Ano ang periodic function? Period of functions. Pag-aaral ng isang function para sa periodicity
Mga tampok ng pagbuo ng isang graph ng mga periodic function
Ang graph ng isang periodic function ay karaniwang unang naka-plot sa pagitan ng [ x 0 ; x 0 + T). Magsagawa ng parallel transfer ng mga graph point sa buong lugar ng kahulugan.
Mga halimbawa ng periodic function at ang kanilang mga graph.
Ang mga halimbawa ng periodic function ay trigonometric functions. Tingnan natin ang mga pangunahing.
Function F(x) =sin(x)
a) Domain ng kahulugan: D (sin x) = R .
b) Set ng mga value: E (sin x) = [– 1 , 1] .
c) Kahit, kakaiba: ang function ay kakaiba.
d) Periodicity: isang periodic function na may pangunahing period.
e) Mga zero ng function: sin x = 0 para sa , n Z.
f) Mga agwat ng patuloy na pag-sign ng function:
g) Mga pagitan ng monotonicity: tumataas ang function bilang ;
bumababa ang function bilang ,
h) Extrema ng function:
; .
Ang graph ng function na y= sin x ay ipinapakita sa figure.
Function F(x) = cos(x)
a) Domain ng kahulugan.
b) Maramihang mga halaga: E (cos x) = [ – 1 , 1 ] .
c) Even, odd: ang function ay even.
G ) Periodicity: periodic ang function na may pangunahing period.
d) Mga zero ng function: sa .
e) Mga agwat ng patuloy na pag-sign:
g) Mga agwat ng monotony:
tumataas ang function bilang ;
bumababa ang function bilang
h) Labis:
Graph ng isang function y=cos x ipinapakita sa figure.
Function F(x) = tan(x)
a) Saklaw ng kahulugan:
b) Set ng mga value: E()
c) Kahit, kakaiba. Ang pag-andar ay kakaiba.
d) Dalas. Pana-panahong pag-andar na may pangunahing panahon
e) Mga zero ng function: tan x = 0 para sa x = n, n Z.
f) Mga agwat ng patuloy na pag-sign:
g) Intervals of monotonicity: tumataas ang function sa bawat interval na ganap na nabibilang sa domain ng definition nito.
h) Extremes: hindi.
Graph ng isang function y= tg x ipinapakita sa figure.
Function F(x) = cot(x)
a) Domain ng kahulugan: D (ctg x) = R\ ( n(n Z)).
b) Maramihang mga halaga: E (ctg x) = R .
c) Kahit, ang odd ay isang kakaibang function.
d) Periodicity: periodic function na may pangunahing period T = .
e) Mga zero ng function: cot x = 0 at x = /2 + n, n Z.
f) Mga pagitan ng pare-pareho ng mga palatandaan;
g) Intervals of monotonicity: bumababa ang function sa bawat interval na ganap na nabibilang sa domain ng definition nito.
h) Extremes: hindi.
Ang graph ng function na y = ctg x ay ipinapakita sa figure.
Ang mga kagiliw-giliw na graph ay nakuha gamit ang superposition - ang pagbuo ng mga kumplikadong function batay sa trigonometriko periodic function.
Graph ng isang periodic function
II. Mga aplikasyon ng pana-panahong pag-andar. Pana-panahong pagbabagu-bago.
Mga oscillations.
Mga oscillations ay mga proseso na naiiba sa iba't ibang antas ng repeatability. Ang mga oscillation ay mga prosesong umuulit sa mga regular na pagitan (gayunpaman, hindi lahat ng umuulit na proseso ay mga oscillations). Depende sa pisikal na katangian ng paulit-ulit na proseso, ang mga vibrations ay nakikilala sa pagitan ng mekanikal, electromagnetic, electromechanical, atbp. Sa panahon ng mekanikal na panginginig ng boses, ang mga posisyon at coordinate ng mga katawan ay pana-panahong nagbabago. Para sa mga de-koryenteng - boltahe at kasalukuyang. Depende sa likas na katangian ng epekto sa oscillating system, ang mga libreng oscillations, forced oscillations, self-oscillations at parametric oscillations ay nakikilala.
Paulit-ulit patuloy na nagaganap ang mga proseso sa loob ng anumang buhay na organismo, halimbawa: pag-urong ng puso, paggana ng baga; nanginginig tayo kapag nilalamig; Naririnig at nagsasalita tayo salamat sa mga vibrations ng eardrums at vocal cords; Kapag tayo ay naglalakad, ang ating mga binti ay gumagawa ng mga oscillatory na paggalaw. Ang mga atomo kung saan tayo ay ginawang manginig. Ang mundong ginagalawan natin ay madaling kapitan ng pagbabago.
Pana-panahong pagbabagu-bago.
Pana-panahon ay tinatawag na mga oscillations kung saan ang lahat ng mga katangian ng paggalaw ay paulit-ulit pagkatapos ng isang tiyak na tagal ng panahon.
Para sa mga pana-panahong oscillations, ang mga sumusunod na katangian ay ginagamit:
panahon ng oscillation T, katumbas ng oras kung kailan nangyayari ang isang kumpletong oscillation;
dalas ng oscillationν, katumbas ng bilang ng mga oscillation na ginawa sa isang segundo (ν = 1/T);
Ang mga parametric oscillations ay isinasagawa kapag ang mga parameter ng isang oscillating system ay pana-panahong nagbabago (ang isang tao na umuugoy sa isang swing ay pana-panahong itinataas at ibinababa ang kanyang sentro ng grabidad, sa gayon ay binabago ang mga parameter ng system). Sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang sistema ay nagiging hindi matatag - ang isang random na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay humahantong sa paglitaw at pagtaas ng mga oscillations. Ang phenomenon na ito ay tinatawag na parametric excitation of oscillations (ibig sabihin, ang mga oscillations ay nasasabik sa pamamagitan ng pagbabago ng mga parameter ng system), at ang mga oscillations mismo ay tinatawag na parametric. Sa kabila ng magkakaibang pisikal na kalikasan, ang mga oscillations ay nailalarawan sa pamamagitan ng parehong mga pattern na pinag-aaralan pangkalahatang pamamaraan. Ang isang mahalagang kinematic na katangian ay ang hugis ng mga vibrations. Ito ay tinutukoy ng uri ng function ng oras na naglalarawan ng pagbabago sa isa o isa pa pisikal na bilang sa panahon ng pagbabagu-bago. Ang pinakamahalaga ay ang mga oscillations kung saan nagbabago ang pabagu-bagong dami sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine o cosine. Ang mga ito ay tinatawag na harmonic. Ang ganitong uri ng oscillation ay lalong mahalaga para sa mga sumusunod na dahilan. Una, ang mga vibrations sa kalikasan at teknolohiya ay kadalasang may karakter na napakalapit sa harmonic. Pangalawa, ang mga pana-panahong proseso ng ibang anyo (na may ibang pagdepende sa oras) ay maaaring katawanin bilang isang pagpataw, o superposisyon, ng mga harmonic oscillations.
Ang pag-uulit ng mga halaga nito sa ilang regular na pagitan ng argumento, iyon ay, hindi binabago ang halaga nito kapag nagdaragdag ng ilang nakapirming di-zero na numero sa argumento ( panahon function) sa buong domain ng kahulugan.
Sa mas pormal na pagsasalita, ang function ay tinatawag na periodic na may period T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), kung para sa bawat punto x (\displaystyle x) mula sa domain nito ng kahulugan ng punto x + T (\displaystyle x+T) At x − T (\displaystyle x-T) kabilang din sa domain ng kahulugan nito, at para sa kanila ang pagkakapantay-pantay f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).
Batay sa kahulugan, ang pagkakapantay-pantay ay totoo rin para sa isang periodic function f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Saan n (\displaystyle n)- anumang integer.
Gayunpaman, kung isang hanay ng mga panahon ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \)) may pinakamaliit na halaga, pagkatapos ito ay tinatawag pangunahing (o pangunahing) panahon mga function.
Mga halimbawa
Kasalanan (x + 2 π) = kasalanan x, cos (x + 2 π) = cos x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)
- Ang Dirichlet function ay panaka-nakang; ang panahon nito ay anumang hindi-zero na rational na numero. Wala rin itong pangunahing panahon.
Ang ilang mga tampok ng pana-panahong pag-andar
At T 2 (\displaystyle T_(2))(gayunpaman, ang numerong ito ay magiging isang tuldok lamang). Halimbawa, ang function f (x) = kasalanan (2 x) − kasalanan (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) ang pangunahing panahon ay 2 π (\displaystyle 2\pi ), sa function g (x) = kasalanan (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) ang panahon ay katumbas ng 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), at ang kanilang kabuuan f (x) + g (x) = sin (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) ang pangunahing panahon ay malinaw na katumbas ng π (\displaystyle \pi ).- Ang kabuuan ng dalawang function na may hindi nasusukat na mga panahon ay hindi palaging isang non-periodic na function.
Upang gumamit ng mga preview ng presentasyon, lumikha ng isang account para sa iyong sarili ( account) Google at mag-log in: https://accounts.google.com
Mga slide caption:
Algebra at simula ng pagsusuri, grade 10 (profile level) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Teacher Volkova S.E.
Depinisyon 1 Ang isang function na y = f (x), x ∈ X ay sinasabing may tuldok T kung para sa alinmang x ∈ X ang pagkakapantay-pantay ng f (x – T) = f (x) = f (x + T). Kung ang isang function na may tuldok T ay tinukoy sa puntong x, kung gayon ito ay tinukoy din sa mga puntong x + T, x – T. Anumang function ay may period na katumbas ng zero sa T = 0, nakukuha natin ang f(x – 0) = f (x) = f( x + 0) .
Depinisyon 2 Ang isang function na may non-zero period T ay tinatawag na periodic. Kung ang isang function na y = f (x), x ∈ X ay may period T, kung gayon ang anumang numero na multiple ng T (iyon ay, isang numero ng anyong kT, k ∈ Z) ay ang period din nito.
Patunay Hayaan ang 2T ang panahon ng function. Pagkatapos f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Katulad nito, napatunayang f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), atbp. Kaya f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)
Ang pinakamaliit na panahon sa mga positibong panahon ng isang periodic function ay tinatawag na pangunahing panahon ng function na ito.
Mga tampok ng graph ng isang periodic function Kung ang T ang pangunahing panahon ng function na y = f(x), sapat na upang: bumuo ng sangay ng graph sa isa sa mga pagitan ng haba T, magsagawa ng parallel na pagsasalin ng sangay na ito sa kahabaan ng x axis ng ±T, ±2T, ±3T, atbp. Karaniwan ang isang puwang ay pinipili na may mga dulo sa mga punto
Mga katangian ng periodic function 1. Kung ang f(x) ay periodic function na may period T, ang function na g(x) = A f(kx + b), kung saan k > 0, ay periodic din na may period T 1 = T/ k. 2. Hayaang tukuyin ang function na f 1 (x) at f 2 (x) sa buong numerical axis at maging pana-panahong may mga tuldok na T 1 > 0 at T 2 >0. Pagkatapos, para sa T 1 /T 2 ∈ Q, ang function na f(x) = f(x) + f 2 (x) ay isang periodic function na may period T na katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga numerong T 1 at T 2.
Mga Halimbawa 1. Ang periodic function na y = f(x) ay tinukoy para sa lahat ng tunay na numero. Ang panahon nito ay 3 at f(0) =4. Hanapin ang halaga ng expression na 2f(3) – f(-3). Solusyon. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Pagpapalit ng mga nakuhang value sa expression na 2f (3) - f(-3) , nakukuha natin ang 8 - 4 =4 . Sagot: 4.
Mga Halimbawa 2. Ang periodic function na y = f(x) ay tinukoy para sa lahat ng tunay na numero. Ang tagal nito ay 5, at f(-1) = 1. Hanapin ang f(-12) kung 2f(3) – 5f(9) = 9. Solution T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Sagot:7.
Ginamit na panitikan A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Algebra at simula ng pagsusuri (level ng profile), grade 10 A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Algebra at simula ng pagsusuri (antas ng profile), ika-10 baitang. Manual na pamamaraan para sa mga guro
Sa paksa: mga pag-unlad ng pamamaraan, mga pagtatanghal at mga tala
Periodic law at periodic system D.I. Mendeleev.
Ang isang komprehensibong aralin sa paksang ito ay isinasagawa sa anyo ng isang laro, gamit ang mga elemento ng teknolohiya mula sa mga workshop ng pedagogical....
Extracurricular event "Pana-panahong batas at pana-panahong sistema ng mga elemento ng kemikal ng D.I. Mendeleev"
Ang isang ekstrakurikular na aktibidad ay nagpapakita ng kasaysayan ng paglikha ng periodic law at ang periodic system ni D.I. Mendeleev. Ang impormasyon ay ipinakita sa anyong patula, na nagpapadali sa mabilis na pagsasaulo...
Appendix sa extracurricular na aktibidad "Periodic law at ang periodic system ng mga elemento ng kemikal ng D.I. Mendeleev"
Ang pagtuklas ng batas ay nauna sa mahaba at matinding gawaing siyentipiko ni D.I. Mendeleev sa loob ng 15 taon, at ang karagdagang pagpapalalim nito ay binigyan ng isa pang 25 taon....
Sa mga normal na gawain sa paaralan patunayan ang periodicity ng isa o ibang function ay karaniwang hindi mahirap: kaya, upang matiyak na ang function na $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ ay panaka-nakang, sapat na lamang na tandaan na ang produkto $T=4\times7\ beses na 2\pi$ ang tagal nito: kung idaragdag natin ang numerong T sa x, ang produktong ito ay "kakain" sa parehong mga denominator at sa ilalim ng sine sign tanging ang integer multiple ng $2\pi$ ang magiging labis, na magiging " kinain” ng sine mismo.
Pero patunay ng hindi periodicity ng isa o ibang function nang direkta sa pamamagitan ng kahulugan ay maaaring hindi simple sa lahat. Kaya, upang patunayan ang hindi periodicity ng function na $y=\sin x^2$ na isinasaalang-alang sa itaas, maaari mong isulat ang pagkakapantay-pantay na $sin(x+T)^2=\sin x^2$, ngunit huwag lutasin ang trigonometric equation na ito ay wala sa ugali, ngunit hulaan at palitan ito ng x=0, pagkatapos nito ay halos awtomatikong mangyayari ang sumusunod: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, kung saan ang k ay ilang integer na mas malaki sa 0, i.e. $T=\sqrt (k\pi)$, at kung hulaan natin ngayon na palitan ang $x=\sqrt (\pi)$ dito, lumalabas na $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt(( k\ pi))=0$, kung saan ang $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, at sa gayon ang numerong p ay ang ugat ng equation na $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, i.e. ay algebraic, na hindi totoo: ang $\pi$ ay, tulad ng alam natin, transendental, i.e. ay hindi ang ugat ng anumang algebraic equation na may integer coefficients. Gayunpaman, sa hinaharap makakatanggap kami ng isang mas simpleng patunay ng pahayag na ito - ngunit sa tulong ng pagsusuri sa matematika.
Kapag pinatutunayan ang di-panahon ng mga pag-andar, ang isang elementarya na lohikal na trick ay madalas na nakakatulong: kung ang lahat ng mga pana-panahong pag-andar ay may ilang pag-aari, ngunit ang isang naibigay na pag-andar ay wala nito, kung gayon ito ay natural. ay hindi pana-panahon. Kaya, ang isang periodic function ay tumatagal sa anumang halaga nang walang katapusan nang maraming beses, at samakatuwid, halimbawa, ang function na $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ ay hindi periodic, dahil ang halaga ay 7 tinatanggap lamang nito sa dalawang punto. Kadalasan, upang patunayan ang non-periodicity, ito ay maginhawa upang gamitin ang mga tampok nito domain ng kahulugan, at upang mahanap ang nais na pag-aari ng mga pana-panahong pag-andar kung minsan kailangan mong magpakita ng ilang imahinasyon.
Tandaan din natin na napakadalas kapag tinanong kung ano ang isang non-periodic function, nakakarinig ang isang tao ng sagot sa istilong pinag-usapan natin kaugnay ng pantay at kakaibang mga pag-andar, ay kapag $f(x+T)\neq f(x)$, na, siyempre, ay hindi katanggap-tanggap.
At ang tamang sagot ay nakasalalay sa tiyak na kahulugan ng isang periodic function, at, batay sa kahulugan na ibinigay sa itaas, maaari nating, siyempre, sabihin na ang isang function ay hindi pana-panahon kung wala itong isang solong panahon, ngunit ito ay magiging isang "masamang" kahulugan na hindi nagbibigay ng direksyon katibayan ng hindi periodicity. At kung mas malalaman natin ito, na naglalarawan kung ano ang ibig sabihin ng pangungusap na "ang function f ay walang isang solong tuldok", o, ano ang pareho, "walang numero na $T \neq 0$ ay isang panahon ng function na f", kung gayon nakuha namin na ang function na f ay hindi pana-panahon kung at kung para sa bawat $T \neq 0$ ay mayroong isang numerong $x\in D(f)$ kung saan alinman sa isa sa mga numerong $x+T$ at $ Ang x-T$ ay hindi kabilang sa D(f), o $f(x+T)\neq f(x)$.
Masasabi mo ito sa ibang paraan: "May numerong $x\in D(f)$ na ang pagkakapantay-pantay na $f(x+T) = f(x)$ ay hindi humawak" - ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring hindi tumagal ng dalawa mga dahilan: o ito walang saysay, ibig sabihin. ang isa sa mga bahagi nito ay hindi natukoy, o - kung hindi man, ay hindi tama. Para sa interes, idinagdag namin na ang epekto ng wika na aming napag-usapan sa itaas ay nagpapakita rin ng sarili dito: para sa pagkakapantay-pantay na "hindi totoo" at "na hindi totoo" ay hindi pareho - ang pagkakapantay-pantay ay maaaring wala pang kahulugan.
Ang isang detalyadong paglilinaw ng mga sanhi at kahihinatnan ng epektong pangwika na ito ay sa katunayan ang paksa ay hindi ng matematika, ngunit ng teorya ng wika, linggwistika, o mas tiyak, ang espesyal na seksyon nito: semantics - ang agham ng kahulugan, kung saan, gayunpaman, ang mga ito. ang mga tanong ay napakasalimuot at walang malinaw na solusyon. At ang matematika, kabilang ang matematika ng paaralan, ay pinipilit na tiisin ang mga paghihirap na ito at pagtagumpayan ang "mga problema" sa wika - habang at dahil ito ay gumagamit, kasama ang simbolikong, natural na wika.
Layunin: buod at i-systematize ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang "Periodicity of Functions"; bumuo ng mga kasanayan sa paglalapat ng mga katangian ng isang periodic function, paghahanap ng pinakamaliit na positibong panahon ng isang function, pagbuo ng mga graph ng periodic function; itaguyod ang interes sa pag-aaral ng matematika; linangin ang pagmamasid at kawastuhan.
Kagamitan: computer, multimedia projector, mga task card, mga slide, orasan, mga talahanayan ng mga burloloy, mga elemento ng katutubong sining
"Ang matematika ang ginagamit ng mga tao upang kontrolin ang kalikasan at ang kanilang sarili."
A.N. Kolmogorov
Sa panahon ng mga klase
I. Yugto ng organisasyon.
Pagsusuri sa kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin. Iulat ang paksa at layunin ng aralin.
II. Sinusuri ang takdang-aralin.
Sinusuri namin ang araling-bahay gamit ang mga sample at tinatalakay ang pinakamahirap na punto.
III. Paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman.
1. Oral frontal work.
Mga isyu sa teorya.
1) Bumuo ng isang kahulugan ng panahon ng function
2) Pangalanan ang pinakamaliit na positibong panahon ng mga function y=sin(x), y=cos(x)
3). Ano ang pinakamaliit na positibong panahon ng mga function y=tg(x), y=ctg(x)
4) Gamit ang isang bilog, patunayan ang kawastuhan ng mga ugnayan:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Paano mag-plot ng periodic function?
Mga pagsasanay sa bibig.
1) Patunayan ang mga sumusunod na relasyon
a) kasalanan(740º) = kasalanan(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) kasalanan(-1000º) = kasalanan(80º)
2. Patunayan na ang isang anggulo ng 540º ay isa sa mga panahon ng function na y= cos(2x)
3. Patunayan na ang isang anggulo ng 360º ay isa sa mga yugto ng function na y=tg(x)
4. Ibahin ang anyo ng mga expression na ito upang ang mga anggulo na kasama sa mga ito ay hindi lalampas sa 90º sa ganap na halaga.
a) tg375º
b) ctg530º
c) kasalanan1268º
d) cos(-7363º)
5. Saan mo nakita ang mga salitang PERIOD, PERIODICITY?
Sagot ng mag-aaral: Ang panahon sa musika ay isang istraktura kung saan ang isang mas marami o hindi gaanong kumpletong kaisipang musikal ay ipinakita. Ang panahon ng geological ay bahagi ng isang panahon at nahahati sa mga panahon na may panahon mula 35 hanggang 90 milyong taon.
Half-life ng isang radioactive substance. periodic fraction. Ang mga periodical ay mga naka-print na publikasyon na lumalabas sa loob ng mahigpit na tinukoy na mga deadline. periodic system ni Mendeleev.
6. Ang mga figure ay nagpapakita ng mga bahagi ng mga graph ng periodic functions. Tukuyin ang panahon ng pag-andar. Tukuyin ang panahon ng pag-andar.
Sagot: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. Saan sa iyong buhay naranasan mo ang pagbuo ng mga paulit-ulit na elemento?
Sagot ng mag-aaral: Mga elemento ng palamuti, katutubong sining.
IV. Kolektibong paglutas ng problema.
(Paglutas ng mga problema sa mga slide.)
Isaalang-alang natin ang isa sa mga paraan upang pag-aralan ang isang function para sa periodicity.
Iniiwasan ng pamamaraang ito ang mga paghihirap na nauugnay sa pagpapatunay na ang isang partikular na panahon ay ang pinakamaikling, at inaalis din ang pangangailangan na hawakan ang mga tanong tungkol sa mga operasyon sa aritmetika sa mga periodic function at sa periodicity kumplikadong pag-andar. Ang pangangatwiran ay batay lamang sa kahulugan ng isang periodic function at sa sumusunod na katotohanan: kung ang T ay ang panahon ng function, kung gayon ang nT(n?0) ay ang panahon nito.
Problema 1. Hanapin ang pinakamaliit na positibong panahon ng function f(x)=1+3(x+q>5)
Solusyon: Ipagpalagay na ang T-period ng function na ito. Pagkatapos f(x+T)=f(x) para sa lahat ng x € D(f), i.e.
1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)
Ilagay natin ang x=-0.25 makuha natin
(T)=0<=>T=n, n € Z
Nakuha namin na ang lahat ng mga yugto ng function na pinag-uusapan (kung mayroon sila) ay kabilang sa mga integer. Piliin natin ang pinakamaliit na positibong numero sa mga numerong ito. Ito 1 . Suriin natin kung magiging period ba talaga ito 1 .
f(x+1) =3(x+1+0.25)+1
Dahil (T+1)=(T) para sa anumang T, pagkatapos ay f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), i.e. 1 – panahon f. Dahil ang 1 ay ang pinakamaliit sa lahat ng positibong integer, kung gayon ang T=1.
Suliranin 2. Ipakita na ang function na f(x)=cos 2 (x) ay periodic at hanapin ang pangunahing period nito.
Problema 3. Hanapin ang pangunahing panahon ng function
f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
Ipagpalagay natin ang T-period ng function, pagkatapos ay para sa anuman X wasto ang ratio
sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
Kung x=0, kung gayon
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5
Kung x=-T, kung gayon
sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)
5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)
| sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – kasalanan(1.5T)+5cos(0.75T)=5 |
Pagdaragdag nito, makukuha natin:
10cos(0.75T)=10
2π n, n € Z
Piliin natin ang pinakamaliit na positibong numero mula sa lahat ng "kahina-hinalang" numero para sa panahon at suriin kung ito ay isang tuldok para sa f. Itong numero
f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
Nangangahulugan ito na ito ang pangunahing panahon ng function f.
Suliranin 4. Suriin natin kung ang function na f(x)=sin(x) ay periodic
Hayaang T ang panahon ng function na f. Pagkatapos para sa anumang x
sin|x+Т|=sin|x|
Kung x=0, kasalanan|Т|=sin0, kasalanan|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Ipagpalagay na natin. Na para sa ilang n ang bilang na π n ay ang tuldok
ang function na isinasaalang-alang π n>0. Pagkatapos sin|π n+x|=sin|x|
Ito ay nagpapahiwatig na ang n ay dapat na pareho at isang kakaibang numero, ngunit ito ay imposible. Samakatuwid, ang pagpapaandar na ito ay hindi pana-panahon.
Gawain 5. Suriin kung ang function ay pana-panahon
f(x)= 
Hayaan ang T ang panahon ng f, kung gayon
, kaya sinT=0, Т=π n, n € Z. Ipagpalagay natin na para sa ilang n ang bilang na π n ay talagang ang panahon ng function na ito. Kung gayon ang bilang na 2π n ang magiging tuldok
Dahil ang mga numerator ay pantay, ang kanilang mga denominador ay pantay, samakatuwid
Nangangahulugan ito na ang function na f ay hindi pana-panahon.
Gumawa ng sama sama.
Mga gawain para sa pangkat 1.
Mga gawain para sa pangkat 2.
Suriin kung ang function f ay panaka-nakang at hanapin ang pangunahing panahon nito (kung ito ay umiiral).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Mga gawain para sa pangkat 3.
Sa pagtatapos ng kanilang gawain, ipinakita ng mga grupo ang kanilang mga solusyon.
VI. Pagbubuod ng aralin.
Pagninilay.
Binibigyan ng guro ang mga mag-aaral ng mga kard na may mga guhit at hinihiling sa kanila na kulayan ang bahagi ng unang pagguhit alinsunod sa lawak kung saan sa tingin nila ay pinagkadalubhasaan nila ang mga pamamaraan ng pag-aaral ng isang function para sa periodicity, at sa bahagi ng pangalawang pagguhit - alinsunod sa kanilang kontribusyon sa gawain sa aralin.
VII. Takdang aralin
1). Suriin kung ang function f ay panaka-nakang at hanapin ang pangunahing panahon nito (kung mayroon)
b). f(x)=x 2 -2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Ang function na y=f(x) ay may period T=2 at f(x)=x 2 +2x para sa x € [-2; 0]. Hanapin ang halaga ng expression -2f(-3)-4f(3.5)
Panitikan/
- Mordkovich A.G. Algebra at simula ng pagsusuri na may malalim na pag-aaral.
- Mathematics. Paghahanda para sa Unified State Exam. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra at panimulang pagsusuri para sa mga baitang 10-11.