Equazione di un piano. Come scrivere l'equazione di un piano?
Disposizione reciproca degli aerei. Compiti

La geometria spaziale non è molto più complicata della geometria “piatta” e i nostri voli nello spazio iniziano con questo articolo. Per padroneggiare l'argomento è necessario avere una buona conoscenza vettori Inoltre, è consigliabile avere familiarità con la geometria dell'aereo: ci saranno molte somiglianze, molte analogie, quindi le informazioni verranno digerite molto meglio. In una serie delle mie lezioni, il mondo 2D si apre con un articolo Equazione di una retta su un piano. Ma ora Batman ha lasciato lo schermo piatto e si lancia dal cosmodromo di Baikonur.

Cominciamo con disegni e simboli. Schematicamente, l'aereo può essere disegnato sotto forma di un parallelogramma, che crea l'impressione di spazio:

Il piano è infinito, ma abbiamo l'opportunità di rappresentarne solo un pezzo. In pratica, oltre al parallelogramma, viene disegnato anche un ovale o addirittura una nuvola. Per ragioni tecniche mi conviene raffigurare l'aereo esattamente in questo modo ed esattamente in questa posizione. Aerei reali che prenderemo in considerazione esempi pratici, può essere posizionato in qualsiasi modo: prendi mentalmente il disegno tra le mani e ruotalo nello spazio, dando al piano qualsiasi inclinazione, qualsiasi angolo.

Designazioni: gli aerei sono solitamente indicati con lettere greche minuscole, apparentemente per non confonderli retta su un piano o con linea retta nello spazio. Sono abituato a usare la lettera . Nel disegno c'è la lettera “sigma”, e non c'è affatto un buco. Anche se l'aereo bucato è sicuramente piuttosto divertente.

In alcuni casi, è conveniente utilizzare le stesse lettere greche con pedici inferiori per designare gli aerei, ad esempio .

È ovvio che il piano è definito univocamente da tre punti diversi che non giacciono sulla stessa retta. Pertanto, le designazioni degli aerei di tre lettere sono piuttosto popolari, ad esempio in base ai punti ad essi appartenenti, ecc. Spesso le lettere sono racchiuse tra parentesi: , per non confondere il piano con un'altra figura geometrica.

Per i lettori esperti darò menu ad accesso rapido:

• Come creare l'equazione di un piano utilizzando un punto e due vettori?
• Come creare un'equazione di un piano utilizzando un punto e un vettore normale?

e non languiremo in lunghe attese:

Equazione generale del piano

L'equazione generale del piano ha la forma , dove i coefficienti non sono uguali a zero allo stesso tempo.

Una serie di calcoli teorici e problemi pratici sono validi sia per la consueta base ortonormale che per la base affine dello spazio (se il petrolio è petrolio, torna alla lezione Dipendenza lineare (non) dei vettori. Base dei vettori). Per semplicità, assumeremo che tutti gli eventi avvengano su base ortonormale e cartesiana sistema rettangolare coordinate

Ora esercitiamo un po’ la nostra immaginazione spaziale. Va bene se il tuo è pessimo, ora lo svilupperemo un po'. Anche giocare con i nervi saldi richiede allenamento.

Nel caso più generale, quando i numeri non sono uguali a zero, il piano interseca tutti e tre gli assi delle coordinate. Ad esempio, in questo modo:

Ripeto ancora una volta che l'aereo continua indefinitamente in tutte le direzioni e abbiamo l'opportunità di rappresentarne solo una parte.

Consideriamo le equazioni più semplici dei piani:

Come comprendere questa equazione? Pensaci: “Z” è SEMPRE uguale a zero, per qualsiasi valore di “X” e “Y”. Questa è l'equazione del piano delle coordinate "nativo". Infatti, formalmente l’equazione può essere riscritta come segue: , da dove puoi vedere chiaramente che non ci interessa quali valori assumono "x" e "y", è importante che "z" sia uguale a zero.

Allo stesso modo:
– equazione del piano delle coordinate;
– equazione del piano delle coordinate.

Complichiamo un po' il problema, consideriamo un piano (qui e più avanti nel paragrafo assumiamo che i coefficienti numerici non siano uguali a zero). Riscriviamo l'equazione nella forma: . Come capirlo? “X” è SEMPRE, per qualsiasi valore di “Y” e “Z”, pari ad un certo numero. Questo piano è parallelo al piano delle coordinate. Ad esempio, un piano è parallelo ad un altro piano e passa per un punto.

Allo stesso modo:
– equazione di un piano parallelo al piano delle coordinate;
– Equazione di un piano parallelo al piano delle coordinate.

Aggiungiamo membri: . L'equazione può essere riscritta come segue: , cioè “zet” può essere qualsiasi cosa. Cosa significa? “X” e “Y” sono collegati dalla relazione che disegna una certa linea retta nel piano (lo scoprirai equazione di una retta in un piano?). Poiché “z” può essere qualsiasi cosa, questa linea retta viene “replicata” a qualsiasi altezza. Pertanto, l'equazione definisce un piano parallelo all'asse delle coordinate

Allo stesso modo:
– equazione di un piano parallelo all'asse delle coordinate;
– equazione di un piano parallelo all'asse delle coordinate.

Se i termini liberi sono zero, i piani passeranno direttamente per gli assi corrispondenti. Ad esempio, la classica “proporzionalità diretta”: . Disegna una linea retta nel piano e moltiplicala mentalmente su e giù (poiché "Z" è qualsiasi). Conclusione: il piano definito dall'equazione passa per l'asse delle coordinate.

Completiamo il ripasso: l'equazione del piano passa per l'origine. Ebbene, qui è abbastanza ovvio che il punto soddisfa questa equazione.

E infine, il caso mostrato nel disegno: – il piano è amico di tutti gli assi delle coordinate, mentre “taglia” sempre un triangolo, che può trovarsi in uno qualsiasi degli otto ottanti.

Disuguaglianze lineari nello spazio

Per comprendere le informazioni è necessario studiare bene disuguaglianze lineari nel piano, perché molte cose saranno simili. Il paragrafo avrà carattere di breve panoramica con diversi esempi, poiché il materiale è piuttosto raro nella pratica.

Se l'equazione definisce un piano, allora le disuguaglianze
chiedere semispazi. Se la disuguaglianza non è stretta (le ultime due della lista), allora la soluzione della disuguaglianza comprende, oltre al semispazio, anche il piano stesso.

Esempio 5

Trovare il vettore normale unitario dell'aereo .

Soluzione: Un vettore unitario è un vettore la cui lunghezza è uno. Indichiamo questo vettore con . È assolutamente chiaro che i vettori sono collineari:

Per prima cosa rimuoviamo il vettore normale dall'equazione del piano: .

Come trovare un vettore unitario? Per trovare il vettore unitario, è necessario ogni dividere la coordinata del vettore per la lunghezza del vettore.

Riscriviamo il vettore normale nella forma e troviamo la sua lunghezza:

Secondo quanto sopra:

Risposta:

Verifica: cosa era necessario verificare.

I lettori che hanno studiato attentamente l'ultimo paragrafo della lezione probabilmente lo hanno notato le coordinate del vettore unitario sono esattamente i coseni di direzione del vettore:

Prendiamo una pausa dal problema in questione: quando ti viene dato un vettore arbitrario diverso da zero, e a seconda della condizione occorre trovarne la direzione coseno (vedi gli ultimi problemi della lezione Prodotto scalare di vettori), allora, in effetti, trovi un vettore unitario collineare a questo. In realtà due compiti in una bottiglia.

La necessità di trovare il vettore normale unitario nasce in alcuni problemi di analisi matematica.

Abbiamo capito come ripescare un vettore normale, ora rispondiamo alla domanda opposta:

Come creare un'equazione di un piano utilizzando un punto e un vettore normale?

Questa costruzione rigida di un vettore normale e di un punto è ben nota ai tirassegni. Per favore allunga la mano in avanti e seleziona mentalmente un punto arbitrario nello spazio, ad esempio un gattino nella credenza. Ovviamente, attraverso questo punto puoi disegnare un unico piano perpendicolare alla tua mano.

L'equazione del piano passante per un punto perpendicolare al vettore è espressa dalla formula:

Se tutti i numeri A, B, C e D sono diversi da zero, viene chiamata l'equazione generale del piano completare. Altrimenti si chiama l'equazione generale del piano incompleto.

Consideriamo tutte le possibili equazioni generali incomplete del piano nel sistema di coordinate rettangolari Oxyz nello spazio tridimensionale.

Sia D = 0, allora abbiamo un'equazione generale del piano incompleta della forma . Questo piano nel sistema di coordinate rettangolari Oxyz passa per l'origine. Infatti, sostituendo le coordinate di un punto nell'equazione incompleta risultante del piano, arriviamo all'identità .

Per , o , o abbiamo equazioni generali incomplete dei piani , o , o , rispettivamente. Queste equazioni definiscono piani paralleli rispettivamente ai piani coordinati Oxy, Oxz e Oyz (vedi articolo per la condizione dei piani paralleli) e passanti per i punti e corrispondentemente. A. Dal punto appartiene al piano per condizione, quindi le coordinate di questo punto devono soddisfare l'equazione del piano, cioè l'uguaglianza deve essere vera. Da qui troviamo. Pertanto, l'equazione richiesta ha la forma .

Presentiamo il secondo modo per risolvere questo problema.

Poiché il piano, l'equazione generale di cui dobbiamo comporre, è parallelo al piano Oyz, allora come vettore normale possiamo prendere il vettore normale del piano Oyz. Il vettore normale del piano delle coordinate Oyz è il vettore delle coordinate. Ora conosciamo il vettore normale del piano e il punto del piano, quindi possiamo scrivere la sua equazione generale (abbiamo risolto un problema simile nel paragrafo precedente di questo articolo):
, allora le sue coordinate devono soddisfare l'equazione del piano. Pertanto, l’uguaglianza è vera da dove lo troviamo. Ora possiamo scrivere l'equazione generale desiderata del piano, ha la forma .

Risposta:

Bibliografia.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematica superiore. Volume primo: elementi di algebra lineare e geometria analitica.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analitica.

Può essere specificato in diversi modi (un punto e un vettore, due punti e un vettore, tre punti, ecc.). È in quest'ottica che si può avere l'equazione del piano diversi tipi. Inoltre, a determinate condizioni, i piani possono essere paralleli, perpendicolari, intersecanti, ecc. Ne parleremo in questo articolo. Impareremo come creare un'equazione generale di un piano e altro ancora.

Forma normale dell'equazione

Diciamo che esiste uno spazio R 3 che ha un sistema di coordinate XYZ rettangolare. Definiamo il vettore α da cui verrà rilasciato punto di partenza O. Attraverso l'estremità del vettore α disegniamo un piano P, che sarà perpendicolare ad esso.

Indichiamo un punto arbitrario su P come Q = (x, y, z). Firmiamo il raggio vettore del punto Q con la lettera p. In questo caso la lunghezza del vettore α è pari a р=IαI e Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Questo è un vettore unitario diretto lateralmente, come il vettore α. α, β e γ sono gli angoli che si formano rispettivamente tra il vettore Ʋ e le direzioni positive degli assi spaziali x, y, z. La proiezione di un punto qualsiasi QϵП sul vettore Ʋ è un valore costante pari a p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

L'equazione precedente ha senso quando p=0. L'unica cosa è che il piano P in questo caso intersecherà il punto O (α=0), che è l'origine delle coordinate, e il versore Ʋ uscito dal punto O sarà perpendicolare a P, nonostante la sua direzione, che significa che il vettore Ʋ viene determinato con precisione rispetto al segno. L'equazione precedente è l'equazione del nostro piano P, espressa in forma vettoriale. Ma in coordinate sarà simile a questo:

P qui è maggiore o uguale a 0. Abbiamo trovato l'equazione del piano nello spazio in forma normale.

Equazione generale

Se moltiplichiamo l'equazione in coordinate per un numero qualsiasi che non sia uguale a zero, otteniamo un'equazione equivalente a questa, definendo proprio quel piano. Apparirà così:

Qui A, B, C sono numeri contemporaneamente diversi da zero. Questa equazione è chiamata equazione del piano generale.

Equazioni dei piani. Casi speciali

L'equazione in forma generale può essere modificata in presenza di condizioni aggiuntive. Diamo un'occhiata ad alcuni di loro.

Supponiamo che il coefficiente A sia 0. Ciò significa che questo piano è parallelo all'asse del bue dato. In questo caso, la forma dell'equazione cambierà: Ву+Cz+D=0.

Allo stesso modo, la forma dell’equazione cambierà nelle seguenti condizioni:

• Innanzitutto, se B = 0, l'equazione cambierà in Ax + Cz + D = 0, che indicherà il parallelismo rispetto all'asse Oy.
• In secondo luogo, se C=0, l'equazione verrà trasformata in Ax+By+D=0, che indicherà il parallelismo rispetto all'asse Oz dato.
• In terzo luogo, se D=0, l'equazione sarà simile a Ax+By+Cz=0, il che significa che il piano interseca O (l'origine).
• Quarto, se A=B=0, allora l'equazione cambierà in Cz+D=0, che risulterà parallela a Oxy.
• In quinto luogo, se B=C=0, allora l'equazione diventa Ax+D=0, il che significa che il piano verso Oyz è parallelo.
• Sesto, se A=C=0, allora l'equazione assumerà la forma Ву+D=0, cioè riporterà il parallelismo a Oxz.

Tipo di equazione in segmenti

Nel caso in cui i numeri A, B, C, D siano diversi da zero, la forma dell'equazione (0) può essere la seguente:

x/a + y/b + z/c = 1,

in cui a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Otteniamo come risultato Vale la pena notare che questo piano intersecherà l'asse del bue in un punto con le coordinate (a,0,0), Oy - (0,b,0) e Oz - (0,0,c ).

Tenendo conto dell'equazione x/a + y/b + z/c = 1, non è difficile immaginare visivamente la posizione del piano rispetto a un dato sistema di coordinate.

Coordinate vettoriali normali

Il vettore normale n al piano P ha coordinate che sono coefficienti equazione generale di un dato piano, cioè n (A, B, C).

Per determinare le coordinate della normale n è sufficiente conoscere l'equazione generale di un dato piano.

Quando si utilizza un'equazione in segmenti, che ha la forma x/a + y/b + z/c = 1, così come quando si utilizza un'equazione generale, è possibile scrivere le coordinate di qualsiasi vettore normale di un dato piano: (1 /a + 1/b + 1/ Con).

Vale la pena notare che il vettore normale aiuta a risolvere una varietà di problemi. I più comuni includono problemi che implicano la dimostrazione della perpendicolarità o del parallelismo dei piani, problemi di ricerca di angoli tra piani o angoli tra piani e rette.

Tipo di equazione del piano secondo le coordinate del punto e del vettore normale

Un vettore n diverso da zero perpendicolare a un dato piano si dice normale a un dato piano.

Supponiamo che nello spazio di coordinate (sistema di coordinate rettangolari) siano dati Oxyz:

• punto Mₒ con coordinate (xₒ,yₒ,zₒ);
• vettore zero n=A*i+B*j+C*k.

È necessario creare un'equazione per un piano che passerà per il punto Mₒ perpendicolare alla normale n.

Scegliamo qualsiasi punto arbitrario nello spazio e lo denotiamo M (x y, z). Sia il raggio vettore di qualsiasi punto M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, e il raggio vettore del punto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Il punto M apparterrà ad un dato piano se il vettore MₒM è perpendicolare al vettore n. Scriviamo la condizione di ortogonalità utilizzando il prodotto scalare:

[MₒM, n] = 0.

Poiché MₒM = r-rₒ, l'equazione vettoriale del piano sarà simile a questa:

Questa equazione può avere un'altra forma. Per fare ciò, vengono utilizzate le proprietà del prodotto scalare e il lato sinistro dell'equazione viene trasformato. = -. Se lo indichiamo con c, otteniamo la seguente equazione: - c = 0 oppure = c, che esprime la costanza delle proiezioni sul vettore normale dei raggi vettori di dati punti che appartengono al piano.

Ora possiamo ottenere la forma delle coordinate scrivendo l'equazione vettoriale del nostro piano = 0. Poiché r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, e n = A*i+B *j+С*k, abbiamo:

Risulta che abbiamo un'equazione per un piano che passa per un punto perpendicolare alla normale n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tipo di equazione del piano secondo le coordinate di due punti e un vettore collineare al piano

Definiamo due punti arbitrari M′ (x′,y′,z′) e M″ (x″,y″,z″), nonché un vettore a (a′,a″,a‴).

Ora possiamo creare un'equazione per un dato piano che passerà attraverso i punti esistenti M′ e M″, così come qualsiasi punto M con coordinate (x, y, z) parallele al dato vettore a.

In questo caso i vettori M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) e M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) devono essere complanari al vettore a=(a′,a″,a‴), il che significa che (M′M, M″M, a)=0.

Quindi, la nostra equazione del piano nello spazio sarà simile a questa:

Tipo di equazione del piano che interseca tre punti

Diciamo di avere tre punti: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), che non appartengono alla stessa retta. È necessario scrivere l'equazione del piano passante per tre punti dati. La teoria della geometria sostiene che questo tipo di piano esiste realmente, ma è l'unico ed unico. Poiché questo piano interseca il punto (x′,y′,z′), la forma della sua equazione sarà la seguente:

Qui A, B, C sono diversi da zero allo stesso tempo. Inoltre, il piano dato interseca altri due punti: (x″,y″,z″) e (x‴,y‴,z‴). A questo proposito devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

Ora possiamo creare un sistema omogeneo con le incognite u, v, w:

Nel nostro caso x,y oppure z agisce come un punto arbitrario che soddisfa l'equazione (1). Data l'equazione (1) e il sistema di equazioni (2) e (3), il sistema di equazioni indicato nella figura sopra è soddisfatto dal vettore N (A,B,C), che non è banale. Ecco perché il determinante di questo sistema è uguale a zero.

L'equazione (1) che abbiamo ottenuto è l'equazione del piano. Passa esattamente per 3 punti e questo è facile da verificare. Per fare ciò, dobbiamo espandere il nostro determinante negli elementi della prima riga. Dalle proprietà esistenti del determinante ne consegue che il nostro piano interseca contemporaneamente tre punti inizialmente dati (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Cioè, abbiamo risolto il compito assegnatoci.

Angolo diedro tra i piani

Un angolo diedro rappresenta un angolo spaziale figura geometrica, formato da due semipiani che emanano da una retta. In altre parole, questa è la parte di spazio limitata da questi semipiani.

Diciamo di avere due piani con le seguenti equazioni:

Sappiamo che i vettori N=(A,B,C) e N¹=(A¹,B¹,C¹) sono perpendicolari rispetto ai piani dati. A questo proposito, l'angolo φ tra i vettori N e N¹ è uguale all'angolo (diedro) che si trova tra questi piani. Il prodotto scalare ha la forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

proprio perché

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Basta tenere conto che 0≤φ≤π.

Infatti due piani che si intersecano formano due angoli (diedro): φ 1 e φ 2. La loro somma è pari a π (φ 1 + φ 2 = π). Per quanto riguarda i loro coseni, i loro valori assoluti sono uguali, ma differiscono nel segno, cioè cos φ 1 = -cos φ 2. Se nell'equazione (0) sostituiamo A, B e C con i numeri -A, -B e -C, rispettivamente, allora l'equazione che otterremo determinerà lo stesso piano, l'unico, l'angolo φ nell'equazione cos φ= NN 1 /| N||N 1 | sarà sostituito da π-φ.

Equazione di un piano perpendicolare

I piani tra i quali l'angolo è di 90 gradi si dicono perpendicolari. Utilizzando il materiale presentato sopra, possiamo trovare l'equazione di un piano perpendicolare a un altro. Diciamo di avere due piani: Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Possiamo dire che saranno perpendicolari se cosφ=0. Ciò significa che NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Equazione dei piani paralleli

Due piani che non contengono punti in comune si dicono paralleli.

La condizione (le loro equazioni sono le stesse del paragrafo precedente) è che i vettori N e N¹, ad essi perpendicolari, siano collineari. Ciò significa che sono soddisfatte le seguenti condizioni di proporzionalità:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Se le condizioni di proporzionalità vengono estese - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ciò indica che questi piani coincidono. Ciò significa che le equazioni Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descrivono un piano.

Distanza del piano dal punto

Diciamo di avere un piano P, che è dato dall'equazione (0). È necessario trovare la distanza da un punto con coordinate (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Per fare ciò, devi portare l'equazione del piano P nella forma normale:

(ρ,v)=ð (ð≥0).

In questo caso, ρ (x,y,z) è il raggio vettore del nostro punto Q situato su P, p è la lunghezza della perpendicolare P che si è staccata dal punto zero, v è il vettore unitario, che si trova in la direzione a.

La differenza ρ-ρº raggio vettore di un punto Q = (x, y, z), appartenente a P, così come il raggio vettore di un dato punto Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) è un tale vettore, il valore assoluto della proiezione la cui proiezione su v è uguale alla distanza d che occorre trovare da Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) a P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ma

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Quindi risulta

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Pertanto, troveremo il valore assoluto dell'espressione risultante, ovvero il d desiderato.

Usando il linguaggio dei parametri, otteniamo l'ovvio:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Se un dato punto Q 0 si trova dall'altra parte del piano P, come l'origine delle coordinate, allora tra il vettore ρ-ρ 0 e v c'è quindi:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Nel caso in cui il punto Q 0, insieme all'origine delle coordinate, si trova dalla stessa parte di P, allora l'angolo creato è acuto, cioè:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Ne risulta che nel primo caso (ρ 0 ,v)>р, nel secondo (ρ 0 ,v)<р.

Piano tangente e sua equazione

Il piano tangente alla superficie nel punto di contatto Mº è un piano contenente tutte le possibili tangenti alle curve tracciate attraverso questo punto sulla superficie.

Con questo tipo di equazione della superficie F(x,y,z)=0, l'equazione del piano tangente nel punto di tangenza Mº(xº,yº,zº) sarà simile a questa:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Se specifichi la superficie nella forma esplicita z=f (x,y), il piano tangente sarà descritto dall'equazione:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Intersezione di due piani

Nel sistema di coordinate (rettangolare) si trova Oxyz, sono dati due piani П′ e П″, che si intersecano e non coincidono. Poiché qualsiasi piano situato in un sistema di coordinate rettangolari è determinato da un'equazione generale, assumeremo che P′ e P″ siano dati dalle equazioni A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x +B″y+ С″z+D″=0. In questo caso abbiamo la normale n′ (A′,B′,C′) del piano P′ e la normale n″ (A″,B″,C″) del piano P″. Poiché i nostri piani non sono paralleli e non coincidono, questi vettori non sono collineari. Usando il linguaggio della matematica, possiamo scrivere questa condizione come segue: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Sia la retta che si trova all'intersezione tra P′ e P″ ad essere indicata con la lettera a, in questo caso a = P′ ∩ P″.

a è una retta costituita dall'insieme di tutti i punti dei piani (comuni) P′ e P″. Ciò significa che le coordinate di qualsiasi punto appartenente alla retta a devono soddisfare contemporaneamente le equazioni A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x+B″y+C″z+D″=0 . Ciò significa che le coordinate del punto saranno una soluzione parziale del seguente sistema di equazioni:

Di conseguenza, risulta che la soluzione (generale) di questo sistema di equazioni determinerà le coordinate di ciascuno dei punti della retta, che fungerà da punto di intersezione di P′ e P″, e determinerà la retta a nel sistema di coordinate Oxyz (rettangolare) nello spazio.

Proprietà della retta nella geometria euclidea.

Per qualsiasi punto si possono tracciare infinite linee rette.

Per due punti qualsiasi non coincidenti si può tracciare un'unica linea retta.

Due rette divergenti su un piano o si intersecano in un unico punto oppure lo sono

parallelo (segue dal precedente).

Nello spazio tridimensionale, ci sono tre opzioni per la posizione relativa di due linee:

• le linee si intersecano;

• le linee sono parallele;

• le linee rette si intersecano.

Dritto linea— curva algebrica del primo ordine: una retta nel sistema di coordinate cartesiane

è data sul piano da un'equazione di primo grado (equazione lineare).

Equazione generale della retta.

Definizione. Qualsiasi linea retta sul piano può essere specificata da un'equazione del primo ordine

Ascia + Wu + C = 0,

e costante A, B non sono uguali a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine si chiama generale

equazione di una retta. A seconda dei valori delle costanti A, B E CON Sono possibili i seguenti casi particolari:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- Per l'origine passa una retta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Per + C = 0)- retta parallela all'asse OH

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- retta parallela all'asse UO

. B = C = 0, A ≠0- la retta coincide con l'asse UO

. A = C = 0, B ≠0- la retta coincide con l'asse OH

L'equazione di una retta può essere presentata in forme diverse a seconda dei dati

condizioni iniziali.

Equazione di una retta formata da un punto e da un vettore normale.

Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B)

perpendicolare alla retta data dall'equazione

Ascia + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per un punto UN(1, 2) perpendicolare al vettore (3, -1).

Soluzione. Con A = 3 e B = -1, componiamo l'equazione della retta: 3x - y + C = 0. Per trovare il coefficiente C

Sostituiamo nell'espressione risultante le coordinate del punto A. Otteniamo: 3 - 2 + C = 0, quindi

C = -1. Totale: l'equazione richiesta: 3x - y - 1 = 0.

Equazione di una retta passante per due punti.

Siano dati due punti nello spazio M1 (x1, y1, z1) E M2 (x2, y2, z2), Poi equazione di una retta,

passando per questi punti:

Se uno qualsiasi dei denominatori è zero, il numeratore corrispondente deve essere impostato uguale a zero. SU

piano, l'equazione della retta scritta sopra è semplificata:

Se x1 ≠ x2 E x = x1, Se x1 = x2 .

Frazione =k chiamato pendenza Dritto.

Esempio. Trova l'equazione della retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).

Soluzione. Applicando la formula scritta sopra, otteniamo:

Equazione di una retta utilizzando un punto e una pendenza.

Se l'equazione generale della retta Ascia + Wu + C = 0 portare a:

e designare , allora viene chiamata l'equazione risultante

equazione di una retta con pendenza k.

Equazione di una retta formata da un punto e da un vettore direzione.

Per analogia con il punto, considerando l'equazione di una linea retta passante per il vettore normale, puoi entrare nel compito

una retta passante per un punto e un vettore direttrice di una retta.

Definizione. Ogni vettore diverso da zero (α1, α2), i cui componenti soddisfano la condizione

Aα1 + Bα2 = 0 chiamato vettore direttivo di una retta.

Ascia + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta avente vettore direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).

Soluzione. Cercheremo l'equazione della linea desiderata nella forma: Ascia + Per + C = 0. Secondo la definizione,

i coefficienti devono soddisfare le seguenti condizioni:

1 * A + (-1) * B = 0, cioè A = B.

Allora l'equazione della retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, O x + y + C / A = 0.

A x = 1, y = 2 noi abbiamo C/A = -3, cioè. equazione richiesta:

x + y - 3 = 0

Equazione di una retta in segmenti.

Se nell'equazione generale della retta Ах + Ву + С = 0 С≠0, allora, dividendo per -С, otteniamo:

o dove

Il significato geometrico dei coefficienti è che il coefficiente a è la coordinata del punto di intersezione

dritto con asse OH, UN B- coordinata del punto di intersezione della linea con l'asse UO.

Esempio. È data l'equazione generale di una retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa linea in segmenti.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Equazione normale di una retta.

Se entrambi i lati dell'equazione Ascia + Wu + C = 0 dividere per numero che è chiamato

fattore normalizzante, allora otteniamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equazione normale di una retta.

Il segno ± del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo tale µ*C< 0.

R- la lunghezza della perpendicolare caduta dall'origine alla retta,

UN φ - l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse OH.

Esempio. Viene data l'equazione generale della retta 12x - 5a - 65 = 0. Necessario per scrivere diversi tipi di equazioni

questa linea retta.

L'equazione di questa linea in segmenti:

L'equazione di questa linea con la pendenza: (dividi per 5)

Equazione di una linea:

cosφ = 12/13; peccato φ= -5/13; p = 5.

Va notato che non tutte le linee rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio, linee rette,

parallelo agli assi o passante per l'origine.

L'angolo tra le rette su un piano.

Definizione. Se vengono fornite due righe y = K 1 x + b 1 , y = K 2 x + b 2, quindi l'angolo acuto tra queste linee

sarà definito come

Due rette sono parallele se k1 = k2. Due linee sono perpendicolari

Se k1 = -1/k2 .

Teorema.

Diretto Ascia + Wu + C = 0 E A1x + B1y + C1 = 0 parallelo quando i coefficienti sono proporzionali

A1 = λA, B1 = λB. Se anche С1 = λС, allora le linee coincidono. Coordinate del punto di intersezione di due rette

si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.

Equazione di una retta passante per un punto dato e perpendicolare ad una retta data.

Definizione. Retta passante per un punto M1 (x1, y1) e perpendicolare alla linea y = kx + b

rappresentato dall'equazione:

Distanza da un punto a una linea.

Teorema. Se viene assegnato un punto M(x0, y0), quindi la distanza dalla linea retta Ascia + Wu + C = 0 definito come:

Prova. Lasciamo il punto M1 (x1, y1)- la base di una perpendicolare caduta da un punto M per una data

diretto. Quindi la distanza tra i punti M E M1:

(1)

Coordinate x1 E alle 1 può essere trovato come soluzione al sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante perpendicolarmente per un dato punto M 0

data una retta. Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Per 0 + C = 0,

quindi, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

Il teorema è stato dimostrato.