Pagsusuri sa matematika.

Workshop.

Para sa mga mag-aaral sa unibersidad sa espesyalidad:

"Pamamahala ng estado at munisipalidad"

T.Z. Pavlova

Kolpashevo 2008

Kabanata 1: Panimula sa Pagsusuri

1.1 Mga Pag-andar. Pangkalahatang pag-aari

1.2 Limitahan ang teorya

1.3 Pagpapatuloy ng paggana

2.1 Kahulugan ng derivative

2.4 Function research

2.4.1 Buong disenyo ng pag-aaral ng function

2.4.2 Mga halimbawa ng pag-aaral ng function

2.4.3. Ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng isang function sa isang segment

2.5 Panuntunan ng L'Hopital

3.1 Hindi tiyak na integral

3.1.1 Mga kahulugan at katangian

3.1.2 Talaan ng mga integral

3.1.3 Pangunahing paraan ng pagsasama

3.2 Tiyak na integral

3.2.2 Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng tiyak na integral

Kabanata 4. Mga function ng ilang variable

4.1 Pangunahing konsepto

4.2 Mga limitasyon at pagpapatuloy ng mga function ng ilang mga variable

4.3.3 Kabuuang pagkakaiba at ang aplikasyon nito sa tinatayang mga kalkulasyon

Kabanata 5. Mga klasikal na paraan ng pag-optimize

6.1 Utility function.

6.2 Mga linya ng kawalang-interes

6.3 Itakda ang badyet

Mga takdang-aralin sa pagsusulit sa bahay

1.1 Mga Pag-andar. Pangkalahatang pag-aari

Ang isang numerical function ay tinukoy sa set D ng mga tunay na numero kung ang bawat halaga ng variable ay nauugnay sa ilang mahusay na tinukoy na tunay na halaga ng variable na y, kung saan ang D ay ang domain ng kahulugan ng function.

Analytical na representasyon ng isang function:

tahasan: ;

implicitly: ;

sa parametric form:

iba't ibang mga formula sa lugar ng kahulugan:

Ari-arian.

Even function: . Halimbawa, ang function ay kahit na, dahil .

Kakaibang function: . Halimbawa, kakaiba ang function, dahil .

Pana-panahong pag-andar: , kung saan ang T ay ang panahon ng function, . Halimbawa, trigonometriko function.

Monotonic function. Kung para sa alinman sa domain ng kahulugan ang function ay tumataas, pagkatapos ito ay bumababa. Halimbawa, - tumataas, at - bumababa.

Limitadong pag-andar. Kung mayroong isang numero M tulad na . Halimbawa, mga function at , dahil .

Halimbawa 1. Hanapin ang domain ng kahulugan ng mga function.

+ 2 – 3 +

1.2 Limitahan ang teorya

Kahulugan 1. Ang limitasyon ng isang function sa ay isang numero b kung para sa anuman ( ay isang arbitraryong maliit na positibong numero) ang isa ay makakahanap ng isang halaga ng argumento simula kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak.

Pagtatalaga: .

Kahulugan 2. Ang limitasyon ng isang function sa ay isang numero b kung para sa alinman (ay isang arbitraryong maliit na positibong numero) mayroong isang positibong numero na para sa lahat ng mga halaga ng x na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan.

Pagtatalaga: .

Kahulugan 3. Ang isang function ay sinasabing infinitesimal para sa o kung o.

Ari-arian.

1. Ang algebraic na kabuuan ng isang may hangganang bilang ng mga infinitesimal na dami ay isang infinitesimal na dami.

2. Ang produkto ng isang infinitesimal na dami at isang bounded function (isang pare-pareho, isa pang infinitesimal na dami) ay isang infinitesimal na dami.

3. Ang quotient ng paghahati ng infinitesimal quantity sa isang function na ang limit ay non-zero ay isang infinitesimal na quantity.

Kahulugan 4. Ang isang function ay sinasabing walang hanggan malaki kung .

Ari-arian.

1. Ang produkto ng isang walang katapusang malaking dami at isang function na ang limitasyon ay iba sa zero ay isang walang katapusang malaking dami.

2. Ang kabuuan ng isang walang katapusang malaking dami at isang limitadong function ay isang walang katapusang malaking dami.

3. Ang quotient ng paghahati ng isang walang katapusang malaking dami sa isang function na may limitasyon ay isang walang katapusang malaking dami.

Teorama.(Ang ugnayan sa pagitan ng infinitesimal quantity at infinites large quantity.) Kung ang function ay infinitesimal sa (), kung gayon ang function ay isang infinites large quantity sa (). At, sa kabaligtaran, kung ang function ay walang katapusan na malaki sa (), kung gayon ang function ay isang infinitesimal na halaga sa ().

Limitahan ang mga teorema.

1. Ang isang function ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang limitasyon.

2. Ang limitasyon ng algebraic sum ng ilang function ay katumbas ng algebraic sum ng mga limitasyon ng mga function na ito:

3. Ang limitasyon ng produkto ng ilang mga function ay katumbas ng produkto ng mga limitasyon ng mga function na ito:

4. Ang limitasyon ng antas ay katumbas ng antas ng limitasyon:

5. Ang limitasyon ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon kung ang limitasyon ng divisor ay umiiral:

.

6. Ang unang kahanga-hangang limitasyon.

Mga kahihinatnan:

7. Pangalawang kapansin-pansing limitasyon:

Mga kahihinatnan:

Mga katumbas na infinitesimal na dami sa:

Pagkalkula ng mga limitasyon.

Kapag kinakalkula ang mga limitasyon, ginagamit ang mga pangunahing teorema tungkol sa mga limitasyon, mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar at mga tuntuning nagmumula sa mga teorema at katangiang ito.

Panuntunan 1. Upang mahanap ang limitasyon sa isang punto ng isang function na tuluy-tuloy sa puntong ito, kailangan mong palitan ang halaga ng limitasyon nito sa function sa ilalim ng limit sign sa halip na ang argumentong x.

Halimbawa 2. Hanapin

Panuntunan 2. Kung, kapag hinahanap ang limitasyon ng isang fraction, ang limitasyon ng denominator ay katumbas ng zero, at ang limitasyon ng numerator ay iba sa zero, kung gayon ang limitasyon ng naturang function ay katumbas ng .

Halimbawa 3. Hanapin

Panuntunan 3. Kung, kapag hinahanap ang limitasyon ng isang fraction, ang limitasyon ng denominator ay katumbas ng , at ang limitasyon ng numerator ay iba sa zero, kung gayon ang limitasyon ng naturang function ay katumbas ng zero.

Halimbawa 4. Hanapin

Kadalasan, ang pagpapalit sa halaga ng limitasyon ng isang argument ay nagreresulta sa mga hindi natukoy na expression ng form

.

Ang paghahanap ng limitasyon ng isang function sa mga kasong ito ay tinatawag na uncertainty discovery. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, bago lumipat sa limitasyon, kinakailangan na magsagawa ng pagbabago ibinigay na pagpapahayag. Iba't ibang pamamaraan ang ginagamit upang ipakita ang mga kawalan ng katiyakan.

Panuntunan 4. Ang kawalan ng katiyakan ng uri ay ipinahayag sa pamamagitan ng pagbabago ng sublimit function upang sa numerator at denominator ay maibukod ng isa ang isang salik na ang limitasyon ay katumbas ng zero, at, sa pagbabawas ng fraction nito, hanapin ang limitasyon ng quotient. Upang gawin ito, ang numerator at denominator ay maaaring i-factor o i-multiply sa mga expression na conjugate sa numerator at denominator.

Panuntunan 5. Kung ang sublimit na expression ay naglalaman ng mga trigonometriko na pag-andar, kung gayon ang unang kapansin-pansing limitasyon ay ginagamit upang malutas ang kawalan ng katiyakan ng form.

.

Panuntunan 6. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan ng form sa , ang numerator at denominator ng sublimit fraction ay dapat na hatiin sa pinakamataas na kapangyarihan ng argumento at pagkatapos ay ang limitasyon ng quotient ay dapat matagpuan.

Mga posibleng resulta:

1) ang kinakailangang limitasyon ay katumbas ng ratio ng mga coefficient ng pinakamataas na kapangyarihan ng argumento ng numerator at denominator, kung ang mga kapangyarihang ito ay pareho;

2) ang limitasyon ay katumbas ng infinity kung ang antas ng argumento ng numerator ay mas mataas kaysa sa antas ng argumento ng denominator;

3) ang limitasyon ay katumbas ng zero kung ang antas ng argumento ng numerator ay mas mababa kaysa sa antas ng argumento ng denominator.

A)

kasi

Ang mga kapangyarihan ay pantay, na nangangahulugan na ang limitasyon ay katumbas ng ratio ng mga coefficient ng mas mataas na kapangyarihan, i.e. .

b)

Ang antas ng numerator at denominator ay 1, na nangangahulugang ang limitasyon ay

V)

Ang antas ng numerator ay 1, ang denominator ay , na nangangahulugang ang limitasyon ay 0.

Panuntunan 7. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan ng anyo, ang numerator at denominator ng sublimit na fraction ay dapat na i-multiply sa conjugate expression.

Halimbawa 10.

Panuntunan 8. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan ng mga species, ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon at ang mga kahihinatnan nito ay ginagamit.

Mapapatunayan yan

Halimbawa 11.

Halimbawa 12.

Halimbawa 13.

Panuntunan 9. Kapag nagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan na ang sublimit na function ay naglalaman ng b.m.v., kinakailangang palitan ang mga limitasyon ng mga b.m.v na ito. sa mga limitasyon ng b.m. katumbas ng mga ito.

Halimbawa 14.

Halimbawa 15.

Panuntunan 10. Panuntunan ng L'Hopital (tingnan ang 2.6).

1.3 Pagpapatuloy ng paggana

Ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto kung ang limitasyon ng function, dahil ang argument ay may posibilidad na a, ay umiiral at katumbas ng halaga ng function sa puntong ito.

Katumbas na kondisyon:

1. ;

3.

Pag-uuri ng mga break point:

1st kind rupture

Matatanggal - umiiral ang isang panig na limitasyon at pantay;

Hindi mababawasan (tumalon) - ang isang panig na limitasyon ay hindi pantay;

discontinuity ng pangalawang uri: ang limitasyon ng isang function sa isang punto ay hindi umiiral.

Halimbawa 16. Itatag ang katangian ng discontinuity ng isang function sa isang punto o patunayan ang continuity ng isang function sa puntong ito.

sa function ay hindi tinukoy, samakatuwid, ito ay hindi tuloy-tuloy sa puntong ito. kasi at kaugnay nito, , pagkatapos ay isang punto ng naaalis na pagkakahinto ng unang uri.

b)

Kung ikukumpara sa pagtatalaga (a), ang pagpapaandar ay higit na tinukoy sa punto upang , na nangangahulugan na ang function na ito ay tuloy-tuloy sa puntong ito.

Kapag ang function ay hindi tinukoy;

.

kasi ang isa sa mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan, pagkatapos ito ay isang discontinuity point ng pangalawang uri.

Kabanata 2. Differential calculus

2.1 Kahulugan ng derivative

Kahulugan ng derivative

Ang derivative o ng isang ibinigay na function ay ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa katumbas na pagtaas ng argument, kapag ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero:

O kaya .

Ang mekanikal na kahulugan ng isang derivative ay ang rate ng pagbabago ng isang function. Ang geometric na kahulugan ng derivative ay ang tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function:

2.2 Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan

Pangalan	Function	Derivative
Pagpaparami ng pare-parehong salik
Algebraic na kabuuan ng dalawang function
Produkto ng dalawang function
Quotient ng dalawang function
Kumplikadong function

Mga derivative ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya

Hindi.	Pangalan ng function	Function at derivative nito
1	pare-pareho
2	function ng kapangyarihan mga espesyal na kaso
3	exponential function espesyal na kaso
4	logarithmic function espesyal na kaso
5	trigonometriko function
6	reverse trigonometriko

b)

2.3 Mas mataas na order derivatives

Pangalawang order derivative ng isang function

Pangalawang order derivative ng function:

Halimbawa 18.

a) Hanapin ang second-order derivative ng function.

Solusyon. Hanapin muna natin ang first order derivative .

Mula sa first-order derivative, muli nating kunin ang derivative.

Halimbawa 19. Hanapin ang third-order derivative ng function.

2.4 Function research

2.4.1 Buong plano sa pag-aaral ng function:

Buong plano sa pag-aaral ng function:

1. Pananaliksik sa elementarya:

Hanapin ang domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga;

Upang malaman kung Pangkalahatang pag-aari: kahit (odd), periodicity;

Hanapin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes;

Tukuyin ang mga lugar ng palaging pag-sign.

2. Asymptotes:

Maghanap ng mga patayong asymptotes kung ;

Maghanap ng mga pahilig na asymptotes: .

Kung anumang numero, pagkatapos - pahalang na mga asymptotes.

3. Pananaliksik gamit ang:

Hanapin ang mga kritikal na punto, iyon. mga punto kung saan o wala;

Tukuyin ang mga pagitan ng pagtaas, mga. mga agwat kung saan bumababa ang function – ;

Tukuyin ang extrema: ang mga punto kung saan nagbabago ang sign mula “+” hanggang “–” ay mga puntos ng maximum, mula sa “–” hanggang “+” ay mga punto ng pinakamababa.

4. Pananaliksik gamit ang:

Maghanap ng mga punto kung saan o wala;

Maghanap ng mga lugar ng convexity, i.e. mga pagitan kung saan at mga concavity – ;

Maghanap ng mga inflection point, i.e. mga punto kapag dumadaan kung saan nagbabago ang tanda.

1. Ang mga indibidwal na elemento ng pag-aaral ay unti-unting naka-plot sa graph, habang ang mga ito ay natagpuan.

2. Kung ang mga paghihirap ay lumitaw sa pagbuo ng isang graph ng isang function, kung gayon ang mga halaga ng function ay matatagpuan sa ilang karagdagang mga punto.

3. Ang layunin ng pag-aaral ay ilarawan ang katangian ng pag-uugali ng function. Samakatuwid, hindi isang eksaktong graph ang binuo, ngunit isang approximation nito, kung saan ang mga natagpuang elemento ay malinaw na minarkahan (extrema, inflection point, asymptotes, atbp.).

4. Hindi kinakailangang mahigpit na sumunod sa ibinigay na plano; Mahalagang hindi makaligtaan ang mga katangiang elemento ng pag-uugali ng function.

2.4.2 Mga halimbawa ng function research:

1)

2) Kakaibang function:

.

3) Asymptotes.

– vertical asymptotes, dahil

Pahilig na asymptote.

5)

– inflection point.

2) Kakaibang function:

3) Asymptotes: Walang vertical asymptotes.

Pahilig:

– pahilig na mga asymptotes

4) – tumataas ang function.

– inflection point.

Schematic graph ng function na ito:

2) Pangkalahatang pag-andar

3) Asymptotes

– walang mga inclined asymptotes

– pahalang na asymptote sa

– inflection point

Schematic graph ng function na ito:

2) Asymptotes.

– vertical asymptote, dahil

– walang mga inclined asymptotes

, – pahalang na asymptote

Schematic graph ng function na ito:

2) Asymptotes

– vertical asymptote sa , dahil

– walang mga inclined asymptotes

, – pahalang na asymptote

3) – bumababa ang function sa bawat isa sa mga pagitan.

Schematic graph ng function na ito:

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment, maaari mong gamitin ang sumusunod na diagram:

1. Hanapin ang derivative ng function.

2. Hanapin ang mga kritikal na punto ng function kung saan o wala.

3. Hanapin ang halaga ng function sa mga kritikal na punto na kabilang sa isang partikular na segment at sa mga dulo nito at piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit mula sa kanila.

Halimbawa. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function sa isang partikular na segment.

25. sa gitna

2) - mga kritikal na puntos

26. sa pagitan.

Ang derivative ay hindi umiiral para sa , ngunit ang 1 ay hindi kabilang sa pagitan na ito. Bumababa ang function sa pagitan, na nangangahulugan na walang pinakamalaking halaga, ngunit ang pinakamaliit na halaga ay .

2.5 Panuntunan ng L'Hopital

Teorama. Ang limitasyon ng ratio ng dalawang infinitesimal o walang katapusan na malalaking function ay katumbas ng limitasyon ng ratio ng kanilang mga derivatives (finite o infinite), kung ang huli ay umiiral sa ipinahiwatig na kahulugan.

Yung. kapag nagbubunyag ng mga hindi tiyak na uri o maaari mong gamitin ang formula:

.

27.

Kabanata 3. Integral calculus

3.1 Hindi tiyak na integral

3.1.1 Mga kahulugan at katangian

Kahulugan 1. Ang isang function ay tinatawag na antiderivative para sa kung .

Kahulugan 2. Ang isang hindi tiyak na integral ng isang function na f(x) ay ang set ng lahat ng antiderivatives para sa function na ito.

pagtatalaga: , kung saan ang c ay isang arbitrary na pare-pareho.

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

1. Derivative ng di-tiyak na integral:

2. Differential ng di-tiyak na integral:

3. Hindi tiyak na integral ng differential:

4. Hindi tiyak na integral ng kabuuan (pagkakaiba) ng dalawang function:

5. Pagpapalawak ng pare-parehong salik na lampas sa tanda ng di-tiyak na integral:

3.1.2 Talaan ng mga integral

.1.3 Pangunahing paraan ng pagsasama

1. Gamit ang mga katangian ng di-tiyak na integral.

Halimbawa 29.

2. Pagsusumite ng differential sign.

Halimbawa 30.

3. Paraan ng pagpapalit ng variable:

a) pagpapalit sa integral

saan - isang function na mas madaling isama kaysa sa orihinal; - function inverse sa function; - antiderivative ng function.

Halimbawa 31.

b) pagpapalit sa integral ng form:

Halimbawa 32.

Halimbawa 33.

4. Paraan ng pagsasama ayon sa mga bahagi:

Halimbawa 34.

Halimbawa 35.

Paghiwalayin natin ang integral

Bumalik tayo sa ating integral:

3.2 Tiyak na integral

3.2.1 Ang konsepto ng isang tiyak na integral at ang mga katangian nito

Kahulugan. Hayaang maibigay ang tuluy-tuloy na function sa isang tiyak na agwat. Bumuo tayo ng graph nito.

Ang isang figure na nakatali sa itaas ng isang kurba, sa kaliwa at kanan ng mga tuwid na linya at sa ibaba ng isang segment ng abscissa axis sa pagitan ng mga punto a at b ay tinatawag na isang curvilinear trapezoid.

S – lugar – curvilinear trapezoid.

Hatiin ang pagitan ng mga tuldok at makuha ang:

Pinagsama-samang kabuuan:

Kahulugan. Ang isang tiyak na integral ay ang limitasyon ng isang integral sum.

Mga katangian ng tiyak na integral:

1. Ang pare-parehong salik ay maaaring alisin sa integral sign:

2. Ang integral ng algebraic sum ng dalawang function ay katumbas ng algebraic sum ng integrals ng mga function na ito:

3. Kung ang bahagi ng pagsasama ay nahahati sa mga bahagi, kung gayon ang integral sa buong segment ay katumbas ng kabuuan ng mga integral para sa bawat isa sa mga resultang bahagi, i.e. para sa alinmang a, b, c:

4. Kung sa segment , pagkatapos

5. Maaaring mapalitan ang mga limitasyon ng pagsasama, at ang tanda ng integral ay nagbabago:

6.

7. Ang integral sa punto ay katumbas ng 0:

8.

9. (“tungkol sa ibig sabihin”) Hayaang ang y = f(x) ay isang function na maisasama sa . Pagkatapos , kung saan , f(c) – average na halaga ng f(x) sa:

10. Newton-Leibniz formula

,

kung saan ang F(x) ay ang antiderivative ng f(x).

3.2.2 Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng tiyak na integral.

1. Direktang pagsasama

Halimbawa 35.

A)

b)

V)

d)

2. Pagbabago ng mga variable sa ilalim ng tiyak na integral sign .

Halimbawa 36.

2. Pagsasama-sama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral .

Halimbawa 37.

A)

b)

d)

3.2.3 Mga aplikasyon ng tiyak na integral

Katangian	Uri ng function	Formula
	sa mga coordinate ng Cartesian
curvilinear sector area	sa polar coordinate
lugar ng isang hubog na trapezoid	sa parametric form
haba ng arko	sa mga coordinate ng Cartesian
haba ng arko	sa polar coordinate
haba ng arko	sa parametric form
dami ng katawan pag-ikot	sa mga coordinate ng Cartesian
dami ng isang katawan na may ibinigay na transverse cross section

Halimbawa 38. Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya: At .

Solusyon: Hanapin natin ang mga intersection point ng mga graph ng mga function na ito. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang mga pag-andar at lutasin ang equation

Kaya, ang mga punto ng intersection at .

Hanapin ang lugar ng figure gamit ang formula

.

Sa kaso natin

Sagot: Ang lugar ay (mga parisukat na yunit).

4.1 Pangunahing konsepto

Kahulugan. Kung ang bawat pares ng magkaparehong independiyenteng mga numero mula sa isang tiyak na hanay ay itinalaga, ayon sa ilang panuntunan, isa o higit pang mga halaga ng variable na z, kung gayon ang variable na z ay tinatawag na isang function ng dalawang variable.

Kahulugan. Ang domain ng kahulugan ng isang function z ay ang hanay ng mga pares kung saan ang function na z ay umiiral.

Ang domain ng kahulugan ng isang function ng dalawang variable ay isang tiyak na hanay ng mga puntos sa Oxy coordinate plane. Ang z coordinate ay tinatawag na isang applicate, at pagkatapos ay ang function mismo ay inilalarawan bilang isang ibabaw sa espasyo E 3 . Halimbawa:

Halimbawa 39. Hanapin ang domain ng function.

A)

Ang ekspresyon sa kanang bahagi ay may katuturan lamang kapag . Nangangahulugan ito na ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang hanay ng lahat ng mga punto na nakahiga sa loob at sa hangganan ng isang bilog na radius R na may sentro sa pinanggalingan.

Ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang lahat ng mga punto ng eroplano, maliban sa mga punto ng mga tuwid na linya, i.e. coordinate axes.

Kahulugan. Ang mga linya ng antas ng pag-andar ay isang pamilya ng mga kurba sa coordinate plane, na inilarawan ng mga equation ng form.

Halimbawa 40. Maghanap ng mga linya ng antas ng function .

Solusyon. Ang mga linya ng antas ng isang ibinigay na function ay isang pamilya ng mga kurba sa eroplano, na inilarawan ng equation

Inilalarawan ng huling equation ang isang pamilya ng mga bilog na may sentro sa puntong O 1 (1, 1) ng radius . Ang ibabaw ng rebolusyon (paraboloid) na inilarawan ng function na ito ay nagiging "mas matarik" habang lumalayo ito sa axis, na ibinibigay ng mga equation na x = 1, y = 1. (Fig. 4)

4.2 Mga limitasyon at pagpapatuloy ng mga function ng ilang mga variable.

1. Mga limitasyon.

Kahulugan. Ang isang numero A ay tinatawag na limitasyon ng isang function bilang isang punto ay may posibilidad na isang punto kung para sa bawat arbitraryong maliit na numero ay may isang numero na para sa anumang punto ang kundisyon ay totoo, at ang kundisyon ay totoo rin. . Isulat: .

Halimbawa 41. Maghanap ng mga limitasyon:

mga. ang limitasyon ay nakasalalay sa , na nangangahulugang hindi ito umiiral.

2. Pagpapatuloy.

Kahulugan. Hayaang kabilang ang punto sa domain ng kahulugan ng function. Pagkatapos ang isang function ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang punto kung

(1)

at ang punto ay may gawi sa punto sa isang arbitrary na paraan.

Kung sa anumang puntong kondisyon (1) ay hindi nasiyahan, ang puntong ito ay tinatawag na break point ng function. Ito ay maaaring sa mga sumusunod na kaso:

1) Hindi tinukoy ang function sa point .

2) Walang limitasyon.

3) Umiiral ang limitasyong ito, ngunit hindi ito katumbas ng .

Halimbawa 42. Tukuyin kung ang isang ibinigay na function ay tuloy-tuloy sa punto kung .

Nakuha ko na Nangangahulugan ito na ang function na ito ay tuloy-tuloy sa punto.

ang limitasyon ay depende sa k, i.e. wala ito sa puntong ito, na nangangahulugan na ang function ay may discontinuity sa puntong ito.

4.3 Mga derivatives at differentials ng mga function ng ilang variable

4.3.1 Unang pagkakasunud-sunod na bahagyang derivatives

Ang bahagyang derivative ng isang function na may paggalang sa argumentong x ay ang ordinaryong derivative ng isang function ng isang variable x para sa isang nakapirming halaga ng variable na y at ipinapahiwatig:

Ang partial derivative ng isang function na may paggalang sa argument na y ay ang ordinaryong derivative ng isang function ng isang variable y para sa isang fixed value ng variable x at ipinapahiwatig:

Halimbawa 43. Maghanap ng mga partial derivatives ng mga function.

4.3.2 Mga partial derivative sa pangalawang order

Ang second order partial derivatives ay mga partial derivatives ng first order partial derivatives. Para sa isang function ng dalawang variable ng form, apat na uri ng second-order partial derivatives ang posible:

Ang pangalawang-order na bahagyang derivatives, kung saan ang pagkita ng kaibhan ay isinasagawa na may paggalang sa iba't ibang mga variable, ay tinatawag na mixed derivatives. Ang pangalawang pagkakasunud-sunod na mixed derivatives ng isang twice differentiable function ay pantay.

Halimbawa 44. Maghanap ng mga pangalawang-order na bahagyang derivatives.

4.3.3 Kabuuang pagkakaiba at ang aplikasyon nito sa tinatayang mga kalkulasyon.

Kahulugan. Ang unang pagkakasunud-sunod na kaugalian ng isang function ng dalawang variable ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

.

Halimbawa 45. Hanapin ang kumpletong pagkakaiba para sa function.

Solusyon. Hanapin natin ang mga partial derivatives:

.

Para sa maliliit na pagdaragdag ng mga argumentong x at y, ang function ay tumatanggap ng pagtaas ng humigit-kumulang katumbas ng dz, i.e. .

Formula para sa paghahanap ng tinatayang halaga ng isang function sa isang punto kung ang eksaktong halaga nito sa isang punto ay kilala:

Halimbawa 46. Hanapin .

Solusyon. Hayaan mo,

Pagkatapos ay ginagamit namin ang formula

Sagot. .

Halimbawa 47. Kalkulahin ang humigit-kumulang .

Solusyon. Isaalang-alang natin ang pag-andar. Meron kami

Halimbawa 48. Kalkulahin ang humigit-kumulang .

Solusyon. Isaalang-alang ang function . Nakukuha namin:

Sagot. .

4.3.4 Differentiation ng isang implicit function

Kahulugan. Ang isang function ay tinatawag na implicit kung ito ay ibinibigay ng isang equation na hindi nalulusaw sa paggalang sa z.

Ang mga bahagyang derivatives ng naturang function ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:

Halimbawa 49: Hanapin ang mga partial derivatives ng function na z na ibinigay ng equation .

Solusyon.

Kahulugan. Ang isang function ay tinatawag na implicit kung ito ay ibinigay sa pamamagitan ng isang equation na hindi nalulusaw sa paggalang sa y.

Ang derivative ng naturang function ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

.

Halimbawa 50. Maghanap ng mga derivatives ng mga function na ito.

5.1 Lokal na extremum ng isang function ng ilang mga variable

Depinisyon 1. Ang isang function ay may pinakamataas sa punto kung

Depinisyon 2. Ang isang function ay may pinakamababa sa punto kung para sa lahat ng mga puntos na sapat na malapit sa punto at naiiba mula dito.

Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum. Kung ang isang function ay umabot sa isang extremum sa isang punto, ang mga partial derivatives ng function ay maglalaho o hindi na umiiral sa puntong ito.

Ang mga punto kung saan ang mga partial derivatives ay nawawala o hindi umiiral ay tinatawag na kritikal.

Isang sapat na tanda ng isang extremum. Hayaang tukuyin ang function sa ilang kapitbahayan ng kritikal na punto at magkaroon ng tuloy-tuloy na second-order na partial derivatives sa puntong ito

1) ay may lokal na maximum sa punto kung at ;

2) ay may lokal na minimum sa punto kung at ;

3) ay walang lokal na extremum sa punto kung ;

Scheme ng pananaliksik sa extremum ng isang function ng dalawang variable.

1. Hanapin ang mga partial derivatives ng mga function: at.

2. Lutasin ang sistema ng mga equation at hanapin ang mga kritikal na punto ng function.

3. Maghanap ng mga pangalawang-order na bahagyang derivatives, kalkulahin ang kanilang mga halaga sa mga kritikal na punto at, gamit ang isang sapat na kondisyon, gumuhit ng isang konklusyon tungkol sa pagkakaroon ng extrema.

4. Hanapin ang extrema ng function.

Halimbawa 51. Maghanap ng extrema ng isang function .

1) Hanapin natin ang mga partial derivatives.

2) Lutasin natin ang sistema ng mga equation

4) Hanapin natin ang pangalawang pagkakasunud-sunod na mga partial derivatives at ang kanilang mga halaga sa mga kritikal na punto: . Sa puntong nakukuha natin:

Nangangahulugan ito na walang extremum sa punto. Sa puntong nakukuha natin:

Nangangahulugan ito na mayroong isang minimum sa punto.

5.2 Global extremum (ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function)

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ng ilang variable, tuluy-tuloy sa ilang closed set, ay nakakamit alinman sa extremum point o sa hangganan ng set.

Scheme para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

1) Maghanap ng mga kritikal na punto na nasa loob ng rehiyon, kalkulahin ang halaga ng function sa mga puntong ito.

2) Siyasatin ang tungkulin sa hangganan ng rehiyon; kung ang hangganan ay binubuo ng maraming magkakaibang linya, dapat na isagawa ang pag-aaral para sa bawat seksyon nang hiwalay.

3) Ihambing ang nakuha na mga halaga ng function at piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.

Halimbawa 52. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng isang function sa isang rectangle.

Solusyon. 1) Hanapin natin ang mga kritikal na punto ng function, para dito mahahanap natin ang mga partial derivatives: , at lutasin ang sistema ng mga equation:

nakuha kritikal na punto A. Ang resultang punto ay nasa loob ng tinukoy na lugar,

Ang hangganan ng rehiyon ay binubuo ng apat na bahagi: i. Hanapin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa bawat segment.

4) Ihambing natin ang mga resultang nakuha at hanapin iyon sa mga punto .

Kabanata 6. Modelo ng pagpili ng mamimili

Ipagpalagay natin na mayroong n magkakaibang mga kalakal. Pagkatapos ay tukuyin natin ang isang tiyak na hanay ng mga kalakal sa pamamagitan ng isang n-dimensional na vector , nasaan ang dami ng i-th na produkto. Ang hanay ng lahat ng hanay ng mga kalakal X ay tinatawag na espasyo.

Ang pagpili ng isang indibidwal na mamimili ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang relasyon ng kagustuhan: pinaniniwalaan na ang mamimili ay maaaring magsabi tungkol sa anumang dalawang hanay na mas kanais-nais, o hindi niya nakikita ang pagkakaiba sa pagitan nila. Ang ugnayan ng kagustuhan ay palipat: kung ang isang set ay mas gusto kaysa sa isang set, at ang isang set ay mas gusto kaysa sa isang set, kung gayon ang set ay mas gusto kaysa sa isang set. Ipagpalagay namin na ang pag-uugali ng mamimili ay ganap na inilalarawan ng axiom ng indibidwal na mamimili: ang bawat indibidwal na mamimili ay gumagawa ng mga desisyon tungkol sa pagkonsumo, pagbili, atbp., batay sa kanyang sistema ng mga kagustuhan.

6.1 Utility function

Ang isang function ay tinukoy sa set ng consumer set X , ang halaga nito sa hanay ng consumer ay katumbas ng pagtatasa ng consumer ng indibidwal para sa hanay na ito. Ang function ay tinatawag na consumer utility function o consumer preference function. Yung. Ang bawat mamimili ay may sariling function ng utility. Ngunit ang buong hanay ng mga mamimili ay maaaring hatiin sa ilang mga klase ng mga mamimili (ayon sa edad, katayuan ng ari-arian, atbp.) at ang bawat klase ay maaaring italaga ng isang tiyak, marahil ay na-average, na function ng utility.

Kaya, ang function ay isang pagtatasa ng consumer o ang antas ng kasiyahan ng mga pangangailangan ng isang indibidwal kapag bumibili ng isang ibinigay na set. Kung ang isang set ay mas mainam kaysa sa isang set para sa isang partikular na indibidwal, kung gayon .

Mga katangian ng function ng utility.

1.

Ang mga unang partial derivatives ng utility function ay tinatawag na marginal utilities ng mga produkto. Mula sa ari-arian na ito ay sumusunod na ang pagtaas sa pagkonsumo ng isang produkto habang ang pagkonsumo ng iba pang mga produkto ay nananatiling hindi nagbabago ay humahantong sa pagtaas ng pagsusuri ng mga mamimili. Vector ay ang gradient ng function, ipinapakita nito ang direksyon ng pinakamalaking paglago ng function. Para sa isang function, ang gradient nito ay isang vector ng marginal utility ng mga produkto.

2.

Yung. Ang marginal utility ng anumang produkto ay bumababa habang tumataas ang pagkonsumo.

3.

Yung. Ang marginal utility ng bawat produkto ay tumataas habang ang dami ng iba pang produkto ay tumataas.

Ang ilang mga uri ng mga function ng utility.

1) Neoclassical: .

2) Quadratic: , kung saan ang matrix ay negatibong tiyak at Para sa .

3) Logarithmic function: .

6.2 Mga linya ng kawalang-interes

Sa mga inilapat na problema at mga modelo ng pagpili ng mamimili, ang isang espesyal na kaso ng isang hanay ng dalawang kalakal ay kadalasang ginagamit, i.e. kapag ang utility function ay nakasalalay sa dalawang variable. Ang linya ng kawalang-interes ay isang linya na nagkokonekta sa mga hanay ng mamimili na may parehong antas ng kasiyahan sa mga pangangailangan ng indibidwal. Sa esensya, ang mga linya ng kawalang-interes ay mga linya ng antas ng pag-andar. Mga equation ng mga linya ng kawalang-interes: .

Mga pangunahing katangian ng mga linya ng kawalang-interes.

1. Ang mga linya ng kawalang-interes na naaayon sa iba't ibang antas ng kasiyahan sa pangangailangan ay hindi dumadampi o nagsasalubong.

2. Bumababa ang mga linya ng kawalang-interes.

3. Ang mga linya ng indifference ay matambok pababa.

Ang Property 2 ay nagpapahiwatig ng isang mahalagang tinatayang pagkakapantay-pantay.

Ang ratio na ito ay nagpapakita kung magkano ang dapat taasan (bawasan) ng isang indibidwal ang pagkonsumo ng pangalawang produkto kapag binabawasan (pagtaas) ng isang yunit ang pagkonsumo ng unang produkto nang hindi binabago ang antas ng kasiyahan ng kanyang mga pangangailangan. Ang ratio ay tinatawag na rate ng pagpapalit ng unang produkto ng pangalawa, at ang halaga ay tinatawag na marginal rate ng pagpapalit ng unang produkto ng pangalawa.

Halimbawa 53. Kung ang marginal utility ng unang produkto ay 6, at ang pangalawa ay 2, kung gayon kung ang pagkonsumo ng unang produkto ay nabawasan ng isang yunit, ang pagkonsumo ng pangalawang produkto ay dapat tumaas ng 3 mga yunit sa parehong antas ng kasiyahan sa mga pangangailangan.

6.3 Itakda ang badyet

Hayaan – vector ng mga presyo para sa isang set ng n mga produkto; Ako ang kita ng indibidwal, na handa niyang gastusin sa pagbili ng isang hanay ng mga produkto. Ang hanay ng mga hanay ng mga kalakal na nagkakahalaga ng hindi hihigit sa I sa mga ibinigay na presyo ay tinatawag na set ng badyet B. Bukod dito, ang hanay ng mga hanay na nagkakahalaga ng I ay tinatawag na hangganan G ng set ng badyet B. Kaya. ang set B ay nililimitahan ng hangganan G at natural na mga paghihigpit.

Ang set ng badyet ay inilalarawan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Para sa kaso ng isang set ng dalawang kalakal, ang budget set B (Fig. 1) ay isang tatsulok sa coordinate system, na nililimitahan ng mga coordinate axes at ng tuwid na linya.

6.4 Teorya ng pangangailangan ng mamimili

Sa teorya ng pagkonsumo, pinaniniwalaan na ang mamimili ay palaging nagsusumikap na i-maximize ang kanyang utilidad at ang tanging limitasyon para sa kanya ay ang limitadong kita I na maaari niyang gastusin sa pagbili ng isang hanay ng mga kalakal. Sa pangkalahatan, ang problema sa pagpili ng mamimili (ang problema ng makatwirang pag-uugali ng mamimili sa merkado) ay nabuo bilang mga sumusunod: hanapin ang hanay ng mamimili , na nag-maximize sa utility function nito sa ilalim ng isang partikular na limitasyon sa badyet. Modelo ng matematika ng problemang ito:

Sa kaso ng isang set ng dalawang produkto:

Sa geometrically, ang solusyon sa problemang ito ay ang punto ng tangency sa pagitan ng hangganan ng budget set G at ng indifference line.

Ang solusyon sa problemang ito ay bumaba sa paglutas ng sistema ng mga equation:

(1)

Ang solusyon sa sistemang ito ay ang solusyon sa problema sa pagpili ng mamimili.

Ang solusyon sa problema sa pagpili ng consumer ay tinatawag na demand point. Ang punto ng demand na ito ay nakasalalay sa mga presyo at kita I. I.e. ang demand point ay isang function ng demand. Sa turn, ang demand function ay isang set ng n function, ang bawat isa ay depende sa isang argument:

Ang mga function na ito ay tinatawag na demand function para sa kaukulang mga kalakal.

Halimbawa 54. Para sa isang set ng dalawang kalakal sa merkado, alam na mga presyo para sa kanila at kita I, hanapin ang mga function ng demand kung ang utility function ay may anyo .

Solusyon. Ibahin natin ang function ng utility:

.

Ipalit natin ang mga resultang expression sa (1) at kumuha ng isang sistema ng mga equation:

Sa kasong ito, ang gastos para sa bawat produkto ay magiging kalahati ng kita ng mamimili, at ang dami ng produktong binili ay katumbas ng halagang ginastos dito na hinati sa presyo ng produkto.

Halimbawa 55. Hayaang gumana ang utility para sa unang kabutihan, pangalawa,

presyo ng unang produkto, presyo ng pangalawa. Kita . Gaano karami ang dapat bilhin ng isang mamimili upang mapakinabangan ang utility?

Solusyon. Hanapin natin ang mga derivatives ng mga function ng utility, palitan ang mga ito sa system (1) at lutasin ito:

Ang hanay ng mga kalakal na ito ay pinakamainam para sa mamimili mula sa punto ng view ng pag-maximize ng utility.

Dapat makumpleto ang pagsusulit alinsunod sa opsyong pinili ng huling digit ng numero ng grade book sa isang hiwalay na notebook. Ang bawat problema ay dapat maglaman ng isang kondisyon, isang detalyadong solusyon at isang konklusyon.

1. Panimula sa mathematical analysis

Gawain 1. Hanapin ang domain ng kahulugan ng function.

5.

Gawain 2. Hanapin ang mga limitasyon ng mga function.

.

Gawain 3. Hanapin ang mga discontinuity point ng function at tukuyin ang kanilang uri.

1. 2. 3.

Kabanata 2. Differential calculus ng isang function ng isang variable

Gawain 4. Maghanap ng mga derivatives ng mga function na ito.

1. a); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y = x tan x + ln sin x + e 3x ;

e) y = 2 x - arcsin x.

2. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y = x 2 –+ 3; e) y = e cos; e) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y = ; b) y = (e 5 x – 1) 6 ; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; e) y = 3 x - arcsin x.

5. a) y = 2x 3 - + e x ; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 cos; e) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y = x 7 + + 1; e) y = 2.

7. a) ; b) y = ; c)y = ; d)y = x 2 + xsinx + ; e) y = e cos; e) y = .

8. a) y = ; b) y = (3 x – 4) 6 ; c) y = sintg;

d) y = 3x 4 – – 9+ 9; e) y = ;

e)y = x 2 + arcsin x - x.

9. a); b) ; c) y = ; d) y = 5 sin 3 x ; e) y = x 3 – – 6+ 3; e) y = 4x 4 + ln.

10. a) b) y = ; c) y = (3 x – 4) 6 ; d) y = ; e)y = x 2 - x; e) y = e sin 3 x + 2.

Gawain 5. Tuklasin ang function at buuin ang graph nito.

1. a) b) c) .

2. a) b) V).

3. a) b) V).

4. b) V)

5. a) b) V).

6. a) b) V).

7. a) b) c) .

8. a) b) c) .

9. a) b) c) .

10. a) b) V).

Gawain 6. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa isang partikular na segment.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Kabanata 3. Integral calculus

Suliranin 7. Maghanap ng mga hindi tiyak na integral.

1. a) b);

2. a) ;b) c) d) .

4. G)

5. a) ; b); V); G).

6. a) ; b); V); G)

7. a) ; b) ; V); G)

8. a) ; b); V) ; G).

9. a) ; b) c); G).

10. a) b) V); G).

Suliranin 8. Kalkulahin ang mga tiyak na integral.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Problema 9. Maghanap ng mga hindi wastong integral o patunayan na ang mga ito ay diverge.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Problema 10. Hanapin ang lugar ng rehiyon na napapaligiran ng mga kurba

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Kabanata 4. Differential calculus ng mga function ng ilang variable.

Gawain 11. Hanapin ang domain ng kahulugan ng function (ipakita sa drawing).

Suliranin 12. Siyasatin ang pagpapatuloy ng function sa

Problema 13. Hanapin ang derivative ng isang implicitly na ibinigay na function.

Suliranin 14. Kalkulahin ang humigit-kumulang

1. a) ;b) ; V)

2. a) ; b); V) .

3. a) ; b) ; V).

4. a) ; b) ; V).

5. a); b) ; V).

6. a); b); V).

7. a); b) ; V).

8. a) ;b) ; V)

9. a) ; b); V) .

10. a) ;b) ; V)

Problema 15. Siyasatin ang function para sa extrema.

7. .

8. .

9. .

10. .

Problema 16. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa isang ibinigay na saradong rehiyon.

1. sa isang parihaba

2.

3. sa isang parihaba

4. sa lugar na nililimitahan ng parabola

At ang x-axis.

5. parisukat

6. sa isang tatsulok na nililimitahan ng mga coordinate axes at ng tuwid na linya

7. sa isang tatsulok na nililimitahan ng mga coordinate axes at ng tuwid na linya

8. sa isang tatsulok na nililigiran ng mga coordinate axes at ng tuwid na linya

9. sa lugar na nililimitahan ng parabola

At ang x-axis.

10. sa lugar na nililimitahan ng parabola

At ang x-axis.

Pangunahing

1. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Mga Batayan ng matematika at mga aplikasyon nito sa pang-ekonomiyang edukasyon: Teksbuk. – ika-4 na ed., Espanyol. – M.: Delo, 2003.

2. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika para sa mga specialty sa ekonomiya: Textbook. – ika-4 na ed., Espanyol. – M.: Delo, 2003.

3. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika para sa bachelor's degree sa ekonomiya. Teksbuk. – ika-4 na ed., Espanyol. – M.: Delo, 2005.

4. Mas mataas na matematika para sa mga ekonomista. Teksbuk para sa mga unibersidad / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; Ed. ang prof. N.Sh. Kremer, - 2nd ed., binago. at karagdagang – M: PAGKAKAISA, 2003.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N.. Mas mataas na matematika para sa mga specialty sa ekonomiya. Teksbuk at Workshop (bahagi I at II) / Ed. ang prof. N.Sh. Kremer, - 2nd ed., binago. at karagdagang – M: Mataas na edukasyon, 2007. – 893 p. – (Mga Batayan ng Agham)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Mas mataas na matematika sa mga pagsasanay at problema. M. Mas Mataas na Paaralan. 1999.

Dagdag

1. I.I. Bavrin, V.L. Mga mandaragat. Mas mataas na matematika. "Humanitarian Publishing Center Vlados", 2002.

2. I.A. Zaitsev. Mas mataas na matematika. " graduate School", 1998.

3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. Matematika sa ekonomiya / sa dalawang bahagi/. M. Pananalapi at Istatistika. 1999.

Ang nilalaman ng artikulo

MATHEMATICAL ANALYSIS, isang sangay ng matematika na nagbibigay ng mga pamamaraan para sa quantitative na pag-aaral ng iba't ibang proseso ng pagbabago; tumatalakay sa pag-aaral ng rate ng pagbabago (differential calculus) at ang pagpapasiya ng mga haba ng mga kurba, mga lugar at mga volume ng mga figure na nakatali ng mga curved contours at surfaces (integral calculus). Karaniwan para sa mga problema ng pagsusuri sa matematika na ang kanilang solusyon ay nauugnay sa konsepto ng isang limitasyon.

Ang simula ng mathematical analysis ay inilatag noong 1665 ni I. Newton at (mga 1675) nang nakapag-iisa ni G. Leibniz, bagama't isang mahalagang gawaing paghahanda isinagawa ni I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) at I. Barrow (1630–1677).

Upang gawing mas matingkad ang pagtatanghal, gagamitin namin ang wika ng mga graphic. Samakatuwid, maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mambabasa na tingnan ang artikulong ANALYTICAL GEOMETRY bago simulang basahin ang artikulong ito.

DIFFERENTIAL CALCULUS

Tangents.

Sa Fig. 1 ay nagpapakita ng isang fragment ng curve y = 2x – x 2, nakapaloob sa pagitan x= –1 at x= 3. Sapat na maliliit na bahagi ng kurba na ito ang tumingin nang tuwid. Sa madaling salita, kung R ay isang di-makatwirang punto ng kurba na ito, pagkatapos ay mayroong isang tiyak na tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito at isang pagtatantya ng kurba sa isang maliit na kapitbahayan ng punto R, at mas maliit ang kapitbahayan, mas maganda ang pagtatantya. Ang nasabing linya ay tinatawag na padaplis sa kurba sa punto R. Ang pangunahing gawain ng differential calculus ay ang pagbuo pangkalahatang pamamaraan, na nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang direksyon ng tangent sa anumang punto sa curve kung saan umiiral ang tangent. Hindi mahirap isipin ang isang curve na may matalim na break (Larawan 2). Kung R ay ang tuktok ng naturang break, pagkatapos ay maaari kaming bumuo ng isang tinatayang tuwid na linya P.T. 1 – sa kanan ng punto R at isa pang tinatayang tuwid na linya RT 2 – sa kaliwa ng punto R. Ngunit walang iisang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto R, na pantay na lumapit sa curve sa paligid ng punto P pareho sa kanan at sa kaliwa, samakatuwid ang padaplis sa punto P ay wala.

Sa Fig. 1 padaplis MULA SA iginuhit sa pamamagitan ng pinagmulan TUNGKOL SA= (0,0). Ang slope ng linyang ito ay 2, i.e. kapag ang abscissa ay nagbago ng 1, ang ordinate ay tumataas ng 2. Kung x At y– mga coordinate ng isang arbitrary na punto sa MULA SA, pagkatapos, lumayo sa TUNGKOL SA sa malayo X unit sa kanan, lumalayo kami mula sa TUNGKOL SA sa 2 y pataas ng mga unit. Kaya naman, y/x= 2, o y = 2x. Ito ang tangent equation MULA SA sa kurba y = 2x – x 2 sa punto TUNGKOL SA.

Kailangan na ngayong ipaliwanag kung bakit, mula sa hanay ng mga linyang dumadaan sa punto TUNGKOL SA, ang tuwid na linya ay pinili MULA SA. Paano naiiba ang isang tuwid na linya na may slope na 2 sa iba pang mga tuwid na linya? May isang simpleng sagot, at mahirap labanan ang tukso na ibigay ito gamit ang pagkakatulad ng isang padaplis sa isang bilog: ang padaplis MULA SA mayroon lamang isang karaniwang punto na may kurba, habang ang anumang iba pang di-patayong linya na dumadaan sa punto TUNGKOL SA, nag-intersect sa curve ng dalawang beses. Maaari itong ma-verify tulad ng sumusunod.

Simula nung expression y = 2x – x 2 ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagbabawas X 2 ng y = 2x(mga equation ng tuwid na linya MULA SA), pagkatapos ay ang mga halaga y may mas kaunting kaalaman para sa graph y para sa isang tuwid na linya sa lahat ng mga punto maliban sa punto x= 0. Samakatuwid, ang graph ay nasa lahat ng dako maliban sa punto TUNGKOL SA, na matatagpuan sa ibaba MULA SA, at ang linyang ito at ang graph ay mayroon lamang isang karaniwang punto. Bukod dito, kung y = mx- equation ng ibang linya na dumadaan sa isang punto TUNGKOL SA, pagkatapos ay tiyak na magkakaroon ng dalawang punto ng intersection. Talaga, mx = 2x – x 2 hindi lamang kapag x= 0, ngunit din sa x = 2 – m. At kailan lang m= 2 parehong intersection point ay nag-tutugma. Sa Fig. 3 ay nagpapakita ng kaso kung kailan m ay mas mababa sa 2, kaya sa kanan ng TUNGKOL SA lalabas ang pangalawang intersection point.

Ano MULA SA– ang tanging di-patayong tuwid na linya na dumadaan sa isang punto TUNGKOL SA at pagkakaroon lamang ng isang karaniwang punto sa graph, hindi ang pinakamahalagang katangian nito. Sa katunayan, kung babalik tayo sa iba pang mga graph, magiging malinaw sa lalong madaling panahon na ang tangent property na nabanggit natin ay hindi nasiyahan sa pangkalahatang kaso. Halimbawa, mula sa Fig. 4 ito ay malinaw na malapit sa punto (1,1) ang graph ng curve y = x 3 ay mahusay na tinatantya ng isang tuwid na linya RT pagkakaroon, gayunpaman, sa kanya ng higit sa isa pangkaraniwang punto. Gayunpaman, nais naming isaalang-alang RT padaplis sa graph na ito sa punto R. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang makahanap ng ilang iba pang paraan upang i-highlight ang tangent kaysa sa isa na nagsilbi sa amin nang mahusay sa unang halimbawa.

Ipagpalagay natin na sa pamamagitan ng punto TUNGKOL SA at isang di-makatwirang punto Q = (h,k) sa curve graph y = 2x – x 2 (Larawan 5) ang isang tuwid na linya (tinatawag na secant) ay iginuhit. Ang pagpapalit ng mga halaga sa equation ng curve x = h At y = k, nakukuha natin yan k = 2h – h 2 samakatuwid dalisdis ang secant ay katumbas ng

Sa napakaliit h ibig sabihin m malapit sa 2. Bukod dito, ang pagpili h malapit na sa 0 ang magagawa natin m arbitraryong malapit sa 2. Masasabi natin na m"tends to the limit" katumbas ng 2 kapag h may posibilidad na zero, o anuman ang limitasyon m katumbas ng 2 sa h tending to zero. Symbolically ito ay nakasulat tulad nito:

Pagkatapos ay ang padaplis sa graph sa punto TUNGKOL SA ay tinukoy bilang isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto TUNGKOL SA, na may slope na katumbas ng limitasyong ito. Ang kahulugan na ito ng isang tangent ay naaangkop sa pangkalahatang kaso.

Ipakita natin ang mga pakinabang ng diskarteng ito sa isa pang halimbawa: hanapin natin ang slope ng tangent sa graph ng curve y = 2x – x 2 sa anumang punto P = (x,y), hindi limitado sa pinakasimpleng kaso kung kailan P = (0,0).

Hayaan Q = (x + h, y + k) – ang pangalawang punto sa graph, na matatagpuan sa malayo h sa kanan ng R(Larawan 6). Kailangan nating hanapin ang slope k/h secant PQ. Dot Q ay nasa malayo

sa itaas ng axis X.

Pagbukas ng mga bracket, nakita namin:

Ang pagbabawas mula sa equation na ito y = 2x – x 2, hanapin ang patayong distansya mula sa punto R sa punto Q:

Samakatuwid, ang slope m secant PQ katumbas

Ngayon na h may posibilidad na maging zero, m may posibilidad na 2-2 x; Kukunin namin ang huling halaga bilang angular coefficient ng tangent P.T.. (Ang parehong resulta ay magaganap kung h tinatanggap mga negatibong halaga, na tumutugma sa pagpili ng punto Q sa kaliwa ng P.) Tandaan na kapag x= 0 ang resulta na nakuha ay tumutugma sa nauna.

Pagpapahayag 2 – 2 x tinatawag na derivative ng 2 x – x 2. Noong unang panahon, ang derivative ay tinatawag ding "differential ratio" at "differential coefficient". Kung sa pamamagitan ng pagpapahayag 2 x – x 2 italaga f(x), ibig sabihin.

pagkatapos ay maaaring tukuyin ang derivative

Upang malaman ang slope ng tangent sa graph ng function y = f(x) sa ilang mga punto, ito ay kinakailangan upang palitan sa fў ( x) halaga na naaayon sa puntong ito X. Kaya, ang slope fў (0) = 2 sa X = 0, fў (0) = 0 sa X= 1 at fў (2) = –2 sa X = 2.

Ang derivative ay tinutukoy din saў , dy/dx, D x y At Du.

Ang katotohanan na ang kurba y = 2x – x Ang 2 malapit sa isang naibigay na punto ay halos hindi makilala mula sa tangent nito sa puntong ito, nagbibigay-daan sa amin na magsalita ng angular coefficient ng tangent bilang ang "angular coefficient ng curve" sa punto ng tangency. Kaya, masasabi natin na ang slope ng curve na ating isinasaalang-alang ay may slope na 2 sa punto (0,0). Masasabi rin natin na kapag x= 0 rate ng pagbabago y medyo x ay katumbas ng 2. Sa punto (2,0) ang slope ng tangent (at ang curve) ay –2. (Ang ibig sabihin ng minus sign ay habang tumataas tayo x variable y bumababa.) Sa punto (1,1) ang padaplis ay pahalang. Sinasabi namin na ito ay isang kurba y = 2x – x 2 ay may nakatigil na halaga sa puntong ito.

Matataas at mabababa.

Ipinakita lang namin na ang kurba f(x) = 2x – x 2 ay nakatigil sa punto (1,1). kasi fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), malinaw na kapag x, mas mababa sa 1, fў ( x) ay positibo, at samakatuwid y nadadagdagan; sa x, malaki 1, fў ( x) ay negatibo, at samakatuwid y bumababa. Kaya, sa paligid ng punto (1,1), na ipinahiwatig sa Fig. 6 na titik M, ibig sabihin sa lumalaki sa isang punto M, nakatigil sa punto M at bumababa pagkatapos ng punto M. Ang puntong ito ay tinatawag na "maximum" dahil ang halaga sa sa puntong ito ay lumampas sa alinman sa mga halaga nito sa isang sapat na maliit na kapitbahayan. Katulad nito, ang "minimum" ay tinukoy bilang ang punto sa paligid kung saan ang lahat ng mga halaga y lumampas sa halaga sa sa mismong puntong ito. Maaaring mangyari din na bagaman ang hinango ng f(x) sa isang tiyak na punto at naglalaho; ang tanda nito sa paligid ng puntong ito ay hindi nagbabago. Ang nasabing punto, na hindi maximum o minimum, ay tinatawag na inflection point.

Bilang halimbawa, hanapin natin ang nakatigil na punto ng kurba

Ang derivative ng function na ito ay katumbas ng

at napupunta sa zero sa x = 0, X= 1 at X= –1; mga. sa mga puntos (0,0), (1, –2/15) at (–1, 2/15). Kung X mas mababa ng kaunti sa –1, kung gayon fў ( x) ay negatibo; Kung X higit pa sa –1, kung gayon fў ( x) ay positibo. Samakatuwid, ang punto (–1, 2/15) ay ang pinakamataas. Katulad nito, maipapakita na ang punto (1, –2/15) ay pinakamababa. Ngunit ang derivative fў ( x) ay negatibo pareho bago ang punto (0,0) at pagkatapos nito. Samakatuwid, ang (0,0) ay ang inflection point.

Ang pag-aaral ng hugis ng curve, pati na rin ang katotohanan na ang curve ay nagsalubong sa axis X sa f(x) = 0 (ibig sabihin, kailan X= 0 o ) ay nagpapahintulot sa amin na ipakita ang graph nito na humigit-kumulang tulad ng ipinapakita sa Fig. 7.

Sa pangkalahatan, kung ibubukod natin ang mga hindi pangkaraniwang kaso (mga kurba na naglalaman ng mga tuwid na segment o isang walang katapusang bilang ng mga liko), mayroong apat na opsyon para sa relatibong posisyon ng curve at ang tangent sa paligid ng tangent point. R. (Cm. kanin. 8, kung saan ang tangent ay may positibong slope.)

1) Sa magkabilang panig ng punto R ang curve ay nasa itaas ng tangent (Larawan 8, A). Sa kasong ito sinasabi nila na ang curve sa punto R matambok pababa o malukong.

2) Sa magkabilang panig ng punto R ang curve ay matatagpuan sa ibaba ng tangent (Larawan 8, b). Sa kasong ito, ang kurba ay sinasabing matambok pataas o simpleng matambok.

3) at 4) Ang kurba ay matatagpuan sa itaas ng tangent sa isang bahagi ng punto R at sa ibaba - sa kabilang banda. Sa kasong ito R– inflection point.

Paghahambing ng mga halaga fў ( x) sa magkabilang panig ng R kasama ang halaga nito sa punto R, matutukoy ng isa kung alin sa apat na kasong ito ang dapat harapin sa isang partikular na problema.

Mga aplikasyon.

Ang lahat ng nasa itaas ay may mahahalagang aplikasyon sa iba't ibang larangan. Halimbawa, kung ang isang katawan ay itinapon nang patayo paitaas na may paunang bilis na 200 talampakan bawat segundo, kung gayon ang taas s, kung saan sila matatagpuan sa pamamagitan ng t segundo kumpara sa panimulang punto magiging

Ang pagpapatuloy sa parehong paraan tulad ng sa mga halimbawa na aming isinasaalang-alang, nakita namin

ang dami na ito ay napupunta sa zero sa c. Derivative fў ( x) ay positibo hanggang sa halaga c at negatibo pagkatapos ng panahong ito. Kaya naman, s tataas sa , pagkatapos ay nagiging nakatigil, at pagkatapos ay bumababa. At ganyan kung pano nangyari ang iyan Pangkalahatang paglalarawan galaw ng isang katawan na itinapon paitaas. Mula dito alam natin kung kailan naabot ng katawan ang pinakamataas na punto nito. Susunod, pagpapalit t= 25/4 V f(t), nakakakuha tayo ng 625 talampakan, ang pinakamataas na taas ng pag-angat. Sa problemang ito fў ( t) ay may pisikal na kahulugan. Ipinapakita ng derivative na ito ang bilis ng paggalaw ng katawan sa isang iglap t.

Isaalang-alang natin ngayon ang isang aplikasyon ng ibang uri (Larawan 9). Mula sa isang sheet ng karton na may sukat na 75 cm2, kailangan mong gumawa ng isang kahon na may isang parisukat na ilalim. Ano ang dapat na mga sukat ng kahon na ito upang magkaroon ito ng maximum na volume? Kung X– gilid ng base ng kahon at h ay ang taas nito, kung gayon ang dami ng kahon ay V = x 2 h, at ang lugar sa ibabaw ay 75 = x 2 + 4xh. Pagbabago ng equation, nakukuha namin:

Hinango ng V pantay-pantay pala

at napupunta sa zero sa X= 5. Pagkatapos

At V= 125/2. Graph ng isang function V = (75x – x 3)/4 ay ipinapakita sa Fig. 10 (negatibong mga halaga X inalis bilang walang pisikal na kahulugan sa problemang ito).

Derivatives.

Ang isang mahalagang gawain ng differential calculus ay ang paglikha ng mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis at maginhawang makahanap ng mga derivatives. Halimbawa, madaling kalkulahin iyon

(Ang derivative ng isang pare-pareho ay, siyempre, zero.) Hindi mahirap makuha ang isang pangkalahatang tuntunin:

saan n– anumang buong bilang o fraction. Halimbawa,

(Ipinapakita ng halimbawang ito kung gaano kapaki-pakinabang ang mga fractional exponents.)

Narito ang ilan sa mga pinakamahalagang formula:

Mayroon ding mga sumusunod na patakaran: 1) kung ang bawat isa sa dalawang function g(x) At f(x) ay may mga derivative, kung gayon ang derivative ng kanilang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives ng mga function na ito, at ang derivative ng pagkakaiba ay katumbas ng pagkakaiba ng mga derivatives, i.e.

2) ang derivative ng produkto ng dalawang function ay kinakalkula ng formula:

3) ang derivative ng ratio ng dalawang function ay may anyo

4) ang derivative ng isang function na pinarami ng isang constant ay katumbas ng constant na pinarami ng derivative ng function na ito, i.e.

Madalas na nangyayari na ang mga halaga ng isang function ay kailangang kalkulahin nang hakbang-hakbang. Halimbawa, upang kalkulahin ang kasalanan x 2, kailangan muna nating hanapin u = x 2, at pagkatapos ay kalkulahin ang sine ng numero u. Nahanap namin ang derivative ng naturang kumplikadong mga function gamit ang tinatawag na "chain rule":

Sa ating halimbawa f(u) = kasalanan u, fў ( u) = cos u, samakatuwid,

Ang mga ito at iba pang katulad na mga patakaran ay nagbibigay-daan sa iyo na agad na isulat ang mga derivatives ng maraming mga function.

Mga linear approximation.

Ang katotohanan na, sa pag-alam ng derivative, maaari nating palitan sa maraming pagkakataon ang graph ng isang function na malapit sa isang tiyak na punto ng tangent nito sa puntong ito ay napakahalaga, dahil mas madaling magtrabaho sa mga tuwid na linya.

Ang ideyang ito ay nakakahanap ng direktang aplikasyon sa pagkalkula ng tinatayang mga halaga ng mga pag-andar. Halimbawa, medyo mahirap kalkulahin ang halaga kung kailan x= 1.033. Ngunit maaari mong gamitin ang katotohanan na ang numero 1.033 ay malapit sa 1 at iyon . Nang malapitan x= 1 maaari nating palitan ang graph ng isang tangent curve nang hindi gumagawa ng anumang malubhang pagkakamali. Ang angular coefficient ng naturang tangent ay katumbas ng halaga ng derivative ( x 1/3)ў = (1/3) x–2/3 sa x = 1, ibig sabihin. 1/3. Dahil ang punto (1,1) ay nasa curve at ang angular coefficient ng tangent sa curve sa puntong ito ay katumbas ng 1/3, ang tangent equation ay may anyo.

Sa tuwid na linyang ito X = 1,033

Natanggap na halaga y dapat ay napakalapit sa tunay na halaga y; at, sa katunayan, ito ay higit pa sa 0.00012 kaysa sa totoo. Sa mathematical analysis, ang mga pamamaraan ay binuo na ginagawang posible upang madagdagan ang katumpakan ng ganitong uri ng mga linear approximation. Tinitiyak ng mga pamamaraang ito ang pagiging maaasahan ng aming tinatayang mga kalkulasyon.

Ang pamamaraan na inilarawan lamang ay nagmumungkahi ng isang kapaki-pakinabang na notasyon. Hayaan P– punto na naaayon sa function graph f variable X, at hayaan ang function f(x) ay naiba-iba. Palitan natin ang graph ng curve malapit sa punto R padaplis dito na iginuhit sa puntong ito. Kung X pagbabago ayon sa halaga h, pagkatapos ang ordinate ng tangent ay magbabago sa halaga h H f ў ( x). Kung h ay napakaliit, kung gayon ang huling halaga ay nagsisilbing isang mahusay na pagtatantya sa tunay na pagbabago sa ordinate y sining ng grapiko. Kung sa halip h susulat tayo ng simbolo dx(ito ay hindi isang produkto!), ngunit isang pagbabago sa ordinate y tukuyin natin dy, pagkatapos makuha namin dy = f ў ( x)dx, o dy/dx = f ў ( x) (cm. kanin. labing-isa). Samakatuwid, sa halip na Dy o f ў ( x) ang simbolo ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang isang derivative dy/dx. Ang kaginhawahan ng notasyong ito ay higit sa lahat ay nakasalalay sa tahasang hitsura ng panuntunan ng chain (pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function); sa bagong notasyon ang formula na ito ay ganito ang hitsura:

kung saan ito ay ipinahiwatig na sa depende sa u, A u depende naman sa X.

Magnitude dy tinatawag na differential sa; sa katotohanan ito ay nakasalalay sa dalawa mga variable, katulad: mula sa X at mga dagdag dx. Kapag ang increment dx napakaliit na sukat dy ay malapit sa katumbas na pagbabago sa halaga y. Ngunit ipagpalagay na ang pagtaas dx maliit, hindi na kailangan.

Derivative ng isang function y = f(x) itinalaga namin f ў ( x) o dy/dx. Madalas na posibleng kunin ang derivative ng derivative. Ang resulta ay tinatawag na pangalawang derivative ng f (x) at ipinapahiwatig f ўў ( x) o d 2 y/dx 2. Halimbawa, kung f(x) = x 3 – 3x 2, pagkatapos f ў ( x) = 3x 2 – 6x At f ўў ( x) = 6x– 6. Ginagamit ang katulad na notasyon para sa mga derivative na may mataas na pagkakasunod-sunod. Gayunpaman, upang maiwasan malaking dami stroke (katumbas ng pagkakasunud-sunod ng derivative), ang pang-apat na derivative (halimbawa) ay maaaring isulat bilang f (4) (x), at ang derivative n-ika-utos bilang f (n) (x).

Maaaring ipakita na ang kurba sa isang punto ay matambok pababa kung ang pangalawang derivative ay positibo, at matambok pataas kung ang pangalawang derivative ay negatibo.

Kung ang isang function ay may pangalawang derivative, pagkatapos ay ang pagbabago sa halaga y, naaayon sa pagtaas dx variable X, ay maaaring tinatayang kalkulahin gamit ang formula

Ang pagtatantya na ito ay karaniwang mas mahusay kaysa sa ibinigay ng kaugalian fў ( x)dx. Ito ay tumutugma sa pagpapalit ng bahagi ng kurba hindi sa isang tuwid na linya, ngunit sa isang parabola.

Kung ang function f(x) may mga derivatives ng mas mataas na mga order, kung gayon

Ang natitirang termino ay may anyo

saan x- ilang numero sa pagitan x At x + dx. Ang resulta sa itaas ay tinatawag na formula ni Taylor na may natitirang termino. Kung f(x) ay may mga derivatives ng lahat ng mga order, pagkatapos ay karaniwan Rn® 0 sa n ® Ґ .

INTEGRAL CALCULUS

Mga parisukat.

Kapag pinag-aaralan ang mga lugar ng curvilinear plane figure, ang mga bagong aspeto ng mathematical analysis ay ipinahayag. Sinubukan ng mga sinaunang Griyego na lutasin ang mga problema ng ganitong uri, kung kanino ang pagtukoy, halimbawa, ang lugar ng isang bilog ay isa sa ang pinakamahirap na gawain. Nakamit ni Archimedes ang mahusay na tagumpay sa paglutas ng problemang ito, na nagawa ring mahanap ang lugar ng isang parabolic segment (Larawan 12). Gamit ang napakakomplikadong pangangatwiran, pinatunayan ni Archimedes na ang lugar ng isang parabolic segment ay 2/3 ng lugar ng circumscribed rectangle at, samakatuwid, sa kasong ito ay katumbas ng (2/3)(16) = 32/ 3. Tulad ng makikita natin sa ibang pagkakataon, ang resulta na ito ay madaling makuha sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng mathematical analysis.

Ang mga predecessors ng Newton at Leibniz, higit sa lahat Kepler at Cavalieri, lutasin ang mga problema ng pagkalkula ng mga lugar ng curvilinear figure gamit ang isang paraan na halos hindi matatawag na lohikal na tunog, ngunit kung saan ay naging lubhang mabunga. Nang pinagsama ni Wallis noong 1655 ang mga pamamaraan ng Kepler at Cavalieri sa mga pamamaraan ng Descartes (analytic geometry) at sinamantala ang bagong umuusbong na algebra, ang entablado ay ganap na inihanda para sa hitsura ni Newton.

Hinati ni Wallis ang pigura, ang lugar kung saan kailangang kalkulahin, sa napakakitid na mga piraso, na ang bawat isa ay tinatayang itinuturing niyang isang rektanggulo. Pagkatapos ay idinagdag niya ang mga lugar ng tinatayang mga parihaba at sa pinakasimpleng mga kaso, nakuha ang halaga kung saan ang kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba ay napunta kapag ang bilang ng mga piraso ay naging infinity. Sa Fig. Ang Figure 13 ay nagpapakita ng mga parihaba na tumutugma sa ilang dibisyon sa mga piraso ng lugar sa ilalim ng kurba y = x 2 .

Pangunahing teorama.

Ang mahusay na pagtuklas ng Newton at Leibniz ay naging posible upang maalis ang matrabahong proseso ng pagpunta sa limitasyon ng kabuuan ng mga lugar. Ginawa ito salamat sa isang bagong pagtingin sa konsepto ng lugar. Ang punto ay dapat nating isipin ang lugar sa ilalim ng kurba bilang nabuo ng isang ordinate na gumagalaw mula kaliwa pakanan at itanong kung gaano kabilis ang pagbabago ng lugar na natangay ng mga ordinate. Makukuha namin ang susi sa pagsagot sa tanong na ito kung isasaalang-alang namin ang dalawang espesyal na kaso kung saan ang lugar ay kilala nang maaga.

Magsimula tayo sa lugar sa ilalim ng graph linear function y = 1 + x, dahil sa kasong ito ang lugar ay maaaring kalkulahin gamit ang elementarya na geometry.

Hayaan A(x) – bahagi ng eroplano na nakapaloob sa pagitan ng tuwid na linya y = 1 + x at isang segment OQ(Larawan 14). Kapag nagmamaneho QP tamang lugar A(x) nadadagdagan. Sa anong bilis? Hindi mahirap sagutin ang tanong na ito, dahil alam natin na ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng taas nito at kalahati ng kabuuan ng mga base nito. Kaya naman,

Rate ng pagbabago ng lugar A(x) ay tinutukoy ng derivative nito

Nakikita natin yan Aў ( x) kasabay ng ordinate sa puntos R. Ito ba ay isang pagkakataon? Subukan nating suriin ang parabola na ipinapakita sa Fig. 15. Lugar A (x) sa ilalim ng parabola sa = X 2 sa hanay mula 0 hanggang X katumbas ng A(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Ang rate ng pagbabago ng lugar na ito ay tinutukoy ng expression

na eksaktong tumutugma sa ordinate sa gumagalaw na punto R.

Kung ipagpalagay natin na ang panuntunang ito ay humahawak sa pangkalahatang kaso tulad niyan

ay ang rate ng pagbabago ng lugar sa ilalim ng graph ng function y = f(x), pagkatapos ay magagamit ito para sa mga kalkulasyon at iba pang mga lugar. Sa katunayan, ang ratio Aў ( x) = f(x) ay nagpapahayag ng isang pundamental na teorama na maaaring mabuo tulad ng sumusunod: ang derivative, o rate ng pagbabago ng lugar bilang isang function ng X, katumbas ng halaga ng function f (x) sa punto X.

Halimbawa, upang mahanap ang lugar sa ilalim ng graph ng isang function y = x 3 mula 0 hanggang X(Larawan 16), ilagay natin

Ang isang posibleng sagot ay nagbabasa:

dahil ang hinango ng X Talagang pantay ang 4/4 X 3. Bukod sa, A(x) ay katumbas ng zero sa X= 0, gaya ng dapat kung A(x) ay talagang isang lugar.

Ang pagsusuri sa matematika ay nagpapatunay na walang ibang sagot maliban sa expression sa itaas para sa A(x), ay wala. Ipakita natin na ang pahayag na ito ay kapani-paniwala gamit ang sumusunod na heuristic (hindi mahigpit) na pangangatwiran. Ipagpalagay na mayroong ilang pangalawang solusyon SA(x). Kung A(x) At SA(x) "magsimula" nang sabay-sabay mula sa zero na halaga sa X= 0 at nagbabago sa parehong rate sa lahat ng oras, kung gayon ang kanilang mga halaga ay hindi maaaring maging X hindi maaaring maging iba. Dapat silang magkasabay sa lahat ng dako; samakatuwid, mayroong isang natatanging solusyon.

Paano mo mabibigyang katwiran ang relasyon? Aў ( x) = f(x) sa pangkalahatan? Ang tanong na ito ay masasagot lamang sa pamamagitan ng pag-aaral ng rate ng pagbabago ng lugar bilang isang function ng X sa pangkalahatan. Hayaan m– ang pinakamaliit na halaga ng function f (x) sa saklaw mula sa X dati ( x + h), A M– ang pinakamalaking halaga ng function na ito sa parehong pagitan. Pagkatapos ay ang pagtaas sa lugar kapag lumilipat mula sa X kay ( x + h) ay dapat na nakapaloob sa pagitan ng mga lugar ng dalawang parihaba (Larawan 17). Ang mga base ng parehong mga parihaba ay pantay h. Ang mas maliit na parihaba ay may taas m at lugar mh, mas malaki, ayon sa pagkakabanggit, M At Mh. Sa graph ng area versus X(Fig. 18) ito ay malinaw na kapag ang abscissa ay nagbago sa h, ang ordinate value (i.e. area) ay tataas ng halaga sa pagitan mh At Mh. Ang secant slope sa graph na ito ay nasa pagitan m At M. ano ang mangyayari kapag h parang zero? Kung ang graph ng isang function y = f(x) ay tuloy-tuloy (i.e. ay hindi naglalaman ng mga discontinuities), pagkatapos M, At m may posibilidad na f(x). Samakatuwid, ang slope Aў ( x) graph ng lugar bilang isang function ng X katumbas f(x). Ito mismo ang konklusyon na kailangang maabot.

Iminungkahi ni Leibniz ang lugar sa ilalim ng isang kurba y = f(x) mula 0 hanggang A pagtatalaga

Sa isang mahigpit na diskarte, ang tinatawag na tiyak na integral na ito ay dapat tukuyin bilang limitasyon ng ilang mga kabuuan sa paraan ng Wallis. Isinasaalang-alang ang resulta na nakuha sa itaas, malinaw na ang integral na ito ay kinakalkula sa kondisyon na mahahanap natin ang gayong function A(x), na naglalaho kapag X= 0 at may derivative Aў ( x), katumbas ng f (x). Ang paghahanap ng ganoong function ay karaniwang tinatawag na integration, bagama't mas angkop na tawagan ang operasyong ito na anti-differentiation, ibig sabihin, ito ay sa ilang kahulugan ang kabaligtaran ng pagkita ng kaibhan. Sa kaso ng isang polynomial, ang pagsasama ay simple. Halimbawa, kung

na madaling i-verify sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba A(x).

Upang kalkulahin ang lugar A 1 sa ilalim ng kurba y = 1 + x + x 2/2, na nakapaloob sa pagitan ng ordinates 0 at 1, isusulat lang namin

at, pinapalitan X= 1, nakukuha namin A 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Square A(x) mula 0 hanggang 2 ay katumbas ng A 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Tulad ng makikita mula sa Fig. 19, ang lugar na nakapaloob sa pagitan ng ordinates 1 at 2 ay katumbas ng A 2 – A 1 = 11/3. Karaniwan itong isinusulat bilang isang tiyak na integral

Mga volume.

Ang katulad na pangangatwiran ay nakakagulat na madaling kalkulahin ang dami ng mga katawan ng rebolusyon. Ipakita natin ito sa halimbawa ng pagkalkula ng dami ng isang globo, isa pang klasikal na problema na ang mga sinaunang Griyego, gamit ang mga pamamaraan na kilala sa kanila, ay pinamamahalaang malutas nang napakahirap.

Iikot natin ang bahagi ng eroplanong nakapaloob sa loob ng quarter circle ng radius r, sa isang anggulo na 360° sa paligid ng axis X. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng hemisphere (Larawan 20), ang dami kung saan tinutukoy natin V(x). Kailangan nating matukoy ang rate kung saan ito tumataas V(x) na may pagtaas x. Lumilipat mula sa X Upang X + h, madaling i-verify na ang pagtaas ng volume ay mas mababa sa volume p(r 2 – x 2)h pabilog na silindro na may radius at taas h, at higit pa sa volume p[r 2 – (x + h) 2 ]h radius ng silindro at taas h. Samakatuwid, sa graph ng function V(x) ang angular coefficient ng secant ay nasa pagitan p(r 2 – x 2) at p[r 2 – (x + h) 2 ]. Kailan h may posibilidad na zero, ang slope ay may posibilidad na

Sa x = r nakukuha namin

para sa dami ng hemisphere, at samakatuwid ay 4 p r 3/3 para sa dami ng buong bola.

Ang isang katulad na paraan ay nagpapahintulot sa isa na mahanap ang mga haba ng mga kurba at ang mga lugar ng mga hubog na ibabaw. Halimbawa, kung a(x) - haba ng arko PR sa Fig. 21, kung gayon ang aming gawain ay kalkulahin aў( x). Sa antas ng heuristic, gagamit tayo ng isang pamamaraan na nagbibigay-daan sa amin na huwag gumamit sa karaniwang daanan hanggang sa limitasyon, na kinakailangan para sa isang mahigpit na patunay ng resulta. Ipagpalagay natin na ang rate ng pagbabago ng function A(x) sa punto R kapareho ng magiging kung ang kurba ay papalitan ng padaplis nito P.T. sa punto P. Ngunit mula sa Fig. 21 ay direktang nakikita kapag humahakbang h sa kanan o kaliwa ng punto X kasama RT ibig sabihin A(x) nagbabago sa

Samakatuwid, ang rate ng pagbabago ng function a(x) ay

Upang mahanap ang function mismo a(x), kailangan mo lang isama ang expression sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Lumalabas na ang pagsasama ay medyo mahirap para sa karamihan ng mga pag-andar. Samakatuwid, ang pagbuo ng mga pamamaraan ng integral calculus ay bumubuo ng isang malaking bahagi ng mathematical analysis.

Mga antiderivative.

Bawat function na ang derivative ay katumbas ng ibinigay na function f(x), ay tinatawag na antiderivative (o primitive) para sa f(x). Halimbawa, X 3/3 – antiderivative para sa function X 2 mula noong ( x 3/3)ў = x 2. Syempre X Ang 3/3 ay hindi lamang ang antiderivative ng function X 2 kasi x 3 /3 + C ay isa ring derivative para sa X 2 para sa anumang pare-pareho SA. Gayunpaman, sa mga sumusunod ay sumasang-ayon kaming alisin ang mga naturang additive constants. Sa pangkalahatan

saan n ay isang positibong integer, dahil ( x n + 1/(n+ 1))ў = x n. Ang kaugnayan (1) ay nasisiyahan sa isang mas pangkalahatang kahulugan kung n palitan ng anumang rational na numero k, maliban sa –1.

Isang arbitrary na antiderivative function para sa isang partikular na function f(x) ay karaniwang tinatawag na di-tiyak na integral ng f(x) at tukuyin ito sa anyo

Halimbawa, mula noong (kasalanan x)ў = cos x, valid ang formula

Sa maraming mga kaso kung saan mayroong isang formula para sa hindi tiyak na integral ng isang naibigay na function, ito ay matatagpuan sa maraming malawak na nai-publish na mga talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Ang mga integral mula sa elementarya na pag-andar ay tabular (kabilang ang mga ito ng mga kapangyarihan, logarithms, exponential function, trigonometric function, inverse trigonometriko function, pati na rin ang kanilang mga may hangganang kumbinasyon na nakuha gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati). Gamit ang mga integral ng talahanayan maaari mong kalkulahin ang mga integral ng mas kumplikadong mga function. Mayroong maraming mga paraan upang makalkula ang mga hindi tiyak na integral; Ang pinakakaraniwan sa mga ito ay ang variable substitution o substitution method. Ito ay binubuo sa katotohanan na kung gusto nating palitan sa hindi tiyak na integral (2) x sa ilang naiba-iba na function x = g(u), kung gayon para manatiling hindi nagbabago ang integral, ito ay kinakailangan x pinalitan ng gў ( u)du. Sa madaling salita, ang pagkakapantay-pantay

(pagpapalit 2 x = u, mula sa kung saan 2 dx = du).

Ipakita natin ang isa pang paraan ng pagsasama - ang paraan ng pagsasama ayon sa mga bahagi. Nakabatay ito sa kilalang formula

Sa pamamagitan ng pagsasama ng kaliwa at kanang bahagi, at isinasaalang-alang iyon

Ang formula na ito ay tinatawag na integration by parts formula.

Halimbawa 2. Kailangan mong hanapin ang . Since cos x= (kasalanan x)ў , maaari nating isulat iyon

Mula sa (5), ipagpalagay u = x At v= kasalanan x, nakukuha namin

At mula noong (–cos x)ў = kasalanan x hanapin natin yan

Dapat itong bigyang-diin na nilimitahan natin ang ating sarili sa isang napakaikling pagpapakilala sa isang napakalawak na paksa kung saan maraming mapanlikhang pamamaraan ang naipon.

Mga function ng dalawang variable.

Dahil sa kurba y = f(x) isinasaalang-alang namin ang dalawang problema.

1) Hanapin ang angular coefficient ng tangent sa curve sa isang naibigay na punto. Ang problemang ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagkalkula ng halaga ng derivative fў ( x) sa tinukoy na punto.

2) Hanapin ang lugar sa ilalim ng curve sa itaas ng axis segment X, na nililimitahan ng mga patayong linya X = A At X = b. Ang problemang ito ay nalutas sa pamamagitan ng pagkalkula ng isang tiyak na integral.

Ang bawat isa sa mga problemang ito ay may isang analogue sa kaso ng isang ibabaw z = f(x,y).

1) Hanapin ang tangent plane sa ibabaw sa isang naibigay na punto.

2) Hanapin ang volume sa ilalim ng ibabaw sa itaas ng bahagi ng eroplano xy, bounded ng isang curve SA, at mula sa gilid – patayo sa eroplano xy dumadaan sa mga punto ng boundary curve SA (cm. kanin. 22).

Ang mga sumusunod na halimbawa ay nagpapakita kung paano nalulutas ang mga problemang ito.

Halimbawa 4. Hanapin ang tangent plane sa ibabaw

sa punto (0,0,2).

Ang isang eroplano ay tinukoy kung ang dalawang intersecting na linya na nakahiga dito ay ibinigay. Isa sa mga tuwid na linyang ito ( l 1) sumakay kami sa eroplano xz (sa= 0), segundo ( l 2) - sa eroplano yz (x = 0) (cm. kanin. 23).

Una sa lahat, kung sa= 0, pagkatapos z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Derivative na may kinalaman sa X, denoted fў x(x,0) = –2 – 6x, sa X Ang = 0 ay may halaga na –2. Diretso l 1 na ibinigay ng mga equation z = 2 – 2x, sa= 0 – padaplis sa SA 1, mga linya ng intersection ng ibabaw sa eroplano sa= 0. Katulad nito, kung X= 0, pagkatapos f(0,y) = 2 – y – y 2 , at ang derivative na may kinalaman sa sa parang

kasi fў y(0,0) = –1, kurba SA 2 - linya ng intersection ng ibabaw sa eroplano yz- may tangent l 2 na ibinigay ng mga equation z = 2 – y, X= 0. Ang nais na tangent plane ay naglalaman ng parehong linya l 1 at l 2 at isinulat ng equation

Ito ang equation ng isang eroplano. Bilang karagdagan, direktang tumatanggap kami l 1 at l 2, ipagpalagay, ayon sa pagkakabanggit, sa= 0 at X = 0.

Ang katotohanan na ang equation (7) ay talagang tumutukoy sa isang tangent plane ay maaaring ma-verify sa isang heuristic na antas sa pamamagitan ng pagpuna na ang equation na ito ay naglalaman ng mga first-order na termino na kasama sa equation (6), at ang pangalawang-order na mga termino ay maaaring katawanin sa anyo -. Dahil ang expression na ito ay negatibo para sa lahat ng mga halaga X At sa, maliban sa X = sa= 0, ang ibabaw (6) ay nasa ibaba ng eroplano (7) kahit saan, maliban sa punto R= (0,0,0). Masasabi nating ang ibabaw (6) ay matambok pataas sa punto R.

Halimbawa 5. Hanapin ang tangent plane sa ibabaw z = f(x,y) = x 2 – y 2 sa pinanggalingan 0.

Sa ibabaw sa= 0 mayroon kami: z = f(x,0) = x 2 at fў x(x,0) = 2x. Naka-on SA 1, mga linya ng intersection, z = x 2. Sa punto O ang slope ay katumbas ng fў x(0,0) = 0. Sa eroplano X= 0 mayroon kami: z = f(0,y) = –y 2 at fў y(0,y) = –2y. Naka-on SA 2, mga linya ng intersection, z = –y 2. Sa punto O curve slope SA 2 ay katumbas fў y(0,0) = 0. Dahil ang mga padaplis sa SA 1 at SA 2 ay mga palakol X At sa, ang tangent plane na naglalaman ng mga ito ay ang eroplano z = 0.

Gayunpaman, sa kapitbahayan ng pinagmulan, ang aming ibabaw ay wala sa parehong panig ng tangent plane. Sa katunayan, isang curve SA 1 sa lahat ng dako, maliban sa punto 0, ay nasa itaas ng tangent plane, at ang curve SA 2 - ayon sa pagkakabanggit sa ibaba nito. Ang ibabaw ay nagsalubong sa tangent na eroplano z= 0 sa mga tuwid na linya sa = X At sa = –X. Ang nasabing ibabaw ay sinasabing may saddle point sa pinanggalingan (Fig. 24).

Mga partial derivatives.

Sa mga nakaraang halimbawa ginamit namin ang mga derivatives ng f (x,y) Ni X at sa pamamagitan ng sa. Isaalang-alang natin ngayon ang mga naturang derivatives sa isang mas pangkalahatang kahulugan. Kung mayroon tayong function ng dalawang variable, halimbawa, F(x,y) = x 2 – xy, pagkatapos ay matutukoy natin sa bawat punto ang dalawa sa "mga partial derivatives" nito, ang isa sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng function na may kinalaman sa X at pag-aayos sa, ang iba pa – pagkakaiba sa pamamagitan ng sa at pag-aayos X. Ang una sa mga derivatives na ito ay tinutukoy bilang fў x(x,y) o ¶ f/¶ x; pangalawa - paano f f ў y. Kung ang parehong pinaghalong derivatives (sa pamamagitan ng X At sa, Ni sa At X) ay tuloy-tuloy, pagkatapos ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x; sa aming halimbawa ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x = –1.

Bahagyang hinango fў x(x,y) ay nagpapahiwatig ng rate ng pagbabago ng function f sa punto ( x,y) sa direksyon ng pagtaas X, A fў y(x,y) – rate ng pagbabago ng function f sa direksyon ng pagtaas sa. Rate ng pagbabago ng function f sa punto ( X,sa) sa direksyon ng isang tuwid na linya na gumagawa ng isang anggulo q na may positibong direksyon ng axis X, ay tinatawag na derivative ng function f patungo sa; ang halaga nito ay kumbinasyon ng dalawang partial derivatives ng function f sa tangent plane ay halos pantay (sa maliit dx At dy) tunay na pagbabago z sa ibabaw, ngunit ang pagkalkula ng pagkakaiba ay kadalasang mas madali.

Ang formula na napag-isipan na natin mula sa pagbabago ng variable na paraan, na kilala bilang derivative ng isang kumplikadong function o ang chain rule, sa one-dimensional na kaso kapag sa depende sa X, A X depende sa t, ay may anyo:

Para sa mga function ng dalawang variable, ang isang katulad na formula ay may anyo:

Ang mga konsepto at notasyon ng partial differentiation ay madaling i-generalize sa mas matataas na dimensyon. Sa partikular, kung ang ibabaw ay implicitly na tinukoy ng equation f(x,y,z) = 0, ang equation ng tangent plane sa ibabaw ay maaaring bigyan ng mas simetriko na anyo: ang equation ng tangent plane sa punto ( x(x 2/4)], pagkatapos ay isinama sa ibabaw X mula 0 hanggang 1. Ang huling resulta ay 3/4.

Ang formula (10) ay maaari ding bigyang kahulugan bilang tinatawag na double integral, i.e. bilang limitasyon ng kabuuan ng mga volume ng elementarya na "mga cell". Ang bawat naturang cell ay may base D x D y at isang taas na katumbas ng taas ng ibabaw sa itaas ng ilang punto ng hugis-parihaba na base ( cm. kanin. 26). Maaari itong ipakita na ang parehong mga punto ng view sa formula (10) ay katumbas. Ang mga double integral ay ginagamit upang mahanap ang mga sentro ng grabidad at maraming mga sandali na nakatagpo sa mekanika.

Isang mas mahigpit na pagbibigay-katwiran ng mathematical apparatus.

Sa ngayon ipinakita namin ang mga konsepto at pamamaraan ng pagsusuri sa matematika sa isang intuitive na antas at hindi nag-atubiling gumamit ng mga geometric na hugis. Ito ay nananatili para sa amin upang maikli na isaalang-alang ang mas mahigpit na mga pamamaraan na lumitaw noong ika-19 at ika-20 siglo.

Sa simula ng ika-19 na siglo, nang ang panahon ng bagyo at presyur sa "paglikha ng pagsusuri sa matematika" ay natapos, ang mga tanong ng pagbibigay-katwiran nito ay dumating sa unahan. Sa mga gawa ni Abel, Cauchy at isang bilang ng iba pang mga natitirang mathematician, ang mga konsepto ng "limitasyon", "patuloy na pag-andar", "convergent series" ay tiyak na tinukoy. Ito ay kinakailangan upang maipasok ang lohikal na pagkakasunud-sunod sa batayan ng mathematical analysis upang gawin itong isang maaasahang tool sa pananaliksik. Ang pangangailangan para sa isang masusing pagbibigay-katwiran ay naging mas malinaw pagkatapos ng pagtuklas noong 1872 ni Weierstrass ng mga function na kung saan ay tuloy-tuloy ngunit wala kahit saan naiba (ang graph ng mga naturang function ay may kink sa bawat punto). Ang resultang ito ay nagkaroon ng nakamamanghang epekto sa mga mathematician, dahil malinaw na sinasalungat nito ang kanilang geometric na intuwisyon. Ang isang mas kapansin-pansin na halimbawa ng hindi mapagkakatiwalaan ng geometric na intuwisyon ay ang tuluy-tuloy na curve na itinayo ni D. Peano, na ganap na pumupuno sa isang tiyak na parisukat, i.e. pagdaan sa lahat ng mga punto nito. Ang mga ito at iba pang mga pagtuklas ay nagbunga ng programa ng "arithmetization" ng matematika, i.e. ginagawa itong mas maaasahan sa pamamagitan ng pag-grounding sa lahat ng mga konsepto ng matematika gamit ang konsepto ng numero. Ang halos puritanical na pag-iwas sa kalinawan sa mga gawa sa mga pundasyon ng matematika ay may makasaysayang katwiran.

Ayon sa mga modernong canon ng lohikal na higpit, hindi katanggap-tanggap na pag-usapan ang lugar sa ilalim ng kurba y = f(x) at sa itaas ng segment ng axis X, kahit na f- isang tuluy-tuloy na pag-andar, nang hindi muna tinukoy ang eksaktong kahulugan ng terminong "lugar" at hindi nagtatatag na ang lugar na tinukoy sa gayon ay talagang umiiral. Ang problemang ito ay matagumpay na nalutas noong 1854 ni B. Riemann, na nagbigay tumpak na kahulugan ang konsepto ng isang tiyak na integral. Simula noon, ang ideya ng pagbubuod sa likod ng konsepto ng isang tiyak na integral ay naging paksa ng maraming malalim na pag-aaral at paglalahat. Bilang isang resulta, ngayon ay posible na bigyan ng kahulugan ang tiyak na integral, kahit na ang integrand ay hindi nagpapatuloy sa lahat ng dako. Ang mga bagong konsepto ng integrasyon, sa paglikha kung saan si A. Lebesgue (1875–1941) at iba pang mga mathematician ay gumawa ng malaking kontribusyon, nagpapataas ng kapangyarihan at kagandahan ng modernong pagsusuri sa matematika.

Halos hindi angkop na isa-isahin ang lahat ng ito at ang iba pang mga konsepto. Limitahan lamang natin ang ating sarili sa pagbibigay ng mahigpit na kahulugan ng limitasyon at ang tiyak na integral.

Sa konklusyon, sabihin natin na ang mathematical analysis, bilang isang napakahalagang tool sa kamay ng isang scientist at engineer, ay nakakaakit pa rin ng atensyon ng mga mathematician ngayon bilang pinagmumulan ng mga mabungang ideya. Kasabay nito, ang modernong pag-unlad ay tila nagpapahiwatig na ang pagsusuri sa matematika ay lalong hinihigop ng mga nangingibabaw sa ika-20 siglo. sangay ng matematika tulad ng abstract algebra at topology.

Kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng mga derivatives, at naging pamilyar din sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang mga teknikal na pamamaraan para sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng mga function o ilang mga punto sa artikulong ito ay hindi lubos na malinaw, pagkatapos ay basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring makakuha ng isang seryosong kalagayan - ang materyal ay hindi simple, ngunit susubukan ko pa ring ipakita ito nang simple at malinaw.

Sa pagsasagawa, kailangan mong harapin ang derivative ng isang kumplikadong function nang napakadalas, sasabihin ko pa nga, halos palagi, kapag binigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.

Tinitingnan namin ang talahanayan sa panuntunan (No. 5) para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Alamin natin ito. Una sa lahat, bigyang pansin natin ang entry. Narito mayroon kaming dalawang function - at , at ang function, sa matalinghagang pagsasalita, ay naka-nest sa loob ng function . Ang isang function ng ganitong uri (kapag ang isang function ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.

Tatawagin ko ang function panlabas na pag-andar, at ang function – panloob (o nested) function.

! Ang mga kahulugang ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumabas sa panghuling disenyo ng mga takdang-aralin. Gumagamit ako ng mga impormal na expression na "panlabas na pag-andar", "panloob" na pag-andar para lang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang materyal.

Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang:

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function

Sa ilalim ng sine mayroon kaming hindi lamang titik na "X", ngunit isang buong expression, kaya ang paghahanap ng derivative kaagad mula sa talahanayan ay hindi gagana. Napansin din namin na imposibleng ilapat ang unang apat na panuntunan dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay ang sine ay hindi maaaring "punit sa piraso":

Sa halimbawang ito, malinaw na malinaw mula sa aking mga paliwanag na ang isang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay isang panloob na function (pag-embed), at isang panlabas na function.

Unang hakbang ang kailangan mong gawin kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function ay ang maunawaan kung aling function ang panloob at kung alin ang panlabas.

Sa kaso ng mga simpleng halimbawa, tila malinaw na ang isang polynomial ay naka-embed sa ilalim ng sine. Pero paano kung hindi halata ang lahat? Paano tumpak na matukoy kung aling pag-andar ang panlabas at alin ang panloob? Upang gawin ito, iminumungkahi ko ang paggamit ng sumusunod na pamamaraan, na maaaring gawin sa pag-iisip o sa isang draft.

Isipin natin na kailangan nating kalkulahin ang halaga ng expression sa sa isang calculator (sa halip na isa ay maaaring mayroong anumang numero).

Ano ang una nating kalkulahin? Una sa lahat kakailanganin mong gawin ang sumusunod na aksyon: , samakatuwid ang polynomial ay magiging isang panloob na function:

Pangalawa ay kailangang matagpuan, kaya ang sine - ay magiging isang panlabas na function:

Pagkatapos nating UBOS NA na may panloob at panlabas na mga pag-andar, oras na upang ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar .

Simulan na natin ang pagpapasya. Mula sa aralin Paano mahahanap ang derivative? naaalala namin na ang disenyo ng isang solusyon sa anumang derivative ay palaging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga bracket at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:

Sa simula nakita natin ang derivative ng external function (sine), tingnan ang table ng derivatives ng elementary functions at mapansin na . Ang lahat ng mga formula ng talahanayan ay naaangkop din kung ang "x" ay papalitan ng isang kumplikadong expression, sa kasong ito:

Mangyaring tandaan na ang panloob na function ay hindi nagbago, hindi namin ito ginagalaw.

Well, medyo obvious naman yun

Ang resulta ng paglalapat ng formula sa huling anyo nito ay ganito ang hitsura:

Ang pare-parehong kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng expression:

Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang solusyon sa papel at basahin muli ang mga paliwanag.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Gaya ng nakasanayan, isinusulat namin:

Alamin natin kung saan tayo may panlabas na function at kung saan tayo may panloob. Upang gawin ito, sinusubukan namin (sa isip o sa isang draft) na kalkulahin ang halaga ng expression sa . Ano ang dapat mong gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng base: samakatuwid, ang polynomial ay ang panloob na function:

At pagkatapos lamang ay ginanap ang exponentiation, samakatuwid, ang power function ay isang panlabas na function:

Ayon sa formula , kailangan mo munang hanapin ang derivative ng panlabas na function, sa kasong ito, ang degree. Hinahanap namin ang kinakailangang formula sa talahanayan: . Ulitin namin muli: anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "X", ngunit para din sa isang kumplikadong expression. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function susunod:

Muli kong binibigyang-diin na kapag kinuha natin ang derivative ng panlabas na pag-andar, ang ating panloob na pag-andar ay hindi nagbabago:

Ngayon ang natitira na lang ay maghanap ng napakasimpleng derivative ng internal function at i-tweak ang resulta ng kaunti:

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Upang pagsamahin ang iyong pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong function, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga komento, subukang malaman ito sa iyong sarili, dahilan kung saan ang panlabas at kung saan ang panloob na pag-andar, bakit ang mga gawain ay nalutas sa ganitong paraan?

Halimbawa 5

a) Hanapin ang derivative ng function

b) Hanapin ang derivative ng function

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito mayroon tayong ugat, at upang maiba ang ugat, dapat itong ilarawan bilang isang kapangyarihan. Kaya, dinadala muna namin ang function sa form na naaangkop para sa pagkita ng kaibhan:

Kapag pinag-aaralan ang function, nakarating tayo sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay isang panlabas na function. Inilalapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong pag-andar :

Muli naming kinakatawan ang antas bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar ay inilalapat namin ang isang simpleng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

handa na. Maaari mo ring bawasan ang expression sa isang common denominator sa mga bracket at isulat ang lahat bilang isang fraction. Maganda ito, siyempre, ngunit kapag nakakuha ka ng masalimuot na mahabang derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madaling malito, gumawa ng hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging abala para sa guro na suriin).

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan sa halip na ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function, maaari mong gamitin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kusyente , ngunit ang ganitong solusyon ay magmumukhang hindi pangkaraniwang perwisyo. Dito tipikal na halimbawa:

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari mong gamitin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , ngunit ito ay higit na kumikita upang mahanap ang derivative sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

Inihahanda namin ang function para sa pagkita ng kaibhan - inililipat namin ang minus mula sa derivative sign, at itinaas ang cosine sa numerator:

Ang cosine ay isang panloob na pag-andar, ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar.
Gamitin natin ang ating panuntunan :

Hinahanap namin ang derivative ng internal function at i-reset ang cosine pabalik pababa:

handa na. Sa halimbawang isinasaalang-alang, mahalagang huwag malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang lutasin ito gamit ang panuntunan , dapat magkatugma ang mga sagot.

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa (sagutin sa katapusan ng aralin).

Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga kaso kung saan mayroon lamang kaming isang pugad sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makakahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga nesting doll, isa sa loob ng isa, 3 o kahit 4-5 na function ay nakapugad nang sabay-sabay.

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Unawain natin ang mga attachment ng function na ito. Subukan nating kalkulahin ang expression gamit ang pang-eksperimentong halaga. Paano tayo mabibilang sa isang calculator?

Una kailangan mong hanapin ang , na nangangahulugang ang arcsine ay ang pinakamalalim na pag-embed:

Ang arcsine na ito ng isa ay dapat na kuwadrado:

At sa wakas, itinaas namin ang pito sa isang kapangyarihan:

Ibig sabihin, sa halimbawang ito mayroon tayong tatlong magkakaibang function at dalawang embeddings, habang ang pinakaloob na function ay ang arcsine, at ang pinakalabas na function ay ang exponential function.

Magsimula tayo sa pagpapasya

Ayon sa tuntunin Una kailangan mong kunin ang derivative ng panlabas na function. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at hinahanap ang derivative ng exponential function: Ang pagkakaiba lamang ay sa halip na "x" mayroon kaming isang kumplikadong expression, na hindi binabalewala ang bisa ng formula na ito. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong function susunod.

para sa mga mag-aaral medikal, pediatric, dental

at medikal at preventive faculties

sa gawaing laboratoryo

"Mga pangunahing konsepto ng pagsusuri sa matematika"

1. Siyentipiko at metodolohikal na pagpapatibay ng paksa:

Ang mga konsepto ng derivative at differential ay kabilang sa mga pangunahing konsepto ng mathematical analysis. Ang pagkalkula ng mga derivative ay kinakailangan kapag nilulutas ang maraming mga problema sa pisika at matematika (paghahanap ng bilis, acceleration, presyon, atbp.). Ang kahalagahan ng konsepto ng derivative, sa partikular, ay tinutukoy ng katotohanan na ang derivative ng isang function ay nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng function na ito kapag nagbago ang argumento nito.

Ang paggamit ng isang kaugalian ay nagbibigay-daan para sa tinatayang mga kalkulasyon, pati na rin ang pagtatasa ng error.

Ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga derivatives at differentials ng mga function at ang kanilang aplikasyon ay bumubuo sa pangunahing gawain ng differential calculus. Ang pangangailangan para sa konsepto ng derivative ay lumitaw na may kaugnayan sa pagbabalangkas ng problema ng pagkalkula ng bilis ng paggalaw at paghahanap ng anggulo ng tangent sa curve. Posible rin ang kabaligtaran na problema: gamit ang bilis upang matukoy ang distansya na nilakbay, at gamit ang tangent ng tangent angle upang mahanap ang kaukulang function. Ang kabaligtaran na problemang ito ay humahantong sa konsepto ng isang hindi tiyak na integral.

Ang konsepto ng isang tiyak na integral ay ginagamit sa isang bilang ng mga praktikal na problema, lalo na sa mga problema sa pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano, pagkalkula ng gawaing ginawa ng isang variable na puwersa, at paghahanap ng average na halaga ng isang function.

Kapag mathematically na naglalarawan ng iba't ibang pisikal, kemikal, biological na proseso at phenomena, ang mga equation ay kadalasang ginagamit na naglalaman hindi lamang ng mga dami na pinag-aaralan, kundi pati na rin ang kanilang mga derivatives ng iba't ibang mga order ng mga dami na ito. Halimbawa, ayon sa pinakasimpleng bersyon ng batas ng bacterial reproduction, ang rate ng reproduction ay proporsyonal sa bilang ng bacteria sa isang partikular na oras. Kung ang dami na ito ay tinutukoy ng N(t), kung gayon, alinsunod sa pisikal na kahulugan ng derivative, ang rate ng bacterial reproduction ay isang derivative ng N(t), at batay sa nabanggit na batas, maaari nating isulat ang kaugnayan N "(t)=k∙N, kung saan k>0 - koepisyent ng proporsyonalidad. Ang resultang equation ay hindi algebraic, dahil naglalaman ito hindi lamang ng hindi kilalang function na N(t), kundi pati na rin sa first-order derivative nito.

2. Maikling teorya:

1. Mga problemang humahantong sa konsepto ng derivative

1. Ang problema sa paghahanap ng bilis v ng isang materyal na punto. Hayaang magsagawa ng rectilinear motion ang ilang materyal na punto. Sa isang sandali sa oras t 1 ang punto ay nasa posisyon M 1. Sa isang sandali sa oras t 2 buntis M 2 . Tukuyin natin ang pagitan M 1 , M 2 sa pamamagitan ng ΔS; t 2 – t 1 =Δt. Ang halaga ay tinatawag na average na bilis ng paggalaw. Upang mahanap ang agarang bilis ng isang punto sa isang posisyon M 1 kailangan Δt nagmamadali patungo sa zero. Sa matematika ibig sabihin nito

, (1)

Kaya, upang mahanap ang madalian na bilis ng isang materyal na punto, kinakailangan upang kalkulahin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function. ΔS sa pagtaas ng argumentong Δt, sa kondisyon na Δt→0.

2. Ang problema sa paghahanap ng anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng isang function.

Fig.1

Isaalang-alang ang graph ng ilang function y=f(x). Ano ang anggulo ng pagkahilig?
padaplis na iginuhit sa isang punto M 1 ? Sa punto M 1 Gumuhit tayo ng tangent sa graph ng function. Pumili ng arbitrary na punto sa graph M 2 at gumuhit ng secant. Nakatagilid ito sa axis OH sa isang anggulo α 1 . Isaalang-alang natin ΔM 1 M 2 A:

, (2)

Kung ang punto M 1 ayusin at ituro M 2 ilapit sa M 1 , pagkatapos ay ang secant M 1 M 2 ay mapupunta sa tangent sa graph ng function sa punto M 1 at maaari nating isulat:

, (3)

Kaya, kinakailangang kalkulahin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento kung ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero.

Limitasyon ng ratio ng pagtaas Δy ng function na y=f(x) sa pagtaas ng argumento Δx sa isang naibigay na punto x 0 dahil ang Δx ay nagiging zero, ay tinatawag na derivative ng function sa isang naibigay na punto.

Derivative notation: y", f "(x), . A-priory

, (4)

kung saan ang Δx=х 2 -х 1 ay ang pagtaas ng argumento (ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang kasunod na medyo malapit na halaga ng argumento), Δy=y 2 -y 1 ay ang pagtaas ng function (ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ​ng function na naaayon sa mga halagang ito ng argumento).

Ang paghahanap ng derivative ng isang ibinigay na function ay tinatawag na nito pagkakaiba-iba. Ang pagkita ng kaibhan ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay isinasagawa gamit ang mga yari na formula (tingnan ang talahanayan), pati na rin ang paggamit mga tuntunin:

Derivative ng isang algebraic sum ang mga function ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives ng mga function na ito:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng pangalawang function at ang derivative ng una at unang function at ang derivative ng pangalawa:

(u∙υ )"=u"υ + ikawυ "

3. Derivative ng quotient dalawang function ay katumbas ng isang fraction, ang numerator kung saan ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng denominator:

Pisikal na kahulugan ng derivative. Mula sa paghahambing ng (4) at (1) sumusunod na ang agarang bilis ng rectilinear motion ng isang materyal na punto ay katumbas ng derivative ng dependence ng coordinate nito sa oras.

Ang pangkalahatang kahulugan ng derivative ng isang function ay na ito ay nagpapakilala rate (bilis) ng pagbabago ng isang function para sa isang naibigay na pagbabago sa argumento. Ang bilis ng pisikal, kemikal at iba pang mga proseso, halimbawa ang bilis ng paglamig ng katawan, ang bilis ng isang kemikal na reaksyon, ang bilis ng pagpaparami ng bakterya, atbp., ay ipinahayag din gamit ang isang derivative.

Geometric na kahulugan ng derivative. Ang halaga ng tangent ng anggulo ng inclination ng isang tangent na iginuhit sa graph ng isang function ay tinatawag sa matematika. padaplis na angular coefficient.

Ang angular coefficient ng tangent na iginuhit sa graph ng differentiable function sa isang partikular na punto ay ayon sa bilang na katumbas ng derivative ng function sa puntong ito.

Ang pahayag na ito ay tinatawag na geometric na kahulugan ng derivative.