Gięcie i cięcie 

Nierówności liniowe. Szczegółowa teoria z przykładami


Nierówności odgrywają znaczącą rolę w matematyce. W szkole mamy do czynienia głównie z nierówności numeryczne, od definicji którego zaczniemy ten artykuł. A potem wymienimy i uzasadnimy własności nierówności numerycznych, na którym opierają się wszystkie zasady pracy z nierównościami.

Zauważmy od razu, że wiele własności nierówności numerycznych jest podobnych. Dlatego przedstawimy materiał według tego samego schematu: formułujemy własność, podamy jej uzasadnienie i przykłady, po czym przechodzimy do kolejnej właściwości.

Nawigacja strony.

Nierówności numeryczne: definicja, przykłady

Kiedy wprowadziliśmy pojęcie nierówności, zauważyliśmy, że nierówności często definiuje się na podstawie sposobu ich zapisu. Nazywaliśmy więc nierówności znaczącymi wyrażeniami algebraicznymi zawierającymi znaki nierówne ≠, mniejsze<, больше >, mniejsze lub równe ≤ lub większe lub równe ≥. W oparciu o powyższą definicję wygodnie jest podać definicję nierówności numerycznej:

Spotkanie z nierównościami liczbowymi następuje na lekcjach matematyki w klasie pierwszej, zaraz po zapoznaniu się z pierwszymi liczbami naturalnymi od 1 do 9 i zapoznaniu się z operacją porównania. To prawda, że ​​​​nazywa się je po prostu nierównościami, pomijając definicję „liczbową”. Dla jasności nie zaszkodzi podać kilka przykładów najprostszych nierówności numerycznych z tego etapu ich badań: 1<2 , 5+2>3 .

I dalej od liczb naturalnych wiedza rozciąga się na inne typy liczb (liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste), badane są zasady ich porównywania, co znacznie się rozszerza różnorodność gatunkowa nierówności numeryczne: −5>−72, 3>−0,275·(7−5,6) , .

Własności nierówności numerycznych

W praktyce praca z nierównościami pozwala na wiele własności nierówności numerycznych. Wynikają one z wprowadzonego przez nas pojęcia nierówności. W odniesieniu do liczb pojęcie to wyraża następujące stwierdzenie, które można uznać za definicję relacji „mniej niż” i „więcej niż” na zbiorze liczb (często nazywa się to różnicową definicją nierówności):

Definicja.

  • numer a jest większe niż b wtedy i tylko wtedy, gdy różnica a−b jest liczbą dodatnią;
  • liczba a jest mniejsza od liczby b wtedy i tylko wtedy, gdy różnica a−b jest liczbą ujemną;
  • liczba a jest równa liczbie b wtedy i tylko wtedy, gdy różnica a−b wynosi zero.

Tę definicję można przerobić na definicję relacji „mniejszy lub równy” i „większy lub równy”. Oto jego sformułowanie:

Definicja.

  • numer a jest większe lub równe b wtedy i tylko wtedy, gdy a-b jest liczbą nieujemną;
  • a jest mniejsze lub równe b wtedy i tylko wtedy, gdy a-b jest liczbą niedodatnią.

Definicje te wykorzystamy przy dowodzie własności nierówności numerycznych, do przeglądu których przejdziemy.

Podstawowe właściwości

Przegląd zaczynamy od trzech głównych właściwości nierówności. Dlaczego są podstawowe? Ponieważ są odzwierciedleniem właściwości nierówności w najogólniejszym sensie, a nie tylko w odniesieniu do nierówności numerycznych.

Nierówności numeryczne zapisywane znakami< и >, Charakterystyka:

Jeśli chodzi o nierówności numeryczne zapisane słabymi znakami nierówności ≤ i ≥, mają one właściwość zwrotności (a nie antyzwrotności), gdyż nierówności a≤a i a≥a obejmują przypadek równości a=a. Cechuje je także antysymetria i przechodniość.

Zatem nierówności numeryczne zapisane znakami ≤ i ≥ mają następujące własności:

  • zwrotność a≥a i a≤a są nierównościami prawdziwymi;
  • antysymetria, jeśli a≤b, to b≥a, a jeśli a≥b, to b≤a.
  • przechodniość, jeśli a≤b i b≤c, to a≤c, a także, jeśli a≥b i b≥c, to a≥c.

Ich dowód jest bardzo podobny do już podanych, więc nie będziemy się nad nimi rozwodzić, ale przejdziemy do innych ważnych własności nierówności numerycznych.

Inne ważne własności nierówności numerycznych

Uzupełnijmy podstawowe własności nierówności numerycznych szeregiem wyników, które mają ogromne znaczenie praktyczne. Na nich opierają się metody szacowania wartości wyrażeń; rozwiązania nierówności i tak dalej. Dlatego warto je dobrze zrozumieć.

W tym podrozdziale własności nierówności będziemy formułować tylko dla jednego znaku nierówności ścisłej, warto jednak pamiętać, że podobne własności będą obowiązywać dla znaku przeciwnego, a także dla znaków nierówności nieścisłych. Wyjaśnijmy to na przykładzie. Poniżej formułujemy i udowadniamy następującą własność nierówności: jeśli a

  • jeśli a>b to a+c>b+c ;
  • jeśli a≤b to a+c≤b+c ;
  • jeśli a≥b, to a+c≥b+c.

Dla wygody przedstawimy własności nierówności numerycznych w formie listy, natomiast podamy odpowiednie stwierdzenie, zapiszemy je formalnie literami, przedstawimy dowód, a następnie pokażemy przykłady użycia. Na końcu artykułu podsumujemy w tabeli wszystkie właściwości nierówności numerycznych. Iść!

    Dodanie (lub odejmowanie) dowolnej liczby po obu stronach prawdziwej nierówności liczbowej daje prawdziwą nierówność liczbową. Innymi słowy, jeśli liczby a i b są takie, że a

    Aby to udowodnić, uzupełnijmy różnicę między lewą i prawą stroną ostatniej nierówności liczbowej i pokażmy, że jest ona ujemna pod warunkiem a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Ponieważ według warunku a

    Nie będziemy się rozwodzić nad dowodem tej własności nierówności liczbowych przy odejmowaniu liczby c, ponieważ na zbiorze liczb rzeczywistych odejmowanie można zastąpić dodaniem -c.

    Na przykład, jeśli do obu stron prawidłowej nierówności liczbowej 7>3 dodasz liczbę 15, otrzymasz poprawną nierówność liczbową 7+15>3+15, czyli to samo, 22>18.

    Jeśli obie strony ważnej nierówności liczbowej zostaną pomnożone (lub podzielone) przez tę samą liczbę dodatnią c, otrzymasz ważną nierówność liczbową. Jeśli obie strony nierówności zostaną pomnożone (lub podzielone) przez liczbę ujemną c i odwrócony znak nierówności, to nierówność będzie prawdziwa. W formie dosłownej: jeśli liczby a i b spełniają nierówność a pne.

    Dowód. Zacznijmy od przypadku, gdy c>0. Uzupełnijmy różnicę pomiędzy lewą i prawą stroną udowadnianej nierówności numerycznej: a·c−b·c=(a−b)·c . Ponieważ według warunku a 0 , to iloczyn (a−b)·c będzie liczbą ujemną jako iloczyn liczby ujemnej a−b i liczby dodatniej c (co wynika z ). Dlatego a·c−b·c<0 , откуда a·c

    Nie skupiamy się na dowodzie rozważanej właściwości dzielenia obu stron prawdziwej nierówności liczbowej przez tę samą liczbę c, ponieważ dzielenie zawsze można zastąpić mnożeniem przez 1/c.

    Pokażmy przykład użycia właściwości analizowanej dla określonych liczb. Na przykład możesz mieć obie strony poprawnej nierówności numerycznej 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

    Z właśnie omówionej właściwości mnożenia obu stron równości liczbowej przez liczbę wynikają dwa praktyczne wyniki. Formułujemy je więc w formie konsekwencji.

    Wszystkie właściwości omówione powyżej w tym akapicie łączy fakt, że najpierw dana jest poprawna nierówność liczbowa, a z niej, poprzez manipulacje częściami nierówności i znakiem, otrzymuje się kolejną poprawną nierówność liczbową. Teraz przedstawimy blok właściwości, w którym początkowo podaje się nie jedną, ale kilka poprawnych nierówności numerycznych, a z ich łącznego wykorzystania po dodaniu lub pomnożeniu ich części otrzymuje się nowy wynik.

    Jeżeli liczby a, b, c i d spełniają nierówności a

    Udowodnimy, że (a+c)−(b+d) jest liczbą ujemną, co udowodni, że a+c

    Przez indukcję ta właściwość rozciąga się na dodawanie trzech, czterech i, ogólnie, dowolnej skończonej liczby nierówności numerycznych. Zatem jeśli dla liczb a 1, a 2, …, a n i b 1, b 2, …, b n prawdziwe są nierówności: a 1 za 1 + za 2 +…+ za n .

    Na przykład mamy trzy poprawne nierówności liczbowe tego samego znaku -5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

    Można pomnożyć nierówności liczbowe tego samego znaku, wyraz po wyrazie, którego obie strony są reprezentowane przez liczby dodatnie. W szczególności dla dwóch nierówności a

    Aby to udowodnić, możesz pomnożyć obie strony nierówności a

    Właściwość ta jest również prawdziwa w przypadku mnożenia dowolnej skończonej liczby prawdziwych nierówności numerycznych przez części dodatnie. Oznacza to, że jeśli a 1, a 2, …, a n i b 1, b 2, …, b n są liczbami dodatnimi, a a 1 za 1 · za 2 ·…·a n .

    Osobno warto zauważyć, że jeśli zapis nierówności numerycznych zawiera liczby niedodatnie, wówczas ich mnożenie wyraz po wyrazie może prowadzić do nieprawidłowych nierówności numerycznych. Na przykład nierówności numeryczne 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

    • Konsekwencja. Terminowe mnożenie identycznych prawdziwych nierówności postaci a

Zgodnie z obietnicą na końcu artykułu zbierzemy wszystkie badane nieruchomości tabela własności nierówności numerycznych:

Bibliografia.

  • Moro M. I.. Matematyka. Podręcznik na 1 klasę. początek szkoła Za 2 godziny Część 1. (Pierwsza połowa roku) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - wyd. 6. - M.: Edukacja, 2006. - 112 s.: il.+Add. (2 osobne l. il.). - ISBN 5-09-014951-8.
  • Matematyka: podręcznik dla 5 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - wyd. 21, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: il. ISBN 5-346-00699-0.
  • Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.

1 . Jeśli a>b, To B< a ; wręcz przeciwnie, jeśli A< b , To b > a.

Przykład. Jeśli 5x – 1 > 2x + 1, To 2x +1< 5x — 1 .

2 . Jeśli a>b I b > c, To a > c. Podobny, A< b I B< с , To A< с .

Przykład. Z nierówności x > 2у, 2 lata > 10 wynika z tego x > 10.

3 . Jeśli a > b, To za + do > b + do I a – c > b – c. Jeśli A< b , To a + c I a - c , te. możesz dodać (lub odjąć) tę samą wielkość po obu stronach nierówności

Przykład 1. Biorąc pod uwagę nierówność x + 8 > 3. Odejmując liczbę 8 od obu stron nierówności, znajdujemy x > - 5.

Przykład 2. Biorąc pod uwagę nierówność x – 6< — 2 . Dodając 6 do obu stron, znajdujemy X< 4 .

4 . Jeśli a>b I c > d, To za + c > b + d; dokładnie to samo, jeśli A< b I Z< d , To a + c< b + d , tj. dwie nierówności o tym samym znaczeniu) można dodawać termin po wyrazie. Dotyczy to dowolnej liczby nierówności, na przykład jeśli a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, To a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

Przykład 1. Nierówności — 8 > — 10 I 5 > 2 są prawdziwe. Dodając je wyraz po wyrazie, znajdujemy prawdziwą nierówność — 3 > — 8 .

Przykład 2. Biorąc pod uwagę układ nierówności ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . Dodając je termin po terminie, znajdujemy X< 22 .

Komentarz. Dwóch nierówności o tym samym znaczeniu nie można odjąć od siebie termin po wyrazie, ponieważ wynik może być prawdziwy, ale może też być błędny. Na przykład, jeśli z nierówności 10 > 8 2 > 1 , to otrzymujemy poprawną nierówność 8 > 7 ale jeśli z tej samej nierówności 10 > 8 odejmij nierówność wyraz po wyrazie 6 > 1 , wtedy dochodzimy do absurdu. Porównaj następny punkt.

5 . Jeśli a>b I C< d , To a – c > b – d; Jeśli A< b I płyta CD, To a - c< b — d , czyli od jednej nierówności można termin po wyrazie odjąć inną nierówność o przeciwnym znaczeniu), pozostawiając znak nierówności, od której odjęto drugą.

Przykład 1. Nierówności 12 < 20 I 15 > 7 są prawdziwe. Odejmując drugi wyraz po wyrazie od pierwszego i pozostawiając znak pierwszego, otrzymujemy poprawną nierówność — 3 < 13 . Odejmując pierwszy wyraz od drugiego wyrazu po wyrazie i pozostawiając znak drugiego, znajdujemy poprawną nierówność 3 > — 13 .

Przykład 2. Biorąc pod uwagę układ nierówności (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Odejmując drugą od pierwszej nierówności, znajdujemy y< 10 .

6 . Jeśli a > b I M jest zatem liczbą dodatnią mam > mb I a/n > b/n, tj. obie strony nierówności można podzielić lub pomnożyć przez tę samą liczbę dodatnią (znak nierówności pozostaje taki sam). a>b I N jest zatem liczbą ujemną nie< nb I jakiś< b/n , tj. obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, ale znak nierówności należy zmienić na przeciwny.

Przykład 1. Dzielenie obu stron prawdziwej nierówności 25 > 20 NA 5 , otrzymujemy poprawną nierówność 5 > 4 . Jeśli podzielimy obie strony nierówności 25 > 20 NA — 5 , to musisz zmienić znak > NA < , i wtedy otrzymamy poprawną nierówność — 5 < — 4 .

Przykład 2. Z nierówności 2x< 12 wynika z tego X< 6 .

Przykład 3. Z nierówności -(1/3)х — (1/3)х > 4 wynika z tego X< — 12 .

Przykład 4. Biorąc pod uwagę nierówność x/k > y/l; wynika z tego, że lx > k, jeśli znaki liczb l I k są takie same, więc co z tego luks< ky , jeśli znaki liczb l I k naprzeciwko.

Układ nierówności nazywany jest zwykle zapisem kilku nierówności pod znakiem nawiasu klamrowego (w tym przypadku liczba i rodzaj nierówności zawartych w systemie może być dowolna).

Aby rozwiązać układ, należy znaleźć punkt przecięcia rozwiązań wszystkich nierówności w nim zawartych. W matematyce rozwiązaniem nierówności jest dowolna wartość zmiany, dla której nierówność jest prawdziwa. Innymi słowy, musisz znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań - będzie to nazywane odpowiedzią. Jako przykład spróbujmy nauczyć się rozwiązywać układ nierówności metodą przedziałową.

Właściwości nierówności

Aby rozwiązać problem, ważne jest poznanie podstawowych właściwości charakterystycznych dla nierówności, które można sformułować w następujący sposób:

  • Do obu stron nierówności można dodać jedną i tę samą funkcję, określoną w przedziale wartości dopuszczalnych (ADV) tej nierówności;
  • Jeżeli f(x) > g(x) i h(x) jest dowolną funkcją zdefiniowaną w ODZ nierówności, to f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
  • Jeśli pomnożymy obie strony nierówności przez funkcję dodatnią określoną w ODZ tej nierówności (lub przez liczbę dodatnią), otrzymamy nierówność równoważną pierwotnej;
  • Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy przez funkcję ujemną określoną w ODZ danej nierówności (lub przez liczbę ujemną) i zmienimy znak nierówności na przeciwny, to otrzymana nierówność jest równoważna danej nierówności;
  • Nierówności o tym samym znaczeniu można dodawać termin po wyrażeniu, a nierówności o przeciwnym znaczeniu można odejmować termin po wyrazie;
  • Nierówności o tym samym znaczeniu z częściami dodatnimi można pomnożyć wyraz po wyrazie, a nierówności utworzone przez funkcje nieujemne można podnieść wyraz po wyrazie do potęgi dodatniej.

Aby rozwiązać układ nierówności, należy rozwiązać każdą nierówność osobno, a następnie je porównać. Wynikiem będzie odpowiedź pozytywna lub negatywna, co oznacza, czy system ma rozwiązanie, czy nie.

Metoda interwałowa

Rozwiązując układ nierówności, matematycy często odwołują się do metody przedziałowej, jako jednej z najskuteczniejszych. Pozwala nam to sprowadzić rozwiązanie do nierówności f(x) > 0 (<, <, >), aby rozwiązać równanie f(x) = 0.

Istota metody jest następująca:

  • Znajdź zakres dopuszczalnych wartości nierówności;
  • Sprowadź nierówność do postaci f(x) > 0(<, <, >), czyli przesuń prawą stronę w lewo i uprość;
  • Rozwiąż równanie f(x) = 0;
  • Narysuj diagram funkcji na osi liczbowej. Wszystkie punkty zaznaczone na ODZ i ograniczające go dzielą ten zbiór na tzw. przedziały znaku stałego. W każdym takim przedziale wyznaczany jest znak funkcji f(x);
  • Zapisz odpowiedź w postaci sumy poszczególnych zbiorów, dla której f(x) ma odpowiedni znak. Punkty ODZ będące granicami są uwzględniane (lub nie) w odpowiedzi po dodatkowej weryfikacji.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań, aby ulepszyć świadczone przez nas usługi i przedstawić Państwu rekomendacje dotyczące naszych usług.
  • Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

  • Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Ciało liczb rzeczywistych ma właściwość porządkowania (rozdział 6, s. 35): dla dowolnych liczb a, b zachodzi jedna i tylko jedna z trzech relacji: lub . W tym przypadku wpis a > b oznacza, że ​​różnica jest dodatnia, a różnica wejściowa jest ujemna. W przeciwieństwie do pola liczb rzeczywistych, pole liczb zespolonych nie jest uporządkowane: w przypadku liczb zespolonych pojęcia „więcej” i „mniej” nie są zdefiniowane; Dlatego w tym rozdziale skupimy się wyłącznie na liczbach rzeczywistych.

Relacje nazywamy nierównościami, liczby a i b są wyrazami (lub częściami) nierówności, znaki > (większe niż) oraz Nierówności a > b i c > d nazywane są nierównościami o tym samym (lub tym samym) znaczeniu; nierówności a > b i c Z definicji nierówności bezpośrednio wynika, że

1) dowolna liczba dodatnia większa od zera;

2) każda liczba ujemna jest mniejsza od zera;

3) każda liczba dodatnia jest większa od dowolnej liczby ujemnej;

4) z dwóch liczb ujemnych, większa jest ta, której wartość bezwzględna jest mniejsza.

Wszystkie te stwierdzenia dopuszczają prostą interpretację geometryczną. Niech dodatni kierunek osi liczbowej pójdzie na prawo od punkt wyjścia; wówczas, niezależnie od znaków liczb, większa z nich jest reprezentowana przez punkt leżący na prawo od punktu reprezentującego mniejszą liczbę.

Nierówności mają następujące podstawowe właściwości.

1. Asymetria (nieodwracalność): jeśli , to i odwrotnie.

Rzeczywiście, jeśli różnica jest dodatnia, to różnica jest ujemna. Mówią, że zmieniając warunki nierówności, należy zmienić znaczenie nierówności na przeciwne.

2. Przechodniość: jeśli , to . Rzeczywiście, z dodatniości różnic wynika, że

Oprócz znaków nierówności używane są również znaki nierówności i Są one zdefiniowane w następujący sposób: wpis oznacza, że ​​albo lub Dlatego możesz na przykład pisać, a także. Zazwyczaj nierówności zapisywane za pomocą znaków nazywane są nierównościami ścisłymi, a nierówności zapisywane za pomocą znaków nazywane są nierównościami nieścisłymi. W związku z tym same znaki nazywane są znakami ścisłej lub nieścisłej nierówności. Omówione powyżej właściwości 1 i 2 są również prawdziwe w przypadku nierówności nieścisłych.

Rozważmy teraz działania, które można wykonać na jednej lub większej liczbie nierówności.

3. Dodanie tej samej liczby do wyrazów nierówności nie zmienia znaczenia nierówności.

Dowód. Niech zostanie podana nierówność i dowolna liczba. Z definicji różnica jest pozytywna. Dodajmy do tej liczby dwie przeciwne liczby, co jej nie zmieni, tj.

Równość tę można przepisać w następujący sposób:

Wynika z tego, że różnica jest dodatnia, tj. że

i to właśnie należało udowodnić.

Stanowi to podstawę do możliwości przesunięcia dowolnego elementu nierówności z jednej części do drugiej z przeciwnym znakiem. Na przykład z nierówności

wynika z tego

4. Mnożąc wyrazy nierówności przez tę samą liczbę dodatnią, znaczenie nierówności nie zmienia się; Kiedy wyrazy nierówności zostaną pomnożone przez tę samą liczbę ujemną, znaczenie nierówności zmienia się na przeciwne.

Dowód. Niech wtedy Jeśli wtedy iloczyn liczb dodatnich jest dodatni. Otwierając nawiasy po lewej stronie ostatniej nierówności, otrzymujemy , tj. . Sprawa jest rozpatrywana w podobny sposób.

Dokładnie ten sam wniosek można wyciągnąć odnośnie dzielenia części nierówności przez dowolną liczbę różną od zera, gdyż dzielenie przez liczbę jest równoznaczne z pomnożeniem przez liczbę, a liczby mają te same znaki.

5. Niech warunki nierówności będą dodatnie. Następnie, gdy jej wyrazy zostaną podniesione do tej samej dodatniej potęgi, znaczenie nierówności nie zmienia się.

Dowód. Pozwolić w tym przypadku na własność przechodniości i . Następnie, ze względu na monotoniczny wzrost funkcji mocy dla i dodatniej, będziemy mieli

W szczególności, jeśli gdzie -Liczba naturalna, wtedy otrzymamy

to znaczy, gdy wyodrębniamy pierwiastek z obu stron nierówności za pomocą wyrazów dodatnich, znaczenie nierówności nie zmienia się.

Niech wyrazy nierówności będą ujemne. Wtedy nie jest trudno udowodnić, że gdy jej wyrazy zostaną podniesione do nieparzystej potęgi naturalnej, znaczenie nierówności nie zmienia się, natomiast podniesione do parzystej potęgi naturalnej zmienia się na przeciwne. Z nierówności z wyrazami ujemnymi można także wyprowadzić pierwiastek stopnia nieparzystego.

Niech dalej warunki nierówności mają różne znaki. Następnie podnosząc ją do potęgi nieparzystej, znaczenie nierówności się nie zmienia, natomiast podnosząc ją do potęgi parzystej, w ogólnym przypadku nie można powiedzieć nic konkretnego o znaczeniu powstałej nierówności. W rzeczywistości, gdy liczbę podnosi się do potęgi nieparzystej, znak liczby zostaje zachowany, a zatem znaczenie nierówności nie ulega zmianie. Kiedy nierówność zostanie podniesiona do potęgi parzystej, powstaje nierówność z wyrazami dodatnimi, a jej znaczenie będzie zależeć od wartości bezwzględnych wyrazów pierwotnej nierówności; o przeciwnym znaczeniu, a nawet można uzyskać równość!

Warto sprawdzić wszystko, co zostało powiedziane na temat podnoszenia nierówności do potęg, korzystając z poniższego przykładu.

Przykład 1. Podnieś poniższe nierówności do wskazanej potęgi, w razie potrzeby zmieniając znak nierówności na znak przeciwny lub znak równości.

a) 3 > 2 do potęgi 4; b) do stopnia 3;

c) do stopnia 3; d) do stopnia 2;

e) do potęgi 5; e) do stopnia 4;

g) 2 > -3 do potęgi 2; h) do potęgi 2,

6. Z nierówności możemy przejść do nierówności: jeśli oba wyrazy nierówności są dodatnie lub oba ujemne, to pomiędzy ich odwrotnością istnieje nierówność o przeciwnym znaczeniu:

Dowód. Jeśli a i b mają ten sam znak, to ich iloczyn jest dodatni. Podziel przez nierówność

tj. to, co należało uzyskać.

Jeżeli wyrazy nierówności mają przeciwne znaki, to nierówność między ich odwrotnością ma to samo znaczenie, ponieważ znaki odwrotności są takie same, jak znaki samych wielkości.

Przykład 2. Sprawdź ostatnią właściwość 6, korzystając z następujących nierówności:

7. Logarytm nierówności można wykonać tylko w przypadku, gdy wyrazy nierówności są dodatnie (nie mają liczb ujemnych i logarytmów zerowych).

Pozwalać . Wtedy będzie

i kiedy będzie

Poprawność tych twierdzeń opiera się na monotoniczności funkcji logarytmicznej, która rośnie przy podstawie i maleje wraz ze wzrostem

Zatem, przenosząc logarytm nierówności składającej się z wyrazów dodatnich do podstawy większej niż jeden, powstaje nierówność o tym samym znaczeniu, co dana, a gdy przenosząc logarytm do podstawy dodatniej mniejszej niż jeden, nierówność powstaje przeciwne znaczenie.

8. Jeśli, to jeśli, ale, wtedy.

Wynika to bezpośrednio z właściwości monotoniczności funkcji wykładniczej (rozdział 42), która rośnie w przypadku i maleje, jeśli

Dodając nierówności terminowe o tym samym znaczeniu, powstaje nierówność o tym samym znaczeniu co dane.

Dowód. Udowodnijmy to twierdzenie dla dwóch nierówności, chociaż jest ono prawdziwe dla dowolnej liczby dodanych nierówności. Niech zostaną dane nierówności

Z definicji liczby będą dodatnie; wtedy ich suma również okazuje się dodatnia, tj.

Grupując terminy inaczej, otrzymujemy

i dlatego

i to właśnie należało udowodnić.

W ogólnym przypadku nie można powiedzieć nic konkretnego na temat znaczenia nierówności uzyskanej przez dodanie dwóch lub więcej nierówności różne znaczenia.

10. Jeśli od jednej nierówności odejmiemy, termin po wyrazie, inną nierówność o przeciwnym znaczeniu, wówczas powstanie nierówność o tym samym znaczeniu co pierwsza.

Dowód. Niech zostaną podane dwie nierówności o różnych znaczeniach. Drugi z nich, zgodnie z własnością nieodwracalności, można przepisać w następujący sposób: d > c. Dodajmy teraz dwie nierówności o tym samym znaczeniu i otrzymamy nierówność

to samo znaczenie. Z tego ostatniego znajdujemy

i to właśnie należało udowodnić.

W ogólnym przypadku nie można powiedzieć nic konkretnego o znaczeniu nierówności otrzymanej przez odjęcie od jednej nierówności innej nierówności o tym samym znaczeniu.