Рух точки проти сили тяжіння. Рух тіла під дією сили тяжіння у вертикальній площині

01.09.2021

Вступ

1. Рух тіла під впливом сили тяжіння

1.1 Рух тіла по круговій або еліптичній орбіті навколо планети

1.2 Рух тіла під дією сили тяжіння у вертикальній площині

1.3 Рух тіла, якщо початкова швидкість спрямована під кутом до тяжкості

2. Рух тіла серед з опором

3. Застосування законів руху тіла під впливом сили тяжіння з урахуванням опору середовища у балістиці

Висновок

Список літератури

Вступ

За другим законом Ньютона причиною зміни руху, тобто причиною прискорення тіл є сила. У механіці розглядаються сили різної фізичної природи. Багато механічних явищ і процесів визначаються дією сил тяжіння. Закон всесвітнього тяжіннябуло відкрито І.Ньютоном 1682 року. Ще в 1665 році 23-річний Ньютон висловив припущення, що сили, що утримують Місяць на його орбіті, тієї ж природи, що й сили, що змушують яблуко падати на Землю. За його гіпотезою між усіма тілами Всесвіту діють сили тяжіння (гравітаційні сили), спрямовані по лінії, що з'єднує центри мас. У тіла у вигляді однорідної кулі центр мас збігається із центром кулі.

Рис.1. Гравітаційні сили.

У наступні роки Ньютон намагався знайти фізичне пояснення законам руху планет, відкритих астрономом І.Кеплером на початку XVII століття, та дати кількісний вираздля гравітаційних сил. Знаючи, як рухаються планети, Ньютон хотів визначити, які сили на них діють. Такий шлях називається зворотного завдання механіки. Якщо основним завданням механіки є визначення координат тіла відомої маси та його швидкості у будь-який момент часу за відомими силами, що діють на тіло, та заданими початковими умовами (пряме завдання механіки), то при вирішенні зворотного завдання необхідно визначити сили, що діють на тіло, якщо відомо, як воно рухається. Вирішення цієї задачі і призвело Ньютона до відкриття закону всесвітнього тяжіння. Всі тіла притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною їх масам і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

Коефіцієнт пропорційності G однаковий всім тіл у природі. Його називають гравітаційною постійною

G = 6,67 · 10 -11 Н · м 2 / кг 2

Багато явищ у природі пояснюються дією сил всесвітнього тяжіння. Рух планет у Сонячній системі, рух штучних супутників Землі, траєкторії польоту балістичних ракет, рух тіл поблизу Землі – всі ці явища знаходять пояснення з урахуванням закону всесвітнього тяжіння і законів динаміки. Одним із проявів сили всесвітнього тяжіння є сила тяжіння.

Сила тяжіння - це сила, що діє на тіло з боку Землі та повідомляє тілу прискорення вільного падіння:

Будь-яке тіло, що знаходиться Землі (або поблизу неї), разом із Землею обертається навколо її осі, тобто. тіло рухається по колу радіусом r із постійною за модулем швидкістю.

Рис.2. Рух тіла, що знаходиться на Землі.

На тіло на поверхні Землі діють сила тяжіння та сила з боку земної поверхні

Їх рівнодіюча

повідомляє тілу доцентрове прискорення

Розкладемо силу тяжіння на складові, одна з яких буде, тобто.

З рівнянь (1) та (2) бачимо, що

Таким чином, сила тяжіння - одна із складових сили тяжіння, друга складова повідомляє тілу доцентрове прискорення. У точці Μ на географічній широті φ сила тяжіння спрямована не радіусом Землі, а під деяким кутом α до нього. Сила тяжіння спрямована по так званій прямовисній прямій (по вертикалі вниз).

Сила тяжіння дорівнює за модулем і напрямом силою тяжіння тільки на полюсах. На екваторі вони збігаються у напрямку, а за модулем відмінність найбільша.

де ω – кутова швидкість обертання Землі, R – радіус Землі.

рад / с, ω = 0,727 · 10 -4 рад / с.

Оскільки ω дуже мала, то F T ≈ F. Отже, сила тяжіння мало відрізняється за модулем від сили тяжіння, тому даною відмінністю часто можна знехтувати.

Тоді F T ≈ F,

З цієї формули видно, що прискорення вільного падіння не залежить від маси падаючого тіла, але залежить від висоти.

Якщо M – маса Землі, R З – її радіус, m – маса даного тіла, то сила тяжіння дорівнює

де g – прискорення вільного падіння на поверхні Землі:

Сила важкості спрямована до центру Землі. За відсутності інших сил тіло вільно падає Землю із прискоренням вільного падіння. Середнє значення прискорення вільного падіння до різних точок поверхні Землі дорівнює 9,81м/с 2 . Знаючи прискорення вільного падіння та радіус Землі

(R З = 6,38 · 10 6 м), можна обчислити масу Землі M:

При віддаленні від Землі сила земного тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються обернено пропорційно квадрату відстані r до центру Землі. Малюнок ілюструє зміну сили тяжіння, що діє на космонавта в космічному кораблі за його віддалення від Землі. Сила, з якою космонавт притягується до Землі поблизу її поверхні, прийнято рівною 700 М.

Зміна сили тяжіння, що діє на космонавта при віддаленні від Землі.

Прикладом системи двох тіл, що взаємодіють, може бути система Земля-Місяць. Місяць знаходиться від Землі на відстані r Л = 3,84·10 6 м. Ця відстань приблизно в 60 разів перевищує радіус Землі R З. Отже, прискорення вільного а л, зумовлене земним тяжінням, на орбіті Місяця становить

З таким прискоренням, спрямованим до центру Землі, Місяць рухається орбітою. Отже, це прискорення є відцентровим прискоренням. Його можна розрахувати за кінематичною формулою для доцентрового прискорення:

де T = 27,3 діб. - Період обігу Місяця навколо Землі. Збіг результатів розрахунків, виконаних різними способами, підтверджує припущення Ньютона про єдину природу сили, що утримує Місяць на орбіті, та сили тяжіння. Власне гравітаційне поле Місяця визначає прискорення вільного падіння g л її поверхні. Маса Місяця в 81 раз менше маси Землі, а її радіус приблизно в 3,7 рази менше радіуса Землі. Тому прискорення g л визначиться виразом:

У разі такої слабкої гравітації виявилися космонавти, висадилися на Місяці. Людина за таких умов може здійснювати гігантські стрибки. Наприклад, якщо людина в земних умовах підстрибує на висоту 1 м, то на Місяці вона могла б підстрибнути на висоту понад 6 м.

1. Рух тіла під впливом сили тяжіння

Якщо тіло діє лише сила тяжкості, тіло робить вільне падіння. Вид траєкторії руху залежить від напрямку та модуля початкової швидкості. При цьому можливі такі випадки руху тіла:

1. Тіло може рухатися круговою або еліптичною орбітою навколо планети.

2. Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю або паралельна силі тяжіння, тіло робить прямолінійне вільне падіння.

3. Якщо початкова швидкість тіла спрямована під кутом до тяжкості, то тіло буде рухатися по параболі, або по гілці параболи.

1.1 Рух тіла по круговій або еліптичній орбіті навколо планети

Розглянемо тепер питання штучних супутників Землі. Штучні супутники рухаються поза земної атмосфери, і них діють лише сили тяжіння із боку Землі. Залежно від початкової швидкості, траєкторія космічного тіла може бути різною. Ми розглянемо тут лише випадок руху штучного супутника по круговій навколоземній орбіті. Такі супутники літають на висотах близько 200-300 км, і можна приблизно прийняти відстань до центру Землі рівним її радіусу R З. Тоді доцентрове прискорення супутника, що повідомляється йому силами тяжіння, приблизно дорівнює прискоренню вільного падіння g. Позначимо швидкість супутника на навколоземній орбіті через 1. Цю швидкість називають першою космічною швидкістю. Використовуючи кінематичну формулу для доцентрового прискорення, отримаємо:

Рухаючись із такою швидкістю, супутник облітав би Землю за час.

Насправді період звернення супутника по круговій орбіті поблизу Землі трохи перевищує зазначене значення через відмінність між радіусом реальної орбіти і радіусом Землі. Рух супутника можна розглядати як вільне падіння, подібне до руху снарядів або балістичних ракет. Відмінність полягає в тому, що швидкість супутника настільки велика, що радіус кривизни його траєкторії дорівнює радіусу Землі. Для супутників, що рухаються круговими траєкторіями на значній відстані від Землі, земне тяжіння слабшає назад пропорційно квадрату радіуса r траєкторії. Швидкість супутника υ перебуває з умови

Таким чином, на високих орбітах швидкість руху супутників менша, ніж на навколоземній орбіті. Період T обігу такого супутника дорівнює

Тут T 1 - період звернення супутника на навколоземній орбіті. Період звернення супутника зростає зі збільшенням радіусу орбіти. Неважко підрахувати, що з радіусі r орбіти, що дорівнює приблизно 6,6R З, період звернення супутника виявиться рівним 24 годин. Супутник із таким періодом обігу, запущений у площині екватора, нерухомо висітиме над деякою точкою земної поверхні. Такі супутники використовують у системах космічної радіозв'язку. Орбіта з радіусом r = 6,6R називається геостаціонарною.

1.2 Рух тіла під дією сили тяжіння у вертикальній площині

Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю або паралельна силі тяжкості, тіло робить прямолінійне вільне падіння.

Основним завданням механіки є визначення положення тіла в будь-який момент часу. Розв'язанням задачі для частинок, що рухаються в полі тяжкості Землі, є рівняння в проекціях на осі OX і OY:

Цих формул достатньо, щоб вирішити будь-яке завдання про рух тіла під дією сили тяжіння.

Тіло кинуто вертикально нагору

У цьому випадку v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0 g y = -g.

Рух тіла в цьому випадку відбуватиметься по прямій лінії, причому спочатку вертикально вгору до точки, в якій швидкість обернеться в нуль, а потім вертикально вниз.

Рис.4.Рух тіла, кинутого вгору.

При русі тіла з прискоренням у полі тяжіння змінюється вага тіла.

Важкою тіла називається сила, з якою тіло діє на нерухому щодо нього опору або підвіс.

Вага тіла виникає внаслідок його деформації, викликаної дією сили з боку опори (сили реакції) або підвісу (сили натягу). Вага істотно відрізняється від сили тяжіння:

Це сили різної природи: сила тяжіння – гравітаційна сила, вага – пружна сила (електромагнітної природи).

Вони прикладені до різних тіл: сила тяжіння – до тіла, вага – до опори.

Рис.5. Точки застосування сили тяжіння і ваги тіла.

Напрямок ваги тіла не обов'язково збігається з прямовисним напрямком.

Сила тяжкості тіла у цьому місці Землі постійна і залежить від характеру руху тіла; вага залежить від прискорення, з яким рухається тіло.

Розглянемо, як змінюється вага тіла, що рухається у вертикальному напрямку разом із опорою. На тіло діють сила тяжкості та сила реакції опори.

Рис.5. Зміна ваги тіла під час руху з прискоренням.

Основне рівняння динаміки: . У проекції на вісь Оу:

За третім законом Ньютона модулі сил N p1 = P 1 . Отже, вага тіла P 1 = mg

, (Тіло переживає).

Отже, вага тіла

Якщо a = g, то P = 0

Таким чином, вага тіла при вертикальному русі може бути виражена формулою

Подумки розіб'ємо нерухоме тіло на горизонтальні шари. На кожен із цих шарів діє сила тяжкості та вага вищележачої частини тіла. Ця вага буде тим більше, чим нижче лежить шар. Тому під впливом ваги вищележачих частин тіла кожен шар деформується і в ньому виникають пружні напруження, які зростають у міру переходу від верхньої частини тіла до нижньої.

Тіло, розбите на горизонтальні шари.

Якщо тіло вільно падає (a = g), то його вага дорівнює нулю, в тілі зникають будь-які деформації і, незважаючи на дію сили тяжкості, що зберігається, верхні шари не будуть тиснути на нижні.

Стан, при якому у тілі, що вільно рухається, зникають деформації і взаємні тиски, називається невагомістю. Причина невагомості у тому, що сила всесвітнього тяжіння повідомляє тілу та її опорі однакове прискорення.

1.3 Рух тіла, якщо початкова швидкість спрямована під кутом до тяжкості

Тіло кинуто горизонтально, тобто. під прямим кутом до напряму сили тяжіння.

При цьому v 0x = v 0 g x = 0, v 0y = 0, g y = - g , х 0 = 0, і, отже,

Щоб визначити вид траєкторії, якою тіло рухатиметься у разі, висловимо час t з першого рівняння і підставимо їх у друге рівняння. В результаті ми отримаємо квадратичну залежність від х:

Це означає, що тіло буде рухатися по гілці параболи.

Рис.7. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Рух тіла, кинутого з деякою початковою швидкістю υ про під кутом α до горизонту, теж являє собою складний рух: рівномірний по горизонтальному напрямку і рівноприскорений рух у вертикальному напрямку, що одночасно відбувається під дією сили тяжіння. Так рухається лижник при стрибку з трампліну, струмінь води з брандспойту тощо.

Рис.8. Струмінь води з брандспойту.

Вивчення особливостей такого руху почалося досить давно, ще у XVI столітті і було пов'язане з появою та вдосконаленням артилерійських знарядь.

Уявлення про траєкторію руху артилерійських снарядів у ті часи були досить кумедними. Вважалося, що ця траєкторія складається з трьох ділянок: А - насильницького руху, В - змішаного руху і С - природного руху, при якому ядро падає на солдатів супротивника зверху.

Рис.9. Траєкторія руху артилерійського снаряда.

Закони польоту метальних снарядів не привертали особливої уваги вчених до того часу, доки винайшли далекобійні знаряддя, які посилали снаряд через пагорби чи дерева - отже стріляючий не бачив їх польоту.

Наддальня стрілянина з таких знарядь спочатку використовувалася в основному для деморалізації і залякування противника, а точність стрілянини не грала спочатку особливо важливої ролі.

Близько правильного рішення про польоті гарматних ядер підійшов італійський математик Тарталья, він зумів показати, що найбільшої дальності польоту снарядів можна досягти при напрямку пострілу під кутом 45 ° до горизонту. У його книзі "Нова наука" було сформульовано правила стрілянини, якими артилеристи керувалися до середини ХVII століття.

Проте, повне рішенняпроблем, пов'язаних з рухом тіл кинутих горизонтально або під кутом до горизонту, здійснив той самий Галілей. У своїх міркуваннях він виходив з двох основних ідей: тіла, що рухаються горизонтально і не піддаються впливу інших сил, зберігатимуть свою швидкість; поява зовнішніх впливів змінить швидкість тіла, що рухається незалежно від того, спочивало або рухалося воно до початку їх дії. Галілей показав, що траєкторії снарядів, якщо знехтувати опором повітря, є параболами. Галілей вказував, що при реальному русі снарядів, внаслідок опору повітря, їх траєкторія вже не нагадуватиме параболу: низхідна гілка траєкторії йтиме трохи крутіше, ніж розрахункова крива.

Ньютон та інші вчені розробляли та вдосконалювали нову теорію стрілянини, з урахуванням зростання впливу на рух артилерійських снарядів сил опору повітря. З'явилася нова наука – балістика. Пройшло багато років, і тепер снаряди рухаються настільки швидко, що навіть просте порівняння виду траєкторій їх руху підтверджує зростання опору повітря.

Рис.10. Ідеальна та дійсна траєкторії руху снаряда.

На нашому малюнку ідеальна траєкторія руху важкого снаряда, що вилетів із стовбура гармати з великою початковою швидкістю, показана пунктиром, а суцільною лінією - справжня траєкторія польоту снаряда за тих самих умов пострілу.

У сучасній балістиці для вирішення подібних завдань використовується електронно-обчислювальна техніка - комп'ютери, а ми поки що обмежимося простим випадком - вивчення такого руху, при якому опором повітря можна знехтувати. Це дозволить нам повторити міркування Галілея майже без жодних змін.

Політ куль і снарядів є прикладом руху тіл, кинутих під кутом до горизонту. Точний опис характеру такого руху можливий лише при розгляді деякої ідеальної ситуації.

Подивимося, як змінюється швидкість тіла, кинутого під кутом α до горизонту, без опору повітря. Протягом усього часу польоту тіло діє сила тяжкості. На першій ділянці траєкторії за напрямком.

Рис 11. Зміна швидкості вздовж траєкторії.

У найвищій точці траєкторії – у точці С – швидкість руху тіла буде найменшою, вона спрямована горизонтально, під кутом 90° до лінії дії сили тяжіння. На другій частині траєкторії політ тіла відбувається аналогічно до руху тіла, кинутого горизонтально. Час руху від точки А до точки С буде дорівнює часу руху по другій частині траєкторії без сил опору повітря.

Якщо точки "кидання" та "приземлення" лежать на одній горизонталі, що те саме можна сказати і про швидкості "кидання" і "приземлення". Кути між поверхнею Землі та напрямом швидкості руху в точках «кидання» та «приземлення» будуть у цьому випадку теж рівні.

Дальність польоту АВ тіла, кинутого під кутом до горизонту, залежить від величини початкової швидкості та кута кидання. При постійної швидкості кидання V 0 зі збільшенням кута, між напрямком швидкості кидання і горизонтальною поверхнею від 0 до 45°, дальність польоту зростає, а за подальшому зростанні кута кидання – зменшується. У цьому легко переконатися, спрямовуючи струмінь води під різними кутами до горизонту або стежачи за рухом кульки, випущеної з пружинного пістолета (такі досліди легко зробити самому).

Траєкторія такого руху симетрична щодо найвищої точки польоту і при невеликих початкових швидкостях, як уже говорилося раніше, є параболою.

Максимальна дальність польоту при даній швидкості вильоту досягається при куті кидання 45 °. Коли кут кидання становить 30° або 60°, то дальність польоту тіл для обох кутів виявляється однаковою. Для кутів кидання 75 ° і 15 ° дальність польоту буде знову одна і та ж, але менше, ніж при кутах кидання 30 ° і 60 °. Значить, найбільш «вигідним» для далекого кидка кутом є кут 45°, при будь-яких інших значеннях кута кидання дальність польоту буде меншою.

Якщо кинути тіло з деякою початковою швидкістю v під кутом 45° до горизонту, то його дальність польоту буде вдвічі більше максимальної висоти підйому тіла, кинутого вертикально вгору з такою ж початковою швидкістю.

Максимальну дальність польоту S тіла, кинутого під кутом до горизонту, можна знайти за формулою:

максимальну висоту підйому H за формулою:

За відсутності опору повітря найбільшої дальності польоту відповідав би кут нахилу ствола гвинтівки рівний 45 °, але опір повітря значно змінює траєкторію руху і максимальної дальності польоту відповідає інший кут нахилу ствола гвинтівки - більше 45 °. Величина цього кута також залежить від швидкості кулі при пострілі. Якщо швидкість кулі при пострілі 870 м/с, реальна дальність польоту складе приблизно 3,5 км, а чи не 77 км, як свідчать «ідеальні» розрахунки.

Ці співвідношення показують, що відстань, пройдене тілом у вертикальному напрямку, не залежить від величини початкової швидкості - адже її значення не входить у формулу для розрахунку висоти Н. А дальність польоту кулі в горизонтальному напрямку буде тим більшою, ніж більша її початкова швидкість.

Вивчимо рух тіла, кинутого з початковою швидкістю v 0 під кутом α до горизонту, розглядаючи його як матеріальну точку маси m При цьому опором повітря знехтуємо, а поле тяжкості вважатимемо однорідним (Р=const), вважаючи, що дальність польоту та висота траєкторії малі проти радіусом Землі.

Помістимо початок координат в початковому положенні точки. Направимо вісь O y вертикально вгору; горизонтальну вісь O x розташуємо в площині, що проходить через О y вектор v 0 , а вісь O z проведемо перпендикулярно першим двом осях. Тоді кут між вектором v 0 і віссю O x дорівнюватиме α

Рис.12.Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Зобразимо точку М, що рухається, де-небудь на траєкторії. На точку діє лише сила тяжкості , проекції якої на осі координат рівні: P x =0 , P y =-P =mg , P Z =0

Підставляючи ці величини в диференціальні рівняння і зауважуючи, що т.д. ми після скорочення на m отримаємо:

Помножуючи обидві частини цих рівнянь на dt та інтегруючи, знаходимо:

Початкові умови у нашому завданні мають вигляд:

x=0,

y=0 ,

Задовольняючи початковим умовам, матимемо:

Підставляючи ці значення 1 , 2 і 3 у знайдене вище рішення і замінюючи V x , V Y , V z на прийдемо до рівнянь:

Інтегруючи ці рівняння, отримаємо:

Підстановка початкових даних дає З 4 = З 5 = З 6 = 0, і ми остаточно знаходимо рівняння руху точки М як:

З останнього рівняння випливає, що рух відбувається в площині xy

Маючи рівняння руху точки можна методами кінематики визначити всі характеристики даного руху.

1. Траєкторія точки. Виключаючи з перших двох рівнянь (1) час t отримаємо рівняння траєкторії точки:

(2)

Це – рівняння параболи з віссю, паралельної осі О y. Таким чином, кинута під кутом до горизонту важка точка рухається в безповітряному просторі параболі (Галілей).

2. Горизонтальна дальність. Визначимо горизонтальну дальність, тобто. виміряне вздовж осі Про x відстань ОС=Х. Вважаючи рівності (2) y=0, знайдемо точки перетину траєкторії з віссю Ох. З рівняння:

отримуємо

Перше рішення дає точку О, друге точку С. Отже, Х = Х 2 і остаточно

(3)

З формули (3) видно, що така горизонтальна дальність X буде отримана при вугіллі β, для якого 2β=180° - 2α , тобто. якщо кут β=90°-α. Отже, при даній початковій швидкості v 0 в ту саму точку С можна потрапити двома траєкторіями: настильною (α<45°) и навесной (β=90°-α>45°)

При заданої початкової швидкості v 0 максимальна горизонтальна дальність у безповітряному просторі виходить, коли sin 2 = 1, тобто. при куті = 45°.

то знайдеться висота траєкторії Н:

(4)

Час польоту. З першого рівняння системи (1) випливає, що час польоту Т визначається рівністю Заміняючи тут Х його значенням, отримаємо

При куті найбільшої дальності α=45° усі знайдені величини дорівнюють:

Отримані результати практично цілком придатні для орієнтовного визначення характеристик польоту снарядів (ракет), що мають дальності близько 200 ... 600 км, тому що при цих дальностях (і при ) снаряд основну частину свого шляху проходить у стратосфері, де опір повітря можна знехтувати. При менших далекостях на результат сильно впливатиме опір повітря, а при далекостях понад 600 км силу тяжіння вже не можна вважати постійною.

Рух тіла, кинутого з висоти h.

З гармати, встановленій на висоті h, зробили постріл під кутом α до горизонту. Ядро вилетіло зі ствола зброї зі швидкістю u. Визначимо рівняння руху ядра.

Рис.13.Рух тіла, кинутого з висоти.

Щоб правильно скласти диференціальні рівняння руху, треба вирішувати такі завдання за певною схемою.

а) Призначити систему координат (кількість осей, їх напрямок та початок координат). Вдало вибрані осі спрощують рішення.

б) Показати точку у проміжному положенні. При цьому треба простежити, щоб координати такого положення обов'язково були позитивними.

в) Показати сили, що діють на точку у цьому проміжному положенні (сили інерції не показувати!).

У цьому прикладі – це лише сила, вага ядра. Опір повітря враховувати не будемо.

г) Скласти диференціальні рівняння за формулами:

Звідси отримаємо два рівняння: і .

д) Розв'язати диференціальні рівняння.

Отримані рівняння – лінійні рівняннядругого порядку, правої частини – постійні. Розв'язання цих рівнянь є елементарним.

Залишилося знайти постійні інтегрування. Підставляємо початкові умови (при t = 0, x = 0, y = h, ,) у ці чотири рівняння: ,,

0 = З 2, h = D 2 .

Підставляємо рівняння значення постійних і записуємо рівняння руху точки в остаточному вигляді

Маючи ці рівняння, як відомо з розділу кінематики, можна визначити траєкторію руху ядра, і швидкість, і прискорення, і положення ядра в будь-який момент часу.

Як очевидно з цього прикладу, схема розв'язання завдань досить проста. Складнощі можуть виникнути тільки при вирішенні диференціальних рівнянь, які можуть бути непростими.

Тут сила – сила тертя. Якщо лінія, якою рухається точка, гладка, то Т = 0 і тоді друге рівняння міститиме лише одну невідому – координату s:

Вирішивши це рівняння, отримаємо закон руху точки, а значить, за потреби, і швидкість і прискорення. Перше та третє рівняння (5) дозволять знайти реакції та .

2. Рух тіла серед з опором

рух опір балістика еліптичний орбіта

Однією з найважливіших завдань аеро- та гідродинаміки є дослідження руху твердих тіл у газі та рідині. Зокрема вивчення тих сил, з якими середовище діє на тіло, що рухається. Ця проблема набула особливо великого значення у зв'язку з бурхливим розвитком авіації та збільшенням швидкості руху морських суден. На тіло, що рухається в рідині або газі, діють дві сили (рівнодіючу їх позначимо R), одна з яких (R х) спрямована у бік, протилежний руху тіла (у бік потоку), - лобовий опір, а друга (R y) перпендикулярна цьому напрямку – підйомна сила.

Де ρ – густина середовища; υ – швидкість руху тіла; S – найбільший поперечний переріз тіла.

Підйомна сила може бути визначена формулою:

Де С y – безрозмірний коефіцієнт підйомної сили.

Якщо тіло симетрично і його вісь симетрії збігається з напрямом швидкості, то на нього діє тільки лобовий опір, а підйомна сила в цьому випадку дорівнює нулю. Можна довести, що в ідеальної рідини рівномірний рухвідбувається без лобового опору. Якщо розглянути рух циліндра в такій рідині, то картина ліній струму симетрична і результуюча сили тиску на поверхню циліндра дорівнюватиме нулю.

Інакше справа під час руху тіл у в'язкій рідини (особливо зі збільшенням швидкості обтікання). Внаслідок в'язкості середовища в області, що прилягає до поверхні тіла, утворюється прикордонний шар частинок, що рухаються з меншими швидкостями. В результаті гальмівної дії цього шару виникає обертання частинок, і рух рідини в прикордонному шарі стає вихровим. Якщо тіло не має обтічної форми (немає хвостової частини, що плавно витончуються), то прикордонний шар рідини відривається від поверхні тіла. За тілом виникає перебіг рідини або газу, спрямоване протилежно потоку, що набігає. Прикордонний шар, що відірвався, слідуючи за цією течією, утворює вихори, що обертаються в протилежні сторони. Лобовий опір залежить від форми тіла та його положення щодо потоку, що враховується коефіцієнтом опору. В'язкість (внутрішнє тертя) – це властивість реальних рідин чинити опір переміщенню однієї частини рідини щодо іншої. При переміщенні одних шарів реальної рідини щодо інших виникають сили внутрішнього тертя F спрямовані по дотичній до поверхні шарів. Дія цих сил проявляється в тому, що з боку шару, що рухається швидше, на шар, що рухається повільніше, діє сила, що прискорює. З боку ж шару, що рухається повільніше, на шар, що рухається швидше, діє сила, що гальмує. Сила внутрішнього тертя F тим більше, чим більша площа S поверхні шару, і залежить від того, наскільки швидко змінюється швидкість течії рідини при переході від шару до шару. Величина виявляє, як швидко змінюється швидкість при переході від шару до шару в напрямку x , перпендикулярному напрямку руху шарів, і називається градієнтом швидкості. Таким чином, модуль сили внутрішнього тертя

де коефіцієнт пропорційності η залежить від природи рідини. називається динамічною в'язкістю.

Чим більша в'язкість, тим сильніша рідина відрізняється від ідеальної, тим більші сили внутрішнього тертя у ній виникають. В'язкість залежить від температури, причому характер цієї залежності для рідин та газів різний (для рідин η зі збільшенням температури зменшується, у газів, навпаки, збільшується), що вказує на відмінність у них механізмів внутрішнього тертя.

3. Застосування законів руху тіла під впливом сили тяжіння з урахуванням опору середовища у балістиці

Основним завданням балістики є визначення, під яким кутом до горизонту, і з якою початковою швидкістю має летіти куля певної маси та форми, щоб вона досягла мети.

Утворення траєкторії.

Під час пострілу куля, отримавши під дією порохових газів при вильоті з каналу стовбура деяку початкову швидкість, прагне інерції зберегти величину і напрямок цієї швидкості, а граната, що має реактивний двигун, рухається за інерцією після закінчення газів з реактивного двигуна. Якби політ кулі (гранати) відбувався в безповітряному просторі, і на неї не діяла сила тяжкості, куля (граната) рухалася б прямолінійно, рівномірно і нескінченно. Однак на кулю (гранату), що летить у повітряному середовищі, діють сили, які змінюють швидкість її польоту та напрямок руху. Цими силами є сила тяжіння та сила опору повітряного середовища.

Внаслідок спільної дії цих сил куля втрачає швидкість і змінює напрямок свого руху, переміщаючись у повітряному середовищі по кривій лінії, що проходить нижче за напрямок осі каналу ствола.

Крива лінія, яку описує в просторі центр ваги кулі (снаряда), що рухається, в польоті, називається траєкторією. Зазвичай балістика розглядає траєкторію над (або під) горизонтом зброї - уявною нескінченною горизонтальною площиною, яка проходить через точку вильоту. Рух кулі, а отже, і фігура траєкторії залежить від багатьох умов. Куля при польоті повітря піддається дії двох сил: сили тяжкості і сили опору повітря. Сила тяжкості змушує кулю поступово знижуватися, а сила опору повітря безупинно уповільнює рух кулі та прагне перекинути її. В результаті дії цих сил швидкість польоту поступово зменшується, а її траєкторія є формою нерівномірно вигнуту криву лінію.

Дія сили тяжіння.

Уявімо, що на кулю після вильоту її з каналу ствола діє лише одна сила тяжіння. Тоді вона почне падати вертикально вниз, як і всяке тіло, що вільно падає. Якщо припустити, що на кулю при її польоті за інерцією в безповітряному просторі діє сила тяжіння, то під дією цієї сили куля опуститься нижче від продовження осі каналу ствола: у першу секунду – на 4,9 м, у другу секунду – на 19,6 м і т. д. У цьому випадку, якщо навести ствол зброї в ціль, куля ніколи в неї не потрапить, оскільки, піддаючись дії сили тяжіння, вона пролетить під метою. Цілком очевидно, що для того, щоб куля пролетіла певну відстань і потрапила в ціль, необхідно направити ствол зброї кудись вище мети, щоб траєкторія кулі, згинаючись під впливом сили тяжіння, перетнула центр мети. Для цього потрібно, щоб вісь каналу стовбура та площину горизонту зброї складали певний кут, який називається кутом піднесення. Траєкторія кулі в безповітряному просторі, на яку діє сила тяжіння, є правильною кривою, яка називається параболою. Найвища точка траєкторії над горизонтом зброї називається її вершиною. Частина кривої від точки вильоту до вершини називається висхідною гілкою траєкторії, а від вершини до точки падіння - низхідною гілкою. Така траєкторія кулі характерна тим, що висхідна і низхідна гілки абсолютно однакові, а кут кидання та падіння рівні між собою.

Дія сили опору повітряного середовища.

На перший погляд здається малоймовірним, щоб повітря, що володіє такою малою щільністю, могло чинити суттєвий опір руху кулі і цим значно зменшувати її швидкість. Однак опір повітря має сильну гальмуючу дію на кулю, у зв'язку з чим вона втрачає свою швидкість. Опір повітря польоту кулі викликається тим, що повітря є пружним середовищем і тому рух у цьому середовищі витрачається частина енергії кулі. Сила опору повітря викликається трьома основними причинами: тертям повітря, утворенням завихрень та утворенням балістичної хвилі.

Як показують фото кулі, що летить із надзвуковою швидкістю (понад 340 м/сек), перед її головною частиною утворюється ущільнення повітря. Від цього ущільнення розходиться на всі боки головна хвиля. Частинки повітря, ковзаючи по поверхні кулі та зриваючись з її бічних стінок, утворюють за донною частиною кулі зону розрідженого простору, внаслідок чого з'являється різниця тисків на головну та донну частини. Ця різниця створює силу, спрямовану убік, зворотну руху кулі та зменшує швидкість її польоту. Частинки повітря, прагнучи заповнити порожнечу, що утворилася за кулею, створюють завихрення, внаслідок чого за дном кулі тягнеться хвостова хвиля.

Ущільнення повітря перед головною частиною кулі гальмує її політ; розріджена зона позаду кулі засмоктує її і цим ще більше посилює гальмування; До того ж стіни кулі відчувають тертя про частинки повітря, що також уповільнює її політ. Рівночинна цих трьох сил і становить силу опору повітря. Куля (граната) при польоті стикається з частинками повітря та змушує їх коливатися. Внаслідок цього перед кулею (гранатою) підвищується щільність повітря і утворюються звукові хвилі. Тому політ кулі (гранати) супроводжується характерним звуком. При швидкості польоту кулі (гранати), меншої швидкості звуку, утворення цих хвиль незначно впливає на її політ, оскільки хвилі поширюються швидше за швидкість польоту кулі (гранати). При швидкості польоту кулі, більшої швидкості звуку, від набігання звукових хвиль друг на друга створюється хвиля сильно ущільненого повітря - балістична хвиля, що уповільнює швидкість польоту кулі, оскільки куля витрачає частину своєї енергії створення цієї хвилі.

Рівнодіюча (сумарна) всіх сил, що утворюються внаслідок впливу повітря на політ кулі (гранати), становить силу опору повітря. Точка застосування сили опору називається центром опору.

Вплив, що чиниться опором повітря на політ кулі, дуже велике - воно викликає зменшення швидкості і дальності польоту кулі.

Дія на кулю опору повітря.

Величина сили опору повітря залежить від швидкості польоту, форми та калібру кулі, а також від її поверхні та щільності повітря.

Сила опору повітря зростає зі збільшенням калібру кулі, швидкості її польоту та щільності повітря. Для того, щоб опір повітря менше гальмував кулю під час польоту, цілком очевидно, що потрібно зменшити її калібр і збільшити її масу. Ці міркування і призвели до необхідності використання в стрілецькій зброї куль довгастої форми, а з урахуванням надзвукових швидкостей польоту кулі, коли основною причиною опору повітря є утворення ущільнення повітря перед головною частиною (балістичної хвилі), вигідні кулі з подовженою гострокінцевою головною частиною. При дозвукових швидкостях польоту гранати, коли основною причиною опору повітря є утворення розрідженого простору та завихрень, вигідні гранати з подовженою та звуженою хвостовою частиною.

Чим глаже поверхня кулі, тим менша сила тертя і сила опору повітря.

Різноманітність форм сучасних куль багато в чому визначається необхідністю зменшити силу опору повітря.

Якби політ кулі відбувався в безповітряному просторі, то напрямок її поздовжньої осі було б незмінним і куля падала б на землю не головною частиною, а дном.

Однак при дії на кулю сили опору повітря політ її буде зовсім іншим. Під дією початкових обурень (поштовхів) в момент вильоту кулі з каналу ствола між віссю кулі та дотичної до траєкторії утворюється кут, і сила опору повітря діє не вздовж осі кулі, а під кутом до неї, прагнучи не тільки уповільнити рух кулі, але й перекинути її. У перший момент, коли куля вилітає з каналу ствола, опір повітря лише гальмує рух. Але як тільки куля починає під дією сили тяжіння опускатися вниз, частинки повітря почнуть тиснути не тільки на головну частину, але і на її бічну поверхню.

Чим більше куля опускатиметься, тим більше вона буде і підставляти опору повітря свою бічну поверхню. Оскільки частки повітря чинять на головну частину кулі значно більший тиск, ніж хвостову, вони прагнуть перекинути кулю головною частиною тому.

Отже, сила опору повітря не тільки гальмує кулю при її польоті, а й прагне перекинути головну частину назад. Чим більша швидкість кулі і чим вона довша, тим сильніше на неї надає повітря перекидає дію. Цілком зрозуміло, що при такій дії опору повітря куля під час свого польоту почне перекидатися. При цьому, підставляючи повітрю то один бік, то інший, куля швидко втрачатиме швидкість, у зв'язку з чим дальність польоту буде невеликою, а купність бою – незадовільною.

Висновок

У всіх розглянутих прикладах на тіло діяла та сама сила тяжкості. Проте рухи у своїй виглядали по-різному. Пояснюється це тим, що характер руху будь-якого тіла у заданих умовах визначається його початковим станом. Недарма всі отримані нами рівняння містять початкові координати та початкові швидкості. Змінюючи їх, ми можемо змусити тіло підніматися вгору або опускатися вниз по прямій лінії, рухатися параболою, досягаючи її вершини, або опускатися по ній вниз; дугу параболи ми можемо вигнути сильніше чи слабше тощо. І в той же час все це різноманіття рухів можна висловити однією простою формулою:

Список літератури

1. Гершензон Є.М., Малов Н.М. Курс загальної фізики. М.Освіта, 1995.

2. Римкевич П.А. Курс фізики М. Освіта, 1975

3. Савельєв І.В. Курс загальної фізики. М. Освіта, 1983.

4. Трофімова Т.І. Курс фізики М. Освіта, 1997

5. Чортов А.Г., Воробйов А.А. Задачник із фізики. М. Освіта, 1988.

Тема. Сила тяжіння. Рух тіла під дією сили тяжіння

Мета уроку: дати учням уявлення про поняття сили тяжіння; ознайомити із природою цієї сили. Ознайомити їх із рухом тіла під дією сили тяжіння

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

План уроку

Контроль знань		1. Закон всесвітнього тяжіння. 2. Фізичний сенс гравітаційної постійної. 3. Межі застосування закону всесвітнього тяжіння
Демонстрації		1. Падіння тіл на землю. 2. Центр тяжкості тел. 3. Рух тіла, кинутого вертикально вгору та вниз.
Вивчення нового матеріалу		1. Сила тяжкості та центр тяжіння. 2. Прискорення вільного падіння. 3. Рух тіла по вертикалі. 4. Рух тіла, кинутого горизонтально. 5. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту
Закріплення вивченого матеріалу		1. Тренуємось вирішувати завдання. 2. Контрольні питання

ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

Камінь, що падає зі скелі, і м'яч, кинутий вертикально вгору, рухаються прямою. Розігнавшись на березі, людина стрибає у воду, при цьому траєкторія її тіла – половинка параболи. Снаряд, випущений з гармати під кутом до горизонту, також опише у просторі параболу. Траєкторія супутника Землі дуже близька до кола. Рух цих тіл відбувається під впливом сили тяжкості. Чому ж ці рухи настільки відрізняються один від одного? Очевидно, причина – різні початкові умови.

Якщо тіло діє лише сила тяжкості, то, згідно з другим законом Ньютона, т = m , або m = m . Це означає, що під дією сили тяжіння тіло рухається прискорено з прискоренням g (а = g ). У цьому рівняння залежності швидкості від часу має вид: = 0 + t .

Це рівняння показує, що швидкість руху тіла знаходиться в площині, утвореної векторами 0 і тому для опису таких рухів досить двовимірної системи координат.

Розглянемо рух тіла по вертикалі: тіло кинули вертикально догори (рис. а), і тіло падає вертикально донизу (рис. б).

В цьому випадку траєкторією руху тіла буде відрізок прямий, оскільки руху вздовж осі Ох не відбувається (0х = 0, х = х0).

Оскільки під час руху нагору то рівняння руху матимуть такий вигляд:

Аналогічно, під час руху тіла, кинутого вниз, рівняння матимуть вигляд:

1. На підставі якого закону можна стверджувати, що сила тяжіння є пропорційною масі тіла?

2. Як залежить прискорення вільного падіння від висоти над поверхнею Землі?

3. З яким прискоренням рухається тіло, кинуте горизонтально?

4. Чи залежить час польоту тіла, кинутого горизонтально, від значення величини початкової швидкості?

5. Чи можна рух тіла, кинутого під кутом до обрію, вважати рівноприскореним?

6. Що спільного в русі тіл, кинутих вертикально вгору та під кутом до горизонту?

ЗАКРІПЛЕННЯ ВИВЧЕНОГО МАТЕРІАЛУ

1. Обчисліть масу Землі, якщо відомо, що її радіус дорівнює 6400 км.

2. Обчисліть прискорення вільного падіння на висоті, що дорівнює радіусу Землі.

3. З якою швидкістю треба кинути тіло горизонтально з деякої висоти, щоб дальність польоту дорівнювала висоті, з якої кинуто тіло?

4. Камінь, кинутий горизонтально з даху будинку зі швидкістю 15 м/с, впав під кутом 60° до горизонту. Яка висота будинку?

5. Камінь, кинутий під кутом 30° до горизонту, двічі побував на одній висоті: за 3 с та 5 с після початку руху. Обчисліть початкову швидкість кидання та максимальну висоту підйому.

1. Чому зі збільшенням висоти над поверхнею Землі прискорення вільного падіння зменшується?

2. Чи може тіло під дією сили тяжіння рухатися по колу? Обґрунтуйте свою відповідь.

3. Що спільного в русі тіл, кинутих вертикально вгору та під кутом до горизонту?

4. Як зміниться час і дальність польоту тіла, кинутого горизонтально з певної висоти, якщо швидкість кидання збільшити вдвічі?

5. Тіло, кинуте під кутом 30 ° до горизонту, впало у певну точку на поверхні землі. Під яким кутом треба кинути друге тіло з тією ж початковою швидкістю, щоб воно впало в ту саму точку, що й перше?

Що ми дізналися на уроці

Силу, з якою Земля притягує будь-яке тіло, називають силою тяжіння.

Сила тяжіння, що діє на тіло, пропорційна до маси цього тіла.

Точку застосування сили тяжіння, що діє на тіло, за будь-якого його положення в просторі називають центром тяжіння.

Прискорення вільного падіння дорівнює:

Якщо тіло діє лише сила тяжкості, то рівняння залежності швидкості тіла іноді має вид:

Тіло, кинуте горизонтально, рухається параболою, вершина якої знаходиться в початковій точціруху.

Час польоту та дальність польоту тіла, кинутого горизонтально, обчислюються за формулами:

Під час руху тіла, кинутого під кутом до горизонту:

а) висота підйому тіла -

б) дальність польоту тіла -

в) максимальна дальність польоту досягається, якщо кут = 45 °.

р1) – 7.8; 7.21; 7.28, 8.6; 8.7;

р2) – 7.54; 7.55; 7.56. 8.13, 8.14;

р3) – 7.75; 7.81; 8.34; 8.39, 8.40.

Цілі:

Продовження знайомства із різноманітністю рівноприскорених рухів.
Навчання порівняння різних видів рухів, знаходженню спільних рис і відмінностей, вмінню робити висновки з явищ, що спостерігаються.
Ознайомити з методикою розв'язання завдань на цю тему, показати універсальність законів застосовуваних під час вирішення завдань.
Розширення кругозору.

Етапи уроків:

Етап визначення мети уроку
Етап актуалізації знань
Етап отримання нових знань на тему “Рух тіл під дією сили тяжіння”
Етап підготовки до вирішення завдань
Етап закріплення матеріалу в процесі вирішення кросворду, завдань, тесту
Завдання додому

Супровід уроків:

Презентація "Рух тіл під дією сили тяжіння".
Кінофрагменти.
Досліди.

Обладнання уроків:

Комп'ютерний клас
Відеопроектор
Електронний дидактичний матеріал для учнів
Прилади: трубка Ньютона, диски металевий та паперовий

ХІД УРОКУ

I.З сьогоднішнього дня ми розглядатимемо характер і закони руху тіл, на які діє лише сила тяжіння. Видів рухів під впливом сили тяжіння може бути кілька: рух тіл кинутих вертикально вгору, вертикально вниз, горизонтально, під кутом до горизонту. Значення знань цих законів важко недооцінити. Вони пояснюють рух парашутистів, снарядів, спортсменів на трамплінах тощо.

Вільний рух тіл має наступну особливість: тіло, кинуте горизонтально і просто відпущене з того ж рівня падають одночасно. Простежимо рух таких тіл на моделі.

На останніх слайдах презентації №18,19, 20, 21 представлені кінофрагменти (див. Додаток 6 ):

Основне завдання механіки та рух тіл кинутих під кутом до горизонту,
Падіння снарядів, кинутих із літака,
Політ балістичних ракет
Політ космічних ракет.

Кінофрагменти можна використовувати перед початком вивчення теми для створення елемента зацікавленості, у середині – для обґрунтування розгляду цих видів рухів або наприкінці – під час підбиття підсумків.

Основним завданням механіки є визначення положення тіла в будь-який момент часу. Розв'язанням задачі для частинок, що рухаються в полі тяжкості Землі є рівняння в проекціях на осі OX і OY:

Цих формул достатньо, щоб вирішити будь-яке завдання про рух тіла під дією сили тяжіння.

А) Тіло кинуто вертикально нагору

В цьому випадку v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = - g.

Б) Тіло кинуто горизонтально

При цьому v 0x = v 0 , g x = 0, v 0y = 0, g y = - g , х 0 = 0, і, отже,

Щоб визначити вид траєкторії, якою тіло буде рухатися в цьому випадку, висловимо час tз першого рівняння та підставимо його у друге рівняння. В результаті ми отримаємо квадратичну залежність увід х:

Це означає, що тіло буде рухатися по гілці параболи.

В) Тіло кинуто під кутом до горизонту

В цьому випадку v 0 x = v 0 з osα, g x = 0, v 0y = v 0 sin α, g y = - g, х 0 = y 0 = 0, і тому

У всіх розглянутих прикладах на тіло діяла та сама сила тяжкості. Проте рухи у своїй виглядали по-різному. Пояснюється це тим, що характер руху будь-якого тіла у заданих умовах визначається його початковим станом. Недарма всі отримані нами рівняння містять початкові координати і початкові швидкості. Змінюючи їх, ми можемо змусити тіло підніматися вгору або опускатися вниз по прямій лінії, рухатися параболою, досягаючи її вершини, або опускатися по ній вниз; дугу параболи ми можемо вигнути сильніше або слабше і т. д. І в той же час все це різноманіття рухів можна виразити однією простою формулою.

Дія сил всесвітнього тяжіння в природі пояснюються багато явищ: рух планет у Сонячній системі, штучних супутників Землі, траєкторії польоту балістичних ракет, рух тіл поблизу поверхні Землі – всі вони знаходять пояснення на основі закону всесвітнього тяжіння та законів динаміки.

Закон всесвітнього тяжіння пояснює механічний пристрій Сонячної системи, і закони Кеплера, що описують траєкторії руху планет, можна вивести з нього. Для Кеплера його закони мали суто описовий характер - вчений просто узагальнив свої спостереження в математичній формі, не підвівши під формули жодних теоретичних підстав. У великій системі світоустрою по Ньютону закони Кеплера стають прямим наслідком універсальних законів механіки та закону всесвітнього тяжіння. Тобто ми знову спостерігаємо, як емпіричні висновки, отримані на одному рівні, перетворюються на строго обґрунтовані логічні висновки при переході на наступний рівень поглиблення наших знань про світ.

Ньютон перший висловив думку, що гравітаційні сили визначають як рух планет Сонячної системи; вони діють між будь-якими тілами Всесвіту. Одним із проявів сили всесвітнього тяжіння є сила тяжіння – так прийнято називати силу тяжіння тіл до Землі поблизу її поверхні.

Якщо M – маса Землі, RЗ – її радіус, m – маса даного тіла, то сила тяжіння дорівнює

де g – прискорення вільного падіння на поверхні Землі

Сила важкості спрямована до центру Землі. За відсутності інших сил тіло вільно падає Землю із прискоренням вільного падіння.

Середнє значення прискорення вільного падіння для різних точок Землі дорівнює 9,81 м/с2. Знаючи прискорення вільного падіння та радіус Землі (RЗ = 6,38 · 106 м), можна обчислити масу Землі

Картину пристрою сонячної системи, що випливає з цих рівнянь і поєднує земну та небесну гравітацію, можна зрозуміти на простому прикладі. Припустимо, ми стоїмо біля краю прямовисної скелі, поруч гармата і гора гарматних ядер. Якщо просто скинути ядро з краю урвища по вертикалі, воно почне падати вниз прямовисно і рівноприскорено. Його рух описуватиметься законами Ньютона для рівноприскореного руху тіла з прискоренням g. Якщо тепер випустити ядро з гармати у напрямку горизонту, воно полетить – і падатиме по дузі. І в цьому випадку його рух описуватиметься законами Ньютона, тільки тепер вони застосовуються до тіла, що рухається під впливом сили тяжіння і що володіє якоюсь початковою швидкістю в горизонтальній площині. Тепер, раз-по-раз заряджаючи в гармату все більш важке ядро і стріляючи, ви виявите, що, оскільки кожне наступне ядро вилітає зі стовбура з більшою початковою швидкістю, ядра падають все далі і далі від підніжжя скелі.

Тепер уявімо, що ми забили в гармату стільки пороху, що швидкості ядра вистачає, щоб облетіти навколо земної кулі. Якщо знехтувати опором повітря, ядро, облетівши навколо Землі, повернеться у вихідну точку точно з тією ж швидкістю, з якою воно спочатку вилетіло з гармати. Що буде далі, зрозуміло: ядро на цьому не зупиниться і продовжуватиме намотувати коло за колом навколо планети.

Іншими словами, ми отримаємо штучний супутник, що обертається навколо Землі по орбіті, подібно до природного супутника - Місяцю.

Так поетапно ми перейшли від опису руху тіла, що падає виключно під впливом «земної» гравітації (ньютоновського яблука), до опису руху супутника (Місяця) орбітою, не змінюючи при цьому природи гравітаційного впливу з «земної» на «небесну». Ось це прозріння і дозволило Ньютону зв'язати дві сили гравітаційного тяжіння, що воєдино вважалися до нього різними за своєю природою.

При віддаленні від Землі сила земного тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються обернено пропорційно квадрату відстані r до центру Землі. Прикладом системи двох тіл, що взаємодіють, може бути система Земля-Місяць. Місяць знаходиться від Землі на відстані rЛ = 3,84 · 106 м. Ця відстань приблизно в 60 разів перевищує радіус Землі RЗ. Отже, прискорення вільного падіння aЛ, обумовлене земним тяжінням, на орбіті Місяця становить

де T = 27,3 діб - період звернення Місяця навколо Землі.

Збіг результатів розрахунків, виконаних різними способами, підтверджує припущення Ньютона про єдину природу сили, що утримує Місяць на орбіті, та сили тяжіння.

Власне гравітаційне поле Місяця визначає прискорення вільного падіння gЛ на його поверхні. Маса Місяця в 81 раз менше маси Землі, а її радіус приблизно в 3,7 рази менше радіуса Землі.

Тому прискорення gЛ визначиться виразом

Розглянемо питання про штучні супутники Землі. Штучні супутники Землі рухаються поза земної атмосфери, і них діють лише сили тяжіння із боку Землі.

Залежно від початкової швидкості, траєкторія космічного тіла може бути різною. Розглянемо випадок руху штучного супутника по круговій навколоземній орбіті. Такі супутники літають на висотах близько 200-300 км, і можна приблизно прийняти відстань до центру Землі рівним її радіусу RЗ. Тоді доцентрове прискорення супутника, що повідомляється йому силами тяжіння, приблизно дорівнює прискоренню вільного падіння g. Позначимо швидкість супутника на навколоземній орбіті через 1 - така швидкість називають першою космічною швидкістю. Використовуючи кінематичну формулу для доцентрового прискорення, отримаємо

Рухаючись із такою швидкістю, супутник облітав би Землю за час.

Для супутників, що рухаються круговими траєкторіями на значній відстані від Землі, земне тяжіння слабшає назад пропорційно квадрату радіуса r траєкторії. Таким чином, на високих орбітах швидкість руху супутників менша, ніж на навколоземній орбіті.

Період звернення супутника зростає зі збільшенням радіусу орбіти. Неважко підрахувати, що з радіусі r орбіти, що дорівнює приблизно 6,6 RЗ, період звернення супутника виявиться рівним 24 годин. Супутник із таким періодом обігу, запущений у площині екватора, нерухомо висітиме над деякою точкою земної поверхні. Такі супутники використовують у системах космічної радіозв'язку. Орбіта з радіусом r = 6,6 RЗ називається геостаціонарною.

Другою космічною швидкістю називається мінімальна швидкість, яку потрібно повідомити космічному кораблю біля Землі, щоб він, подолавши земне тяжіння, перетворився на штучний супутник Сонця (штучна планета). При цьому корабель буде віддалятися від Землі параболічною траєкторією.

Малюнок 5 ілюструє космічні швидкості. Якщо швидкість космічного кораблядорівнює υ1 = 7.9 103 м/с і спрямована паралельно поверхні Землі, то корабель буде рухатися по круговій орбіті на невеликій висоті над Землею. При початкових швидкостях, що перевищують 1, але менших 2 = 11,2 103 м/с, орбіта корабля буде еліптичною. При початковій швидкості υ2 корабель рухатиметься по параболі, а за ще більшої початкової швидкості – по гіперболі.

Малюнок 5 - Космічні швидкості

Вказано швидкості поблизу поверхні Землі: 1) υ = υ1 – кругова траєкторія;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – параболічна траєкторія; 5) υ > υ2 – гіперболічна траєкторія;

6) траєкторія Місяця

Таким чином ми з'ясували, що всі рухи в Сонячній системі підпорядковуються закону всесвітнього тяжіння Ньютона.

Виходячи з малої маси планет і тим більше інших тіл Сонячної системи, можна приблизно вважати, що рухи в навколосонячному просторі підпорядковуються законам Кеплера.

Всі тіла рухаються навколо Сонця еліптичними орбітами, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. Чим ближче до Сонця небесне тіло, тим швидше його швидкість руху по орбіті (планета Плутон, найдальша з відомих, рухається в 6 разів повільніше за Землю).

Тіла можуть рухатися і по розімкнених орбітах: параболі або гіперболі. Це трапляється в тому випадку, якщо швидкість тіла дорівнює або перевищує значення другої космічної швидкості Сонця на даному віддаленні від центрального світила. Якщо йдеться про супутник планети, то і космічну швидкість треба розраховувати щодо маси планети та відстані до її центру.