Mga katangian ng isang tuwid na linya sa Euclidean geometry.

Ang isang walang katapusang bilang ng mga tuwid na linya ay maaaring iguhit sa anumang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang di-nagtutugmang punto ay maaaring gumuhit ng isang tuwid na linya.

Dalawang magkaibang linya sa isang eroplano ay maaaring magsalubong sa isang punto o ay

parallel (sumusunod mula sa nauna).

Sa three-dimensional na espasyo, mayroong tatlong opsyon para sa relatibong posisyon ng dalawang linya:

• nagsalubong ang mga linya;

• ang mga linya ay parallel;

• nagsalubong ang mga tuwid na linya.

Diretso linya— algebraic curve ng unang order: in Sistema ng Cartesian mga coordinate ng tuwid na linya

ay ibinigay sa eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree (linear equation).

Pangkalahatang equation tuwid.

Kahulugan. Anumang tuwid na linya sa eroplano ay maaaring tukuyin ng isang first-order equation

Ax + Wu + C = 0,

at pare-pareho A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatan

equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B At SA Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- isang tuwid na linya ang dumadaan sa pinanggalingan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Ni + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis OU

. B = C = 0, A ≠0- ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis OU

. A = C = 0, B ≠0- ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis Oh

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ipakita sa iba't ibang anyo depende sa anumang ibinigay

paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, isang vector na may mga bahagi (A, B)

patayo sa linya na ibinigay ng equation

Ax + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto A(1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Solusyon. Sa A = 3 at B = -1, buuin natin ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C = 0. Upang mahanap ang coefficient C

Palitan natin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression. Nakukuha natin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid

C = -1. Kabuuan: ang kinakailangang equation: 3x - y - 1 = 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos sa espasyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) At M2 (x 2, y 2, z 2), Pagkatapos equation ng isang linya,

dumaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Naka-on

eroplano, ang equation ng tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

Kung x 1 ≠ x 2 At x = x 1, Kung x 1 = x 2 .

Maliit na bahagi = k tinawag dalisdis tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng linyang dumadaan sa mga puntos A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula na nakasulat sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng linya Ax + Wu + C = 0 patungo sa:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang nagresultang equation

equation ng isang tuwid na linya na may slope k.

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang vector ng direksyon.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang gawain

isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nagdidirekta na vector ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat non-zero vector (α 1 , α 2), na ang mga bahagi ay nakakatugon sa kondisyon

Aα 1 + Bα 2 = 0 tinawag nagdidirekta ng vector ng isang tuwid na linya.

Ax + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa puntong A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin namin ang equation ng nais na linya sa form: Ax + By + C = 0. Ayon sa kahulugan,

Ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga sumusunod na kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

sa x = 1, y = 2 nakukuha namin C/A = -3, ibig sabihin. kinakailangang equation:

x + y - 3 = 0

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ах + Ву + С = 0 С≠0, kung gayon, paghahati sa -С, nakukuha namin:

o kung saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng intersection point

tuwid na may axis oh A b- coordinate ng punto ng intersection ng linya na may axis OU.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal na equation tuwid.

Kung magkabilang panig ng equation Ax + Wu + C = 0 hatiin sa bilang na tinatawag na

normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal na equation ng isang linya.

Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ*C< 0.

R- ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya,

A φ - ang anggulo na nabuo ng patayo na ito sa positibong direksyon ng axis Oh.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng linya ay ibinigay 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng mga equation

itong tuwid na linya.

Ang equation ng linyang ito sa mga segment:

Ang equation ng linyang ito sa slope: (hatiin sa 5)

Equation ng isang linya:

cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p = 5.

Dapat tandaan na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya,

parallel sa mga palakol o dumadaan sa pinanggalingan.

Ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung dalawang linya ang ibinigay y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, pagkatapos ay ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito

ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo

Kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama.

Direkta Ax + Wu + C = 0 At A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel kapag ang mga coefficient ay proporsyonal

A 1 = λA, B 1 = λB. Kung din С 1 = λС, pagkatapos ay nagtutugma ang mga linya. Mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya

ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na linya.

Kahulugan. Linya na dumadaan sa isang punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y = kx + b

kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung bibigyan ng punto M(x 0, y 0), pagkatapos ay ang distansya sa tuwid na linya Ax + Wu + C = 0 tinukoy bilang:

Patunay. Hayaan ang punto M 1 (x 1, y 1)- ang base ng isang patayo ay bumaba mula sa isang punto M para sa isang naibigay

direkta. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga puntos M At M 1:

(1)

Mga coordinate x 1 At sa 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo

binigay na tuwid na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga ekspresyong ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Ang pagbubuo ng isang equation ay nangangahulugang ipahayag sa matematikal na anyo ang kaugnayan sa pagitan ng data (kilala) ng isang problema at ang nais (hindi alam) na dami nito. Minsan ang koneksyon na ito ay napakalinaw na nilalaman sa pagbabalangkas ng problema na ang pagguhit ng isang equation ay isang literal na muling pagsasalaysay ng problema, sa wika ng mga simbolo ng matematika.

Halimbawa 1. Nakatanggap si Petrov ng 160 rubles para sa trabaho. higit sa kalahati ng halaga na natanggap ni Ivanov. Magkasama silang nakatanggap ng 1120 rubles. Magkano ang natanggap nina Petrov at Ivanov para sa kanilang trabaho? Tukuyin natin ang mga kinita ni Ivanov sa pamamagitan ng x. Kalahati ng kanyang mga kita ay 0.5x; Ang buwanang kita ng Petrov ay 0.5x + 160; magkasama silang kumikita ng 1120 rubles; ang mathematical notation ng huling parirala ay

(0.5x + 160) + x = 1120.

Kumpleto na ang equation. Ang paglutas nito ayon sa dating itinatag na mga patakaran, nalaman namin na ang mga kita ni Ivanov x = 640 rubles; Ang mga kita ng Petrov ay 0.5x + 160 = 480 (rub.).

Mas madalas kaysa sa hindi, nangyayari na ang koneksyon sa pagitan ng data at mga kinakailangang dami ay hindi direktang ipinahiwatig sa problema; dapat itong itatag batay sa mga kondisyon ng problema. Sa mga praktikal na problema, halos palaging nangyayari ito. Ang halimbawang ibinigay ay malayong-malayo; sa buhay halos hindi nakakaharap ng mga ganitong problema.

Samakatuwid, hindi maibibigay ang ganap na komprehensibong mga tagubilin para sa pagbuo ng equation. Gayunpaman, sa una ay kapaki-pakinabang na magabayan ng mga sumusunod. Kumuha tayo ng ilang random na piniling numero (o ilang numero) bilang halaga ng nais na dami (o ilang dami) at itakda ang ating sarili sa gawain ng pagsuri kung nahulaan natin ang tamang solusyon sa problema o hindi. Kung nagawa naming isagawa ang pagsusuring ito at matuklasan kung tama ang aming hula, o mali ito (siyempre, malamang na mangyari ang huli), maaari naming agad na likhain ang kinakailangang equation (o ilang mga equation). Iyon ay, isusulat namin ang mismong mga aksyon na ginawa namin para sa pag-verify, sa halip na isang random na napiling numero ay maglalagay kami ng isang alphabetic sign ng isang hindi kilalang halaga. Nakukuha namin ang kinakailangang equation.

Halimbawa 2. Ang isang piraso ng tanso at zinc alloy na may dami na 1 dm3 ay tumitimbang ng 8.14 kg. Magkano ang tanso sa haluang metal? (tiyak na timbang ng tanso 8.9 kg/dm3; zinc - 7.0 kg/dm3).

Kumuha tayo ng isang numero nang random na nagpapahayag ng kinakailangang dami ng tanso, halimbawa 0.3 dm3. Tingnan natin kung matagumpay nating nakuha ang numerong ito. Dahil ang 1 kg/dm3 ng tanso ay tumitimbang ng 8.9 kg, ang 0.3 dm3 ay tumitimbang ng 8.9 * 0.3 = 2.67 (kg). Ang dami ng zinc sa haluang metal ay 1 - 0.3 = 0.7 (dm3). Ang timbang nito ay 7.0 0.7 = 4.9 (kg). Ang kabuuang timbang ng zinc at tanso ay 2.67 + + 4.9 = 7.57 (kg). Samantala, ang bigat ng aming piraso, ayon sa mga kondisyon ng problema, ay 8.14 kg. Ang aming hula ay walang batayan. Ngunit pagkatapos ay makakakuha tayo kaagad ng isang equation na ang solusyon ay magbibigay ng tamang sagot. Sa halip na random na napiling numero na 0.3 dm3, tukuyin natin ang dami ng tanso (sa dm3) ng x. Sa halip na ang produkto 8.9 0.3 = 2.67, kinukuha namin ang mga produkto na 8.9 x. Ito ang bigat ng tanso sa haluang metal. Sa halip na 1 - 0.3 = 0.7 kumukuha kami ng 1 - x; ito ang dami ng zinc. Sa halip na 7.0 0.7 = 4.9 kukuha tayo ng 7.0 (1 - x); ito ang bigat ng zinc. Sa halip na 2.67 + 4.9 kumukuha kami ng 8.9 x + 7.0 (1 - x); ito ang kabuuang timbang ng zinc at tanso. Ayon sa kondisyon, ito ay katumbas ng 8.14 kg; ibig sabihin, 8.9 x + 7.0 (1 - x) = 8.14.

Ang paglutas ng equation na ito ay nagbibigay ng x = 0.6. Maaaring suriin ang isang random na desisyon iba't ibang paraan; nang naaayon, maaaring makuha ng isa para sa parehong problema iba't ibang uri mga equation; lahat ng mga ito, gayunpaman, ay magbibigay ng parehong solusyon para sa nais na halaga; ang mga naturang equation ay tinatawag na katumbas sa bawat isa.

Siyempre, pagkatapos makakuha ng mga kasanayan sa pagbuo ng mga equation, hindi na kailangang suriin ang isang numero na kinuha nang random: para sa halaga ng nais na dami, maaari kang kumuha ng hindi isang numero, ngunit ilang titik (x, y, atbp.) at kumilos parang itong letter ( unknown) ang number na susuriin namin.

SEKSYON VI.

MGA TRANSFORMASYON NG PANTAY.

___________

SOLUTION AT COMPILATION NG 1ST DEGREE EQUATIONS

§ 5. Pag-compile ng equation na may isang hindi alam.

Ang bawat problema sa aritmetika ay binubuo ng paghahanap ng mga hindi kilalang dami mula sa ilang kilalang dami at mula sa ibinigay na mga ugnayan sa pagitan ng mga kilalang dami na ito at iba pang hindi kilalang mga dami. Ang Algebra ay nagbibigay ng isang espesyal na paraan upang malutas ang mga problema sa aritmetika. Ang pamamaraang ito ay batay sa katotohanan na ang mga kondisyon ng verbal na ipinahayag ng mga problema sa aritmetika ay maaaring isalin sa algebraic na wika, i.e. naipapahayag sa pamamagitan ng algebraic formula.

Ang pagsasalin ng mga kondisyong ipinahahayag nang pasalita ng isang problema sa wikang algebraic ay karaniwang tinatawag na pagbuo ng mga formula.

Upang bumuo ng isang equation na may isang hindi alam ayon sa mga kondisyon ng isang problema ay nangangahulugan na isalin ang mga kundisyong ito sa algebraic na wika upang ang buong hanay ng mga kundisyong ito ay ipinahayag ng isang equation na naglalaman ng isang hindi alam. Upang gawin ito, kinakailangan na ang bilang ng mga indibidwal na independiyenteng kondisyon ng problema ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam na ipinahiwatig dito.

Dahil sa matinding pagkakaiba-iba ng mga problema, ang mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga equation na tumutugma sa mga problemang ito ay lubhang magkakaibang. Walang mga pangkalahatang tuntunin para sa pagbuo ng mga equation. Ngunit mayroong isang pangkalahatang indikasyon na gumagabay sa ating pangangatwiran kapag isinasalin ang mga kondisyon ng problema sa algebraic na wika at nagpapahintulot sa atin, mula sa simula ng ating pangangatwiran, na sundan ang tamang landas patungo sa pagkamit ng pangwakas na layunin. Ito ay isang pangkalahatang indikasyon, o Pangkalahatang prinsipyo Ipapahayag namin ang komposisyon ng equation tulad ng sumusunod:

Upang lumikha ng isang equation na may isang hindi alam ayon sa mga kondisyon ng problema, kailangan mo:

1) pumili sa pagitan ng mga hindi alam, na alinman ay direktang ipinahiwatig sa problema o ipinahiwatig, ang isa ay kinuha bilang una, at italaga itong hindi alam na may ilang titik, halimbawa, X ;

2) gamit ang pagtatalaga na ito at ang mga pagtatalaga na ibinigay sa problema, ipahayag ang lahat ng mga dami na direktang binanggit sa problema, o na ipinahiwatig, na pagmamasid na kapag binubuo ang mga naturang expression, ang lahat ng mga numero na ibinigay sa problema at lahat ng bagay na may kaugnayan sa dains o sa hindi kilalang mga halaga ng kondisyon;

3) pagkatapos ng naturang aplikasyon ng lahat ng mga kundisyon, hanapin sa pagitan ng binubuo o simpleng nakasulat na mga expression ang dalawa na, dahil sa isa sa mga ibinigay na kundisyon, ay dapat na pantay sa isa't isa, at ikonekta ang mga expression na ito sa isang pantay na tanda.

Ilapat natin ang prinsipyong ito upang malutas ang dalawang problema:

Gawain 1 i. Ang bilang ng mga barya sa isang wallet ay kalahati ng sa isa pa. Kung kukuha ka ng anim na barya mula sa una, at magdagdag ng walong barya sa pangalawa, kung gayon ang bilang ng mga barya sa una ay pitong beses na mas mababa kaysa sa pangalawa. Alamin kung gaano karaming mga barya ang nasa bawat pitaka?

Ang problemang ito ay naglalaman ng ilang kilala at ilang hindi kilalang dami. Kunin natin ang unang hindi kilalang bilang ng mga barya sa unang wallet at tukuyin ito ng X. Pagkatapos ay haharapin natin ang pagtatalaga ng lahat ng mga dami kung saan nauugnay ang mga kondisyon ng problema.

Ang bilang ng mga barya sa unang wallet ay X . Ang ratio ng mga bilang ng mga barya sa pangalawa at unang wallet 2 . Nangangahulugan ito ng bilang ng mga barya sa pangalawang pitaka 2X.

Inalis nila ito sa una 6 mga barya Samakatuwid, may mga barya na natitira sa unang wallet X -6 .

Sa pangalawang idinagdag nila 8 mga barya Samakatuwid, ang pangalawang pitaka ay naglalaman ng mga barya 2X +8 . Ang bagong ugnayan sa pagitan ng mga bilang ng mga barya sa pangalawa at unang wallet ay . Ito ay pantay-pantay din 7 . Sa batayan na ito kami ay bumubuo ng isang equation, paglutas na aming nakuha x= 10 , pagkatapos nito ay hindi mahirap matukoy ang iba pang hindi alam na binanggit namin dito.

Kung kukunin natin ang unang hindi kilalang bilang ng mga barya ng pangalawang pitaka at italaga ito upang makilala ito mula sa naunang pagtatalaga sa pamamagitan ng sa , kung gayon, gaya ng madaling makita, ang magiging resulta ay ibang equation, ibig sabihin ( sa + 8 ):( sa / 2 -6 )=7 , na nalulutas din ang problema at nagbibigay ng sagot sa=20 .

Maaaring kunin ng isa ang unang hindi kilalang numero bilang numerong monvt na napunta sa unang wallet pagkatapos itong ilatag 6 barya; pagkatapos, denoting ito hindi kilala sa pamamagitan ng z at sumusunod sa parehong landas na sinundan natin sa pagbuo ng unang equation, makukuha natin ang equation , saan z = 4 .

Ngunit posible ring baguhin ang mismong paraan ng pagtutugma ng equation, halimbawa, sa pamamagitan ng unang pagsasaalang-alang sa nabagong relasyon sa pagitan ng mga bilang ng mga barya, at pagbabatay sa komposisyon ng equation sa kung ano ang alam tungkol sa orihinal na relasyon. Sa kasong ito, ang equation ay isusulat tulad nito:

Ang bilang ng mga barya sa unang wallet pagkatapos ng paglalatag ay z . Nai-post 6 mga barya Nangangahulugan ito ng paunang bilang ng mga barya sa unang wallet z + 6. Binago ang ugnayan sa pagitan ng mga numero ng barya 7 . Samakatuwid, ang binagong bilang ng mga barya ng pangalawang wallet 7z. Ito ay idinagdag 8 mga barya Samakatuwid, ang unang bilang ng mga barya ng pangalawang wallet 7z. - 8 . Ang unang ugnayan sa pagitan ng mga bilang ng mga barya ay Ito ay katumbas ng 2 . Sa batayan na ito, mayroon kaming isang equation na pare-pareho sa nauna, kahit na ito ay naiiba mula dito sa anyo.

Kung, sa pagsunod sa pangalawang landas na ito, kinuha namin ang unang hindi kilalang bilang ng mga barya ng pangalawang wallet pagkatapos idagdag dito 8 mga barya, kung gayon, nagtatalaga ng hindi alam na ito para sa pagkakaiba sa pamamagitan ng At , makukuha natin ang equation ( At -8 ):( At / 7 + 6 )=2 , saan At =28 .

Ipinapakita ng mga paliwanag na ito na, ginagabayan ng parehong pangkalahatang tuntunin para sa pagbuo ng mga equation, nakakakuha pa rin tayo sa bawat problema ng iba't ibang paraan upang makamit ang layuning ito. Ang pinakamahusay na paraan Ang isa na nagpapahayag lamang ng mga kondisyon ng problema at mabilis na humahantong sa parehong compilation at solusyon ng equation ay isinasaalang-alang. Sa kasong ito, ang una at pangatlong pamamaraan ay pantay na maginhawa para sa paglutas ng equation, ngunit ang una ay mas simple pa rin at samakatuwid ay mas mahusay kaysa sa iba.

Kapag nag-aaplay ng ipinahiwatig na panuntunan para sa pagbuo ng mga equation, dapat tandaan ng isa na sa anumang wastong ipinahayag na equation, ang bawat ibinigay na numero at bawat isa sa mga ipinahayag na kondisyon ay dapat isaalang-alang.

Gawain 2. Mula sa lungsod A lumalabas ang isang manlalakbay na dumaraan sa araw 20 verst. Pagkaraan ng dalawang araw ay lumabas siya ng lungsod upang salubungin siya. SA isa pang manlalakbay na dumadaan araw-araw 30 verst. Distansya sa pagitan ng A At SA katumbas 190 verst. Ang tanong, kailan at saan magkikita ang dalawang manlalakbay?

1st method. Kunin natin ang unang hindi kilalang oras ng paggalaw ng unang manlalakbay mula sa labasan A makita ka, at ang huling kondisyon ay ang distansya sa pagitan A At SA katumbas 190 verst. Pagkatapos ay mangatuwiran tayo ng ganito:

Ipagpalagay natin na ang una ay lumakad bago ang pulong X araw. Araw-araw siyang dinadaanan 20 verst. Kaya lang pinagdaanan niya 20X verst.

Maya-maya ay lumabas ang pangalawa 2 araw. Kaya papunta na siya sa meeting X -2 araw. Araw-araw siyang dinadaanan 30 verst. Samakatuwid, siya lamang ang dumaan 30 (X -2 ) verst. Magkasabay na naglakad ang dalawang manlalakbay [ 20X + 30 (X -2 )] verst. Lahat ng distansya sa pagitan A At SA katumbas 190 verst. Sa batayan na ito nakita namin ang equation

20X + 30 (X -2 ) =190 ,

saan x= 5 . Mula dito makikita natin na ang unang manlalakbay ay lumakad 5 araw at lumipas 100 versts, ang pangalawa ay naglalakad 3 araw at lumipas 90 verst.

ika-2 paraan. Kunin natin bilang ang unang hindi alam na distansya na nilakbay ng unang manlalakbay mula sa labasan patungo sa pulong, at bilang ang huling kundisyon na iniwan ng pangalawang manlalakbay nang mas huli kaysa sa una. 2 araw. Pagkatapos ang pangangatwiran ay magiging ganito:

Naniniwala kami na ang una ay pumasa bago ang pulong sa verst. Araw-araw siyang dinadaanan 20 verst. Kaya naman naglakad lang siya sa / 20 araw.

Ang pangalawa ay pumasa lamang ( 190 -sa ) verst. Araw-araw siyang dinadaanan 30 verst. Kaya ilang araw lang siyang naglakad.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga oras ng paggalaw ng pareho ay at ay katumbas ng 2 . Samakatuwid, nakita namin ang equation , saan sa =100 .

ika-3 paraan. Ang unang hindi alam ay ang oras ng paggalaw ng pangalawang manlalakbay mula sa labasan SA see you, ang huling kundisyon ay ang unang manlalakbay ay dumadaan araw-araw 20 verst.

Ipagpalagay natin na ang pangalawa ay nauuna bago ang pulong z araw. Kaya ang una ay papasa ( z +2 ) araw. Naglalakad araw-araw 30 verst, papasa lang ang pangalawa 30z verst. Dahil kailangan ng dalawa na umalis 190 versts, pagkatapos ay ang una ay kailangang gawin ito ( 190 -30z ) verst. Para magawa ito, kailangan niyang gawin ang mga versts araw-araw. Dahil ang expression na ito ay katumbas ng 20 , pagkatapos ay makuha namin ang equation, kung saan z = 3.

ika-4 na paraan. Ang unang hindi alam ay ang distansyang sakop ng pangalawang manlalakbay bago ang pagpupulong; ang huling kundisyon ay ang pangalawa ay naglalakbay araw-araw nang 10 milya nang higit pa kaysa sa una.

Naniniwala kami na ang pangalawa ay lumipas bago ang pulong At verst. Kaya ang una ay kailangan pang pumunta ( 190 -At ) verst. Dahil bago ilabas ang pangalawa ay lumipas na ito 40 versts, pagkatapos ay pag-alis ng pangalawa kailangan pa niyang umalis ( 150 -At ) verst. Ang pagkakaiba sa mga distansyang nilakbay nang sabay-sabay ng pareho ay ( 2At-150 ) verst. Ang oras ng kanilang karaniwang paggalaw ay At / 30 araw. Dahil dito, ang ikalawang araw ay lumipas nang higit kaysa sa una sa pamamagitan ng ( 2At-150 ) : At / 30 verst. Dahil ang expression na ito ay katumbas ng 10 , pagkatapos ay makuha namin ang equation ( 2At-150 ) : At / 30 =10 na nagbibigay At = 90 .

Ang mga nakaraang paliwanag ay nagpapakita na ang iba't ibang mga paraan upang bumuo ng mga equation sa parehong problema ay nakasalalay sa parehong pagkakasunud-sunod ng mga dami na sunud-sunod na itinalaga at sa pagkakasunud-sunod ng mga kondisyon na sunud-sunod na isinasaalang-alang.

231. Ang dalawang tao ay may 38 rubles na magkasama, at ang una ay may 6 na rubles na mas maraming pera kaysa sa pangalawa. Magkano ang pera ng lahat?

231. Dalawang tao ay may 114 rubles na magkasama, at ang una ay may 18 rubles na mas maraming pera kaysa sa pangalawa. Magkano ang pera ng lahat?

232. Ang isang bahay ay may 15 mas kaunting mga bintana kaysa sa isa, ngunit ang parehong mga bahay ay may 51 mga bintana sa kabuuan. Ilang bintana ang nasa bawat isa?

232. Ang isang bahay ay may 6 na mas kaunting bintana kaysa sa isa; sa kabuuan ay mayroong 62 na bintana sa magkabilang bahay. Ilang bintana ang nasa bawat isa?

233. Mayroong 81 rubles sa dalawang wallet. Sa una mayroong kalahati ng mas maraming pera tulad ng sa pangalawa. Magkano ang pera sa bawat isa?

233. Mayroong 72 rubles sa dalawang wallet. Ang una ay may limang beses na mas kaunting pera kaysa sa pangalawa. Magkano ang pera sa bawat isa?

234. Ang ama ay tatlong beses na mas matanda kaysa sa kanyang anak, at ang kabuuan ng mga taon nilang dalawa ay 48 taon. Tukuyin ang edad ng dalawa.

234. Ang ama ay dalawang beses na mas matanda kaysa sa kanyang anak, at ang kabuuan ng dalawang taon ay 13 taon. Tukuyin ang edad ng dalawa.

235. Ang anak ay apat na beses na mas bata sa kanya, at ang pagkakaiba sa kanilang mga taon ay 27 taon. Gaano katagal kailangang lumipad ang bawat tao?

235. Ang anak ay limang beses na mas bata kaysa sa kanyang ama, at ang pagkakaiba sa kanilang mga taon ay 32 taon. Ilang taon na ang lahat?

236. Mayroong 47 mansanas sa tatlong basket, kung saan ang una at pangalawa ay may pantay na bahagi, at ang pangatlo ay may 2 higit pang mansanas kaysa sa bawat isa. Ilang mansanas ang nasa bawat basket?

236. Mayroong 110 mansanas sa tatlong basket, at sa una at pangatlo ay pantay-pantay, at sa pangalawa ay may 4 na mansanas na mas mababa kaysa sa bawat isa sa iba. Ilang mansanas ang nasa bawat basket?

237. Ang tatlong piraso ng pilak na magkasama ay tumitimbang ng 48 pounds. Ang una ay 12 pounds na mas mabigat kaysa sa pangalawa, at ang pangatlo ay 9 pounds na mas mabigat kaysa sa una. Magkano ang timbang ng bawat piraso?

237. Tatlong piraso ng pilak ay may timbang na 33 pounds. Ang una ay mas magaan kaysa sa pangalawa ng 5 pounds, at ang pangatlo ay mas magaan kaysa sa una ng 2 pounds. Magkano ang timbang ng bawat piraso?

238. Ang anak na lalaki ay 20 taong mas bata sa kanyang ama at 5 taong mas matanda sa kanyang anak na babae. Ang kabuuan ng mga taon ng lahat ng tatlo ay 60 taon. Ilang taon na ang lahat

238. Ang ina ay 21 taong mas matanda sa kanyang anak na lalaki at 7 taong mas bata sa ama. Ang kabuuan ng mga taon ng tatlo ay 64 na taon. Ilang taon na ang lahat?

239. Mayroon lamang 66 na aklat sa tatlong istante, na may tatlong beses na mas marami sa ibaba at dalawang beses na mas marami sa gitna kaysa sa itaas. Ilang libro ang nasa bawat istante?

239. Mayroon lamang 60 na aklat sa tatlong istante, at sa ibaba ay may anim na beses na higit pa, at sa itaas ay may limang beses na higit pa kaysa sa gitna. Ilang libro ang nasa bawat istante?

240. Ang isang kagubatan, isang hardin at isang parang magkasama ay nagkakahalaga ng 10,800 rubles. Ang isang parang ay 2 beses na mas mahal kaysa sa isang hardin, at isang kagubatan ay tatlong beses na mas mahal kaysa sa isang parang. Ano ang halaga ng bawat isa sa kanila nang hiwalay?

240. Ang isang kagubatan, isang hardin at isang parang magkasama ay nagkakahalaga ng 17,600 rubles. Ang isang kagubatan ay 3 beses na mas mahal kaysa sa isang hardin, at ang isang parang ay 4 na beses na mas mahal kaysa sa isang kagubatan. Ano ang halaga ng bawat isa sa kanila nang hiwalay?

241. Hatiin ang bilang na 21 sa dalawang bahagi upang ang multiple ng unang bahagi hanggang sa pangalawa ay katumbas ng fraction na 3/4.

241. Hatiin ang bilang na 48 sa dalawang bahagi upang ang maramihang ratio ng ikalawang bahagi sa una ay katumbas ng bahaging 5/3.

242. Hatiin ang bilang na 88 sa dalawang bahagi upang ang mga quotient ng paghahati sa unang bahagi ng 5 at ang pangalawa ng 6 ay pantay.

242. Hatiin ang bilang na 55 sa dalawang bahagi upang ang mga quotient ng paghahati sa unang bahagi ng 7, a. ang pangalawa sa pamamagitan ng 4 ay pantay.

243. Ang kabuuan ng dalawang numero ay 85, at ang kanilang pagkakaiba ay 15. Hanapin ang parehong mga numero.

243. Ang kabuuan ng dalawang numero ay 72, at ang kanilang pagkakaiba ay 8. Hanapin ang parehong mga numero.

244. Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero ay 8, at ang kanilang maramihang ratio ay katumbas ng fraction na 3 / 2. Hanapin ang mga numerong ito.

244. Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero ay 12, at ang kanilang maramihang ratio ay katumbas ng fraction na 5/3. Hanapin ang mga numerong ito.

245. Hatiin ang bilang na 46 sa dalawang bahagi upang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga quotient ng paghahati sa unang bahagi ng 3 at ang pangalawa ng 7 ay katumbas ng 2.

245. Hatiin ang bilang na 59 sa dalawang bahagi upang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga quotient ng paghahati sa unang bahagi ng 3 at ang pangalawa sa pamamagitan ng 5 ay katumbas ng 1.

246. Hatiin ang bilang na 75 sa dalawang bahagi upang ang mas malaking bahagi ay tatlong beses ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang bahagi.

246. Hatiin ang bilang 56 sa dalawang bahagi upang ang mas maliit na bahagi ay tatlong beses ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang bahagi.

247. Ang kabuuan ng dalawang numero ay 64. Kapag ang mas malaking bilang ay hinati sa mas maliit na bilang, ang quotient ay 3 at ang natitira ay 4. Hanapin ang mga numerong ito.

247. Ang kabuuan ng dalawang numero ay 45. Kapag hinahati ang mas malaking bilang sa mas maliit na bilang, ang quotient ay 5 at ang natitira ay 3. Hanapin ang mga numerong ito.

248. Ang pagkakaiba ng dalawang numero ay 35. Kapag hinahati ang mas malaking numero sa mas maliit na numero, ang quotient ay 4 at ang natitira ay 2. Hanapin ang mga numerong ito.

248. Ang pagkakaiba ng dalawang numero ay 23. Kapag hinahati ang mas malaking bilang sa mas maliit na bilang, ang quotient ay 2 at ang natitira ay 11. Hanapin ang mga numerong ito.

249. Ang isa sa hindi kilalang dalawang numero ay mas malaki kaysa sa isa sa pamamagitan ng 5. Kung hahatiin mo ang mas maliit na numero sa 4 at ang mas malaki sa 3, kung gayon ang unang quotient ay magiging 4 na mas mababa kaysa sa pangalawa. Hanapin ang parehong mga numero.

249. Ang isa sa dalawang hindi kilalang numero ay mas malaki kaysa sa isa sa pamamagitan ng 15. Kung hahatiin mo ang mas malaking bilang sa 9 at ang mas maliit sa 2, kung gayon ang unang quotient ay magiging 3 mas mababa kaysa sa pangalawa. Hanapin ang parehong mga numero.

250. Ang isa sa dalawang hindi kilalang numero ay mas mababa kaysa sa isa sa pamamagitan ng 6. Kung hahatiin mo ang mas malaking numero sa kalahati, ang resultang quotient ay magiging tatlong unit na mas mababa kaysa sa isa pang numero. Hanapin ang parehong mga numero.

250. Ang isa sa dalawang hindi kilalang numero ay mas mababa sa isa sa 18. Kung hahatiin mo ang mas malaking numero sa tatlo, ang resultang quotient ay dalawang unit na mas malaki kaysa sa isa pang numero. Hanapin ang parehong mga numero.

251. Ang isang tangke ay naglalaman ng dalawang beses na mas maraming tubig kaysa sa isa pa; Kung magbubuhos ka ng 16 na balde mula sa una hanggang sa pangalawa, ang parehong ay naglalaman ng pantay na dami ng tubig. Magkano ang tubig sa bawat isa?

251. Ang isang tangke ay naglalaman ng tatlong beses na mas maraming tubig kaysa sa isa pa; Kung magbubuhos ka ng 22 balde mula sa una hanggang sa pangalawa, ang dalawa ay maglalaman ng pantay na dami ng tubig. Magkano ang tubig sa bawat isa?

252. Sa palengke, dalawang mangangalakal ang mayroon lamang 220 itlog; kung ang pangalawa sa kanila ay nagbigay ng 14 na itlog sa una, kung gayon ang bilang ng mga itlog para sa bawat isa sa kanila ay magiging pareho. Ilang itlog mayroon ang bawat isa?

252. Sa palengke, dalawang mangangalakal ang may kabuuang 186 na itlog; kung ang pangalawa sa kanila ay nagbigay ng 10 itlog sa una, kung gayon ang bilang ng mga itlog para sa bawat isa sa kanila ay magiging pareho. Ilang itlog mayroon ang bawat isa?

253. Ang isang tao ay may 4 na beses na mas maraming rubles sa kanyang kanang bulsa kaysa sa kanyang kaliwa; kung ililipat niya ang 6 na rubles mula sa kanang bulsa sa kaliwa, pagkatapos ay sa kanan ay magkakaroon lamang ng 3 beses na mas maraming pera kaysa sa kaliwa. Magkano ang pera sa bawat bulsa?

253. Ang isang tao ay may 3 beses na mas maraming rubles sa kanyang kanang bulsa kaysa sa kanyang kaliwa; Kung ililipat mo ang 5 rubles mula sa kaliwang bulsa papunta sa kanan, kung gayon ang kanan ay maglalaman ng limang beses na mas maraming pera kaysa sa kaliwa. Magkano ang pera sa bawat bulsa?

254. Kapag nagbabayad ng dalawang manggagawa sa isang pabrika, ang una sa kanila ay tumanggap ng 12 rubles na higit pa para sa trabaho kaysa sa pangalawa, at pagkatapos nito ay binayaran siya ng pangalawang manggagawa ng 2 rubles. utang. Napag-alaman na ang una ay nag-uwi ng tatlong beses na mas maraming pera kaysa sa pangalawa. Magkano ang kinita ng bawat tao?

254. Kapag nagbabayad ng dalawang manggagawa sa isang pabrika, ang una sa kanila ay nakatanggap ng 20 rubles na mas mababa kaysa sa pangalawa para sa trabaho, ngunit ang pangalawang manggagawa ay nagbalik sa kanya ng 2 rubles. utang. Ang una pala ay nag-uwi ng kalahati ng pera kaysa sa pangalawa. Magkano ang kinita ng bawat tao?

255. Ang isang batang lalaki ay may 30 kopeck, ang isa pang 11 kopeck. Ilang beses sila dapat bigyan ng isang kopeck upang ang una ay may dobleng halaga ng pera kaysa sa pangalawa?

255. Ang isang batang lalaki ay may 48 kopeck, ang isa pang 22 kopeck. Ilang beses sila dapat gumastos ng isang kopeck upang ang una ay may tatlong beses na mas maraming pera kaysa sa pangalawa?

256. Ang ama ay 40 taong gulang at ang anak na lalaki ay 12 taong gulang. Ilang taon na ang nakalipas ay limang beses na mas matanda ang ama sa kanyang anak?

256. Ang ama ay 49 taong gulang, at ang anak na lalaki ay 11 taong gulang. Sa ilang taon magiging tatlong beses na mas matanda ang ama sa kanyang anak?

257. Ang isang may-ari ng lupa ay may apat na beses na mas maraming tupa kaysa sa isa pa. Kung pareho silang bumili ng 9 na tupa, ang una ay magkakaroon ng tatlong beses na mas maraming tupa kaysa sa pangalawa. Ilang tupa mayroon ang bawat tao?

257. Ang isang may-ari ng lupa ay may tatlong beses na mas kaunting tupa kaysa sa isa pa. Kung pareho silang nagbebenta ng 10 tupa, ang una ay magkakaroon ng limang beses na mas kaunting tupa kaysa sa pangalawa. Ilang tupa mayroon ang bawat tao?

258. Ang ama ay 39 na taong mas matanda kaysa sa kanyang anak, at sa 7 taon siya ay magiging 4 na beses na mas matanda kaysa sa kanyang anak. Ilang taon na silang dalawa?

258. Ang mag-ama ay 88 taong gulang na magkasama, at 8 taon na ang nakalipas ang ama ay 7 beses na mas matanda kaysa sa kanyang anak. Ilang taon na silang dalawa?

259. Ang isang tangke ay may 48 balde at ang isa ay may 22 balde ng tubig. Dalawang beses na mas maraming tubig ang ibinuhos sa una kaysa sa ikalawa, at pagkatapos ay tatlong beses na mas maraming tubig ang nanatili sa una kaysa sa pangalawa. Ilang balde ang ibinubuhos sa bawat isa?

259. Mayroong 42 balde sa isang tangke, at 8 balde ng tubig sa isa pa. Tatlong beses na mas maraming tubig ang ibinuhos sa una kaysa sa pangalawa, at pagkatapos ay lumabas na apat na beses na mas maraming tubig sa una kaysa sa pangalawa. Ilang balde ang mayroon sa bawat isa?

260. Dalawang tao, na naglalaro ng mga baraha nang hiwalay, ay nagkaroon sa simula ng laro - ang unang 72 rubles, ang pangalawang 21 rubles. Tatlong beses natalo ang una at saka, magkano ang nanalo ng pangalawa. Pagkatapos ng laro, lumabas na ang una ay doble ang dami ng pera kaysa sa pangalawa. Magkano ang nanalo ng pangalawa at natalo ang una?

260. Dalawang tao, na naglalaro ng mga baraha nang hiwalay, ay nagkaroon sa simula ng laro - ang unang 25 rubles, ang pangalawang 12 rubles. Ang una ay nanalo ng dalawang beses kaysa sa pangalawa. Pagkatapos ng laro, lumabas na ang una ay may limang beses na mas maraming pera kaysa sa pangalawa. Magkano ang natalo sa pangalawa at nanalo ang una?

261. Ang nagbebenta ay nagbenta sa unang pagkakataon bahagi ng 2/7 ng bilang ng mga mansanas na mayroon siya, at sa pangalawang pagkakataon para sa parehong bilang; tapos 8 mansanas na lang ang natitira niya. Ilang mansanas ang mayroon siya?

261. Ang nagtitinda ay nagbenta ng 1/9 ng mga mansanas na mayroon siya sa unang pagkakataon, at 5/6 ng parehong bilang sa pangalawang pagkakataon; tapos 4 na mansanas na lang ang natitira niya. Ilang mansanas ang mayroon siya?

262. Una, ang isang third ng kabuuang dami ng tubig ay ibinuhos mula sa tangke ng tubig, pagkatapos ay 5/6 ng natitira, at pagkatapos ay 6 na balde lamang ang natitira. Gaano karaming tubig ang nasa tangke?

262. Una, 3/5 ng kabuuang dami ang ibinuhos mula sa tangke ng tubig, pagkatapos ay 3/4 ng natitira, at pagkatapos ay 5 balde na lamang ang natitira. Gaano karaming tubig ang nasa tangke?

263. Sa isang lipunan mayroong 40 katao, lalaki, babae at bata. Ang bilang ng mga babae ay 3/5 ng bilang ng mga lalaki, at ang bilang ng mga bata ay 2/3 ng bilang ng mga lalaki at babae na magkasama. Ilang lalaki, babae at bata ang naroon?

263. Sa isang lipunan mayroong 72 katao, lalaki, babae at bata. Ang bilang ng mga lalaki ay 2/3 ng bilang ng mga babae, at ang bilang ng mga bata ay 4/5 ng bilang ng mga lalaki at babae na magkasama. Ilang lalaki, babae at bata ang naroon?

264. Para sa 30 arshin ng tela ng dalawang grado 128 rubles lamang ang binayaran; ang isang arshin ng unang baitang ay nagkakahalaga ng 4 1/2 rubles, at isang arshin ng pangalawang 4 na rubles. Ilang arshin ng parehong grado ang binili?

264. Para sa 27 arshin ng tela ng dalawang uri, 120 rubles lamang ang binayaran; Ang isang first-grade arshin ay nagkakahalaga ng 5 rubles; arshin ng pangalawang 3 r. 75 k.. Ilang arshin ng parehong certificate ang nabili?

265. Nagbenta ang mangangalakal ng tsaa ng 38 pounds ng dalawang uri ng tsaa, na nagkakahalaga ng 3 rubles bawat isa. bawat libra ng unang baitang at 1 kuskusin. 60 k. bawat libra ng ikalawang baitang, at nakakuha ng 22 rubles na higit pa para sa buong unang baitang kaysa sa pangalawa. Ilang tsaa ng parehong uri ang naibenta?

265. Nagbenta ang isang mangangalakal ng tsaa ng 110 fungs ng dalawang uri ng tsaa, na may presyong 4 1/2 rubles. bawat libra ng unang baitang at 2 rubles. 25 k. bawat libra ng ikalawang baitang, at nakakuha ng 45 rubles na mas mababa para sa unang baitang kaysa sa pangalawa. Ilang tsaa ng parehong uri ang naibenta?

266. Kinuha ng kontratista ang manggagawa na may kondisyong bayaran siya ng 90 kopecks. para sa bawat araw ng trabaho at ibawas ang 40 kopecks mula dito. para sa bawat araw na walang pasok. Pagkatapos ng 12 araw ang manggagawa ay nakatanggap ng 6 na rubles. 90 k.. Ilang araw siyang nagtrabaho?

266. Ang kontratista ay kumuha ng isang empleyado na may kondisyon na bayaran siya ng 80 kopecks. para sa bawat araw ng trabaho at ibawas ang 50 kopecks mula dito. para sa bawat araw na walang pasok. Pagkatapos ng 50 araw, nakatanggap ang manggagawa ng 21 rubles. 80 in.. Ilang araw na ba siyang nagkulang?

267. A At SA naglalaro sila ng bilyar na may kondisyon na ang nanalo sa laro ay tumatanggap ng 76 kopecks mula sa natalo; after 20 games pala SA Nanalo lang ako ng 4 rubles. 50 k.. Ilang laro ang napanalunan niya?

267 A At SA naglalaro sila ng bilyar na may kondisyon na ang nanalo sa laro ay tumatanggap ng 50 kopecks mula sa natalo; after 12 games pala A Nanalo lang siya ng 2 rubles. Ilang laro ang natalo niya?

268. Dalawang courier ang sabay-sabay na umalis mula sa dalawang lungsod na matatagpuan sa layong 300 milya at naglalakbay patungo sa isa't isa. Ang una ay naglalakbay ng 12 versts bawat oras, ang pangalawa ay 13 versts. Kailan sila magkikita?

268. Dalawang courier ang sabay-sabay na umalis mula sa dalawang lungsod na matatagpuan sa layong 280 milya at naglalakbay patungo sa isa't isa. Ang una ay naglalakbay ng 11 versts bawat oras, ang pangalawa ay 17 versts. Kailan sila magkikita?

269. Mula sa dalawang istasyon riles, na matatagpuan sa layong 77 versts, dalawang tren ang sabay-sabay na umaalis at bumibiyahe sa parehong direksyon sa bilis na 31 1/2 versts at 18 2/3 versts bawat oras, na ang una ay sumusunod sa pangalawa. Kailan siya makakahabol?

269. Mula sa dalawang istasyon ng tren na matatagpuan sa layong 38 versts, dalawang tren ang sabay-sabay na umaalis at bumibiyahe sa parehong direksyon sa bilis na 25 1/4 versts at 20 1/2 versts bawat oras, na ang una ay sumusunod sa pangalawa. Kailan siya makakahabol?

270. Isang pampasaherong tren ang umaalis sa istasyon ng 12 ng tanghali, na naging ika-32 siglo. ng Ala una. Pagkalipas ng 45 minuto, aalis ang isang courier train mula sa parehong istasyon, na magiging ika-42 siglo. ng Ala una. Sa anong oras hahabulin ng courier train ang pampasaherong tren?

270. Isang pampasaherong tren ang umaalis sa istasyon sa alas-9 ng umaga, na naging ika-28 siglo. ng Ala una. Makalipas ang isang oras at isang quarter, aalis ang isang courier train mula sa parehong istasyon, na gumagawa ng 40 minuto bawat isa. ng Ala una. Sa anong oras hahabulin ng courier train ang pampasaherong tren?

271. Gaano karaming kapital ang dapat ipuhunan sa paglago sa 6% upang makatanggap ng tubo na 224 rubles sa 1 taon 2 buwan?

271. Anong kapital ang dapat ipuhunan sa paglago sa 8% upang makatanggap ng tubo na 182 rubles sa 7 buwan?

272. Sa anong porsyento dapat kang magbayad ng 4,400 rubles sa paglago ng kapital upang makatanggap ng kita na 280 rubles sa 1 taon 5 buwan? 50 k.?

272. Sa anong porsyento dapat kang magbayad ng 1800 rubles sa paglago ng kapital upang makatanggap ng tubo na 93 rubles sa 11 buwan? 60 k.?

273. Ang mangangalakal, na naibenta ang mga kalakal para sa 299 rubles, ay nakakuha ng 15% ng kita. Ano ang halaga ng produkto sa kanya?

273. Ang isang mangangalakal, na nagbenta ng mga kalakal para sa 161 rubles, ay nakatanggap ng 7 1/2% na kita. Ano ang halaga ng produkto sa kanya?

274. Kapag nagbebenta ng mga kalakal para sa halagang 429 rubles. nakatanggap ng pagkawala ng 2 1/2%. Ano ang halaga ng produkto?

274. Kapag nagbebenta ng mga kalakal sa halagang 366 rubles. nakatanggap ng pagkawala ng 8 1/2% Magkano ang halaga ng produkto?

275. Sa bill, 1120 rubles ang binayaran 10 buwan bago ang takdang petsa, na may komersyal na accounting sa 8%. Hanapin ang pera ng bill.

275. Sa bill, 839 rubles ang binayaran 1 taon 3 buwan bago ang takdang petsa. 60 kopecks para sa komersyal na accounting sa 7%. Hanapin ang pera ng bill.

276. Ang pool ay puno ng isang tubo sa alas-3, ang isa sa alas-5. Gaano katagal mapupuno ito kung sabay na bubuksan ang mga tubo?

276. Ang pool ay puno ng isang tubo sa 7 1/2 o'clock, ang isa sa 5 o'clock. Gaano katagal mapupuno ito kung sabay na bubuksan ang mga tubo?

277. Ang pool ay puno ng isang tubo sa alas-4, at sa pamamagitan ng isa ay maaari itong ganap na dumaloy sa alas-6. Gaano katagal mapupuno ang pool kung ang parehong mga tubo ay gumagana nang sabay-sabay?

277. Ang pool ay napupuno ng isang tubo sa loob ng 2 1/3 na oras, at sa kabila ay maaari itong dumaloy lahat sa loob ng 2 oras 48 m. Gaano katagal mapupuno ang pool kung ang parehong mga tubo ay gumana nang sabay-sabay?

278. Dalawang manggagawa ang natapos sa trabaho nang magkasama sa 3 oras 36 minuto; ang una ay maaaring gumanap nito sa alas-6. Gaano katagal aabutin ng pangalawa upang gawin ang parehong trabaho?

278. Dalawang manggagawa ang nagtatapos sa trabaho nang magkasama sa alas-12; ang una ay maaaring gawin ito sa 20 o'clock. Gaano katagal bago gawin ng pangalawa ang parehong trabaho?

279. Tatlong tubo ang naka-install sa pool; Sa unang dalawang tubig ay dumadaloy, sa ikatlo ay umaagos ito palabas. Sa pamamagitan ng unang tubo ang pool ay maaaring mapunan sa alas-3, sa pamamagitan ng pangalawa sa alas-2, at sa pamamagitan ng ikatlong tubo ang lahat ng tubig ay maaaring dumaloy palabas ng pool sa alas-6. Gaano katagal mapupuno ang pool kung bubuksan ang tatlong tubo?

279. Tatlong tubo ang inilagay sa pool; Sa unang dalawang tubig ay dumadaloy, sa ikatlo ay umaagos ito palabas. Sa pamamagitan ng unang tubo ang pool ay mapupuno sa alas-2, hanggang sa pangalawa sa alas-5, at sa ikatlong tubo ang lahat ng tubig ay maaaring dumaloy palabas ng pool sa alas-10. Gaano katagal mapupuno ang pool kung bubuksan ang tatlong tubo?

280. Sa tatlong tubo na konektado sa pool, ang una ay pinupuno ito sa alas-5, ang pangalawa ay pinupuno ito sa alas-15, at sa pamamagitan ng pangatlo ang buong pool ay umaagos sa alas-3. Gaano katagal aabutin para maubos ang isang buong pool kung ang lahat ng mga tubo ay sabay-sabay na isinaaktibo?

280. Sa tatlong tubo na inilagay sa pool, ang una ay pinupuno ito sa alas-6, ang pangalawa ay pinupuno ito sa alas-18, at sa pamamagitan ng pangatlo ang buong pool ay umaagos sa alas-3. Gaano katagal bago maubos ang buong pool kung sabay-sabay na kumikilos ang lahat ng tubo?

281. Ang pangalawang tren ng riles ay nagmula A V SA sa isang average na bilis ng 30 versts bawat oras, pagkatapos ay bumalik mula sa SA V A sa bilis na 28 versts kada oras. Ginagawa niya ang buong round trip sa loob ng 14 1/2 na oras. Ilang milya mula sa A dati SA?

281. Ang pangalawang tren ng riles ay nagmumula A V SA sa isang average na bilis ng 24 versts bawat oras, pagkatapos ay bumalik mula sa SA V A sa bilis na 30 versts kada oras. Ginagawa niya ang buong round trip sa loob ng 11 1/4 na oras. Ilang milya mula sa A dati SA?

282. Mula sa A V SA umalis ang isang tren, bumibiyahe ng 20 verst sa loob ng isang oras. Pagkatapos ng 8 oras ay aalis na ang tren SA V A, paglipas ng ika-30 siglo. ng Ala una. Distansya AB katumbas ng 350 in.. Sa anong distansya mula sa A magtatagpo ba ang mga tren?

282. Mula sa A V SA umalis ang isang tren, bumibiyahe ng 24 milya sa loob ng isang oras. Sa loob ng 5 oras ay aalis ang tren SA V A, paglipas ng ika-28 siglo. ng Ala una. Distansya AB katumbas ng 380 v., sa anong distansya mula sa SA magtatagpo ba ang mga tren?

283. Ang kabuuan ng tatlong numero ay 70. Ang pangalawang numero, kapag hinati sa una, ay nagbibigay ng quotient na 2 at isang natitira sa 1, ang pangatlo, kapag hinati sa pangalawa, ay nagbibigay ng quotient na 3 at isang natitira sa 3. Hanapin ang mga numerong ito.

283. Ang kabuuan ng tatlong numero ay 60. Ang pangalawang numero, kapag hinati sa una, ay nagbibigay ng quotient na 3 at isang natitira sa 2, ang pangatlo, kapag hinati sa pangalawa, ay nagbibigay ng quotient na 2 at isang natitira sa 4 Hanapin ang mga numero.

284. Maghanap ng isang numero na kapag hinati sa 5 ay nagbibigay ng natitira sa 2, at kapag hinati sa 8 ay nagbibigay ng natitirang 5, alam na ang unang quotient ay higit sa tatlo kaysa sa pangalawa.

284. Humanap ng isang numero na, kapag hinati sa 7, ay nag-iiwan ng natitirang 2, at kapag hinati sa 9, ay nag-iiwan ng natitirang 4, alam pa. na ang unang kusyente ay mas malaki kaysa sa pangalawa ng dalawa.

285. Ang isang tao, na gustong ipamahagi ang pera na kasama niya sa mga mahihirap, ay kinakalkula na kung ang lahat ay bibigyan ng 15 kopecks, kung gayon ay hindi siya magkakaroon ng sapat na 10 kopecks, at kung ang lahat ay bibigyan ng 13 kopecks, pagkatapos ay magkakaroon ng 6 na kopecks na natitira. Ilang pulubi ang naroon at magkano ang pera?

285. Ang isang tao, na gustong ipamahagi ang pera na kasama niya sa mga dukha, ay nagkalkula na kung ang lahat ay bibigyan ng 8 kopecks, pagkatapos ay 4 kopecks ang mananatili. dagdag, at kung bibigyan mo ang lahat ng 9 kopecks, hindi magiging sapat ang 2 kopecks. Ilang pulubi ang naroon at magkano ang pera?

286. Ang isang inhinyero ay naglalagay ng mga poste ng telegrapo sa ilang distansya. Kung inilagay niya ang mga ito sa layo na 25 diyametro mula sa isa't isa, kung gayon kinakailangan na gumawa ng isa pang 150 haligi, at kung dinagdagan niya ang distansya sa pagitan ng mga haligi ng 5 distansiya, kung gayon ay 70 haligi ang dagdag. Gaano kalaki ang distansya at ilang poste ang ginawa?

286. Ang isang inhinyero ay naglalagay ng mga poste ng telegrapo sa ilang distansya. Kung inilagay niya ang mga ito sa layo na 30 diyametro mula sa isa't isa, kung gayon ay mayroon siyang dagdag na 100 haligi na natitira, at kung binawasan niya ang distansya ng mga haligi ng 4 na distansiya, kung gayon kailangan niyang gumawa ng isa pang 180 haligi. . Gaano kalaki ang distansya at ilang poste ang ginawa?

287. Kapag umupa ng isang katulong, may nangako na babayaran siya ng 144 rubles para sa isang taon ng serbisyo. at magbigay ng damit. Nagbayad ang alipin pagkatapos ng 7 buwan at nakatanggap ng mga damit at 54 rubles bilang bayad. Ano ang halaga ng mga damit?

287. Kapag umupa ng isang alipin, may nangako na babayaran siya ng 75 rubles na pera at bibigyan siya ng mga damit para sa 7 buwang serbisyo. Nagbayad ang alipin pagkatapos ng 5 buwan at nakatanggap ng mga damit at 45 rubles bilang bayad. Ano ang halaga ng mga damit?

288. Nagbayad ng 195 rubles na halaga ng asukal para sa 46 na pood. higit sa 73 libra ng tsaa; Ang 9 pounds ng asukal ay nagkakahalaga ng 30 rubles na mas mababa sa 37 pounds ng tsaa. Ano ang halaga ng isang kilong tsaa at isang kilong asukal?

288. Nagbayad ng 238 rubles para sa 21 pounds ng tsaa, mas mababa sa 40 pounds ng asukal; Ang 15 libra ng tsaa ay nagkakahalaga ng 2 rubles. mas mahal kaysa sa 4 na libra ng asukal. Ano ang halaga ng isang kilong tsaa at isang kilong asukal?

289. Ang may-ari ng lupa ay umupa ng dalawang magsasaka para sa parehong araw-araw na sahod. Binigyan niya ang isa sa kanila ng 7 rubles sa loob ng 40 araw. 50 k. sa pera at 3 1/2 quarters ng oats, sa isa pa para sa 24 na araw 4 rubles. 80 k. sa pera at 2 quarters ng oats. Ano ang halaga ng isang quarter ng oats?

289. Ang may-ari ng lupa ay umupa ng dalawang magsasaka para sa parehong araw-araw na sahod. Binigyan niya ang isa sa kanila ng 14 na rubles sa loob ng 56 na araw. pera at 8 quarters ng oats, isa pa para sa 88 araw 13 rubles. 50 k. sa pera at 15 quarters ng oats. Ano ang halaga ng isang quarter ng oats?

290. Nagbayad ng 25 arshin ng tela at 21 arshin. pelus 247 rubles. Ito ay kilala na 10 arsh. ang mga pelus ay nagkakahalaga ng 18 rubles higit sa 13 arhin ng tela. Ano ang halaga ng isang bakuran ng dalawa?

290. Nagbayad para sa 15 arshins ng velvet at 52 arshins. tela 276 rubles. Ito ay kilala na 2 arsh. ang mga velvet ay nagkakahalaga ng 17 rubles na mas mababa sa 11 arsh. tela Ano ang halaga ng isang bakuran ng dalawa?

291. Ang kabuuan ng mga digit ng isang tiyak na dalawang-digit na numero ay 12. Kung ang 18 ay ibabawas mula sa nais na numero, makakakuha ka ng isang numero na ipinahiwatig ng parehong mga digit, ngunit nakasulat sa reverse order. Hanapin ang numerong ito.

291. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga digit ng mga unit at sampu ng isang tiyak na dalawang-digit na numero ay 3. Kung idinagdag mo ang 27 sa nais na numero, makakakuha ka ng isang numero na ipinahiwatig ng parehong mga digit, ngunit nakasulat sa reverse order. Hanapin ang numerong ito.

292. Sa ilang dalawang-digit na numero, ang bilang ng sampu ay dalawang beses sa bilang ng mga yunit. Kung muli nating ayusin ang mga digit ng numerong ito, makakakuha tayo ng isang numero na mas mababa sa 36 kaysa sa nais. Hanapin ang numerong ito.

292. Sa ilang dalawang-digit na numero, ang bilang ng sampu ay tatlong beses na mas mababa kaysa sa bilang ng isa. Kung muli nating ayusin ang mga digit ng numerong ito, makakakuha tayo ng numerong mas malaki kaysa sa nais na numero sa pamamagitan ng 36. Hanapin ang numerong ito.

293. A naglalaro ng pamato SA at nanalo ng tatlo sa bawat apat na laro laban sa kanya, pagkatapos ay nakikipaglaro sa SA at ang huli ay nanalo ng dalawa sa bawat tatlong laro. Kabuuan A naglaro ng 21 laro at nanalo sa 15. Ilang laro ang kanyang nilaro SA at kasama ang SA?

293. A naglalaro ng pamato SA at natalo ng tatlo sa bawat walong laro sa kanya, pagkatapos ay nakikipaglaro sa kanya SA at natatalo ng dalawa sa bawat limang laro hanggang sa huli. Sa lahat lahat A naglaro ng 26 na laro at natalo ang 10 sa mga ito. Ilang laro ang kanyang nilaro SA at kasama ang SA?

294. Anong oras na ngayon kung ang 1/5 ng bilang ng mga oras na lumipas mula tanghali ay katumbas ng 1/3 ng bilang ng mga oras na natitira hanggang hatinggabi?

294. Anong oras na ngayon kung ang 1/11 ng bilang ng mga oras na lumipas mula tanghali ay katumbas ng 1/13 ng bilang ng mga oras na natitira hanggang hatinggabi?

295. Hanapin ang bigat ng isda, alam na ang buntot nito ay tumitimbang ng 2 pounds, ang ulo ay kasing bigat ng buntot at kalahati ng katawan, at ang katawan ay kasing bigat ng ulo at buntot.

295. Hanapin ang bigat ng isda, alam na ang ulo nito ay tumitimbang ng 7 libra, ang buntot ay kasing bigat ng ulo at kalahati ng katawan, at ang katawan ay kasing bigat ng buntot at ulo.

296. Ang isang tiyak na halaga ay dapat na hatiin sa pagitan ng dalawang tao upang ang mga bahagi ng una at pangalawa ay nauugnay sa isa't isa, tulad ng mga numero 5 at 3, at upang ang bahagi ng una ay 50 rubles. higit sa 5/9 ng kabuuang halaga. Gaano kalaki ang bahagi ng bawat isa?

296. Ang isang tiyak na halaga ay dapat hatiin sa pagitan ng dalawang tao upang ang mga bahagi ng una at pangalawa ay magkakaugnay sa isa't isa, tulad ng mga numero 7 at 4, at upang ang bahagi ng pangalawa ay 21 rubles. mas mababa sa 5/12 ng kabuuang halaga. Gaano kalaki ang bahagi ng bawat isa?

297. Ang produkto ay naibenta sa isang pagkawala para sa 420 rubles; kung ito ay ibinebenta para sa 570 rubles, kung gayon ang kita na natanggap ay magiging 5 beses na higit pa kaysa sa pagkawala na natamo. Ano ang halaga ng produkto?

297. Ang produkto ay naibenta sa isang tubo para sa RUR 520; kung ito ay ibinebenta para sa 320 rubles, pagkatapos ay magkakaroon ng pagkawala na nagkakahalaga ng 3/7 ng mga nalikom. Ano ang halaga ng produkto?

298. Ang mga bilang ng mga arshin ng shitzu na nakapaloob sa tatlong piraso ay nasa ratio na 2:3:5. Kung pumutol ka ng 4 na arshin mula sa unang piraso, 6 na arshin mula sa pangalawa. at mula sa ikatlong 10 arsh., kung gayon ang natitirang halaga ng lahat ng calico ay magiging 5/6 ng naunang halaga. Ilang arshin ang nasa bawat piraso?

298. Ang bilang ng mga arhin ng koton na nakapaloob sa tatlong piraso ay nasa ratio na 3:5:8. Kung pumutol ka ng 10 arshin mula sa una, 20 arshin mula sa pangalawa. at mula sa ikatlong 30 arsh., kung gayon ang natitirang halaga ng lahat ng calico ay magiging 5/8 ng naunang halaga. Ilang arshin ang nasa bawat piraso?

299. Una, kalahati ng lahat ng tubig sa loob nito at kalahating balde ay ibinuhos mula sa reservoir, pagkatapos ay kalahati ng natitira at kalahating balde, sa wakas ay isa pang kalahati ng natitira at kalahating balde; pagkatapos nito ay may 6 na balde na natitira sa tangke. Magkano ang tubig doon sa simula?

299. Ang ikatlong bahagi ng tubig na nasa loob nito at ang ikatlong bahagi ng balde ay ibinuhos mula sa imbakan ng tubig, pagkatapos ay ang ikatlong bahagi ng natitira at ang ikatlong bahagi ng balde, sa wakas ay isa pang ikatlong bahagi ng natitira at isang ikatlong bahagi ng balde; pagkatapos noon ay may natitira pang 7 balde sa tangke. Magkano ang tubig doon sa simula?

300. Maraming tao ang naghahati ng isang tiyak na halaga tulad ng sumusunod; Ang una ay nakakakuha ng 100 rubles. at isang ikalimang bahagi ng natitira, ang pangalawang 200 rubles at isang ikalimang bahagi ng bagong balanse, ang ikatlong 300 rubles at isang ikalimang bahagi ng natitira, atbp. Ito ay lumabas na ang buong halaga ay nahahati sa pantay na mga bahagi. Gaano kalaki ang halagang ito, ilan ang kalahok sa dibisyon at magkano ang nakukuha ng bawat isa?

300. Hinahati ng ilang tao ang isang tiyak na halaga tulad ng sumusunod: ang una ay tumatanggap ng 50 rubles at ikaanim ng natitira, ang pangalawang 100 rubles at ikaanim ng bagong balanse, ang ikatlong 150 rubles at ikaanim ng natitira, atbp. out na ang buong halaga ay nahahati sa pantay na mga bahagi. Gaano kalaki ang halagang ito, ilan ang kalahok sa dibisyon at magkano ang nakukuha ng bawat isa?

Ang mga sumusunod na gawain ay naiiba sa mga nauna dahil ang data ay ipinahayag nang tahasan, lalo na sa mga titik. Ang mga gawaing ito ay nabibilang sa parehong mga uri tulad ng mga nauna. Kapag nilulutas ang mga ito, ang pinakamahalaga sa mga pamamaraan na ginamit noon ay paulit-ulit, ngunit, dahil sa implicit na uri ng data, ang pangangatwiran ay mas pangkalahatan at sa parehong oras ay mas abstract sa kalikasan. Sa mga bagong pagsasanay, tulad ng sa mga nauna, kailangan mong mag-ingat, una sa lahat, upang ipahayag sa pamamagitan ng pangunahing hindi alam at sa pamamagitan ng ibinigay na mga notasyon ang lahat ng mga dami na direktang binanggit sa problema, o na ipinahiwatig dito, at sa parehong oras kailangan mong patuloy na isaalang-alang ang pansin sa lahat ng mga notasyon na ibinigay sa problema, at lahat ng mga kundisyon na may kaugnayan sa data at mga hinahangad, kapag sa ganitong paraan ang lahat ng mga kundisyon ay inilalagay sa pagsasanay, pagkatapos ay ang ideya ng kung paano buuin ang kinakailangang equation ay lilitaw sa kanyang sarili.

301. Pagkakaiba ng dalawang numero s q . Hanapin ang parehong mga numero.

301. Pagkakaiba ng dalawang numero d , maramihang ratio ng mas malaki sa mas maliit q . Hanapin ang parehong mga numero.

302. Hatiin ang isang numero A sa tatlong bahagi upang ang unang bahagi ay mas malaki kaysa sa pangalawa sa pamamagitan ng isang numero T at wala pang isang katlo sa P minsan.

302. Hatiin ang isang numero A sa tatlong bahagi upang ang unang bahagi ay mas mababa sa pangalawa sa pamamagitan ng isang numero T at higit sa isang ikatlo sa P minsan.

303. Isang numero sa A beses na mas mababa kaysa sa iba. Kung idadagdag mo sa unang numero T , at sa pangalawa P , pagkatapos ay papasok ang unang halaga b beses na mas mababa kaysa sa pangalawa. Hanapin ang mga numerong ito.

303. Isang numero sa A beses na mas mababa kaysa sa iba. Kung ibawas mo sa unang numero T , at mula sa pangalawa P , pagkatapos ay ang unang pagkakaiba ay sa b beses na higit sa pangalawa. Hanapin ang mga numerong ito.

304. Ang bilang ng isang fraction ay mas mababa sa denominator nito sa pamamagitan ng isang numero A ; Kung ibawas natin sa parehong termino ng fraction ng b T / P . Hanapin ang mga tuntunin ng fraction.

304. Ang numerator ng isang fraction ay mas malaki kaysa sa denominator nito sa pamamagitan ng isang numero A . Kung idaragdag natin sa parehong termino ng fraction ng b , pagkatapos ay makakakuha ka ng isang fraction na katumbas ng fraction T / P . Hanapin ang mga tuntunin ng fraction.

305. Hatiin ang isang numero A R beses na higit pa kaysa sa pangalawa at sa q beses na mas mababa sa isang ikatlo.

305. Hatiin ang isang numero A sa tatlong bahagi upang ang una ay. V R beses na mas mababa kaysa sa pangalawa at sa q beses na higit sa isang ikatlo.

306. Ang denominator ng isang fraction ay ang mas malaki sa numerator nito sa A minsan. Kung idaragdag mo ang numero sa numerator b at ibawas ang numero sa denominator Sa , pagkatapos ay makakakuha ka ng isang fraction na katumbas ng fraction k /l . Hanapin ang mga tuntunin ng fraction.

306. Ang denominator ng isang fraction ay mas mababa kaysa sa numerator nito sa A minsan. Kung ibawas mo ang numero sa numerator b at idagdag ang numero sa denominator Sa , pagkatapos ay matututo ka ng isang fraction na katumbas ng fraction k /l . Hanapin ang mga tuntunin ng fraction.

307. Hatiin ang isang numero T sa dalawang bahagi upang ang pagkakaiba ng mga quotient mula sa paghahati ng unang bahagi sa A at ang pangalawa sa b ako ay matutuwa r.

307. Hatiin ang isang numero T sa dalawang bahagi upang ang kabuuan ng mga quotient mula sa paghahati sa unang bahagi ng A at ang pangalawa sa b magiging pantay s .

308. Para sa bawat araw ng trabaho, natatanggap ng isang empleyado A kopecks, at para sa bawat oras na hindi nagtatrabaho ay ibinabawas nila sa kanya b kopecks Matapos ang paglipas ng P araw na ang netong kita ng manggagawa ay s rubles Ilang araw ng trabaho ang naroon at ilang araw na walang pasok?

308. Para sa bawat araw ng trabaho, ang isang empleyado ay tumatanggap A kopecks at para sa bawat araw na walang pasok ay ibinabawas nila sa kanya b kopecks Matapos ang paglipas ng P araw, ang empleyado ay dapat magbayad mismo ng 5 rubles. Ilang araw ng trabaho ang naroon at ilang araw na walang pasok?

309. Pagkakaiba ng dalawang numero d . Kapag hinahati ang minuend sa subtrahend, nakukuha ang quotient q at ang natitira ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba. Hanapin ang mga numerong ito

309. Pagkakaiba ng dalawang numero d . Kapag hinahati ang minuend sa subtrahend, ang natitira ay nakuha r at ang quotient ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba. Hanapin ang mga numerong ito.

310. Para sa ilang arshin ng tela. binayaran A rubles; kung bumili ka pa ng tela Sa b

310. Nagbayad para sa ilang arshin ng tela A rubles; kung bumili ka ng tela sa murang halaga Sa arshin, pagkatapos ay kailangan mong magbayad b rubles Ilang arshin ang nabili?

311. Anong numero kapag pinarami ng a , ay tataas ng isang numero T ?

311. Anong numero, kapag hinati sa A , ay bababa ng isang numero T ?

312. Kapag nagbebenta ng bahay para sa m rubles na natanggap R porsyentong pagkawala. Ano ang gastos sa nagbebenta mismo?

312. Kapag nagbebenta ng bahay para sa T rubles na natanggap R porsyento ng kita. Ano ang gastos sa nagbebenta mismo?

313. Dalawang courier ang umaalis mula sa dalawang lugar sa parehong oras A At SA at maglakbay sa parehong direksyon mula sa A Upang SA at higit pa. Ang una ay pumasa sa isang oras A verst, pangalawa b verst. Distansya AB katumbas d verst. Kailan at sa anong distansya mula sa A Maaabutan ba ng unang courier ang pangalawa?

313. Dalawang courier ang umalis sa dalawang lugar sa parehong oras A At SA at pumunta sa isa't isa. Ang una ay pumasa sa isang oras A verst, pangalawa b verst. Distansya AB katumbas d verst. Kailan. at sa anong distansya mula sa A magkakilala ba ang dalawang courier?

314. Ang gulong sa harap ng karwahe ay may circumference ng A ft, circumference sa likuran b ft. Gaano kalayo ang dapat ilakbay ng mga tripulante para sa harap na gulong upang makagawa ng a P Marami bang revs sa likod?

314. Ang gulong sa harap ng karwahe ay may circumference ng A mga paa na mas mababa kaysa sa likod. Gaano kalayo ang kailangan ng tripulante para gawin ang gulong sa harap T , at sa likuran P rpm?

315. Dalawang tubo ang naka-install sa pool, na parehong pinupuno ito, ang una ay may hiwalay na pagkilos A oras, ang pangalawa ay may hiwalay na pagkilos sa b oras. Gaano katagal mapupuno ang pool kung ang parehong mga tubo ay gumana nang sabay-sabay?

315. Dalawang tubo ang naka-install sa pool, kung saan ang una, kapag pinaandar nang hiwalay, ay pinupuno ito A oras, at ang pangalawa rin, na may isang hiwalay na aksyon, ibinuhos ang buong pool sa b oras. Gaano katagal mapupuno ang pool kung ang parehong mga tubo ay gumagana nang sabay-sabay?

316. Papasok ang circumference ng gulong ng karwahe sa likuran A beses ang circumference ng front wheel. Dumaan ang crew T paa, at kasabay nito ang ginawa ng gulong sa harap Upang mas mataas ang revs kaysa reverse. Tukuyin ang circumference ng parehong mga gulong at ang bilang ng mga rebolusyon.

316. Naka-on ang circumference ng gulong sa harap A paa na mas mababa kaysa sa circumference ng likuran. Dumaan ang crew T paa, at kasabay nito ay ginawa ang gulong sa likuran Upang beses na mas kaunting mga rebolusyon kaysa sa harap. Tukuyin ang circumference ng parehong mga gulong at ang bilang ng mga rebolusyon.

317. Ang populasyon ng isang lungsod ay tumataas taun-taon ng R % kumpara sa populasyon ng nakaraang taon. Kasalukuyang nasa lungsod T

317. Ang populasyon ng isang lungsod ay bumababa taun-taon ng R % kumpara sa populasyon ng nakaraang taon. Kasalukuyang nasa lungsod T mga residente. Ilang mga naninirahan doon 3 taon na ang nakakaraan?

318. Dalawang manggagawa, nagtatrabaho nang sabay-sabay, tinatapos ang kanilang trabaho A oras. Gagawin muna ng isa ang parehong trabaho b , beses sa halip na isang segundo. Anong oras matatapos ang trabaho ng bawat manggagawa?

318. Dalawang manggagawa, nagtatrabaho nang sabay-sabay, tinatapos ang trabaho A oras. Ang isa ay ang unang gagawa ng parehong trabaho sa b , beses na mas mabagal kaysa sa isang segundo. Anong oras natatapos sa trabaho ang bawat manggagawa?

319. Isang boatman, na sumasagwan sa ilog, na lumutang P fathoms in t oras; paggaod laban sa agos, ginagamit niya At mas maraming oras upang lumangoy sa parehong distansya. Tukuyin ang oras-oras na bilis ng kasalukuyang.

319. Ang bangka, na sumasagwan laban sa agos, ay lumutang P fathoms in t oras; paggaod gamit ang agos, ginagamit niya At mas kaunting oras upang lumangoy sa parehong distansya. Tukuyin ang oras-oras na bilis ng kasalukuyang.

320. Katawan A gumagalaw sa bilis v metro bawat segundo. Sa anong bilis dapat gumalaw ang kabilang katawan? SA, umaalis sa parehong lugar t segundong mas maaga kung ito ay naabutan ng katawan A sa pamamagitan ng At ilang segundo pagkatapos ng pagsisimula ng paggalaw ng katawan na ito?

320. Katawan A gumagalaw sa bilis v metro bawat segundo. Sa anong bilis dapat gumalaw ang kabilang katawan? SA, galing sa parehong lugar At makalipas ang ilang segundo kung maabutan nito ang katawan A sa pamamagitan ng at ilang segundo pagkatapos ng pagsisimula ng iyong paggalaw?

321. Sa dalawang uri ng kalakal, may presyo sa A rubles at sa b rubles bawat libra, pinagsama-sama d T rubles bawat libra na natanggap s pagkawala ng rubles. Ilang kilo ng parehong uri ang napunta sa pinaghalong?

321. Sa dalawang uri ng kalakal, na may presyo A rubles at sa b rubles bawat libra, pinagsama-sama d libra ng halo. Kapag nagbebenta ng halo na ito sa T rubles bawat libra na natanggap s rubles ng kita. Ilang kilo ng parehong uri ang napunta sa pinaghalong?

322. Gamit na swimming pool, accommodating T mga balde, dalawang tubo ang inilatag. Ang una ay nagbuhos sa pool A mga balde kada oras. Ibinuhos ng pangalawa ang buong pool b oras. Sa ilang oras mapupuno ang pool kung ang parehong mga tubo ay gumana nang sabay-sabay?

322. Sa pool na naglalaman T mga balde, dalawang tubo ang inilatag. Pinuno ng una ang buong pool A oras. Ang pangalawa ay bumubuhos sa pool sa isang oras b mga balde Ilang oras ang aabutin upang mapuno ang pool kung ang parehong mga tubo ay gumana nang sabay-sabay?

323. Hatiin ang isang numero A sa tatlong bahagi upang ang una ay nauugnay sa pangalawa, bilang t:p , at ang pangalawa hanggang sa pangatlo, tulad ng p:q.

323. Hatiin ang isang numero A sa tatlong bahagi upang ang pangalawa ay nauugnay sa una, bilang t:p , at ang pangatlo hanggang sa pangalawa, tulad ng p:q.

324. Mula sa dalawang lugar A At SA P fathoms, dalawang bangka ay naglalayag patungo sa isa't isa, na hinimok ng mga oarsmen na may parehong lakas. Ang una, na lumulutang kasama ang agos, ay sumasakop sa buong distansya AB V t oras; ang pangalawa, ang paglangoy laban sa agos, ay tumatagal ng mas maraming oras upang maglakbay sa parehong distansya At oras. Tukuyin ang oras-oras na bilis ng kasalukuyang.

324. Mula sa dalawang lugar A At SA sa ilog, na pinaghihiwalay ng P fathoms, dalawang bangka ay naglalayag patungo sa isa't isa, na hinimok ng mga oarsmen na may parehong lakas. Ang una, ang paglangoy laban sa agos, ay sumasakop sa buong distansya AB V t oras; ang pangalawa, lumulutang sa daloy, ay gumagamit ng mas kaunting oras para sa parehong distansya At oras. Tukuyin ang oras-oras na bilis ng kasalukuyang.

325. Tukuyin ang kabisera ng tatlong tao, alam na ang una at pangalawa ay magkakasama T rubles, ang pangalawa kasama ang pangatlo P rubles, at iyon ang kabisera ng una R beses na mas mababa kaysa sa kapital ng isang ikatlo.

325. Tukuyin ang kabisera ng tatlong tao, alam na ang una at pangatlo ay magkakasama T rubles, ang pangalawa kasama ang pangatlo P rubles, at iyon ang kabisera ng una R beses ang kabisera ng pangalawa.

326. Dalawang katawan ang gumagalaw patungo sa isa't isa mula sa dalawang lugar na matatagpuan sa malayo d metro. Ang mga unang galaw sa bilis v metro bawat segundo. Sa anong bilis dapat gumalaw ang pangalawang katawan kung umabot ito h segundo mamaya kaysa sa una at dapat pumunta hanggang sa matugunan ang lahat P segundo?

326. Dalawang katawan ang gumagalaw patungo sa isa't isa mula sa dalawang lugar na matatagpuan sa malayo d metro. Ang una ay gumagalaw nang mabilis v metro bawat segundo. Sa anong bilis dapat gumalaw ang pangalawang katawan kung umabot ito h segundo mas maaga kaysa sa una at dapat pumunta hanggang sa matugunan ang lahat P segundo?

327. Isang bill of exchange na may diskwento sa komersyo R % sa likod P taon bago ang takdang petsa, ay nagbibigay ng higit na mathematical accounting, ginawa din ayon sa R % at para sa P taon, sa A rubles Hanapin ang pera ng Vsksel.

327. Bill ng palitan na may diskwentong komersyal R % sa likod P taong gulang, nakatayo sa T rubles na mas mura kaysa sa mathematical accounting, tapos na rin ang paggamit R % at para sa P taon Ano ang halaga ng bayarin?

328. Dalawang courier ang umalis sa lugar A At B, na matatagpuan sa malayo d versts, at pumunta patungo, pagpasa sa ala-una u versg at pangalawa v verst; alis muna mula sa A naganap sa h SA. Tukuyin kung kailan at saan magkikita ang mga courier?

328. Dalawang courier ang umalis sa lugar A At B matatagpuan sa malayo d verst, at pareho silang pumunta sa iisang direksyon, pasado alas-una At verst at pangalawa v verst; alis muna mula sa A naganap sa h oras bago ang ikalawang pag-alis B. Tukuyin kung kailan at saan hahabulin ng unang courier ang pangalawa?

329. Hatiin ang isang numero A sa tatlong bahagi na kung ikabit mo sa una T , bawasan muna ang pangalawa ng m , at pagkatapos ay i-multiply sa P , at hatiin ang pangatlo sa P , kung gayon ang mga resultang nakuha ay magiging pantay.

329. Hatiin ang isang numero A sa tatlong bahagi na kung ang una ay bawasan ng T , dagdagan muna ang pangalawa ng T , pagkatapos ay i-multiply sa P , at hatiin ang pangatlo sa P , pagkatapos ay magiging pantay ang mga resulta.

330. Tatlong tubo ang naka-install sa pool A, B At SA. Sa pamamagitan ng A At SA bumubuhos ang tubig SA A At SA napuno ang pool T oras, kapag aktibo A At C V P oras, kapag aktibo SA At SA V R oras. Gaano katagal mapupuno ang pool kung ang lahat ng tatlong tubo ay gumana nang sabay-sabay?

330. Tatlong tubo ang naka-install sa pool A, B At SA. Sa pamamagitan ng A bumubuhos ang tubig SA At SA umaagos palabas. Sa magkasanib na pagkilos ng mga tubo A At SA napuno ang pool T oras, kapag aktibo A At SA V P orasan, mga tubo SA At SA ibuhos ang buong pool sa R oras. Gaano katagal aabutin ang buong pool upang maubos kung ang lahat ng tatlong mga tubo ay gumana nang sabay-sabay?

Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.
Ang vector ng direksyon ay tuwid. Normal na vector

Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay isa sa pinakasimpleng mga geometric na hugis, pamilyar sa iyo mula noong elementarya, at ngayon ay matututunan natin kung paano ito haharapin gamit ang mga pamamaraan ng analytical geometry. Upang makabisado ang materyal, dapat kang makabuo ng isang tuwid na linya; alamin kung anong equation ang tumutukoy sa isang tuwid na linya, sa partikular, isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate at mga tuwid na linya na kahanay sa mga coordinate axes. Ang impormasyong ito ay matatagpuan sa manwal Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar, nilikha ko ito para sa matan, ngunit ang seksyon tungkol sa linear function Ito ay naging napaka-matagumpay at detalyado. Samakatuwid, mahal na mga teapot, magpainit muna diyan. Bilang karagdagan, kailangan mong magkaroon ng pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector, kung hindi ay hindi kumpleto ang pag-unawa sa materyal.

Sa araling ito ay titingnan natin ang mga paraan kung saan maaari kang lumikha ng isang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Inirerekumenda ko na huwag pabayaan ang mga praktikal na halimbawa (kahit na tila napakasimple), dahil bibigyan ko sila ng elementarya at mahahalagang katotohanan, mga teknikal na pamamaraan na kakailanganin sa hinaharap, kasama ang iba pang mga seksyon ng mas mataas na matematika.

• Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na may isang koepisyent ng anggulo?
• paano ?
• Paano makahanap ng isang vector ng direksyon gamit ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?
• Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?

at magsisimula tayo:

Equation ng isang tuwid na linya na may slope

Ang kilalang "paaralan" na anyo ng isang tuwid na linyang equation ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na may slope. Halimbawa, kung ang isang tuwid na linya ay ibinigay ng equation, kung gayon ang slope nito ay: . Isaalang-alang natin ang geometric na kahulugan ng koepisyent na ito at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa lokasyon ng linya:

Sa isang kursong geometry ay napatunayan na ang slope ng tuwid na linya ay katumbas ng padaplis ng anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng axisat ang linyang ito: , at ang anggulo ay "nag-unscrew" nang pakaliwa.

Upang hindi makalat ang pagguhit, gumuhit ako ng mga anggulo para lamang sa dalawang tuwid na linya. Isaalang-alang natin ang "pula" na linya at ang slope nito. Ayon sa itaas: (ang anggulo ng "alpha" ay ipinahiwatig ng isang berdeng arko). Para sa "asul" na tuwid na linya na may koepisyent ng anggulo, ang pagkakapantay-pantay ay totoo (ang anggulo ng "beta" ay ipinahiwatig ng isang brown na arko). At kung ang tangent ng anggulo ay kilala, kung kinakailangan ay madaling mahanap at ang sulok mismo gamit ang inverse function - arctangent. Tulad ng sinasabi nila, isang trigonometric table o isang microcalculator sa iyong mga kamay. kaya, ang angular coefficient ay nagpapakilala sa antas ng pagkahilig ng tuwid na linya sa abscissa axis.

Posible ang mga sumusunod na kaso:

1) Kung ang slope ay negatibo: pagkatapos ang linya, halos pagsasalita, ay mula sa itaas hanggang sa ibaba. Ang mga halimbawa ay ang "asul" at "raspberry" na mga tuwid na linya sa pagguhit.

2) Kung ang slope ay positibo: pagkatapos ay ang linya ay mula sa ibaba hanggang sa itaas. Mga halimbawa - "itim" at "pula" na mga tuwid na linya sa pagguhit.

3) Kung ang slope ay zero: , kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo , at ang katumbas na tuwid na linya ay parallel sa axis. Ang isang halimbawa ay ang "dilaw" na tuwid na linya.

4) Para sa isang pamilya ng mga linya na kahanay sa isang axis (walang halimbawa sa pagguhit, maliban sa axis mismo), ang angular coefficient ay wala (hindi tinukoy ang tangent ng 90 degrees).

Kung mas malaki ang slope coefficient sa absolute value, mas matarik ang straight line graph..

Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Dito, samakatuwid, ang tuwid na linya ay may mas matarik na dalisdis. Ipaalala ko sa iyo na pinapayagan ka ng module na huwag pansinin ang sign, interesado lang kami ganap na mga halaga angular coefficients.

Sa turn, ang isang tuwid na linya ay mas matarik kaysa sa mga tuwid na linya .

Sa kabaligtaran: mas maliit ang slope coefficient sa absolute value, mas flatter ang tuwid na linya.

Para sa mga tuwid na linya ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kaya ang tuwid na linya ay mas patag. Pag-slide ng mga bata, upang hindi bigyan ang iyong sarili ng mga pasa at bukol.

Bakit kailangan ito?

Patagalin ang iyong pagdurusa Ang kaalaman sa mga katotohanan sa itaas ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na makita ang iyong mga pagkakamali, lalo na, ang mga pagkakamali kapag gumagawa ng mga graph - kung ang pagguhit ay lumabas na "malinaw na mali." Maipapayo na ikaw kaagad malinaw na, halimbawa, ang tuwid na linya ay napakatarik at napupunta mula sa ibaba hanggang sa itaas, at ang tuwid na linya ay napaka-flat, na pinindot malapit sa axis at napupunta mula sa itaas hanggang sa ibaba.

Sa mga problemang geometriko, maraming mga tuwid na linya ang madalas na lumilitaw, kaya maginhawang italaga ang mga ito sa anumang paraan.

Mga pagtatalaga: ang mga tuwid na linya ay itinalagang maliit may mga letrang Latin: . Ang isang popular na opsyon ay ang pagtatalaga sa kanila gamit ang parehong titik na may natural na mga subscript. Halimbawa, ang limang linyang tiningnan lang natin ay maaaring tukuyin ng .

Dahil ang anumang tuwid na linya ay natatanging tinutukoy ng dalawang puntos, maaari itong tukuyin ng mga puntong ito: atbp. Ang pagtatalaga ay malinaw na nagpapahiwatig na ang mga punto ay kabilang sa linya.

Oras na para magpainit ng kaunti:

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na may isang koepisyent ng anggulo?

Kung ang isang punto na kabilang sa isang tiyak na linya at ang angular coefficient ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:

Halimbawa 1

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na may slope kung alam na ang punto ay kabilang sa ibinigay na linya.

Solusyon: Buuin natin ang equation ng tuwid na linya gamit ang formula . Sa kasong ito:

Sagot:

Pagsusulit ay ginagawa nang simple. Una, tinitingnan natin ang resultang equation at siguraduhing nasa lugar ang ating slope. Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat matugunan ang equation na ito. Isaksak natin sila sa equation:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Konklusyon: Nahanap nang tama ang equation.

Isang mas nakakalito na halimbawa upang malutas nang mag-isa:

Halimbawa 2

Sumulat ng equation para sa isang tuwid na linya kung alam na ang anggulo ng pagkahilig nito sa positibong direksyon ng axis ay , at ang punto ay kabilang sa tuwid na linyang ito.

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, muling basahin ang teoretikal na materyal. Mas tiyak, mas praktikal, laktawan ko ang maraming ebidensya.

Tumunog na ang huling kampana, natapos na ang seremonya ng pagtatapos, at sa labas ng gate ng aming katutubong paaralan, naghihintay sa amin ang analytical geometry. Tapos na ang mga biro... O baka nagsisimula pa lang sila =)

Nostalgically namin iwagayway ang aming panulat sa pamilyar at maging pamilyar sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Dahil sa analytical geometry ito mismo ang ginagamit:

Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , nasaan ang ilang mga numero. Kasabay nito, ang mga coefficients sabay-sabay ay hindi katumbas ng zero, dahil nawawalan ng kahulugan ang equation.

Magsuot tayo ng suit at itali ang equation sa slope coefficient. Una, ilipat natin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:

Ang terminong may "X" ay dapat ilagay sa unang lugar:

Sa prinsipyo, ang equation ay mayroon nang anyo , ngunit ayon sa mga tuntunin ng mathematical etiquette, ang koepisyent ng unang termino (sa kasong ito) ay dapat na positibo. Pagbabago ng mga palatandaan:

Tandaan ang teknikal na tampok na ito! Ginagawa naming positibo ang unang koepisyent (madalas)!

Sa analytical geometry, ang equation ng isang tuwid na linya ay halos palaging ibibigay sa pangkalahatang anyo. Buweno, kung kinakailangan, madali itong mabawasan sa anyo ng "paaralan" na may isang angular na koepisyent (maliban sa mga tuwid na linya na kahanay sa ordinate axis).

Tanungin natin ang ating sarili kung ano tama na marunong gumawa ng tuwid na linya? Dalawang puntos. Ngunit higit pa tungkol sa insidenteng ito ng pagkabata, nananatili na ngayon sa panuntunan ng mga arrow. Ang bawat tuwid na linya ay may napakaspesipikong slope, na madaling "i-adapt" sa. vector.

Ang isang vector na kahanay ng isang linya ay tinatawag na vector ng direksyon ng linyang iyon. Malinaw na ang anumang tuwid na linya ay may walang katapusang bilang ng mga vector ng direksyon, at lahat ng mga ito ay magiging collinear (co-directional o hindi - hindi mahalaga).

Ipapahiwatig ko ang vector ng direksyon tulad ng sumusunod: .

Ngunit ang isang vector ay hindi sapat upang bumuo ng isang tuwid na linya; ang vector ay libre at hindi nakatali sa anumang punto sa eroplano. Samakatuwid, kinakailangan din na malaman ang ilang punto na kabilang sa linya.

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon?

Kung ang isang tiyak na punto na kabilang sa isang linya at ang vector ng direksyon ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay maaaring maipon gamit ang formula:

Minsan ito ay tinatawag canonical equation ng linya .

Ano ang gagawin kapag isa sa mga coordinate ay katumbas ng zero, mauunawaan natin sa mga praktikal na halimbawa sa ibaba. Sa pamamagitan ng paraan, mangyaring tandaan - sabay sabay Ang mga coordinate ay hindi maaaring katumbas ng zero, dahil ang zero vector ay hindi tumutukoy ng isang tiyak na direksyon.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon

Solusyon: Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang formula. Sa kasong ito:

Gamit ang mga katangian ng proporsyon, inaalis namin ang mga fraction:

At dinadala namin ang equation sa pangkalahatang anyo nito:

Sagot:

Bilang isang patakaran, hindi na kailangang gumawa ng isang pagguhit sa mga naturang halimbawa, ngunit para sa kapakanan ng pag-unawa:

Sa pagguhit nakikita natin ang panimulang punto, ang orihinal na vector ng direksyon (maaari itong i-plot mula sa anumang punto sa eroplano) at ang itinayong tuwid na linya. Sa pamamagitan ng paraan, sa maraming mga kaso ito ay pinaka-maginhawa upang bumuo ng isang tuwid na linya gamit ang isang equation na may isang angular coefficient. Madaling ibahin ang anyo ng ating equation at madaling pumili ng isa pang punto para makabuo ng tuwid na linya.

Tulad ng nabanggit sa simula ng talata, ang isang tuwid na linya ay may walang katapusan na maraming mga vector ng direksyon, at lahat ng mga ito ay collinear. Halimbawa, gumuhit ako ng tatlong tulad ng mga vector: . Anuman ang vector ng direksyon na pipiliin natin, ang resulta ay palaging magiging parehong straight line equation.

Gumawa tayo ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon:

Paglutas ng proporsyon:

Hatiin ang magkabilang panig sa -2 at kunin ang pamilyar na equation:

Maaaring subukan ng mga interesado ang mga vector sa parehong paraan o anumang iba pang collinear vector.

Ngayon lutasin natin ang kabaligtaran na problema:

Paano makahanap ng isang vector ng direksyon gamit ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?

Napakasimple:

Kung ang isang linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang vector ng direksyon ng linyang ito.

Mga halimbawa ng paghahanap ng mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:

Binibigyang-daan kami ng pahayag na makahanap lamang ng isang vector ng direksyon mula sa isang walang katapusang numero, ngunit hindi na namin kailangan ng higit pa. Bagaman sa ilang mga kaso, ipinapayong bawasan ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon:

Kaya, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na parallel sa axis at ang mga coordinate ng resultang vector ng direksyon ay maginhawang hinati sa -2, na nakakakuha ng eksaktong batayan ng vector bilang ang vector ng direksyon. Lohikal.

Katulad nito, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, at sa pamamagitan ng paghahati ng mga coordinate ng vector sa pamamagitan ng 5, nakuha namin ang unit vector bilang direksyon ng vector.

Ngayon gawin natin pagsuri Halimbawa 3. Ang halimbawa ay tumaas, kaya ipinapaalala ko sa iyo na sa loob nito ay pinagsama-sama namin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon

Una, gamit ang equation ng tuwid na linya ay muling itinatayo natin ang vector ng direksyon nito: - lahat ay maayos, natanggap namin ang orihinal na vector (sa ilang mga kaso ang resulta ay maaaring isang collinear vector sa orihinal, at ito ay karaniwang madaling mapansin sa pamamagitan ng proporsyonalidad ng kaukulang mga coordinate).

Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat matugunan ang equation. Pinapalitan namin ang mga ito sa equation:

Nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay, na labis naming ikinatutuwa.

Konklusyon: Nakumpleto nang tama ang gawain.

Halimbawa 4

Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin. Ito ay lubos na ipinapayong suriin gamit ang algorithm na tinalakay lamang. Subukang palaging (kung maaari) suriin ang isang draft. Ito ay hangal na gumawa ng mga pagkakamali kung saan maaari silang 100% na iwasan.

Kung ang isa sa mga coordinate ng vector ng direksyon ay zero, magpatuloy nang simple:

Halimbawa 5

Solusyon: Ang formula ay hindi angkop dahil ang denominator sa kanang bahagi ay zero. May labasan! Gamit ang mga katangian ng proporsyon, muling isinulat namin ang formula sa form, at ang natitira ay pinagsama sa isang malalim na rut:

Sagot:

Pagsusulit:

1) Ibalik ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya:
– ang resultang vector ay collinear sa orihinal na vector ng direksyon.

2) Palitan ang mga coordinate ng punto sa equation:

Nakukuha ang tamang pagkakapantay-pantay

Konklusyon: gawaing natapos nang tama

Ang tanong ay lumitaw, bakit mag-abala sa formula kung mayroong isang unibersal na bersyon na gagana sa anumang kaso? May dalawang dahilan. Una, ang formula ay nasa anyo ng isang fraction mas mabuting tandaan. At pangalawa, ang disadvantage ng unibersal na formula ay iyon ang panganib na malito ay tumataas nang malaki kapag pinapalitan ang mga coordinate.

Halimbawa 6

Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Bumalik tayo sa nasa lahat ng dako ng dalawang punto:

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang dalawang puntos?

Kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito ay maaaring i-compile gamit ang formula:

Sa katunayan, ito ay isang uri ng formula at narito kung bakit: kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang vector ang magiging direksyon ng vector ng ibinigay na linya. Sa aralin Mga vector para sa mga dummies isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng problema - kung paano hanapin ang mga coordinate ng isang vector mula sa dalawang puntos. Ayon sa problemang ito, ang mga coordinate ng vector ng direksyon ay:

Tandaan : ang mga puntos ay maaaring "palitan" at ang formula ay maaaring gamitin . Ang ganitong solusyon ay magiging katumbas.

Halimbawa 7

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang dalawang puntos .

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

Pagsusuklay ng mga denominador:

At i-shuffle ang deck:

Ngayon na ang oras upang alisin ang mga fractional na numero. Sa kasong ito, kailangan mong i-multiply ang magkabilang panig ng 6:

Buksan ang mga bracket at isaisip ang equation:

Sagot:

Pagsusulit ay halata - ang mga coordinate ng mga paunang punto ay dapat matugunan ang resultang equation:

1) Palitan ang mga coordinate ng punto:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

2) Palitan ang mga coordinate ng punto:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

Konklusyon: Ang equation ng linya ay nakasulat nang tama.

Kung kahit isa ng mga puntos ay hindi nasiyahan ang equation, maghanap ng isang error.

Ito ay nagkakahalaga na tandaan na ang graphical na pag-verify sa kasong ito ay mahirap, dahil bumuo ng isang tuwid na linya at tingnan kung ang mga punto ay kabilang dito , hindi gaanong simple.

Mapapansin ko ang ilang higit pang teknikal na aspeto ng solusyon. Marahil sa problemang ito ay mas kumikita ang paggamit ng formula ng salamin at, sa parehong mga punto gumawa ng equation:

Mas kaunting fraction. Kung gusto mo, maaari mong isagawa ang solusyon hanggang sa dulo, ang resulta ay dapat na parehong equation.

Ang pangalawang punto ay tingnan ang huling sagot at alamin kung maaari pa itong gawing simple? Halimbawa, kung nakuha mo ang equation , pagkatapos ay ipinapayong bawasan ito ng dalawa: – ang equation ay tutukuyin ang parehong tuwid na linya. Gayunpaman, ito ay isang paksa ng pag-uusap tungkol sa relatibong posisyon ng mga linya.

Pagkatanggap ng sagot sa Halimbawa 7, kung sakali, sinuri ko kung ang LAHAT ng mga coefficient ng equation ay nahahati sa 2, 3 o 7. Bagaman, kadalasan ang mga naturang pagbawas ay ginagawa sa panahon ng solusyon.

Halimbawa 8

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa mga puntos .

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, na magbibigay-daan sa iyong mas maunawaan at magsanay ng mga diskarte sa pagkalkula.

Katulad ng naunang talata: kung nasa formula ang isa sa mga denominator (ang coordinate ng vector ng direksyon) ay nagiging zero, pagkatapos ay muling isulat namin ito sa form . Muli, pansinin kung gaano siya awkward at nalilito. Wala akong nakikitang punto sa pagdadala praktikal na mga halimbawa, dahil nalutas na natin ang gayong problema (tingnan ang Blg. 5, 6).

Direktang normal na vector (normal na vector)

Ano ang normal? Sa simpleng salita, ang normal ay patayo. Iyon ay, ang normal na vector ng isang linya ay patayo sa isang naibigay na linya. Malinaw, ang anumang tuwid na linya ay may walang katapusang bilang ng mga ito (pati na rin ang mga vector ng direksyon), at ang lahat ng mga normal na vector ng tuwid na linya ay magiging collinear (codirectional o hindi, wala itong pagkakaiba).

Ang pakikitungo sa kanila ay magiging mas madali kaysa sa mga gabay na vector:

Kung ang isang linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang normal na vector ng linyang ito.

Kung ang mga coordinate ng vector ng direksyon ay kailangang maingat na "hugot" mula sa equation, kung gayon ang mga coordinate ng normal na vector ay maaaring "alisin" lamang.

Ang normal na vector ay palaging orthogonal sa vector ng direksyon ng linya. I-verify natin ang orthogonality ng mga vector na ito na ginagamit produkto ng tuldok:

Magbibigay ako ng mga halimbawa na may parehong mga equation tulad ng para sa vector ng direksyon:

Posible bang bumuo ng isang equation ng isang tuwid na linya na ibinigay ng isang punto at isang normal na vector? Nararamdaman ko ito sa aking bituka, posible. Kung kilala ang normal na vector, kung gayon ang direksyon ng tuwid na linya mismo ay malinaw na tinukoy - ito ay isang "matibay na istraktura" na may anggulo na 90 degrees.

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?

Kung ang isang tiyak na punto na kabilang sa isang linya at ang normal na vector ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:

Dito gumagana ang lahat nang walang mga fraction at iba pang mga sorpresa. Ito ang aming normal na vector. Mahalin mo siya. At respeto =)

Halimbawa 9

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng linya.

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

Ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya ay nakuha, suriin natin:

1) "Alisin" ang mga coordinate ng normal na vector mula sa equation: – oo, sa katunayan, ang orihinal na vector ay nakuha mula sa kundisyon (o isang collinear vector ay dapat makuha).

2) Suriin natin kung ang punto ay nakakatugon sa equation:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

Pagkatapos nating kumbinsihin na ang equation ay binubuo ng tama, kukumpletuhin natin ang pangalawa, mas madaling bahagi ng gawain. Inalis namin ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya:

Sagot:

Sa pagguhit, ang sitwasyon ay ganito:

Para sa mga layunin ng pagsasanay, isang katulad na gawain para sa paglutas nang nakapag-iisa:

Halimbawa 10

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng linya.

Ang huling seksyon ng aralin ay ilalaan sa hindi gaanong karaniwan, ngunit gayundin mahalagang species mga equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.
Equation ng isang linya sa parametric form

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment ay may anyo , kung saan ang mga nonzero constants. Ang ilang mga uri ng mga equation ay hindi maaaring katawanin sa form na ito, halimbawa, direktang proporsyonalidad (dahil ang libreng termino ay katumbas ng zero at walang paraan upang makuha ang isa sa kanang bahagi).

Ito ay, sa makasagisag na pagsasalita, isang "teknikal" na uri ng equation. Ang isang karaniwang gawain ay upang kumatawan sa pangkalahatang equation ng isang linya bilang isang equation ng isang linya sa mga segment. Paano ito maginhawa? Ang equation ng isang linya sa mga segment ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na mahanap ang mga punto ng intersection ng isang linya na may mga coordinate axes, na maaaring maging napakahalaga sa ilang mga problema ng mas mataas na matematika.

Hanapin natin ang punto ng intersection ng linya na may axis. Ni-reset namin ang "y" sa zero, at ang equation ay nasa anyo . Ang nais na punto ay awtomatikong nakuha: .

Pareho sa axis – ang punto kung saan ang tuwid na linya ay nag-intersect sa ordinate axis.

Ipinagpapatuloy ng artikulong ito ang paksa ng equation ng isang linya sa isang eroplano: isasaalang-alang namin ang ganitong uri ng equation bilang pangkalahatang equation ng isang linya. Tukuyin natin ang teorama at ibigay ang patunay nito; Alamin natin kung ano ang isang hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang linya at kung paano gumawa ng mga paglipat mula sa isang pangkalahatang equation patungo sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang linya. Pagtitibayin natin ang buong teorya na may mga guhit at solusyon sa mga praktikal na problema.

Hayaang tukuyin ang isang rectangular coordinate system O x y sa eroplano.

Teorama 1

Anumang equation ng unang degree, na may anyong A x + B y + C = 0, kung saan ang A, B, C ay ilang tunay na numero (A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras), ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano. Sa turn, ang anumang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay tinutukoy ng isang equation na may anyo na A x + B y + C = 0 para sa isang tiyak na hanay ng mga halaga A, B, C.

Patunay

Ang teorama na ito ay binubuo ng dalawang puntos; patunayan natin ang bawat isa sa kanila.

1. Patunayan natin na ang equation na A x + B y + C = 0 ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa eroplano.

Hayaang magkaroon ng ilang punto M 0 (x 0 , y 0) na ang mga coordinate ay tumutugma sa equation na A x + B y + C = 0. Kaya: A x 0 + B y 0 + C = 0. Ibawas mula sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation A x + B y + C = 0 ang kaliwa at kanang bahagi ng equation A x 0 + B y 0 + C = 0, nakakakuha tayo ng bagong equation na parang A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Ito ay katumbas ng A x + B y + C = 0.

Ang resultang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa perpendicularity ng mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Kaya, ang hanay ng mga puntos na M (x, y) ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate na patayo sa direksyon ng vector n → = (A, B). Maaari nating ipagpalagay na hindi ito ganoon, ngunit ang mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ay hindi magiging patayo, at ang pagkakapantay-pantay A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ay hindi magiging totoo.

Dahil dito, ang equation A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ay tumutukoy sa isang tiyak na linya sa isang rectangular coordinate system sa eroplano, at samakatuwid ang katumbas na equation na A x + B y + C = 0 ay tumutukoy sa parehong linya. Ito ay kung paano namin pinatunayan ang unang bahagi ng teorama.

1. Magbigay tayo ng patunay na ang anumang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano ay maaaring tukuyin ng isang equation ng unang degree na A x + B y + C = 0.

Tukuyin natin ang isang tuwid na linya a sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano; ang puntong M 0 (x 0 , y 0) kung saan dumadaan ang linyang ito, gayundin ang normal na vector ng linyang ito n → = (A, B) .

Hayaang magkaroon din ng ilang punto M (x, y) - isang lumulutang na punto sa isang linya. Sa kasong ito, ang mga vectors n → = (A, B) at M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ay patayo sa isa't isa, at ang kanilang scalar product ay zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Isulat muli natin ang equation A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, tukuyin ang C: C = - A x 0 - B y 0 at bilang pangwakas na resulta makuha natin ang equation A x + B y + C = 0.

Kaya, napatunayan na natin ang ikalawang bahagi ng theorem, at napatunayan na natin ang buong theorem sa kabuuan.

Kahulugan 1

Isang equation ng form A x + B y + C = 0 - Ito pangkalahatang equation ng isang linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate systemOxy.

Batay sa napatunayang teorama, maaari nating tapusin na ang isang tuwid na linya at ang pangkalahatang equation na tinukoy sa isang eroplano sa isang nakapirming rectangular coordinate system ay hindi mapaghihiwalay. Sa madaling salita, ang orihinal na linya ay tumutugma sa pangkalahatang equation nito; ang pangkalahatang equation ng isang linya ay tumutugma sa isang naibigay na linya.

Mula sa patunay ng theorem ay sumusunod din na ang mga coefficients A at B para sa mga variable na x at y ay ang mga coordinate ng normal na vector ng linya, na ibinibigay ng pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C = 0.

Isaalang-alang natin ang isang tiyak na halimbawa ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Hayaang ibigay ang equation na 2 x + 3 y - 2 = 0, na tumutugma sa isang tuwid na linya sa isang ibinigay na rectangular coordinate system. Ang normal na vector ng linyang ito ay ang vector n → = (2 , 3) ​​​​. Iguhit natin ang ibinigay na tuwid na linya sa pagguhit.

Maaari din nating sabihin ang mga sumusunod: ang tuwid na linya na nakikita natin sa pagguhit ay tinutukoy ng pangkalahatang equation 2 x + 3 y - 2 = 0, dahil ang mga coordinate ng lahat ng mga punto sa isang naibigay na tuwid na linya ay tumutugma sa equation na ito.

Makukuha natin ang equation na λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng pangkalahatang equation ng linya sa isang numerong λ na hindi katumbas ng zero. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na pangkalahatang equation, samakatuwid, ilalarawan nito ang parehong tuwid na linya sa eroplano.

Kahulugan 2

Kumpletuhin ang pangkalahatang equation ng isang linya– tulad ng isang pangkalahatang equation ng tuwid na linya A x + B y + C = 0, kung saan ang mga numero A, B, C ay iba mula sa zero. Kung hindi, ang equation ay hindi kumpleto.

Suriin natin ang lahat ng mga pagkakaiba-iba ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang linya.

1. Kapag A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ang pangkalahatang equation ay nasa anyong B y + C = 0. Ang ganitong hindi kumpletong pangkalahatang equation ay tumutukoy sa isang rectangular coordinate system O x y isang tuwid na linya na parallel sa O x axis, dahil para sa anumang tunay na halaga ng x ang variable y ay kukuha ng halaga - C B . Sa madaling salita, ang pangkalahatang equation ng linya A x + B y + C = 0, kapag A = 0, B ≠ 0, ay tumutukoy sa locus ng mga puntos (x, y), na ang mga coordinate ay katumbas ng parehong numero - C B .
2. Kung A = 0, B ≠ 0, C = 0, ang pangkalahatang equation ay nasa anyong y = 0. Ang hindi kumpletong equation na ito ay tumutukoy sa x-axis O x .
3. Kapag A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, nakakakuha tayo ng hindi kumpletong pangkalahatang equation na A x + C = 0, na tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay ng ordinate.
4. Hayaan ang A ≠ 0, B = 0, C = 0, kung gayon ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay kukuha ng anyo na x = 0, at ito ang equation ng coordinate line O y.
5. Sa wakas, para sa A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, ang hindi kumpletong pangkalahatang equation ay nasa anyong A x + B y = 0. At ang equation na ito ay naglalarawan ng isang tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan. Sa katunayan, ang pares ng mga numero (0, 0) ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay na A x + B y = 0, dahil A · 0 + B · 0 = 0.

Ilarawan natin nang grapiko ang lahat ng nasa itaas na uri ng hindi kumpletong pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Halimbawa 1

Alam na ang ibinigay na tuwid na linya ay kahanay sa ordinate axis at dumadaan sa punto 2 7, - 11. Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng ibinigay na linya.

Solusyon

Ang isang tuwid na linya na parallel sa ordinate axis ay ibinibigay ng isang equation ng form na A x + C = 0, kung saan ang A ≠ 0. Tinutukoy din ng kundisyon ang mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya, at ang mga coordinate ng puntong ito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng hindi kumpletong pangkalahatang equation A x + C = 0, i.e. ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

A 2 7 + C = 0

Mula dito posible upang matukoy ang C kung bibigyan namin ang A ng ilang hindi zero na halaga, halimbawa, A = 7. Sa kasong ito, makakakuha tayo ng: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Alam natin ang parehong coefficient A at C, palitan ang mga ito sa equation A x + C = 0 at makuha ang kinakailangang straight line equation: 7 x - 2 = 0

Sagot: 7 x - 2 = 0

Halimbawa 2

Ang pagguhit ay nagpapakita ng isang tuwid na linya; kailangan mong isulat ang equation nito.

Solusyon

Ang ibinigay na pagguhit ay nagpapahintulot sa amin na madaling kunin ang paunang data upang malutas ang problema. Nakikita natin sa pagguhit na ang ibinigay na tuwid na linya ay kahanay sa O x axis at dumadaan sa punto (0, 3).

Ang tuwid na linya, na kahanay ng abscissa, ay tinutukoy ng hindi kumpletong pangkalahatang equation B y + C = 0. Hanapin natin ang mga halaga ng B at C. Ang mga coordinate ng punto (0, 3), dahil ang ibinigay na linya ay dumaan dito, ay masisiyahan ang equation ng linya B y + C = 0, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay wasto: B · 3 + C = 0. Itakda natin ang B sa ilang halaga maliban sa zero. Sabihin nating B = 1, kung saan mula sa pagkakapantay-pantay B · 3 + C = 0 makikita natin ang C: C = - 3. Gamit ang kilalang mga halaga ng B at C, nakuha namin ang kinakailangang equation ng tuwid na linya: y - 3 = 0.

Sagot: y - 3 = 0 .

Pangkalahatang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang eroplano

Hayaang dumaan ang ibinigay na linya sa puntong M 0 (x 0 , y 0), pagkatapos ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linya, i.e. totoo ang pagkakapantay-pantay: A x 0 + B y 0 + C = 0. Ibawas natin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation na ito mula sa kaliwa at kanang bahagi ng general kumpletong equation tuwid. Nakukuha namin ang: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ang equation na ito ay katumbas ng orihinal na pangkalahatan, dumadaan sa puntong M 0 (x 0, y 0) at may normal vector n → = (A, B) .

Ang resulta na aming nakuha ay ginagawang posible na isulat ang pangkalahatang equation ng isang linya na may mga kilalang coordinate ng normal na vector ng linya at ang mga coordinate ng isang tiyak na punto ng linyang ito.

Halimbawa 3

Ibinigay ang isang puntong M 0 (- 3, 4) kung saan dumadaan ang isang linya, at ang normal na vector ng linyang ito n → = (1 , - 2) . Kinakailangang isulat ang equation ng ibinigay na linya.

Solusyon

Ang mga paunang kundisyon ay nagbibigay-daan sa amin na makuha ang kinakailangang data upang mabuo ang equation: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Pagkatapos:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ang problema ay maaaring malutas sa ibang paraan. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay A x + B y + C = 0. Ang ibinigay na normal na vector ay nagpapahintulot sa amin na makuha ang mga halaga ng mga coefficient A at B, pagkatapos:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Ngayon hanapin natin ang halaga ng C gamit ang puntong M 0 (- 3, 4) na tinukoy ng kondisyon ng problema, kung saan dumadaan ang tuwid na linya. Ang mga coordinate ng puntong ito ay tumutugma sa equation x - 2 · y + C = 0, i.e. - 3 - 2 4 + C = 0. Kaya C = 11. Ang kinakailangang straight line equation ay nasa anyong: x - 2 · y + 11 = 0.

Sagot: x - 2 y + 11 = 0 .

Halimbawa 4

Ibinigay ang isang linya 2 3 x - y - 1 2 = 0 at isang punto M 0 na nakahiga sa linyang ito. Tanging ang abscissa ng puntong ito ay kilala, at ito ay katumbas ng - 3. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang ordinate ng isang naibigay na punto.

Solusyon

Italaga natin ang mga coordinate ng point M 0 bilang x 0 at y 0 . Isinasaad ng source data na x 0 = - 3. Dahil ang punto ay kabilang sa isang naibigay na linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay tumutugma sa pangkalahatang equation ng linyang ito. Kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tukuyin ang y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Sagot: - 5 2

Ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng isang linya patungo sa iba pang mga uri ng mga equation ng isang linya at vice versa

Tulad ng alam natin, may ilang uri ng mga equation para sa parehong tuwid na linya sa isang eroplano. Ang pagpili ng uri ng equation ay depende sa mga kondisyon ng problema; posible na pumili ng isa na mas maginhawa para sa paglutas nito. Ang kasanayan sa pag-convert ng isang equation ng isang uri sa isang equation ng isa pang uri ay lubhang kapaki-pakinabang dito.

Una, isaalang-alang natin ang paglipat mula sa pangkalahatang equation ng anyong A x + B y + C = 0 hanggang sa canonical equation x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Kung A ≠ 0, pagkatapos ay ililipat namin ang terminong B y sa kanang bahagi ng pangkalahatang equation. Sa kaliwang bahagi ay kinukuha namin ang A mula sa mga bracket. Bilang resulta, nakukuha natin ang: A x + C A = - B y.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang isang proporsyon: x + C A - B = y A.

Kung B ≠ 0, iniiwan lamang natin ang terminong A x sa kaliwang bahagi ng pangkalahatang equation, ilipat ang iba sa kanang bahagi, makukuha natin ang: A x = - B y - C. Kinukuha namin ang – B mula sa mga bracket, pagkatapos ay: A x = - B y + C B .

Isulat muli natin ang pagkakapantay-pantay sa anyo ng isang proporsyon: x - B = y + C B A.

Siyempre, hindi na kailangang kabisaduhin ang mga resultang formula. Sapat na malaman ang algorithm ng mga aksyon kapag lumilipat mula sa isang pangkalahatang equation sa isang kanonikal.

Halimbawa 5

Ang pangkalahatang equation ng linya 3 y - 4 = 0 ay ibinigay. Kinakailangang ibahin ito sa isang canonical equation.

Solusyon

Isulat natin ang orihinal na equation bilang 3 y - 4 = 0. Susunod, nagpapatuloy kami ayon sa algorithm: ang terminong 0 x ay nananatili sa kaliwang bahagi; at sa kanang bahagi inilalagay namin - 3 sa labas ng mga bracket; makuha natin ang: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Isulat natin ang resultang pagkakapantay-pantay bilang isang proporsyon: x - 3 = y - 4 3 0 . Kaya, nakuha namin ang isang equation ng canonical form.

Sagot: x - 3 = y - 4 3 0.

Upang ibahin ang anyo ng pangkalahatang equation ng isang linya sa mga parametric, isang transition muna ang gagawin sa canonical form, at pagkatapos ay isang transition mula sa canonical equation ng isang linya patungo sa parametric equation.

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation na 2 x - 5 y - 1 = 0. Isulat ang mga parametric equation para sa linyang ito.

Solusyon

Gawin natin ang paglipat mula sa pangkalahatang equation patungo sa kanonikal:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Ngayon ay kinuha namin ang magkabilang panig ng nagreresultang canonical equation na katumbas ng λ, pagkatapos:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Sagot:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ang pangkalahatang equation ay maaaring i-convert sa isang equation ng isang tuwid na linya na may slope y = k · x + b, ngunit kapag B ≠ 0 lamang. Para sa paglipat, iniiwan namin ang terminong B y sa kaliwang bahagi, ang iba ay inililipat sa kanan. Nakukuha namin ang: B y = - A x - C . Hatiin natin ang magkabilang panig ng resultang pagkakapantay-pantay sa B, naiiba sa zero: y = - A B x - C B.

Halimbawa 7

Ang pangkalahatang equation ng linya ay ibinigay: 2 x + 7 y = 0. Kailangan mong i-convert ang equation na iyon sa isang slope equation.

Solusyon

Gawin natin ang mga kinakailangang aksyon ayon sa algorithm:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Sagot: y = - 2 7 x .

Mula sa pangkalahatang equation ng isang linya, sapat na upang makakuha lamang ng isang equation sa mga segment ng form na x a + y b = 1. Upang makagawa ng gayong paglipat, inililipat namin ang numero C sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, hatiin ang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng – C at, sa wakas, ilipat ang mga koepisyent para sa mga variable na x at y sa mga denominator:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Halimbawa 8

Kinakailangang baguhin ang pangkalahatang equation ng linyang x - 7 y + 1 2 = 0 sa equation ng linya sa mga segment.

Solusyon

Ilipat natin ang 1 2 sa kanang bahagi: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Hatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Sagot: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Sa pangkalahatan, madali din ang reverse transition: mula sa iba pang uri ng equation hanggang sa pangkalahatan.

Ang equation ng isang linya sa mga segment at isang equation na may isang angular coefficient ay madaling ma-convert sa isang pangkalahatan sa pamamagitan lamang ng pagkolekta ng lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ang canonical equation ay na-convert sa isang pangkalahatan ayon sa sumusunod na scheme:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Upang lumipat mula sa mga parametric, lumipat muna sa kanonikal, at pagkatapos ay sa pangkalahatan:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Halimbawa 9

Ang mga parametric equation ng linyang x = - 1 + 2 · λ y = 4 ay ibinigay. Kinakailangang isulat ang pangkalahatang equation ng linyang ito.

Solusyon

Gawin natin ang paglipat mula sa mga parametric equation patungo sa mga canonical:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Lumipat tayo mula sa canonical hanggang sa pangkalahatan:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Sagot: y - 4 = 0

Halimbawa 10

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment x 3 + y 1 2 = 1 ay ibinigay. Kinakailangang lumipat sa pangkalahatang anyo ng equation.

Solusyon:

Isusulat lang namin muli ang equation sa kinakailangang form:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Sagot: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Pagguhit ng isang pangkalahatang equation ng isang linya

Sinabi namin sa itaas na ang pangkalahatang equation ay maaaring isulat sa mga kilalang coordinate ng normal na vector at mga coordinate ng punto kung saan dumadaan ang linya. Ang ganitong tuwid na linya ay tinukoy ng equation na A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Doon din namin sinuri ang kaukulang halimbawa.

Ngayon tingnan natin ang higit pa kumplikadong mga halimbawa, kung saan kailangan mo munang matukoy ang mga coordinate ng normal na vector.

Halimbawa 11

Ibinigay ang isang linya na kahanay ng linya 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ang puntong M 0 (4, 1) kung saan dumadaan ang ibinigay na linya ay kilala rin. Kinakailangang isulat ang equation ng ibinigay na linya.

Solusyon

Ang mga paunang kondisyon ay nagsasabi sa amin na ang mga linya ay parallel, pagkatapos, bilang normal na vector ng linya, ang equation kung saan kailangang isulat, kinuha namin ang direksyon ng vector ng linya n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ngayon alam namin ang lahat ng kinakailangang data upang lumikha ng pangkalahatang equation ng linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Sagot: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Halimbawa 12

Ang ibinigay na linya ay dumadaan sa pinanggalingan patayo sa linyang x - 2 3 = y + 4 5. Ito ay kinakailangan upang lumikha ng isang pangkalahatang equation para sa isang naibigay na linya.

Solusyon

Ang normal na vector ng isang linya ay magiging direksyon ng vector ng linya x - 2 3 = y + 4 5.

Pagkatapos n → = (3, 5) . Ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan, i.e. sa pamamagitan ng punto O (0, 0). Gumawa tayo ng pangkalahatang equation para sa isang naibigay na linya:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Sagot: 3 x + 5 y = 0 .

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter