Gibanje točke proti gravitaciji. Gibanje telesa pod vplivom gravitacije v navpični ravnini

01.09.2021

Uvod

1. Gibanje telesa pod vplivom gravitacije

1.1 Gibanje telesa po krožni ali eliptični orbiti okoli planeta

1.2 Gibanje telesa pod delovanjem gravitacije v navpični ravnini

1.3 Gibanje telesa, če je začetna hitrost usmerjena pod kotom proti gravitaciji

2. Gibanje telesa v mediju z uporom

3. Uporaba zakonov gibanja telesa pod delovanjem gravitacije ob upoštevanju upora medija v balistiki

Zaključek

Bibliografija

Uvod

Po drugem Newtonovem zakonu je vzrok za spremembo gibanja, torej vzrok za pospešek teles, sila. V mehaniki se upoštevajo sile različne fizične narave. Številni mehanski pojavi in procesi so določeni z delovanjem gravitacijskih sil. zakon gravitacija je leta 1682 odkril I. Newton. Že leta 1665 je 23-letni Newton predlagal, da so sile, ki zadržijo Luno v njeni orbiti, enake narave kot sile, zaradi katerih jabolko pade na Zemljo. Po njegovi hipotezi med vsemi telesi vesolja delujejo privlačne sile (gravitacijske sile), usmerjene vzdolž črte, ki povezuje središča mase. Za telo v obliki homogene krogle središče mase sovpada s središčem krogle.

sl.1. gravitacijske sile.

V naslednjih letih je Newton poskušal najti fizično razlago za zakone gibanja planetov, ki jih je odkril astronom I. Kepler v začetku 17. stoletja, in podati kvantitativni izraz za gravitacijske sile. Ker je vedel, kako se planeti premikajo, je Newton želel ugotoviti, katere sile delujejo nanje. Ta pot se imenuje inverzni problem mehanike. Če je glavna naloga mehanike določiti koordinate telesa z znano maso in njegovo hitrost v katerem koli trenutku iz znanih sil, ki delujejo na telo, in danih začetnih pogojev (neposredni problem mehanike), potem pri reševanju inverznega problema , je treba določiti sile, ki delujejo na telo, če je znano, kako se giblje. Rešitev tega problema je pripeljala Newtona do odkritja zakona univerzalne gravitacije. Vsa telesa se med seboj privlačijo s silo, ki je neposredno sorazmerna z njihovo maso in obratno sorazmerna s kvadratom razdalje med njimi:

Koeficient sorazmernosti G je enak za vsa telesa v naravi. Imenuje se gravitacijska konstanta.

G \u003d 6,67 10 -11 N m 2 / kg 2

Številni pojavi v naravi so razloženi z delovanjem sil univerzalne gravitacije. Gibanje planetov v sončnem sistemu, gibanje umetnih satelitov Zemlje, poti letenja balističnih raket, gibanje teles blizu površine Zemlje - vsi ti pojavi so razloženi na podlagi zakona univerzalne gravitacije. in zakoni dinamike. Ena od manifestacij sile univerzalne gravitacije je sila gravitacije.

Gravitacija je sila, ki deluje na telo s strani Zemlje in daje telesu pospešek prostega pada:

Vsako telo, ki se nahaja na Zemlji (ali blizu nje), se skupaj z Zemljo vrti okoli svoje osi, t.j. telo se giblje po krogu polmera r s konstantno modulo hitrostjo.

sl.2. Gibanje telesa po površini zemlje.

Na telo na zemeljskem površju vplivata sila teže in sila s strani zemeljskega površja

Njihov rezultat

daje telesu centripetalni pospešek

Gravitacijsko silo razstavimo na dve komponenti, od katerih bo ena, t.j.

Iz enačb (1) in (2) vidimo, da

Tako je gravitacija ena od komponent gravitacijske sile, druga komponenta telesu daje centripetalni pospešek. V točki Μ na geografski zemljepisni širini φ sila gravitacije ni usmerjena vzdolž polmera Zemlje, temveč pod določenim kotom α nanjo. Sila gravitacije je usmerjena vzdolž tako imenovane navpične ravne črte (navpično navzdol).

Sila gravitacije je po velikosti in smeri enaka sili težnosti le na polih. Na ekvatorju smeri sovpadajo, absolutna razlika pa je največja.

kjer je ω kotna hitrost vrtenja Zemlje, R je polmer Zemlje.

rad/s, ω = 0,727 10 -4 rad/s.

Ker je ω zelo majhen, potem je F T ≈ F. Posledično se sila gravitacije po absolutni vrednosti malo razlikuje od sile gravitacije, zato lahko to razliko pogosto zanemarimo.

Potem je F T ≈ F,

Iz te formule je razvidno, da pospešek prostega pada g ni odvisen od mase padajočega telesa, ampak je odvisen od višine.

Če je M masa Zemlje, R З njen polmer, m masa danega telesa, potem je sila teže enaka

kjer je g pospešek prostega pada na zemeljskem površju:

Sila gravitacije je usmerjena proti središču zemlje. V odsotnosti drugih sil telo prosto pade na Zemljo s pospeškom prostega padca. Povprečna vrednost pospeška prostega padca za različne točke na zemeljskem površju je 9,81 m/s 2 . Poznavanje pospeška prostega pada in polmera Zemlje

(R З \u003d 6,38 10 6 m), lahko izračunate maso Zemlje M:

Pri odmiku od površine Zemlje se sila teže in pospešek prostega pada spreminjata obratno s kvadratom razdalje r do središča Zemlje. Slika ponazarja spremembo gravitacijske sile, ki deluje na astronavta v vesoljskem plovilu, ko se odmika od Zemlje. Predpostavlja se, da je sila, s katero astronavta pritegne Zemlja blizu njene površine, 700 N.

Slika 3. Sprememba gravitacijske sile, ki deluje na astronavta, ko se oddalji od Zemlje.

Primer sistema dveh medsebojno delujočih teles je sistem Zemlja-Luna. Luna se nahaja na razdalji r L = 3,84 10 6 m od Zemlje Ta razdalja je približno 60-krat večja od polmera Zemlje R З.

S takšnim pospeškom, usmerjenim proti središču Zemlje, se Luna premika po orbiti. Zato je ta pospešek centripetalni pospešek. Izračunamo ga lahko s pomočjo kinematične formule za centripetalni pospešek:

kjer je T = 27,3 dni. je obdobje vrtenja lune okoli zemlje. Sovpadanje rezultatov izračunov, izvedenih z različnimi metodami, potrjuje Newtonovo domnevo o enotni naravi sile, ki drži Luno v orbiti, in sile gravitacije. Lunino lastno gravitacijsko polje določa pospešek prostega pada g l na njeni površini. Masa Lune je 81-krat manjša od mase Zemlje, njen polmer pa je približno 3,7-krat manjši od polmera Zemlje. Zato je pospešek g l določen z izrazom:

Astronavti, ki so pristali na Luni, so se znašli v razmerah tako šibke gravitacije. Oseba v takšnih razmerah lahko naredi velikanske skoke. Na primer, če človek na Zemlji skoči na višino 1 m, potem bi na Luni lahko skočil na višino več kot 6 m.

1. Gibanje telesa pod vplivom gravitacije

Če na telo deluje samo sila teže, potem je telo v prostem padu. Vrsta poti gibanja je odvisna od smeri in modula začetne hitrosti. V tem primeru so možni naslednji primeri gibanja telesa:

1. Telo se lahko giblje po krožni ali eliptični orbiti okoli planeta.

2. Če je začetna hitrost telesa enaka nič ali vzporedna s silo težnosti, telo naredi ravni prosti padec.

3. Če je začetna hitrost telesa usmerjena pod kotom proti gravitaciji, se bo telo premikalo po paraboli ali po veji parabole.

1.1 Gibanje telesa po krožni ali eliptični orbiti okoli planeta

Poglejmo zdaj vprašanje umetnih zemeljskih satelitov. Umetni sateliti se premikajo izven zemeljske atmosfere, nanje pa delujejo le gravitacijske sile iz zemlje. Glede na začetno hitrost je lahko pot vesoljskega telesa različna. Tu bomo obravnavali le primer umetnega satelita, ki se giblje po krožni orbiti blizu Zemlje. Takšni sateliti letijo na višinah reda 200–300 km, razdalja do središča Zemlje pa je približno enaka njenemu polmeru R3. Nato centripetalni pospešek satelita, ki mu ga posredujejo sile gravitacije, je približno enak pospešku prostega padca g. Označimo hitrost satelita v orbiti blizu Zemlje skozi υ 1 . Ta hitrost se imenuje prva kozmična hitrost. Z uporabo kinematične formule za centripetalni pospešek dobimo:

S to hitrostjo bi satelit pravočasno krožil okoli Zemlje

Dejansko obdobje vrtenja satelita v krožni orbiti blizu zemeljske površine nekoliko presega določeno vrednost zaradi razlike med polmerom dejanske orbite in polmerom Zemlje. Gibanje satelita si lahko predstavljamo kot prosti padec, podobno kot gibanje izstrelkov ali balističnih raket. Edina razlika je v tem, da je hitrost satelita tako velika, da je polmer ukrivljenosti njegove poti enak polmeru Zemlje. Pri satelitih, ki se gibljejo po krožnih poteh na znatni razdalji od Zemlje, zemeljska gravitacija oslabi obratno s kvadratom polmera r poti. Hitrost satelita υ najdemo iz pogoja

Tako je pri visokih orbitah hitrost gibanja satelitov manjša kot v orbiti blizu Zemlje. Obhodna doba T takega satelita je

Tukaj je T 1 obdobje vrtenja satelita v orbiti blizu Zemlje. Orbitalna doba satelita se povečuje z naraščajočim orbitalnim polmerom. Preprosto je izračunati, da bo s polmerom orbite r, ki je enak približno 6,6R3, obdobje vrtenja satelita enako 24 ur. Satelit s takšnim obdobjem vrtenja, izstreljen v ravnini ekvatorja, bo nepremično visel nad določeno točko na zemeljski površini. Takšni sateliti se uporabljajo v vesoljskih radijskih komunikacijskih sistemih. Orbita s polmerom r = 6,6Rо se imenuje geostacionarna.

1.2 Gibanje telesa pod delovanjem gravitacije v navpični ravnini

Če je začetna hitrost telesa enaka nič ali vzporedna s silo težnosti, je telo v ravnem prostem padu.

Glavna naloga mehanike je, da v vsakem trenutku določi položaj telesa. Rešitev problema za delce, ki se gibljejo v zemeljskem gravitacijskem polju, so naslednje enačbe, v projekcijah na osi OX in OY:

Te formule so dovolj za rešitev kakršnega koli problema o gibanju telesa pod delovanjem gravitacije.

Telo je vrženo navpično navzgor

V tem primeru je v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0 , g y = -g.

Gibanje telesa v tem primeru bo potekalo v ravni črti in najprej navpično navzgor do točke, kjer hitrost postane nič, nato pa navpično navzdol.

Slika 4. Gibanje vrženega telesa navzgor.

Ko se telo pospešeno giblje v gravitacijskem polju, se teža telesa spremeni.

Teža telesa je sila, s katero telo deluje na oporo ali vzmetenje, pritrjeno nanj.

Teža telesa nastane kot posledica njegove deformacije, ki jo povzroči delovanje sile s strani podpore (reakcijska sila) ali vzmetenja (natezna sila). Teža se bistveno razlikuje od teže:

To so sile drugačne narave: gravitacija je gravitacijska sila, teža je elastična sila (elektromagnetne narave).

Nanašajo se na različna telesa: gravitacija - na telo, teža - na oporo.

sl.5. Točke uporabe teže in telesne teže.

Smer telesne teže ne sovpada nujno z navpično smerjo.

Sila težnosti telesa na določenem mestu na Zemlji je konstantna in ni odvisna od narave gibanja telesa; teža je odvisna od pospeška, s katerim se telo giblje.

Razmislite, kako se spreminja teža telesa, ki se giblje v navpični smeri skupaj z oporo. Na telo delujeta sila teže in reakcijska sila podpore.

sl.5. Sprememba telesne teže pri gibanju s pospeševanjem.

Osnovna enačba dinamike: . V projekciji na os Oy:

Po tretjem Newtonovem zakonu so moduli sil N p1 = P 1 . Zato je telesna teža P 1 = mg

, (telo doživlja preobremenitev).

Zato telesna teža

Če je a = g, potem je P = 0

Tako lahko telesno težo med navpičnim gibanjem na splošno izrazimo s formulo

Nepremično telo miselno razdelimo na vodoravne plasti. Na vsako od teh plasti vplivata gravitacija in teža zgornjega dela telesa. Ta teža bo toliko večja, kot je nižja plast. Zato se pod vplivom teže zgornjih delov telesa vsaka plast deformira in v njej nastanejo elastične napetosti, ki se s prehodom iz zgornjega v spodnji del telesa povečujejo.

Slika 6. Telo, razdeljeno na vodoravne plasti.

Če telo prosto pade (a = g), je njegova teža enaka nič, vse deformacije v telesu izginejo in kljub nadaljnjemu učinku gravitacije zgornje plasti ne bodo pritiskale na spodnje.

Stanje, v katerem deformacije in medsebojni pritiski izginejo v prosto gibljivem telesu, se imenuje breztežnost. Razlog za breztežnost je v tem, da sila univerzalne gravitacije daje enak pospešek telesu in njegovi podpori.

1.3 Gibanje telesa, če je začetna hitrost usmerjena pod kotom proti gravitaciji

Telo se vrže vodoravno, t.j. pravokotno na smer težnosti.

V tem primeru je v 0x \u003d v 0, g x \u003d 0, v 0y \u003d 0, g y \u003d - g, x 0 \u003d 0 in zato

Za določitev vrste poti, po kateri se bo telo v tem primeru premikalo, izrazimo čas t iz prve enačbe in ga nadomestimo z drugo enačbo. Kot rezultat dobimo kvadratno odvisnost y od x:

To pomeni, da se bo telo nato premikalo vzdolž veje parabole.

sl.7. Gibanje telesa, vrženega pod kotom na obzorje.

Kompleksno gibanje je tudi gibanje telesa, vrženega z določeno začetno hitrostjo υ o pod kotom α proti obzorju: enakomerno v vodoravni smeri in hkrati enakomerno pospešeno gibanje v navpični smeri pod delovanjem teže. Tako se giblje smučar pri skokih z odskočne deske, curku vode iz cevi itd.

sl.8. Curek vode iz cevi.

Preučevanje značilnosti takšnega gibanja se je začelo že precej dolgo nazaj, že v 16. stoletju, in je bilo povezano s pojavom in izboljšanjem topniških kosov.

Ideje o poti topniških granat v tistih dneh so bile precej smešne. Veljalo je, da je ta pot sestavljena iz treh odsekov: A - nasilno gibanje, B - mešano gibanje in C - naravno gibanje, pri katerem topovska krogla pade na sovražnikove vojake od zgoraj.

sl.9. Pot topniškega izstrelka.

Zakoni letenja izstrelkov niso pritegnili veliko pozornosti znanstvenikov, dokler niso izumili puške dolgega dosega, ki so pošiljale projektil skozi hribe ali drevesa - tako da strelec ni videl njihovega leta.

Sprva je bilo streljanje na ultradaleke iz takšnih pušk uporabljeno predvsem za demoralizacijo in ustrahovanje sovražnika, natančnost streljanja pa sprva ni igrala posebno pomembne vloge.

Blizu pravilne odločitve o letenju topovskih krogel je prišel italijanski matematik Tartaglia, ki je lahko pokazal, da je največji razpon izstrelkov mogoče doseči, ko je strel usmerjen pod kotom 45 ° proti obzorju. V njegovi knjigi Nova znanost so bila oblikovana pravila streljanja, ki so topničarje usmerjala vse do sredine 17. stoletja.

ampak, popolna rešitev težave, povezane s gibanjem teles, vrženih vodoravno ali pod kotom proti obzorju, izvajajo vsi isti Galileo. V svojem sklepanju je izhajal iz dveh glavnih idej: telesa, ki se gibljejo vodoravno in niso podvržena drugim silam, bodo ohranila svojo hitrost; pojav zunanjih vplivov bo spremenil hitrost premikajočega se telesa, ne glede na to, ali je bilo v mirovanju ali se premikalo pred začetkom njihovega delovanja. Galileo je pokazal, da so trajektorije izstrelkov, če zanemarimo zračni upor, parabole. Galileo je poudaril, da med dejanskim gibanjem školjk zaradi zračnega upora njihova pot ne bi bila več podobna paraboli: padajoča veja poti bi bila nekoliko bolj strma od izračunane krivulje.

Newton in drugi znanstveniki so razvili in izboljšali novo teorijo streljanja, pri čemer so upoštevali povečan vpliv sil zračnega upora na gibanje topniških granat. Pojavila se je tudi nova znanost - balistika. Minilo je veliko, veliko let in zdaj se izstrelki premikajo tako hitro, da že preprosta primerjava vrste poti njihovega gibanja potrjuje povečan vpliv zračnega upora.

sl.10. Idealna in dejanska pot izstrelka.

Na naši sliki je idealna trajektorija težkega izstrelka, izstreljenega iz topovske cevi z veliko začetno hitrostjo, prikazana s pikčasto črto, polna črta pa dejansko pot izstrelka pri enakih pogojih streljanja.

V sodobni balistiki se za reševanje tovrstnih problemov uporablja elektronska računalniška oprema - računalniki, za zdaj pa se bomo omejili na preprost primer - študij takšnega gibanja, pri katerem je zračni upor mogoče zanemariti. To nam bo omogočilo, da ponovimo Galilejevo razmišljanje skoraj brez sprememb.

Let nabojev in izstrelkov je primer gibanja teles, vrženih pod kotom proti obzorju. Natančen opis narave takšnega gibanja je možen le ob upoštevanju neke idealne situacije.

Poglejmo, kako se spremeni hitrost telesa, vrženega pod kotom α na obzorje, če ni zračnega upora. V celotnem času leta na telo deluje gravitacija. Na prvem odseku poti v smeri.

Slika 11. Sprememba hitrosti vzdolž trajektorije.

Na najvišji točki poti - v točki C - bo hitrost telesa najmanjša, usmerjena je vodoravno, pod kotom 90 ° na gravitacijsko črto. Na drugem delu poti se let telesa zgodi podobno kot gibanje vodoravno vrženega telesa. Čas gibanja od točke A do točke C bo enak času gibanja po drugem delu poti v odsotnosti zračnih upornih sil.

Če točki "meta" in "pristanka" ležita na isti vodoravni črti, potem lahko enako rečemo o hitrostih "meta" in "pristanka". Koti med površino Zemlje in smerjo hitrosti gibanja na točkah "meta" in "pristanka" bodo tudi v tem primeru enaki.

Domet leta AB telesa, vrženega pod kotom proti obzorju, je odvisno od vrednosti začetne hitrosti in kota meta. S konstantno hitrostjo metanja V 0 s povečanjem kota med smerjo hitrosti metanja in vodoravno površino od 0 do 45 ° se doseg leta poveča, z nadaljnjim povečanjem kota metanja pa se zmanjša. To je enostavno preveriti z usmerjanjem vodnega curka pod različnimi koti proti obzorju ali spremljanjem gibanja žoge, izstreljene iz vzmetne "puške" (takšne poskuse je enostavno narediti sami).

Pot takšnega gibanja je simetrična glede na najvišjo točko leta in pri nizkih začetnih hitrostih, kot je bilo že omenjeno, je parabola.

Največji doseg leta pri določeni hitrosti odhoda je dosežen pri kotu 45°. Ko je kot meta 30° ali 60°, je razpon letenja teles za oba kota enak. Za kota meta 75° in 15° bo domet leta spet enak, vendar manjši kot pri kotih meta 30° in 60°. To pomeni, da je najbolj "ugoden" kot za met na dolge razdalje kot 45 °; za vse druge vrednosti kota meta bo domet letenja manjši.

Če vržete telo z določeno začetno hitrostjo v o pod kotom 45 ° proti obzorju, bo njegov doseg leta dvakrat večji od največje višine telesa, vrženega navpično navzgor z enako začetno hitrostjo.

Največji razpon letenja S telesa, vrženega pod kotom α proti obzorju, je mogoče najti s formulo:

največja višina dviga H po formuli:

V odsotnosti zračnega upora bi največji doseg letenja ustrezal kotu nagiba puške cevi, ki je enak 45 °, vendar zračni upor bistveno spremeni trajektorijo gibanja in največji doseg leta ustreza drugačnemu kotu nagiba puške. cev puške - več kot 45 °. Vrednost tega kota je odvisna tudi od hitrosti izstreljene krogle. Če je hitrost izstreljene krogle 870 m/s, bo dejanski doseg leta približno 3,5 km in ne 77 km, kot kažejo "idealni" izračuni.

Ta razmerja kažejo, da razdalja, ki jo prepotuje telo v navpični smeri, ni odvisna od vrednosti začetne hitrosti - navsezadnje njena vrednost ni vključena v formulo za izračun višine H. In domet krogle v vodoravna smer bo večja, večja je njena začetna hitrost.

Preučimo gibanje telesa, vrženega z začetno hitrostjo v 0 pod kotom α proti obzorju, pri čemer ga obravnavamo kot materialno točko mase m. Hkrati bomo zanemarili zračni upor in upoštevali mora biti gravitacijsko polje enakomerno (Р=const), ob predpostavki, da sta doseg leta in višina poti majhna v primerjavi z zemeljskim polmerom.

Postavimo izhodišče O na začetni položaj točke. Usmerimo os O y navpično navzgor; vodoravno os O x bomo postavili v ravnino, ki poteka skozi O y in vektor v 0 , ter narisali os O z pravokotno na prvi dve osi. Potem bo kot med vektorjem v 0 in osjo O x enak α

Slika 12. Gibanje telesa, vrženega pod kotom na obzorje.

Upodobimo gibljivo točko M nekje na poti. Na točko deluje samo gravitacija, katere projekcije na koordinatne osi so: P x \u003d 0, P y \u003d-P \u003d mg, P Z \u003d 0

Zamenjava teh količin v diferencialne enačbe in opazovanje tega itd. po zmanjšanju za m dobimo:

Če pomnožimo obe strani teh enačb z dt in integriramo, najdemo:

Začetni pogoji v našem problemu imajo obliko:

x=0,

y=0,

Če bomo izpolnili začetne pogoje, bomo imeli:

Če te vrednosti S 1 , С 2 in С 3 nadomestimo v zgoraj najdeno rešitev in zamenjamo V x , V Y , V z z, bomo prišli do enačb:

Če integriramo te enačbe, dobimo:

Z zamenjavo začetnih podatkov dobimo C 4 = C 5 = C 6 = 0 in končno najdemo enačbe gibanja točke M v obliki:

Iz zadnje enačbe sledi, da se gibanje dogaja v ravnini O xy

Z enačbo gibanja točke je mogoče s kinematičnimi metodami določiti vse značilnosti danega gibanja.

1. Točkovna pot. Če izločimo čas t iz prvih dveh enačb (1), dobimo enačbo za točkovno trajektorijo:

(2)

To je enačba parabole z osjo, vzporedno z osjo O y. Tako se težka točka, vržena pod kotom na obzorje, premika v vakuumu vzdolž parabole (Galileo).

2. Vodoravni razpon. Določimo vodoravni razpon, t.j. razdalja OS=X, izmerjena vzdolž osi O x. Ob predpostavki enakosti (2) y=0 poiščemo presečišča poti z osjo О x. Iz enačbe:

dobimo

Prva rešitev daje točko O, druga točka C. Zato X = X 2 in končno

(3)

Iz formule (3) je razvidno, da bo enako vodoravno območje X pridobljeno pri kotu β, za katerega je 2β=180° - 2α , t.j. če je kot β=90°-α . Zato je za dano začetno hitrost v 0 eno in isto točko C mogoče doseči z dvema trajektorijama: ravnim (α<45°) и навесной (β=90°-α>45°)

Za dano začetno hitrost v 0 je največji vodoravni razpon v brezzračnem prostoru dosežen, ko je sin 2 α = 1, tj. pod kotom α=45°.

potem je tu višina poti H:

(4)

Čas letenja. Iz prve enačbe sistema (1) sledi, da je skupni čas letenja T določen z enakostjo Če tukaj zamenjamo X z njegovo vrednostjo, dobimo

Pri kotu največjega območja α=45° so vse najdene vrednosti enake:

Dobljeni rezultati so praktično zelo uporabni za okvirno določanje lastnosti letenja izstrelkov (projektilov) z dosegom reda 200–600 km, saj na teh razdaljah (in pri ) izstrelek prepotuje večino svoje poti v stratosferi, kjer zračni upor lahko zanemarimo. Na krajših razdaljah bo na rezultat močno vplival zračni upor, pri razdaljah nad 600 km pa gravitacije ne moremo več šteti za konstantno.

Gibanje telesa, vrženega z višine h.

Iz puške, nameščene na višini h, je bil izstreljen strel pod kotom α proti obzorju. Jedro je poletelo iz cevi pištole s hitrostjo u. Definirajmo enačbe gibanja jedra.

Slika 13. Gibanje telesa, vrženega z višine.

Da bi pravilno sestavili diferencialne enačbe gibanja, je treba takšne probleme rešiti po določeni shemi.

a) Dodelite koordinatni sistem (število osi, njihova smer in izvor). Dobro izbrane osi poenostavljajo odločitev.

b) Pokaži točko na vmesnem položaju. V tem primeru je treba zagotoviti, da morajo biti koordinate takega položaja pozitivne.

c) Pokažite sile, ki delujejo na točko v tem vmesnem položaju (ne prikazujte vztrajnostnih sil!).

V tem primeru je to samo sila, teža jedra. Zračni upor se ne bo upošteval.

d) Sestavite diferencialne enačbe po formulah:

Od tu dobimo dve enačbi: in .

e) Rešite diferencialne enačbe.

Tukaj dobljene enačbe so linearne enačbe drugega reda, na desni strani so konstante. Rešitev teh enačb je elementarna.

Ostaja še najti stalne integracije. Začetne pogoje zamenjamo (pri t = 0, x = 0, y = h, ,) v te štiri enačbe: ,,

0 = C 2, h \u003d D 2.

Vrednosti konstant nadomestimo v enačbe in zapišemo enačbe gibanja točke v končni obliki

S temi enačbami, kot je znano iz oddelka kinematike, je mogoče kadar koli določiti trajektorijo jedra, hitrost in pospešek ter položaj jedra.

Kot lahko vidite iz tega primera, je shema za reševanje problemov precej preprosta. Težave se lahko pojavijo le pri reševanju diferencialnih enačb, kar se lahko izkaže za težavno.

Tukaj je sila sila trenja. Če je črta, vzdolž katere se točka premika, gladka, potem je T = 0 in potem bo druga enačba vsebovala samo eno neznano - koordinato s:

Z reševanjem te enačbe dobimo zakon gibanja točke in s tem, če je potrebno, tako hitrost kot pospešek. Prva in tretja enačba (5) nam bosta omogočili, da najdemo reakcije in .

2. Gibanje telesa v mediju z uporom

upor proti gibanju balistika eliptična orbita

Ena najpomembnejših nalog aero- in hidrodinamike je preučevanje gibanja trdnih snovi v plinu in tekočini. Zlasti preučevanje sil, s katerimi medij deluje na gibajoče se telo. Ta problem je postal še posebej pomemben v povezavi s hitrim razvojem letalstva in povečanjem hitrosti ladij. Na telo, ki se giblje v tekočini ali plinu, delujeta dve sili (označujemo njuno rezultanto R), od katerih je ena (R x) usmerjena v nasprotni smeri gibanja telesa (v smeri toka), je upora, druga (R y) pa je pravokotna na to smer je dvižna sila.

kjer je ρ gostota medija; υ je hitrost telesa; S je največji prerez telesa.

Dvižno silo je mogoče določiti s formulo:

Kjer je C y brezdimenzionalni koeficient dviga.

Če je telo simetrično in njegova simetrična os sovpada s smerjo hitrosti, potem nanj deluje le čelni upor, medtem ko je dvižna sila v tem primeru enaka nič. Lahko se dokaže, da v idealna tekočina enakomerno gibanje poteka brez čelnega upora. Če upoštevamo gibanje cilindra v takšni tekočini, je vzorec tokovnih linij simetričen in nastala tlačna sila na površini cilindra bo enaka nič.

Situacija je drugačna, ko se telesa gibljejo v viskozni tekočini (zlasti ko se hitrost toka poveča). Zaradi viskoznosti medija v območju, ki meji na površino telesa, nastane mejna plast delcev, ki se premikajo z nižjimi hitrostmi. Zaradi upočasnjevalnega delovanja te plasti pride do vrtenja delcev in gibanje tekočine v mejnem sloju postane vrtinčno. Če telo nima poenostavljene oblike (ni gladko tanjšega repa), je mejna plast tekočine ločena od površine telesa. Za telesom je tok tekočine ali plina, usmerjen nasproti prihajajočemu toku. Odstranjena mejna plast, ki sledi temu toku, tvori vrtince, ki se vrtijo v nasprotnih smereh. Upor je odvisen od oblike telesa in njegovega položaja glede na tok, ki ga upošteva koeficient upora. Viskoznost (notranje trenje) je lastnost pravih tekočin, da se uprejo gibanju enega dela tekočine glede na drugega. Ko se nekatere plasti prave tekočine premikajo glede na druge, nastanejo sile notranjega trenja F, usmerjene tangencialno na površino plasti. Delovanje teh sil se kaže v tem, da s strani, ki se giblje hitreje, na plast, ki se premika počasneje, vpliva pospeševalna sila. S strani plasti, ki se giblje počasneje, na plast, ki se giblje hitreje, vpliva upočasnjevalna sila. Notranja sila trenja F je večja, večja je obravnavana površina S površine plasti in je odvisna od tega, kako hitro se spreminja hitrost toka tekočine pri premikanju iz plasti v plast. Vrednost prikazuje, kako hitro se spreminja hitrost pri premikanju iz plasti v plast v smeri x, pravokotno na smer gibanja plasti, in se imenuje gradient hitrosti. Tako je modul sile notranjega trenja

kjer je koeficient sorazmernosti η, odvisen od narave tekočine. imenujemo dinamična viskoznost.

Večja kot je viskoznost, bolj se tekočina razlikuje od idealne, večje so sile notranjega trenja v njej. Viskoznost je odvisna od temperature in narava te odvisnosti za tekočine in pline je drugačna (pri tekočinah se η z naraščanjem temperature zmanjšuje, pri plinih, nasprotno, narašča), kar kaže na razliko v mehanizmih notranjega trenja v njih. .

3. Uporaba zakonov gibanja telesa pod delovanjem gravitacije ob upoštevanju upora medija v balistiki

Glavna naloga balistike je ugotoviti, pod kakšnim kotom na obzorje in s kakšno začetno hitrostjo mora leteti krogla določene mase in oblike, da doseže cilj.

Oblikovanje poti.

Med strelom se krogla, ki je ob vzletu iz izvrtine prejela določeno začetno hitrost pod delovanjem smodnih plinov, nagiba k ohranjanju velikosti in smeri te hitrosti po vztrajnosti, granata, ki ima reaktivni motor, pa se premika po vztrajnosti po izlivu plinov iz reaktivnega motorja. Če bi let naboja (granate) potekal v brezzračnem prostoru in nanj ne bi delovala gravitacija, bi se krogla (granata) premikala v ravni črti, enakomerno in neskončno. Vendar pa na kroglo (granato), ki leti v zraku, vplivajo sile, ki spreminjajo hitrost njenega leta in smer gibanja. Te sile sta gravitacija in zračni upor.

Zaradi skupnega delovanja teh sil krogla izgubi hitrost in spremeni smer svojega gibanja ter se v zraku premika po ukrivljeni črti, ki poteka pod smerjo osi izvrtine.

Ukrivljena črta, ki v prostoru opisuje težišče premikajoče se krogle (izstrelka) med letom, se imenuje trajektorija. Običajno balistika upošteva trajektorijo nad (ali pod) obzorjem orožja - namišljeno neskončno vodoravno ravnino, ki poteka skozi izhodiščno točko. Gibanje krogle in s tem oblika poti sta odvisna od številnih pogojev. Na kroglo, ki leti po zraku, delujeta dve sili: gravitacija in zračni upor. Sila težnosti povzroči, da se krogla postopoma spušča, sila zračnega upora pa nenehno upočasnjuje gibanje krogle in jo nagiba k prevrnitvi. Zaradi delovanja teh sil se hitrost leta postopoma zmanjšuje, njegova pot pa je neenakomerno ukrivljena ukrivljena črta.

Delovanje gravitacije.

Predstavljajmo si, da na kroglo, potem ko zapusti izvrtino, deluje le ena sila težnosti. Nato bo začel padati navpično navzdol, kot vsako prosto padajoče telo. Če predpostavimo, da gravitacija deluje na kroglo med njenim letom po vztrajnosti v brezzračnem prostoru, potem bo pod vplivom te sile krogla padla nižje od nadaljevanja osi izvrtine: v prvi sekundi - za 4,9 m, v drugo sekundo - za 19,6 m itd. V tem primeru, če usmerite cev orožja na tarčo, je krogla nikoli ne bo zadela, ker bo pod težnostjo letela pod tarčo. Povsem očitno je, da je treba kroglo, da prepotuje določeno razdaljo in zadene tarčo, usmeriti cev orožja nekam nad tarčo, tako da pot krogle, ki se upogne pod vplivom gravitacije, prečka središče tarče. Za to je potrebno, da os izvrtine in ravnina obzorja orožja sestavljata določen kot, ki se imenuje višinski kot. Pot krogle v brezzračnem prostoru, na katero deluje sila gravitacije, je pravilna krivulja, ki ji pravimo parabola. Najvišja točka poti nad obzorjem orožja se imenuje njegov vrh. Del krivulje od točke odhoda do vrha se imenuje naraščajoča veja poti, od vrha do točke padanja pa padajoča veja. Za takšno trajektorijo krogle je značilno, da sta vzpenjajoča in padajoča veja popolnoma enaka, kot meta in padca pa sta si enaka.

Delovanje sile zračnega upora.

Na prvi pogled se zdi malo verjetno, da bi zrak, ki ima tako nizko gostoto, lahko zagotovil znaten upor gibanju krogle in s tem znatno zmanjšal njeno hitrost. Vendar ima zračni upor močan upočasnjevalni učinek na kroglo in zato izgubi svojo hitrost. Zračni upor pri letu krogle je posledica dejstva, da je zrak elastičen medij in zato del energije krogle porabimo za gibanje v tem mediju. Silo zračnega upora povzročajo trije glavni vzroki: zračno trenje, nastanek vrtincev in nastanek balističnega vala.

Kot kažejo fotografije krogle, ki leti z nadzvočno hitrostjo (nad 340 m/s), se pred njeno glavo oblikuje zračna tesnila. Od tega zbitja se val glave razhaja v vse smeri. Delci zraka, ki drsijo po površini krogle in se odcepijo od njenih stranskih sten, tvorijo območje redkega prostora za dnom krogle, zaradi česar se na glavi in dnu krogle pojavi razlika v tlaku. Ta razlika ustvarja silo, usmerjeno v stran, nasprotno gibanju krogle, in zmanjša hitrost njenega leta. Delci zraka, ki poskušajo zapolniti praznino, ki je nastala za kroglo, ustvarijo vrtinec, zaradi česar se repni val razteza za dnom krogle.

Zbijanje zraka pred glavo krogle upočasni njen let; redka cona za kroglo jo posesa vase in s tem dodatno okrepi zaviranje; k vsemu temu stene krogle doživijo trenje ob zračne delce, kar tudi upočasni njen let. Rezultanta teh treh sil je sila zračnega upora. Krogla (granata) med letom trči v zračne delce in povzroči njihovo nihanje. Posledično se poveča gostota zraka pred kroglo (granato) in nastanejo zvočni valovi. Zato let naboja (granate) spremlja značilen zvok. Pri hitrosti leta krogle (granate), ki je manjša od hitrosti zvoka, nastajanje teh valov malo vpliva na njen let, saj se valovi širijo hitreje od hitrosti leta krogle (granate). Ko je hitrost krogle višja od hitrosti zvoka, se iz vdora zvočnih valov drug proti drugemu ustvari val močno stisnjenega zraka - balistični val, ki upočasni hitrost krogle, saj krogla porabi del svojo energijo za ustvarjanje tega vala.

Rezultanta (skupaj) vseh sil, ki izhajajo iz vpliva zraka na let naboja (granate), je sila zračnega upora. Točka delovanja uporne sile se imenuje središče upora.

Vpliv zračnega upora na let krogle je zelo velik - povzroči zmanjšanje hitrosti in dosega krogle.

Učinek zračnega upora na kroglo.

Velikost sile zračnega upora je odvisna od hitrosti leta, oblike in kalibra krogle, pa tudi od njene površine in gostote zraka.

Sila zračnega upora se povečuje s povečanjem kalibra krogle, njene hitrosti leta in gostote zraka. Da bi zračni upor med letom manj upočasnil kroglo, je povsem očitno, da je treba zmanjšati njen kaliber in povečati njegovo maso. Ti premisleki so privedli do potrebe po uporabi podolgovatih krogel v osebnem orožju in ob upoštevanju nadzvočne hitrosti krogle, ko je glavni vzrok zračnega upora nastanek zračnega tesnila pred glavo (balistični val), krogle z podolgovato koničasto glavo so ugodne. Pri podzvočnih hitrostih letenja granat, ko je glavni vzrok zračnega upora nastanek redkega prostora in turbulence, so koristne granate s podolgovatim in zoženim repnim delom.

Bolj gladka je površina krogle, manjša je sila trenja in sila zračnega upora.

Raznolikost oblik sodobnih krogel je v veliki meri odvisna od potrebe po zmanjšanju sile zračnega upora.

Če bi let krogle potekal v brezzračnem prostoru, bi bila smer njene vzdolžne osi nespremenjena in krogla bi padla na tla ne z glavo, ampak z dnom.

Ko pa na kroglo deluje sila zračnega upora, bo njen let povsem drugačen. Pod vplivom začetnih motenj (udarcev) v trenutku, ko krogla zapusti izvrtino, nastane kot med osjo krogle in tangento na trajektorijo, sila zračnega upora pa ne deluje vzdolž osi krogle, temveč pod kotom. ji skuša ne le upočasniti gibanje krogle, ampak jo tudi prevrniti. Prvi trenutek, ko krogla zapusti izvrtino, jo zračni upor le upočasni. Toda takoj, ko začne krogla padati pod delovanjem gravitacije, bodo delci zraka začeli pritiskati ne le na del glave, ampak tudi na njegovo stransko površino.

Bolj ko gre krogla navzdol, bolj bo izpostavila svojo stransko površino zračnemu uporu. In ker zračni delci izvajajo veliko večji pritisk na glavo krogle kot na rep, se nagibajo k nagnjenju glave krogle nazaj.

Posledično sila zračnega upora ne le upočasni kroglo med njenim letom, ampak tudi nagne njeno glavo nazaj. Večja kot je hitrost krogle in daljša kot je, močnejši ima zrak nanjo prevračanje. Povsem razumljivo je, da se bo ob takšnem delovanju zračnega upora krogla med letom začela prevrniti. Hkrati bo krogla z izpostavljanjem zraka na eno ali drugo stran hitro izgubila hitrost, zaradi česar bo doseg leta majhen, natančnost bitke pa nezadovoljiva.

Zaključek

V vseh obravnavanih primerih je na telo delovala enaka sila teže. Vendar so bila gibanja videti drugače. To je razloženo z dejstvom, da je narava gibanja katerega koli telesa v danih pogojih odvisna od njegovega začetnega stanja. Ni zaman, da vse enačbe, ki smo jih dobili, vsebujejo začetne koordinate in začetne hitrosti. Če jih spreminjamo, lahko naredimo, da gre telo navzgor ali navzdol v ravni črti, se premika po paraboli in doseže njen vrh ali pade po njej navzdol; lahko bolj ali manj upognemo lok parabole itd. In hkrati je vso to raznolikost gibov mogoče izraziti v eni preprosti formuli:

Bibliografija

1. Gershenzon E.M., Malov N.N. Tečaj splošne fizike. M. Izobraževanje, 1995.

2. Rymkevich P.A. Tečaj fizike. M. Razsvetljenje, 1975

3. Saveliev I.V. Tečaj splošne fizike. M. Izobraževanje, 1983.

4. Trofimova T.I. Tečaj fizike. M. Razsvetljenje, 1997

5. Chertov A.G., Vorobyov A.A. Naloga iz fizike. M. Izobraževanje, 1988.

Tema. Sila gravitacije. Gibanje telesa pod vplivom gravitacije

Namen ure: dati učencem predstavo o pojmu gravitacije; razumeti naravo te sile. Seznaniti jih z gibanjem telesa pod vplivom gravitacije

Vrsta lekcije: učenje nove snovi

Učni načrt

Nadzor znanja		1. Zakon univerzalne gravitacije. 2. Fizični pomen gravitacijske konstante. 3. Meje uporabnosti zakona univerzalne gravitacije
Demonstracije		1. Padanje teles na tla. 2. Težišče teles. 3. Gibanje telesa, vrženega navpično gor in dol.
Učenje nove snovi		1. Sila težnosti in težišče. 2. Pospešek prostega pada. 3. Gibanje telesa navpično. 4. Gibanje vodoravno vrženega telesa. 5. Gibanje telesa, vrženega pod kotom na obzorje
Utrjevanje preučenega gradiva		1. Treniramo se za reševanje problemov. 2. Varnostna vprašanja

ŠTUDI NOVO GRADIVO

Kamen, ki pade s pečine, in žoga, vržena navpično navzgor, se premikata v ravni črti. Ko se na obali pospeši, človek skoči v vodo, medtem ko je pot njenega telesa polovica parabole. Izstrelek, izstreljen iz topa pod kotom proti obzorju, bo opisal tudi parabolo v vesolju. Pot zemeljskega satelita je zelo blizu kroga. Gibanje vseh teh teles poteka pod vplivom gravitacije. Zakaj se ti gibi med seboj tako razlikujejo? Očitno so razlog različni začetni pogoji.

Če na telo deluje samo gravitacija, potem po Newtonovem drugem zakonu m \u003d m ali m \u003d m. To pomeni, da se telo pod delovanjem gravitacije premika s pospeškom g (a = g). V tem primeru ima enačba za odvisnost hitrosti od časa obliko: = 0 + t .

Ta enačba kaže, da je hitrost telesa v ravnini, ki jo tvorita vektorja 0 in , zato za opis takih premikov zadostuje dvodimenzionalni koordinatni sistem.

Razmislite o gibanju telesa navpično: telo se vrže navpično navzgor (slika a), telo pa pade navpično navzdol (slika b).

V tem primeru bo pot telesa odsek ravne črte, saj vzdolž osi Ox ni gibanja (0x = 0, x = x0).

Ker med premikanjem navzgor potem bodo enačbe gibanja imele naslednjo obliko:

Podobno med gibanjem vrženega telesa, enačbe bodo izgledale takole:

1. Na podlagi katerega zakona je mogoče trditi, da je sila teže sorazmerna z maso telesa?

2. Kako je pospešek teže odvisen od višine nad zemeljskim površjem?

3. S kakšnim pospeškom se premika vodoravno vrženo telo?

4. Ali je čas letenja telesa, vrženega vodoravno, odvisen od vrednosti začetne hitrosti?

5. Ali lahko gibanje telesa, vrženega pod kotom na obzorje, štejemo za enakomerno pospešeno?

6. Kaj je skupnega pri gibanju teles, vrženih navpično navzgor in pod kotom na obzorje?

KONFIGURACIJA ŠTUDIJSKOG GRADIVA

1. Izračunaj maso Zemlje, če je znano, da je njen polmer 6400 km.

2. Izračunaj pospešek prostega padca na višini, ki je enaka polmeru Zemlje.

3. S kakšno hitrostjo naj se telo vrže vodoravno z določene višine, da je doseg leta enak višini, s katere se telo vrže?

4. Kamen, vržen vodoravno s strehe hiše s hitrostjo 15 m/s, je padel na tla pod kotom 60° na obzorje. Kakšna je višina hiše?

5. Kamen, vržen pod kotom 30° proti obzorju, je dvakrat obiskal isto višino: 3 s in 5 s po začetku gibanja. Izračunajte začetno hitrost metanja in največjo višino dviga.

1. Zakaj pospešek prostega pada pada z naraščanjem višine nad zemeljskim površjem?

2. Ali se lahko telo pod vplivom težnosti premika po krogu? Utemelji svoj odgovor.

3. Kaj je skupnega pri gibanju teles, vrženih navpično navzgor in pod kotom na obzorje?

4. Kako se bosta spremenila čas in domet leta telesa, vrženega vodoravno z določene višine, če se hitrost metanja podvoji?

5. Telo, vrženo pod kotom 30° na obzorje, je padlo na določeno točko na površini zemlje. Pod kakšnim kotom je treba drugo telo vreči z enako začetno hitrostjo, da pade na isto točko kot prvo?

Kaj smo se naučili v lekciji

Sila, s katero Zemlja privlači katero koli telo, se imenuje gravitacija.

Sila gravitacije, ki deluje na telo, je sorazmerna z maso tega telesa.

Točka uporabe sile težnosti, ki deluje na telo, za kateri koli njegov položaj v prostoru, se imenuje težišče.

Pospešek prostega padca je:

Če na telo deluje samo gravitacija, ima enačba za odvisnost telesne hitrosti od časa obliko:

Telo, vrženo vodoravno, se premika vzdolž parabole, katere vrh je na Izhodišče premikanje.

Čas letenja in doseg vodoravno vrženega telesa se izračunata po formulah:

Med gibanjem telesa, vrženega pod kotom proti obzorju:

a) višina telesa -

b) domet leta telesa -

c) največji doseg leta je dosežen, če je kot = 45°.

p1) - 7,8; 7,21; 7,28, 8,6; 8,7;

p2) - 7,54; 7,55; 7.56. 8,13, 8,14;

p3) - 7,75; 7,81; 8,34; 8.39, 8.40.

Cilji:

Nadaljevanje seznanjanja z različnimi enakomerno pospešenimi gibi.
Naučiti se primerjati različne vrste gibov, iskanje skupnih lastnosti in razlik, sposobnost sklepanja iz opazovanih pojavov.
Seznaniti se z metodologijo reševanja problemov na to temo, pokazati univerzalnost zakonitosti, ki se uporabljajo pri reševanju problemov.
Širjenje obzorij.

Faze pouka:

Faza določanja namena lekcije
Faza posodabljanja znanja
Faza pridobivanja novega znanja na temo "Gibanje teles pod vplivom gravitacije"
Faza priprave na reševanje problemov
Faza fiksiranja gradiva v procesu reševanja križanke, nalog, testov
Domača naloga

Spremljevalne lekcije:

Predstavitev "Gibanje teles pod vplivom gravitacije."
Filmski posnetki.
Izkušnje.

Oprema za pouk:

računalniški razred
video projektor
Elektronsko didaktično gradivo za študente
Naprave: Newtonova cev, kovinski in papirnati diski

MED POUKOM

JAZ. Od danes naprej bomo obravnavali naravo in zakonitosti gibanja teles, na katere vpliva le gravitacija. Pod delovanjem gravitacije je lahko več vrst gibanj: gibanje teles, vrženih navpično navzgor, navpično navzdol, vodoravno, pod kotom proti obzorju. Pomena poznavanja teh zakonov ni mogoče podcenjevati. Pojasnjujejo gibanje padalcev, izstrelkov, smučarskih skakalcev itd.

Prosto gibanje teles ima naslednjo lastnost: telo, vrženo vodoravno in preprosto spuščeno z iste ravni, hkrati pade. Na modelu zasledimo gibanje takšnih teles.

Na zadnjih diapozitivih predstavitve št. 18,19, 20, 21 so predstavljeni filmski fragmenti (gl. Dodatek 6 ):

Glavna naloga mehanike in gibanje teles, vrženih pod kotom proti obzorju,
Padec granat, vrženih z letala,
let balističnih raket,
Let vesoljske rakete.

Filmske posnetke lahko uporabite pred začetkom teme, da ustvarite zanimiv element, na sredini, da upravičite premislek o teh vrstah gibov, ali na koncu pri povzetku.

Glavna naloga mehanike je, da v vsakem trenutku določi položaj telesa. Rešitev problema za delce, ki se gibljejo v zemeljskem gravitacijskem polju, so enačbe v projekcijah na osi OX in OY:

Te formule so dovolj za rešitev kakršnega koli problema o gibanju telesa pod delovanjem gravitacije.

A) Telo se vrže navpično navzgor

V tem primeru v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = - g .

Gibanje telesa v tem primeru bo potekalo v ravni črti in najprej navpično navzgor do točke, kjer hitrost postane nič, nato pa navpično navzdol.

B) Telo se vrže vodoravno

Pri čemer v 0x \u003d v 0, g x \u003d 0, v 0y \u003d 0, g y \u003d - g, x 0 \u003d 0, in zato

Za določitev vrste poti, po kateri se bo telo v tem primeru premikalo, izrazimo čas t iz prve enačbe in jo nadomestimo z drugo enačbo. Kot rezultat dobimo kvadratno odvisnost pri od X:

To pomeni, da se bo telo nato premikalo vzdolž veje parabole.

C) Telo se vrže pod kotom na vodoravno ravnino

V tem primeru v 0 x \u003d v 0 z osα, g x \u003d 0, v 0y \u003d v 0 sin α, g y \u003d - g, x 0 \u003d y 0 \u003d 0, in zato

V vseh obravnavanih primerih je na telo delovala enaka sila teže. Vendar so bila gibanja videti drugače. To je razloženo z dejstvom, da je narava gibanja katerega koli telesa v danih pogojih odvisna od njegovega začetnega stanja. Ni zaman, da vse enačbe, ki smo jih dobili, vsebujejo začetne koordinate in začetne hitrosti. Če jih spreminjamo, lahko naredimo, da gre telo navzgor ali navzdol v ravni črti, se premika po paraboli in doseže njen vrh ali pade po njej navzdol; lok parabole lahko bolj ali manj upognemo, itd. In hkrati lahko vso to pestrost gibov izrazimo v eni preprosti formuli.

Številne pojave je razloženo z delovanjem sil univerzalne gravitacije v naravi: gibanje planetov v sončnem sistemu, umetni sateliti Zemlje, poti letenja balističnih raket, gibanje teles blizu površine Zemlje - vse od njih so razložene na podlagi zakona univerzalne gravitacije in zakonov dinamike.

Zakon univerzalne gravitacije pojasnjuje mehansko napravo solarni sistem, iz njega pa je mogoče izpeljati Keplerjeve zakone, ki opisujejo poti planetov. Za Keplerja so bili njegovi zakoni zgolj deskriptivni - znanstvenik je svoja opažanja preprosto posplošil v matematični obliki, ne da bi pod formule vključil kakršne koli teoretične temelje. V velikem sistemu svetovnega reda po Newtonu postanejo Keplerjevi zakoni neposredna posledica univerzalnih zakonov mehanike in zakona univerzalne gravitacije. Se pravi, ponovno opazimo, kako se empirični zaključki, pridobljeni na eni ravni, spremenijo v strogo utemeljene logične zaključke, ko se premaknemo na naslednji korak pri poglabljanju našega znanja o svetu.

Newton je bil prvi, ki je predlagal, da gravitacijske sile ne določajo le gibanja planetov sončnega sistema; delujejo med vsemi telesi vesolja. Ena od manifestacij sile univerzalne gravitacije je sila gravitacije - tako je običajno imenovati silo privlačnosti teles na Zemljo blizu njene površine.

Če je M masa Zemlje, RЗ njen polmer, m masa danega telesa, potem je sila teže enaka

kjer je g pospešek prostega padca na zemeljski površini

Sila gravitacije je usmerjena proti središču zemlje. V odsotnosti drugih sil telo prosto pade na Zemljo s pospeškom prostega padca.

Povprečna vrednost gravitacijskega pospeška za različne točke na zemeljskem površju je 9,81 m/s2. Če poznamo pospešek prostega pada in polmer Zemlje (RЗ = 6,38 106 m), lahko izračunamo maso Zemlje

Sliko strukture sončnega sistema, ki izhaja iz teh enačb in združuje zemeljsko in nebesno gravitacijo, je mogoče razumeti s preprostim primerom. Recimo, da stojimo na robu strme pečine, poleg topa in hriba topovskih krogel. Če jedro preprosto spustite z roba pečine navpično, bo začelo padati navpično in enakomerno pospešeno. Njegovo gibanje bomo opisali z Newtonovimi zakoni za enakomerno pospešeno gibanje telesa s pospeškom g. Če zdaj spustite jedro iz topa v smeri obzorja, bo poletelo - in bo padlo v loku. In v tem primeru bo njegovo gibanje opisano z Newtonovimi zakoni, le da se zdaj uporabljajo za telo, ki se giblje pod vplivom gravitacije in ima določeno začetno hitrost v vodoravni ravnini. Zdaj, ko večkrat nalagate težjo topovsko kroglo v top in jo izstrelite, boste ugotovili, da ko vsaka naslednja topovska krogla zapusti cev z višjo začetno hitrostjo, topovske krogle padajo vedno dlje od dna pečine.

Zdaj pa si predstavljajmo, da smo v top natlačili toliko smodnika, da je hitrost topovske krogle dovolj za oblet zemeljske oble. Če zanemarimo zračni upor, se bo topovska krogla, ko je obletela Zemljo, vrnila na izhodiščno točko s popolnoma enako hitrostjo, s katero je prvotno poletela iz topa. Kaj se bo zgodilo potem je jasno: jedro se tam ne bo ustavilo in se bo še naprej vijalo krog za krogom okoli planeta.

Z drugimi besedami, dobili bomo umetni satelit, ki kroži okoli Zemlje, kot naravni satelit - Luna.

Tako smo korak za korakom prešli od opisovanja gibanja telesa, ki pade izključno pod vplivom »zemeljske« gravitacije (newtonsko jabolko), k opisu gibanja satelita (Lune) v orbiti, ne da bi spremenili naravo gravitacijskega vpliva. od »zemeljskega« do »nebeškega«. Prav ta vpogled je Newtonu omogočil, da poveže dve sili gravitacijske privlačnosti, ki sta bili pred njim različni po naravi.

Pri odmiku od površine Zemlje se sila teže in pospešek prostega pada spreminjata obratno s kvadratom razdalje r do središča Zemlje. Primer sistema dveh medsebojno delujočih teles je sistem Zemlja-Luna. Luna se nahaja na razdalji rL = 3,84 106 m od Zemlje, ta razdalja je približno 60-krat večja od polmera Zemlje RЗ. Posledično je pospešek prostega pada aL zaradi Zemljine gravitacije v orbiti Lune

S takšnim pospeškom, usmerjenim proti središču Zemlje, se Luna premika po orbiti. Zato je ta pospešek centripetalni pospešek. Lahko se izračuna iz kinematične formule za centripetalni pospešek

kjer je T = 27,3 dni obdobje vrtenja Lune okoli Zemlje.

Sovpadanje rezultatov izračunov, izvedenih z različnimi metodami, potrjuje Newtonovo domnevo o enotni naravi sile, ki drži Luno v orbiti, in sile gravitacije.

Lunino lastno gravitacijsko polje določa pospešek prostega pada gL na njeni površini. Masa Lune je 81-krat manjša od mase Zemlje, njen polmer pa je približno 3,7-krat manjši od polmera Zemlje.

Zato je pospešek gL določen z izrazom

Razmislite o vprašanju umetnih zemeljskih satelitov. Umetni Zemljini sateliti se premikajo izven Zemljine atmosfere, nanje pa delujejo le gravitacijske sile z Zemlje.

Glede na začetno hitrost je lahko pot vesoljskega telesa različna. Razmislite o primeru umetnega satelita, ki se giblje po krožni orbiti blizu Zemlje. Takšni sateliti letijo na višinah reda 200–300 km, razdalja do središča Zemlje pa je približno enaka njenemu polmeru R3. Potem je centripetalni pospešek satelita, ki mu ga posredujejo gravitacijske sile, približno enak gravitacijskemu pospešku g. Hitrost satelita v orbiti blizu Zemlje označujemo z υ1 - to hitrost imenujemo prva kozmična hitrost. Z uporabo kinematične formule za centripetalni pospešek dobimo

S to hitrostjo bi satelit pravočasno krožil okoli Zemlje

Pri satelitih, ki se gibljejo po krožnih poteh na znatni razdalji od Zemlje, zemeljska gravitacija oslabi obratno s kvadratom polmera r poti. Tako je pri visokih orbitah hitrost gibanja satelitov manjša kot v orbiti blizu Zemlje.

Orbitalna doba satelita se povečuje z naraščajočim orbitalnim polmerom. Preprosto je izračunati, da bo s polmerom orbite r, ki je enak približno 6,6 R3, obdobje vrtenja satelita enako 24 ur. Satelit s takšnim obdobjem vrtenja, izstreljen v ravnini ekvatorja, bo nepremično visel nad določeno točko na zemeljski površini. Takšni sateliti se uporabljajo v vesoljskih radijskih komunikacijskih sistemih. Orbita s polmerom r = 6,6 R3 se imenuje geostacionarna.

Druga kozmična hitrost je najmanjša hitrost, ki jo je treba sporočiti vesoljskemu plovilu blizu površine Zemlje, tako da se po premagovanju zemeljske gravitacije spremeni v umetni satelit Sonca (umetni planet). V tem primeru se bo ladja oddaljila od Zemlje po parabolični poti.

Slika 5 prikazuje prostorske hitrosti. Če je hitrost vesoljska ladja je enak υ1 = 7,9 103 m/s in je usmerjen vzporedno z zemeljskim površjem, potem se bo ladja premikala po krožni orbiti na nizki nadmorski višini nad Zemljo. Pri začetnih hitrostih, ki presegajo υ1, vendar manjše od υ2 = 11,2 103 m/s, bo orbita ladje eliptična. Pri začetni hitrosti υ2 se bo ladja premikala po paraboli, pri še višji začetni hitrosti pa po hiperboli.

Slika 5 - Kozmične hitrosti

Navedene so hitrosti v bližini zemeljskega površja: 1) υ = υ1 – krožna pot;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 je parabolična pot; 5) υ > υ2 je hiperbolična pot;

6) pot lune

Tako smo ugotovili, da vsa gibanja v sončnem sistemu upoštevajo Newtonov zakon univerzalne gravitacije.

Glede na majhno maso planetov in poleg tega drugih teles sončnega sistema lahko približno domnevamo, da so gibanja v skoraj sončnem prostoru podrejena Keplerjevim zakonom.

Vsa telesa se gibljejo okoli Sonca po eliptičnih tirnicah, v enem od žarišč katerih je Sonce. Bližje kot je nebesno telo Soncu, hitrejša je njegova orbitalna hitrost (najbolj oddaljeni znani planet Pluton se giblje 6-krat počasneje od Zemlje).

Telesa se lahko premikajo tudi po odprtih orbitah: paraboli ali hiperboli. To se zgodi, če je hitrost telesa enaka ali večja od vrednosti druge kozmične hitrosti za Sonce na določeni razdalji od osrednje svetilke. Če govorimo o satelitu planeta, je treba kozmično hitrost izračunati glede na maso planeta in razdaljo do njegovega središča.