Как можете да построите пирамида? На повърхността Рконструирайте някакъв многоъгълник, например петоъгълника ABCDE. Извън самолета Рвземете точката S. Свързвайки точката S със сегменти към всички точки на многоъгълника, получаваме пирамидата SABCDE (фиг.).

Точка S се нарича връхи многоъгълникът ABCDE - основатази пирамида. Така пирамида с връх S и основа ABCDE е обединението на всички отсечки, където M ∈ ABCDE.

Наричат ​​се триъгълници SAB, SBC, SCD, SDE, SEA странични лицапирамиди, общи страни на страничните стени SA, SB, SC, SD, SE - странични ребра.

Пирамидите се наричат триъгълна, четириъгълна, n-ъгълнав зависимост от броя на страните на основата. На фиг. са дадени изображения на триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди.

Нарича се равнината, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата диагонал, и полученото напречно сечение - диагонал.На фиг. 186 една от диагоналните секции на шестоъгълната пирамида е защрихована.

Отсечката от перпендикуляра, изтеглена през върха на пирамидата до равнината на нейната основа, се нарича височина на пирамидата (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра).

Пирамидата се нарича правилноако основата на пирамидата е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в нейния център.

Всички странични лица на правилната пирамида са равни равнобедрени триъгълници. В правилната пирамида всички странични ръбове са равни.

Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотемапирамиди. Всички апотеми на правилна пирамида са конгруэнтни.

Ако обозначим страната на основата като но, и апотема чрез з, тогава площта на едната странична страна на пирамидата е 1/2 ах

Сборът от площите на всички странични лица на пирамидата се нарича странична повърхностпирамиди и се обозначава със страна S.

Тъй като страничната повърхност на правилната пирамида се състои от нсъвпадащи лица, значи

S страна = 1/2 ах=P з / 2 ,

където P е периметърът на основата на пирамидата. следователно,

S страна =P з / 2

т.е. площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотема.

Общата повърхност на пирамидата се изчислява по формулата

S = S ocn. + S страна. .

Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на нейната основа S ocn. до височина H:

V = 1 / 3 S ocn. Н.

Извличането на тази и някои други формули ще бъде дадено в следващата глава.

Сега нека построим пирамида по различен начин. Нека е даден полиедрален ъгъл, например петстранен, с връх S (фиг.).

Начертайте самолет Ртака че да пресича всички ръбове на даден полиедрален ъгъл в различни точки A, B, C, D, E (фиг.). Тогава пирамидата SABCDE може да се разглежда като пресечната точка на полиедрален ъгъл и полупространство с граница Р, който съдържа върха S.

Очевидно броят на всички лица на пирамидата може да бъде произволен, но не по-малко от четири. Когато равнина пресича триъгълен ъгъл, се получава триъгълна пирамида, която има четири лица. Всяка триъгълна пирамида понякога се нарича тетраедър, което означава четириъгълник.

пресечена пирамидаможе да се получи, ако пирамидата се пресече от равнина, успоредна на равнината на основата.

На фиг. дадено е изображението на четириъгълна пресечена пирамида.

Наричат ​​се също пресечени пирамиди триъгълна, четириъгълна, n-ъгълнав зависимост от броя на страните на основата. От конструкцията на пресечена пирамида следва, че тя има две основи: горна и долна. Основите на пресечена пирамида са два многоъгълника, чиито страни са успоредни по двойки. Страничните лица на пресечена пирамида са трапецоиди.

ВисочинаПресечена пирамида е сегмент от перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на горната основа към равнината на долната.

Правилна пресечена пирамиданарича се частта от правилна пирамида, затворена между основата и секционната равнина, успоредна на основата. Височината на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида (трапец) се нарича апотема.

Може да се докаже, че страничните ръбове на правилната пресечена пирамида са равни, всички странични лица са равни и всички апотеми са равни.

Ако е в правилния съкратен н- въглищна пирамида през ноИ b nобозначават дължините на страните на горната и долната основа и през з- дължината на апотема, тогава площта на всяка странична страна на пирамидата е

1 / 2 (но + b n) з

Сборът от площите на всички странични страни на пирамидата се нарича площ на нейната странична повърхност и се означава S страна. . Очевидно, за редовен съкратен н- въглищна пирамида

S страна = н 1 / 2 (но + b n) з.

Защото па= P и nb n\u003d P 1 - периметрите на основите на пресечена пирамида, след това

S страна \u003d 1/2 (P + P 1) ч,

площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида е равна на половината от произведението на сбора от периметрите на нейните основи и апотема.

Разрез, успореден на основата на пирамидата

Теорема. Ако пирамидата е пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава:

1) страничните ребра и височината ще бъдат разделени на пропорционални части;

2) в секцията получавате многоъгълник, подобен на основата;

3) площите на сечението и основата са свързани като квадратите на разстоянията им от върха.

Достатъчно е да се докаже теоремата за триъгълна пирамида.

Тъй като успоредните равнини се пресичат от третата равнина по успоредни прави, тогава (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (фиг.).

Успоредните линии разрязват страните на ъгъла на пропорционални части и следователно

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Следователно ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\вдясно|) $$

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 и

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

По този начин,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Съответните ъгли на триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1 са равни, като ъгли с успоредни и еднакво насочени страни. Ето защо

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Площите на подобни триъгълници са свързани като квадратите на съответните страни:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\вдясно|) $$

следователно,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Теорема. Ако две пирамиди с еднакви височини са разсечени на едно и също разстояние от върха от равнини, успоредни на основите, тогава площите на сеченията са пропорционални на площите на основите.

Нека (фиг. 84) B и B 1 са площите на основите на две пирамиди, H е височината на всяка от тях, бИ б 1 - площи на напречното сечение от равнини, успоредни на основите и отстранени от върховете на същото разстояние з.

Според предишната теорема ще имаме:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: и \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
където
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: или \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Последица.Ако B \u003d B 1, тогава и б = б 1 , т.е. ако две пирамиди с еднакви височини имат еднакви основи, тогава секциите на еднакво разстояние от върха също са равни.

Други материали

ГЛАВА ТРЕТА

ПОЛИЕДРАЛИ

1. ПАРАЛЕПИП И ПИРАМИДА

Свойства на успоредни сечения в пирамида

74. Теорема. Ако пирамидата (dev. 83) пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава:

1) страничните ръбове и височината са разделени от тази равнина на пропорционални части;

2) напречното сечение е многоъгълник (а б В Г Д ), земноподобен;

3) площите на сечението и основата са свързани като квадратите на разстоянията им от върха.

1) Директно аби AB могат да се разглеждат като линиите на пресичане на две успоредни равнини (базова и секуща) с третата равнина ASB; Ето защо аб||AB (§ 16). По същата причина пр. н. е||пр.н.е., cd||CD, ... и в||AM; Следователно

С а / а A=S б / б B=S ° С / ° С C=...=S м / мМ

2) От подобието на триъгълници ASB и аС б, след това BSC и бС ° Си др. изход:

АБ / аб= BS / bs; BS / bs= пр.н.е / пр. н. е ,

АБ / аб= пр.н.е / пр. н. е

пр.н.е / пр. н. е= CS / cs; CS / cs= CD / cdоткъдето пр.н.е / пр. н. е= CD / cd .

Ще докажем също пропорционалността на останалите страни на многоъгълниците ABCDE и а б В Г Д. Тъй като освен това тези многоъгълници имат равни съответни ъгли (както са образувани от успоредни и еднакво насочени страни), те са сходни.

3) Площите на подобия на многоъгълниците са свързани като квадрати с подобни страни; Ето защо

75. Последствие. В правилна пресечена пирамида горната основа е правилен многоъгълник, подобен на долната основа, а страничните лица са равни и равнобедрени трапеци(разработка 83).

Височината на всеки от тези трапеци се нарича апотемаредовна пресечена пирамида.

76. Теорема. Ако две пирамиди с еднакви височини са разсечени на едно и също разстояние от върха от равнини, успоредни на основите, тогава площите на сеченията са пропорционални на площите на основите.

Нека (фиг. 84) B и B 1 са площите на основите на две пирамиди, H е височината на всяка от тях, бИ б 1 - площи на напречното сечение от равнини, успоредни на основите и отстранени от върховете на същото разстояние з.

Според предишната теорема ще имаме:

77. Последствие.Ако B \u003d B 1, тогава и б = б 1 , т.е. ако две пирамиди с еднакви височини имат еднакви основи, тогава секциите на еднакво разстояние от върха също са равни.

въпрос:

Пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата. Основната площ е 1690dm2, а площта на напречното сечение е 10dm2. В какво съотношение, като се брои от върха, равнината на сечението разделя височината на пирамидата?

Отговори:

успоредна равнина реже пирамида, подобна на тази (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Подобни въпроси

• Тест по темата: „Правопис на наречия“ Проверка на правописа на наречия на наречия, отделен и продължителен правопис не с наречия, продължителен, разделен, с тире правопис на наречия Вариант 1. 1. Отворете скобите. Отбележете „третата екстра”: а) седна (все още) неподвижно; видях (не) надявам се; пее (не) силно; б) никак (не) закъснява; никак (не)красива; много (не)приличен; в) (не) приятелски; (не) по свой начин; (неправилно; г) (не) нелепо; (не) объркващо; (не) близо, а далеч; д) изключително (не) принудително; много (не)привлекателен; изобщо не (не) заплашителен; 2. "Не" се изписва заедно във всички думи от поредицата: а) (не) вярно; (не)веве; (не) приятен; никак (не)интересен; б) (не) чудя се; (несправедливост; изобщо не (не)далеч; (не) весел; в) (не) искрено; (не) красив; (не) възмутен; (неизискващ; г) (незнание); (не) пристигнал; (не) глупости; (в неподходящ момент; 3. Изберете ред с отрицателни наречия: а) изобщо не; нито един; никъде; с никого; б) никъде нито един; никога; никъде; в) изобщо не; въобще не; никъде; няма нужда; 4. Намерете "третата екстра": а) n ... почти уплашен; n ... как не намери; n ... колко пъти; б) n ... къде да отида; n ... защо питам; n ... колкото и да е завистлив; в) n ... колкото и да е разстроен; n ... когато не е ядосан; n ... къде да очаквам; 5. "Нн" е изписано във всички думи на поредицата: а) беше ... за предене; говореше уплашено... о; работеше отчаяно... о; б) внезапно потръпна ... о; изтегли квалифицирани ... о; не работно време… о; в) говореше развълнувано ... за; напуснал неочаквано ... о; puta отговори ... о; 6. Определете изречението с наречие: а) Срещата е развълнувана ... за съобщението. б) Обществото беше развълнувано... о. в) Тя говореше развълнувано... о. В наречието се пише _____________________________________ 7. Поставете пропуснатите букви. Маркирайте "четвъртата екстра": а) горещо ...; прясно...; брилянтен ...; добре…; б) още ...; мелодичен ...; вискозен ..; зловещо...; в) багаж ... m; вече ... m; износване ... th; нож ... m; г) оригване ... нок; скворч ... нок; череша ... нка; таралеж ... нок; 8. Запишете буквите, обозначаващи наречия, които се пишат с наставки - а и - о: а о а) отдалеч...; б) поднови ...; в) глух ...; г) правилно ...; д) бяло ...; д) искане ...; ж) от малка ...; з) сух ...; и) синове ...; Запишете наречие, което няма наставки - а и - о: ______________________________ Вариант 2. 1. Отворете скобите. Маркирайте „третата екстра“: а) никак (не)интересно; напълно (не)интересен; далеч (не) забавно; б) (не) приятелски; (не) по нашия начин; (грешно; в) (не) хармоничен; (не) приятелски; (не) добро, а лошо; г) четете (не)изразително; гледаше (не) недоумяващо; живял (не)далеч; д) много (не)красива; никога не е твърде късно; изключително (не) замислено; 2. "Не" се изписва заедно във всички думи от поредицата: а) (не) малко; (не) нелепо; (в) разбираемо; (не) криене; б) (не) небрежно; (неискреност; (не) красив; (не) замислен; в) далеч (не)забавно; (не) исках; (не далеч; (проблема; г) (не) навреме; (непокорен; (не) казвам; (не)доверчив; 3. Маркирайте ред с отрицателни наречия: а) нищо; никъде; никъде; много; б) изобщо не; няма нужда; няма начин; никъде; в) нищо; Никой; никой; Никой; 4. Намерете "третата екстра": а) не е имало ... къде; n… защо питам; n ... когато е бил кочияш; б) не боли n ... малко; n ... колко не скърби; n...къде да отседнем; в) п ... където няма да отида; n ... когато не питам; Бях н ... когато; 5. "N" е изписано във всички думи от поредицата: а) няма вятър на улицата ... o; отговор мисъл ... за; нежда дойде... о-негада... о; б) говори мъдро ... за; навлезе във вятъра... о; puta каза ... о; в) завъртя яростно ... о; пееше пронизително ... о; работи ентусиазирано ... о; 6. Определете изречението с наречие: а) Решението му ще бъде обмислено ... о, професионално. Б) Той винаги действа обмислено... о. В) Всичко беше внимателно обмислено... о. 7. Вмъкнете липсващите букви. Отбележете "четвъртата екстра": а) говорете най-общо ...; горещо…; прясно...; изтощително…; б) приятел ... до; каишка ... към; петел ... до; виш ... нка; в) още ...; протестира...; звънене...; зловещо...; г) лекар ... m; бърз ... m; печат…t; спести ... t; 8. Напишете в клетките букви, обозначаващи наречия, които се пишат с наставки - а и - о: а о а) първи ...; б) от малки ...; в) свети ...; г) вляво ...; д) чисти ...; д) нажежен до червено ...; ж) ляво ...; з) тъмно ...; и) дълго време ...; Запишете наречие, което няма наставки - a и - o: ______________________________

); showPlots(;0 noAxes0);

Ориз. 1.10: кубоид

1.3 Свойства на успоредни сечения в пирамида

1.3.1 Теореми за сечения в пирамида

Ако пирамидата (1.11) се пресича от равнина, успоредна на основата, тогава:

1) страничните ръбове и височината са разделени от тази равнина на пропорционални части;

2) в разрез се получава многоъгълник (abcde), подобен на основата;

3) площите на сечението и основата са свързани като квадратите на разстоянията им от върха.

1) Правите ab и AB могат да се разглеждат като пресечни линии на две успоредни равнини (базова и секуща) с третата равнина ASB; така че abkAB. По същата причина, bckBC, cdkCD.... и amkAM; Следователно

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) От сходството на триъгълници ASB и aSb, след това BSC и bSc и т.н. получаваме:

AB ab = BS bS ; BS bS = BC bc ;

AB ab = BC bc :

BC bc = CS cS ; CS cS = CD cd ;

BC bc = CD cd

Ще докажем също пропорционалността на останалите страни на многоъгълниците ABCDE и abcde.Тъй като освен това тези многоъгълници имат съответните ъгли (както са образувани от успоредни и еднакво насочени страни), те са сходни. Площите на подобни многоъгълници са свързани като квадратите на подобни страни; Ето защо

AB ab = AS as = M msS ;

набор2D(1; 9; 1; 14);

;0 тире0 );

;0 тире0 );

			Ориз. 1.11: Пирамида
p5 = точки График(

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 D 0; 0 E 0; 0 a 0; 0 b 0; 0 c 0; 0d0; 0M0; 0m0; 0S0];

); showPlots(;0 noAxes0);

1.3.2 Последица

В правилна пресечена пирамида горната основа е правилен многоъгълник, подобен на долната основа, а страничните повърхности са равни и равнобедрени трапеци (1.11).

Височината на всеки от тези трапеци се нарича апотема на правилна пресечена пирамида.

1.3.3 Теорема за паралелно сечение в пирамида

Ако две пирамиди с еднакви височини са разсечени на едно и също разстояние от върха от равнини, успоредни на основите, тогава площите на сеченията са пропорционални на площите на основите.

Нека (1.12) B и B1 са площите на основите на две пирамиди, H височината на всяка от тях, b и b1 площите на сеченията по равнини, успоредни на основите и на същото разстояние h от върховете.

Според предишната теорема ще имаме:

H2 B1

набор2D(2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = таблица (			;0 стрелка0 );

p11 = таблица (			;0 стрелка0 );

p12 = таблица (			;0 стрелка0 );

p13 = таблица (			;0 стрелка0 );

p14 = таблица (				;0 тире0 );