Decimalni logaritem in njegove lastnosti. Kaj je logaritem Lastnosti funkcije y=lg x

Pogosto vzemite številko deset. Imenujejo se logaritmi števil na desetico decimalka. Pri izvajanju izračunov z decimalnim logaritmom je običajno delovati z znakom lg, vendar ne dnevnik; medtem ko številka deset, ki določa bazo, ni navedena. Da, zamenjamo dnevnik 10 105 na poenostavljeno LG105; a dnevnik 102 na lg2.

Za decimalni logaritmi značilne so enake lastnosti, kot jih imajo logaritmi z osnovo večjo od ena. Decimalni logaritmi so namreč značilni izključno za pozitivna števila. Decimalni logaritmi števil, večjih od ena, so pozitivni, števila, manjša od ena, pa negativni; od dveh nenegativnih števil je večje enakovredno večjemu decimalnemu logaritmu itd. Poleg tega imajo decimalni logaritmi posebnosti in posebne znake, ki pojasnjujejo, zakaj je kot osnovo logaritmov udobno dati prednost številu deset.

Preden analiziramo te lastnosti, si oglejmo naslednje formulacije.

Celo število decimalnega logaritma števila a poklical značilnost, in ulomek mantisa ta logaritem.

Značilnost decimskega logaritma števila a označeno kot , mantisa pa kot (lg a}.

Vzemimo, recimo, lg 2 ≈ 0,3010. V skladu s tem je = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Enako velja za LG 543,1 ≈2,7349. V skladu s tem je = 2, (lg 543,1)≈ 0,7349.

Izračun decimalnih logaritmov pozitivnih števil iz tabel je precej razširjen.

Značilni znaki decimalnih logaritmov.

Prvi znak decimalnega logaritma. nenegativno celo število, ki ga predstavlja 1, ki mu sledijo ničle, je pozitivno celo število, enako številu ničel v izbranem številu .

Vzemimo lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Na splošno, če

To a= 10n , iz katerega dobimo

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Drugi znak. Decimalni logaritem pozitivne decimalke, ki ga prikazuje ena z vodilnimi ničlami, je − P, kje P- število ničel v predstavitvi tega števila, ob upoštevanju nič celih števil.

Razmislite , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Na splošno, če

,

To a= 10-n in se izkaže

lga = lg 10n =-n LG 10 =-n

Tretji znak. Značilnost decimalnega logaritma nenegativnega števila, večjega od ena, je enaka številu števk v celem delu tega števila, razen ena.

Analizirajmo to lastnost 1) Značilnost logaritma lg 75,631 je enaka 1.

Pravzaprav 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

LG 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

To pomeni,

lg 75,631 = 1 + b,

Premik vejice v decimalnem ulomku v desno ali levo je enakovreden operaciji množenja tega ulomka s potenco desetih s celim eksponentom P(pozitiven ali negativen). In zato, ko se decimalna vejica v pozitivnem decimalnem ulomku premakne v levo ali desno, se mantisa decimalnega logaritma tega ulomka ne spremeni.

Torej, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Torej imamo pooblastila dvojke. Če vzamete številko iz spodnje vrstice, potem zlahka najdete moč, na katero morate dvigniti dvojko, da dobite to številko. Na primer, če želite dobiti 16, morate dva dvigniti na četrto potenco. In če želite dobiti 64, morate dva dvigniti na šesto potenco. To je razvidno iz tabele.

In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:

Osnova a logaritem argumenta x je moč, na katero je treba dvigniti število a, da dobimo število x.

Zapis: log a x \u003d b, kjer je a osnova, x je argument, b je dejansko tisto, čemur je enak logaritem.

Na primer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritem 8 je tri, ker je 2 3 = 8). Lahko bi tudi zabeležili 2 64 = 6, ker je 2 6 = 64.

Operacija iskanja logaritma števila na dano bazo se imenuje logaritem. Torej dodajmo novo vrstico v našo tabelo:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
dnevnik 2 2 = 1	dnevnik 2 4 = 2	dnevnik 2 8 = 3	dnevnik 2 16 = 4	dnevnik 2 32 = 5	dnevnik 2 64 = 6

Žal se vsi logaritmi ne upoštevajo tako enostavno. Na primer, poskusite najti log 2 5. Število 5 ni v tabeli, vendar logika narekuje, da bo logaritem ležal nekje na intervalu. Ker 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takšna števila se imenujejo iracionalna: števila za decimalno vejico lahko zapišemo za nedoločen čas in se nikoli ne ponovijo. Če se logaritem izkaže za iracionalnega, ga je bolje pustiti takole: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnovo in argument). Sprva marsikdo zamenjuje, kje je osnova in kje je argument. Da se izognete nadležnim nesporazumom, si le oglejte sliko:

[Napis slike]

Pred nami ni nič drugega kot definicija logaritma. Zapomni si: logaritem je moč, na katerega morate dvigniti osnovo, da dobite argument. To je osnova, ki je dvignjena na moč – na sliki je označena z rdečo. Izkazalo se je, da je osnova vedno na dnu! To čudovito pravilo povem svojim učencem že pri prvi lekciji - in ni zmede.

Ugotovili smo definicijo - še, da se naučimo šteti logariteme, t.j. znebite se znaka "hlod". Za začetek opozorimo, da iz definicije izhajata dve pomembni dejstvi:

1. Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz definicije stopnje z racionalnim eksponentom, na katerega se reducira definicija logaritma.
2. Osnova se mora razlikovati od enote, saj je enota na katero koli moč še vedno enota. Zaradi tega je nesmiselno vprašanje, na katero moč je treba dvigniti enega, da dobimo dva. Te diplome ni!

Takšne omejitve se imenujejo veljaven obseg(ODZ). Izkazalo se je, da je ODZ logaritma videti takole: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Upoštevajte, da ni nobenih omejitev glede števila b (vrednost logaritma) ni naložena. Logaritem je lahko na primer negativen: log 2 0,5 = −1, ker 0,5 = 2 −1.

Vendar pa zdaj obravnavamo le številčne izraze, kjer ni potrebno poznati ODZ logaritma. Vse omejitve so sestavljalci problemov že upoštevali. Ko pa pridejo v poštev logaritemske enačbe in neenakosti, bodo zahteve DHS postale obvezne. Dejansko lahko v osnovi in ​​argumentu obstajajo zelo močne konstrukcije, ki ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.

Zdaj razmislite o splošni shemi za izračun logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:

1. Osnovo a in argument x izrazite kot potenco z najmanjšo možno bazo, večjo od ena. Na poti se je bolje znebiti decimalnih ulomkov;
2. Rešite enačbo za spremenljivko b: x = a b ;
3. Dobljeno število b bo odgovor.

To je vse! Če se izkaže, da je logaritem neracionalen, se bo to pokazalo že na prvem koraku. Zahteva, da je osnova večja od ena, je zelo pomembna: to zmanjša verjetnost napake in močno poenostavi izračune. Podoben decimalke: če jih takoj prevedeš v navadne, bo napak večkrat manj.

Poglejmo, kako ta shema deluje s posebnimi primeri:

Naloga. Izračunaj logaritem: log 5 25

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Naredimo in rešimo enačbo:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Prejel odgovor: 2.

Naloga. Izračunaj logaritem:

[Napis slike]

Naloga. Izračunaj logaritem: log 4 64

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Naredimo in rešimo enačbo:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Prejel odgovor: 3.

Naloga. Izračunaj logaritem: log 16 1

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Naredimo in rešimo enačbo:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Prejel odgovor: 0.

Naloga. Izračunaj logaritem: log 7 14

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco sedem: 7 = 7 1 ; 14 ni predstavljeno kot potenca sedmih, ker 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prejšnjega odstavka izhaja, da se logaritem ne upošteva;
3. Odgovor je brez sprememb: dnevnik 7 14.

Majhna opomba o zadnjem primeru. Kako se prepričati, da število ni natančna moč drugega števila? Zelo preprosto - samo ga razčlenite na osnovne faktorje. In če takšnih faktorjev ni mogoče zbrati v stopnji z enakimi kazalniki, potem prvotno število ni natančna stopnja.

Naloga. Ugotovite, ali so točni potenci števila: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 je natančna stopnja, ker obstaja samo en množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ni natančna moč, ker obstajata dva faktorja: 3 in 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - natančna stopnja;
35 \u003d 7 5 - spet ni natančna stopnja;
14 \u003d 7 2 - spet ni natančna stopnja;

Opažamo tudi, da smo praštevila so vedno natančne moči zase.

Decimalni logaritem

Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in oznako.

Decimalni logaritem argumenta x je logaritem osnove 10, t.j. moč, na katero morate dvigniti število 10, da dobite število x. Oznaka: lg x .

Na primer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od zdaj naprej, ko se v učbeniku pojavi stavek, kot je "Poišči lg 0,01", vedite, da to ni tipkarska napaka. To je decimalni logaritem. Če pa takšnega poimenovanja niste vajeni, ga lahko vedno prepišete:
log x = log 10 x

Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalke.

naravni logaritem

Obstaja še en logaritem, ki ima svoj zapis. V nekem smislu je celo pomembnejša od decimalke. To je naravni logaritem.

Naravni logaritem argumenta x je logaritem na osnovo e , tj. moč, na katero je treba dvigniti število e, da dobimo število x. Oznaka: ln x .

Mnogi se bodo vprašali: kaj je še število e? To je iracionalno število, njegove natančne vrednosti ni mogoče najti in zapisati. Tukaj so samo prve številke:
e = 2,718281828459...

Ne bomo se poglobili v to, kaj je ta številka in zakaj je potrebna. Ne pozabite, da je e osnova naravnega logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. Po drugi strani je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalnega števila iracionalen. Razen seveda enote: ln 1 = 0.

Za naravne logaritme veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.

DEFINICIJA

Decimalni logaritem se imenuje logaritem na bazo 10:

Title="(!LANG:Upodobil QuickLaTeX.com">!}

Ta logaritem je rešitev eksponentne enačbe. Včasih (zlasti v tuji literaturi) je decimalni logaritem označen tudi kot, čeprav sta prvi dve oznaki lastni tudi naravnemu logaritmu.

Prve tabele decimalnih logaritmov je leta 1617 objavil angleški matematik Henry Briggs (1561-1630) (zato tuji znanstveniki decimalne logaritme pogosto imenujejo še Briggs), vendar so te tabele vsebovale napake. Na podlagi tabel (1783) slovenskega in avstrijskega matematika Georga Bartalomeja Vege (Juri Veha ali Vehovets, 1754-1802) je leta 1857 nemški astronom in geodet Karl Bremiker (1804-1877) izdal prvo nezmotljivo izdajo. S sodelovanjem ruskega matematika in učitelja Leontija Filipoviča Magnitskega (Teljatin ali Teljašin, 1669-1739) so bile leta 1703 v Rusiji objavljene prve tabele logaritmov. Za izračune se pogosto uporabljajo decimalni logaritmi.

Lastnosti decimalnih logaritmov

Ta logaritem ima vse lastnosti logaritma na poljubno bazo:

1. Osnovna logaritemska identiteta:

5. .

7. Prehod na novo bazo:

Funkcija decimskega logaritma je funkcija. Graf te krivulje se pogosto imenuje logaritemsko.

Lastnosti funkcije y=lg x

1) Področje definicije: .

2) Nabor vrednosti: .

3) Splošna funkcija.

4) Funkcija je neperiodična.

5) Graf funkcije seka z osjo x v točki .

6) Vrzeli v doslednosti: title="(!LANG:Upodobil QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} to za .