Analiza matematyczna.

Warsztat.

Dla studentów studiów wyższych w specjalności:

„Administracja państwowa i gminna”

T.Z. Pawłowa

Kołpaszewo 2008

Rozdział 1 Wprowadzenie do analizy

1.1 Funkcje. Ogólne właściwości

1.2 Teoria granic

1.3 Ciągłość funkcji

2.1 Definicja pochodnej

2.4 Poznawanie funkcji

2.4.1 Plan nauki pełnej funkcji

2.4.2 Przykłady badań funkcji

2.4.3. Największa i najmniejsza wartość funkcji na segmencie

2.5 Zasada L'Hospital

3.1 Całka nieoznaczona

3.1.1 Definicje i właściwości

3.1.2 Tabela całek

3.1.3 Podstawowe metody integracji

3.2 Całka oznaczona

3.2.2 Metody obliczania całki oznaczonej

Rozdział 4

4.1 Podstawowe pojęcia

4.2 Granice i ciągłość funkcji kilku zmiennych

4.3.3 Różniczka zupełna i jej zastosowanie do obliczeń przybliżonych

Rozdział 5

6.1 Funkcja użytkowa.

6.2 Linie obojętności

6.3 Zestaw budżetu

zadania domowe

1.1 Funkcje. Ogólne właściwości

Funkcja liczbowa jest zdefiniowana na zbiorze D liczb rzeczywistych, jeśli każda wartość zmiennej jest powiązana z pewną dobrze określoną wartością rzeczywistą zmiennej y, gdzie D jest dziedziną funkcji.

Reprezentacja analityczna funkcji:

wyraźnie: ;

niejawnie: ;

w postaci parametrycznej:

różne formuły w dziedzinie definicji:

Nieruchomości.

Funkcja parzysta: . Na przykład funkcja jest parzysta, ponieważ .

Funkcja nieparzysta: . Na przykład funkcja jest nieparzysta, ponieważ .

Funkcja okresowa: , gdzie T jest okresem funkcji, . Na przykład funkcje trygonometryczne.

funkcja monotoniczna. Jeżeli dla którejś z dziedzin definicji - funkcja rośnie, - maleje. Na przykład - rosnący i - malejący.

Ograniczona funkcja. Jeśli istnieje liczba M taka, że ​​. Na przykład funkcje i , ponieważ .

Przykład 1. Znajdź zakres funkcji.

+ 2 – 3 +

1.2 Teoria granic

Definicja 1. Granicą funkcji o jest liczba b, jeśli dla dowolnej (jest arbitralnie małą liczbą dodatnią) można znaleźć taką wartość argumentu, od którego nierówność jest spełniona.

Przeznaczenie: .

Definicja 2. Granicą funkcji o jest liczba b, jeśli dla dowolnej ( - arbitralnie małej liczby dodatniej) istnieje taka liczba dodatnia, że ​​dla wszystkich wartości x spełniających nierówność nierówność jest prawdziwa.

Przeznaczenie: .

Definicja 3. Funkcja nazywa się nieskończenie mała dla lub , if lub .

Nieruchomości.

1. Suma algebraiczna skończonej liczby nieskończenie małych wielkości jest wielkością nieskończenie małą.

2. Iloczyn nieskończenie małej wielkości i funkcji ograniczonej (stała, kolejna nieskończenie mała wielkość) jest wielkością nieskończenie małą.

3. Iloraz dzielenia nieskończenie małej wielkości przez funkcję, której granica jest różna od zera, jest wielkością nieskończenie małą.

Definicja 4. Funkcja nazywa się nieskończenie duża dla if .

Nieruchomości.

1. Iloczyn nieskończenie dużej wielkości przez funkcję, której granica jest różna od zera, jest wielkością nieskończenie dużą.

2. Suma nieskończenie dużej wielkości i funkcji ograniczonej jest nieskończenie dużą wielkością.

3. Iloraz dzielenia nieskończenie dużej wielkości przez funkcję, która ma granicę, jest wielkością nieskończenie dużą.

Twierdzenie.(Relacja między nieskończenie małą wartością a nieskończenie dużą wartością.) Jeśli funkcja jest nieskończenie mała w (), to jest nieskończenie dużą wartością w (). I odwrotnie, jeśli funkcja jest nieskończenie duża w (), to funkcja ma nieskończenie małą wartość w ().

Twierdzenia graniczne.

1. Funkcja nie może mieć więcej niż jednego ograniczenia.

2. Granica sumy algebraicznej kilku funkcji jest równa sumie algebraicznej granic tych funkcji:

3. Granica iloczynu kilku funkcji jest równa iloczynowi granic tych funkcji:

4. Granica stopnia jest równa stopniowi granicy:

5. Granica ilorazu jest równa ilorazowi granic, jeżeli granica dzielnika istnieje:

.

6. Pierwsza godna uwagi granica.

Konsekwencje:

7. Drugi znaczący limit:

Konsekwencje:

Równoważne nieskończenie małe ilości przy:

Obliczanie limitów.

Przy obliczaniu granic wykorzystuje się podstawowe twierdzenia o granicach, własności funkcji ciągłych oraz reguły wynikające z tych twierdzeń i własności.

Zasada nr 1 Aby znaleźć granicę w punkcie funkcji, która jest w tym punkcie ciągła, konieczne jest podstawienie jej wartości granicznej zamiast argumentu x w funkcji pod znakiem granicy.

Przykład 2. Znajdź

Zasada 2 Jeżeli przy wyznaczaniu granicy ułamka granica mianownika jest równa zeru, a granica licznika jest niezerowa, to granica takiej funkcji jest równa .

Przykład 3. Znajdź

Zasada 3 Jeżeli przy wyznaczaniu granicy ułamka granica mianownika jest równa, a granica licznika jest niezerowa, to granica takiej funkcji jest równa zeru.

Przykład 4 Znajdź

Często podstawienie wartości granicznej argumentu prowadzi do niezdefiniowanych wyrażeń postaci

.

Znalezienie granicy funkcji w tych przypadkach nazywa się ujawnieniem niepewności. Aby ujawnić niepewność, przed przejściem do granicy konieczne jest przeprowadzenie transformacji tego wyrażenia. Do wykrywania niepewności stosuje się różne techniki.

Zasada 4. Niepewność postaci ujawnia się poprzez przekształcenie funkcji podlimitu, tak aby w liczniku i mianowniku wybrać czynnik, którego granica wynosi zero, i zmniejszając ułamek o niego, znaleźć granicę ilorazu. Aby to zrobić, licznik i mianownik są albo rozkładane na czynniki, albo mnożone przez wyrażenia sprzężone z licznikiem i mianownikiem.

Zasada 5 Jeżeli wyrażenie podlimit zawiera funkcje trygonometryczne, to pierwsza znacząca granica jest używana do odkrycia rodzaju niepewności.

.

Zasada 6. Aby ujawnić niepewność postaci w , należy podzielić licznik i mianownik ułamka podlimitu przez najwyższy stopień argumentacji, a następnie znaleźć granicę ilorazu.

Możliwe wyniki:

1) pożądana granica jest równa stosunkowi współczynników przy najwyższych potęgach argumentu licznika i mianownika, jeżeli te potęgi są takie same;

2) granica jest równa nieskończoności, jeżeli stopień argumentu z licznika jest wyższy niż stopień argumentu z mianownika;

3) limit wynosi zero, jeśli stopień argumentu licznika jest mniejszy niż stopień argumentu mianownika.

a)

bo

Stopnie są równe, co oznacza, że ​​granica jest równa stosunkowi współczynników na wyższych stopniach, tj. .

b)

Stopień licznika, mianownik wynosi 1, co oznacza, że ​​granica jest równa

v)

Stopień licznika to 1, mianownik to , więc granica wynosi 0.

Zasada 7. Aby ujawnić niepewność postaci , licznik i mianownik ułamka podlimitu należy pomnożyć przez wyrażenie sprzężone.

Przykład 10

Zasada 8. Aby ujawnić niepewność gatunku, wykorzystano drugą godną uwagi granicę i jej konsekwencje.

Można udowodnić, że

Przykład 11.

Przykład 12.

Przykład 13

Zasada 9. Przy ujawnianiu niepewności, których funkcja podgraniczna zawiera b.m.v., należy zastąpić granice tych b.m. do granic b.m., równoważnych im.

Przykład 14

Przykład 15

Reguła 10 Reguła L'Hospital (patrz 2.6).

1.3 Ciągłość funkcji

Funkcja jest ciągła w punkcie, w którym granica funkcji, gdy argument dąży do a, istnieje i jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Warunki równoważne:

1. ;

3.

Klasyfikacja punktów przerwania:

pęknięcie pierwszego rodzaju

Zdejmowane — ograniczenia jednostronne istnieją i są równe;

Fatal (skok) - jednostronne granice nie są równe;

nieciągłość drugiego rodzaju: granica funkcji w punkcie nie istnieje.

Przykład 16. Ustal charakter nieciągłości funkcji w punkcie lub udowodnij ciągłość funkcji w tym punkcie.

dla , funkcja nie jest zdefiniowana, więc w tym momencie nie jest ciągła. Bo i odpowiednio, , jest to punkt nieciągłości pierwszego rodzaju.

b)

w porównaniu do zadania (a), funkcja jest rozszerzona w punkcie tak, że , więc dana funkcja jest ciągła w danym punkcie.

Gdy funkcja nie jest zdefiniowana;

.

Bo jedna z granic jednostronnych jest nieskończona, następnie jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju.

Rozdział 2

2.1 Definicja pochodnej

Definicja pochodna

Pochodna danej funkcji jest granicą stosunku przyrostu funkcji do odpowiedniego przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu dąży do zera:

Lub .

Mechaniczne znaczenie pochodnej to szybkość zmiany funkcji. Geometryczne znaczenie pochodnej to tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji:

2.2 Podstawowe zasady różnicowania

Nazwa	Funkcjonować	Pochodna
Mnożenie przez stały czynnik
Suma algebraiczna dwóch funkcji
Iloczyn dwóch funkcji
Iloraz dwóch funkcji
Złożona funkcja

Pochodne podstawowych funkcji elementarnych

Nr p / p	Nazwa funkcji	Funkcja i jej pochodna
1	stały
2	funkcja zasilania przypadki specjalne
3	funkcja wykładnicza szczególny przypadek
4	funkcja logarytmiczna szczególny przypadek
5	funkcje trygonometryczne
6	odwracać trygonometryczny

b)

2.3 Instrumenty pochodne wyższego rzędu

Pochodna drugiego rzędu funkcji

Pochodna drugiego rzędu funkcji:

Przykład 18.

a) Znajdź pochodną drugiego rzędu funkcji .

Rozwiązanie. Znajdźmy najpierw pochodną pierwszego rzędu .

Z pochodnej pierwszego rzędu ponownie bierzemy pochodną.

Przykład 19. Znajdź pochodną trzeciego rzędu funkcji .

2.4 Poznawanie funkcji

2.4.1 Plan studiów w pełnym zakresie:

Plan pełnego badania funkcji:

1. Badania podstawowe:

Znajdź dziedzinę definicji i zakresu wartości;

Znajdź ogólne właściwości: parzyste (nieparzyste), okresowość;

Znajdź punkty przecięcia z osiami współrzędnych;

Określ obszary stałości.

2. Asymptoty:

Znajdź pionowe asymptoty, jeśli ;

Znajdź ukośne asymptoty: .

Jeśli jakakolwiek liczba, to są asymptoty poziome.

3. Badania z wykorzystaniem:

Znajdź te punkty krytyczne. punkty, w których lub nie istnieje;

Określ przedziały wzrostu, te. przedziały, na których i spadek funkcji - ;

Określ skrajne punkty: punkty, przez które znak zmienia się z „+” na „-”, są punktami maksymalnymi, od „-” do „+” - minimum.

4. Badania z wykorzystaniem:

Znajdź punkty, w których lub nie istnieje;

Znajdź obszary wypukłości, tj. szczeliny, na których i wklęsłości -;

Znajdź punkty przegięcia, tj. wskazuje przejście, przez które zmienia się znak.

1. Poszczególne elementy badania są nanoszone na wykres stopniowo, w miarę ich znajdowania.

2. Jeśli występują trudności z skonstruowaniem wykresu funkcji, to wartości funkcji znajdują się w kilku dodatkowych punktach.

3. Celem opracowania jest opisanie charakteru zachowania funkcji. Dlatego nie buduje się dokładnego wykresu, ale jego przybliżenie, na którym wyraźnie zaznacza się znalezione elementy (ekstrema, punkty przegięcia, asymptoty itp.).

4. Nie jest konieczne ścisłe przestrzeganie powyższego planu; ważne jest, aby nie przegapić charakterystycznych elementów zachowania funkcji.

2.4.2 Przykłady badań funkcji:

1)

2) Funkcja nieparzysta:

.

3) Asymptoty.

są asymptoty pionowe, ponieważ

Asymptota ukośna .

5)

- punkt przegięcia.

2) Funkcja nieparzysta:

3) Asymptoty: Nie ma pionowych asymptot.

Skłonny:

są asymptotami ukośnymi

4) - funkcja rośnie.

- punkt przegięcia.

Schematyczny wykres tej funkcji:

2) Funkcja ogólna

3) Asymptoty

- brak asymptot ukośnych

jest poziomą asymptotą w

- punkt przegięcia

Schematyczny wykres tej funkcji:

2) Asymptoty.

jest asymptotą pionową, ponieważ

- brak asymptot ukośnych

, jest asymptotą poziomą

Schematyczny wykres tej funkcji:

2) Asymptoty

jest pionową asymptotą w , ponieważ

- brak asymptot ukośnych

, jest asymptotą poziomą

3) – funkcja zmniejsza się na każdym z interwałów.

Schematyczny wykres tej funkcji:

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji na segmencie, możesz skorzystać ze schematu:

1. Znajdź pochodną funkcji.

2. Znajdź punkty krytyczne funkcji, w których lub nie istnieje.

3. Znajdź wartość funkcji w punktach krytycznych danego odcinka i na jego końcach oraz wybierz największy i najmniejszy z nich.

Przykład. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji w danym segmencie.

25. pomiędzy

2) - punkty krytyczne

26. pomiędzy.

Pochodna nie istnieje w , ale 1 nie należy do tego przedziału. Funkcja zmniejsza się na przedziale , co oznacza, że ​​nie ma wartości maksymalnej, ale wartość najmniejszą.

2.5 Zasada L'Hospital

Twierdzenie. Granica stosunku dwóch nieskończenie małych lub nieskończenie dużych funkcji jest równa granicy stosunku ich pochodnych (skończonej lub nieskończonej), jeśli ta ostatnia istnieje we wskazanym sensie.

Tych. ujawniając niepewności typu lub można skorzystać ze wzoru:

.

27.

Rozdział 3. Rachunek całkowy

3.1 Całka nieoznaczona

3.1.1 Definicje i właściwości

Definicja 1. Funkcja nazywa się funkcją pierwotną dla if .

Definicja 2. Całka nieoznaczona funkcji f(x) jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych dla tej funkcji.

Przeznaczenie: , gdzie c jest dowolną stałą.

Własności całki nieoznaczonej

1. Pochodna całki nieoznaczonej:

2. Różniczka całki nieoznaczonej:

3. Całka nieoznaczona z różniczki:

4. Całka nieoznaczona sumy (różnicy) dwóch funkcji:

5. Wyciągnięcie stałej ze znaku całki nieoznaczonej:

3.1.2 Tabela całek

.1.3 Podstawowe metody integracji

1. Wykorzystanie własności całki nieoznaczonej.

Przykład 29.

2. Sprowadzenie pod znak dyferencjału.

Przykład 30.

3. Zmienna metoda zastępowania:

a) wymiana w całości

gdzie - funkcja łatwiejsza do zintegrowania niż pierwotna; - funkcja, funkcja odwrotna ; - pochodna funkcji .

Przykład 31.

b) zastąpienie w całości formularza:

Przykład 32.

Przykład 33.

4. Metoda całkowania przez części:

Przykład 34.

Przykład 35.

Weź osobno całkę

Wróćmy do naszej całki:

3.2 Całka oznaczona

3.2.1 Pojęcie całki oznaczonej i jej własności

Definicja. Niech funkcja ciągła będzie dana na pewnym przedziale. Zaplanujmy to.

Figura ograniczona od góry krzywą, od lewej i prawej strony liniami prostymi, a od dołu odcinkiem osi odciętej między punktami a i b, nazywamy trapezem krzywoliniowym.

S - obszar - trapez krzywoliniowy.

Podziel interwał kropkami i uzyskaj:

Suma całkowita:

Definicja. Całka oznaczona jest granicą sumy całkowitej.

Własności całki oznaczonej:

1. Ze znaku całkowego można wyprowadzić stały czynnik:

2. Całka sumy algebraicznej dwóch funkcji jest równa sumie algebraicznej całek tych funkcji:

3. Jeżeli odcinek całkowania dzieli się na części, to całka z całego odcinka jest równa sumie całek dla każdej z części, które powstały, tj. dla dowolnego a, b, c:

4. Jeśli na segmencie , to i

5. Granice integracji mogą być zamieniane, a znak całki zmienia się:

6.

7. Całka w punkcie jest równa 0:

8.

9. („o średniej”) Niech y = f(x) będzie funkcją całkowalną na . Następnie , gdzie , f(c) to średnia wartość f(x) na :

10. Wzór Newtona-Leibniza

,

gdzie F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x).

3.2.2 Metody obliczania całki oznaczonej.

1. Integracja bezpośrednia

Przykład 35.

a)

b)

v)

mi)

2. Zmiana zmiennych pod znakiem całki oznaczonej .

Przykład 36.

2. Całkowanie przez części w całkę oznaczoną .

Przykład 37.

a)

b)

mi)

3.2.3 Zastosowania całki oznaczonej

Charakterystyka	Typ funkcji	Formuła
	we współrzędnych kartezjańskich
obszar sektora krzywoliniowego	we współrzędnych biegunowych
obszar zakrzywionego trapezu	w postaci parametrycznej
długość łuku	we współrzędnych kartezjańskich
długość łuku	we współrzędnych biegunowych
długość łuku	w postaci parametrycznej
objętość ciała obrót	we współrzędnych kartezjańskich
objętość ciała z zadanym poprzecznym Sekcja

Przykład 38. Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami: oraz .

Rozwiązanie: Znajdź punkty przecięcia wykresów tych funkcji. Aby to zrobić, przyrównujemy funkcje i rozwiązujemy równanie

Tak więc punkty przecięcia i .

Znajdź obszar figury za pomocą wzoru

.

W naszym przypadku

Odpowiedź: obszar to (jednostki kwadratowe).

4.1 Podstawowe pojęcia

Definicja. Jeśli każdej parze niezależnych liczb z pewnego zestawu przypisana jest jedna lub więcej wartości zmiennej z zgodnie z jakąś regułą, to zmienna z nazywana jest funkcją dwóch zmiennych.

Definicja. Dziedziną funkcji z jest zbiór par, dla których funkcja z istnieje.

Dziedziną funkcji dwóch zmiennych jest pewien zbiór punktów na płaszczyźnie współrzędnych Oxy. Współrzędna z nazywana jest aplikacją, a sama funkcja jest reprezentowana jako pewna powierzchnia w przestrzeni E 3 . Na przykład:

Przykład 39. Znajdź zakres funkcji.

a)

Wyrażenie po prawej stronie ma sens tylko wtedy, gdy . Oznacza to, że dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich punktów leżących wewnątrz i na granicy okręgu o promieniu R wyśrodkowanym na początku.

Dziedziną tej funkcji są wszystkie punkty płaszczyzny, z wyjątkiem punktów prostych, tj. osie współrzędnych.

Definicja. Linie poziomu funkcji to rodzina krzywych na płaszczyźnie współrzędnych opisana równaniami postaci .

Przykład 40 Znajdź linie poziomu cech .

Rozwiązanie. Linie poziomu danej funkcji są rodziną krzywych w płaszczyźnie , opisaną równaniem

Ostatnie równanie opisuje rodzinę okręgów wyśrodkowanych w punkcie О 1 (1, 1) promienia . Powierzchnia obrotowa (paraboloida) opisana przez tę funkcję staje się „bardziej stroma” w miarę oddalania się od osi, którą określają równania x = 1, y = 1. (rys. 4)

4.2 Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych.

1. Granice.

Definicja. Liczbę A nazywamy granicą funkcji, ponieważ punkt dąży do punktu, jeśli dla każdej arbitralnie małej liczby jest taka liczba, że ​​warunek jest spełniony dla dowolnego punktu, warunek jest również spełniony . Zanotować: .

Przykład 41. Znajdź limity:

tych. limit zależy od , co oznacza, że ​​nie istnieje.

2. Ciągłość.

Definicja. Niech punkt należy do dziedziny definicji funkcji . Wtedy funkcję nazywamy ciągłą w punkcie, jeśli

(1)

a punkt dąży do punktu w arbitralny sposób.

Jeśli warunek (1) nie jest spełniony w żadnym momencie, to ten punkt nazywa się punktem przerwania funkcji. Może to mieć miejsce w następujących przypadkach:

1) Funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie .

2) Nie ma limitu.

3) Ten limit istnieje, ale nie jest równy .

Przykład 42. Sprawdź, czy dana funkcja jest ciągła w punkcie if .

Zrozumiałeś więc ta funkcja jest ciągła w punkcie .

granica zależy od k, tj. w tym momencie nie istnieje, co oznacza, że ​​funkcja ma w tym miejscu nieciągłość.

4.3 Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych

4.3.1 Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu

Pochodna cząstkowa funkcji względem argumentu x jest zwykłą pochodną funkcji jednej zmiennej x dla stałej wartości zmiennej y i jest oznaczona:

Pochodna cząstkowa funkcji względem argumentu y jest zwykłą pochodną funkcji jednej zmiennej y dla stałej wartości zmiennej x i jest oznaczona:

Przykład 43. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji.

4.3.2 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu. Dla funkcji dwóch zmiennych postaci możliwe są cztery rodzaje pochodnych cząstkowych drugiego rzędu:

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu, w których dokonuje się różniczkowania względem różnych zmiennych, nazywamy pochodnymi mieszanymi. Mieszane pochodne drugiego rzędu funkcji dwukrotnie różniczkowalnej są równe.

Przykład 44. Znajdź pochodne cząstkowe drugiego rzędu.

4.3.3 Różniczka zupełna i jej zastosowanie do obliczeń przybliżonych.

Definicja. Różniczka pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych znajduje się za pomocą wzoru

.

Przykład 45. Znajdź całkowitą różnicę dla funkcji.

Rozwiązanie. Znajdźmy pochodne cząstkowe:

.

Przy małych przyrostach argumentów x i y funkcja otrzymuje przyrost w przybliżeniu równy dz, tj. .

Wzór na znalezienie przybliżonej wartości funkcji w punkcie, jeśli znana jest jej dokładna wartość w punkcie:

Przykład 46 Znajdź .

Rozwiązanie. Pozwalać ,

Następnie używamy formuły

Odpowiedź. .

Przykład 47. Oblicz w przybliżeniu.

Rozwiązanie. Rozważmy funkcję. Mamy

Przykład 48. Oblicz w przybliżeniu.

Rozwiązanie. Rozważ funkcję . Otrzymujemy:

Odpowiedź. .

4.3.4 Różniczkowanie funkcji uwikłanej

Definicja. Funkcję nazywamy niejawną, jeśli jest podana przez równanie, które nie jest rozwiązywalne względem z.

Pochodne cząstkowe takiej funkcji znajdują się za pomocą wzorów:

Przykład 49. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji z podane przez równanie .

Rozwiązanie.

Definicja. Funkcję nazywamy niejawną, jeśli jest podana przez równanie, które nie jest rozwiązywalne względem y.

Pochodną takiej funkcji określa wzór:

.

Przykład 50. Znajdź pochodne tych funkcji.

5.1 Ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych

Definicja 1. Funkcja ma maksimum w punkcie, jeśli

Definicja 2. Funkcja ma minimum w punkcie, jeśli dla wszystkich punktów dostatecznie bliskich punktu i różnych od niego.

Niezbędny warunek ekstremum. Jeżeli funkcja osiąga ekstremum w punkcie , to pochodne cząstkowe funkcji znikają lub nie istnieją w tym punkcie.

Punkty, w których pochodne cząstkowe zanikają lub nie istnieją, nazywamy krytycznymi.

Wystarczający znak ekstremum. Niech funkcja będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu krytycznego i ma w tym punkcie ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu

1) ma lokalne maksimum w punkcie, jeśli i ;

2) posiada minimum lokalne w punkcie, jeśli i ;

3) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie, jeżeli ;

Schemat badania ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

1. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji : i .

2. Rozwiąż układ równań i znajdź punkty krytyczne funkcji.

3. Znajdź pochodne cząstkowe drugiego rzędu, oblicz ich wartości w punktach krytycznych i, stosując warunek wystarczający, wyciągnij wniosek o obecności ekstremów.

4. Znajdź ekstrema funkcji.

Przykład 51. Znajdź ekstrema funkcji .

1) Znajdźmy pochodne cząstkowe.

2) Rozwiąż układ równań

4) Znajdź pochodne cząstkowe drugiego rzędu i ich wartości w punktach krytycznych: . W tym momencie otrzymujemy:

Oznacza to, że w tym momencie nie ma ekstremum. W tym momencie otrzymujemy:

oznacza w punkcie minimalnym.

5.2 Ekstremum globalne (największa i najmniejsza wartość funkcji)

Największe i najmniejsze wartości funkcji kilku zmiennych, ciągłej na jakimś zbiorze domkniętym, osiągane są albo w punktach ekstremów, albo na granicy zbioru.

Schemat znajdowania największych i najmniejszych wartości.

1) Znajdź punkty krytyczne leżące wewnątrz regionu, oblicz wartość funkcji w tych punktach.

2) Zbadaj funkcję na granicy województwa; jeżeli granica składa się z kilku różnych linii, to badanie należy przeprowadzić dla każdego odcinka osobno.

3) Porównaj otrzymane wartości funkcji i wybierz największą i najmniejszą.

Przykład 52. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w prostokącie.

Rozwiązanie. 1) Znajdź punkty krytyczne funkcji, w tym celu znajdujemy pochodne cząstkowe: , i rozwiążmy układ równań:

Otrzymaliśmy punkt krytyczny A. Wynikowy punkt leży wewnątrz danego obszaru,

Granica regionu składa się z czterech segmentów: znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w każdym segmencie.

4) Porównajmy otrzymane wyniki i uzyskajmy to w punktach .

Rozdział 6. Model wyboru konsumenta

Założymy, że istnieje n różnych towarów. Wtedy jakiś zbiór dóbr będzie oznaczony przez n-wymiarowy wektor , gdzie jest ilością i-tego produktu. Zbiór wszystkich zbiorów dóbr X nazywamy przestrzenią.

Wybór indywidualnego konsumenta charakteryzuje się relacją preferencji: uważa się, że konsument może powiedzieć o dowolnych dwóch zestawach, które są bardziej pożądane, lub nie widzi między nimi różnicy. Relacja preferencji jest przechodnia: jeśli zbiór jest preferowany od zbioru i zbiór jest preferowany od zbioru, to zbiór jest preferowany od zbioru. Przyjmiemy, że zachowania konsumenckie w pełni opisuje aksjomat indywidualnego konsumenta: każdy indywidualny konsument podejmuje decyzję o konsumpcji, zakupach itp. na podstawie swojego systemu preferencji.

6.1 Funkcja użytkowa

Na zbiorze pakietów konsumenckich X funkcja , którego wartość w zestawie konsumenckim jest równa ocenie konsumenckiej danej osoby w tym zestawie. Funkcja ta nazywana jest funkcją użyteczności konsumenta lub funkcją preferencji konsumenta. Tych. każdy konsument ma swoją własną funkcję użytkową. Ale cały zbiór konsumentów można podzielić na pewne klasy konsumentów (według wieku, stanu majątkowego itp.), a każdej klasie można przypisać jakąś, być może, uśrednioną funkcję użyteczności.

Funkcją zatem jest ocena konsumencka, czyli poziom zaspokojenia potrzeb jednostki przy nabywaniu tego zestawu. Jeśli zestaw jest lepszy niż zestaw dla danej osoby, to .

Właściwości funkcji użytkowych.

1.

Pierwsze pochodne cząstkowe funkcji użyteczności nazywamy użytecznościami krańcowymi produktów. Z tej właściwości wynika, że ​​wzrost spożycia jednego produktu przy tym samym spożyciu innych produktów prowadzi do wzrostu oceny konsumentów. Wektor jest gradientem funkcji, wskazuje kierunek największego wzrostu funkcji. Dla funkcji jej gradient jest wektorem użyteczności krańcowych produktów.

2.

Tych. Krańcowa użyteczność jakiegokolwiek dobra maleje wraz ze wzrostem konsumpcji.

3.

Tych. krańcowa użyteczność każdego produktu wzrasta wraz z ilością drugiego produktu.

Niektóre rodzaje funkcji użytkowych.

1) Neoklasycyzm: .

2) Kwadrat: , gdzie macierz jest ujemna określona i dla .

3) Funkcja logarytmiczna: .

6.2 Linie obojętności

W stosowanych problemach i modelach wyboru konsumenta często stosuje się szczególny przypadek zestawu dwóch dóbr, tj. gdy funkcja użyteczności zależy od dwóch zmiennych. Linia obojętności to linia łącząca zestawy konsumenckie, które mają taki sam poziom zaspokojenia potrzeb jednostki. Zasadniczo linie obojętności są liniami poziomu funkcji. Równania linii obojętności: .

Podstawowe własności linii obojętności.

1. Linie obojętności odpowiadające różnym poziomom zaspokojenia potrzeb nie stykają się ani nie przecinają.

2. Linie obojętności maleją.

3. Linie obojętności są wypukłe w dół.

Własność 2 implikuje ważną przybliżoną równość.

Wskaźnik ten pokazuje, o ile jednostka powinna zwiększyć (zmniejszyć) spożycie drugiego produktu przy jednoczesnym zmniejszeniu (zwiększeniu) spożycia pierwszego produktu o jednostkę bez zmiany poziomu zaspokojenia swoich potrzeb. Stosunek nazywa się stopą zastąpienia pierwszego produktu drugim, a wartość krańcową stopą zastąpienia pierwszego produktu drugim.

Przykład 53. Jeżeli użyteczność krańcowa pierwszego dobra wynosi 6, a drugiego 2, to przy spadku zużycia pierwszego dobra o jedną jednostkę, konsumpcja drugiego dobra musi wzrosnąć jednocześnie o 3 jednostki poziom zaspokojenia potrzeb.

6.3 Zestaw budżetu

Pozwalać jest wektorem cen dla zbioru n produktów ; I to dochód jednostki, który jest gotów przeznaczyć na zakup zestawu produktów. Zbiór pęczków dóbr kosztujących co najwyżej I przy danych cenach nazywamy zbiorem budżetowym B. W tym przypadku zbiór pęczków kosztujących I nazywamy brzegiem G zbioru budżetowego B. A zatem. zbiór B jest ograniczony granicą G i więzami naturalnymi.

Zbiór budżetowy opisuje system nierówności:

W przypadku zbioru dwóch towarów, zbiór budżetowy B (rys. 1) jest trójkątem w układzie współrzędnych , ograniczonym przez osie współrzędnych i linię prostą .

6.4 Teoria popytu konsumenckiego

W teorii konsumpcji zakłada się, że konsument zawsze dąży do maksymalizacji swojej użyteczności, a jedynym ograniczeniem dla niego jest ograniczony dochód I, który może przeznaczyć na zakup zestawu dóbr. Generalnie problem wyboru konsumenta (problem racjonalnego zachowania konsumenta na rynku) jest sformułowany w następujący sposób: znajdź zbiór konsumencki , co maksymalizuje swoją funkcję użyteczności przy ograniczeniu budżetowym. Model matematyczny tego zadania:

W przypadku kompletu dwóch sztuk:

Geometrycznie rozwiązaniem tego problemu jest punkt styku granicy zbioru budżetowego G z linią obojętności.

Rozwiązanie tego problemu sprowadza się do rozwiązania układu równań:

(1)

Rozwiązaniem tego systemu jest rozwiązanie problemu wyboru konsumenta.

Rozwiązaniem problemu wyboru konsumenta jest tzw. punkt popytu. Ten punkt popytu zależy od cen i dochodu, tj. punkt popytu jest funkcją popytu. Z kolei funkcja popytu to zbiór n funkcji, z których każda zależy od argumentu:

Funkcje te nazywane są funkcjami popytu odpowiednich dóbr.

Przykład 54. Dla zbioru dwóch dóbr na rynku, znanych ich cen i dochodu I, znajdź funkcje popytu, jeśli funkcja użyteczności ma postać .

Rozwiązanie. Rozróżniamy funkcję użyteczności:

.

Otrzymane wyrażenia podstawiamy do (1) i otrzymujemy układ równań:

W takim przypadku wydatki na każdy produkt będą stanowić połowę dochodu konsumenta, a ilość zakupionego produktu równa się wydanej na niego kwocie podzielonej przez cenę produktu.

Przykład 55. Niech funkcja użyteczności dla pierwszego produktu , drugiego ,

cena pierwszego przedmiotu, cena drugiego. Dochód . Ile towaru powinien zakupić konsument, aby zmaksymalizować użyteczność?

Rozwiązanie. Znajdź pochodne funkcji użyteczności, podstaw do układu (1) i rozwiąż go:

Ten zestaw towarów jest optymalny dla konsumenta pod względem maksymalizacji użyteczności.

Prace kontrolne należy wykonać zgodnie z opcją wybraną przez ostatnią cyfrę numeru księgi metrykalnej w osobnym zeszycie. Każdy problem powinien zawierać warunek, szczegółowe rozwiązanie i wniosek.

1. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego

Zadanie 1. Znajdź dziedzinę funkcji.

5.

Zadanie 2. Znajdź granice funkcji.

.

Zadanie 3. Znajdź punkty przerwania funkcji i określ ich typ.

1. 2. 3.

Rozdział 2

Zadanie 4. Znajdź pochodne tych funkcji.

1.a); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y \u003d x tg x + ln sin x + e 3x;

f) y \u003d 2 x - arcsin x.

2.a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 - + 3; e) y = e cos ; f) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y = ; b) y \u003d (e 5 x - 1) 6; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; f) y \u003d 3 x - arcsin x.

5. a) y \u003d 2x 3 - + e x; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 cos ; f) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y \u003d x 7 + + 1; f) y = 2.

7.a) ; b) y = ; c) y = ; d) y \u003d x 2 + xsinx +; e) y = e cos ; f) y = .

8. a) y = ; b) y \u003d (3 x - 4) 6; c) y = sintg;

d) y = 3x 4 - - 9+ 9; e) y = ;

e) y \u003d x 2 + arcsin x - x.

9.a); b) ; c) y = ; d) y \u003d 5 grzechów 3 x; e) y \u003d x 3 - - 6+ 3; f) y = 4x 4 + ln.

10 a) b) y = ; c) y = (3x-4)6; d) y = ; e) y \u003d x 2 - x; f) y \u003d e grzech 3 x + 2.

Zadanie 5. Zbadaj funkcję i zbuduj jej wykres.

1. a) b) c).

2. a) b) v) .

3. a) b) v) .

4. b) v)

5. a) b) v) .

6. a) b) v) .

7. a) b) c).

8. a) b) c).

9. a) b) c).

10. a) b) v) .

Zadanie 6. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na zadanym przedziale.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Rozdział 3. Rachunek całkowy

Zadanie 7. Znajdź całki nieoznaczone.

1.a) b);

2.a) ;b) c) d).

4. G)

5.a) ; b); v) ; G).

6. a) ; b); v); G)

7.a) ; b) ; v) ; G)

8.a) ; b); v) ; G) .

9.a) ; pne); G).

10 a) b) v) ; G) .

Zadanie 8. Oblicz całe całki oznaczone.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Zadanie 9. Znajdź całki niewłaściwe lub udowodnij, że są rozbieżne.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Zadanie 10. Znajdź obszar obszaru ograniczonego krzywymi

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Rozdział 4. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych.

Zadanie 11. Znajdź dziedzinę funkcji (przedstawioną na rysunku).

Zadanie 12. Zbadaj ciągłość funkcji dla

Zadanie 13. Znajdź pochodną funkcji niejawnie podanej.

Zadanie 14. Oblicz w przybliżeniu

1.a);b) ; v)

2.a) ; b) ; v) .

3.a) ; b) ; v) .

4.a) ; b) ; v) .

5.a); b) ; v) .

6.a); b) ; v) .

7.a); b) ; v) .

8. a) ;b) ; v)

9.a) ; b) ; v) .

10.a) ;b) ; v)

Zadanie 15. Zbadaj funkcję ekstremów.

7. .

8. .

9. .

10. .

Zadanie 16. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w zadanym obszarze domkniętym.

1. w prostokącie

2.

3. w prostokącie

4. w obszarze ograniczonym parabolą

I odcięta.

5. do kwadratu

6. w trójkącie ograniczonym osiami współrzędnych i linią prostą

7. w trójkącie ograniczonym osiami współrzędnych i linią prostą

8. w trójkącie ograniczonym osiami współrzędnych i linią prostą

9. w obszarze ograniczonym parabolą

I odcięta.

10. w obszarze ograniczonym parabolą

I odcięta.

Główny

1. M.S. Crass, B.P. Czuprynow. Podstawy matematyki i jej zastosowanie w edukacji ekonomicznej: Podręcznik. - 4 wydanie, hiszpański. – M.: Delo, 2003.

2. M.S. Crass, B.P. Czuprynow. Matematyka dla specjalności ekonomicznych: Podręcznik. - 4 wydanie, hiszpański. – M.: Delo, 2003.

3. M.S. Crass, B.P. Czuprynow. Matematyka dla Bachelor of Economics. Podręcznik. - 4 wydanie, hiszpański. – M.: Delo, 2005.

4. Matematyka wyższa dla ekonomistów. Podręcznik dla uczelni / N.Sh. Kremer, BA Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedmana; Wyd. prof. N.Sz. Kremer, - wyd. 2, poprawione. i dodatkowe - M: UNITI, 2003.

5. Kremer N.Sh, Putko BA, Trishin I.M., Fridman M.N. Matematyka wyższa dla specjalności ekonomicznych. Podręcznik i praktyka (część I i II) / Wyd. prof. N.Sz. Kremer, - wyd. 2, poprawione. i dodatkowe - M: Szkolnictwo wyższe, 2007. - 893s. - (Podstawy Nauki)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematyka wyższa w ćwiczeniach i zadaniach. M. liceum. 1999.

Dodatkowy

1. I.I. Bavrin, V.L. Żeglarze. Wyższa matematyka. "Vlados Humanitarian Publishing Center", 2002.

2. I.A. Zajcew. Wyższa matematyka. "Szkoła średnia", 1998.

3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Braiłow, I.G. Shandra. Matematyka w ekonomii /w dwóch częściach/. M. Finanse i statystyka. 1999.

Treść artykułu

ANALIZA MATEMATYCZNA, dział matematyki dostarczający metod ilościowego badania różnych procesów zmian; zajmuje się badaniem tempa zmian (rachunek różniczkowy) oraz wyznaczaniem długości krzywych, powierzchni i objętości figur ograniczonych zakrzywionymi konturami i powierzchniami (rachunek całkowy). Typowe dla problemów analizy matematycznej jest to, że ich rozwiązanie wiąże się z pojęciem granicy.

Początek analizy matematycznej położył w 1665 r. I. Newton i (ok. 1675) niezależnie G. Leibniz, choć ważne prace przygotowawcze prowadzili I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) i I. Barrow (1630–1677).

Aby ożywić prezentację, posłużymy się językiem wykresów. Dlatego przed przeczytaniem tego artykułu czytelnik może zajrzeć do artykułu GEOMETRIA ANALITYCZNA.

RACHUNEK RÓŻNICOWY

Styczne.

Na ryc. 1 przedstawia fragment krzywej tak = 2x – x 2 zamknięte pomiędzy x= –1 i x= 3. Wystarczająco małe segmenty tej krzywej wyglądają na proste. Innymi słowy, jeśli r jest dowolnym punktem tej krzywej, to przez ten punkt przechodzi jakaś linia prosta będąca przybliżeniem krzywej w małym sąsiedztwie punktu r, a im mniejsze sąsiedztwo, tym lepsze przybliżenie. Taką linię nazywamy styczną do krzywej w punkcie r. Głównym zadaniem rachunku różniczkowego jest skonstruowanie ogólnej metody, która pozwala znaleźć kierunek stycznej w dowolnym punkcie krzywej, w którym styczna istnieje. Łatwo sobie wyobrazić krzywą z ostrym załamaniem (rys. 2). Jeśli r jest wierzchołkiem takiego załamania, to można zbudować aproksymującą linię prostą PT 1 - na prawo od punktu r i kolejna linia przybliżająca RT 2 - na lewo od punktu r. Ale nie ma jednej linii przechodzącej przez punkt r, który równie dobrze zbliżył się do krzywej w okolicach punktu P zarówno po prawej, jak i po lewej stronie, stąd styczna w punkcie P nie istnieje.

Na ryc. 1 styczna Z ciągnięty przez pochodzenie O= (0,0). Nachylenie tej prostej wynosi 2, tj. gdy odcięta zmienia się o 1, rzędna wzrasta o 2. Jeśli x oraz tak są współrzędne dowolnego punktu na Z, a następnie odejście od O z dystansu x jednostki po prawej, oddalamy się O na 2 tak jednostki w górę. W związku z tym, tak/x= 2, lub tak = 2x. To jest równanie styczne Z do krzywej tak = 2x – x 2 w punkcie O.

Teraz trzeba wyjaśnić, dlaczego, z zestawu linii przechodzących przez punkt O, wybrana jest linia prosta Z. Jaka jest różnica między linią prostą o nachyleniu 2 a innymi liniami prostymi? Odpowiedź jest prosta i trudno nam oprzeć się pokusie podania jej przez analogię stycznej do koła: styczna Z ma tylko jeden punkt wspólny z krzywą, podczas gdy każda inna niepionowa linia przechodząca przez ten punkt O, dwukrotnie przecina krzywą. Można to zweryfikować w następujący sposób.

Ponieważ wyrażenie tak = 2x – x 2 można uzyskać odejmując x 2 z tak = 2x(równania linii prostej Z), to wartości tak w przypadku grafiki jest mniej wiedzy tak dla linii prostej we wszystkich punktach, z wyjątkiem punktu x= 0. Dlatego wykres jest wszędzie z wyjątkiem punktu O, znajduje się poniżej Z, a ta linia i wykres mają tylko jeden punkt wspólny. Ponadto, jeśli tak = mx- równanie jakiejś innej prostej przechodzącej przez punkt O, to muszą być dwa punkty przecięcia. Naprawdę, mx = 2x – x 2 nie tylko dla x= 0, ale także dla x = 2 – m. I tylko wtedy, gdy m= 2 oba punkty przecięcia się pokrywają. Na ryc. 3 pokazuje przypadek, gdy m mniej niż 2, więc na prawo od O jest drugi punkt przecięcia.

Co Z jest jedyną niepionową linią przechodzącą przez punkt O oraz posiadanie tylko jednego punktu wspólnego z grafem, co nie jest jego najważniejszą właściwością. Rzeczywiście, jeśli przejdziemy do innych wykresów, wkrótce stanie się jasne, że własność stycznej, którą odnotowaliśmy, generalnie nie jest spełniona. Na przykład z ryc. 4 widać, że w pobliżu punktu (1,1) wykres krzywej tak = x 3 jest dobrze przybliżone przez linię prostą RT, który jednak ma z nim więcej niż jeden punkt wspólny. Chcielibyśmy jednak rozważyć RT styczna do tego wykresu w punkcie r. Dlatego konieczne jest znalezienie innego sposobu na podkreślenie stycznej niż ten, który tak dobrze nam służył w pierwszym przykładzie.

Załóżmy, że przez punkt O i arbitralny punkt Q = (h,k) na wykresie krzywej tak = 2x – x 2 (rys. 5) rysowana jest linia prosta (zwana sieczną). Podstawiając do równania krzywej wartości x = h oraz tak = k, rozumiemy, że k = 2h – h 2 , zatem nachylenie siecznej jest równe

Bardzo małe h oznaczający m blisko 2. Ponadto, wybierając h wystarczająco blisko 0, możemy to zrobić m arbitralnie blisko 2. Można tak powiedzieć m„Idzie do granicy” równej 2, gdy h dąży do zera, czyli jaki jest limit m równa się 2 gdy h dążenie do zera. Symbolicznie jest napisane tak:

Następnie styczna do wykresu w punkcie O zdefiniowana jako linia przechodząca przez punkt O, o nachyleniu równym temu limitowi. Ta definicja stycznej ma zastosowanie w ogólnym przypadku.

Pokażemy zalety tego podejścia na jeszcze jednym przykładzie: znajdziemy nachylenie stycznej do wykresu krzywej tak = 2x – x 2 w dowolnym punkcie P = (x,tak), nie ograniczając się do najprostszego przypadku, gdy P = (0,0).

Pozwalać Q = (x + h, tak + k) to drugi punkt na wykresie, położony w pewnej odległości h na prawo od r(rys. 6). Wymagane jest znalezienie współczynnika nachylenia k/h sieczna PQ. Kropka Q jest na odległość

nad osią x.

Rozwijając nawiasy, znajdujemy:

Odejmowanie od tego równania tak = 2x – x 2, znajdź pionową odległość od punktu! r do momentu Q:

Dlatego nachylenie m sieczna PQ równa się

Teraz to h dąży do zera m ma tendencję do 2 - 2 x; przyjmiemy ostatnią wartość nachylenia stycznej PT. (Ten sam wynik zostanie uzyskany, jeśli h przyjmuje wartości ujemne, co odpowiada wyborowi punktu Q na lewo od P.) Zauważ, że dla x= 0 wynik jest taki sam jak poprzedni.

Wyrażenie 2 - 2 x nazywa się pochodną 2 x – x 2. W dawnych czasach pochodną nazywano także „współczynnikiem różniczkowym” i „współczynnikiem różniczkowym”. Jeśli wyrażenie 2 x – x 2 wyznacz F(x), tj.

to pochodna może być oznaczona

Aby znaleźć nachylenie stycznej do wykresu funkcji tak = F(x) w pewnym momencie trzeba zastąpić w Fў ( x) wartość odpowiadająca temu punktowi x. Więc stok Fў (0) = 2 dla x = 0, Fў (0) = 0 dla x= 1 i F¢ (2) = –2 w x = 2.

Oznaczono również pochodną wў , dy/dx, D x y oraz Robić.

Fakt, że krzywa tak = 2x – x 2 w pobliżu danego punktu jest praktycznie nie do odróżnienia od jego stycznej w tym punkcie, pozwala mówić o nachyleniu stycznej jako „nachylenie krzywej” w punkcie styku. Możemy zatem stwierdzić, że nachylenie rozważanej krzywej ma w punkcie (0,0) nachylenie równe 2. Możemy również powiedzieć, że kiedy x= 0 tempo zmian tak stosunkowo x równa się 2. W punkcie (2,0) nachylenie stycznej (i krzywej) wynosi -2. (Znak minus oznacza, że ​​as x zmienny tak maleje.) W punkcie (1,1) styczna jest pozioma. Mówimy krzywa tak = 2x – x 2 ma w tym momencie wartość stacjonarną.

Wzloty i upadki.

Właśnie pokazaliśmy, że krzywa F(x) = 2x – x 2 jest nieruchomy w punkcie (1,1). Bo Fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), jasne jest, że kiedy x, mniej niż 1, Fў ( x) jest dodatnia, a zatem tak wzrosty; w x, duży 1, Fў ( x) jest ujemne, a zatem tak zmniejsza się. Zatem w sąsiedztwie punktu (1,1) wskazanego na rys. 6 liter m, oznaczający w rośnie do punktu m, nieruchomy w punkcie m i maleje po punkcie m. Taki punkt nazywamy „maksimum”, ponieważ wartość w w tym momencie przekracza którąkolwiek ze swoich wartości w wystarczająco małym sąsiedztwie. Podobnie „minimum” definiuje się jako punkt, wokół którego wszystkie wartości tak przewyższają wartość w w tym momencie. Może się też zdarzyć, że chociaż pochodna F(x) w pewnym momencie i znika, jego znak nie zmienia się w sąsiedztwie tego punktu. Taki punkt, który nie jest ani maksimum, ani minimum, nazywamy punktem przegięcia.

Jako przykład znajdźmy stacjonarny punkt krzywej

Pochodną tej funkcji jest

i znika o x = 0, x= 1 i x= –1; tych. w punktach (0,0), (1, –2/15) i (–1, 2/15). Jeśli x nieco mniej niż -1, więc Fў ( x) jest ujemny; Jeśli x nieco więcej niż -1, więc Fў ( x) jest dodatnia. Dlatego punkt (–1, 2/15) to maksimum. Podobnie można wykazać, że punkt (1, -2/15) to minimum. Ale pochodna Fў ( x) jest ujemne zarówno przed punktem (0,0), jak i za nim. Dlatego (0,0) jest punktem przegięcia.

Badania przeprowadzone nad kształtem krzywej, a także faktem, że krzywa przecina się z osią x w F(x) = 0 (tj. dla x= 0 lub ) pozwalają nam przedstawić jego wykres w przybliżeniu tak, jak pokazano na ryc. 7.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli wykluczymy nietypowe przypadki (krzywe zawierające odcinki linii prostej lub nieskończoną liczbę zagięć), istnieją cztery opcje względnego położenia łuku i stycznej w pobliżu punktu stycznego r. (Cm. Ryż. 8, gdzie styczna ma dodatnie nachylenie).

1) Po obu stronach punktu r krzywa leży powyżej stycznej (rys. 8, a). W tym przypadku mówimy, że krzywa w punkcie r wypukły w dół lub wklęsły.

2) Po obu stronach punktu r krzywa znajduje się poniżej stycznej (rys. 8, b). W tym przypadku krzywa jest wypukła do góry lub po prostu wypukła.

3) i 4) Krzywa znajduje się powyżej stycznej po jednej stronie punktu r a poniżej - z drugiej. W tym przypadku r- punkt przegięcia.

Porównanie wartości Fў ( x) po obu stronach r z jego wartością w punkcie r, możesz określić, z którym z tych czterech przypadków masz do czynienia w konkretnym problemie.

Aplikacje.

Wszystko to znajduje ważne zastosowanie w różnych dziedzinach. Na przykład, jeśli ciało zostanie wyrzucone pionowo w górę z prędkością początkową 200 stóp na sekundę, wówczas wysokość s, na którym będą zlokalizowane poprzez T sekundy w porównaniu do punktu początkowego będą

Postępując w taki sam sposób, jak w rozważanych przez nas przykładach, stwierdzamy:

wartość ta znika w s. Pochodna Fў ( x) jest dodatnia do c i ujemna po tym czasie. W związku z tym, s wzrasta do , następnie staje się stacjonarny, a następnie maleje. Jest to ogólny opis ruchu ciała wyrzuconego w górę. Z niego dowiadujemy się, kiedy ciało osiąga najwyższy punkt. Następnie zastępując T= 25/4 cala F(T), otrzymujemy 625 stóp, czyli maksymalną wysokość podnoszenia. W tym zadaniu Fў ( T) ma znaczenie fizyczne. Ta pochodna pokazuje prędkość, z jaką ciało się porusza w danej chwili T.

Rozważmy teraz inny rodzaj aplikacji (rysunek 9). Z arkusza tektury o powierzchni 75 cm 2 wymagane jest wykonanie pudełka z kwadratowym dnem. Jakie powinny być wymiary tego pudełka, aby miało maksymalną objętość? Jeśli x- bok podstawy pudełka oraz h jest jego wysokość, to objętość pudełka jest równa V = x 2 h, a pole powierzchni wynosi 75 = x 2 + 4xh. Przekształcając równanie, otrzymujemy:

Pochodna V okazuje się być równy

i znika o x= 5. Wtedy

oraz V= 125/2. Wykres funkcji V = (75x – x 3)/4 pokazano na ryc. 10 (wartości ujemne) x pominięte jako nie mające fizycznego znaczenia w tym problemie).

Pochodne.

Ważnym zadaniem rachunku różniczkowego jest tworzenie metod pozwalających na szybkie i wygodne znajdowanie pochodnych. Na przykład łatwo to policzyć

(Pochodna stałej jest oczywiście równa zero.) Nietrudno wyprowadzić ogólną zasadę:

gdzie n- dowolna liczba całkowita lub ułamek. Na przykład,

(Ten przykład pokazuje, jak przydatne są wykładniki ułamkowe).

Oto niektóre z najważniejszych formuł:

Istnieją również następujące zasady: 1) jeśli każda z dwóch funkcji g(x) oraz F(x) ma pochodne, to pochodna ich sumy jest równa sumie pochodnych tych funkcji, a pochodna różnicy jest równa różnicy pochodnych, tj.

2) pochodną iloczynu dwóch funkcji oblicza się ze wzoru:

3) pochodna stosunku dwóch funkcji ma postać

4) pochodna funkcji pomnożona przez stałą jest równa stałej pomnożonej przez pochodną tej funkcji, tj.

Często zdarza się, że wartości funkcji trzeba obliczać etapami. Na przykład, aby obliczyć grzech x 2, musimy najpierw znaleźć ty = x 2 , a następnie już oblicz sinus liczby ty. Pochodną takich złożonych funkcji znajdujemy za pomocą tzw. „reguły łańcucha”:

W naszym przykładzie F(ty) = grzech ty, Fў ( ty) = cos ty, W związku z tym,

Te i inne podobne reguły umożliwiają natychmiastowe zapisanie pochodnych wielu funkcji.

Przybliżenia liniowe.

To, że znając pochodną możemy w wielu przypadkach zastąpić wykres funkcji w pobliżu jakiegoś punktu jej styczną w tym punkcie, ma ogromne znaczenie, ponieważ łatwiej jest pracować z liniami prostymi.

Pomysł ten znajduje bezpośrednie zastosowanie przy obliczaniu przybliżonych wartości funkcji. Na przykład dość trudno jest obliczyć wartość x= 1,033. Ale możesz wykorzystać fakt, że liczba 1.033 jest bliska 1 i że . blisko x= 1 możemy zastąpić wykres krzywej stycznej bez popełnienia żadnego poważnego błędu. Nachylenie takiej stycznej jest równe wartości pochodnej ( x 1/3)ў = (1/3) x–2/3 dla x = 1, tj. 1/3. Ponieważ punkt (1,1) leży na krzywej, a nachylenie stycznej do krzywej w tym punkcie wynosi 1/3, równanie stycznej ma postać

Na tej prostej linii x = 1,033

Otrzymana wartość tak powinna być bardzo zbliżona do prawdziwej wartości tak; i rzeczywiście, jest to tylko 0,00012 więcej niż prawdziwa. W analizie matematycznej opracowano metody umożliwiające poprawę dokładności takich przybliżeń liniowych. Metody te zapewniają wiarygodność naszych przybliżonych obliczeń.

Opisana właśnie procedura sugeruje jedną użyteczną notację. Pozwalać P- punkt odpowiadający wykresowi funkcji F zmienny x i niech funkcja F(x) jest różniczkowalna. Zmieńmy wykres krzywej w pobliżu punktu r styczna do niego w tym momencie. Jeśli x zmień na wartość h, to rzędna styczna zmieni się o wartość h h F ў ( x). Jeśli h bardzo małe, to ta ostatnia wartość jest dobrym przybliżeniem do rzeczywistej zmiany rzędnej tak grafika. Jeśli zamiast tego h napiszemy symbol dx(to nie produkt!), ale zmiana rzędnej tak oznaczać dy, wtedy dostajemy dy = F ў ( x)dx, lub dy/dx = F ў ( x) (cm. Ryż. jedenaście). Dlatego zamiast Dy lub F ў ( x) dla oznaczenia pochodnej często używa się symbolu dy/dx. Wygoda tej notacji zależy głównie od wyraźnego pojawienia się reguły łańcucha (różnicowanie funkcji złożonej); w nowej notacji ta formuła wygląda tak:

gdzie sugeruje się, że w zależy od ty, a ty z kolei zależy od x.

Wartość dy zwany różniczkowym w; właściwie to zależy od dwa zmienne, a mianowicie: z x i przyrosty dx. Kiedy przyrost dx bardzo mały, rozmiar dy jest zbliżony do odpowiedniej zmiany wartości tak. Załóżmy jednak, że przyrost dx mało, nie ma potrzeby.

Pochodna funkcji tak = F(x) oznaczyliśmy F ў ( x) lub dy/dx. Często można wziąć pochodną pochodnej. Wynik nazywamy drugą pochodną F (x) i oznaczone F ўў ( x) lub D 2 tak/dx 2. Na przykład, jeśli F(x) = x 3 – 3x 2 , to F ў ( x) = 3x 2 – 6x oraz F ўў ( x) = 6x– 6. Podobna notacja jest stosowana dla instrumentów pochodnych wyższego rzędu. Jednak, aby uniknąć dużej liczby liczb pierwszych (równych rządowi pochodnej), czwartą pochodną (na przykład) można zapisać jako F (4) (x) i pochodną n th kolejność jak F (n) (x).

Można wykazać, że krzywa w punkcie jest wypukła w dół, jeśli druga pochodna jest dodatnia i wypukła w górę, jeśli druga pochodna jest ujemna.

Jeżeli funkcja ma drugą pochodną, ​​to zmiana wartości tak odpowiadający przyrostowi dx zmienny x, można w przybliżeniu obliczyć za pomocą wzoru

To przybliżenie jest generalnie lepsze niż to podane przez różniczkę Fў ( x)dx. Odpowiada to zamianie części krzywej nie na prostą, ale na parabolę.

Jeśli funkcja ma F(x) istnieją pochodne wyższych rzędów, to

Pozostały termin ma postać

gdzie x- jakaś liczba pomiędzy x oraz x + dx. Powyższy wynik nazywamy wzorem Taylora z resztą. Jeśli F(x) ma pochodne wszystkich rzędów, to zwykle R n® 0 dla n ® Ґ .

RACHUNEK CAŁKOWITY

Kwadraty.

Badanie obszarów krzywoliniowych figur płaskich otwiera nowe aspekty analizy matematycznej. Takie problemy próbowali rozwiązać nawet starożytni Grecy, dla których określenie np. obszaru koła było jednym z najtrudniejszych zadań. Wielki sukces w rozwiązaniu tego problemu odniósł Archimedes, któremu udało się również znaleźć obszar odcinka parabolicznego (ryc. 12). Posługując się bardzo złożonym rozumowaniem, Archimedes udowodnił, że pole odcinka parabolicznego to 2/3 pola opisanego prostokąta, a zatem w tym przypadku jest równe (2/3)(16) = 32/ 3. Jak zobaczymy później, wynik ten można łatwo uzyskać metodami analizy matematycznej.

Poprzednicy Newtona i Leibniza, głównie Keplera i Cavalieriego, rozwiązywali problemy obliczania pól figur krzywoliniowych metodą, którą trudno nazwać logicznie rozsądną, ale która okazała się niezwykle owocna. Kiedy Wallis w 1655 r. połączył metody Keplera i Cavalieriego z metodami Kartezjusza (geometria analityczna) i skorzystał z nowo narodzonej algebry, scena dla pojawienia się Newtona była w pełni przygotowana.

Wallis podzielił figurę, której pole powierzchni należało obliczyć, na bardzo wąskie paski, z których każdy był w przybliżeniu uważany za prostokąt. Następnie zsumował pola przybliżonych prostokątów iw najprostszych przypadkach uzyskał wartość, do której dążyła suma pól prostokątów, gdy liczba pasków zbliżała się do nieskończoności. Na ryc. 13 pokazuje prostokąty odpowiadające pewnemu paskowi obszaru pod krzywą tak = x 2 .

Twierdzenie główne.

Wielkie odkrycie Newtona i Leibniza pozwoliło wyeliminować żmudny proces dochodzenia do granicy sumy powierzchni. Dokonano tego dzięki nowemu spojrzeniu na koncepcję powierzchni. Najważniejsze jest to, że powinniśmy przedstawić obszar pod krzywą wygenerowaną przez rzędną przesuwającą się od lewej do prawej i zapytać, jak szybko zmienia się obszar omiatany przez rzędne. Klucz do odpowiedzi na to pytanie otrzymamy, jeśli weźmiemy pod uwagę dwa szczególne przypadki, w których obszar jest znany z góry.

Zacznijmy od obszaru pod wykresem funkcji liniowej tak = 1 + x, ponieważ w tym przypadku powierzchnię można obliczyć za pomocą elementarnej geometrii.

Pozwalać A(x) to część płaszczyzny zamknięta między linią prostą tak = 1 + x i segment OQ(rys. 14). Kiedy prowadzę QP prawy kwadrat A(x) wzrasta. Z jaką prędkością? Odpowiedź na to pytanie nie jest trudna, ponieważ wiemy, że powierzchnia trapezu jest równa iloczynowi jego wysokości i połowie sumy podstaw. W związku z tym,

Szybkość zmiany obszaru A(x) jest określana przez jego pochodną

Widzimy to Aў ( x) pokrywa się z rzędną w zwrotnica r. Czy to przypadek? Spróbujmy sprawdzić parabolę pokazaną na ryc. 15. Kwadrat A (x) pod parabolą w = x 2 w zakresie od 0 do x jest równe A(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Tempo zmian tego obszaru jest określone przez wyrażenie

która dokładnie pokrywa się z rzędną w ruchomy punkt r.

Zakładając, że zasada ta obowiązuje w ogólnym przypadku, więc

to tempo zmian pola pod wykresem funkcji tak = F(x), to można to wykorzystać do obliczeń innych obszarów. W rzeczywistości stosunek Aў ( x) = F(x) wyraża podstawowe twierdzenie, które można sformułować następująco: pochodna, czyli tempo zmian pola w funkcji x, jest równa wartości funkcji F (x) w punkcie x.

Na przykład, aby znaleźć obszar pod wykresem funkcji tak = x 3 od 0 do x(rys. 16), ustawiamy

Możliwa odpowiedź brzmi:

ponieważ pochodna x 4/4 jest naprawdę równe x 3 . Ponadto, A(x) wynosi zero dla x= 0, tak jak powinno być, jeśli A(x) jest rzeczywiście obszarem.

W analizie matematycznej udowodniono, że nie ma innej odpowiedzi niż powyższe wyrażenie na A(x), nie istnieje. Pokażmy, że to stwierdzenie jest wiarygodne, używając następującego heurystycznego (nierygorystycznego) rozumowania. Załóżmy, że istnieje jakieś drugie rozwiązanie V(x). Jeśli A(x) oraz V(x) „start” jednocześnie od wartości zerowej w x= 0 i zmieniają się cały czas w tym samym tempie, to ich wartości nigdy nie będą x nie może się różnić. Muszą pasować wszędzie; stąd jest unikalne rozwiązanie.

Jak możesz uzasadnić stosunek? Aў ( x) = F(x) ogólnie? Na to pytanie można odpowiedzieć jedynie badając tempo zmian powierzchni jako funkcję x ogólnie. Pozwalać m- najmniejsza wartość funkcji F (x) w przedziale od x zanim ( x + h), a m jest największą wartością tej funkcji w tym samym przedziale. Następnie przyrost powierzchni po przejściu z x Do ( x + h) musi znajdować się pomiędzy obszarami dwóch prostokątów (rys. 17). Podstawy obu prostokątów są równe h. Mniejszy prostokąt ma wysokość m i obszar mh, odpowiednio większe, m oraz Mh. Na działce o pow. x(ryc. 18) widać, że kiedy odcięta zmienia się na h, wartość rzędnej (tj. powierzchni) zwiększa się o wielkość między mh oraz Mh. Nachylenie siecznej na tym wykresie zawiera się między m oraz m. co się dzieje gdy h idzie do zera? Jeśli wykres funkcji tak = F(x) jest ciągła (tzn. nie zawiera nieciągłości), wtedy m, oraz m mają tendencję do F(x). Dlatego nachylenie Aў ( x) wykres pola w funkcji x równa się F(x). To był wniosek, do którego należało dojść.

Leibniz zaproponował dla obszaru pod krzywą tak = F(x) od 0 do a Przeznaczenie

Przy ścisłym podejściu tę tak zwaną całkę oznaczoną należy zdefiniować jako granicę pewnych sum w sposób Wallisa. Biorąc pod uwagę otrzymany powyżej wynik, jasne jest, że ta całka jest obliczana pod warunkiem, że możemy znaleźć taką funkcję A(x), które znika, gdy x= 0 i ma pochodną Aў ( x) równy F (x). Znalezienie takiej funkcji nazywa się zwykle całkowaniem, chociaż bardziej właściwe byłoby nazywanie tej operacji antydyferencjacją, co oznacza, że ​​jest to w pewnym sensie odwrotność różniczkowania. W przypadku wielomianu całkowanie jest łatwe. Na przykład, jeśli

co łatwo zweryfikować przez zróżnicowanie A(x).

Aby obliczyć powierzchnię A 1 pod krzywą tak = 1 + x + x 2 /2 zawarte między rzędnymi 0 i 1, po prostu piszemy

i zastępując x= 1, otrzymujemy A 1 = 1 + 1 / 2 + 1 / 6 = 5 / 3. Kwadrat A(x) od 0 do 2 to A 2 = 2 + 4 / 2 + 8 / 6 = 16 / 3. Jak widać na ryc. 19, obszar zamknięty między rzędnymi 1 i 2 to A 2 – A 1 = 11 / 3. Jest zwykle pisany jako całka oznaczona

Wolumeny.

Podobne rozumowanie sprawia, że ​​obliczanie objętości ciał obrotowych jest zaskakująco proste. Zademonstrujmy to na przykładzie obliczania objętości kuli, kolejnego klasycznego problemu, który starożytni Grecy, stosując znane im metody, zdołali rozwiązać z wielkim trudem.

Obróćmy część płaszczyzny zamkniętą w ćwiartce okręgu o promieniu r, pod kątem 360° wokół osi x. W rezultacie otrzymujemy półkulę (ryc. 20), której objętość oznaczamy V(x). Wymagane jest określenie szybkości, w jakiej V(x) ze zwiększającą się x. Idę z x Do x + h, łatwo jest sprawdzić, czy przyrost głośności jest mniejszy niż głośność P(r 2 – x 2)h okrągły walec o promieniu i wysokości h i więcej niż objętość P[r 2 – (x + h) 2 ]h promień i wysokość cylindra h. Dlatego na wykresie funkcji V(x) nachylenie siecznej jest zamknięte pomiędzy P(r 2 – x 2) i P[r 2 – (x + h) 2 ]. Kiedy h ma tendencję do zera, nachylenie ma tendencję do

Na x = r dostajemy

dla objętości półkuli, a więc 4 p r 3/3 na objętość całej piłki.

Podobna metoda pozwala znaleźć długości krzywych i obszary zakrzywionych powierzchni. Na przykład, jeśli a(x) – długość łuku PR na ryc. 21, to naszym zadaniem jest obliczenie aў( x). Na poziomie heurystycznym zastosujemy technikę, która pozwala nam nie uciekać się do zwykłego przejścia do granicy, co jest niezbędne do rygorystycznego dowodu wyniku. Załóżmy, że tempo zmian funkcji a(x) w punkcie r tak samo, jak by było, gdyby krzywą zastąpiono jej styczną PT w punkcie P. Ale z ryc. 21 jest bezpośrednio widoczny, gdy stąpasz h po prawej lub lewej stronie kropki x przed siebie RT oznaczający a(x) zmiany w

Dlatego tempo zmiany funkcji a(x) jest

Aby znaleźć samą funkcję a(x), konieczne jest jedynie zintegrowanie wyrażenia po prawej stronie równości. Okazuje się, że integracja jest dość trudna dla większości funkcji. Dlatego też rozwój metod rachunku całkowego stanowi dużą część analizy matematycznej.

Prymitywy.

Każda funkcja, której pochodna jest równa podanej funkcji F(x), nazywa się pierwotną (lub prymitywną) dla F(x). Na przykład, x 3 /3 - funkcja pierwotna dla funkcji x 2 ponieważ ( x 3 /3)ў = x 2. Oczywiście x 3/3 nie jest jedyną funkcją pierwotną funkcji x 2 ponieważ x 3 /3 + C jest również pochodną dla x 2 dla dowolnej stałej Z. Jednak w dalszej części zgadzamy się pominąć takie stałe addytywne. Ogólnie

gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą, ponieważ ( x n + 1/(n+ 1))ў = x n. Relacja (1) jest spełniona w jeszcze bardziej ogólnym sensie, jeśli n zastąp dowolną liczbą wymierną k, z wyjątkiem -1.

Dowolna funkcja pierwotna dla danej funkcji F(x) jest zwykle nazywana całką nieoznaczoną z F(x) i oznacz jako

Na przykład, ponieważ (sin x)ў = cos x, Formuła

W wielu przypadkach, w których istnieje wzór na całkę nieoznaczoną danej funkcji, można go znaleźć w wielu szeroko publikowanych tablicach całek nieoznaczonych. Całki funkcji elementarnych mają charakter tabelaryczny (obejmują potęgi, logarytmy, funkcję wykładniczą, funkcje trygonometryczne, odwrotne funkcje trygonometryczne, a także ich skończone kombinacje otrzymane za pomocą dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia). Za pomocą całek tabelarycznych całki można również obliczyć z bardziej złożonych funkcji. Istnieje wiele sposobów obliczania całek nieoznaczonych; najczęstszym z nich jest metoda substytucji lub substytucji zmiennych. Polega na tym, że jeśli chcemy zamienić w całce nieoznaczonej (2) x do jakiejś funkcji różniczkowej x = g(ty), to aby całka się nie zmieniła, jest to konieczne x zastąpiony przez gў ( ty)du. Innymi słowy, równość

(podstawienie 2 x = ty, skąd 2 dx = du).

Przedstawmy jeszcze jedną metodę całkowania – metodę całkowania przez części. Opiera się na znanej formule

Po zintegrowaniu lewej i prawej strony oraz uwzględnieniu tego

Ta formuła jest nazywana formułą całkowania przez części.

Przykład 2. Musisz znaleźć . Ponieważ cos x= (grzech x)ў , możemy to napisać

Od (5), zakładając ty = x oraz v= grzech x, dostajemy

A ponieważ (-cos x)ў = grzech x znajdujemy to i

Należy podkreślić, że ograniczyliśmy się do bardzo krótkiego wprowadzenia do bardzo obszernego tematu, w którym zgromadzono liczne dowcipne sztuczki.

Funkcje dwóch zmiennych.

Ze względu na krzywą tak = F(x), rozważyliśmy dwa problemy.

1) Znajdź nachylenie stycznej do krzywej w danym punkcie. Ten problem rozwiązuje się, obliczając wartość pochodnej Fў ( x) w danym punkcie.

2) Znajdź obszar pod krzywą nad segmentem osi x ograniczone pionowymi liniami x = a oraz x = b. Problem ten rozwiązuje się, obliczając całkę oznaczoną.

Każdy z tych problemów ma odpowiednik w przypadku powierzchni z = F(x,tak).

1) Znajdź płaszczyznę styczną do powierzchni w danym punkcie.

2) Znajdź objętość pod powierzchnią nad częścią samolotu tak, krzywa ograniczona Z, a z boku - prostopadle do płaszczyzny xy przechodząc przez punkty krzywej granicznej Z (cm. Ryż. 22).

Poniższe przykłady pokazują, jak te problemy są rozwiązywane.

Przykład 4. Znajdź płaszczyznę styczną do powierzchni

w punkcie (0,0,2).

Płaszczyzna jest zdefiniowana, jeśli podane są dwie przecinające się w niej linie. Jedna z tych linii ja 1) wsiądziemy do samolotu xz (w= 0), drugi ( ja 2) - w samolocie yz (x = 0) (cm. Ryż. 23).

Przede wszystkim, jeśli w= 0, to z = F(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Pochodna w odniesieniu do x, oznaczony Fў x(x,0) = –2 – 6x, w x= 0 ma wartość -2. Prosty ja 1 podane przez równania z = 2 – 2x, w= 0 - styczna do Z 1, linie przecięcia powierzchni z płaszczyzną w= 0. Podobnie, jeśli x= 0, to F(0,tak) = 2 – tak – tak 2 , a pochodna względem w ma formę

Bo Fў tak(0.0) = -1, krzywa Z 2 - linia przecięcia powierzchni z płaszczyzną yz- ma styczną ja 2 podane przez równania z = 2 – tak, x= 0. Żądana płaszczyzna styczna zawiera obie linie ja 1 i ja 2 i jest zapisany równaniem

To jest równanie samolotu. Ponadto otrzymujemy bezpośrednie ja 1 i ja 2 , przy założeniu odpowiednio w= 0 i x = 0.

Fakt, że równanie (7) rzeczywiście definiuje płaszczyznę styczną, można zobaczyć na poziomie heurystycznym, jeśli zauważymy, że równanie to zawiera człony pierwszego rzędu w równaniu (6), a człony drugiego rzędu można przedstawić jako –. Ponieważ to wyrażenie jest ujemne dla wszystkich wartości x oraz w, Oprócz x = w= 0, powierzchnia (6) leży wszędzie poniżej płaszczyzny (7), z wyjątkiem punktu r= (0,0,0). Możemy powiedzieć, że powierzchnia (6) jest wypukła do góry w punkcie r.

Przykład 5. Znajdź płaszczyznę styczną do powierzchni z = F(x,tak) = x 2 – tak 2 na początku 0.

Na powierzchni w= 0 mamy: z = F(x,0) = x 2 i Fў x(x,0) = 2x. Na Z 1 , linie przecięcia, z = x 2. W punkcie O nachylenie jest Fў x(0,0) = 0. W samolocie x= 0 mamy: z = F(0,tak) = –tak 2 i Fў tak(0,tak) = –2tak. Na Z 2 , linie przecięcia, z = –tak 2. W punkcie O nachylenie krzywej Z 2 równe Fў tak(0,0) = 0. Ponieważ styczne do Z 1 i Z 2 to osie x oraz w, płaszczyzna styczna zawierająca je jest płaszczyzną z = 0.

Jednak w pobliżu początku nasza powierzchnia nie znajduje się po tej samej stronie płaszczyzny stycznej. Rzeczywiście, krzywa Z 1 leży wszędzie powyżej płaszczyzny stycznej, z wyjątkiem punktu 0 i krzywej Z 2 - odpowiednio poniżej. Powierzchnia przecina płaszczyznę styczną z= 0 w liniach prostych w = x oraz w = –x. Mówi się, że taka powierzchnia ma punkt siodełkowy na początku (ryc. 24).

Prywatne instrumenty pochodne.

W poprzednich przykładach użyliśmy pochodnych F (x,tak) na x i przez w. Rozważmy teraz takie pochodne w bardziej ogólny sposób. Jeśli mamy funkcję dwóch zmiennych, na przykład F(x,tak) = x 2 – xy, to w każdym punkcie możemy wyznaczyć dwie z jego "pochodnych cząstkowych", jedną - różniczkując funkcję względem x i mocowanie w i różnicowanie innych w odniesieniu do w i mocowanie x. Pierwsza z tych pochodnych jest oznaczona jako Fў x(x,tak) lub ¶ F/¶ x; drugi to jak F F tak. Jeżeli obie mieszane pochodne (przez x oraz w, na w oraz x) są ciągłe, to ¶ 2 F/¶ x¶ tak= ¶ 2 F/¶ tak¶ x; w naszym przykładzie ¶ 2 F/¶ x¶ tak= ¶ 2 F/¶ tak¶ x = –1.

Częściowa pochodna Fў x(x,tak) wskazuje tempo zmian funkcji F W punkcie ( x,tak) w kierunku wzrostu x, a Fў tak(x,tak) jest szybkością zmiany funkcji F w kierunku rosnącym w. Szybkość zmiany funkcji F W punkcie ( x,w) w kierunku prostej stanowiącej kąt Q z dodatnim kierunkiem osi x, nazywana jest pochodną funkcji F w stronę; jego wartość jest złożeniem dwóch pochodnych cząstkowych funkcji f w płaszczyźnie stycznej jest prawie równe (dla small dx oraz dy) prawdziwa zmiana z na powierzchni, ale obliczenie różnicy jest zwykle łatwiejsze.

Wzór, który rozważaliśmy już od metody zmiany zmiennej, zwanej pochodną funkcji zespolonej lub regułą łańcucha, w przypadku jednowymiarowym, gdy w zależy od x, a x zależy od T, wygląda jak:

Dla funkcji dwóch zmiennych podobny wzór ma postać:

Pojęcia i zapis różniczkowania częściowego można łatwo uogólnić na wyższe wymiary. W szczególności, jeśli powierzchnia jest dana niejawnie przez równanie F(x,tak,z) = 0, równaniu płaszczyzny stycznej do powierzchni można nadać bardziej symetryczną postać: równanie płaszczyzny stycznej w punkcie ( x(x 2 /4)], a następnie integruje ponad x od 0 do 1. Ostateczny wynik to 3/4.

Formuła (10) może być również interpretowana jako tzw. całka podwójna, czyli jako granica sumy objętości elementarnych „komórek”. Każda taka komórka ma podstawę D x D tak oraz wysokość równą wysokości powierzchni nad pewnym punktem prostokątnej podstawy ( cm. Ryż. 26). Można wykazać, że oba punkty widzenia na wzór (10) są równoważne. Całki podwójne służą do znajdowania środków ciężkości i wielu momentów spotykanych w mechanice.

Bardziej rygorystyczne uzasadnienie aparatu matematycznego.

Dotychczas przedstawialiśmy koncepcje i metody analizy matematycznej na poziomie intuicyjnym i nie wahaliśmy się odwoływać się do figur geometrycznych. Pozostaje nam pokrótce przyjrzeć się bardziej rygorystycznym metodom, które pojawiły się w XIX i XX wieku.

Na początku XIX wieku, kiedy skończyła się epoka szturmu i szturmu na „tworzenie analizy matematycznej”, na pierwszy plan wysunęły się pytania o jej uzasadnienie. W pracach Abela, Cauchy'ego i szeregu innych wybitnych matematyków precyzyjnie zdefiniowano pojęcia „granicy”, „funkcji ciągłej”, „szeregu zbieżnego”. Było to konieczne, aby wprowadzić logiczny porządek do podstawy analizy matematycznej, aby uczynić z niej wiarygodne narzędzie badawcze. Potrzeba dokładnego uzasadnienia stała się jeszcze bardziej oczywista po odkryciu w 1872 r. przez Weierstrassa funkcji, które są wszędzie ciągłe, ale nigdzie nieróżnicowalne (wykres takich funkcji ma przerwę w każdym ze swoich punktów). Wynik ten wywarł na matematykach oszałamiające wrażenie, ponieważ wyraźnie przeczył ich geometrycznej intuicji. Jeszcze bardziej uderzającym przykładem zawodności geometrycznej intuicji była skonstruowana przez D. Peano krzywa ciągła, która całkowicie wypełnia pewien kwadrat, tj. przechodząc przez wszystkie jego punkty. Te i inne odkrycia powołały do ​​życia program "arytmetyzacji" matematyki, tj. uczynienie go bardziej wiarygodnym poprzez uzasadnienie wszystkich pojęć matematycznych za pomocą pojęcia liczby. Niemal purytańskie wstrzymanie się od wizualizacji w pracach nad podstawami matematyki miało swoje uzasadnienie historyczne.

Według współczesnych kanonów logicznego rygoru niedopuszczalne jest mówienie o obszarze pod krzywą tak = F(x) i powyżej segmentu osi x, parzysty F jest funkcją ciągłą, bez wcześniejszego określenia dokładnego znaczenia terminu „powierzchnia” i bez ustalenia, że ​​tak zdefiniowany obszar rzeczywiście istnieje. Problem ten z powodzeniem rozwiązał w 1854 r. B. Riemann, podając dokładną definicję pojęcia całki oznaczonej. Od tego czasu idea sumowania stojąca za pojęciem całki oznaczonej była przedmiotem wielu głębokich badań i uogólnień. W rezultacie dzisiaj możliwe jest nadanie znaczenia całce oznaczonej, nawet jeśli całka jest wszędzie nieciągła. Nowe koncepcje integracji, do powstania których wielki wkład wnieśli A. Lebesgue (1875–1941) i inni matematycy, zwiększyły moc i piękno współczesnej analizy matematycznej.

Nie byłoby właściwe zagłębianie się w szczegóły wszystkich tych i innych koncepcji. Ograniczamy się do podania ścisłych definicji granicy i całki oznaczonej.

Na zakończenie powiedzmy, że analiza matematyczna, będąc niezwykle cennym narzędziem w rękach naukowca i inżyniera, do dziś przyciąga uwagę matematyków jako źródło owocnych pomysłów. Jednocześnie współczesny rozwój wydaje się wskazywać, że analiza matematyczna jest coraz bardziej absorbowana przez taką dominację w XX wieku. gałęzie matematyki, takie jak algebra abstrakcyjna i topologia.

Na której przeanalizowaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z regułami różniczkowania i niektórymi technikami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry z pochodnymi funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę nastawić się na poważny nastrój – materiał nie jest łatwy, ale nadal postaram się przedstawić go prosto i przejrzyście.

W praktyce bardzo często masz do czynienia z pochodną funkcji złożonej, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostajesz zadanie znalezienia pochodnych.

Patrzymy w tabeli na regułę (nr 5) różnicowania funkcji złożonej:

Rozumiemy. Przede wszystkim spójrzmy na notację. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego rodzaju (gdy jedna funkcja jest zagnieżdżona w innej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona).

! Definicje te nie są teoretyczne i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Ci zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie tylko literę „x”, ale całe wyrażenie, więc znalezienie pochodnej bezpośrednio z tabeli nie zadziała. Zauważamy również, że nie da się tu zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że nie da się „rozerwać” sinusa:

W tym przykładzie, już z moich wyjaśnień, intuicyjnie widać, że funkcja jest funkcją złożoną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzanie) i funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krok, które należy wykonać, gdy wyznaczamy pochodną funkcji zespolonej to zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

W przypadku prostych przykładów wydaje się jasne, że wielomian jest zagnieżdżony pod sinusem. Ale co, jeśli to nie jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, proponuję zastosować następującą technikę, którą można wykonać mentalnie lub na szkicu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia za pomocą kalkulatora (zamiast jednego może być dowolna).

Co najpierw obliczamy? Po pierwsze będziesz musiał wykonać następującą akcję: , więc wielomian będzie funkcją wewnętrzną:

Po drugie musisz znaleźć, więc sinus - będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my ROZUMIESZ z funkcjami wewnętrznymi i zewnętrznymi nadszedł czas na zastosowanie reguły różnicowania funkcji złożonych .

Zaczynamy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się tak - ujmujemy wyrażenie w nawiasy i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:

Pierwszy znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), patrzymy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważamy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają zastosowanie, nawet jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:

Zauważ, że wewnętrzna funkcja się nie zmieniła, nie dotykamy tego.

Cóż, to dość oczywiste

Wynik zastosowania formuły czysty wygląda tak:

Współczynnik stały jest zwykle umieszczany na początku wyrażenia:

Jeśli jest jakieś nieporozumienie, zapisz decyzję na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zawsze piszemy:

Dowiadujemy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (mentalnie lub na szkicu) obliczyć wartość wyrażenia dla . Co należy zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, jaka jest podstawa:, co oznacza, że ​​wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dopiero wtedy następuje potęgowanie, dlatego funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną:

Zgodnie ze wzorem , najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Poszukujemy pożądanej formuły w tabeli:. Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna jest ważna nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej Następny:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, funkcja wewnętrzna się nie zmienia:

Teraz pozostaje znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i trochę „przeczesać” wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Aby skonsolidować rozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuję to rozgryźć samodzielnie, rozum, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy rdzeń i aby go odróżnić, należy go przedstawić jako stopień. W ten sposób najpierw sprowadzamy funkcję do odpowiedniej postaci do zróżnicowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a potęgowanie jest funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej :

Stopień jest ponownie reprezentowany jako pierwiastek (pierwiastek), a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:

Gotowe. Możesz również sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy uzyska się nieporęczne długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie będzie wyglądało na nietypową perwersję. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z zasady różniczkowania ilorazu , ale o wiele bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej przez zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - wyjmujemy znak minus pochodnej i podnosimy cosinus do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły :

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej, cofamy cosinus w dół:

Gotowe. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Przy okazji spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji złożonej. W praktycznych zadaniach często można znaleźć pochodne, w których, jak zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżone są jednocześnie 3 lub nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Próbujemy ocenić wyrażenie za pomocą wartości eksperymentalnej . Jak moglibyśmy liczyć na kalkulator?

Najpierw musisz znaleźć, co oznacza, że ​​łuk jest najgłębszym zagnieżdżeniem:

Ten arcus sinus jedności powinien być następnie podniesiony do kwadratu:

I na koniec podnosimy siódemkę do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa zagnieżdżenia, podczas gdy najbardziej wewnętrzna funkcja to arcus sinus, a najbardziej zewnętrzna funkcja to funkcja wykładnicza.

Zaczynamy decydować

Zgodnie z regułą najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, które nie neguje ważności tego wzoru. Czyli wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej Następny.

dla uczniów medyczne, pediatryczne, dentystyczne

oraz wydziały lekarskie i profilaktyczne

do pracy laboratoryjnej

„Podstawowe pojęcia analizy matematycznej”

1. Uzasadnienie naukowo-metodologiczne tematu:

Pojęcia pochodnej i różniczki należą do podstawowych pojęć analizy matematycznej. Obliczanie pochodnych jest konieczne przy rozwiązywaniu wielu problemów z fizyki i matematyki (znajdowanie prędkości, przyspieszenia, ciśnienia itp.). W szczególności o znaczeniu pojęcia pochodnej decyduje fakt, że pochodna funkcji charakteryzuje szybkość zmian tej funkcji, gdy zmienia się jej argument.

Zastosowanie różniczki umożliwia wykonanie przybliżonych obliczeń, a także ocenę błędów.

Głównym zadaniem rachunku różniczkowego są metody znajdowania pochodnych i różniczkowych funkcji oraz ich zastosowanie. Potrzeba pojęcia pochodnej pojawia się w związku ze sformułowaniem problemu obliczania prędkości ruchu i znajdowania kąta stycznej do krzywej. Możliwy jest również problem odwrotny: wyznacz odległość przebytą przez prędkość i znajdź odpowiednią funkcję przez styczną nachylenia stycznej. Taki odwrotny problem prowadzi do pojęcia całki nieoznaczonej.

Pojęcie całki oznaczonej jest wykorzystywane w wielu problemach praktycznych, w szczególności w zadaniach obliczania powierzchni figur płaskich, obliczania pracy wykonanej przez siłę zmienną oraz wyznaczania wartości średniej funkcji.

W matematycznym opisie różnych procesów i zjawisk fizycznych, chemicznych, biologicznych często stosuje się równania, które zawierają nie tylko badane wielkości, ale także ich pochodne różnych rzędów tych wielkości. Na przykład, zgodnie z najprostszą wersją prawa reprodukcji bakterii, tempo reprodukcji jest proporcjonalne do liczby bakterii w danym czasie. Jeżeli liczbę tę oznaczymy przez N(t), to zgodnie z fizycznym znaczeniem pochodnej tempo reprodukcji bakterii jest pochodną N(t) i na podstawie wspomnianego prawa możemy napisać stosunek N "(t) \u003d k∙N, gdzie k\u003e 0 - współczynnik proporcjonalności Otrzymane równanie nie jest algebraiczne, ponieważ zawiera nie tylko nieznaną funkcję N(t), ale także jej pochodną pierwszego rzędu.

2. Krótka teoria:

1. Problemy prowadzące do pojęcia pochodnej

1. Problem znalezienia prędkości v punktu materialnego. Niech jakiś punkt materialny wykona ruch prostoliniowy. W tym momencie T 1 punkt jest na miejscu m 1. W tym momencie T 2 w ciąży m 2 . Oznacz przedział m 1 , M 2 w poprzek S; T 2 - T 1 =Δt. Wartość nazywana jest średnią prędkością ruchu. Aby znaleźć chwilową prędkość punktu na pozycji m 1 niezbędny t kieruj się w stronę zera. Matematycznie oznacza to, że

, (1)

Tak więc, aby znaleźć prędkość chwilową punktu materialnego, konieczne jest obliczenie granicy stosunku przyrostu funkcji S do przyrostu argumentu Δt pod warunkiem, że ∆t→0.

2. Problem znalezienia kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji.

Rys.1

Rozważ wykres jakiejś funkcji y=f(x). Jaki jest kąt nachylenia
styczna narysowana w punkcie m 1 ? W punkcie m 1 narysuj styczną do wykresu funkcji. Wybierz dowolny punkt na wykresie m 2 i narysuj sieczną. Jest pochylony w kierunku osi OH pod kątem α 1 . Rozważać M 1 m 2 A:

, (2)

Jeśli punkt m 1 napraw i wskaż m 2 zbliżać się m 1 , następnie secans m 1 m 2 stanie się styczna do wykresu funkcji w punkcie m 1 i możesz napisać:

, (3)

Dlatego konieczne jest obliczenie granicy stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, jeśli przyrost argumentu dąży do zera.

Granica stosunku przyrostu Δy funkcji y=f(x) do przyrostu argumentu Δx w danym punkcie x 0 ponieważ Δx dąży do zera, nazywamy pochodną funkcji w danym punkcie.

Notacja pochodna: y", f "(x), . Zgodnie z definicją

, (4)

gdzie Δx=х 2 -х 1 jest przyrostem argumentu (różnica między dwoma kolejnymi wystarczająco bliskimi wartościami argumentu), Δy=y 2 -y 1 jest przyrostem funkcji (różnicą między wartościami ​funkcji odpowiadającej tym wartościom argumentu).

Znalezienie pochodnej danej funkcji nazywamy its różnicowanie. Różnicowanie podstawowych funkcji elementarnych odbywa się według gotowych wzorów (patrz tabela), a także przy użyciu zasady:

Pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji:

(ty+ υ )"= ty" + υ "

2. Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów drugiej funkcji przez pochodną pierwszej i pierwszej funkcji przez pochodną drugiej:

(u∙υ )"=u"υ +uυ "

3. Pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równy ułamkowi, którego licznik jest różnicą między iloczynem mianownika i pochodną licznika a licznikiem i pochodną mianownika, a mianownik jest kwadratem mianownika:

Fizyczne znaczenie pochodnej. Z porównania (4) i (1) wynika, że ​​chwilowa prędkość ruchu prostoliniowego punktu materialnego jest równa pochodnej zależności jego współrzędnej od czasu.

Ogólne znaczenie pochodnej funkcji polega na tym, że charakteryzuje ona szybkość (szybkość) zmiany funkcji biorąc pod uwagę zmianę argumentacji. Szybkość procesów fizycznych, chemicznych i innych, takich jak szybkość schładzania organizmu, szybkość reakcji chemicznej, szybkość reprodukcji bakterii itp., jest również wyrażana za pomocą pochodnej.

Geometryczne znaczenie pochodnej. Wartość tangensa nachylenia stycznej narysowanej do wykresu funkcji nazywa się w matematyce nachylenie stycznej.

Nachylenie stycznej narysowanej do wykresu funkcji różniczkowalnej w pewnym punkcie jest liczbowo równe pochodnej funkcji w tym punkcie.

To stwierdzenie nazywa się geometryczne znaczenie pochodnej.