Il movimento di un punto contro la gravità. Movimento di un corpo sotto l'influenza della gravità su un piano verticale

01.09.2021

introduzione

1. Movimento del corpo sotto l'influenza della gravità

1.1 Movimento di un corpo su un'orbita circolare o ellittica attorno a un pianeta

1.2 Movimento di un corpo sotto l'influenza della gravità su un piano verticale

1.3 Movimento di un corpo se la velocità iniziale è diretta ad un angolo rispetto alla gravità

2. Movimento del corpo in un mezzo con resistenza

3. Applicazione delle leggi del movimento del corpo sotto l'influenza della gravità, tenendo conto della resistenza dell'ambiente in balistica

Conclusione

Bibliografia

introduzione

Secondo la seconda legge di Newton, la causa del cambiamento del movimento, cioè la causa dell'accelerazione dei corpi, è la forza. La meccanica si occupa di forze di varia natura fisica. Molti fenomeni e processi meccanici sono determinati dall'azione delle forze gravitazionali. Legge gravità universale fu scoperto da I. Newton nel 1682. Già nel 1665, il 23enne Newton suggerì che le forze che mantengono la Luna nella sua orbita sono della stessa natura delle forze che fanno cadere una mela sulla Terra. Secondo la sua ipotesi, le forze attrattive (forze gravitazionali) agiscono tra tutti i corpi dell'Universo, dirette lungo la linea che collega i centri di massa. Per un corpo a forma di palla omogenea, il centro di massa coincide con il centro della palla.

Fig. 1. Forze gravitazionali.

Negli anni successivi Newton cercò di trovare una spiegazione fisica alle leggi del moto planetario scoperte dall'astronomo I. Keplero all'inizio del XVII secolo, e di dare espressione quantitativa per le forze gravitazionali. Sapendo come si muovono i pianeti, Newton voleva determinare quali forze agiscono su di essi. Questo percorso è chiamato problema inverso della meccanica. Se il compito principale della meccanica è determinare le coordinate di un corpo di massa nota e la sua velocità in qualsiasi momento nel tempo sulla base di forze note che agiscono sul corpo e date le condizioni iniziali (il problema diretto della meccanica), allora quando si risolve il problema inverso problema è necessario determinare le forze che agiscono sul corpo se si sa come si muove. La soluzione a questo problema portò Newton alla scoperta della legge di gravitazione universale. Tutti i corpi sono attratti tra loro con una forza direttamente proporzionale alla loro massa e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa:

Il coefficiente di proporzionalità G è lo stesso per tutti i corpi in natura. Si chiama costante gravitazionale

G = 6,67 10 -11 N m 2 / kg 2

Molti fenomeni in natura sono spiegati dall'azione delle forze di gravità universale. Il movimento dei pianeti nel sistema solare, il movimento dei satelliti terrestri artificiali, le traiettorie di volo dei missili balistici, il movimento dei corpi vicino alla superficie terrestre: tutti questi fenomeni sono spiegati sulla base della legge di gravitazione universale e della leggi della dinamica. Una delle manifestazioni della forza di gravità universale è la forza di gravità.

La gravità è una forza che agisce su un corpo dalla Terra e impartisce al corpo l'accelerazione della caduta libera:

Qualsiasi corpo situato sulla Terra (o vicino ad essa), insieme alla Terra, ruota attorno al proprio asse, ad es. un corpo si muove su una circonferenza di raggio r con velocità assoluta costante.

Fig.2. Il movimento di un corpo situato sulla superficie della Terra.

Un corpo sulla superficie terrestre subisce l'azione della forza di gravità e della forza esercitata dalla superficie terrestre.

La loro risultante

imprime al corpo un’accelerazione centripeta

Scomponiamo la forza gravitazionale in due componenti, una delle quali sarà, cioè

Dalle equazioni (1) e (2) lo vediamo

Pertanto, la gravità è una delle componenti della forza gravitazionale, la seconda componente conferisce al corpo un'accelerazione centripeta. Nel punto M alla latitudine geografica φ, la forza di gravità è diretta non lungo il raggio della Terra, ma ad un certo angolo α rispetto ad esso. La forza di gravità è diretta lungo la cosiddetta linea verticale (verticalmente verso il basso).

La forza di gravità è uguale in grandezza e direzione alla forza di gravità solo ai poli. All'equatore coincidono in direzione, ma in grandezza la differenza è maggiore.

dove ω è la velocità angolare di rotazione terrestre, R è il raggio della Terra.

rad/s,ω = 0,727·10 -4 rad/s.

Poiché ω è molto piccolo, allora FT ≈ F. Di conseguenza, la forza di gravità differisce poco in grandezza dalla forza di gravità, quindi questa differenza può spesso essere trascurata.

Allora F T ≈ F,

Da questa formula è chiaro che l'accelerazione di gravità g non dipende dalla massa del corpo che cade, ma dipende dall'altezza.

Se M è la massa della Terra, RЗ è il suo raggio, m è la massa di un dato corpo, allora la forza di gravità è

dove g è l’accelerazione di gravità sulla superficie terrestre:

La forza di gravità è diretta verso il centro della Terra. In assenza di altre forze, il corpo cade liberamente sulla Terra con l'accelerazione della gravità. Il valore medio dell'accelerazione di gravità per vari punti della superficie terrestre è 9,81 m/s 2 . Conoscere l'accelerazione di gravità e il raggio della Terra

(R З = 6,38·10 6 m), possiamo calcolare la massa della Terra M:

Man mano che ci allontaniamo dalla superficie terrestre, la forza di gravità e l'accelerazione di gravità cambiano in proporzione inversa al quadrato della distanza r dal centro della Terra. La figura illustra il cambiamento nella forza gravitazionale che agisce su un astronauta a bordo di un veicolo spaziale mentre si allontana dalla Terra. La forza con cui un astronauta è attratto dalla Terra in prossimità della sua superficie è pari a 700 N.

Fig. 3. Variazione della forza gravitazionale che agisce su un astronauta mentre si allontana dalla Terra.

Un esempio di sistema di due corpi interagenti è il sistema Terra-Luna. La Luna si trova ad una distanza dalla Terra r L = 3,84 10 6 m. Questa distanza è circa 60 volte maggiore del raggio terrestre R Z. Di conseguenza, l’accelerazione libera a l dovuta alla gravità nell’orbita della Luna è

Con tale accelerazione diretta verso il centro della Terra, la Luna si muove in orbita. Pertanto, questa accelerazione è un'accelerazione centripeta. Può essere calcolato utilizzando la formula cinematica per l'accelerazione centripeta:

dove T = 27,3 giorni. – il periodo di rivoluzione della Luna attorno alla Terra. La coincidenza dei risultati di calcoli eseguiti in modi diversi conferma l'ipotesi di Newton sull'unicità della forza che tiene la Luna in orbita e della forza di gravità. Il campo gravitazionale della Luna determina l'accelerazione della gravità g l sulla sua superficie. La massa della Luna è 81 volte inferiore alla massa della Terra e il suo raggio è circa 3,7 volte inferiore al raggio della Terra. Pertanto l’accelerazione g l è determinata dall’espressione:

Gli astronauti che sbarcarono sulla Luna si trovarono in condizioni di gravità così debole. Una persona in tali condizioni può fare passi da gigante. Ad esempio, se una persona sulla Terra salta ad un'altezza di 1 m, sulla Luna potrebbe saltare ad un'altezza di oltre 6 m.

1. Movimento del corpo sotto l'influenza della gravità

Se su un corpo agisce solo la forza di gravità, il corpo subisce una caduta libera. Il tipo di traiettoria del movimento dipende dalla direzione e dall'entità della velocità iniziale. In questo caso, sono possibili i seguenti casi di movimento del corpo:

1. Un corpo può muoversi lungo un'orbita circolare o ellittica attorno a un pianeta.

2. Se la velocità iniziale del corpo è zero o parallela alla forza di gravità, il corpo subisce una caduta libera rettilinea.

3. Se la velocità iniziale del corpo è diretta ad un angolo rispetto alla gravità, il corpo si muoverà lungo una parabola o lungo un ramo di una parabola.

1.1 Movimento di un corpo su un'orbita circolare o ellittica attorno a un pianeta

Consideriamo ora la questione dei satelliti terrestri artificiali. I satelliti artificiali si muovono al di fuori dell'atmosfera terrestre e sono influenzati solo dalle forze gravitazionali della Terra. A seconda della velocità iniziale, la traiettoria di un corpo cosmico può essere diversa. Considereremo qui solo il caso di un satellite artificiale che si muove su un'orbita circolare vicino alla Terra. Tali satelliti volano ad altitudini dell'ordine di 200-300 km e possiamo considerare la distanza dal centro della Terra approssimativamente uguale al suo raggio RZ. Quindi l'accelerazione centripeta del satellite impartitagli dalle forze gravitazionali è approssimativamente uguale a l'accelerazione di gravità g. Indichiamo la velocità del satellite nell'orbita terrestre bassa come υ 1 . Questa velocità è chiamata prima velocità di fuga. Utilizzando la formula cinematica per l'accelerazione centripeta, otteniamo:

Muovendosi a tale velocità, il satellite circonderebbe la Terra nel tempo

In effetti, il periodo di rivoluzione di un satellite in un'orbita circolare vicino alla superficie terrestre è leggermente più lungo del valore specificato a causa della differenza tra il raggio dell'orbita reale e il raggio della Terra. Il movimento di un satellite può essere pensato come una caduta libera, simile al movimento dei proiettili o dei missili balistici. L'unica differenza è che la velocità del satellite è così elevata che il raggio di curvatura della sua traiettoria è uguale al raggio della Terra. Per i satelliti che si muovono lungo traiettorie circolari a notevole distanza dalla Terra, la gravità terrestre si indebolisce in maniera inversamente proporzionale al quadrato del raggio r della traiettoria. La velocità del satellite υ si trova dalla condizione

Pertanto, nelle orbite alte la velocità dei satelliti è inferiore rispetto all'orbita terrestre bassa. Il periodo orbitale T di un tale satellite è uguale a

Qui T 1 è il periodo orbitale del satellite nell'orbita terrestre bassa. Il periodo orbitale del satellite aumenta con l'aumentare del raggio orbitale. È facile calcolare che con un raggio orbitale r pari a circa 6,6R W, il periodo orbitale del satellite sarà pari a 24 ore. Un satellite con un tale periodo orbitale, lanciato sul piano equatoriale, rimarrà immobile su un certo punto della superficie terrestre. Tali satelliti sono utilizzati nei sistemi di comunicazione radio spaziale. Un'orbita di raggio r = 6,6R o è detta geostazionaria.

1.2 Movimento di un corpo sotto l'influenza della gravità su un piano verticale

Se la velocità iniziale del corpo è nulla o parallela alla forza di gravità, il corpo subisce una caduta libera rettilinea.

Il compito principale della meccanica è determinare la posizione del corpo in qualsiasi momento. La soluzione al problema per le particelle che si muovono nel campo gravitazionale terrestre sono le equazioni nelle proiezioni sugli assi OX e OY:

Queste formule sono sufficienti per risolvere qualsiasi problema relativo al moto di un corpo sotto l'influenza della gravità.

Il corpo viene lanciato verticalmente verso l'alto

In questo caso, v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = -g.

Il movimento del corpo in questo caso avverrà in linea retta, prima verticalmente verso l'alto fino al punto in cui la velocità diventa zero, e poi verticalmente verso il basso.

Fig. 4. Movimento di un corpo lanciato verso l'alto.

Quando un corpo si muove con accelerazione in un campo gravitazionale, il peso del corpo cambia.

Il peso di un corpo è la forza con cui il corpo agisce su un supporto o una sospensione immobile rispetto ad esso.

Il peso di un corpo deriva dalla sua deformazione causata dall'azione di una forza proveniente dal supporto (forza di reazione) o dalla sospensione (forza di tensione). Il peso differisce notevolmente dalla forza di gravità:

Si tratta di forze di diversa natura: la gravità è la forza gravitazionale, il peso è la forza elastica (di natura elettromagnetica).

Si applicano a diversi corpi: gravità - al corpo, peso - al supporto.

Fig.5. Punti di applicazione della gravità e del peso corporeo.

La direzione del peso del corpo non coincide necessariamente con la direzione verticale.

La forza di gravità di un corpo in un dato luogo della Terra è costante e non dipende dalla natura del movimento del corpo; il peso dipende dall'accelerazione con cui il corpo si muove.

Consideriamo come cambia il peso di un corpo che si muove in direzione verticale insieme ad un supporto. Sul corpo agisce la gravità e la forza di reazione del terreno.

Fig.5. Cambiamenti nel peso corporeo quando ci si muove con accelerazione.

Equazione base della dinamica: . In proiezione sull'asse Oy:

Secondo la terza legge di Newton, moduli di forza N p1 = P 1. Pertanto, peso corporeo P 1 = mg

, (il corpo sperimenta un sovraccarico).

Pertanto, il peso corporeo

Se a = g, allora P = 0

Pertanto, il peso di un corpo durante il movimento verticale può essere generalmente espresso dalla formula

Dividiamo mentalmente il corpo immobile in strati orizzontali. Ciascuno di questi strati risente della gravità e del peso della parte del corpo sovrastante. Questo peso tanto maggiore quanto più basso è lo strato. Pertanto, sotto l'influenza del peso delle parti sovrastanti del corpo, ogni strato si deforma e in esso si formano sollecitazioni elastiche, che aumentano man mano che ci si sposta dalla parte superiore del corpo a quella inferiore.

Fig. 6. Corpo suddiviso in strati orizzontali.

Se un corpo cade liberamente (a = g), il suo peso è zero, tutte le deformazioni del corpo scompaiono e, nonostante l'effetto residuo della gravità, gli strati superiori non esercitano pressione su quelli inferiori.

Lo stato in cui le deformazioni e le pressioni reciproche scompaiono in un corpo che si muove liberamente è chiamato assenza di gravità. La ragione dell'assenza di gravità è che la forza di gravità universale imprime la stessa accelerazione al corpo e al suo sostegno.

1.3 Movimento di un corpo se la velocità iniziale è diretta ad un angolo rispetto alla gravità

Il corpo viene lanciato orizzontalmente, cioè ad angolo retto rispetto alla direzione della gravità.

In questo caso, v 0x = v 0, g x = 0, v 0y = 0, g y = - g, x 0 = 0 e, quindi,

Per determinare il tipo di traiettoria lungo la quale si muoverà il corpo in questo caso, esprimiamo il tempo t dalla prima equazione e lo sostituiamo nella seconda equazione. Di conseguenza, otteniamo una dipendenza quadratica di y da x:

Ciò significa che il corpo si muoverà lungo il ramo della parabola.

Fig.7. Il movimento di un corpo lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale.

Anche il movimento di un corpo lanciato con una certa velocità iniziale υ o con un angolo α rispetto all'orizzonte è un movimento complesso: uniforme nella direzione orizzontale e allo stesso tempo movimento uniformemente accelerato che avviene sotto l'influenza della gravità nella direzione verticale. Ecco come si muove uno sciatore quando salta da un trampolino, un getto d'acqua da una manichetta antincendio, ecc.

Fig.8. Un flusso d'acqua proveniente da una manichetta antincendio.

Lo studio delle caratteristiche di un tale movimento iniziò molto tempo fa, nel XVI secolo, e fu associato all'avvento e al miglioramento dei cannoni di artiglieria.

Le idee sulla traiettoria dei proiettili di artiglieria a quei tempi erano piuttosto divertenti. Si credeva che questa traiettoria fosse composta da tre sezioni: A - movimento violento, B - movimento misto e C - movimento naturale, in cui la palla di cannone cade sui soldati nemici dall'alto.

Fig.9. La traiettoria di un proiettile di artiglieria.

Le leggi del volo dei proiettili non attirarono molta attenzione da parte degli scienziati fino a quando non furono inventate le armi a lungo raggio che lanciavano il proiettile attraverso colline o alberi senza che chi sparava vedesse il loro volo.

Inizialmente, il tiro a lunghissima distanza da tali armi veniva utilizzato principalmente per demoralizzare e intimidire il nemico, e la precisione del tiro inizialmente non giocava un ruolo particolarmente importante.

Il matematico italiano Tartaglia si avvicinò alla soluzione corretta del volo delle palle di cannone; riuscì a dimostrare che la massima gittata dei proiettili poteva essere raggiunta quando il tiro veniva diretto con un angolo di 45° rispetto all'orizzonte. Nel suo libro "New Science" sono state formulate le regole di tiro che hanno guidato gli artiglieri fino alla metà del XVII secolo.

Tuttavia, soluzione completa i problemi legati al movimento dei corpi lanciati orizzontalmente o ad angolo rispetto all'orizzonte furono risolti dallo stesso Galileo. Nel suo ragionamento partiva da due idee principali: i corpi che si muovono orizzontalmente e non influenzati da altre forze manterranno la loro velocità; la comparsa di influenze esterne cambierà la velocità di un corpo in movimento, indipendentemente dal fatto che fosse fermo o in movimento prima dell'inizio della loro azione. Galileo dimostrò che le traiettorie dei proiettili, se trascuriamo la resistenza dell'aria, sono parabole. Galileo fece notare che con il movimento reale dei proiettili, a causa della resistenza dell'aria, la loro traiettoria non assomiglierà più ad una parabola: il ramo discendente della traiettoria sarà un po' più ripido della curva calcolata.

Newton e altri scienziati svilupparono e migliorarono una nuova teoria del tiro, tenendo conto della maggiore influenza delle forze di resistenza dell'aria sul movimento dei proiettili di artiglieria. Apparve anche una nuova scienza: la balistica. Sono passati molti, molti anni e ora i proiettili si muovono così velocemente che anche un semplice confronto del tipo di traiettorie del loro movimento conferma la maggiore influenza della resistenza dell'aria.

Figura 10. Traiettoria ideale e reale di un proiettile.

Nella nostra figura, la traiettoria ideale di un proiettile pesante sparato dalla canna di un fucile con un'elevata velocità iniziale è mostrata con una linea tratteggiata, e la linea continua mostra la traiettoria effettiva del proiettile nelle stesse condizioni di sparo.

Nella balistica moderna, per risolvere tali problemi viene utilizzata la tecnologia informatica elettronica - i computer, ma per ora ci limiteremo a un caso semplice: lo studio di un movimento in cui la resistenza dell'aria può essere trascurata. Questo ci permetterà di ripetere il ragionamento di Galileo quasi senza alcuna modifica.

Il volo di proiettili e granate è un esempio del movimento di corpi lanciati obliquamente rispetto all'orizzonte. Una descrizione accurata della natura di tale movimento è possibile solo considerando una situazione ideale.

Vediamo come cambia la velocità di un corpo lanciato con un angolo α rispetto all'orizzontale in assenza di resistenza dell'aria. Durante l'intero volo, sul corpo agisce la forza di gravità. Sulla prima sezione della traiettoria in direzione.

Figura 11. Variazione di velocità lungo la traiettoria.

Nel punto più alto della traiettoria - nel punto C - la velocità del corpo sarà minima, è diretto orizzontalmente, ad un angolo di 90° rispetto alla linea di azione della gravità. Nella seconda parte della traiettoria, il volo del corpo avviene in modo simile al movimento di un corpo lanciato orizzontalmente. Il tempo di movimento dal punto A al punto C sarà uguale al tempo di movimento lungo la seconda parte della traiettoria in assenza di forze di resistenza dell'aria.

Se i punti di “lancio” e “atterraggio” si trovano sulla stessa linea orizzontale, lo stesso si può dire delle velocità di “lancio” e “atterraggio”. Anche in questo caso gli angoli tra la superficie della Terra e la direzione della velocità di movimento nei punti di “lancio” e “atterraggio” saranno uguali.

La portata di volo di un corpo AB lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale dipende dal valore della velocità iniziale e dall'angolo di lancio. A velocità di lancio costante V 0, con un aumento dell'angolo tra la direzione della velocità di lancio e la superficie orizzontale da 0 a 45°, la portata di volo aumenta, mentre con un ulteriore aumento dell'angolo di lancio diminuisce. Puoi verificarlo facilmente dirigendo un flusso d'acqua ad angoli diversi rispetto all'orizzonte o monitorando il movimento di una palla rilasciata da una “pistola” a molla (tali esperimenti sono facili da fare da soli).

La traiettoria di tale movimento è simmetrica rispetto al punto di volo più alto e a basse velocità iniziali, come accennato in precedenza, è una parabola.

La massima autonomia di volo ad una determinata velocità di partenza si ottiene con un angolo di lancio di 45°. Quando l'angolo di lancio è 30° o 60°, la portata di volo dei corpi per entrambi gli angoli è la stessa. Per angoli di lancio di 75° e 15°, la portata di volo sarà nuovamente la stessa, ma inferiore a quella per angoli di lancio di 30° e 60°. Ciò significa che l’angolo più “favorevole” per un lancio lungo è un angolo di 45°; per qualsiasi altro valore dell’angolo di lancio, la gittata sarà inferiore.

Se si lancia un corpo con una certa velocità iniziale v o con un angolo di 45° rispetto all'orizzonte, il suo raggio di volo sarà il doppio dell'altezza massima di sollevamento di un corpo lanciato verticalmente verso l'alto con la stessa velocità iniziale.

La massima autonomia di volo S di un corpo lanciato con un angolo α rispetto all'orizzonte può essere trovata dalla formula:

altezza massima di sollevamento H secondo la formula:

In assenza di resistenza dell'aria, l'autonomia di volo più lunga corrisponderebbe ad un angolo di inclinazione della canna del fucile pari a 45°, ma la resistenza dell'aria modifica significativamente la traiettoria del movimento e l'autonomia di volo massima corrisponde ad un altro angolo di inclinazione del fucile canna - più di 45°. L'entità di questo angolo dipende anche dalla velocità del proiettile quando viene sparato. Se la velocità del proiettile quando viene sparato è di 870 m/s, l'autonomia di volo effettiva sarà di circa 3,5 km e non di 77 km, come mostrano i calcoli "ideali".

Queste relazioni mostrano che la distanza percorsa da un corpo in direzione verticale non dipende dal valore della velocità iniziale - dopo tutto, il suo valore non è incluso nella formula per calcolare l'altezza H. E maggiore è la velocità iniziale del corpo proiettile, maggiore è la sua velocità iniziale, maggiore è la portata di volo del proiettile in direzione orizzontale.

Studiamo il moto di un corpo lanciato con velocità iniziale v 0 con un angolo α rispetto all'orizzonte, considerandolo come un punto materiale di massa m. In questo caso trascureremo la resistenza dell'aria e considereremo il campo gravitazionale essere uniforme (P = const), assumendo che la distanza di volo e l'altitudine della traiettoria siano piccole rispetto al raggio della Terra.

Posizioniamo l'origine delle coordinate O nella posizione iniziale del punto. Dirigiamo l'asse O y verticalmente verso l'alto; Posizioneremo l'asse orizzontale O x nel piano passante per O y e il vettore v 0, e disegneremo l'asse O z perpendicolare ai primi due assi. Quindi l'angolo tra il vettore v 0 e l'asse O x sarà uguale ad α

Fig. 12.Moto di un corpo lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale.

Rappresentiamo un punto M in movimento da qualche parte sulla traiettoria. Il punto è interessato solo dalla forza di gravità, le cui proiezioni sugli assi coordinati sono pari a: P x =0, P y =-P =mg, P Z =0

Sostituendo queste quantità in equazioni differenziali e notando che, ecc. dopo la riduzione di m otteniamo:

Moltiplicando entrambi i membri di queste equazioni per dt e integrando, troviamo:

Le condizioni iniziali del nostro problema hanno la forma:

x=0,

y=0,

Soddisfacendo le condizioni iniziali avremo:

Sostituendo questi valori C 1, C 2 e C 3 nella soluzione trovata sopra e sostituendo V x, V Y, V z con si arriva alle equazioni:

Integrando queste equazioni, otteniamo:

Sostituendo i dati iniziali si ottiene C 4 = C 5 = C 6 = 0, e infine troviamo le equazioni del moto del punto M nella forma:

Dall'ultima equazione segue che il movimento avviene nel piano O xy

Avendo l'equazione del moto di un punto, è possibile determinare tutte le caratteristiche di un dato movimento utilizzando metodi cinematici.

1. Traiettoria di un punto. Escludendo il tempo t dalle prime due equazioni (1), otteniamo l'equazione della traiettoria del punto:

(2)

Questa è l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse O y. Pertanto, un punto pesante lanciato ad angolo rispetto all'orizzonte si muove nello spazio senz'aria lungo una parabola (Galileo).

2. Portata orizzontale. Determiniamo l'intervallo orizzontale, ad es. distanza OC=X misurata lungo l'asse Ox. Assumendo y=0 in uguaglianza (2), troviamo i punti di intersezione della traiettoria con l'asse O x. Dall'equazione:

noi abbiamo

La prima soluzione dà il punto O, la seconda dà il punto C. Quindi X = X 2 e infine

(3)

Dalla formula (3) è chiaro che lo stesso intervallo orizzontale X si otterrà ad un angolo β per il quale 2β=180° - 2α, cioè se l'angolo β=90°-α. Pertanto, per una data velocità iniziale v 0, lo stesso punto C può essere raggiunto attraverso due traiettorie: piane (α<45°) и навесной (β=90°-α>45°)

Per una data velocità iniziale v 0, la massima escursione orizzontale nello spazio senz'aria si ottiene quando sin 2 α = 1, cioè con angolo α=45°.

quindi si trova l'altezza della traiettoria H:

(4)

Tempo di volo. Dalla prima equazione del sistema (1) segue che il tempo di volo totale T è determinato dall'uguaglianza Sostituendo qui X con il suo valore, otteniamo

All'angolo di portata più lungo α=45°, tutti i valori trovati sono uguali:

I risultati ottenuti sono praticamente del tutto applicabili per la determinazione approssimativa delle caratteristiche di volo di proiettili (missili) con distanze dell'ordine di 200...600 km, poiché a queste distanze (e a ) il proiettile passa la maggior parte del suo percorso in la stratosfera, dove la resistenza dell'aria può essere trascurata. A distanze più brevi, il risultato sarà fortemente influenzato dalla resistenza dell'aria e a distanze superiori a 600 km la gravità non può più essere considerata costante.

Moto di un corpo lanciato da un'altezza h.

Un cannone montato ad un'altezza h è stato sparato con un angolo α rispetto all'orizzontale. La palla di cannone volò fuori dalla canna della pistola con velocità u. Definiamo le equazioni del moto del nucleo.

Fig. 13. Movimento di un corpo lanciato dall'alto.

Per comporre correttamente le equazioni differenziali del moto, è necessario risolvere tali problemi secondo un determinato schema.

a) Assegnare un sistema di coordinate (numero di assi, loro direzione e origine). Gli assi ben scelti semplificano la soluzione.

b) Mostrare un punto in una posizione intermedia. In questo caso è necessario assicurarsi che le coordinate di questa posizione siano necessariamente positive.

c) Mostrare le forze che agiscono sul punto in questa posizione intermedia (non mostrare le forze inerziali!).

In questo esempio, è solo la forza, il peso del nucleo. Non prenderemo in considerazione la resistenza dell'aria.

d) Comporre equazioni differenziali utilizzando le formule:

Da qui otteniamo due equazioni: e .

e) Risolvere equazioni differenziali.

Le equazioni ottenute qui sono equazioni lineari secondo ordine, sul lato destro - costanti. La soluzione di queste equazioni è elementare.

Non resta che trovare le integrazioni costanti. Sostituiamo le condizioni iniziali (a t = 0, x = 0, y = h, ,) in queste quattro equazioni: ,,

0 = C2, h = D2.

Sostituiamo i valori delle costanti nelle equazioni e scriviamo le equazioni del moto del punto nella loro forma finale

Avendo queste equazioni, come noto dalla sezione cinematica, è possibile determinare in qualsiasi momento la traiettoria del nucleo, la velocità, l'accelerazione e la posizione del nucleo.

Come si può vedere da questo esempio, lo schema di risoluzione del problema è abbastanza semplice. Le difficoltà possono sorgere solo quando si risolvono equazioni differenziali, il che può essere difficile.

Qui la forza è la forza di attrito. Se la linea lungo la quale si muove il punto è liscia, allora T = 0 e quindi la seconda equazione conterrà solo una coordinata sconosciuta s:

Risolta questa equazione, otteniamo la legge del moto di un punto e quindi, se necessario, sia la velocità che l'accelerazione. La prima e la terza equazione (5) ti permetteranno di trovare le reazioni e .

2. Movimento del corpo in un mezzo con resistenza

resistenza al movimento balistica orbita ellittica

Uno dei compiti più importanti dell'aerodinamica e dell'idrodinamica è lo studio del movimento dei corpi solidi nei gas e nei liquidi. In particolare lo studio delle forze con cui l'ambiente agisce su un corpo in movimento. Questo problema è diventato particolarmente importante a causa del rapido sviluppo dell'aviazione e dell'aumento della velocità di viaggio. navi marittime. Un corpo che si muove in un liquido o gas è influenzato da due forze (denotiamo la loro risultante come R), una delle quali (R x) è diretta nella direzione opposta al movimento del corpo (verso il flusso), - trascinamento , e la seconda (R y) è perpendicolare, questa direzione è la forza di sollevamento.

Dove ρ è la densità del mezzo; υ – velocità del movimento del corpo; S è la sezione trasversale più grande del corpo.

La forza di sollevamento può essere determinata dalla formula:

Dove C y è il coefficiente di portanza adimensionale.

Se il corpo è simmetrico e il suo asse di simmetria coincide con la direzione della velocità, su di esso agisce solo la resistenza e la forza di sollevamento in questo caso è zero. Si può dimostrare che in liquido ideale movimento uniforme avviene senza trascinamento. Se consideriamo il movimento di un cilindro in un tale fluido, allora lo schema delle linee di flusso è simmetrico e la forza di pressione risultante sulla superficie del cilindro sarà zero.

La situazione è diversa quando i corpi si muovono in un fluido viscoso (soprattutto quando la velocità del flusso aumenta). A causa della viscosità del mezzo, nella regione adiacente alla superficie del corpo si forma uno strato limite di particelle che si muovono a velocità inferiori. Come risultato dell'effetto frenante di questo strato, si verifica la rotazione delle particelle e il movimento del fluido nello strato limite diventa un vortice. Se il corpo non ha una forma aerodinamica (non esiste una parte della coda che si assottiglia uniformemente), lo strato limite del liquido viene separato dalla superficie del corpo. Dietro il corpo appare un flusso di liquido o gas, diretto in direzione opposta al flusso in arrivo. Lo strato limite separato, seguendo questo flusso, forma vortici rotanti in direzioni opposte. La resistenza dipende dalla forma del corpo e dalla sua posizione rispetto al flusso, di cui si tiene conto nel coefficiente di resistenza. La viscosità (attrito interno) è la proprietà dei liquidi reali di resistere al movimento di una parte del liquido rispetto a un'altra. Quando alcuni strati di liquido reale si muovono rispetto ad altri, si verificano forze di attrito interne F, dirette tangenzialmente alla superficie degli strati. L'azione di queste forze si manifesta nel fatto che dal lato dello strato che si muove più velocemente, una forza di accelerazione agisce sullo strato che si muove più lentamente. Dal lato dello strato che si muove più lentamente, una forza frenante agisce sullo strato che si muove più velocemente. La forza di attrito interno F è tanto maggiore quanto maggiore è la superficie dello strato S considerata e dipende dalla rapidità con cui cambia la velocità del flusso del fluido quando si passa da uno strato all'altro. La quantità influisce sulla rapidità con cui cambia la velocità quando ci si sposta da uno strato all'altro nella direzione x, perpendicolare alla direzione di movimento degli strati, ed è chiamata gradiente di velocità. Pertanto, il modulo della forza di attrito interno

dove è il coefficiente di proporzionalità η, a seconda della natura del liquido. chiamata viscosità dinamica.

Maggiore è la viscosità, più il liquido differisce dall'ideale, maggiori sono le forze di attrito interno che si presentano in esso. La viscosità dipende dalla temperatura e la natura di questa dipendenza è diversa per liquidi e gas (per i liquidi η diminuisce all'aumentare della temperatura, per i gas, al contrario, aumenta), il che indica una differenza nei meccanismi di attrito interno in essi.

3. Applicazione delle leggi del movimento del corpo sotto l'influenza della gravità, tenendo conto della resistenza dell'ambiente in balistica

Il compito principale della balistica è determinare con quale angolo rispetto all'orizzonte e con quale velocità iniziale un proiettile di una certa massa e forma deve volare per raggiungere il bersaglio.

Formazione della traiettoria.

Durante uno sparo, un proiettile, avendo ricevuto una certa velocità iniziale sotto l'influenza dei gas in polvere quando lascia la canna, tende per inerzia a mantenere l'entità e la direzione di questa velocità, e una granata con un motore a reazione si muove per inerzia dopo lo sparo i gas sono fuoriusciti dal motore a reazione. Se il volo di un proiettile (granata) avvenisse in uno spazio senz'aria e la gravità non agisse su di esso, il proiettile (granata) si muoverebbe in modo rettilineo, uniforme e senza fine. Tuttavia, un proiettile (granata) che vola in aria è soggetto a forze che ne modificano la velocità di volo e la direzione del movimento. Queste forze sono la gravità e la resistenza dell'aria.

A causa dell'azione combinata di queste forze, il proiettile perde velocità e cambia la direzione del suo movimento, muovendosi nell'aria lungo una linea curva che passa sotto la direzione dell'asse della canna.

La linea curva che il centro di gravità di un proiettile in movimento (proiettile) descrive nello spazio in volo è chiamata traiettoria. Tipicamente, la balistica considera la traiettoria sopra (o sotto) l'orizzonte dell'arma: un immaginario piano orizzontale infinito che passa attraverso il punto di partenza. Il movimento del proiettile, e quindi la forma della traiettoria, dipende da molte condizioni. Quando vola in aria, un proiettile è soggetto a due forze: gravità e resistenza dell'aria. La forza di gravità fa sì che il proiettile si abbassi gradualmente e la forza della resistenza dell'aria rallenta continuamente il movimento del proiettile e tende a rovesciarlo. Come risultato dell'azione di queste forze, la velocità di volo diminuisce gradualmente e la sua traiettoria assume la forma di una linea curva curva in modo irregolare.

L'azione della gravità.

Immaginiamo che il proiettile, dopo aver lasciato la canna, sia soggetto ad una sola forza di gravità. Quindi inizierà a cadere verticalmente verso il basso, come qualsiasi corpo che cade liberamente. Se assumiamo che la forza di gravità agisca sul proiettile mentre vola per inerzia nello spazio senz'aria, sotto l'influenza di questa forza il proiettile cadrà più in basso rispetto all'estensione dell'asse della canna: nel primo secondo - di 4,9 m, nel secondo secondo - di 19,6 m, ecc. In questo caso, se punti la canna di un'arma verso un bersaglio, il proiettile non lo colpirà mai, poiché, soggetto all'azione della gravità, volerà sotto il bersaglio. È abbastanza ovvio che affinché un proiettile voli per una certa distanza e colpisca il bersaglio, è necessario puntare la canna dell'arma da qualche parte sopra il bersaglio in modo che la traiettoria del proiettile, piegandosi sotto l'influenza della gravità, attraversi il centro del bersaglio. Per fare ciò, è necessario che l'asse della canna e il piano dell'orizzonte dell'arma formino un certo angolo, chiamato angolo di elevazione. La traiettoria di un proiettile nello spazio senz'aria, influenzato dalla gravità, è una curva regolare chiamata parabola. Il punto più alto della traiettoria sopra l'orizzonte dell'arma è chiamato apice. La parte della curva dal punto di partenza alla cima è chiamata ramo ascendente della traiettoria, mentre dalla cima al punto di caduta è chiamata ramo discendente. Questa traiettoria del proiettile è caratterizzata dal fatto che i rami ascendente e discendente sono esattamente gli stessi e gli angoli di lancio e di caduta sono uguali tra loro.

Azione della forza di resistenza dell'aria.

A prima vista, sembra improbabile che l'aria, che ha una densità così bassa, possa fornire una resistenza significativa al movimento di un proiettile e quindi ridurne significativamente la velocità. Tuttavia, la resistenza dell'aria ha un forte effetto frenante sul proiettile, facendogli perdere velocità. La resistenza dell'aria al volo di un proiettile è causata dal fatto che l'aria è un mezzo elastico e quindi parte dell'energia del proiettile viene spesa per il movimento in questo mezzo. La forza di resistenza dell'aria è causata da tre ragioni principali: l'attrito dell'aria, la formazione di vortici e la formazione di un'onda balistica.

Come mostrano le fotografie di un proiettile che vola a velocità supersoniche (oltre 340 m/sec), davanti alla sua testa si forma una compattazione d'aria. Da questa compattazione l'onda della testa diverge in tutte le direzioni. Le particelle d'aria, scivolando lungo la superficie del proiettile e staccandosi dalle sue pareti laterali, formano una zona di spazio rarefatto dietro il fondo del proiettile, a seguito della quale appare una differenza di pressione sulle parti della testa e del fondo. Questa differenza crea una forza diretta nella direzione opposta al movimento del proiettile e ne riduce la velocità di volo. Le particelle d'aria, cercando di riempire il vuoto creato dietro il proiettile, creano un vortice, a seguito del quale un'onda di coda si estende dietro la parte inferiore del proiettile.

La compattazione dell'aria davanti alla testa del proiettile ne rallenta il volo; la zona rarefatta dietro il proiettile lo risucchia e quindi potenzia ulteriormente la frenata; Oltre a tutto ciò, le pareti del proiettile subiscono l'attrito con le particelle d'aria, che ne rallenta anche il volo. La risultante di queste tre forze è la forza di resistenza dell'aria. Durante il volo, un proiettile (granata) si scontra con le particelle d'aria e le fa vibrare. Di conseguenza, la densità dell'aria davanti al proiettile (granata) aumenta e si formano onde sonore. Pertanto, il volo di un proiettile (granata) è accompagnato da un suono caratteristico. Quando la velocità di un proiettile (granata) è inferiore alla velocità del suono, la formazione di queste onde ha poco effetto sul suo volo, poiché le onde si propagano più velocemente della velocità del proiettile (granata). Quando la velocità di volo del proiettile è maggiore della velocità del suono, le onde sonore si scontrano tra loro per creare un'onda di aria altamente compressa, un'onda balistica che rallenta la velocità di volo del proiettile, poiché il proiettile spende parte della sua energia per creare questa velocità. onda.

La risultante (totale) di tutte le forze generate a seguito dell'influenza dell'aria sul volo di un proiettile (granata) è la forza della resistenza dell'aria. Il punto di applicazione della forza di resistenza è chiamato centro di resistenza.

L'influenza della resistenza dell'aria sul volo di un proiettile è molto grande: provoca una diminuzione della velocità e della portata del proiettile.

Effetto della resistenza dell'aria su un proiettile.

L'entità della forza di resistenza dell'aria dipende dalla velocità del volo, dalla forma e dal calibro del proiettile, nonché dalla sua superficie e dalla densità dell'aria.

La forza della resistenza dell'aria aumenta con il calibro del proiettile, la sua velocità di volo e la densità dell'aria. Affinché la resistenza dell'aria possa rallentare meno un proiettile durante il volo, è abbastanza ovvio che è necessario ridurne il calibro e aumentarne la massa. Queste considerazioni hanno portato alla necessità di utilizzare proiettili allungati nelle armi leggere e tenendo conto delle velocità di volo supersoniche dei proiettili, quando la causa principale della resistenza dell'aria è la formazione di compattazione dell'aria davanti alla testata (onda balistica), proiettili con una forma allungata la testa appuntita è vantaggiosa. Alle velocità di volo subsoniche di una granata, quando la causa principale della resistenza dell'aria è la formazione di spazio rarefatto e turbolenza, sono vantaggiose le granate con una sezione di coda allungata e ristretta.

Più liscia è la superficie del proiettile, minore è la forza di attrito e la resistenza dell'aria.

La varietà delle forme dei proiettili moderni è in gran parte determinata dalla necessità di ridurre la forza della resistenza dell'aria.

Se il volo di un proiettile avvenisse in uno spazio senz'aria, la direzione del suo asse longitudinale rimarrebbe invariata e il proiettile cadrebbe a terra non con la testa, ma con il fondo.

Tuttavia, quando la forza della resistenza dell'aria agisce sul proiettile, il suo volo sarà completamente diverso. Sotto l'influenza dei disturbi iniziali (shock), nel momento in cui il proiettile lascia la canna, si forma un angolo tra l'asse del proiettile e la tangente alla traiettoria e la forza della resistenza dell'aria non agisce lungo l'asse del proiettile, ma ad angolo rispetto ad esso, cercando non solo di rallentare il movimento del proiettile, ma anche di ribaltarlo. Nel primo momento, quando il proiettile lascia la canna, la resistenza dell'aria ne rallenta solo il movimento. Ma non appena il proiettile inizia a cadere sotto l'influenza della gravità, le particelle d'aria inizieranno a esercitare pressione non solo sulla parte della testa, ma anche sulla sua superficie laterale.

Quanto più il proiettile scende, tanto più espone la sua superficie laterale alla resistenza dell'aria. E poiché le particelle d'aria esercitano una pressione significativamente maggiore sulla testa del proiettile che sulla coda, tendono a ribaltare indietro il proiettile con la testa.

Di conseguenza, la forza della resistenza dell'aria non solo rallenta il proiettile durante il suo volo, ma tende anche a inclinarne la testa all'indietro. Maggiore è la velocità e la lunghezza del proiettile, maggiore è l'effetto battente dell'aria su di esso. È abbastanza comprensibile che con questo effetto della resistenza dell'aria, il proiettile inizierà a cadere durante il volo. Allo stesso tempo, esponendo un lato o l'altro all'aria, il proiettile perderà rapidamente velocità, e quindi il raggio di volo sarà breve e la precisione della battaglia sarà insoddisfacente.

Conclusione

In tutti gli esempi considerati, sul corpo agiva la stessa forza di gravità. Tuttavia, i movimenti sembravano diversi. Ciò è spiegato dal fatto che la natura del movimento di qualsiasi corpo in determinate condizioni è determinata dal suo stato iniziale. Non per niente tutte le equazioni che abbiamo ottenuto contengono coordinate iniziali e velocità iniziali. Cambiandoli, possiamo far sì che il corpo si alzi o scenda in linea retta, si muova lungo una parabola, raggiungendo la sua sommità, o cada lungo di essa; Possiamo piegare l'arco di una parabola più forte o più debole, ecc. E allo stesso tempo, tutta questa varietà di movimenti può essere espressa in una semplice formula:

Bibliografia

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5. Chertov A.G., Vorobyov A.A. Libro dei problemi di fisica. M. Istruzione, 1988.

Soggetto. Forza di gravità. Movimento di un corpo sotto l'influenza della gravità

Scopo della lezione: dare agli studenti un'idea del concetto di gravità; introdurre la natura di questa forza. Introdurli al movimento del corpo sotto l'influenza della gravità

Tipo di lezione: apprendimento di nuovo materiale

Piano di lezione

Controllo della conoscenza		1. La legge di gravitazione universale. 2. Significato fisico della costante gravitazionale. 3. Limiti di applicabilità della legge di gravitazione universale
Dimostrazioni		1. La caduta dei corpi a terra. 2. Centro di gravità dei corpi. 3. Il movimento di un corpo lanciato verticalmente su e giù.
Imparare nuovo materiale		1. Gravità e baricentro. 2. Accelerazione della caduta libera. 3. Movimento verticale del corpo. 4. Movimento di un corpo lanciato orizzontalmente. 5. Movimento di un corpo lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale
Rafforzare il materiale appreso		1. Ci alleniamo per risolvere i problemi. 2. Domande di prova

IMPARARE NUOVO MATERIALE

Una pietra che cade da un dirupo e una palla lanciata verticalmente verso l'alto si muovono in linea retta. Dopo aver accelerato sulla riva, una persona salta in acqua, mentre la traiettoria del suo corpo è mezza parabola. Anche un proiettile sparato da un cannone con un angolo rispetto all'orizzontale descriverà una parabola nello spazio. La traiettoria del satellite terrestre è molto vicina a un cerchio. Il movimento di tutti questi corpi avviene sotto l'influenza della gravità. Perché questi movimenti sono così diversi tra loro? Ovviamente il motivo sono le diverse condizioni iniziali.

Se sul corpo agisce solo la gravità, allora, secondo la seconda legge di Newton, m = m, oppure m = m. Ciò significa che sotto l'influenza della gravità il corpo si muove uniformemente accelerato con accelerazione g (a = g). In questo caso, l'equazione per la dipendenza della velocità dal tempo ha la forma: = 0 + t.

Questa equazione mostra che la velocità di movimento del corpo si trova nel piano formato dai vettori 0 e, quindi, un sistema di coordinate bidimensionale è sufficiente per descrivere tali movimenti.

Consideriamo il movimento verticale di un corpo: il corpo viene lanciato verticalmente verso l'alto (Fig. a), e il corpo cade verticalmente verso il basso (Fig. b).

In questo caso la traiettoria del corpo sarà un segmento di linea retta, poiché non c'è movimento lungo l'asse del Bue (0x = 0, x = x0).

Perché mentre si sale allora le equazioni del moto avranno la seguente forma:

Allo stesso modo, durante il movimento di un corpo gettato a terra, le equazioni saranno:

1. In base a quale legge possiamo dire che la forza di gravità è proporzionale alla massa del corpo?

2. In che modo l’accelerazione di gravità dipende dall’altezza sopra la superficie terrestre?

3. Con quale accelerazione si muove un corpo lanciato orizzontalmente?

4. Il tempo di volo di un corpo lanciato orizzontalmente dipende dal valore della velocità iniziale?

5. Il moto di un corpo lanciato ad angolo rispetto all'orizzontale può essere considerato uniformemente accelerato?

6. Cosa c'è di comune nel movimento dei corpi lanciati verticalmente verso l'alto e ad angolo rispetto all'orizzonte?

COSTRUZIONE DEL MATERIALE APPRESO

1. Calcola la massa della Terra sapendo che il suo raggio è 6400 km.

2. Calcola l'accelerazione di gravità ad un'altezza pari al raggio della Terra.

3. A quale velocità un corpo deve essere lanciato orizzontalmente da una certa altezza affinché la distanza di volo sia uguale all'altezza da cui viene lanciato il corpo?

4. Una pietra lanciata orizzontalmente dal tetto di una casa ad una velocità di 15 m/s cade al suolo con un angolo di 60° rispetto all'orizzontale. Qual è l'altezza della casa?

5. Un sasso lanciato con un angolo di 30° rispetto all'orizzontale ha raggiunto la stessa altezza due volte: 3 se 5 s dopo l'inizio del movimento. Calcolare la velocità di lancio iniziale e l'altezza massima di sollevamento.

1. Perché l’accelerazione di gravità diminuisce all’aumentare dell’altezza sopra la superficie terrestre?

2. Può un corpo muoversi in circolo sotto l'influenza della gravità? Giustifica la tua risposta.

3. Cosa c'è di comune nel movimento dei corpi lanciati verticalmente verso l'alto e ad angolo rispetto all'orizzonte?

4. Come cambieranno il tempo e l'ampiezza del volo di un corpo lanciato orizzontalmente da una certa altezza se la velocità di lancio viene raddoppiata?

5. Un corpo lanciato con un angolo di 30° rispetto all'orizzontale cadde fino a un certo punto della superficie terrestre. Con quale angolo deve essere lanciato il secondo corpo con la stessa velocità iniziale affinché cada nello stesso punto del primo?

Cosa abbiamo imparato in classe?

La forza con cui la Terra attrae qualsiasi corpo è chiamata gravità.

La forza di gravità che agisce su un corpo è proporzionale alla massa di quel corpo.

Il punto di applicazione della forza di gravità che agisce su un corpo per qualsiasi posizione nello spazio è chiamato baricentro.

L’accelerazione di gravità è pari a:

Se sul corpo agisce solo la forza di gravità, l'equazione per la dipendenza della velocità del corpo dal tempo ha la forma:

Un corpo lanciato orizzontalmente si muove lungo una parabola il cui vertice è nel punto di partenza movimenti.

Il tempo di volo e l'autonomia di volo di un corpo lanciato orizzontalmente si calcolano utilizzando le formule:

Durante il movimento di un corpo lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale:

a) altezza di sollevamento del corpo -

b) autonomia di volo del corpo -

c) la massima autonomia di volo si ottiene se l'angolo = 45°.

р1) - 7,8; 7,21; 7.28, 8.6; 8,7;

р2) - 7,54; 7,55; 7.56. 8.13, 8.14;

p3) - 7,75; 7,81; 8,34; 8.39, 8.40.

Obiettivi:

Conoscenza continua della varietà di movimenti uniformemente accelerati.
Imparare a confrontare i diversi tipi di movimenti, trovando caratteristiche e differenze comuni, la capacità di trarre conclusioni dai fenomeni osservati.
Introdurre la metodologia per risolvere i problemi su questo argomento, per mostrare l'universalità delle leggi utilizzate nella risoluzione dei problemi.
Ampliare i tuoi orizzonti.

Fasi della lezione:

Fase di determinazione dello scopo della lezione
Fase di aggiornamento delle conoscenze
La fase di acquisizione di nuove conoscenze sull'argomento "Movimento dei corpi sotto l'influenza della gravità"
Fase di preparazione per la risoluzione dei problemi
La fase di consolidamento del materiale nel processo di risoluzione di cruciverba, problemi, test
Assegnazione dei compiti

Supporto alla lezione:

Presentazione “Movimento dei corpi sotto l’influenza della gravità”.
Frammenti di pellicola.
Esperimenti.

Attrezzatura per le lezioni:

Lezione di informatica
Videoproiettore
Materiale didattico elettronico per gli studenti
Dispositivi: tubo di Newton, dischi metallici e di carta

DURANTE LE LEZIONI

IO. Da oggi considereremo la natura e le leggi del moto dei corpi che sono agiti solo dalla gravità. Esistono diversi tipi di movimenti sotto l'influenza della gravità: il movimento di corpi lanciati verticalmente verso l'alto, verticalmente verso il basso, orizzontalmente, ad angolo rispetto all'orizzonte. L’importanza della conoscenza di queste leggi non può essere sottovalutata. Spiegano il movimento dei paracadutisti, dei proiettili, degli atleti sui trampolini, ecc.

La libera circolazione dei corpi ha la seguente caratteristica: un corpo lanciato orizzontalmente e semplicemente rilasciato dallo stesso livello cade simultaneamente. Tracciamo il movimento di tali corpi sul modello.

Le ultime diapositive della presentazione n. 18,19, 20, 21 presentano frammenti di film (vedi. Appendice 6 ):

Il compito principale della meccanica e il movimento dei corpi lanciati ad angolo rispetto all'orizzonte,
La caduta di proiettili lanciati da un aereo
Volo di missili balistici,
Volo di razzi spaziali.

I frammenti di film possono essere utilizzati prima di iniziare a studiare un argomento per creare un elemento di interesse, a metà - per giustificare la considerazione di questo tipo di movimenti, o alla fine - quando si riassumono i risultati.

Queste formule sono sufficienti per risolvere qualsiasi problema relativo al moto di un corpo sotto l'influenza della gravità.

A) Un corpo viene lanciato verticalmente verso l'alto

In questo caso v 0x = 0, g x = 0, v 0y = v 0, g y = - g.

Il movimento del corpo in questo caso avverrà in linea retta, prima verticalmente verso l'alto fino al punto in cui la velocità diventa zero, e poi verticalmente verso il basso.

B) Il corpo viene lanciato orizzontalmente

In cui v 0x = v 0, g x = 0, v 0y = 0, g y = - g, x 0 = 0, e quindi

Per determinare il tipo di traiettoria lungo la quale il corpo si muoverà in questo caso, esprimiamo il tempo T dalla prima equazione e sostituirlo nella seconda equazione. Di conseguenza, otteniamo una dipendenza quadratica A da X:

Ciò significa che il corpo si muoverà lungo il ramo della parabola.

B) Un corpo viene lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale

In questo caso v 0 x = v 0 con osα , g x = 0, v 0y = v 0 sin α , g y = - g , x 0 = y 0 = 0, ed ecco perché

In tutti gli esempi considerati, sul corpo agiva la stessa forza di gravità. Tuttavia, i movimenti sembravano diversi. Ciò è spiegato dal fatto che la natura del movimento di qualsiasi corpo in determinate condizioni è determinata dal suo stato iniziale. Non è senza ragione che tutte le equazioni che abbiamo ottenuto contengono coordinate iniziali e velocità iniziali. Cambiandoli, possiamo far sì che il corpo si alzi o scenda in linea retta, si muova lungo una parabola, raggiungendo la sua sommità, o cada lungo di essa; Possiamo piegare l'arco di una parabola più o meno forte, ecc. E allo stesso tempo, tutta questa varietà di movimenti può essere espressa in una semplice formula.

L'azione delle forze gravitazionali universali in natura spiega molti fenomeni: il movimento dei pianeti nel sistema solare, i satelliti artificiali della Terra, le traiettorie di volo dei missili balistici, il movimento dei corpi vicino alla superficie della Terra - tutti sono spiegati sulla base della legge di gravitazione universale e delle leggi della dinamica.

La legge di gravitazione universale spiega la struttura meccanica sistema solare, e da esso si possono derivare le leggi di Keplero che descrivono le traiettorie del moto planetario. Per Keplero, le sue leggi erano puramente descrittive: lo scienziato si limitava a riassumere le sue osservazioni in forma matematica, senza fornire alcun fondamento teorico per le formule. Nel grande sistema dell’ordine mondiale secondo Newton, le leggi di Keplero diventano una conseguenza diretta delle leggi universali della meccanica e della legge di gravitazione universale. Cioè, osserviamo ancora una volta come le conclusioni empiriche ottenute a un livello si trasformino in conclusioni logiche rigorosamente comprovate quando si passa alla fase successiva di approfondimento della nostra conoscenza del mondo.

Newton fu il primo ad esprimere l'idea che le forze gravitazionali determinano non solo il movimento dei pianeti del sistema solare; agiscono tra qualsiasi corpo nell'Universo. Una delle manifestazioni della forza di gravitazione universale è la forza di gravità: questo è il nome comune della forza di attrazione dei corpi verso la Terra in prossimità della sua superficie.

Se M è la massa della Terra, RЗ è il suo raggio, m è la massa di un dato corpo, allora la forza di gravità è uguale a

dove g è l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre

La forza di gravità è diretta verso il centro della Terra. In assenza di altre forze, il corpo cade liberamente sulla Terra con l'accelerazione della gravità.

Il valore medio dell'accelerazione di gravità per vari punti della superficie terrestre è 9,81 m/s2. Conoscendo l'accelerazione di gravità e il raggio della Terra (RЗ = 6,38·106 m), possiamo calcolare la massa della Terra

L'immagine della struttura del sistema solare che segue da queste equazioni e combina la gravità terrestre e celeste può essere compresa utilizzando un semplice esempio. Supponiamo di trovarci sul bordo di una scogliera a strapiombo, accanto a un cannone e a un mucchio di palle di cannone. Se lasci semplicemente cadere verticalmente una palla di cannone dal bordo di un dirupo, inizierà a cadere verticalmente e con un'accelerazione uniforme. Il suo moto sarà descritto dalle leggi di Newton per il moto uniformemente accelerato di un corpo con accelerazione g. Se ora spari una palla di cannone verso l'orizzonte, questa volerà e cadrà descrivendo un arco. E in questo caso, il suo movimento sarà descritto dalle leggi di Newton, solo che ora vengono applicate a un corpo che si muove sotto l'influenza della gravità e che ha una certa velocità iniziale sul piano orizzontale. Ora, caricando il cannone con palle di cannone sempre più pesanti e sparando ancora e ancora, scoprirai che ogni successiva palla di cannone lascia la canna con una velocità iniziale maggiore, le palle di cannone cadono sempre più lontano dalla base del dirupo.

Ora immagina di aver messo così tanta polvere da sparo in un cannone che la velocità della palla di cannone è sufficiente per volare intorno al mondo. Se trascuriamo la resistenza dell'aria, la palla di cannone, dopo aver volato intorno alla Terra, tornerà al punto di partenza esattamente alla stessa velocità con cui inizialmente volò fuori dal cannone. Ciò che accadrà dopo è chiaro: il nucleo non si fermerà qui e continuerà ad avvolgersi in un cerchio dopo l'altro attorno al pianeta.

In altre parole, otterremo un satellite artificiale in orbita attorno alla Terra, come un satellite naturale: la Luna.

Così, passo dopo passo, siamo passati dalla descrizione del moto di un corpo che cade sotto la sola influenza della gravità “terrestre” (la mela di Newton) alla descrizione del moto di un satellite (la Luna) in orbita, senza modificare la natura dell'azione gravitazionale. influenza da “terreno” a “celeste”. Fu questa intuizione che permise a Newton di collegare insieme le due forze di attrazione gravitazionale che prima di lui erano considerate di natura diversa.

Man mano che ci allontaniamo dalla superficie terrestre, la forza di gravità e l'accelerazione di gravità cambiano in proporzione inversa al quadrato della distanza r dal centro della Terra. Un esempio di sistema di due corpi interagenti è il sistema Terra-Luna. La Luna si trova a una distanza dalla Terra rL = 3,84·106 m, ovvero circa 60 volte il raggio terrestre RЗ. Di conseguenza, l'accelerazione di caduta libera aL, dovuta alla gravità, nell'orbita della Luna è

dove T = 27,3 giorni è il periodo di rivoluzione della Luna attorno alla Terra.

La coincidenza dei risultati di calcoli eseguiti in modi diversi conferma l'ipotesi di Newton sull'unicità della forza che tiene la Luna in orbita e della forza di gravità.

Il campo gravitazionale della Luna determina l'accelerazione di gravità gL sulla sua superficie. La massa della Luna è 81 volte inferiore alla massa della Terra e il suo raggio è circa 3,7 volte inferiore al raggio della Terra.

Pertanto l'accelerazione gÛ sarà determinata dall'espressione

Consideriamo la questione dei satelliti artificiali della Terra. I satelliti artificiali della Terra si muovono al di fuori dell'atmosfera terrestre e sono influenzati solo dalle forze gravitazionali della Terra.

A seconda della velocità iniziale, la traiettoria di un corpo cosmico può essere diversa. Consideriamo il caso di un satellite artificiale che si muove su un'orbita circolare terrestre. Tali satelliti volano ad altitudini dell'ordine di 200–300 km e la distanza dal centro della Terra può essere approssimativamente considerata uguale al suo raggio RЗ. Quindi l'accelerazione centripeta del satellite impartitagli dalle forze gravitazionali è approssimativamente uguale all'accelerazione di gravità g. Indichiamo la velocità del satellite nell'orbita terrestre bassa con υ1: questa velocità è chiamata la prima velocità cosmica. Utilizzando la formula cinematica per l'accelerazione centripeta, otteniamo

Muovendosi a tale velocità, il satellite circonderebbe la Terra nel tempo

Per i satelliti che si muovono lungo traiettorie circolari a notevole distanza dalla Terra, la gravità terrestre si indebolisce in maniera inversamente proporzionale al quadrato del raggio r della traiettoria. Pertanto, nelle orbite alte la velocità dei satelliti è inferiore rispetto all'orbita terrestre bassa.

Il periodo orbitale del satellite aumenta con l'aumentare del raggio orbitale. È facile calcolare che con un raggio orbitale r pari a circa 6,6 RЗ, il periodo orbitale del satellite sarà pari a 24 ore. Un satellite con un tale periodo orbitale, lanciato sul piano equatoriale, rimarrà immobile su un certo punto della superficie terrestre. Tali satelliti sono utilizzati nei sistemi di comunicazione radio spaziale. Un'orbita di raggio r = 6,6 RЗ è detta geostazionaria.

La seconda velocità cosmica è la velocità minima che deve essere impartita a un veicolo spaziale sulla superficie della Terra affinché, superando la gravità, si trasformi in un satellite artificiale del Sole (pianeta artificiale). In questo caso la nave si allontanerà dalla Terra lungo una traiettoria parabolica.

La Figura 5 illustra le velocità di fuga. Se la velocità navicella spazialeè pari a υ1 = 7,9·103 m/s ed è diretto parallelamente alla superficie terrestre, quindi la nave si muoverà in un'orbita circolare a bassa quota sopra la Terra. A velocità iniziali superiori a υ1, ma inferiori a υ2 = 11,2·103 m/s, l’orbita della nave sarà ellittica. Ad una velocità iniziale di υ2 la nave si muoverà lungo una parabola e ad una velocità iniziale ancora maggiore lungo un'iperbole.

Figura 5 - Velocità spaziali

Le velocità in prossimità della superficie terrestre sono indicate: 1) υ = υ1 – traiettoria circolare;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – traiettoria parabolica; 5) υ > υ2 – traiettoria iperbolica;

6) Traiettoria della Luna

Pertanto, abbiamo scoperto che tutti i movimenti nel sistema solare obbediscono alla legge di gravitazione universale di Newton.

Sulla base della piccola massa dei pianeti, e in particolare degli altri corpi del Sistema Solare, possiamo presumere approssimativamente che i movimenti nello spazio circumsolare obbediscano alle leggi di Keplero.

Tutti i corpi si muovono attorno al Sole lungo orbite ellittiche, con il Sole in uno dei fuochi. Più un corpo celeste è vicino al Sole, maggiore è la sua velocità orbitale (il pianeta Plutone, il più distante conosciuto, si muove 6 volte più lentamente della Terra).

I corpi possono anche muoversi in orbite aperte: parabola o iperbole. Ciò accade se la velocità del corpo è uguale o superiore al valore della seconda velocità cosmica del Sole ad una data distanza dal corpo centrale. Se stiamo parlando del satellite del pianeta, la velocità di fuga deve essere calcolata in relazione alla massa del pianeta e alla distanza dal suo centro.