участък от пътя с дължина s е равна на v, тогава можем да напишем теоремата за кинетичната енергия: Между стойностите F, m, v и s има функционална връзка.
Нека приемем, че теоремата за кинетичната енергия е забравена, но разбираме, че функционалната зависимост между v, F, m и s съществува и има степенен закон.
Тук x, y, z са някои числа. Нека ги дефинираме. Знакът ~ означава, че лявата страна на формулата е пропорционална на дясната страна, т.е. където k е числов коефициент, няма мерни единици и не се определя чрез метода на размерите.
Лявата и дясната част на релацията (1) имат еднакви размери. Размерите на v, F, m и s са: [v] = m/c = ms -1 , [F] = H = kgms -2 , [m] = kg, [s] = m. (Символ [A ] обозначава размерността на A.) Нека запишем равенството на размерностите в лявата и дясната част на връзката (1):
m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x .
От лявата страна на уравнението изобщо няма килограми, така че не трябва да има и отдясно.
Означава, че
Отдясно метрите са включени в степените на x + z, а отляво в степените на 1, така че
По същия начин, от сравнение на експонентите в секунди следва
От получените уравнения намираме числата x, y, z:
x=1/2, y=-1/2, z=1/2.
Крайната формула изглежда така
Като повдигаме на квадрат лявата и дясната страна на тази връзка, получаваме това
Последната формула е математическа нотация на теоремата за кинетичната енергия, но без числен коефициент.
Принципът на подобието, формулиран от Нютон, е, че съотношението v 2 /s е правопропорционално на отношението F/m. Например две тела с различни маси m 1 и m 2 ; ще им въздействаме с различни сили F 1 и F 2 , но така, че съотношенията F 1 / m 1 и F 2 / m 2 да бъдат еднакви. Под въздействието на тези сили телата ще започнат да се движат. Ако началните скорости са равни на нула, то скоростите, придобити от телата на отрязък от пътя с дължина s, ще бъдат равни. Това е законът на подобието, до който стигнахме с помощта на идеята за равенството на размерите на дясната и лявата част на формулата, която описва степенната връзка на стойността на крайната скорост с стойностите на силата, масата и дължината на пътя.
Методът на измеренията е въведен при изграждането на основите на класическата механика, но ефективното му приложение за решаване на физични задачи започва в края на миналия - началото на нашия век. Голяма заслуга за популяризирането на този метод и решаването на интересни и важни проблеми с негова помощ принадлежи на изключителния физик лорд Рейли. Рейли пише през 1915 г.: Често съм изненадан от малкото внимание, отделено на великия принцип на подобието, дори от много велики учени. Често се случва резултатите от старателни изследвания да се представят като новооткрити „закони“, които въпреки това биха могли да бъдат получени априори в рамките на няколко минути.
В наши дни физиците вече не могат да бъдат упреквани в пренебрежително отношение или недостатъчно внимание към принципа на подобието и към метода на измеренията. Помислете за един от класическите проблеми на Рейли.
Задачата на Рейли за вибрациите на топка върху струна.
Нека между точките A и B е опъната струна. Силата на опън на струната F. В средата на тази струна в точка С има тежка топка. Дължината на сегмента AC (и съответно CB) е равна на 1. Масата M на топката е много по-голяма от масата на самата струна. Връвта се издърпва и освобождава. Съвсем ясно е, че топката ще осцилира. Ако амплитудата на тези x трептения е много по-малка от дължината на струната, тогава процесът ще бъде хармоничен.
Нека определим честотата на вибрациите на топката върху струната. Нека величините , F, M и 1 са свързани със степенен закон:
Показателите x, y, z са числата, които трябва да определим.
Нека напишем размерите на количествата, които ни интересуват в системата SI:
C -1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.
Ако формула (2) изразява реална физическа закономерност, тогава размерите на дясната и лявата част на тази формула трябва да съвпадат, т.е. равенството
c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x
Лявата страна на това уравнение изобщо не включва метри и килограми, а секундите са включени в степените - 1. Това означава, че за x, y и z уравненията са изпълнени:
x+y=0, x+z=0, -2x= -1
Решавайки тази система, намираме:
x=1/2, y= -1/2, z= -1/2
Следователно,
~F 1/2 M -1/2 1 -1/2
Точната формула за честотата се различава от намерената само с фактор ( 2 = 2F/(M1)).
По този начин беше получена не само качествена, но и количествена оценка на зависимостта на от стойностите на F, M и 1. По ред на величината намерената комбинация от мощности дава правилната стойност на честотата. Оценката винаги представлява интерес в порядъка на величината. В прости задачи коефициентите, които не се определят чрез метода на размерите, често могат да се считат за числа от порядъка на единица. Това не е строго правило.
Когато изучавам вълните, разглеждам качественото предсказване на скоростта на звука чрез метода на размерния анализ. Ние търсим скоростта на звука като скоростта на разпространение на вълна на компресия и разреждане в газ. Учениците нямат съмнения относно зависимостта на скоростта на звука в газ от плътността на газа и неговото налягане p.
Търсим отговора във формата:
където С е безразмерен фактор, числената стойност на който не може да бъде намерена от анализа на размерите. Преминавайки в (1) към равенството на размерите.
m / s \u003d (kg / m 3) x Pa y,
m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,
m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y,
m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,
m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y.
Равенството на размерите от лявата и дясната страна на равенството дава:
x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,
x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,
x = -1/2, y = 1/2.
Скоростта на звука в газ
Формула (2) при C=1 е получена за първи път от I. Newton. Но количествените изводи на тази формула бяха много трудни.
Експериментално определяне на скоростта на звука във въздуха е извършено в колективен труд на членове на Парижката академия на науките през 1738 г., който измерва времето, необходимо на звука от топовен изстрел да измине разстояние от 30 км.
Повтаряйки този материал в 11 клас, вниманието на учениците се насочва към факта, че резултатът (2) може да бъде получен за модела на изотермичния процес на разпространение на звука, като се използва уравнението на Менделеев-Клапейрон и концепцията за плътност:
е скоростта на разпространение на звука.
След като запознах учениците с метода на размерите, аз им давам този метод за извличане на основното уравнение MKT за идеален газ.
Учениците разбират, че налягането на идеалния газ зависи от масата на отделните молекули на идеалния газ, броя на молекулите в единица обем - n (концентрацията на газовите молекули) и скоростта на движение на молекулите -.
Познавайки размерите на количествата, включени в това уравнение, имаме:
,
,
,
Сравнявайки размерите на лявата и дясната част на това равенство, имаме:
Следователно основното уравнение на MKT има следната форма:
- това предполага
От защрихования триъгълник се вижда, че
Отговор: Б).
Използвахме метода на размерите.
Методът на размерите, в допълнение към извършването на традиционната проверка на правилността на решаването на задачи, изпълнявайки някои задачи на Единния държавен изпит, помага да се намерят функционални връзки между различни физически величини, но само за онези ситуации, когато тези зависимости са мощност- закон. В природата има много такива зависимости и методът на измеренията е добър помощник при решаването на подобни проблеми.
Основни понятия на теорията на моделирането
Моделирането е метод за експериментално изследване на модел на явление вместо на природно явление. Моделът е избран така, че резултатите от експеримента да могат да бъдат разширени до природния феномен.
Нека се моделира количественото поле w. След това, в случай на точно моделиране в подобни точки на модела и пълномащабния обект, условието
къде е мащабът на симулацията.
В случай на приблизително моделиране получаваме
Съотношението се нарича степен на изкривяване.
Ако степента на изкривяване не надвишава точността на измерване, тогава приблизителната симулация не се различава от точната. Невъзможно е предварително да се гарантира, че стойността не надвишава някаква предварително определена стойност, тъй като в повечето случаи тя дори не може да бъде определена предварително.
метод на аналогия
Ако две физически явления с различно физическо естество се описват с еднакви уравнения и условия за уникалност (гранични или в стационарен случай гранични условия), представени в безразмерна форма, тогава явленията се наричат аналогични. При еднакви условия явления от една и съща физическа природа се наричат подобни.
Въпреки факта, че подобни явления имат различна физическа природа, те принадлежат към един отделен обобщен случай. Това обстоятелство направи възможно създаването на много удобен метод за аналогии за изучаване на физически явления. Същността му е следната: на изследване се подлага не изследваното явление, за което е трудно или невъзможно да се измерят желаните стойности, а специално подбрано, подобно на изследваното. Като пример, разгледайте електротермичната аналогия. В този случай изследваното явление е стационарно температурно поле, а неговата аналогия е стационарно електрическо потенциално поле
Топлинно уравнение
(9.3)
къде е абсолютната температура,
и уравнението на електрическия потенциал
(9.4)
където електрическият потенциал е подобен. В безразмерна форма тези уравнения ще бъдат идентични.
Ако се създадат гранични условия за потенциала, подобни на тези за температурата, то и в безразмерна форма те ще бъдат еднакви.
Електротермичната аналогия се използва широко при изследване на процесите на топлопроводимост. По този метод например са измерени температурните полета на лопатките на газовите турбини.
Анализ на размерите
Понякога е необходимо да се изследват процеси, които все още не са описани с диференциални уравнения. Единственият начин за изучаване е експериментът. Препоръчително е резултатите от експеримента да се представят в обобщена форма, но за това е необходимо да можете да намерите безразмерни комплекси, характерни за такъв процес.
Размерният анализ е метод за съставяне на безразмерни комплекси при условия, когато изследваният процес все още не е описан с диференциални уравнения.
Всички физически величини могат да бъдат разделени на първични и вторични. За процесите на топлообмен обикновено се избират следните: дължина Лмаса м, време T, количество топлина Qизлишна температура . Тогава вторичните стойности ще бъдат такива величини като коефициент на топлопреминаване топлопроводимост аи т.н.
Формулите за размерност на вторичните величини имат формата на степенни мономи. Например, размерната формула за коефициента на топлопреминаване е
(9.5)
където Q- количество топлина.
Нека са известни всички физични величини, които са от съществено значение за изследвания процес. Необходимо е да се намерят безразмерни комплекси.
Нека съставим продукт от формулите на размерите на всички физични величини, съществени за процеса в някои степени, които все още не са определени; очевидно това ще бъде степенен моном (за процеса). Да предположим, че неговата размерност (на степенен моном) е равна на нула, т.е. експонентите на първичните величини, включени във формулата на измеренията, са намалели, тогава степенният моном (за процеса) може да бъде представен под формата на продукт на безразмерни комплекси от размерни величини. Следователно, ако съставим продукт от формули на размери, които са от съществено значение за процесите на физически величини в неопределени степени, тогава от условието, че сумата от степените на степените на първичните количества на този степенен моном е равна на нула, ние може да определи необходимите безразмерни комплекси.
Нека демонстрираме тази операция на примера на периодичен процес на топлопроводимост в твърдо тяло, измито от течен топлоносител. Приемаме, че диференциалните уравнения за разглеждания процес са неизвестни. Необходимо е да се намерят безразмерни комплекси.
Съществените физични величини за изследвания процес са следните: характерен размер л(m), топлопроводимост на твърдо тяло, (J/(m K)), специфична топлина на твърдо тяло с(J / (kg K)), плътност на твърдо тяло (kg / m 3), коефициент на топлопреминаване (топлопреминаване) (J / m 2 K)), период време , (c), характерна излишна температура (K). От тези количества съставяме степенен моном от вида
Показателят на първичната величина се нарича размерността на вторичната величина по отношение на дадената първична.
Нека заменим във физически величини (освен Q)техните формули за размери, като резултат получаваме
В този случай експонентите имат стойности, при които Qизпада от уравнението.
Приравняваме показателите на монома към нула:
за дължина
a - b - 3i - 2k = 0; (9.8)
за количеството топлина Q
0; (9.9)
за време
за температура
за маса м
Има общо седем значими величини, има пет уравнения за определяне на показатели, което означава, че само два показателя, напр. bи km могат да бъдат избрани произволно.
Нека изразим всички степенни степени чрез bи к.В резултат на това получаваме:
от (8.8), (8.9), (8.12)
f = -b - k; (9.14)
r=b + k; (9.15)
от (8.11) и (8.9)
n=b+f+k=b+(-б-к) + k = 0; (9.16)
от (8.12) и (8.9)
i = f = -b -k. (9.17)
Сега мономът може да бъде представен във формата
Тъй като показателите bи кмогат да бъдат избрани произволно, да кажем:
1. в същото време пишем